Геометрия (решение задач)
TRANSCRIPT
Журнал «Математика» № 1/2012
Е. Зудинаг. Москва
ГЕОМЕТРИЯ
Журнал «Математика» № 1/2012
Задачи на нахождение площадей плоских фигур, нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на координатной плоскости.
Задача В3
Задачи на нахождение значений тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.
Задача В6
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Для решения требуетсяДля решения требуется
Задача В3
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
Знать формулы площадей треугольников, параллелограммов, трапеций, круга и его частей.
Применять указанные формулы для нахождения площадей фигур, находить площадь фигуры методом разбиения ее на более простые фигуры.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
aa
b
b
2ab
S
прS a b
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 1. Найдите площадь треугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. 1. Построим прямоугольник, в вершинах и на сторонах которого лежат вершины данного треугольника.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
2. Закрасим «лишние» треугольники.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
пр4 6 24,
4 4 8,2
2 4 4.2
S
S
S
V
V
4
4
4
2
6
224 8 4 12 см .S
Ответ: 12.
3. Вычислим площади прямоугольника и «лишних» треугольников. 4. Вычислим площадь данного треугольника.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 2. Найдите площадь четырехугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
22 6 2 64 6 12 см2 2
S
2
2
2
2
6
6
Ответ: 12.
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 3. Найдите площадь четырехугольника. Размер каждой клетки 1см 1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
3
1 1 2 3
3
6 1
21 3 1 3 1 6 2 34 6 1 2 13 см2 2 2 2
S
Ответ: 13.
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В6
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.
Знать определения тригонометрических функций и их свойства.
Уметь работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых выражений.
Для решения требуетсяДля решения требуется
Проверяемые уменияПроверяемые умения
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
A C
гипотенуза
прилежащий катет
прот
ивол
ежащ
ий
кате
т
B
2 2sin cos 1A A
2 2 2AC CB AB
лежащий катетпротиво
гипотенузаsin
ABA
BC
лежащий катприcos
гипотенуза
ет ACA
AB
проти катеволежащий
лежащи
тtg
при катетй
BCA
AC
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
,
,
,
12 512 : 20.3
sin
sin
sin35
BCAB
AB BC
BCAB
AB
A
A
A
Ответ: 20.
Задача 1. В треугольнике АВС угол С равен 90,
ВС = 12. Найдите АВ.3
sin ,5
A
лежащий катепротив т
гипот
о
еsi
зn
ну аA
Решение.
A C
гипотенуза
прилежащий катет
прот
ивол
ежащ
ий
кате
т
B
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 2. В треугольнике ВСН угол Н равен 90,
ВН = 24. Найдите СН.
512
tg B ,
tg
tg ,
,
24 10512
.
CHBH
CH BH
CH
B
B
Ответ: 10.
волежащий капротиtg
пр
тет
лежащий ети катB
B H
гипотенуза
прилежащий катет
прот
ивол
ежащ
ий
кате
т
C
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 3. В треугольнике KMP угол P равен
90, Найдите 4
sin .5
K cos .K
22 22 4sin 1, cocos s 1.
5KK K
2
2
16cos 1 ,25
9cos ,253cos .5
K
K
K
390 , значит, cos 0 : cos .5
K K K
Ответ: 0,6.
K P
гипотенуза
прилежащий катет
прот
ивол
ежащ
ий
кате
т
M
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Ответ: 0,6.
Задача 4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.
В прямоугольном треугольнике ABH катет BH находим по теореме Пифагора:
2 210 8 6.BH
cosBH
BAB
, откуда cos B = 0,6.
Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.
A
C
B
H
10
8
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 5. Найдите хорду, на которую опирается
угол 60°, вписанный в окружность радиуса .3
Рассмотрим треугольник ABC:
2sin
ABR
C – теорема синусов.
2 sin ,AB R C
Ответ: 3.
Откуда
32 3 sin 60 2 3 3.
2AB
A
C
B
60°
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012
Задача С4
Задачи на нахождение значений тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Задача 1. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что АD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.
Пусть окружность и прямая ВС касаются в точке Х. Тогда
т.е.
1. Если точка Х лежит на луче ВС,
то центр окружности – точка О –
середина отрезка AD:
2 3,BX BD AB 3.BX
cos30 3 ;BO BX 0,5 1.R BO
D
B
A
C
O
X = E
Решение.
Журнал «Математика» № 1/2012Журнал «Математика» № 1/2012
Ответ: 1 или 7.
D
B
A
C
O
X = F X
G
2. Если точка X – на продолжении луча BC за точку B.Пусть точка Q – центр окружности, F – точка касания. Тогда BF = BX, OG = 2BO = 4, FG = OX = 1,
QG = 2, GO = 8, R = QF =7. 30 ,GQO FBG