михайлова похідна
TRANSCRIPT
Роботу виконала учениця 11 А класу
Харківського ліцею №149Михайлова Катерина
2013р.
Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).
Визначення
Похідна позначається:
Похідна функції в даній точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до функції в цій точці f '(x0) = tg α = k.Рівняння дотичної до функції f(х) в точці х0 записується так: y=f(x0)+f '(x0)(x-x0).
Геометричний зміст похідної
Коли задано функцію шляху S=S(t) то перша похідна від неї за часом дасть функцію швидкості St'(t) = v(t).Похідна від функції швидкості по часу дасть функцію прискорення vt'(t) = a(t).Друга похідна від шляху по часу рівна прискоренню тіла в даний момент часу St''(t) = a(t).
Механічний (фізичний) зміст похідної
Похідні функцій можна знаходити користуючись означенням. Але такий спосіб є не зручним, і тому на практиці похідні знаходять користуючись таблицею похідних. Якщо u, v - диференційовні функції, С - стала, то правила диференціювання записуються так:
Похідні основних елементарних функцій:
(C)' = 0, де С - деяка стала;(x)' = 1;(ex)' = ex;(xn)' = n•xn - 1;(sin x)' = cos x;(cos x)' = -sin x.
Таблиця похідних
Застосування похідної для дослідження функцій
Якщо y'(x) > 0, то функція зростає.Якщо y'(x) < 0, то функція спадає.Якщо y'(x) = 0 (або не існує), то в точці x = x0 знаходиться екстремум функції (максимум або мінімум).
Похідна складеної функції
Нехай задано функції y=f(t) і t=g(x). Тепер підставимо другу функцію у першу.
Означення.
Функція y=h(x)=f(g(x)) називається складеною функцією (суперпозицією або композицією) функцій відносно функцій f і g.Наприклад, y=Sin2x – складена функція. Формула для знаходження похідної складеної функції записується так: (f(g(x)))'=f '(g(x))·g'(x).
Приклад із розв’язком
Знайти похідну складеної функції
Тренувальні вправи
1.
2.
3.
4.
А.
1. Завдання на відповідність
Б.
В.
Г.
2. Знайдіть похідну функцій:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Відео на тему похідні показникової та
логарифмічної функції