ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

1 ΙΩΑΝΝΗΣ ΧΡ. ΚΑΡΑΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

«Αρχή σοφίας φόβος Κυρίου» ( Ψαλµός 110, 10.)

ΓΥΜΝΑΣΙΟ:……………………………… ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: …..........

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:………… ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:…………………………

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

∆Ι∆ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ:

• Να γνωρίζουν πότε µια ισότητα λέγεται ταυτότητα.

• Να γνωρίζουν τις βασικές ταυτότητες και να µπορούν να τις αποδεικνύουν και να τις

εφαρµόζουν.

• Να µπορούν να τις διατυπώνουν (µεταφράζουν) τις αλγεβρικές ισότητες στην

καθοµιλουµένη γλώσσα και αντίστροφα.

• Να εξασκηθούν στην αποδεικτική διαδικασία.

1ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ [ΜΙΑ (1) ∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ]

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

η : Να συµπληρώσετε την ισότητα (α+β)

2 =………............

Τους αφήνουµε 2 λεπτά και είναι σχεδόν βέβαιο ότι πολλοί µαθητές θα την συµπληρώσουν

σωστά (ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ) καθώς επίσης ότι πολλοί µαθητές θα την συµπληρώσουν ως

εξής: (α+β)2= α

2 + β

2 και ότι πολλοί µαθητές δεν θα την συµπληρώσουν.

∆εν σχολιάζουµε τις απαντήσεις αλλά προχωράµε σε αριθµητικά παραδείγµατα δηλαδή

ζητάµε από τους µαθητές να υπολογίσουν τα παρακάτω:

Να γίνουν οι πράξεις:

(2+3)2 =(…..)

2 =…..

22+3

2 =…..+…..=…..

Η ισότητα (2+3)2 = 2

2+3

2 είναι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε)

και άρα γενικά η ισότητα (α+β)2 = α

2 + β

2 είναι ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ (κυκλώστε)

!!! ΑΡΑ ΜΕ ΤΙ ΙΣΟΥΤΑΙ ΤΟ (α+β)2=………………….;

Χωρίς να δώσουµε απάντηση προχωράµε στην γεωµετρική απόδειξη ως εξής :


∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η : Γεωµετρική απόδειξη - Ορισµός ταυτότητας

Tο εµβαδό του ορθογωνίου του διπλανού σχήµατος που έχει πλευρές α, β

είναι Ε=…….

Tο εµβαδό του τετραγώνου του διπλανού σχήµατος που έχει πλευρά α

είναι Ε=α·α=…...

=

Tο εµβαδό του µεγάλου τετραγώνου που βρίσκεται αριστερά της ισότητας και που έχει

πλευρά α+β , είναι: Ε=(α+β)·(α+β) =(α+β)…

(1)

Όµως το εµβαδό του τετραγώνου που έχει πλευρά α+β, ισούται και µε το άθροισµα των

εµβαδών των σχηµάτων που βρίσκονται δεξιά της ισότητας και που είναι το τετράγωνο µε

πλευρά α µε εµβαδό α2, δυο ίσα ορθογώνια µε πλευρές α, β που έχουν εµβαδό και τα δυο

µαζί αβ+αβ=2αβ και του τετραγώνου µε πλευρά β µε εµβαδό β2.

∆ηλαδή είναι: Ε=α2 + …..+β

2 (2)

Από τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει ότι: (α+β)…

= α2 +….. +β

2 (3)

Αν τώρα αντικαταστήσουµε στην (3) το α µε το 2 δηλαδή για α=2 και το β µε το 3 δηλαδή

για β=3 τότε:

(α+β)2 = (2+3)

2 =….

2 =…. και α

2+2αβ+β

2 = 2

2 + 2·2·3 + 3

2 =….+.…+.…=….

Να βάλετε στην θέση των µεταβλητών α, β δυο οποιoσδήποτε δικούς σας αριθµούς

(καλύτερα µικρούς και θετικούς) δηλαδή: για α=….. και β=…… τότε:

(α+β)2 = (….+.…)

2 = .…

2 =.… και α

2+2αβ+β

2 =. …

2 + 2·….·…. + .…

2 =….+.…+.…=….

α

β

α

α

α

α

α

α

β

α

α

ββ

ββ

β

α

α

α

β

α

β

β

β


Υποθέτουµε οτι η ισότητα (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2 θα πρέπει µάλλον να ισχύει για όλες τις

τιµές των µεταβλητών α, β.

Θυµηθείτε ότι η εξίσωση 0·x = 0 που έχει λύσεις όλες τις τιµές του x λέγεται …………….,

άρα και µια ισότητα σαν την (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2 που θα ισχύει για όλες τις τιµές των

µεταβλητών α, β θα λέγεται και αυτή ……………...........

!!! ΟΡΙΣΜΟΣ: Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει …………………… και

αληθεύει για ……… τις τιµές των µεταβλητών της.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η : Αλγεβρική απόδειξη της ταυτότητας (α+β)

2 = α

2+2αβ+β

2

Παρατηρήστε ότι η απόδειξη που κάναµε µε τα εµβαδά είναι χρονοβόρα και σε µερικές

ταυτότητες είναι πολύ δύσκολα τα σχήµατα και ότι προφανώς δεν µπορούµε να

δοκιµάζουµε συνεχώς την αλήθεια της ταυτότητας µε τυχαίους αριθµούς, οπότε θα την

αποδείξουµε και µε έναν άλλο τρόπο πιο γενικό και πιο σύντοµο. Πρώτα όµως θα

θυµηθούµε την επιµεριστική ιδιότητα και κάποιες πράξεις µε µονώνυµα. (προαπαιτούµενα)

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες της επιµεριστικής ιδιότητας:

α·(β+γ)=………………, (α+β)·(γ+δ)=…………………..

Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

α+α =…. , α·α=…. , α+α+α =…. , α·α·α=…. , αβ+αβ=….. , αβ2+2αβ

2 =…..

Στη συνέχεια προχωράµε σε αλγεβρική απόδειξη ως εξής:

Να αποδείξετε ότι: (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αφού α2=α·α,

Τότε (α+β)2=(α+β)·(α+β) ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος και επιµεριστική ιδιότητα)

=α2+αβ+αβ+β

2 (αναγωγές οµοίων όρων)

=α2+2αβ+β

2.

Κάνοντας την απόδειξη αλγεβρικά (δηλαδή µε πράξεις) καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα

που είχαµε καταλήξει κάνοντας την απόδειξη γεωµετρικά (µε σχήµατα). Όµως η

αλγεβρική απόδειξη είναι προτιµότερη σαν πιο σύντοµη και πιο γενική και έτσι στη

συνέχεια θα κάνουµε τις αποδείξεις για τις άλλες ταυτότητες µόνο µε την αλγεβρική

απόδειξη.


ΤΙ ΕΝΝΟΟΥΜΕ ΟΜΩΣ ΓΕΝΙΚΑ ΟΤΑΝ ΛΕΜΕ ΟΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Η έννοια της « απόδειξης »

Όπως είδαµε προηγουµένως για να αποδείξουµε µια ταυτότητα π.χ την (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2

που είναι της µορφής Α=Β, όπου Α=(α+β)2 και Β= α

2+2αβ+β

2 εργαζόµαστε ως εξής:

• Ξεκινάµε από το 1ο µέλος της ισότητας που βρίσκεται αριστερά της, δηλαδή το Α και

κάνοντας πράξεις καταλήγουµε στο 2ο µέλος της ισότητας που βρίσκεται δεξιά της

δηλαδή το Β.

• ή Ξεκινάµε από το 2ο µέλος της ισότητας και καταλήγουµε στο 1ο µέλος.

( Συνήθως ξεκινάµε από το πιο πολύπλοκο µέλος)

Η διαδικασία αυτή λέγεται: « ευθεία απόδειξη »

Παράδειγµα: Να αποδείξετε ότι: (α+β+γ)

2=α

2+β

2+γ

2+2αβ+2αγ+2βγ

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ


Τότε (α+β+γ)2=(α+β+γ)·(α+β+γ) (Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος και επιµεριστική ιδιότητα)

=α2+αβ+αγ+αβ+β

2+

o

βγ +αγ+o

βγ +γ2 (αναγωγές οµοίων όρων)

=α2+β

2 +γ

2 +2αβ+2αγ+2βγ.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (α+β)

2 = α

2+2αβ+β

2.

Προαπαιτούµενα: ∆υνάµεις- πράξεις µε µονώνυµα

1) Να συµπληρώσετε τα παρακάτω:

(2α)2 = 2

2·α

2 =……., (3α

2β)

2 =……….., 2·(5x

2y)·(3xy

3) =……….., (α

2)

3=…….

ΟΡΙΣΜΟΣ: Το α2+2αβ+β

2 λέγεται ανάπτυγµα του (α+β)

2

2) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (3x+4y)2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

( ) ( ) ( )

( ) 2β β α 2 2α β α

.....................yyxxyx

+⋅⋅+=2+

++=24+4⋅3⋅2+23=24+3↑↑↑↑↓↓


3) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (2α2+3β)

2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(2α2+3β)

2 =(2α

2)

2+ 2·…….·…….+(…..)

2 =…….+…….+…….

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ

• ΣΕΛΙ∆Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2. i), ii)

• ΣΕΛΙ∆Α 49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. α), γ), θ), ιβ). 4. α)



∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η : Απόδειξη της ταυτότητας (α-β)

2 = ……………

Έχουµε αποδείξει ότι (α+β)2 = α

2 +…..+ β

2 , µπορείτε να µαντέψετε το ανάπτυγµα της

ταυτότητας (α-β)2 = ………………;

Προαπαιτούµενα: Κανόνες πρoσήµων στον πολλαπλασιασµό και επιµεριστική ιδιότητα

Να συµπληρώσετε τα παρακάτω:

(+)(+) =….., (-)(-) =….., (+)(-) =….., (-)(+) =…..

α·(β-γ) =………….., (α-β)·(γ-δ) =…………………..

Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (α-β)2

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Τότε (α-β)2 =(α-β)·(α-β) (Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος και επιµεριστική ιδιότητα)

=α2-αβ-αβ…β


=α2 - …… + ….

Άρα τελικά (α-β)2 = α

2-2αβ+β

2

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (α-β)

2 = α

2-2αβ+β

2.

Το α2-2αβ+β

2 λέγεται …………………. του (α-β)

2

1) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (2κ-3λ)2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

( ) ( ) ( )

( ) 2β β α 2 2α β α

.....................λλκκλκ

+⋅⋅−=2−

+−=23+3⋅2⋅2−22=23−2↑↑↑↑↓↓


2) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (α3-3β

2)

2.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α3-3β

2)

2 =(α

3)

2 - 2·……·……+(…..)

2 =…….-……..+……

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7

η : Απόδειξη της ταυτότητας (α+β)

3 = α

3 +3α

2β+3αβ

2+β

3.

Να αποδείξετε ότι: (α+β)3 = α

3 +3α

2β+3αβ

2+β

3

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αφού α3=α

2·α,

Τότε (α+β)3=(α+β)

2·(α+β) ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος)

=(α2+…..+β

2)·(α+β) [ ανάπτυγµα του (α+β)

2 και επιµεριστική ιδιότητα ]

=α

3+α

2β+2α

2β+….. +αβ

2+….. (αναγωγές οµοίων όρων)

=α3+…….+…....+β

3.

Το α

3 +3α

2β+3αβ

2+β

3 λέγεται ανάπτυγµα του (α+β)

3

1) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (2x+3y)

3

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

2) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (α2+2β)

3.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α2+2β)

3 =(α

2)

3+ 3·(…..)

2·……+ 3·…..·(……)

2+ (…..)

3

=……………………………………………….

=………………………………………………

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 3β 2β α 3 β 2α 3 3α β α

.........................yyxyxxyx

+⋅⋅+⋅⋅+=3+

=+⋅⋅3+⋅⋅3+=33+23⋅2⋅3+3⋅22⋅3+32=33+2↑↑↑↑↑↑↓↓


∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8η : Απόδειξη της ταυτότητας (α-β)

3 = α

3 -3α

2β+3αβ

2-β

3.

Να αποδείξετε ότι: (α-β)3 = α

3 -3α

2β+3αβ

2-β

3

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Αφού α3=α

2·α,

Τότε (α-β)3=(α-β)

2·(α-β) ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος)

=(α

2-….+β

2)(α-β) [ ανάπτυγµα του (α-β)

2 και επιµεριστική ιδιότητα]

=α3-α

2β-…..+2αβ

2 +….-β


=α3-…..+…..-β

3.

Το α

3 -3α

2β+3αβ

2-β

3 λέγεται ανάπτυγµα του (α-β)

3

Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (x2-3y)

3

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

2) Να υπολογιστεί το ανάπτυγµα του (2α2-3β

2)

3.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(2α2-3β

2)

3 =(2α

2)

3- 3·(…..)

2·……+ 3·…..·(……)

2- (…..)

3

=……………………………………………….

=……………………………………………….

( ) ( ) ( )

( ) 3β 2β α 3 β 2α 3 3α β α

.........................yyxyxxyx

−⋅⋅+⋅⋅−=3−

=−⋅⋅3+⋅⋅3−=33−23⋅2⋅3+3⋅22⋅3−

32=3

3−2

↑↑↑↑↑↑↓↓




1) ΣΕΛΙ∆Α 47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2. iii)

2) ΣΕΛΙ∆Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 4. i), ii)

3) ΣΕΛΙ∆Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 5. στ), ιβ)

4) ΣΕΛΙ∆Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. ε)



∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 9η : Απόδειξη της ταυτότητας (α-β)·(α+β)= α

2 - β

2.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

(α-β)·(α+β) = α2 +….-….-…. ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος, κάνουµε την

= α2 - … επιµεριστική ιδιότητα και αναγωγές οµοίων όρων)

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 10η : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (α-β)(α+β)= α

2-β

2.

1) Να υπολογιστεί το γινόµενο (3x+4y)(3x-4y)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μπορούµε να κάνουµε τις πράξεις (επιµεριστική ιδιότητα) αλλά µπορούµε να εφαρµόσουµε

και την ταυτότητα (α-β)·(α+β)= α2-β

2 ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2β 2α β - α β α

−=+

−=−=−⋅+↑↑↓↓↓↓

..............2

y42

x3y4x3y4x3

2) Να υπολογιστεί το γινόµενο (x3-5α

2β)·(x

3+5α

2β)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(x3-5α

2β)·(x

3+5α

2β) = (……)

2 - (……)

2 =………-………

3) Να γίνει γινόµενο η παράσταση x

2 - 9

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Την ταυτότητα (α-β)·(α+β)= α2-β

2, µπορούµε να την δούµε και ως εξής: α

2-β

2 =(α-β)·(α+β)

( ) ( )

( ) ( ) βαβα 2β 2α

−⋅+=−

−⋅+=−=−↑↑↑↑↓↓

3x3x232x92x

4) Να γίνει γινόµενο η παράσταση α2β

2 - 4y

2

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α2β

2-4y

2=(….)

2-(….)

2=(….+….)·(….+….)


∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 11η : Απόδειξη της ταυτότητας (α-β)·(α

2+αβ+β

2)= α

3-β

3

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

(α-β)·(α2+αβ+β

2) =α

3+….+αβ

2 -…..- αβ

2-β

3 ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος, κάνουµε την

= α3 - ….. επιµεριστική ιδιότητα και αναγωγές οµοίων όρων)

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 12η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (α-β)·(α

2+αβ+β

2)= α

3-β

3

1) Να υπολογιστεί το γινόµενο (x-3)(x2+3x+9)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


και την ταυτότητα (α-β)(α2+αβ+β

2)= α

3-β

3 ως εξής:

( ) ( )

( ) 3β3α 2β αβ2αβα

..................xxxxxxx

−=++−

=33−3=23+3+23−=9+3+23−

↑↑↓↓↓↓↓↓

2) Να γίνει γινόµενο η παράσταση x3 - 8

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Την ταυτότητα (α-β)·(α2+αβ+β

2) = α

3-β

3, µπορούµε να την δούµε και ως εξής:

α3-β

3=(α-β)(α

2+αβ+β

2)

3) Να γίνει γινόµενο η παράσταση α3β

3-27

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α3β

3-27=(….)

3-(….)

3=(……-..….)[(…..)

2+…...·……+….

2] =(……-..….)(……+..….+…..)

( ) ( ) ( )

( ) 2β 2αβα 3β 3α

............................222x2x2x323x83x

↑↑↑↑↑↑↓↓

+βα+−=−

⋅=+⋅+−=−=−


∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 13η : Απόδειξη της ταυτότητας (α+β)·(α

2-αβ+β

2)= α

3+β

3

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

(α+β)·(α2-αβ+β

2) =α

3-….+αβ

2 +…..- αβ

2+β

3 ( Ξεκινάµε από το πρώτο µέλος, κάνουµε την

= α3 +….. επιµεριστική ιδιότητα και αναγωγές οµοίων όρων)

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 14η :ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ (α+β)·(α

2-αβ+β

2)=α

3+β

3

1) Να υπολογιστεί το γινόµενο (2x+1)·(4x2-2x+1)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


και την ταυτότητα (α+β)(α2-αβ+β

2)= α

3+β

3 ως εξής:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 3β 3α 2β β α 2α βα

+=+−+

+=+=+⋅−+=+−+

↑↑↓↓↓↓↓↓

..............313x2211x22x21x21x22x41x2

2) Να γίνει γινόµενο η παράσταση y3 + 1

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Την ταυτότητα (α+β)(α2-αβ+β

2)= α

3+β

3, µπορούµε να την δούµε και ως εξής:

α3+β

3=(α+β)(α

2-αβ+β

2)

( ) ( )( )

( ) 2ββ α2αβα 3β3α

............................ yyyyy

↑↑↑↑↑↑↓↓

+−+=+

=21+1⋅−21+=31+3=1+3




1) ΣΕΛΙ∆Α 48 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. i), ii), iii), iv), v)

2) ΣΕΛΙ∆Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 6. η), θ)

3) ΣΕΛΙ∆Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 9. α), γ)

3) ΣΕΛΙ∆Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 11. στ)



∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 15η : Η ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΓΕΝΙΚΑ

ΘΑ ΑΠΟ∆ΕΙΞΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ 12 ε) ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ∆Α 50

Μάθαµε ότι στην « ευθεία απόδειξη » για να αποδείξουµε µια ισότητα Α=Β, µπορούµε να

εργαστούµε ως εξής:

Ξεκινάµε από το 1ο µέλος της ισότητας και καταλήγουµε στο 2ο µέλος

ή Ξεκινάµε από το 2ο µέλος της ισότητας και καταλήγουµε στο 1ο µέλος.

( Συνήθως ξεκινάµε από το πιο πολύπλοκο )

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

• Ξεκινάµε από το 1ο µέλος της ισότητας το οποίο γράφεται:

(α-4)2 + (2α-3)

2 =α

2-2·α·4+4

2+(2α)

2-2·2α·3+3

2 =α

2 -….+16+…. -12α+9 =…α

2 -20α+…

Παρατηρούµε ότι δεν καταλήξαµε στο 2ο µέλος της ισότητας.

• Ξεκινάµε από το 2ο µέλος της ταυτότητας το οποίο γράφεται:

α2 + (2α-5)

2 =α

2+(2α)

2-2·2α·5+5

2=α

2+4α

2-….+25 = 5α

2 - …..+25

Παρατηρούµε ότι δεν καταλήξαµε στο 1ο µέλος της ισότητας.

Όµως παρατηρούµε ότι από όποιο µέλος και αν ξεκινήσουµε καταλήγουµε στο ίδιο

αποτέλεσµα

Η έννοια της « έµµεσης απόδειξης »

Για να αποδείξουµε µια ισότητα Α=Β, µπορούµε να εργαστούµε και ως εξής:

• Ξεκινάµε από το 1ο µέλος της ισότητας και καταλήγουµε σε µια ισότητα Α=Γ.

• Ξεκινάµε από το 2ο µέλος της ισότητας και καταλήγουµε σε µια ισότητα Β=Γ.

Αφού Α=Γ και Β=Γ συµπεραίνουµε ότι Α=Β

Η διαδικασία αυτή λέγεται: « έµµεση απόδειξη »

Στην προκειµένη περίπτωση συµπεραίνουµε ότι: (α-4)2 + (2α-3)

2 = α

2 + (2α-5)

2


2) Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήµατος είναι:

ΑΒ = 4x, AΓ = 4x2 – 1, BΓ = 4x

2 + 1

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

(ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ∆Α 30)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Για να αποδείξουµε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αρκεί να δείξουµε ότι ισχύει το

αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήµατος δηλαδή ότι: ΒΓ2 = ΑΒ

2 + ΑΓ

2

ΒΓ

2=(4x

2+1)

2 =…………………………………………………………………..

ΑΒ

2 + ΑΓ

2 =(4x)

2 +(4x

2-1)

2 = ………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………

3) Να αποδείξετε ότι (x + 2y)2 – (y – 2x)(y + 2x) + (2x – y)

2 = 9x

2 + 4y

2

(ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠ/ΚΟΥ ΣΕΛΙ∆Α 30)

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

• Ξεκινάµε από το 1ο µέλος (πολύπλοκο) το οποίο γράφεται:

(x + 2y)2 – (y – 2x)(y + 2x) + (2x – y)

2 =

=…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………

A

B

Γ

4x2-1

4x

4x2+1




1) ΣΕΛΙ∆Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 7

2) ΣΕΛΙ∆Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 12. στ)

3) ΣΕΛΙ∆Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 15



Τα µαθηµατικά µπορούµε να τα δούµε και σαν την εκµάθηση µιας γλώσσας, δηλαδή

πρέπει να κάνουµε µετάφραση από την καθοµιλουµένη γλώσσα στην γλώσσα των

µαθηµατικών που έχει µαθηµατικά σύµβολα και αντίστροφα να µεταφράζουµε τα

µαθηµατικά σύµβολα στην καθοµιλουµένη γλώσσα

Λεκτική διατύπωση των ταυτοτήτων - επανάληψη

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 16η : ΛΕΚΤΙΚΗ ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ

Για δυο οποιοσδήποτε αριθµούς α , β να επιλέξετε σύµβολα για τις παρακάτω φράσεις:

1.Το άθροισµα τους είναι: Α. α+ β. Β. α-β. Γ. αβ. ∆. α:β

2. Η διαφορά τους είναι: Α. 2 α+ β. Β. 2α-β. Γ. αβ. ∆. α-β

3. Το διπλάσιο γινόµενο τους είναι: Α. (αβ)2. Β. 2(α-β). Γ. 2αβ. ∆. 2α:β

4. Το άθροισµα των τετραγώνων τους είναι: Α. α2 – β

2. Β. α

2 + β

2. Γ. (α+ β)

2. ∆. α

2·β

2.

5. Το τετράγωνο του αθροίσµατος τους είναι: Α. α2 + β

2. Β. (αβ)

2. Γ. (α+ β)

2 . ∆. α

2·β

2.

6. Το άθροισµα των κύβων τους είναι: Α. α2 + β

2. Β. (αβ)

3 Γ. (α+ β)

3 . ∆. α

3+β

3.

7. Ο κύβος του αθροίσµατος τους είναι: Α. α3 + β

2. Β. (α-β)

3 Γ. (α+ β)

3 . ∆. α

3+β

3.

8. Η διαφορά των κύβων τους είναι: Α. α3 + β

3. Β. (α-β)

3 Γ. (α+ β)

3 . ∆. α

3-β

3.

9. Ο κύβος της διαφοράς τους είναι: Α. α3 - β

3. Β. (α-β)

3 Γ. (α+ β)

3 . ∆. α

3+β

3.

10. Η ταυτότητα (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2 µπορεί να διατυπωθεί λεκτικά ως εξής:

Το τετράγωνο του …………………………. δυο αριθµών ισούται µε το άθροισµα των

………………………. των δυο αριθµών συν το ………………………γινόµενο τους.

Tην ταυτότητα (α+β)2 = α

2+2αβ+β

2 την ονοµάζουµε: τετράγωνο του αθροίσµατος

11. Η ταυτότητα (α-β)2 = α

2-2αβ+β


Το τετράγωνο της …………………………. δυο αριθµών ισούται µε το άθροισµα των

………………….. των δυο αριθµών µείον το ………………….. γινόµενο τους.

Tην ταυτότητα (α-β)2 = α

2-2αβ+β

2 την ονοµάζουµε: τετράγωνο της διαφοράς


12. Η ταυτότητα (α-β)(α+β) = α2-β


Το γινόµενο του …………………………. δυο αριθµών επί τη ……………………… τους

ισούται µε το τετράγωνο του µειωτέου µείον το ……………………….του αφαιρετέου.

Tην ταυτότητα (α-β)·(α+β)= α2-β

2 την ονοµάζουµε: γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά

13. Η ταυτότητα (α+β)3 = α

3 +3α

2β+3αβ

2+β


O Κύβος του …………………………….. δυο αριθµών ισούται µε το άθροισµα των

…………………….. των δυο αριθµών συν το τριπλάσιο γινόµενο του καθενός από αυτούς

µε το τετράγωνο του άλλου.

Tην ταυτότητα (α+β)3 = α

3 +3α

2β+3αβ

2+β

3 την ονοµάζουµε: κύβος του αθροίσµατος

14. Η ταυτότητα (α-β)

3 = α

3 -3α

2β+3αβ

2-β


O Κύβος της ……………………. δυο αριθµών ισούται µε την διαφορά των

………………….. των δυο αριθµών µείον το τριπλάσιο γινόµενο του τετραγώνου του

πρώτου µε τον δεύτερο συν το τριπλάσιο γινόµενο του πρώτου µε το τετράγωνο του

δεύτερου.

Tην ταυτότητα (α-β)3 = α

3 -3α

2β+3αβ

2-β

3 την ονοµάζουµε: κύβος της διαφοράς

15. Η ταυτότητα (α-β)(α2+αβ+β

2)= α

3-β


Το γινόµενο της ……………………. δυο αριθµών επί το άθροισµα των τετραγώνων τους

συν το διπλάσιο ……………….. τους ισούται µε την …………………των κύβων τους.

Tην ταυτότητα (α-β)·(α2+αβ+β

2)= α

3-β

3 την ονοµάζουµε: διαφορά κύβων

16. Η ταυτότητα (α+β)(α

2-αβ+β

2)= α

3+β


Το γινόµενο του ……………………. δυο αριθµών επί το άθροισµα των τετραγώνων τους

µείον το διπλάσιο ……………….. τους ισούται µε το …………………των κύβων τους.

Tην ταυτότητα (α+β)·(α2-αβ+β

2)= α

3+β

3 την ονοµάζουµε: άθροισµα κύβων

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ∆Α 50 ΑΣΚΗΣΗ 16


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΕΛΙ∆Α 50

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13, 14, 17

ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ

Οι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και οι οποίες αληθεύουν για όλες τις τιµές των

µεταβλητών τους ονοµάζονται …………………….

ΟΙ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΕΙΝΑΙ:

• τετράγωνο αθροίσµατος: (α+β)2 =…………………………….

• τετράγωνο διαφοράς : (α-β)2 =……………………………..

• κύβος του αθροίσµατος: (α+β)3 =…………………………….

• κύβος της διαφοράς: (α-β)3 =……………………………..

• γινόµενο αθροίσµατος επί διαφορά: (α-β)·(α+β)=………………………….

• άθροισµα κύβων: (α+β)·(α2-αβ+β

2)=……………………

• διαφορά κύβων: (α-β)·(α2+αβ+β

2)=…………………..

« Όσοι το χάλκεον χέρι βαρύ του φόβου αισθάνονται ζυγό δουλείας ας έχωσι, θέλει αρετή και τόλµη η ελευθερία»

(Α. Κάλβος)


ΣΧΕ∆ΙΟ ΚΡΙΤΗΡΙOY ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ: ….......... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:……………….

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ:………………………………………………….

∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ (ανακεφαλαιωτικό)

∆ιάρκεια: 1 διδακτική ώρα Θέµατα: 5

ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ

1 µονάδα

1 µονάδα

1 µονάδα

1ο . Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν

ταυτότητες:

α) (α+β)2=………………………..

β) (α+β)3=………………………..

γ) (α+β)·(α2-αβ+β

2)=……………………

1 µονάδα

1 µονάδα

2ο .

α) Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και

αληθεύει µόνο για κάποιες από τις τιµές των µεταβλητών της.

Σ (σωστό) ή Λ (λάθος)

β) Tην ταυτότητα: (α-β)3 = α

3-3α

2β+3αβ

2-β

3

την ονοµάζουµε: διαφορά κύβων Σ (σωστό) ή Λ (λάθος)

5 µονάδες

3ο . Να αποδείξετε την ταυτότητα: (α-β)

3 = α

3-3α

2β+3αβ

2-β

3

5 µονάδες

4ο . (από το σχολικό βιβλίο άσκηση 11 η) σελίδα 50)

Να κάνετε τις πράξεις : (4α-1)3-α(8α+1)(8α-1)

5 µονάδες

5ο . Να αποδείξετε ότι ένα τρίγωνο ΑΒΓ που έχει πλευρές

α= µ2+ν

2, β=µ

2-ν

2, γ=2µν (µ,ν θετικοί ακέραιοι αριθµοί µε µ>ν)

είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την α.


ΓΕΝΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ:

• ΕΠΕΙ∆Η ΤΩΡΑ ΠΛΕΟΝ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 25ΜΕΛΗ,

ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΧΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΤΑΞΗ ΣΕ ΟΜΑ∆ΕΣ ΤΩΝ 3 Ή 4

ΑΤΟΜΩΝ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΘΑ ∆ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ, ΤΑ ΤΕΛΙΚΑ

ΟΜΩΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΝΑΚΟΙΝΩΝΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ

ΟΜΑ∆ΕΣ ΚΑΙ ΝΑ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ∆ΕΚΤΑ ΑΠΟ ΟΛΟΥΣ.

• ΓΙΑ ΜΗΝ ΧΑΝΟΥΜΕ ΧΡΟΝΟ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΑΠΟ ΤΟ ∆ΙΑΛΛΕΙΜΑ ΜΑΖΙ ΜΕ

ΤΟΥΣ ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑΣΕΙ ΤΑ ΘΡΑΝΙΑ ΒΑΖΟΝΤΑΣ

ΤΑ ΑΝΑ ∆ΥΟ ΜΑΖΙ (ΚΟΛΛΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΡΙΣΤΑ) ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΑΡΕΚΛΕΣ

ΓΥΡΩ-ΓΥΡΩ. ΕΠΙΣΗΣ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΕΤΟΙΜΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ

ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΘΑ ΤΑ ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΑΜΕΣΩΣ ΣΤΙΣ ΟΜΑ∆ΕΣ H

ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΘΑ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗ ΓΙΑ ΤΗΝ

∆Ι∆ΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ ΠΟΥ ΘΑ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣΕΙ, ΕΤΣΙ ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΤΟΝ

ΧΡΟΝΟ ΝΑ ΑΣΧΟΛΟΥΜΑΣΤΕ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΘΕ ΟΜΑ∆Α ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ 5

ΛΕΠΤΑ ΤΗΣ ΩΡΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΙΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΝΤΑΣ ΚΑΙ ΥΠΟΒΟΗΘΩΝΤΑΣ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥΣ.

• ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΗΣ ΟΜΑ∆ΑΣ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ

ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ

ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΚΑΙΡΟΥΣ ΝΑ ΑΛΛΑΖΕΙ Η ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ ΕΙ∆ΙΚΑ

ΑΝ ΒΛΕΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ∆ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ

ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΛΩΝ ΤΗΣ.

• ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΑΚΟΜΗ ΝΑ ΖΗΤΗΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΦΛΑΣΑΚΙ ΝΑ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΑ ΦΥΛΛΑ

ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑ 3 Ή 4 ΜΑΘΗΤΕΣ ΝΑ ∆ΟΥΛΕΥΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΕΝΩ ΕΜΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑ ΒΙΝΤΕΟΠΡΟΒΟΛΕΑ (ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΤΑ

ΣΧΟΛΕΙΑ) ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΟΒΑΛΕΙ ΣΤΟ ΠΙΝΑΚΑ ΤΑ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΠΟ

ΤΟΝ ∆ΙΚΟ ΜΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΝΑ

∆ΕΙΧΝΟΥΜΕ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΘΕΛΟΥΜΕ ΜΕ ΕΝΑ ΑΠΛΟ

ΛΕΙΖΕΡ.

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Documents