ガウスの 2次形式論とクロネッカーウェーバーの定...

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ガウスの 2次形式論とクロネッカー ·ウェーバーの定理についての考察

三浦正道

新潟大学大学院自然科学研究科数理物質科学専攻

2016/02/09

三浦正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 1 / 22

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修士論文について

.修士論文目次..

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準備 (初等整数論, 代数的整数論, ガロア理論, ヒルベルトの理論)

ガウスの 2次形式論 (2章) §1クロネッカー ·ウェーバーの定理 (3章) §2考察と具体例 (4章) §3今後の研究について (5章) §4


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§1 (1/4)

2元 2次形式 f (x , y) = ax2 + bxy + cy2 (a, b, c ∈ Z)に対し,.定義..

......

(1) Df := b2 − 4ac を f の判別式という.(2) gcd(a, b, c) = 1であるとき, f を原始形式という.(3) f が n ∈ Zを原始的に表現するdef⇐⇒ ∃(x , y) ∈ Z2 s.t. gcd(x , y) = 1, f (x , y) = n.

2つの 2元 2次形式 f , g に対し, 同値関係を導入する..定義..

......f ∼ g

def⇐⇒ ∃(

p qr s

)∈ SL2(Z) s.t. g(x , y) = f

( (x y

)t

(p qr s

)).

f ∼ g =⇒ Df = Dg .

f : 原始形式かつ f ∼ g =⇒ g : 原始形式.


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§1 (2/4)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.

f (x , y) = a1x2 + b1xy + c1y

2, g(x , y) = a2x2 + b2xy + c2y

2 : 判別式D をもつ 2元 2次形式

.定義..

......

gcd(a1, a2,b1+b2

2 ) = 1を満たすと仮定する.演算 ◦を, 次のように定義する:

(f ◦ g)(x , y) := a3x2 + b3xy + c3y

2.

ただし, a3 = a1a2, b3は ai , bi , ci から求められる整数, c3 =b23−D4a3である.


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§1 (3/4)

PD := {f (x , y) = ax2 + bxy + cy2 | gcd(a, b, c) = 1,Df = D}. (D :D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数)

PD/ ∼は有限アーベル群をなす.

単位元は,

e =

{x2 − D

4 y2 (D ≡ 0 (mod 4))

x2 + xy + 1−D4 y2 (D ≡ 1 (mod 4))

である.f (x , y) = ax2 + bxy + cy2に対する逆元は,

f −1(x , y) = ax2 − bxy + cy2

である.


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§1 (4/4)

F : Q上の 2次体.

.定理..

......

2次体 F の整数環OF のイデアルは, 2元 2次形式と対応している.

OF P∆F⊂ ∈

a 7−→ faaf ←−p f

Cl+F ≃ P∆F/ ∼.


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§2

.定理 (クロネッカー ·ウェーバーの定理)........有理数体Q上のアーベル体は円分体に含まれる.

Q

K

Q(ζn) ∃n ∈ N

Gal(K/Q) : アーベル群


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§3 (1/2)

F = Q(√−5)を考える. この 2次体に対応する 2元 2次形式は,

x2 + 5y2, 2x2 + 2xy + 3y2

の 2つである. 特に, 単位元 x2+5y2が原始的に表現する奇素数について,

x2 + 5y2 = p ⇐⇒ p ≡ 1, 9 (mod 20)

である.


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§3 (2/2)

体の拡大:

Q

F = Q(√−5)


. . . . . .

§3 (2/2)

体の拡大:

Q

F = Q(√−5)

Q(√−5,√−1) F のヒルベルト類体


. . . . . .

§3 (2/2)

体の拡大:

Q

F = Q(√−5)

Q(√−5,√−1)

Q(ζ20)

F のヒルベルト類体

クロネッカー ·ウェーバー


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§3 (2/2)

ガロア対応:

Q

F = Q(√−5)

Q(√−5,√−1)

Q(ζ20)

(Z/20Z)×

{1, 3, 7, 9}

{1, 9}

{1}

F のヒルベルト類体

クロネッカー ·ウェーバー


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§4 (1/10)

.課題........3次体のイデアルは 2次体と同じように対応できるのか？

.予想..

......

3次体 F の整数環OF のイデアルは, 2元 3次形式と対応している (？)

OF P∆F

⊂ ∈a ←→ ax3 + bx2y + cxy2 + dy3


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§4 (2/10)

マンジュル ·バルガヴァは以下の論文を元に, フィールズ賞を受賞した.

M. Bhargava, Higher composition laws I: A new view on Gausscomposition, and quadratic generations, Ann. of Math. (2) 159(2004), 217–250.

M. Bhargava, Higher Composition laws II: On cubic analogues ofGauss composition, Ann. of Math. (2) 159 (2004), 865–886.

M. Bhargava, Higher Composition laws III: The parametrization ofquartic rings, Ann. of Math. (2) 159 (2004), 1329–1360.


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§4 (3/10)

A = (a, b, c, d , e, f , g , h) ∈ Z8に対し,

c d

a b

g

e

h

f

�

�

�

�

を考える. 次の 6つの行列

M1 =

(a bc d

), N1 =

(e fg h

),

M2 =

(a ce g

), N2 =

(b df h

),

M3 =

(a eb f

), N3 =

(c gd h

)とする.三浦正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 15 / 22

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§4 (4/10)

3つの 2元 2次形式QAi (x , y) := −det(Mix − Niy). (i = 1, 2, 3)

2元 2次形式での同値関係を立方体に拡張できる. その同値関係を∼′をする.

.定理..

......DQA

1= DQA

2= DQA

3.

QA1 ,Q

A2 ,Q

A3 の判別式を立方体 Aの判別式という.

CD := {A ∈ Z8 | QAi ∈ PD}. (D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数)


. . . . . .

§4 (5/10)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.

∃A0 ∈ CD s.t. QA01 = QA0

2 = QA03 .

Qid,D := QA0i . (i = 1, 2, 3)

.定理 (バルガヴァ, 2004, Theorem 1)..

......

PD/ ∼に対し, 以下の 3つの条件を満たすような群の演算 ·が一意に存在する:(1) Qid,D は単位元である;

(2) QA1 · QA

2 · QA3 = Qid,D ; (∀A ∈ CD)

(3) Q1 · Q2 · Q3 = Qid,D となるQ1,Q2,Q3に対し,

∃1A ∈ CD/ ∼ s.t. QA1 = Q1,QA

2 = Q2,QA3 = Q3.


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§4 (6/10)

立方体 A0を

D ≡ 0 (mod 4)

1 0

0 1

0

1

D4

0

�

�

�

�

D ≡ 1 (mod 4)

1 1

0 1

0

1

D+34

1

�

�

�

�

とする. これらを判別式 D の基本立方体という.

D ≡ 0 (mod 4)のとき, QA01 = QA0

2 = QA03 = x2 − D

4 y2.

D ≡ 1 (mod 4)のとき, QA01 = QA0

2 = QA03 = x2 + xy + 1−D

4 y2.


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§4 (7/10)

A = (a, b, c , d , e, f , g , h) ∈ CD .

c d

a b

g

e

h

f

�

�

�

�

∼′

0 d ′

1 0

g ′

0

h′

f ′

�

�

�

�

QA1 = −d ′x2 + h′xy + f ′g ′y2,QA

2 = −g ′x2 + h′xy + d ′f ′y2,

QA3 = −f ′x2 + h′xy + d ′g ′y2.

QA1 ◦ QA

2 = d ′g ′x2 + h′xy − f ′y2 ∼ −f ′x2 − h′xy + d ′g ′y2 = QA3

−1.

QA1 ◦ QA

2 ◦ QA3 = e.


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§4 (8/10)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.

Aid,D : 判別式 D の基本立方体.

.定理 (バルガヴァ, 2004, Theorem 2)..

......

集合 CD/ ∼′に対し, 以下の 2つの条件を満たすような群の演算が一意に存在する:(1) Aid,D は単位元である;

(2) i = 1, 2, 3に対し, A 7→ QAi という写像は, PD/ ∼への群準同型写像で

ある.


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§4 (9/10)

A,B ∈ CD/ ∼′.

QA1 ◦ QA

2 ◦ QA3 = QB

1 ◦ QB2 ◦ QB

3 = e. (Theorem 1 (2)より)

Qi = QAi ◦ QB

i とする. (i = 1, 2, 3)

Q1 ◦ Q2 ◦ Q3 = e.

∃1C ∈ CD/ ∼′ s.t. QCi = Qi . (i = 1, 2, 3)　 (Theorem 1 (3)より)

このとき, A ◦ B := C と定義する.


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§4 (10/10)

.疑問..

......

2つの 2元 3次形式 f , g に対し,

f ◦ g =？

b c

a b

c

b

d

c

�

�

�

�

という形の立方体で考える.


ガウスの 2次形式論とクロネッカー ウェーバーの定...

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