презентация васильева с иванов а
TRANSCRIPT
«EXCELSIOR - 2012»
Секция МАТЕМАТИКА
РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
Васильева Светлана Владимировна, МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района
Чувашской Республики, 11 класс
Иванов Анатолий Валерьевич, МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района
Чувашской Республики, 11 класс
Научный руководитель: Яковлева Галина Васильевна,
учитель математики МБОУ «Октябрьская СОШ» Мариинско-Посадского района Чувашской Республики.
Цель работы: Осуществлять поиск «ключевых задач», исследовать возможность эффективного использования их при решении задач нахождения расстояний и углов в пространстве
Предмет исследования – «ключевые задачи» как кратчайший путь достижения цели.
Гипотеза исследования. Уместно начать работу с вопроса: “Известна ли нам какая-нибудь родственная задача?», ибо значение слова «исследование» - извлечь нечто «из следа» Чем больше изучаешь, тем больше потребность в новых знаниях.
Задачи исследования:1) обосновать и раскрыть идею метода «ключевых задач»; 2) исследовать использование «ключевых задач» для нахождения
расстояний и углов в пространстве; 3) создать «банк ключевых задач»в виде справочного материала для
подготовки к ЕГЭ;
Ключевая задача (использование расстояний)
lM
M
;
;;sin
Ключевая задача (теорема о трех синусах) sinsinsin
S
S /
;cos
Ключевая задача (использование площади)
В одной из граней двугранного угла величиной α проведена прямая, составляющая с ребром этого угла угол β. Определите угол γ между этой прямой и другой гранью
Расстояние от точки М до прямой а равно расстоянию до прямой а от произвольной точки Р прямой b, проходящей через точки М, параллельной прямой а
Ключевая задача(использование параллельных прямых)
Пример. В правильной шестиугольной призме А…Е1, ребра которой равны 1. Найти расстояние от точки А до прямой ВС1
Ключевая задача(использование параллельных прямой и плоскости)Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.Задачу можно свести к задаче о расстоянии от точки прямой до плоскости.
Пример. В правильной треугольной призме А…С1, в которой все ребра равны 1,найти расстояние между прямымиАА1 и В1С
Ключевая задача (использование параллельных плоскостей)Угол между пересекающимися плоскостями α и β равен углу между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них).
Пример. В кубе A…D1 найти угол между плоскостью грани AA1B1B и плоскостью BC1D.
Ключевая задача (использование координатного метода)Вычислить координаты необходимых точек, расположенных на многогранниках, и применить соответствующую формулу. Для некоторых задач дополнительно требуется умение составлять уравнение плоскости. Удачный выбор системы координат (некоторые вершины многогранника находятся на координатных осях)
Пример 2. В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где P и Q — середины соответственно ребер А1B1 и ВС.
Рассматривается равенство объемов одной фигуры, выраженных двумя независимыми способами. При данном методе нет необходимости в проведении перпендикуляра из точки на плоскость и его обоснования.
Ключевая задача ( использование объемов)Если объем пирамиды ABCM равен V, то расстояние от точки M доплоскости, содержащей треугольник ABC, вычисляют по формуле
Пример. Ребро куба A…D1 равно а. Найти расстояние от точки C до плоскости BDC1.