Розділ 4. МЕТОДИ ТА МЕТОДИКИ ВИМІРЮВАННЯ

4.1. Загальні положення

Наші органи чуття (зору, слуху, смаку, нюху і дотику) єсвоєрідними „вікнами” в зовнішній та внутрішній світ. Всяінформація про об'єкти, явища і процеси надходить до нас черезних. Об'єкти (явища, процеси) впливають на органи чуття, які увідповідь виробляють закодовані електрохімічні імпульси, щопередаються нервовими волокнами в кору головного мозку івикликають там відчуття (візуальні, звукові, смакові та ін.). Цівідчуття є адекватним віддзеркаленням (копією, відбитком)властивостей об'єктів навколишнього світу.

З безлічі відчуттів у мозку створюються чуттєві образи цихоб'єктів – сприйняття та уявлення. Через складні психічні процесипорівняння, аналізу, синтезу, узагальнення й абстрагування ізсприйнять і уявлень в мозку формуються вже абстрактні,узагальнені, відірвані від конкретних реальних об'єктів, образи-поняття. Поняття є вже не копіями, а моделями об'єктів, в якихзашифровані найбільш істотні, специфічні особливості, властивівсім об'єктам даного класу, якими вони відрізняються від інших.

Відкладаючись в нашій пам'яті, чуттєві й абстрактні образислугують у практичній діяльності людини інструментами пізнаннянавколишнього світу. При виникненні нових відчуттів вонипорівнюються в наший пам'яті з образами, що зберігаються там.Саме тому Ф. Енгельс в книзі „Діалектика природи” стверджував,що всяке пізнання є чуттєвим вимірюванням.

Харчові продукти, як і будь-які інші об'єкти, володіютьрізноманітним комплексом властивостей. Сукупність властивостейхарчового продукту та ступінь їх прояву обумовлюють йогоіндивідуальність. Ту частину сукупності, яка обумовлює йогопридатність задовольняти потреби людини, прийнято називатиякістю продукту. Ці властивості в різних продуктах можутьвиявлятися по-різному.

Для відображення ступеня прояву властивостей застосовуютьсякількісні або якісні характеристики. У тих випадках, коли

129

властивість може бути надійно виміряна й оцінена в якихосьабсолютних одиницях, використовуються кількісні характеристикив цих одиницях (наприклад, маса – в грамах; кілограмах, тоннах;довжина – в міліметрах, сантиметрах). Якщо ж для оцінкивластивостей немає надійних методів вимірювання і абсолютниходиниць, то використовуються умовні (безрозмірні), такі, що даютьнаближену оцінку (у балах або оцінку за принципом „більше-менше“, „краще-гірше“). Так оцінюються смакові, ароматичнівластивості, зовнішній вигляд, форма і т. ін.

4.2. Вимірювальні шкали

Можливість оцінки властивостей харчових продуктів залежитьвід багатьох чинників: від природи і характеру властивостей, відступеня їх прояву, наявності між ними закономірних зв'язків,одиниць і технічних засобів для вимірювання цих властивостейтощо. Сучасний рівень розвитку науки ще не може забезпечититочну кількісну оцінку всіх властивостей харчових продуктів. Томудля отримання інформації про їх розмір використовуються різнішкали.

Найбільш простою є шкала рахунку. У цій шкалі числа, якіприсвоюються об'єктам, що вивчаються, позначають лише коди дляїх виявлення. Наприклад, послідовність зразків, пред'явлених нааналіз, або послідовність показників якості, наведених у стандарті.Числа, що присвоюються за шкалою рахунку об'єктам,вибираються довільно, їх можна переставляти місцями, але неможна складати, віднімати, помножувати, тобто проводити надними математичні операції. У цій шкалі немає одиницьвимірювання або інших заходів порівняння.

Складнішою є шкала порядку. У цій шкалі, як і в попередній,також немає одиниці вимірювання, але вибір числа, якехарактеризує положення об'єкта за шкалою вже не довільний, азалежить від ступеня прояву властивості, що вивчається, тобто цевже кількісний розподіл в ряду. За рангом об'єкта вже можнаскласти уявлення типу „більше-менше“ або „гірше-краще“.

130

Наприклад, настій (заварку) з різних сортів чаю можна зпевною достовірністю розташувати в ряд за ступенем прояву(виявленням) кольору, аромату і смаку, чим і користуються привизначенні сортів чаю. Аналогічно поступають при оцінюванні йінших властивостей продуктів: зовнішнього вигляду, консистенції,прозорості і т. ін.

Розподіл властивостей (величин) в порядку їх зростання абозменшення з метою отримання вимірювальної інформаціїназивається ранжуванням. У товарознавстві продовольчих товарівшкала порядку широко використовується для розбраковування,тобто для порівняльної оцінки однотипних видів сировини абопродуктів за якою-небудь властивістю.

Різновидом шкали порядку є реперна шкала. На цій шкалідеяким, довільно вибраним точкам присвоюються певні значення, щохарактеризують ступінь прояву властивості. Наприклад,„незадовільно“, „задовільно“, „добре“ „відмінно“.

Цим точкам можуть бути присвоєні і числові значення (2, 3, 4,5) Такі точки шкали порядку називають опірними або реперними, ацифри їм присвоєні, – балами. Реперні шкали в товарознавствізазвичай називають баловими. Розрізняють 5-, 10-, 25-, 50- і 100-балові шкали.

Недоліком шкали порядку є невизначеність розміру рангів(реперних точок) та інтервалів між ними. Знаючи ранг властивості,ми можемо судити про те, більше чи менше воно виражене впевному об'єкті у порівнянні з іншими, але наскільки – шкалапорядку відповіді не дає. Тому над рангами (балами) такожнедопустимі математичні операції (складання, віднімання,множення, ділення).

Якщо між відмітками шкали встановлені строго певніінтервали, відміткам присвоюються послідовні, починаючи віднуля, числові значення, то така шкала називається шкалоюінтервалів.

Значення початкової і кінцевої точок шкали (або тільки однієї зних, частіше нульової) приймаються умовними (за угодою), апроміжні точки визначаються інтерполяцією відповідно до

131

вибраної одиниці шкали. Типовими прикладами такої шкали єтемпературні шкали Цельсія, Реомюра і Фаренгейта.

За таким же принципом побудовані часові шкали, за якимивідбувається літочислення, шкала плоских кутів, шкала активностіводневих іонів (рН ) та ін. Користуючись шкалою інтервалів, можнасудити не тільки про те, властивість якого об'єкта проявляєтьсябільше або менше у порівнянні з іншим, але і визначити, на скількиодиниць шкали відрізняються ці властивості (величини). З відлікамиза шкалою інтервалів можна проводити операції віднімання іскладання.

Якщо ж на шкалі початкова точка не умовно береться за нуль, адійсно відповідає нульовому значенню властивості, тоді така шкаланазивається шкалою відношень. Знаючи розмір одиниці за такоюшкалою, можна відлічувати дійсний розмір властивості, визначатине тільки перевищення одного розміру над іншим, але і їхспіввідношення. Прикладом такої шкали є температурна шкалаКельвіна.

Дві останні з розглянутих шкал (інтервалів і відношень) широковикористовуються для вимірювань в практиці і науці, зокрема вметрології і товарознавстві.

4.3. Поняття про вимірювання. Основне рівняння вимірювань

Під поняттям „вимірювання“ розуміється і чуттєве сприйняття(порівняння) об'єктів у нашій свідомості, просте зіставлення різнихрозмірів однієї і тієї ж величини (шкала порядку) і порівняння задопомогою вимірювальних приладів, спеціальних технічнихзасобів, іноді досить складних. Кожне з цих трактувань до певноїміри справедливе, оскільки відображає ті або інші сторонибагатогранного процесу вимірювання.

У метрології і товарознавстві використовується визначенняцього терміна, наведене в ДСТУ 2681-94. Метрологія. Терміни тавизначення: „Вимірювання – це знаходження значення фізичноївеличини шляхом порівняння її з одиницею вимірювання задопомогою спеціальних технічних засобів“.

132

З даного визначення виходить, що вимірювана величина є деякечисло одиниць вимірювання цієї величини, тобто значеннявимірюваної величини визначається її числовим значенням ідеяким розміром, прийнятим за одиницю вимірювання. Наприклад,при зважуванні мішка борошна його маса становила 50 кг (m = 50кг).

У загальному вигляді цей запис можна представити у виглядірівняння: x = Х [Х], де x – вимірювана величина; X – числовезначення величини; [Х] – одиниця вимірювання фізичної величини.Це рівняння в метрології отримало назву „основного рівняннявимірювань“. З рівняння вимірювань видно, що числове значеннявимірюваної величини Х = x /[Х], обернено пропорційне до змінирозміру одиниці. У нашому прикладі числове значення маси мішкаборошна при вимірюванні її у грамах буде дорівнювати 50000,якщо у кілограмах, то – 50, у центнерах – 0,5, а у тоннах – 0,05.Інформація про розмір одиниці вимірювання може бути закладенав речовій мірі (наприклад, гирі для зважування), у шкалівимірювального пристрою (шкала циферблатних ваг) або в нашійпам'яті (при оцінюванні невимірюваних величин (смак, запах), абопри визначенні „на око“ кількісно вимірюваних величин – маси,довжини тощо).

У пам'яті людини закладена не тільки інформація про розміродиниці фізичної величини, але й про можливі її значення в тих чиінших об'єктах. Так, вже тільки взявши в руки головку сиру,досвідчений продавець досить точно може визначити її масу.Інформація, яку людина має у своєму розпорядженні довимірювання, називається апріорною. Вона формується в процесіжиттєдіяльності людини і є його внутрішньою міроюнавколишнього світу. Приступаючи до вимірювання, ми, якправило, вже маємо у своєму розпорядженні деяку інформацію провірогідні межі, у яких може знаходитися значення шуканоївеличини. На підставі цього вимірювання можна розглядати якуточнення значення вимірюваної величини, викликане дефіцитомнаявної інформації про неї. Нова, уточнена інформація, отриманапід час вимірювань і обробки їх результатів, називаєтьсяапостеріорною.

133

За ступенем досягнення поставленого при вимірюванні завданнясудять про якість вимірювання. До найважливіших характеристикякості вимірювань відносяться точність, похибка, збіжність,відтворюваність і правильність вимірювань.

Для проведення вимірювань як цілеспрямованої дії необхіднанаявність певних умов, а саме: апріорної інформації; завдання;можливості виділення вимірюваної величини серед інших;встановленої одиниці вимірювання; технічного засобу вимірювань,що містить одиницю та зберігає незмінним її розмір в процесівимірювання.

4.4. Класифікація і характеристика вимірювань

У кожній області науки і техніки, в різних галузях народногогосподарства вимірювання мають свої особливості. У зв'язку з цимвсю величезну масу виконуваних вимірювань умовно поділяютьзалежно від галузі на фізичні, астрономічні, медичні, технологічні,товарознавчі та ін.

До галузі товарознавчих вимірювань відносяться такі, щопов'язані з вивченням різноманітних властивостей сировини іготових харчових продуктів: якісного і кількісного хімічногоскладу, фізичних властивостей, змін складу і властивостей підвпливом різних чинників виробництва та товароруху (зберігання,транспортування, пакування, обробки та реалізації).

Об'єктами вимірювань в товарознавстві продовольчихпродуктів можуть бути як групи продуктів, окремі їх види, так ірізні властивості продуктів, процеси, що відбуваються в продуктахі навколишньому середовищі (тарі, упаковці, сховищах і т. ін.),параметри цього середовища тощо. Товарознавчі вимірюванняподіляються на дві великі групи: органолептичні таінструментальні.

Органолептичними вважаються такі вимірювання, які заснованіна застосуванні засобами вимірювань органів чуття людини, цихунікальних вимірювальних систем, створених природою. Утоварознавстві продовольчих продуктів органолептична оцінкавластивостей отримала дуже широке застосування. І не тільки

134

завдяки її простоті, доступності та швидкодії, але й, головнимчином, тому, що для оцінки цілого ряду таких властивостейпродуктів, як смак, запах, зовнішній вигляд, форма та інші, немаєінших способів вимірювання, окрім органолептичних. Абовимірювання їх інструментальними методами дуже складне йекономічно недоцільне, наприклад, визначення кольору,прозорості, консистенції і деяких інших.

Органолептичні вимірювання можна підрозділити:– за видом органів чуття – візуальні, смакові, дотикові, нюхові,

гравітаційні, акустичні;– за рівнем психічних явищ, на яких базуються вимірювання,

відчуттів, вражень, інтуїції;– за рівнем кваліфікації особи, що здійснює оцінку, – рядової,

експертної;– за кількістю осіб, що беруть участь в оцінці, – одиночні,

групові.Інструментальними вважаються вимірювання, виконані за

допомогою спеціальних технічних засобів. Вони також широковикористовуються у товарознавстві. Основними характеристикамицих вимірювань є: принцип, метод, похибка, правильність, точністьі якість вимірювань.

Інструментальні вимірювання можна класифікувати за такимиознаками:

– за принципом, покладеним в основу вимірювань, – механічні,електричні, акустичні, оптичні, радіофізичні, магнітні та ін.;

– за характеристикою точності – рівноточні, нерівноточні;– за числом вимірювань – однократні, багатократні;– за стабільності вимірюваної величини – статичні, динамічні;– за призначенням – технічні, метрологічні;– за способом виразу результату – абсолютні, відносні;– за способом отримання результатів (за видом рівняння

вимірювань) –прямі, непрямі, сумісні й сукупні.Принципом вимірювань називають фізичний ефект, явище або

їх сукупність, покладені в основу вимірювання тим або іншимтипом засобів вимірювань. Вимірювання, виконані однаковими заточністю засобами вимірювань і в тих же умовах, називаються

135

рівноточними. На практиці однакова точність результатіввимірювань досягається тим, що вони проводяться протягомнетривалого часу на таких самих засобах вимірювань, однієюособою за однакових умов. Проте це не завжди можливо.Однотипні засоби вимірювань, хоча й мало, але все жвідрізняються за точністю. Виготовити, зібрати і настроїтиабсолютно однаково два вимірювальних пристрої простонеможливо. Для більшості товарознавчих вимірювань, що невимагають особливої точності, дотримання таких умов, як правило,не обов'язкове.

Вимірювання, виконані засобами, що розрізняються заточністю, різними операторами і (або) в різних умовах називаютьсянерівноточними. Способи математичної обробки рядів вимірюваньрізної точності не однакові.

У торгівлі, в побуті, на виробництві вимірювання тієї самоївеличини найчастіше виконуються тільки один або декілька раз.Такі вимірювання називаються однократними. За точністю, якузабезпечують сучасні засоби вимірювань, однократноговимірювання буває цілком достатньо (наприклад, похибказвичайних торгових терезів: електронних, циферблатних неперевищує 1–3 г).

В окремих випадках для більшої точності результату можутьвиконуватися два, три і більше вимірювань. Такі вимірюванняназиваються відповідно дво-, трикратними, а при числі вимірюваньчотири і більше (n ≥ 4) – багатократними. За результатбагатократного вимірювання зазвичай приймають середнєарифметичне значення результатів окремих вимірювань цьогоряду.

Багатократні вимірювання значно точніші за своїмирезультатами. Проте вони і більш трудомісткі, менш продуктивні, аотже, більш вартісні, тому проведення їх не завжди доцільне. Утоварознавчій практиці такі вимірювання проводяться або всуперечних, конфліктних ситуаціях, або з дослідницькою метою.

Проведення багатократних вимірювань не завжди й можливе. Утих випадках, коли вимірювана величина не стабільна в часі,швидко змінюється під час її вимірювання, то двічі виміряти її

136

неможливо. Вимірювання таких величин називають динамічними,а зміна фізичної величини в часі - процесом.

Вимірювання величин, значення яких за час вимірюванняможна вважати незмінними (або цими змінами можна нехтувати),називають статичними. Такими вважають вимірювання довжини,площі, маси, кількості речовини та ін.

Залежно від точності і чутливості вживаних технічних засобіврозрізняють технічні і метрологічні вимірювання. До технічнихвідносять вимірювання, що проводяться за допомогою звичайнихробочих засобів вимірювання, тих, які застосовуються длявимірювання параметрів об'єктів і процесів на виробництві,транспорті, в медицині, торгівлі, різних областях науки і техніки. Їхточність визначається потребами тих галузей, де вонивикористовуються і обмежуються техніко-економічнимипоказниками виробництва та обслуговування цих засобів.

Метрологічними вважаються вимірювання, що проводяться задопомогою еталонів і зразкових засобів вимірювання з метоювідтворення одиниць фізичних величин для передачі їх розміруробочим засобам. Прикладом таких є вимірювання, щовиконуються органами державного метрологічного нагляду тавідомчими службами контролю за станом вимірювальної техніки.Для того, щоб досягти заданої точності результату, ці вимірюванняпроводяться за допомогою спеціальних засобів, за певнимиметодиками і в певних умовах.

За способом виразу результатів розрізняють абсолютні тавідносні вимірювання. Абсолютними вважаються ті, що основаніна прямих вимірюваннях основних величин або з використаннямфізичних констант. У цих випадках результат вимірюваннявиражається в одиницях, встановлених для даної фізичноївеличини, тобто в розмірних одиницях. Наприклад, вимірюваннямаси шляхом зважування, визначення довжини, температури, часу.

Якщо ж вимірювання зводяться до визначення відношенняоднойменних величин, одна з яких є одиницею вимірювання абовеличиною, прийнятою за вихідну, то такі вимірюванняназиваються відносними. Результати цих вимірювань виражаютьсяу відносних (безрозмірних) одиницях. Відносними є вимірювання

137

щільності пікнометричним методом, оцінки за баловими шкалами,оцінки рівня якості продукції та ін.

У товарознавстві і метрології найчастіше використовуєтьсякласифікація вимірювань за способом отримання результатів:прямі, непрямі, сукупні й сумісні.

Пряме вимірювання – це вимірювання, при якому шуканезначення величини знаходять безпосередньо з дослідних даних(наприклад, вимірювання маси на циферблатних вагах,температури – термометром, довжини – за допомогою лінійнихзасобів).

Непряме вимірювання – це вимірювання, при якому шуканезначення величини знаходять на підставі відомої залежності міжцією величиною і величинами, що піддаються прямимвимірюванням (наприклад, знаходження щільності однорідноготіла за його масою і геометричними розмірами; визначення масовоїчастки вологи в борошні, крупі, цукру за електропровідністю шарупродукту; визначення кислотності молока титрометричнимметодом і т. ін.).

Сумісними називають вимірювання, під час яких одночасновимірюються дві або декілька неоднойменних величин длязнаходження залежності між ними (вимірювання втрат масипродукту від тривалості його зберігання; вимірювання задопомогою ареометра щільності зразків молока з різним вмістоммолочного жиру тощо).

Сукупні – це одночасні вимірювання декількох однойменнихвеличин, при яких шукані значення величин знаходять вирішеннямсистеми рівнянь, що отримуються при прямих вимірюванняхрізних поєднань цих величин (вимірювання, при яких масиокремих гир набору знаходять за відомою масою однієї з них або занаслідками прямих порівнянь мас різних поєднань гир).

Перші три різновиди вимірювань широко використовують втоварознавчих вимірюваннях. У практичній роботі товарознавці ітоварознавці-експерти продовольчих товарів, що здійснюютьприймання, контроль якості, організацію транспортування,зберігання та реалізацію, частіше стикаються з прямими і

138

непрямими вимірюваннями, а при проведенні дослідницьких робіт– з непрямими і сумісними.

4.5. Методи і методики виконання вимірювань

Важливою характеристикою інструментальних вимірювань єметод їх виконання. Метод вимірювання – це сукупність прийоміввикористання принципів і засобів вимірювань. Відома великакількість методів вимірювань. Їх ділять на дві групи –органолептичні та інструментальні.

З інструментальних методів найчастіше використовують прямі інепрямі. Для прямих методів характерне те, що значеннявимірюваної величини є безпосереднім результатом вимірювання.Воно відтворюється мірою, що використовується, або відліковимпристроєм технічного засобу вимірювання. У непрямих методахзначення шуканої величини знаходять шляхом перетворень(розрахунковим та ін.) результатів, отриманих методами прямихвимірювань інших величин, які функціонально пов'язані зшуканою.

За способом порівняння вимірюваної величини з її одиницеюметоди прямих вимірювань підрозділяють на метод безпосередньоїоцінки і метод порівняння з мірою. Останній, у свою чергу, маєдекілька різновидів, що відрізняються прийомами порівняння.

Метод безпосередньої оцінки (шкальний метод) полягає вбезпосередньому відліку величини за шкалою (або іншимвідліковим пристроєм) вимірювального приладу. Процесзчитування результату простий, зручний, швидкий, не вимагаєособливої кваліфікації оператора. Тенденція заміни стрілочнихвідлікових пристроїв на цифрові, що намітилася останніми роками,ще більше спрощує задачу відліку результатів.

Прикладами використання шкального методу в товарознавчихвимірюваннях можуть слугувати вимірювання маси нациферблатних, шкальних та електромеханічних (електронних)терезах, вимірювання щільності ареометром, температури –термометром, активної кислотності –рН – метром, оптичної

139

щільності – фотоелектроколориметром, вміст цукру у розчині –сахариметром та ін.

Сутність методу порівняння з мірою полягає в тому, щозначення вимірюваної величини порівнюють з величиною,відтвореною мірою. Відомо декілька його різновидів: методзіставлення, нульовий, диференціальний, метод заміщення та збігів.

Метод зіставлення – це метод порівняння з мірою, в якомувимірювана величина і величина, відтворена мірою, одночасновпливають на прилад порівняння, за допомогою якоговстановлюється співвідношення між цими величинами. Наприклад,вимірювання маси на рівноплечих терезах, коли вимірювана масапоміщається на одну шальку терезів, а гирі – на іншу. Всі випадкизважування вантажів у торгівлі, промисловості, сільськомугосподарстві, медицині та інших галузях з використаннямрівноплечих терезів є ілюстрацією цього методу.

Нульовий метод – це метод порівняння з мірою, в якомусумарний ефект дії вимірюваної величини і міри на приладпорівняння зводять до нуля. За цим методом вимірюють оптичнущільність на електрофотоколориметрах з нуль-індикатором або наспектрофотометрах з оптичною компенсацією сигналу,вимірювання на установках кондуктометричного титрування змістком Уїтстона. Інші різновиди методу порівняння з мірою втоварознавстві не використовуються.

До непрямих методів вимірювань відносяться розрахунковий,табличний та графічний. З них найчастіше використовуєтьсярозрахунковий метод. Розрахунковий метод застосовується тоді,коли між шуканою величиною і величиною, яку можна вимірятипрямим методом, існує функціональна залежність, що має певнийматематичний вираз (рівняння зв'язку). У цьому випадку, вимірявшидругу величину, результат вимірювання підставляють в рівняннязв'язку і розраховують шукану величину. Для багатьох величин такірозрахунки виконують заздалегідь і їхні результати представляють увигляді різних таблиць (табличний метод) або графіків (графічнийметод).

Наприклад, це таблиці для визначення вмісту редукуючихцукрів у харчових продуктах за методом Бертрана; відносної

140

вологості повітря психрометричним методом; вмісту кухонної солів розсолах аерометричним методом та ін. У ряді вимірювальнихприладів їх шкали бувають вже проградуйованими в одиницях невимірюваної приладом величини, а шуканої (сахариметри,поляриметри, рН-метри та ін.) або у тій і другій одночасно(рефрактометри).

В деяких випадках залежність між вимірюваною і шуканоювеличинами буває досить складною, що вимагає громіздкихрозрахунків. У зв'язку з цим останнім часом створюютьсявимірювальні прилади, які мають вихід на ЕОМ, або їх складовимелементом є мікропроцесор. За відповідними командами блокууправління ЕОМ або мікропроцесор виконують всі розрахунковіоперації і видають результат в одиницях шуканої величини ваналоговій або дискретній формі на табло індикації, де йзчитуються оператором. Паралельно друкувальний пристрій можездійснювати письмову реєстрацію отримуваних результатів.Прикладами таких пристроїв можуть слугувати сучасні моделіхроматографів, щільномірів, витратомірів та інших приладів, щовикористовуються у харчовій та переробній промисловості.

Метод сумісних вимірювань використовується в тих випадках,коли між величинами існує закономірна залежність, але рівняннязв'язку невідомо, або коли на цю залежність впливають важкорегульовані чинники. Він полягає в тому, що спочатку задопомогою сумісних вимірювань встановлюють характерзалежності між досліджуваними величинами, виводять рівняннязв'язку, а потім застосовують розрахунковий, шкальний або іншіметоди.

Методом сумісних вимірювань широко користуються втоварознавчих дослідженнях, особливо на стадії проектування тарозробки нових продуктів, проведення державних і галузевихвипробувань продовольчих товарів, нових методівтранспортування, пакування та зберігання.

Особливістю сучасного етапу розвитку техніки вимірювань втоварознавстві, метрології та інших галузях науки є все більшевпровадження непрямих методів, заснованих на нових фізичнихявищах (переважно атомно-молекулярних), які забезпечують

141

високу точність і чутливість, збільшують діапазон вимірювань там,де прямі методи не дозволяють цього досягти. Але на шляху їхвикористання стримувальним чинником стають методичніпохибки, які виникають через неточність (неадекватність) рівняньзв'язку, описуваних ними залежностей, непостійність умоввимірювань, спотворення вимірювального сигналу при йогоперетвореннях, передачі лініями зв'язку і в системах обробки. Томупри використанні і прямих, і, особливо, непрямих методів, дужеважливою умовою отримання точних результатів є безумовнедотримання вимог методики виконання вимірювань.

Методика виконання вимірювань (MBВ) – це встановленасукупність операцій і правил при вимірюванні, виконання якихзабезпечує отримання необхідних результатів вимірювань за цимметодом. МВВ розробляються для вимірювань конкретныхфізичних величин конкретними технічними засобами. Вонипередбачають вимоги до вибору засобу вимірювань; процедуруйого підготовки до роботи; вимоги до умов та процедурипроведення вимірювань і їх числа; обробку результатіввимірювань, включаючи обчислення і введення поправок таспособи виразу похибок.

Оскільки точне дотримання методики є гарантією отриманнянеобхідного результату вимірювання, методики носять обов'язковийхарактер. Для цього МВВ регламентуються в нормативнихдокументах. Так, на типові МВВ (ті, що мають міжгалузевезначення) розробляються національні і міждержавні стандарти(ДСТУ, ГОСТ, керівні документи (КД), методичні вказівки (МВ),методичні інструкції (МІ). На галузеві МВВ розробляються КД іатестати. МВВ, що відносяться до методів контролю якості готовоїпродукції і технологічних процесів, можуть оформлятися у виглядіокремих стандартів або включаються як розділи „Методидосліджень” до стандарту або ТУ на цей вид продукції чи процес.

4.6. Похибки вимірювань. Обробка результатів вимірювань

Випадковий характер результату вимірювань – основнийпостулат метрології. Вимірювання як процес знаходження значення

142

величини включає такі обов'язкові складові: об'єкт, суб'єкт(оператор), засіб і метод вимірювання. Об'єкт (вимірюванавеличина) умовно приймається постійною величиною у момент їївимірювання. Як раніше наголошувалося, для більшості статичнихвимірювань змінами об'єкта за час вимірювання можна нехтувати.

Інші учасники процесу вимірювання – суб'єкт, засіб і метод –можуть бути схильні до значно відчутніших змін, які спотворюютьрезультат вимірювання. Тому головною метою методикивимірювання є створення таких умов, у яких вплив чинників, щоспотворюють результат, може бути зведений до мінімуму або, заможливості, точно врахований.

Проте, як би ретельно ми не регламентували умови і процедурувимірювання, повністю усунути чинники впливу або врахувати цейвплив неможливо, а отже, знайти істинне, властиве у моментвимірювання, значення величини, не вдається. Тому, основнийпостулат (твердження) метрології свідчить: результат вимірюваннязавжди є випадковим значенням величини.

Використовуючи точніші і чутливіші засоби вимірювання,вищу кваліфікацію і досвід оператора, більше число вимірювань іточнішу процедуру вимірювання, ми можемо зменшити впливчинників, що заважають, і тим самим підвищити точність, тобто вотримуваних результатах більше наблизитися до дійсного значеннявеличини.

Але навіть і в дуже точних вимірюваннях завжди міститьсяпевна, ніколи нам точно не відома похибка. Прагнення підвищититочність вимірювань веде до їх ускладнення, зниженняпродуктивності і, як наслідок, до підвищення витрат. У зв'язку зцим в практичний роботі зазвичай приходиться задовольнятисятією точністю, яка відповідає вимогам наміченого завдання. Впрактиці торгівлі продовольчими товарами звичайно не зважуютьпокупки з точністю до міліграмів. Метрологи кажуть: „Вимірюйякомога точніше, але не точніше, ніж це потрібно“.

Похибки вимірювань та їх класифікація. Похибкоювимірювання називають різницю між результатом вимірювання таістинним (або умовно-істинним, дійсним) значенням величини: Δx= хi – A, де Δх – похибка вимірювання; хi – результат вимірювання;

143

A – істинне значення вимірюваної величини. У практичнихвимірюваннях замість істинного значення, яке неможливовиміряти, використовують умовно-істинне (дійсне) значеннявеличини ХД. Тоді похибка дорівнює: Δх = хi – ХД.

Похибки вимірювань можуть виникати внаслідок різнихпричин: через недосконалість засобів вимірювань, методів іметодик виконання вимірювань; недостатню ретельність виконаннявимог методики оператором, від впливу навколишньогосередовища та стану оператора. Залежно від причин та характеру їхпрояву похибки вимірювань можуть бути класифіковані:

– за характером прояву – на систематичні і випадкові;–за значенням їхньої величини – на грубі та несуттєві;– за причиною виникнення – інструментальні, методичні,

суб'єктивні, від зовнішніх чинників;– за способом виразу – абсолютні, відносні і приведені;– за способом представлення – точкові, інтервальні;– за умовами вимірювання – статичні, динамічні.Під систематичною похибкою Δс розуміють ту частину

загальної похибки, яка при повторних вимірюваннях залишаєтьсяпостійною або змінюється за певним законом. Причинами їх появиможуть бути: неправильне градуювання, установка абонесправність засобів вимірювання, недосконалість методу абометодики, зовнішні дії та ін. Деякі з них можуть бути виявлені впроцесі вимірювань або під час обробки їх результатів.

Якщо джерело похибок встановлене і воно може бути усунене,то його усувають, виключаючи тим самим похибки (ремонт,настройка, правильна установка приладу, усунення зовнішніх дій,помилок методики тощо). Якщо ж причина похибки неусувна абоусунена частково, то встановлюють чисельне значення неусуненоїчастини і вносять відповідну поправку до результату вимірювання.Та частина похибки, яка залишилася неусуненою, називаєтьсяневиключеною систематичною похибкою (НСП).

Випадковою похибкою Δв називається частина загальноїпохибки, яка змінюється випадковим чином при повторнихвимірюваннях тієї самої фізичної величини. Облік і виключенняцих похибок (шляхом введення поправок) неможливі через їх

144

випадковий, непередбачуваний характер (наприклад: падіннянапруги в мережі живлення вимірювального приладу, різка зміназовнішніх умов та ін.). Похибку результату окремого вимірюванняу ряду аналогічних вимірювань, яка за розміром різко відрізняєтьсявід похибок решти результатів ряду, називають грубою похибкою,або промахом.

Грубі похибки можуть виникати не тільки при вимірюванні, алей при запису відліку, при обчисленнях результату. Вони помітнопозначаються на результаті вимірювання, а тому їх необхідновиключати з ряду результатів вимірювання, попередньопереконавшись за допомогою спеціальних прийомів в тому, що цедійсно груба похибка.

Складова похибки, що обумовлена властивостямивикористаних при вимірюванні технічних засобів називаєтьсяінструментальною похибкою. Причинами цих похибок можутьбути конструктивні дефекти, порушення в технології виготовлення,настроювання, підготовки засобів до вимірювання, зношеннявузлів і деталей, зовнішні впливи.

За характером свого прояву інструментальні похибкинайчастіше бувають систематичними. Проте у тих випадках, колипричиною їх появи є вплив зовнішніх чинників, ці похибки носятьсуто випадковий характер. Докладніше інструментальні похибкибудуть розглянуті нижче.

Похибка вимірювання, що обумовлена індивідуальнимиособливостями оператора (особи, що виконує вимірювання),називається суб'єктивною. Особливо часто ці похибки трапляютьсяпри використанні органолептичних методів. Ті похибки, яківикликані індивідуальними особливостями органів чуття оператора(наприклад, відмінності в сприйнятті смаку, запаху, кольору,консистенції тощо), рисами його характеру (неуважність,халатність), а також рівнем кваліфікації та досвідом роботи, якправило, є систематичними. Ті ж, які виникають під впливомзовнішніх (або внутрішніх) чинників, що заважають, носять,зазвичай, випадковий характер.

Якщо похибка вимірювань виражена в одиницях вимірюваноївеличини, її називають абсолютною (Δх). Відношення її до

145

виміряного або дійсного значення вимірюваної величининазивають відносною похибкою (δ). За визначенням δ = Δх / Х або δ= Δх / ХД. Найчастіше відносну похибку виражають у відсотках: δ =Δх·100 / Х або δ = Δх ·100/ ХД .

Під статичною похибкою розуміють похибку результатувимірювань, властиву умовам статичного вимірювання. Напротилежність їй динамічною похибкою називають похибку,властиву умовам динамічного вимірювання.

Систематичні похибки, характер їх прояву і причинивиникнення. Систематичні похибки в процесі вимірюваньпроявляють себе по-різному. Одні з них залишаються незміннимиза значенням і знаком протягом всього ряду вимірювань (постійні),інші змінюються за певним законом (змінні).

Особливістю постійних систематичних похибок є високастабільність їх появи протягом тривалого часу. Вони залишаютьсянезмінними в усіх результатах вимірювань і тому більшістюстатистичних методів не виявляються. Прикладами таких похибокможуть служити ті, що виникають при вимірюванні маси ізнеправильною установкою терезів, перекосом покажчика (стрілки),нерівноплечістю коромисла терезів, похибкою гир, градуюванняшкал та ін.

Змінні систематичні похибки поділяються на прогресивні,періодичні і похибки, що змінюються за складним законом.Прогресивними називають такі, які в процесі вимірюванняпоступово зростають або зменшуються. Періодичними – ті, якіперіодично міняють своє значення і знак.

До похибок, що змінюються за певним законом, можуть бутивіднесені похибки мір довжини (лінійки, рулетки, штанген- імікрометричні інструменти), що з'являються при значних коливанняхтемператури в процесі вимірювання. Такі ж похибки можуть виникативнаслідок сумісної дії декількох систематичних похибок.

Залежно від причин виникнення виділяють чотири видисистематичних похибок: інструментальні, методичні, суб'єктивні івикликані впливом зовнішніх умов. Як вже зазначалося,інструментальні похибки за їх природою бувають конструктивні,технологічні, похибки настроювання та установки, похибки від

146

зношення та старіння деталей і приладів у цілому. Найбільшпоширеними з них в торгових і товарознавчих вимірюваннях єпохибки настроювання та установки приладів перед їхексплуатацією. Навіть ідеально виготовлені прилади можуть даватипохибки, якщо вони недостатньо точно налаштовані абонеправильно встановлені. Наприклад, точність зважування натерезах суттєво залежить від горизонтальності їх встановлення. Цявимога повинна неухильно виконуватися. Для цього терезиобов'язково забезпечуються рівнем. Недотримання цієї вимоги,особливо у точних (аналітичних) терезах, загрожує грубимипохибками.

Досить частим джерелом похибки є метод та методикавимірювання. Систематичні методичні похибки можуть бутиобумовлені недосконалістю, неточністю рівняння зв'язку,покладеного в основу непрямого методу, недосконалістю методикиабо неточністю її дотримання.

До систематичних похибок вимірювань, що виникають підвпливом зовнішніх чинників, відносять ті, які викликані тепловимиабо повітряними потоками, електричними або магнітними полями,іонізуючими та НВЧ- випромінюваннями, змінами атмосферноготиску, температури і вологості навколишнього середовища,вібраціями і багатьма іншими чинниками.

Якщо ці чинники короткочасні, то їх вплив достатньо легковиявляється за наслідками вимірювань. При тривалій рівномірнійдії (наприклад, іонізуючого випромінювання) їх вплив виявитидуже важко, оскільки похибки будуть постійними ісистематичними. Зовнішні дії можуть відбиватися на роботі якзасобів вимірювання, так і оператора.

Способи виявлення, виключення та обліку систематичнихпохибок. Систематичні похибки, та особливо постійні, такі, щомають місце протягом тривалого часу, являють собою серйознунебезпеку для висновків, що ґрунтуються на результатахвимірювань. Тому перш, ніж використовувати результати,необхідно їх перевірити на відсутність систематичних похибок.

Постійні систематичні похибки можна виявити лишепорівнюючи результати вимірювань з іншими, виконаними для

147

цього об'єкта, але на більш точних (зразкових) засобах виміру або задопомогою зразкової міри, дійсне значення якої заздалегідь відоме звеликою точністю. Наприклад, систематичні похибки робочих вагможуть бути встановлені за допомогою зразкових гир. І навпаки,похибки гир можна виявити на зразкових терезах при використаннізразкових гир. Саме це і здійснюється при повірці ваг та гир.

Іншим засобом виявлення постійних систематичних похибок єтак званий спосіб рандомізації, який полягає у визначенні однієї ітієї ж величини різними методами. Наприклад, вміст сухих речовинодночасно визначається методом висушування і на рефрактометрі.Можна також провести вимірювання на різних засобахвимірювання одного класу точності, а потім порівняти результати.

Суб'єктивні постійні систематичні похибки виявляються призаміні операторів. Існують й інші прийоми, наприклад методиточного зважування. Змінні систематичні похибки виявляютьпевними прийомами. Простим прийомом може слугувати побудоваі аналіз графіка послідовності отриманих при вимірюваннірезультатів. За наявності прогресуючої похибки буде видно нахилграфіка відносно лінії середнього арифметичного. Періодичнапохибка на графіку дає ділянки, що чергуються за величиною абознаком. При цьому необхідно враховувати, що графік свідчитьлише про наявність похибки, але не про її значення.

Є декілька статистичних методів виявлення систематичнихпохибок: дисперсійний аналіз, спосіб зіставлення середніх, спосібпослідовних різниць, комбінаторні критерії тощо. Найбільшефективним і достовірним є дисперсійний аналіз.

Для виявлення систематичних похибок дуже важливим, а інодівирішальним чинником є наявність апріорної інформації провимірювану величину. Невідповідність або відхилення результатіввимірювання від теоретичних, розрахованих за рівнянням зв'язкуабо раніше отриманих для даного об'єкта, вказує на можливунаявність систематичних похибок.

Щоб уникнути систематичних похибок, зазвичай проводятьпрофілактику засобів вимірювань. Профілактика полягає в тому,що до початку вимірювань виконують заходи, які виключаютьможливість появи похибок, а саме: технічний огляд, настроювання,

148

регулювання, перевірку, ремонт, а в необхідних випадках – ізаміну засобів вимірювання.

До профілактичних заходів належить також перевіркавідповідності умов вимірювання вимогам методики їх виконання. Зцією метою перевіряють наявність теплових і повітряних потоків,перепадів температури і вологості в приміщеннях, де виконуютьвимірювання, правильність установки приладів, їх заземлення,екранування від дії електричних, магнітних і НВЧ-полів, захистувід шуму, вібрації та інших чинників.

У разі виявлення чинників, що можуть заважати вимірюванням,приймаються заходи щодо їх усунення або компенсації. Для цьогоіснують різні прийоми. Вони, як правило, передбачені в методикахабо відповідних інструкціях до засобів вимірювання. Проте далеконе всі джерела похибки можуть бути виключені профілактикою.Якщо ці джерела відомі, то за допомогою особливих методіввиконання вимірювань похибки компенсуються і тим самимвиключаються з результату.

Найчастіше використовують метод заміщення і методзіставлення. Обидва їх застосовують для виявлення і компенсаціїнерівноплечості коромисла терезів, нерівноплечості електричнихланцюгів, для фотометричних вимірювань характеристик джерелсвітла та в інших випадках.

У методі заміщення похибка через нерівноплечістьвиключається, тому зважування (або вимірювання) здійснюється наодному плечі, а в методі зіставлення при зважуванні на різнихплечах утворюється рівна за значенням, але протилежна за знакомпохибка. При обчисленні середнього значення вони взаємнокомпенсуються (звичайно, якщо виконано парне число вимірювань,однакове на обох плечах).

Якщо похибку виключити або компенсувати не вдається, тодідо результату вимірювання треба вносити поправку, яка йогокорегує. Значення і знак поправки визначають зазвичай при повірцізасобів вимірювання або в результаті спеціальних досліджень.Поправки можуть бути постійними або змінними в часі.

Задаватися поправки можуть у вигляді окремих чисел з певнимзнаком або у вигляді таблиць, графіків і рівнянь. Для компенсації

149

кожної з похибок вноситься своя поправка. При цьому необхідновраховувати, що самі поправки також містять похибку, тому щовони визначаються статистичними методами. Отже, внесеннябагатьох поправок збільшує розкид результатів.

Результат вимірювання, уточнений шляхом введення поправок,які враховують систематичні похибки, називається виправленим.Чим точніше враховані систематичні похибки, тим ближчерезультат вимірювань до дійсного значення величини, тим якіснішевимірювання. Характеристика якості вимірювань, що відображаєблизькість до нуля систематичних похибок результату, називаєтьсяправильністю результату вимірювань.

Випадкові похибки. Основні поняття теорії випадковихпохибок. При проведенні великого числа точних вимірювань тієїсамої величини в однакових умовах певна частина отримуванихрезультатів завжди відрізнятиметься від інших, тобто має місцерозкид результатів. Він спостерігається завжди, незалежно від того,з якою ретельністю виконуються вимірювання, або якої точностізастосовуються засоби вимірювання. Межі розкиду можназмінювати, але повністю усунути його неможливо через наявністьвипадкових похибок.

Випадкові похибки передбачати заздалегідь неможливо,оскільки вони не прогнозовані. Їх причинами можуть бути різнізбої в роботі засобів вимірювань, помилки оператора, зовнішніперешкоди, незначні зміни самої вимірюваної величини і багатоінших чинників. Як правило, на вимірювання одночасно впливаєдекілька з них. Ці впливи незалежні один від одного, спрямованістьїх різна, і тому сумарна результуюча дія приймає завжди випадковезначення. Зважаючи на їх випадковий характер, виключити іврахувати ці похибки в кожному конкретному результатівимірювання неможливо. Оцінити, тобто встановити величинутакої похибки, можна тільки на підставі аналізу великої сукупностівимірювань. Такий аналіз є предметом науки теорії випадковихпохибок, яка є розділом теорії вірогідності.

Теорія випадкових похибок використовує понятійний апараттеорії вірогідності і математичної статистики. Основнимипоняттями є: вірогідність, частота і відносна частота появи

150

похибки, статистичний ряд, статистичний та ймовірніснийрозподіл, щільність і функція розподілу вірогідності, законрозподілу.

Вірогідністю появи випадкової похибки називають відношеннячисла вимірювань із заданим значенням похибки до загальногочисла вимірювань в даній їх сукупності. Іншими словами,вірогідність похибки є кількісною оцінкою можливості її появи.PΔв = nΔв / n, де PΔв – вірогідність появи випадкової похибки взаданому інтервалі її значень; nΔв – число вимірювань, що містятьпохибки в заданому інтервалі її значень; n – загальне числовиконаних вимірювань.

Події, вірогідність яких дорівнює 1, називаються достовірними,а ті, що мають вірогідність 0 – неможливими. Випадкова похибка неможе бути ні достовірною, ні неможливою подією, тому їївірогідність завжди менше 1 і більше 0. При однократномувимірюванні вірогідність випадкової похибки дорівнює 0,5.

Визначення вірогідності за наведеним вище співвідношеннямможливо лише для обмеженого числа так званих простих подій,таких, які мають один можливий результат. На практиці жбільшість подій є складними, такими, що мають декілька можливихрезультатів. У такому випадку точний розрахунок вірогідностіскладний, унаслідок чого для розрахунку використовуються неймовірнісні методи, а статистичні. За їх допомогою обчислюєтьсяне дійсна вірогідність, а її наближена оцінка, що називаєтьсявідносною частотою P.

Раніше для такої оцінки використовувався термін частість.Згідно із законом великих чисел: чим більше число подій, тимбільше відносна частота наближається до вірогідності. Спосіброзрахунку вірогідності (або відносної частоти) випадковоївеличини залежить не тільки від числа спостережень, але і відхарактеру змін величини. За цією ознакою величини поділяють надискретні та безперервні.

Розподіл випадкових похибок. Щоб оцінити вірогідність появипевного значення безперервної випадкової величини, необхіднопідрахувати відносну частоту її потрапляння в певний інтервалзначень цієї величини.

151

Проілюструємо це на конкретному прикладі. Як вжезазначалося вище, при великому числі вимірювань тієї самоївеличини утворюється ряд результатів (відліків), які, згідно зосновним постулатом метрології, можна розглядати як випадковівеличини. Кожне відхилення окремого відліку від середньогозначення теж утворює ряд випадкових величин. Оскількивипадкова похибка є величиною неперервною, розділимо ряд їїзначень на певне число рівних інтервалів і підрахуємо числопотраплянь значень похибки в кожен з них, тобто – частоту.Відношення частоти до загального числа вимірювань і є відносноючастотою потрапляння в інтервал.

Наприклад, за допомогою зразкової гирі масою 1,0 кг натерезах зроблено 100 відліків. У табл. 20 представлені результативідліків, розрахунок похибок і частот їх потрапляння в інтервали.

Якщо статистичний ряд зобразити графічно, відклавши на осіабсцис інтервали значення випадкової величини, а на ординаті –значення відносних частот, то вийде стовпчикова діаграма (рис. 48,а). В теорії похибок і математичній статистиці її називаютьгістограмою статистичного розподілу. З табл. 20 і рис. 48 видно, щоплоща кожного прямокутника чисельно рівна його висоті івідносній частоті потрапляння величини в даний інтервал. Загальнаплоща всіх прямокутників дорівнює 1.

20. Розподіл відносних частот статистичного ряду за інтервалами змін безперервних випадкових величин

Діапазонзначення

результатіввимірювань,

г

Інтервализначення

похибки Δвi

Кількістьзначення

похибки вінтервалі

(часто-та), nΔвi

Відносначастота

попадання вінтервал PΔвi

994 – 996 –0,6 – 0,4 3 0,03996 – 998 –0,4 – 0,2 19 0,19998 – 1000 –0,2 – 0 23 0,231000 – 1002 0 – 0,2 28 0,281002 – 1004 0,2 – 0,4 16 0,161004 – 1006 0,4 – 0,6 9 0,091006 – 1008 0,6 –0,8 2 0,02

152

При збільшенні числа інтервалів на гістограмі росте числопрямокутників (рис. 48 б), а їх площа – зменшується. Якщоінтервали зробити дуже маленькими, то ламана лінія, що огинаєвершини прямокутників гістограми (полігон), утрачає ступінчастийвигляд і стає плавною кривою (рис. 49).

Рис.49. Графік щільності розподілу ймовірностівипадкової похибки результатів зважування при n → ∞

153

Рис. 48. Оцінка середньої арифметичної вимірювання

Таку криву називають графіком диференціальної функціїрозподілу або графіком щільності розподілу вірогідності, аматематичне рівняння, що описує її – функцією розподілу.Ордината кривої в якій-небудь її точці (наприклад, ордината PΔх вточці Δх називається щільністю вірогідності випадкової величини вцій точці. Щільність вірогідності знаходження величини взаданому інтервалі Δх1 ... Δх2 дорівнює площі під кривою міжординатами PΔх1 та РΔх2. Як і в разі гістограми, вся площа підкривою дорівнює 1. Вона відображає вірогідність появи будь-якогоз можливих значень величини як достовірної події.

Залежно від природи випадкової величини і числа незалежнихчинників, що впливають на неї, розподіл вірогідності можепідкорятися різним законам. Найчастіше трапляються закони:нормального розподілу, розподілу Стьюдента, рівномірногорозподілу.

Закон нормального розподілу, його властивості тахарактеристики. Численними теоретичними дослідженнями іпрактичними спостереженнями була виведена центральна (абогранична) теорема теорії похибок. Вона стверджує: при великомучислі вимірювань випадкові похибки розподіляються за нормальнимзаконом (законом Гаусса). Рівняння диференціальної і інтегральноїфункції цього розподілу мають вигляд:

)(P = 2

2

2

)(

2

1

m

e

;

F(Δ) =

dem

2

2

2

)(

2

1

,

де P(Δ), F (Δ) – функції похибки; σ, m – характеристики нормального розподілу: середня

квадратична похибка та математичне очікування похибки.Нормальний закон розподілу має такі властивості:1. При великому числі вимірювань похибки можуть приймати

безперервний ряд значень (крива графіка функції є безперервною).2. Вірогідність появи похибок, рівних за значенням та

протилежних за знаком, є однаковою (гілки кривої симетричнівідносно ординати).

154

3. Вірогідність появи малих відхилень від середнього значенняпохибки більше вірогідності появи великих відхилень.

4. Математичне очікування похибки дорівнює нулю (найбільшащільність вірогідності відповідає нульовій ординаті).

5. Чисельне значення ординат і абсцис точок перегину у різнихкривих різне.

Ці точки відповідають середньому квадратичному відхиленнюσ результату вимірювання від його математичного очікування.Тому воно є мірою оцінки розсіяння (розкиду) результатів.

Основними характеристиками нормального розподілу є:математичне очікування, дисперсія, або середнє квадратичневідхилення, коефіцієнт асиметрії і ексцес. У практицітоварознавчих досліджень найчастіше використовують двіхарактеристики: m, D або σ.

Під математичним очікуванням m випадкової величинирозуміється таке її значення, навколо якого групуються результатиокремих вимірювань. Для великого числа вимірювань, коли n ≥ 40математичним очікуванням результату вимірювань є умовно-істинне (дійсне) значення вимірюваної величини ХД, а при n → ∞m → А (істинне значення величини).

У товарознавчих дослідженнях ніхто не виконує великогочисла вимірювань тієї самої величини і, як правило, обмежуються3–4-кратним вимірюванням. У разі обмеженого числа вимірюваньдля оцінки ймовірносних характеристик розподілу застосовуютьстатистичні методи. У такому випадку найкращою оцінкоюматематичного очікування випадкової величини є середнє

арифметичне значення, яке позначається як y або x , або Xср тарозраховується за формулою:

Xср =

n

iix

n 1

1,

де xi – результат і - го вимірювання, а n – число вимірювань вряду.

Дисперсією називається середньозважена за вірогідністю сумаквадратів відхилень випадкової величини від її математичногоочікування. Для випадкової похибки як безперервної величинивідповідає рівняння:

155

D(Δ) =

dpm )()( 2 ,де D(Δ) – дисперсія випадкової похибки. Дисперсія випадкової

похибки дорівнює дисперсії результатів спостережень і тому такожможе використовуватися для характеристики розсіюваннярезультатів відносно їх математичного очікування.

Оскільки на практиці проводять зазвичай обмежене число

вимірювань, то користуються виразом: Dx =

1

)( 2

1

n

xi

x cрn

i ,

де Dх – дисперсія результатів спостереження; хі – результат і -го вимірювання; хср – середнє арифметичне значення вимірюваноївеличини; n– число вимірювань.

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірностівимірюваної величини і тому мірою розсіяння частішевикористовують не дисперсію, а середнє квадратичне відхилення σ,що дорівнює позитивному значенню квадратного кореня з

дисперсії: σх = + xD = 1

)(1

2

n

xxn

icрi .

Чим менше значення σ, тим більше збіжність результатів. Підзбіжністю розуміється характеристика якості вимірювань, щовідображає близькість значень результатів рівноточнихвимірювань.

Закон нормального розподілу виконується тільки при великомучислі спостереження (n ≥ 40). При меншому числі спостереженнякористуються розподілом Стьюдента (псевдонім англійськогостатистика В.С. Госсета). Воно значно відрізняється віднормального при малих вибірках (4 ≤ n ≤ 10), при n = 20–30відрізняється менше, при n > 30–40 –лише трохи відрізняється, апри n > 40 – зовсім не відрізняється.

У тих випадках, коли апріорна інформація не дозволяє зупевненістю вибрати закон розподілу, зазвичай використовуютьзакон рівномірного розподілу. Особливість його в тому, щоймовірність появи будь-якого значення на заданому інтервалі їїможливих значень однакова. Цим законом користуються зазвичай втих випадках, коли потрібно визначити σ, не знаючи дійсногорозподілу.

156

Обробка результатів вимірювань. Метою вимірювання єзнаходження значення величини з певною точністю. Щобвизначити, який з результатів вимірювання найбільш точний інаскільки він близький до дійсного значення величини, проводятьматематичну обробку результатів вимірювання. Порядок їїпроведення залежить від виду та числа вимірювання, виду йхарактеру похибок, наявності апріорної інформації про вимірюванувеличину, класу точності засобів вимірювання.

При однократних вимірюваннях обробка, в її звичайномурозумінні, природно не проводиться. Проводять лише оцінюваннярезультату. Закон розподілу вірогідності за результатомоднократного вимірювання визначити неможливо. Тому приоцінюванні однократного вимірювання зазвичай використовуютьапріорну інформацію про розподіл, накопичену в ході попередніхвимірювань. Якщо її немає, то необхідно виконати ряд вимірюваньі встановити закон розподілу.

Якщо ж це неможливо або недоцільно, то виходять зприпущення про рівномірний розподіл вірогідності, тобтовикористовують закон рівномірного розподілу. Найбільш точнуоцінку значення величини можна отримати тільки прибагатократних вимірюваннях з подальшою математичною(статистичною) обробкою отриманого ряду результатів. Цю обробкузазвичай зводять до виконання таких операцій:

1. Виявлення грубих похибок та їх виключення; 2. Оцінка і виключення систематичних похибок вимірювання;3.Вирахування середнього арифметичного значення результату;4. Визначення середньої квадратичної похибки;5. Перевірка нормальності розподілу результатів;6. Визначення довірчої межі та довірчого інтервалу;7. Визначення остаточного результату вимірювання. Розглянемо порядок виконання цих операцій статистичної

обробки.Для відповіді на питання, чи містить отриманий ряд результатів

вимірювання грубу похибку, можна скористатися декількомаметодами: правилом трьох сигм або загальними методамиперевірки статистичних гіпотез, зокрема нульової гіпотези.

157

Згідно з цією гіпотезою, результат, який найбільше відрізняєтьсявід інших членів ряду (хmin або хmах), визнається таким, що не міститьгрубої похибки. Потім за допомогою статистичних критеріїв(Греббса, Шарлье, Шовене, Діксона) ця гіпотеза абопідтверджується, або спростовується. Для ряду з невеликим числомвимірювань кращими є варіаційний критерій Діксона та критерійГреббса (Смирнова).

Порядок розрахунку цих критеріїв та оцінки результату за їхдопомогою можна знайти в посібниках з математичної статистики.У товарознавчих дослідженнях зазвичай користуються правиломтрьох сигм, яке буде розглянуто далі. Якщо ж результат, щоперевіряється, визнається грубою похибкою, то він виключається зряду вимірювання.

Точкові оцінки результатів вимірювання. Для характеристикирезультату вимірювання застосовуються точкові та інтервальніоцінки. У тих випадках, коли результати використовуються разом зіншими або для подальших розрахунків, то застосовують точковіоцінки. Якщо ж результати вимірювання є остаточними і непризначені для сумісного використання з іншими, то їххарактеризують інтервальними оцінками.

Точковими називаються оцінки, що виражаються одним числом.До таких оцінок відносяться: середнє арифметичне або середнєзважене, дисперсія, середня квадратична похибка. У практицітоварознавчих вимірювань, як правило, обмежуються точковимиоцінками, оскільки ряд вимірювань (вибірка) містить невеликечисло результатів (n ≤ 10).

Розглянемо спосіб розрахунку точкових оцінок для результатіввимірювання, що найчастіше використовуються в товарознавствіпродовольчих товарів. Спочатку визначається середнєарифметичне значення із сукупності значень в ряду:

Xср =

n

ii

nn xnn

xххх

1

121 1.....

Середнє арифметичне результату вимірювання є найкращоюстатистичною оцінкою дійсного значення величини. Іззбільшенням числа вимірювання середнє значення прагне дочисельного значення дійсної величини. Якщо n > 40, то Xср→ ХД.

158

Для оцінки розсіяння результатів в межах ряду використовуютьабо середню арифметичну, або середню квадратичну похибкуодиничного вимірювання (у ряді рівноточних вимірювань).Середню арифметичну похибку r розраховують, за виразом:

r=n

ххсхххх срnрср ...21 = =

nn

ххn

i i

n

iсрi

11 ,

де | Δi |- абсолютне значення (модуль) похибки і -говимірювання.

Хоча середня арифметична похибка дуже просто і легкорозраховується, проте найбільш поширеною оцінкою розсіяння припрямих вимірюваннях є середня квадратична похибка одиничноговимірювання Sxi. Нею називають узагальнену характеристикурозсіяння результатів, отриманих у ряду незалежних рівноточнихвимірювань тієї самої величини внаслідок впливу випадковихпохибок:

1

1

2

n

xxS

n

iсрi

ix

.

Для великого ряду вимірювань при n → ∞ Sxi → σ. У разіневеликих значень n визначається статистична оцінка, якапозначається S. Чим більше число вимірювання, тим ближче S досвоєї межі σ. Оскільки випадкові похибки рівноймовірні за знаком,то перед чисельним значенням S необхідне вказувати ±. Прибільшому числі вимірювання (n > 30) між середньоюарифметичною r і середньою квадратичною S похибками існуютьспіввідношення: S = 1,25 r та r = 0,8 S. Результат одиничноговимірювання є випадковою величиною, унаслідок цього S теж євипадковою величиною. З цієї причини іноді (при малому n)визначають похибку S, тобто її розкид. Випадкову похибкусередньої квадратичної похибки ΔS розраховують за формулою:

159

12

n

SS =

12

1

2

n

xxn

iсрi .

Середні арифметичні значення є теж випадковими величинами.Їх розсіяння характеризується середньою квадратичною похибкоюрезультату вимірювань Sхср :

Sхср = 1

1

2

nni

xx

n

xS

n

срii .

Як видно з наведеного виразу, середня квадратична похибкасереднього арифметичного в n раз менше середньої квадратичноїпохибки одиничного вимірювання. Це означає, наприклад, що призбільшенні числа вимірювань в чотири рази похибка вимірюваннярезультату зменшиться у два рази. Відповідно до цього дисперсіясереднього Dхср в n разів менше Dх.

Під час обробки результатів точних багатократних вимірюваньдуже важливо мати в своєму розпорядженні інформацію про законрозподілу вірогідності. Як вже раніше наголошувалося, розподілдостовірності випадкових похибок підкоряється нормальномузакону. Тому виконавши вимірювання, перевіряють нормальністьрозподілу. Для цього з результатів вимірювання будуютьстатистичний ряд, а потім гістограму статистичного розподілу, якце було показано в табл. 21 і на рисунках 48, а і б. При цьому слідураховувати, що інтервали повинні бути обов'язково однаковими зарозміром, тобто розбиття на інтервали має бути рівномірним, ачисло інтервалів – не менше 6-ти і не більше 20-ти. Якщо числовимірювань до 100 – рекомендується вибирати 7–10 інтервалів.Співвідношення масштабів на осях гістограми X і Y повинностановити приблизно 8:5.

Після побудови гістограми підбирається стандартнааппроксимірувальна функція, розраховуються точковіхарактеристики Xср і S, а потім за допомогою критерію згоди К.Пірсона (хи–квадрат) визначається відповідність експери-ментальних даних нормальному (або іншому теоретичному) законурозподілу.

160

Інтервальні оцінки результатів вимірювань. Інтервальноюназивається оцінка, що виражається у вигляді інтервалу значень,між межами якого з певною вірогідністю знаходиться істинне (абодійсне) значення вимірюваної величини. До неї відноситьсядовірча межа результату і довірчий інтервал. Ці оцінкирозраховують на основі (апріорі або апостеріорно) інформації прозакон розподілу вірогідності для цього ряду вимірювань.Інтервальні оцінки зазвичай застосовують при дуже точнихметрологічних вимірюваннях або наукових дослідженнях.

При багатократних вимірюваннях і нормальному законірозподілу довірчий інтервал ε середнього арифметичноговизначають зі співвідношення: ε = ± tpσ (а при малій вибірці ε = ± tс

S), де tp – довірчий коефіцієнт, залежний від довірчої вірогідності ічисла вимірювання: tp = Xср - –M / SXср або (Xср – M) n /S.

З цього виразу видно, що коефіцієнт tp показує, на скільки σ(або S) при заданій вірогідності результат вимірюваннявідрізняється від його математичного очікування. Таким чином, σ(або S) можуть слугувати мірою розсіяння навколо математичногоочікування результатів вимірювань.

Дійсно, розсіяння результату від математичного очікуваннядобре характеризується дисперсією, або σ . При великому числівимірювань (n → ∞) і нормальному законі розподілу похибокдостовірність того, що похибка вимірювання результату перевищить± σ, дорівнює 2/3, а точніше 0,683. Це означає, що в 68,3 випадків зі100 похибка вимірювання не перевищить ± σ, тобто результатвимірювання можна оцінювати з достовірністю 68,3 %. Достовірністьтого, що значення похибки вимірювання не перевищить ± 2σ = 95,4%, ± 3σ = 99,7 %, ± 4σ = 99,994 %.

Для переважної більшості товарознавчих вимірювань точність,що перевищує 3σ, не потрібна. Оскільки вірогідність появипохибок більше 3σ становить усього близько 0,3 %, то такупохибку називають граничною (Δгр), а похибки, що перевищуютьΔгр, вважаються грубими (промах).

На цій підставі сформульовано правило: якщо прибагатократному вимірюванні тієї самої фізичної величинипостійного розміру сумнівний результат окремого вимірювання

161

відрізняється від середнього значення більш ніж на 3σ, то звірогідністю 0,997 він є помилковим і його слід відкинути. Цеправило отримало назву – правило трьох сигм.

Якщо ж число n невелике, то оцінки, зроблені на основі законунормального розподілу, можуть привести до істотної помилки.Тому в таких випадках користуються, як вже наголошувалосяраніше, законом розподілу Стьюдента. У цьому розподілі довірчадостовірність значною мірою залежить від об'єму вибірки,особливо при n < 20. Наприклад, для результату вимірювань при n= 10 довірча достовірність того, що похибка не перевищить ± 2σ,становить вже 92,4 % (а не 95,4 %, як при нормальному розподілі),± 3σ – 98,5 % (а не 99,7 % відповідно).

Таким чином, чим більше число вимірювань, тим більше довірадо середнього результату, тобто довірчий інтервал звужується.Якщо у співвідношенні ε = ± tpSXср , що визначає довірчий інтервалчерез середню квадратичну похибку середнього арифметичного,замінити SXср на S, то отримаємо ε = ± tpS/ n , оскільки SXср= S/ n .

Отже, довірчий інтервал одиничного вимірювання в n разширше довірчого інтервалу середнього арифметичного.

Довірчою межею Е називається половина довірчого інтервалу:ε = ± tpSXср. Оскільки значення вимірюваної величини знаходитьсяміж межами інтервалу, розрізняють верхню границю Ев = + tpSXср інижню Ен = - tpSXср. На підставі цього довірчий інтервалвимірюваної величини можна представити у вигляді:

ХД= Xср ± ε = Xср ± tp SXср або Xср - ε ≤ ХД ≤ Xср + ε.Таким чином, результат вимірювань Хвим при точковій оцінці

виражається у вигляді: Хвим = Xср ± SXср, при n = . При інтервальномуспособі оцінки: Хвим = Xср ± ε, при n =, Р = .

Маючи точкові та інтервальні оцінки, можна з певноювірогідністю робити висновок про точність результатіввимірювання та випадкову похибку за заданих значеньдостовірності, про придатність використаного методу вимірюваньдля отримання результатів з певною, заданою наперед точністю,про кількість вимірювань, достатніх для отримання результату іззаданою точністю та інші оцінки.

162

Приклад. Для перевірки маси нетто ящиків з яблуками відпартії, що поступила, відібрана вибірка – 18 ящиків. Результати їхзважування наведені в табл. 21, за даними якої потрібновизначити:

1) довірчий інтервал для середнього арифметичного у разідовірчої вірогідності 95 і 99 %;

2) довірчий інтервал для середнього арифметичного за об'ємувибірки 10 ящиків і тієї ж довірчої вірогідності;

3) похибку при однократному зважуванні і такій самій довірчійвірогідності.

Спочатку розраховуємо статистичну оцінку середньоїквадратичної похибки результату вимірювань за формулою:

S = 1

)(1

2

n

xxn

icрi =

17

14,26 = 1,24.

21. Результати вимірювання та випадкова похибка при заданих значеннях вірогідності

Отримавши цю оцінку, можна перевірити наявність у рядувимірювання грубих похибок за правилом трьох сигм. Найбільшийза значенням похибки 4-й результат – 2,53. 2,53 < 3 · 1,24 = 3,72.

№пор

Хі Хі - Xср(Хі -Xср)2

№пор.

Хі Хі - Xср (Хі - Xср)2

1 20,15 –0,28 0,0784 10 21,25 + 0,82 0,67242 19,30 –1,13 1,2769 11 20,75 + 0,32 0,10243 19,85 –0,58 0,3364 12 19,40 –1,03 1,06094 17,90 –2,53 6,4009 13 18,50 –1,93 3,72495 20,45 + 0,02 0,0004 14 22,00 + 1,57 2,46496 21,80 + 1,37 1,8769 15 20,25 - 0,18 0,03247 22,00 + 1,57 2,4649 16 19,35 - 1,08 1,16648 20,60 + 0,17 0,0289 17 21,40 + 0,97 0,94099 22,30 + 1,87 3,4969 18 20,55 + 0,12 0,0144

Xср ==20,43

∑ (Хі - Xср)2 = 26,14

163

Отже, 4-й результат зважування не можна вважати грубоюпохибкою і він не відкидається.

Далі, маючи значення S, розрахуємо середню квадратичну похибку середнього арифметичного SXср :

SXср= S/ n =18

24,1 =

24,4

24,1 0,29.

1. Оскільки вибірка обмежена (n = 18), для розрахунку довірчихінтервалів скористаємося розподілом Стьюдента.

а) Для Рс = 0,95 при n = 18 tc = 2,11(значення довірчогокоефіцієнта береться з довідкової таблиці розподілу Стьюдента).Довірчий інтервал дорівнює ε = ± tpSXср = ± (2,11 · 0,29) = ± 0,61. Цеозначає, що результат вимірювання знаходиться у інтерваліXср – ε ≤ Хвим ≤ Xср + ε = 20,43 – 0,61≤ ≤ Хвим ≤ 20,43 + 0,61 = 19,82≤ Хвим ≤ 21,04.

б) Для Рс = 0,99 tc = 2,90. ε = ± (2,90 · 0,29) = ± 0,84. 20,43 – 0,84 ≤ Хвим ≤ 20,43 + 0,84 = 19,59 ≤ Хвим ≤ 21,27.2. Визначимо середню квадратичну похибку середнього

арифметичного для вибірки об'ємом 10 ящиків. SXср =1,24/ 10 =1,24/3,16 0,39.

а) Для Рс = 0,95 при n = 10 tc = 2,26; ε = ± (2,26 · 0,39) ==± 0,88;

20,43 – 0,88≤ Хвим ≤ 20,43 + 0,88 = 19,55 ≤ Хвим ≤ 21,31. б) Для Рс = 0,99 при n = 10 tc = 3,25; ε = ± (3,25 · 0,39) =

= ± 1,27; 19,16 ≤ Хвим ≤ 21,70.3. На основі аналізу апріорної інформації припускаємо

нормальний розподіл достовірності похибок зважування. ДляР = 0,95 t = 1,96. ε = ± (1,96 ·0,29) = ± 0,568, що відносно доXср = 20,43 становить ± 2,78 %. Для Р = 0,99t = 2,57.

ε = ± (2,57 · 0,29) = ± 0,746 або 3,65 %.Алгоритми вимірювання та способи подання їх результатів.

Розглянувши основні види і методи вимірювань, способи обробкивимірювальної інформації, можна скласти правила (алгоритми)виконання вимірювань та оформлення їх результатів. Оскільки утоварознавстві продовольчих товарів найбільш поширеними єодно- та багатократні прямі рівноточні вимірювання, обмежимося

164

викладом послідовності виконання тільки цих вимірювань іскладемо їх алгоритми.

Як вже наголошувалося, особливістю однократних вимірюваньє те, що з безлічі можливих значень величини отримується івикористовується тільки одне, а також те, що уявлення про законрозподілу значень величини та похибок її виміру формуєтьсятільки на основі апріорної інформації. Порядок виконання операційпри однократному вимірюванні зводиться до наступних дій (рис.50).

1. Аналіз апріорної інформації. При цьому аналізуєтьсяінформація про аналогічні вимірювання, що проводилися раніше,робляться висновки про характер вимірюваної величини; прочинники, що впливають на неї; про можливу точність однократноговимірювання і відповідність її вимогам вимірювального завдання.В ході цього аналізу обґрунтовується вибір методики і засобіввимірювання, робиться висновок про закон розподілу показівзасобу вимірювання.

Якщо аналіз підтверджує можливість досягнення поставленогозавдання шляхом однократного вимірювання, то ухвалюєтьсярішення про його виконання, готується до вимірювання об'єкт ізасіб вимірювання, точно витримуються вимоги методикивиконання вимірювання.

2. Отримання одного значення відліку – виконується особливоретельно, оскільки відсутність повторних вимірювань не можекомпенсувати можливі помилки цього відліку. В тих випадках,коли відчувається дефіцит апріорної інформації або коли результатоднократного вимірювання є особливо важливим, а можливостіпровести багатократні вимірювання немає, то, щоб уникнутипомилки, ризик якої в цих випадках дуже великий, рекомендуєтьсяотримати додатково ще хоча б один-два відліки для того, щобпідтвердити достовірність першого відліку.

165

Рис. 50. Алгоритм однократного вимірювання

3. Отримання одного значення показу засобу вимірювання.Маючи значення відліку і ціну поділки шкали відліковогопристрою, переводять значення відліку в значення показу засобувимірювання. Якщо вимірювання пряме, то при цій операціїпоказують значення вимірюваної величини в її одиницяхвимірювання. Якщо вимірювання непряме, то при відліку

Використання інформації

про клас точності

ЗВТ

Визначення меж значення вимірюваної величини

х1 ≤ х

вим ≤ х

2

Так Ні

Внесення поправки та визначення меж, в яких знаходиться значення вимірю-ваної величиних

1 + Θ ≤ х

вим ≤ х

2+ Θ

Визначення меж з урахуванням закону розподілу та СКВ x -t

рσ = х

1 ≤ х

вим ≤ х

2= x +t

рσ

Визначення поправки та меж, в яких знаходиться значення вимірюваної

величиних

1 + Θ ≤ х

вим ≤ х

2+ Θ

Отримання одного значення показу x = Х /[Х]

Отримання одного значення відліку Х = x /[Х]

Аналіз апріорноїінформації

166

отримують значення величини, функціонально зв'язаної звимірюваною. Це значення підставляють у рівняння зв'язку ірозраховують значення шуканої величини.

4. Визначення меж, у яких знаходиться значення вимірюваноївеличини. Порядок виконання цієї операції залежить від апріорноїінформації про клас точності використовуваного засобувимірювань і закону розподілу похибок вимірювань.

Якщо клас точності засобу вимірювань відомий (він зазвичайвказується на щитку – лицевій панелі приладу та в інструкції донього), то тим самим видається інформація про розсіяння відліку іпоправку, властиву даному засобу. Користуючись нею,розраховують граничні значення х1 та х2 , між якими знаходитьсявимірюване значення величини. Якщо клас точностіневідомий, то, знаючи закон розподілу і середню квадратичнупохибку вимірювань, розраховують довірчі межі: х1 = х – tрσ; тах2 = х + tрσ .

5. Внесення поправки є завершальною дією однократноговимірювання. Якщо значення поправки точно відоме, то її додаютьдо граничних значень величини. Величина поправки повиннавраховувати вплив усіх чинників, що впливають систематично.

Багатократні вимірювання, на відміну від однократних,включають не тільки проведення великого числа одиничнихвимірювань, але і їх статистичну обробку, пов'язану з безліччюрозрахунків, побудовою статистичних рядів, гістограм, графіківтощо. Все це веде до великих витрат часу, тому багатократнівимірювання, як правило, виконуються лише при науковихдослідженнях або метрологічних вимірюваннях. Порядок їхпроведення наведено на рис. 51.

Рис. 51. Спрощений алгоритм багатократного вимірювання

167

Отримання n значень відліку Х = x /[Х]

Рис. 51. Спрощений алгоритм багатократного вимірювання

Аналіз апріорної інформації

Отримання n значень показів Х = Х/[X]

168

Оцінка середнього квадратичноговідхилення результатів вимірювань

S = ±

11

2

ni cрxix

n

)(

Визначення середнього квадратичного відхиленнясереднього арифметичного результатів

вимірювань SXср= S/ n

Продовження рис. 51

Внесення поправок та отримання nзначень результатів вимірювання

хі = x + Θ

Отримання n значень показів Х = Х/[X]

Виявлення грубих помилокхi – хср ≤S

n ˃ 10 – 15

Підтвердження нормальностізакону розподілу результатіввимірювань за допомогоюстатистичних критеріїв

Гіпотеза про нормальністьзакону розподілу вірогідностірезультатів вимірюванняприймається на підставіапріорної інформації

при n = n – ?

Ні

Ні

Так

Так

Рис. 51. Спрощений алгоритм багатократного вимірювання

Перші чотири операції алгоритму виконуються аналогічноописаним вище для однократних вимірювань.

6. Оцінка середнього значення результату вимірювання.Отримавши n результату, розраховують середнє арифметичнезначення результату вимірювання Xср .

7. Знаходять відхилення одиничних результатів від середнього,а потім розраховують оцінку середнього квадратичного відхиленнярезультату вимірювання Sхі.

8. Проводять перевірку ряду вимірювань на наявність грубихпохибок (промахів), користуючись правилом трьох сигм. Занаявності промахів їх відкидають і повторюють операції 5 і 6 приn, зменшеному на кількість виключених грубих похибок.

Якщо n < 10...I5, то перевірка нормальності не проводиться, агіпотеза про нормальний закон розподілу вірогідності результатувимірювання приймається на основі апріорної інформації. Якщо жn >10…15, то така перевірка проводиться з допомогоюстатистичних критеріїв.

169

Продовження рис. 51

Визначення меж значеннявимірюваної величиниXср - ε ≤ Хвим ≤ Xср + ε

Розрахунок довірчого інтервалуε = ± tсSXср

Вибір довірчої вірогідності та визначення tс за довідниковоютаблицею Стьюдента

9. При нормальному законі розподілу визначається середняквадратична похибка оцінки середнього арифметичного значеннярезультату вимірювання SXср.

10. За довідковими таблицями розподілу Стьюдента визна-чають коефіцієнт tс, знаючи число n і вибравши довірчувірогідність (зазвичай, 0,95 або 0,99).

11. Розраховують межі довірчого інтервалу (Е = tс SXср) абоповністю довірчий інтервал (ε = 2Е = ± tс SXср) за даними tс і SXср.

12. При точковій оцінці результат вимірювання виражаютьформулою:

Хвим = Xср ± SXср , при n = ; або Хвим = Xср при SXср = та n = .При оцінці у вигляді інтервалів результат вимірювання має

вигляд: Хвим = Xср ± ε (n = ; Р = %). Якщо вимірювання однократне, то результат отримують із

формули:Хвим = х ± Θ, де Θ – сумарна поправка до значення показу, встановлена для

класу точності засобу вимірювання.Під час запису результатів вимірювань необхідно пам'ятати, що

заокруглення числових значень проводиться до однієї-двохзначущих цифр, а тому і результат округляють до однієї-двохзначущих цифр залежно від точності вимірювання і подальшоговикористання отриманого результату.

170