Муниципальное общеобразовательное учреждение « Средняя общеобразовательная школа №3 Г. Ершова Саратовской области»

План - конспект урока

по алгебре и началам анализа в 10 классе

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Учитель математики Рахматулина Р.Р.

2009-2010 учебный год

Тема урока: « Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:Образовательные: вспомнить овладевшие навыки решения некоторых видов тригонометрических уравнений; систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие: способствовать формированию умений применять полученные знания в новой

ситуации; развивать математическое мышление, речь.

Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, культуры и дисциплины умственного труда.

Оборудование: карточки с заданиями на 4 варианта, листочки с копирками, таблицы с формулами и рекомендациями, мультивидеопроектор.

Формы работы: коллективные, индивидуальные и групповые.План урока.1. Организационный момент. 2.Сообщение темы, цели и задач.2. Разминка - устная работа «Реши или найди ошибку».3. Самостоятельная работа через копирку (взаимопроверка) 4. Самостоятельная работа в форме тестов на 2 варианта (самопроверка), подготовка к ЕГЭ.5. Работа по карточкам индивидуально 2 ученика у запасной доски, а класс в это время решает однородные уравнения с двумя учениками по очереди под контролем учителя.6. Итог урока. 7. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.Приветствие учителя, отметить отсутствующих, все ли здоровы и готовы приступить к уроку.2.Сообщение темы, цели урока.Сегодня у нас заключительный урок по теме “Тригонометрические уравнения”. К сожалению, нельзя указать общего метода решения тригонометрических уравнений, почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода. На сегодняшнем уроке мы обобщим и систематизируем полученные знания по теме «Тригонометрические уравнения», вспомним основные методы их решения, повторим формулы и тем самым продолжим подготовку к ЕГЭ.Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед. Поэтому сегодня будем не наблюдать, а большую часть урока работать

самостоятельно.(Трое учеников составили и распечатали алгоритмы решения некоторых тригонометрических уравнений, которые лежат на каждом столе).

3.Устная работа. Прежде, чем начать устный счет, вспомним как и когда появилась «тригонометрия». Два ученика подготовили небольшое сообщение. (Слайд2,3)Повторение теории и решение простейших тригонометрических уравнений. (Слайд 4)

Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа? Привести пример. Для каких чисел определен арксинус, арккосинус? Назвать формулы нахождения корней уравнений: sin x = a, cos x = a, tg x = a. При каких значениях, а уравнения sin x = a, cos x = a имеют решения?

Для решения тригонометрических уравнений надо вспомнить, как вычисляются значения обратных тригонометрических величин.(Слайд 5)

Вычислить: arccos ; arccos (- ); arcsin ; arcsin(- ); arcctg ; arctg .

Ответы: ; ; ; - ; ; .

Решить простейшие уравнения: cos x = ; sin x = ; sin x = - ; tg x = 2; cos

= 3; sin 2x = - 1; cos x = - ; ctg x = 0; tg (-3x) = 1; ctg(- ) = 0; sin x = - 2.

Ответы : + 2 k, k Z; (-1) + k, k Z; (-1) + k, k Z; arctg 2 + k,k Z,

корней нет; - + k,k Z; + 2 k, kZ; + k, k Z; - + , k Z; 2 +4 k, k

Z; нет корней.

4. Самостоятельная работа через копирку по карточкам на 4 варианта. Листочки с копиями работ собираются и сдаются учителю на проверку, а оригинал работы остаётся у ученика. Далее идет взаимопроверка этой самостоятельной работы и выставление оценок.В каждом варианте есть

уравнение, которое решается методом приведения к алгебраическому, то есть сведения к квадратному;

уравнение, которое решается методом разложения на множители; однородное уравнение; методом дополнительного угла.

1 вариант1) cos x – 3cos x = sin x +4.2) sinx + cosx = 03) sin x – sinx = 0 2 вариант

1) sin3x + sinx = sin2x2) 2cos x +5sinx – 4 = 03) sinx – cosx = 0

3 вариант

1)2sin x – 7 sinx + 3 = 0

2)3 sinx – cosx = 13)cosx co5x = cos3x cos7x 4 вариант

1) sinx +7cosx = 52)sin x – sinx cosx - 2cos x = 03)cosx + cos2x+ cos3x = 0.

Решение В11) Tак как sin x = 1 - cos x, то cos x – 3cosx = 1 - cos x + 4, 2cos x – 3cosx – 5 = 0. Пусть cosx = t; -1 t 1; тогда получим 2t - 3t– 5 = 0;t = 2,5 > 1; t = - 1, то есть cosx = - 1 и x = + 2 n, n Z.

B12) Разделим каждое слагаемое на cosx, получим: Sinx/cosx + = 0;tgx = - ;

x = - + k, k Z.

B13) Вынести sinx за скобки, получим уравнениеSinx (sinx – 1) = 0;Sinx = 0 или sinx – 1 = 0

x = k, k Z x = + k, k Z.

B2

1) Используем формулу sinx+siny=2sin cos ,

получим 2sin2x cosx = sin2x,2sin2x cosx – sin2x = 0,Sin2x(2cosx – 1) = 0Sin2x = 0 или 2cosx – 1 = 0

x = , n Z; x = +2 k, k Z.

B22) 2cos x+5sinx -4=0Используем формулу sin x + cos x = 1, получим2(1-sin x) +5sinx – 4 = 0,2 – 2sin x+ 5sinx – 4 = 0.Обозначим sinx = а, получим квадратное уравнение 2а - 5а+ 2 = 0, откуда а =0,5; а =2.В2

3) Разделим обе части уравнения на cosx 0, x + k, k Z,

= 1; tg x = 1

x= + k, k Z.

B3

1) Решим это уравнение относительно sinx:2sin x – 7sinx + 3 = 0 Пусть sinx = t, получим 2t - 7t +3=0, найдем корниt = 0,5 t =3> 1 – исключаем, при sinх =3 корней нет,Sinx=0,5,

x =(-1) k Z.

В41) sinx + 7cosx = 5.Решим методом дополнительного угла.Найдем = =5 .

Разделим обе части на 5 , получим sinx + cosx = ,

Примем sin = , cos = . Тогда tg = 7 и = arctg7.

Получаем sin(x + ) = , x + = (-1) + k, k Z,

x = (-1) + k – arctg7 , k Z

В42) Для данного уравнения cosx 0.Разделив обе части уравнения на cosx 0, получим tg x – tgx – 2 = 0,Пусть tgx = y, тогда получим уравнение у - у – 2 = 0, его корни у =-1 у =2, тогда

корни данного уравнения следующие: х = Z.

В43) Сгруппируем, используем формулу суммы косинусов, получим:(cosx +cos3x)+cos2x = 0; 2cos2x cosx + cos2x = 0;Cos2x (2cosx + 1) = 0;

Cos2x = 0 или cosx = -

x = Z x = Z.

Ответ: ( Z.

4. Самостоятельная работа в форме тестов .(Слайд 6) 1 вариант.Решение простейших тригонометрических уравнений.1) sinx = 1

a) x = - ; б) х = ; в) х = - Z; г) х =

2) cos0,5x = -1

a) x = 3 Z; б) х = 2 Z; в) х = Z; г) х = Z.

3) cos +sin = -

a) Z б) l, l Z в) - Z г) Z.

4) sin(x- ) = -1

a) - Z б) - Z в) - Z г) Z.

2 вариант

1) sinx = .

а) (-1) Z б) (-1) Z в) (-1) Z г) Z.

2) tg =-

а) б) в) г)

3) sin4x cos2x – cos4x sin2x = 0

a) Z б) (-1) Z в) Z г) (-1) Z.

4) sin(

a) (-1) б) (-1) в) г) .

Далее проводится проверка по таблице с правильными ответами и выставляются оценки(Слайд 7). За 4 правильно решенных теста- оценка «5», за 3 – «4» , за 2 – «3».

вариант 1 2 3 4 1 г б г в 2 а в а а

5.Работа у доски.Индивидуально 2 ученика на запасной доске. Проверяют учащиеся по заготовленному решению. (Слайд 8)1) (sin3x + cos3x) = 1 + cos3x2) 3 sin 2x + 7cos2x – 3 = 0.Для класса уравнения у доски (с комментированием по очереди два ученика).Sinx + 5cosx = 0,6cos x+ 4sinx cosx = 1.

6. Подведение итогов урока, задание на дом на выбор по три уравнения. (Слайд 9)Говорили о том, с чем легко справились на уроке обобщения , а над чем еще придется поработать. По большому счету урок удался, об этом можно судить по результатам самостоятельных работ. Оценки объявлены. Домашнее задание ребята получили.

Используемые ресурсы:1. http://sferica.by.ru/history.html

2. Учебник «Алгебра и начала анализа», А.Н. Колмогоров.3. Лекции дистанционного курса «Первое сентября» по теме «Решение тригонометрических уравнений».4. «Сборник задач по математике»,издательство «Лицей»1998г., автор А.А.Молчалин.5.Сборник заданий и методических рекомендаций «Математика ЕГЭ»,Ю.А.Глазков,И.К.Варшавский и др.6. http://lyceum-hlevnoe.my1.ru/load.7. http://old.mitht.ru/rus/rstudios.htm.8. http://matan.alpol.ru/persons.9.http://wiki.vspu.ru/doku.php?id=workroom:sinus:index.