Τυπολόγιο-Θερμοδυναμικής

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ

1. ΝΟΜΟΣ BOYLE-MARIOTTE

pV = σταθ. (όταν Τ = σταθ.) (1) Ο νόμος των Boyle Mariotte εφαρμόζεται σε ισόθερμη μεταβολή (Τ = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή ΑΒ Σχήμα 1α. Η ισόθερμη μεταβολή ΑΒ σε άξονες p-V

Σχήμα 1β. Η ισόθερμη μεταβολή ΑΒ Σχήμα 1γ. Η ισόθερμη μεταβολή ΑΒ σε άξονες V-Τ σε άξονες p-Τ

2. ΝΟΜΟΣ CHARLES

pT = σταθ. (όταν V = σταθ.) (2)

Ο νόμος του Charles εφαρμόζεται σε ισόχωρη μεταβολή (V = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή ΑΒ

Σχήμα 2α. Η ισόχωρη μεταβολή Σχήμα 2β. Η ισόχωρη μεταβολή Σχήμα 2γ. Η ισόχωρη μεταβολή ΑΒ σε άξονες p-V ΑΒ σε άξονες V-T ΑΒ σε άξονες p-T

T1<T2 p

V

A

Β

T1<T2 p

V

A

Β

V1

p

Τ (K)

V1 < V2 B

A

V

Τ (K)

B

A

T2

p

Τ (K)

A

B

T2

V

Τ (K)

BAV1

Σελ. 1

Θερμοδυναμική Β Λυκείου Φυσική Κατεύθυνσης

3. ΝΟΜΟΣ GAY-LUSSAC

VT = σταθ. (όταν p = σταθ.) (3)

Ο νόμος των Gay-Lussac εφαρμόζεται σε ισοβαρή μεταβολή (p = σταθ.) π.χ. στην μεταβολή ΑΒ Σχήμα 3α. Ισοβαρής μεταβολή Σχήμα 3β. Ισοβαρής μεταβολή Σχήμα 3γ. Ισοβαρής μεταβολή σε άξονες p-V σε άξονες V-T σε άξονες p-T

4. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Για ένα ιδανικό αέριο που n γραμμομόρια από αυτό είναι σε δοχείο όγκου V υπό πίεση p και θερμοκρασία T ισχύει

pV = nRT (4) όπου R είναι η παγκόσμια σταθερά των αερίων.

ΠΡΟΣΟΧΗ ! Σε ασκήσεις με την καταστατική εξίσωση των αερίων αν

α) Χρησιμοποιώ μονάδες S.I. δηλ.

[p] = Pa = Nm2 [V] = m3 [T] = K

τότε R = 8,314 J

mol.K (5)

β) Χρησιμοποιώ πρακτικές μονάδες δηλ.

[p] = atm [V] = L [T] = K

τότε R = 0,082 L.atmmol.K (6)

Άλλοι συνδυασμοί μονάδων απαγορεύονται.

5. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΟΝΑΔΩΝ

1 atm =101325 Pa = 1,013.105 Pa ≅ 105 Pa ≅ 0,1 MPa

1 bar = 1.105 Pa = 10 N/cm2 ≅ 1 atm ή 1 mbar = 100 Pa

1 m3 = 1000 L και 1 L = 1000 mL

Κ = 273 + °C

T1<T2 p

V

AΒ p1

Τ (K)

V p1 < p2 A

B

p

Τ (K)

B A

Σελ. 2


6. ΣΗΜΕΙΟΛΟΓΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΟΡΙΩΝ – ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΩΝ, ΜΑΖΑΣ.

ΝΑ = 6,022.1023 ο αριθμός του Avogadro

N ο αριθμός των μορίων του αερίου

n ο αριθμός των γραμμομορίων του αερίου

m η μάζα ενός μορίου

mολ είναι η συνολική μάζα του αερίου

Μr η μάζα ενός γραμμομορίου (η σχετική μοριακή μάζα)

7. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΑΖΩΝ ΚΑΙ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ

m = mολΝ (7α)

ή m = ΜrΝΑ

(7β)

ρ = mολV (8α)

ή ρ = n.Μr

V (8β)

ή ρ = Ν.m

V (8γ)

8. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΓΡΑΜΜΟΜΟΡΙΑ

α) Ενα γραμμομόριο είναι μια ποσότητα ύλης που περιέχει ΝΑ = 6,022.1023 μόρια. β) Το γραμμομόριο ζυγίζει όσο η σχετική μοριακή μάζα (Μοριακό Βάρος) του χημικού στοιχείου ή της ένωσης σε g π.χ. για το Ο2 Μr = 32 g γ) Το γραμμομόριο αερίου σε Κ.Σ. (p = 1 atm, T=273°K) καταλαμβάνει όγκο Vmol = 22,4 L δ) Αν έχω μάζα mολ από χημική ένωση ή χημικό στοιχείο (καθαρή ουσία) με σχετική μοριακή μάζα (Μοριακό βάρος) Μr τότε ο αριθμός γραμμομορίων n που περιέχει είναι

n = mολMr

ή mολ = nMr (9)

ε) Αν έχω όγκο V (!σε L) από αέρια χημική ένωση ή αέριο χημικό στοιχείο (καθαρή ουσία) τότε ο αριθμός γραμμομορίων n που περιέχει είναι

n = V

Vm (10)

με Vm γραμμομοριακό όγκο στις συνθήκες που βρίσκεται ο όγκος V. Ο Vm μπορεί να υπολογιστεί στις συγκεκριμένες συνθήκες αν θέσω στην καταστατική n = 1 mol, δηλ.

Vm = RTp (10α)

Σε Κ.Σ. (S.T.P.) έχω

Σελ. 3


n = V

22,4 (10β)

9. ΠΙΕΣΗ ΙΔΑΝΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ

Η πίεση σε σχέση με την μέση τιμή των τετραγώνων της ταχύτητας υ2 ⎯ είναι

p = 13 ρ υ2 ⎯

(11)

Το σύμβολο α ⎯

σημαίνει την μέση τιμή του φυσικού μεγέθους α. Εναλλακτικά λόγω της (8γ)

p = 13 Ν.m

V υ2 ⎯ (12)

Από την τελευταία και την μορφή της πυκνότητας (8γ) που περιέχει την μάζα ενός μορίου m και αφού εισάγουμε κατόπιν την μέση μεταφορική κινητική ενέργεια ενός μορίου (κινητική ενέργεια

λόγω μεταφορικής κίνησης) Kμ ⎯

= m υ2 ⎯ /2 έχουμε

p = 23 ΝV

m υ2 ⎯

2 (13)

ή p = 23 ΝV Kμ

⎯ (14)

10. ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ Η γνωστή μορφή της καταστατικής είναι pV = nRT (15) Αν χρησιμοποιήσω την σταθερά του Boltzmann k, που ισούται με την παγκόσμια σταθερά των αερίων ανά μόριο του αερίου

k = R

NA (16)

παίρνω pV = ΝκT (17) όπου εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει nR = Nk (18) Η (14) γράφεται

pV = 23 N Kμ

⎯ (14α)

11. ΜΕΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ Από την (14α) και την γνωστή μορφή της καταστατικής προκύπτει

Kμ ⎯

= 32 kT (19)

Σελ. 4


12. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ υrms

ΣΕ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ

Δηλ. η υrms = υ2 ⎯

είναι από την (19) υrms = 3 kT

m = 3 RTMr

(20)

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΝΟΙΕΣ/ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΠΟΥ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ Σύστημα Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα C

Περιβάλλον Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα Cp υπό σταθ. πίεση

Mονωμένο σύστημα Γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα CV υπό σταθ. όγκο

Θερμοδυναμική ισορροπία

Αντιστρεπτή μεταβολή

Κυκλική μεταβολή

Θερμότητα

Εσωτερική ενέργεια

13. 1ος ΝΟΜΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Q = ΔU + W (21) όπου α) Q η θερμότητα που εισέρχεται ή εξέρχεται από το σύστημα. Η Q εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση. β)ΔU = Uτελ – Uαρχ η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος. Η εσωτερική ενέργεια U καθορίζεται από την θερμοκρασία του αερίου. Αν ένα αέριο επιστρέψει στην κατάσταση που ξεκίνησε, μετά από οποιαδήποτε μεταβολή, ΔU = 0. Η ΔU δεν εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση. γ) W το έργο που παράγει ή δέχεται το σύστημα. Το W εξαρτάται από τον τρόπο μετάβασης του συστήματος από την αρχική στην τελική κατάσταση.

Σελ. 5


14. ΣΥΜΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΤΩΝ Q, W 15. ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΔΤ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗΝ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑ Q ΠΟΥ ΔΕΧΕΤΑΙ ή ΑΠΟΒΑΛΛΕΙ ΤΟ ΣΩΜΑ. Για σώμα μάζας mολ που δεν υφίσταται μεταβολή φάσης η μεταβολή της θερμοκρασίας του ΔΤ αν δεχθεί ή αποβάλλει θερμότητα Q είναι

ΔΤ = Q

mολ.c (22α)

ή Q = mολ cΔΤ (22β) c είναι η ειδική θερμότητα (ή ειδική θερμοχωρητικότητα1) του σώματος δηλ. η θερμότητα που χρειάζεται 1 kg του σώματος για να αυξήσει την θερμοκρασία του κατά 1 Κ. Χρησιμοποιώντας την (9) έχω Q = nMcΔΤ Εξ ορισμού C = M c (23) είναι η ειδική γραμμομοριακή θερμότητα ή γραμμομοριακή θερμoχωρητικότητα. Αν το σώμα δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα υπό σταθερή πίεση τότε C = Cp είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση και Q = nCpΔΤ (23α) Αν το σώμα δέχεται ή αποβάλλει θερμότητα υπό σταθερό όγκο τότε C = CV είναι η γραμμομοριακή θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή όγκο και Q = nCVΔΤ (23β) 16. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U Η εσωτερική ενέργεια U ενός αερίου που μελετάμε μπορεί να ορισθεί γενικά ως η ενέργεια που απομένει στο αέριο όταν αφαιρεθούν από αυτό όλες οι μακροσκοπικές μηχανικές μορφές της ενέργειας. Η εσωτερική ενέργεια είναι ουσιαστικά η δυναμική και η κινητική ενέργεια των μορίων του αερίου λόγω της κίνησης καθενός μορίου του αερίου σε σχέση με τα άλλα2 (Από την σκοπιά της μηχανικής θα αγνοούσαμε αυτές τις μικροσκοπικές κινήσεις αν θέλαμε π.χ. να περιγράψουμε την κίνηση όλου του αερίου.)

1 Ο όρος ειδική θερμοχωρητικότητα είναι ατυχής γιατί υποδηλώνει ότι το σώμα περιέχει θερμότητα, ενώ γνωρίζουμε ότι η θερμότητα είναι ενέργεια που μεταβαίνει από ένα σώμα σε άλλο. 2 Αυτή η άποψη ότι η εσωτερική ενέργεια μπορεί να αναχθεί σε άλλες μορφές ενέργειας προέρχεται από υπόθεση των Helmholtz και Mayer και είναι γνωστή ως η «Μηχανική θεωρία της θερμότητας» (G.H.Wannier Statistical Physics, Dover 1987, σελ. 16).

Q >0 W >0 Σύστημα

Q < 0 W < 0 Σύστημα

Σελ. 6


Η εσωτερική ενέργεια ιδανικού μονατομικού αερίου αποδεικνύεται ότι ισούται με

U = 32 nRΤ

Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ιδανικού αερίου γενικά (μονατομικού, διατομικού κ.λ.π.) είναι ΔU = nCVΔΤ

Μόνο σε περίπτωση που είναι ιδανικό μονατομικό ΔU = 32 nRΔΤ

Προσοχή! Στους παρακάτω τύπους ο δείκτης Β σημαίνει την τελική κατάσταση δηλ VΒ = Vτελικό

και ο δείκτης Α σημαίνει την αρχική κατάσταση

17. ΙΣΟΘΕΡΜΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ T1 = Τ = σταθ. ή pV = σταθ.

ΔU άρα ΔU = 0 (24)

1ος Νόμος Q=W (25)

Εργο Σχήμα 6. Ισόθερμη μεταβολή

W = nRT ln VτVα

(26α) και το αντίστοιχο έργο

ή W = pAVA ln VτVα

= pBVB ln VτVα

(26β)

αν Vτ<Vα δηλ. αν το αέριο συμπιέζεται τότε W<0 Θερμότητα

Q = nRT lnVτVα

(27α)

ή Q = pAVA lnVτVα

= pBVB lnVτVα

(27β)

18. ΙΣΟΧΩΡΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

V =V1= σταθ. ή pT = σταθ.

ΔU

ΔU = 32 nRΔT = (γενικά) nCVΔΤ (28)

1ος Νόμος Q=ΔU (29)

Εργο Σχήμα 7. Ισόχωρη μεταβολή

W = 0 (30) Το αντίστοιχο έργο W=0

Θερμότητα

Q = nCVΔΤ = (μονατομικό) 32 nRΔT (31)

T1 p

V

A

ΒW

α Vτ V

T1<T2 p

V

A

Β

V1

Σελ. 7


19. ΙΣΟΒΑΡΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ

p =p1= σταθ. ή VT = σταθ.

ΔU

ΔU = 32 nRΔT = (γενικά) nCVΔΤ (32)

1ος Νόμος Q=ΔU+W

Εργο Σχήμα 8. Ισοβαρής μεταβολή

W = p (Vτ – Vα) (33α) και το αντίστοιχο έργο

ή W = nRΔΤ (33β)

Θερμότητα Q = nCpΔΤ (34)

20. ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Q = 0 ή pVγ = σταθ. (35)

ΔU

ΔU = 32 nRΔT = nCVΔΤ (28)

1ος Νόμος W= - ΔU (36)

Εργο Σχήμα 9. Aδιαβατική μεταβολή

W = pτVτ - pαVα1-γ = nRT2 - nRT1

1-γ (37) και το αντίστοιχο έργο

με γ = CpCV

(38)

ή W = - nCVΔΤ (39)

Θερμότητα Q = 0

21. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ p, V, T ΣΤΗΝ ΑΔΙΑΒΑΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ Νόμος του Poisson pVγ =σταθ. (40α) ή pαVα

γ = pτVτγ (40β)

Με την βοήθεια της καταστατικής ΤVγ-1 = σταθ. (41α) ή ΤαVα

γ-1 = ΤτVτγ-1 (41β)

T2<T1 p

V

AΒp1

WVτ Vα

T2<T1 p

V

A

ΒW

Vα Vτ

Σελ. 8


Τp 1-γγ = σταθ. (42α)

ή Ταpα1-γγ = Ττpτ

1-γγ (42β)

22. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ Cp ΚΑΙ CV

Cp = CV + R (43)

γ = CpCV

(38)

άρα γ > 1 (44) Λύνοντας τις (43) και (38) ως προς Cp και CV παίρνουμε

CV = Rγ-1 (45)

Cp = γRγ-1 (46)

Εφαρμογή : Μονοατομικό ιδανικό αέριο

(ή διατομικό όπου τα μόρια εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση)

CV = 32 R (47)

Cp = 52 R (48)

γ = Cp CV

= 53 ≅ 1,67 (49)

Σελ. 9


23. ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

To έργο W που παράγει η θερμική μηχανή, που το υλικό λειτουργίας της υφίσταται κυκλική μεταβολή, είναι

W = QΘ - QΨ (52)

όπου QΨ είναι η θερμότητα που αποβάλλει η θερμική μηχανή, QΨ < 0

και QΘ είναι η θερμότητα που δέχεται η θερμική μηχανή, QΘ > 0

Συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής

e = W QΘ

= 1 - QΨ

QΘ (53)

24. ΚΥΚΛΟΣ CARNOT

Ο συντελεστής απόδοσης θερμικής μηχανής που λειτουργεί με τον κύκλο του Carnot είναι

e = 1 - ΤΨΤΘ

(54)

Ισχύει επίσης

QΨ

QΘ = ΤΨΤΘ

(55)

Ακόμα VBVA

= VΓVΔ

(56)

Σχήμα 10. Κύκλος Carnot.

T2<T1 p

V

A

Β

Γ Δ

Σελ. 10


25. Χρήσιμες σχέσεις για τους νεπέρειους λογαρίθμους.

Αν y = ex τότε lny = x Αρα ln e = 1 ln1 = 0 ln (a.b) = lna + lnb

ln( ab ) = lna – lnb

lnak = klna

lnk

a = lna1/k = 1k lna

Ισχύει ex = 1 + x + x2

2! + x3

3! + …..

Σελ. 11

Τυπολόγιο-Θερμοδυναμικής

Documents