Кафедра математики и моделирования Старшие...
DESCRIPTION
Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 2. Тема: Таблица истинности. Основные логические тождества. Цель: Определить структуру таблицы истинности, рассмотреть основные логические тождества. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Кафедра математики и моделированияСтаршие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. ГусевКурс «Высшая математика»
Лекция 2.
Тема: Таблица истинности. Основные логические тождества.
Цель: Определить структуру таблицы истинности, рассмотреть основные логические тождества.
2. Определение высказывания. Таблица истинности для высказываний
Определение 1Переменная А, принимающая два значения – 0 или 1, называется логической (или булевой) переменной.Обозначаться логические переменные будут заглавными латинскими буквами с индексами или без них:
A B X Y A C, , , , , ,...2 3
Порядок действий1)Однотипные операции выполняются в порядке их следования.Например,
A B C D A B C D
2) Отрицание подразумевает скобки.
3) Конъюнкция связывает сильнее, чем дизъюнкция. Например,
A B C A B C 4) Дизъюнкция связывает сильнее, чем импликация.Например,
A B C D A B C D 5) Импликация связывает сильнее, чем эквивалентность.Например,
A B C A B C
Примеры
• 1)Избавиться от лишних скобок
• Ответ
• 2)Расставить порядок действий
))())((( CABCBA
)( CABCBA
CBACCBA )(1 2 3
4
5 67
Определение 2Таблица истинности для высказывания имеет вид F A A An1 2, ,...,
A1 A2 … An-1 An F(A1, A2,…, An-1, An)
0 0 … 0 0 F(0,0,…,0,0)
0 0 … 0 1 F(0,0,…,0,1)
… … … … … …
1 1 … 1 0 F(1,1,…,1,0)
1 1 … 1 1 F(1,1,…,1,1)
Если высказывание F построено из логических переменных
A A An1 2, ,..., , то будем обозначать это высказывание: F F A A An 1 2, ,...,Теорема
Наборов длины n из 0 и 1 существует 2n
3. Равносильные высказывания.
Определение 1
Высказывания F(A1,A2,…,An) и G(A1,A2,…,An) называются равносильными (или просто равными), если для любого набора
1 2, ,..., n имеет место равенство:
F Gn n 1 2 1 2, ,..., , ,..., .
Обозначим F A A A G A A An n1 2 1 2, ,..., , ,...,
Другими словами, два высказывания равны, если у них совпадают таблицы истинности.
Примеры
Доказательство
A B A B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 1 1 1
A B A B A B
Основные логические тождества
Идемпотентные законы: A A A A A A
A B B A A B B A
A B C A B C
A B C A B C
Коммутативные законы:
ABBA Ассоциативные законы:
CBACBA
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Законы Моргана:
A B A B
A B A B
Закон двойного отрицания:
A AЗакон противоречия:
A A 0Закон исключенного третьего:
A A 1
BAABBA
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
BABA
Дистрибутивные законы: ACABCBA CABABCA
Без названия:
16)
17)
Законы поглощения: AABA
Доказательство
AABAABA 1)1(
BABAA
Доказательство
BABABAAABAA )(1))((
ABAA )(
ABBAA
16)
17)
18)
19)
Тождества, содержащие константы:
A A 0 A 1 1
A 0 0 A A 1
A 1 1
1 A A0 1 AA A 0
A A 1A A 0
• Вопросы:
• Перечислить порядок действий в высказываниях.
• Сколько строк содержит таблица истинности для высказывания с 5 логическими переменными?