לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

תשע"ג ־ דיסקרטית מתמטיקהלונדון ערן ד"ר ־

I חלק

לוגיקה

הגדרות 1

אמת ־ ערכים שני רק לקבל שיכולים ביטויים ־ בולאנים ביטוייםשניהם!!!). לא (אך .(F)שקר או (T)

פסוק. בתור בולאני ביטוי לכנות ניתן

חדשים פסוקים לבנות ניתן בה בדרך עוסק ־ הפסוקים תחשיבגם...). (או, לוגיים קשרים באמצעות אחרים) פסוקים (מתוך

כוללים אשר מורכבים יותר בפסוקים מטפל ־ היחסים תחשיב"קיים". או "לכל" המילים את גם

לטינית אות כל (או P,Q,R,S אטומי)־ פסוק ) פסוקי משתנהגדולה]). [אבל אחרת

נחשב פסוקי קבוע גם שקר. ־ F אמת, ־ T ־ פסוקי קבועאטומי. ל־פסוק

.F או T ערך פסוקי משתנה לכל הקובעת f פונקציה ־ השמה

.f ההשמה לפי A הפסוק ערך ־ f (A) ־ הפסוק ערך סימון

.A פסוק את מספקת f השמה כי אומרים אזי f (A) = T אם

.T הוא שלה האמת שערך השמה היא ־ מספקת השמה

,f השמה כל עבור f (A) = f (B) אם פסוקים. שני A,B יהיו. A ≡ B ומסמנים: לוגית שקולים Bו־ A ש־ אומרים אזי

הוא שלו האמת ערך אם טאוטולוגיה הוא A פסוק ־ טאוטולוגיההשמה. לכל T

לכל F הוא שלו האמת ערך אם סתירה הוא A פסוק ־ סתירההשמה.

דה־מורגן חוקי 1.1

.P ∧Q ≡ P ∨Q .1

.P ∨Q ≡ P ∧Q .2

מתמטית הוכחה 1.2

את ניקח למשל, .P → Q מהצורה: משפט הוא מתמטי משפטאי־זוגיים (שלמים) מספרים שני כל בין ההפרש הבא: המשפט

אזי: זוגי. הוא

אי־זוגיים. מספרים שני כל עבור ־ P

זוגי. הוא שלהם ההפרש ־ Q

המשפט? את מוכיחים איך

ומראים נכון P ש־ מניחים .P → Qש־ מראים ־ ישירות .1נכון. Q שגם

.Q→ P ש־ מראים ־ ContraPosotive .2

נכון הוא(P ∧ Q

)→ P שהפסוק מראים ־ השלילה בדרך .3

פשוט משפט על לנסות [כדאי לסתירה... מגיעים בסוף (ואזזה]). את לראות כדי

קשרים של שלמות קבוצות 1.3

קיים A פסוק לכל אם שלמה היא קשרים של קבוצה הגדרה:ומתקיים השלמה מהקבוצה קשרים רק בו מופיעים אשר B פסוק

.A ≡ B ־

CNF ופסוקי DNF פסוקי 1.4

DNF פסוק 1.4.1

מהצורה הוא אם DNF בצורת פסוק הוא לוגי פסוק הגדרה:הבאה:

Di = ־ מהצורה הוא Di כל כשאר D1 ∨ D2 ∨ · · · ∨ Dn

שלילתו. או משתנה או הוא Aj כל כאשר ,Ai1 ∧Ai2 ∧· · ·∧Aik

CNF פסוק 1.4.2

מהצורה הוא אם CNF בצורת פסוק הוא לוגי פסוק הגדרה:הבאה:

A1i ∨A2i ∨ ־ מהצורה הוא Ci כל כאשר C1 ∧C2 ∧ · · · ∧Cn

שלילתו או פסוקי משתנה הוא Aj כל כאשר ,· · · ∨Aki

לוגיים קשרים של טבלאות 2

"XOR" ־ ⊕ ־ הקשרP Q P⊕QF F F

F T T

T F T

T T F

"וגם" ־ ∧ ־ הקשרP Q P∧QF F F

F T F

T F F

T T T

"או" ־ ∨ ־ הקשרP Q P∨QF F F

F T T

T F T

T T T

(אם"ם) "גרירה" ־ ↔ ־ הקשרP Q P↔QF F T

F T F

T F F

T T T

"גרירה" ־ → ־ הקשרP Q P→QF F T

F T T

T F F

T T T

ההפוך הערך הינו P ,P פסוק עבור השלילה: קשר את גם ויש.(T להיות נהפך F היה ואם F להיות נהפך T היה (אם שלו

1

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

II חלק

הקבוצות תורת

בסיסיות הגדרות 3

הגדרה:

אפשר שאי היא (האמת איברים של אוסף היא קבוצההגדרה מעין כאן נותנים אנחנו אבל קבוצה, להגדיר ממש

אינטואיטיבית...)

A = ♥, 1, 2,ℵ,♣.1 ∈ A למשל: ,Aב־ נמצא aש־ פירושו ־ a ∈ A

.4 /∈ A למשל: ,Aב־ נמצא לא aש־ פירושו ־ a /∈ A

תכונה: באמצעות קבוצה הצגת

A = x; x > 12, x ∈ N.∅ = הריקה: הקבוצה

.Bב־ נמצא Aב־ איבר כל כלומר: Bב־ מוכלת A ־ A ⊆ B.(x ∈ A)⇒ (x ∈ B)

לפחות קיים כלומר לה, שווה לא אבל Bב־ מוכלת A ־ A ( B.Aב־ נמצא שאינו Bב־ אחד איבר

או: .B ⊆ A וגם: A ⊆ B קבוצות: בין שוויון ־ A = B.(x ∈ A)⇔ (x ∈ B)

למשל: משותף, איבר אף בניהן קיים לא אם זרות קבוצות Bו־ A.i, bו־ 1,F

האוניברסלית. הקבוצה ־ Ω

.(A קבוצה של נוספת כתיבה (צורת A = x ∈ Ω; x ∈ A

כך k ∈ Z קיים אם (b את מחלק a) a | bש־ אומרים סימון:.a · k = b שמתקיים

,2 · 3 = 6 כי 2 | 6 למשל: .(d את מחלק אינו c) c - d ־ ומנגד.6 - 2 אבל:

מקוצרת) (רשימה קבוצות על פעולות 4

איחוד

A ∪B = x ∈ Ω; (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)חיתוך

A ∩B = x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)

קבוצות בין הפרש

A\B = x ∈ Ω; (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)קסור

A⊕B = x ∈ Ω; (x ∈ A)⊕ (x ∈ B)המשלימה הקבוצה

A = x ∈ Ω; (x /∈ A) =x ∈ Ω; (x ∈ A)

(קבוצות) מורגן דה 4.1

.A ∪ B = A ∩B ,A ∩ B = A ∪B

לוגיים לפסוקים המרה 4.2

למשל: לוגיים, לפוסקים קבוצה על פעולות להמיר ניתן

לכן: ,P = (x ∈ A) , Q = (x ∈ B)

.A\B = P ∧ Q או: ,A ∩B = P ∧Q למשל:

יחסים 5

סדור: זוג

(a, b) לצירוף אזי ,a ∈ A, b ∈ B כאשר קבוצות, A,B יהיוסדור. זוג קוראים

.(a, b) 6= (b, a) ־ לזכור חשוב

R ⊆ A×B

מזוגות מורכב אשר B לקבוצה A מקבוצה יחס נקרא R יחס.b ∈ Bו־ a ∈ Aש־ כך (a, b) מהצורה

סדור. זוג שום בלי יחס ־ הריק היחס ־ ∅ ⊆ A×B

האפשריים הסדורים הזוגות כל ־ המלא היחס ־ A×B ⊆ A×B.b ∈ Bו־ a ∈ Aש־ כך (a, b)

הגדרה:

.A הקבוצה על יחס יקרא R ⊆ A×A

סימון:

(a, b) הסדור הזוג אם .A הקבוצה על R ויחס a, b ∈ A עבורדרכים: בשתי זאת לסמן ניתן R ב־ נמצא

.aRa או (a, a) /∈ R לשלול: רוצים וכאשר ,aRb או (a, b) ∈ R

יחסים סוגי 5.1

הקבוצה: על R ויחס A קבוצה עבור

רפלקסיבי 5.1.1

(או: (a, a) ∈ R מתקיים: a ∈ A לכל אם רפלקסיבי הוא R.(aRa

אנטי־רפלקסיבי 5.1.2

(a, a) /∈ R מתקיים: a ∈ A לכל אם רפלקסיבי אנטי הוא R.( aRa (או:

סימטרי 5.1.3

.aRb⇒ bRa מתקיים: a, b ∈ A לכל אם סימטרי יחס הוא R

2

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

אנטי־סימטרי 5.1.4

אם a, b ∈ A לכל אם אנטי־סימטרי יחס הוא R

.aRb ∧ bRa⇒ a = b

טרנזיטיבי 5.1.5

מתקיים: a, b, c ∈ A לכל אם טרנזיטיבי יחס הוא R

aRb ∧ bRc⇒ aRc

שקילות יחס 5.2

הוא R אם .A הקבוצה על יחס R ויהי קבוצה A 6= ∅ תהישקילות. יחס הוא R אזי וטרנזיטיבי סימטרי, רפלקסיבי,

m מודולו שקילות יחס דוגמא: 5.2.1

באופן Rm ⊆ Z × Z יחס נגדיר ,m ∈ N ,m ≥ 2 יהא הגדרה:הבא:

.Rm = (x, y) ; x, y ∈ Z, m | (x− y)שקילות. יחס Rmהוא היחס ,m ≥ 2 לכל משפט:

.x ≡m y מסמנים: אזי (x, y) ∈ Rm אם מקובל: סימון

.2 ≡4 6 למשל:

שקילות מחלקת 5.2.2

מחלקת .x ∈ Aו־ ,A קבוצה על שקילות יחס R יהא הגדרה:הבא: באופן ותוגדר ,[x]R תסומן: R היחס תחת x של השקילות

.[x]R = y ∈ A; (x, y) ∈ Rסדורים, זוגות של קבוצה לא היא שקילות מחלקת ־ לזכור חשובמחלקת באותה שנמצאים המקורית מהקבוצה איברים של אלאהיחס את שמקיימים האיברים אלו אותנו שמעניין מה שקילות.שקילות. יחס הוא x עם שלהם שהיחס ה־y־ים כל כלומר, ,x עם

שקילות: מחלקות ארבע לנו יש ≡4 ביחס למשל,

[2]≡4= y ∈ Z; 4 | (2− y) = . . . ,−2, 2, 6, 10, . . .

רק מלא באופן הבאתי 2 (את [0]≡4, [1]≡4

, [3]≡4וכמו־כן:כדוגמא).

.[2]≡4= [10]≡4

= [−6]≡4

קבוצה של חלוקה 5.2.3

S = S1, S2, ... קבוצות. של קבוצה A 6= ∅ תהא הגדרה:הבאים: התנאים מתקיימים אם A הקבוצה של חלוקה תקרא

.i לכל Si 6= ∅ א.

.⋃

Si = A ב.

.i 6= j לכל Si ∩ Sj = ∅ ג.

השקילות יחסי של המרכזי המשפט 5.2.4

מחלקות קבוצת שקילות. יחס R ⊆ A × Aו־ A 6= ∅ תהא.A של חלוקה היא R של השקילות

מושרה יחס 5.2.5

הקבוצה על Rs יחס נגדיר .A קבוצה של חלוקה S תהא הגדרה:קבוצה לאותה שייכים yו־ x אם(ם) (x, y) ∈ Rs הבא: באופן A

.S מהחלוקה המושרה היחס Rsנקרא ליחס .Sב־

שקילות. יחס Rsהוא משפט:

פונקציות 6

.B לקבוצה A מקבוצה יחס נקרא R ⊆ A×B תזכורת:

a ∈ A לכל אם Bל־ Aמ־ פונקציה תקרא f ⊆ A×B הגדרה:.(a, b) ∈ fש־ כך יחיד b ∈ B קיים

וגם: ,f (a) = b מסמנים אזי (a, b) ∈ fו־ פונקציה היא f אם.f : A→ B

.f הפונקציה של התחום קוראים A לקבוצה

כך: מוגדר והוא Im (f) או Range (f) יסומן: f של הטווח

Im (f) = Range (f) = b ∈ B, ∃a ∈ A, b = f (a).b = f (a)ש־ כך a ∈ A קיים פירושו: ,∃a ∈ A, b = f (a)

.f (A)ב־ הטווח את מסמנים לפעמים

מסוימות פונקציות 6.1

הזהות פונקצית 6.1.1

כלשהי. קבוצה A 6= ∅ תהאx ∈ A לכל IA (x) = x ע"י המוגדרת IA : A → A הפונקציה

.A הקבוצה על הזהות פונקצית נקראת:

קבוצה של מציינת פונקציה 6.1.2

∀x ∈ A; fX (x) =

1 x ∈ X

0 otherwise

למה Aב־ האיברים כל את שממיינת פונקציה זוהי לב, שמים אם(במקרה Xב־ שלא ולמה (1 מחזירה היא הזה (במקרה Xשב־

.(0 מחזירה היא הזה

מסוים). תנאי (עבור 1 או 0 ־ רק להחזיר שיכולה פונקציה זוהיבולאנית פונקציה זאת אזי ו־1 מ־0 אחרים ערכים שני אלו אםלא אבל בולאנית, פונקציה היא מציינת פונקציה (כל מציינת ולא

מציינת). פונקציה היא בולאנית פונקציה כל

חד־חד־ערכית פונקציה 6.1.3

אם חד־חד־ערכית פונקציה היא f .f : A → B תהא הגדרה:אזי f (s) = f (t) אם :s, t ∈ A לכל הבא: התנאי מתקיים

.s = t

על פונקציה 6.1.4

קיים b ∈ B לכל אם B על היא f .f : A → B תהא הגדרה:.B = Im (f) אחרות: במילים .f (a) = bש־ כך a ∈ A

כאשר: f (x) =√x + 1 היא לנו שנתונה הפונקציה אם דוגמא:

מכיוון על, איננה שהיא לראות ניתן אזי ,f : N → Z

3

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

שלמשל, ורואים בריבוע) שנמצא (מה הטווח על שמסתכליםכלומר: ,f (a) = bש־ כך a קיים לא Z 3 b = −5 עבור

על. איננה הפונקציה ולכן Im (f) 6= B [= Z]

הפיכות ופונקציות פונקציות של הרכבה 6.1.5

.h : A→ C ,g : B → C ,f : A→ B הגדרה:

נקראת x ∈ A לכל h (x) = g (f (x)) ע"י המוגדרת h הפונקציה1.h = g f ומסומנת: gו־ f של ההרכבה

g : B → A קיימת אם הפיכה פונקציה היא f : A→ B הגדרה:.f (g (b)) = b ,b ∈ B ולכל g (f (a)) = a ,a ∈ A שלכל כך

אחרות: (במילים .f של ההופכית הפונקציה תקרא g הפונקציה.(f g = IB ו־ g f = IA

ועל. חח"ע היא אםם הפיכה פונקציה היא f : A→ B משפט:

חלקי סדר יחס 7

חלקית סדורה וקבוצה חלקי סדר יחס 7.1

אם חלקי סדר יחס הוא R ⊆ A × A קבוצה. A תהא הגדרה:וטרנזיטיבי. אנטי־סימטרי, רפלקסיבי, הוא:

(קס"ח). חלקית. סדורה קבוצה בשם קוראים (A,R) לזוג

.(N,≤) למשל:

לכל אם ,A על חלקי סדר יחס הוא R ⊆ A × A הגדרה:מלא. סדר יחס הוא R אזי bRa או aRb מתקיים a, b ∈ A

ההפך אבל חלקי, סדר יחס גם הוא מלא סדר יחס כל (הערה:לינארית. סדורה קבוצה קוראים (A,R)ול־ נכון). לא

ניתנים שאינם איברים הם bו־ a אזי bRa וגם aRb אם הגדרה:להשוואה.

קבוצה היא (A,R) אז להשוואה ניתנים בלתי איברים זוג אין אםמלא. סדר יחס הוא Rו־ לינארית סדורה

מינימלי ואיבר מקסימלי איבר 7.2

חלקי. סדר יחס הוא R ⊆ A×A

.a = x ⇐ aRx אם מקסימלי איבר הוא a ∈ A

.b = x ⇐ xRb אם מינימלי איבר הוא b ∈ A

היטב סדורה קבוצה 7.3

שהוא לזכור (חשוב ≤ ב־ חלקי סדר יחס נסמן הזה בחלק הערה:המטעה...) הסימן למרות מלא סדר יחס בהכרח לא

חלקית. סדורה קבוצה (A,≤)

.a = x ⇐ a ≤ x אם מינימלי איבר הוא a ∈ A

.a = x ⇐ a ≥ x אם מקסימלי איבר הוא a ∈ A

קס"ח היא (A,≤) אם היטב סדורה קבוצה היא (A,≤) הגדרה:בדיוק. אחד מינימלי איבר קיים B 6= ∅ ,B ⊆ A ולכל

לינארית. סדורה קבוצה היא היטב סדורה קבוצה כל משפט:נכון). אינו (ההפך

תכונת את המקיימת חלקית סדורה קבוצה היא (A,≤) הגדרה:(אחד מינימלי איבר קיים B 6= ∅ ,B ⊆ A לכל אם המינימליותשבה היטב" סדורה "קבוצה של להגדרה בניגוד [וזה לפחות).

יותר]. גם אפשר כאן בדיוק. אחד רק שיהיה צריך

מתמטיים "כלים הקורס של בסיכום נמצא דוגמאות כולל מפורט יותר 1הסבר

ברתל. לור ד"ר של המחשב" למדעי

חלקית סדורה קבוצה על האינדוקציה משפט 7.4המינימליות תכונת את המקיימת

תהא המינימליות. תכונת את המקיימת קס"ח (A,≤) תהא.a ∈ A איבר לגבי טענה P (a)

הבאים: התנאים שני מתקיימים אם

.A של a מינימלי איבר לכל נכונה P (a) הטענה .1

כך b ∈ A האיברים לכל P (b) הטענה נכונות ,a ∈ A לכל .2.P (a) הטענה נכונות את גוררת ,b 6= a, b ≤ a ש־

.a ∈ A לכל נכונה P (a) הטענה אז

III חלק

אינדוקציה

המספרים (על השלמה האינדוקציה משפט 8הטבעיים2):

שני מתקיימים אם .n ∈ N האיבר לגבי טענה P (n) תהאהבאים: התנאים

.(n0 ∈ N (עבור נכונה P (n0) הטענה האינדוקציה) (בסיס .1

P (m) הטענה נכונות n0 ≤ n ∈ N לכל האינדוקציה) (צעד .2נכונות את גוררת n0 ≤ m < n המקיים m ∈ N לכל

.P (n) הטענה

לסיים חשוב (הערה: .n0 ≤ n ∈ N לכל נכונה P (n) הטענה אזיכלום...). אמרנו לא בעצם אחרת כי הזה, במשפט הוכחה כל

הקודם מהמשפט מסקנה הוא השלמה האינדוקציה משפט הערה:המינימליות. תכונת את המקיימת בקס"ח העוסק

המספרים (על הרגילה האינדוקציה משפט 9הטבעיים):

שני מתקיימים אם .n ∈ N האיבר לגבי טענה P (n) תהאהבאים: התנאים

נכונה. P (0) הטענה .1

את גוררת P (n− 1) הטענה נכונות ,1 ≤ n ,n ∈ N לכל .2.P (n) הטענה נכונות

.n ∈ N לכל נכונה P (n) הטענה אזי

רק מדברים שנלמד האינדוקציה ומשפטי היות זאת, לציין צריך לא 2בעיקרון,

הטבעיים. המספרים על

4

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

IV חלק

קומבינטוריקה

הקדמה 10

כאן אותו שמתי אבל בקומבינטוריקה, נכלל לא בעיקרון זה (חלקלקומבינטוריקה). "הקדמה" מעין שהוא מכיוון

קבוצה של עוצמה 10.1

קבוצות של קבוצה על ≡I השיקלות יחס את נגדיר הגדרה:הפיכה. f : A→ B קיימת אם A ≡I B הבא: באופן

ונסמן A של העוצמה נקראות הזה היחס של השקילות מחלקות.|A| ע"י: זאת

קיים אם או A = ∅ אם סופית היא A קבוצה הגדרה:

.A ≡I 1, 2, . . . , nש־ כך 0 < n ∈ N.|A| = 0 ש־ נאמר אז A = ∅ אם

.|A| = n ש־ נאמר אז A ≡I 1, 2, . . . , n אםאינסופית. קבוצה היא A אחר: מקרה בכל

היונים שובך עקרון 10.2

מ־ חח"ע פונקציה קיימת לא k ∈ N לכל טענה:.1, 2, . . . , kל־ 1, 2, . . . , k + 1

.[Dirichlet [עיקרון היונים שובך עיקרון זהו

קומבינטוריקה 11

יוזכר אם אלא סופיות קבוצות על ידובר כאן הפרק בכל הערה:אחרת.

הוכחות) (ללא קבוצות על טענה 11.1

,(A∩B = ∅ (כלומר: וזרות סופיות קבוצות Bו־ A תהיינה .1ומתקיים: סופית קבוצה היא A ∪B אזי:

.|A ∪B| = |A|+ |B|

היא D\C אזי: ,C ⊆ Dו־ סופיות קבוצות Dו־ C תהיינה .2ומתקיים: סופית קבוצה

.|D\C| = |D| − |C|

קבוצה היא A × B אזי: סופיות, קבוצות Bו־ A תהיינה .3ומתקיים: סופית

.|A×B| = |A| × |B|

ו־3) 1 טענות (של הכללות 11.2

לכל (כלומר, בזוגות זרות קבוצות הן A1, A2, . . . , An אם .1אזי: ,(Ai ∩Aj = ∅ מתקיים: i 6= j∣∣∣∣∣

n⋃i=1

Ai

∣∣∣∣∣ =

n∑i=1

|Ai|

מתקיים: B1, B2, . . . , Bn לכל .2

|B1 × · · · ×Bn| =n∏

i=1

|Bi|

∣∣0, 1n∣∣ = 2n ההכללות: מן שנובעת מסקנה .3

ההכללות...) קטע (סוף

מתקיים: a ∈ A שלכל כך R ⊆ A × B יהא משפט:|R| = t · |A| אזי: |b ∈ B, (a, b) ∈ R| = t

.|P (A)| = 2n אזי: ,|A| = n תהא משפט:

n מתוך איברים k של בחירה 12

לבחור צריכים אנחנו כאשר בעיה לפתור איך על ידבר הבא בחלקשונים. אילוצים מיני כל עם איברים n בת קבוצה מתוך איברים k

A = 1, 2, 3, 4, 5 הבאה: לקבוצה נתייחס הדוגמאות בכללאחרת. יאמר אם אלא

שונים איברים ־ המקרים הצגת לפני מושגים כמה 12.0.1לסדר: וחשיבות

כלומר חזרות, מותרות אם שונים/חזרות איברים 12.0.1.1שאותו היא הכוונה אזי שונים באיברים מדובר בהכרח שלאk = 5 של במקרה למשל, יותר, או פעמיים לחזור יכול איבראם אבל מותרות, 1, 2, 2, 2, ו־4 1, 5, 3, 4, 3 הקבוצות: אזיאזי חזרות שיהיו אסור כלומר, שונים, איברים k על מדובר

פסולות. הנ"ל הקבוצות

לנו שיש היא התשובה אזי k > n אם הזה, שבמקרה לזכור כדאילבחור צריכים ואנחנו חזרות אסורות שאם מכיוון אפשרויות, 0

אפשרי. בלתי זה אזי איברים nמ־ יותר

שמיקום היא הכוונה לסדר בחשיבות לסדר חשיבות 12.0.1.2במקרה לכן, לסדר), חשיבות ויש (במידה משנה בקבוצה האיברים

:k = 3 וכאשר כזה

אזי לסדר חשיבות אין אם זאת, לעומת ,1, 2, 5 6= 2, 1, 5שוות... הנ"ל הקבוצות

5

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

n בת קבוצה מתוך שונים איברים k של בחירה 12.1לסדר חשיבות עם איברים

שונים ערכים k על מדובר אם אזי ,A הקבוצה את למשל ניקחאזי: לסדר חשיבות עם

לא ההגדרות לפי כמו־כן, .(k = 2 של (במקרה 1, 2 6= 2, 1חזרות. שיהיו אסור שכן, 3, 3 כמו קבוצה תתכן

סך־כל אזי אפשרות, לנו יורדת פעם וכל היות כזה, במקרההינו: האפשרויות

n · (n− 1) · (n− 2) · · · (n− (k − 1))

מה גם וזה ,n! הוא שנקבל מה אזי k = n ו־ במקרה הערה:תמורה. שמכונה

n עם קבוצה מתוך שונים איברים k של בחירה 12.2לסדר חשיבות ללא איברים

כלומר: משנה, איננו הסדר הקודם, לסעיף בניגוד כזה, במקרה,

הקבוצות כל כלומר, ־ 1, 3, 4 = 3, 1, 4 = 1, 4, 3 = . . .מספר יורדות כזה במקרה לכן אחת, כקבוצה נספרות הללו

הינו: האפשרויות סך לכן האפשרויות,

n · (n− 1) · (n− 2) · · · (n− (k − 1))

k!

ונקבל: אחד) שווה זה (כי (n−k)!(n−k)!ב־ הנ"ל הביטוי את לכפול ניתן

. n!k!(n−k)!

)סימון:n

k

)=

n!

k! (n− k)!

."k מעל n" זה את ומכנים

נאמר אזי n < 0 או k > n או k < 0 הבאים: במקרים.(nk

)= ש־0

לדעת, לנו מאפשר שהוא הוא הזה הסעיף של השימושים אחדקיימות k בגודל תת־קבוצות כמה ,n עוצמה עם קבוצה עבור

שלה. החזקה )בקבוצת124

)אזי איברים, 12 יש Aב־ כלומר ,|A| = 12 אם (למשל:

A של החזקה בקבוצת יש 4 בגודל תת־קבוצות כמה לנו יתן.([P (A)ב־]

קבוצה מתוך חזרות עם איברים k של בחירה 12.3לסדר חשיבות עם איברים n בת

מהסיבה הקבוצות של ביותר הרב המספר את נקבל כזה במקרהגם לכן לסדר, חישבות ישנה וגם לחזרה אפשרות ישנה שגםאזי שונה הסדר אם וגם חזרה, עם קבוצות לנו להופיע יכולים

שונות. בקובוצות מדובר

. nk הינו: האפשרויות מספר כזה במקרה

קבוצה מתוך חזרות עם איברים k של בחירה 12.4לסדר חשיבות ללא איברים n בת

1, 2, 2, 3 = 2, 1, 3, 2 = 3, 2, 1, 2 = . . . ־ כזה במקרה

היא: האפשרויות )וכמותn + k − 1

n− 1

)מדוע?

ספציפית דוגמא על להסתכל אפשר כאן, הרעיון את להבין בשבילהנוסחא: מאחורי שעומד הרעיון את להבין ומכך

nל־ להכניס ניתן (k) כדורים כמה לחשב רוצים ואנחנו נניחתאים.

כך: ייראה הדבר אזי

ישנן תאים לשלושה כדורים שישה להכניס רוצים אנחנו למשל אםהרעיון: את שתמחיש אחת רק נקח אפשרויות, מספר

•• •• • •1 2 3

שהיא מה את ומשדרת התאים לתוך שנכנסת תולעת שיש נניחאלינו: רואה

ד=דופן

מ=מחיצה

כ=כדור

הוא: תשדר שהיא מה שלנו בדוגמא אזי

הכדורים את נסדר איך משנה שלא לב לשים ניתן דככמכמכככד.בסוף, אחת וד' בהתחלה אחת ד' תהיה תמיד סידור בכל בתאים

אותן... להשמיט ניתן לכן

ככמכמכככ. הוא: שנקבל מה סה"כ,

אחד פחות התאים כמות כמו היא ה־מ־ים שכמות לב לשים ניתן.(k) הכדורים מספר כמו בדיוק הוא ה־כ־ים ו־מספר (n− 1)

איברים. n + k − 1 (= n− 1 + k) בעלת סדרה קיבלנו סה"כ

היכן הוא לבחור שעלינו מה כל תקין פתרון שיהיה בשביל כעתכ־ים. יהיה והנותרים איברים) n− 1 (סה"כ ה־מ־ים את נמקם

בגודל קבוצה מתוך n − 1 בגודל תת־קבוצה לבחור צריך אזיהמקומות את תסמל שנבחר תת־הקבוצה אותה (הסבר: n+k−1

כאלה). n− 1 לנו יש וסה"כ המ־ים, את נשים שבהם

הוא: שנקבל מה )לכן,n + k − 1

n− 1

)ואז ה־כ־ים את לשים היכן גם לבחור יכולים היינו אופן באותו

היה: מקבלים שהיינו )מהn + k − 1

k

)

הוכחות) (ללא קומבינטוריות זהויות 13

של תת־הקבוצה סכום של קומבינטורים זהות 13.1איברים n עם קבוצה

n∑k=0

(n

k

)= 2n

6

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

מתקיים: 1 ≤ n לכל ־ וגם ,(n0

)= 1 מתקיים: 0 ≤ n לכל הערה:

.(n1

)= n(

nk

)ל־ ביחס סימטרית טענה 13.2

מתקיים: 0 ≤ k ≤ n לכל

(n

k

)=

(n

n− k

)

פסקל זהות 13.3

מתקיים: 0 ≤ k ≤ n לכל

(n

k

)=

(n− 1

k − 1

)+

(n− 1

k

)

לדגומא...) שורות כמה (רק פסקל משולש 13.4

(00

)(10

) (11

)(20

) (21

) (22

)(30

) (31

) (32

) (33

)

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

ניוטון של הבינום משפט 13.5

.1 ≤ n ∈ N ו־ (x, y 6= 0) x, y ∈ R יהיו

מתקיים: אזי

(x + y)n

=

n∑k=0

(n

k

)xk · yn−k

קומבינטוריות בעיות פתרון של הרחבה 14

ופתרונן. קומבינטוריות לבעיות דוגמאות מיני כל ינתנו הזה בחלק

מהבנה באה קומבינטוריות בעיות בפתרון מההבנה וחלק היותדגמאות... של

עשרוניות. ספרות על ידובר הדוגמאות בכל הערה:

ספרות n בעל מספר בתוך ספרות k 14.1

מקומות mב־ שתופיע אחת ספרה של בחירה 14.1.1

ספרה לבחור רוצים ואנחנו ספרות, 10 עם מספר לנו שיש נניחה־10. מתוך מקומות ב־4 רק שתופיע אחת

הבאה: בצורה הזאת הבעיה את לנסח ניתן אזי,

ועל חח"ע התאמה שקיימת יודעים אנחנו היונים שובך עקרון בגללהקבוצה: לבין במספר הספרות מיקום בין

תת־קבוצה לבחור נצטרך כעת, ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10אנחנו היכן יסמנו הקבוצה ואיברי (1, 5, 6, 9 (למשל: 4 בגדולתמוקם ספרה אותה שלנו, (במקרה הספרה אותה את )שמים104

)·10 לנו יש סה"כ והתשיעי), השישי החמישי, הראשון, במקום

לבחור, שניתן ספרות 10 לנו שיש בגלל הוא "·10" (ה אפשרויות10 מתוך 1 בגודל תת־קבוצה לבחור כלומר, ־

(101

)בדיוק שזה

הספרה)). את (שתייצג

וההדחה ההכלה עקרון 15

על אדבר לא אני הבא, בסמסטר יותר בזה שנתעסק (בגללאותו) אציג רק אלא בהרחבה, הזה העיקרון

n = 2 עבור 15.1

|A1 ∪A2| = |A1|+ |A2| − |A1 ∩A2|

n = 3 עבור 15.2

∣∣∣∣∣3⋃

i=1

Ai

∣∣∣∣∣ =

3∑i=1

|Ai|−

∑1≤i<j<3

|Ai ∩Aj |

+|A1 ∩A2 ∩A3|

סדר לעשות בשביל רק הן הסוגריים. את להוריד ניתן הערה:המינוס. סימן מה על ברור יותר ושיהיה

כללי באופן וההדחה ההכלה משפט 15.3

אזי: סופיות, קבוצות A1, . . . , An תהיינה

∣∣∣∣∣n⋃

i=1

Ai

∣∣∣∣∣ =

n∑i=1

|Ai| −

∑1≤i1<i2≤n

|Ai1 ∩Ai2 |

+

∑1≤i1<i2<i3≤n

|Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3 |

−

∑1≤i1<i2<i3<i4≤n

|Ai1 ∩Ai2 ∩Ai3 ∩Ai4 |

± · · · (−1)

n−1 |A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An|

לנו יש כלומר, אחת, n־יה רק לנו שיש מכיוון∑

לנו אין לבסוףאחת.... סידור אפשרות רק

7

לונדון ערן ד"ר ־ דיסקרטית תשע"גמתמטיקה ־ א' סמסטר

עניינים תוכן

1 לוגיקה I

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הגדרות 1

1 . . . . . . . . . . . . דה־מורגן חוקי 1.1

1 . . . . . . . . . . . . מתמטית הוכחה 1.2

1 . . . . . . קשרים של שלמות קבוצות 1.3

1 . . . . . CNF ופסוקי DNF פסוקי 1.4

1 . . . . . . . . DNF פסוק 1.4.1

1 . . . . . . . . CNF פסוק 1.4.2

1 . . . . . . . . . . . . לוגיים קשרים של טבלאות 2

2 הקבוצות תורת II

2 . . . . . . . . . . . . . . . . בסיסיות הגדרות 3

2 . . . . . . מקוצרת) (רשימה קבוצות על פעולות 4

2 . . . . . . . . . . (קבוצות) מורגן דה 4.1

2 . . . . . . . . לוגיים לפסוקים המרה 4.2

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . יחסים 5

2 . . . . . . . . . . . . . . יחסים סוגי 5.1

2 . . . . . . . . . . רפלקסיבי 5.1.1

2 . . . . . . . אנטי־רפלקסיבי 5.1.2

2 . . . . . . . . . . . סימטרי 5.1.3

3 . . . . . . . . אנטי־סימטרי 5.1.4

3 . . . . . . . . . . טרנזיטיבי 5.1.5

3 . . . . . . . . . . . . . . שקילות יחס 5.2

3 m מודולו שקילות יחס דוגמא: 5.2.1

3 . . . . . . . שקילות מחלקת 5.2.2

3 . . . . . . קבוצה של חלוקה 5.2.3

יחסי של המרכזי המשפט 5.2.43 . . . . . . . . . . השקילות

3 . . . . . . . . . מושרה יחס 5.2.5

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציות 6

3 . . . . . . . . . . מסוימות פונקציות 6.1

3 . . . . . . . הזהות פונקצית 6.1.1

3 . קבוצה של מציינת פונקציה 6.1.2

3 . . . חד־חד־ערכית פונקציה 6.1.3

3 . . . . . . . . . על פונקציה 6.1.4

פונקציות של הרכבה 6.1.54 . . . . . . הפיכות ופונקציות

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . חלקי סדר יחס 7

4 חלקית סדורה וקבוצה חלקי סדר יחס 7.1

4 . . . . . מינימלי ואיבר מקסימלי איבר 7.2

4 . . . . . . . . . . היטב סדורה קבוצה 7.3

סדורה קבוצה על האינדוקציה משפט 7.44 המינימליות תכונת את המקיימת חלקית

4 אינדוקציה III

המספרים (על השלמה האינדוקציה משפט 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הטבעיים):

המספרים (על הרגילה האינדוקציה משפט 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הטבעיים):

4 קומבינטוריקה IV

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הקדמה 10

5 . . . . . . . . . . . קבוצה של עוצמה 10.1

5 . . . . . . . . . . היונים שובך עקרון 10.2

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . קומבינטוריקה 11

5 . . . . הוכחות) (ללא קבוצות על טענה 11.1

5 . . . . . . . ו־3) 1 טענות (של הכללות 11.2

5 . . . . . . . . . . n מתוך איברים k של בחירה 12

הצגת לפני מושגים כמה 12.0.1שונים איברים ־ המקרים

5 . . . . . . . לסדר: וחשיבות

איברים 12.0.1.15 . . שונים/חזרות

5 . . לסדר חשיבות 12.0.1.2

מתוך שונים איברים k של בחירה 12.16 לסדר חשיבות עם איברים n בת קבוצה

מתוך שונים איברים k של בחירה 12.26 לסדר חשיבות ללא איברים n עם קבוצה

מתוך חזרות עם איברים k של בחירה 12.36 לסדר חשיבות עם איברים n בת קבוצה

מתוך חזרות עם איברים k של בחירה 12.46 לסדר חשיבות ללא איברים n בת קבוצה

6 . . . . . . . הוכחות) (ללא קומבינטוריות זהויות 13

תת־ סכום של קומבינטורים זהות 13.16 . . . איברים n עם קבוצה של הקבוצה

7 . . . . .(nk

)ל־ ביחס סימטרית טענה 13.2

7 . . . . . . . . . . . . . . פסקל זהות 13.3

7 לדגומא...) שורות כמה (רק פסקל משולש 13.4

7 . . . . . . . . ניוטון של הבינום משפט 13.5

7 . . . . . קומבינטוריות בעיות פתרון של הרחבה 14

7 . ספרות n בעל מספר בתוך ספרות k 14.1

אחת ספרה של בחירה 14.1.17 . . . . מקומות mב־ שתופיע

7 . . . . . . . . . . . . . וההדחה ההכלה עקרון 15

7 . . . . . . . . . . . . . . n = 2 עבור 15.1

7 . . . . . . . . . . . . . . n = 3 עבור 15.2

7 . . כללי באופן וההדחה ההכלה משפט 15.3

־ מהאתר לקוח הסיכוםhttp: // www. letach. net

8