§3.3.1 二元一次不等式（组）

与平面区域

1 ．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（ 1 ）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数 的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。（ 2 ）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成 的不等式组称为二元一次不等式组。

满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序实数对（ x,y ），所有这样的有序实数对（ x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（ 3 ）二元一次不等式（组）的解集：

（ 4 ）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系 内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标 .

二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

2. 探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（ 1 ）回忆、思考

一元一次不等式 ( 组 ) 的解集所表示的图形 --- 数轴上的区间

在直角坐标系内 , 二元一次不等式 ( 组 ) 的解集表示什么图形？

（ 2 ）探究二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内， x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线 x-y=6 上的点；第二类：在直线 x-y=6 左上方的区域内的点；第三类：在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。

在平面直角坐标系中，不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6左上方的平面区域；如图。

二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界

（ 3 ）结论：二元一次不等式 Ax+By+C ＞ 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）3 ．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 , 把它的坐标（ x,y) 代入 Ax+By+C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一特殊点（ x0,y0) ，从 Ax0+B

y0+C 的正负即可判断 Ax+By+C ＞ 0 表示直线哪一侧的平面区域 . （特殊地，当 C≠0 时，常把原点作为此特殊点）

例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t, 硝酸盐；生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t, 硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t 、硝酸盐 66t ，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设 x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数于是满足以下条件：

4 10

18 15 66

0

0

x y

x y

x

y

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

1. 出示例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A ， B ，C 三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要 A ， B ， C 三种规格的成品分别 15 ， 18 ， 27 块，用数学关系式和图形表示上述要求 .

A规格 B规格 C规格

第一种钢板 2 1 1

第二种钢板 1 2 3

规格类型

钢板类型

.0

,0

,273

,182

,52

y

x

yx

yx

yx

解 : 设需截第一种钢板 x 张 , 第二种钢板 y 张 ,得

2x+y=15 x+3y=27x+2y=18

x0

y

2 4 6 18128 27246

810

15

练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子 A 和 B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序 . 桌子A 需要 10min 打磨， 6min 着色， 6min 上漆；桌子B 需要 5min 打磨， 12min 着色， 9min 上漆 . 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作 450min ，着色每天至多工作 480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域 .

0

0

480126

45096

450510

y

x

yx

yx

yx

0

0

802

15032

902

y

x

yx

yx

yx

打磨 着色 上漆

桌子 A 10 6 6

桌子 B 5 12 9

工序桌子类型

例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t ；硝酸盐 4t, 生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t, 硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t 、硝酸盐 66t ，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设 x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数于是满足以下条件：

4 10

18 15 66

0

0

x y

x y

x

y

4x+y=1018x+15y =66o

y

x

55

1010

11 22 33 44

引例：某工厂有 A 、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h, 每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h ，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

解 : 设甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2 8

4 16

4 12

0

0

x y

x

y

x

y

（ 1 ）用不等式组表示问题中的限制条件：

（ 2 ）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（ 3 ）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利润为 z,

z=2x+3y

经过直线 x=4与直线 x+2y-8=0的交点M时，截距

3

z的值最大

当 x,y 满足不等式组（ 1 ）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

上述问题就转化为：

2 8

4 16

4 12

0

0

x y

x

y

x

y

⑴

z=2x+3y2x+3y=0

M

2

3 3

zy x

4

82

x

yx

2

4

y

x

即 M(4,2) 所以

142342max Z

5x+4y=20

2x+3y=12线性目标函数

),(M7

20

7

12

Z 的最大值为 44已知实数 x,y 满足下列条件 :

5x+4y ≤ 20

2x+3y ≤12

x ≥0

y≥0

求 z=9x+10y 的最大值 .

最优解

可行域

9x+10y=0

想一想 (问题 ):

线性约束条件

． ．． ．． ． ．

．

．

．

．．

．

0 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

x

y

代数问题图解法

线性规划的有关概念：

线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域；

可行解 ：满足线性约束条件的解 (x ， y) 叫可行解；

最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解 叫线性规划问题的最优解。

线性约束条件：不等式组是一组变量 x 、 y 的约束 条件，这组约束条件都是关于 x 、 y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

例 5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质， 0.06kg 的脂肪， 1kg食物 A 含有 0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费 28 元；而 1kg食物 B 含有 0.105kg碳水化合物， 0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物 B 多少 kg ？

食物 /kg 碳水化合物 /kg 蛋白质 /kg 脂肪 /kg

A 0.105 0.07 0.14

B 0.105 0.14 0.07

将已知数据列表得

解 : 设每天食用 xkg食物 A,ykg食物 B,总成本为 z,那么

解 : 设每天食用 xkg食物 A,ykg食物 B,总成本为 z,那么

0

0

06.007.014.0

06.014.007.0

075.0105.0105.0

y

x

yx

yx

yx

0

0

6714

6147

577

y

x

yx

yx

yx

目标函数为 z=28x+21y

作出二元一次不等式组所表示的可行域 , 如图 :

目标函数为 z=28x+21y

.z,21

,,

.21

,3

4,

213

4

最小最小截距

时当直线过可行域上点由图可得

变化的一族平行线且随轴上截距为

在得到斜率为变形为

z

M

zz

zxy

6714

577

yx

yx解方程组

7

4,7

1 yxM的坐标为得

167

421

7

128min z所以

答 : 每天食用食物 A约 143g,食物 B

约 571g, 能够满足日常饮食要求 , 又使花费最低 , 最低成本为 16 元 .

例 1 、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 4t, 硝酸盐 18 ；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t ，硝酸盐 15t 。现库存磷酸盐 10t, 硝酸盐 66t, 在此基础上生产这两种混合肥料。若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10000 元；生产 1车皮乙种肥料，产生的利润为 5000 元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

解：设生产甲种肥料 x 车皮，乙种肥料 y 车皮，能够产生利润 z 万元，则

4x+y≤10

18x+15y ≤66

x≥0

y ≥0

4x+y=1018x+15y =66 0.5z x y 目标函数为

X+0.5y=0

o

y

x

55

1010

11 22 33 44

M

4x+y=1018x+15y =66

M

X+0.5y=0

o

y

x

55

1010

11 22 33 44

把把 z=x+0.5yz=x+0.5y变形为变形为 y=-2x+2z,y=-2x+2z, 得得到斜率为到斜率为 -2,-2, 在轴上的截距为在轴上的截距为 2z,2z,

随随 zz变化的一族平行直线变化的一族平行直线

由图可知由图可知 ,, 当直线经过可行当直线经过可行域上的点域上的点 MM 时时 ,, 截距截距 2z2z 最最大大 ,, 即即 zz 最大最大 ..

104

661518

yx

yx解方程组

2,2 yxM的坐标为得

325.02max z所以

答答 :: 生产甲生产甲 ,, 乙两种肥料各乙两种肥料各 22车皮车皮 ,, 能够产生最大利润能够产生最大利润 ,, 最最大利润为大利润为 33 万元万元 ..

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 :

（ 1 ）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（ 2 ）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（ 3 ）在可行域内求目标函数的最优解

1. 出示例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A ， B ，C 三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要 A ， B ， C 三种规格的成品分别 15 ， 18 ， 27 块，用数学关系式和图形表示上述要求 .

A规格 B规格 C规格

第一种钢板 2 1 1

第二种钢板 1 2 3

规格类型

钢板类型

.0

,0

,273

,182

,52

y

x

yx

yx

yx

解 : 设需截第一种钢板 x 张 , 第二种钢板 y 张 ,得

2x+y=15 x+3y=27x+2y=18

x0

y

2 4 6 18128 27246

810

15

例 2 要将两种大小不同规格的钢板截成 A 、 B 、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：

解：设需截第一种钢板 x 张，第一种钢板 y 张，一共使用 z 张 . 则

规格类型钢板类型

第一种钢板

第二种钢板

A 规格

B 规格 C 规格

2

1 2

1

3

1

作出可行域（如图）

目标函数为 z=x+y

今需要 A,B,C 三种规格的成品分别为 15 ， 18 ， 27 块，问各截问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。最少。

.0

,0

,273

,182

,52

y

x

yx

yx

yx

2x+y=15 x+3y=27x+2y=18

x+y =0

2x+y≥15,

{x+2y≥18,

x+3y≥27,

x≥0, x N∈ *

y≥0 y N∈ *

直线 x+y=12 经过的整点是 B(3,9) 和 C(4,8) ，它们是最优解 . 答 :(略 )

作出一组平行直线 z = x+y ，

目标函数 z = x+yB(3,9)

C(4,8)M(18/5,39/5)

调整优值法调整优值法

作直线 x+y=12当直线经过点 M 时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，

解得交点 B,C 的坐标 B(3,9) 和 C(4,8)

x0

y

2x+y=15 x+3y=27x+2y=18

x+y =0

经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距离最近的直线是 x+y=12 ，它们是最优解 . 答 :(略 )

作出一组平行直线 z = x+y ，

目标函数 z = x+yB(3,9)

C(4,8)M(18/5,39/5)

打网格线法打网格线法

在可行域内打出网格线，当直线经过点 M 时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，

将直线 x+y=11.4继续向上平移，

x0

y

.

,,

.

,1,

最小截距时当直线过可行域上点由图可得

的一组平行线轴上截距为在得到斜率为变形为

z

M

zy

zxy

152

53

yx

yx解方程组

转化

转化

转化

四个步骤：1 。画（画可行域）

三个转化

4 。答（求出点的坐标，并转化为最优解）3 。移（平移直线 L 。寻找使纵截距取得最值时的点）2 。作（作 z=Ax+By=0 时的直线 L 。）

图解法

想一想 (结论 ):

线性约束条件可行域

线性目标函数Z=Ax+By

一组平行线

B

Zxy

Β

Α

最优解 寻找平行线组的 最大（小）纵截距

如图是在北京召开的第如图是在北京召开的第 2244 界国际数学家大会的会界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或案中找出一些相等关系或不等关系吗？不等关系吗？教师引导学生从面积的关教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系去找相等关系或不等关系。系。

§3.4§3.4 基本不等式基本不等式 2

a bab

将图中的“风车”抽象成如图 :

由于 4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：

2 2 2a b ab

当直角三角形变为等腰直角三角形，即当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=ba=b 时，时，正方形正方形 EFGHEFGH缩为一个点，这时有 缩为一个点，这时有 2 2 2a b ab

)""(

2R,, 22

号时取当且仅当那么

ba

abbaba一般的，如果

特别的，如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a 、 b , 可得 2a b ab

(a>0,b>0)2

a bab

)""(

2,R,

号时取当且仅当那么

ba

abbaba一般的，如果

((证明证明 ))

(1)从不等式的性质推导基本不等式2

a bab

2

a bab

(2) 在右图中， AB是圆的直径，点 C是 AB上的一点 ,

AC=a,BC=b。过点 C作垂直于 AB的弦 DE，连接 AD、 BD。你能利用这个图形得出基本不等式

的几何解释吗？

在数学中，我们称 为在数学中，我们称 为aa 、、 bb 的算术平均数，称 的算术平均数，称 为为 aa 、、 bb 的几何平均数的几何平均数 ..本本节定理还可叙述为：两个正节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们数的算术平均数不小于它们的几何平均数的几何平均数 ..

2

ba

ab

例 1 已知 x、 y都是正数，求证：

(2)（ x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋ y3 ≥） ８ x3

y3.

2y

x

x

y(1)

(3) 已知 a 、 b 、 c 都是正数，求证 (a＋ b)(b＋ c)(c＋ a)≥８ a

bc

例例 11 （（ 11 ）用篱笆围成一个面积为）用篱笆围成一个面积为 100m100m22 的矩形菜的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？

解：（解：（ 11 ）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为 x mx m ，宽为，宽为 y my m ，则，则 xy=100xy=100 ，，篱笆的长为篱笆的长为 22 （（ x+yx+y ） ） mm 。。

2

x yxy

由由

可得 2 100x y

2( ) 40x y 等号当且仅当 x=y 时成立，此时 x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为 10m10m 时，所用的篱笆最短，时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短的篱笆是 40m.40m.

（（ 22 ）一段长为）一段长为 36 m36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，

问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，

最大面积是多少最大面积是多少 ??解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为 x m.,x m., 宽为宽为 y m ,y m , 则则 2(x+y)=32(x+y)=36, 6,

x+y=18,x+y=18, 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为 xy mxy m22 。。

当且仅当 x=y, 即 x=y=9 时，等号成立。因此 ,这个矩形的长、宽都为 9m时 ,菜园的面积最大 ,

最大面积是 81m2.

189

2 2

x yxy

由由

81xy 可得可得

1.1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若aa ，， b R∈b R∈ ＋＋，且，且 aa＋＋ bb＝＝ MM ，， MM 为定值，则为定值，则 ab≤ ab≤

，等号当且仅当，等号当且仅当 aa＝＝ bb 时成立时成立 ..4

2M

2.2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若aa ，， b R∈b R∈ ＋＋，且，且 abab＝＝ PP ，， PP 为定值，则为定值，则 aa＋＋ b≥2 b≥2

，等号当且仅当，等号当且仅当 aa＝＝ bb 时成立时成立 ..

P

归纳：归纳：

例例 2 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m4800m33,,深为深为 3m3m ，如果池底每，如果池底每 1m1m22 的造价为的造价为 150150 元，元，池壁每池壁每 1m1m22 的造价为的造价为 120120 元，问怎样设计水池能使总元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？造价最低，最低总造价是多少元？

解：设水池底面一边的长度为 xm ，水池的总造价为 L 元，根据题意，得

)1600

(720240000x

xl

297600402720240000

16002720240000

x

x

因此，当水池的底面是边长为因此，当水池的底面是边长为 40m40m 的正方形时，水的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是池的总造价最低，最低总造价是 297600297600 元元 ..

.2976000,40,1600 有最小值时即 lxx

x 由由

课时小结课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件三个条件：：(1)(1) 函数的解析式中，各项均为正数；函数的解析式中，各项均为正数； (2)(2) 函数函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；为定值； (3)(3) 函数的解析式中，含变数的各项均函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正二定三相等。。