فصل دوم

41

Upload: kermit-slater

Post on 31-Dec-2015

49 views

Category:

Documents


2 download

DESCRIPTION

فصل دوم. تکنیکهای بهینه یابی. 2-1-مقدمه. در مدیریت تصمیم گیری فرآیند تعیین بهترین راه حل ممکن برای مسأله مفروض است . اگر فقط یک راه حل یا عمل ممکن وجود داشته باشد هیچ مشکلی در تصمیم گیری وجود نخواهد داشت . - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: فصل دوم
Page 2: فصل دوم

فصل دوم

تکنیکهای بهینه یابی

Page 3: فصل دوم

-مقدمه-مقدمه2-12-1

در م�دیریت تص�میم گ�یری فرآین�د تع�یین به�ترین راه ح�ل در م�دیریت تص�میم گ�یری فرآین�د تع�یین به�ترین راه ح�ل م�مکن ب�رای� مس�أله� مف�روض� اس�ت .� اگ�ر ف�ق�ط ی�ک راه م�مکن ب�رای� مس�أله� مف�روض� اس�ت .� اگ�ر ف�ق�ط ی�ک راه ح�ل� ی�ا� عم�ل مم�کن �وج�ود� د�اش�ته ب�ا�ش�د هی�چ� مش�کلی در ح�ل� ی�ا� عم�ل مم�کن �وج�ود� د�اش�ته ب�ا�ش�د هی�چ� مش�کلی در

تصم�یم گیری �وجود نخوا�هد دا�شت .تصم�یم گیری �وجود نخوا�هد دا�شت .

ب�رای عملی وج�ود داش�ته راه حله�ای متف�اوتی اگ�ر ب�رای عملی وج�ود داش�ته ام�ا راه حله�ای متف�اوتی اگ�ر ام�ا با�ش�د عم�ل� �به�ین�ه م�ور�د�ی �ا�س�ت� ک�ه س�ازگ�ارترین� نتیج�ه� با�ش�د عم�ل� �به�ین�ه م�ور�د�ی �ا�س�ت� ک�ه س�ازگ�ارترین� نتیج�ه�

ر�ا با هدف تصمیم� گیرند�ه ا�یجاد �می کند.ر�ا با هدف تصمیم� گیرند�ه ا�یجاد �می کند.

در فرآین�د ی�افتن به�ترین عم�ل ی�ا تص�میم گ�یری م�دیران از در فرآین�د ی�افتن به�ترین عم�ل ی�ا تص�میم گ�یری م�دیران از م�ی ا�ق�تص�اد �م�دیر�یت �کم�ک ش�ده �توس�ط� مهی�ا م�ی ا�ب�زار� ا�ق�تص�اد �م�دیر�یت �کم�ک ش�ده �توس�ط� مهی�ا ا�ب�زار�

گیرند.گیرند.

Page 4: فصل دوم

-حداکثر کردن ارزش بنگاه-حداکثر کردن ارزش بنگاه2-22-2در اقتص�اد م�دیریت ف�رض می ش�ود ک�ه ه�دف اص�لی م�دیریت در اقتص�اد م�دیریت ف�رض می ش�ود ک�ه ه�دف اص�لی م�دیریت

حداکثر کردن ارزش بنگاه است.حداکثر کردن ارزش بنگاه است.(:(:11)فصل)فصل11--11رابطهرابطه

= ارزش فعلی س�ودهای = ارزش فعلی س�ودهای انتظاری آتیانتظاری آتی

: : 22--11 و نیز و نیز 11--11رابطه رابطه = ارزش فعلی س�ودهای = ارزش فعلی س�ودهای

انتظاری آتیانتظاری آتی

به ح�داکثر رس�اندن رابط�ه ب�اال وظیف�ه پیچی�ده ای اس�ت زی�را به ح�داکثر رس�اندن رابط�ه ب�اال وظیف�ه پیچی�ده ای اس�ت زی�را مش�تمل ب�ر عنا�ص�ر درآ�م�دها ،� هزین�ه ه�ا �و ن�رخه�ای تن�زی�ل در مش�تمل ب�ر عنا�ص�ر درآ�م�دها ،� هزین�ه ه�ا �و ن�رخه�ای تن�زی�ل در

سالهای آینده می باشد.سالهای آینده می باشد.

n

tt

tn

n

iiii 12

21

)1()1()1()1(...

n

tt

tt

iTCTR

1 )1(

Page 5: فصل دوم

Q ب�ه وس�یله مق�دار تولی�د فروخت�ه ش�ده درآم�د ک�لدرآم�د ک�ل Q ب�ه وس�یله مق�دار تولی�د فروخت�ه ش�ده ی�ک بنگ�اه مس�تقیما ی�ک بنگ�اه مس�تقیماو� قیم�ت د�ری�افت �ش�ده م�ش�خ�ص م�ی �ش�ود. �ب�دین �معن�ا ک�ه� در�آم�د و� قیم�ت د�ری�افت �ش�ده م�ش�خ�ص م�ی �ش�ود. �ب�دین �معن�ا ک�ه� در�آم�د

کل:کل:

ارتب�اط درآم�د ب�ا مق�دار و قیمت در گ�رو ش�رایط عرض�ه و تقاض�ا ارتب�اط درآم�د ب�ا مق�دار و قیمت در گ�رو ش�رایط عرض�ه و تقاض�ا است.است.

قیمت عوام�ل تولی�د نقش مهمی را در تع�یین هزین�ه ه�ا ایف�ا می کن�د قیمت عوام�ل تولی�د نقش مهمی را در تع�یین هزین�ه ه�ا ایف�ا می کن�د ب�ه� هم�ی�ن جهت م�الح�ظ�ات د�ر ارتب�اط ب�ا� عر�ض�ه عو�ام�ل اه�میت می ب�ه� هم�ی�ن جهت م�الح�ظ�ات د�ر ارتب�اط ب�ا� عر�ض�ه عو�ام�ل اه�میت می

یابند.یابند.

، ت�رکیب محص�ول ش�رکت تنزی�ل و ن�رخ ارتب�اطی می�ان ت�رکیب محص�ول ش�رکت ، سرانجام تنزی�ل و ن�رخ ارتب�اطی می�ان سرانجام دار�ائیه�ای فیزیکی و س�اختا�ر مالی آن� وجود دارد.دار�ائیه�ای فیزیکی و س�اختا�ر مالی آن� وجود دارد.

QPTR

Page 6: فصل دوم

•: تحلی��ل( گ��یری- م��رکب)تص��میم :دی��دگاه تحلی��ل( گ��یری- م��رکب)تص��میم ارزی��ابی دی��دگاه در ارزی��ابی در ، اق�دام به�ترین تع�یین ب�رای م�دیریت و ، انتخابه�ای موج�ود اق�دام به�ترین تع�یین ب�رای م�دیریت و انتخابه�ای موج�ود با�ی�د تص�میما�ت بخ�ش�های بازا�ری�ابی ، تو�لی�د و م�الی� )همچ�نین با�ی�د تص�میما�ت بخ�ش�های بازا�ری�ابی ، تو�لی�د و م�الی� )همچ�نین تولی�د توزی�ع پرس�نلی �، قس�متهای� ب�ه م�رب�وط تولی�د ت�ص�میمات توزی�ع پرس�نلی �، قس�متهای� ب�ه م�رب�وط ت�ص�میمات ت�رکیب ی�ک�دیگر ب�ا واح�دها� ی�ک �سیس�تم �تلفیقی در )..�. ت�رکیب و ی�ک�دیگر ب�ا واح�دها� ی�ک �سیس�تم �تلفیقی در )..�. و ش�ون�د. نظ�ری�ه �بنگ�اه �این تل�فی�ق را مه�ی�ا می�کن�د. این دی�دگاه ش�ون�د. نظ�ری�ه �بنگ�اه �این تل�فی�ق را مه�ی�ا می�کن�د. این دی�دگاه ه�ای ب�رنام�ه تص�می�مات ب�رای روی�ه ا�ین از اس�تفاد�ه Q ه�ای نوع�ا� ب�رنام�ه تص�می�مات ب�رای روی�ه ا�ین از اس�تفاد�ه Q نوع�ا�

اصلی را� مح�دود می� کند.اصلی را� مح�دود می� کند.از روزان�ه عملی�اتی تص�میمات اک�ثر ب�رای جهت همین از به روزان�ه عملی�اتی تص�میمات اک�ثر ب�رای جهت همین به تکنیکه�ای �بهین�ه ی�ابی� ج�زئی� ب�ا پ�یچی�دگی� کم�تر �اس�تفاده می تکنیکه�ای �بهین�ه ی�ابی� ج�زئی� ب�ا پ�یچی�دگی� کم�تر �اس�تفاده می

شود.شود. از طری�ق تمرک�ز ب�ر اه�داف مح�دودتر از طری�ق تمرک�ز ب�ر اه�داف مح�دودتر بهین�ه ی�ابی ج�زئی :بهین�ه ی�ابی ج�زئی :•

از بنگ�اه عملی�ات�ی مختل�ف بخ�ش�های چ�ا�رچوب در از بن�گ�اه بنگ�اه عملی�ات�ی مختل�ف بخ�ش�های چ�ا�رچوب در بن�گ�اه پیچی�دگی فرآ�یند تصمیم �گیری مرکب� می �کاهد.�پیچی�دگی فرآ�یند تصمیم �گیری مرکب� می �کاهد.�

Page 7: فصل دوم

بخش بازاری�ابی ب�ه ط�ور معم�ول مل�زم ب�ه تع�یین بخش بازاری�ابی ب�ه ط�ور معم�ول مل�زم ب�ه تع�یین مث�ال :مث�ال :قی�مت و خ�ط مش�ی �تبلی�غ�اتی ، �ب�ا توج�ه� ب�ه خ�ط ت�ولی�د قی�مت و خ�ط مش�ی �تبلی�غ�اتی ، �ب�ا توج�ه� ب�ه خ�ط ت�ولی�د در ، باز�اری�ابی بخش مح�دو�دیتهای �بودج�ه و� در ب�نگ�اه ، باز�اری�ابی بخش مح�دو�دیتهای �بودج�ه و� ب�نگ�اه ف�روش اه�داف� �در ای �ا�ز پ�اره رس�ی�دن �ب�ه ف�روش جه�ت اه�داف� �در ای �ا�ز پ�اره رس�ی�دن �ب�ه جه�ت

می� باش�د .ه�مچنین از بخش تولی�د انتظ�ار می رود ک�ه می� باش�د .ه�مچنین از بخش تولی�د انتظ�ار می رود ک�ه هزین�ه �تولی�د مق�دار مشخص�ی از �محص�ول �را ب�ا س�طح هزین�ه �تولی�د مق�دار مشخص�ی از �محص�ول �را ب�ا س�طح مرغ�وب�یت معی�ن ب�ه ح�داقل� برس�اند.�در این ح�الت ن�یز مرغ�وب�یت معی�ن ب�ه ح�داقل� برس�اند.�در این ح�الت ن�یز اص�ول� تح�لی�ل اق�تص�ادی پای�ه �،زم�ین�ه را ب�رای تص�میمات اص�ول� تح�لی�ل اق�تص�ادی پای�ه �،زم�ین�ه را ب�رای تص�میمات

مدی�ریتی بهینه ف�راهم �می آو�رد.مدی�ریتی بهینه ف�راهم �می آو�رد.

Page 8: فصل دوم

فرآین�د تص�میم گ�یری ص�رف نظ�ر از اینک�ه مرب�وط فرآین�د تص�میم گ�یری ص�رف نظ�ر از اینک�ه مرب�وط •Q �م�رکب �باش�د Q �م�رکب �باش�د ب�ه� �مس�ائ�ل ب�ه�ین�ه ی�اب�ی� ج�ز�ئ�ی ی�ا� ک�امال� ب�ه� �مس�ائ�ل ب�ه�ین�ه ی�اب�ی� ج�ز�ئ�ی ی�ا� ک�امال�

در دو گام انجام می شود :در دو گام انجام می شود :

اول : رواب�ط اقتص�ادی بای�د ب�ه ش�کلی ک�ه ب�رای تحلی�ل اول : رواب�ط اقتص�ادی بای�د ب�ه ش�کلی ک�ه ب�رای تحلی�ل ش�کل � ب�ه Q . �معم�وال ش�ون�د بی�ا�ن باش�ن�د ش�کل �مناس�ب ب�ه Q . �معم�وال ش�ون�د بی�ا�ن باش�ن�د مناس�ب

ریاضی.ریاضی.

بهین�ه تع�یین راه ح�ل تکنیکه�ای مختل�ف جهت : بهین�ه دوم تع�یین راه ح�ل تکنیکه�ای مختل�ف جهت : دوم مربوط به مسأله تحت مطالعه بکار رود.مربوط به مسأله تحت مطالعه بکار رود.

Page 9: فصل دوم

-روشهای بیان روابط -روشهای بیان روابط 2-32-3اقتصادیاقتصادی

برای بی�ان رواب�ط اقتص�ادی ب�ه ک�رات از مع�ادالت ، برای بی�ان رواب�ط اقتص�ادی ب�ه ک�رات از مع�ادالت ، ج�داولی ک�ه در آنه�ا روابطی نش�ان داده می ش�ود ج�داولی ک�ه در آنه�ا روابطی نش�ان داده می ش�ود و� نمودا�ره�ایی� �ک�ه در� آ�نه�ا رو�اب�ط م�ع�ی�نی �ر�س�م می و� نمودا�ره�ایی� �ک�ه در� آ�نه�ا رو�اب�ط م�ع�ی�نی �ر�س�م می

م�ی ش�ود. اس�ت�فاده م�ی ش�ود. ش�و�ند اس�ت�فاده ی�ک ش�و�ند ی�ا ی�ک ی�ک �ج�دول �و ی�ا ی�ک �ج�دول �و گ�ی�ری � ا�ز م�س�ائل �تص�میم بس�یار�ی گ�ی�ری �ن�م�ود�ار �ب�رای ا�ز م�س�ائل �تص�میم بس�یار�ی ن�م�ود�ار �ب�رای

م�س�ائل وق�ت�ی ام�ا ک�ن�د. کف�ا�ی�ت اس�ت� م�س�ائل م�م�کن وق�ت�ی ام�ا ک�ن�د. کف�ا�ی�ت اس�ت� م�م�کن در �آ�نه�ا زی�را� مع�ا�د�الت� �مفیدترن�د� باش�د در �آ�نه�ا پی�چی�ده زی�را� مع�ا�د�الت� �مفیدترن�د� باش�د پی�چی�ده ت�حل�یله�ای ابزاره�ای قد�رت�من�د ا�ز ت�حل�یله�ای امک�ان �اس�تفاده� ابزاره�ای قد�رت�من�د ا�ز امک�ان �اس�تفاده�

ریاضی �و شبیه �سازی �کامپی�وتری �وجود دارد.ریاضی �و شبیه �سازی �کامپی�وتری �وجود دارد.

Page 10: فصل دوم

-الف: روابط تابعی : معادالت-الف: روابط تابعی : معادالت2-32-3آس�انترین راه بررس�ی و بی�ان رواب�ط اقتص�ادی ، و ب�ه ط�ور همزم�ان آس�انترین راه بررس�ی و بی�ان رواب�ط اقتص�ادی ، و ب�ه ط�ور همزم�ان تحص�ی�ل اطالع�ات درب�ا�ره تکن�یکه�ای بهین�ه ی�ابی �، م�الحظ�ه رواب�ط تحص�ی�ل اطالع�ات درب�ا�ره تکن�یکه�ای بهین�ه ی�ابی �، م�الحظ�ه رواب�ط بنگ�اه نظر�ی�ه الگ�و�ی مهمی� �در� نق�ش ک�ه ا�س�ت متع�دد�ی� بنگ�اه ت�اب�عی� نظر�ی�ه الگ�و�ی مهمی� �در� نق�ش ک�ه ا�س�ت متع�دد�ی� ت�اب�عی�

را� را� (�(�TRTR)) �و� درآم�دکل �و� درآم�دکل ((QQ)�)�ایف�اء م�ی ک�ند.ا�ب�ت�د�ا ار�تب�ا�ط ب�ین محص�و�ل ایف�اء م�ی ک�ند.ا�ب�ت�د�ا ار�تب�ا�ط ب�ین محص�و�ل در نظر بگیرید. در نظر بگیرید.

TR=f(Q)TR=f(Q) رابطه غیر صریح)ضمنی( رابطه غیر صریح)ضمنی( 33--22رابطه رابطه معادل�ه ف�وق چ�نین خوان�ده می ش�ود»درآم�د ک�ل ت�ابعی از تولی�د اس�ت« .ارزش معادل�ه ف�وق چ�نین خوان�ده می ش�ود»درآم�د ک�ل ت�ابعی از تولی�د اس�ت« .ارزش وابس����������������������������ته وابس����������������������������تهمت�غ����������������������������یر مت�غ����������������������������یر

)یع�نی درآم�د ک�ل( ب�ه وس�یله متغ�یر مس�تقل )تولی�د( مش�خص می شود.)یع�نی درآم�د ک�ل( ب�ه وس�یله متغ�یر مس�تقل )تولی�د( مش�خص می شود.

TR=P.QTR=P.Q رابطه صریح)دقیق( رابطه صریح)دقیق( 33--22رابطه رابطه

در آن در آن QQ نش�اندهنده قیمی�تی اس�ت ک�ه ه�ر واح�د از نش�اندهنده قیمی�تی اس�ت ک�ه ه�ر واح�د از PPدر رابط�ه ف�وق در رابط�ه ف�وق قیمت فروخته می شود.قیمت فروخته می شود.

اگ�ر قیمت محص�ول فروخت�ه ش�ده ص�رف نظ�ر از اگ�ر قیمت محص�ول فروخت�ه ش�ده ص�رف نظ�ر از TR=15QTR=15Q مث�ال :مث�ال :آن �در آن �در مق�دار م�ق�دار 1515مق�دار دقی�ق �بین رابط�ه� باش�د ث�ابت� توم�ان م�ق�دار دقی�ق �بین رابط�ه� باش�د ث�ابت� توم�ان

محصول �فروخته �شده و در�آمد� کل بدست �آمد�ه بیا�ن می شود.محصول �فروخته �شده و در�آمد� کل بدست �آمد�ه بیا�ن می شود.

Page 11: فصل دوم

Qهم�ان رابط�ه ت�ابعی را ک�ه ب�ه 11--22ارق�ام ج�دول )ارق�ام ج�دول )مث�ال :مث�ال : Qهم�ان رابط�ه ت�ابعی را ک�ه ب�ه (دقیقا (دقیقابی�ان TR=15QTR=15Qوس�یله معادل�ه وس�یله معادل�ه بی�ان مش�خص ش�ده اس�ت را مش�خص ش�ده اس�ت را

(هم�ان ت�ابع را ب�ه ص�ورت نم�وداری (هم�ان ت�ابع را ب�ه ص�ورت نم�وداری 11--22می کن�د.و ش�کل )می کن�د.و ش�کل )نمایش می دهد .نمایش می دهد .

Page 12: فصل دوم

- استفاده از نهایی ها برای - استفاده از نهایی ها برای 2-42-4حداکثر یا حداقل کردن توابعحداکثر یا حداقل کردن توابع

فرآین�د ی�افتن به�ترین راه ح�ل ب�رای تص�میم گ�یری ، ک�ه فرآین�د ی�افتن به�ترین راه ح�ل ب�رای تص�میم گ�یری ، ک�ه Q �نیازمن�د پ�ی�دا Q �نیازمن�د پ�ی�دا ب�ه آ�ن بهین�ه ی�ابی� ن�یز �می گوین�د، �غالب�ا ب�ه آ�ن بهین�ه ی�ابی� ن�یز �می گوین�د، �غالب�اک�ر�دن م�ق�دار ح�داکثر� ی�ا ح�دا�قل �ی�ک ت�اب�ع ا�س�ت. ب�ر�ای ک�ر�دن م�ق�دار ح�داکثر� ی�ا ح�دا�قل �ی�ک ت�اب�ع ا�س�ت. ب�ر�ای آ�ن�ک�ه ی�ک �ت�اب�ع �د�ر �ح�دا�کثر� ی�ا ح�دا�قل �خ�و�د ب�ا�ش�د، ش�یب آ�ن�ک�ه ی�ک �ت�اب�ع �د�ر �ح�دا�کثر� ی�ا ح�دا�قل �خ�و�د ب�ا�ش�د، ش�یب

آ�ن �تابع� یا �مقد�ار ن�ه�ایی �آن ب�ای�د صف�ر باشد�. آ�ن �تابع� یا �مقد�ار ن�ه�ایی �آن ب�ای�د صف�ر باشد�.

با توج�ه ب�ه اینک�ه مش�تق ی�ک ت�ابع ش�یب آن را ان�دازه با توج�ه ب�ه اینک�ه مش�تق ی�ک ت�ابع ش�یب آن را ان�دازه گ�ی�ری می �کن�د بن�ابر�این �ح�داکثر ی�ا ح�داقل� ی�ک� ت�ابع گ�ی�ری می �کن�د بن�ابر�این �ح�داکثر ی�ا ح�داقل� ی�ک� ت�ابع ت�ابع �براب�ر ص�فر ک�ه� مش�تق ب�ود خواه�د ج�ایی ت�ابع �براب�ر ص�فر د�ر ک�ه� مش�تق ب�ود خواه�د ج�ایی د�ر

باشد.باشد.

Page 13: فصل دوم

تابع سود زیر را در نظر بگیرید: تابع سود زیر را در نظر بگیرید:مثال :مثال :

=مق�دار تولی�د ب�ر حس�ب =مق�دار تولی�د ب�ر حس�ب QQ = س�ود ک�ل ب�ر حس�ب توم�ان و = س�ود ک�ل ب�ر حس�ب توم�ان وواحد استواحد است

1000010000اگ�ر مق�دار تولی�د ص�فر باش�د: زی�ان بنگ�اه براب�ر ب�ا اگ�ر مق�دار تولی�د ص�فر باش�د: زی�ان بنگ�اه براب�ر ب�ا توم�ان است. توم�ان است.1000010000خواه�د ب�ود � زی�را هزی�ن�ه ث�ابت� بر�اب�ر خواه�د ب�ود � زی�را هزی�ن�ه ث�ابت� بر�اب�ر

با اف�زایش تولی�د س�ود ن�یز اف�زایش خواه�د ی�افت . در ح�دود با اف�زایش تولی�د س�ود ن�یز اف�زایش خواه�د ی�افت . در ح�دود تول�ی�د �ب�ه �نقط�ه س�رب�ه س�ر م�ی �رس�ی�م)س�طح 2929 تول�ی�د �ب�ه �نقط�ه س�رب�ه س�ر م�ی �رس�ی�م)س�طح و�اح�د و�اح�د

تو�لیدی� که در �آن س�ود صفر اس�ت(،تو�لیدی� که در �آن س�ود صفر اس�ت(،

واح�د تولی�د س�ود ح�داکثر خواه�د ب�ود و بع�د از آن واح�د تولی�د س�ود ح�داکثر خواه�د ب�ود و بع�د از آن 100100 در در ک���������������������������������ا�هش ک���������������������������������ا�هش

می یابدمی یابد

QQ 2400100002

Page 14: فصل دوم

: ف�وق مث�ال ادام�ه :در ف�وق مث�ال ادام�ه ت�وان در می را س�ود ح�داکثر نقط�ه ت�وان می را س�ود ح�داکثر نقط�ه بوس�یله ی�افتن مش�تق)مق�دار نه�ایی ت�ابع و س�پس تع�یین آن بوس�یله ی�افتن مش�تق)مق�دار نه�ایی ت�ابع و س�پس تع�یین آن

ک�ه مش�تق )مق�دار نه�ایی( را معادل�ه ص�فر می کن�د ک�ه مش�تق )مق�دار نه�ایی( را معادل�ه ص�فر می کن�د QQمقدارمقدارن�یز بدس�ت آورد : س�ود نه�ایی : ن�یز بدس�ت آورد : س�ود نه�ایی :

با برابر صفر قرار دادن این مشتق داریم :با برابر صفر قرار دادن این مشتق داریم :شکل 2-2:سود بعنوان تابعی از تولید

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 50 100 150 200

QtQQ

ن(ماول )ت

کودس شیب= سود نهایی

QdQ

dM 4400

10004400 QQ

2240010000 QQ

10004400

QQQ

Page 15: فصل دوم

تشخیص حداکثر از حداقلتشخیص حداکثر از حداقلبط�ور نبای�د باش�د ح�داقل ی�ا ح�داکثر ت�ابعی آنک�ه بط�ور برای نبای�د باش�د ح�داقل ی�ا ح�داکثر ت�ابعی آنک�ه برای

م�فهوم م�ش�تق درج�ه م�فهوم م�ش�تق درج�ه . .پ�یوس�ته �ص�عو�دی ی�ا ن�ز�ولی باش�دپ�یوس�ته �ص�عو�دی ی�ا ن�ز�ولی باش�ددر ه�ا و �ح�داقل ه�ا ح�داکثر� م�نظ�ور �تش�خیص ب�ه در دوم� ه�ا و �ح�داقل ه�ا ح�داکثر� م�نظ�ور �تش�خیص ب�ه دوم� م�ح�دوده �ت�ابع بک�ا�ر می �ر�ود. م�ش�ت�ق د�رج�ه �دوم �ب�ه� ط�ور م�ح�دوده �ت�ابع بک�ا�ر می �ر�ود. م�ش�ت�ق د�رج�ه �دوم �ب�ه� ط�ور

ساد�ه مشتقu مش�تق ا�صلی اس�ت.ساد�ه مشتقu مش�تق ا�صلی اس�ت.

اگر معادله سود چنین باشد :اگر معادله سود چنین باشد :

که تابع سود نهایی است عبارست از که تابع سود نهایی است عبارست از مشتق اولمشتق اولصورت صورت ::

تابع سود کل ، مشتق تابع سود نهایی است تابع سود کل ، مشتق تابع سود نهایی است مشتق دوممشتق دومکه بدین صورت می باشد :که بدین صورت می باشد :

dQcQbMdQ

d 322

dQcQbQa 32

dQcdQ

dM

dQd 622

2

Page 16: فصل دوم

مقدار تولید

نوما

ت

شکل2-3 : تعین محل حداکثر و حداقل یک تابع

مقدار تولید

نوما

ت

نقطه عطف

232 dQcQbQ

32 dQcQbQa سود کل

سود نهایی

A

B

A B

QA

QB

Page 17: فصل دوم

تابع روبه رو را در نظر بگیرید :تابع روبه رو را در نظر بگیرید :مثال :مثال :

سود نهایی به وسیله مشتق اول سود کل بدست می آید :سود نهایی به وسیله مشتق اول سود کل بدست می آید :

در نقاطی که مشتق اول)سود نهایی( برابر صفر است سود کل مقادیر در نقاطی که مشتق اول)سود نهایی( برابر صفر است سود کل مقادیر حداقل یا حداکثر خود را اختیار می کند:حداقل یا حداکثر خود را اختیار می کند:

بدس�ت می آی�د. این مق�ادیر بدس�ت می آی�د. این مق�ادیر Q=4Q=4 و و Q=24Q=24با ح�ل معادل�ه ف�وق جوابه�ای با ح�ل معادل�ه ف�وق جوابه�ای نه�����������ای�ی �����������را �����������ص�����������فر نه�����������ای�ی �����������را �����������ص�����������فر س�����������و�د س�����������و�د

می کنن�د ی�ا در آن ت�ابع س�ود ک�ل مق�دار ح�داقل ی�ا ح�داکثر اختی�ار می کند.می کنن�د ی�ا در آن ت�ابع س�ود ک�ل مق�دار ح�داقل ی�ا ح�داکثر اختی�ار می کند.

مشتق دوم از تابع سود کل به وسیله مشتق گیری از تابع سود نهایی مشتق دوم از تابع سود کل به وسیله مشتق گیری از تابع سود نهایی بدست می آید:بدست می آید:

باشد، داریم : باشد، داریم :Q=4Q=4اگر مقدار تولیداگر مقدار تولید

ب�وده و نتیج�ه س�ود نه�ایی فزاین�ده ب�وده و از آنجائیک�ه مش�تق دوم مثبت اس�ت در نتیج�ه س�ود نه�ایی فزاین�ده از آنجائیک�ه مش�تق دوم مثبت اس�ت در واحد تولید به حداقل می رسد. واحد تولید به حداقل می رسد.44سود کل در سود کل در

واحد تولید داریم : واحد تولید داریم :2424با ارزیابی مشتق دوم در با ارزیابی مشتق دوم در

از آنجائیک�ه مش�تق دوم منفی اس�ت در نتیج�ه س�ود نه�ایی کاهن�ده ب�وده و س�ود از آنجائیک�ه مش�تق دوم منفی اس�ت در نتیج�ه س�ود نه�ایی کاهن�ده ب�وده و س�ود واحد تولید به حداکثر می رسد. واحد تولید به حداکثر می رسد.2424کل در کل در

QQQ 33.83502400300032

QQdQ

d 2570024002

02570024002 QQ

dQ

d

QdQ

dM

dQd 507002

2

500)4(507002

2

dQd

500)24(507002

2

dQd

Page 18: فصل دوم

مطالعه موردی : یک اشتباه بزرگ مطالعه موردی : یک اشتباه بزرگ معروف در طراحی هواپیماهای بمب معروف در طراحی هواپیماهای بمب

((stealthstealthافکن استیلت)افکن استیلت) اس�تیلت( میلیارده�ا دالر اس�تیلت( میلیارده�ا دالر B-2B-2برای س�اخت هواپیماه�ای بمب افکن )برای س�اخت هواپیماه�ای بمب افکن )

ب�دلیل اش�تباه �دو این �هواپیم�ا ام�ا د�ر ط�راحی� ب�ود ب�دلیل اش�تباه �دو هزین�ه ش�د�ه این �هواپیم�ا ام�ا د�ر ط�راحی� ب�ود هزین�ه ش�د�ه Q نقط�ه �می�نیمم را ب�ه Q نقط�ه �می�نیمم را ب�ه م�تخص�ص ای�راداتی وج�ود �داش�ت� ،آنه�ا اش�تباها م�تخص�ص ای�راداتی وج�ود �داش�ت� ،آنه�ا اش�تباهان�یروی ب�ا هواپی�م�ا ن�وع ب�ودن�د.ای�ن ک�رده م�اکزیمم �انتخ�اب ن�یروی ج�ا�ی ب�ا هواپی�م�ا ن�وع ب�ودن�د.ای�ن ک�رده م�اکزیمم �انتخ�اب ج�ا�ی آنه�ا از فرموله�ای با�ل�دار اس�ت �و آنه�ا از فرموله�ای محرک�ه موت�ور� جت و از �ن�وع� با�ل�دار اس�ت �و محرک�ه موت�ور� جت و از �ن�وع� این�ک�ه حجم هواپ�یم�ا چگو�ن�ه �بای�د ب�ین ب�ال و این�ک�ه حجم هواپ�یم�ا چگو�ن�ه �بای�د ب�ین ب�ال و ر�یاض�ی ب�رای تع�یین ر�یاض�ی ب�رای تع�یین بدن�ه� تق�س�یم �ش�ود� ت�ا ب�xرد� آن� ب�ه ح�داکث�ر بر�س�د ا�س�تفاد�ه� کردن�دآنها� بدن�ه� تق�س�یم �ش�ود� ت�ا ب�xرد� آن� ب�ه ح�داکث�ر بر�س�د ا�س�تفاد�ه� کردن�دآنها� ا�ز ب�xر�د �هو�اپیم�ا �نس�ب�ت ب�ه ح�جم �آن م�ش�تق گرفتن�د� و� در�یافت�ن�د ک�ه ا�ز ب�xر�د �هو�اپیم�ا �نس�ب�ت ب�ه ح�جم �آن م�ش�تق گرفتن�د� و� در�یافت�ن�د ک�ه Q ک�ل �حجم ب�ر� �رو�ی ب�ا�ل Q ک�ل �حجم ب�ر� �رو�ی ب�ا�ل مش�تق و�ق�تی� �بر�اب�ر ص�فر �اس�ت ک�ه �تقری�ب�ا� مش�تق و�ق�تی� �بر�اب�ر ص�فر �اس�ت ک�ه �تقری�ب�ا�ب�ا�ش�دو �ب�دین ص�و�ر�ت آ�نه�ا ن�تیج�ه� گر�فتن�د ک�ه� �ب�ا �تکی�ه ب�ر� روی �ب�ال، �ب�ا�ش�دو �ب�دین ص�و�ر�ت آ�نه�ا ن�تیج�ه� گر�فتن�د ک�ه� �ب�ا �تکی�ه ب�ر� روی �ب�ال، �

xرد ب�ه� ح�دا�کثر �خ�واه�د �رس�ید، ام�ا �در تح�قیق�ات� �بع�د�ی �م�ش�خ�ص ش�د xرد ب�ه� ح�دا�کثر �خ�واه�د �رس�ید، ام�ا �در تح�قیق�ات� �بع�د�ی �م�ش�خ�ص ش�د ب� ب�در � و ن�ه �منفی ا�س�ت مث�بت� دوم ای�ن� ش�رای�ط� م�ش�تق تح�ت در �ک�ه و ن�ه �منفی ا�س�ت مث�بت� دوم ای�ن� ش�رای�ط� م�ش�تق تح�ت ک�ه

xرد �هواپیم�ا ر�ا ب�ه ح�داقل� می xرد �هواپیم�ا ر�ا ب�ه ح�داقل� می ن�ت�یج�ه ط�راحی� �ب�ا� �تکی�ه ب�ر� رو�ی �ب�ال، �ب� ن�ت�یج�ه ط�راحی� �ب�ا� �تکی�ه ب�ر� رو�ی �ب�ال، �ب�ن�ه� ح�داکثر. ن�ه� ح�داکثر. رس�ا�ند �و� : رس�ا�ند �و� ک�ه ب�ود ا�ش�تب�اه �آنه�ا �در� �این� : در حق�یق�ت ک�ه ب�ود ا�ش�تب�اه �آنه�ا �در� �این� در حق�یق�ت

ک�م�ترین� وزن ر�ا رو�ی ب�ال� �هو�ا�پیم�ا ق�رار �دا�ده بو�د�ن�د� در ص�ورت�یکه ک�م�ترین� وزن ر�ا رو�ی ب�ال� �هو�ا�پیم�ا ق�رار �دا�ده بو�د�ن�د� در ص�ورت�یکه باید بیش�ترین وزن� را روی با�ل هو�اپیما �قرار می دادند.باید بیش�ترین وزن� را روی با�ل هو�اپیما �قرار می دادند.

Page 19: فصل دوم

شکل2-4: رابطه بین توابع کل-نهایی و متوسط

QtQ

ن(وما

)تودس

سود نهایی

طس

ومتد سو

رابطه بین کل ، نهایی و متوسطرابطه بین کل ، نهایی و متوسطش�کل ب�ه بیش�تر درک ش�کل برای ب�ه بیش�تر درک برای

ر�وبه رو� توجه نم�ایید :ر�وبه رو� توجه نم�ایید :بین رابط��ه ش��کل این بین در رابط��ه ش��کل این در س�ود ک�ل� ، س�ود �متوس�ط� س�ود ک�ل� ، س�ود �متوس�ط� ب�ا� �مق�دا�ر ب�ا� �مق�دا�ر و� �س�و�د �ن�ه�ا�یی� و� �س�و�د �ن�ه�ا�یی� ش�ده دا�ده نش�ان ش�ده ت�ولی�د� دا�ده نش�ان ت�ولی�د�

است.است. نقط�ه ح�داکثر س�ود نقط�ه ح�داکثر س�ود DDنقط�ه نقط�ه

م�توس�ط اس�ت زی�را در آن م�توس�ط اس�ت زی�را در آن ش�ع�اعهای از یکی ش�ع�اعهای نق�ط�ه از یکی نق�ط�ه مر�ک��ز از مر�ک��ز رس��م ��ش��ده از رس��م ��ش��ده م�ختص�ات ب�ر �ت�ابع س�ود ک�ل م�ختص�ات ب�ر �ت�ابع س�ود ک�ل ت�ابع و� ت�ابع م�م�اس� �می �باش�د و� م�م�اس� �می �باش�د ط�رف� در �ی�ک ک�ل� ط�رف� س�ود در �ی�ک ک�ل� س�ود ا�ین شع�اع �ق�رار �می� گیرد.ا�ین شع�اع �ق�رار �می� گیرد.

بن�ابراین ش�یب آن نش�اندهنده بن�ابراین ش�یب آن نش�اندهنده سو�د نهایی م�ی باش�د.سو�د نهایی م�ی باش�د.

A

B

N

C

D

E

B

C

Q1

Q2

Q3

سودکل

سودمتوسط

M سودنهایی

Page 20: فصل دوم

مطالعه موردی : اندازه بهینه یک مطالعه موردی : اندازه بهینه یک بیمارستانبیمارستان

یکی از مس�ائل بس�یار مهمی ک�ه بیمارس�تانها ب�ا آن روب�رو هس�تند این اس�ت یکی از مس�ائل بس�یار مهمی ک�ه بیمارس�تانها ب�ا آن روب�رو هس�تند این اس�ت ک�ه ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب روزه�ای بس�تری ش�دن بیم�ار چق�در ب�زرگ ک�ه ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب روزه�ای بس�تری ش�دن بیم�ار چق�در ب�زرگ برس�د؟ ح�داقل ب�ه بیم�ار ی�ک ش�دن بس�تری روز ی�ک هزین�ه ت�ا برس�د؟باش�د ح�داقل ب�ه بیم�ار ی�ک ش�دن بس�تری روز ی�ک هزین�ه ت�ا باش�د

هارول�دکوهن مطالع�اتی در این خص�وص انج�ام داد و بی�ان ک�رد ک�ه هزین�ه هارول�دکوهن مطالع�اتی در این خص�وص انج�ام داد و بی�ان ک�رد ک�ه هزین�ه ک�ل عملی�اتی ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب دالر در آمریک�ا بص�ورت تقری�بی ک�ل عملی�اتی ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب دالر در آمریک�ا بص�ورت تقری�بی

برابر است با : برابر است با : بیانگر روزهایی است که بیمار در بیمارستان بستری می شود. بیانگر روزهایی است که بیمار در بیمارستان بستری می شود.xx و و

ال�ف(فرم�ولی ب�رای ارتب�اط می�ان هزین�ه ی�ک روز بس�تری ش�دن بیم�ار و تع�داد ال�ف(فرم�ولی ب�رای ارتب�اط می�ان هزین�ه ی�ک روز بس�تری ش�دن بیم�ار و تع�داد روزهای بستری شدن او استخراج کنید.روزهای بستری شدن او استخراج کنید.

ب(ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب روزه�ای بس�تری ش�دن بیم�ار چق�در بای�د ب�زرگ ب(ی�ک بیمارس�تان ب�ر حس�ب روزه�ای بس�تری ش�دن بیم�ار چق�در بای�د ب�زرگ باشد تا هزینه اقامت یک روز بیمار به حداقل برسد؟باشد تا هزینه اقامت یک روز بیمار به حداقل برسد؟

XC 00013.047000002

xxx

cy 00013.0

4700000

000013.04700000

2

xdxdy

Page 21: فصل دوم

ج(پاسخ شما هزینه اقامت یک روز بیمار را به حداقل ج(پاسخ شما هزینه اقامت یک روز بیمار را به حداقل می رساند یا به حداکثر؟می رساند یا به حداکثر؟

از آنجائیکه باید مثبت باشد . از آنجائیکه باید مثبت باشد . باید در نقطه حداقل باشد. باید در نقطه حداقل باشد.yyپس پس

بیمارس�تان در بیم�ار اق�امت روزه�ای تع�داد بیمارس�تان د(آی�ا در بیم�ار اق�امت روزه�ای تع�داد د(آی�ا ک�ارایی ب�رای مناس�بی بیم�ار(معی�ار ک�ارایی )بس�تری ش�دن ب�رای مناس�بی بیم�ار(معی�ار )بس�تری ش�دن از بعض�ی بیم�ا�ری زی�را ؟خ�یر �، اس�ت� از ب�یمارس�تان بعض�ی بیم�ا�ری زی�را ؟خ�یر �، اس�ت� ب�یمارس�تان ب�ه نی�از� باش�د �و خطرن�اک� اس�ت ممک�ن ب�ه بیم�اران نی�از� باش�د �و خطرن�اک� اس�ت ممک�ن بیم�اران

مراقبت شدیدتری داشته باشدمراقبت شدیدتری داشته باشد

xdx

yd32

2 )4700000(2

0dxdy

Page 22: فصل دوم

بهینه یابی توابع چند متغیرهبهینه یابی توابع چند متغیره

به منظ�ور تع�یین ارزش ه�ر ی�ک از دو متغ�یر مس�تقل ک�ه متغ�یر به منظ�ور تع�یین ارزش ه�ر ی�ک از دو متغ�یر مس�تقل ک�ه متغ�یر واب�س�ته را �ح�داکثر �می کن�د نی�از� ب�ه �دانس�تن اث�ر� نه�ای�ی ه�ر ی�ک واب�س�ته را �ح�داکثر �می کن�د نی�از� ب�ه �دانس�تن اث�ر� نه�ای�ی ه�ر ی�ک از� متغ�ی�ره�ا�ی� مس�تق�ل ب�ر �متغ�یر� و�ابس�ته� اس�ت، در ح�ا�لیک�ه� اث�ر از� متغ�ی�ره�ا�ی� مس�تق�ل ب�ر �متغ�یر� و�ابس�ته� اس�ت، در ح�ا�لیک�ه� اث�ر

تم�امی متغیرها�ی مس�تقل �دیگر ثابت �باشد.�تم�امی متغیرها�ی مس�تقل �دیگر ثابت �باشد.�

برای مثال ،اگر تابعی بدین صورت داشته باشیم: برای مثال ،اگر تابعی بدین صورت داشته باشیم:

) و دو متغ�یر مس�تقل هس�تند و متغ�یر وابس�ته می ) و دو متغ�یر مس�تقل هس�تند و متغ�یر وابس�ته می باش�د� . در چ�نی�ن ح�التی �نی�از �ب�ه دانس�تن ا�ث�ر نه�ا�یی � ب�ر باش�د� . در چ�نی�ن ح�التی �نی�از �ب�ه دانس�تن ا�ث�ر نه�ا�یی � ب�ر وق�تی ث�ا�بت اس�ت �و ن�یز در �مرحل�ه �بع�د ا�ث�ر نه�ایی � ب�ر وق�تی ث�ا�بت اس�ت �و ن�یز در �مرحل�ه �بع�د ا�ث�ر نه�ایی � ب�ر بد�س�ت �آوردن �این د�اریم. �ب�رای ا�س�ت و�ق�تی � � �ث�ابت بد�س�ت �آوردن �این د�اریم. �ب�رای ا�س�ت و�ق�تی � � �ث�ابت ا�ط�الع�ا�ت �مش�تق ج�زئ�ی را �یکب�ا�ر نس�ب�ت ب�ه� � و� ب�ار� دیگ�ر ا�ط�الع�ا�ت �مش�تق ج�زئ�ی را �یکب�ا�ر نس�ب�ت ب�ه� � و� ب�ار� دیگ�ر

نسب�ت به � � حساب می �کنیم.نسب�ت به � � حساب می �کنیم.

)(

Q2

Q2

Q2

Q1

Q1

Q1

),21

( QQf

Q1Q

2

Page 23: فصل دوم

توم�ان(و میلی�ون )ب�ه بنگ�اه ی�ک رابط�ه س�ود : توم�ان(و مث�ال میلی�ون )ب�ه بنگ�اه ی�ک رابط�ه س�ود : ن�وع 22مث�ال ن�وع محصول به شکل صریح عبارت است از :محصول به شکل صریح عبارت است از :

تولید چه مقادیری از دو کاال سود را حداکثر می تولید چه مقادیری از دو کاال سود را حداکثر می سؤال:سؤال:کند؟کند؟

ابت�دا از ت�ابع س�ود نس�بت ب�ه دو متغ�یر و مش�تق ج�زئی ابت�دا از ت�ابع س�ود نس�بت ب�ه دو متغ�یر و مش�تق ج�زئی م�ی گیریم �و آنها را �مساوی ص�فر قر�ار م�ی دهیم :م�ی گیریم �و آنها را �مساوی ص�فر قر�ار م�ی دهیم :

وق�تی س�ود ک�ه فهمیم می معادل�ه دو این همزم�ان وق�تی باح�ل س�ود ک�ه فهمیم می معادل�ه دو این همزم�ان باح�ل = � � و ب�ا چ�نین = � � و ب�ا چ�نین 933/2933/2= و = و 267/4267/4ح�د�اکث�ر اس�ت ک�ه ح�د�اکث�ر اس�ت ک�ه

میلیون تو�مان بد�ست می �آید. میلیون تو�مان بد�ست می �آید.311311ا�رقامی س�ودی ب�رابر با �ا�رقامی س�ودی ب�رابر با �

QQQQQQ 2122

2121 510108010020

Q2 Q1

0520100 211

QQQdd

052080 122

QQQdd

Q1

Q2

Page 24: فصل دوم

برای درک اینک�ه چ�را تم�امی مش�تقهای ج�زئی را بای�د مع�ادل ص�فر برای درک اینک�ه چ�را تم�امی مش�تقهای ج�زئی را بای�د مع�ادل ص�فر نش�اندهنده ش�کل نمایی�د.این توج�ه ذی�ل ش�کل ب�ه داد نش�اندهنده ق�رار ش�کل نمایی�د.این توج�ه ذی�ل ش�کل ب�ه داد ق�رار

اس�ت .این رابط�ه ی�ک روی�ه س�ه اس�ت .این رابط�ه ی�ک روی�ه س�ه رابط�ه بین و ورابط�ه بین و وبع�دی اس�ت و ح�داکثر مق�دار در نقط�ه ج�ایی اس�ت بع�دی اس�ت و ح�داکثر مق�دار در نقط�ه ج�ایی اس�ت ک�ه این روی�ه ص�اف اس�ت ب�ه دس�ت می آی�د. ص�فحه ای ک�ه ک�ه این روی�ه ص�اف اس�ت ب�ه دس�ت می آی�د. ص�فحه ای ک�ه مم�اس ب�ر این روی�ه در نقط�ه اس�ت م�وازی ص�فحه مم�اس ب�ر این روی�ه در نقط�ه اس�ت م�وازی ص�فحه خواه�د بود.ب�ه بی�ان دیگ�ر ش�یب آن نس�بت ب�ه ی�ا خواه�د بود.ب�ه بی�ان دیگ�ر ش�یب آن نس�بت ب�ه ی�ا بای�د ص�فر باش�د. بن�ابراین چ�ون مش�تقهای ج�زئی براب�ر ب�ا بای�د ص�فر باش�د. بن�ابراین چ�ون مش�تقهای ج�زئی براب�ر ب�ا این ش�یبها هس�تند در نقط�ه ح�داکثر آنه�ا ن�یز بای�د مع�ادل این ش�یبها هس�تند در نقط�ه ح�داکثر آنه�ا ن�یز بای�د مع�ادل

صفر باشند. صفر باشند.

Q1

Q1

Q2

Q2

MM

M

QQ21

Page 25: فصل دوم

مطالعه موردی : اثر تبلیغات بر فروش مطالعه موردی : اثر تبلیغات بر فروش ((TangTangشربت تنگ)شربت تنگ)

این مطالع�ه بوس�یله)یان�گ و روبیک�ام( در م�ورد تخمین اث�ر هزین�ه ه�ای تبلیغ�اتی ب�ر این مطالع�ه بوس�یله)یان�گ و روبیک�ام( در م�ورد تخمین اث�ر هزین�ه ه�ای تبلیغ�اتی ب�ر ف�روش �تن�گ ک�ه ب�وس�یله �ش�رک�ت ج�نر�ال ف�و�د عرض�ه می ش�ود ص�ور�ت پ�ذیر�فت و ف�روش �تن�گ ک�ه ب�وس�یله �ش�رک�ت ج�نر�ال ف�و�د عرض�ه می ش�ود ص�ور�ت پ�ذیر�فت و ا�رتب�اط� می�ان هزین�ه �ه�ای ت�بلیغ�اتی� و �ف�روش این� ک�اال د�ر دو ناحی�ه مختل�ف ب�دین ا�رتب�اط� می�ان هزین�ه �ه�ای ت�بلیغ�اتی� و �ف�روش این� ک�اال د�ر دو ناحی�ه مختل�ف ب�دین

صورت عنوان� گردید�: � � � � وصورت عنوان� گردید�: � � � � و

که و ف�روش ش�رکت ب�ه میلی�ون دالر ب�ه ت�رتیب در ناحی�ه اول و دوم می باش�ند که و ف�روش ش�رکت ب�ه میلی�ون دالر ب�ه ت�رتیب در ناحی�ه اول و دوم می باش�ند و �و ن�یز هزین�ه �ه�ای تبل�یغ�ا�ت در دو �ناحی�ه ی�ک و دو� ب�ه� میلی�ون �دالر در س�ال و �و ن�یز هزین�ه �ه�ای تبل�یغ�ا�ت در دو �ناحی�ه ی�ک و دو� ب�ه� میلی�ون �دالر در س�ال

هستند.هستند.

ال�ف(ش�رکت ج�نرال ف�ود ب�رای ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش تن�گ در ناحی�ه اول چق�در ال�ف(ش�رکت ج�نرال ف�ود ب�رای ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش تن�گ در ناحی�ه اول چق�در باید هزینه تبلیغات بپردازد؟باید هزینه تبلیغات بپردازد؟

ب(ش�رکت ج�نرال ف�ود ب�رای ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش تن�گ در ناحی�ه دوم چق�در ب(ش�رکت ج�نرال ف�ود ب�رای ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش تن�گ در ناحی�ه دوم چق�در باید هزینه تبلیغات بپردازد؟باید هزینه تبلیغات بپردازد؟

ج(نش�ان دهی�د ک�ه پاس�خهای ش�ما در خص�وص قس�متهای ال�ف و ب ف�روش را ب�ه ج(نش�ان دهی�د ک�ه پاس�خهای ش�ما در خص�وص قس�متهای ال�ف و ب ف�روش را ب�ه حداکثر میرساند نه حداقل؟حداکثر میرساند نه حداقل؟

د(آی�ا ش�ما ب�ه ش�رکت ج�نرال ف�ود توص�یه می کنی�د جهت ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش د(آی�ا ش�ما ب�ه ش�رکت ج�نرال ف�ود توص�یه می کنی�د جهت ب�ه ح�داکثر رس�اندن ف�روش Q ب�د�نبال� ح�داکثر� رس�اندن �س�ود هس�تند و Q ب�د�نبال� ح�داکثر� رس�اندن �س�ود هس�تند و ت�ن�گ تالش کن�د؟خ�یر� زی�را ش�ر�کتها� عموم�ا ت�ن�گ تالش کن�د؟خ�یر� زی�را ش�ر�کتها� عموم�ا

ح�اضر ن�یستند به �خاطر �افزای�ش ف�روش، س�ود را �کاهش د�هند.ح�اضر ن�یستند به �خاطر �افزای�ش ف�روش، س�ود را �کاهش د�هند.

AAS 2111 5.1510 AAS 2

222 5.0412

S1S2A1A2

3

5035 11

1

1 AAAdSd

404 222

2 AAAdSd

SحداکثرAdSd

121

12

3 SحداکثرAdSd

222

22

1

Page 26: فصل دوم

بهینه یابی مقیدبهینه یابی مقید

اک�ثر مس�ائل تص�میم گ�یری ک�ه م�دیران ب�ا آنه�ا مواجهن�د اک�ثر مس�ائل تص�میم گ�یری ک�ه م�دیران ب�ا آنه�ا مواجهن�د Q Q مقی�د ه�س�تند.� ب�ه �عن�وان �مث�ال� م�دیرا�ن ب�ا�زار ی�ابی غالب�ا مقی�د ه�س�تند.� ب�ه �عن�وان �مث�ال� م�دیرا�ن ب�ا�زار ی�ابی غالب�ا

� ، ب�ه� ح�داکثر �ک�ردن ف�روش� ، �م�وظ�ف ب�ه� ح�داکثر �ک�ردن ف�روش� ب�هم�وظ�ف ب�همش�روط در � در �مش�روط ب�ر�خی ت�بلیغ�ات�ی ه�س�تند.�در ب�ر�خی ن�ظ�ر �گ�رفتن� �بود�ج�ه �ث�اب�ت ت�بلیغ�ات�ی ه�س�تند.�در ن�ظ�ر �گ�رفتن� �بود�ج�ه �ث�اب�ت م�وارد� ک�ه �مع�ادل�ه چ�ن�د�ان پ�ی�چی�ده �ن�یس�ت �می �ت�وان ب�ا� م�وارد� ک�ه �مع�ادل�ه چ�ن�د�ان پ�ی�چی�ده �ن�یس�ت �می �ت�وان ب�ا� ح�ل� مع�ادل�ه �قی�د ب�ر�ای� یکی� �از م�ت�غی�ره�ای �تص�می�م گ�یری ح�ل� مع�ادل�ه �قی�د ب�ر�ای� یکی� �از م�ت�غی�ره�ای �تص�می�م گ�یری ه�دف در� �ت�ابع متغ�ی�ر مق�دار �آ�ن ق�رارد�ادن ه�دف و� �س�پس� در� �ت�ابع متغ�ی�ر مق�دار �آ�ن ق�رارد�ادن و� �س�پس� ا�نج�ام� �داد.این �ر�وش� مس�أ�له ر�ا� ب�ه ی�ک� �مس�أ�ل�ه ح�دا�کثر ا�نج�ام� �داد.این �ر�وش� مس�أ�له ر�ا� ب�ه ی�ک� �مس�أ�ل�ه ح�دا�کثر ی�ا �ح�داق�ل ک�ر�د�ن غ�یر �مق�ی�د� �تب�د�یل� م�ی� کن�د� ک�ه ب�ه� �وس�یله ی�ا �ح�داق�ل ک�ر�د�ن غ�یر �مق�ی�د� �تب�د�یل� م�ی� کن�د� ک�ه ب�ه� �وس�یله

ر�وشهای ش�رح �داده ش�ده قب�لی قاب�ل حل� است.ر�وشهای ش�رح �داده ش�ده قب�لی قاب�ل حل� است.

Page 27: فصل دوم

مثال : فرض کنید بنگاهی محصوالت خود را در دو خط مثال : فرض کنید بنگاهی محصوالت خود را در دو خط مختلف مونتاژ و تولید می کند و تابع هزینه کل مختلف مونتاژ و تولید می کند و تابع هزینه کل

آن بدین صورت است:آن بدین صورت است:11--22رابطه رابطه

دو این ترکی�بی تولی�د هزین�ه ح�داقل تع�یین پی در دو مدیریت این ترکی�بی تولی�د هزین�ه ح�داقل تع�یین پی در مدیریت واح�د از آنه�ا در مجم�وع واح�د از آنه�ا در مجم�وع 2020محص�ول ، مش�روط ب�ه تولی�د محص�ول ، مش�روط ب�ه تولی�د

اس�ت. پس مس�أله بهین�ه ی�ابی آن ب�دین ص�ورت اس�ت: اس�ت. پس مس�أله بهین�ه ی�ابی آن ب�دین ص�ورت اس�ت: 22--22 رابط�ه رابط�ه

حداقل حداقل

33--22رابطه رابطه مشروط بهمشروط به

Q2Q

1

QQQQTC 2121

21 .63

QQQQTC 2121

21 .63 2021 QQ QQ 11 20

QQQQTC22

222 )20(6)20(3

2

QQTC 222 101401200

7020140 222

QQQddTC

2022

2

Q

TCd

13207 11 QQ

710)7)(13()7(6)13(3 22 TC

Page 28: فصل دوم

ضریب افزایش الگرانژضریب افزایش الگرانژروش الگران�ژ جهت ح�ل مس�ائل بهین�ه ی�ابی مقی�د دس�تورالعملی اس�ت ک�ه در روش الگران�ژ جهت ح�ل مس�ائل بهین�ه ی�ابی مقی�د دس�تورالعملی اس�ت ک�ه در آ�ن� ت�ا�بعی ر�ا ک�ه� ش�امل ت�رک�ی�بی� ا�ز ت�اب�ع� ه�دف �و �ش�رایط� �مقی�د� اس�ت ب�هین�ه آ�ن� ت�ا�بعی ر�ا ک�ه� ش�امل ت�رک�ی�بی� ا�ز ت�اب�ع� ه�دف �و �ش�رایط� �مقی�د� اس�ت ب�هین�ه م�ی� کن�د.تا�بع ت�رکی�بی �بدس�ت� آم�ده ر�ا ک�ه ت�ا�بع الگ�ران�ژ� می ن�امن�د ب�ه ص�ورتی� م�ی� کن�د.تا�بع ت�رکی�بی �بدس�ت� آم�ده ر�ا ک�ه ت�ا�بع الگ�ران�ژ� می ن�امن�د ب�ه ص�ورتی�

ا�ست �که موارد ذ�یل را تضم�ین �می �نماید:ا�ست �که موارد ذ�یل را تضم�ین �می �نماید:

-وق�تی ب�ه ح�داکثر ی�ا ح�داقل می رس�د ت�ابع ه�دف اص�لی ن�یز ح�داقل ی�ا ح�داکثر -وق�تی ب�ه ح�داکثر ی�ا ح�داقل می رس�د ت�ابع ه�دف اص�لی ن�یز ح�داقل ی�ا ح�داکثر 11خواهد شد.خواهد شد.

-تمامی شرایط قیود تأمین می شود.-تمامی شرایط قیود تأمین می شود.22

بدین صورت می توان عمل کرد :بدین صورت می توان عمل کرد :

Q در ی�ک ط�رف عالمت تس�اوی جم�ع Q در ی�ک ط�رف عالمت تس�اوی جم�ع قدم اول: تم�امی جمالت قی�د را مج�ددا قدم اول: تم�امی جمالت قی�د را مج�دداآوری می کنیم.آوری می کنیم.

قدم دوم : ش�کل اخ�یر ت�ابع قی�د را در ض�ریب مجه�ول ض�رب نم�وده و ب�ه قدم دوم : ش�کل اخ�یر ت�ابع قی�د را در ض�ریب مجه�ول ض�رب نم�وده و ب�ه تابع هدف اضافه می نماییم.تابع هدف اضافه می نماییم.

قدم س�وم: از ت�ابع ه�دف یکب�ار نس�بت ب�ه و یکب�ار نس�بت ب�ه و در نه�ایت قدم س�وم: از ت�ابع ه�دف یکب�ار نس�بت ب�ه و یکب�ار نس�بت ب�ه و در نه�ایت نس�بت �ب�ه � � � مش�تق می �گ�یر�یم و� ب�ا� ص�فر �ق�را�ردا�د�ن م�ع�ادالت �بدس�ت آم�ده نس�بت �ب�ه � � � مش�تق می �گ�یر�یم و� ب�ا� ص�فر �ق�را�ردا�د�ن م�ع�ادالت �بدس�ت آم�ده

بدس���ت را و ��� و� ��� ��� بدس���ت مق���ا�دیر ��� را و ��� و� ��� ��� مق���ا�دیر ��� می آوریم.می آوریم.

Q1

Q2

Q2Q

1

Page 29: فصل دوم

ب�ه پی در بنگ�اه گ�یریم: را در نظ�ر می قب�ل ب�ه مث�ال :مس�ئله پی در بنگ�اه گ�یریم: را در نظ�ر می قب�ل مث�ال :مس�ئله حداقل رساندن تابعحداقل رساندن تابع

مش�روط ب�ه قی�د مش�روط ب�ه قی�د است. است.

و طبق قواعد ذکر شده بدین صورت عمل می کنیم :و طبق قواعد ذکر شده بدین صورت عمل می کنیم :

QQQQTC 2122

21 .63 2021 QQ

02021 QQ

)20(.63 212122

21 QQQQQQLTC

06 211

QQQdLd TC

012 122

QQQdLd TC

020 21 QQdLd TC

01370)12(6 212121 QQQQQQ

1370)137()14077( 122121 QوQQQQQ

7107)13(606 21 QQ

Page 30: فصل دوم

مفهوم »اضافی« در مقابل مفهوم »نهایی« مفهوم »اضافی« در مقابل مفهوم »نهایی« در تحلیلهای اقتصادیدر تحلیلهای اقتصادی

رواب�ط رواب�ط کاربرد و نه�ایینه�اییکاربرد بس�یار مهم م�دیریت گیریه�ای تص�میم در و بس�یار مهم م�دیریت گیریه�ای تص�میم در مح�دو�د اس�ت �و دلی�ل �این مح�دو�دیت این اس�ت �ک�ه �نه�ای�ی ه�ا فق�ط مح�دو�د اس�ت �و دلی�ل �این مح�دو�دیت این اس�ت �ک�ه �نه�ای�ی ه�ا فق�ط ن�ت�ایج� منت�ج از تغی�یرات ک�و�چکی در� ی�ک متغ�یر� را ا�ن�دازه گ�یری می ن�ت�ایج� منت�ج از تغی�یرات ک�و�چکی در� ی�ک متغ�یر� را ا�ن�دازه گ�یری می م�وض�وع م�دیریتی از �تص�میمات� بس�یاری در� حالیک�ه در� م�وض�وع کن�ن�د، م�دیریتی از �تص�میمات� بس�یاری در� حالیک�ه در� کن�ن�د، م�و�رد ن�ظ�ر دی�دن ا�ث�ر تغی�یرا�ت� متغ�ی�ری �اس�ت ک�ه� دام�ن�ه تغی�یرا�تش م�و�رد ن�ظ�ر دی�دن ا�ث�ر تغی�یرا�ت� متغ�ی�ری �اس�ت ک�ه� دام�ن�ه تغی�یرا�تش

بسیار وسیع است.بسیار وسیع است.

تعمیم مفه�وم نه�ایی توس�ط اقتص�اددانان اس�ت. تجزی�ه تعمیم مفه�وم نه�ایی توس�ط اقتص�اددانان اس�ت. تجزی�ه اض�افیاض�افیواژه واژه مخت�ل�ف کلی �اعم�ال نت�یج�ه آز�م�ودن ش�ا�مل اض�اف�ی تح�لی�ل مخت�ل�ف و کلی �اعم�ال نت�یج�ه آز�م�ودن ش�ا�مل اض�اف�ی تح�لی�ل و

مدیریت بر درآمدها ، هزینه ها و سود است.مدیریت بر درآمدها ، هزینه ها و سود است.

تغی�یر اض�افی ب�ه عن�وان تغی�یر ک�ل منتج از تص�میم تعری�ف می شود.تغی�یر اض�افی ب�ه عن�وان تغی�یر ک�ل منتج از تص�میم تعری�ف می شود.

به ط�ور مث�ال : درآم�د اض�افی مرب�وط ب�ه اض�افه ک�ردن ی�ک محص�ول به ط�ور مث�ال : درآم�د اض�افی مرب�وط ب�ه اض�افه ک�ردن ی�ک محص�ول جدی�د ب�ه خ�ط ت�ولی�د بنگ�ا�ه ، ت�ف�اوت در�آم�د ک�ل ب�نگ�ا�ه می �باش�د ، جدی�د ب�ه خ�ط ت�ولی�د بنگ�ا�ه ، ت�ف�اوت در�آم�د ک�ل ب�نگ�ا�ه می �باش�د ،

تو�لی�����د جد�ی�����د محص�����ول ک�����ه تو�لی�����د هنگ�����امی� جد�ی�����د محص�����ول ک�����ه هنگ�����امی� می شود و هنگامی که محصول جدید تولید نمی شود.می شود و هنگامی که محصول جدید تولید نمی شود.

Page 31: فصل دوم

برنامه ریزی خطیبرنامه ریزی خطی

برنام�ه ری�زی خطی تک�نیکی تحلیلی اس�ت ک�ه ب�رای ح�ل برنام�ه ری�زی خطی تک�نیکی تحلیلی اس�ت ک�ه ب�رای ح�ل مس�ائل بهین�ه ی�ابی مقی�د بک�ار می رود و ب�ر خالف تکنی�ک مس�ائل بهین�ه ی�ابی مقی�د بک�ار می رود و ب�ر خالف تکنی�ک الگران�ژ ک�ه در آن قی�ود بای�د ب�ه ش�کل تس�اوی باش�ند در الگران�ژ ک�ه در آن قی�ود بای�د ب�ه ش�کل تس�اوی باش�ند در برنام�ه ری�زی خطی قی�ود می توانن�د ب�ه ش�کل نامعادل�ه برنام�ه ری�زی خطی قی�ود می توانن�د ب�ه ش�کل نامعادل�ه

نیز باشند.نیز باشند.مفروضات برنامه ریزی خطی

- تابع هدف و قیود خطی هستند.1-مس�ائل اص�لی در تص�میم گ�یری ح�ول مح�ور درآم�د، هزین�ه 2

و ترکیب آنها یعنی سود دور می زند.قیمت 3 و عوام�ل قیمت خ�الص رق�ابت ش�رایط -تحت

محص�والت ث�ابت می مان�دو ب�ازده نس�بت ب�ه مقی�اس تولی�د نیز ثابت فرض می شود.

ب�رای تص�میم گ�یری در ط�ول دامن�ه 4 -برنام�ه ری�زی خطی های محدود محصول بکار می رود.

Page 32: فصل دوم

حل مسائل برنامه ریزی خطی؛ روش حل مسائل برنامه ریزی خطی؛ روش ترسیمیترسیمی

در ق�دم اول : طب�ق ص�ورت مس�ئله ت�ابع ه�دف و قی�ود آن�را تنظیم می در ق�دم اول : طب�ق ص�ورت مس�ئله ت�ابع ه�دف و قی�ود آن�را تنظیم می نماییم.نماییم.

قدم دوم: نامع�ادالت بدس�ت آم�ده را ح�ل نم�وده و اع�داد بدس�ت آم�ده را قدم دوم: نامع�ادالت بدس�ت آم�ده را ح�ل نم�وده و اع�داد بدس�ت آم�ده را �م�شخص �می کن�یم. �م�شخص �می کن�یم.YY و� و�XXدر� �نمود�ار ترس�یمی ب�ا ت�وجه ب�ه محو�ر در� �نمود�ار ترس�یمی ب�ا ت�وجه ب�ه محو�ر

قدم س�وم: بع�د از رس�م تم�امی قی�د نه�اده ه�ا ناحی�ه مش�ترک ی�ا فض�ای قدم س�وم: بع�د از رس�م تم�امی قی�د نه�اده ه�ا ناحی�ه مش�ترک ی�ا فض�ای قابل قبول را تعیین می نماییم.قابل قبول را تعیین می نماییم.

قدم چه�ارم: ب�ا رس�م خط�وط س�ود یکس�ان ب�ر روی مح�ور مختص�اتی ک�ه قدم چه�ارم: ب�ا رس�م خط�وط س�ود یکس�ان ب�ر روی مح�ور مختص�اتی ک�ه برنام�ه ترس�ی�می� �مس�أله� ر�س�م ش�ده �ان�د ج�واب� آن در� برنام�ه ق�ی�ود� �مس�أل�ه� ترس�ی�می� �مس�أله� ر�س�م ش�ده �ان�د ج�واب� آن در� ق�ی�ود� �مس�أل�ه�

بدس�����������ت بدس�����������ت ری�����������ز�ی �����������خطی �����������را ری�����������ز�ی �����������خطی �����������را می آوریم.می آوریم.

و در نه�ایت : )در ص�ورت ح�داکثر ب�ودن ت�ابع ه�دف( نقط�ه ای ک�ه تم�اس و در نه�ایت : )در ص�ورت ح�داکثر ب�ودن ت�ابع ه�دف( نقط�ه ای ک�ه تم�اس نا�ح�ی�ه �قاب�ل ق�ب�و�ل ا�س�ت ر�ا �ب�ه عن�و�ان ب�ا� نا�ح�ی�ه �قاب�ل ق�ب�و�ل ا�س�ت ر�ا �ب�ه عن�و�ان ب�ا�الت�ر�ین �خ�ط س�ود� یک�س�ان� ب�ا� ب�ا�الت�ر�ین �خ�ط س�ود� یک�س�ان�

ا�ن�تخ�����������اب� مس�����������أ�له ا�ن�تخ�����������اب� ج�����������و�اب مس�����������أ�له ج�����������و�اب می نماییم.می نماییم.

Page 33: فصل دوم

مث�ال :ی�ک بنگ�اه اقتص�ادی در پی ب�ه ح�داکثر رس�اندن س�ود ک�ل مث�ال :ی�ک بنگ�اه اقتص�ادی در پی ب�ه ح�داکثر رس�اندن س�ود ک�ل تولی�دش �در ی�ک د�وره تولی�دش �در ی�ک د�وره YY �و �وXXح�اص�ل �ا�ز ف�ر�وش� دو �ک�االی ح�اص�ل �ا�ز ف�ر�وش� دو �ک�االی

زم�ان�ی م�عین �اس�ت. اگ�ر �ف�رض� ش�و�د ک�ه� �س�ود� ن�ا�خ�الص ه�ر زم�ان�ی م�عین �اس�ت. اگ�ر �ف�رض� ش�و�د ک�ه� �س�ود� ن�ا�خ�الص ه�ر 1212و�اح�د �یع�ن�ی� م�ا�ز�اد ق�ی�مت �نس�بت ب�ه� متو�س�ط ه�ز�ین�ه مت�غ�یر و�اح�د �یع�ن�ی� م�ا�ز�اد ق�ی�مت �نس�بت ب�ه� متو�س�ط ه�ز�ین�ه مت�غ�یر

ی 99 و و XXتوم�ا�ن ب�را�ی �ک�االی �توم�ا�ن ب�را�ی �ک�االی � ی �توم�ا�ن� ب�رای ک�اال� باش�د ت�ابع باش�د ت�ابع YY �توم�ا�ن� ب�رای ک�اال�ه�دف چگ�ونه است؟ه�دف چگ�ونه است؟

تولی�دی عام�ل س�ه از ک�اال دو این تولی�د تولی�دی اگ�ردر عام�ل س�ه از ک�اال دو این تولی�د CCووBBووAAاگ�ردر اس�تفاده �ش�ود و م�ق�ادیر ه�ری�ک از ا�ین عوام�ل در ه�ر دوره اس�تفاده �ش�ود و م�ق�ادیر ه�ری�ک از ا�ین عوام�ل در ه�ر دوره

�واح�د باش�د و مق�دار اس�تفاده �واح�د باش�د و مق�دار اس�تفاده 2121وو32،1032،10زم�ان�ی ب�ه ت�رتیب زم�ان�ی ب�ه ت�رتیب ی ی از� �س�ه عا�م�ل ت�ول�ی�دی� ب�ر�ای �تولی�د ه�ر واح�د ا�ز ک�اال� ب�ه ب�ه XXاز� �س�ه عا�م�ل ت�ول�ی�دی� ب�ر�ای �تولی�د ه�ر واح�د ا�ز ک�اال�

زم �ب�ر�ا�ی تولی�د ه�ر واح�د ا�ز 00 �و �و 4،14،1ت�رتیبت�رتیب زم �ب�ر�ا�ی تولی�د ه�ر واح�د ا�ز واح�د� و مق�د�ار ال� واح�د� و مق�د�ار ال�ی � ی �ک�اال� ت�رتیب yyک�اال� ب�ه ت�رتیب ب�ه و �2،12،1 و � ب�هی�ن�ه �دو 33 ت�رک�یب با�ش�د �، ب�هی�ن�ه �دو ت�رک�یب با�ش�د �،

محص�و�ل �و همچن�ین حداکث�ر �سود� ن�اخالص� را �بد�ست آورید:محص�و�ل �و همچن�ین حداکث�ر �سود� ن�اخالص� را �بد�ست آورید:

Page 34: فصل دوم

راه حل : راه حل : حداکثرحداکثر

مشروط بهمشروط به

با رسم این تابع خطی در صفحه، نقاط قابل دسترس شامل نقاط با رسم این تابع خطی در صفحه، نقاط قابل دسترس شامل نقاط داخل و روی اضالع مثلث خواهد بود.داخل و روی اضالع مثلث خواهد بود.

و همچنین: مثلث و همچنین: مثلث

و در نهایت : تابع خطی با عرض از مبدأ ثابتو در نهایت : تابع خطی با عرض از مبدأ ثابت

QQ yx 912

3224 QQ yx

10QQ yx

0Qy 0Qx

213 Q y

3224 QQ yx QQ xx 4322 QQ xy 216

AOA

BOB 10QQ yx

QQ xy 10

213 Q yCC 7Qy

M

A

A

B

B

C C

ناحیه قابل قبول

نقطه بهینه

Page 35: فصل دوم

خط�وط س�ود خط�وط س�ود به منظ�ور ی�افتن به�ترین ت�رکیب از دو ک�اال از به منظ�ور ی�افتن به�ترین ت�رکیب از دو ک�اال از ی�ا س�ود یکس�انیکس�ان یکس�ان ک�نیم. خ�ط س�ود اس�تفاده می ی�ا س�ود یکس�ان ک�نیم. خ�ط س�ود اس�تفاده می

همس�ان مک�ان هندس�ی ترکیب�اتی از و اس�ت ک�ه همس�ان مک�ان هندس�ی ترکیب�اتی از و اس�ت ک�ه سود کل یکسانی داشته باشد.سود کل یکسانی داشته باشد.

تابع سود یکسان در این مسئله :تابع سود یکسان در این مسئله :

آوردن بدس�ت و یکس�ان خط�وط رس�م ب�ا : نه�ایت در آوردن و بدس�ت و یکس�ان خط�وط رس�م ب�ا : نه�ایت در و س�ود MMنقط�ه نقط�ه خ�ط مم�اس نقط�ه ب�االترین عن�وان س�ود ب�ه خ�ط مم�اس نقط�ه ب�االترین عن�وان ب�ه

یکسان با ناحیه قابل قبول داریم : یکسان با ناحیه قابل قبول داریم :

QQ yx 912 QQ xy 912

9

108)]49()612[(

Qx

Qy

0

4

8

12

16

20

0 3 6 9 12 15

36$

72$

108$

144$

M

Page 36: فصل دوم

حل مسائل برنامه ریزی خطی ؛ به حل مسائل برنامه ریزی خطی ؛ به روش جبریروش جبری

ج\بر س\اده:11 از اس\تفاده ج\بر س\اده:- از اس\تفاده و - ه�دف ت�ابع ش�یب مقایس�ه ب�ا و ه�دف ت�ابع ش�یب مقایس�ه ب�ا ش�یبه�ای �ت�واب�ع قی�ود� می �ت�وان�یم �پ�ر ش�یب �ت�ری�ن� قی�د جن�بی� و ک�م ش�یبه�ای �ت�واب�ع قی�ود� می �ت�وان�یم �پ�ر ش�یب �ت�ری�ن� قی�د جن�بی� و ک�م ش�ی�ب ت�ر�ین قی�د �جن�بی ر�اب�ی�ابی�م. ت�ق�اطع �ای�ن� دو قی�د� ج�واب �نقط�ه ش�ی�ب ت�ر�ین قی�د �جن�بی ر�اب�ی�ابی�م. ت�ق�اطع �ای�ن� دو قی�د� ج�واب �نقط�ه

بهینه خواهد بود.بهینه خواهد بود.

ب�رای آنک�ه معادل�ه قی�دها را ب�رای آنک�ه معادل�ه قی�دها را - اس\تفاده از متغیره\ای کمکی:- اس\تفاده از متغیره\ای کمکی:22ت قی�د م�تغ�یر ت قی�د م�تغ�یر ب�ه� ص�ورت� تس�اوی� در آو�ریم در ه�ر ی�ک ا�ز م�ع�اد�ال� ب�ه� ص�ورت� تس�اوی� در آو�ریم در ه�ر ی�ک ا�ز م�ع�اد�ال�

کمکی اضافه می نماییم.کمکی اضافه می نماییم.

، مق�دار واح�دهای بک�ار نرفت�ه و ی�ا ظ�رفیت بیک�اری را ، مق�دار واح�دهای بک�ار نرفت�ه و ی�ا ظ�رفیت بیک�اری را متغ�یر کمکیمتغ�یر کمکیک�ه �در فرآین�د خاص�ی ب�اق�ی می �مان�د، ان�دازه �گ�یری �می کن�د.اگر ک�ه �در فرآین�د خاص�ی ب�اق�ی می �مان�د، ان�دازه �گ�یری �می کن�د.اگر ت�م�امی واح�د�های ی�ک ع�ام�ل بک�ا�ر گرفت�ه ش�ده� ص�فر� باش�د درنتیج�ه ت�م�امی واح�د�های ی�ک ع�ام�ل بک�ا�ر گرفت�ه ش�ده� ص�فر� باش�د درنتیج�ه

متغی�ر ک�مکی �صفر خو�اهد بود.�متغی�ر ک�مکی �صفر خو�اهد بود.�

4,610,3224 QQQQQQ yxyxyx

Page 37: فصل دوم

مثال : مثال : حداکثر حداکثر

مشروط به مشروط به

QQ yx 912 3224 SQQ Ayx

1011 SQQ Byx

213 SQ Cy

0Qx0Qy0S A0SB0SC

0,3224 SQQ AYX

0,213 SQ CY

0,10 SQQ BYXتعیین متغیرهای صفر در گوشه های

ناحیه قابل قبول

مقدار تولید Y

مقدار تولید XQXQYS AS BSC مقدار تابع مقدار تابع

هدفهدف) سود ) سود ناخالص(ناخالص(

نقاط گوشه اینقاط گوشه ای

002121101032320000oo6363003318187700kk99990000667733LL

**108108 9900004466MM9696212122000088NN

حل جبری مسأله برنامه ریزی خطی

مقدار یا ارزش متغیرها

K L

MNO

Page 38: فصل دوم

ب�رای ه�ر مس�أله ب�رای ه�ر مس�أله - اس\تفاده از دو گ\انگی در برنام\ه ری\زی خطی:- اس\تفاده از دو گ\انگی در برنام\ه ری\زی خطی:33 ری�زی� خطی� ی�ک مس�أل�ه ب�ه ح�داقل ری�زی� خطی� ی�ک مس�أل�ه ب�ه ح�داقل برنام�ه برنام�هب�ه� ح�داک�ثر �رس�اندن د�رب�ه� ح�داک�ثر �رس�اندن د�ر

رس�اندن �قری�ن�ه وج�ود� دارد وبا�لعکس�. این زوج از مس�ائل مرتب�ط رس�اندن �قری�ن�ه وج�ود� دارد وبا�لعکس�. این زوج از مس�ائل مرتب�ط ری�زی برنام�ه� مس�ائل� ر�ا نم�ودن ح�د�اقل� و� نم�ودن ح�داکثر� ری�زی ب�ا برنام�ه� مس�ائل� ر�ا نم�ودن ح�د�اقل� و� نم�ودن ح�داکثر� ب�ا خطی»ا�ص�لی« و »د�وگان�ه« می نام�ن�د.قرینگی ی�ا� دوگ�انگی بین خطی»ا�ص�لی« و »د�وگان�ه« می نام�ن�د.قرینگی ی�ا� دوگ�انگی بین ی�ک� مفه�وم � م�قی�د وح�داقل �ک�ردن �مقی�د ک�ردن ی�ک� مفه�وم �مس�ائ�ل ح�داکثر م�قی�د وح�داقل �ک�ردن �مقی�د ک�ردن مس�ائ�ل ح�داکثر

کل�یدی در� اقتصاد� مد�یریت �است.کل�یدی در� اقتصاد� مد�یریت �است.

دالیل اهمیت دوگانگی :دالیل اهمیت دوگانگی :

- دوگ�انگی نش�اندهنده ق�رینگی بین ارزش تولی�دات ی�ک بنگ�اه و - دوگ�انگی نش�اندهنده ق�رینگی بین ارزش تولی�دات ی�ک بنگ�اه و 11ارزش منابع یا نهادهای بکار رفته در تولید است.ارزش منابع یا نهادهای بکار رفته در تولید است.

-ممکن اس�ت ح�ل مس�أله برنام�ه ری�زی »اص�لی« مش�کل باش�د و -ممکن اس�ت ح�ل مس�أله برنام�ه ری�زی »اص�لی« مش�کل باش�د و 22ب�ا �توج�ه �ب�ه� تق�ارن� بین� مس�أله� اص�ل�ی و دو�گان�ه آن م�ی� ت�وان از �ب�ا �توج�ه �ب�ه� تق�ارن� بین� مس�أله� اص�ل�ی و دو�گان�ه آن م�ی� ت�وان از �

رس�ید.�به ا�ص�لی م�س�أ�ل�ه ج�و�اب مس�أله �دوگ�ان�ه� �ب�ه رس�ید.�به ط�ری�ق� �ح�ل ا�ص�لی م�س�أ�ل�ه ج�و�اب مس�أله �دوگ�ان�ه� �ب�ه ط�ری�ق� �ح�ل خص�وص اگ�ر� مس�أ�له �اص�ل�ی �ح�داق�ل� ک�ر�دن� �باش�د ب�ا� ح�ل دوگان�ه �آن �خص�وص اگ�ر� مس�أ�له �اص�ل�ی �ح�داق�ل� ک�ر�دن� �باش�د ب�ا� ح�ل دوگان�ه �آن �

راح�ت ت�ر ب�ه جواب �خواهیم رسید�. � راح�ت ت�ر ب�ه جواب �خواهیم رسید�. �

Page 39: فصل دوم

مثال : حداقل مثال : حداقل حداکثر حداکثر

مشروط بهمشروط به

برای ح�ل مس�أله برنام�ه ری�زی دوگان�ه ف�وق بای�د توج�ه ک�رد ک�ه برای ح�ل مس�أله برنام�ه ری�زی دوگان�ه ف�وق بای�د توج�ه ک�رد ک�ه چ�ون د�و ق�ی�د وج�ود �دارد� ، ح�داکثر ت�ع�داد متغ�یره�ایی ک�ه در چ�ون د�و ق�ی�د وج�ود �دارد� ، ح�داکثر ت�ع�داد متغ�یره�ایی ک�ه در

هر گوش�ه مخا�لف صفر� هستن�د فق�ط دو �مورد �خواهد �بود.هر گوش�ه مخا�لف صفر� هستن�د فق�ط دو �مورد �خواهد �بود.

QQ yx 912

3224 QQ yx

1011 QQ yx

213 Qy0Qy 0Qx

VVVZ CBA 211032

1214 VV BA

9312 VVV CBA

1214 RVV XBA

9312 RVVV YCBA

0VC0V A 0V B0RX 0RY

Page 40: فصل دوم

بنابراین می توان سه متغیر را برابر صفر قرار داد . معادالت قید را جهت بنابراین می توان سه متغیر را برابر صفر قرار داد . معادالت قید را جهت تعیین مقادیر دو متغیر دیگر حل کرد:تعیین مقادیر دو متغیر دیگر حل کرد:

چون و نمی توانند منفی باشند این جواب خارج از مجموعه قابل چون و نمی توانند منفی باشند این جواب خارج از مجموعه قابل قبول خواهد بود و بدین ترتیب مابقی مقادیر را طبق جدول بدست می قبول خواهد بود و بدین ترتیب مابقی مقادیر را طبق جدول بدست می

آوریم.آوریم.

0 VVV CBA

1212)0(1)0(4 RR XX 99)0(3)0(1)0(2 RR YY

RXRY

کل ارزش منتسب کل ارزش منتسب نهاده ها برای بنگاه نهاده ها برای بنگاه

)تومان()تومان(

مقدار متغیرمقدار متغیر

شماره شماره جوابجواب RRYYRRXXVVCCVVBBVVAA

aa99--1212--00000011

aa001212--33000022

aabb00bb000033

aa0033--00990044

33000012120055 تومان تومان120120

aa000011--12120066

006600005/45/477 تومان تومان124124

aa33--0000003388

000011003399 تومان تومان117117

000000665/15/11010 تومان تومان108108

Page 41: فصل دوم

نه�اده ه�ای 1010در ج�واب ش�ماره در ج�واب ش�ماره ب�ه نه�اده ه�ای ک�ل ارزش منتس�ب ب�ه CC و وBBووAA ک�ل ارزش منتس�ب حداقل اس�ت و به �این م�وارد می� توان توج�ه کرد :�حداقل اس�ت و به �این م�وارد می� توان توج�ه کرد :�

توم�ان اس�ت ک�ه توم�ان اس�ت ک�ه 108108- ک�ل ارزش منتس�ب ب�ه من�ابع بنگ�اه براب�ر ب�ا - ک�ل ارزش منتس�ب ب�ه من�ابع بنگ�اه براب�ر ب�ا 11Q ب�راب�ر ب�ا ح�داکثر س�ود �ناخ�الص�ی می� باش�د ک�ه �از طری�ق ح�ل Q ب�راب�ر ب�ا ح�داکثر س�ود �ناخ�الص�ی می� باش�د ک�ه �از طری�ق ح�ل دقی�ق�ا دقی�ق�ا

مسائل اصلی بدست آمد.مسائل اصلی بدست آمد. براب�ر ص�فر اس�ت. چ�ون قیمت س�ایه ارزش براب�ر ص�فر اس�ت. چ�ون قیمت س�ایه ارزش CC-قیمت س�ایه نه�اده-قیمت س�ایه نه�اده22

ن�هایی یک نها�ده را� برا�ی بنگاه �اندازه �گیری �می کند.ن�هایی یک نها�ده را� برا�ی بنگاه �اندازه �گیری �می کند.نه�اده 33 نه�اده -قیمت س�ایه براب�ر AA-قیمت س�ایه براب�ر این قیمت س�ایه 5/15/1 توم�ان اس�ت. این قیمت س�ایه توم�ان اس�ت.

از� و�اح�د �اض�ا�فی ی�ک ده�د �اگ�ر م�ی از� نش�ان و�اح�د �اض�ا�فی ی�ک ده�د �اگ�ر م�ی ا�ف�زوده ش�ود س�ود AAنش�ان ا�ف�زوده ش�ود س�ود توم�ان اف�زایش می یا�ب�د زی�را قیمت س�ایه توم�ان اف�زایش می یا�ب�د زی�را قیمت س�ایه 5/15/1نا�خ�الص ک�ل بن�گ�اه نا�خ�الص ک�ل بن�گ�اه

مثبت می باشد.مثبت می باشد.- ه�ردو متغ�یر کمکی ص�فر می باش�ند، بن�ابراین هزین�ه فرص�ت از - ه�ردو متغ�یر کمکی ص�فر می باش�ند، بن�ابراین هزین�ه فرص�ت از 44

ی ی دس�ت� رفت�ه ه�ر دو �ک�اال� ص�فر اس�ت و� نش�ان� می ده�د من�ابع ص�فر اس�ت و� نش�ان� می ده�د من�ابع YY و� و�XXدس�ت� رفت�ه ه�ر دو �ک�اال�ارز�ش�مند بن�گ�اه ب�را�ی ا�س�تفاده �دی�گ�ری در آ�نه�ا� تول�ی�د جهت ارز�ش�مند الزم� بن�گ�اه ب�را�ی ا�س�تفاده �دی�گ�ری در آ�نه�ا� تول�ی�د جهت الزم�

نیست.نیست.