ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ.

Задача Коши.

• Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функций у = у(х).

• Их можно записать в виде

где х — независимая переменная.

( )( , , ',..., ) 0 (1)nF x y y y

• Наивысший порядок n входящей в уравнение (1) производной называется порядком дифференциального уравнения.

• Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая п раз дифференцируемая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.

( )y x

• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка (1) содержит n произвольных постоянных C1, С2, ... , Сn:

• Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

1 2( , , ,..., )ny x C C C

• задача Коши (дополнительные условия задаются в одной точке)

• краевая задача (дополнительные условия задаются в более чем одной точке)

• Пример:

2

2

cos , 0, (0) 1;

, 1, (1) 2, (1) 0.

dxx t t x

dty

y x x y yx

2 sin , 0 1, (0) 1, (1) 0;

, 1 3, (1) 0, (1) 1, (3) 2.

y y y x x y y

y x yy x y y y

• Решение задачи Коши.

• сущность метода конечных разностей. состоит в следующем:

• 1. область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек - узлами. Эти узлы составляют разностную сетку.

• 2. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке (сеточной функцией).

• 3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции.

• Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).

• Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

• Метод Эйлера.

• Рассмотрим уравнение

с начальным условием

для определенности будем считать, что решение нужно получить для значений х > x0.

( , )y f x y

0 0( )y x y

1. выбирается достаточно малый шаг и строится

система равноотстоящих точек

2. Вычисляются

h

0kx x kh

1 1 1( , )k k k ky y h f x y

• При этом искомая интегральная кривая проходящая через точку заменяется ломанной с вершинами .

( )y f x0 0 0( , )L x y

0 1 2...L L L ( , )k k kL x y

• Для оценки погрешности на практике пользуются двойным просчетом: с шагом h и шагом h/2.

• Погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так:

• где - значение точного решения уравнения при ,• -приближенное значение полученное при

вычислениях с шагом h . • - приближенное значение полученное с шагом h/2.

( )k k k ky x y y y

( )ky x

kx x

ky

ky

ky

• Рассмотрим систему двух уравнений первого

порядка

• с начальными условиями

1

2

( , , )

( , , )

y f x y z

z f x y z

0 0 0 0( ) , ( ) .y x y z x z

• Приближенные значения вычисляются для этой системы по формулам

1 1 1 1 1

1 2 1 1 1

( , , ),

( , , ), 1, 2,..., .

k k k k k

k k k k k

y y h f x y z

z z h f x y z k n

• Оценка погрешности в точке , полученная с помощью двойного пересчета, имеет вид:

• где - значение точного решения уравнения при

,

• -приближенное значение полученное при вычислениях с шагом h .

• - приближенное значение полученное с шагом h/2.

kx

( )ky x

kx x

ky

ky

1( )

3k k k ky x y y y

• Метод Рунге-Кутта.

• Рассмотрим уравнение

с начальным условием

( , )y f x y

0 0( )y x y

• Если известно значение в точке , то вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам:

1ky 1kx

ky

1k kx x h

( )1 1 1

( )( ) 12 1 1

( )( ) 23 1 1

( ) ( )4 1 1 3

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4

( , ),

( , ),2 2

( , ),2 2

( , ),

.6

kk k

kk

k k

kk

k k

k kk k

k k k kk k

K f x y

h KK f x y

h KK f x y

K f x h y K

hy y K K K K

Многошаговые методы

• Многошаговые методы -основаны на том, что для вычисления значения yi+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т. е. значения yi-k+1, yi-k+2, …, yi .

• Многошаговые методы могут быть построены следующим образом.

• Запишем исходное уравнение

в виде

( , ) (1)Y f x Y

( ) ( , ) (2)dY x f x Y dx

• Проинтегрируем обе части этого уравнения по х на отрезке

• Интеграл от левой части легко вычисляется:

1[ , ]i ix x

1

1 1( ) ( ) ( ) (3)i

i

x

i i i ix

dY x Y x Y x y y

• Для вычисления интеграла от правой части уравнения (2) строится сначала интерполяционный многочлен Pk-i степени k -1 для аппроксимации функции на отрезке по значениям( , )f x Y

1 1 2 2( , ), ( , ),..., ( , ).i k i k i k i k i if x y f x y f x y

1[ , ]i ix x

• Таким образом,

1 1

1( , ) ( ) . (4)i i

i i

x x

k

x x

f x Y dx P x dx

• Приравнивая выражения, полученные в (3) и (4), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1 в узле xi+1:

1

1 1( ) .i

i

x

i i k

x

y y P x dx

• На основе предыдущей формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности.

• Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена Pk-i(x), для построения которого используются значения сеточной функции yi, yi-1 , …, yi-k+1, вычисленные на k предыдущих шагах.

• Метод прогноза и коррекции. • Суть метода:

• На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:

• с помощью явного метода по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле;

• используя неявный метод, в результате итераций находятся приближения

(0)1 1i iy y

(1) (2)1 1, ,....i iy y

• разностные соотношения для k-ого шага метода прогноза и коррекции имеют вид:

' ' ' '1 1 2 3 4(55 59 37 9 ),

24предk k k k k k

hy y y y y y

' ' ' '1 1 1 2 3(9( ) 19 5 ),

24кор предk k k k k k

hy y y y y y

'( ) ( , ).пред предk k ky f x y

' ( , ).k k ky f x y

• Точность вычислений оценивается по формуле:

1( ) .

4кор кор предk k k ky y x y y

• Метод Милна.

• Для предсказания используем первую формулу Милна

' ' '4 3 2 1

4(2 2 ),

3предk k k k k

hy y y y y

' ( , ).k k ky f x y

• Уточнение(коррекция) производится по второй формуле Милна

' ' '2 2 1( 4 ( ) ).

3кор предk k k k k

hy y y y y

'( ) ( , ).пред предk k ky f x y

• Для оценки точности вычислений используется формула:

1( ) .

29кор кор предk k k ky y x y y