3-й урок

Тема «Чотирикутники»

Мета: узагальнити та систематизувати основні теоретичні положення з теми

«Чотирикутники», глибше і повніше розкрити найважливіші ідеї розділу;

виховувати вміння логічно обґрунтовувати математичні положення,

розвивати можливості власної продуктивності праці.

Очікувані результати:

1. Учні повинні знати властивості і ознаки чотирикутників та вміти

застосовувати їх до розв’язування задач на доведення та обчислення.

2. Вміти створювати презентації та власні проекти.

Тип уроку: Урок узагальнення і систематизації знань.

Хід уроку.

І. Актуалізація опорних знань, вмінь і навичок учнів по темі

«Чотирикутники».

1. Перевірка домашнього завдання. Учні здають зошити з розв’язаними

задачами, які були запропоновані вчителем з даної теми.

2. Робота з таблицею. Пропонується застосування технології «Мікрофон».

На центральній частині дошки вчитель робить попередні записи до уроку у

вигляді таблиці. На початку уроку записи в таблиці відсутні. Вони

з’являються по мірі того, як учні відповідають на поставлені запитання

вчителя. В ході бесіди вчителя з класом відповіді учнів фіксуються ними в

таблиці. В результаті таблиця має вигляд:

ПАРАЛЕЛОГРАМ

Означення:

1 А С ABCD – чотирикутник

AB II CD; BC II AD

А В D ABCD – паралелограм

Властивості

2 3 4 5

Прямокутник Ромб

6. Означення:

В А С ABCD- паралелограм

А В D

7. <А=90°

АВСD - прямокутник

8. В А С Означення

ABCD – паралелограм

А В D АВ=AD

9. Властивості: 10.

Квадрат

11. В В С Означення: 12 ABCD - ромб

ABCD – прямокутник <А = 90°

AB=CD; ABCD - квадрат

А D ABCD – квадрат

13 14 15 16 17

3. Усно розв’язуються задачі:

Дано: ABCD – паралелограм Дано: ABCD – паралелограм

АК=СМ; Довести,

що ВКDМ – паралелограм Через точку перетину діагоналей

проведені дві прямі, що перетинають

сторони

паралелограма в точках М і Q; N і P.

Довести,що MNQP – паралелограм.

4.Учні дома самостійно працювали з учбовою та додатковою літературою, інтернет-

ресурсами, повторювали основні теореми,означення,властивості та формули

чотирикутників. Вчитель перевіряє знання учнями основних формул з даної теми.

Застосовується технологія «Незакінчене речення». Через мультимедійний проектор

демонструються рисунки та умови властивостей, теорем і формул чотирикутників, а

висновки учні роблять самі.

Основні формули з теми «Чотирикутники»

1. В чотирикутник можна вписати коло тоді і

тільки тоді, коли суми довжин його протилежних сторін

рівні, тобто a+b=b=d

(квадрат, ромб)

2. Навколо чотирикутника можна описати коло

тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів

дорівнює 180°

3.d1°d2=ac+bd

SABCD=1

2d1d2sinα

II. Паралелограм

1.d12 + d2

2 = 2(a2+b2) зв'язок між сторонами і

діагоналями паралелограма.

2. Sпар=aha=absinα=1

2d1d2sinα

III Прямокутник

R= √𝑎2+𝑏2

2 ; Sпрям=ab=

1

2d2sinα

ІV. Ромб

1. d12 +d2

2 = 4a2;

2. Sромба=aha=a2sinα=1

2d1d2

3. В ромб завжди можна вписати коло,радіус якого дорівнює: r=1

2hромба

V Квадрат

1.a4=R√2 a4=2r

2.d=a√2 a=𝑑√2

2

3.Sкв=a2= 𝑑2

2

VI. Трапеція (а і b – паралельні сторони; с і d – бічні сторони, h – висота, l – середня

лінія)

1. 1.В трапецію можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли a+b=c+d.

2. В трапецію можна вписати коло, якщо вона

рівнобічна.

3. 2. Для рівнобічної трапеції d2=ab+c2

4.

5.

6.

3.d12+d2

2=c2+d2+2ab;

4.m=𝑎−𝑏

2(a b) – де m – відрізок,що з'єднує середини діагоналей

5.l=𝑎+𝑏

2;

6.Sтрап=𝑎+𝑏

2h=lh=

1

2d1d2sinα

7. Площа рівнобічної трапеції діагоналі якої взаємно перпендикулярні дорівнює

квадрату її висоти,тобто S=h2

8.Висота ррівнобічної трапеції,в яку можна вписати коло,являється середнім

геометричним її основ:

IІ. Мотивація навчання учнів.

Вчитель наголошує на тому, що при підготовці до даного уроку і на даному

етапі уроку ми систематизували основні теоретичні положення теми «Чотирикутники».

Всі вони дуже тісно взаємопов’язані між собою і складаються не тільки цілісну систему

планіметрії але й широко застосовуються при розв’язанні стереометричних задач. Далі

покажемо як окремі теоретичні факти про чотирикутники застосовуються до

розв’язання різного роду задач.

ІІІ. Розв язання задач

1. Трапеція розбита діагоналями на чотири трикутники. Довести, що трикутники, які

прилягають до бічних сторін, рівновеликі.

2. Доведення:

Доведемо,що S∆ABCD=S∆COD. Так як ABCD –

трапеція, то ADIIBC, <BDA=<CBD. <DCA=<CAD

як внутрішні різносторонні при ADIIBC і січній АС.

Тоді, ∆BCO∞∆AOD.

З подібності трикутників слідує, що АО

𝑂𝐷 =

𝐶𝑂

𝑂𝐵;

AO∙OB=OD∙CO.

S∆ABO=1

2OB∙AO∙sin<BOA

S∆COD=1

2OC∙OD∙sin<COD; S∆ABO= S∆COD,що й потрібно було довести.

2.Довести, що в паралелограмі ABCD відстані від любої точки діагоналі АС до прямих

ВС і СD обернено пропорційні довжинам цих сторін.

Доведення:

Доведемо, що 𝑀𝐾

𝑀𝑁=

𝐷𝐶

𝐵𝐶

Проведемо висоти паралелограма CE=h1 I

CF=h2. Нехай МК = х, ВС = у, DC = b.

Діагональ ділить паралелограм на два різних

трикутника, ∆ABC = ∆ACD

Тоді S∆ABС= S∆АCD=1

2ah1=

1

2bh2

Для довільної точки М є АС:

S∆ABС= S∆BМС+ S∆ABМ=1

2ах +

1

2b(h2 - y)

S∆AСD= S∆DМС+ S∆AМD=1

2by +

1

2a(h1 – x).

Прирівняємо площі трикутників, знайдемо,що ax=by ;𝑥

𝑦 =

𝑏

𝑎;

𝑀𝐾

𝑀𝑁 =

𝑏

𝑎 =

𝐷𝐶

𝐵𝐶; що й

потрібно довести.

Далі учні біля дошки розв’язують задачі, попередньо обговоривши їх в міні-

групах (метод «Акваріум»).

3. В паралелограмі ABCD висота,проведена з вершини В тупого кута на сторону DA

ділить її у відношенні 5:3, починаючи від вершини D. Знайти відношення AС до BD,

якщо AD :AB=2.

Відповідь: 2:1

4.Сума довжин діагоналей ромба дорівнює m, а його площа дорівнює S/

Знайти сторону ромба.

5.Площа рівнобічної трапеції,описаної навколо круга,дорівнює 32√3см2.

Знайти бічну сторону трапеції,якщо відомо,що гострий кут при основі дорівнює 60°.

Відповідь: 8см.

IV. Підсумки уроку.

V. Завдання додому.

Повторити тему «Властивості хорд, січних,дотичних і вписаних кутів в коло».

Клас розбивається на три групи кожна з яких розв’язує по 10 задач, запропонованих

вчителем з тем «Коло. Властивості дотичних,січних,вписаних кутів в коло», «Коло,

описане навколо планіметричних фігур».