Мирсада Ђезић

Филозофски факултет

Универзитет Источно Сарајево

ЈЕЗИК АРИТМЕТИКЕ

Апстракт:

Кључне ријечи: језик, алфабет,

Увод

Под алфабетом се подразумијева ограничен списак елементарних (који се сматрају даље недјељивим) знакова, који се зову словима тог алфабета. Ограничен низ слова неке азбуке која слиједе једно за другим, назива се ријеч те азбуке.

ЈЕЗИК АРИТМЕТИКЕ

Под језиком аритметике подразумијева се језик којим се тврдње формулишу у терминима природних бројева и операција сабирања и множења. На формалном нивоу потребно је поставити одговарајући основни пар. Јасно је да задатак поставке таквог пара не може имати једнако рејшење: могућа су различита слова за означавање једне те исте суштине. Овдје ће бити изабран 14-словни алфабет А (аритметички алфабет) гдје као слова служе сљедећи знаци:

1°-2° - заграде

3° - знак за творбу цифара

4° - знак за творбу промјенљиве величине x

5°-6° - знаци сабирања + и множења ·

7° - знак једнакости =

8°-14°- логички знаци ¬,∧,∨ ,→,↔,∃, ∀Да бисмо издвојили одговарајући скуп истинских тврдњи, морамо предузети нека

разматрања синтаксичког карактера: мораћемо издвојити одређене врсте слова у А∞ и почети се бавити њиховим саставом.

Израз облика a...a гдје је а неко слово, означаваћемо са an. При a=0 израз an је празан, не садржи ниједно слово. Цифрама ћемо називати изразе облика ( f n ) , n ≥0, a

промјенљивим изразе облика ( xn ) , n>0,. У језичкој интерпретацији ( f n ) послужиће као запис

1

броја n, а израз ( xn ) биће једна од промјенљивих, који прелази природни низ (за записивање тврдњи аритметике може се користити ма колико много таквих промјенљивих).

Уведимо сада сљедећу индуктивну дефиницију терме:

1. Све цифре и све промјенљиве су терме;2. Ако су f и терме онда су μL¿;

Параметрима терме називаћемо све промјенљиве, које улазе у њега. Терм, који нема параметре, називаћемо сталним.

Сваком сталном терму је усклађен природни број, његово значење, по сљедећим правилима:

1. Значењем цифре ( I n ) јавља се број n;2. Значењем сталног терма ¿ служи збир значења сталних терми t и , а

значењем сталног терма ( t ∙ ) служи производ значења сталних терми t и .

Сваки израз облика ¿, гдје су t и суштина терме, називаћемо елементарном формулом. На крају увешћемо сљедеће индуктивне формуле:

1. Све елементарне формуле су формуле;2. Ако је формула, онда је ¬ формула;3. Ако су и формуле, онда су (α∧ β ) , (α∨ β ) , (α → β )и ( α ↔ β ) формуле;4. Ако је формула, а s промјенљива, онда су ∃ s α и ∀ s α формуле.

2