Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод...
TRANSCRIPT
![Page 1: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/1.jpg)
Побудова перерізів многогранників.Метод слідів.
ДНЗ “Кіровоградський професійний ліцейімені Героя Радянського Союзу О. С. Єгорова”
Викладач математики Є. В. Лазовік
![Page 2: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/2.jpg)
Побудова перерізів многогранників використовується при розв’язуванні великої кількості задач стереометрії.
AB
CD
A1
D1 C1
B1
K
H
N
![Page 3: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/3.jpg)
Що означає побудувати переріз?
Побудувати переріз многогранника площиною означає:1. В площині кожної перетнутої грані вказати дві точки, що належать перерізу;2. З'єднати ці точки прямою;3. Знайти точки перетину прямої з ребрами многогранника.
А В
С
S
K M
L
![Page 4: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/4.jpg)
Приклад 1.
Побудувати переріз, що проходить через вершину S і точки М і N, що лежать на ребрах АВ і ВС тетраедра SABC.
А C
B
S
Розв’язання.
Через три точки M, N, S що не лежать в одній
прямий, завжди можна провести площину і до
того ж тільки одну. Вкажемо, як ця площина
перетинається з елементами (гранями і
ребрами) тетраедра SABC.
M N
![Page 5: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/5.jpg)
Приклад 1.
1. Оскільки точки М і N є спільними для площин (MNS) та (ABC), то пряма MN є прямою перетину цих площин (з’єднаємо точки N і M відрізком).
2. Аналогічно міркуючи, з’єднаємо точки M і S, N і S.
M N
А C
B
S
M N
А C
B
S
![Page 6: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/6.jpg)
Приклад 1.
Шуканий переріз – ΔMNS.
M N
А C
S
B
![Page 7: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/7.jpg)
Приклад 2.
Побудувати переріз, що проходить через вершину С і точки Мта N, що лежать в гранях (ADC) і (ABC) тетраедра ABCD.
Розв’язання.
Через три точки M, N і С можна провести площину і
притому тільки одну. Вкажемо, як ця площина
перетинається з гранями і ребрами тетраедра.
A
BD
C
N
M
![Page 8: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/8.jpg)
Приклад 2.
1. Так як точки M і С є спільними для площин (MNC) та (ADC), то пряма СМ є прямою перетину цих площин. Продовжимо її до перетину з прямою AD. Точку їх перетину позначимо Р.
A
BD
C
N
MP
2. Аналогічним чином обґрунтовується побудова прямої CQ .
A
BD
N
MP
C
Q
![Page 9: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/9.jpg)
Приклад 2.
Точки Р і Q належать площині (MNC) та (АBD), тоді пряма PQ є прямою перетину цих площин.
Шуканий переріз – ΔPQC.
A
D
N
MP
C
Q
B
![Page 10: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/10.jpg)
Як побудувати переріз многогранника площиною у випадку, коли задано точки, що попарно не лежать на одній грані?
В такому випадку користуються одним з трьох методів побудови:1. Метод слідів;2. Метод допоміжних перерізів (метод внутрішнього проектування);3. Комбінований метод.
Детально зупинимось на першому з них.
Методи побудови перерізів многогранника площиною.
![Page 11: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/11.jpg)
Суть методу слідів полягає в побудові слідів січної площини на площинах кожної грані многогранника.
Метод слідів.
Метод слідів включає три важливі пункти:
1. Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника;2. Знаходимо точки перетину січної площини з ребрами многогранника;3. Будуємо і заштриховуємо переріз.
![Page 12: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/12.jpg)
Приклад 3.
Побудувати переріз, що проходить через точки P, Q, R.
Розв’язання.
Через три точки P, Q і R можна провести площину і
притому тільки одну. Вкажемо, як ця площина
перетинається з гранями і ребрами куба. A
B C
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
![Page 13: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/13.jpg)
Приклад 3.
Точки P і Q належать грані AA1B1B. Проведемо пряму PQ.
O1
B
A
C
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
Пряма PQ перетинає AB. Побудуємо точку O1 – точку їх перетину.
![Page 14: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/14.jpg)
Приклад 3.
Аналогічно отримаємо точку O2 в результаті перетину прямих QR і BC.
O1
A
BC
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
Тепер в площині основи призми є дві точки майбутнього перерізу – це точки O1 і O2.
O2
![Page 15: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/15.jpg)
Приклад 3.
Пряма O1O2 - слід перерізу на площині нижньої основи призми.
O1
A
BC
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
O2
Пряма O1O2 перетинає сторону AD в точці T і сторону CD в точці U.
T
U
![Page 16: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/16.jpg)
Приклад 3.
O1
A
BC
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
O2
T
U
З’єднаємо точки P і T, оскільки вони належать одній грані АА1D1D.
Аналогічно з’єднаємо точки R і U, оскільки вони належать одній грані DD1C1C.
![Page 17: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/17.jpg)
Приклад 3.
O1
A
BC
D
A1
B1 C1
D1
P
Q
R
O2
T
U
Шуканий переріз – п’ятикутник TPQRU.
![Page 18: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/18.jpg)
Приклад 4.
Побудувати переріз, що проходить через точки P, Q і R, якщо точка R належить грані A1B1C1.
Розв’язання.
Через три точки P, Q і R, що не лежать в одній
прямий, завжди можна провести площину і до
того ж тільки одну. Вкажемо, як ця площина
перетинається з елементами (гранями і
ребрами) призми ABCA1B1C1.
A B
C
A1
C1
B1
P
QR
![Page 19: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/19.jpg)
Приклад 4.
Точки Q і R належать верхній грані призми, проведемо через них пряму QR.
A B
C
A1
C1
B1
P
QR
Пряма QR перетинає ребро A1C1. S – точка їх перетину.
S
Пряма QR перетинає пряму B1C1. O – точка їх перетину.
O
![Page 20: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/20.jpg)
Приклад 4.
Точки P і S належать поверхні грані AA1C1C, проведемо через них пряму PS.
Точки P і O належать поверхні грані CC1B1B, проведемо через них пряму PO.
A B
C
A1
C1
B1
P
QR
S
O
![Page 21: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/21.jpg)
Приклад 4.
Пряма PO перетинає ребро BB1. Нехай точка T – точка їх перетину.
A B
C
A1
C1
B1
P
QR
S
O
TТочки Q і T лежать на грані AA1B1B. Проведемо пряму QT.
![Page 22: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/22.jpg)
A B
C
A1
C1
B1
P
QR
S
O
T
Приклад 4.
Шуканий переріз – чотирикутник SQTP.
![Page 23: Є. В. Лазовік. Побудова перерізів многогранників. Метод слідів](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052116/55a09fae1a28abe12f8b4658/html5/thumbnails/23.jpg)
Кіровоград. 2013 рік.