Σύνοψη Θεωρίας

Επιμέλεια: Science & Physics 4 all 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΝΟΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Α. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Συχνότητα περιοδικού φαινομένου T

f1

(1 1s ή 1 κύκλος/s ή 1 Hz)

Γωνιακή συχνότητα fT

22

(1rad/s)

Απομάκρυνση σώματος που εκτελεί α.α.τ χωρίς αρχική φάση tAx

Ταχύτητα σώματος που εκτελεί α.α.τ χωρίς αρχική φάση t max όπου

A max

Επιτάχυνση σώματος που εκτελεί α.α.τ χωρίς αρχική φάση t max

όπου A2max

Απομάκρυνση σώματος που εκτελεί α.α.τ με αρχική φάση 0 tx

Ταχύτητα σώματος που εκτελεί α.α.τ με αρχική φάση 0max t

όπου A max

Επιτάχυνση σώματος που εκτελεί α.α.τ με αρχική φάση 0max t

όπου A2max

Διαφορά φάσης t tT

2

Δύναμη επαναφοράς 0max tmFmF

0

2 tmF xmF 2 DxF

Εξίσωση δύναμης επαναφοράς 0max tFF , όπου

DAmF maxmax

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα α.α.τ. DxF

Σταθερά επαναφοράς 2mD

Περίοδος ταλάντωσης D

mT 2 (Προκύπτει θέτοντας στη σχέση 2mD

τη σχέση T

2 )

Όταν έχουμε ένα ελατήριο kD



Κινητική ενέργεια ταλαντούμενου σώματος

tAmtmmK 22222

max

2

2

1

2

1

2

1

Η κινητική ενέργεια της ταλάντωσης σε τυχαία θέση είναι 2

2

1mK , όπου

η ταχύτητα στη θέση αυτή

Δυναμική ενέργεια ταλαντούμενου σώματος tmDxU 2222

2

1

2

1

Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης σε τυχαία θέση είναι 2

2

1DxU , όπου

x απομάκρυνση της θέσης αυτής από τη Θ.Ι.

Ολική ενέργεια της ταλάντωσης:

UKE 222

max

222

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1AmmDADxmE

(Η ολική ενέργεια της απλής αρμονικής ταλάντωσης σε οποιαδήποτε θέση

παραμένει πάντα σταθερή).

Σημείωση: Για να βρούμε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης συνήθως

χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τύπους:

2

2

1DAE ή 2

max2

1mE

Εφαρμογή αρχής διατήρησης της ενέργειας στην απλή αρμονική ταλάντωση:

1η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται το πλάτος της

ταλάντωσης και δίνονται ή ζητούνται η θέση και η ταχύτητα σε μία τυχαία

χρονική στιγμή): 222

max2

1

2

1

2

1DADxmUUKEUK

(Από τη διατύπωση αυτή προκύπτει η σχέση 22 xA που συνδέει

την ταχύτητα και την απομάκρυνση του σώματος από τη Θ.Ι. σε μια τυχαία

χρονική στιγμή.)

2η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται η μέγιστη ταχύτητα

της ταλάντωσης και δίνονται ή ζητούνται η θέση και η ταχύτητα σε μία τυχαία

χρονική στιγμή): 2

max

22

max2

1

2

1

2

1 mDxmKUKEUK

3η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται η μέγιστη ταχύτητα

της ταλάντωσης ή το πλάτος της ταλάντωσης):

2

max

2

maxmax2

1

2

1mDAKU

Όταν έχουμε ένα ελατήριο kD

Προσοχή! H ταχύτητα είναι το και η δυναμική ενέργεια το U .



Έργο δύναμης επαναφοράς

22

2

1

2

1 mmWF

ή 22

2

1

2

1 DxDxWF

Δύναμη ελατηρίου lkF , όπου l η επιμήκυνση του ελατηρίου από το

φυσικό του μήκος.

Όταν έχουμε δύο σώματα σε επαφή που ταλαντώνονται με τη βοήθεια ενός

ελατηρίου τότε η σταθερά επαναφοράς και των δύο σωμάτων ως σύστημα

είναι kD . Η σταθερά επαναφοράς κάθε σώματος ξεχωριστά όμως

είναι 2

11 mD και 2

22 mD . Προφανώς kDD 21

Ρυθμοί μεταβολής στην α.α.τ.

Οι πιο συνηθισμένοι ρυθμοί μεταβολής είναι

1) Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του ταλαντούμενου σώματος

xdt

da

dt

d 2

Όπου α η στιγμιαία επιτάχυνση του σώματος.

2) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ταλαντούμενου σώματος

Dxdt

dpF

dt

dp

Όπου F η δύναμη επαναφοράς.

3)Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης.

Fdt

dK

Όπου F η δύναμη επαναφοράς και η ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος την

ίδια χρονική στιγμή.

4) Ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης. Από τη διατήρηση

της ενέργειας της ταλάντωσης έχουμε

Fdt

dU

dt

dK

dt

dU

dt

dU

dt

dKEUK 0

Όπου F η δύναμη επαναφοράς και η ταχύτητα του ταλαντούμενου σώματος την

ίδια χρονική στιγμή. Όλα τα μεγέθη που περιλαμβάνονται στους παραπάνω τύπους

πρέπει να αντικαθίστανται με το πρόσημό τους.



1. Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής

Α. Κεντρική ελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων

Εφαρμόζουμε τη σχέση 22112211 mmmm . Για να τη γράψουμε σωστά

ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Α) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των σωμάτων πριν και μετά την

κρούση.

Β) Επιλέγουμε αυθαίρετα μια θετική φορά πάνω στην ευθεία κίνησης των δύο

σωμάτων.

Γ) Θέτουμε το πρόσημο (+) στις ταχύτητες που έχουν θετική φορά και το πρόσημο (-)

σ΄ αυτές που έχουν αρνητική φορά.

Όταν δε γνωρίζουμε τη φορά της ταχύτητας ενός σώματος, πριν η μετά την κρούση,

θεωρούμε ότι το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά. Αν μετά τους υπολογισμούς

βρούμε ότι η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, αυτό θα σημαίνει ότι όντως κινείται

κατά τη θετική φορά. Αν βρούμε ότι η ταχύτητα του σώματος είναι αρνητική, τότε το

σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά.

Β. Κεντρική πλαστική κρούση δύο σωμάτων

Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχουμε:

Εφαρμόζουμε τη σχέση Vmmmm )( 212211

Για να τη γράψουμε σωστά ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Α) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των σωμάτων πριν και μετά την

κρούση.

Β) Επιλέγουμε αυθαίρετα μια θετική φορά πάνω στην ευθεία κίνησης των δύο

σωμάτων.

Γ) Θέτουμε το πρόσημο (+) στις ταχύτητες που έχουν θετική φορά και το πρόσημο (-)

σ΄ αυτές που έχουν αρνητική φορά.

Β. ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Εξίσωση φορτίου πυκνωτή όταν για 0t Qq

tQq

Εξίσωση ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα όταν για 0t 0 i

tIi

Σχέση που συνδέει τι μέγιστες τιμές φορτίου ρεύματος QI

Μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή C

QU MAX

2

)(2

1



Μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου 2

)(2

1LIU MAX

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε τυχαία χρονική στιγμή

tEUtC

QU

C

qU 22

22

2

1

2

1

Ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε τυχαία χρονική στιγμή

tEUtLILiU 2222

2

1

2

1

Ολική ενέργεια κυκλώματος LC :

)()( UUUUE 222

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1LICV

C

QLi

C

q

Προσοχή! Η ολική ενέργεια σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση παραμένει

σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή!

Για να βρούμε την ολική ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης συνήθως

χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω τύπους:

C

QE

2

2

1 ή 2

2

1CVE ή 2

2

1LIE

Εφαρμογή αρχής διατήρησης της ενέργειας στο κύκλωμα LC :

1η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται το μέγιστο

φορτίο )(Q και δίνονται ή ζητούνται το φορτίο )(q και η ένταση του ρεύματος

)(i σε μία τυχαία χρονική στιγμή): )(MAXUUUC

QLi

C

q 22

2

2

1

2

1

2

1

2η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται η μέγιστη ένταση

του ηλεκτρικού ρεύματος )(I και δίνονται ή ζητούνται το φορτίο )(q και η

ένταση του ρεύματος )(i σε μία τυχαία χρονική στιγμή):

)(MAXUUU 222

2

1

2

1

2

1LILi

C

q

3η διατύπωση (τη χρησιμοποιούμε εάν δίνεται η ζητείται η μέγιστη ένταση

του ηλεκτρικού ρεύματος )(I ή το μέγιστο φορτίο )(Q ):

22

)()(2

1

2

1LI

C

QUU

4η διατύπωση Στην περίπτωση όπου αντί για το μέγιστο φορτίο )(Q δίνεται η

τάση φόρτισης του πυκνωτή )(V και δίνονται ή ζητούνται το φορτίο )(q και η

ένταση του ρεύματος )(i σε μία τυχαία χρονική στιγμή, τότε η διατύπωση (1)

μετασχηματίζεται ως εξής: )(MAXUUU 222

2

1

2

1

2

1CVLi

C

q



και η διατύπωση (3) ως εξής: 22

)()(2

1

2

1LICVUU

Συγκεντρωτική διατύπωση αρχής διατήρησης της ενέργειας στο κύκλωμα

LC :

Ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου + Ενέργεια μαγνητικού Πεδίου= Μέγιστη ενέργεια

ηλεκτρικού πεδίου = Μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου

222

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1LICV

C

QLi

C

q

Γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης LC :LC

1

Περίοδος ηλεκτρικής ταλάντωσης LC : LCT 2

Σχέση που συνδέει τη μέγιστη ένταση ρεύματος στο κύκλωμα με τη μέγιστη

τιμή της τάσης στους οπλισμούς του πυκνωτή.

L

CVLICVUU

22

)()(2

1

2

1

Σχέσεις που συνδέουν την ένταση του ρεύματος i στο κύκλωμα, με το φορτίο

του πυκνωτή q οποιαδήποτε χρονική στιγμή

222

22

)(2

1

2

1

2

1qQi

C

QLi

C

qUUU

22222

)(

1

2

1

2

1

2

1iIqLILi

C

qUUU

Ρυθμοί μεταβολής στην αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση

1) Ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου στον οπλισμό του πυκνωτή που για

Qqt 0 είναι idt

dq

Στη σχέση αυτή όταν το ρεύμα έχει θετική φορά ( 0i ) ο ρυθμός μεταβολής

dt

dqπροκύπτει θετικός (το φορτίο του οπλισμού αυξάνεται). Αντίστοιχα, όταν το

ρεύμα έχει αρνητική φορά ( 0i ), ο ρυθμός μεταβολής dt

dqπροκύπτει αρνητικός (το

φορτίο του οπλισμού μειώνεται).



Αν αναφερόμαστε στο φορτίο του πυκνωτή, που είναι το φορτίο οποιουδήποτε

οπλισμού χωρίς πρόσημο, τότε στον ρυθμό μεταβολής idt

dq το i λαμβάνεται χωρίς

πρόσημο.

2) Ο ρυθμός μεταβολής της τάσης BAC VVV του πυκνωτή ( V , ο οπλισμός που τη

χρονική στιγμή 0t έχει φορτίο Qq , υπολογίζεται ως εξής

C

i

dt

dV

dt

dq

Cdt

dVq

CV

V

qC CC

C

C

11

3) Ε=σταθ . CLLC PPPPdt

dU

dt

dUUU

00.

Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι κάθε

στιγμή αντίθετος από το ρυθμό μεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή.

4) Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα με τη

στιγμιαία τιμή του φορτίου στον πυκνωτή είναι

LC

q

dt

di

dt

diL

C

qVV LC

5) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή ,δηλαδή

η στιγμιαία ισχύς στον πυκνωτή, είναι

dt

dq

C

q

dt

dU

C

qU

2

2

1 iV

dt

dUP CC

6) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο ,δηλαδή η

στιγμιαία ισχύς στον πηνίο, είναι

iVdt

dUPi

dt

diL

dt

dU

dt

diLi

dt

dULiU LL ||2

1 2

Όταν αναφερόμαστε στη στιγμιαία ισχύ του πυκνωτή η του πηνίου και δεν

ενδιαφερόμαστε για το πρόσημο οι παραπάνω σχέσεις καθώς και τα μεγέθη που

υπεισέρχονται σ’ αυτές αντικαθίστανται χωρίς πρόσημο.

Γ. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις στις οποίες η αντιτιθέμενη

δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας

bF



Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.

Δηλαδή ισχύει η σχέση: RteAA t ,0

Ισχύει: m

b

2 , όπου b η σταθερά απόσβεσης και m η μάζα του

ταλαντούμενου σώματος.

Υπολογισμός χρόνου υποδιπλασιασμού του πλάτους: Έστω ότι τη χρονική

στιγμή 1t το πλάτος είναι 1

0

teAA

. (1) Αν τη χρονική στιγμή 2t το πλάτος

έχει μειωθεί στο μισό τότε: 2

02

teA

A (2).

Διαιρώντας τις (1) και (2) κατά μέλη παίρνουμε:

1

2

0

02/t

t

eA

eA

A

A

22

12/112 )(

tttee

2ln2ln 2/12/1 tt

Η εκθετική μείωση της μέγιστης απομάκρυνσης

Οι μέγιστες απομακρύνσεις προς την ίδια κατεύθυνση μειώνονται εκθετικά με το

χρόνο.

teAA 0 , Tt , ,.....2,1,0 (1)

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων

προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός. Άρα ισχύει

......13

2

2

1

1

0

A

A

A

A

A

A

A

A , ,.....2,1,0

Πράγματι αν θέσουμε Tt 1 και Tt )1(2 στη σχέση (1) τότε

TeAA

0

TeAA )1(

01

,......2,1,0.,

1

TeA

A

Ανάλογα συμπεράσματα ισχύουν και στις ηλεκτρικές φθίνουσες ταλαντώσεις,

όπου το ρόλο της σταθεράς απόσβεσης παίζει η αντίσταση R . Στην

περίπτωση αυτή η εκθετική μείωση του μέγιστου φορτίου (κατ’ αντιστοιχία

με την εκθετική μείωση του πλάτους της ταλάντωσης) είναι:

teQQ 0 , όπου L

R

2



Δ. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις

Ιδιοσυχνότητα ταλαντούμενου συστήματος: m

Df

2

10

Προσοχή! Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης επιβάλλει στην

ταλάντωση την συχνότητά του.

Συντονισμό έχουμε όταν η συχνότητα του διεγέρτη γίνεται ίση με την

ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Συντονισμός ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, για μια ορισμένη συχνότητα του

διεγέρτη, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης ενός συστήματος γίνεται μέγιστο.

Στην ιδανική περίπτωση που μία ταλάντωση δεν έχει απώλεια ενέργειας, όταν 0ff το

πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης όπως φαίνεται στο σχήμα (α) γίνεται άπειρο (σχήμα

α). Στην πράξη όμως αυτό είναι αδύνατο γιατί υπάρχει πάντοτε απόσβεση έστω και μικρή. Όταν

σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση έχουμε απόσβεση, το πλάτος της ταλάντωσης στο συντονισμό

δεν γίνεται άπειρο αλλά παίρνει μια πεπερασμένη μέγιστη τιμή που εξαρτάται από τη σταθερά

απόσβεσης (σχήμα β). Στο σχήμα γ παριστάνεται το πλάτος της ταλάντωσης για διάφορες τιμές

της σταθεράς απόσβεσης. Η αύξηση της σταθεράς απόσβεσης συνεπάγεται μείωση του πλάτους

της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και ταυτόχρονα μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού σε

μικρότερες τιμές.

Η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού προς μικρότερες τιμές επιβεβαιώνει την παρατήρηση

ότι με αύξηση του b η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή μικραίνει.

H σχέση bFF

( F

είναι η εξωτερική περιοδική δύναμη που ωθεί

το ταλαντούμενο σύστημα σε εξαναγκασμένη ταλάντωση και F

η δύναμη

απόσβεσης) ισχύει μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα του διεγέρτη είναι

ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος 0ff .

Ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα απορροφά ενέργεια από το διεγέρτη είναι

ίσος με το ρυθμό μετατροπής της ενέργειας της ταλάντωσης σε θερμότητα

λόγω της δύναμης αντίστασης F . Άρα

FPdt

dQ

dt

dW ή 2|| bF

dt

dW

Ιδιοσυχνότητα ηλεκτρικού κυκλώματος LC :LC

f2

10

)

) )

123 bbb



Ένα κύκλωμα CLR μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση σε πλήρη

αντιστοιχία με ένα μηχανικό σύστημα. Ως διεγέρτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια πηγή

εναλλασσόμενης τάσης όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε το κύκλωμα διαρρέεται από

εναλλασσόμενο ρεύμα με συχνότητα f ίδια με τη συχνότητα εναλλασσόμενης τάσης. Όταν

η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος

(δηλαδή όταν 0ff ) τότε έχουμε συντονισμό.

Στην ιδανική περίπτωση που μία ηλεκτρική ταλάντωση δεν έχει απώλεια ενέργειας )0( R ,

όταν 0ff το πλάτος της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος όπως φαίνεται στο σχήμα

γίνεται άπειρο. Στην πράξη όμως αυτό είναι αδύνατο γιατί υπάρχει πάντοτε αντίσταση έστω και

μικρή )0( R . Όταν σε μια εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση έχουμε αντίσταση, το πλάτος

της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος στο συντονισμό δεν γίνεται άπειρο αλλά παίρνει μια

πεπερασμένη μέγιστη τιμή που εξαρτάται από την τιμή της ωμικής αντίστασης. Στο σχήμα

παριστάνεται το πλάτος της έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος για διάφορες τιμές της

ωμικής αντίστασης.

Στις εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ισότητα )()( MAXEMAXB UU

ισχύει μόνο όταν η γωνιακή συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης είναι ίση

με τη γωνιακή ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος 0

To ποσό θερμότητας που αναπτύσσεται στην αντίσταση R του κυκλώματος

LC σε χρόνο Tt είναι RTIQ 2

, όπου 2

II είναι η ενεργός τιμή της

έντασης του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα

Γενικότερα, η σχέση tRIQW R 2

δίνει τις απώλειες λόγω φαινομένου

Joule σε κύκλωμα RLC για ένα χρονικό διάστημα Δt το οποίο είναι ακέραιο

πολλαπλάσιο της περιόδου T της ηλεκτρικής ταλάντωσης.

Ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας στην αντίσταση λόγω φαινομένου Joule

δίνεται από τη σχέση RiP 2

Ε. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, που

γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση.

Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις θα είναι αντίστοιχα:



tAx 11 (α)

)(22 tAx (β)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, η απομάκρυνση του σώματος

κάθε στιγμή θα είναι το άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε αν έκανε την

κάθε ταλάντωση ξεχωριστά (σχ. γ) δηλαδή

21 xxx (γ)

Αν αντικαταστήσουμε τις εξισώσεις (α),(β) στην εξίσωση (γ) τότε :

)(21 tAtAx

Όπου 21

2

2

2

1 2 AAAAA και

21

2

AA

A

άρα 21

2

2

2

1 2 AAAAA 2

21 )( AAA || 21 AAA

και 00 ή 180

Δηλαδή, το πλάτος είναι ίσο με την απόλυτη τιμή της διαφοράς των πλατών και η

φάση ίση με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος (δηλαδή 0

όταν 21 AA και 180 όταν 21 AA .

Β. Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω

από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες, δηλαδή:

tAx 11 και tAx 22

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων

Η παραπάνω σχέση μπορεί να πάρει τη μορφή

)( tAx ,

Ειδικές περιπτώσεις :

α) 0 . Τότε 1 ,

άρα 21

2

2

2

1 2 AAAAA 2

21 )( AAA 21 AAA και 00

δηλαδή το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των πλατών και η φάση

της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους ταλαντώσεων.

β) 180 . Τότε 1 ,



21 xxx tAtAx 21 )( 21 ttAx

)2

()2

(2 2121 ttAx

Η κίνηση του σώματος δεν είναι απλή αρμονική ταλάντωση

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η κίνηση στην περίπτωση που οι δύο επιμέρους γωνιακές

συχνότητες διαφέρουν πολύ λίγο. Τότε ο παράγοντας

)2

(2 21 tAA

μεταβάλλεται (από 0|| A έως AA 2|| )πολύ πιο αργά

με το χρόνο (επειδή )02

21

από τον παράγοντα )2

( 21 t

, ο οποίος

μεταβάλλεται με γωνιακή συχνότητα 2

21 . Επειδή όμως οι συχνότητες 1

και 2 διαφέρουν ελάχιστα συμπεραίνουμε 2121

2

.

Άρα, tAx

Η σχέση αυτή περιγράφει μια ιδιόμορφη ταλάντωση που έχει την ίδια περίπου

συχνότητα με τις επί μέρους ταλαντώσεις και πλάτος | A | που μεταβάλλεται, με αργό

ρυθμό, από μηδέν μέχρι 2Α. Λέμε ότι η κίνηση του σώματος παρουσιάζει

διακροτήματα.

Ο χρόνος T ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή δύο διαδοχικές

μεγιστοποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Υπολογισμός περιόδου διακροτήματος

Το πλάτος )2

(2 21 tAA

μηδενίζεται όταν 0)2

( 21

t

2)12(

2

|| 21

t , όπου κ=0,1,2,……

Θέτοντας κ=0 και κ=1 στην τελευταία σχέση, μπορούμε να έχουμε δύο χρονικές

στιγμές 1t και 2t που αντιστοιχούν σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους A .

Για κ=0 έχουμε ||22

||

21

1121

tt

Για κ=1 έχουμε ||

3

2

3

2

||

21

2221

tt

Όμως από τον ορισμό της περιόδου του διακροτήματος έχουμε :



T||||

3

2121

12

Ttt

||2

2

||

2

2121 ffT

||

1

21 ffT

Περίοδος του διακροτήματος

Η συχνότητα του διακροτήματος δίνεται από τη σχέση

||1

21 fffT

f

Συχνότητα του διακροτήματος

Η συχνότητα f του διακροτήματος εκφράζει τον αριθμό των διακροτημάτων ανά

δευτερόλεπτο.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΥΜΑΤΑ

Α. ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Ταχύτητα διάδοσης κύματος: t

x

Αν θέσουμε στη σχέση t

x , Tt και x

T

ή f (Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής)

Η συχνότητα f εξαρτάται μόνο από την πηγή του κύματος και η ταχύτητα

από το μέσο διάδοσης.

Όταν ένα κύμα μεταβαίνει από ένα μέσο Α (όπου έχει ταχύτητα A ) σε ένα

μέσο Β (όπου έχει ταχύτητα B ) τότε θα μεταβληθεί το μήκος κύματος του

κύματος από A σε B . Δηλαδή B

B

A

Af

.

Ας υποθέσουμε ότι μια πηγή αρμονικής διαταραχής Ο αρχίζει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 00 t και ότι η ταλάντωσή της περιγράφεται

από τη σχέση ty . Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου θα αρχίσει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή

xt 1 . Επομένως τη χρονική στιγμή t ,το

σημείο Μ θα ταλαντώνεται επί χρόνο

xttt 1 και, με την προϋπόθεση

ότι το πλάτος της ταλάντωσης του Μ είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης του

Ο η εξίσωση της κίνησής του θα είναι

)(2)(2

)(T

x

T

ty

xt

Ty

xty

Όμως

επειδή TT

, θα έχουμε )(2

x

T

ty

Η εξίσωση αυτή ονομάζεται εξίσωση του αρμονικού κύματος

Εξίσωση αρμονικού κύματος: )(2

x

T

ty διάδοση προς τα δεξιά

(δηλαδή προς τη θετική κατεύθυνση)

Φάση κύματος: )(2

x

T

t

Εξίσωση αρμονικού κύματος: )(2

x

T

ty διάδοση προς τα

αριστερά (δηλαδή προς την αρνητική κατεύθυνση)



Στιγμιότυπο κύματος

Το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης, δίνει τη θέση των διαφόρων σημείων του μέσου

μια ορισμένη χρονική στιγμή και ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος. Στο σχήμα

φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Η απόσταση στην οποία έχει φθάσει το κύμα τη

χρονική στιγμή 1t είναι: 11 tx

, όπου η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.

Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου

Φάση του αρμονικού κύματος

Στην εξίσωση του κύματος, η παράσταση:

xt2 έχει διαστάσεις γωνίας και

ονομάζεται φάση του κύματος.

Παρατηρούμε ότι σε ένα δεδομένο σημείο του άξονα Οx ( 1xx ) η φάση θα μεταβάλλεται

σε συνάρτηση με το χρόνο:

Για δεδομένη χρονική στιγμή ( 1tt ), η εξίσωση

του αρμονικού κύματος γράφεται:

x

y .2

και δίνει την απομάκρυνση κάθε σημείου του

μέσου συναρτήσει της απόστασής του από την

πηγή.

Για ορισμένη απόσταση από την πηγή

( 1xx ), η εξίσωση του κύματος γίνεται

.2

ty και δίνει την

απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου

του μέσου συναρτήσει του χρόνου.

Η γραφική παράσταση της σχέσης αυτής

είναι η γνωστή μας γραφική παράσταση της

απλής αρμονικής ταλάντωσης (βλ. σχήμα).

x

y

1t

Απόσταση στην οποία έχει

φθάσει το κύμα τη χρονική

στιγμή Tt 1

y

t

Στιγμιότυπο κύματος τη

χρονική στιγμή Ttt 1

1x

Το συγκεκριμένο σημείο αρχίζει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1

1

xt ,

δηλαδή μόλις η διαταραχή φθάσει σε αυτό.

Γραφική παράσταση θέσης

συναρτήσει του χρόνου του

σημείου στη θέση 1xx

(Γραφική παράσταση απλής αρμονικής

ταλάντωσης)



12

xt

1

22xt

.

2

t

Άρα η γραφική παράσταση της φάσης ενός σημείου συναρτήσει του χρόνου θα προκύπτει

από την εξίσωση:

Από την παραπάνω γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι για 0 , προκύπτει η στιγμή

1tt όπου αρχίζει το σημείο στη θέση 1xx να ταλαντώνεται:

0

022

11 xt

11

22xt

11 xt

1

1

xt (1)

Όμως από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής γνωρίζουμε ότι:

f

1 (2)

Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) και έχουμε:1

1

xt (χρονική στιγμή στην οποία το σημείο

στη θέση 1xx αρχίζει να ταλαντώνεται).

Επίσης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή ( 1tt ) η φάση θα μεταβάλλεται σε συνάρτηση με

την απόσταση x από την πηγή του κύματος:

xt12

xt

221 x

2. .

2

x

Άρα η γραφική παράσταση της φάσης ενός σημείου σε συνάρτηση με την απόσταση x από

την πηγή του κύματος θα προκύπτει από την εξίσωση:

Η εξίσωση .2

t είναι της

μορφής: xy , όπου:

y

2

xt

1x t

Γραφική παράσταση φάσης

συναρτήσει του χρόνου του

σημείου στη θέση 1xx

2

Το συγκεκριμένο σημείο αρχίζει να

ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή 1

1

xt ,

δηλαδή μόλις η διαταραχή φθάσει σε αυτό.



Από την παραπάνω γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι για 0 , προκύπτει η θέση

1xx στην οποία έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή 1tt :

0

022

11 xt

11

22xt

11 xt

1

1

tx

(1)

Όμως από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής γνωρίζουμε ότι:

f

(2)

Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) και έχουμε: 11 tx (θέση στην οποία έχει φθάσει το κύμα

τη χρονική στιγμή 1tt ).

Διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων την ίδια χρονική στιγμή:

)(2)(2

BA x

T

tx

T

t

AB xx

2

x

2

Συνθήκη συμφωνίας φάσης δύο σημείων του μέσου: ,...2,1,0, x

Όταν ισχύει η συνθήκη αυτή, τότε αυτά τα δύο σημεία απέχουν το ίδιο από τη

θέση ισορροπίας τους και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.

Συνθήκη αντίθεσης φάσης μεταξύ δύο σημείων του μέσου:

,...2,1,0,2)12(

x

Η εξίσωση .2

x είναι της

μορφής: xy , όπου:

y

2

Γραφική παράσταση φάσης των

σημείων του μέσου τη χρονική

στιγμή 1tt σε συνάρτηση με την

απόσταση x από την πηγή.

x 1t

1

2t

Απόσταση στην οποία έχει

φθάσει το κύμα τη χρονική

στιγμή 1t



Όταν ισχύει η συνθήκη αυτή, τότε αυτά τα δύο σημεία έχουν αντίθετη

απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται προς την αντίθετη

κατεύθυνση.

Διαφορά φάσης του ίδιου σημείου σε 2 διαφορετικές χρονικές στιγμές: Η

αύξηση της φάσης της ταλάντωσης ενός σωματιδίου του μέσου (x=σταθ.) που

βρίσκεται κατά μήκος της ευθείας διάδοσης ενός αρμονικού κύματος από τη

χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή tt δίνεται από την σχέση

)(2)(2

x

T

tx

T

tt

T

t 2

Ολική ενέργεια της ταλάντωσης οποιουδήποτε σημείου του μέσου:

222

2

1

2

1

2

1DymDA

Ταχύτητα ταλάντωσης ενός οποιουδήποτε σωματιδίου του μέσου

)(2

x

T

tA

Επιτάχυνση ταλάντωσης ενός οποιουδήποτε σωματιδίου του μέσου

)(22

x

T

tA

Εξίσωση αρμονικού κύματος με αρχική φάση της ταλάντωσης της πηγής:

])(2[ 0

x

T

tAy

Συχνότητα μηχανικών κυμάτων t

nf

1 (n : αριθμός ‘πυκνωμάτων’ ή

‘αραιωμάτων ‘ διαμήκους κύματος ή αριθμός ‘όρων’ και ‘κοιλάδων’

εγκάρσιου κύματος)

Β. ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ, ΥΠΕΡΘΕΣΗ, ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ

Όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα η

απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη

των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επί μέρους κύματα.

Η ταυτόχρονη διάδοση δύο η περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός

ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή.

Συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού:

......21 yyy



Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις 1r και 2r , από τις δύο πηγές, διαφέρουν

κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ

Δηλαδή Nrr 21 , όπου ,.....3,2,1,0

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Τότε έχουμε ενίσχυση.

Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις 1r και 2r , από τις δύο πηγές, διαφέρουν

κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος (λ/2)

Δηλαδή 2)12(21

Nrr , όπου ,.....3,2,1,0

μένουν συνεχώς ακίνητα. Τότε έχουμε απόσβεση.

Όλα τα υπόλοιπα σημεία κάνουν ταλάντωση με ενδιάμεσο πλάτος.

Στα σημεία που έχουμε ενίσχυση, οι φάσεις των κυμάτων που συμβάλλουν

διαφέρουν κατά 2 , όπου ,.....3,2,1,0

Στα σημεία που έχουμε απόσβεση, οι φάσεις των κυμάτων που συμβάλλουν

διαφέρουν κατά )12( , όπου ,.....3,2,1,0

Μαθηματική περιγραφή φαινομένου

Έστω ότι ένα τυχαίο σημείο Μ του μέσου στο οποίο διαδίδονται ταυτόχρονα

κύματα που προέρχονται από τις πηγές Α και Β, απέχει από αυτές 1r και 2r

αντίστοιχα. Μια τυχαία χρονική στιγμή t το σημείο αυτό έχει απομάκρυνση

)(2 11

r

T

tAy εξαιτίας του πρώτου κύματος (1)

)(2 22

r

T

tAy εξαιτίας του δεύτερου κύματος (2)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση του σημείου αυτού

από τη θέση ισορροπίας του τη χρονική στιγμή t θα είναι

21 yyy

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις (1),(2) θα έχουμε:

)](2)(2[ 21

r

T

tr

T

tAy (3)

Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα

)2

()2

(2



Η σχέση (3) γίνεται )2

(22

22 2121

rr

T

trrAy

Επομένως το αποτέλεσμα της συμβολής είναι ταλάντωση που έχει πλάτος

2

22 21 rrAA

(4)

και φάση )2

(2 21

rr

T

t

Η περίοδος T της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι ίση με την περίοδο των

κυμάτων που συμβάλλουν.

Για τη μέγιστη ταχύτητα και τη μέγιστη επιτάχυνση του σημείου Μ ισχύουν οι

σχέσεις ||max A και ||2max A αντίστοιχα.

Σύμφωνα με τη σχέση (4), το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο (Α΄=2Α)

όταν

Nrrrr

2

||21

22 2121

Συνθήκη ενίσχυσης Nrr || 21 , ,....2,1,0N

Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία της επιφάνειας του μέσου που η διαφορά των

αποστάσεών τους από τις δύο πηγές των κυμάτων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο

του μήκους κύματος , εκτελούν ταλάντωση με μέγιστο πλάτος A2 .

Το πλάτος της ταλάντωση A γίνεται μηδενικό ( 0A ) όταν

2)12(

2

||20

22 2121

N

rrrr

Συνθήκη απόσβεσης 2)12(|| 21

Nrr , ,....2,1,0N

Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία της επιφάνειας του μέσου που η διαφορά των

αποστάσεών τους από τις δύο πηγές των κυμάτων είναι περιττό πολλαπλάσιο

του μισού μήκους κύματος 2/ , παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

Δύο πηγές κυμάτων ονομάζονται σύμφωνες πηγές όταν οι ταλαντώσεις τους

έχουν σταθερή διαφορά φάσης.

Σύμφωνες πηγές .



Για να είναι η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων σταθερή, πρέπει αυτές

να έχουν την ίδια συχνότητα. Αν θεωρήσουμε ότι δύο πηγές κυμάτων

ταλαντώνονται σύμφωνα με τις εξισώσεις

tAy 11 ttt )()( 1212 . Για να ισχύει:

)( 22 tAy . πρέπει : 121212 0 ff

Όταν η σταθερή διαφορά φάσης των ταλαντώσεων δύο σύμφωνων πηγών

είναι ίση με το μηδέν τότε οι δύο πηγές ονομάζονται σύγχρονες.

Σύγχρονες πηγές 0

Οι σύγχρονες πηγές δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα

Γ. ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

Έστω το αρμονικό κύμα με εξίσωση )(21

x

T

tAy (1)

που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x.

Ένα δεύτερο κύμα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, που διαδίδεται κατά την

αντίθετη κατεύθυνση θα περιγράφεται από την εξίσωση

)(22

x

T

tAy (2)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση ενός σημείου Μ του

μέσου τη χρονική στιγμή t, θα είναι

21 yyy (3)

Επομένως αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (1) και (2) στην (3) παίρνουμε:

)](2)(2[

x

T

tx

T

tAy (4)

Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα

)2

()2

(2

παίρνουμε την εξίσωση του στάσιμου κύματος:

tT

xAy

222



Παρατηρούμε ότι ο όρος

x

AA 22

εξαρτάται μόνο από τη θέση x του σημείου και παραμένει σταθερός με το

χρόνο.

Άρα η εξίσωση του στάσιμου κύματος μπορεί να πάρει τη μορφή

tT

Ay

2

ή tAy

Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση που έχει την ίδια

συχνότητα με αυτή των δύο κυμάτων.

Το πλάτος της ταλάντωσης A δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία αλλά

εξαρτάται από τη θέση κάθε σημείου του μέσου.

Ο όρος A γίνεται μέγιστος, AA 2 , όταν

Ax

A 222

xx

212

2

x , ,.....2,1,0

Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0x )

αποστάσεις που δίνονται από την παραπάνω σχέση] ταλαντώνονται με

μέγιστο πλάτος. Είναι οι κοιλίες του στάσιμου κύματος.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών του στάσιμου κύματος είναι 2

(διότι 222

)1(

d )

Ο όρος A μηδενίζεται όταν, 0A , όταν

022

x

A 2)12(,.....,

2

3,2

2

x

4)12(,...,

4

3,4

x , ,.....2,1,0

Τα σημεία αυτά [του θετικού ημιάξονα που απέχουν από την αρχή Ο( 0x )

αποστάσεις που δίνονται από την παραπάνω σχέση] μένουν διαρκώς

ακίνητα. Είναι οι δεσμοί του στάσιμου κύματος.

Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος είναι 2

(διότι 24

)12(4]1)1(2[

d )



Συμπέρασμα: Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι

ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των

οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα

Για παράδειγμα στο παρακάτω στιγμιότυπο παρατηρούμε ότι:

Τα σημεία Α και Β έχουν την ίδια φάση. Τα σημεία Β και Γ έχουν διαφορά φάσης π rad.

Επίσης από το σχήμα επιβεβαιώνουμε ότι δύο διαδοχικοί δεσμοί και δύο διαδοχικές κοιλίες

απέχουν απόσταση λ/2.

Σε κάθε άτρακτο αντιστοιχεί μία κοιλία του στάσιμου κύματος,

`

Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ένα μέσο του οποίου τα

δύο άκρα είναι ακίνητα (όπως π.χ. σε μια χορδή μουσικού οργάνου). Επειδή

τα άκρα της χορδής είναι οι δεσμοί του στάσιμου κύματος, πρέπει το μήκος L

της χορδής και το μήκος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα

να συνδέονται με τη σχέση

2

L , ,...2,1

y

x

Δεσμός

2/

2/

Δεσμός Δεσμός

Κοιλία Κοιλία

y

x

Άτρακτος

2/

Κοιλία



Στάσιμα κύματα σε χορδές:

κ=2 κ=3 κ=4

Η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού

μέσου κατά μήκος του οποίου δημιουργείται στάσιμο κύμα σε συνάρτηση με

το χρόνο δίνονται από τις εξισώσεις:

tA

tA 2 όπου

x

AA 22

Η μέγιστη ταχύτητα και η μέγιστη επιτάχυνση ενός σημείου του μέσου που

δεν είναι δεσμός είναι, αντίστοιχα:

||max A

||2max A όπου | |A το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου.

Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν την ίδια φορά κίνησης,

διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους την ίδια χρονική στιγμή και φθάνουν

ταυτόχρονα στις μέγιστες απομακρύνσεις τους.. Άρα έχουν την ίδια φάση

0 .

Δύο σημεία που βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού και σε απόσταση

μικρότερη από 2/ έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετη φορά κίνησης. Τα

σημεία αυτά διέρχονται ταυτόχρονα από τις θέσεις ισορροπίας τους και

φθάνουν ταυτόχρονα στις μέγιστες απομακρύνσεις τους. Άρα δύο τέτοια

σημεία έχουν κάθε στιγμή διαφορά φάσης rad.

Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης ενός σωματιδίου μιας χορδής που εκτελεί

στάσιμο κύμα διατηρείται σταθερή. Ισχύει η σχέση:

222

2

1

2

1)(

2

1mDyAD

όπου y η απομάκρυνση και u η ταχύτητα του σωματίου τη χρονική στιγμή .t

Δ. ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Κάθε στιγμή το λόγος των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του

μαγνητικού πεδίου είναι ίσος με την ταχύτητα διάδοσής τους

c

B

E



Οι εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, ενός

αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση x,

είναι

Η σχέση cB

E τη χρονική στιγμή που τα μέτρα των δύο εντάσεων γίνονται

μέγιστα, γίνεται cB

E

max

max

Όταν η διεύθυνση των διανυσμάτων E

και B

είναι οι διευθύνσεις των αξόνων

x και y τότε το Η/Μ κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα z .

Αν υποθέσουμε ότι το Η/Μ κύμα διαδίδεται σε ομογενές διαφανές μέσο τότε

BE όπου η ταχύτητα του Η/Μ κύματος στο μέσο.

Εφόσον όλα τα Η/Μ κύματα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα c, η

συχνότητα τους και το μήκος κύματος συνδέονται με τη σχέση

fc

Ραδιοκύματα: Είναι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος από 510 m έως μερικά

εκατοστά. Δημιουργούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα, όπως τα κυκλώματα LC, και

χρησιμοποιούνται στη ραδιοφωνία και την τηλεόραση.

Μικροκύματα: Το μήκος κύματός τους εκτείνεται από 30cm έως 1mm περίπου. Παράγονται

από ηλεκτρονικά κυκλώματα. Οι φούρνοι μικροκυμάτων με τους οποίους μαγειρεύουμε ή

ζεσταίνουμε γρήγορα το φαγητό λειτουργούν με κύματα αυτής της περιοχής. Μικροκύματα

χρησιμοποιούν και τα ραντάρ.

Υπέρυθρα κύματα: Καλύπτουν την περιοχή από 1mm έως 7107 m περίπου. Τα κύματα αυτά

εκπέμπονται από τα θερμά σώματα και απορροφώνται εύκολα από τα περισσότερα υλικά. Η

υπέρυθρη ακτινοβολία που απορροφάται από ένα σώμα αυξάνει το πλάτος της ταλάντωσης των

σωματιδίων από τα οποία αποτελείται, αυξάνοντας έτσι τη θερμοκρασία του.

Το ορατό φως. Είναι το μέρος εκείνο της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που ανιχνεύει ο

ανθρώπινος οφθαλμός. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός κυμαίνεται από 400 nm έως 700

nm (δηλαδή από 400× 910 m έως 700× 910 m). Το ορατό φως παράγεται από την

ανακατανομή των ηλεκτρονίων στα άτομα και στα μόρια. Κάθε υποπεριοχή του ορατού

φάσματος προκαλεί στον άνθρωπο την αίσθηση κάποιου συγκεκριμένου χρώματος.

Προσεγγιστικά τα μήκη κύματος των διαφόρων χρωμάτων του ορατού φάσματος είναι :

Μια ακτινοβολία που περιέχει μήκη κύματος σε μια πολύ στενή περιοχή χαρακτηρίζεται

μονοχρωματική. Για παράδειγμα, μια ακτινοβολία από 490 έως 491 nm είναι μια πράσινη

)(2max

x

T

tEE )(2max

x

T

tBB



μονοχρωματική αντινοβολία. Τέτοια ακτινοβολία μπορούμε να πάρουμε με τη χρήση ειδικών

πηγών ή φίλτρων. Όταν χρησιμοποιούμε την έκφραση «μονοχρωματικό φως με μήκος κύματος

580nm» στην πραγματικότητα εννοούμε φως σε μια στενή περιοχή μηκών κύματος γύρω στα

580 nm. Το απόλυτα μονοχρωματικό φως, δηλαδή το φως που αποτελείται μόνο από ένα μήκος

κύματος, αποτελεί μια εξιδανίκευση. Τα λέιζερ παράγουν φως που πλησιάζει πολύ στο απόλυτα

μονοχρωματικό.

Υπεριώδης ακτινοβολία: Η ακτινοβολία αυτή καλύπτει τα μήκη κύματος από 3,8× 710 m έως

6× 810 m περίπου. Ο Ήλιος είναι ισχυρή πηγή υπεριώδους ακτινοβολίας. Οι υπεριώδεις

ακτίνες είναι υπεύθυνες για το ‘μαύρισμα’ όταν κάνουμε ηλιοθεραπεία, το καλοκαίρι. Μεγάλες

δόσεις υπεριώδους ακτινοβολίας βλάπτουν τον ανθρώπινο οργανισμό. Το μεγαλύτερο μέρος της

υπεριώδους ακτινοβολίας, που φτάνει στη Γη από τον Ήλιο απορροφάται από τα άτομα και τα

μόρια της ανώτερης ατμόσφαιρας (στρατόσφαιρα). Το όζον της στρατόσφαιρας, απορροφά

κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία. Σήμερα ανησυχούμε για την πιθανή

καταστροφή αυτής της προστατευτικής ασπίδας ενάντια στις υπεριώδεις ακτίνες του Ήλιου. Το

όζον της στρατόσφαιρας μειώνεται εξαιτίας εκτεταμένης χρήσης των χλωροφθορανθράκων,

ενώσεων που χρησιμοποιούνται στα ψυγεία, τα κλιματιστικά τους ψεκαστήρες και αλλού.

Οι ακτίνες Χ (ή ακτίνες Röntgen): είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκη κύματος από 810 m έως 1310 m περίπου. Η πιο κοινή αιτία παραγωγής ακτίνων Χ είναι η επιβράδυνση

ηλεκτρονίων που προσκρούουν με μεγάλη ταχύτητα σε ένα μεταλλικό στόχο. Οι ακτίνες Χ

χρησιμοποιούνται στην ιατρική, κυρίως για διαγνωστικούς σκοπούς (ακτινογραφίες), και στη

μελέτη των διαφόρων κρυσταλλικών δομών. Οι ακτίνες Χ μπορούν να προκαλέσουν βλάβες

στους ζωντανούς οργανισμούς και γι’ αυτό πρέπει να αποφεύγουμε την έκθεσή μας σ' αυτές

χωρίς σοβαρό λόγο.

Οι ακτίνες γ: Είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπεται από ορισμένους

ραδιενεργούς πυρήνες καθώς και σε αντιδράσεις πυρήνων και στοιχειωδών σωματιδίων ή

ακόμα και κατά τη διάσπαση στοιχειωδών σωματιδίων. Τα μήκη κύματός τους αρχίζουν από 1010 m και φτάνουν ως τα 1410 m. Είναι πολύ διεισδυτικές και βλάπτουν τους οργανισμούς

που τις απορροφούν.

Συμπερασματικά μπορούμε να γράψουμε ότι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μπορούν να

καταταγούν κατά σειρά αυξανόμενης συχνότητας (και ελαττούμενου μήκους κύματος) ως εξής:

Ραδιοκύματα

Μικροκύματα

Υπέρυθρο

Υπεριώδες

Ακτίνες Χ

Ακτίνες γ

Ε. ΑΝΑΚΛΑΣΗ –ΔΙΑΘΛΑΣΗ-ΟΛΙΚΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ

Όταν έχουμε ανάκλαση σε λεία επιφάνεια: Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο

πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Η γωνία ανάκλασης, r είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης

r

Η συχνότητα

αυξάνεται

Το μήκος κύματος

αυξάνεται



Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό (c) , προς την ταχύτητά του (υ)

στο υλικό

ονομάζεται δείκτης διάθλασης (n) του οπτικού υλικού.

Ο δείκτης διάθλασης είναι καθαρός αριθμός και για οποιοδήποτε υλικό είναι

μεγαλύτερος της μονάδας διότι c 1 n . (Για το κενό ισούται με τη

μονάδα διότι c )

Σημείωση: Ο δείκτης διάθλασης είναι ανεξάρτητος από τη γωνία πρόσπτωσης.

Όταν το φως είναι μονοχρωματικό, ο λόγος του ημίτονου της γωνίας

πρόσπτωσης ( a ) προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης ( b ) είναι ίσος με

τον αντίστροφο λόγο των δεικτών διάθλασης των δύο μέσων.

Η σχέση αυτή ονομάζεται και νόμος του Snell.

Αν το ένα από τα δύο διαφανή μέσα είναι το κενό η ο αέρας τότε

αντικαθιστούμε τον αντίστοιχο δείκτη διάθλασης με τη μονάδα. Έτσι αν το

κενό η ο αέρας είναι το μέσο α τότε οι παραπάνω σχέσεις γράφονται:

b

b

n

ή bbn

Όταν μια μονοχρωματική ακτινοβολία μεταβαίνει από το κενό (ή τον αέρα) σε

κάποιο άλλο διαφανές μέσο, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας μειώνεται.

Απόδειξη:

Έστω f η συχνότητα της ακτινοβολίας. Η θεμελιώδης εξίσωση της

κυματικής για το κενό γράφεται:

fc 0 , όπου 0 το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο κενό.

Για ένα διαφανές μέσο η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής γράφεται:

f , όπου το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό.

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη παίρνουμε:

0

c

0n

cn

n

nb

b

bba nn

n

0



όπου n ο δείκτης διάθλασης του μέσου.

Μπορούμε να βρούμε την κρίσιμη γωνία crit για την οποία έχουμε ολική

εσωτερική ανάκλαση χρησιμοποιώντας το νόμο του Snell.

a

b

b n

n

. Θέτουμε στη σχέση αυτή = crit και b90 .

Άρα a

bcrit

n

n

90

a

bcrit

n

n

Όταν το φως κατευθύνεται από ένα διαφανές μέσο με δείκτη διάθλασης

nna στο κενό 1bn τότε n

crit

1

Όταν μια φωτεινή μονοχρωματική δέσμη κατευθύνεται από ένα διαφανές

μέσο σε άλλο με μικρότερο δείκτη διάθλασης, θα πρέπει να εξετάσουμε αν

έχουμε διάθλαση ή ολική εσωτερική ανάκλαση. Επομένως:

α) Υπολογίζουμε το ημίτονο της κρίσιμης γωνίας crit των δύο μέσων από τη

σχέση:

a

bcrit

n

n ή από τη σχέση

ncrit

1 ( όταν το διαφανές μέσο με το μικρότερο δείκτη διάθλασης είναι

ο αέρας ή το κενό.)

β) Υπολογίζουμε το ημίτονο της γωνίας πρόσπτωσης .

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

1. Αν critcrit τότε θα έχουμε ολική εσωτερική

ανάκλαση της δέσμης.

2. Αν critcrit , τότε θα έχουμε διάθλαση και η

διαθλώμενη δέσμη κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική

επιφάνεια των δύο μέσων.

3. Αν critcrit τότε θα έχουμε διάθλαση της

φωτεινής δέσμης.



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

Σε σώμα που στρέφεται, κάθε σημείο κινείται με γωνιακή ταχύτητα ω και γραμμική ταχύτητα

που υπολογίζεται από τη σχέση: r όπου r η απόσταση του από τον άξονα

περιστροφής.

Γωνιακή επιτάχυνση του σώματος ονομάζεται ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας

του σώματος τη στιγμή t, dt

d

.

Προσδιορισμός της ταχύτητας διαφόρων σημείων της περιφέρειας του τροχού

Η ταχύτητα κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταμένη της ταχύτητας

cm

, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας

, λόγω περιστροφικής

κίνησης. Αν λάβουμε υπόψη τη σχέση Rcm , τότε μπορούμε να βρούμε την

ταχύτητα οποιουδήποτε σημείου της περιφέρειας του τροχού.

Η ταχύτητα του σημείου Δ του

τροχού είναι:

cm cm cmcm cm 2

Η ταχύτητα του σημείου B του τροχού είναι:

cm

22 cm

22 cm cm 2

Η κατεύθυνση της ταχύτητας

προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη

σχέση: 1cm

cm

cm

45 (Ομοίως και για το σημείο Α)

Το μέτρο της ταχύτητας ενός τυχαίου σημείου Σ δίνεται από τη σχέση

cmcm 222 cmcmcmcm 222

22 22 cmcm 12 2

cm 12cm

, όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων cm

και

.

Η κατεύθυνση της ταχύτητας

προσδιορίζεται από τη γωνία , η οποία δίνεται από τη

σχέση:

cm

cmcm

cm

1cm

cm

1

Η ταχύτητα του σημείου Κ του άξονα του τροχού

είναι:

cm

Η ταχύτητα του σημείου Γ του τροχού είναι:

cm cm cmcm

0

K

R

Γ

Β

Σ

cm

cm

cm

cm

A

Δ



Προσοχή! Για τα εσωτερικά σημεία του τροχού, που βρίσκονται σε αποστάσεις Rr από

το κέντρο του τροχού ισχύει: cmr . Η λογική υπολογισμού είναι ακριβώς η ίδια

(δηλαδή η ταχύτητα κάθε εσωτερικού σημείου του τροχού είναι η συνισταμένη της

ταχύτητας cm

, λόγω μεταφορικής κίνησης, και της γραμμικής ταχύτητας

, λόγω

περιστροφικής κίνησης) με τη διαφορά ότι δεν ισχύει πλέον η ισότητα cm .

Κέντρο Μάζας

Κέντρο μάζας (cm) ενός στερεού σώματος ονομάζεται το σημείο εκείνο του σώματος που

κινείται όπως ένα υλικό σημείο με μάζα ίση με τη μάζα του σώματος, αν σε αυτό ασκούνταν

όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Η κίνηση του κέντρου μάζας ενός σώματος καθορίζεται από τη συνισταμένη των εξωτερικών

δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Ισχύει:

cmamF

Η κύλιση του τροχού

Αν cm είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας του τροχού και η γωνιακή ταχύτητα

περιστροφής του, από τους ορισμούς των δύο μεγεθών, έχουμε αντίστοιχα:

dt

dR

dt

ds Rcm 2η συνθήκη κύλισης

Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Κύλιση σε πλάγιο επίπεδο

Όπου cm,0 το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας και 0 το μέτρο της γωνιακής

ταχύτητας περιστροφής του τροχού τη χρονική στιγμή 00 t . Ισχύει Rcm 0,0

Rs (το θ σε rad) 1η συνθήκη κύλισης

Η παραπάνω σχέση συνδέει τη μετατόπιση s του

τροχού και τη γωνία στροφής θ μιας ακτίνας του

τροχού. Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο

τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Παρατήρηση: Αν το κέντρο μάζας του τροχού

κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα μέτρου

cm η μετατόπιση s του τροχού δίνεται και από τη

σχέση ts cm

Στην περίπτωση αυτή το μέτρο της ταχύτητας του

κέντρου μάζας του τροχού και το μέτρο της γωνιακής

ταχύτητας περιστροφής του τροχού τη χρονική στιγμή

t δίνονται από τις σχέσεις:

tacmcmcm ,0 και t 0



Προσοχή! Τα μέτρα cm και συνεχώς μεταβάλλονται αλλά κάθε χρονική στιγμή ισχύει η

συνθήκη κύλισης Rcm (στιγμιαίες τιμές)

Η μετατόπιση x του τροχού και η γωνία θ κατά την οποία έχει στραφεί μια ακτίνα του

τροχού από τη χρονική στιγμή 00 t έως τη χρονική στιγμή t δίνονται από τις σχέσεις:

2

,02

1tatx cmcm και 2

02

1tt

Θα βρούμε τώρα την 3η συνθήκη κύλισης. Αν cma είναι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του

τροχού και η γωνιακή επιτάχυνση περιστροφής του,

dt

dR

dt

d cm Racm 3η συνθήκη κύλισης

Η συνθήκη αυτή είναι αναγκαία, ώστε ο τροχός να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Σημείωση: Παρατηρούμε ότι aRacm όπου a το μέτρο της γραμμικής

επιτάχυνσης των σημείων της περιφέρειας του τροχού. . Η γραμμική (εφαπτομενική)

επιτάχυνση των σημείων που απέχουν r από τον άξονα του τροχού είναι: raar .

Η επιτάχυνση κάθε σημείου της περιφέρειας του τροχού είναι η συνισταμένη της

επιτάχυνσης cma

, λόγω μεταφορικής κίνησης, της γραμμικής επιτάχυνσης a

, λόγω

περιστροφικής κίνησης και της κεντρομόλου επιτάχυνσης a

, δηλαδή Kcm aaaa

.

(Μέτρο κεντρομόλου επιτάχυνσης R

a2

, όπου R η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς)

Στροφική κίνηση στερεού γύρω από ακλόνητο άξονα

Αν το νήμα δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, τότε

ισχύουν οι σχέσεις του παρακάτω πίνακα, οι οποίες

συνδέουν τα μεγέθη της ευθύγραμμης κίνησης του

σώματος Σ με τα μεγέθη της περιστροφικής κίνησης της

τροχαλίας.

Μεταφορική κίνηση του σώματος Στροφική κίνηση της τροχαλίας

Μετατόπιση x :

2

2

1atx

Γωνία στροφής σε (rad):

2

2

1t

Ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή: at

,όπου a η σταθερή επιτάχυνση του σώματος.

Γωνιακή ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή:

t

,όπου η σταθερή γωνιακή επιτάχυνση

της τροχαλίας.

s

x



cmx

s

Σύνθετη κίνηση στερεού

Παρατηρήσεις:

Α) H ταχύτητα του κέντρου μάζας κάθε τροχού ενός οχήματος που κινείται ευθύγραμμα

ταυτίζεται με την ταχύτητα του οχήματος.

Β) Αν σε ορισμένο χρόνο t , ένας τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μετακινείται κατά

x και μια ακτίνα του τροχού στρέφεται κατά γωνία , τότε ο αριθμός των περιστροφών του

τροχού σε χρόνο t μπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις

R

xN

2 ή

2N

, όπου R η ακτίνα του τροχού.

Σχέσεις που συνδυάζουν τα αντίστοιχα μεγέθη

Rx (το σε rad) R Ra

Όταν ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει,

τότε ισχύουν οι σχέσεις

Rsxcm

Rcm

Racm

Όταν το νήμα που περιβάλλει την τροχαλία

δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία, τότε

καθώς ξετυλίγεται ισχύουν οι σχέσεις.

Rsxcm

Rcm

Racm

cm

s cmx

R

cm

R

cm

cm



ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ

Α) Ροπή δύναμης ως προς άξονα

Ροπή της δύναμης F

, ως προς τον άξονα περιστροφής zz ονομάζεται το διανυσματικό

μέγεθος

που έχει

1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της

δύναμης από τον άξονα περιστροφής (μοχλοβραχίονας).

lF

2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού

3. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής.

Στις περιπτώσεις που δεν υπάρχει σταθερός άξονας περιστροφής χρησιμοποιείται η έννοια

της ροπής της δύναμης ως προς σημείο.

Β)

Η ροπή μιας δύναμης ως προς σημείο είναι μηδέν

1. όταν η δύναμη ασκείται στο σημείο αυτό

2. όταν ο φορέας της δύναμης διέρχεται από το σημείο αυτό

Στις δύο αυτές περιπτώσεις 0l και κατά συνέπεια 0

Γ) Ροπή ζεύγους δυνάμεων

Η αλγεβρική τιμή της ροπής του ζεύγους ως προς κάποιο σημείο Α του επιπέδου του, που

απέχει απόσταση 1x από τη δύναμη 1F

και 2x από τη δύναμη 2F

είναι:

2211 xFxF

Ροπή δύναμης F

, ως προς σημείο Ο, ονομάζεται το

διανυσματικό μέγεθος

που έχει

1. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου F της

δύναμης επί την απόσταση l του σημείου Ο από το

φορέα της δύναμης, δηλαδή:

lF

2. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από το

φορέα της δύναμης και το σημείο Ο

3. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού

χεριού.

Ζεύγος δυνάμεων ονομάζουμε ένα σύστημα δύο

δυνάμεων 1F

και 2F

, οι οποίες ασκούνται σε δύο

διαφορετικά σημεία του σώματος, είναι

αντίρροπες και έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα

ζεύγους δυνάμεων είναι οι δυνάμεις του διπλανού

σχήματος. Το επίπεδο που ορίζεται από τις δύο

δυνάμεις λέγεται επίπεδο του ζεύγους και η

απόσταση d των φορέων των δύο δυνάμεων

λέγεται βραχίονας του ζεύγους.



Όμως επειδή 21 FF , προκύπτει:

)( 2112111 xxFxFxF dF 1

Ορίζουμε ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων 1F

και 2F

το διανυσματικό μέγεθος

, το οποίο

έχει:

1. διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο των δύο δυνάμεων.

2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

3. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της 1F

(της μιας από τις δύο δυνάμεις) επί τον

βραχίονα d του ζεύγους. Δηλαδή: dF 1

Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους και ως

προς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους.

Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα

Η συνολική ροπή που δέχεται το σώμα είναι 221121 lFlF

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα στο οποίο ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες

δυνάμεις θα πρέπει πρώτον η συνισταμένη δύναμη να είναι μηδέν

0

00

y

x

F

FF

και δεύτερον το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο να είναι μηδέν

0

Οι συνθήκες αυτές ισχύουν όχι μόνο όταν το σώμα είναι ακίνητο αλλά και όταν ένα στερεό

σώμα έχει σταθερή μεταφορική και γωνιακή ταχύτητα

Ροπή αδράνειας

Ονομάζουμε ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιο άξονα το άθροισμα των

γινομένων των στοιχειωδών μαζών από τις οποίες αποτελείται το σώμα επί τα

τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.

22

22

2

11 ... rmrmrmI

Η συνολική ροπή που δέχεται ένα σώμα, στο οποίο

ασκούνται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις, είναι ίση με

το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των δυνάμεων ως

προς τον άξονα περιστροφής του σώματος. Στο σώμα

του διπλανού σχήματος δρουν οι δυνάμεις 1F

και

2F

. Το σώμα έχει τη δυνατότητα να στρέφεται γύρω

από άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο και είναι

κάθετος στο επίπεδο της σελίδας.



Θεώρημα Steiner

Αν cmI η ροπή αδράνειας ενός σώματος μάζας Μ, ως προς άξονα που διέρχεται από το

κέντρο μάζας, η ροπή αδράνειάς του ως προς ένα άξονα που είναι παράλληλος και απέχει

απόσταση d από τον πρώτο είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα

που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και του γινομένου της μάζας του σώματoς

επί το τετράγωνο της απόστασης d.

2MdII cmp

Παράδειγμα εφαρμογής θεωρήματος Steiner

Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας λεπτού ομογενούς δίσκου, μάζας M και ακτίνας R , ως

προς άξονα p που διέρχεται από ένα σημείο της περιφέρειας του δακτυλίου και είναι κάθετος

στο επίπεδο που ορίζει. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα zz που διέρχεται από το

κέντρο μάζας του δίσκου είναι: 2

2MRI cm .

Απάντηση:

Σύμφωνα με το θεώρημα Steiner, έχουμε: 2MdII cmp .

Επειδή ισχύει Rd , προκύπτει 22

2MR

MRI p

2

3 2MRI p

Α) Παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η ροπή αδράνειας:

1) Από την ολική μάζα του σώματος.

2) Από την κατανομή της μάζας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, η οποία

έχει να κάνει με το μέγεθος και το σχήμα του σώματος.

3) Από τη θέση του άξονα περιστροφής.

Β) Πως προστίθενται οι ροπές αδράνειας

Όταν δύο η περισσότερα σώματα έχουν τον ίδιο άξονα περιστροφής, τότε οι ροπές αδράνειας

των σωμάτων αυτών ως προς τον άξονα αυτό προστίθενται όπως οι μάζας τους. Δηλαδή

ισχύει: IIII ...21

R

Rd

z p

z p



Γ) Ροπή αδράνειας του στερεού που απομένει μετά από την αφαίρεση τμήματός του

1) Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας I του αρχικού στερεού του σώματος , ως προς τον

άξονα zz .

2) Υπολογίζουμε τη ροπή αδράνειας 1I του στερεού του σώματος 1 που αφαιρέθηκε, ως

προς τον άξονα zz .

3) Εφαρμόζουμε τη σχέση: 1221 IIIIII

Προσοχή! Τα σώματα που θεωρούνται αβαρή δεν παρουσιάζουν ροπή αδράνειας ως προς

οποιοδήποτε άξονα.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώμα το οποίο

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ισούται με το γινόμενο της ροπής αδράνειας

(υπολογισμένης ως προς τον άξονα περιστροφής) και της γωνιακής επιτάχυνσης του

σώματος.

I

Είδη κινήσεων που μπορεί να εκτελέσει ένα στερεό σώμα

1m 2m

z

z

2/L 2/L

IIII 2

2

2

1

2

2212

1

Lm

LmMLI

4412

1 2

2

2

1

2 Lm

LmMLI

z

z

z

z

Θεωρούμε ένα στερεό σώμα Σ, το οποίo έχει τη δυνατότητα να

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα zz , από το οποίο

αφαιρούμε ένα τμήμα 1 , με αποτέλεσμα να παραμείνει ένα

στερεό σώμα 2 . Αν 21,, III είναι οι ροπές αδράνειας των

σωμάτων 21,, αντίστοιχα ως προς τον άξονα zz , τότε

ισχύει: 1221 IIIIII .

Άρα για να βρούμε τη ροπή αδράνειας του στερεού σώματος 2

που απομένει μετά την αφαίρεση του τμήματος 1 :

2

1



0

0

F

Το σώμα ισορροπεί

0

0

F

Το σώμα εκτελεί μεταφορική κίνηση με επιτάχυνση του κέντρου μάζας cma

)( cmamF

0

0

F

Το σώμα εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται το κέντρο

μάζας του με γωνιακή επιτάχυνση

)( I

0

0

F

Το σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση (μεταφορική με επιτάχυνση cma

και στροφική γύρω

από νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή επιτάχυνση

)

Παραδείγματα Α:

Κύλιση κυλίνδρου χωρίς ολίσθηση σε πλάγιο επίπεδο

Η μεταφορική κίνηση του κυλίνδρου κατά μήκος του πλαγίου επιπέδου εξασφαλίζεται από

τη συνιστώσα xw

του βάρους του και από τη στατική τριβή

, ενώ η περιστροφική από τη

ροπή τη στατικής τριβής

ως προς τον άξονα περιστροφής του που ταυτίζεται με τον άξονα

συμμετρίας του κυλίνδρου.

www

wx

x Mgwx

Ο κύλινδρος επιταχύνεται μεταφορικά. Επομένως, σύμφωνα με το 2ο νόμο του Νεύτωνα στη

διεύθυνση της κίνησης ισχύει:

cmx aMF cmx aMw cmaMMg (1)

Το επόμενο βήμα είναι να εφαρμόσουμε τoν θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης. Όπως

βλέπουμε από το σχήμα η μόνη δύναμη που δημιουργεί ροπή στον κύλινδρο είναι η τριβή

καθώς το βάρος και η κάθετη δύναμη από το επίπεδο έχουν διευθύνσεις που διέρχονται από

τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου. Άρα η ροπή που δημιουργεί η τριβή στον κύλινδρο

έχει μέτρο:

w

xw

yw

Οι δύο αυτές γωνίες είναι ίσες γιατί

έχουν τις πλευρές τους κάθετες.

)(



R .

Άρα,

I I 2

2

1MRR (2)

Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: Racm (3)

(Όπου cma η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η

γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του.)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (2) προκύπτει:

R

aMRR cm2

2

1 cmMRaR

2

1cmMa

2

1 (4)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (4) στη σχέση (1). Άρα,

cmcm aMMaMg2

1 cmMaMg

2

3 cmag

2

3

3

2 gacm

Με τη βοήθεια της σχέσης (4) μπορεί να υπολογιστεί και η τιμή της στατικής τριβής,

Σημείωση 1: Από τη σχέση cmcm IRI συμπεραίνουμε ότι η στατική

τριβή είναι υπεύθυνη για τη δημιουργία γωνιακής επιτάχυνσης. Η συνιστώσα mg είναι

αδύνατο να προκαλέσει γωνιακή επιτάχυνση διότι η διεύθυνσή της διέρχεται από τον άξονα

περιστροφής. Επομένως αν δεν υπάρχει τριβή, τότε δεν υπάρχει ροπή ως προς τον άξονα

συμμετρίας του κυλίνδρου, με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να ολισθαίνει χωρίς να κυλίεται υπό

την επίδραση της συνιστώσας mg . Δηλαδή υπάρχει μόνο μεταφορική κίνηση

cmx maF cmmmg

Σημείωση 2: Όταν υπάρχει τριβή ένας κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και περιστροφική

κίνηση, δηλ. κυλίεται. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του θα είναι:

cmx maFcmmamg

mgacm

Όταν δεν υπάρχει τριβή ένας κύλινδρος δεν κυλίεται αλλά ολισθαίνει. Άρα η επιτάχυνση του

κέντρου μάζας του θα είναι:

cmx maF cmmaTmg gacm

Άρα η επιτάχυνση του κυλίνδρου όταν κυλίεται είναι μικρότερη από την επιτάχυνση όταν

ολισθαίνει.

Υπολογισμός του χρόνου κίνησης και του μέτρου της τελικής ταχύτητας κατά την

κύλιση σε πλάγιο επίπεδο χωρίς ολίσθηση



Έχουμε υπολογίσει με την προηγούμενη διαδικασία, την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του

κυλίνδρου. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το χρόνο κίνησης του κυλίνδρου από την εξίσωση:

cm

cma

xttax

2

2

1 2 (1)

Στην παραπάνω σχέση x είναι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.

Υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα του κυλίνδρου από την εξίσωση: tacmcm (2)

Αντικαθιστώντας την (1) στη (2) προκύπτει:

cm

cmcma

xa

2 xacmcm 2

Σημείωση: Όταν ζητείται απ’ ευθείας το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του

κυλίνδρου στη βάση του πλάγιου επιπέδου, είναι πιο εύκολο μα εφαρμόσουμε τη διατήρηση

της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου.

Παράδειγμα Β:

Ασκήσεις με τροχαλία - σώματα

Τα σώματα μάζας 1m και 2m κινούνται με την ίδια επιτάχυνση διότι κινούνται ως σύστημα.

Το επόμενο βήμα είναι η εφαρμογή του θεμελιώδη νόμου της στροφικής κίνησης για την

τροχαλία. Ροπή στην τροχαλία δημιουργούν μόνο οι δυνάμεις 1

και 2

. Το βάρος της

x

1w

2w

1

2

1

2

R

F

w

δράση-

αντίδραση

δράση-

αντίδραση

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις εφαρμόζουμε τους

νόμους της μηχανικής χωριστά σε κάθε σώμα.

Σώμα μάζας 1m :

cmx amF 1 cmamw 111

cmamw 111 cmamgm 111(1)

Σώμα μάζας 2m :

cmx amF 2 cmamw 222

cmamw 222 cmamgm 222(2)



τροχαλίας w

και η δύναμη στήριξης F

δεν δημιουργούν ροπή διότι οι διευθύνσεις τους

διέρχονται από τον άξονα περιστροφής.

Επίσης όπως παρατηρούμε από το σχήμα ισχύουν οι σχέσεις:

11 (3) και

22 (4)

,διότι οι δυνάμεις 1

, 1

και 2

,

2

λειτουργούν σαν δράση – αντίδραση.

Η ροπή που δημιουργεί η 1

στην τροχαλία θα είναι R 11


στην τροχαλία θα είναι R 22

Επομένως ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης για την τροχαλία διατυπώνεται ως

εξής:

I IRR 21 (5)

Με τη βοήθεια των σχέσεων (3) και (4) και αντικαθιστώντας τη σχέση για τη ροπή αδράνειας

της τροχαλίας ως προς τον άξονά της, 2

2

1mRI η σχέση (5) γράφεται:

2

212

1mRRR 2

212

1mRR mR

2

121 (6)

Από τα δεδομένα της άσκησης γνωρίζουμε ότι η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο σκοινί

είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Επομένως ισχύει η σχέση:

R

aRa cm

cm (7)

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1) , (2) και (7) στη σχέση (6) προκύπτει:

mR2

121

R

amRamgmamgm cm

cmcm2

1)( 2211

cmcmcm maamgmamgm2

12211 cmcmcm amammagmgm 2121

2

1

cmammmgmgm 2121

2

1

21

21

2

1mmm

gmgmacm

21

21

2

1mmm

gmmacm

Παράδειγμα Γ: Το γιο - γιο


είναι μεγαλύτερη από τη

ροπή που δημιουργεί η 2

.Επίσης η 1

τείνει να

περιστρέψει την τροχαλία αντίθετα από την 2

. Για

το λόγο αυτό οι δύο ροπές έχουν αντίθετα πρόσημα.



Στον κύλινδρο ασκούνται δύο δυνάμεις. Το βάρος του w

και η τάση του νήματος

. Η

διεύθυνση του βάρους διέρχεται από το κέντρο μάζας του κυλίνδρου (δηλαδή από τον άξονα

περιστροφής του) με αποτέλεσμα να μη δημιουργεί ροπή. Επομένως ροπή στον κύλινδρο

δημιουργεί μόνο η τάση του νήματος.

Ο κύλινδρος εκτελεί μεταφορική και στροφική κίνηση. Για τη μεταφορική του κίνηση

μπορούμε να γράψουμε:

cmamF cmamw cmammg (1)

Για το στροφική του κίνηση γράφουμε:

I I 2

2

1mRR (2)

Η κίνηση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Επομένως, ισχύει η σχέση: Racm (3)

(Όπου cma η μεταφορική επιτάχυνση (επιτάχυνση κέντρου μάζας) του κυλίνδρου, , η

γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου και R η ακτίνα του κυλίνδρου.)


R

amRR cm2

2

1 cmmRaR

2

1cmma

2

1 (4)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στη σχέση (1) υπολογίζουμε την επιτάχυνση του κέντρου

μάζας του κυλίνδρου. Άρα:

cmammg cmcm ammamg2

1 cmcm ammamg

2

1 cmmamg

2

3

cmag2

3 cmag 32

3

2gacm

Από την τιμή της επιτάχυνσης στη σχέση (4) μπορούμε να υπολογίσουμε την τάση του

νήματος.

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Α) Στροφορμή υλικού σημείου

Ονομάζουμε στροφορμή του υλικού σημείου

w

To γιο - γιο αποτελείται από ένα μικρό κύλινδρο, μάζας

m και ακτίνας R στο κυρτό μέρος του οποίου έχει

τυλιχτεί πολλές φορές ένα σκοινί. Κρατώντας το ελεύθερο

άκρο του σκοινιού και αφήνοντας τον κύλινδρο να πέσει,

το σκοινί ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω

από ένα νοητό οριζόντιο άξονα, τον xx . Θεωρούμε, ότι

το σχοινί παραμένει κατακόρυφο σε όλη τη διάρκεια της

κίνησής του.

R



1. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα z΄z.

2. φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

3. μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της ορμής p του υλικού σημείου επί την

ακτίνα της κυκλικής τροχιάς r . Δηλαδή: rmrpL

Μονάδα μέτρησης της στροφορμής του υλικού σημείου στο S.I. είναι το smkg /1 2

Αν είναι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του υλικού σημείου, τότε η παραπάνω σχέση

γίνεται: 2)( mrLrrmrmL

Β) Στροφορμή στερεού σώματος

Η στροφορμή του σώματος είναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείων

που το αποτελούν.

Δηλαδή: vLLLL ...21 vvv rmrmrmL ...222111 (1)

Όμως 11 r ,

22 r ,…., vv r . (2)

Επομένως, αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) στην (1) προκύπτει:

22

22

2

11 ... vv rmrmrmL )...(22

22

2

11 vvrmrmrmL IL

,όπου 22

22

2

11 ... vvrmrmrm η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα z´z.

Η στροφορμή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα είναι ένα

διανυσματικό μέγεθος L

, το οποίο έχει:

1. διεύθυνση τη διεύθυνση του άξονα

2. φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού

3. μέτρο ίσο με το γινόμενο της ροπής αδράνειας I του στερεού, ως προς τον άξονα

z´z, επί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του στερεού. Δηλαδή: IL

Εφαρμογές

A.

ως της ένα άξονα z΄z που διέρχεται από το

κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος

στο επίπεδό της το διανυσματικό μέγεθος L

που έχει:

Έστω το στερεό του σχήματος που περιστρέφεται γύρω

από το σταθερό άξονα z´z με γωνιακή ταχύτητα ω.

Χωρίζουμε το σώμα σε στοιχειώδη τμήματα, με μάζες

21,mm …. , τόσο μικρά ώστε καθένα από αυτά να

μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Οι στροφορμές των

στοιχειωδών αυτών μαζών έχουν όλες την ίδια

κατεύθυνση και μέτρα, 1111 rmL , 2222 rmL ,….

, vvvv rmL .

z

1L

z Όταν η διεύθυνση του άξονα περιστροφής

ενός στερεού σώματος παραμένει

σταθερή, τότε για τη μεταβολή της

στροφορμής ισχύει: LLL

Π.χ. στην περίπτωση του διπλανού

σχήματος:

)()( 12 LLL )( 21 LLL



Β. Όταν η διεύθυνση του άξονα περιστροφής ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται, τότε για

τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος χρησιμοποιούμε τη διανυσματική σχέση:

LLL

)( LL

.

Σχεδιάζουμε (με τον κανόνα του δεξιού χεριού) την κατεύθυνση της στροφορμής αρχικά 1L

και τελικά 2L

, όπως φαίνεται στο σχήμα

Β.α) Επειδή η κατεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής μεταβάλλεται, θα έχουμε

μεταβολή της στροφορμής. (Η στροφορμή είναι διανυσματικό μέγεθος, με αποτέλεσμα να

μεταβάλλεται όχι μόνο με μεταβολή του μέτρου της αλλά και με μεταβολή της κατεύθυνσής

της).

Όπως βλέπουμε από το σχήμα Β.β, με τη βοήθεια Πυθαγορείου θεωρήματος για το μέτρο της

μεταβολής της στροφορμής του τροχού προκύπτει:

2

2

2

1

2 LLL 2

2

2

1 LLL (1)

Έστω ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα, το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας και η ροπή

αδράνειας του τροχού παραμένουν αμετάβλητα..

Άρα θα ισχύει:. ILL 21 (2)

Με τη βοήθεια της σχέσης (2), η σχέση (1) γράφεται:

2

2

2

1 LLL 22

IIL 2

2 IL 2

2 IL

IL 2

1L

2L

1L

L

1L

2L

21

2L

12

).

).



Επίσης μπορούμε να βρούμε και τη γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση του διανύσματος L

με την οριζόντια διεύθυνση, με τη βοήθεια της σχέσης: 4511

2 L

L.

Γ) Στροφορμή συστήματος

Ονομάζουμε στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων το διανυσματικό άθροισμα των

στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα.

Δηλαδή αν οι στροφορμές των σωμάτων που απαρτίζουν ένα σύστημα είναι vLLL

,...,, 21 ,

τότε η στροφορμή L

του συστήματος είναι: vLLLL

...21

Αν οι στροφορμές vLLL

,...,, 21 έχουν την ίδια διεύθυνση, τότε η τελευταία σχέση

μετατρέπεται σε αλγεβρική. Δηλαδή: vLLLL ...21

Παρατηρήσεις:

Στο παράδειγμα του σχήματος, όπου οι δύο δίσκοι στρέφονται γύρω από τον ίδιο

κατακόρυφο άξονα, η τελευταία σχέση γράφεται: 2121 )()( LLLLLL .

Επειδή οι στροφορμές L

και L

έχουν τη διεύθυνση του άξονα της τροχαλίας και

φορά από εμάς προς τη σελίδα, η παραπάνω σχέση γράφεται:

2L

2

1

1Lz

m

Η στροφορμή ενός συστήματος σωμάτων, ως προς κάποιο

άξονα περιστροφής είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα

των στροφορμών των σωμάτων που απαρτίζουν το σύστημα

ως προς τον άξονα περιστροφής του το καθένα,

vLLLL

...21 .

Στην απλή περίπτωση όπου τα σώματα έχουν τον ίδιο ή

παράλληλους άξονες περιστροφής, η παραπάνω σχέση

μετατρέπεται σε αλγεβρική. Δηλαδή vLLLL ...21 .

Στο διπλανό σχήμα μια τροχαλία μάζας M και ακτίνας R ,

μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της.

Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά

περιστροφής της είναι I . Γύρω από την τροχαλία είναι

τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου

κρέμεται σώμα μάζας m . Όταν, καθώς κατέρχεται το σώμα,

η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας έχει μέτρο

, η στροφορμή του συστήματος είναι LLL

R



RRmILRmILLLL )( )( 2mRIL

Σημείωση: Επειδή το σχοινί θεωρούμε ότι δεν ολισθαίνει στην τροχαλία, η γραμμική

ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας σε κάθε χρονική στιγμή είναι ίση με

την ταχύτητα των σημείων του σχοινιού. Άρα, R .

ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΝΟΜΟΥ

ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Από τη σχέση IL προκύπτει ότι αν σε απειροστά μικρό χρόνο dt η γωνιακή

ταχύτητα του στερεού μεταβληθεί κατά d , η στροφορμή του θα μεταβληθεί κατά

dIdL dt

dI

dt

dL

Idt

dL

dt

dL

Επομένως το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν σε ένα στερεό που

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού

μεταβολής της στροφορμής του.

Θεωρούμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε

ένα περιστρεφόμενο σώμα είναι μηδέν. Αν, λόγω ανακατανομής της μάζας (εξαιτίας

εσωτερικών δυνάμεων),μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα

περιστροφής του, μεταβάλλεται και η γωνιακή ταχύτητά του αλλά η στροφορμή του

διατηρείται σταθερή.

Δηλαδή LL 2211 II

Σημείωση : Η σχέση 2211 II ισχύει όταν:

Α) Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα είναι μηδέν.

Β) Το σώμα στρέφεται γύρω από έναν νοητό ακλόνητο άξονα ή γύρω από έναν νοητό άξονα

που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και μετατοπίζεται παράλληλα προς τον

εαυτό του.

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

222

2

2

2

2

1

2

12

1.....

2

1

2

1vv rmrmrmK 222

22

2

11 )...(2

1vvrmrmrmK

Η κινητική ενέργεια του σώματος είναι ίση με το

άθροισμα των κινητικών ενεργειών των μαζών

από τις οποίες αποτελείται,

vKKKK .....21

22

22

2

112

1.......

2

1

2

1vvmmmK



2

2

1IK

Η παραπάνω σχέση δίνει την κινητική ενέργεια στερεού σώματος λόγω περιστροφικής

κίνησης.

Κινητική ενέργεια σώματος που εκτελεί σύνθετη κίνηση

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Μια δύναμη που περιστρέφει ένα σώμα παράγει έργο, το οποίο μπορούμε να εκφράσουμε σε

συνάρτηση με τη ροπή της ως προς τον άξονα περιστροφής του σώματος.

Στοιχειώδες έργο

dsFdW (1) (θεωρούμε το απειροστά μικρό τόξο ds ευθύγραμμο)

Αν η γωνία μετριέται σε ακτίνια, τότε Rdds (2)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1) και προκύπτει:

dsFdW FRddW

Όμως το γινόμενο FR είναι το μέτρο της ροπής της δύναμης F

, ως προς τον άξονα

περιστροφής του τροχού.

Άρα, ddW

Έργο σταθερής ροπής

Αν το σώμα εκτελεί ταυτόχρονα

μεταφορική και στροφική κίνηση, όπως ο

τροχός του σχήματος η κινητική του

ενέργεια είναι ίση με το άθροισμα της

κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής και

λόγω στροφικής κίνησης:

22

2

1

2

1 IMK cm

Έστω ότι η δύναμη F

ασκείται στην

περιφέρεια ενός τροχού ακτίνας R , κατά

τη διεύθυνση της εφαπτομένης όπως στο

διπλανό σχήμα. Κατά την απειροστά

μικρή στροφή του τροχού κατά γωνία

d η δύναμη παράγει έργο



Όταν μια δύναμη περιστρέφει ένα σώμα κατά γωνία , τότε για να υπολογίσουμε το έργο

W της δύναμης, χωρίζουμε τη γωνία σε απειροστά μικρές γωνίες ddd .....,, ,21

και

προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχειώδη έργα vdWdWdW ,......,, 21. Δηλαδή:

vdWdWdWW ...21 dddW ....2211

Αν η ροπή της δύναμης έχει σταθερό μέτρο ίσο με , όπως συμβαίνει με τον παραπάνω

τροχό, τότε:

)....( 21 dddW W ( το σε rad )

Το έργο W μιας ροπής μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Θετικό όταν η ροπή έχει την

ίδια φορά με τη φορά περιστροφής του σώματος (η ροπή τείνει να επιταχύνει το σώμα) και

αρνητικό, όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά από τη φορά περιστροφής του σώματος ( η ροπή

τείνει να επιβραδύνει το σώμα).

Η γωνία (σε rad) μπορεί να υπολογιστεί:

Α) Από τη σχέση N2 , όπου N ο αριθμός των περιστροφών του σώματος.

Β) Από τη σχέση 2

2

1t αν το σώμα στρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση,

μέτρου επί χρόνο t .

Γ) Σε κάθε περίπτωση (ακόμα και αν η ροπή που ασκείται δεν είναι σταθερή) από το

διάγραμμα γωνιακής ταχύτητας ( ) – χρόνου ( t ). Στο διάγραμμα αυτό η γωνία είναι

αριθμητικά ίση με το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της σχέσης

)(tf και του χρόνου. Δηλαδή,

Προσοχή! H σχέση W οδηγεί στον υπολογισμό του έργου W μόνο στην περίπτωση

που το μέτρο της ροπής που δρα στο σώμα είναι σταθερό.

Σε διαφορετική περίπτωση (δηλαδή στην περίπτωση όπου το μέτρο της ροπής δεν

παραμένει σταθερό) το έργο υπολογίζεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση και τον οριζόντιο άξονα των στη γραφική παράσταση .

Ισχύς δύναμης στη στροφική κίνηση

Το σκιασμένο εμβαδό ισούται

αριθμητικά με το έργο της ροπής.

t

Το σκιασμένο εμβαδό ισούται

αριθμητικά με τη γωνία θ.

W



Αν στο απειροστά μικρό διάστημα dt , από τη χρονική στιγμή t μέχρι τη χρονική στιγμή

dtt , το σώμα στρέφεται κατά απειροστά μικρή γωνία d τότε η δύναμη F

παράγει έργο

dW και ισχύει: ddW dt

d

dt

dW

Ο ρυθμός παραγωγής έργου dt

dW είναι η ισχύς P της δύναμης και το πηλίκο

dt

d είναι η

γωνιακή ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t . Επομένως έχουμε

P

Στο S.I. όπου η μονάδα της ροπής είναι το 1Nm και η μονάδα της γωνιακής ταχύτητας είναι

το 1 srad / , η μονάδα ισχύος είναι το 1 )(WattW .

Θεώρημα έργου –ενέργειας στη στροφική κίνηση

Αποδεικνύεται ότι η ροπή μιας δύναμης μεταβάλλει την κινητική ενέργεια περιστροφής του

σώματος στο οποίο ασκείται κατά ποσότητα ίση με το έργο της. Έτσι στην περίπτωση ενός

στερεού σώματος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, το γνωστό μας από τη

μεταφορική κίνηση θεώρημα έργου ενέργειας παίρνει τη μαθηματική μορφή:

12 KKW 2

1

2

22

1

2

1 IIW

Το θεώρημα έργου ενέργειας διατυπώνεται ως εξής:

Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών που ασκούνται σ’ ένα σώμα είναι ίσο με

τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας της περιστροφής του σώματος.

Όταν στο σώμα ασκείται μόνο η ροπή μιας δύναμης, το θεώρημα έργου-ενέργειας παίρνει

τη μορφή:

2

1

2

22

1

2

1 IIW

Προσοχή! Η τελευταία σχέση είναι κατάλληλη για τον υπολογισμό του έργου W μιας

ροπής, όταν το μέτρο της ροπής δεν είναι σταθερό, αφού τότε δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί

η σχέση W .

Η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας

Το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ενός σώματος (ή ενός συστήματος

σωμάτων) εφαρμόζεται όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και παράγουν έργο είναι

συντηρητικές, όπως π.χ. το βάρος που προαναφέραμε. Στη γενική περίπτωση όπου ένα σώμα

εκτελεί σύνθετη κίνηση, η μηχανική ενέργεια σε μια τυχαία θέση του σώματος δίνεται από τη

σχέση:

KKUE

Το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας εφαρμόζεται, όταν το κέντρο μάζας ενός

στερεού μετατοπίζεται κατακόρυφα, ώστε να μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια βαρύτητας

U . Πριν από την εφαρμογή του θεωρήματος πρέπει να επιλέξουμε ένα οριζόντιο επίπεδο

ως επίπεδο αναφοράς ( 0U ). Συνήθως επιλέγουμε ως επίπεδο αναφοράς το επίπεδο που



διέρχεται από την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του σώματος. Όταν το θεώρημα

εφαρμόζεται για δύο θέσεις (1) και (2) ενός σώματος, τότε γράφεται:

)1()1()1()2()1( KKUEE )2()2()2( KKU

Παράδειγμα Α:

Υπολογισμός γωνιακής ταχύτητας ράβδου που περιστρέφεται περί ακλόνητο άξονα με

αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.

Στη συγκεκριμένη άσκηση θα εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής

ενέργειας. Πριν από την εφαρμογή του θεωρήματος πρέπει να επιλέξουμε ένα οριζόντιο

επίπεδο ως επίπεδο αναφοράς ( 0U ). Συνήθως επιλέγουμε ως επίπεδο αναφοράς το

επίπεδο που διέρχεται από την κατώτερη θέση του κέντρου μάζας του σώματος. Όταν το

θεώρημα εφαρμόζεται για δύο θέσεις (1) και (2) ενός σώματος, τότε γράφεται:

)1()1()1()2()1( KKUEE )2()2()2( KKU

)2()1( KU (1)

Η στροφική κινητική ενέργεια της ράβδου στη θέση 2 είναι: 2

)2(2

1

(3).

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο μέσον της είναι 2

12

1mL ,

Για να βρούμε τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της θα

εφαρμόσουμε το θεώρημα Steiner.

412

1

2

22

2L

mmLL

mcm

412

22 mLmL

12

3

12

22 mLmL

12

4 2mL

3

2mL (4)

2

L

2

L

2

Lh

Θέση 1

Θέση 2

Επίπεδο μηδενικής δυναμικής

ενέργειας

Για τον προσδιορισμό της βαρυτικής

δυναμικής ενέργειας ενός στερεού

σώματος, ως προς κάποιο επίπεδο

αναφοράς, θεωρούμε τη μάζα του σώματος

συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του.

Έτσι η βαρυτική δυναμική ενέργεια της

ράβδου, μήκους L και μάζας M του

σχήματος είναι:

mghU )1(2

)1(

LmgU

(2)

0

0

0

0



Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) και (4) στη σχέση (1) προκύπτει:

2

2

1

2

Lmg 2

2

3

mLmgL

L

gLg

33 22

L

g3

Παράδειγμα Β: Το γιο-γιο

Υπολογισμός της ταχύτητας του κέντρου μάζας με αρχή διατήρησης της μηχανικής

ενέργειας.

)()( UU )()()()(

)()(U 22

2

1

2

1 Immgh cm (1)

Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: R

R cmcm

(2)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1):

2

22

2

1

2

1

2

1

RmRmmgh cm

cm

2

22

4

1

2

1

RRgh cm

cm

2

222

4

1

2

1

RRgh cm

cm

22

4

1

2

1cmcmgh 22

4

1

4

2cmcmgh 2

4

3cmgh 234 cmgh

3

42 ghcm

h

Θέση Α

Θέση Β

Επίπεδο μηδενικής

δυναμικής ενέργειας

Θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της

μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α

και Β. Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής

δυναμικής ενέργειας το επίπεδο στη θέση

Β. Ο κύλινδρος αφήνεται, οπότε στην

αρχική θέση Α έχει μηδενική ταχύτητα και

μηδενική κινητική ενέργεια.

Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς

τον άξονά του είναι 2

2

1mRI .

0 0 0



3

4ghcm

Παράδειγμα Γ: Κύλιση τροχού προς τα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο

Υπολογισμός ανύψωσης του κέντρου μάζας του τροχού

Όπως βλέπουμε από το σχήμα το κέντρο μάζας της σφαίρας ανυψώνεται κατά h . Σύμφωνα

με την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας έχουμε:

UU )()()()()()(

U)()( mghIm cm 22

2

1

2

1 (1)

Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: R

R cmcm

(2)


mgh

RmRm cm

cm

2

22

5

2

2

1

2

1 gh

RR cm

cm 2

222

10

2

2

1 ghcmcm

22

5

1

2

1

ghcmcm

22

10

2

10

5 ghcm

2

10

7

gh cm

10

7 2

h

Στο σημείο αυτό η σφαίρα σταματάει με

αποτέλεσμα να έχει μόνο βαρυτική δυναμική

ενέργεια η οποία ισούται με mghU

Αρχικά η σφαίρα έχει και μεταφορική και στροφική

κινητική ενέργεια. Δυναμική ενέργεια δεν έχει διότι

θεωρούμε το οριζόντιο επίπεδο (το οποίο είναι το

χαμηλότερο σημείο του προβλήματος σαν επίπεδο

μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας. Η κινητική της

ενέργεια αρχικά είναι λοιπόν 22

2

1

2

1cmmI

0 0 0

Επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας 0U



Προσοχή! Η στατική τριβή δε μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της, αφού κάθε στιγμή

ασκείται σε διαφορετικό σημείο του κυλίνδρου. Επομένως η στατική τριβή δεν παράγει

έργο.

Παράδειγμα Δ: Οριακή περίπτωση ανακύκλωσης σώματος στο εσωτερικό σφαιρικής ή

κυλινδρικής οδηγού επιφάνειας.

Υπολογισμός ύψους h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να εκτελέσει ανακύκλωση

σε οδηγό.

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα στο σημείο Β του οδηγού, (Εάν οι

δυνάμεις αυτές είναι το βάρος της w

και η κάθετη αντίδραση

από τον οδηγό.

Υπολογίζουμε το μέτρο της κάθετης αντίδρασης στο σημείο Β, γράφοντας το δεύτερο

νόμο του Νεύτωνα για την κεντρομόλο δύναμη. Εδώ έχουμε:

)(222

gR

mR

mmgR

mF

(1)

Εφαρμόζουμε τη συνθήκη, ώστε μεταξύ σφαίρας και οδηγού να υπάρχει επαφή. Η συνθήκη

αυτή είναι:

0 (2)

Εφαρμόζοντας τη συνθήκη (2) στη σχέση (1) προκύπτει:

0 gRgR

m

0)(2

Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα είναι έτοιμη να χάσει την επαφή της με τον οδηγό, η

τελευταία σχέση δίνει την ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας στη θέση Β, ώστε να κάνει

ανακύκλωση. Πράγματι έχουμε:

gRgR min (3)

Για να βρούμε το μικρότερο ύψος h από το οποίο πρέπει να αφεθεί η σφαίρα για να κάνει

ανακύκλωση θα εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των

h

Επίπεδο μηδενικής

δυναμικής ενέργειας

R2

Μια μικρή σφαίρα μάζας m και

ακτίνας R )( Rr , αφήνεται από

το σημείο Α πάνω σε οδηγό, όπως

φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά πρέπει

να υπολογίσουμε την ελάχιστη

ταχύτητα της σφαίρας στο σημείο Β

της τροχιάς της, ώστε να εκτελέσει

ανακύκλωση. Για το σκοπό αυτό

εργαζόμαστε ως εξής:

R

w



θέσεων Α και Β θέτοντας την τιμή της ταχύτητας gRmin στη θέση Β γιατί αποτελεί την

ελάχιστη ταχύτητα για να εκτελέσει η σφαίρα ανακύκλωση.

Θεωρούμε σαν επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας το έδαφος. Η σφαίρα αφήνεται, οπότε

στην αρχική θέση Α έχει μηδενική ταχύτητα και μηδενική κινητική ενέργεια.

)()( UU )()()()(

UU )()( RmgImmgh 2

2

1

2

1 2

min

2

min (4)

Η σφαίρα δεν ολισθαίνει. Επομένως ισχύει η σχέση: r

r minminminmin

(5)


Rmg

rmrmmgh 25

2

2

1

2

12

min22

min

Rmg

rmrmmgh 25

1

2

12

2

min22

min

Rmgmmmgh 25

1

2

1 2

min

2

min

mRgmgh 2

5

1

2

1 2

min

2

min

Rggh 25

1

2

1 2

min

2

min Rggh 210

2

10

5 2

min

2

min gRgh 210

7 2

min (6)


gRgh 210

7 2

min gRgRgh 210

7 2

10

20

10

7 gRgRgh

10

27gRgh

10

27Rh

Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας στερεού.

Αν το στερεό εκτελεί στροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα:

dt

dK .

Αν το στερεό εκτελεί σύνθετη κίνηση:

cmFdt

dK.

dt

dK .

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρούσης, διατηρείται.

0

0

0



p

= άp

Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος

των συγκρουόμενων σωμάτων.

Στην ελαστική κρούση, η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος διατυπώνεται

με την παρακάτω σχέση:

)()( KK 2121 KKKK

Ανελαστική, ονομάζεται η κρούση στην οποία ένα μέρος της αρχικής κινητικής

ενέργειας των σωμάτων μετατρέπεται σε θερμότητα.

Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδηγεί στη συγκόλληση των

σωμάτων – στη δημιουργία συσσωματώματος. Αυτή η κρούση ονομάζεται πλαστική.

Στην ανελαστική κρούση, η αρχή διατήρησης της ενέργειας του συστήματος διατυπώνεται με

την παρακάτω σχέση:

.)()( EKK ά

όπου .E είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος, η οποία μετατρέπεται σε

θερμότητα. Προφανώς δεν ισχύει η διατήρηση της μηχανικής (κινητικής) ενέργειας, αφού

)()( άKK

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΦΑΙΡΩΝ

Δύο σφαίρες 1 και 2 με μάζες 1m και 2m κινούνται με ταχύτητες 1

και 2

, όπως στο

σχήμα. Οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και μετά την κρούση έχουν

ταχύτητες 1

και 2

.

Θεωρούμε σαν θετική την αρχική κατεύθυνση των ταχυτήτων των δύο σφαιρών (πριν την

κρούση). Άρα,

1m

1

2

)(

2m

Πριν την κρούση

1m

1

2

)(

2m

Μετά την κρούση



2121 pppp

2121 pppp 22112211 mmmm

22221111 mmmm 222111 mm (1)

Επειδή η κρούση είναι ελαστική ισχύει η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. Άρα:

)()( 2121

2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1 mmmm 2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1 mmmm

2

22

2

11

2

22

2

11 mmmm 2

22

2

22

2

11

2

11 mmmm

2

2

2

22

2

1

2

11 mm 2222211111 mm (2)

Αν διαιρέσουμε τις δύο σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, παίρνουμε:

22222

222

11111

111

m

m

m

m

2211

11

2211 (3)

Λύνοντας τη σχέση (3) ως προς 2 :

2211 2112 (4)

Και αντικαθιστώντας τη σχέση (4) στην (1) προκύπτει:

222111 mm 22112111 mm

22112111 mm 2112111 2 mm

2212121111 2 mmmmm 1211221211 2 mmmmm

12122121 2 mmmmm 2

21

21

21

211

2

mm

m

mm

mm

(5)

Λύνοντας τη σχέση (3) ως προς 1 :

2211 1221 (6)

Και αντικαθιστώντας τη σχέση (6) στην (1) προκύπτει:

222111 mm 22212211 mm

22212211 mm 222211212111 mmmmmm

212222112111 mmmmmm 212212112 mmmmm



1

21

12

21

122

2

mm

m

mm

mm

(7)

Σημείωση: Κατά τον υπολογισμό των ταχυτήτων των σφαιρών υποθέσαμε ότι οι σφαίρες

μετά την κρούση συνεχίζουν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. Αν μετά τις πράξεις

προκύψει αρνητική τιμή για την 1 θα συμπεράνουμε ότι η 1 άλλαξε φορά κίνησης μετά

την κρούση.

Ειδικές περιπτώσεις

Α. Οι δύο σφαίρες 1 και 2 έχουν ίσες μάζες mmm 21

Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις (5) και (7) παίρνουν τη μορφή

1

21

212

21

21

2

mm

mm

mm

m

121

2

mm

mm

mm

m 21

2

2

m

m21

2

21

121

21

12

2

mm

mm

mm

m

212

2

mm

mm

mm

m 12

2

2

m

m12

Δηλαδή, κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, που έχουν ίσες μάζες, οι

σφαίρες ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους.

Β. Η σφαίρα 2 είναι ακίνητη πριν την κρούση 02

Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις (5) και (7) παίρνουν τη μορφή

1

21

212

21

21

2

mm

mm

mm

m1

21

211

mm

mm

2

21

121

21

12

2

mm

mm

mm

m1

21

12

2

mm

m

Όταν οι δύο σφαίρες έχουν ίσες μάζες ( mmm 21 ) και η σφαίρα 2 είναι ακίνητη πριν

την κρούση 02 , τότε οι παραπάνω σχέσεις γίνονται:

1

21

211

mm

mm

11

mm

mm01

1

21

12

2

mm

m

12

2

mm

m 12

2

2

m

m12

Δηλαδή, όταν η σφαίρα 2 είναι ακίνητη πριν την κρούση, οι δύο σφαίρες ανταλλάσσουν τις

ταχύτητές τους, με αποτέλεσμα η σφαίρα 1 να σταματήσει, μεταφέροντας όλη της κινητική

της ενέργεια στη σφαίρα 2 , που αρχικά ηρεμούσε.

ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΛΛΟ ΑΚΙΝΗΤΟ ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΗΣ

ΜΑΖΑΣ

0

0



Α) Κάθετη ελαστική κρούση με τον τοίχο

Άρα 1

21

211

mm

mm

1

2

1

2

1

11

2

21

2

21

1

1

1

m

m

m

m

m

mm

m

mm

1110

10

11

1

21

12

2

mm

m

1

2

21

2

1

2

2

m

mm

m

m

1

2

1

2

1

2

1

2

m

m

m

m

12

10

02

02

Β) Πλάγια ελαστική κρούση με τοίχο

Το μέτρο της ταχύτητας μετά την κρούση είναι

22

yx 22)( yx 22

yx

δηλαδή το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας δε μεταβάλλεται.

Στην περίπτωση αυτή έχουμε ένα σώμα 2 πολύ μεγάλης

μάζας 2m το οποίο είναι ακίνητο ( 02 ) και μία σφαίρα

1 , μάζας 1m , με ταχύτητα μέτρου 1 (ισχύει

12 mm ). Επομένως:

12 mm 012

1 m

m

Στην περίπτωση που η σφαίρα προσκρούει ελαστικά και

πλάγια σε έναν τοίχο αναλύουμε την ταχύτητά της σε δύο

συνιστώσες, τη μία ( x

) κάθετη στον τοίχο και την άλλη

( y

) παράλληλη με αυτόν όπως στο διπλανό σχήμα.

Σύμφωνα με τα παραπάνω η κάθετη στον τοίχο συνιστώσα

της ταχύτητας θα αλλάξει φορά και θα διατηρήσει το

μέτρο της ( xx ).

H δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι

κάθετη στον τοίχο, άρα η y συνιστώσα της ταχύτητας δε

μεταβάλλεται ( yy ).



Εναλλακτική απόδειξη: Η κρούση είναι ελαστική. Επομένως η κινητική ενέργεια της

σφαίρα διατηρείται. Άρα:

22

2

1

2

1 mmKK ά

Αν π και α οι γωνίες που σχηματίζουν η και η , αντίστοιχα, με την κάθετη στον τοίχο

ισχύει:

y και

ya

Όμως yy και , οπότε = a a

Δηλαδή η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης a .

Κεντρική ανελαστική κρούση δύο σωμάτων

Από τη διατήρηση της ενέργειας έχουμε:

EKK ά )()( Emmmm 2

22

2

11

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1

2

22

2

11

2

22

2

11.2

1

2

1

2

1

2

1 mmmmE

όπου E είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος.

Β) Κεντρική πλαστική κρούση δύο σωμάτων

Δύο σώματα 1 και 2 με μάζες 1m και 2m κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες

1

και 2

. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα κινείται με ταχύτητα V

, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Δύο σφαίρες 1 και 2 με μάζες 1m και 2m κινούνται

πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες 1

και 2

. Οι σφαίρες

συγκρούονται κεντρικά και μετά την κρούση κινούνται

στην ίδια αρχική ευθεία με ταχύτητες 1

και 2

, όπως

φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Από τη διατήρηση της ορμής έχουμε:

2121)()( pppppp ά

22112211 mmmm

Πριν την κρούση



Αν γνωρίζουμε τις μάζες των δύο σωμάτων και τις ταχύτητές τους πριν την κρούση, τότε

μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο V

της ταχύτητας του συσσωματώματος και την

απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος K , η οποία γίνεται θερμότητα μετά την

κρούση.

Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχουμε:

ppppp ά

21)()( Vmmmm )( 212211

21

2211

mm

mmV

Από την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας έχουμε:

EKK ά )()( EVmmmm 2

21

2

22

2

11 )(2

1

2

1

2

1

2

21

2

22

2

11. )(2

1

2

1

2

1VmmmmE

όπου E είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την πλαστική

κρούση.

Πλάγια πλαστική κρούση δύο σωμάτων

A) Σχεδιάζουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων που συγκρούονται πριν και

μετά την κρούση.

Β) Αναλύουμε τα διανύσματα των ταχυτήτων σε δύο κάθετους άξονες x και y . Η επιλογή

των αξόνων γίνεται έτσι ώστε να χρειάζονται ανάλυση σε άξονες οι λιγότερες δυνατές

ταχύτητες.

Γ) Εφαρμόζουμε τη αρχή διατήρησης της ορμής σε κάθε άξονα ξεχωριστά:

)()( άpp

)(,)(,

)(,)(,

άyy

άxx

pp

pp

Δ) Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας

2m

2

1

)(

1m

V

)(

21 mm

Μετά την κρούση



EKK ά )()(

όπου E είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος που μετατράπηκε σε

θερμότητα κατά την κρούση.

Παράδειγμα πλάγιας πλαστικής κρούσης:

Δύο σφαίρες με μάζες m1 και m2 κινούνται στο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες 1

και 2

κάθετες μεταξύ τους, και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε:

α) την κοινή τους ταχύτητα μετά την κρούση.

β) την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

ΛΥΣΗ

)()(

)()(

yy

xx

pp

pppp

Αρχή διατήρησης της ορμής στον άξονα x :

xx pp xVmmm 211121

11

mm

mVx

yy pp yVmmm 212221

22

mm

mVy

Άρα το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος V θα είναι:

222

yx VVV 22

yx VVV

1

2

V

xV

yV

x

y

1m

2m



Η κατεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος προκύπτει από την εφαπτομένη της

γωνίας που σχηματίζει το διάνυσμα της με τον οριζόντιο άξονα x .

Άρα,

x

y

V

V

β) Η κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση ισούται με το άθροισμα των

κινητικών ενεργειών των σωμάτων μάζας m1 και m2.

2

22

2

112

1

2

1 mm

Η κινητική ενέργεια του συστήματος μετά την κρούση ισούται με την κινητική ενέργεια του

συσσωματώματος μάζας 21 mm .

2

212

1Vmm

Άρα η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος λόγω της κρούσης είναι:

. 2

21

2

22

2

11.2

1

2

1

2

1Vmmmm

ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

Όταν σε μία κρούση ένα από τα δύο συγκρουόμενα σώματα μπορεί να περιστρέφεται γύρω

από σταθερό ή νοητό άξονα, πριν η μετά την κρούση, τότε δεν εφαρμόζουμε την αρχή

διατήρησης της ορμής, αλλά την αρχή διατήρησης της στροφορμής, ως προς τον άξονα

περιστροφής. Ας δούμε τα παρακάτω παραδείγματα:

Α)

Πριν την κρούση Μετά την κρούση

άLL

lmIlm )( lmMllm 2

3

1

Έστω βλήμα μάζας m που κινείται με

ταχύτητα

και συγκρούεται με αρχικά

ακίνητη ράβδο μάζας M που μπορεί να

περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο

επίπεδο της σελίδας (σημείο Ο). Μετά την

κρούση το βήμα συνεχίζει την οριζόντια

πορεία του εξερχόμενο από τη ράβδο με

ταχύτητα

και η ράβδος αρχίζει να

περιστρέφεται.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον

άξονα περιστροφής της είναι:

2

)(3

1MlI

l l

Σημείο Ο



Β)

Πριν την κρούση Μετά την κρούση

Η ροπή αδράνειας του συσσωματώματος ως προς τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο

είναι:

222

)(3

1mlMlmlII

άLL

)(Ilm

22

3

1mlMllm

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER

Φαινόμενο Doppler λέγεται το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν ένας παρατηρητής και μία

πηγή κυμάτων βρίσκονται σε σχετική κίνηση μεταξύ τους, τότε η συχνότητα του

κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής δεν είναι η ίδια με αυτήν που εκπέμπει η

πηγή.

.

Σημειώσεις:

Α) Το φαινόμενο Doppler παρατηρείται σε όλα τα αρμονικά κύματα, τόσο τα μηχανικά όσο

και τα ηλεκτρομαγνητικά. (Θα ασχοληθούμε μόνο με μηχανικά ηχητικά κύματα)

Β) Την ταχύτητα διάδοσης του ήχου της θεωρούμε πάντα θετική.

Α. Ο παρατηρητής πλησιάζει

Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

Έστω βλήμα μάζας m που κινείται με

ταχύτητα

και συγκρούεται με αρχικά

ακίνητη ράβδο μάζας M που μπορεί να

περιστρέφεται γύρω από άξονα κάθετο στο

επίπεδο της σελίδας (σημείο Ο). Το βλήμα

σφηνώνεται στη ράβδο και το συσσωμάτωμα

περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας της ράβδου

ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι:

2

)(3

1MlI

Ο παρατηρητής Α πλησιάζει προς την ακίνητη

ηχητική πηγή με ταχύτητα

. Τώρα στον

παρατηρητή φτάνουν περισσότερα μέγιστα στη

μονάδα του χρόνου από όσα παράγει στον ίδιο

χρόνο η πηγή. Το μέτρο της ταχύτητας με την

οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον παρατηρητή

θα είναι .

Επομένως, η συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο

παρατηρητής θα είναι

f (1)

l l

Σημείο Ο



sfsf

(2)


sff

/

sff

Ανάλογα προκύπτει ότι όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή: sff

Συνδέοντας τις δύο περιπτώσεις κίνησης του παρατηρητή σε μία σχέση έχουμε:

Όπου το (+) ισχύει όταν ο παρατηρητής πλησιάζει προς την ακίνητη πηγή και το (-) όταν

απομακρύνεται από αυτήν.

Κινούμενη πηγή - ακίνητος παρατηρητής

Α. Η πηγή πλησιάζει

Ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών

μεγίστων που φτάνουν σ’ αυτόν. Ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα στην εκπομπή δύο

μεγίστων είναι μία περίοδος (Τ). Αν τη στιγμή t η πηγή εκπέμπει ένα μέγιστο τη στιγμή t

το μέγιστο θα έχει πλησιάσει τον παρατηρητή κατά λ αλλά και η πηγή θα τον έχει πλησιάσει

κατά ssx .

Τότε εκπέμπεται από την πηγή το επόμενο μέγιστο. Η απόσταση ανάμεσα στα δύο διαδοχικά

μέγιστα είναι ssx . Αυτή την απόσταση αντιλαμβάνεται ως μήκος κύματος ο

παρατηρητής. Επομένως ssx (1)

Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει: sfsf

(2)

Επίσης Με τη βοήθεια της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής προκύπτει:

s

sf

f11

(3)

sff

Κινούμενος παρατηρητής-

ακίνητη πηγή

Υποθέτουμε τώρα ότι η πηγή κινείται ισοταχώς με

ταχύτητα s

πλησιάζοντας τον ακίνητο

παρατηρητή Α. Το μέτρο της ταχύτητας με την

οποία διαδίδεται ο ήχος ως προς τον αέρα θα είναι

πάλι υ γιατί η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος

εξαρτάται μόνο από το μέσον διάδοσης. Το μήκος

κύματος που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής

μικραίνει γιατί η πηγή ακολουθεί τα κύματα με

αποτέλεσμα τα μέγιστα να πλησιάζουν μεταξύ τους.



Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (2) και (3) στην (1) προκύπτει:

ss

s

s ff

s

s

f

(4)

Άρα επειδή η ταχύτητα διάδοσης του ήχου παραμένει αμετάβλητη, η συχνότητα που

αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι:

f (5)


f

s

s

f

f

s

s

ff

Επειδή s προκύπτει ότι η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής

είναι μεγαλύτερη από αυτήν που εκπέμπει η πηγή ( sff ).

Ανάλογα προκύπτει ότι όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή:

s

s

ff

Συνδέοντας τις δύο περιπτώσεις κίνησης της πηγής σε μία σχέση έχουμε:

Όπου το (-) ισχύει όταν η πηγή πλησιάζει προς τον παρατηρητή και το (+) όταν

απομακρύνεται από αυτόν.

Γενικός Τύπος

Εάν κινούνται τόσο η πηγή όσο και ο παρατηρητής σε σχέση με το μέσον διάδοσης τότε η

σχέση που δίνει την συχνότητα που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι:

s

s

ff

Συμπέρασμα: Ο παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα μεγαλύτερη από τη συχνότητα της

πηγής όταν η μεταξύ τους απόσταση μειώνεται και με συχνότητα μικρότερη από τη

συχνότητα της πηγής όταν η απόστασή τους μεγαλώνει.

s

s

ff

Ακίνητος παρατηρητής-

κινούμενη πηγή

Σύνοψη Θεωρίας

Documents