Λύσεις σχολικού βιβλίου μαθηματικά Α γυμνασίου

ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑΔΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΕΚΔΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗΑΘΗΝΑ 2009

kounadis DdiorthwsH.indd 1 10/8/2009 1:53:31 μμ

Το παρόν ένθετο συνοδεύει το βιβλίο του Φώτη Κουνάδη«Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου»

ISBN 978-960-14-1838-4SET ISBN 978-960-14-1838-4(Βοηθ. κωδ. μηχ/σης ΕΒ158)


3

Μέρος Α΄ Αριθμητική – Άλγεβρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο - Οι Φυσικοί αριθμοί

Α.1.1. Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη φυσικών – Στρογγυλοποίηση

1) α) 205 β) 732 γ) 20.813

2) α) Τριάντα οκτώ χιλιάδες εννιακόσια πενήντα ένα.β) Πέντε εκατομμύρια οκτακόσια δώδεκα.γ) Εκατόν είκοσι χιλιάδες τρία.

3) Οι τρεις προηγούμενοι αριθμοί του 289 είναι οι 288, 287 και 286. Οι δύο επόμενοι είναι οι 290 και 291.

4) 3.508<3.515<3.620<4.800<4.801

5) α) 45=45 β) 38>36 γ) 456<465 δ) 8.765<8.970 ε) 90.876>86.945 στ) 345<5.690

6) Στο Β αντιστοιχεί ο αριθμός 3, στο Γ ο αριθμός 5, στο Δ ο αριθμός 6 και στο Ε ο αριθμός 7.

7) α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) Σ ζ) Σ η) Λ θ) Σ ι) Λ ια) Λ

8) Βρίσκουμε αντίστοιχα τους αριθμούς: 300, 800, 700, 2.600, 9.500, 123.600, 34.600, 31.500, 8.800.

9) α) 7.568.350 β) 7.568.300 γ) 7.568.000 δ) 7.570.000 ε) 7.600.000

Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

1) α) αντιμεταθετική της πρόσθεσης β) προσεταιριστική της πρόσθεσης γ) μηδέν δ) διαφορά ε) Μ – Α=Δ ή Μ=Δ+Α στ) αντιμεταθετική του πολλαπλασιασμού ζ) προσεταιριστική του πολλαπλασιασμού η) επιμεριστική.

2) α) 52∙100=5.200 β) 37∙10=370 γ) 490∙10.000

3) α) 3 5 8 2 β) 4 8 5 γ) 3 5 6 5 +7 5 9 1 + 5 2 5 + 5 2 8 1 1 1 7 3 1 0 1 0 4 0 9 3


4

4) 1+2+3+4=10, 1+2+3∙4=1+2+12=15, 1∙2+3∙4=2+12=14, 1∙2∙3∙4=24

5) α) 157+33=190 β) 122+25+78=225 γ) 785 – 323=462 δ) 7.321 – 4.495=2.726 ε) 60 – (18 – 2) =60 – 18 +2, γιατί 60 – (18 – 2)=60 – 16=44 και 60 – 18 +2=42+2=44στ) και οι τρεις απαντήσεις είναι σωστές ζ) 23∙10=230 η) 97∙100=9.700 θ) 879∙1.000=879.000

6) α) 3∙13=3∙(10+3)=3∙10+3∙3=30+9=39β) 7∙11=7∙(10+1)=7∙10+7∙1=70+7=77γ) 45∙12=45∙(10+2)=45∙10+45∙2=450+90=540δ) 12∙101=12∙(100+1)=12∙100+12∙1=1.200+12=1.212ε) 5∙110=5∙(100+10)=5∙100+5∙10=500+50=550στ) 4∙111=4∙(100+11)=4∙100+4∙11=400+44=444ζ) 34∙99=34∙(100 – 1)=34∙100 – 34∙1=3.400 – 34=3.366η) 58∙98=58∙(100 – 2)=58∙100 – 58∙2=5.800 – 116=5.684

7) 2∙14+2∙3+2∙3=2∙(14+3+3)=2∙20=40

8) α) δεν αρκούν β) 156+30+38+369+432=1.025 €

9) 35+48+77=160 €, επομένως του φτάνουν τα χρήματα.

10) Από το άσπρο ψωμί έμεινα απούλητα 120 – 107=13 κιλά, από το χωριάτικο 135 – 112=23 κιλά, από το σικάλεως 25 – 19=6 κιλά και από το πολύσπορο 38 – 23=15 κιλά. Άρα συνολικά έμει-ναν απούλητα 13+23+6+15=57 κιλά ψωμί.

11) α) Ο Άρης το 2009 είναι 2009 – 1983=26 χρονών β) Ο πατέρας του γεννήθηκε το 1958, αφού 1983–25=1958

12) Στα 7 πατώματα υπάρχουν 7∙20∙2=280 θέσεις και στα υπόλοιπα 5 υπάρχουν 5∙12∙2=120 θέ-σεις, άρα συνολικά 280+120=400 θέσεις. Στο γκαράζ μπήκαν 80+58+61=199 οχήματα, επομένως οι θέσεις επαρκούν.

Α.1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών

1) α 8 9 10 11 12 13 14 15α2 64 81 100 121 144 169 196 225α3 512 729 1000 1331 1728 2197 2744 3375

α 16 17 18 19 20 25α2 256 289 324 361 400 625α3 4096 4913 5832 6859 8000 15625

2) α) 56 β) 86∙63 γ) 16 δ) α4 ε) x3 στ) 24∙α3


5

3) 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 26=64, 27=128, 28=256, 29=512, 210=1.024

4) 102=10∙10=100, 202=20∙20=400, 302=30∙30=900, 402=40∙40=1.600, 502=50∙50=2.500, 602=60∙60=3.600, 702= 70∙70=4.900, 802=80∙80=6.400, 902=90∙90=8.100

5) 103=10∙10∙10=100∙10=1.000, 203=20∙20∙20=400∙20=8.000, 303=30∙30∙30=900∙30=27.000, 403=40∙40∙40=1.600∙40=64.000, 503=50∙50∙50=2.500∙50=125.000

6) α) 3∙52=3∙25=75 β) 3∙52+2=3∙25+2=75+2=77 γ) 3∙52+22=3∙25+4=75+4=79 δ) 3∙5+22=15+4=19 δ) 3∙(5+2)2=3∙72=3∙49=147

7) α) 32+33+23+24=9+27+8+16=60 β) (13 – 2)4+5∙32 =114+5∙9=14.641+45=14.686

8) α) (6+5)2=112=121, 62+52=36+25=61, άρα (6+5)2≠62+52 β) (3+6)2=92=81 και 32+62=9+36=45, άρα (3+6)2≠32+62

9) α) 3∙α β) α3 γ) 4∙x δ) x4

10) α) 3∙104+4∙103+7∙102+2∙101 β) 1∙105+2∙104+3∙103+6∙102+5∙101+4∙100

γ) 8∙105+9∙104+0∙103+6∙102+5∙101

11) α) (1+2)∙(3+4)=3∙7=21, 1∙(2+3∙4)=2+3∙4=2+12=14, (1∙2+3)∙4=(2+3)∙4=20, 1+(2+3)∙4=1+5∙4=1+20=21

12) 2+2∙2=2+4=6, 3+3∙3=3+9=12, 4+4∙4∙4=4+64=68, 5+5∙5+5∙5=5+25+25=55, 5∙5+5∙5∙5=25+125=150, 4+4∙4–4=4+16–4=20–4=16

Α.1.4. Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα

1) α) 4002:69=58, δοκιμή: 69∙58=4002 β) 1445:17=85, δοκιμή: 17∙85=1445γ) 925:37=25, δοκιμή 25∙37=925δ) 3621:213=17, δοκιμή 213∙17=3621ε) 35280:2940=12, δοκιμή 2940∙12=35280στ) 5082:77=66, δοκιμή 77∙66=5082

2) α) 65:5=13 € β) 30:3=10 € γ) 46592:52=896 δοχεία.

3) α) παριστάνει Ευκλείδεια διαίρεση με υ=20 και δ=35, οπότε ισχύει υ<δ.β) δεν παριστάνει Ευκλείδεια διαίρεση γιατί το υ=40 είναι μεγαλύτερο τόσο από το δ=35 όσο

και από το δ=19.


6

γ) παριστάνει Ευκλείδεια διαίρεση με υ=30 και δ=42 ή δ=35, οπότε ισχύει υ<δ και για τις δύο περιπτώσεις.

δ) παριστάνει Ευκλείδεια διαίρεση με υ=12 και δ=18 ή δ=16, οπότε ισχύει υ<δ και για τις δύο περιπτώσεις.

4) Αφού δ=8 και υ<δ, υ φυσικός αριθμός υ=0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7.

5) Δ=9∙73+4=657+4=661

6) Κάθε 7 ημέρες είναι πάλι Τρίτη. Διαιρούμε το 247 δια του 7 και βρίσκουμε πηλίκο 35 και υπόλοιπο 2. Άρα μετά από 35 εβδομάδες θα είναι πάλι Τρίτη και μετά από 2 ημέρες θα είναι Πέμπτη.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

1) (1+2)∙3+4=13, (1∙2)+(3∙4)=14, 1+2∙(3+4)=15, (1+2)∙3∙4=36

2) 26 21 28 20 13 1827 25 23 15 17 1922 29 24 16 21 14

Α.1.5. Χαρακτήρες διαιρετότητας – ΜΚΔ – ΕΚΠ – Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

1) α) 0,40,80,120,240, κ.λ.π. , ΕΚΠ(5,8)=40β) Ο β είναι πολλαπλάσιο του α γ) Πρώτοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται από τη μονάδα και τον εαυτό τους, σύνθετοι

λέγονται οι αριθμοί που εκτός από τη μονάδα και τον εαυτό τους έχουν και άλλους διαι-ρέτες.

δ) Όταν έχουν ΜΚΔ τη μονάδα.

2) α) 684 β) 9504 ή 9594 γ) 60123) α) 15 β) 66 γ) 10 δ) 30 ε) 18 στ) 120

4) Η εταιρεία Α βγάζει νέα μοντέλα μετά από 2,4,6,8,... χρόνια, η εταιρεία Β μετά από 3,6,9,12,... χρόνια και η εταιρεία Γ μετά από 5,10,15,20,... χρόνια. ΕΚΠ(2,3,5)=30. Επομένως και οι τρεις μαζί θα βγάλουν νέα μοντέλα μετά από 30 χρόνια, δηλαδή το 2031.

5) Το πλήθος των μαθητών είναι αριθμός πολλαπλάσιος των αριθμών 3, 5 και 7. ΕΚΠ(3,5,7)=105. Τα πολλαπλάσια του 105 είναι: 0,105,210,315,... Επομένως οι μαθητές είναι 105.


7

6) Ο Γιάννης πηγαίνει στον κινηματογράφο μετά από10,20,30,40,... ημέρες και ο Νίκος μετά από 12,24,36,48,... ημέρες. ΕΚΠ(10,12)=60. Άρα θα ξανασυναντηθούν μετά από 60 ημέρες, δηλαδή στις 9 Μαΐου. Στο διάστημα αυτό ο Γιάννης έχει πάει 5 φορές και ο Νίκος 4.

7) α) 1 β) 8 γ) 15 δ) 10 ε) 2

8) Το 24 διαιρείται εκτός από το 1 και από τους αριθμούς 2,3,4,6,8,12,24. Αυτοί θα είναι και διαιρέτες των δύο αριθμών.

9) Οι διαιρέτες του 10 είναι: 1,2,5,10, οι διαιρέτες του 11: 1,11, οι διαιρέτες του 12: 1,2,3,4,6,12, οι διαιρέτες του 13: 1,13 οι διαιρέτες του 14: 1,2,7,14, οι διαιρέτες του 15: 1,3,5,15, οι διαιρέτες του 16: 1,2,4,8,16, οι διαιρέτες του 17: 1,17, οι διαιρέτες του 18: 1,2,3,6,9,18, οι διαιρέτες του 19: 1,19, οι διαιρέτες του 20: 1,2,4,5,10,20.Πρώτοι είναι οι αριθμοί: 11, 13, 17, 19. Οι άλλοι αριθμοί είναι σύνθετοι.

10) Είναι σύνθετος γιατί διαιρείται δια του 2.

11) α) 1,2,4,7,14,28 β) 1,2,41,82 γ) 1,5,19,95 δ) 1,3,5,7, 21,35,105 ε) 1,2,4,31,62,124 στ) 1,3,5,15,23,69,115,345 ζ) 1,2,4,7,8,11,14,16,22,28,44,56,77,88,112,154,176,308,616,1232 η) 1,3,31,43,1333,3999

12) α) 78=22∙17 β) 348=22∙3∙29 γ) 1210=2∙5∙112 δ) 2344=23∙293

Επαναληπτικές ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης

1) Λ 2) Λ 3) Σ 4) Λ 5) Σ 6) Λ 7) Σ 8) Σ 9) Λ 10) Σ 11) Σ 12) Σ 13) Λ 14) Σ 15) Λ 16) Σ 17) Λ 18) Λ 19) Λ 20) Σ 21) Σ 22) Λ 23) Σ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο – Τα κλάσματα

Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος

1) α) όροι του κλάσματος β) α) α β) 1 γ) 0 γ) λ ίσα μέρη από τα οποία παίρνουμε τα κ.

2) Όχι, 109 1>

3) 428


8

4) Ναι, γιατί το κιλό είναι τα 55 , οπότε 5∙14=70.

5) 24

23

49

68

13

58, , , , ,

6) Τα 27

της τούρτας είναι 4 κομμάτια, άρα το 17

είναι τα 2 κομμάτια και όλα τα κομμάτια της

τούρτας δηλαδή τα 77

είναι 7∙2=14.

7) 1 κιλό=1000 γραμμάρια. Επομένως: α) 1001000

β) 2501000

γ) 5001000

δ) 6001000

8) Αν 1 μήνας=30 ημέρες, 1 εξάμηνο=180 ημέρες και 1 έτος=365 ημέρες, οπότε:

α) 1530

β) 15180

γ) 15

365

9) Το 15

των 90 € είναι 90:5=18 €. Η έκπτωση τότε είναι 2∙18=36 €. Για να το αγοράσουμε θα

πληρώσουμε 90–36=54 €.

10) Το 18

των μαθητών είναι 12:3=4 μαθητές. Ολόκληρη η τάξη είναι τα 88

των μαθητών, δηλαδή

8∙4=32 μαθητές.

11) Το 111

του 33 είναι 33:11=3 εκατοστά. Τα 311

είναι 3∙3=9 εκατοστά. Η περίμετρος είναι

33+33+9+9=84 εκατοστά.

12) α) Το 1

10 του ΑΒ είναι 5:10=0,5 εκατοστά. ΓΔ=8∙0,5=4 εκατοστά.

β) Το 15

του ΑΒ είναι 5:5=1 εκατοστό. ΕΖ=6∙1=6 εκατοστά.

Α.2.2. Ισοδύναμα κλάσματα

1) α) εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους β) α∙δ=β∙γγ) δεν μπορεί να απλοποιηθεί δ) ίσους παρονομαστές ε) διαφορετικούς παρονομαστές στ) ανάγωγο

2) α) είναι ισοδύναμα γιατί 2∙27=54 και 3∙18=54 β) δεν είναι ισοδύναμα γιατί 3∙2=6 και 1∙4=4 γ) δεν είναι ισοδύναμα γιατί 7∙40≠8∙30 δ) είναι ισοδύναμα γιατί 13∙28=14∙26

3) α) 34

3 254 25

75100

= ⋅⋅

= β) 85

= ⋅⋅

=8 205 20

160100

γ) 420

4 520 5

20100

= ⋅⋅

=


9

δ) 52

= ⋅⋅

=5 502 50

250100

ε) 6075

60 375 3

2025

20 425 4

80100

= = = ⋅⋅

=::

4) α) 106

10 26 2

53

= =::

β) 5030

50:1030:10

= = 53

γ) 1827

18 927 9

23

= =::

5) α) 23

2 23 2

46

= ⋅⋅

= β) 23

2 53 5

1015

= ⋅⋅

=

6) α) 2233

β) 35

γ) 7020

δ) 3224

7) α) 25 530 5

56

::

= β) 12:39:3

= 43

γ) 32:856:8

= 47

8) α) δεν είναι ανάγωγο γιατί απλοποιείται με το 2 β) είναι ανάγωγο γ) είναι ανάγωγο δ) δεν είναι ανάγωγο γιατί απλοποιείται με το 2.

9) α) ΕΚΠ(5,9)=45. 35

3 95 9

2745

= ⋅⋅

= και 79

7 59 5

3545

= ⋅⋅

=

β) ΕΚΠ(8,10)=40. 78

3540

= και 310

= 1240

γ) ΕΚΠ(3,12)=12. 113

4412

= και 712

10) α) Σ β) Σ γ) Λ, τριπλάσιος δ) Λ, θα είναι ίσο με το αρχικό ε) Σ στ) Λ, 113

1>

ζ) Σ, είναι ίσα με 0 η) Λ, 2330

310

≠

θ) Σ ι) Σ, είναι ίσα με 1 ια) Σ

Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων

1) α) ομώνυμα ή να έχουν ίσους αριθμητές β) i) ίσος ii) μικρότερος iii) μεγαλύτερος γ) α>β

2) α) 37

57

< β) 35

> 39

γ) 45

= ⋅⋅

= >4 25 2

810

812

3) 3110

3111

3112

3113

3114

> > > >


10

4) α) 58

1< , αφού 5<8 β) 910

1< γ) 1211

1> , αφού 12 11>

δ) 1616

1= , αφού 16=16 ε) 109120

1< , αφού 109 120> .

5) Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα με ΕΚΠ(5,15,10)=60. 35

3660

815

3260

510

3060

2015

8060

75

8460

= = = = =, , , , .

Έχουμε τότε: 510

815

35

2015

75

< < < < .

6) α) 153

2< < β) 3<72

< 4 γ) 0<89

< 1 δ) 12<635

< 13 ε) 1212510

13< <

8) α) Α → 15

, Β → 45

, Γ → 65

, Δ → 95

, Ε → 115

β) Α → 13

, Β → 23

, Γ → 43

, Δ → 73

9) Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ Η34

1115

34

1116

12

79

23

12

Κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα με ΕΚΠ=720 και παίρνουμε με τη σειρά:

540720

528720

540720

495720

360720

560720

480720

360720

, , , , , , , , οπότε έχουμε ΣΤ>Α=Γ>Β>Δ>Ζ>Ε=Η.

Α.2.4. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

1) α)5 2

373

+ = β) 11+213

= =1313

1 γ) ΕΚΠ=9, 49

49

+ = + =

23

69

109

3

δ) 8:412:4

23

23

+ = + =23

43

ε) ΕΚΠ=60, 1720

315

5160

1260

6360

63 360 3

2120

3 4

+ = + = = =::

στ) 1512

15:312:3

+ = + = + = =54

54

54

54

104

52

2) α) 3 1

222

1− = = β)

8 − =39

59

γ) 10:28:2

− = − = =34

54

34

24

12

δ) ΕΚΠ=27,

49

3

− = − =227

1227

227

1027

ε) ΕΚΠ=24,

73

58

5624

1524

4124

8 3

− = − =

στ) ΕΚΠ=77,

37

11

− = − =311

3377

2177

1277

7


11

3) α) 3 8 5

824 5

8298

⋅ + = + = β) 4 10 1

1040 1

104110

⋅ + = + = γ) 2 9 1

918 1

9199

⋅ + = + =

4) α) 3 3⋅ + = ⋅ + = + =4 3

44

434

334

334

β) 2 2+1

22 22

=2⋅ = ⋅ + = +1

22

12

12

γ) 3 12+2

123 1212

⋅ = ⋅ + = + = + =212

32 212 2

316

316

::

5) α) 3

23 16

819

8 8 8+ = + = β)

1215

1215

2715

+ = + =11515

γ) 16:220:2

+ + = + + ==3

1051

810

310

5010

6110

10ΕΚΠ

6) α) 31

− = − =115

155

115

45

β) 133

2

− = − =52

266

156

116

3

γ)

53

5

− = − =45

2515

1215

1315

3

7) Το 15

του ποσού είναι 20.000:5=4.000 €. Τα 25

του ποσού που πήρε ο πρώτος είναι 2∙4.000=8.000 €.

Ο δεύτερος πήρε

25

18

1640

540

1140

8 5

− = − = του ποσού. Το 1

40 των 20.000 € είναι 20.000:40=500 €

και τα 1140

του ποσού είναι 11∙500=5.500 €. Ο τρίτος πήρε τα υπόλοιπα, δηλαδή 20.000–8.000–

–5.500= 6.500 €. Αυτά είναι 1 − +

= − +

= − =

25

1140

11640

1140

4040

2740

1340

8

του ποσού.

8)

59

38

4072

2772

1372

8 9

− = − = , που είναι το ζητούμενο κλάσμα.

9) Ο αγρότης πούλησε τα

25

215

13

110

1230

430

1030

330

2930

6 2 10 3

+ + + = + + + = της παραγωγής του. Έμεινε

απούλητο το 12930

130

− = της παραγωγής του.

10) α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Λ στ) Σ ζ) Σ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

1) 810

410

1210

65

59

49

99

155

+ = = + = = =, ,

4590

1590

6090

23

+ = = , 1612

812

2412

2+ = =


12

2) +

57

32

135

57

107

3114

127

4635

32

3114

352

2110

1127

52

285

35

4635

2110

85

65

Α.2.5. Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

1) α) Γράφουμε ένα κλάσμα που έχει για αριθμητή το γινόμενο των αριθμητών και για παρονομαστή το γινόμενο των παρονομαστών.

β) Το γινόμενό τους ισούται με 1. γ) 1κ

κ λκ

, , δ) ο αριθμός 1.

2) α) 31

⋅ = ⋅⋅

=34

3 31 4

94

β) 71

⋅ = = = =1014

7014

70 1414 14

51

5::

γ) 2 2 4⋅ = δ) 1

20⋅ = =10

11020

12

3) α) 2 75 8

⋅⋅

= =1440

720

β) 8 10010 5⋅

⋅= =800

5016 γ)

4 59 9

⋅⋅

= 2081

δ) 32

⋅ = = =215

630

6 630 6

15

::

4) •

57

32

134

75

12110

75

2120

23

1021

123

12

157

32

134

43

2021

243

1

5) α) 73

⋅ =⋅

=321

213 21

13

β) 215

⋅ =52

212

γ) 258

⋅ = =101

2508

1254

δ) 53

32

52

⋅ =

6) α) 74

β) 1

72 γ)

85

δ) 3 ε) 8

739 στ) 1

7) Ήπιε 2 23

112 3

32

1⋅ = ⋅ = λίτρο.


13

8) α) 65

320

65

320

2420

320

2720

4

+ = + = + =

β) 95

⋅ =14

920

γ) 35

⋅ =14

320

9) α)

73

5

+

⋅ = +

⋅ = ⋅ =⋅

=215

38

3515

215

38

3715

38

375 8

3745 00

β)

73

5

−

⋅ = −

⋅ = ⋅ =⋅

=215

38

3515

215

38

3315

38

335 8

3345 00

γ) 73

73

73

20

− ⋅ = − = − = − =215

38

6120

120

14060

360

13760

3

Α.2.6. Διαίρεση κλασμάτων

1) α) Πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. β) Ένας όρος του είναι επίσης κλάσμα.

2) α) 34

⋅ = =21

64

32

β) 1 γ) 10

10 0⋅ = =51

510

12

δ) 73

⋅ = =27

21

279

33

3) α) 231

⋅ = ⋅ =2 3 6 β) 58

γ) 52

52

: 414

58

= ⋅ = δ) 4110

:103

4110

310

123100

= ⋅ =

4) α) 12

⋅ =31

32

β) 13

⋅ =21

23

γ) 206

206

:101

110

2060

13

= ⋅ = = δ) 101

620

⋅ = =6020

3

5) α) 18

18

18

: :13

21

23

32

316

⋅

= = ⋅ = β) 18

⋅

= = ⋅ = =31

12

38

12

38

21

68

34

: : .

Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα των δύο παραστάσεων δεν είναι ίσα, άρα στη διαίρεση δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα.

6) Διαιρετέους βάζουμε τους αριθμούς της 1ης γραμμής και έχουμε:

: 57

12

143

57

1710

75

2815

12

107

1 283

157

12

143

43

1528

38

34

1


14

7) α) 310

310

:410

104

34

= ⋅ = β) 59

59

:49

94

54

= ⋅ =

γ) 4590

: :159

12

53

12

35

310

= = ⋅ = δ) 163

163

:89

98

183

62

= ⋅ = =

8) α) 3 58 4

⋅⋅

= 1532

β) 54

γ)

20154

= ⋅⋅

= =20 45 1

805

16

9) α) 45

23

45

46

45

2

+

=+

= = ⋅⋅

= = =46

46

86

4 65 8

2440

24 840 8

35

::

β)

87 8

655

655

1

17 1 55

7 65542

⋅ = = ⋅⋅

= γ)

2318

⋅

⋅= = ⋅

⋅= =

3412

241

16

2 164 1

324

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο – Δεκαδικοί αριθμοί

Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί – Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Στρογγυλοποίηση

1) α) 45

β) 916

γ) 2579

2) α) 2:21 β) 19:3 γ) 77:1053) α) 7:16=0,4375 i) με προσέγγιση εκατοστού: 0,44 ii) με προσέγγιση χιλιοστού: 0,438

β) 21:17=1,2352941 i) με προσέγγιση εκατοστού: 1,24 ii) με προσέγγιση χιλιοστού: 1,235γ) 20:95=0,2105... i) με προσέγγιση εκατοστού: 0,21 ii) με προσέγγιση χιλιοστού: 0,211

4) α) 5,8 β) 0,03 γ) 50,25 δ) 1,024

5) α) 3510

β) 4525100

γ) 30041000

6) α) ψηφίο χιλιοστών: 0, ψηφίο δεκάκις χιλιοστών: 9β) ψηφίο χιλιοστών: 0, ψηφίο δεκάκις χιλιοστών: 5γ) ψηφίο χιλιοστών: 5, ψηφίο δεκάκις χιλιοστών: 6

7) α) 45,345<45,413 β) 980,19>899,01 γ) 7,534=7,5340


15

8) α) στο δέκατο: 9876, στο εκατοστό: 9876,01, στο χιλιοστό: 9876,008β) στο δέκατο: 67,9, στο εκατοστό: 67,90, στο χιλιοστό: 67,896γ) στο δέκατο: 0, στο εκατοστό: 0, στο χιλιοστό: 0,001δ) στο δέκατο: 8,2, στο εκατοστό: 8,24, στο χιλιοστό: 8,239ε) στο δέκατο: 23,7, στο εκατοστό: 23,70, στο χιλιοστό: 23,705

10) 34,952>34,925>34,592>34,529>34,295>34,259

11) 25,47

12) 0 3453451000

, = , 3,45=345100

, 0,0345=345

10000 ,34,5=

34510

13) 25

410

0 4310

0 3910

0 9= = = = = =, , , , 620

, 4550

155

3010

3 02510

2 519010

19 0= = = = = =, , , , 104

, 191

Α.3.2. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς – Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό

1) α) 58,565 β) 18,915

2) Η περίμετρος του οικοπέδου Α είναι 26,14m+80,19m+26,14m+80,19m=212,66m, του οικο-πέδου Β είναι 29,13m+38,13m+23,24m+57,89m+26,14m=174,53m και του οικοπέδου Γ είναι 80,19m+57,89m+47,73m+44,75m+48,9m+47,19m+39,93m=366,58m.

3) α) 11,042 β) 1,3995 γ) 7,4995

4) α) 12,0625 β) 12,56 γ) 101,16732 δ) 7,05

5) α) 52+32=84 β) 0,0491+8,19=8,2391

6) α) 47 – 4,5=42,5 β) 9800 – 6,785=9793,215

7) Η πλευρά του είναι 20,2:4=5,05

8) Οι δυο άλλες πλευρές του έχουν άθροισμα 48,52 – 10,7=37,82. Επειδή όμως είναι ίσες η καθεμία είναι 37,82:2=18,91.

9) α) 24∙5 – 2+3∙5=120 – 2+15=118+15=133 β) 3∙11 – 2+54,1:2=33 – 2+27,05=31+27,05=58,05

10) α) 3,12=3,1∙3,1=9,61 β) 7,012=7,01∙7,01=49,1401 γ) 4,52=4,5∙4,5=20,25 δ) 0,52=0,5∙0,5=0,25 ε) 0,22=0,2∙0,2= 0,04 στ) 0,33=0,3∙0,3∙0,3=0,027


16

11) α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Λ στ) Σ ζ) Σ

Α.3.4. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών

1) α) 5,83∙105 β) 4,3∙106 γ) 7,96∙106 δ) 3,42∙109 ε) 4,8∙103

στ) 7,31∙103 ζ) 2,819∙105 η) 5,18∙108 θ) 1,31∙105 ι) 6,75∙105

2) α) 3.100.000 β) 482.000 γ) 32.500 δ) 7.400 ε) 920

3) α) 109∙109=1018 β) 9,87654321∙108∙1,23456789∙108=12,193262...∙108∙108=12,193262...∙1016=1,2193262...∙1017

γ) 1.000.000∙1.000.000∙1.000.000=106∙106∙106=1018

Α.3.5. Μονάδες μέτρησης

1) α) 230 cm β) 0,0031 km γ) 0,4583 m δ) 67.200.000 mm ε) 9,55 cm

2) α=3,1∙1000=3.100 m=3,1∙103 m, β=4,2∙1000=4.200 m=4,2∙103 m, γ=2,3∙1000=2.300 m=2,3∙103 m

3) Επιλέγουμε για μονάδα μέτρησης το m. 0,023 km=0,023∙1000=23 m, 456 cm=4,56 m, 678 dm=67,8 m. Οπότε έχουμε 4,56 m<23 m <67,8 m<986 m ή 456 cm<0,023 km<678 dm<986 m.

4) Ε=α∙β=23∙45=1035 cm2=1035∙100=103.500 mm2

5) α) 56.000.000 m2 β) 987 m2 γ) 350.000 m2

6) E=2102=210∙210=44.100 m2=44.100:1000=44,1 στρέμματα.

7) Το εμβαδόν της αυλής είναι 5∙7,2=36 m2. Η πλευρά μιας τετραγωνικής πλάκας είναι 40:100=0,4 m και το εμβαδόν της είναι 0,4∙0,4=0,16 m2. Άρα θα χρειαστούν 36:0,16=225 πλάκες.

8) 15 dm3=15∙1000=15.000 cm3. Επομένως ο όγκος του στερεού σε cm3 είναι 15.000+29=15.029 cm3.15.029:1.000.000=0,015029 m3. 15.029∙1.000=15.029.000 mm3.

9) H κάθε δεξαμενή έχει όγκο 3∙2∙5=30 m3=30∙1000=30.000 dm3, οπότε χωράει 30.000 lt κρασί.Οι τρεις μαζί έχουν 3∙30.000=90.000 lt κρασί. Η είσπραξη θα είναι 90.000∙4=360.000 €.

10) (17 h 20 min) – (8 h 10 min)=9 h 10 min.


17

11) α) 4 h 52 min=4∙60+52=240+52=292 min=292∙60=17.520 s. β) 3h 12 min=3∙60+12=180+12=192 min=192∙60=11.520 s γ) 5 h 20 min 30 s=5∙3.600+20∙60+30=18.000+1.200+30=19.230 s δ) 56 min 45 s=56 min+(45:60 min)=56+0,75=56,75 min=56,75∙60=3.405 s.

12) α) Το 1

10 της ώρας είναι

110

606010

6⋅ = =min min .

β) 15

60605

12⋅ = =min min γ) 16

60606

10⋅ = =min min .

13) α) Θα χρειαστούμε τα δύο σταθμά του 1 kg, τρία σταθμά των 500 g και δύο των 50 g, οπότε θα έχουμε συνολικά 2∙1 kg+3∙500g+2∙50g=2kg+1kg+500g+100g=3kg και 600g.

β) Θα χρειαστούμε τα δύο σταθμά του 1 kg και εννέα των 50 g, οπότε θα έχουμε συνολικά 2∙1 kg+9∙50g= 2kg και 450g.

14) α) Στη μια ζυγαριά θα βάλουμε το σώμα βάρους 5 kg μαζί με τα σταθμά των 3 kg και του 1 kg και στην άλλη τα σταθμά των 9 kg.

β) Στη μια ζυγαριά θα βάλουμε το σώμα βάρους 4 kg μαζί με τα σταθμά των 5 kg και του 1 kg και στην άλλη τα σταθμά των 10 kg.

15) α) Θα χρησιμοποιήσουμε δύο δοχεία των 2 lt που χωράνε 4 lt και δύο δοχεία των 0,5 lt που χωράνε 1 lt.

β) Θα χρησιμοποιήσουμε ένα δοχείο των 2 lt , ένα δοχείο των 0,5 lt και τρία δοχεία του 0,1 lt που χωράνε 0,3 lt. Άρα συνολικά 2+0,5+0,3=2,8 lt.

γ) Θα χρησιμοποιήσουμε ένα δοχείο των 2 lt και τέσσερα δοχεία του 0,1 lt που χωράνε 0,4 lt. Άρα συνολικά 2+0,4= 2,4 lt.

16) Οι τρεις τόνοι πετρέλαιο έχουν όγκο 3∙1.200=3.600 lt=3.600 dm3=3.600:1.000=3,6 m3. Επειδή ο όγκος του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι το γινόμενο των τριών διαστάσεών του, έχουμε 2,5∙1=2,5 και το ύψος θα είναι 3,6:2,5=1,44 m.

1,44 m=1,44∙100=144 cm. Σε κάθε εκατοστό ύψους αντιστοιχούν 3.600 lt : 144=2,5 lt.

17) 80 cm=0,8 m. Ο όγκος της δεξαμενής είναι 0,8∙0,8∙1,2=0,768 m3 ή 0,768∙1.000=768 lt. Το ύψος της δεξαμενής είναι 1,2 m=120 cm.

α) Το 1 cm ύψους αντιστοιχεί στα 768 lt : 120=6,4 lt και τα 10 cm που θα κατέβει η στάθμη αντιστοιχούν σε 10∙6,4=64 lt. Στο 1 λεπτό η αντλία αδειάζει 8 lt, οπότε τα 64 lt αδειάζουν σε 64:8=8 λεπτά.

β) Θα αδειάσει σε 768:8=96 λεπτά=1 h και 36 min. γ) Αφού στο 1 λεπτό αδειάζουν 8 lt σε μία ώρα αδειάζουν 60∙8=480 lt. To 1 cm της δεξαμενής

αντιστοιχεί σε 6,4 lt, τα 480 lt αντιστοιχούν για μία ώρα σε 480:6,4=75 cm. Άρα σε μισή ώρα η στάθμη του νερού θα κατέβει 75 : 2 = 37,5 cm.

18) Ο χρόνος του πρώτου ποδηλάτη είναι 60+15=75 min ενώ του δεύτερου είναι 60+45=105 min.


18

α) Ο χρόνος του πρώτου είναι τα 75105

75 15105 15

57

= =::

του χρόνου του δεύτερου.

β) Ο χρόνος του δεύτερου τότε είναι τα 75

του χρόνου του πρώτου.


1) Λ 2) Σ 3) Λ 4) Σ 5) Σ 6) Λ 7) Λ 8) Σ 9) Λ 10) Σ 11) Σ 12) Σ 13) Λ 14) Σ 15) Λ 16) Λ 17) Σ 18) Λ 19) Σ 20) Σ 21) Λ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο – Εξισώσεις και προβλήματα

Α.4.1. Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις:α+x=β, x – α=β, α – x=β, α∙x=β, α:x=β και x:α=β

1) • το τριπλάσιο ενός αριθμού → 3∙x• το δεκαπλάσιο ενός αριθμού → 10∙x• ένας αριθμός αυξάνεται κατά 12 → x+12• ένας αριθμός ελαττώνεται κατά 5 → x – 5• η διαφορά δύο αριθμών είναι μεγαλύτερη του 20 → x – y>20• το γινόμενο δύο αριθμών είναι ίσο με 32 → x∙y=32

2) α) το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξάνεται κατά 25.β) το μισό ενός αριθμού ελαττωμένο κατά 7 ισούται με 2.γ) ένας αριθμός μειωμένος κατά το διπλάσιο ενός άλλου αριθμού.δ) το τετραπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά το επταπλάσιο του ίδιου αριθμού ισούται με 88.

3) Η περίμετρος του τετραγώνου είναι 4∙α και το εμβαδόν του είναι α2.

4) α) 2∙x β) 3∙α γ) (3+52)∙α=55∙α δ) 2∙β+1∙β+3∙α+2∙α=(2+1)∙β+(3+2)∙α=3∙β+5∙α ε) (4+8 – 3)∙x=9∙x στ) (7+4 – 10)∙ω=1∙ω=ω

5) x∙(y∙z)=(x∙y)∙z=29

35

645

215

⋅ = =

6) Το x μπορεί να πάρει μόνο τη τιμή 3.

7) Δοκιμάζουμε αντικαθιστώντας στην εξίσωση x=12 και έχουμε 12+13=25 που ισχύει.

8) 1 2 3 4 5 6 7 8x–2=4 x1+y=4 x18–ω=10 x9–α=1 x93–β=86 x


19

9) α) x=15,83 – 4,9 ή x=10,93 β) x=93,19 – 40,4 ή x=52,79 γ) x=53,404 – 4,19 ή x=49,214 δ) x=38 – 7,1 ή x=30,9

10) α) 12∙x=3∙20 ή 12∙x=60 ή x=60:12 ή x=5 β) 5∙x=7∙15 ή 5∙x=105 ή x=105:5 ή x=21

γ) 40∙x=35∙8 ή 40∙x=280 ή x=280:40 ή x=7 δ) x = −495

45

ή x = =455

9

11) α) x+34

+ =

12

74

2

ή x+34

+ =24

74

ή x+3+2

4= 7

4 ή

x+54

= 74

ή x+5=7 ή x=7 – 5=2

β)

58

x16

2

+ = 34

4

ή 1016

x16

+ = 1216

ή 10+x16

= 1216

ή 10+x=12 ή x=12 – 10=2

γ)

35

x+210

2

+ = 1010

ή 610

x+210

+ = 1010

ή 6+x+2

10= 10

10 ή 8+x=10 ή x=10 – 8=2

12) α) ν=4 – 3=1 β) x=8+2=10 γ) t+5=22 ή t=22 – 5=17 δ) x=6 – 5=1

13) Αν x ο αριθμός, έχουμε x+4=215

ή x+4=4,2 ή x=4,2 – 4=0,2

14) Αν x ο αριθμός, έχουμε x+5=313 ή x=313 – 5=308

15) α) Η περίμετρος του 1ου σχήματος είναι 1∙4=4 cm, του 2ου είναι 2∙4=8 cm, του 3ου είναι 3∙4=12 cm, του 4ου είναι 4∙4=16 cm και του 5ου θα είναι 5∙4=20 cm.

β) 4∙x , όπου x είναι η σειρά του κάθε σχήματος γ) 4∙x=128 ή x=128:4 ή x=32, άρα η σειρά του σχήματος είναι η 32η.

Α.4.2. Επίλυση προβλημάτωνΑ.4.3. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων

1) 9999

2) Αν με x ονομάσουμε τον αριθμό των μαθητών έχουμε 28

⋅ x=60 ή x=60:28

ή x=6082

⋅ = ⋅ =60 4 240.

Τα 710

των 240 μαθητών είναι 710

∙240=168010

= 168.

3) Αν x ο πρώτος φυσικός αριθμός ο επόμενος είναι ο x+1 και ο μεθεπόμενος είναι ο (x+1)+1=x+2. Τότε γράφουμε την εξίσωση x+(x+1)+(x+2)=1533 ή 3∙x+3=1533 ή 3∙x=1533 – 3 ή 3∙x=1530 ή x=1530:3=510. Άρα οι αριθμοί είναι 510,511,512.

4) Πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να είναι πολλαπλάσιο του 9, δηλαδή αν 75x3 είναι ο αριθμός


20

τότε το άθροισμα 7+5+x+3=15+x πρέπει να είναι 0 ή 9 ή 18 ή 27 κ.λ.π. Η μοναδική περίπτωση είναι 15+x=18 ή x=18 – 15=3. Οπότε ο αριθμός είναι 7533.

5) Αν απάντησε σωστά σε x ερωτήσεις θα πάρει από αυτές 3∙x μονάδες ενώ από τις 100 – x που απάντησε λάθος θα πάρει 100 – x μονάδες. Συνολικά οι μονάδες που θα πάρει είναι 3∙x + (100 – x) που είναι όμως 220. Γράφουμε τότε την εξίσωση 3∙x + (100 – x)=220 ή 3∙x + 100 – x=220 ή 2∙x=220 –100 ή 2∙x=120 ή x=120:2=60. Άρα απάντησε σωστά σε 60 ερωτήσεις.

6) Αν η μητέρα είναι x ετών τότε γράφουμε την εξίσωση x – 18=25 ή x=25+18 ή x=43. Άρα η μη-τέρα είναι 43 ετών.

7) Ο τρίτος αδελφός πήρε μόνο τις 15.000 € .Αφού η περιουσία μοιράστηκε εξίσου ο πρώτος αδελφός πήρε το χωράφι με αξία x € και επιπλέον 600 € που μαζί κάνουν 15.000 €. Άρα x+600=15.000 ή x=15.000 – 600=14.400 €. Άρα η αξία του χωραφιού ήταν 14.400 €. Αν y η αξία του διαμερίσματος τότε y – 600 – 15.000=15.000 ή y=15.000+15.000+600=30.600 €. Άρα ο αξία του διαμερίσματος ήταν 30.600 €.

8) α) Β+7=13 ή Β=13 – 7 ή Β=6 και επειδή έχουμε ένα κρατούμενο Α+4+1=7 ή Α+5=7 ή Α=7 – 5 ή Α=2. β) Όμοια βρίσκουμε ότι Δ=3 και Γ=4.

9) Αν x lt η αρχική ποσότητα κρασιού, τότε x – 18 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 7, δηλαδή 0 ή 7 ή 14, κ.λ.π. και αφού η ποσότητα είναι μεταξύ 90 lt και 100 lt, γράφουμε την εξίσωση x – 18=77 ή x=77+18 ή x=95 lt. Επομένως θα χρησιμοποιήσουμε 77:7=11 δοχεία.

10) α) Αν x τα μπουκάλια που θα χρειαστεί έχουμε ότι x∙0,75=100 ή x=100:0,75=133,3... Άρα θα χρειαστεί 133 μπουκάλια. β) Τα 133 μπουκάλια θα χωρέσουν 133∙0,75=99,75 lt ξύδι και θα περισσέψουν 100 – 99,75=0,25 lt.

11) Τα δύο συνεργεία καθαρίζουν μαζί κάθε μέρα 312

234

72

114

144

114

254

2

+ = + = + =

km. Θα

συναντηθούν μετά από x μέρες όταν και θα ολοκληρωθεί ο καθαρισμός, οπότε 254

1834

⋅ =x ή

254

754

⋅ =x ή x = 754

254

: ή x = ⋅ =754

425

7525

=3. Άρα θα έχουν ολοκληρώσει τον καθαρισμό

σε 3 μέρες.

12) Αν x ο μισθός του υπαλλήλου, μετά την αύξηση θα είναι x+15

x=65

x⋅ ⋅ €. Το μέρος του μισθού

που πρέπει να αποταμιεύει είναι

11565

11565

590

118

⋅

⋅= = =

x

x.

13) Αν x η ηλικία του ανθρώπου, τότε x είναι 0 ή 7 ή 14 ή 21 ή 28 ή 35 ή 42 ή 49 ή 56 ή 63 ή 70 ή 77


21

ή 84 ή 91 ή 98, κ.λ.π. Την επόμενη χρονιά η ηλικία του θα είναι x+1 και μπορεί να είναι 0 ή 9 ή 18 ή 27 ή 36 ή 45 ή 54 ή 63 ή 72 ή 81 ή 90 ή 99, κ.λ.π. Άρα η ηλικία του x είναι 35 ή 98 έτη.

Κεφάλαιο 5ο - Ποσοστά

Α.5.1. Ποσοστά

1) α) 15

1 205 20

= ⋅⋅

= =20100

20% β) 32

= ⋅⋅

=3 502 50

150100

=150%

γ) 14

1 254 25

= ⋅⋅

= =25100

25% δ) 34

= ⋅⋅

= =3 252 25

75100

75%

ε) 35

3 205 20

= ⋅⋅

= =60100

60%

2) α) 52% β) 341% γ) 19% δ) 3% ε) 7%

3) α) 15100

15:5100:5

= = 320

β) 7

100 γ)

48100

48:4100:4

= = 1225

δ) 50100

= 12

4) α) 10100

⋅ = =300030000100

300 € β) 1 ώρα είναι 60 λεπτά, οπότε 45100

6045 60

1002700100

27⋅ = ⋅ = =

λεπτά γ) 1 λίτρο=1000 cm3, οπότε 20100

100020000100

200⋅ = = cm3 δ) 50100

50025000100

⋅ = =250

γραμμάρια ε) 1 κιλό=1000 γραμμάρια, οπότε 25100

100025000100

250⋅ = = γραμμάρια.

5) α) 50

1000= =5

1005% β)

30365

30:5365:5

= = = =673

6 73 0 082: , περίπου, δηλαδή 8 2100

8 2,

, %=

γ) 50

250050 50

2500 501

501 2

50 22

1002= = = ⋅

⋅= =:

:%

δ) 3 παλάμες=3 dm και 10 10 10 100 m dm= ⋅ = , οπότε 3

1003= % .

6) Εξατμίστηκαν 22100

0 610 0 22 0 610 0 1342⋅ = ⋅ =, , , , lt lt .

7) α) H ακτίνα της γης είναι 50 km+2.900 km+3.450 km=6.400 km.

β) Ο φλοιός της γης είναι 50

640050 50

6400 501

128= = =:

:1:128=0,0078125=0,78125%.

Ο μανδύας είναι 29006400

2964

= = 29:64=0,453125=45,3125%.

Ο πυρήνας είναι το υπόλοιπο ποσοστό, δηλαδή 100% – 0,78125% – 45,3125% =53,90625%.


22

8) Αποταμιεύονται 10100

120012000100

120⋅ = = €, οπότε ξοδεύονται 1.200 – 120=1.080 €.

α) Έξοδα: 1) για το αυτοκίνητο 3

1001080

3240100

32 40⋅ = = , €

2) για βιβλία 7

1001080

7560100

75 60⋅ = = , €

3) για διασκέδαση 10100

108010800100

108⋅ = = €

4) για το ενοίκιο30100

108032400100

324⋅ = = €

5) για τη διατροφή 32100

108034560100

345 60⋅ = = , €

6) για σπουδές 18100

108019440100

194 40⋅ = = , €.

β) 1) για το αυτοκίνητο 32 41200

0 027 2 7,

, , %= =

2) για βιβλία 75 61200

0 063 6 3,

, , %= =

3) για διασκέδαση 1081200

0 09 9= =, %

4) για το ενοίκιο 3241200

0 27 27= =, %

5) για τη διατροφή 345 61200

0 288 28 8,

, , %= =

6) για σπουδές 194 41200

0 162 16 2,

, , %.= =

Α.5.2. Προβλήματα με ποσοστά

1) α) Η μετοχή αρχικά έχασε 8

10050

400100

4⋅ = = € και η τιμή της ήταν 50 – 4=46 €. Στη συνέχεια

τον 2ο μήνα αυξήθηκε κατά 5

10046

230100

2 3⋅ = = , € και η τιμή ήταν 46+2,3=48,3 €. Τον

3ο μήνα αυξήθηκε πάλι κατά 5

10048 3

241 5100

2 415⋅ = =,,

, € και τελικά η τιμή της ήταν

48,3+2,415=50,715 €.

β) Η επένδυση ήταν κερδοφόρα αφού από κάθε μετοχή κέρδισε 50,715 – 50=0,715 €.

γ) Το ποσοστό του κέρδους του ήταν 0 715

500 715 2

50 21 43100

, , ,= ⋅⋅

= =1,43%.

2) α) 4 5100

80 000360 000

100,

..⋅ = =3.600 €.


23

β) Στο τέλος του 1ου έτους το κεφάλαιό του θα είναι 80.000+3.600=83.600 € και ο τόκος στο

τέλος του 2ου έτους θα είναι 4 5100

83 600376 200

100,

..⋅ = =3.762 €.

3) α) Θα το αγόραζε με έκπτωση 30100

20 00060 000

100⋅ =.

.=6.000 €, δηλαδή 20.000 – 6.000=14.000 €.

β) 14 00025 000

14 425 4

56100

.

.= ⋅

⋅= =56%.

γ) Η έκπτωση από το μαγαζί είναι 40100

25 0001 000 000

100⋅ =.

. .=10.000 €, επομένως το πουλάει

25.000 – 10.000=15.000 €, οπότε συμφέρει να αγοράσει από τον πρώτο πωλητή με 14.000 €.

4) α) Τα 100 cm3 αντιστοιχούν σε ποσοστό 100300

13

0 333 33 3= = =, ... , % περίπου και όχι 50%.

β) Αν πρόσφερε 150 cm3 επιπλέον προϊόν.

5) Έστω x το κεφάλαιο που πρέπει να καταθέσουμε. Ο τόκος τότε θα είναι 2

100⋅ x =0,02∙x που είναι

1.000 €. Δηλαδή 0,02∙x=1.000 ή x=1.000:0,02=50.000 € που πρέπει να καταθέσουμε.

6) Για τις 1.500 μονάδες συνδιαλέξεων πληρώνει 1.500∙0,07=105 € και μαζί με τα βασικά τέλη

πληρώνει 105+22=127 €. Πληρώνει επίσης ΦΠΑ 19100

⋅ 127=2413100

=24,13 €, οπότε συνολικά θα

πληρώσει 127+24,13=151,13 €.

7) α) Το ποσό που πλήρωσε τοις μετρητοίς είναι 40100

30 000120 000

100⋅ =.

.=12.000 €, οπότε

το υπόλοιπο είναι 30.000 – 12.000=18.000 €, και η κάθε δόση, χωρίς τον τόκο είναι 18.000:4=4.500 €.

• Τον 1ο μήνα ο τόκος είναι: 1

1004 500⋅ =. 45 €.


1004 500⋅ =. 90 €.


1004 500⋅ =. 135 €.


1004 500⋅ =. 180 €.

Συνολικά η επιβάρυνση είναι 45+90+135+180=450 €.

β) 450

30 000450 30

30 000 3015

1 0001 5100.

:. : .

,= = = =1,5%.


24

8) Αν x τα έσοδά του το τρίμηνο χωρίς ΦΠΑ, ο φόρος είναι 19100

∙x=0,19∙x, επομένως τα έσοδά του

με ΦΠΑ είναι x+0,19x=(1+0,19)∙x=1,19∙x που είναι 8.330 €. Δηλαδή τα έσοδά του χωρίς ΦΠΑ είναι

x=8.330:1,19=7.000 €. Ο ΦΠΑ είναι 0,19∙7.000=1.330 €.

9) α) Υπολογίζουμε το ΦΠΑ: 19100

∙1.200=228 €. Το 50% των 1.200 € είναι 600€, οπότε ο αγοραστής

έδωσε αρχικά 600+228=828 €.

β) Το υπόλοιπο είναι 1.200 – 600=600 € και η κάθε δόση, χωρίς τόκο είναι 600:6=100 €.

• Η 1η δόση με τον τόκο είναι: 1003

100100+ ⋅ = 103 €.

• Η 2η δόση με τον τόκο είναι: 100 23

100100+ ⋅ ⋅ = 106 €.

• Η 3η δόση με τον τόκο είναι: 100 33

100100+ ⋅ ⋅ = 109 €.

• Η 4η δόση 112 €, η 5η δόση 115 € και η 6η δόση 118 €.

γ) Συνολικά το ψυγείο στοίχισε 828+103+106+109+112+115+118=1.491 €.

10) α) Με ΦΠΑ 19% πρέπει να πληρώσουμε 19100

∙350=66,5 €.

β) 66,5 (ΦΠΑ)+ 16∙30 (ποσό από τις δόσεις)=66,5+480=546,5 €.

γ) Η αξία του ραδιοκασετόφωνου είναι 350+66,5=416,5 €. Ο τόκος του ποσού αυτού για 16 μήνες είναι:• Για τον 1ο χρόνο (12 μήνες):

10100

∙416,5=41,65 €, οπότε το κεφάλαιο θα είναι

416,5+41,65=458,15 €.

• Για τους υπόλοιπους 4 μήνες: 412

10100

458 15⋅ ⋅ , =15,27 € περίπου. Άρα συνολικά θα

είχαμε 458,15+15,27=473,42 € που είναι λιγότερα από τα 546,5 €. Άρα συμφέρει να

πληρώσουμε μετρητοίς.

Επαναληπτικές ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης.

Α. 1. Σ 2. Σ 3. Σ 4. Σ 5. Σ 6. Λ 7. Σ 8. Λ 9. Λ 10. Λ 11. Σ 12. Λ

Β. • Παντελόνι: Η έκπτωση είναι 120 – 84=36 €.

Το ποσοστό της έκπτωσης είναι 36120

0 330100

= = =, 30%.

• Φούστες 40% • Φορέματα 15% • Μπλούζες 20% • Φόρμες 10%.


25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6Ο – Ανάλογα ποσά – Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Α.6.1. Παράσταση σημείων στο επίπεδο

1) Τοποθετούμε τα σημεία και παρατηρούμε ότι: Το σημείο Ι βρίσκεται πάνω στον ημιάξονα Οx. Κάθε σημείο με τεταγμένη 0 θα βρίσκεται πάνω στον ημιάξονα Οx. Το σημείο Κ βρίσκεται πάνω στον ημιάξονα Οy. Κάθε σημείο με τετμημένη 0 θα βρίσκεται πάνω στον ημιάξονα Οy.

2) Το σχήμα ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Οι συντεταγμένες του Κ είναι (2,2).

3) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5). Αν τα τοποθετήσουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων, αυτά θα παριστάνουν σημεία που θα βρίσκονται σε μια ημιευθεία που θα διέρχεται από την αρχή Ο(0,0) και που είναι διχοτόμος της ορθής γωνίας των ημιαξόνων Οx και Οy.

4) α) Ε5 β) Αντιπροσωπεύει τις δικαιολογημένες απουσίες του μαθητή Αντωνίου το 2ο τρίμηνο.γ) Στη θέση D12 πρέπει να γράψουμε τον αριθμό 6, που είναι το σύνολο των δικαιολογημένων απουσιών του μαθητή Βέλλιου. Στη θέση Ε13 πρέπει να γράψουμε τον αριθμό 27=20+4+3, που είναι το σύνολο των αδικαιολόγητων απουσιών του μαθητή Γεωργίου.

Α.6.2. Λόγος δύο αριθμών – Αναλογία

1) α) ΑΒΓΔ

ΕΖΗΘ

ΚΛΑΒ

= = = = = =41

452

2 534

0 75, , , , ,

ΑΒΚΛ

ΗΘΕΖ

ΓΔΑΒ

= = = = = =43

1 3325

0 414

0 25, ... , , , ,

β) ΓΔΕΖ

ΗΘΚΛ

ΑΒΑΒ

= = = = = =15

0 423

0 6644

1, , , ..., , ΕΖΓΔ

ΚΛΗΘ

ΓΔΓΔ

= = = = = =51

532

1 511

1 , , ,

2) Αν x η μεγάλη διάσταση του άλλου ορθογωνίου, έχουμε x

4,5= 2

1 ή x=2∙4,5 ή x=9 cm. Αν y η

μικρή διάσταση του άλλου ορθογωνίου, έχουμε y

2,5= 2

1 ή y=2∙2,5 ή y=5 cm. Σχεδιάζουμε ένα

άλλο ορθογώνιο με διαστάσεις 9 cm και 5 cm.

3) 1,76 m=176 cm. Παίρνουμε τον λόγο 1764

=44. Άρα έχουν σμικρυνθεί 44 φορές.

4) 4,2 cm=42 mm. Επειδή 427

=6, η μεγέθυνση είναι 6 φορές.

5) Ποσοστό Γραμμάρια

Μπλούζα 100 820

Βαμβάκι 80 x


26

10080

820=x

ή 100∙x=80∙820 ή 100∙x=65.600 ή x=65.600:100 ή x=656 g που ζυγίζει το βαμβάκι.

Άρα ο πολυεστέρας ζυγίζει 820 – 656=164 g.

6) Kλίμακα 1:5 3:8 1:30 δ 1:100

Μήκος σε σχέδιο 4 cm β 12 cm 2 cm 3,5 cm

Πραγματικό μήκος α 24 m γ 10 m ε

• 15

4=α

ή α = ⋅ =4 5 20 m

• 38 24

= β ή 8 3 24β = ⋅ ή β = =72 8 9: cm

• 1

3012=γ

ή γ = ⋅ =12 30 360 m

• για το δ έχουμε ότι:10 1 000 m cm= . . Άρα 2 1000

21000

1500

1 500: := = =

• 1

1003 5= ,ε

ή ε = ⋅ =3 5 100 350, m

7) α) Π=x+x+(x+2)+(x+2)=4∙x+4.β) Τα ποσά x και Π δεν είναι ανάλογα, γιατί όταν x=1, τότε Π=4∙1+4=4+4=8. Αν διπλασιά-

σουμε τη τιμή του x, δηλαδή x=2, τότε η αντίστοιχη τιμή του Π δε θα διπλασιαστεί, αφού Π=4∙2+4=8+4=12≠16.

γ) x 0 1 2 3 4Π 4 8 12 16 20

8) 3 → 3∙250=750 και 5 → 5∙250=1.250. Άρα οι διαστάσεις θα είναι 750x1.250.

9) Ο λόγος του κόκκινου χρώματος προς το κίτρινο είναι τη πρώτη φορά 23

=0,66... και τη δεύτερη

φορά 56

= 0,833... Οι λόγοι είναι διαφορετικοί, οπότε συμπεραίνουμε ότι δε θα πάρουμε την

ίδια απόχρωση.

Α.6.3. Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες αναλόγων ποσών

1) α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ στ) Λ ζ) Λ η) Λ

2) α) ανάλογα β) τετραπλασιάζεται γ) y=α∙x

3) α) Όχι, γιατί 38

510

≠ , αφού 3∙10≠5∙8. β) Ναι, γιατί 3

0 941 2

61 8

113 3, , , ,

= = =


27

4) α = = =yx

10 055

2 01,

, . Συμπληρώνουμε τώρα τον πίνακα ώστε ο λόγος των τιμών του y προς

τις αντίστοιχες τιμές του x να ισούται με 2,01.

x 5 0 1 0,99 0,062 3,7 0,61 0,273y 10,05 0 2,01 2 0,125 7,437 1,2261 0,55

5) Αυγά

Φαρίνασε κιλά

Βούτυροσε γραμ.

Ζάχαρη σε φλιτζάνια

ΒανίλιαΓάλα σε

φλιτζάνια4 1/2 250 2 1 17 α β γ δ ε

• 47

0 5= ,α

ή 4∙α=7∙0,5 ή 4∙α=3,5 ή α=3,5:4 ή α=0,875 κιλά.

• 47

250=β

ή 4∙β=250∙7 ή 4∙β=1.750 ή β=1.750:4=437,5 γραμμάρια.

• 47

2=γ

ή 4∙γ=2∙7 ή 4∙γ=14 ή γ=14:4=3,5 φλιτζάνια.

• 47

1=δ

ή 4∙δ=7 ή δ=7:4 ή δ=1,75 βανίλιες.

• ε=1,75 φλιτζάνια.

6) 6x=2∙3 ή 6x=6 ή x=6:6 ή x=1. Για x=1 έχουμε: x+23+6

1+23+6

= = = =39

13

26

7) Τα 100 € θα γίνουν μετά από 1 χρόνο 109,5 €.

Αρχικό κεφάλαιο 100 € 150.000 €Κεφάλαιο μετά από 1 χρόνο 109,5 € x

100109 5

150 000,

.=x

ή 100x=16.425.000 ή x=16.425.000:100=164.250 €.

Α.6.4. Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

1) α) x 0 1 2y 0 1,5 3

β) Ο(0,0), Α(1,1,5), Β(2,3)

γ)

10

1

2

2

3

y

x


28

2)

2 310

1

4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

56

78

9

10

y

x

(α)

(β)(γ)(δ)

20 30100

1

40 50 60 70 80 90 100

y

x

(ε)

3) (Α) κάνοντας δοκιμές βλέπουμε ότι οι τα ζεύγη των τιμών (x,y) επαληθεύουν τον τύπο (4): y=2,5x. Πράγματι, για x=4 έχουμε y=2,5∙4=10, για x=7 έχουμε y=2,5∙7=17,5 και για x=12 έχουμε y=2,5∙12=30. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε τις υπόλοιπες αντιστοιχίες:

(Β)→(6), (Γ)→(1), (Δ)→(3), (Ε)→(8), (Ζ)→(5), (Η)→(2), (Θ)→(7).

4) α) Αν y τα χρήματα σε € που διαθέτει ο καταστηματάρχης για να αγοράσει φ φόρμες, μ μαγιό και π ζευγάρια αθλητικά παπούτσια, έχουμε τις σχέσεις αναλογίας y=40∙φ, y=20∙μ και y=50∙π.

β) Θα διαθέσει 12.000:3=4.000 € για κάθε είδος.

Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι θα αγοράσει 100 φόρμες, 200 μαγιό και 80 ζευγάρια παπούτσια.Επαληθεύουμε αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στις αντίστοιχες σχέσεις αναλογίας, οπότε για φ=100, βρίσκουμε y=40∙100=4.000 €, για μ=200, βρίσκουμε y=20∙200=4.000 € και για π=80, βρίσκουμε y=50∙200=4.000 €.

Α.6.5. Προβλήματα αναλογιών

1)

1 23, = x

14 ή 3x=1,2∙14 ή 3x=16,8 ή x=16,8:3=5,6 m.

Πάσσαλος ΔέντροΎψος (m) 1,2 xΣκιά (m) 3 14

2) 1378

= x52

ή 78x=13∙52 ή 78x=676 ή x=676:78=8,67 kg.Βάρος στο φεγγάρι (kg) 13 xΒάρος στη γη (kg) 78 52

3) Τα ποσά βάρος σταφυλιών και βάρος μούστου είναι ανάλογα. Τα 6 βαρέλια χωράνε 6∙350=2100 kg.

40 60200

1000

2000

3000

4000

5000

80 100 120 140 160180 200

y

x

παπούτσια φόρµες

y =50π

y =40φ

y =20µ

µαγιό

x 0 100

y 0 1


29

Βάρος σταφυλιών (kg) 100 xΒάρος μούστου (kg) 80 2100

10080 2100

= x ή 80x=210.000 ή x=210.000:80=2625 kg.

4) Τα ποσά ημέρες εργασίας και αμοιβή είναι ανάλογα.

1ος εργάτης Και οι 2 εργάτεςΗμέρες εργασίας 4 9Αμοιβή (€) x 270

4 9

270

1

30x= ή

4 130x

= ή x=4∙30=120 €. Ο δεύτερος εργάτης πήρε 270 – 120=150 €.

5) Τα ποσά θαλασσινό νερό και αλάτι είναι ανάλογα.Θαλασσινό νερό (kg) 100 xΑλάτι (kg) 3 60

1003

= x60

ή 3x=100

∙

60 ή 3x=6.000 ή x=6.000:3=2.000 kg.

6) Τα ποσά έκταση σε στρέμματα και παραγωγή καλαμποκιού σε τόνους είναι ανάλογα. Τα στρέμματα και των δύο ήταν 8+7=15 και από αυτά παράχθηκαν 14 τόνοι καλαμπόκι.

8 1514x

= ή 15x=8∙14 ή 15x=112 ή x=112:15=7,47 τόνοι περίπου ήταν η παραγωγή από το χωράφι

του γείτονα, που θα πάρει όμως το 15%, δηλαδή 15100

7 47⋅ =, 1,12 τόνους. Ο ίδιος ο γεωργός

θα πάρει 14 – 1,12= 12,88 τόνους.

7) α) Τα ποσά ωμό κρέας και ψημένο κρέας είναι ανάλογα. Η απώλεια σε κιλά είναι 2,5–1,9=0,6 κιλά.2 50 6

100,,

=x

ή 2,5x=100∙0,6 ή 2,5x=60 ή x=60:2,5=24%.

β) 2 51 9,,

= x2,3

ή 1,9x=2,5∙2,3 ή

1,9x=5,75 ή x=5,75:1,9=3,026 κιλά περίπου.

8) Μηνιαία κάρταΠριν την αύξηση 100 12 €Μετά την αύξηση 175 x €

100175

12=x

ή 100x=12∙175 ή 100x=2100 ή x=2100:100=21 €.

ΕισιτήριοΠριν την αύξηση 100 0,7 €Μετά την αύξηση 150 x €

100150

0 7= ,x

ή 100x=0,7∙150 ή 100x=105 ή x=105:100=1,05 €. Ο εργαζόμενος παίρνει 20∙2=40

φορές το λεωφορείο το μήνα, οπότε θα πληρώνει 40∙1,05=42 €. Άρα τον συμφέρει η κάρτα.

Έκταση σε στρέμματα 15 8Καλαμπόκι σε τόνους 14 x

Ωμό κρέας (kg) 2,5 100Απώλεια (kg) 0,6 x

Ωμό κρέας (kg) 2,5 xΨημένο κρέας (kg) 1,9 2,3


30

9) Τα ποσά κεφάλαιο και τόκος είναι ανάλογα. Ονομάζουμε x το αρχικό κεφάλαιο.

Κεφάλαιο x 100 €Τόκος 1.000 € 10 €

x1000

= 10010

ή x=10∙1000=10.000 €.

Αφού το επιτόκιο μειώθηκε κατά 20%, μειώθηκε 20100

10⋅ =2% και έγινε 10% - 2%=8%. Με αυτό

το επιτόκιο ο τόκος θα είναι 10 0008

100. ⋅ =800 €.

Έστω ω το κεφάλαιο που πρέπει να έχουμε για να πάρου-με τόκο 1.000 € όταν το επιτόκιο είναι 8%, τότε

1008 1000

= ω ή 8ω=100∙1000 ή 8ω=100.000 ή ω=100.000:8=12.500 €. Άρα το κεφάλαιό μας

πρέπει να αυξηθεί κατά 12.500 – 10.000=2.500 €, δηλαδή 2 50010 0 00

25100

..

= =25%.

10) Αν x το ποσοστό % των οικογενειών με 0 παιδιά, έχουμε

200100

10=x

ή 200x=10∙100 ή 200x=1.000 ή

x=1.000:200 ή x=5%.

Με παρόμοιο τρόπο συμπληρώνουμε τον υπόλοιπο πίνακα.Με 1 παιδί Με 2 παιδιά Με 3 παιδιά Με 4 παιδιά Πάνω από 4 παιδιά

Οικογένειες 40 80 50 15 5Ποσοστά 20% 40% 25% 7,5% 2,5%

Α.6.6. Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

1) α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Σ στ) Λ

2) α) διαιρείται δια του 2 β) καμπύλη που ονομάζεται υπερβολή.

3) Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών τους είναι σταθερό.

α) Ναι, γιατί x∙y=2 β) Ναι, γιατί x∙y=2,5 γ) Όχι, γιατί 1

100100⋅ ≠4∙1 δ) Όχι, γιατί 3∙9≠6∙5.

4) α) Θα πρέπει το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών να είναι πάντοτε ίσο με 1∙3,5=3,5.

x 0,2 0,5 0,7 1 1,4 2 2,3 3

y 17,5 7 5 3,5 2,5 1,75 1,52 1,16

x 4 10 12

y 0,875 0,35 0,29

Κεφάλαιο 100 ωΤόκος 8 1.000

Σύνολο Με 0 παιδιάΟικογένειες 200 10Ποσοστό 100% x


31

β)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

x

5) Τα ποσά αριθμός εργατών και ημέρες εργασίας είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Εργάτες 20 xΗμέρες 10 8

8∙x=20∙10 ή 8x=200 ή x=200:8 ή x=25. Θα χρειαστούν 25 εργάτες.

6) Επειδή τα ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα, αν με x ονομάσουμε τον αριθμό από τα καφάσια των 20 kg, έχουμε ότι 20∙x=50∙12 ή 20x=600 ή x=600:20=30. Άρα θα χρειαστούν 30 καφάσια των 20 kg. Τα 50 καφάσια των 12 kg στοιχίζουν 50∙0,28=14 € και τα 30 καφάσια των 20 kg στοιχίζουν 30∙0,46=13,8 €. Άρα συμφέρει η συσκευασία των 20 kg.

7) Όταν το κρύο δυναμώνει η ημερήσια κατανάλωση αυξάνεται σε 20100

80⋅ =1600100

=16 lt, δηλαδή είναι

80+16=96 lt. Τα ποσά ημερήσια κατανάλωση και αριθμός ημερών είναι αντιστρόφως ανάλογα.

Ημερήσια κατανάλωση (lt) 80 96Ημέρες 30 x

96∙x=80∙30 ή 96x=2400 ή x=2400:96=25 ημέρες.


Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους

1) Σ 2) Λ 3) Σ 4) Σ 5) Λ 6) Λ 7) Λ

Β. Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

1) λόγος 2) κλίμακα 3) πενταπλασιάζεται 4) συντελεστής αναλογίας 5) ευθεία που περνάει από το σημείο Ο(0,0)


32

6) Συμπληρώνουμε τα κενά ώστε τα πηλίκα των αντιστοίχων τιμών να ισούται με 15:4=3,75.x 2 4 8 15 16y 7,5 15 30 56,25 60

7) αντιστρόφως ανάλογα8) Συμπληρώνουμε τα κενά ώστε τα γινόμενα των αντιστοίχων τιμών να ισούται με 2∙8=16.

x 2 1 0,5 4 8y 8 16 32 4 2

9) Δεν είναι σχέση αναλογίας αφού

12

23

≠ . y=x+1.

Είναι σχέση αναλογίας αφού 1

1 532

4 53,,= = με α=

yx

= 23

. Άρα y=23

x.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7Ο – Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί

Α.7.1. Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) –Η ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου

1) α) θετικοί, αρνητικοί β) ομόσημοι, ετερόσημοι γ) θετικοί, αρνητικοί.

2) Θετικοί αριθμοί: +5, +8, 7, 18. Αρνητικοί αριθμοί: – 3,1 , – 20 , – 3.

3) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ

4) α) ομόσημοι β) Επειδή το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός δεν μπορούμε να αποφασίσουμε γ) ομόσημοι δ) ομόσημοι ε) ετερόσημοι στ) ετερόσημοι ζ) ομόσημοι η) ετερόσημοι θ) όπως στο β) δεν μπορούμε να αποφασίσουμε ι) ομόσημοι.

5) α) +50.000 β) -78.000 γ) +500 δ) -1 ε) -30

6) ΜΥΣΤΙΚΟ

7) α) Προσθέτουμε τις αποστάσεις των Α και Β από το Ο, δηλαδή 5+8=13 και διαιρούμε δια του 2, 13:2=6,5. Άρα η τετμημένη του μέσου Μ είναι +6,5.

β) Προσθέτουμε τις αποστάσεις των Α και Β από το Ο, δηλαδή 4+13=17 και διαιρούμε δια του 2, 17:2=8,5. Άρα η τετμημένη του μέσου Μ είναι -8,5.

Α.7.2. Απόλυτη τιμή ρητού – Αντίθετοι ρητοί – Σύγκριση ρητών

1) α) απόλυτη τιμή, μη αρνητικός (θετικός ή μηδέν)β) αντίθετοι γ) αρνητικός, +6 ή –6 δ) μικρότερη ε) μικρότερη.

x 1 2 3y 2 3 4

x 1,5 3 4,5y 1 2 3


33

2)

Αριθμός –2,73 +7,66 –1,05 0 +8,07 –8Απόσταση του σημείου που αντι-στοιχεί από την αρχή του άξονα

2,73 7,66 1,05 0 8,07 8

3) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ

4) α) + =7 25 7 25, , β) − =2 5 2 5, , γ) + =16 16 δ) − =20 05 20 05, , ε) − =58 58

5) α) –100, +100 β) –21,7 , +21,7 γ) 0 δ) –7,03 , +7,03 ε) –5,2 , +5,2

6) Αριθμός +1 +2 –2 –19 +8 –12 +7 –7Αντίθετος –1 –2 +2 +19 –8 12 –7 +7Απόλυτη τιμή 1 2 2 19 8 12 7 7

7) Συμμετρικά ως προς την αρχή του άξονα είναι τα σημεία με τετμημένες –3 και +3, αφού − = + =3 3 3 και τα σημεία με τετμημένες –9 και +9, αφού − = + =9 9 9 .

8) x΄ O

70

χ

6050403020100-10-20-30-40-50-60-70

-69

-68,25 -20,5 +43

-39,75 +15 +52,25 +70

9) α) +41>+38 β) 9<11 γ) –3<–2 δ) –9>–16 ε) 7>–8 στ) 0>–3 ζ) 0<+4

10) α) 11 11 11 11 11 11> − = − <, , β) − < + = − <3 3 3 3 3 3, , . Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός

ενώ ένας αρνητικός αριθμός είναι μικρότερος από την απόλυτη τιμή του.

11) − < − < − < − < − < < + < + < +10 8 4 3 2 0 5 7 15

12) α) > β) < γ) > δ) > ε) = στ) = ζ) = η) > θ) > ι) >

13) α) − − − −12 11 10 9, , , β) Για καμία τιμή του x γ) − + + + +1 0 1 2 3 4, , , , ,

Α.7.3. Πρόσθεση ρητών αριθμών

1) α) Λ β) Λ, (+7)+(–10)= –3 γ) Σ δ) Λ, (+5)+(–1)=+4 ε) Σ

2) α) +10,2 β) +9,1 γ) +100 δ) +14 ε) +16 στ) –6 ζ) –6,5 η) –12 θ) –15 ι) –20

3) α) –2,1 β) +0,96 γ) +94,6 δ) +8,8 ε) –1,5 στ) +1 ζ) +3,9 η) +2,3 θ) +4,5 ι) +7,4


34

4) + +4 –8 –11 +17–5 –1 –13 –16 +12+9 +13 +1 –2 +26–4 0 –12 –15 +13–21 –17 –29 –32 –4

5) α) (+6)+(–8)= –2 β) (+5)+(–5)=0 γ) (+7)+(+9)= +16 δ) (–9)+(–8)= –17 ε) (+6)+(+5)= +11

6) Το πρώτο τετράγωνο είναι μαγικό αφού το άθροισμα των γραμμών, των στηλών και των διαγωνίων του είναι ίσο με 0. Το δεύτερο δεν είναι, γιατί αν για παράδειγμα αθροίσουμε τους αριθμούς της 1ης γραμμής θα βρούμε (+1,1)+(+2,4)+(–2,5)=1 και αν αθροίσουμε τους αριθμούς της 1ης διαγωνίου θα βρούμε (+1,1)+(+3,5)+(+5,9)=10,5.

7) α) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )− + − + + + + = − + + =3 8 5 4 2 8 8 2 9 2 11 +1,8β) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )− + − + − + + + + +3 5 9 99 15 75 2 5 20 75 9 99 =( , ) ( , )− + + = +19 25 23 25 4

8) α) +

+ −

+ −

= + + − + − = + − = −44

33

1313

1 1 1 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )

β) −

+ +

+ −

= −

47

35

135

2035

5 7 1

+ +

+ −

=2135

135

−

+ −

+ +

= −

+ +

2035

135

2135

2135

2135

== 0

Α.7.4. Αφαίρεση ρητών αριθμών

1) α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Σ στ) Λ ζ) Σ

2) α) 5 7 5 7 12− − = + =( ) β) − − + = − + − = −8 8 8 8 16( ) ( )γ) − − − = − + + = −2 15 2 2 15 2 13 2( , ) ( , ) , δ) 14,55 − = −18 45 3 9, , ε) 0

3) α) 3+2+9=14 β) 20+10 –10=20 γ) 3–2+5–6=0

4) α) ( + − + + + = + + − + + = + + + + − = + + − = +5 3 8 5 3 8 5 8 3 13 3 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00β) (–25)+(– 4)–(–10)= (–25)+(– 4)+(+10)=(–29)+(+10)= –19 γ) (+12)+(+2)–(–8)=(+12)+(+2)+(+8)= +22

5) α β α+β α–β +3 –8 –5 +11+18 –8 +10 +26–2 –5 –7 +3–9 +15 +6 –24


35

6) α) x=(–18)–(–8) ή x=(–18)+(+8) ή x= –10 β) x=(–14)–(+12) ή x= (–14)+(–12) ή x= –26

γ) x = −78

54

2

ή x78

= − 108

ή x = − 38

δ) x = +254

ή x = +

21

54

4

ή x = + =84

54

134

7)

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί των δύο τελευταίων στηλών είναι αντίθετοι.

8) 1ος τρόπος. πράξεις μέσα στις παρενθέσεις.2ος τρόπος. απαλοιφή παρενθέσεων και στη συνέχεια πράξεις.α) 1ος τρόπος. 11–10+5–13=11+5–10–13=16–23= –7.

2ος τρόπος. 11–12+2+10–5–8–5=11+2+10–12–5–8–5=23–30= –7.β) 1ος τρόπος. –11,1+14,8–(–3,7)= –11,1+14,8+(+3,7)=–11,1+18,5= +7,4.

2ος τρόπος. –13,7+2,6+14,8+8,7–5= –13,7–5+2,6+14,8+8,7= –18,7+26,1= +7,4.

γ) 1ος τρόπος. 16

24

712

56

16

12

712

1012

2

− −

− +

= − −

− +

=

=

16

12

1712

212

612

1712

812

1712

912

34

2 6

+ +

− = + − = − = − = − .

2ος τρόπος.

16

34

54

712

56

212

912

1512

712

1012

2 3 3 2

− + − − = − + − − =

= + − − − = + − = − = −212

1512

912

712

1012

1712

2612

912

34

.

9) x 3,5 2 1,89 − 1

4

y –1,5 4,3 –4,78 − 14

z –2 –2,3 3,11 1

x+y+z 0 4 0,2212

x–y–z 7 0 3,56 –1

A.7.5. Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

1) α) + β) – γ) μεταβάλλεται δ) 1 ε) αρνητικών

α β α–β β–α7 3 4 –4

234

314

− 12

+12

–5,55 –2,45 –3,1 +3,13 –2,1 +5,1 –5,1


36

2) α) +1 β) +30 γ) +0,6 δ) 0 ε) –20015 στ) –725 ζ) − 310

3) Εφαρμόζουμε κάθε φορά την επιμεριστική ιδιότητα.α) –5∙27+2∙27=(–5+2)∙27= –3∙27= –81β) 10,35(–25)+9,65(–25)= (10,35+9,65)(–25)=20∙(–25)= –500

γ) − − + −

+ = − − + = − − = + ⋅

=67

1067

367

10 367

767

7 6( ) ( ) ( ) ( )

4) • –1 − 1

20 +2 +3

–2 +2 +1 0 –4 –6–3,2 +3,2 +1,6 0 –6,4 –9,6

+ 32

− 32

− 34

0 +3 + 92

+10 –10 –5 0 +20 +30

5) α) –7(2–5)= –7(–3)= +21

β) 0 25 0 0514

12

18

0 228

48

18

2 4

, , ,−( ) ⋅ − + −

= ⋅ − + −

=

= ⋅ −

= ⋅ =0 228

18

0 218

, , 0,2∙0,125=0,025

γ) − − −

= − − −

= − − ⋅ = − − = −10 612

13

10 636

26

10 616

10 1

3 2

111

6) α) (5+α)(2+β)=5∙2+5∙β+α∙2+α∙β=10+5β+2α+αββ) (α+7)(α–7)=α∙α–α∙7+7∙α–7∙7=α2+7α–7α–49=α2–49γ) (α–3)(β–3)=α∙β–α∙3–3∙β+3∙3=αβ–3α–3β+9δ) (γ+8)(δ+5)=γ∙δ+γ∙5+8∙δ+8∙5=γδ+5γ+8δ+40

7) α) +(1∙1)= +1 β) –(1∙1∙1)= –1 γ) +(1∙1∙1∙1)= +1

8) Α=(3–1)(3+1)(3–2)(3+2)=2∙4∙1∙5=40Β=2∙(2–3)(2+3)(2–5)(2+5)=2∙(–1)∙5∙(–3)∙7= +210Γ=0,5(2∙0,5–1)(3∙0,5+1)(4∙0,5–2)(0,5+2)(0,5–2)= =0,5(1–1)(1,5+1)(2–2)∙2,5∙(–1,5)=0,5∙0∙2,5∙0∙2,5∙(–1,5)=0

9) 1η γραμμή: Α=xyz= –2∙0,5∙(+1)= –1. Β=yxω=0,5∙(–2)(–3)=0,5∙6=3. Γ=xΑ–Β=(–2)(–1)–3=+2–3= –1. ΑΒ+Γ=(–1)3+(–1)= –3–1= –4.


37

2η γραμμή: Α=xyz= −

⋅ ⋅ − = − ⋅ − = +12

6 4 3 4 12( ) ( ) .

Β=yxω=( ) ( , ) ( , ) , .+ ⋅ −

⋅ − = + ⋅ =612

0 3 3 0 3 0 9

Γ=xΑ–Β= −

⋅ + − = − − = −12

12 0 9 6 0 9 6 9( ) , , , .

ΑΒ+Γ=12∙0,9+(–6,9)=10,8–6,9=3,9.

3η γραμμή: Α=xyz=( ) , , , .− ⋅ +

⋅ ⋅ = − ⋅ = −232

0 2 3 0 2 0 6

Β=yxω= +

⋅ − ⋅ − = − − = +32

2 7 3 7 21( ) ( ) ( )( ) .

Γ=xΑ–Β=(–2)(–0,6)–(+21)=1,2–21= –19,8. ΑΒ+Γ=(–0,6)(+21)+(–19,8)= –12,6–19,8= –32,4.

Συμπληρώνουμε τώρα τον πίνακα.x y z ω Α Β Γ ΑΒ+Γ–2 0,5 +1 –3 –1 3 –1 –4

− 12

+6 –4 –0,3 +12 0,9 –6,9 3,9

–2 + 32

0,2 –7 –0,6 21 –19,8 –32,4

Α.7.6. Διαίρεση ρητών αριθμών

1) α) + β) – γ) διαιρετέο , διαιρέτη δ) λόγος.

2) α) +(15,15:3)= +5,05 β) +(4,5:1,5)= +3 γ) –(81:0,9)=–90 δ) –(49:7)= –7

3) x y x+y x–y xy x:y−73

56−

− 196

− 32

3518

4215

145

=

1,7 2,3 4 –0,6 3,911723

− 45

–1 − 95

+ 15

45

45

4) α) 10

0 2510 0 25 40

,: ,= = β)

−−

= + =0 750 5

0 75 0 5 1 5,,

( , : , ) ,

γ) −

− + −= −

−= + =120

12 812020

120 20 6( ) ( )

( : )

δ) −

−

= −

−

= +

=315

223

165

83

165

83

1: : :

665

38

⋅ = 4840

65

= .


38

5) α) x=74:(–3)= − 743

β) x=(–49):(–0,14)= +350

γ) x=12:(–2)= –6 δ) x= −

46

23

: ή x= −

46

23

: ή x= − ⋅

46

32

ή x= − = −1212

1

6) α) − + −

− −

= − − + = − + = − + =13

26

1215

13

13

45

23

45

1015

1215

5 3

− + =10 1215

215

β) − − − −−

= − ⋅ ⋅ = − = −( )( )( )2 5 110

2 5 110

1010

1

γ) − −

−

−

= − +

−

= − +

73

53

32

73

53

32

7 53

: : :: :−

= −

−

= + ⋅

=32

23

32

23

23

49

7) 87

64

158

8 2789

78

158

88⋅ − −−

− + − ⋅ −

= −

− +( ) ( ) ( ) 22789

⋅ =

= −

− + ⋅ = − − + ⋅88

8 2789

1 8 3 83

( ) ( )( ) =8+24=32

Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών

1) α) –(15:10)= –1,5 β) 5:8=0,625 γ) 13:14=0 9285714,δ) 20:11= 1 81, ε) 32:31= 1 032258064516129,

2) α) 5792100

5792:4100:4

= = 144825

β) Αν x=2, 8 έχουμε x=2,8888... ή 10x=28,888... ή 10x=28+0,888...

ή 10x=28+(2,888...–2) ή 10x=28+(2, 8 –2) ή 10x=28+x–2 ή 10x–x=26 ή 9x=26 ή x = 269

.

γ) Αν x=3 83, έχουμε x=3,838383... ή 100x=383,8383... ή 100x=383+0,8383... ή

100x=383+(3,838383... –3) ή 100x=383+x–3 ή 100x–x=380 ή 99x=380 ή x = 38099

.

δ) Αν x=7 4561, έχουμε x=7,4561561561... ή 10.000x=74.561,561561... ή 10.000x=74.561+0,561561... Αλλά x=7,4561561561... ή 10x=74,561561... ή 10x=74+0,561561... Οπότε 10.000x–10x=(74.561+0,561561...)–( 74+0,561561...) ή 9.990x=74.561+0,561561... – 74–0,561561... ή 9.990x=74.561–74 ή 9.990x=74.487 ή

x=744879990

=74487 39990 3

248293330

::

= .

ε) Αν x=15,399 έχουμε x=15,39999... ή 100x=1.539,999... ή 100x=1.539+0,999... Αλλά x=15,39999... ή 10x=153,999... ή 10x=153+0,999... Οπότε 100x–10x=(1.539+0,999...) – (153+0,999...) ή 90x=1.539+0,999... –153–0,999... ή

90x=1.539–153 ή 90x=1.386 ή x=138690

1386 1890 18

775

= =::

.

3) α) 3 β) 7,7 γ) 7,326


39

Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

1) α) θετικός β) άρτιο γ) αρνητικό δ) άθροισμα ε) τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. στ) κάθε παράγοντα ζ) κάθε όρο η) γινόμενο

2) 3+52 (3+5)2 3∙52 (3∙5)2 3–52 (3–5)2

35

2 35

2

Άθροισματων 3 και

52

Τετράγωνο του

αθροίσματος 3 και 5

Γινόμενο των 3 και

52

Τετράγωνο του

γινομένου 3 επί 5

Διαφοράτων 3 και

52

Τετράγωνο της διαφοράς του 3 πλην 5

Πηλίκο των 32 και 5

Τετράγωνοτου πηλίκου

3 δια 5

28 64 75 225 –22 4 1,8 0,36

3) Α=( ) ( ) ( ) ( )− + + − + + − = + + − = −1 1 1 1 1 0 0 1 10 0

.

Β=32∙625–25∙1.024+87,5∙64=20.000–25.600+5.600= –5.600+5.600=0.

Γ= − −

−−

+−

= − − − − + −63

84

105

2 2 25 4 3

5 4 3( ) ( ) ( ) =–(–32)–(+16)+(–8)= +32–16–8=16–8=8.

Α.7.9. Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο

1) 1η γραμμή. (α+β)2=12

21

12

42

32

94

2 22 2

−

= −

= −

=

. (αβ)2=12

21

1 12

2⋅

= = .

αβ

= −

= −

=2

2

21221

14

116

.

( )− = −

= −

= =−−

α 22 2

212

21

2 4.

( ) ( )γβ −− −

= − −

=

=11 1

215

25

52

.

2η γραμμή. (α+β)2= − −

= − −

= −

=11

12

22

12

32

94

2 2 2

.

(αβ)2= −( ) ⋅ −

=

=112

12

14

2 2

. αβ

=

−

−

=

=2

2

21

11

2

21

4.

( )− = −( ) =− −α 2 21 1. ( )γβ −

− −

= −

⋅

= −

= −11 11

232

34

43

.


40

3η γραμμή. (α+β)2=(10–10)2=02=0. (αβ)2=[10∙(–10)]2=(–100)2=10.000.

αβ

=

−

= −( ) =2 2

21010

1 1. ( ) ,− = −( ) = −

= =− −α 2 22

101

101

1000 01.

( ) ( ) , ( , )γβ − − −−

= − ⋅[ ] = − = −

= −1 1 11

10 0 01 0 11

1010 .

Συμπληρώνουμε τώρα τον πίνακα.

(α+β)2 (αβ)2 αβ

2

( )− −α 2 ( )γβ −1

1η γραμμή94

11

164

52

2η γραμμή94

14

4 1 − 43

3η γραμμή 0 10.000 1 0,01 –10

2) Α=(–1)+1+(–1)+1+(–1)+1=0+0+0=0.Β=(–2)10(–3)-4+[(23,5)2(23,5)-2]5=210(–3)-4+[(23,5)2-2]5=

= 21

31

102481

1102481

8181

110581

104

5⋅ + = + = + = .

Γ=−

+−

−−

=− − −6

121632

510

5 4 3 −

+ −

− −

126

3216

105

5 4 3

=( ) ( ) ( )− + − − −2 2 25 4 3 =

= –32+16–(–8)= –16+8= –8.

3) Το 1

1010 1= − είναι δύναμη του 10. Το 103∙5∙2=103∙10=104 είναι δύναμη του 10. Το

110

1033= −

είναι δύναμη του 10. Το 103+102=1.000+100=1.100 δεν είναι δύναμη του 10.

4) 1η στήλη. x=10–3 , x–3=(10–3)–3=109 , x3=(10–3)3=10–9, x–1=(10–3)–1=103.2η στήλη. x=10–2 , x–3=(10–2)–3=106 , x3=(10–2)3=10–6, x–1=(10–2)–1=102.3η στήλη. x=10–1 , x–3=(10–1)–3=103 , x3=(10–1)3=10–3, x–1=(10–1)–1=10.4η στήλη. x= –10 , x–3=(–10)–3 , x3=(–10)3= –103, x–1=(–10)–1= –10.5η στήλη. x= –100=–102 , x–3=(–102)–3= –10–6 , x3=(–102)3= –106 , x–1=(–102)–1= –10–2.

6η στήλη. x= 2∙104 , x–3=(2∙104)–3= 2–3∙104∙(–3) =18

∙10–12 , x3=(2∙104)3= 23∙104∙3 =8∙1012 ,

x–1= (2∙104)–1= 2–1∙104∙(–1) =12

∙10–4.

7η στήλη. x= 5∙10–3 , x–3=(5∙10–3)–3= 5–3∙10(–3)∙(–3) =153 ∙109=

1125

109⋅ ,

x3=(5∙10–3)3= 53∙10–9 =125∙10–9 , x–1= (5∙10–3)–1= 5–1∙103 =15

∙103.

8η στήλη. x=12

, x−−

=

= =33

312

2 8 , x331

218

=

= , x−−

=

= =11

112

2 2 .


41

9η στήλη. x=32

, x−−

=

=

=33 33

223

827

, x333

2278

=

= , x−−

=

=113

223

.

10η στήλη. x= − 15

, x−−

= −

= −

= −33 31

551

125, x331

51

125= −

= − , x−−

= −

= −111

55.

5) • 10–3 10–2 10–1 100 101 102 103

10–3 10–6 10–5 10–4 10–3 10–2 10–1 110–2 10–5 10–4 10–3 10–2 10–1 1 1010–1 10–4 10–3 10–2 10–1 1 10 102

100 10–3 10–2 10–1 1 10 102 103

101 10–2 10–1 1 10 102 103 104

102 10–1 1 10 102 103 104 105

103 1 10 102 103 104 105 106

Α.7.10. Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών

1) α) 3,844∙108 m β) 4,5∙109 έτη γ) 1,496∙108 km

2) To 1 gr υδρογόνου περιέχει 1

1 67 101

1 671

100 5988 10 0 5988 10 1027 27

27 26

, ,, ,

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅− − =

=5,988∙1026, δηλαδή περίπου 6∙1026 άτομα.

3) α) 10–14 cm β) 9,7∙10–23 gr


Α. Ασκήσεις Σωστού ή Λάθους

1) Σ 2) Λ 3) Λ 4) Λ 5) Σ 6) Σ 7) Λ 8) Σ 9) Λ 10) Σ

Β. Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού

1) α) + , – , – , + β) – , – , + , – γ) + , – , – , + δ) – , + , – , –2) Ε>Γ>Α>Β>Δ3) α) 1 2 3 4 49 50

1 1 1

+ − + + − + + + − =− − −

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( )− + − + + −1 1 125

=25(–1)= –25.

β) 1 2 3 4 197 198 1991 1 1

+ − + + − + + + − + =− − −

( ) ( ) ... ( )

=( ) ( ) ... ( ) ( )− + − + + − + = ⋅ − + = − +1 1 1 199 99 1 199 99 19999

=100.

προσθετέοι

προσθετέοι


42

4) ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ

5) α) 3 τρόποι: (–6,5)∙3,5= –22,75, (–6,5)∙(–4,5)=29,25, (–4,5)∙3,5= –15,75. β) Ο αριθμός 15,75.

6) –27.000

–300 90

–20 15 6

4 –5 –3 –2

7) 1 –1 2 –2 0,5 –8 –3 5 –0,2 –1–1 –2 –1 –4 –15 –1 0,2

2 4 15 –0,2–3

Γ. Ασκήσεις αντιστοίχησης

α) • (+14)+(–17)= –3 → (–22)+(+19)• (–12)+(–8)= –20 → (+3)+(–23)• (+11)+(–9)=2 → (–19)+(+21)• (–5)+(+25)=20 → (+37)+(–17)• (–16)+(+16)=0 → (+11)+(–11)

β) • (+13)–(–18)=31 → (–2)–(–33)• (+11)–(+3)=8 → (+17)–(+9)• (–5)–(+25)= –30 → (–37)–(–7)• (–16)–(–16)=0 → (+13)–(+13)• (–12)–(–8)= –4 → (+3)–(+7)

γ) • (–2)∙0,5∙9∙10= –90• 2∙5(–0,9)(–10)=90• 2(–5)(–9)(–10)= –900• –2∙5∙9(–10)=900• 0,2(–5)(–0,9)∙10=9


43

Μέρος Β΄ Γεωμετρία

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο – Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα–Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο

1) α) άπειρα εσωτερικά β) ευθεία γ) ημιευθεία δ) αντικείμενες ε) επίπεδο

2) α) Τα ευθύγραμμα τμήματα είναι: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΑΓ, ΒΔ.

∆ Γ

ΒΑ

β) Τα ευθύγραμμα τμήματα είναι: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΕ.

Ε

∆Γ

Β

Α

γ) Τα ευθύγραμμα τμήματα είναι: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΖ, ΖΑ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΔ, ΒΕ, ΒΖ, ΓΕ, ΓΖ, ΔΖ.

Α Β

∆E

Z Γ

3) Τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος είναι: ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ, ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ, ΓΔ.

4) Με αρχή το Α έχουμε τις αντικείμενες ημιευθείες Αx και Αx΄.Με αρχή το Β έχουμε τις αντικείμενες ημιευθείες Βx και Βx΄.

5) Η αντικείμενη ημιευθεία της ΑΒx είναι η Αx΄, η αντικείμενη ημιευθεία της ΒΓy είναι η Βy΄, η αντικείμενη ημιευθεία της ΓΑz είναι η Γz΄.

x

x΄

y

Γ

Β

Αz

z΄

y΄


44

Β.1.2. Γωνία – Γραμμή – Επίπεδα σχήματα – Ευθύγραμμα σχήματα – Ίσα σχήματα

1) α) ΑΒΓ β) ΑΚΖ ή ΖΚΑ ΒΚΑ, ή ΑΚΒ ΗΚΒ, ή ΒΚΗ ΗΚΖ, ή ΖΚΗ

γ) ΒΑΓ ή ΓΑΒ ΓΑΔ, ή ΔΑΓ ΒΑΔ, ή ΔΑΒ δ) ΑΒΓ ή ΓΒΑ ΒΑΓ, ή ΓΑΒ ΑΓΔ, ή ΔΓΑ .

2) α) Η γωνία Β β) Η πλευρά ΑΒ γ) Οι γωνίες Α και Γ . 3) xOy

4) α) Οι γωνίες Β και Γ β) Η γωνία Γ .

5) α) ΚΟΡΥΦΕΣ ΠΛΕΥΡΕΣΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

ΓΩΝΙΑ X XΤΡΙΓΩΝΟ X X

ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟ X XΠΕΝΤΑΠΛΕΥΡΟ X X

β) 2 σημεία → 1 ευθεία, 3 σημεία → 3 ευθείες, 4 σημεία → 6 ευθείες, 5 σημεία → 10 ευθείες, 6 σημεία → 15 ευθείες.

Β.1.3. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων –Απόσταση σημείων – Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

1) α) απόσταση β) απέχει εξίσου 2) μία μόνο ευθεία

3) 25 cm=25:100=0,25 m. Πουλήθηκαν συνολικά 3,5+0,25+7,95+3,74 m=15,44 m, οπότε περίσσεψαν 65–15,44=49,56 m ύφασμα.

4) Το εμπορικό κέντρο της Αθήνας έχει περίμετρο 619+271+205=1.095 m. Επειδή 75 cm=75:100=0,75 m, ο πεζός θα κάνει 1.095:0,75=1.460 βήματα.

5) Η περίμετρος του αγρού είναι 4∙15,3=61,2 m. Επειδή 3 dm=3:10=0,3 m και 18 cm=18:100=0,18 m, το συρματόπλεγμα έχει μήκος 60+0,3+0,18=60,48 m, οπότε είναι αρκετό για τη περίφραξη του αγρού.

6) Ακτίνα σε m σε kmΑΦΡΟΔΙΤΗ 6.085.000 6.085

ΓΗ 6.378.000 6.378ΑΡΗΣ 3.750.000 3.750ΔΙΑΣ 71.400.000 71.400


45

AB BΓ ΓΔ ΔΕ ΕΑ Περίμετροςcm 517 420 84 1250 76 2347dm 51,7 42 8,4 125 7,6 234,7m 5,17 4,2 0,84 12,50 0,76 23,47

8) Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε τρία σημεία Κ, Λ και Μ καθένα από τα οποία απέχει 2,7 cm από το Α.

2,5 cm

A

Μ

Λ

K

2,5 cm

2,5

cm

9) Με το διαβήτη ή το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι: α) ΑΓ>ΑΔ β) ΑΒ=ΑΔ

10) ΑΓ=ΑΒ+ΒΓ=2,5+3=5,5 cm. ΒΔ=ΒΓ+ΓΔ=3+2,5=5,5 cm. Άρα ΑΓ=ΒΔ.

11) Το μέσο Ο απέχει 4,2 cm και από το άλλο άκρο Β, οπότε ΑΒ=ΑΟ+ΟΒ=4,2+4,2=8,4 cm.

12) Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ένα σημείο Μ ώστε ΜΑ=3,3 cm. Βρίσκουμε το μέσο Γ του ΑΒ και χαράζουμε την ευθεία που περνάει από τα σημεία Μ και Γ.

3,5

cm

A Γ Β

Μ

Β.1.4. Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων

1) Με το υποδεκάμετρο μετράμε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και στη συνέχεια βρίσκουμε το άθροισμα ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ που το συγκρίνουμε με το μήκος του ΖΗ.

2) Η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ είναι 3∙2,5=7,5 cm. Στη συνέχεια πάνω στην ημιευθεία ΒΓ παίρνουμε ένα σημείο Ε, ώστε ΒΕ=7,5 cm.

B Γ E2,5 cm 7,5 cm

2,5 cm

A

2,5

cm

7)


46

3) 2 cm=2∙10=20 mm. Το μήκος της τεθλασμένης γραμμής είναι ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΖ=16+9+12+14+20=71 mm.

4) ΑΒ=0,4 m=0,4∙100=40 cm, ΒΓ=3 dm=3∙10=30 cm, ΔΕ=380 mm=380:10=38 cm.Το μήκος της τεθλασμένης γραμμής ABΓΔΕ είναι ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ=40+30+50+38=158 cm.

5) Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε: ΛΜ=ΚΜ – ΚΛ=16–6=10 cm. ΛΝ=ΚΝ – ΚΛ=20–6=14 cm. ΜΝ=ΚΝ – ΚΜ=20–16=4 cm.

6) Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε:α) ΑΔ=ΑΒ+ΒΔ=3+5,5=8,5 cm. β) ΒΓ=ΑΓ – ΑΒ=4,6–3=1,6 cm.γ) ΑΓ+ΓΔ=ΑΔ=(από το α) ερώτημα)=8,5 cm.δ) ΑΔ – ΔΒ=ΑΒ=3 cm.

7) Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε: AB=6:6=1 cm, ΒΓ=6:3=2 cm. ΑΓ=ΑΒ+ΒΓ=1+2=3 cm.ΓΔ=ΑΔ – ΑΓ=6–3=3 cm.

8) Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε: ΒΓ=ΑΒ+4 και ΓΔ=ΒΓ+3=(ΑΒ+4)+3=ΑΒ+7. Παίρνουμε τότε ότι ΑΔ=ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ ή 14=ΑΒ+(ΑΒ+4)+(ΑΒ+7) ή 14=3ΑΒ+11 ή 3ΑΒ=14–11 ή 3ΑΒ=3 ή ΑΒ=1 cm. Οπότε ΒΓ=ΑΒ+4=1+4=5 cm και ΓΔ=ΑΒ+7=1+7=8 cm.

9) ΒΓ=0,5∙2=1 cm, ΑΒ=2,5∙2=5 cm. Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε: ΒΔ=ΑΔ – ΑΒ=5–2=3 cm και ΑΓ=ΑΒ+ΒΓ=2+1=3 cm.

10) Τοποθετούμε τα σημεία και έχουμε: ΑΔ=ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ=2+1+1,5=4,5 cm.ΔΕ=ΑΕ – ΑΔ=6,2–4,5=1,7 cm, οπότε ΓΕ=ΓΔ+ΔΕ=1,5+1,7=3,2 cm.

11) α) Έχουμε τις περιπτώσεις:

1η περίπτωση. Τα σημεία Κ και Λ είναι εσωτερικά του ΑΒ,δηλαδή ανάμεσα στα Α και Β.

4,5 cm

3 cm

3,5 cm

A Λ Κ Β

Τότε ΑΛ=ΑΒ – ΛΒ=4,5–3,5=1 cm και ΚΛ=ΑΚ – ΑΛ=3–1=2 cm.

2η περίπτωση. Τα σημεία Κ και Λ δεν περιέχονται στο ΑΒ. 4,5 cm 3,5 cm3 cm

A ΛΚ Β

Τότε ΚΛ=ΚΑ+ΑΒ+ΒΛ=3+4,5+3,5=11 cm.


47

3η περίπτωση. Το Κ είναι εντός του ΑΒ αλλά το Λ εκτός.

A ΛΚ Β

4,5cm 4,5 cm

3cm

Τότε ΑΛ=ΑΒ+ΒΛ=4,5+3,5=8 cm και ΚΛ=ΑΛ – ΑΚ=8–3=5 cm.

4η περίπτωση. Το Κ είναι εκτός του ΑΒ αλλά το Λ εντός.

A ΛΚ Β

3 cm

3,5 cm

4,5 cm

Τότε ΑΛ=ΑΒ – ΒΛ=4,5–3,5=1 cm και ΚΛ=ΚΑ+ΑΛ=3+1=4 cm.

β) Στη 2η περίπτωση.

γ) Το ΚΛ δεν είναι ποτέ μεγαλύτερο από 11 cm. Είναι μικρότερο από 11 cm στη 1η , 3η και 4η περίπτωση.

Β.1.5. Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών – Διχοτόμος γωνίας

1) Από το άνοιγμα των πλευρών της.

2) Σχεδιάζουμε αρχικά τη γωνία xOy =76ο. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας μοιρογνωμόνιο γράφουμε μια ημιευθεία Οz, ώστε xOy =56ο.

76o

56o

O

y

x

z

3) Σχεδιάζουμε τις γωνίες χρησιμοποιώντας μοιρογνωμόνιο. Για τη μη κυρτή γωνία ω =215ο, σχεδιάζουμε αρχικά μια γωνία με μέτρο 360ο – 215ο =145ο, οπότε η υπόλοιπη γωνία είναι η ζητούμενη. Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε και για τον σχεδιασμό της θ =318ο.

4) Μετράμε με το μοιρογνωμόνιο και βρίσκουμε ότι:α = 45ο, β = 93ο, γ = 323ο, δ = 82ο, ε = 180ο, κ = 324ο, λ = 60ο, µ = 140ο.

5) α δ γ β > > > .


48

6) α) ω ϕ < β) ϕ ρ < γ) ω ρ < δ) ψ κ > ε) ψ λ > στ) ψ µ > ζ) ρ θ > .

7) α) Σχεδιάζουμε τη γωνία των 48ο. Στη συνέχεια γράφουμε από τη κορυφή της ημιευθεία η οποία να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες 48ο:2=24ο η καθεμία.

48o

24o

24o

β) Σχεδιάζουμε τη γωνία των 72ο. Στη συνέχεια γράφουμε από τη κορυφή της ημιευθεία η οποία να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες 72ο:2=36ο η καθεμία.

γ) Σχεδιάζουμε τη γωνία των 144ο. Στη συνέχεια γράφουμε από τη κορυφή της ημιευθεία η οποία να χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες 144ο:2=72ο η καθεμία.

Β.1.6. Είδη γωνιών – Κάθετες ευθείες

1) α) Ορθή β) Πλήρης γωνία

2) Η ευθεία ε είναι κάθετη στην Οx στο σημείο Ο.

χ

ε

Ο

3) Οι ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες στο τμήμα ΑΒ στα σημεία Α και Β.

ε1

ε2

Β

A

4)

A΄ Β Γ΄y

x

A

O

ΒΓ

5) Η ευθεία ε1 είναι κάθετη στην Οx στο Ο και η ευθεία ε2 είναι κάθετη στην Οy στο Ο.

O

ε1 ε2

x

y


49

Παρατηρούμε ότι η γωνία που σχηματίζουν οι ε1 και ε2 είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν οι Οx και Οy.

6) Με τον γνώμονα φέρνουμε κάθετα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ στις ευθείες ΒΓ, ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα.

Z

ΑΕ

Β∆

Γ

7) Οι δύο κάθετες ευθείες στην ε συμπίπτουν μόνο αν τα σημεία Α και Β βρίσκονται στην ίδια κάθετη στην ε. (σχήμα (β)).

σχήμα (α) σχήμα (β)

ε

Β

A

ε

Β

A

8) Πλήρης – Μη κυρτή – Ευθεία – Αμβλεία – Ορθή – Οξεία – Μηδενική.

Β.1.7. Εφεξής και διαδοχικές γωνίες – Άθροισμα γωνιών

1) α) εφεξής β) διαδοχικές

2) Για πρακτικούς λόγους θεωρούμε μόνο τις γωνίες που είναι μεταξύ 0ο και 180ο. Τότε εφεξής είναι οι γωνίες: ΕΑΔ με ΔΑΓ ΔΑΓ , με ΓΑΒ ΑΒΔ , με ΔΒΓ ΒΓΑ , με ΑΓΔ , ΓΔΒ με ΒΔΑ ΒΔΑ , με ΑΔΕ ΕΑΔ , με ΔΑΒ ΕΑΓ , με ΓΑΒ , ΕΔΑ , με ΑΔΓ ΕΔΒ , με ΒΔΓ .Διαδοχικές γωνίες είναι: ΕΑΔ ΔΑΓ ΓΑΒ , , και οι ΓΔΒ ΒΔΑ ΑΔΕ , , .

3) Θεωρούμε μόνο τις γωνίες που είναι μεταξύ 0ο και 180ο. Τότε εφεξής είναι οι γωνίες:ΒΑΕ και ΕΑΔ ΒΔΓ , και ΑΔΒ ΑΒΔ , και ΔΒΓ ΔΕΑ , και ΑΕΒ ΑΕΔ , και ΑΕΒ ΔΒΓ , και ΓΒx κ.λ.π.

4) Θεωρούμε μόνο τις γωνίες που είναι μεταξύ 0ο και 180ο. α) 1) Εφεξής γωνίες με κορυφή το Α είναι οι ΒΑΔ και ΔΑΓ . Με κορυφή το Β είναι οι ΑΒΖ

και ΖΒΔ , με κορυφή το Δ είναι οι ΒΔΑ και ΑΔΓ , με κορυφή το Ζ είναι οι ΑΖΒ και


50

ΒΖΔ , κ.λ.π. Διαδοχικές είναι οι γωνίες που έχουν κορυφή μόνο το Ζ, δηλαδή οι γωνίες ΑΖΒ ΒΖΔ ΔΖΕ ΕΖΑ , , , .

2) Με κορυφή το Α εφεξής είναι οι: ΒΑΓ και ΓΑΔ ΒΑΓ , και ΓΑ ΒΑΔ x, και ΔΑ ΓΑΔ x, καιΔΑx . Διαδοχικές είναι οι ΒΑΓ ΓΑΔ ΔΑ , , x . Όμοια βρίσκουμε και τις υπόλοιπες.

3) Εφεξής είναι οι γωνίες: xOy και yOz xOz , και zOv , yOz και zOv .Διαδοχικές είναι οι γωνίες xOy yOz zOv , , .

4) Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε τις εφεξής και τις διαδοχικές γωνίες του σχήματος.

Β.1.8. Παραπληρωματικές και συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

1) Κατακορυφήν γωνίες

2) Η παραπληρωματικής της θα είναι 180ο – 125ο =55ο.

125o

3) α) οξεία β) ορθή γ) αμβλεία

4) Η συμπληρωματικής της θα είναι 90ο – 35ο =55ο.

35o

5) Με διαφανές χαρτί ή μοιρογνωμόνιο παίρνουμε ότι ΓΟΒ ΔΟΒ = . Πράγματι αυτό ισχύει αφού οι γωνίες αυτές είναι παραπληρωματικές των ίσων γωνιών ΓΟΑ και ΔΟΑ .

6)α 15ο 18ο 43ο 77ο 90ο 116ο 169ο 10΄

β 165ο 162ο 137ο 103ο 90ο 64ο 10ο 50΄


51

7) Οι γωνίες α και 147ο είναι παραπληρωματικές. Άρα α =180ο – 147ο =33ο. Οι γωνίες β και 110ο είναι παραπληρωματικές. Άρα β =180ο – 110ο =70ο.

8)

37o

9) α γ δ β κ µ ν λ − − − −, , , .

10) Οι γωνίες x yΟ και ′ ′x yΟ είναι κατακορυφήν, επομένως ′ ′x yΟ =57ο. Οι γωνίες x yΟ και ′x yΟ είναι παραπληρωματικές,

επομένως ′x yΟ =180ο – 57ο =123ο. Οι γωνίες x yΟ ′ και ′x yΟ

είναι κατακορυφήν, επομένως x yΟ ′ =123ο.57o

O x

y

y΄

x΄

11) Οι γωνίες α και 25ο είναι κατακορυφήν, επομένως α =25ο. Οι γωνίες γ και 90ο είναι κατακορυφήν, επομένως γ =90ο. Οι γωνίες β και α είναι συμπληρωματικές, επομένως β α + =90ο ή β =90ο – 25ο = =65ο. Οι γωνίες δ και β είναι κατακορυφήν, επομένως δ =65ο.

Β.1.9. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο

1) α) παράλληλες β) μία και μοναδική κάθετη ευθεία στην ε γ) παράλληλες

2) α) άπειρες β) θα τέμνονται γ) παράλληλες δ) παράλληλες ε) τεμνόμενες – τομής

3) α) Οι ευθείες ε1, ε2, ε3 είναι παράλληλες. β) Οι ευθείες ε1, ε2 είναι παράλληλες, ενώ η ε3 τις τέμνει.

ε1ε2ε3

ε2

ε3ε1


52

γ) δ)

ε2

ε3

ε1

ε2

ε3

ε1

4)

ε2

Β

Α ε1

5) Φέρνουμε ΑΑ΄ κάθετη στην Οy, ΒΒ΄ κάθετη στην Οy, ΓΓ΄ κάθετη στην Οy και από τα Α,Β,Γ τις ευθείες ε1, ε2 και ε3 κάθετες στα τμήματα ΑΑ΄, ΒΒ΄ και ΓΓ΄ αντίστοιχα.

ε2

ε3

ε1

Α΄

Α

O y

x

Β

Β΄ Γ΄

Γ

6) Οι παράλληλες από τα Α και Β προς την ε συμπίπτουν, όταν τα σημεία Α,Β βρίσκονται στην ίδια ευθεία που είναι παράλληλη προς την ε. (Σχήμα (β)).

ε

Α

Β(α)

Α Β

ε(β)

Β.1.10. Απόσταση σημείου από ευθεία – Απόσταση παραλλήλων

1) α) απόσταση β) απόσταση

2)

ΒΓ ∆ ε

Α

4cm

3cm3cm Βρίσκουμε ότι ΑΓ=ΑΔ.


53

3) Βρίσκουμε ότι ΑΓ<ΑΔ.

4) Βρίσκουμε ότι Α΄Β΄=Β΄Γ΄=1,6 cm.

O

Α

1,6cm

2cm

2cm

2cm

1,6cm 1,6cmΑ΄ Β΄ Γ΄

B

Γx

y

5) Βρίσκουμε τα Α, Β, Γ, Δ που το καθένα απέχει 3,2 cm από την ε. Φέρνουμε από το καθένα από τα σημεία αυτά ευθεία παράλληλη προς την ε. Βλέπουμε ότι οι τέσσερις αυτές ευθείες συμπίπτουν και στο σχήμα φαίνεται μόνο μία ευθεία.

6) Τα σημεία Β, Γ, Δ και Ε ανήκουν στην ευθεία ε.

Κ Ε Ζ Η Θ

Α Β Γ ∆ Ε

Κ΄ Ε΄ Ζ΄ Η΄ Θ΄

ε2

ε

ε1

7) Μετακινούμε τον γνώμονα παράλληλα προς το ΑΒ μέχρι να βρούμε ένα σημείο Γ πάνω στην Αx που να απέχει 3 cm από την ε.

ΑΒ

Γ

χε

2cm

3cm

Α Β Γ ∆

3,2cm

3,2cm

3,2cm

3,2cm

ε


54

Β.1.11. Κύκλος και στοιχεία του κύκλου

1) Με το διαβήτη σχεδιάζουμε τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο το Μ και ακτίνες 2,4 cm, 2 cm και 1,5 cm αντίστοιχα.

2) Η ακτίνα του κύκλου είναι 3,8:2=1,9 cm.

3) Με το διαβήτη σχεδιάζουμε τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο το Μ και ακτίνες 2 cm, 2,5 cm και 2,4 cm αντίστοιχα.

4) Σχεδιάζουμε με το διαβήτη ένα κύκλο με κέντρο Κ και ακτίνα 3,4 cm και παίρνουμε ένα σημείο του Μ. Στη συνέχεια με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε σημεία Α και Β πάνω στον κύκλο, ώστε ΜΑ=2,4 cm και ΜΒ=4,1 cm.

5) α) Τα σημεία του επιπέδου που απέχουν 3 cm από το Α είναι τα σημεία του κύκλου (Α, 3cm).

β) Τα σημεία του επιπέδου που απέχουν 2 cm από το Β είναι τα σημεία του κύκλου (Β, 2cm).

γ) Τα σημεία του επιπέδου που απέχουν 3 cm από το Α και 2 cm από το Β είναι τα σημεία Κ και Λ που τέμνονται οι δύο κύκλοι.

6) Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι ΜΑ=3,2 cm, ΜΒ=3,2 cm, ΝΑ=3,2 cm, ΝΒ=3,2 cm. Άρα ΜΑ=ΜΒ=ΝΑ=ΝΒ.

Α B

M

N

Β.1.12. Επίκεντρη γωνία – Σχέση επίκεντρης γωνίας και του αντίστοιχου τόξου – Μέτρηση τόξου

1) α) 360ο β) 180ο γ) 90ο

2) Το τόξο ΑΓ έχει μέτρο όσο η επίκεντρη γωνία ΑΟΓ , δηλαδή ΑΓ =60ο. Όμοια ΒΔ =60ο. ΑΔ =180ο – 60ο =120ο, οπότε και ΒΓ =120ο. Γ

Α

∆

Β

60ο

Ο

ΒΑ

Λ

K

4cm


55

3) Τα τόξα αυτά δεν είναι ίσα, γιατί ίσες επίκεντρες γωνίες έχουν ίσα και τα αντίστοιχά τους τόξα, μόνο όταν βρίσκονται στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους.

4) Καθένα από τα ίσα τόξα θα έχει μέτρο 360ο:6=60ο, οπότε και καθεμία από τις επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν στα τόξα αυτά θα έχει μέτρο 60ο.

5) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο, οπότε ΑΟΒ =60ο. Άρα και το αντίστοιχό της τόξο ΑΒ =60ο, που είναι το 1/6 του κύκλου.

6) Με το μοιρογνωμόνιο βρίσκουμε ότι Α Β = =70 70ο ο, και Γ = 40ο .

Β.1.13. Θέσεις ευθείας και κύκλου

1) Με κέντρο το σημείο Μ της ε1 γράφουμε κύκλο με ακτίνα 3,6 cm που τέμνει την ευθεία ε2 στα σημεία Α και Β. Τα σημεία αυτά είναι τα ζητούμενα σημεία αφού βρίσκονται πάνω στην ευθεία ε1 και απέχουν 3,6 cm από την ε2.

2) Οι εφαπτόμενες ε1 και ε2 είναι παράλληλες γιατί είναι και οι δύο κάθετες στο ίδιο τμήμα ΑΒ.

ΟΑ

1,8cm 1,8cmΒ

3) α) Δύο κοινά σημεία (η ευθεία τέμνει τον κύκλο).β) Ένα κοινό σημείο (η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου). γ) Κανένα κοινό σημείο (η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου).

4) Η ε2 τέμνει τον κύκλο (Κ, 36mm). Η ε2 είναι εφαπτομένη του κύκλου (Κ, 3,1cm). Η ε2 είναι εξωτερική του κύ-κλου (Κ, 2,1cm).

ε2

ε1

K

A

A

Μ

B

2,5cm

3,6cm 3,6cm

ε2

ε1


56

5) Επειδή ΑΜ=18 mm το σημείο Μ είναι σημείο του κύκλου (Α, 18mm). Η ε είναι κάθετη στην ΑΜ στο σημείο Μ, άρα είναι εφαπτομένη του κύκλου (Α, 18mm). Είναι ΒΜ=40–18=22 mm, οπότε το Μ είναι και σημείο του κύκλου (Β, 22mm) και αφού η ε είναι κάθετη στο ΒΜ στο σημείο Μ, είναι εφαπτομένη του κύκλου.


1) Λ 2) Σ 3) Λ 4) Σ 5) Σ 6) Λ 7) Σ 8) Λ 9) Λ 10) Λ 11) Λ 12) Λ 13) Σ 14) Σ 15) Λ 16) Λ 17) Λ 18) Λ 19) Λ 20) Σ 21) Λ 22) Λ 23) Λ 24) Λ 25) Σ 26) Σ 27) Λ 28) Σ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο – Συμμετρία

Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα

1) Στη 1η περίπτωση παίρνουμε τα συμμετρικά Α΄ και Β΄ των σημείων Α και Β που βρίσκονται πάνω στις πλευρές Οx και Οy αντίστοιχα. Στη συνέχεια χαράζουμε τις ημιευθείες ΟΑ΄ και ΟΒ΄. Σχηματίζεται με αυτό τον τρόπο η γωνία ′ ′x Oy που είναι η συμμετρική της γωνίας xOy ως προς την ευθεία ε.Στη 2η περίπτωση βρίσκουμε το σημείο Ο΄ που είναι συμμετρικό της κορυφής Ο ως προς την ευθεία ε. Στη συνέχεια χαράζουμε τις ημιευθείες Ο΄Α και Ο΄Β. Σχηματίζεται με αυτό τον τρόπο η γωνία ′ ′ ′x O y που είναι η συμμετρική της γωνίας xOy ως προς την ευθεία ε.

1η περίπτωση 2η περίπτωσηΒ A

Β΄ Α΄

χ΄

y΄

ε Λ Κ Α

Β

Ο

ε

x΄

y΄

y

x

O΄

Κ

O

y

x

Β A

Β΄ Α΄

χ΄

y΄

ε Λ Κ Α

Β

Ο

ε

x΄

y΄

y

x

O΄

Κ

O

y

x

2) Βρίσκουμε σε κάθε περίπτωση το συμμετρικό Ο΄ του κέντρου Ο ως προς την ευθεία ε και γράφουμε κύκλο με την ίδια ακτίνα ρ. Ο κύκλος (Ο΄,ρ) είναι συμμετρικός του (Ο,ρ) ως προς την ευθεία ε.

ε εΑ Α Κ

Ο΄

Ο

Β

O΄

O

ρ

AΜ

Β

ε

18mm 22mm


57

3) Βρίσκουμε τα συμμετρικά σημεία Α΄, Β΄ και Γ΄ των κορυφών Α, Β και Γ αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ε. Σχηματίζεται έτσι το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ που είναι συμμετρικό του τριγώνου ΑΒΓ ως προς την ευθεία ε. Τα τρίγωνα Α΄Β΄Γ΄ και ΑΒΓ είναι ίσα αφού τα συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία είναι ίσα.

Κ Λ ε

ε΄

Μ

Γ

Γ΄

Α΄

Β

Β΄

Α

Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για τα σημεία Α΄, Β΄ και Γ΄ ως προς την ευθεία ε΄. Αν Α΄΄, Β΄΄ και Γ΄΄ είναι τα συμμετρικά των Α΄, Β΄ και Γ΄ως προς την ε΄, το τρίγωνο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄ που προκύπτει είναι ίσο τόσο με το Α΄Β΄Γ΄ όσο και με το ΑΒΓ. Το ίδιο θα συμβεί και με τη τρίτη παράλληλη.

Β.2.2. Άξονας συμμετρίας

1) Άπειρους άξονες συμμετρίας

2) Το Α έχει έναν άξονα συμμετρίας. Το Ι και το Θ έχουν δύο άξονες συμμετρίας. Το Γ δεν έχει άξονα συμμετρίας.

3)

4) Το σχήμα που προκύπτει έχει δύο άξονες συμμετρίας: την ευθεία ΑΒ της κοινής χορδής των δύο κύκλων και την ευθεία ΟΚ των κέντρων των δύο κύκλων.

A

O KB


58

5) α) Κάθε ευθεία που διέρχεται από το κοινό κέντρο των δύο κύκλων είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος. (Άπειροι άξονες συμμετρίας).

β) Μόνο η ευθεία που διέρχεται από τα κέντρα των δύο κύκλων είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος.

Β.2.3. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος

1) α) μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος β) μέσο γ) μεσοκάθετος

2) Σχεδιάζουμε τη μεσοκάθετο του ΑΒ και βρίσκουμε το μέσο του Δ. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τις μεσοκάθετες των τμημάτων ΑΔ και ΒΔ και βρίσκουμε τα μέσα τους Ε και Ζ. Τα τμήματα ΑΕ, ΕΔ, ΔΖ, ΖΒ είναι ίσα μεταξύ τους.

A E ∆ Ζ Β

3) Με κανόνα και διαβήτη σχεδιάζουμε τη μεσοκάθετο της ακτίνας ΚΑ του κύκλου που τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Τα σημεία αυτά είναι σημεία του κύκλου και ισαπέχουν από τα άκρα Κ και Λ της ακτίνας του ΚΛ.

4) Με κανόνα και διαβήτη σχεδιάζουμε τη μεσοκάθετο του ΑΒ που τέμνει την καμπύλη γ σε ένα σημείο Γ. Το σημείο αυτό ανήκει στη καμπύλη γ και ως σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ ισαπέχει από τα άκρα-οικισμούς Α και Β. Επομένως η στάση πρέπει να κατασκευαστεί στη θέση Γ.

5) Με κανόνα και διαβήτη σχεδιάζουμε τη μεσοκάθετο του ΑΒ που τέμνει την όχθη του ποταμού σε ένα σημείο M. Το σημείο αυτό είναι το ζητούμενο σημείο.

6) Σχεδιάζουμε τις μεσοκάθετες των τριών πλευρών του. Τα σημεία στα οποία τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου είναι τα μέσα των πλευρών.

A B

Γ

γ

ε

M

Α

Β


59

7) α) Με το διαβήτη ή το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι ΜΑ=ΜΒ. Αυτό συμβαίνει γιατί το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ΑΒ. Επομένως ισαπέχει από τα Α και Β.

β) ΝΑ=ΝΒ για τον ίδιο λόγο.γ) Παρατηρούμε ότι το κέντρο Κ βρίσκεται πάνω στη μεσοκά-

θετο. Αυτό συμβαίνει γιατί ΚΑ=ΚΒ ως ακτίνες του κύκλου, οπότε το Κ ισαπέχει από τα άκρα Α και Β της χορδής ΑΒ. Επομένως θα βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ΑΒ.

8) Οι τρεις μεσοκάθετοι διέρχονται από το κέντρο του κύκλου αφού αυτό ισαπέχει από τα άκρα της κάθε χορδής.

K

ε3

ε1ε2

Ζ

Α

Β

Γ

Ε∆

9) Σχεδιάζουμε τη μεσοκάθετο ζ του τμήματος ΑΒ που τέμνει την ευθεία ε στο σημείο Ζ. Το σημείο Ζ είναι το ζητούμενο σημείο. Z

A

B

ζ

ε

B.2.4. Συμμετρία ως προς σημείο

1) Το τμήμα Μ΄Β΄ είναι συμμετρικό του ΜΒ ως προς το σημείο Α. Τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα επομένως ΜΒ=Μ΄Β΄. Όμοια το τμήμα Μ΄Γ΄ είναι συμμετρικό του ΜΓ ως προς το σημείο Α. Επομένως ΜΓ=Μ΄Γ΄. Αλλά ΜΒ=ΜΓ αφού το Μ είναι μέσο του ΑΒ, οπότε Μ΄Β΄=Μ΄Γ΄. Δηλαδή το Μ΄ είναι μέσο του Β΄Γ΄.

Α

Γ΄ Μ΄ B΄

B Μ Γ

2) Το τμήμα ΑΔ είναι το συμμετρικό του ΒΓ ως προς το σημείο Ο. Επομένως ΑΔ//ΒΓ. Το τμήμα ΓΔ είναι το συμμετρικό του ΑΒ ως προς το σημείο Ο. Επομένως ΓΔ//ΑΒ. Έτσι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Β

Ο∆

Α

Γ

Β

M

A

K

N


60

Β.2.5. Κέντρο συμμετρίας

1) Τα κεφαλαία γράμματα που έχουν κέντρο συμμετρίας είναι: Ζ, Η, Θ, Ι, Ν, Ξ, Ο, Φ, Χ.

2) Έχουν κέντρο συμμετρίας το 3ο σχήμα (το σημείο τομής των δύο καθέτων διαμέτρων), το 4ο σχήμα (το σημείο τομής των δύο κύκλων), και τα τρία τελευταία σχήματα (το σημείο τομής των διαγωνίων).

3)

Άξονες συμμετρίας

0 1 2 3 4 Περισσότερους Έχει κέντρο συμμετρίας

Ευθύγραμμο τμήμα X XΙσοσκελές τρίγωνο XΙσόπλευρο τρίγωνο XΠαραλληλόγραμμο X X

Ορθογώνιο X XΡόμβος X X

Τετράγωνο X XΚύκλος X X

Β.2.6. Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία

1)

γ

β

δ

α = 12ο

ε

θ

ζ

ηε2

ε1

4 cm

Η γωνία γ είναι κατακορυφήν της α , οπότε γ = α , δηλαδή γ = 12ο. Η γωνία β είναι παραπλη-ρωματική της α , οπότε β = 180ο – α = 180ο – 12ο = 168ο. Η γωνία δ είναι κατακορυφήν της β , οπότε δ = β ή δ = 168ο. Η γωνία η είναι εντός εκτός και επί τα αυτά με την α , οπότε η = α ή η = 12ο. Άρα και ε = 12ο. ζ = θ = 168ο.

2) Η γωνία ζ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά με την β , οπότε ζ = 70ο. Η γωνία γ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά με την β ,οπότε γ = 70ο. Η ε είναι εντός εναλλάξ με την γ , οπότε ε = 70ο. Η γωνία δ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά με την α ,οπότε δ = 70ο.

3)α∆

63ο

Β

δ

χ

β

Γ

Α

y


61

α = Α επειδή είναι εντός εκτός και επί τα αυτά στις παράλληλες ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΔ, οπότε α =63ο. Επομένως Δ =180ο – 63ο =117ο. β = α επειδή είναι εντός εκτός και επί τα αυτά στις παράλληλες ΑΔ και ΒΓ που τέμνονται από την ΓΔ, οπότε β =63ο. Γ = β επειδή είναι κατακο-ρυφήν, οπότε Γ =63ο. δ = Γ επειδή είναι εντός εναλλάξ, οπότε δ =63ο. Άρα Β =180ο – 63ο =117ο.

4) Ολόκληρη η γωνία Β = Α επειδή είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ε1 και ε2 που τέμνονται από την δ1, οπότε Β =56ο. Άρα ϕ =56ο:2=28ο. ϕ = γ επειδή είναι εντός εκτός και επί τα αυτά στις παράλληλες ε1 και ε2 που τέμνονται από την δ2, οπότε γ =28ο. α = γ επειδή είναι κατακορυφήν, οπότε α =28ο. β =180ο – 28ο =152ο.

5) ϕ +116ο =180ο επειδή είναι εντός και επί τα αυτά στις παράλληλες ε1 και ε2 που τέμνονται από την ε3. Άρα ϕ =180ο – 116ο =64ο. α + ϕ =180ο επειδή είναι εντός και επί τα αυτά στις παράλληλες ε3 και ε4 που τέμνονται από την ε2. Άρα α =180ο – 64ο =116ο. β =180ο – 116ο =64ο.

6) Β + Γ =180ο επειδή είναι εντός και επί τα αυτά στις παράλληλες ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΒΓ. Δηλαδή γ +30ο +105ο =180ο ή γ +135ο =180ο ή γ =180ο – 135ο ή γ =45ο. Άρα Β =45ο +30ο =75ο. Α + Β =180ο επειδή είναι εντός και επί τα αυτά στις παράλληλες ΑΔ και ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ. Δηλαδή α =180ο – 75ο =105ο. ϕ = γ επειδή είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και ΔΓ που τέμνονται από την ΒΔ. Άρα ϕ =45ο. ω =30ο επειδή είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ που τέμνονται από την ΒΔ. ε =180ο – 105ο =75ο. θ =105ο επειδή είναι εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και ΒΓ που τέμνονται από την ΓΔ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o – Τρίγωνα – Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια

Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου – Είδη τριγώνων

1) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) Λ στ) Σ ζ) Σ η) Λ

2) Το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ, οπότε ΒΜ=ΜΓ=4,4:2=2,2 cm. Το Κ είναι μέσο του ΒΜ, οπότε ΚΜ=2,2:2=1,1 cm. Το Λ είναι μέσο του ΜΓ, οπότε ΛΓ=2,2:2=1,1 cm.

ΜΚ ΛΒ

Α

Γ

4,4cm

3) Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Η ευθεία της διαμέσου ΑΔ είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου. Επομένως Α Α

1 2= , οπότε η ΑΔ είναι και διχοτόμος της γωνίας Α . Επίσης Δ Δ

1 2= και Δ Δ

1 2+ = =180ο, οπότε Δ Δ

1 2= =180ο:2=90ο. Άρα η ΑΔ κάθετη στην πλευρά ΒΓ, δηλαδή είναι και ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Όμοια δικαιολογούμε ότι και οι διάμεσοι ΒΕ και ΓΖ είναι διχοτόμοι και ύψη του τριγώνου. Β ∆

1 2

1 2

Γ

ΕΖ

Α


62

4) α) β) Συγκρίνουμε με το διαβήτη τα τμήματα ΔΜ και ΜΖ και παρατηρούμε ότι ΔΜ=ΜΖ.

Β Ε

Α

∆ ΖΜ

Γ

5) α) β) γ) ΑΡ=ΒΡ. Άρα και η ΓΡ θα είναι διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ.

ΒΜ Γ

ΡΘ

Α

Ν

6) ΑΝ=ΝΓ.

Β

Ν

Μ Γ

Α

ε

B.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου – Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

1) α) Σ β) Λ (180ο) γ) Λ (60ο) δ) Λ (μόνο της διαμέσου που αντιστοιχεί στη βάση του) ε) Σ στ) Λ (οι ευθείες των διαμέσων του) ζ) Σ η) Σ θ) Λ (45ο).

2) Σχεδιάζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Με το μοιρογνωμόνιο και με αρχή το άκρο Β σχεδιάζουμε ημιευθεία Βx, ώστε ΓΒx =75ο. Με το μοιρογνωμόνιο και με αρχή το άκρο Γ σχεδιάζουμε ημιευθεία Γy, ώστε ΒΓy =35ο. Ονομάζουμε Α το σημείο τομής των Βx και Γy, οπότε προκύπτει το ζητούμενο τρίγωνο ΑΒΓ.

Β

xy

75ο 35ο

Α

Γ

Α Β Γ + + = 180ο ή Α + + =75 35 180ο ο ο ή Α + =110 180ο ο ή Α = −180 110ο ο ή Α = 70ο .


63

3) Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία xAy . Στη πλευρά της Αx παίρνουμε σημείο Β ώστε ΑΒ=4,2 cm. Με το μοιρογνωμόνιο σχεδιάζουμε ημιευθεία Βz ώστε ABz =60ο. Ονομάζουμε Γ το σημείο που η Βz τέμνει την Αy.

Α

Γz

60o

xB4,2cm

α) Α Β Γ + + = 180ο ή 90 60 180o + + =ο οΓ ή 150 180ο ο+ =Γ ή Γ = −180 150ο o ή Γ = 30ο .β) ΒΓ>ΑΒ.

4) Οι γωνίες α και 52ο είναι κατακορυφήν, οπότε α =52ο. Οι γωνίες δ και 48ο είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων ε1 και ε2 που τέμνονται από την δ1, οπότε δ =48ο. Στο τρίγωνο που σχηματίζεται έχουμε α δ γ + + =180ο ή 52ο +48ο + γ =180ο ή 100ο + γ =180ο ή γ =180ο – 100ο =80ο. Η γωνία β είναι κατακορυφήν της γ , οπότε β =80ο.

5) 1ο σχήμα: Η κατακορυφήν γωνία της ϕ , η κατακορυφήν γωνία της γωνίας 72ο και η γωνία των 35ο έχουν άθροισμα 180ο. Άρα ϕ +72ο+35ο =180ο ή ϕ +107ο =180ο ή ϕ =180ο – 107ο =73ο.2ο σχήμα: Η παραπληρωματική της γωνίας των 102ο (εντός και επί τα αυτά) είναι 180ο – 102ο =78ο. Είναι ϕ +78ο +35ο =180ο ή ϕ +113ο =180ο ή ϕ =180ο – 113ο =67ο.

6) Δ Α = επειδή είναι εντός εναλλάξ στις παράλληλες ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται από την ΑΔ. Άρα Δ =40ο. Στο τρίγωνο ΕΓΔ είναι Ε Γ Δ + + = 180ο ή Ε +42ο +40ο =180ο ή Ε +82ο =180ο ή Ε =180ο – 82ο ή Ε =98ο. Άρα ω =180ο – 98ο =82ο.

7) Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου έχουν άθροισμα 180ο – 74ο=106ο και επειδή είναι ίσες, η κάθε μία θα είναι 106ο:2=53ο.

8) Οι γωνίες Β και Γ έχουν άθροισμα 180ο – 36ο =144ο. Ισχύει ότι Β =2 Γ . Επίσης Β + Γ =144ο ή 2 Γ + Γ =144ο ή 3 Γ =144ο ή Γ =144ο :3 ή Γ =48ο. Τότε Β =2∙48ο =96ο.

9) Ισχύουν οι σχέσεις: A =2 Β και Γ =3 Β . Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε επίσης ότι Α + Β + Γ =180ο ή 2 Β + Β +3 Β =180ο ή 6 Β =180ο ή Β =180ο :6 ή Β =30ο. Τότε Α =2∙30ο=60ο και Γ =3∙30ο=90ο.

10) ΒΟΓ ΓΟΔ ΑΟΔ ΒΟΑ + + + =360ο ή Ο Ο Ο Ο

1 2 3 4+ + + =360ο. Σε καθένα από τα τέσσερα τρίγωνα που σχηματίζονται οι γωνίες

έχουν άθροισμα 180ο. Άρα: Β Γ Ο

1 1 1+ +( ) + Γ Δ Ο

2 2 2+ +( )+

+ + +( ) +Δ Α Ο

1 2 3 Α Β Ο

1 2 4+ +( ) =4∙180ο =720ο ή Α Α

1 2+( ) +

+ +( ) +Β Β

1 2 Γ Γ

1 2+( ) + Δ Δ

1 2+( ) + Ο Ο Ο Ο

1 2 3 4+ + +( ) =720ο

ή Α +Β +Γ + Δ +360ο =720ο ή Α +Β +Γ + Δ =720ο – 360ο =360ο.∆

Ο1

1

1

2

2 1

2 21

34

2

Γ

B

A


64

Β.3.3. Παραλληλόγραμμο – Ορθογώνιο – Ρόμβος – Τετράγωνο – Ισοσκελές τραπέζιο

1) α) Σ β) Λ γ) Σ δ) Λ ε) Λ.

2) Επειδή ΑΒ=ΑΔ το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές. Επειδή ΑΒ=ΒΓ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Με το υποδεκάμετρο ή το διαβήτη βρίσκουμε ότι ΟΑ=ΟΒ, οπότε το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές και ΟΓ=ΟΔ, οπότε και το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ισοσκελές. Άρα έχουν σχηματιστεί τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

3) Μπορούμε να κατασκευάσουμε ρόμβο ή τετράγωνο.

4) Μπορούμε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο ή ορθογώνιο.

Β.3.4. Ιδιότητες παραλληλογράμμου – Ορθογωνίου – Ρόμβου – Τετραγώνου – Τραπεζίου – Ισοσκελούς τραπεζίου

1) α) Ορθογώνιο β) Ρόμβος γ) Τετράγωνο

Β

O

Γ∆

Α Α

Γ

∆ ΒO

Β

O

Γ∆

Α

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα που σχηματίζονται με διαφανές χαρτί και βρίσκουμε ότι:α) Ορθογώνιο: Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ, ΑΒΓ, ΑΔΓ είναι ίσα.

Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΓΟΔ είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΑΟΔ, ΒΟΓ είναι ίσα.

β) Ρόμβος: Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ είναι ίσα.Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΓ είναι ίσα.Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΓΟΔ, ΑΟΔ, ΒΟΓ είναι ίσα.

γ) Τετράγωνο: Τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΒΓΔ, ΑΒΓ, ΑΔΓ είναι ίσα.Τα τρίγωνα ΑΟΒ, ΓΟΔ, ΑΟΔ, ΒΟΓ είναι ίσα.

2) Αν Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του ορθογωνίου είναι ΟΑ=ΟΓ ως ακτίνες του κύκλου. Επειδή όμως οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες και διχοτομούνται θα είναι επίσης και ΟΒ=ΟΔ=ΟΑ=ΟΓ. Επομένως οι κορυφές Α, Β, Γ, Δ ισαπέχουν από το Ο, οπότε βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ΟΑ ή ΟΒ ή ΟΓ ή ΟΔ.

Β

O

Γ∆

Α

Β

Γ∆

O

Α


65

3) Φέρνουμε τις απόστάσεις ΑΚ και ΓΛ των κορυφών Α και Γ από τη ΒΔ. Τις συγκρίνουμε με το διαβήτη και έχουμε ΑΚ=ΓΛ.

Β

K

Λ

Γ∆

Α

4) Σχεδιάζουμε τις παράλληλες ε1 και ε3 προς την ΑΓ που θα είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Σχεδιάζουμε τις παράλληλες ε2 και ε4 προς την ΒΔ που θα είναι και μεταξύ τους παράλληλες. Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο που σχηματίζουν οι ευθείες ε1, ε2, ε3, ε4 είναι και αυτό παραλληλόγραμμο.

Η

Γ

Ε

Θ

∆

ΒΑ

ε1

ε2

ε3

ε4Z

5) Οι διχοτόμοι των γωνιών του παραλληλογράμμου σχηματίζουν ένα ορθογώνιο.

6) Οι διχοτόμοι των γωνιών του ορθογωνίου σχηματίζουν ένα τετράγωνο. α) Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραγώνου είναι οι διαγώνιές του.β) Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός ρόμβου είναι οι διαγώνιές του.

7) Σχεδιάζουμε τα ύψη ΔΚ και ΒΛ των τριγώνων ΑΒΔ και ΔΒΓ αντίστοιχα. Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι ΔΚ=ΒΛ. Αυτό συμβαίνει γιατί το τετράπλευρο ΚΒΛΔ είναι ορθογώνιο, οπότε οι απέναντι πλευρές του ΔΚ και ΒΛ είναι ίσες.

K

∆

Α Β

Λ Γ

8) Το τετράπλευρο ΑΟΒΚ είναι ρόμβος, επομένως οι διαγώνιές του είναι κάθετες. Οι αποστάσεις ΟΔ και ΟΓ του Ο από τις Αy΄και Βx΄είναι ίσες. Όμοια οι αποστάσεις ΚΖ και ΚΕ του Κ από τις Οx και Οy είναι ίσες. Ο

Γ Β

Ε

K x΄

x

y

y΄

ΖΑ

∆

9) α) Παρατηρούμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. Επομένως οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες, δηλαδή ΓΔ=3 cm και ΑΔ=4 cm.

β) Με το υποδεκάμετρο βρίσκουμε ότι ΒΔ=5 cm και ΑΓ=5 cm.

Β Γ

∆Α

3cm

4cm


66


Α. ΣΧΕΣΗ

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΖΕΥΓΟΥΣ ΓΩΝΙΩΝΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΙΤΗ

ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ

ΕΝΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ χΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ χ

ΕΝΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ ΧΕΚΤΟΣ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ Χ

ΕΝΤΟΣ – ΕΚΤΟΣ ΕΝΑΛΛΑΞ χΕΝΤΟΣ – ΕΚΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ χ

Β. 1) 180ο 2) Άξονας συμμετρίας – Ύψος – Διχοτόμος 3) 120ο 4) Οι προσκείμενες σε κάθε βάση γωνίες του – Οι διαγώνιοί του 5) Άξονας συμμετρίας – Κάθετες και διχοτομούνται – Διχοτόμοι των γωνιών του 6) Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του 7) Διχοτόμοι των γωνιών του – Άξονες συμμετρίας 8) Κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του – Οι διαγώνιές του διχοτομούνται

Γ. 1) Ευθύγραμμο τμήμα: 2 άξονες συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας. 2) Γωνία: 1 άξονας συμμετρίας. 3) Κατακορυφήν γωνίες: 2 άξονες συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας. 4) Εντός εναλλάξ γωνίες: δεν έχει άξονα συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας. 5) Τυχαίο τρίγωνο: δεν έχει άξονα συμμετρίας, δεν έχει κέντρο συμμετρίας. 6) Ισοσκελές τρίγωνο: 1 άξονας συμμετρίας. 7) Ισόπλευρο τρίγωνο: 3 άξονες συμμετρίας. 8) Τραπέζιο: δεν έχει άξονα συμμετρίας, δεν έχει κέντρο συμμετρίας. 9) Ισοσκελές τραπέζιο: 1 άξονας συμμετρίας.10) Τυχαίο τετράπλευρο: δεν έχει άξονα συμμετρίας, δεν έχει κέντρο συμμετρίας.11) Παραλληλόγραμμο: δεν έχει άξονα συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας.12) Ορθογώνιο: 2 άξονες συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας.13) Τετράγωνο: 4 άξονες συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας.14) Ρόμβος: 2 άξονες συμμετρίας, έχει κέντρο συμμετρίας.


Λύσεις σχολικού βιβλίου μαθηματικά Α γυμνασίου

Documents