Логарифмические уранения
TRANSCRIPT
![Page 1: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/1.jpg)
Тема: Логарифмическая функция в уравнениях
Учиться можно только весело. Чтоб переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.
Анатоль ФрансШилинговской И., 11-А
![Page 2: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/2.jpg)
• Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
• Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)• Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1)
при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
![Page 3: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/3.jpg)
Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения
Уравнение Решение
1 и 0 ,log а) aabxa bax .1 и 0 ,)(log б) aabxfa baxf )(
.1 и 0
, )(log)(log в)
aa
xgxf aa
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
bxfxg )(log г) )(
bxgxf
xg
xg
)()(
,1)(
,0)(
![Page 4: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/4.jpg)
с помощью определения логарифма
потенцированиевведение новой
переменной
логарифмированиевынесение общего
множителя заскобки
графический
приведение к одному основанию
![Page 5: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/5.jpg)
1-й метод:
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание.
Log2 4√2= х, log3√3 х = - 2 , logх 64= 3,2х= 4√2, х =3√3 – 2 , х3 =64,2х = 25/2 , х =3- 3 , х3 = 43 ,х =5/2 . х = 1/27. х =4.
![Page 6: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/6.jpg)
• Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Решите уравнения: lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.Условие для проверки всегда составляем по исходному уравнению. (х2-6х+9) >0, х≠ 3,Х-7 >0; х >7; х >7.С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду log ((х-3)/(х-7))2 = lg9 применяя формулу логарифм частного.((х-3)/(х-7))2 = 9,(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,х =9. х=6. посторонний корень.Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9
![Page 7: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/7.jpg)
3 метод «введение новой переменной»:
Решите уравнения:
log62 х + log6 х +14 = (√16 – х2)2 +х2,
16 – х2 ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4; х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).
log62 х + log6 х +14 = 16 – х2 +х2,
log62 х + log6 х -2 = 0
заменим log6 х = t
t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -2.
log6 х = 1 , х = 6 посторонний корень .
log6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем . Ответ : 1/36.
![Page 8: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/8.jpg)
4метод «логарифмирование»:Решите уравнения = ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3 Вопрос : 1.Это – равносильное преобразования ? 2.Если да то почему ?
Получим
log3 = log3 (3х)
.
Учитывая теорему 3 , получаем : log3 х2 log3 х = log3 3х, 2log3 х log3 х = log3 3+ log3 х, 2 log3
2 х = log3 х +1, 2 log3
2 х - log3 х -1=0,
заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2 log3 х = 1 , х=3, log3 х = -1/ 2 , х= 1/√3. Ответ: {3 ; 1/√3. }.
![Page 9: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/9.jpg)
5 метод: «графический»
Решите уравнения: log3 х = 12-х.
Так как функция у= log3 х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.
![Page 10: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/10.jpg)
7 метод «приведение к одному основанию» :
Решить уравнения: log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1, 37-12х >0, х< 37/12,7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;
log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1,
½ log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) ,
log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 ,
37-12х= 49 -28х +4х2 , 4х2-16х +12 =0,
х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень .
Проверкой убеждаемся , что х=1 корень уравнения.
![Page 11: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/11.jpg)
Логарифмическая спираль
![Page 12: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/12.jpg)
– угол поворота относительно полюса
или
- расстояние от полюса до произвольной точки на спирали
– постоянная
Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( ) возрастает пропорционально углу поворота
полюс
![Page 13: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/13.jpg)
Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.
![Page 14: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/14.jpg)
Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.
![Page 15: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/15.jpg)
Тема: Логарифмическая функция в уравнениях
Учиться можно только весело. Чтоб переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.
Анатоль ФрансШилинговской И., 11-А
![Page 16: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/16.jpg)
• Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
• Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)• Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1)
при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
![Page 17: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/17.jpg)
Виды простейших логарифмических уравнений и методы их решения
Уравнение Решение
1 и 0 ,log а) aabxa bax .1 и 0 ,)(log б) aabxfa baxf )(
.1 и 0
, )(log)(log в)
aa
xgxf aa
).()(
,0)(
,0)(
xgxf
xg
xf
bxfxg )(log г) )(
bxgxf
xg
xg
)()(
,1)(
,0)(
![Page 18: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/18.jpg)
с помощью определения логарифма
потенцированиевведение новой
переменной
логарифмированиевынесение общего
множителя заскобки
графический
приведение к одному основанию
![Page 19: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/19.jpg)
1-й метод:
На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание.
Log2 4√2= х, log3√3 х = - 2 , logх 64= 3,2х= 4√2, х =3√3 – 2 , х3 =64,2х = 25/2 , х =3- 3 , х3 = 43 ,х =5/2 . х = 1/27. х =4.
![Page 20: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/20.jpg)
• Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:если , loga f(х) = loga g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.
Решите уравнения: lg(х2-6х+9) - 2lg(х - 7) = lg9.Условие для проверки всегда составляем по исходному уравнению. (х2-6х+9) >0, х≠ 3,Х-7 >0; х >7; х >7.С начало нужно преобразовать уравнение привести к виду log ((х-3)/(х-7))2 = lg9 применяя формулу логарифм частного.((х-3)/(х-7))2 = 9,(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= - 3 ,х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,х =9. х=6. посторонний корень.Проверка показывает 9 корень уравнения. Ответ : 9
![Page 21: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/21.jpg)
3 метод «введение новой переменной»:
Решите уравнения:
log62 х + log6 х +14 = (√16 – х2)2 +х2,
16 – х2 ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4; х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).
log62 х + log6 х +14 = 16 – х2 +х2,
log62 х + log6 х -2 = 0
заменим log6 х = t
t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -2.
log6 х = 1 , х = 6 посторонний корень .
log6 х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем . Ответ : 1/36.
![Page 22: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/22.jpg)
4метод «логарифмирование»:Решите уравнения = ЗХ , возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию 3 Вопрос : 1.Это – равносильное преобразования ? 2.Если да то почему ?
Получим
log3 = log3 (3х)
.
Учитывая теорему 3 , получаем : log3 х2 log3 х = log3 3х, 2log3 х log3 х = log3 3+ log3 х, 2 log3
2 х = log3 х +1, 2 log3
2 х - log3 х -1=0,
заменим log3 х = t , х >0 2 t 2 + t -2 =0 ; Д = 9 ; t1 =1 , t2 = -1/2 log3 х = 1 , х=3, log3 х = -1/ 2 , х= 1/√3. Ответ: {3 ; 1/√3. }.
![Page 23: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/23.jpg)
5 метод: «графический»
Решите уравнения: log3 х = 12-х.
Так как функция у= log3 х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Который легко можно найти. При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.
![Page 24: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/24.jpg)
7 метод «приведение к одному основанию» :
Решить уравнения: log9( 37-12х ) log7-2х 3 = 1, 37-12х >0, х< 37/12,7-2х >0, х< 7/2, х< 7/2, 7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;
log9( 37-12х ) / log3 (7-2х ) = 1,
½ log3( 37-12х ) = log3 (7-2х ) ,
log3( 37-12х ) = log3 (7-2х )2 ,
37-12х= 49 -28х +4х2 , 4х2-16х +12 =0,
х2-4х +3 =0, Д=19, х1=1, х2=3, 3 –посторонний корень .
Проверкой убеждаемся , что х=1 корень уравнения.
![Page 25: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/25.jpg)
Логарифмическая спираль
![Page 26: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/26.jpg)
– угол поворота относительно полюса
или
- расстояние от полюса до произвольной точки на спирали
– постоянная
Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния ( ) возрастает пропорционально углу поворота
полюс
![Page 27: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/27.jpg)
Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.
![Page 28: Логарифмические уранения](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062420/55b81b83bb61ebc5798b4640/html5/thumbnails/28.jpg)
Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.