УДК 530.145ББК 22.31я73

В14

Рецензенти: д-р фiз.-мат. наук Ю.О.Ситенко (Iнститут теоретичної фiзикиiменi М. М.Боголюбова), д-р фiз.-мат. наук, проф. М. В. Ткач(Чернiвецький нацiональний унiверситет iменi Ю.Федьковича),д-рфiз.-мат. наук О.Б.Заславський (Харкiвський нацiональнийунiверситет iменiВ. Н.Каразiна)

Затверджено Мiнiстерством освiти i науки, молодi та спорту Українияк пiдручник для студентiв вищих навчальних закладiв

(лист №1/11-596 вiд 18.01.2012)

В 14Вакарчук I. О.Квантова механiка : пiдручник / I. О. Вакарчук. — 4-те вид., доп.— Львiв : ЛНУ iменi Iвана Франка, 2012. — 872 с.: 78 iл.ISBN 978-966-613-921-7.У пiдручнику подано послiдовний виклад фiзичних основ i математичногоапарату квантової механiки та її застосування до рiзних задач. Матерiалкнижки вiдповiдає стандартнiй унiверситетськiй програмi курсу квантовоїмеханiки й охоплює всi її роздiли. Фактично — це пiдручник з канонiчно-го курсу “Квантова механiка”, який є частиною загального курсу “Теорети-чна фiзика” й читається студентам III–IV курсiв фiзичних спецiальностейунiверситетiв. Особливу увагу придiлено численним iлюстрацiям зв’язку фi-зичних явищ iз фундаментальною величиною — хвильовою функцiєю та їїфазою, принциповi суперпозицiї, фiлософському трактуванню ймовiрнiсноїконцепцiї квантової механiки, квантовiй iнформацiї. Подано також багатоприкладiв–задач, серед яких поряд iз традицiйними є ориґiнальнi та такi,що їх звичайно не включають до пiдручникiв. Розв’язки цих невеличкихпроблем дадуть змогу читачевi глибше зрозумiти основний матерiал i кон-тролювати його засвоєння. Нарис творення квантової механiки та iсторичнiекскурси, що супроводжують основний матерiал, мiстять знання, якi є не-обхiдним елементом культури фiзика. Невiд’ємною частиною пiдручника євiдступи та виноски, де подано цiкавi задачi, часом, може, несподiванi, наве-дено аналогiї з класичної механiки, теорiї музики, мистецтва. . .Мета цього— звернути увагу читача на зв’язки мiж рiзними явищами, що охоплюють iлюдську дiяльнiсть, та продемонструвати силу й унiверсальнiсть математи-ки в їх аналiзi.

Для студентiв, аспiрантiв, науковцiв. Буде корисний для викладачiв i всiх,хто цiкавиться квантовою фiзикою.

УДК 530.145ББК 22.31я73

c© I. О. Вакарчук, 1998c© I. О. Вакарчук, доповнене, 2004c© I. О. Вакарчук, доповнене, 2007

ISBN 978–966–613–921–7 c© I. О. Вакарчук, доповнене, 2012

ЗМIСТ

Передмова до четвертого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Передмова до третього видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Передмова до другого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Передмова до першого видання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Вступ 13Iсторичний нарис створення квантової теорiї . . . . . . . . . . . 13

Роздiл I. Основнi принципи квантової механiки 31§ 1. Опис стану у квантовiй механiцi . . . . . . . . . . . . . . . 31§ 2. Хвильова функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43§ 3. Принцип суперпозицiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54§ 4. Парадокси квантової механiки . . . . . . . . . . . . . . . . . 69§ 5. Хвильова функцiя вiльної частинки . . . . . . . . . . . . . 71§ 6. Середнi значення координати та iмпульсу . . . . . . . . . . 84§ 7. Спiввiдношення невизначеностей Гайзенберґа . . . . . . . . 89

Роздiл II. Математичний апарат квантової механiки 101§ 8. Оператори фiзичних величин . . . . . . . . . . . . . . . . . 101§ 9. Власнi функцiї i власнi значення операторiв

та їх фiзична iнтерпретацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109§ 10. Властивостi власних функцiй i власних значень

ермiтових операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125§ 11. Спiввiдношення невизначеностей для фiзичних величин,

що представляються некомутуючими операторами . . . . . 131§ 12. Рiзнi представлення станiв квантових систем.

Бра- i кет-вектори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137§ 13. Рiзнi представлення операторiв. Матрицi операторiв . . . . 142§ 14. Квантова механiка — теорiя лiнiйних операторiв

у гiльбертовому просторi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Роздiл III. Рiвняння Шрединґера 155§ 15. Хвильове рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155§ 16. Закон збереження ймовiрностi. Рiвняння неперервностi . . 162§ 17. Змiна середнiх значень фiзичних величин iз часом.

Квантовi дужки Пуаcсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3

§ 18. Стацiонарнi стани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170§ 19. Представлення Шрединґера i представлення Гайзенберґа . 176

Роздiл IV. Найпростiшi задачi квантової механiки 181§ 20. Частинка в одновимiрнiй прямокутнiй потенцiальнiй ямi

з безмежно високими стiнками . . . . . . . . . . . . . . . . 181§ 21. Гармонiчний осцилятор. Хвильовий пiдхiд . . . . . . . . . . 186§ 22. Гармонiчний осцилятор. Метод операторiв породження

та знищення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195§ 23. Метод факторизацiї для визначення власних значень

та власних функцiй операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . 208§ 24. Ангармонiчний |x|-осцилятор . . . . . . . . . . . . . . . . . 224§ 25. Проходження частинки крiзь потенцiальний бар’єр . . . . 233§ 26. Холодна емiсiя електронiв з металу . . . . . . . . . . . . . . 244§ 27. Теорiя Ґамова α-розпаду важких ядер . . . . . . . . . . . . 246

Роздiл V. Зв’язок квантової механiки з класичною 249§ 28. Перехiд вiд квантових рiвнянь руху до класичних . . . . . 249§ 29. Хвильова функцiя у квазiкласичному наближеннi.

Метод Вентцеля–Крамерса–Брiллюена . . . . . . . . . . . . 254§ 30. Правило квантування Бора–Зоммерфельда . . . . . . . . . 260§ 31. Квантова механiка та iнтеґрали за траєкторiями . . . . . . 275

Роздiл VI. Момент кiлькостi руху 287§ 32. Оператор повороту i момент кiлькостi руху . . . . . . . . . 287§ 33. Власнi значення та власнi функцiї операторiв квадрата

й проекцiй моменту кiлькостi руху . . . . . . . . . . . . . . 294§ 34. Власнi функцiї операторiв квадрата й проекцiй

орбiтального моменту кiлькостi руху . . . . . . . . . . . . . 305§ 35. Спiн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312§ 36. Матрицi операторiв повороту для j = 1 . . . . . . . . . . . 323§ 37. Квантове обертання твердого тiла . . . . . . . . . . . . . . 328§ 38. Ядерний квадрупольний резонанс . . . . . . . . . . . . . . . 332

Роздiл VII. Рух частинки в центрально-симетричному полi 341§ 39. Рух у полi центральної сили. Радiальне рiвняння

Шрединґера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341§ 40. Просторовий осцилятор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349§ 41. Атом водню . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356§ 42. Атом водню. Метод факторизацiї . . . . . . . . . . . . . . . 377§ 43. Атом водню. Iнтеґрал руху Лапласа–Рунґе–Ленца . . . . . 381§ 44. Радiальне рiвняння Шрединґера в N -вимiрному просторi . 387

4

Роздiл VIII. Теорiя збурень 399§ 45. Стацiонарна теорiя збурень. Невироджений випадок . . . . 399§ 46. Моделi з малими параметрами, створеними з “Нiчого” . . . 408§ 47. 1/N -розклад . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416§ 48. Ефективна маса домiшок у конденсованих тiлах . . . . . . 426§ 49. Модель iз неаналiтичною залежнiстю енерґiї

вiд константи взаємодiї . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431§ 50. Теорiя збурень у випадку виродження . . . . . . . . . . . . 434§ 51. Ефект Штарка в атомi водню . . . . . . . . . . . . . . . . . 438§ 52. π-електронна теорiя органiчних молекул . . . . . . . . . . 443§ 53. Варiацiйний принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450§ 54. Непертурбацiйний розрахунок енерґетичного спектра

ангармонiчного осцилятора . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460§ 55. Теорiя збурень, залежних вiд часу . . . . . . . . . . . . . . 467§ 56. Iмовiрнiсть квантового переходу за одиницю часу . . . . . 472§ 57. Розсiяння нейтронiв у конденсованих тiлах . . . . . . . . . 476§ 58. Квантовi переходи пiд дiєю раптових збурень . . . . . . . . 480

Роздiл IX. Взаємодiя атома з електромагнiтним полем 483§ 59. Квантування вiльного електромагнiтного поля . . . . . . 483§ 60. Ефект Казимира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497§ 61. Теорiя випромiнювання й поглинання свiтла . . . . . . . . 504§ 62. Електричне дипольне випромiнювання.

Правила вiдбору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513§ 63. Електричнi квадрупольнi та магнiтнi

дипольнi переходи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521§ 64. Час життя збуджених станiв атомiв. Природна ширина

спектральних лiнiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532§ 65. Квантова теорiя дисперсiї свiтла . . . . . . . . . . . . . . . 545§ 66. Фотоефект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

Роздiл X. Релятивiстська квантова механiка 567§ 67. Рiвняння Кляйна–Ґордона–Фока . . . . . . . . . . . . . . . 567§ 68. Кеплерiвська проблема в теорiї Кляйна–Ґордона–Фока . . 575§ 69. Рiвняння Дiрака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582§ 70. Матрицi Дiрака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586§ 71. Рiвняння неперервностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593§ 72. Момент кiлькостi руху в теорiї Дiрака . . . . . . . . . . . . 595§ 73. Вiльний рух релятивiстської частинки . . . . . . . . . . . . 598§ 74. Сферичний спiнор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612§ 75. Рiвняння Паулi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616§ 76. Квазiрелятивiстське наближення рiвняння Дiрака.

Спiн-орбiтальна взаємодiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620§ 77. Атом водню з урахуванням релятивiстських поправок . . . 626§ 78. Точний розв’язок рiвняння Дiрака для кулонiвського

потенцiалу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635

5

§ 79. Атом у магнiтному полi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641§ 80. Рух частинки в однорiдному магнiтному полi . . . . . . . . 644

Роздiл XI. Квантова механiка системи багатьох частинок 651§ 81. Принцип тотожностi частинок у квантовiй механiцi . . . . 651§ 82. Теорiя атома гелiю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662§ 83. Вiд’ємний йон водню H− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681§ 84. Метод Гартрi–Фока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686§ 85. Метод Томаса–Фермi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690§ 86. Молекули. Адiабатичне наближення . . . . . . . . . . . . . 697§ 87. Молекула водню H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701§ 88. Молекулярний йон водню H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 708§ 89. Хiмiчний зв’язок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714§ 90. Сили Ван дер Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724§ 91. Бозе-рiдина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

Роздiл XII. Основи квантової iнформацiї 747§ 92. Сплутанi EPR-стани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747§ 93. Квантова телепортацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749§ 94. Спiновi стани системи частинок . . . . . . . . . . . . . . . . 755§ 95. Телепортацiя фотонiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760§ 96. Квантовий комп’ютер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766§ 97. Квантова криптографiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773§ 98. Нерiвностi Белла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

Роздiл XIII. Рух частинки в деформованому просторi 785§ 99. Деформованi дужки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . 785§ 100. Гармонiчний осцилятор у квантованому просторi . . . . . 789§ 101. Рух у центрально-симетричному полi в N -вимiрному

просторi з деформованою алґеброю Гайзенберґа . . . . . . 791§ 102. Атом водню в деформованому просторi . . . . . . . . . . . 799§ 103. Проблема Кеплера в теорiї Дiрака з деформацiєю . . . . . 803

Роздiл XIV. Теорiя розсiяння 817§ 104. Амплiтуда розсiяння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817§ 105. Борнiвське наближення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825§ 106. Розсiяння електронiв на атомi . . . . . . . . . . . . . . . . 828§ 107. Метод парцiальних хвиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830§ 108. Теорiя непружного розсiяння . . . . . . . . . . . . . . . . . 840§ 109. Динамiчний структурний фактор . . . . . . . . . . . . . . 849

Пiслямова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861Список рекомендованої лiтератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865Iменний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

ПЕРЕДМОВА ДО ЧЕТВЕРТОГО ВИДАННЯ

Це видання фактично є стереотипним до третього, яке вийшло2007 року, за винятком того, що додано декiлька нових авторськихприкладiв та виносок, усунено виявленi друкарськi помилки, зро-блено незначнi змiни тексту уточнювального та мовного характе-ру.

Iван Вакарчук

Львiв, серпень, 2011.

ПЕРЕДМОВА ДО ТРЕТЬОГО ВИДАННЯ

Основним доповненням у новому виданнi цього пiдручника євидiлення в окремi глави проблем i досягнень квантової iнформа-цiї та квантової механiки у просторах iз деформованими дужкамиПуассона, якi в попереднiх подано лише частково й “розпорошено”в прикладах i вiдступах по всiй книжцi.

Докладнiше розглянуто в окремих параграфах теорiю кванто-вих комп’ютерiв, квантову телепортацiю та квантову криптогра-фiю. Хоча цi питання є лише додатковими до головних роздiлiвкурсу квантової механiки, однак вони вражаюче яскраво iлюстру-ють фундаментальнi принципи теорiї, i сьогоднi їх iнтенсивно тауспiшно дослiджують експериментатори зi сподiванням запрова-дити незабаром цi новi явища в наше повсякденне життя.

Крiм того, подано новi задачi квантової механiки частинки змасою, залежною вiд координат, яка рухається в багатовимiрномупросторi з деформованою алґеброю Гайзенберґа для операторiв,що представляють узагальненi координати та iмпульси. Цей на-прямок, який тепер активно розвивають, своїми витоками йде вiдiдеї квантування простору, що належить одному з творцiв кван-тової теорiї В. Гайзенберґовi.

Доповнено це видання й новими прикладами, значна части-на з яких є авторськими. Поданi в пiдручнику приклади можутьскласти окремий збiрник задач для активного вивчення загаль-них iдей i принципiв квантової механiки, а деякi з них можутьмати для допитливого Читача продовження як самостiйне науко-ве дослiдження.

Частина доданого матерiалу виходить (як це було й у попе-реднiх виданнях) за межi традицiйної програми курсу квантовоїмеханiки й бiльше розрахована на аспiрантiв та молодих дослi-дникiв, якi не обмежують свою природну цiкавiсть або ж науковатворчiсть яких торкається цих питань.

У цьому виданнi також зроблено кiлька нових вiдступiв та ви-носок, якi супроводжують i забарвлюють основний текст i мають,як i попереднi, дещо атракцiйний характер. Готуючи до друкуперше видання книжки, я вагався, чи доречно давати цi виноскита вiдступи в такому академiчному творi як унiверситетський пiд-ручник iз квантової механiки. Виявилось, однак, що це виправда-ло себе, оскiльки вони не лише iлюструють студентам можливiстьопису рiзноманiтних явищ природи однаковими фiзичними моде-лями та математичними засобами дослiдження, розсовуючи межiїхнього свiтогляду й виховуючи в них вiдчуття свободи науковоїтворчостi, але й завдяки своїй доступностi цi вiдступи викликалинесподiвано жваву зацiкавленiсть i тих Читачiв, якi є далекимивiд цiєї прекрасної науки з її запаморочливою математикою, i, щоголовне, спричинили серед широкого кола людей рiзних професiй,якi прагнуть насолоджуватись процесом пiзнання й чути музикусфер, популяризацiю засадничих квантовомеханiчних принципiв iпонять, що є достатньо простими, хоча, може, i незбагненними. . .

Висловлюю глибоку подяку своїм колегам з кафедри те-оретичної фiзики Львiвського унiверситету В.М.Ткачуковi,В.М.Мигалевi, А.А.Ровенчаковi, Ю.С.Криницькому, Б.В.Буд-ному, М.М.Стецковi, М.В.Шльонзак, Н.А.Сiдлецькiй, Р.О.При-тулi за тi години дискусiй, якi вони подарували менi, неодноразовоперечитуючи рiзнi роздiли рукопису книжки, а також рецензен-там М. В. Ткачевi, Ю. О. Ситенковi, О. Б. Заславському за їхнiзауваження та винятково доброзичливi й щирi поради, О. Кiктєвiйза комп’ютерний набiр книжки й постiйну та активну допомогу.

Iван ВакарчукЛьвiв, сiчень, 2007.

ПЕРЕДМОВА ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ

Друге видання цьoго пiдручника порiвняно з першим, яке ви-йшло у свiт п’ять рокiв тому, доповнено з урахуванням розвиткуквантовомеханiчної теорiї, експериментальних досягнень, зробле-них останнiм часом завдяки фiлiґранному використанню новихiнструментальних можливостей; змiст доповнень вiдбиває й деякiпобажання читачiв, а також особистi зацiкавлення автора як кон-кретними задачами, так i концептуальними засадами квантовоїмеханiки.

Розширено iсторичний нарис створення квантової теорiї з осо-бливою увагою до тих перших крокiв М. Планка, що привели йогодо гiпотези квантiв i вiдкриття фундаментальної сталої ~, яку на-звано його iменем. Ширше обговорено питання iнтерпретацiї кван-тової механiки, її так званi парадокси, теорiю схованих параме-трiв. Докладно подано явище квантової телепортацiї, заторкнутотакож питання квантових комп’ютерiв та квантової криптографiї— це може розглядатись i як вступ до теорiї квантової iнформацiї,що тепер бурхливо розвивається.

Я вважав за доцiльне ознайомити Читача з методом факто-ризацiї для розв’язування рiвнянь на власнi функцiї та власнiзначення операторiв з подальшим його застосуванням упродовжвикладу матерiалу. Цей метод, який винайшов Е. Шрединґер,дiстав останнiм часом новий iмпульс до свого розвитку. Уведе-но також кiлька “метрологiчних” задач, таких, як ангармонiчний|x|-осцилятор та заряджена частинка в магнiтному полi; послiдов-но подано теорiю збурень з малим параметром, що є величиною,оберненою до вимiрностi простору (1/N -розклад), з iлюстрацiєюефективностi такого пiдходу на конкретних моделях; наведенорозв’язки низки нових задач та прикладiв, зокрема i непертур-бацiйний пiдхiд до обчислення власних значень енерґiї ангармонi-чного осцилятора; точнiше сформульовано деякi твердження, щопiдсилює в них думки автора.

9

Головна мета пiдручника залишилась незмiнною — дати систе-матичний виклад фiзичних основ i математичного апарату кван-тової механiки так, щоб початкiвець, який узявся за її вивчення,iдучи крок за кроком, змiг би досягти глибокого розумiння по-ведiнки квантових об’єктiв у рiзних умовах, а також усвiдомититой незбагненний i парадоксальний факт, що у квантовiй фiзи-цi сила людського розуму, чи не вперше у своїй iсторiї, зiткнув-шись зi справжньою неможливiстю вiзуалiзувати подiї мiкросвiтута з тим, що ми називаємо “поза здоровим глуздом”, виявиласьздатною створити принципово новi засоби пiзнання навколишно-стi, причому не просто вивчати подiї на атомних та субатомнихпросторово-часових масштабах, але й точно передбачати новi яви-ща i “змушувати” їх через створення рiзноманiтних пристроїв слу-гувати людинi.

Щодо самого характеру викладу, то вiн зберiг стиль попере-днього видання, зокрема наведено кiлька нових вiдступiв та вино-сок, роль яких — запросити до дискусiй, на якi нас штовхає глибо-ко закорiнений iнстинкт пошуку нового зi сподiваннями виявититi фiзичнi та математичнi механiзми, що творять багатовимiрнупартитуру зв’язкiв мiж рiзними явищами.

Висловлюю подяку своїм колегам iз кафедри теоретичної фi-зики Львiвського унiверситету В. М. Ткачуковi, Т. В. Фiтьовi,А. А. Ровенчаковi, Ю. С. Криницькому, Б. В. Будному за обгово-рення як принципових, так i “незначних”, але дуже потрiбних пи-тань, викладених тут, рецензентам першого видання цього пiдру-чника проф. В. I. Лендьеловi i проф. М. В. Ткачевi за побажання,якi враховано в новому виданнi, завiдувачевi кафедри теоретичноїядерної фiзики Харкiвського унiверситету проф. Ю. А. Бережно-му за поради й зауваження, якi вiн люб’язно висловив до першоговидання, а також О. Кiктєвiй за комп’ютерний набiр книжки танезмiнну допомогу при її пiдготовцi до друку.

Iван ВакарчукЛьвiв, червень, 2003.

ПЕРЕДМОВА ДО ПЕРШОГО ВИДАННЯ

Пропонований увазi Читача пiдручник з квантової механiкинаписаний на основi курсу лекцiй, якi автор читає упродовж ба-гатьох рокiв студентам фiзичного факультету Львiвського дер-жавного унiверситету iменi Iвана Франка. Вiн вiдповiдає унiвер-ситетськiй програмi курсу квантової механiки.

Вступна частина присвячена короткому iсторичному нарисовiстворення квантової механiки. На мiй погляд, цi знання є важли-вою частиною загальної культури фiзика. Решта глав присвяченаголовнiй метi — систематичному викладу фiзичних основ i ма-тематичного апарату квантової механiки та її застосуванню добагатьох задач. У пiдручнику є подекуди надто детальнi виклад-ки — як показує досвiд, студенти часом потребують для глибшогорозумiння матерiалу саме цих, розписаних до дрiбниць, деталей.Прошу не дратуватись тих читачiв, для яких цi мiсця є очевидни-ми. А взагалi, я намагався викласти матерiал достатньо прозоро,адже мова йде про лекцiї для студентiв III–IV курсiв, а не промонографiю, читачам якої, можливо, i справдi легше зробити де-якi перетворення самим, нiж простежити за викладками автора.Власне тому, що це лекцiї, формули не нумерувалися, а деколиповторювалися з тим, щоб не втомлювати читача безперервнимивiдсиланнями до попереднiх виразiв — це також не сприяє засво-єнню матерiалу. Крiм того, з тих же мiркувань у текстi немаєпокликiв, за поодинокими винятками, на iншi пiдручники: їх пе-релiк подано наприкiнцi книжки. Усi цi пiдручники й монографiїмають свої переваги й недолiки, але вони добре написанi, й з нихучилось не одне поколiння фiзикiв. Особливо рекомендую звер-татись до пiдручникiв, якi написали вченi, що творили квантовумеханiку та зробили свiй внесок у її розвиток. Така iнформацiя “зперших рук” дає змогу простежити за тим, як саме здiйснювалосьтаїнство творення квантової фiзики.

У книжцi є багато прикладiв, якi iлюструють основний мате-рiал i допомагають краще розкрити його змiст. Часом цi простi,

11

але нетривiальнi вправи дають змогу глибше висвiтлити пробле-ми, нiж сухий послiдовний виклад теорiї. Частина прикладiв —це невеличкi задачi, на розв’язки яких є посилання в подальшомувикладi.

Невiд’ємною частиною тексту є вiдступи, в яких обговорено цi-кавi, на мiй погляд, задачi та iсторичнi екскурси. Вони мають наметi не стiльки розважити Читача, скiльки звернути його увагу назв’язки мiж рiзними явищами в природi, що охоплюють i людськудiяльнiсть, та проiлюструвати силу й унiверсальнiсть математикив їх аналiзi. Змiст цих вiдступiв якоюсь мiрою вiдображає свiто-гляд та внутрiшнiй свiт автора, а Читач може обмiрковувати їх увiльний час за кавою.

Що стосується виносок, якi час вiд часу наводимо, то вонивiдсилають Читача до iнших, може, несподiваних для нього в та-кiй книжцi, сторiн iнтелектуальної дiяльностi. Це також додає дорозумiння квантової механiки з iншого пункту бачення i розши-рює нашi знання про Свiт, у якому ми живемо.

Висловлюю сподiвання, що в пiдручнику, який розрахованийна студентiв, знайдуть чимало корисного i цiкавого аспiранти тамолодi вченi.

Авторовi приємно висловити подяку колегам, колишнiм своїмстудентам, аспiрантам, спiвробiтникам кафедри теоретичноїфiзики за цiкавi дискусiї, допомогу i кориснi зауваження приоформленнi цiєї книжки, а особливо В.Мигалевi, М.Колiньковi,Л.Блажиєвському, В.Ткачуковi, Ю.Головачевi, Т.Кулiєвi,О.Кнiгiнiцькому, А.Швайцi, Ю.Криницькому, С.Вакарчуковi,В.Бабiну, О.Возняковi, В.Ковальчуковi, Т.Яворському, а такожО.Кiктєвiй, яка якiсно й швидко зробила її комп’ютерний набiр.

Iван ВакарчукЛьвiв, квiтень, 1998.

ВСТУП

Iсторичний нарис створення квантової теорiї

Квантова механiка є теорiєю атомних явищ, що вивчає законо-мiрностi мiкросвiту i встановлює закони руху елементарних час-тинок, атомних ядер, атомiв, молекул та їх сукупностей. Закониквантової механiки також дали змогу з’ясувати будову атомiв iатомних ядер, природу хiмiчного зв’язку, пояснити перiодичну си-стему елементiв; вони є основою для вивчення i макроскопiчнихтiл як системи взаємодiючих частинок (метали, дiелектрики, на-пiвпровiдники, квантовi рiдини, плазма). Лише квантова механiкадала пояснення таким явищам, як феромагнетизм, надплиннiсть,надпровiднiсть. Вона теж є основою i при вивченнi на молеку-лярному рiвнi явищ у бiологiї. Астрофiзика, яка вивчає будову йеволюцiю зiр i Всесвiту, сьогоднi не може обходитись без квантово-механiчного опису фiзичних процесiв, якi там вiдбуваються. Що-бiльше, астрофiзичнi об’єкти є своєрiдною експериментальною ла-бораторiєю, у якiй “перевiряються” сучаснi гiпотези й теоретичнiрозробки квантової теорiї. Останнiм часом з’явились “новi тери-торiї”. На перетинi квантової фiзики i математики виникли такiмiждисциплiнарнi науки, як теорiя квантових комп’ютерiв i кван-това криптографiя, експериментально реалiзовано явище кванто-вої телепортацiї. На сучасному рiвнi розвитку людського пiзнанняквантова механiка значною мiрою визначає наш науковий свiто-гляд i наше розумiння Природи.

Виникла квантова механiка на початку XX столiття. 14 грудня1900 року на засiданнi Нiмецького фiзичного товариства профе-сор теоретичної фiзики Берлiнського унiверситету Макс Планк(1858–1947) представив результати своєї роботи з доведення наосновi мiкроскопiчного пiдходу формули для спектральної густи-ни енерґiї випромiнювання абсолютно чорного тiла, яку вiн двамiсяцi тому “вгадав”, виходячи з деяких теоретичних мiркуваньта iнтерполюючи експериментальнi данi, що були на той час.

13

Зважаючи на виняткову важливiсть цього евристичного мо-менту, наведемо тут мiркування М.Планка. Але перш нiж це зро-бити, пригадаймо кiлька важливих крокiв у розв’язаннi проблемирiвноважного електромагнiтного випромiнювання тiла, нагрiтогодо температури T , зроблених до Планка.

Моделлю такої рiвноважної системи є замкнена порожнина,стiнки якої мають сталу температуру T , цю ж температуру маєi випромiнювання, що є всерединi. Для того, щоб спостерiгатице випромiнювання, потрiбно зробити невеличкий отвiр у стiнцi,що охоплює порожнину, через який воно буде виходити. Зовнiшнєвипромiнювання, що падає на отвiр, не вiдбивається, а проходитьвсередину i залишається там, тобто стовiдсотково поглинається.А оскiльки абсолютно поглинаючу поверхню називаємо чорною,то й випромiнювання, що виходить через цей отвiр, називають“чорним” або випромiнюванням абсолютно чорного тiла.

Ґустав Кiрхгоф (1824–1887) вивiв закони, названi його iменем,i показав, що енерґiя E рiвноважного випромiнювання абсолютночорного тiла є унiверсальною функцiєю температури T . ЙозефСтефан (1835–1893) емпiрично, а Людвiґ Больцман теоретичнодовели, що енерґiя на одиницю об’єму пропорцiйна четвертомустепеню температури. Зiбрану з усiх частот повну густину енерґiїможна записати так:

E

V=

∫ ∞

0uν(T ) dν,

де V — об’єм системи, а величину uν(T ) називають спектральноюгустиною енерґiї. Саме її i потрiбно було знайти.

Вiльгельм Вiн (1864–1928) за допомогою ориґiнального уявно-го експерименту з дослiдження змiни, завдяки ефекту Допплера,спектра випромiнювання, яке вiдбивається вiд рухомого дзеркала,показав (1893), що спектральна густина енерґiї, подiлена на ν3, єфункцiєю вiдношення ν/T . Цей так званий закон змiщення Вiна єточним1. Назва пiшла вiд того, що функцiя uν(T ) має максимум удеякiй точцi ν/T = const; iз збiльшенням температури вiн змiщу-ється на частотнiй шкалi до бiльших значень ν. Пiзнiше, 1896 р.,на основi молекулярнокiнетичної теорiї В. Вiн з “напiвсерйозних”

1Читачам, яких цiкавлять деталi виведення цього закону та законуСтефана–Больцмана, пропонуємо заглянути, наприклад, на сторiнку 458книжки М. Борна “Атомная физика”, М.: Мир, 1965.

14

мiркувань запропонував явний вигляд спектральної густини енер-ґiї теплового випромiнювання2:

uν(T ) = const ν3e−aν/T ,

a — унiверсальна стала. За словами лорда Джона Релея (1842—1919), “це було не доведення, а не бiльше нiж здогадка”.

М. Планк почав свої дослiдження цiєї проблеми з моделюваннявипромiнювання абсолютно чорного тiла сукупнiстю гармонiчнихосциляторiв i показав, що

uν(T ) =8πν2

c3U,

де U — середня енерґiя окремо взятого осцилятора, c — швидкiстьсвiтла. Звiдси та з формули Вiна випливає, що

U = hν e−aν/T ,

h — друга унiверсальна стала.Макс Планк увiв гiпотезу про електромагнiтну ентропiю, а са-

ме: у зв’язку з тим, що поле випромiнювання є накладанням коли-вань з рiзними нереґулярно змiнними (випадковими) фазами, томожна говорити про певний безлад, а отже, про ентропiю й тем-пературу. Застосуймо перший принцип термодинамiки до системилiнiйних гармонiчних осциляторiв, якi моделюють електромагнi-тне поле:

dU = T dS − P dV,тут V — об’єм, у якому локалiзоване поле, P — тиск; середнюенерґiю U та ентропiю S беремо з розрахунку на один осцилятор,температуру T вимiрюємо в енерґетичних одиницях (перехiд дошкали Кельвiна здiйснюється замiною T на kBT , де kB — сталаБольцмана).

Нехай V = const, тодi

dS

dU=

1

T.

21911 року за вiдкриття законiв теплового випромiнювання В. Вiна наго-роджено Нобелiвською премiєю.

15

З формули для середньої енерґiї осцилятора знаходимо

lnU

hν= −aν

T,

i отже, перша похiдна вiд ентропiї

dS

dU= − 1

aνlnU

hν.

Друга похiдна вiд ентропiї за енерґiєю має дуже простий вигляд:

d2S

dU2= − 1

aνU.

М. Планк звернув на це увагу ще й тому, що обернена величи-на, узята зi знаком “мiнус”, має прозорий фiзичний змiст: вонадорiвнює теплоємностi, помноженiй на квадрат температури. Са-ме тому М. Планк працював iз другою похiдною вiд ентропiї3.Спочатку Планк вважав, що формула В. Вiна для спектральноїгустини енерґiї є точною. Точним вiн уважав i вираз для ентро-пiї, яку знайшов, iнтеґруючи рiвняння для першої похiдної вiдентропiї за енерґiєю:

S = − Uaν

lnU

ehν,

де e — основа натуральних логарифмiв.Однак у 1899 р. Отто Люммер (1860–1925) i Ернст Прiнґс-

гайм (1859–1917) представили результати вимiрювань у дiлянцiвеликих довжин хвиль (ν → 0), якi суперечили формулi В. Вiнадля густини енерґiї теплового випромiнювання. Отже, виявилось,що формула Вiна працює лише в дiлянцi великих частот, i деталь-на експериментальна перевiрка цього факту набула принциповогозначення для розумiння природи теплового випромiнювання.

3М. Планк узагалi любив, так би мовити, “ентропiйну мову”. Iз цим по-няттям пов’язанi його першi кроки в науцi. Вiн дослiджував ентропiю яктермодинамiчну функцiю i у своїй докторськiй дисертацiї, ефект вiд якої, зайого ж словами, дорiвнював нулевi. Це пов’язано з тим, що поняття ентропiїбуло новим i не дуже зрозумiлим. Однак виявилось, що саме завдяки поня-ттю ентропiї дорога до вiдкриття точної формули для спектральної густиниенерґiї абсолютно чорного тiла була найпростiшою.

16

У п’ятницю 19 жовтня 1900 р. на засiданнi Нiмецького фiзи-чного товариства Ф. Курльбаум повiдомив про результати вимi-рювання енерґiї випромiнювання на дiлянцi дуже великих довжинхвиль, якi вiн виконав разом з Г. Рубенсом. Цi експериментальнiрезультати заперечили справедливiсть формули Вiна, виявилось,що uν(T ) ∼ T при ν → 0.

Пiсля повiдомлення Ф. Курльбаума на цьому ж засiданнi ви-ступив М. Планк, який, використавши цi експериментальнi ре-зультати, запропонував свою формулу для спектральної густиниенерґiї теплового випромiнювання абсолютно чорного тiла4.

Отже, як випливає з формули Планка, яка зв’язує uν(T ) тасередню енерґiю одного осцилятора при низьких частотах, маємо

U = CT,

uν(T ) =8πν2

c3CT,

де C — стала величина5. Тепер з першого закону термодинамiкимаємо

dS

dU=C

U,

а друга похiдна

d2S

dU2= − C

U2.

Знайденi два вирази для другої похiдної вiд ентропiї заенерґiєю, якi справедливi в границi високих та низьких частот,

4Генрiх Рубенс (1865–1922) був близьким товаришем Макса Планка, якийдуже високо цiнував свою спiвпрацю з ним. Зi спогадiв Планка: “Тому що менiцей результат став вiдомим завдяки усному повiдомленню авторiв уже задекiлька днiв до засiдання, то я мав час ще перед засiданням використатиїхнi висновки в моєму методi та обчислити ентропiю.”

5Це спiввдношення вiдоме як закон Релея–Джинса. Вiн є наслiдком те-ореми класичної статистичної механiки про рiвномiрний розподiл енерґiї заступенями вiльностi: для системи осциляторiв на кожне коливання припадаєсередня енерґiя величиною T . Цей точний у межах класичної фiзики вираздля uν(T ) при великих частотах зростає як ν2 (усупереч здоровому глузду),i як наслiдок, повна енерґiя E розбiгається (“ультрафiолетова катастрофа”),що iлюструє принципову неспроможнiсть класичної теорiї пояснити законирiвноважного випромiнювання.

17

М. Планк вирiшив об’єднати однiєю простою iнтерполяцiйноюформулою:

(d2S

dU2

)−1= −aνU − U

2

C.

Справдi, для ν → 0 домiнуючим є другий доданок у правiй ча-стинi цього рiвняння, i ми отримуємо попередню формулу, а длявеликих частот другий доданок стає несуттєвим, i ми повертає-мось до формули, яку дає закон В. Вiна. Iнтерполяцiйна форму-ла, яку запропонував Планк, як кажуть, перше, що приходить доголови. Це i був той евристичний момент у мiркуваннях Планка,який привiв до глибоких перетворень у науцi, що принесла з со-бою квантова фiзика. Воiстину все генiальне — просте. Дивує те,що Планк працював саме з другою похiдною, для якої граничнiвипадки мають дуже простий вигляд. Це й дало змогу об’єднатиїх.

Перепишiмо вираз для другої похiдної так:

(d2S

dU2

)= − 1

aν

(1

U− 1U + aνC

).

Iнтеґруючи цей вираз, отримуємо

1

T=

1

aνln

(U + aCν

U

)+ const.

Беручи до уваги, що U → ∞ при T → ∞, знаходимо const=0.Звiдси остаточно

U =hν

eaν/T − 1 .

Тут ураховано, що при великих частотах цей вираз повинен пере-ходити у формулу, яку отримуємо iз закону Вiна, i тому C = h/a.Тепер для спектральної густини енерґiї одержуємо знаменитуформулу Планка:

uν(T ) =8πhν3

c31

eaν/T − 1 .

18

Наведемо слова М. Планка з доповiдi 19 жовтня 1900 року: “Цяформула, наскiльки я знаю, вiдповiдає експериментальним да-ним, якi опублiкованi дотепер... Тому я вважаю за можливезвернути Вашу увагу на наведену нову формулу, яка, як на мене,є найпростiшою (окрiм формули Вiна), з погляду електромагнi-тної теорiї випромiнювання.”

Як бачимо, фактично ця формула справдi вгадана. Це булаiнтерполяцiйна формула, одна з багатьох iснуючих на той час iодна з найпростiших, що добре описувала експериментальну за-лежнiсть спектральної густини енерґiї випромiнювання абсолю-тно чорного тiла вiд частоти, яку М. Планк навiв у своїй доповiдiНiмецькому фiзичному товариству.

Макс Планк настiльки повiрив у свою формулу, що вирiшивдовести її з мiкроскопiчних мiркувань. Працюючи протягом май-же двох мiсяцiв, вiн, скориставшись iдеєю Л. Больцмана про про-порцiйнiсть ентропiї S до логарифма вiд кiлькостi станiв, одно-значно показав, що для її теоретичного обґрунтування необхiдноприпустити, що свiтло поглинається й випромiнюється дискретни-ми порцiями — квантами, енерґiя яких пропорцiйна до частотивипромiнювання. Вiн знову пiшов “ентропiйною дорогою” i вирi-шив винайти з мiкроскопiчних мiркувань вираз для ентропiї, щоотримується з його iнтерполяцiйної формули, простим iнтеґрува-нням за енерґiєю U :

S =h

a

[(1 +

U

hν

)ln

(1 +

U

hν

)− Uhν

lnU

hν

].

З iншого боку, за Больцманом, повна ентропiя дорiвнює lnW , деW — кiлькiсть рiзних можливих мiкроскопiчних станiв термоди-намiчної системи. Мабуть, ця iдея Л. Больцмана та наближенаформула для ентропiї, що випливає iз закону Вiна, яку можназаписати ще й так:

S = −haln

(U

ehν

)U/hν

i яка є сильно подiбною до формули Стiрлiнґа для логарифма вiдфакторiала деякого великого числа N ,

lnN ! = ln (N/e)N , N ≫ 1,

19

i навели М. Планка на думку “сконструювати з факторiалiв” вели-чину W так, щоб отримати точний вираз для ентропiї, що врештi-решт уже вимушено привело його до iдеї дискретностi енерґiї еле-ктромагнiтного випромiнювання. Це й було темою доповiдi, якувиголосив М. Планк у п’ятницю 14 грудня 1900 року на засiданнiНiмецького фiзичного товариства.

Отже, нехай повна енерґiя N осциляторiв, що моделюють по-ле, дорiвнює NU , а повна ентропiя

NS = lnW.

Ми опускаємо з цього означення сталу Больцмана kB перед лога-рифмом (згiдно з нашою домовленiстю вимiрювати температурув енерґетичних одиницях), яку фактично вперше й увiв М. Планкцим спiввiдношенням. Далi, за М. Планком: “повну енерґiю NUпотрiбно уявляти собi не у виглядi неперервної величини, а у ви-глядi дискретної, що складається з цiлого числа рiвних частин,

NU = pε,

p — цiле, взагалi кажучи, велике число; ε потрiбно визначити.”Тепер величина W — це кiлькiсть рiзних способiв розподiлу

p елементiв за N осциляторами. Як модель можна розглянутиp кульок в N скриньках i пiдрахувати кiлькiсть рiзних способiвїхнього розподiлу, тобто кiлькiсть рiзних перестановок мiж собоюp кульок i (N−1)-єї стiнок, що роздiляють цi скриньки. Усiх пере-становок є [(N−1)+p]!, однак p! перестановок p кульок у скриньцi,як i (N − 1)! перестановок стiнок мiж скриньками, нiчого новогоне дають, тому кiлькiсть рiзних перестановок

W =[(N − 1) + p ]!(N − 1)! p ! .

Використовуючи формулу Стiрлiнґа для факторiалiв у цьому ви-разi, коли N ≫ 1, p≫ 1, легко знаходимо

lnW = (N + p) ln(N + p)−N lnN − p ln p,

а з урахуванням того, що p/N = U/ε, ентропiя на один осцилятор

S =

(1 +

U

ε

)ln

(1 +

U

ε

)− UεlnU

ε.

20

Зiставлення цiєї формули з iнтерполяцiйним виразом для ентропiїдає a = h, а елемент (квант) енерґiї електромагнiтного випромi-нювання

ε = hν

— знаменита формула Планка, яку так само, як i айнштайнiвськуE = mc2, знає “будь-хто”, h — стала Планка.

Надалi, як правило, ми будемо користуватись циклiчною ча-стотою ω = 2πν i сталою Планка ~ = h/2π = 1.054571726(±47)· 10−27 г ·см2/сек — однiєю з унiверсальних фундаментальних фi-зичних констант (таких, як швидкiсть свiтла c, ґравiтацiйна сталаG, заряд електрона e), що має розмiрнiсть дiї i є елементарнимквантом дiї6, так що квант енерґiї

ε = ~ω.

Тепер остаточно для спектральної густини енерґiї випромiню-вання абсолютно чорного тiла отримуємо вираз:

uω(T ) =(ωc

)3 ~π2

1

e~ω/T − 1 .

Повну енерґiю поля на одиницю об’єму одержуємо звiдси iнтеґру-ванням за всiма частотами, що приводить до закону Стефана–Больцмана.

Як видно, шлях М. Планка до його вiдкриття складається iз генiальних здогадок, i з вимушених крокiв. Щасливий вибiрентропiйного пiдходу до вирiшення проблеми абсолютно чорно-го тiла, далi використання саме другої похiдної вiд ентропiї, якавиявилась дуже простою на вигляд, щаслива здогадка її iнтерпо-ляцiї з використанням формули Вiна та експериментальних ви-мiрiв при низьких частотах, смiливiсть у використаннi формулиБольцмана для ентропiї з генiальною здогадкою “факторiально-го” моделювання кiлькостi станiв i вже справдi вимушенi крокидо дискретностi енерґiї електромагнiтного випромiнювання — та-кий шлях Макса Планка до свого фундаментального вiдкриттяелементарного кванта дiї.

6М. Планк за вiдкриття кванта дiї став у 1918 роцi лауреатом Нобелiвськоїпремiї.

21

Нова теорiя вимагала пiдтверджень. Виходячи зi своєї форму-ли i використовуючи експериментальнi данi про теплове випромi-нювання, М. Планк знайшов з високою на той час точнiстю ∼ 4%величину елементарного заряду (визначивши з експерименталь-них вимiрювань сталу Больцмана kB, з газової сталої R = kBNA— число Авоґадро NA та з числа Фарадея F = eNA — величи-ну елементарного заряду e). Гiпотеза квантiв уже давала першiрезультати.

Отже, день 14 грудня 1900 року можна вважати днем наро-дження квантової теорiї.

У 1905 роцi А.Айнштайн (1879–1955), який працював тодi екс-пертом у патентному бюро в Бернi, використав гiпотезу Планкадля пояснення фотоефекту. Явище фотоефекту вiдкрив (випадко-во) нiмецький фiзик Г. Герц у 1887 роцi. Першi дослiдження цьогоявища виконав росiйський фiзик О. Г.Столєтов у 1888 роцi, а зго-дом — нiмецький фiзик Ф.Ленард (1899 р.). А.Айнштайн чiтковказав на те, що квантування енерґiї свiтла вiдбувається не тiль-ки в актах поглинання та випромiнювання свiтла чорним тiлом,а й що квантовi властивостi притаманнi свiтлу як такому. Отже,фактично було введено поняття фотона як кванта електромагнi-тного поля, хоча сама назва “фотон” виникла значно пiзнiше, їїввiв у 1926 роцi американський фiзико-хiмiк Г.Н.Льюїс.

Формулу Айнштайна

~ω = A+mv2/2,

ω — частота падаючого свiтла, A — робота виходу електрона зметалу, m — маса електрона, v — його швидкiсть, ретельно пере-вiрив експериментально американський фiзик Р. Мiллiкен у 1912роцi7.

У 1907 роцi А.Айнштайн застосував гiпотезу квантiв до описуколивань атомiв твердого тiла i пояснення низькотемпературноїповедiнки теплоємностi. Уважаючи, що всi N атомiв коливаютьсяз частотою ω0, для повної енерґiї тiла з урахуванням (3N − 6)

7У 1921 роцi А.Айнштайн був нагороджений Нобелiвською премiєю заважливi фiзико-математичнi дослiдження, особливо за вiдкриття законiв фо-тоелектричного ефекту. За дослiдження в галузi фiзики елементарних заря-дiв та фотоелектричного ефекту Р.Мiллiкеновi була присуджена Нобелiвськапремiя в 1923 роцi.

22

коливних ступенiв вiльностi маємо

E = (3N − 6) ~ω0e~ω0/T − 1 ,

а теплоємнiсть

CV =

(∂E

∂T

)

V

= (3N − 6)(~ω0T

)2 e~ω0/T(e~ω0/T − 1)2 .

При низьких температурах, T → 0, CV → 0, вiдповiдно до спо-стережень. Однак прямування теплоємностi до нуля, згiдно з до-слiдами, є степеневим. Недолiк цiєї теорiї виправили пiзнiше, у1912 роцi, П.Дебай (1884–1966), а також М.Борн (1882–1970) iТ.Карман (1881–1963), розглядаючи, на вiдмiну вiд Айнштайна,коливання атомiв як систему зв’язаних осциляторiв iз частотамиωj, розподiленими вiд нульового значення до деякого максималь-ного:

E =

3N−6∑

j=1

~ωj

e~ωj/T − 1або

E =

∫ ∞

0ρ(ω)

~ω

e~ω/T − 1 dω,

де густина станiв ρ(ω) = 9(N − 2)ω2/ω3D вiдмiнна вiд нуля длячастот 0 ≤ ω ≤ ωD, а гранична частота Дебая ωD є фiзичнимпараметром речовини. Теплоємнiсть при низьких температурахпрямує до нуля за “законом кубiв”, CV ∼ T 3, що чудово узгоджу-ється з дослiдом.

У 1913 роцi НiльсБор (1885–1962), який тодi працював у Ман-честерському унiверситетi в Е.Резерфорда (1871–1937), застосу-вав квантову гiпотезу до моделi атома E.Резерфорда й побудувавквантову теорiю атома, сформулювавши свої постулати:

1◦. Електрони в атомi рухаються по стацiонарних орбiтах.

2◦. Випромiнювання або поглинання свiтла атомом вiдбуваєтьсяпри переходi електрона з однiєї стацiонарної орбiти на iншу,згiдно з законом збереження енерґiї

~ωn′n = En′ − En.

23

Рiвнi енерґiї атома En визначаються з класичних рiвнянь для пов-ної енерґiї

E = −Ze2

2a,

третього закону Кеплера

ω2a3 =Ze2

m

та умов квантування, згiдно з гiпотезою Планка,

|E| = ~ω2n, n = 1, 2, . . . ,

Z|e| — заряд ядра, ω — частота обертання електрона навколоядра, a — велика пiввiсь елiптичної орбiти, m — маса електрона.Слiд зауважити, що Н. Бор для узгодження своєї теорiї з дослi-дними вимiрюваннями змушений був в умовах квантування дляповної енерґiї поставити половинну частоту ω/2, а не ω. У резуль-татi

En = −Z2e2

2aBn2,

де

aB =~2

me2≃ 0.529 Å

— радiус Бора, i з другого постулату дiстаємо правило частот

ωn′n = R

(1

n2− 1n′2

),

де R = Z2me4/2~3 — стала Рiдберґа–Рiтца. Це правило емпiричновстановив ще в 1885 роцi Й.Бальмер для n = 2. Пiзнiше, у 1907 ро-цi, В. Рiтц сформулював цей комбiнацiйний принцип частот, якийназвано його iменем.

Як наслiдок iз теорiї Бора випливає, що момент кiлькостi рухуL квантується:

L = n~, n = 1, 2 . . . .

Пiзнiше саме цей факт, а не квантування енерґiї з половинноючастотою, Н. Бор узяв за основу — так звана умова квантування

24

Бора8. Протягом 1913–1916 рокiв умови квантування, сформульо-ванi Бором для моменту iмпульсу, були узагальненi ним, а такожП.Дебаєм (1913 р.), В.Вiльсоном (1915 р.), А. Зоммерфельдом(1916 р.) для системи з декiлькома ступенями вiльностi: об’єм,обмежений траєкторiєю у фазовому просторi, мiстить цiле числоелементарних квантiв дiї h = 2π~:

1

2π

∮pi dqi = ni~, ni = 1, 2, . . . ,

i = 1, . . . , s, де s — число ступенiв вiльностi; qi, pi — канонiчноспряженi координати та iмпульси. Цю умову, вiдому як прави-ло квантування Бора–Зоммерфельда, застосовували до багатоеле-ктронних атомiв, до атомiв в електричному та магнiтному полях,для врахування релятивiстських ефектiв (формула Зоммерфель-да для тонкої структури спектра атома водню).

Однак ця, як її називають, “стара” квантова механiка не моглапояснити спектральних закономiрностей багатоелектронних ато-мiв i навiть найпростiшого з них — атома гелiю; залишались безпояснень iнтенсивностi спектральних лiнiй атомiв. Вiдчувалось,що потрiбна нова квантова теорiя, i вже з цих позицiй Н.Борсформулював принцип вiдповiдностi, згiдно з яким у границi ве-ликих, макроскопiчних траєкторiй частинок квантова механiкаповинна переходити у класичну механiку. Цей принцип був клю-чем до “вгадування” квантових формул.

Поштовхом до створення нової квантової механiки сталаiдея молодого французького фiзика Луї де Бройля (1892–1987).У 1923–1924 роках вiн висунув припущення, що формула Планка,доповнена формулою для iмпульсу

p = 2π~/λ,

λ — довжина хвилi випромiнювання, яка властива для квантiвсвiтла, повинна виконуватись для всiх частинок, зокрема i дляелектронiв. Якщо свiтло виявляє корпускулярнi властивостi в та-кому явищi як фотоефект, то мусить iснувати симетрiя, i частинкитипу електрона мають виявляти хвильовi властивостi, тобто з ча-стинкою пов’язується хвиля (хвиля де Бройля); в одновимiрному

8Н.Бор — лауреат Нобелiвської премiї 1922 року за заслуги у вивченнiбудови атома.

25

випадку це хвиляψ(x, t) ∼ ei(kx−ωt),

де частота ω = E/~, E — енерґiя частинки, а хвильовий векторk = p/~. Змiст цiєї функцiї ψ(x, t) був з’ясований пiзнiше, нара-зi йшлося лише про зiставлення з частинкою деякого хвильовогопроцесу.

У цiй iнтерпретацiї умова квантування Бора зводиться до того,що на орбiтi електрона в атомi вкладається цiле число хвиль деБройля. Для колової орбiти радiуса a (коли λ не залежить вiдкоординат):

L = ap = a2π~

λ= n~,

тобто2πa

λ= n.

Тодi припущення де Бройля багато фiзикiв сприймало як аб-сурд. У 1925 роцi А.Айнштайн порадив М.Борновi прочитати ди-сертацiю де Бройля, зауваживши при цьому: “Прочитайте її. Хочi видається, що її писав несповна розуму, написана вона солiдно!”9

Улiтку 1925 року професор Е.Шрединґер (1887–1961) з Цю-рихського унiверситету ознайомився з гiпотезою де Бройля. Пе-ревiвши цi iдеї на “зручну” математичну мову, вiн винайшов фун-даментальне рiвняння сучасної фiзики — хвильове рiвняння Шре-динґера (1926 р.). Є спогади П.Дебая, що це вiн запропонувавЕ.Шрединґеровi, який працював у нього на кафедрi, доповiстина семiнарi роботу де Бройля. Шрединґер, який, як i бiльшiстьфiзикiв, негативно ставився до iдеї де Бройля, доповiв цю роботулише пiсля того, як Дебай наполiг на своєму. Готуючись до цьогосемiнару, Шрединґер i винайшов своє рiвняння.

Хвиля де Бройля ψ = ψ(x, t) повинна задовольняти хвильоверiвняння (одновимiрний випадок)

∂2ψ

∂x2− 1v2∂2ψ

∂t2= 0,

(ω = kv, v — фазова швидкiсть), одночасно задовольняючи спiв-вiдношення для енерґiї E = ~ω та iмпульсу p = ~k частинки.

9У 1929 роцi Луї де Бройль отримав Нобелiвську премiю за вiдкриттяхвильової природи електрона.

26

З урахуванням виразу для повної енерґiї частинки

E =p2

2m+ U(x),

де U(x) — потенцiальна енерґiя частинки, Шрединґер i записавсвоє славнозвiсне рiвняння10

i~∂ψ

∂t= − ~

2

2m

∂2ψ

∂x2+ U(x)ψ

— основне рiвняння квантової теорiї, яке, за висловом американ-ського фiзика Р.Фейнмана, “описує i жаб, i композиторiв”.

Iнтерпретацiю фундаментальної величини цiєї теорiї, хвильо-вої функцiї ψ(x, t) як амплiтуди ймовiрностi, дав у 1926 роцiМаксБорн11. Експериментально хвильовi властивостi мiкрочасти-нок уперше виявили в дослiдах з дифракцiї електронiв на крис-талах у 1927 роцi К.Девiссон i Л.Джермер у Нью-Йорку таГ.П.Томсон в Абердiнi (Шотландiя)12, хоча вказiвки на хвильо-вi властивостi частинок давали вимiрювання перерiзу розсiянняелектронiв на газах, якi виконав К.Рамзауер ще в 1921 роцi.

Так була створена хвильова квантова механiка. Цiкаво, що спо-чатку в груднi 1925 року Е.Шрединґер знайшов релятивiстськерiвняння, яке, однак, не давало правильної формули тонкої стру-ктури водневих лiнiй. Лише в сiчнi 1926 року вiн розробив не-релятивiстське наближення. Вiдзначимо, мiж iншим, що в 1918роцi в Е.Шрединґера виникла можливiсть зайняти посаду про-фесора кафедри теоретичної фiзики в унiверситетi в Чернiвцях;перешкодив цим планам розпад Австро-Угорської iмперiї.

Народження нової квантової механiки почалося з iншого її ва-рiанта i дещо ранiше — з роботи нiмецького фiзика-теоретикаВернераГайзенберґа (1901–1976), яку вiн написав у червнi 1925року. Гайзенберґ уважав, що розумно вiдмовитись вiд неспосте-режувальних величин (типу координат та перiоду обертання еле-ктрона) i побудувати механiку, в якiй були б спiввiдношення ли-ше мiж спостережувальними величинами (типу частот переходу

10Нобелiвська премiя 1933 року за вiдкриття нових форм атомної теорiїбула присуджена Е.Шрединґеровi та П.А.М.Дiраковi.

11Нобелiвська премiя 1954 року за роботи з квантової механiки.12K. Девiссон i Г. П. Томсон подiлили Нобелiвську премiю 1937 року за

вiдкриття дифракцiї електронiв.

27

мiж квантовими станами, iнтенсивностi випромiнювання при цьо-му переходi i т. п.). Вiн побудував таку формальну схему квантовоїмеханiки, у якiй, замiсть координати q та iмпульсу p електрона,фiгурували деякi абстрактнi алґебраїчнi об’єкти qmn та pmn, дляяких не виконуються правила комутативностi при множеннi. Про-фесор М.Борн, якому В. Гайзенберґ надiслав свiй рукопис, розпi-знав у цих правилах множення правила для вiдомих у математицiматриць, i разом з П.Йорданом вони показали, що матрицi q̂ та p̂задовольняють переставне спiввiдношення

q̂p̂− p̂q̂ = i~,

яке є новим правилом квантування, i створили те, що має теперназву матричної квантової механiки13.

Еквiвалентнiсть двох квантових механiк, матричної i хвильо-вої, довiв Е.Шрединґер (1926 р.). Ще до створення хвильової ме-ханiки пiсля вiдкриття матричної квантової механiки М.Борн,В. Гайзенберґ i П.Йордан, натрапляючи на труднощi з матри-чним численням, звернулись до видатного нiмецького матема-тика Д. Гiльберта (1862–1943). Великий математик, який жва-во цiкавився новими iдеями фiзикiв (зокрема, вiн дещо ранiшеза А.Айнштайна винайшов рiвняння руху ґравiтацiйного поляв загальнiй теорiї вiдносностi, вiдомi як рiвняння Айнштайна–Гiльберта), вiдповiв їм, що завжди, коли йому доводилося матисправу з матрицями, вони виникали при знаходженнi власних зна-чень у крайових задачах для диференцiальних рiвнянь. Гiльберт iпорадив їм пошукати диференцiальне рiвняння, пов’язане з цимиматрицями, i можливо, знайдеться щось нове. Однак цю iдею фi-зики не сприйняли, вважаючи її несерйозною, i Гiльберт пiзнiшекепкував з них — саме це рiвняння знайшов Шрединґер.

У 1926 роцi М.Борн, Н.Вiнер, П.А.М.Дiрак, Г.Вейль сфор-мулювали принцип, згiдно з яким кожнiй фiзичнiй величинi ста-виться у вiдповiднiсть оператор. Як з’ясувалось пiзнiше, такезiставлення не є простою процедурою, i питання однозначностi“приписування” фiзичним величинам операторiв дискутується до-сi.

У 1927 роцi В. Гайзенберґ вiдкрив спiввiдношення невизначе-ностей для середньоквадратичних вiдхилень канонiчно спряже-

13За створення квантової механiки в матричнiй формi В. Гайзенберґ наго-роджений у 1932 роцi Нобелiвською премiєю.

28

них координати q та iмпульсу p:

〈(∆q)2〉 〈(∆p)2〉 ≥ ~2/4.Iнтерпретацiя гайзенберґiвського принципу невизначеностi та фi-зичний змiст хвильової функцiї як амплiтуди ймовiрностей булипредметом дискусiй на багатьох фiзичних конґресах. Наша логiка,що ґрунтується на повсякденному досвiдi макроскопiчного свiту,є класичною з її твердженнями “так” або “нi”, вона не допускаєтого, що ми називаємо дифракцiєю електронiв, i це привело доформулювання багатьох парадоксiв: парадокс де Бройля, пара-докс iз живомертвим котом Шрединґера, парадокс Айнштайна–Подольського–Розена (1935), якi були предметом вiдомих диску-сiй — “двобою” Н. Бора й А. Айнштайна. Одним iз результатiв цихдискусiй є принцип доповнювальностi Бора (1927 р.): вимiрюван-ня iмпульсно-енерґетичних та просторово-часових характеристикє взаємодоповнювальними в описi квантового об’єкта.

Завершився етап створення квантової теорiї вiдкриттям реля-тивiстського хвильового рiвняння для електрона, яке зробив ан-глiйський фiзик-теоретик П.А.М.Дiрак (1902–1984) в 1928 роцi.На ту пору було вiдоме релятивiстське квантове рiвняння, яке те-пер називають рiвнянням Кляйна–Ґордона–Фока, хоча вперше,як уже вказувалось, його запропонував Шрединґер. Воно не вла-штовувало Дiрака з двох причин. По-перше, хвильова функцiя вцiй теорiї дає густину ймовiрностi, що може набувати вiд’ємнихзначень. По-друге, у це рiвняння входять другi пох