第七章多元函数微分学

第七章多元函数微分学第七章多元函数微分学

嘉兴学院嘉兴学院 April 19, 2023April 19, 2023

第第 11页页

第七章多元函数微分学



第第 22页页

向量：既有大小又有方向的量 .

向量表示：

以1M为起点，2M为终点的有向线段.

1M

2M

a

21MM

模长为 1 的向量 .21MM 00a

零向量：模长为 0 的向量 .0

|| a

21MM| |向量的模：向量的大小 .

单位向量：

向量的概念 :

或

或

或

7.1 向量代数与空间解析几何



第第 33页页

自由向量：不考虑起点位置的向量 .

相等向量：大小相等且方向相同的向量 .

负向量：大小相等但方向相反的向量 . a

向径：

a

b

a a

空间直角坐标系中任一点与原点构成的向量 . OM

M

—— 本书讨论的是自由向量 .



第第 44页页

[1] 加法： cba

a

bc

（平行四边形法则）

特殊地：若 a‖ b

a b

c |||||| bac

分为同向和反向

b

a c

|||||| bac

（三角形法则）

向量的线性运算 :b



第第 55页页

向量的加法符合下列运算规律：

（ 1 ）交换律： .abba

（ 2 ）结合律： cbacba )( ).( cba

（ 3 ） .0)( aa

[2] 减法 )( baba a

b

b

b

c

ba

baa

b

ba

bac

)(



第第 66页页

设是一个数，向量a与的乘积a规定为,0)1( a与a同向，|||| aa

,0)2( 0a

,0)3( a与a反向， |||||| aa

a

a

2 a

21

[3] 向量与数的乘法



第第 77页页

数与向量的乘积符合下列运算规律：

（ 1 ）结合律：

（ 2 ）分配律： aaa )(

baba )(

.

0

ab

aba

，使一的实数分必要条件是：存在唯

的充平行于，那末向量设向量定理

关于两个向量的平行关系有如下结论：

)( a

a

)( )( a



第第 88页页

，则单位向量为

同向的是一个非零向量，记与设0a

aa

0|| aaa

非零向量单位化 :

0aaa

.ixopxP

的坐标为

则确定了数轴及单位向量设点 ,xio



第第 99页页

A B

CD

M

a

b

.

.

,,.

1

点交是平行四边形对角线的这里和

表示向量，试用

，中，设在平行四边形例

MMD

MCMBMAbabAD

aABABCD



第第 1010页页

Ⅶ

yo

z

xoy面

yoz面zox面

空间直角坐标系有三个坐标面和八个卦限

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

x

空间直角坐标系 :1 、坐标系



第第 1111页页

空间的点有序数组 ),,( zyx 11—

特殊点的表示 :

)0,0,0(O

M

x

y

z

o

)0,0,(xP

)0,,0( yQ

),0,0( zR

)0,,( yxA

),,0( zyB

),,( zoxC

坐标轴上的点 ,P ,Q ,R

坐标面上的点 ,A ,B ,C



第第 1212页页

x

y

z

o

)0,0,(xP

)0,,0( yQ

),0,0( zR

),,( zyxM

),,( zyxM 11— OM向径

),,( zyxOM kzjyix

2 、向量的坐标分解式

_____ 向量的坐标分解式

M

以kji,, 分别表示沿zyx,, 轴正向的单位向量.



第第 1313页页

向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式),,,( zyx aaaa

),,,( zyx bbbb

),,( zzyyxx babababa

),,( zyx aaaa

;)()()( kbajbaiba zzyyxx

.)()()( kajaia zyx

利用坐标作向量的线性运算 :



第第 1414页页

aba

//0，当

ab

),,,( zyx aaa),,( zyx bbb

z

z

y

y

x

x

cb

a

b

ab



第第 1515页页

向量的模与方向角、投影 :1 、向量的模

x

y

z

o

)0,0,(xP

)0,,0( yQ

),0,0( zR

),,( zyxM

M

,),,( zyxr 设向量

.222 zyxOMr

,rOM 作向径



第第 1616页页

.212

212

21221 zzyyxxMM

空间两点间距离公式

x

y

z

o

1M

P NQ

R 2M设有

),,( 1111 zyxM 、

),,( 2222 zyxM

kzzjyyixxMM

)()()( 12121221



第第 1717页页

例2 求证以 )1,3,4(1M 、 )2,1,7(2M 、 )3,2,5(3M

三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 2

21MM ,14)12()31()47( 222

2

32MM ,6)23()12()75( 222

2

13MM ,6)31()23()54( 222

32MM ,13MM 原结论成立 .



第第 1818页页

非零向量的方向角：a

非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角 .、、

,0

,0

.0

x

y

z

o

1M 2M

2 、方向



第第 1919页页

x

y

z

o

1M 2M

由图分析可知cos|| aax

cos|| aa y

cos|| aaz

向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向 .

222|| zyx aaaa

PQ

R

向量模长的坐标表示式

2

1

2

1

2

121 RMQMPMMM

),,,(21 zyx aaaaMM

设



第第 2020页页

0222 zyx aaa当时，

,cos222zyx

x

aaa

a

,cos222zyx

y

aaa

a

.cos222zyx

z

aaa

a

向量方向余弦的坐标表示式



第第 2121页页

1coscoscos 222

方向余弦的特征

0a

}.cos,cos,{cos

特殊地：单位向量的方向余弦为

aa



第第 2222页页

两点间的距离；21 ,)2( MM

上的单位向量；21)4( MM

的方向余弦；向量 21)3( MM

的坐标表示式；向量试求已知例

21

21

)1(

),7,6,1(),5,2,2(3

MM

MM



第第 2323页页

.,332cos

31cos4

aa

a

求且

，，的方向余弦设例



第第 2424页页

3 、向量在轴上的投影

的关系轴与OMx)1(

)0,0,(xPx

y

z

o

),,( zyxM

ixOP



第第 2525页页

练习求平行于向量 kjia

676 的单位向

量的分解式.

解所求向量有两个，一个与同向，一个反向a

222 )6(76|| a ,11

0a )11

6

11

7

11

6( kji



第第 2626页页

例5 设 kjim853， kjin

742，

kjip45，求向量 pnma

34 在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解 pnma 34

)853(4 kji

)742(3 kji

)45( kji

,15713 kji

在x轴上的投影为13xa ,

在y轴上的分向量为j7.



第第 2828页页

向量a与b的数量积为ba

cos|||| baba

(其中为a与b的夹角)1. 定义

两向量的数量积 :

数量积也称为“点积”、“内积” .



第第 2929页页

2. 数量积的性质

0)2( ba .ba

.||)1( 2aaa

0

1

kjikijjkkiji

kkjjii

以kji,, 分别表示沿zyx,, 轴正向的单位向量.



第第 3030页页

3. 数量积符合下列运算规律：（ 1 ）交换律： ;abba

（ 2 ）分配律：

;)( cbcacba

（ 3 ）结合律：

),()()( bababa

若、为数：

).()()( baba



第第 3131页页

,kajaiaa zyx

kbjbibb zyx

设

zzyyxx babababa

4. 数量积的坐标表达式



第第 3232页页

222222cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

—— 两向量夹角余弦的坐标表示式

ba

0 zzyyxx bababa

两向量垂直的充要条件为



第第 3333页页

.

)3(),()2()1(

,1

的投影上在，，

，试求：设例

bababa

kjbjia



第第 3434页页

.2 余弦定理试用向量证明三角形的例

),)(2(.1

3),(1

,2,3,23

BABA

bab

abaBbaA

）（

，试求，

设例



第第 3535页页

①

),,( 0000 zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向

0)()()( 000 zzCyyBxxA

O

z

yx

0M

nM

称①式为平面的点法式方程 ,

求该平面的方程 .,),,( zyxM任取点

法向量.

量 ,),,( CBAn

nMM 0 00 nMM

则有故

的为平面称 n

平面及其方程：



第第 3636页页

特别 ,当平面与三坐标轴的交点分别为

此式称为平面的截距式方程 .

1cz

by

ax

时 ,)0,,( cba

平面方程为



第第 3737页页

平面的一般方程：设有三元一次方程

以上两式相减 , 得平面的点法式方程

此方程称为平面的一般

0 DzCyBxA

任取一组满足上述方程的数 ,,, 000 zyx 则0000 DzCyBxA

显然方程②与此点法式方程等价 ,

)0( 222 CBA ②

),,( CBAn 的平面 , 因此方程②的图形是

法向量为方程 .



第第 3838页页

特殊情形：

• 当 D = 0 时 , A x + B y + C z = 0 表示

通过原点的平面 ;

• 当 A = 0 时 , B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴 ;

• A x+C z+D = 0 表示• A x+B y+D = 0 表示• C z + D = 0 表示• A x + D =0 表示• B y + D = 0 表示

0 DCzByAx

平行于 y 轴的平面 ;

平行于 z 轴的平面 ;

平行于 xOy 面的平面 ;平行于 yOz 面的平面；平行于 zOx 面的平面 .

,),,0( iCBn



第第 3939页页

例 2. 求通过 x 轴和点 ( 4, – 3, – 1) 的平面方程 .解 :因平面通过 x 轴 , 0DA故

设所求平面方程为0 zCyB

代入已知点 )1,3,4( 得化简 ,得所求平面方程



第第 4040页页

三、两平面的夹角

设平面∏ 1 的法向量为

平面∏ 2 的法向量为则两平面夹角的余弦为

cos

即212121 CCBBAA

22

22

22 CBA 2

12

12

1 CBA

两平面法向量的夹角 (常指锐角 )称为两平面的夹角 .

1

2

2n1n

),,( 1111 CBAn

),,( 2222 CBAn

21

21cosnn

nn



第第 4141页页

2

特别有下列结论：

21)1(

0212121 CCBBAA

21 //)2(

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

1

1

2

21

21cosnn

nn

21 nn

21 // nn

2n

1n

2n

1n

),,(:

),,(:

22222

11111

CBAn

CBAn



第第 4242页页

因此有

例 4. 一平面通过两点

垂直于平面∏ : x + y + z = 0, 求其方程 .

解 : 设所求平面的法向量为

,020 CBA 即的法向量 ,0 CBA

)0(0)1()1()1(2 CzCyCxC

约去 C , 得 0)1()1()1(2 zyx

即 02 zyx

0)1()1()1( zCyBxA

)1,1,1(1M ,)1,1,0(2 M和

则所求平面

故

方程为

n21MMn

且



第第 4343页页

外一点 ,求例 5. 设

222101010 )()()(

CBA

zzCyyBxxA

222000

CBA

DzCyBxAd

解 :设平面法向量为 ),,( 1111 zyxP

在平面上取一点

是平面到平面的距离 d .0P

, 则 P0 到平面的距离为

01Prj PPd n

n

nPP 01

0P

1P

n

d

,),,( CBAn

( 点到平面的距离公式 )



第第 4444页页

y

x

z

O

例 6.

解 : 设球心为

求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成

则它位于第一卦限 ,且

222

000

111

1zyx

00 331 xx ,1000 zyx

因此所求球面方程为

000 zyx

,),,( 0000 zyxM

四面体的球面方程 .

故

)(半径R

0M



第第 4545页页

空间直线方程：

xy

z

O

01111 DzCyBxA

1

2

L

因此其一般式方程1. 一般式方程

直线可视为两平面交线，

(不唯一 )



第第 4646页页

z

yx 0x

0yO

),,( 0000 zyxM

2. 对称式方程

故有

说明 : 某些分母为零时 , 其分子也理解为零 .

m

xx 0

0

0yyxx

设直线上的动点为则

),,( zyxM

n

yy 0

p

zz 0

此式称为直线的对称式方程 ( 也称为点向式方程 )

直线方程为

已知直线上一点 ),,( 0000 zyxM

),,( zyxM

例如 , 当

,0,0 时 pnm

和它的方向向量

s



第第 4747页页

3. 参数式方程

设

得参数式方程 :

tp

zz

n

yy

m

xx

000

tmxx 0

tnyy 0

tpzz 0



第第 4848页页

2L

1L

线面间的位置关系：1. 两直线的夹角

则两直线夹角满足

设直线 L1, L2 的方向向量分别为

两直线的夹角指其方向向量间的夹角 (通常取锐角 )

212121 ppnnmm 2

12

12

1 pnm 22

22

22 pnm 21

21cosss

ss

1s

2s



第第 4949页页

特别有 :

21)1( LL

21 //)2( LL

0212121 ppnnmm

2

1

2

1

2

1

pp

nn

mm

21 ss

21 // ss

2L

1L1s

2s

2L1L1s

2s



第第 5050页页

例 2. 求以下两直线的夹角

解 : 直线 L1 的方向向量为

直线 L2 的方向向量为

二直线夹角的余弦为

02

02:2 zx

yxL

cos

从而4π

)1,2,2(

)1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 )1()2(2

201

0112

kji

s



第第 5151页页

当直线与平面垂直时 ,规定其夹角为

线所夹锐角称为直线与平面间的夹角 ;L

2. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时 ,

设直线 L 的方向向量为平面的法向量为

则直线与平面夹角满足

222222 CBApnm

pCnBmA

直线和它在平面上的投影直

),,( pnms

),,( CBAn

︿),cos(sin ns

ns

ns

sn



第第 5252页页

特别有 :L)1(

//)2( L 0 pCnBmA

pC

nB

mA ns //

ns

解 : 取已知平面的法向量

421 zyx则直线的对称式方程为

直的直线方程 .

为所求直线的方向向量 .

132

垂

)1,3,2( n n

例 3. 求过点 (1, － 2 , 4) 且与平面



第第 5353页页

.)2,4,1(

)2,3,2(1

程等距，求动点轨迹的方及与二定点一动点例

B

AM

曲面及其方程 :



第第 5454页页

0),,( zyxF

如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系 :(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程

则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 ,

曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 .两个基本问题 :

(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时 ,

(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程

求曲面方程 .

(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ).

Sz

yx

O

一、曲面方程的概念



第第 5555页页

几个常见的曲面方程：二、球面).(a

.

,,,,)1( 222

相等，符号相同系数的二次方程，且它是 zyxzyx

.,,)2( 等乘积项方程中不出现 zxyzxy

特点：M

Ox

y

z

0M

220

20

20 )()()( Rzzyyxx



第第 5656页页

例 2. 研究方程

解 : 配方得

5,)0,2,1(0 M

可见此方程表示一个球面

说明 :如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )

都可通过配方研究它的图形 .其图形可能是

的曲面 . 表示怎样

半径为球心为

一个球面, 或点, 或虚轨迹 .



第第 5757页页

x

o

z

y

0),( zyf

),,0( 111 zyMMd旋转曲面).(b

定义 2. 一条平面曲线

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面 .该定直线称为旋转轴 . 故旋转曲面方程为

0),( 22 zyxf



第第 5858页页

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

0),(: zyfC

O y

x

z

0),( 22 zxyf



第第 5959页页

x

y

z

O

例 3. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为 z 轴 , 半顶角为的圆锥面方程 .

解 : 在 yOz 面上直线 L 的方程为

绕 z 轴旋转时 ,圆锥面的方程为

)( 2222 yxaz

两边平方

L

),,0( zyM



第第 6060页页

x y

z

O

x y

z

O

例 4. 求坐标面 xOz 上的双曲线

分别绕 x

轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 . 解 : 绕 x 轴旋

转1

2

22

2

2

c

zy

a

x

绕 z 轴旋转

12

2

2

22

c

z

a

yx

这两种曲面都叫做旋转双曲面 .

所成曲面方程为

所成曲面方程为

x y

z

O



第第 6161页页

（2）椭圆

0

12

2

2

2

xczay绕 y轴和z轴；

绕y轴旋转

绕z轴旋转

12

22

2

2

czx

ay

12

2

2

22

cz

ayx

旋转椭球面



第第 6262页页

（3）抛物线0

22

x

pzy绕z轴；

pzyx 222 旋转抛物面



第第 6363页页

柱面).(c

.变量的同名坐标轴于不出现的那个即为柱面，其母线平行变量的曲面，凡是方程中仅出现两个

特点：



第第 6464页页

x

y

z

引例 . 分析方程表示怎样的曲面 .

的坐标也满足方程

解 :在 xOy 面上，

表示圆 C,

222 Ryx

沿圆周 C 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间

222 Ryx

过此点作

柱面 .

对任意 z ,

平行 z 轴的直线 l ,

表示圆柱面

C

在圆 C 上任取一点 ,)0,,(1 yxM

l

M

1M

),,( zyxM点

其上所有点的坐标都满足此方程 ,

O



第第 6565页页

O

xy

z

x y

z

O

x

y

z

定义平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面 .

表示抛物柱面 ,

母线平行于 z 轴 ;

准线为 xOy 面上的抛物线 .

z 轴的椭圆柱面 .

12

2

2

2

b

y

a

x

z 轴的平面 .

0 yx 表示母线平行于

C

( 且 z 轴在平面上 )

表示母线平行于

C 叫做准线 , l 叫做母线 .

O

l



第第 6666页页

x

z

y

2l

一般地 ,在三维空间

柱面 ,

柱面 ,

平行于 x 轴 ;

平行于 y 轴 ;

平行于 z 轴 ;

准线 xOz 面上的曲线 l

3.

母线

柱面 ,

准线 xOy 面上的曲线 l1.

母线

准线 yOz 面上的曲线 l

2.

母线

表示方程 0),( yxF

表示方程 0),( zyG

表示方程 0),( xzH

x y

z

3l

xy

z

1l

O

O

O



第第 6767页页

(d ) 、二次曲面三元二次方程

适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 ,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 .

研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法

其基本类型有 :

椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形统称为二次曲面 .

FzxEyxDxyCzByAx 222

0 JIzHyGx

( 二次项系数不全为 0 )



第第 6868页页

1. 椭球面

),,(12

2

2

2

2

2

为正数cbac

z

b

y

a

x

(1) 范围：czbyax ,,

(2) 与坐标面的交线：椭圆

,0

12

2

2

2

zb

y

a

x,

0

12

2

2

2

xc

z

b

y

0

12

2

2

2

yc

z

a

x

o

z

yx



第第 6969页页

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

与 )( 11 czzz 的交线为椭圆：

1zz

(4) 当 a ＝ b 时为旋转椭球面 ;

同样 )( 11 byyy 的截痕及也为椭圆 .

当 a ＝ b ＝ c 时为球面 .

(3) 截痕 :

1)()( 2

12

2

21

2

2

2

2

2

2

zc

y

zc

x

cb

ca

cba ,,( 为正数 )



第第 7070页页

2. 抛物面

zq

yp

x 22

22

(1) 椭圆抛物面

( p , q 同号 )

(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）

zq

yp

x 22

22( p , q 同号 )

z

yx

O

z

yxO

特别 ,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面 .



第第 7171页页

z

xy

o

xy

z

o

0,0 qp 0,0 qp

).(22

22

同号与qpzqy

px



第第 7272页页

).(22

22

同号与qpzqy

px

x

y

z

o

双曲抛物面（马鞍面）

时，当 0,0 qp



第第 7373页页

3. 双曲面(1) 单叶双曲面

by 1)1

上的截痕为平面 1zz 椭圆 .

时 , 截痕为

2

21

2

2

2

2

1b

y

c

z

a

x ( 实轴平行于 x 轴；虚轴平行于 z 轴）

1yy

),,(12

2

2

2

2

2

为正数cbac

z

b

y

a

x

1yy 平面

上的截痕情况 :

双曲线 :

z

x yO



第第 7474页页

虚轴平行于 x 轴）

by 1)2 时 , 截痕为

0cz

ax

)( bby 或by 1)3 时 , 截痕为

2

21

2

2

2

2

1b

y

c

z

a

x

( 实轴平行于 z 轴 ;1yy

相交直线 :

双曲线 :

0

z

x yO

z

x yO



第第 7575页页

(2) 双叶双曲面

),,(12

2

2

2

2

2

为正数cbac

z

b

y

a

x

上的截痕为平面 1yy 双曲线上的截痕为平面 1xx

上的截痕为平面 )( 11 czzz 椭圆

注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 :

双曲线

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x 单叶双曲面1

1 双叶双曲面

P18

O

z

xy



第第 7676页页

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

x

yo



第第 7777页页z

xy

4. 椭圆锥面

),(22

2

2

2

为正数bazb

y

a

x

上的截痕为在平面 tz 椭圆

在平面 x ＝ 0 或 y ＝ 0 上的截痕为过原点的两直线 .

1)()( 2

2

2

2

tb

y

ta

x tz ,

可以证明 , 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.

①

( 椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到 )

xy

z

O



第第 7878页页

22

2

2

2

zby

ax

x

yo

z



第第 7979页页

内容小结1. 空间曲面三元方程 0),,( zyxF

• 球面 220

20

20 )()()( Rzzyyxx

• 旋转曲面如 , 曲线

00),(

xzyf 绕 z 轴的旋转曲面 :

0),( 22 zyxf• 柱面

如 , 曲面 0),( yxF 表示母线平行 z 轴的柱面 .又如 , 椭圆柱面 , 双曲柱面 , 抛物柱面等 .



第第 8080页页

2. 二次曲面三元二次方程

),( 同号qp

• 椭球面

• 抛物面 :

椭圆抛物面双曲抛物面

zq

yp

x 22

22

• 双曲面 :单叶双曲面

2

2

2

2

b

y

a

x 1

双叶双曲面

2

2

2

2

b

y

a

x 1

• 椭圆锥面 : 22

2

2

2z

b

y

a

x



第第 8181页页

5x

922 yx

1xy 斜率为 1 的直线

平面解析几何中空间解析几何中方程

平行于 y 轴的直线

平行于 yOz 面的平面

圆心在 (0,0)

半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面

平行于 z 轴的平面

思考与练习1. 指出下列方程的图形 :



第第 8282页页

空间曲线的一般方程 :

一般方程：

0),,(

0),,(

zyxG

zyxF



第第 8383页页

例 1 方程组表示怎样的曲线？

6332

122

zyx

yx

解 122 yx 表示圆柱面，

6332 zyx 表示平面，

6332

122

zyx

yx

交线为椭圆 .



第第 8484页页

例 2 方程组表示怎样的曲线？

4)

2(

222

222

ay

ax

yxaz

解 222 yxaz

上半球面 ,

4)

2(

222 ay

ax 圆柱面 ,

交线如图 .



第第 8585页页

参数方程： ).(

)(

)(

)(

t

tz

ty

tx

空间曲线的参数方程：



第第 8686页页

动点从 A点出发，经过 t时间，运动到M点

例如果空间一点M在圆柱面 222 ayx 上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．

A

M

M

M在xoy面的投影 )0,,( yxM

tax costay sin

vtz t螺旋线的参数方程

取时间 t为参数，解

x y

z

o

第七章 多元函数微分学

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第七章多元函数微分学