シンプレクティック法を用いた多体問題の初期値依存性解析

Q06-064

鈴木　隆

目的　シンプレクティック法を用いて運動方程式を解き、多体問題における三体の８の字解という周期解の初期値依存性を考察する。　シンプレクティック法とルンゲクッタ法の精度および速度の比較を行う。

シンプレクティック法について

　　シンプレクティック法とは、 1990 年頃に発見された比較的新しい数値解析の手法である。ハミルトン力学系において、ハミルトニアン　Ｈ　が

　　と変数分離出来るときに使用できる数値解析手法である。ここで、 q は一般化座標、 p は一般化運動量、Ｋは運動エネルギー、Ｕはポテンシャルエネルギーである。天体力学の問題ではこの分解が成り立つ。

　　系の全エネルギーが保存することを前提に開発された方法であり、本研究で扱うような天体力学系では特に有用な方法である。

　 一般化座標の初期値を q0 、一般化運動量の初期値を p0 とし、時間 Δt 後の一般化座標を qk 、一般座運動量を pk とすると、以下の式で表すことが出来る。

…,

８次のシンプレクティック法の場合吉田春夫の論文中の係数表で与えられている８次の場合の w は以下のとおり。

　

　その w より、 c と d を導き出す方法は以下のとおり。

… ,

… ,

三体の８の字解とは

　　 Richard Montgomery らによって 2000年に発見された周期解。

　　万有引力で互いに引き合う同質量の平面三体問題について、８の字の形をした曲線軌道上を質点が互いに追いかけあうように運動する周期解である。

三体の８の字解

ルンゲクッタ法とシンプレクティック法の精度比較方法

　　三体の８の字解をそれぞれの方法で１周期と１００周期を回し、初期位置が原点の天体が原点の戻ってきた際の y 切片の数値を誤差の指標として比較した。

　　精度が足りず、８の字軌道を描かないものに関しては測定不能とした。

精度比較（１周期）Δt RK4 Symplectic6次 Symplectic8次

0.1 測定不能 -1.09E-4 -1.08E-4

0.01 2.44E-2 5.31E-8 5.25E-8

0.001 2.99E-3 3.16E-11 3.16E-11

0.0001 3.09E-4 -4.59E-11 -4.57E-11

0.00001 3.10E-5 -4.52E-11 -4.56E-11

精度比較（１００周期）Δt RK4 Symplectic6次 Symplectic8次

0.1 測定不能 7.43E-05 1.08E-04

0.01 測定不能 -1.06E-07 -9.54E-08

0.001 測定不能 -3.11E-09 -3.14E-09

0.0001 測定不能 -3.08E-09 -3.17E-09

0.00001 5.07E-05 -3.28E-09 -2.97E-09

精度比較の結果　　ルンゲクッタ法と比べるとシンプレクティック

法は y 切片の誤差は小さく、その精度は明らかに高いと言える。また、同程度の精度を出すとした場合、シンプレクティック法はその刻み幅を１０００倍以上小さく出来るため、シンプレクティック法は速度においても優秀であることが分かる。

　　　以下の初期値依存性の調査においては精度と速度の両面から総合的に判断し、６次のシンプレクティック法の Δt=0.001 を使用することとする。

どうしてシンプレクティック法が優秀なのか

　 　ルンゲクッタ法のような数値解析手法は、本来無限小操作である積分を有限回で近似することで打切り誤差が発生する。この誤差の集積が原因となって、エネルギーの励起・減衰が起こってしまう。　その結果、特に長時間の数値積分の結果の信頼性が失われてしまうことになる。

　一方でシンプレクティック法は、系全体のエネルギーを厳密に保存するという前提で開発された数値解析手法である。それによってエネルギーの励起・減衰は起こらない。　今回の実験のように長時間の数値積分を行うには適した数値解析手法であるといえる。

ルンゲクッタ法における一体のエネルギーの変移

シンプレクティック法の一体のエネルギーの変移

精度を高めた場合のルンゲクッタ法のエネルギーの変移

シンプレクティック法のエネルギーの変移

８の字解の初期値依存性　　　８の字解において中央の

原点に置かれている天体の初期位置（ x 方向、 y 方向、 z方向）、初速度（ x 方向、 y方向、 z 方向）、質量の計７パラメーターを一つずつわずかにずらして時間発展させた。

　　　右の図はそのうち、初期位置を x 方向に +0.05 ずらした場合の軌道である。

　　　８の字軌道全体が角速度を持って回転するような軌道を描いた。

　　　右の図は z 方向に初速度を+0.05 したものである。 xy 平面上では８の字軌道を維持しながらも、徐々に z 方向に軌道全体がずれていくような軌道を描いた。　下の図は xy 平面でこの軌道を見たものである。

　　　このように、 x 方向および z 方向のずれに関しては初期位置および初速度ともに１００周期の間では系の発散は確認できなかった。

　　　一方で質量の１％の増減および、初期位置、初速度の y 方向への+0.05 のずれに関しては非常に鋭敏に不安定性を示すことが分かった。

三体以上の周期解について

　　三体以上の周期解についても初期値依存性を調査を試みた。

　 　右上の図は四体の 3-chain 解と呼ばれる周期解である。しかしこれに関しては２周期目ですでに安定を保てなかった。　そのため初期値依存性の調査は行うことが出来なかった。

まとめ• シンプレクティック法は、ルンゲクッタ法と比

べて精度が高く、高速であり、また系のエネルギーを保存するため天体力学などにおいて長時間の数値積分を行う場合には特に有用である。

• 三体の８の字解の初期値依存性に関して、質量および y 方向のずれには鋭敏に不安定性を示す。

• x 方向および z 方向のずれに関しては少なくとも 100 周期の間には軌道の発散が確認出来なかった。

• 四体以上の初期値依存性の調査には、精度保証付き数値計算などを用いる必要があると考えられる。