11

Приближенные формулы Приближенные формулы в схеме Бернуллив схеме Бернулли

2

Локальная формула Муавра-Лапласа

Если , то

где

10npq

npq

npkxpp

;5,0;1p;0

),(1

)( xnpq

kPn

3

Свойства функции

2

2

2

1)(

x

ex

1. Четная .

2. При

0)(,5 xx

)(x

)()( xx

4

Формула Пуассона

Если и , то

где

10npq

np

,!

)( ek

kPk

n

1,0p

5

Интегральная формула Муавра-Лапласа

)()()( 1221 xxkkkPn

npq

npkx

npq

npkx

2

21

1 ;

Свойства функции Лапласа

)()( xx

)(x

1. Нечетная .

2. Возрастающая.

3. При 2

1)(,5 xx

Таблицы значений

Функции http://natalymath.narod.ru/plotnost_norm_rasp.html

Распределения Пуассонаhttp://natalymath.narod.ru/puasson.html

Функции http://natalymath.narod.ru/laplas.html

)(x

)(x

Задача 1

Известно, 80% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование имеет:

а) 70 человек, б) от 65 до 90 человек.

Решение

10162,08,0100 npq

)(1

)( xnpq

kPn

5,24

10

2,08,0100

8,010070

npq

npkx

Применяем локальную формулу Лапласа

0044,00175,016

1)70(100 P

а)

Решение

б) Применяем интегральную формулу Муавра - Лапласа

)()()( 1221 xxkkkPn

5,24

10

2,08,0100

8,010090

,75,34

15

2,08,0100

8,010065

22

11

npq

npkx

npq

npkx

9937,049991,049379,0)75,3()5,2()9065(100 kP

Задача 2

Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 200 изделий окажутся разбитыми:

а) три изделия, Б)не более двух, В) не менее двух

Решение

10995,0995,0005,0200 npq

1,0p

1005,0200 npПрименяем формулу Пуассона, где

а) при k=3:

06,06

1

!3

1)3( 1

3

200

eeP

б) при 2k

93,05,0111

!2

1

!1

1

!0

1

)2()1()0()20(

12

11

10

200200200200

eeee

PPPkP

в) при 2k

26,0111

1!1

1

!0

11

)1()0(1)10(1)2002(

11

10

200200200200

eee

PPkPkP