נוסחאות במיתוג

For more please visit – www.paragoncreations.com/uni

בסיסים וקודים:10 לבסיס rמעבר מבסיס

:r לבסיס 10מעבר מבסיס

:r לבסיס tמעבר מבסיס ו- tכאשר .1 r למשל מספר. אותו של חזקות הם –

:3,9,27 או 2,4,8,16

. בבינארי:3כל ספרה מיוצגת ע"י .10 עוברים דרך בסיס –בכל מקרה אחר .2

(:8421 )זהה לקוד ממושקל BCDקוד

קודים ממושקלים:קוד חוקי = אם ניתן להציג את כל הספרות בעזרתו.

לכל מספר.1יכול להיות יותר מייצוג :Excess-3קוד

לספרה העשרונית, וממירים לבינארי.3מוסיפים

קוד משלים עצמי: ע"י הפיכת הסיביות.N יכול להתקבל מהייצוג של N-9אם הייצוג של

אינו קוד משלים עצמי.BCDהערה:

קוד ממושקל משלים עצמי:.9אם סכום המשקולות =

(:Hammingמרחק בין מילות קוד )מרחק מילות קוד.2מספר הסיביות השונות בין

.2- מרחק = המרחק הקטן ביותר בין מילים בקוד. אם המרחק–מרחק מינימלי

עד Kהמינימלי לגלות ניתן ,K-1 עד ולתקן שגיאות,

שגיאות.:Grayקוד

קוד ציקלי, כל מספר נבדל מאלו שמעליו ומתחתיו בסיבית אחת בלבד(.1)מרחק בין מילות קוד =

לבינארי )סיבית ראשונה נשארת(:Grayמעבר מקוד משמאל לימין.–הולכים סיבית, סיבית .1 סופרים כמה אחדים יש משמאל לסיבית עליה נמצאים.2

)לא כולל(.אם מספר האחדים זוגי - לא משנים את הסיבית..3 הופכים את הסיבית.–אם מספר האחדים אי-זוגי .4

)סיבית ראשונה נשארית(:Grayמעבר מבינארי לקוד משמאל לימין.–הולכים סיבית, סיבית .1 בין הסיבית שעליה נמצאים לסיבית משמאלה.XORמבצעים .2 הופכים את הסיבית.–אם מספר האחדים אי-זוגי .3

זוגיות:Even Parity – כדי שמספר האחדים יהיה זוגי.1 מוספים Odd Parity – עדי שמספר האחדים יהיה אי-זוגי.0 מוסיפים

ייצוג מספריםFixed Point: .)טווח מוגבל( _ _._ _

Floating Point: 53.491עבור המספר

r = 10 – 10 בסיס..5.3491 המספר עצמו: –מנטיסה

. E – 01 –אקספוננט

הצגת סימןSign / Magnitude:

הספרה השמאלית מייצגת סימן. = שלילי.r-1 = חיובי. 0

.0 ייצוגים ל- 2יש עושים בנפרד פעולות על הסימן.–בשיטה זו

מס' מקס' ומינ' בבינארי:

:r-1משלים ל-

.0 ייצוגים ל- 2יש מס' מקס' ומינ' בבינארי:

דוגמא לחיבור: .LSB מוסיפים אותה ל- –אם יש גלישה

:rמשלים ל-

)לא קשור לנק' עשרונית LSB תמיד מוסיפים ל- 1- את ה- תמיד– או "+" ל- "-" עוברים מ- ולא משנה אם ביותר, הימנית לסיבית

ההפך(. מספרים2 מזניחים אותה, אלא אם חיברנו –- בחיבור: אם יש גלישה

לא מזניחים את ה-–שלילים )אם התשובה אמורה לצאת במינוס 1.)

שצריך הערה: ממה סיביות ביותר מוצג המספר אם פשוט– משכפלים את סיבית הסימן.

מספר ראשוני.– 0 מספר ראשוני. לא – 1

אלגברה בוליאניתנוסחאות פישוט:

דה-מורגן:

Xor / Xnor:

1 1 1 1

1 1 1 1

XOR הואהאחדים אם מספר 1 נותן .אי-זוגיXNOR נותן אם מספר 1 האפסים

.זוגיהוא

שערים לוגיים:

חילוק:

בעיות עלות מינימלית:ל- .1 Xorמעבר

ישירות ממפת קרנו. שימוש.2

בנוסחאות פישוט.דה מורגן..3

לפונקציות הערות בוליאנ':

- יעילות של פונקציה בוליאניתמספר ע"י נקבעת בודקים בשוויון המכפלות.

את המחברים.כל היא- בוליאנית פונקציה

ניתןדואלית כלומר, . ", "+" ב- "0" ב- "1להחליף "

ולהיפך כולל –" השוויוןהתוצאה ועדיין ,

יתקיים.

)קבוצות אוניברסאליות(מערכת פעולה שלמהכלומר, בוליאנית. פונקציה כל להציג ניתן בעזרתה פעולות קבוצת

פונקציה אחת שבעזרתה ניתן לייצג אחת מהקבוצות הבאות:

ניתן לייצג כל פונקציה)NOR( OR ו- NOT או )AND )NAND ו- NOTבעזרת בוליאנית.

במקום לפתור תרגיל נתון ניתן להמירו למערכת שקולה ע"י דה-מורגן -ולפתור אותה.

צורות קנוניותMinterm & Maxterm:

X Y Z Min Max0 0 0 0 X’Y’Z’ X+Y+Z1 0 0 1 X’Y’Z X+Y+Z’

...וכן הלאה

ייצוגים קנוננים:SOP – קנוני סכום מכפלות הפונקציה– בהם המינטרמים סכום

". למשל:1מקבלת "POS – מכפלת מקסטרמים בהם הפונקציה– מכפלת סכומים קנונית

". למשל:0מקבלת את הערך "

מפות קרנו::)POS )D = LSBעבור

CD CD’ C’D’ C’D00 01 11 10

AB 00 0 1 3 2AB’ 01 4 5 7 6A’B’ 11 12 13 15 14A’B 10 8 9 11 10

- מותר רביעיה )כאילו באלכסון...(

= משתנים.ליטרלים = גורם שאינו מוכל בגורם גדול יותר.אימפליקנט ראשי )גורם ראשי(

. אסור לקחת קבוצה2 מותר לקחת רק קבוצות של חזקות של הערה: תאים.3של

(:don’t careמצבים לא מוגדרים )., או X, dמסומנים ע"י:

ניתן להוסיפם לגורם אך לא לקחת אותם כגורם נפרד.החלפת עמודות / שורות במפות קרנו:

אם נחליף לפחות משתנה אחד בהופכי-)למשל 'Aשלו ב- A אוכל ארבעת(, נשנה את סדר השורות

העמודות ביחד.שלידו- במשתנה משתנה נחליף אם

שורות / עמודות.2( אז נחליף רק B עם A)למשל

NAND ל- OR ו- AND מעבר מ- מינימלי.SOPמגיעים ל- .1)מס' כניסותFan Inמבצעים פיקטור בהתאם להגדרת .2

לשער(. כך שבכל רמה מופיע שערOR ו- ANDממשים ע"י שערי .3

(....AND-OR-AND-ORאחר )מיספור הרמות מהיציאה ועד לכניסה..4.NANDהחלפת כל שער בשער .5מקבלות .6 האי-זוגיות לרמות הכניסות כל NOTאת

)כניסות ברמות הזוגיות נשארות אותו הדבר(.)ע"יNOTניתן גם להגיע לפונקציה של מכפלות עם הערה: בלבד

.NAND ואז לממש ישירות ע"י )דה-מורגן

מסכמים ומחסריםFull Adder:

Look Ahead Carry Generator: וע"י כך לחסוךCarryבעזרת הפונקציות הבאות ניתן לחזות מה יהיה ה-

רמות במימוש.

:לדוגמא

:FA( ע"י r )בסיס 2חיבור בבסיס אחר מ- ובודקים כמה סיביות– לבינארי r-1הופכים את הספרה .1

צריך ע"מ לייצג אותה בבינארי. ומקבלים תוצאה בעשרוני.r-1מחברים שתי ספרות .2.rהופכים את התוצאה לבסיס .3 , ע"י3מייצגים את ספרת האחדות של התוצאה מסעיף .4

(.1מספר בבינארי עם מס' הסיביות הדרוש לספרה )מסעיף בבינארי.1מייצגים את ספרת העשרות ע"י סיבית .5למספר.6 בבינארי משמאל את ספרת העשרות שמים

.4בבינארי שקיבלנו בסעיף בבינארי.r-1מחברים שתי ספרות .7.6מהתוצאה מחסרים את המספר מסעיף .8 זהו המספר בבינארי שיש להוסיף לתוצאת החיבור של.9

.FAה- שמחברת לכל סיבית שהגיעהCorrection Unitממשים .10

או 1 הוא FA מה- Carry רק אם ה- 9 את המספר מסעיף FAמה- מה- שהגיעו הסיביות המספר FAאם את ביחד מייצגות 10

.rבבסיס

בוררים, מפענחים מקודדים ומשוויםEncoder -

:מקודד Decoder:מפענח - MUX:בורר -

הכניסות1מקבל באחת המספר את ומוציא

המתאים בבינארי.לקבוע Priorityניתן

Encoderיש שאם כך ממספר יותר 1בכניסות

אחד, אז מתיחסים רק ל-הגדול ביותר, ועל שאר1

.Don’t Careהכניסות יש הכניסות כל בו מצב

מוגדר0מקבלות אינו במקודד.

.4x2דוגמא - מקודד

מוציא –מקבל קוד בינארי 1 ביציאה המייצגת את המספר העשרוני המתאים. בכל שאר

.0 –היציאות .4x2דוגמא - מפענח

MUX 4x1:דוגמא -

.0 אז כל היציאות יהיו 0 מגיע )E )Enable אם בכניסה הערה:

Comperator:)משווה(

:Gלדוגמא - נוסחה ל-

3.A3=B3, A2=B2, A1>B1.

4.A3=B3, A2=B2, A1=B1, A0>B0.

1.A3>B3.

2.A3=B3, A2>B2.

.OR(: שער 1-4בין הסעיפים)

Static Hazardאחת–הגדרה רק כאשר קבוע, להשאר היה אמור המוצא אם

זו מתקיימת נתן תוצאה אחרת. תופעה הוא אך הכניסות משתנה, בגלל שחלק מהמשתנים עוברים דרך יותר שערים בדרך למוצא.

Hazard 1 והפך ל- 1: המוצא אמור היה להשאר )קורה במימוש0 SOP.)

Hazard 0 והפך ל- 0: המוצא אמור היה להשאר )קורה במימוש1 POS.)

Quine Mclluskey – שיטת מינימיזציה מציאת הגורמים / מינטרמים..1הכנסת לטבלה:.2

#1 גורמים #1 גורמים #1 גורמיםעשרוני בינארי עשרוני בינארי עשרוני בינארי

0 0 0000 0 0,10,2

000-00-0

0 0,1,2,3

00- -

1 12

00010010

1 1,32,3

00-1001-

2 3 0011

כל הסיביות בקבוצות סמוכות, כאשר הערה: משווים מספרים 1 או 0זהות )כולל קו מול קו( פרט לאחת. השוני בה מתבטא ע"י

)ולא ע"י קו(. בעזרת טבלת גורמים ראשוניים מצמצמים את מה שמיותר:.3

גורמים 1 4 5 6 11 12 13 144,6,12,14 X X X X12,13 X X1,5 X X

Shift Register with Parallel Load:

2-bit FA

A B

CinCout

S

+

4 bitComperator

L – A<BE – A=BG – A>B

A3 A2 A1 A0

B3 B2 B1 B0

+ +

+

XY


מחבר / מחסר:'a / s: 1 ,עבור חיסור.0 עבור חיבור

FA

X Ya / s’

S

B outB in


. . . . 2 1 0

רכיבי זיכרון:Rom – Read Only Memory

ROM –דוגמא n.כניסות למפענח -

- יציאות מהמפענח. m שערי( פונקציות יציאה - OR .)

רכיבים מתכנתים:PLA – Programmable Login Array

:PLA 3x4x2דוגמא

:PLAטבלת תכנון a b c F1 F2

b’c’ - 0 0 1 1a’c’ 0 - 0 1 1a’b’ 0 0 - 1abc 1 1 1 - 1

:PLAמימוש ב-

:PLA – Programmable Login Array

מערכות עקיבה:SR-Latch

המצב אינו ידוע /S=R=0 ומשנים אותם ביחד ל- S=R=1 אם הערה: SR-Latch ב- S, R אין לשנות בו זמנית את –מוגדר. לכן יש מוסכמה

אינו מוגדר.S=R=1והמצב

Gated SR-Latch:טבלת עירור

G S R Q)t+1(1 0 0 Q1 0 1 01 1 0 11 1 1 -

D-latch / Transparent Latch:טבלת עירור

G Q)t+1(0 Q1 D

Edge Triggered D Flip-Flop:

"ייזכר" ע"י הרכיבDמה שנכנס לכניסה -ברגע שהשעור יעבור מצב.

כניסת- רק כאשר שינוי מצב מתאפשר .1 ל- 0השעון משתנה מ-

יש רכיבים שבהם שינוי מצב מתאפשר-.0 ל- 1רק כאשר כניסת השעון משתנה מ-

–כל עוד כניסת השעון נשארת קבועה -הרכיב "זוכר" את המצב הקיים.

זמן ההתפשטות–תנאי לפעולה תקינה - Slave. כלומר, ה- Master קצר מזמן ההתפשטות ב- NOTבשער

משתנה.Masterינעל לפני שיציאת ה-

:FFמאפייני תזמון של -TPC-Qהשפה מרגע התפשטות. זמן :

הפעילה של השעון )שינוי מצב בשעון( ועד שמוצא הרכיב מתייצבעם התוכן החדש.

-TCC-Q: הזמן מרגע השפה הפעילה של השעון, בו עדיין מובטח שמוצא הרכיב יציב בערכו הקודם.

TPC-Q > TCC-Q

-TS – )Setup Time( הכניסה .Dחייבת לפני השפה הפעילה של השעון.TSלהיות יציבה לפחות

-TH – )Hold Time( הכניסה .Dחייבת אחרי השפה הפעילה.THלהשאר בערכה החוקי לפחות

הערות:-TS -ו TH.הן דרישות שהיצרן מגדיר -TS -ו THלהשהיות בהשוואה קטנים

אחרות..TCC-Q > THבד"כ נדרוש: -

מערכות עקיבה סינכרוניות(:Finite State Machine)מכונת מצבים סופית

כמצב.1 מוגדר מהם אחד בד"כ מצבים. של סופי אוסף ההתחלתי.

מצבים צריך nאם יש .2 תאי זיכרון )אך לכן עושים מינימיזציה שתידון בהמשך(.

יציאות.3 של סופי ומספר בינאריות, כניסות של סופי מספר בינאריות.

אוסף חוקי מעבר המתארים לכל מצב נוכחי ולכל ערכי כניסה.4את המצב הבא.

פונקציה המתארת את היציאות:.5 היציאות הן פונקציה של:Mooreמכונת א.

המצב הנוכחי בלבד. היציאות הן פונקציה של:Mealyמכונת ב.

המצב הנוכחי והכניסות הנוכחיות. היא מצב פרטי של מכונתMooreמכונת ג.

Mealy.לא ניתן לממש באמצעות מערכת סופית:.6 FSMכל פעולה

רצויה על הקלט, מפני שיש לנו מספר סופי של מצבים. לכן, עלשתאפשר מסוימת חוקיות בעל מחזורי או סופי להיות הקלט

יצירת מספר סופי של מצבים.פלט להוציא חייבת מחזורי קלט המקבלת סופית מכונה

מחזורי.

Flip Flops: משמשת לניתוח מערכות )אנליזה(.–טבלת אפיון משמשת לתכנון מערכות )סינתזה(.–טבלת עירור

Y)t(=R’Y)t-1(+S :SR-FF

SRטבלת עירור SRטבלת אפיון Y)t-1( Y)t( S R S R Y)t(

0 0 0 d 0 0 Y)t-1(0 1 1 0 0 1 01 0 0 1 1 0 11 1 d 0 1 1 -

Y)t(=JY’)t-1(+K’Y)t-1( :JK-FFJKטבלת עירור JKטבלת אפיון

Y)t-1( Y)t( J K J K Y)t(0 0 0 d 0 0 Y)t-1(0 1 1 d 0 1 01 0 d 1 1 0 11 1 d 0 1 1 Y)t-1(’

D-FF: Y)t+1(=DDטבלת עירור Dטבלת אפיון

Y)t-1( Y)t( D D Y)t(0 0 0 0 00 1 1 1 11 0 01 1 1

T-FF: Y)t(=TY)t-1(Tטבלת עירור Tטבלת אפיון

Y)t-1( Y)t( T T Y)t(0 0 0 0 Y)t-1(0 1 1 1 Y)t-1(’1 0 11 1 0

מסוג אחר:FF מסוג אחד בעזרת FFמימוש .SR בעזרת JKדוגמא: בניית

רושמים טבלה בצורה הבאה:(JK) החדש FF שבעזרתו בונים את ה-)FF )SRע"פ טבלת העירור של

משתני עירור R ו- Sתוצאה נדרשת ע"י J K y)t-1( Y)t( S R0 0 0 0 0 d0 0 1 1 d 00 1 0 0 0 d

וכן הלאה...

אנליזה )ניתוח( של מערכות עקיבה סינכרוניות)משוואות הכניסה( משוואות העירוררושמים את .1 –

השונים במערכת.FF מה שנכנס ל- אז"ה- .2 של האופייניות המשוואות אתFFע"י מוצאים

.משוואות המצב הבא )מוצא המערכת(.משוואת התפוקהמוצאים את .3טבלת מעברים:.4

PS NS

y1 y2X=0 X=1

Y1 Y2 Z Y1 Y2 Z0 0 0 1 0 0 0 10 1 1 1 0 1 0 01 0 0 1 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 0

PS –( המצב הנוכחי Present State.)NS –( המצב הבא Next State.)

X –.הוא הכניסה למערכת Z – -נקבע לפי ה PS.

טבלת מצבים:.5לכל מצב של המערכת נותנים שם )אות(.

PS NSX=0 Z X=1 Z

A B 0 A 1B D 0 C 0C B 0 A 0D D 1 C 0

דיאגרמת מצבים:.6

סדרותמוצאים מה עושה המערכת ע"י הצבת מספר .7.כניסה

סינתזה )תכנון( של מערכות עקיבה סינכרוניות.הגדרת מצבים.1.דיאגרמת מצבים.2.טבלת מצבים.3.טבלת מעברים.4למימוש.5 עירור בעזרת טבלת FF'טב )לפי מסוים

המעברים הנ"ל(.PS NS

y1 y2X=0 X=1

J1 K1 J2 K2 Z J1 K1 J2 K2 Z0 0 0 d 1 d 0 0 d 0 d 10 1 1 d d 0 0 1 d d 1 0

1 0 d 1 1 d 0 d 1 0 d 01 1 d 0 d 0 1 d 0 d 1 0

.Z ולמוצא FF ל- מפות קרנו.6 העירור והתפוקה.רישום משוואות.7

מערכות מורכבותמבנה כללי:

מונה: תכנון מונה מתבצע ע"פ סד"פ סינתזה של מערכות עקיבה סינכרוניות,

כאשר הכניסות.

:Ripple Counterמחלק תדק ומונה בינארי / דוגמא:

שניות ע"י שימוש בשעון של 256מונה בינארי של שניות הכולל2 Clear.

מחזורי שעון:128 שניות, ולכן המונה צריך לספור 2מחזור השעון הוא .

.Clear בעל כניסת T-FF- נשתמש ב- .T-FF לכל ה- 0 מכניס Clear- ביצוע

מתעדכן בעליית השעון!T-FF- ה-

שניות2 הוא clkאבל בגלל שה- bit Ripple Counter-6 השרטוט הנ"ל הוא בבינארי וחוזר127 עד 0 )סופר מ- bit Ripple Counter-7אז זהו למעשה

(.0ל-

Qi -מדמה שעון בעל זמן מחזור כפול מQi-1 :

מינימיזציה של מכונותבני הפרדה:

הם בני הפרדה )A, B מצבים 2 Distinguishableאם קיימת סדרת ) המספקת הפרדה( )סדרת לפחות אחת שונותיציאותכניסה

.A, Bמהמצבים

-n מצבים היא באורך nסדרת הפרדה מקסימלית של מכונה עם 1.

K:בני הפרדה מצבים 2 A, B הם Kבני הפרדה אם קיימת עוברם סדרת הפרדה

Kבאורך

שקולים: הם שקולים אם כל סדרת כניסה אפשרית מפיקה אותהA, B מצבים 2

.B או Aסדרת יציאה בין אם המצב ההתחלתי הוא שקולים אמ"מ הם אינם בני הפרדה.B ו- Aכלומר,

K:שקולים A -ו B הם K שקולים אמ"מ הם אינם K.בני הפרדה

למינימיזציה:Mooreהאלגוריתם של ומשם בקלות הראשונה ההפרדה את רואים המצבים מטבלת

מתחילים: ) A B C D F G ( ) E (

x=0 x=1ECBGED CAGADG

) A F ( ) B C D G ( ) E ( . . .מכאן ממשיכים הלאה באותו האופן:

וגם ל-X=0מפתחים את הביטוי גם ל- - X=1לאותה שייכות שקיבלנו מהאותיות אילו ובודקים תמיד

(.E( ואילו שייכות לקבוצה השניה )ABCDFGקבוצה )למשל אפשרית- בחלוקה להשתמש בוחרים

ECBGED(. - x=0אחת )למשל כך- החלוקה את מחדש רושמים

שהמצבים שהופיע כשייכים לקבוצה אחרת יהיו בנפרד. ממשיכים באותו אופן עד אשר מקבלים-

את אותו הביטוי פעמים. אין חשיבות לסדר בתוך הקבוצה, אלא-

רק לשייכות לקבוצה עצמה.

רישום טבלת המצבים החדשה:PS NS

X=0 X=1A = 0 0F = 0 0

BD = 0 0CG = 0 0E = 1 0

מכונות איזומורפיותמכונות שקולות / איזומורפיות:

מכונות הן איזומרפיות / שקולות אמ"מ עבור אותו קלט מקבלים אתאותו הפלט, בשתי המכונות.

מכונות רק במצב סטנדרטי / קנוני.2ניתן להשוות בין

צורה סטנדרטית / קנונית:משמאל הופעתם סדר לפי יקבעו המצבים שמות

לימין ומלמעלה למטה.PS

NSPS

NSX=0 X=1 X=0 X=1

0 0 =A B 0 C 0 0 0 =B D 1 E 0 0 0 =C E 0 C 0 0 0 =D B 0 E 0 1 0 =E C 0 A 0

מכונה קשורה היטב: קיימת סדרת כניסה המעבירה ממצבA, Bמכונה שבה לכל זוג מצבים

A למצב B.

מפענח

Decoder

012

X/Z0/0

B

C

D

0/0

0/1

1/0

0/01/0

1/0

1/1

A

S Q

R Q’

S Q

R Q’

GD

D Q

clk Q’

D Q

G Q’

D Q

G Q’

Data

clk=

Master Slave

בטוח זה זמן עד דבר קרה לא

לתוכן.

זה זמן שעבר אחרי שהתוכן בטוח

התייצב.

רשת צירופיתמונהמחלק תדר

2F 1F

’b’a’c’a’c’bcba

b a c

S

R

Q

’Q

=

S Q

’Q R

klcQ 0

Q 1

T 0

klc Q 0raelC

"1"

T 1

Q 1

T 2

Q 2

T 3

Q 3

T 4

Q 4

T 5

Q 5

נוסחאות במיתוג

Documents