תורת המספרים
DESCRIPTION
תורת המספרים אוניברסיטת ת"אמרצה: דוד סודריTRANSCRIPT
תורת המספרים : מבוא לתורת המספרים 1 פרק
מבואI ) חוגים
תכונותא( חיבור:(1
(i):שייכות
(ii):אסוציאטיביות
(iii):קומטטיביות
כפל:(2(i):שייכות
(ii):אסוציאטיביות
(iii):קיום איבר היחידה
דוגמאות חשובותב(1)Z
2)(i):תכונות בסיסיות
:יחידות ההצגה
(ii):פונקציות חשובות :צמוד
:הגדרת הפונקציה
:תכונות חשובות :סגירות בחיבור
:סגירות בכפל
:זהות
:חח"עיות
©Noy Soffer 2012
:נורמה :הגדרת הפונקציה
:תכונות חשובות :סגירות בכפל
:חח"עיות
:שימוש בנורמה כדי להוכיח זהות
II ) איברים הפיכים בחבורה A הגדרה:א(
*: A תכונות של ב( חבורה כפלית(1 סגורה ביחס ללקיחת הופכי(2
יחס חלוקה ופריקותI ) יחס החלוקה
הגדרהא(
דוגמאות פשוטות של חלוקהב( כל איבר מחלק את עצמו:(1
: 0 כל איבר מחלק את (2
מחלק את כולם: 1(3
כל האיברים ההפיכים מחלקים את כולם:(4
תכונות של חלוקהג( טרנסיטיביות:(1
סגירות בכפל:(2
סגירות בחיבור:(3
הפיכות:(4
©Noy Soffer 2012
II ) פריקות הגדרות בסיסיות:א(
מספרים חברים:(1
מספר אי פריק:(2
מספר ראשוני:(3
משפטים:ב( איבר ראשוני הוא אי פריק(1
הצגה של איבר כמכפלת אי פריקים בחוג השלמים )או המרוכבים((2(i):קיום ההצגה
(ii):ההצגה יחידה )תחום פריקות יחיד( אם ורק אם ראשוני=אי פריק
III ) חלוקה עם שארית ומחלקים משותפים משפט החלוקה עם שארית:א(
מחלק משותף:ב( הגדרת המחלק המשותף המקסימלי:(1
מספרים זרים:(2
: a,b כצירוף לינארי של gcd משפט: הצגת (3
(i):המשפט
(ii):מסקנות
כל מחלק משותף מחלק את gcd(a,b) :
מחלק משותף שמתחלק בכל המחלקים של a,b -הוא ה gcd :
-כל מספר אי פריק ב Z -( 2.2.2 הוא ראשוני )נא לעיין ב
: gcd אלגוריתמים למציאת (4
(i):האלגוריתם של אוקלדיס :שלב ראשון
שלב i :
©Noy Soffer 2012
:הפסקת הלולאה
אזי:
(ii):לפי פירוק לראשוניים
נפרק את a -ו b :לגורמים ראשוניים
:אזי
IV ) ראשוניים הגדרה וטענות בסיסיותא(
הגדרת המספר הראשוני:(1
טענה לגבי עוצמת המספרים הראשוניים:(2
|P|=ℵ 0 שימושים בהוכחה של משפט זה:(3
(i):)משפט דיריכלה )ללא הוכחה
∀ {an}n=0∞ ≔ {a+bn: n∈ N } gcd (a ,b )=1⟺∨P ∩ {an }n=0
∞ ∨¿ℵ 0 משפט המספרים הראשוניים:(4
limx→ ∞
¿ { p∈P : p≤ x }∨ ¿x
ln (x )
=1¿
מיון מספרים ראשונייםב( מספרי פרמה:(1
(i):הגדרה
Fn=22n
+1(ii):טענה פשוטה
∀n ,m∈N gcd ( Fn , Fm )=1(iii):טענת גאוס
כל הצורות הגיאומטריות שניתנות לבנייה ע"י מחוגה ברדיוס קבוע וסרגל בלבד, הן
∏2nמצולעים משוכללים בעלי i∈ I
(22i
צלעות.(1+
מספרי מרסן:(2(i):הגדרה
M n=2p−1: p∈P
(ii):קשר בין מספרי מרסן ומספרים מושלמים :מספר מושלם
©Noy Soffer 2012
:הגדרה לפי מחלקים
n∈N :n= ∑d<n :d∨n
d
:פונקציה סכימת מחלקים :הגדרה
σ (n )=∑d∨n
d
:תכונות מספר ראושני:○
n∈N⟺σ (n )=n+1 מספר מושלם:○
nמושלם⟺σ (n )=2n:טענת אוקלדיס
∀ p∈ P: 2p−1∈P (2p−1 )(2¿¿ p−1)מושלם¿:טענת אוילר
∀n :σ (n )=2n ,∃! p∈P : n=M p (M p+1)
2
משוואות דיופנטיות: שלשות פיתגוריותI ) רעיון: מציאת שלשות פיתגוריות
מטרה:א(
{ (x , y , z )∈Z : [ gcd (x , y )=gcd ( y , z )=gcd ( x , z )=1 ]∧ [ x2+ y2=z2 ]} שיטה:ב(
הבחנה:(1פתרון המשוואה הנ"ל שקול לפתרון המשוואה:
( xz)2
+( yz)2
=1
לכן:(2נמצא את כל הנקודות הרציונליות על מעגל היחידה.
II ) מציאת נקודות רציונליות על מעגל היחידה טענה:א(
(0 , t )∈Q⟺ (a ,b )∈Q
לאחר פיתוחים:ב( צורה כללית:(1
Q ∩ {( x , y ): x2+ y2=1}={( t 2−1t 2+1
,2t
t2+1 ) : t∈Q}
צורה שלמה:(2
©Noy Soffer 2012
Q ∩ {( x , y ): x2+ y2=1}={( u2−v2
u+v2,2uv
u2+v2 ) :u , v∈Z }
(i) :מקרה ראשון u,v :אי זוגיים
x=u2−v2
2; y=uv ; z=u2+v2
2(ii) :מקרה שני u -זוגי ו v :)אי זוגי )או ההפך
x=u2−v2 ; y=2uv; z=u2+v2
ייצוג לפי בסיסI ) הקדמה ותכונות בסיסיות
b ייצוג של מפסר לפי בסיס א( טבעי.n טבעי, ו-b≥2יהי
נניח כי:
n=∑i=0
k
ai bi :∀ i∈ [0 ,k ] :a i∈ ¿
אזי:
n=(a¿¿k ak−1……a1a0)b ¿ תכונה פשוטה: קיום ויחידות ההצגה:ב(
∀b∈ [2 ,∞ )∩ N , ∀n∈N ,∃!k∈N ,∃! {ai }i=0k ⊆ [0 , b ) :n=∑
i=0
k
ai bi
II ) אלגוריתם למציאת ייצוג של מספר לפי בסיס סימונים:א(
q−1=n
: i שלב ב(q i−1=qi b+ai
סיום הלולאה:ג(
qk−1=0 (b )+ak
ייצוג:ד(
n=(a¿¿k ak−1……a1a0)b ¿III ) מספר הספרות
סימון:א(
lb(n) טענות:ב(
הערכת אורך:(1
lb (n )=¿ הערכה של אורך של סכום ספרות:(2
max {l b (n ) , lb (m ) }≤ lb (n+m ) ≤max {lb ( n ) ,lb (m ) }+1
: קונגרואנציות 2 פרק מבוא
©Noy Soffer 2012
I ) הגדרה
a≡ b (mod n )⟺n∨(b−a)II ) תכונות בסיסיות
יחס שקילות:א( קונגרואנציה היא יחס שקילות(1 מחלקות שקילות:(2
∀a∈Z ( a ,≡n )={a+nZ }={a+nr :r∈Z } : n חשבון מודולו ב(
חיבור:(1
∀a ,b∈Z : a≡a ' , b≡b ' a+b≡a '+b ' כפל:(2
∀a ,b∈Z : a≡a ' , b≡b ' ab≡ a' b '
מסקנה:
∀ P (x )∈Z [x ] ,∀a≡ a' (mod n )∈Z P (a ) ≡ P (a ' )(mod n) : n חשבון מחלקות שקילות מודולו ג(
חיבור:(1
∀a ,b∈Z (a+nZ )+( b+nZ )=(a+b )+nZ כפל:(2
∀a ,b∈Z (a+nZ ) (b+nZ )=( ab )+nZ היא חבורה חיבורית: Znד(
עומצת החבורה:(1 ולכן, עוצמתה כעוצמתn ניתנת לייצוג ע"י קבוצת שאריות החלוקה ב-Znנשים לב לכך ש-
.n, כלומר nקבוצת שאריות החלוקה ב- אסוציאטיביות:(2
∀a ,b , c∈Zn a+ (b+c )=( a+b )+c
קומטטיביות:(3∀a ,b∈Zn a+b=b+a
דיסטריביוטיביות:(4
∀a ,b , c∈Zn a (b+c )=ab+ac
: 0 איבר ה-(50Zn
=n Z={nr :r∈Z } איבר נגדי:(6
∀a∈Zn ,∃ ! (−a )∈Zn: a+(−a )=0III ) -איברים הפיכים ב Zn
טענה שימושית:א(
a∈Zn¿⟺ gcd ( a ,n )=1
* היא חבורה כפלית: Znב( סגירות בחיבור:(1
∀a ,b∈Zn ab∈Zn
סגירות בלקיחת הופכי:(2
©Noy Soffer 2012
∀a∈Zn a−1∈Zn
טענות פשוטות:ג(
1)∀ k ,n∈Z : gcd (k ,n )=1 ,∀ a ,b∈Z :ka≡ kb (mod n ) a≡b(mod n)
2)∀ r∈Z :r|n∧ r|k ,∀ a ,b∈Z :ka≡kb (mod n )⟺ kr
a≡kr
b (modnr)
*: Zn עוצמת ד(
|Zn¿|=|φ (n )|=¿ {r∈N :r ≤n∧gcd (r , n )=1 }∨¿
IV ) פונקציית ϕ של אוילר הגדרה:א(
|φ (n )|=¿ {r∈N :r≤n∧gcd (r , n )=1 }∨¿ : ϕ תכונות של ב(
תנאי הכרחי ומספיק לראשוניות:(1
n∈P⟺φ (n )=n−1⟺ Zn¿=Zn/ {0 }⟺Zn שדה
2)ϕ :כפלית ∀n ,m∈Z :gcd (m ,n )=1φ (mn )=φ (m) φ (n)
לפי מכפלת ראשוניים: ϕ דרך לחשב את ג(φ ¿
טענה שימושיתד(
∀n∈N ∑d∨n
φ (d )=n
V ) פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה מתי יש פתרון לקונגרואנציה ממעלה ראשונה:א(
תנאי מספיק והכרחי לקיום פתרון:(1
∃ x∈Z : ax≡ b (mod n )⟺d=gcd (a ,n )∨b מספר הפתרונות:(2
(i)d פתרונות מודולו n
(ii) פתרון יחיד מודולוnd
שיטה למציאת פתרונות:ב( : d=gcd(a,n) נחשב את (1
(i) אםb>0 (mod d)אז אין פתרון ,
(ii)-אחרת, נחלק בd:ad
x≡bd
mod( nd)
נכפיל בהופכי של (2ad
מודולו nd
:
x≡( ad )
−1
( bd )mod ( n
d)
שהתקבל כפולות של x , נוסיף ל- n כדי למצוא פתרונות מודולו (3nd
:
©Noy Soffer 2012
r=0,1,2…nd−1 x≡( a
d )−1
( bd )+ n
dr (mod n)
VI ) פתרון משוואה דיופנטית ax+ny=b תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרונות:א(
∃ x∈Z : ax≡ b (mod n )⟺d=gcd (a ,n )∨b מציאת פתרון:ב(
ax=b (mod n) נפתור את הקונגרואנציה (1
x המתאים לפי y נמצא את ה-(2 פתרונות:ג(
{(( ad )
−1
( bd )+r ( n
d ) ,−( ad )−∝( b
d )) :r∈Z }
VII ) משפט השאריות הסיני
∀ {ni }i=1k ⊆N : [∀ i ≠ j∈ [1 ,k ] gcd ( ni ,n j )=1] ,∀ {c i }i=1
k ⊆N
∃! x∈Z : [∀ i∈ [1 , k ] x≡ c i ( mod ni ) ] mod∏i=1
k
ni
VIII ) משפט אוילר משפט:א(
∀n∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1 , aϕ (n )≡1(mod n) מקרה פרטי: משפט פרמה:ב(
∀ p∈ P ,∀a∈Z :a>0 (mod p ) ap−1≡1(mod p) שיפור:ג(
∀n∈N :∃r , s∈ N{0,1,2 }
:n=rs∧gcd (r , s )=1
∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1, a12
φ (n )≡1(mod n)
IX ) קונגרואנציות פולינומיאליות
בפולינומים: n הגדרה של שקילות מודולו א(
∑i=0
m
ai xi ≡∑
i=0
m
b i xi (mod n )⟺∀ i∈ [0 ,m ]a i≡ bi(mod n)
מיון למקרים:ב( ראשוני: n כאשר (1
הבחנה:
Zn ולכן:0 הוא שדה, ולכן, תחום שלמות, כלומר אין מחלקי ,
f ( a )≡0(mod n)⟺ ( x−a )∨f (x) אינו ראשוני: n כאשר (2
(i) נפרק את n :לגורמים ראשוניים
n=∏i=1
m
pir i
(ii) נפתור את הקונגרואנציות f ( x ) ≡0 (mod piri):
:טענה מצדיקה
©Noy Soffer 2012
:תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרונות
∃ x∈Z : f (x ) ≡0 (mod n )⟺∀ i∈ [1 ,m ] f ( x )≡0(mod pir i)
:מספר פתרונות
(iii) נפתור את הקונגרואנציות f ( x ) ≡0 (mod pi):
(iv) נעשה הרמה של פתרון mod pij לפתרון mod pi
j+1:
נניח כיr j הוא פתרון כללי mod pij:
f ( r j )=0mod pij
נרשום את הפתרון הכלליmod pij+1:כך
r j+1=r j+ p j k
f (r j+ p j k )≡0 (mod p j+1) נעשה פיתוח טיילור סביבr j:
0≡ f (r j+ p j k )=∑m=0
∞ p(m )(r j)m!
p jmk m
הבחנה:
p, כל המחוברים מתחלקים מ-m=0נשים לב לכך שהחל מ- j+1.ולכן, מתאפסים ,
לכן, ניתן לרשום:
0≡f (r j+ p j k )=∑m=0
∞ p(m )(r j)m!
p jmk m=f ( r j )+ f ' ( r j ) p j k (mod p j+1)
נבטא אתf ( r j )=a p j:
a p j+ f ' (r j ) p j k≡0(mod p j+1)
-נצמצם בpij:
a p j+ f ' (r j ) p j k≡0(mod p j+1)
a+ f ' (r j ) k ≡0(mod p):נפתור את
אםf ' (r j ) ≠0 (mod p j) ,יש פתרון יחיד
אםf ' (r j )=0(mod p j) , ישpפתרונות שונים
אםf ' (r j )=0 ( mod p j )∧a≢0(mod p j) ,אין פתרון
X ) שורשים פרימיטיביים
: n הסדר של מספר מודולו א( הגדרה:(1
∀a ,n∈Z : gcd (a ,n )=1ordn (a )=min {r∈Z : ar ≡1 (mod n ) } תכונות:(2
(i) הסדר של מספר מודולו n מחלק את φ (n):
ordn (a )∨φ(n)(ii) הסדר של am מודולו n :
ordn ( am )= ordn(a)gcd (ordn (a ) ,m)
©Noy Soffer 2012
(iii)-תנאי הכרחי ומספיק לכך ש :ak ≡1 (mod n )∀a ,n∈Z : gcd (a ,n )=1 , ∀ k∈N ak≡1 (mod n )⟺ ordn (a )∨k
שורש פרימיטיבי:ב( הגדרה:(1
ordn (a )=φ(n) תכונות:(2
(i):עוצמת מספר השורשים הפרימיטיביים – 0אם אין שורשים פרימיטיביים:אם יש שורש פרימיטיבי אחד
:הבחנה
Zn חבורה ציקלית ¿= {1 , a ,….aφ (n )−1 }
:לפי התנאי להיות שורש פרימיטיבי
שורש am⟺ordn ( am )= φ(n)gcd (m,φ (n ))
=φ(n)
:לכןam שורש פרימיטיבי ⟺ m-ו φ (n):זרים
gcd ( m,φ (n ) )=1:לכן
|{a∈Z : ordn (a )=φ (n ) }|=φ (φ (n ))(ii):למי יש שורש פרימיטיבי
מספרים ראשונייםחזקות של ראשוניים אי זוגיים4
XI ) אלגוריתמים של הצפנה
RSAא(( סודיים, כאשר:m,n( מחזיקים את )Alice, Bobשני הצדדים )(1
(i)gcd ( m,φ (n ) )=12)Bob-שולח ל Alice את המסר Eבצורת Em
3)Alice מקבל את F=Em ומעלה F k:כאשר
(i)km=1 מודולו φ (n )(ii)F k≡ Emk ≡ E(mod φ (n ))
Diffie-Hellmanב(1)Alice-ו Bob( מחזיקים את p,a:גלויים כאשר )
(i)pראשוני
(ii)a-זר ל pבחירת מעריך:(2
(i)Bob בוחר k B∈Zp¿
Alice ושולח ל-akB, מחשב את
(ii)Alice בוחר k A∈Z p¿
Bob ושולח ל-akA, מחשב את העלה בחזקה:(3
(i)Bob מקבל את akA ומעלה בחזקת k B כדי לקבל t '=(a¿¿k B)k A¿
©Noy Soffer 2012
(ii)Alice מקבל את akB ומעלה בחזקה k A כדי לקבל את t '=(a¿¿k B)k A¿
:tקביעת (4
t= t '
gcd (t' , p−1)שליחה:(5
Bob-שולח ל Alice את המספר Eבצורת F=Et.
פיענוח:(6Alice מפענח את E:ע"י
st ≡1(mod n)F s≡(E t)s=E
XII ) מבחני ראשוניות מבחן וילסון:א(
(n−1 )!≡−1 (mod n )⟺n is prime המשפט הקטן של פרמה:ב(
הגדרה:(1
∀ p∈ P ,∀ a∈Z : gcd (a , p )=1, a p−1≡1(mod p) בעיה: זהו תנאי הכרחי, אך אינו מספיק:(2
(i):מספרי כרמיכאל :הגדרה
{n∈N :∀ a∈Z : gcd ( a ,n )=1an−1≡1 (mod n ) }:צורה של מספרי כרמיכאל
∀n∈N [∀a∈Z : gcd (a ,n )=1an−1≡1 (mod n ) ]⇕
∃{p i}i=1k ⊂P /{2}:n=∏
i=1
k
pi
(ii) פונקציית λ : :הגדרה
λ (n )={1 n=12 n=2,42 j−2 n=2 j
p j−1( p−1) n=p j
lcm(λ ( p iji )i=1
k) n=∏
i=1
k
piji
פונקציית λ מהווה את הסדר המקסימלי שיכול להתקבל
∀n∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1aλ(n)≡1(mod n)λ (n )=max {ordn (a ) }∃a∈Z : ordn (a )=λ(n)
מבחן רבין מילר:ג( שלבים:(1
(i)-בשלב ה k נחשב את a( n−12k )
2:
©Noy Soffer 2012
אםa( n−12k )
2≡ ±1(mod n)-נמשיך לשלב ה ,k+1
אםa( n−12k )
2≢±1(mod n)נעצור ,
ולכן, הוא אינו, a לא עובר את מבחן רבין מילר לפי בסיס nבמקרה זה, נאמר כי ראשוני.
(ii):מתי עוצרים את הלולאה
אםa( n−12k )
2≢±1(mod n) , אזnאינו ראושני
אםn−12k ,אז לא ניתן לקבוע אם אי-זוגיnראשוני
בעיה: זהו תנאי הכרחי, אך אינו מספיק, ולכן, נדרשים הרבה בסיסים על מנת לקבוע(2
: קונגרואנציות ריבועיות 3 פרק I ) :אינטואיציה – פתרון משוואה ריבועית כללית
המשוואה:א(
a x2+bx+c≡0(mod n) : 4a נכפיל את הכל ב-ב(
4 a2 x2+4abx+4ac≡0(mod 4 an) מעט אלגברה:ג(
(2ax+b)2≡ b2−4ac מסקנה:ד(
b2−4יש פתרון אם ורק אם ac.שורש ריבועי
II ) :מציאת שורשים ריבועיים
ראשוני: p>2 עבור א( משפט מנחה:(1
∃ x∈Z : xm ≡a (mod n )⟺aφ(n)
gcd (φ (n) , m)≡1(mod n) מסקנה: קריטריון אוילר:(2
aφ(n)
gcd (φ ( n) ,m )≡ ap−12 ≡1(mod n)
**הערה: לכן, על מנת לשלול קיום של שורש ריבועי מספיק לדרוש כי:
ap−12 ≡−1(mod n)
טענה: מספר השורשים הריבועיים מודולו מספר ראשוני שווה למספר השורשים הלא(3ריבועיים:
|{a∈Z :∃ x∈Z x2≡a (mod p ) }|=|{a∈Z :∀ x∈Z x2≢a (mod p ) }|= p−12
p עבור ב( j כאשר p>2 :ראשוני
כי: 2.1.1 כמו מקודם, נסיק ממשפט מנחה (1
gcd (2 , φ ( p j ))=2⇒ap j−1( p−1)
2 ≡1(mod p j)
©Noy Soffer 2012
הבחנה: יש כאן שורש פרימיטיבי, ולכן, נרשום:(2
x≡ gt ;a≡ gr⇒ gmt ≡ gr (mod p j) פתרונות. 2 מסקנה: יש לקונגרואנציה (3
2 עבור ג( j:
: j=1 עבור (1
∃ x∈Z2¿ : x2≡a (mod 2 )⟺ x≡1∧a≡1(mod 2)
: j=2 עבור (2
∃ x∈Z4¿ : x2≡ a (mod 4 )⟺ x≡±1∧a≡1 (mod 4 )
: j>2 עבור (3
(i) :הבחנה a אי-זוגי
(ii):פיתוח
נרשום x=2r+1 :כך ש
4 r (r+1 )+1≡ a(mod 2k)-לכן, הכרחי ש a≡1(mod 8)
(iii):טענה שימושית
∀ k∈N ,∃ x∈Z : x2≡1 ( mod 2k )⟺a≡1(mod 8)III ) הלמה של גאוס
הלמה עצמה:א(
∀ p∈ P{2 }
,∀ a∈Z : gcd ( a , p )=1( ap )=(−1 )l :
l=¿ { j∈[1,p−12 ]:∃ r∈[−p−1
2,
p−12 ] :r<0 r ≡aj (mod p )}∨¿
מסקנות:ב( : p מודולו 2 הסמל של (1
∀ p∈ P/ {2 },( 2p )=(−1)p2−18 ={ 1 p≡ ±1(mod 8)
−1 p≡ ±3 (mod 8) משפט על ראשוני מרסן:(2
∀ p∈ P/ {2 }: [ p≡3 (mod 4 ) ]∧ [2 p+1∈ P ]2p−1∈ P⟺ p=3
IV ) חוק ההדדיות הריבועית של גאוס
∀ p ,q∈P/ {2 }: p≠ q ( pq )( q
p )=¿
V ) הכללה של הסמל של לז'נדר – הסמל של יעקובי הגדרה:א(
∀ n∈N :n=∏i=1
k
pi ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1( an )=∏
i=1
k
( api
) תכונות:ב(
סגירות בכפל:(1(i):סגירות בכפל מונים
©Noy Soffer 2012
∀ n∈N ,∀ a ,b∈Z : gcd (a ,n )=gcd (b ,n )=1( abn )=( a
n )( bn )
(ii):סגירות בכפל מכנים
∀ n ,m∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=gcd (a ,m )=1( anm )=( a
n )( am )
סדים מיוחדים:(2(i) 1 הסמל של :-
∀ n∈N (−1n )=¿
(ii) 2 הסמל של :
∀ n∈N ( 2n )=¿
חוק ההדדיות הריבועית של גאוס:(3
∀n ,m∈N (mn )( n
m )¿ (−1)( m−1) (n−1)
4
משנתנים 2 : תבניות ריבועיות ב- 4 פרק I ) מבוא
הגדרה: תבנית ריבועיתא(
f :Z2→Z
f ( x , y )=a x2+bxy+c y2: a ,b ,c∈Z דיסקרימיננטהב(
הגדרה:(1
∆ f =b2−4ac זהות פשוטה:(2
4 af ( x , y )=(2ax+by )2−∆ f y2
מסקנה פשוטה מחישוב:(3
∀ f ∈Z [x , y ] :∆f ≤0 ,∀ ( x , y )∈Z2/ {(0,0 ) }sgn ( f ( x , y ) )=sgn (a )=sgn (c) קונגרואנציה:(4
∀∆∈Z ∆ ≡0 (mod 4 )∨∆≡1 (mod 4 )⟺∃ f ∈Z [x , y ] :∆f =∆
II ) פירוק לגורמים לינאריים משפט: קיים פירוק לרציונליים אמ"מ קיים פירוק לשלמים:א(
∀ f ∈Z [x , y ]∃u , v , r , s∈Q : f ( x , y )=(ux+vy ) (rx+xy )⇕
∃α , β , γ , δ∈Z : f (x , y )=( αx+βy )(γx+δy) משפט: קיים פירוק לשלמים אמ"מ הדיסקרימיננטה ריבוע שלם:ב(
∀ f ∈Z [x , y ]∃α , β , γ , δ∈Z : f (x , y )=( αx+βy ) ( γx+δy )⟺∃ k∈Z :∆ f =k2
III ) ייצוג ע"י תבנית
©Noy Soffer 2012
f הגדרה: מיוצג לפי תבנית א(∃u , v∈Z :gcd (u , v )=1∧n=f (u , v )
Δ מיוצג ע"י תבנית עם דיסקרימיננטה n טענה: תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-ב(∀∆∈Z :∆ ≡0 (mod 4 )∨∆≡1 (mod 4 ) ,∀n∈N
∃ f ∈Z [ x , y ] : [∆ f=∆ ]∧¿⇕
∃ x∈Z4n: x2≡ ∆(mod 4n)
S חבורת ג( L2(Z ) – Special Linear :
S L2 ( Z )={U∈M 2× 2 ( Z ): det (U )=1 } תבניות שקולות:ד(
הגדרה: שקילות תבניות:(1
∀ f , g∈Z [ x , y ] , f ≅ g⇔∃U∈S L2 ( Z ) :∀ x , y∈Z ,g ( x , y )=f ( (x , y )U ) תכנות של יחס התבניות השקולות:(2
(i)זהו יחס שקילות
(ii):יחס זה שומר על זרות
∀U∈S L2 ( Z ) , ∀ x , y∈ Z2
{(0,0 ) }: gcd ( x , y )=1⇔ gcd ( x ' , y ' )=gcd ( ( x , y )U )=1
(iii):משפט: קיום תבנית עם מקדמים מסויימים
∀ Δ∈Z : ( Δ≡0,1 ( mod 4 ) )∧ (∀ k∈Z ,k 2≠ Δ ) ,∀ f ∈Z [x , y ] : Δf =Δ
∃g ( x , y )∈Z [x , y ] : ( f ≅ g )∧(g ( x , y )=a x2+bxy+c y2 :|b|≤|a|≤|c|)**מסקנה: מספר האיברים בכל מחלקת שקילות הוא סופי.
דיסקרימיננטה שלילית:ה( סימן התבנית:(1
(i):תבנית חיובית לחלוטין
sgn (f ( x , y ))=sgn (a )=sgn (c )=1/.
(ii):תבנית שלילית לחלוטין
sgn (f ( x , y ))=sgn (a )=sgn (c )=−1**הערה:
sgn (f ( x , y ))=1⇔ sgn (−f ( x , y ) )=−1 תבנית מצומצמת:(2
(i):הגדרה
{f ( x , y )=a x2+bxy+c y2 : (−a<b≤a<c )∨ (0≤b≤a=c ) }(ii):קיום ויחידות של תבנית מצומצמת בכל מחלקת שקילות
∀ Δ∈−N :Δ≡0,1 (mod 4 ) ,∀ [α x2+βxy+γ y2 ]≅ :Δf =Δ
∃! f ∈Z [ x , y ] : f ( x , y )=a x2+bxy+c y2 : (−a<b≤ a<c )∨(0≤ b≤ a=c)
Continued Fractions : שברים משולבים – 5 פרק I ) מבוא
©Noy Soffer 2012
הגדרת השבר המשולבא( כשבר משולב: θ אלגוריתם לחישוב ההצגה של מספר ממשי ב(
( 0 )שלב θ0=θ נסמן: (1
: k שלב (2θk=ak
θk=ak+1
θk +1
תנאי עצירה:(3
[θ s ]=as=θ s∈Z
II ) פולינומים במקדמים שלמים 2 כתיבה של שבר משולב כמנת סימון:א(
[a0 , a1,….an ]=p ( a0 ,…an )q (a0 ,….an )
=pn
qn
נוסחא רקורסיבית לחישוב פולינומים:ב(1)p :
(i)p−2=0(ii)p−1=1(iii)pk +1=ak+1 pk+ pk−1
2)q : (i)q−2=1(ii)q−1=0(iii)qk+1=ak +1qk+qk−1
תכונות פשוטות:ג(
1)qn:עולה מונוטונית
∀n∈N ,qn∈N ,qn+1>qn
pn קשר בין (2 , qn:
(i):משפט
∀ k∈N , pk qk−1−pk−1qk=(−1 ) k−1
(ii):מסקנה
∀ k∈N , gcd ( pk , qk )=1 מנות זוגיות עולות ומנות אי-זוגיות יורדות:(3
∀ k∈N ,p1q1
>….>p2k+1
q2k +1>…>θ>…>
p2k
q2k
>…>p2q2
קירוב של מספר אי רציונלי ע"י מנות של פולינומים:ד( קיום וערך הקירוב:(1
∀ θ∈R/Q , limn→∞
pn
qn
=θ∧ limn→ ∞
¿θ−pn
qn
∨¿ 1qn2
זוה הקירוב האופטימלי:(2
∀ θ∈R/Q ,∀ n∈N ,∀ a ,b∈Z :b∈ [1 , qn+1 ) ,|bθ−a|≥∨qn θ−pn∨¿
©Noy Soffer 2012
III ) פיתוחים מחזוריים למה חישובית פשוטה:א(
∀ p ,q∈Z :q≥1 ,∀ x∈R , ⌊ p+xq
⌋=⌊ p+⌊ x ⌋q
⌋
משפט לגרנז':ב(
∀ θ∈R/Q ,∃N0∈N ,∃m∈N ,∃{ak }k=1m ∈ {0,1 ,…,9 }m :∀n≥ N 0 , an∈ {ak}k=1
m
⇕∃ f ∈Z [ x ] :Δf >0∧f (θ )=0
מחזוריות טהורה:ג( הגדרה:(1
θ=[a0,…am]:θ פולינום מינימלי של (2
(i):הגדרה
{p ( x )=x2+βx+γ : β , γ∈Q∧ p (θ )=0 }(ii):יחידות הפולינום המינימלי
∀ θ∈R/Q :degθ=2 ,∃ ! p∈Q2 [x ] : p (θ )=0∧ f (θ )=0→ p∨f
(iii):הגדרת צמוד ע"י הפולינום המינימלי
הגדרת השדה Q [√d ]:
Q [√d ]={x+ y √d : x , y∈Q}:אוטומורפיזם הצמוד
σ :Q [√d ]→Q [√d ]σ ( x+ y √d )=x− y √d
:הקשר לפולינום מינימלי
∀ θ∈R/Q :deg (θ )=2 , p ( x )=( x−θ ) ( x−θ' ): θ'=σ (θ) מעלQ [√Δ](iv):תנאי מספיק והכרחי למחזוריות טהורה
∀ θ∈R/Q :deg (θ )=2 ,∃m∈N ,∃ {ak }k=0m ⊂ {0,1…9 }N :θ=[a0 ,… ..am ]
⇕θ>1∧−1<θ '<0
: Pell מציאת פתרונות של משוואת (3
(i) הגדרת משוואת Pell :
x2−d y2=1 :d∈Z /Z2
(ii):טענת עזר פשוטה
∀d∈Z /Z2 ,∃m∈N :∃ {ak }k=0m:
1
√d−[√d ]=[a0 ,….am ]
(iii)תכונות של הפתרונות
קשר לפיתוח של √d:
∃n∈N : x=pn∧ y=qn
מה ניתן לומר על n :
{n∈N : pn2−d qn
2=1}={n∈2N+1 :n≡−1 (mod m )}
©Noy Soffer 2012
המבנה של הפתרונות הוא חבורה כפלית Z [√d ]¿:
:הגדרה
Z [√d ]¿={z∈Z : z z '=1}:זו חבורה ציקלית
∀d∈Z /Z2 ,∃ z0∈Z [√d ]¿ :Z [√d ]¿={± z0n:n∈Z }
Quadratic Fields : שדות ריבועיים 6 פרק I ) מבוא
הגדרת השדה הריבועיא(
∀d∈Z /Z2Q [√d ]={x+ y √d : x , y∈Q} פונקציות בסיסיותב(
אוטומורפיזם ההצמדה:(1
נורמה:(2II ) שלמים אלגבריים
הגדרה:א(
Od={z∈C :∃ p ( x )∈Z [ x ] : [ p ( x )=xn+∑i=0
n−1
a i xi]∧[ p ( z )=0]}
אפיון השלמים האלגברייםב(
Q לכל שדה (1 [√d ]:
Z⊆Od
Ir עבור (2 ( z )≠0:
(i) נניח כי z :שורש אלגברי, ונחפש את צורתו
a+b√d=z שורש של f ( x )=x2+ux+v∈Z [ x]:כאשר ,
:לכן, נדרוש
∀ k∈Z ,a= r2
m=a2−d b2= r2−4 db2
4∈Z
:לכן
r2− (2b )2d=4m : 2b= ts
, gcd (t , s )=1
s2 (r2−4m )=d t 2
s2|d t2⇒ s2|t⇒ t=1
לכן, נקבל כי b=12
:
:מסקנה
r2−d t 2=4m⇒ r2≡ dt 2(mod 4):מקרים
עבור r :אי-זוגי
©Noy Soffer 2012
r2≡t 2≡1 (mod 4 )מסקנה:
d ≢1 (mod 4 )⇒r , t∈2Z
עבור d ≡2,3(mod 4 Od=Z, אז (
נבדוק את המקרה של d ≡1(mod 4):
r2≡t 2 (mod 4 )⇒r ≡ t (mod 2 )⇒∃ k∈Z :r=t+2k: לכן, ניתן לאפיין את השלמים האלגבריים כך(3
Od={ Z+Z √d d ≡2,3(mod 4)
Z+Z( 1+√d2 ) d≡1(mod 4)
מבחנים לקביעת שורש אלגבריג(
u מציאת (1 , v∈Z : ( z=u+v √d )∨ ¿ בדיקה אם:(2
f ( x )= (x−z ) ( x−z ' )∈Z [ x ]?? ?
:Od איברים הפיכים ב-ד(
הגדרה:(1
Od¿={z∈Od : z
−1∈Od }={ z∈O d:N ( z )=±1 }
Od אפיון (2¿
לפי מקרים:
(i) עבור d<0 :
3− אם≠ d←1:אז ברור כי ,
Od¿={±1 }
אם d=-1 :אז מדובר בחבורת השלמים של גאוס ,
O−1¿ ={±1, ± i}
אם d=-3 :אזי ,
O−3¿ ={±1 ,±
12
(1+√−3 ) , ± 12
(1−√−3 )}={z∈C : z6=1 }
(ii) עבור d>0 :
:טענה Od¿
ציקלית:
∀d∈N : [∀ k∈Z ,d>0 (mod k ) ] ,∃ ε∈Od¿ :Od
¿={± ε n:n∈N }III ) :תחום פריקות יחידה
פריקות לגורמים ראשוניים:א(
∀d∈Z : [∀a∈Z ,d>0 (mod a ) ] ,∀ z∈Od / {0 }/Od¿ ,∃ { pi }⊆POd
: z=∏i=1
k
pi
תחום פריקות יחידה:ב( הגדרה:(1
Od :∀ z∈Od/ {0}/Od¿ ,∃! {p i }⊆PO d
: z=∏i=1
k
pi
ראשוני=אי פריק אמ"מ מדובר בתחום פריקות יחידה:(2
©Noy Soffer 2012
∀ z∈Od/ {0 }/Od¿ ,∃! {p i }⊆POd
: z=∏i=1
k
pi ⇔
{ p∈O d: p|ab⇔ p|a∨ p|b}={p∈O d:∀ a∈Od/Od¿ / pOd
¿ ,a∤ p }
)ללא הוכחה(: d<0 תחום פריקות יחידה ל- Od משפט לגבי מתי ג(
d∈{−1 ,−2,−3 ,−7 ,−11 ,−19 ,−43 ,−67 ,−163 }IV ) :חוג אוקלידי
הגדרהא(
A :∀α , β∈ A : β≠0 ,∃ γ , δ∈ A : α=βγ +δ :∨N (δ )∨¿∨N (β )∨¿ תנאי מספיק והכחרי לחוג אוקלידיב(
∀d∈Z : [∀a∈Z ,a2∤d ] ,∀α ,β∈Od : β≠0 ,∃ γ , δ∈ A : (α=βγ+δ )∧ (|N ( δ )|<|N ( β )|)⇕
∀ z∈Z [√d ] ,∃t∈Od :|N ( z−t )|<1 אפיון חוגים אוקלידיםג(
d עבור (1 ≡2,3(mod 4 Od=Z, אז ( [√d ]:
d=−2 ,−1,2d עבור (2 ≡1 (mod 4 )∧d<0:
d=−3 ,−7 ,−11: באופן כללי, הנה הם כל החוגים האוקלידים(3
d=−11 ,−7 ,−2 ,−1,2,3,5,6,7,13,17,19,21,29,33,37,37,41,57,73 gcd בחוגים אוקלידים ניתן להשתמש באלגוריתם אוקלדס לחישוב ד(
V ) -ראשוניות ואי פריקות ב Od:
טענה פשוטה: כל ראשוני שלם אלגברי מחלק ראשוני טבעיא(
∀π∈ P ( Od ) ,∃! p∈P ( N ) : π |Odp
תחום פריקות יחידהOd ראשוניות בב(
: לכל ראשוני טבעי, יש ראשוני שלם אלגברי שמחלק אותו: 5.1 משפט הפוך ל-(1 הגדרה: מונח מעל:(2
N תכונה של (3 (π ):
(i):פיתוח
נניח כי π∨p⇒ p=απ:ניקח נורמה :
p2=N ( p )=N ( α ) N (π )מסקנה :
N (π )∨p2⇒∨N ( π )=p , p2
(ii):מקרים
עבור ¿ N (π )∨¿ p:
p=± π ⋅π ' :מסקנה p :מתפרק לגורמים אי פריקים
.Od אינו ראשוני ב-pלכן,
עבור ¿ N (π )∨¿ p2:
p2=± π ⋅ π '
©Noy Soffer 2012
:הבחנה
p2=± π ⋅ π '=N ( π ) N (α )=p2N (α ):מסקנה
N (α )=1⇒α∈Od¿
.Od ראשוני ב- pלכן,
VI ) :משפט המספרים הראשוניים משפט המספרים הראשוניים:א(
limx→ ∞
π ( x )x
lnx=lim
x→ ∞
¿ {n≤ x :n∈P ( N ) }∨¿x
lnx=1¿
משפט צ'בישב:ב( המשפט עצמו:(1
∃ c1 , c2>0:∀ x ≥2 ,c2 x
logx≤ π ( x ) ≤
c1 x
logx מסקנה לגבי הערכת המספרים הראשוניים:(2
∃α , β>0:∀ r ≥2 , βrlogr ≤ pr ≤ αrlogr
©Noy Soffer 2012