Εισαγωγή στην Οικονομετρία Σημειώσεις

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ

1 Επιμέλεια Βουκελάτος Αντώνης URL: http://economics.pblogs.gr 6973407449 mail: [email protected]

ΔΙΑΓΩΓΙΚΔ ΔΝΝΟΙΔ

Ζ νηθνλνκεηξία είλαη ε εθαξκνγή ησλ καζεκαηηθώλ θαη ηεο ζηαηηζηηθήο γηα ηελ αλάιπζε

πνζνηηθώλ θαη πνηνηηθώλ νηθνλνκηθώλ δεδνκέλσλ, κε ζθνπό λα εθηηκεζνύλ δηαθνξέο νηθνλνκηθέο

ζρέζεηο, λα ειέγρεη ε νξζόηεηα ηεο νηθνλνκηθήο ζεσξίαο θαη λα γίλνπλ πξνβιέςεηο σο πξνο ηελ

εμέιημε ησλ νηθνλνκηθώλ θαηλνκέλσλ (Βακβνπθαο 2007).

1.1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΔΣΡΙΚΟ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑ

Οη νηθνλνκηθέο ζεσξίεο αληηθαηνπηξίδνληαη από ηα νηθνλνκηθά ππνδείγκαηα (economic

models) ηα όπνηα εκπεξηέρνπλ ηελ νηθνλνκηθή ζεσξία κε αιγεβξηθή κνξθή. Ο αθξηβήο

πξνζδηνξηζκόο ησλ ζπληειεζηώλ ηεο αιγεβξηθήο δηαηύπσζεο είλαη ν ζηόρνο ηεο νηθνλνκεηξίαο.

Παξάδεηγκα: Έζησ QX = f(PX, Yd) ε ζπλάξηεζε Εήηεζεο κε κεηαβιεηέο ηελ ηηκή (Ρ) θαη

ην εηζόδεκα ηνπ θαηαλαισηή (Τ). Γλσξίδνπκε απ ηελ νηθνλνκηθή ζεσξία όηη ε δήηεζε ησλ αγαζώλ

εμαξηάηαη αξλεηηθά απ ηηο ηηκέο (αθνύ όζν αλεβαίλεη ε ηηκή κεηώλεηαη ε δεηνύκελε πνζόηεηα), θαη

ζεηηθά απ ην εηζόδεκα (αθνύ όζν αλεβαίλεη ην εηζόδεκα, απμάλεηαη θαη ε δεηνύκελε πνζόηεηα).

Αιγεβξηθά κπνξνύκε λα δηαηππώζνπκε ηνλ παξαπάλσ ζπιινγηζκό κε ηνλ αθόινπζν ηύπν:

(1.1) QX = β0 - β1ΡX + β2Τd όπνπ β1,β2,β3 νη παξάκεηξνη ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ

Ζ ζρέζε αύηε απνηειεί έλα νηθνλνκηθό ππόδεηγκα. Γηα λα δηαπηζηώζνπκε αλ ε αλσηέξσ

εμίζσζε απνηειεί εκπεηξηθή πξαγκαηηθόηεηα ζα πξέπεη λα απεηθνλίζνπκε κηα ζπλάξηεζε πνπ λα

απεηθνλίδεη κε αθξίβεηα ηελ ζπζρέηηζε κεηαμύ κηαο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο (ζηελ πεξίπησζε καο

ηελ QX) θαη ηηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο. Αξά πξέπεη λα κεηαηξέςνπκε ην νηθνλνκηθό κνληέιν ζε

έλα νηθνλνκεηξηθό κνληέιν (econometric model):

(1.2) QX = β0 - β1ΡX + β2Τd +Є ,όπνπ Є ν ζηνραζηηθόο όξνο (stochastic term) ν νπνίνο

απνηειεί ην Α θαη ην Ω ηεο νηθνλνκεηξηθήο αλάιπζεο.

Ζ ζπλάξηεζε (1.1) είλαη πξνζδηνξηζηηθή (deterministic) γηαηί ε ζρέζε, ηεο εμαξηεκέλεο

κεηαβιεηήο κε ηηο αλεμάξηεηεο, είλαη αθξηβήο. ηελ πξαγκαηηθόηεηα όκσο δελ είλαη πξνζδηνξηζηηθή

γηαηί δελ ιακβάλεη ππ όςηλ άιινπο παξάγνληεο όπσο νη πξνηηκήζεηο, ε ζπκπεξηθνξά θαηαλαισηώλ

θιπ.

Ζ ζπλάξηεζε (1.2) νλνκάδεηαη ζηνραζηηθή γηαηί ζε θάζε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο,

νη εμαξηεκέλεο κπνξεί λα ιακβάλνπλ πνιιέο δηαθνξεηηθέο ηηκέο. Σν πξώην ζθέινο ηεο εμίζσζεο (β0

- β1ΡX + β2Τd) νλνκάδεηαη εξκελεπηηθό θαη αληαλαθιά ην γεγνλόο όηη έλα κέξνο ηεο εμαξηεκέλεο

κεηαβιεηήο (Q) εξκελεύεηαη από ηηο γλσζηέο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο . Οη άγλσζηνη παξάγνληεο

πνπ επεξεάδνπλ ην κνληέιν, απεηθνλίδνληαη απ ηνλ ζηνραζηηθό όξν (Є) θαη ην ηκήκα απηό ηεο

ζρέζεο νλνκάδεηαη αλεξκήλεπην.



𝐶 0

𝐶 1

𝐶 2

𝐶 3

𝐶 4

Y1 Y2 Y3 Y4

Є 1

Є 2

Є 3 Є 4

C

Y

Ci = β0 + β1Υi + Є

1.2 ΟΙΚΟΝΟΜΔΣΡΙΚΑ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΑ

Σν πξώην βήκα ζηελ πξαθηηθή ηεο νηθνλνκεηξίαο είλαη ε δηαηύπσζε ελόο νηθνλνκεηξηθνύ

ππνδείγκαηνο. Έζησ όηη αληηθείκελν καο είλαη ε κειέηε ηεο εγρώξηαο θαηαλάισζεο. Γλσξίδνπκε

από ηελ Κεπλζηαλε ζεσξία όηη:

(1.3) C = f(Y) = β0 + β1Τ όπνπ (C) ε θαηαλάισζε, (Τ) ην εηζόδεκα θαη β0, β1 νη

ζπληειεζηέο (coefficients).

Ζ αλσηέξσ εμίζσζε απνηππώλεηαη δηαγξακκαηηθά σο εμήο:

Δίλαη πηζαλό νη ζπζρεηίζεηο ησλ κεηαβιεηώλ Υ θαη Τ λα απνθιίλνπλ απ ηελ επζεία ζηελ

πξαγκαηηθόηεηα. ηελ πεξίπησζε καο απηό νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη δελ έρνπλ ζπκπεξηιεθζεί

άιινη πξνζδηνξηζηηθνί παξάγνληεο ζην

κνληέιν όπσο πξνηηκήζεηο,

πιεζσξηζκόο, κέγεζνο πιεζπζκνύ

θιπ. Αξά ε πξαγκαηηθή κνξθή ηεο

ζπλάξηεζεο είλαη ζηνραζηηθήο

κνξθήο:

C = f(Y, Є) Ci = β0 + β1Τi + Є

Αύηε ε ζρέζε απνηππώλεηαη

δηαγξακκαηηθά:

Ζ ζρέζε κεηαμύ ηνπ (C) θαη ηνπ (Τ)

είλαη ζηνραζηηθή γηαηί ε ηηκή πνπ

ιακβάλεη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή

(C), δελ είλαη κηα θαη κνλαδηθή ζε

θάζε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο (Τ).

Con

sum

ptio

n

Income

β1

β1

β1

Υ1 Υ2 Υ3 Υ4

C0

C1

C2

C3

C4

β0

C = f(Y) = β0 + β1Υ



1.3 ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΣΑΣΙΣΙΚΩΝ ΣΟΙΥΔΙΩΝ

α. ηνηρεία Υξνλνινγηθώλ εηξώλ (time series data): Μηα κεηαβιεηή απνθαιείηαη ρξνλνινγηθή

ζεηξά όηαλ ιακβάλεη ηηκέο θαηά ηελ δηάξθεηα νξηζκέλεο ρξνληθήο πεξηόδνπ. Οη κεηαβιεηέο

απεηθνλίδνληαη σο Υiθ όπνπ i ν αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ θαη k ε κεηαβιεηή. Δλδεηθηηθόο είλαη ν

παξαθάησ πίλαθαο από ηνλ ΟΟΑ, ζηνλ νπνίν παξνπζηάδνληαη καθξννηθνλνκηθά ζηνηρεία από ην

1990 σο ην 2005:

Υi1:Δηεζην πνζνζηό

κεηαβνιήο ΑΔΠΣ

Xi2: Πιεζσξηζκόο

Xi3: Αλεξγία

Xi4: Γεκόζην ρξένο σο

πνζνζηό ηνπ ΑΔΠ

Xi5: Κξαηηθέο Γαπάλεο σο


Xi6: Κξαηηθά Έζνδα σο


β. Γηαζηξσκαηηθα ηνηρεία (cross-sectional data): Σα δηαζηξσκαηηθα ζηνηρεία είλαη ζηαηηζηηθά

δεδνκέλα ηα όπνηα αθνξνύλ κηα ε πεξηζζόηεξεο κεηαβιεηέο ζε θάπνηα ζπγθεθξηκέλε ρξνλνινγηθή

ζηηγκή.

γ. Οκαδνπνηεκέλα ηνηρεία (pooled data): Σα νκαδνπνηεκέλα ζηνηρεία απνηεινύληαη από δεδνκέλα

ηα όπνηα πξνθύπηνπλ από ζπλδπαζκό ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ θαη δηαζηξσκαηηθσλ ζηνηρείσλ.

δ. ηνηρεία Πάλει (panel data): Σα δεδνκέλα πάλει απνηεινύλ εηδηθή πεξίπησζε ησλ

νκαδνπνηεκέλσλ ζηνηρείσλ θαη αμηνπνηνύληαη εθηελώο ζηελ ζύγρξνλε νηθνλνκεηξία. Απνηεινύλ έλα

ζύλνιν δεδνκέλσλ όπνπ έλα δηαζηξσκαηηθα δείγκα απεηθνλίδεηαη δηαρξνληθά. Δίλαη δειαδή

ζπλδπαζκόο δηαζηξσκαηηθσλ δεδνκέλσλ θαη ρξνλνινγηθώλ ζεηξώλ κε ηα εμήο πιενλεθηήκαηα :

i. Πεξηνξίδεηαη ε πνιπζπγγξακκηθνηεηα κεηαμύ ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ θαη

αληηκεησπίδεηαη ην πξόβιεκα ηνπ κεξνιεπηηθνύ ζθάικαηνο (simultaneity bias).

ii. Απμάλεη ν αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ, κε ζπλέπεηα ε άλνδνο ησλ βαζκώλ ειεπζεξίαο λα

νδεγεί ζηελ βειηίσζε ηεο απνηειεζκαηηθόηεηαο ησλ εθηηκεζελησλ ζπληειεζηώλ.

iii. Πεξηνξίδεηαη ε εηεξνζθεδαζηηθνηεηα.



1.4 ΜΟΡΦΔ ΔΞΙΩΔΩΝ

Σα νηθνλνκεηξηθά ππνδείγκαηα δηαθξίλνληαη ζε γξακκηθά (linear) θαη κε γξακκηθά (non-linear) θαη

κπνξεί λα πάξνπλ ηηο θαησζη κνξθέο:

Τ = β0 + β1Υ + Є

Τ = β0 + β1logX + Є

Y = β0Υ1β1 + Υ2β2 + Є

Τ = β0 + β1Υ + β2ΥΕ + Є

logΤ = β0 + β1logX + Є

log

) = β0 + β1Υ + Є

logY = β0 + β1logX + Є

Τ = β0 + β1

+ Є

Τ = β0eβ1ρ

Ζ νξηαθή επίδξαζε ζε θάζε πεξίπησζε βξίζθεηαη απ ηνλ ιόγν ησλ δηαθνξηθώλ

θαη ε

ειαζηηθόηεηα απ ηνλ ηύπν

x

1.5 ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΞΙΩΔΩΝ

Σα νηθνλνκεηξηθά ππνδείγκαηα, εθηόο από κηα εμίζσζε, κπνξνύλ λα απνηππσζνύλ θαη κε

έλα ζύζηεκα εμηζώζεσλ (system equation). Γηα παξάδεηγκα όηαλ κειεηάκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο

παίξλνπκε ηηο εμηζώζεηο Πξνζθνξάο θαη Εήηεζεο:

Qd = β0 + β1Ρ + β2Τ + Є β0 + β1Ρ + β2Τ + Є = γ0 + γ1Ρ + u P =

–

Τ +

(1.5)

Qs = γ0 + γ1Ρ + u

Αλ ζηελ ζρέζε (1.5) αληηθαηαζηήζσ κε Π0 =

, Π1=

θαη v =

ηόηε :

P = Π0 + Π1Τ + v (1.6)

Αληηθαζηζηώληαο ηελ (1.6) ζηελ ζπλάξηεζε δήηεζεο έρσ :

Q = Π2 + Π3Τ + z (1.7) όπνπ Π2 =

, Π3 =

θαη z =

Οη ζρέζεηο (1.6) θαη (1.7) απνηεινύλ έλα ζύζηεκα αλνηγκέλεο κνξθήο (reduced-form system).

1.6 ΓΤΝΑΜΙΚΑ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΑ

Δάλ ζε θάπνην ππόδεηγκα ππάξρνπλ ρξνληθέο πζηεξήζεηο, ην ππόδεηγκα απηό νλνκάδεηαη

δπλακηθό (dynamic). Οη ρξνληθέο πζηεξήζεηο πξνθύπηνπλ απ ην γεγνλόο όηη ε κεηαβνιή ελόο

πξνζδηνξηζηηθνύ παξάγνληα ρξεηάδεηαη θάπνην ρξνληθό δηάζηεκα γηα λα επηδξάζεη. Δάλ γηα

παξάδεηγκα ε κεηαβιεηή Υ απεηθνλίδεη ηηο εηζξνέο θεθαιαίσλ γηα επελδύζεηο πνπ

πξαγκαηνπνηνύληαη ηελ ρξνληθή ζηηγκή t θαη ρξεηάδεηαη ρξόλνο m γηα λα επηδξάζνπλ ζεηηθά ηόηε:



Yt = α + β0Υt + β1Xt-1 +…+ βmXt-m + Єt (1.8)

Yt = ∑ + Єt)

Σν ππόδεηγκα (1.8) ιέγεηαη ππόδεηγκα θαηαλεκεκέλσλ ρξνληθώλ πζηεξήζεσλ (distributed lag

model). Δίλαη δπλακηθό γηαηί ην κέγεζνο ησλ ρξνληθώλ πζηεξήζεσλ πξνζδηνξίδεη ηηο βξαρπρξόληεο

θαη καθξνρξόληεο επηδξάζεηο ησλ κεηαβιεηώλ Υt-m επί ηεο εμαξηεκέλεο Τ. Ζ κεξηθή παξάγσγνο

= β0 δείρλεη ηηο βξαρπρξόληεο επηπηώζεηο ελώ ην καθξνρξόλην απνηέιεζκα πξνθύπηεη απ ην

άζξνηζκα όισλ ησλ ζπληειεζηώλ ∑ m). Δάλ ν δηαηαξαθηηθνο νξνο θαηαλέκεηαη θαλνληθά κε

κέζε ηηκή ηζε κε ην κεδέλ θαη ζηαζεξή δηαθύκαλζε, θαη νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο δελ

ζπζρεηίδνληαη καδί ηνπ, ηόηε ε ζπλάξηεζε κπνξεί λα εθηηκεζεί κε OLS. Αλ παξαηεξείηαη

πνιπζπγγξακηθνηεηα (multicollinearity), ηόηε ε ρξήζε OLS δελ είλαη δπλαηή.

Αλ ζηελ νκάδα ησλ εξκελεπηηθώλ κεηαβιεηώλ ελόο ππνδείγκαηνο αλήθνπλ κεηαβιεηέο κε

ρξνληθέο πζηεξήζεηο ηεο εμαξηεκέλεο ηόηε ην ππόδεηγκα νλνκάδεηαη απηνπαιηλδξνκν ππόδεηγκα κε

ρξνληθέο πζηεξήζεηο (autoregressive distributed lag model) ε απιώο AR ππνδείγκαηα:

Yt = β0Τt + β1Τt-1 +…+ βmΤt-m + Єt (1.9)

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΓΙΜΔΣΑΒΛΗΣΟ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑ ΠΑΛΛΙΝΓΡΟΜΗΗ

Ο πξνζδηνξηζκόο ηεο ζρέζεο αλάκεζα ζε δπν ε πεξηζζόηεξεο κεηαβιεηέο νλνκάδεηαη

αλάιπζε παιηλδξόκεζεο (regression analysis). Πξσηαξρηθή επηδίσμε ηεο αλάιπζεο παιηλδξόκεζεο

είλαη ε εθηίκεζε ελόο νηθνλνκεηξηθνύ ππνδείγκαηνο, ώζηε λα πξνζδηνξηζηεί κε αθξίβεηα ε ζρέζε

κεηαμύ ηεο εμαξηεκέλεο θαη ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ.

2.1 ΤΝΑΡΣΗΗ ΠΑΛΙΝΓΡΟΜΗΗ ΠΛΗΘΤΜΟΤ

Ζ ζηνραζηηθή ζρέζε Τi = β0 + β1Υi + Єi βαζίδεηαη ζηηο αθόινπζεο ππνζέζεηο:

α. ε θάζε ηκήκα ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Υ αληηζηνηρεί κηα θαλνληθή θαηαλνκή πηζαλόηεηαο

ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τ.

β. Οη παξαηεξήζεηο (ηηκέο) ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τ είλαη κεηαμύ ηνπο αλεμάξηεηεο.

γ. ε έλα κέγεζνο n παξαηεξήζεσλ, νη θαλνληθέο θαηαλνκέο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ κεηαβιεηή Τ,

έρνπλ ηελ ίδηα δηαθύκαλζε ζЄ2



Χ1 Χ2 Χ3 Χ4

Ε(Υ1)

Ε(Υ2)

Ε(Υ3) Ε(Υ4)

Υ

Χ

Ε(Υ1) = β0 + β1Χi

+Є

-Є

Χi

Υ

Χ

β 0

ei

Yi

Υ i = β 0 + β 1Xi i=0, 1, 2, …, n

δ. Ο κέζνο ηεο θάζε θαλνληθήο θαηαλνκήο ηεο Τi ηζνύηαη κε Δ(Τi) = β0 + β1Υi. Όινη απηνί νη

κέζνη απνηεινύλ ζεκεία κηαο επζείαο γξακκήο πνπ ιέγεηαη γξακκή παιηλδξόκεζεο ηνπ πιεζπζκνύ.

Ο γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ πνπ

αληηζηνηρνύλ ζηνπο κέζνπο ηεο εμαξηεκέλεο

κεηαβιεηήο Τi, δειαδή

Δ(Τ1),E(Y2),…,E(Yn) ζρεκαηίδνπλ ηελ

γξακκή παιηλδξόκεζεο ηνπ πιεζπζκνύ Δ(Τi)

= β0 + β1Υi. Δπεηδή ε κεηαβιεηή Єi είλαη

ζηνραζηηθή άξα θαη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή

Τ είλαη ζηνραζηηθή. Αθνύ ε Єi αθινπζεί ηελ

θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζν κεδέλ θαη

ζηαζεξή δηαθύκαλζε Ν(0,ζ2 ), πξνθύπηεη όηη

ε δηαθύκαλζε ηεο Τ είλαη ζηαζεξή θαη ε κέζε

ηηκή ηεο (mean) ζε θάζε ηηκή ηεο Υ

απνηππώλεηαη ζην δηπιαλό δηάγξακκα. Ο

ζπληειεζηήο β0 (ηνκή παιηλδξόκεζεο) θαη ν

β1 (θιίζε παιηλδξόκεζεο) ιέγνληαη

ζπληειεζηέο παιηλδξόκεζεο. Δπεηδή ε

εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Τ θαηαλέκεηαη θαλνληθά, Ν(0,1), νη απνθιίζεηο γύξσ απ ηηο κέζεο ηηκέο,

Δ(Τi), δίλνληαη απ ηελ ζηνραζηηθή κεηαβιεηή, Єi = Τi – E(Y/Xi).

2.2 ΜΔΘΟΓΟ EΛΑΥΙΣΩΝ TΔΣΡΑΓΩΝΩΝ (OLS)

Έζησ όηη γηα ηελ εμίζσζε (2.1) έρνπλ εθηηκεζεί νη ζπληειεζηέο παιηλδξόκεζεο β0 = 0 θαη

β1 = 1. Ο ζηόρνο καο είλαη νη ηηκέο απηέο λα απνθιίλνπλ όζν ην δπλαηόλ ιηγόηεξν. Έηζη πξνθύπηεη

ε γξακκή παιηλδξόκεζεο:

Ζ γξακκή παιηλδξόκεζεο i είλαη ε εθηίκεζε ηεο

Δ(Τη). Οη απνθιίζεηο κεηαμύ ησλ πξαγκαηηθώλ

ηηκώλ Τi θαη ησλ εθηηκώκελσλ ηηκώλ i ιέγνληαη

θαηάινηπα (residuals). Σα θαηάινηπα (ei) είλαη νη

εθηηκήζεηο ηνπ δηαηαξαθηηθνπ όξνπ (Єi).:

ei = Yi - i ή ei = Yi - 0 + 1Xi

Ο θύξηνο ζθνπόο ηεο OLS είλαη ν

ππνινγηζκόο ησλ εθηηκεηώλ 0 θαη 1 πνπ

ειαρηζηνπνηνύλ ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ

θαηαινίπσλ ∑ ei2 ):

min∑ ei2 ) = min∑

Yi - i)2 = min∑ Yi - 0 + 1Xi i)2



παξαγσγηδνληαο ηηο παξαπάλσ εμηζώζεηο θαη ιύλνληαο ηα ζπζηήκαηα πξνθύπηεη όηη:

1 = ∑ ∑ ∑

∑ ∑ =

∑

∑ θαη 0 = - 1

Οη ηηκέο ησλ εθηηκεηώλ έρνπλ ηηο αθόινπζεο ηδηόηεηεο:

α. Δίλαη ακεξόιεπηνη (unbiased) εθηηκεηέο ησλ ζπληειεζηώλ παιηλδξόκεζεο ηνπ πιεζπζκνύ.

Δ( 1)=β1, Δ( 2)

β. Δίλαη ζπλεπείο (consistent) δηόηη κε ηελ επ’ άπεηξνλ αύμεζε ηνπ δείγκαηνο, νη εθηηκεηέο 0 θαη

0 ζπγθιίλνπλ πξνο ηνπο ζπληειεζηέο παιηλδξόκεζεο ηνπ πιεζπζκνύ β0 θαη β1 .

γ. Δίλαη απνηειεζκαηηθνί (efficient) δηόηη έρνπλ ηελ κηθξόηεξε δηαθύκαλζε άξα θαη ην κηθξόηεξν

ηππηθό ζθάικα (standard error) εθηίκεζεο κεηαμύ όισλ ησλ ακεξόιεπησλ εθηηκεηώλ.

δ. Σν άζξνηζκα ησλ θαηαινίπσλ (ei) γύξσ απ ηελ γξακκή παιηλδξόκεζεο Τi ηζνύηαη κε ην κεδέλ.

∑ i = ∑

Σν θαηάινηπν (ei ), κεηξά ηελ απόθιηζε ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τi από ηελ γξακκή

παιηλδξόκεζεο.

Ο δηαηαξαθηηθνο νξνο (Є), κεηξά ηελ απόθιηζε ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τi από ηελ κέζε

ηεο ηηκή .

2.3 ΙΓΙΟΣΗΣΔ ΓΡΑΜΜΗ ΠΑΛΙΝΓΡΟΜΗΗ ΓΔΙΓΜΑΣΟ.

Ζ γξακκή παιηλδξόκεζεο ηνπ δείγκαηνο i = 0 + 1Xi έρεη ηηο παξαθάησ ηδηόηεηεο:

α. Γηέξρεηαη από ην ζεκείν ( , δειαδή απ ην ζεκεην ησλ κεζσλ:

= = 0 + 1

β. Σν άζξνηζκα ησλ ηηκώλ ηεο (Τi) είλαη ηζν κε ην άζξνηζκα ησλ ηηκώλ ηεο ( i):

∑ i = ∑

i

γ. Σν άζξνηζκα ησλ θαηαινίπσλ είλαη κεδέλ:

∑ I = ∑

i – ∑ i

δ. Οη ηηκέο ησλ θαηαινίπσλ θαη νη ηηκέο ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Υi δελ ζπζρεηίδνληαη:



∑ iXi = 0

ε. Οη ηηκέο ησλ θαηαινίπσλ ei δελ ζπζρεηίδνληαη κε ηηο ηηκέο ηεο i :

∑ i I = 0

2.4 ΤΠΟΘΔΔΙ ΓΙΜΔΣΑΒΛΗΣΟΤ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ ΠΑΛΙΝΓΡΟΜΗΗ

α. Ζ κέζε ηηκή ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο Єi, είλαη κεδέλ: E(Єi) = 0 (i = 1, 2, …, n)

β. Ζ ζρέζε κεηαμύ ησλ κεηαβιεηώλ Yi, Xi είλαη γξακκηθή (linear).

γ. Γηα όιεο ηηο παξαηεξήζεηο ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Υi, ε δηαθύκαλζε ζ2 ηνπ δηαηαξαθηηθνπ

όξνπ είλαη ζηαζεξή: Var(Єi) = E(Єi2) = ζЄ2 (Οκνζθεδαζηηθεο)

δ. Γπν ηηκέο ηνπ δηαηαξαθηηθνπ όξνπ Єi θαη Єj είλαη αζπζρέηηζηεο κεηαμύ ηνπο, έηζη ώζηε:

Cov(Єi, Єj) = E(Єi, Єj) = 0

ε. Ζ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Υi θαη ν δηαηαξαθηηθνο νξνο Єi δελ ζπζρεηίδνληαη: Cov(Xi, Єi ) =

E(Xi, Єi) = 0

ζη. Ζ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Τi θαηαλέκεηαη θαλνληθά κε κέζε ηηκή E(Yi) = β0 + β1Υi θαη ζηαζεξή

δηαθύκαλζε ζ2

2.5 ΣΑΣΙΣΙΚΑ ΓΙΜΔΣΑΒΛΗΣΟΤ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ

Θεώρημα Gauss-Markov (Gauss-Markov Theorem)

To Θεώξεκα Gauss-Markov ηζρύεη κόλν γηα γξακκηθά ζπζηήκαηα παιηλδξόκεζεο θαη ιέεη

όηη δεδνκέλσλ ησλ ππνζέζεσλ α – ζη ηεο πξνεγνύκελεο ζειίδαο, νη ζπληειεζηέο 0 , θαη 1 είλαη

νη πην απνηειεζκαηηθνί απ όινπο ηνπο πηζαλνύο ακεξόιεπηνπο εθηηκεηέο ησλ β0 θαη β1, θαζώο

έρνπλ ηελ κηθξόηεξε δηαθύκαλζε κεηαμύ ησλ νπνηνλδήπνηε ακεξόιεπησλ εθηηκεηώλ. Αλ ην

ζεώξεκα δελ ηζρύεη, ηόηε νη εθηηκεηέο 0 , θαη 1, ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ δελ είλαη BLUE

(Best Linear Unbiased Estimator).

Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem)

Γεδνκέλνπ όηη νη παξαηεξήζεηο yi θαηαλέκνληαη θαλνληθά ζπλεπάγεηαη όηη θαη νη εθηηκεηέο

0, θαη 1 θαηαλέκνληαη θαλνληθά. ύκθσλα κε ην Κεληξηθό Οξηαθό Θεώξεκα, αλ νη ηηκέο ηεο yi

δελ θαηαλέκνληαη θαλνληθά, ηόηε ε θαηαλνκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο xi ζα πξνζεγγίδεη ηελ

θαλνληθή, θαζώο ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο ζα απμάλεηαη.

Αλ ζεσξεζεί όηη Yi - = yi θαη Υi - = xi έρνπκε ηηο εμήο παξαηεξήζεηο :



α. Ο εθηηκεηήο 1 είλαη ακεξόιεπηνο αθνύ ε κέζε ηηκή ηνπ ηζνύηαη κε ηελ κέζε ηηκή ηνπ

πιεζπζκνύ: E( 1) = β1

β. Ζ δηαθύκαλζε ηνπ 1 είλαη: Var( 1) = =

∑

(όπνπ ε δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνπ όξνπ ηνπ πιεζπζκνύ)

γ. Αλ se2 είλαη ε εθηίκεζε ηεο δηαθύκαλζεο πξνθύπηεη όηη se2 =

= ∑

=

∑

(όπνπ ei = Yi - είλαη ηα θαηάινηπα ηεο παιηλδξόκεζεο)

δ. Ο παξνλνκαζηήο n-2 εθθξάδεη ηνλ βαζκό ειεπζεξίαο ηεο παιηλδξόκεζεο.

ε. Σν ηππηθό ζθάικα (standard error) ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη: se = √

ζη. Ζ εθηίκεζε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ ζπληειεζηή παιηλδξόκεζεο είλαη: ( =

=

∑

δ. Ζ δηαθύκαλζε ηνπ ζπληειεζηή παιηλδξόκεζεο είλαη : ( 0) =

= ∑

∑ =

∑

ε. Ζ ζπλδηαθπκαλζε ησλ 0 , θαη 1 είλαη: Cov( 0, 1) =

∑ =

∑

2.6 ΔΛΔΓΥΟ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ

Όζνλ αθνξά ηελ νηθνλνκεηξία, ε αμηνιόγεζε ηνπ ππνδείγκαηνο i = 0 + 1Xi , βαζίδεηαη

ζηελ αθόινπζε κεζνδνινγία:

α. Οη ζπληειεζηέο 0 θαη 1 ειέγρνληαη κε βάζε ηελ t-θαηαλνκή.

tn-2 =

(όπνπ n-2 νη βαζκνί ειεπζεξίαο, ην ηππηθν ζθαικα ηνπ θαη ν ππνηηζεκελνο

αιιεζεο ζπληειεζηήο)

β. Σν ζύλνιν ηνπ ππνδείγκαηνο ειέγρεηαη κε βάζε ηελ f-θαηαλνκή.

γ. Ζ ζεκαληηθόηεηα ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ δηαηαξαθηηθνπ όξνπ ειέγρεηαη κε βάζε ηελ Υ2-θαηαλνκή.

2.7 ΈΛΔΓΥΟ ΤΠΟΘΔΔΩΝ (hypothesis testing)

Καηά ηνλ έιεγρν ππνζέζεσλ έρνπκε δπν ππνζέζεηο : ε κηα ςεπδήο (false) θαη ε άιιε αιεζήο (true).



Ζ0 : Ζ κεδεληθή ππόζεζε (null hypothesis) ζπλήζσο ππνδειώλεη όηη θάπνην απνηέιεζκα είλαη

ςεπδέο ε δελ ηζρύεη. Αλ ε ππνινγηζζείζα ηηκή (calculated price) tn-2 είλαη κεγαιύηεξε από ηελ

θξηηηθή ηηκή tc (critical price) ηόηε απνξξίπηεηαη ε Ζ0.

Ζ1 : Αλ ην πηζαλό απνηέιεζκα είλαη αιεζέο ηόηε ε Ζ0 απνξξίπηεηαη θαη γίλεηαη δεθηή ε

ελαιιαθηηθή ππόζεζε (alternative hypothesis).

Αλ ε πηζαλόηεηα λα ζπκβεί ην ςεπδέο είλαη α, ηόηε ην ελδερόκελν ¨αιεζεο¨ερεη 1-α πηζαλνηεηεο λα

ζπκβεί.

Σν 1-α νλνκάδεηαη δηαζηεκα εκπηζηνζπλεο (confidence interval) θαη είλαη απηό πνπ

πξνζδηνξηδεη ηελ πεξηνρε εληνο ηεο νπνηαο είλαη πηζαλό λα βξηζθνληαη νη ηηκέο ησλ ζπληειεζηώλ.

Δξκελεία ηνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο

1. Τπάξρεη 95% πηζαλόηεηα ε δηαθνξά κεηαμύ θαη Υi λα είλαη κηθξόηεξε από 1.96 ηππηθά

ζθάικαηα.

2. Τπάξρεη 95% πηζαλόηεηα ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο λα πεξηιακβάλεη ηελ πξαγκαηηθή θαη

άγλσζηε παξάκεηξν Υi.

3. Αλ θαηαζθεπαζηνύλ 100 δηαζηήκαηα εκπηζηνζύλεο (κε 95% βαζκό εκπηζηνζύλεο) γηα ηελ

παξάκεηξν Υi από 100 δείγκαηα ίδηνπ κεγέζνπο από έλαλ πιεζπζκό ηόηε ηα 95 ζηα 100 δηαζηήκαηα

εκπηζηνζύλεο ζα πεξηιακβάλνπλε ηελ ηηκή ηεο παξακέηξνπ Υi.

4. Γηαζηεκα Δκπηζηνζπλεο =

Σν α θαιεηηαη επηπεδν ζεκαληηθνηεηαο (level of significance) θαη είλαη απηό πνπ νξηδεη κε

αθξίβεηα ηελ πεξηνρε ηνπ δηαζηεκαηνο εκπηζηνζπλεο.

2.8 ΣΑΣΙΣΙΚΑ ΛΑΘΗ

Σα πηζαλα ιαζε πνπ κπνξεί λα πξνθπςνπλ θαηά ηελ δηαδηθαζηα ηνπ ζηαηηζηηθνπ ειεγρνπ είλαη:

I. Λαθος Σσποσ I (type I error) : Αθνξά ηελ πηζαλόηεηα θαηά ηελ νπνηα κεηα ηελ δηαδηθαζηα ηνπ

ζηαηηζηηθνπ ειεγρνπ απνξξίπηεηαη κηα αιεζήο κεδεληθή ππόζεζε.

II. Λαθος Σσποσ ΙΙ (type II error) : Αθνξά ηελ πηζαλόηεηα κεηα ηελ θαζε ηνπ ζηαηηζηηθνπ ειεγρνπ

λα γηλεη απνδεθηε κηα ςεπδήο κεδεληθή ππόζεζε.

2.9 ΤΝΣΔΛΔΣΔ R2 ΚΑΙ

O ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνπ (coefficient of determination) R2 κεηξά ην πνζνζην ησλ

κεηαβνισλ ηεο Yi πνπ νθεηινληαη ζε κεηαβνιεο ηεο Xi. ην επνκελν δηάγξακκα παξαηεξνπκε όηη ε



απόθιηζε ηεο Yi από ηελ κέζε ηηκή απνηειεηηαη από ηα κεξε Yi - i (αλεξκήλεπην κέξνο) θαη i -

(εξκελεπηηθό κέξνο). Ηζρύεη όηη:

Yi - = ( i - ) + (Yi - i)

Ζ ζπλνιηθε κεηαβιεηηθνηεηα ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Yi , νθεηιεηαη ζηα θαηάινηπα ei

θαη ζηελ εξκελεπηηθε κεηαβιεηή Xi. Σν ζπλνιηθν άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ (TSS) ηζνύηαη κε ην

εξκελεπκελν άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ(RSS) ζπλ ην άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ ησλ θαηαινίπσλ (RSS).

∑ = ∑ + ∑

TSS = RSS + ESS

Ο ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνπ R2 νξηδεηαη σο εμήο:

R2 =

= 1 -

2.10 ΤΝΣΔΛΔΣΗ ΤΥΔΣΙΗ

Ο ζπληειεζηήο ζπζρέηηζεο (r) απνηειεί έλα δεηθηε πνπ δεηρλεη ηνλ βαζκό ηεο ηαπηνρξνλεο

κεηαβνιεο ησλ κεηαβιεηώλ Υ θαη Τ θαη ιακβάλεη ηηκέο κεηαμύ -1 θαη +1.

r = ,

=

∑ ∑ ∑

√ ∑ ∑ ∑ ∑



Κριτικές Σιμές της t – Κατανομής

P P P P P P P

Μνλνθαηαιεθηε df 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001

Γηθαηάιεθηε 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,010 0,002

1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,31

2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327

3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,214

4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173

5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893

6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208

7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785

8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501

9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297

10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144



Παξαηεξήζεηο: Οη ηηκέο ηεο πηζαλόηεηαο Ρ απεηθνλίδνπλ ηα επίπεδα ζεκαληηθόηεηαο α γηα

κνλνθαηάιεθην θαη δηθαηάιεθην θξηηήξην ειεγρνπ. ηνλ πίλαθα df είλαη νη βαζκνί ειεπζεξίαο

(degrees of freedom). Γηα παξάδεηγκα, εάλ df = 25 θαη α = 0,05 πξνθύπηεη όηη t0.os = 1,708. Δπί-ζεο,

εάλ df = 15 θαη α = 0,025 ζπκπεξαίλεηαη όηη t0025 — 2,131. Πεγή ησλ ζηνηρείσλ ηνπ πίλαθα είλαη ν

Gujarati (2003).

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΡΙΜΔΣΑΒΛΗΣΟ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑ ΠΑΛΛΙΝΓΡΟΜΗΗ

Σα ππνδείγκαηα πνπ πεξηέρνπλ πεξηζζόηεξεο από κηα αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο νλνκάδνληαη

πνιπκεηαβιεηά ππνδείγκαηα παιηλδξόκεζεο (multiple regression models).

=

ην παξαπάλσ ηξηκεηαβιεηό ππόδεηγκα ε ηηκε θαη απεηθνληδεη ηηο παξαηεξεζεηο i πνπ

αληηζηνηρνύλ ζηηο κεηαβιεηέο θαη αληηζηνηρα.

11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025

12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930

13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852

14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787

15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733

16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686

17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646

18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610

19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579

20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552

21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527

22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505

23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485

24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467

25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450

26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435

27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421

28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408

29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396

30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385

40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307

60 0,679 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232

120 0,677 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160

∞ 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090



3.1 ΤΠΟΘΔΔΙ ΠΟΛΤΜΔΣΑΒΛΗΣΟΤ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ

α. Ζ ηπραία κεηαβιεηή є έρεη αλακελόκελε ηηκε ε κέζε ηηκε ηζε κε ην κεδέλ: Δ( ) = 0

β. Ζ ζρέζε κεηαμύ ησλ κεηαβιεηώλ , εηλαη γξακκηθε.

γ. Ζ δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ (ζ2) είλαη ζηαζεξή γηα όιεο ηηο ηηκέο ησλ αλεμάξηεησλ

κεηαβιεηώλ: Var( ) = Δ( 2) = ζ2

δ. Οη δηαηαξαθηηθνί όξνη πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθέο παξαηεξήζεηο είλαη αζπζρέηηζηνη κεηαμύ

ηνπο: Cov( , ) = Δ( ) = 0

ε. Μεηαμύ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ θαη ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ δελ ππάξρεη ζπζρέηηζε:

Cov( , ) = E( ) = 0

ζη. Αθνύ ν δηαηαξαθηηθόο όξνο θαηαλέκεηαη θαλνληθά θαη ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Τ θαηαλέκεηαη

επίζεο θαλνληθά: ~ Ν( , )

δ. Οη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο δελ έρνπλ θαλέλα είδνο γξακκηθήο ζπζρέηηζεο άξα ην ππόδεηγκα δελ

εκθαλίδεη πνιπζπγξακκηθόηεηα.

ε. Καηά ηελ εθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο ν αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ ζα πξέπεη λα είλαη

κεγαιύηεξνο από ηνλ αξηζκό ησλ ζπληειεζηώλ έηζη ώζηε νη βαζκνί ειεπζεξίαο λα είλαη ζεηηθνί:

n > k

1. Δθηίκεζε Μεξηθώλ πληειεζηώλ Παιηλδξόκεζεο (partial regression coefficients)

= ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

= ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

=

Όπνπ:

y = , x1 = , x2 = , = ∑

, = ∑


Επιμέλεια Βουκελάτος Αντώνης Σελίδα 15 6973407449

3.2 ΈΛΔΓΥΟ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ

Γηα ηνλ έιεγρν ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθόηεηαο ησλ ζπληειεζηώλ , , απαηηείηαη ε

εθηίκεζε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ, ε δηαθύκαλζε ησλ εθηηκεηώλ ,

θαη ηα ηππηθά ζθάικαηα ,

θαη :

=

= ∑

(εθηηκεζε δηαθπκαλζεο δηαηαξαθηηθνπ νξνπ)

= (θαηαινηπα παιηλδξνκεζεο)

=

=

∑ ∑

∑

[∑

∑ ] ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

=

=

∑

∑ ∑

∑

=

=

∑

∑ ∑

∑

3.3 ΤΝΣΔΛΔΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤ ΠΡΟΓΙΟΡΙΜΟΤ

Ο ζπληειεζηήο πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ (coefficient of multiple determination), , αλαθέξεηαη

ζε γξακκηθό ππόδεηγκα παιηλδξόκεζεο κε πεξηζζόηεξεο από κηα αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο , θαη

δείρλεη ην πνζνζηό κεηαβνιήο ηεο πνπ εξκελεύεηαη από ηηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο , .

= ∑

∑

= ∑ ∑

∑

R2 = 1

όπνπ =

∑

Ζ ηηκε ηνπ ζπληειεζηή θπκαίλεηαη κεηαμύ 0 θαη 1 θαη είλαη άκεζα ζπλδεδεκέλε κε ηνλ

αξηζκό ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ ηνπ γξακκηθνύ ππνδείγκαηνο. Γη απηό όζν πην κηθξό είλαη ην

δείγκα ηόζν πην ζνβαξά πξνβιήκαηα εθηίκεζεο πξνθύπηνπλ. Γηα ηελ αληηκεηώπηζε απηνύ ηνπ

πξνβιήκαηνο πξνηείλεηαη ε ρξήζε ηνπ πξνζαξκνζκέλνπ ζπληειεζηή πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ

(adjusted coefficient of multiple determination).



3.4 ΠΡΟΑΡΜΟΜΔΝΟ ΤΝΣΔΛΔΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤ ΠΡΟΓΙΟΡΙΜΟΤ

Ο πξνζαξκνζκέλνο ζπληειεζηήο είλαη ζηαζκηζκέλνο ζην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ. Ζ

βαζηθή δηαθνξά ηνπ απ ηνλ ζπληειεζηή πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ είλαη όηη κε ηελ αύμεζε ηνπ

αξηζκνύ ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ, ε ηηκε ηνπ ζπληειεζηή R2 πάληα απμάλεη ζε αληίζεζε κε

ηελ ηηκε ηνπ πνπ είηε απμάλεη είηε κεηώλεηαη.

=

=

3.5 ΜΔΡΙΚΟΙ ΤΝΣΔΛΔΣΔ ΠΡΟΓΙΟΡΙΜΟΤ

Ο πξνζδηνξηζκόο ηεο θαζαξήο κεηαβιεηηθόηεηαο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο πνπ νθείιεηαη

μερσξηζηά ζε θάζε κηα αλεμάξηεηε κεηαβιεηή, πξαγκαηνπνηείηαη κε ηελ ρξήζε ησλ κεξηθώλ

ζπληειεζηώλ πξνζδηνξηζκνύ (partial correlation coefficients). Οη ζπληειεζηέο απηνί πξνζδηνξίδνπλ

ηελ επίδξαζε θάζε αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο ζηελ εμαξηεκέλε, δεδνκέλνπ όηη νη ππόινηπεο

αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο παξακέλνπλ ζηαζεξέο. Οη ηηκέο πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ θπκαίλνληαη από -

1 έσο +1 θαη εθθξάδνληαη απ ηνπο αθόινπζνπο ηύπνπο:

, =

√ √

Μεξηθόο ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ κεηαμύ Τ θαη Υ1 κε Υ2

ζηαζεξό.

, =

√ √

Μεξηθόο ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ κεηαμύ Τ θαη Υ2 κε Υ1

ζηαζεξό. Όπνπ:

=

∑

√∑ √∑

πληειεζηήο ζπζρέηηζεο κεηαμύ Τ θαη Υ1.

=

∑

√∑ √∑

πληειεζηήο ζπζρέηηζεο κεηαμύ Τ θαη Υ2.

=

∑

√∑ √∑

πληειεζηήο ζπζρέηηζεο κεηαμύ Υ1 θαη Υ2.

y = , x1 = , x2 = ,



3.6 ΈΛΔΓΥΟ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ

Γηα ηνλ ζηαηηζηηθό έιεγρν ηνπ ηξηκεηαβιεηνύ ππνδείγκαηνο ρξεζηκνπνηνύκε ηελ F-ζηαηηζηηθή (F-

statistics), θαη ειέγρνπκε ηελ ζπλδπαζκέλε ππόζεζε (joint hypothesis):

Ζ0 : β0 = β1 = β2 = 0 έλαληη ηεο :

Ζ1 : β0 = β1 = β2 ≠ 0

Ζ ηηκε ηεο F-ζηαηηζηηθήο δίλεηαη από ηηο εμήο ζρέζεηο:

Fk-1, n-k =

∑

∑

=

(1)

Fk-1, n-k =

(2)

Ζ ζρέζε (1) απεηθνλίδεη ζηνλ αξηζκεηή ην εξκελεπηηθό κέξνο ηεο ζπλνιηθήο κεηαβιεηηθόηεηαο ηεο

Τ θαη ζηνλ παξνλνκαζηή ην αλεξκήλεπην κέξνο ηεο ζπλνιηθήο κεηαβιεηόηεηαο ηεο Τ. Αλ ε ηηκε

Fk-1, n-k είλαη κεγαιπηεξε από ηελ ζεσξεηηθή ηηκή F* ηόηε απνξξίπηνπκε ηελ Ζ0 θαη δερόκαζηε

ηελ ελαιιαθηηθή Ζ1.

Ζ ζρέζε (2) ππνδειώλεη όηη κε ηελ F-ζηαηηζηηθή πξαγκαηνπνηείηαη ν ζηαηηζηηθόο έιεγρνο ηεο

ζεκαληηθόηεηαο ηνπ ζπληειεζηή πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ R2. Όζν κεγαιπηεξε είλαη ε ηηκε ηεο

R2 ηόζν κεγαιύηεξεο ηηκέο Fk-1, n-k παίξλνπκε άξα ην δείγκα παξνπζηάδεη ζεκαληηθή ζρέζε

κεηαμύ ησλ εξκελεπηηθώλ κεηαβιεηώλ θαη ηεο εμαξηεκέλεο. Αλ παξαηεξεζεί ζεκαληηθή ζρέζε ησλ

κεηαβιεηώλ κε ρακειή ηηκε Fk-1, n-k ηόηε ην δείγκα ελδέρεηαη λα παξνπζηάδεη

πνιπζπγξακκηθόηεηα.

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΟΛΤΜΔΣΑΒΛΗΣΟ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑ ΠΑΛΛΙΝΓΡΟΜΗΗ

Δάλ ζην γξακκηθό ππόδεηγκα παιηλδξόκεζεο κε ηξείο κεηαβιεηέο πξνζζέζνπκε πεξηζζόηεξεο

κεηαβιεηέο ηόηε ζα ιάβνπκε ην αθόινπζν ππόδεηγκα:

= i = 1, 2, …, n (1)

Σν αλσηέξσ ππόδεηγκα κπνξεί λα γξαθεί σο εμήο:

Τi = …

[

]

(2)



Αθνύ ζην ππόδεηγκα ππάξρνπλ n παξαηεξήζεηο ε (1) κπνξεί λα απεηθνληζηεί αιγεβξηθά σο:

=

=

............................................................................

=

θαη δηαλπζκαηηθά σο:

[

]

= [

…

]

[

]

[

]

(3)

Ζ εμίζσζε (3) κπνξεί λα γξαθηεί εμαπινπζηεπκέλε σο:

Y = βX + ε (4)

όπνπ:

Τ =

[

]

Υ = [

1 …

1

1

] β =

[

]

ε =

[

]

Τ = Γηάλπζκα ζηήιεο δηαζηάζεσλ nx1 ησλ ηηκώλ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο.

Υ = Μήηξα δηαζηάζεσλ nxk ησλ ηηκώλ ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο.

β = Γηάλπζκα ζηήιεο δηαζηάζεσλ kx1 ησλ ζπληειεζηώλ παιηλδξόκεζεο.

ε = Γηάλπζκα ζηήιεο δηαζηάζεσλ nx1 ησλ ηηκώλ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ.

4.1 ΤΠΟΘΔΔΙ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ ΠΑΛΙΝΓΡΟΜΗΗ

Οη ππνζέζεηο ηνπ πνιιαπινύ γξακκηθνύ ππνδείγκαηνο παιηλδξόκεζεο Τ = Υβ + ε είλαη νη

εμήο:

α. Ζ κήηξα Υ είλαη κε ζηνραζηηθή (non-stochastic) θαη έρεη βαζκό θ. Σα ζηνηρεία (elements) ηεο Υ

είλαη θαζνξηζκέλα ζε επαλαιακβαλόκελα δείγκαηα, είλαη κεηαμύ ηνπο αλεμάξηεηα θαη έρνπλ



πεπεξαζκέλε (finite) δηαθύκαλζε. Απηό ζεκαίλεη όηη ζην ππόδεηγκα δελ ππάξρεη

πνιπζπγξακκηθόηεηα.

β. Ο βαζκόο θ ηεο κήηξαο Υ είλαη κηθξόηεξνο από ηνλ αξηζκό ησλ παξαηεξήζεσλ n.

γ. Ο δηαηαξαθηηθνο νξνο ε θαηαλέκεηαη θαλνληθά θαη έρεη κέζν ίζν κε ην κεδέλ: Δ(ε) = 0

δ. Ζ δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ είλαη ζηαζεξή: Var(ε) = Δ(ε2) = = ζηαζεξε.

ε. Ζ ζπλδηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ είλαη ηζε κε κεδέλ άξα ζην ππόδεηγκα δελ ππάξρεη

απηνζπζρέηηζε: Cov(εi, εj) = E(εiεJ) = 0

4.2 ΙΓΙΟΣΗΣΔ ΣΟΤ ΔΚΣΙΜΗΣΗ

ύκθσλα κε ηελ ζρέζε (4) ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ νξίδεηαη σο . Με ηελ

κέζνδν OLS επηηπγράλεηαη ε ειαρηζηνπνίεζε ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ θαηαινίπσλ:

min∑ = [

] = = (Y - X )’(Y - X ) = Y’Y - 2 ’X’Y+ ’X’X

όπνπ e = Y - <=> e = Y - X όπνπ ’X’Y=Τ’Υ αθνύ θαη ηα δπν κέξε είλαη

κνλόκεηξα.

Παξαγσγίδνληαο ηελ (5) σο πξνο ερνπκε: = (6)

Οη ηδηόηεηεο ηνπ εθηηκεηή είλαη:

α. ν εθηηκεηήο είλαη γξακκηθή ζπλάξηεζε ησλ ηηκώλ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Τ.

β. ν εθηηκεηήο είλαη ακεξόιεπηνο (unbiased). Απηό ζεκαίλεη όηη ν εθηηκεηήο έρεη κέζε ηηκή ηζε

κε ηελ αιεζηλή κέζε ηηκή ηνπ πιεζπζκνύ.

γ. ν εθηηκεηήο είλαη ζπλεπήο δειαδή όηαλ ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο πξνζεγγίδεη ην άπεηξν, ηόηε ν

εθηηκεηήο είλαη ίζνο κε ηελ αιεζηλή ηηκή ηνπ πιεζπζκνύ.

δ. ν εθηηκεηήο είλαη απνηειεζκαηηθόο δειαδή έρεη ηελ κηθξόηεξε δηαθύκαλζε ζε ζρέζε κε

νπνηνλδήπνηε άιινλ εθηηκεηή.

ε. ν εθηηκεηήο είλαη BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).



4.3 ΈΛΔΓΥΟ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΗΜΑΝΣΙΚΟΣΗΣΑ

Var( ) = ζ2(Υ’Υ)-1

S2 = ε2 =

tn-k=

√

=

√

∓ tc( √ )

4.4 ΤΝΣΔΛΔΣΗ R2 ΚΑΙ ΈΛΔΓΥΟ ΠΟΛΤΜΔΣΑΒΛΗΣΟΤ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΟ

R2 =

= 1 -

R2 = 1 –

Ηζρπνπλ κνλν όηαλ Δ(Τ) = 0

R2 =

R2 =

Ηζρπεη όηαλ Δ(Τ) ≠ 0

Όπνπ y’ = (Y - )’ , y = (Y - ) θαη n = αξηζκόο παξαηεξήζεσλ.

= 1 -

⁄

⁄

Ο ζπλνιηθόο ζηαηηζηηθόο έιεγρνο αθνξά ηελ ζπλδπαζκέλε ππόζεζε:

Ζ0 : β1 = β2 =…=βθ = 0 Έλαληη

Ζ1 : β1 = β2 =…=βθ ≠ 0

Fk-1, n-k =

⁄

⁄

Fk-1, n-k =



ΑΤΣΟΤΥΔΣΙΗ

Σν πξόβιεκα ηεο απηνζπζρέηηζεο (autocorrelation, serial correlation) πξνθύπηεη όηαλ ν

δηαηαξαθηηθνο νξνο ηεο πεξηόδνπ t, , ζπζρεηηδεηαη κε ην δηαηαξαθηηθν νξν ηεο πεξηνδνπ t+1,

t+2…t+n ε ηεο πεξηόδνπ t-1, t-2…t-n. Όηαλ δελ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε, ηόηε ε ζπλδηαθύκαλζε δπν

ηηκώλ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ηζνύηαη κε κεδέλ:

Cov( ) = E[{ }]

Cov( ) = E( ) = 0

H απηνζπζρέηηζε δεκηνπξγείηαη θπξίσο απ ηελ απνπζία ζεκαληηθώλ αλεμάξηεησλ

κεηαβιεηώλ απ ην ππόδεηγκα. Με ηελ πξνζζήθε ζεκαληηθώλ εξκελεπηηθώλ κεηαβιεηώλ,

εμαιείθεηαη ε απηνζπζρέηηζε θαη απμάλεηαη ν βαζκόο ζηαηηζηηθήο ζεκαληηθόηεηαο ηνπ

ππνδείγκαηνο. Έλαο άιινο παξάγνληαο δεκηνπξγίαο ηεο απηνζπζρέηηζεο είλαη ν εζθαικέλνο ηξόπνο

εμεηδίθεπζεο (misspecification) ηνπ νηθνλνκηθνύ ππνδείγκαηνο. Απηό ζπκβαίλεη θαηά ηελ

ιαλζαζκέλε δηαηύπσζε ηνπ νηθνλνκηθνύ ππνδείγκαηνο θαη ηελ ρξήζε ιάζνο κνληέινπ

παιηλδξόκεζεο.

5.1 ΔΙΓΗ ΑΤΣΟΤΥΔΣΙΗ

Όπσο δηαπηζηώζεθε, ην πξόβιεκα ηεο απηνζπζρέηηζεο πξνθύπηεη όηαλ ν δηαηαξαθηηθνο νξνο

ηεο πεξηόδνπ t ζπζρεηίδεηαη κε ηνλ δηαηαξαθηηθό όξν κηαο άιιεο ρξνληθήο πεξηόδνπ. Οη κνξθέο

απηνζπζρέηηζεο κεηαμύ ησλ ηηκώλ ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ θαζνξίδνπλ ην είδνο ηεο ζπζρέηηζεο:

α. Απηνζπζρέηηζε πξώηνπ βαζκνύ (first order autocorrelation) ε AR1: Αθνξά ηελ πεξίπησζε θαηά

ηελ νπνία ν δηαηαξαθηηθνο νξνο ηεο πεξηόδνπ t ζπζρεηίδεηαη κε ηνλ δηαηαξαθηηθό όξν ηεο πεξηόδνπ

t-1.

εt = ξεη-1 + ut -1≤| |≤1



ut ~ N(0, ) όπνπ: ξ, ν ζπληειεζηήο απηνζπζρέηηζεο ησλ εt θαη εt-1 θαη ut, ν δηαηαξαθηηθόο όξνο

=

Cov(εt εt-1) = E(εt εt-1) = ξ

ξ =

√ √

β. Απηνζπζρέηηζε δεπηέξνπ βαζκνύ (second order autocorrelation): Αθνξά ηελ πεξίπησζε θαηά ηελ

νπνία ε ηηκή ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ εt εμαξηάηαη από ηηο ηηκέο πνπ ιακβάλεη ηηο πεξηόδνπο t-1 θαη

t-2:

εt = ξ1εt-1 + ξ2εt-2 + ut

ut ~ N(0, )

γ. Απηνζπζρέηηζε Αλσηέξνπ Βαζκνύ ΑR(s): Αθνξά ηελ πεξίπησζε θαηά ηελ νπνία ε ηηκή ηνπ

δηαηαξαθηηθνύ όξνπ εt εμαξηάηαη από ηηο ηηκέο πνπ ιακβάλεη ηηο πεξηόδνπο t-1, t-2, …, t-s:

εt = ξ1εt-1 + ξ2εt-2 + …+ ξsεt-s + ut

ut ~ N(0, )

5.2 ΟΙΚΟΝΟΜΔΣΡΙΚΑ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΑ ΥΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΙΡΩΝ

Οη βαζηθέο θαηεγνξίεο ησλ ππνδεηγκάησλ απηώλ είλαη:

α. Τπνδείγκαηα ΜΑ (moving average)

Yt = γν + γ1Τt-1 + γ2Τt-2 + … + γιΤt-ι ,ΑR(ι)

β. Τπνδείγκαηα AR (autoregressive)

Yt = δ0 + εt + δ1εt-1 + δ2εt-2 + … + δκεt-κ ,MA(κ)

γ. Τπνδείγκαηα ARMA (autoregressive moving average)

Yt = γ0 + γ1Τt-1 + γ2Τt-2 + … + εt + δ1εt-1 + δ2εt-2 + … + δκεt-κ ,ARMA(ι, κ)



5.3 ΜΗΣΡΑ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ-ΤΝΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΣΟΤ ΟΡΟΤ ε

Δ(εε΄) = Ω =

[

1 …

1 …

1 …

… 1 ]

5.4 ΓΙΑΓΝΩΣΙΚΟΙ ΈΛΔΓΥΟΙ

Οη νηθνλνκεηξηθέο πξνζεγγίζεηο πνπ εθαξκόδνληαη γηα ηνλ εληνπηζκό θαη ηελ κέηξεζε ηεο

απηνζπζρέηηζεο απνθαινύληαη δηαγλσζηηθνί έιεγρνη.

5.4.1 ΈΛΔΓΥΟ Durbin-Watson

Ζ εθαξκνγή ηνπ ζηαηηζηηθνύ ειέγρνπ DW πξνϋπνζέηεη όηη ε ζπλάξηεζε παιηλδξόκεζεο

πεξηιακβάλεη ζηαζεξό όξν, ν δηαηαξαθηηθόο νξνο εi αθινπζεί απηνζπζρέηηζε πξώηνπ βαζκνύ θαη

ζηηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο δελ πεξηιακβάλνληαη κεηαβιεηέο κε ρξνληθέο πζηεξήζεηο ηεο

εμαξηεκέλεο. Ζ DW ζηαηηζηηθή ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηνλ έιεγρν απηνζπζρέηηζεο πξώηνπ βαζκνύ:

DW = ∑

∑

Αλ ην δείγκα είλαη αξθεηά κεγάιν ώζηε ∑

= ∑

= ∑

ηόηε:

DW ≈ 2(1 - ) όπνπ = ν εθηηκεηήο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ηεο εt = ξεt-1 + ut

ε ππόζεζε πνπ ειέγρεηαη είλαη ε Ζ0: ξ=0 έλαληη ηεο Ζ1: ξ≠0

Ο έιεγρνο Durbin-Watson απεηθνλίδεηαη ζην δηάγξακκα θαη βαζίδεηαη ζηα παξαθάησ βήκαηα:

α. Ζ0: ξ=0 (ε DW=2) έλαληη Ζ1: ξ>0 (ε DW<2). Ζ ππόζεζε 0 ππνδειώλεη όηη δελ ππάξρεη

απηνζπζρέηηζε θαη γη απηό ξ=0. Ζ ελαιιαθηηθή ππόζεζε δείρλεη όηη ππάξρεη ζεηηθή απηνζπζρέηηζε

άξα ξ>0. Αλ DW<dL ε Ζ0 απνξξίπηεηαη. Αληίζεηα αλ DW>dU ηόηε ε Ζ0 γίλεηαη απνδεθηή, άξα δελ

ππάξρεη ζεηηθή απηνζπζρέηηζε πξώηνπ βαζκνύ.



β. Ζ0: ξ=0 (ε DW=2) έλαληη Ζ1: ξ<0 (ε DW>2). Ζ ππόζεζε 0 ζεκαίλεη όηη δελ ππάξρεη

απηνζπζρέηηζε. Ζ ελαιιαθηηθή ππόζεζε Ζ1 ππνδεηθλύεη ηελ ύπαξμε αξλεηηθήο απηνζπζρέηηζεο

άξα ξ<0. Αλ DW > 4 – dL ε Ζ0 απνξξίπηεηαη θαη δερόκαζηε όηη ππάξρεη αξλεηηθή απηνζπζρέηηζε.

Αληίζεηα αλ DW < 4 – dU Ζ Ζ0 απνξξίπηεηαη άξα δελ παξαηεξείηαη αξλεηηθή ζπζρέηηζε πξώηνπ

βαζκνύ.

γ. Αλ dL < DW < dU, o έιεγρνο είλαη αδύλαηνο θαη δελ νδεγεί ζε θαλέλα ζπκπέξαζκα. Δπίζεο

αβεβαηόηεηα πξνθαινύλ θαη νη ηηκέο 4 – dU < DW < 4 – dL.

5.4.2 ΈΛΔΓΥΟ Wallis

Σν ηξνπνπνηεκέλν ζηαηηζηηθό DW* ηνπ Wallis είλαη ην εμήο:

DW* = ∑

∑

Ο ζηαηηζηηθόο έιεγρνο αθνξά ηελ Ζ0: ξ=0 έλαληη ηεο Ζ1: ξ>0 γηα ζεηηθή απηνζπζρέηηζε ε

Ζ1: ξ<0 γηα αξλεηηθή απηνζπζρέηηζε.

5.4.3 ΈΛΔΓΥΟ Durbin

Σν βαζηθό κεηνλέθηεκα ηεο κεζόδνπ DW είλαη όηη γίλεηαη ε ππόζεζε όηη ζηηο αλεμάξηεηεο

κεηαβιεηέο δελ πξέπεη λα πεξηιακβάλνληαη κεηαβιεηέο κε ρξνληθέο πζηεξήζεηο ηεο εμαξηεκέλεο.

Γηα ηνλ ιόγν απηό, ν Durbin εηζήγαγε ηελ h-ζηαηηζηηθή βάζεη ηεο νπνίαο ειέγρεηαη ην παξαθάησ

ππόδεηγκα γηα απηνζπζρέηηζε:

Τt = β0 + β1Τt-1 + β2Υt + εt (1)

εt = ξεt-1 + ut Ut ~ N(0, )

h = √

h ~ N(0, 1)

Διέγρνπκε ηελ Ζ0: ξ=0, έλαληη ηεο Ζ1: ξ≠0. Αλ h > h* ηόηε απνξξίπηεηαη ε Ζ0 άξα ππάξρεη

απηνζπζρέηηζε. Σν ζηαηηζηηθό h δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε όπνπ Var( ) > 1 ζηελ νπνηα

αθνινπζνπκε ηα εμήο βήκαηα:

α. Από ηελ (1) ππνινγίδνπκε ηα θαηάινηπα θαη ζρεκαηίδνπκε ηελ ζηνραζηηθή κεηαβιεηή

.

β. Δθηηκνύκε ηελ ζπλάξηεζε = f( , , , =β0 + ξ* t-1 + β1*Τt-1 + β2*Υt + ut

γ. Δμεηάδνπκε κε ηελ t-ζηαηηζηηθή ηελ κεηαβιεηή t-1. Ζ0: ξ*=0 έλαληη Ζ1: ξ*≠0. Αλ ε Ζ0 δελ

απνξηθζεί ηόηε ην ππόδεηγκα δελ παξνπζηάδεη απηνζπζρέηηζε.



5.4.4 ΈΛΔΓΥΟ Breusch-Godfrey (LM-test)

Ζ ζηαηηζηηθή κέζνδνο γηα ηνλ έιεγρν αλσηέξνπ βαζκνύ απηνζπζρέηηζεο βαζίδεηαη ζηελ

αξρή ηνπ πνιιαπιαζηαζηή ηνπ Lagrange (Lagrange Multiplier Principle). Έζησ ην αθόινπζν

ππόδεηγκα παιηλδξόκεζεο:

Τt = β1 + β2Υt + β3Υt-1 + β4Τt-1 + εt (2)

εt = ξ1εt-1 + ξ2εt-2 + … + ξsεt-s + ut ut ~ N(0, ) ΑR(s)

O έιεγρνο απηνζπζρέηηζεο αθνξά ην απηνπαιηλδξνκν ζύζηεκα AR(s). Ζ ππόζεζε πνπ

γίλεηαη είλαη ε εμήο: Ζ0: ξ1 = ξ2 = ,,, = ξs = 0 έλαληη ηεο Ζ1: ξ1 = ξ2 = ,,, = ξs ≠ 0. Ο έιεγρνο

βαζίδεηαη ζηα θαηάινηπα et ηνπ ππνδείγκαηνο (2), εθηηκώληαο ηελ βνεζεηηθή ζπλάξηεζε ARMA κε

ηελ LM-ζηαηηζηηθή:

εt = α1 + α2Υt + α3Υt-1 + α4Τt-1 + ξ1εt-1 + ξ2εt-2 + … + ξsεt-s + vt

LM = n

5.4.5 ΈΛΔΓΥΟ Box-Pierce

Ζ ζηαηηζηηθή Box-Pierce κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεη γηα ηνλ έιεγρν ηεο Ζ0: ξ1=ξ2=...=0 ηνπ

γξακκηθνύ ππνδείγκαηνο (2) σο:

Q = n(

) = n∑

(3) όπνπ

= ∑

∑

Σν ζηαηηζηηθό Q αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή, κε βαζκνύο ειεπζεξίαο df=s – βi.

5.4.6 ΈΛΔΓΥΟ Box-Pierce-Ljung

Ζ ζηαηηζηηθή Box-Pierce-Ljung θαηαλέκεηαη κε βάζε ηελ θαηαλνκή:

Q’ = ∑

5.5 ΣΔΥΝΙΚΔ ΔΚΣΙΜΗΗ ΤΠΟΓΔΙΓΜΑΣΩΝ ΜΔ ΑΤΣΟΤΥΔΣΙΗ

Αθνύ εθηηκεζεί όηη ζην δείγκα ππάξρεη απηνζπζρέηηζε, ην επόκελν βήκα είλαη ε εμάιεηςε

ηεο. Οη νηθνλνκεηξηθέο ηερληθέο πνπ εθαξκόδνληαη γηα απηόλ ηνλ ζθνπό ρσξίδνληαη ζε δπν

θαηεγνξίεο:

Η. Ζ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο (ξ) είλαη γλσζηή.



5.5.1 ΓΔΝΙΚΔΤΜΔΝΗ ΜΔΘΟΓΟ ΔΛΑΥΙΣΩΝ ΣΔΣΡΑΓΩΝΩΝ (GLS)

Έζησ ην αθόινπζν ππόδεηγκα παιηλδξόκεζεο:

Yt = β0 + β1Υt + εt (4)

Όπνπ: t = 1, 2, …, n θαη εt = ξεt-1 + ut

ut ~ N(0, )

Ζ εμίζσζε (4) κπνξεί λα γξαθεη σο: Yt*= β0* + β1Υt* + ut t = 2, 3,…, n

Όπνπ: Yt*= Yt - ξYt-1 Υt* = Υt - ξΥt-1 β0* = β0(1-ξ) ut = εt – ξεt-1

Όηαλ ν αξηζκόο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη κηθξόο, πξνθεηκέλνπ λα κελ ραζεη ε πξσηε παξαηεξεζε

νη ηηκέο Τ1* θαη Υ1* είλαη:

Τ1* = Τ1√1 Υ1* = Υ1√1 u1 = ε1√1

ΗΗ. Ζ ηηκή ηνπ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο (ξ) είλαη άγλσζηε.

5.5.2 ΣΔΥΝΙΚΗ Durbin

Ζ ηερληθή Durbin εθηηκεί κε ηελ κέζνδν OLS ηελ ζπλάξηεζε:

Yt= α0 + ξΤt-1 + β1Υt – β2Υt-1 + ut

Όπνπ: α0= β0(1-ξ) θαη β2 = ξβ1

5.5.3 ΣΔΥΝΙΚΗ Cochrane-Orcutt

Ζ ηερληθή Cochrane-Orcutt ππνινγηδεη ηνλ ζπληειεζηή απηνζπζρέηηζεο (ξ), πνπ βαζίδεηαη ζε

επαλαιεπηηθεο εθηηκήζεηο ηνπ ζπζηεκαηνο θαη αθινπζεί ηα εμήο βεκαηα:

1ο Βημα: Με ηελ κέζνδν OLS εθηίκνπκε ηελ παιηλδξνκεζε (4) θαη βξηζθνπκε ηα θαηαινίπα

et. Με ηα θαηάινηπα πνπ ζα βξνπκε εθηηκνπκε ηελ et = et-1 + ut θαη ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή ηνπ .

2ο Βημα: Μεηαζρεκαηηδνπκε ηελ (4) σο Yt*= β0* + β1Υt* + ut

όπνπ: Yt*= Yt - Yt-1, Υt* = Υt - Υt-1, β0* = β0(1- ) θαη ut = εt – ξεt-1 θαη ηελ εθηηκνπκε κε

ηελ κέζνδν OLS.



5.5.4 ΣΔΥΝΙΚΗ Hildreth-Lu

Σν ππόδεηγκα απηό είλαη νκνζθεδαζηηθό όηαλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ είλαη ζηαζεξή,

δειαδή:

Var(ε) = Δ(ε2) = ζ2ε = ζηαζεξό

Αλ ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθνηεηα ε δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ζα είλαη Var(ε) = ζ2i ≠

ζ2ε.

ΔΣΔΡΟΚΔΓΑΣΙΚΟΣΗΣΑ

To γξακκηθό ππόδεηγκα παιηλδξόκεζεο ραξαθηεξίδεηαη εηεξνζθεδαζηηθό όηαλ ε δηαθύκαλζε ηνπ

δηαηαξαθηηθνύ όξνπ δελ είλαη ζηαζεξή. Έζησ ην αθόινπζν ππόδεηγκα:

Τ = Υβ + ε

Σν ππόδεηγκα απηό είλαη νκνζθεδαζηηθό όηαλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ είλαη ζηαζεξή,

δειαδή:

Var(ε) = Δ(ε2) = ζ

2ε = ζηαζεξό

Αλ ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθνηεηα ε δηαθύκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνύ όξνπ ζα είλαη Var(ε) = ζ2

i ≠ ζ2

ε.

ΜΔΘΟΓΟ White

H Μέζνδνο White εθαξκόδεηαη ζε πεξηπηώζεηο πνπ ηα θαηάινηπα ei δελ αθνινπζνύλ ηελ

θαλνληθή θαηαλνκή. Έζησ ην αθόινπζν ππόδεηγκα:

Yi = β0 + β1Xi1 + β2Xi2 + εi

1ο Βήμα: Τπνινγίδνπκε ηα θαηάινηπα ei = Yi - β0 + β1Xi1 + β2Xi2

2o Βήμα: Με ηελ κέζνδν OLS εθηηκνύκε ηελ παιηλδξόκεζε: e2i

3o Βήμα: Από ηελ εθηίκεζε ηεο παιηλδξόκεζεο βξίζθνπκε ηελ R2 θαη ππνινγίδνπκε ην

ζηαηηζηηθό nR2, ην νπνίν αθνινπζεί αζπκπησηηθά ηελ Υ2 θαηαλνκή.

4ο Βήμα: Γηαηππώλνπκε ηηο παξαθάησ ππνζέζεηο:

Ζ0: α1 = α2 = α3 = α4 = α5 = 0

Ζ1: α1 = α2 = α3 = α4 = α5 ≠ 0

Αλ nR2 > Υe2 απνξξίπηνπκε ηελ Ζ0 θαη άξα ζην ππόδεηγκα ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθνηεηα ζηα

θαηάινηπα.

Εισαγωγή στην Οικονομετρία Σημειώσεις

Documents