เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2558

เฉลยละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2558

วธทา จากโจทย บอกวา 𝑥𝑥 − 1 หาร 𝑃𝑃(𝑥𝑥) เหลอเศษ 6

จากทฤษฎบทเศษเหลอ จะไดวา 𝑃𝑃(1) = 6

𝑎𝑎 + 4 = 6

เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 2

จะแกสมการ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 0

ดงนน 2𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 5 = 0

(𝑥𝑥 + 5)(2𝑥𝑥 − 1) = 0

เพราะฉะนน รากทเปนจานวนจรงบวกของสมการน จะเทากบ 12

ตอบ

วธทา จากสมบตของวงร “ผลรวมของระยะจากจดโฟกสทงสองไปยงจดบนวงร จะเทากบความยาวแกนเอก”

เพราะฉะนน 2𝑎𝑎 = 10 𝑎𝑎 = 5

จากโจทย บอกวา 𝐹𝐹1𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐 = 8 𝑐𝑐 = 4

เพราะฉะนน ความเยองศนยกลาง = 𝑐𝑐𝑎𝑎

= 45

ตอบ

เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558

วธทา เนองจาก ห.ร.ม. ของ 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 คอ 35

แสดงวา 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 ตองหารดวย 35 ลงตว

เพราะฉะนน จะเหลอคา 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 ทเปนไปได ไดแก 105 , 140 , 175

เนองจาก ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 คอ 35 และ 525 ตามลาดบ

ดงนน 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 35 × 525 = 18375

เมอลองจบค 𝑚𝑚 กบ 𝑛𝑛 มาคณกน พบวา 𝑚𝑚 = 105 และ 𝑛𝑛 = 175 เทานน

เพราะฉะนน 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 280 ตอบ

วธทา จากโจทย |𝑢𝑢� × ��𝑣| = 1 |𝑢𝑢� ||��𝑣| sin𝜃𝜃 = 1 ----------------------- (๑)

|𝑢𝑢� ∙ ��𝑣| = √3 |𝑢𝑢� ||��𝑣| cos 𝜃𝜃 = √3 ----------------------- (๒)

นา (๑)/(๒) จะไดวา tan𝜃𝜃 = 1√3

ดงนน 𝜃𝜃 = 30°

เพราะฉะนน sin2 𝜃𝜃 = �12�

2= 1

4 ตอบ


วธทา พจารณาดานขวาของสมการ

𝑅𝑅. 𝑆𝑆. = log32 3 + log3 32

= 12

+ 2

ดงนน log4 𝑥𝑥 = 52

จะไดวา 𝑥𝑥 = 452 = �4

12�

5= 25

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 32

วธทา จะหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน

จะไดวา��𝑥 = 2+5+8+10+12+15+187

= 10

จะหาความแปรปรวนของขอมลชดน

เนองจากขอมลชดนเปน กลมตวอยาง

ดงนน จะตองใชสตรความแปรปรวนของกลมตวอยาง

𝑠𝑠2 = ∑(𝑥𝑥−𝑥𝑥)2

𝑛𝑛−1

= (2−10)2+(5−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(15−10)2+(18−10)2

7−1

เพราะฉะนน ความแปรปรวนของกลมตวอยางน เทากบ 31 ตอบ


วธทา จากโจทย จะสามารถเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 ไดวา

𝐴𝐴 = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33

�

ดงนน จะสามารถเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ไดวา

𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13

𝑎𝑎21 + 2𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 + 2𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 + 2𝑎𝑎132𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33

�

อาศยสมบตของดเทอรมนนต

จะไดวา det(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13

𝑎𝑎21 + 2𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 + 2𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 + 2𝑎𝑎132𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33

�

= �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23

2𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33

� 𝑅𝑅2 − 2𝑅𝑅1

= 2 �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33

�

= 2(det𝐴𝐴)

= 2 × 10

เพราะฉะนน det(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 20 ตอบ


วธทา จะหา 𝑛𝑛(𝑆𝑆)

เนองจาก 𝑆𝑆 คอ เซตของเหตการณในการหยบไอศกรม 2 รส จาก 10 รส ทเปนไปไดทงหมด

จะไดวา 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = �102 � = 45

จะหา 𝑛𝑛(𝐸𝐸)

เนองจาก 𝐸𝐸 คอ เซตของเหตการณในการหยบไอศกรม 2 รส จาก 9 รส ทไมรวมรสกะท

จะไดวา 𝑛𝑛(𝐸𝐸) = �92� = 36

จะไดวา 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 45

ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 6𝑎𝑎𝑥𝑥 − 9𝑎𝑎2

และ 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 + 6𝑎𝑎

จะหาคาวกฤต

กาหนดใหคา 𝑥𝑥 ทเปนคาวกฤต เทากบ 𝑐𝑐

จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 0 = 3𝑐𝑐2 + 6𝑎𝑎𝑐𝑐 − 9𝑎𝑎2

0 = 3(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑐𝑐 + 3𝑎𝑎)

ดงนน 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 หรอ 𝑐𝑐 = −3𝑎𝑎

ตรวจสอบคาสงสดหรอตาสดสมพทธ

เนองจาก 𝑓𝑓′′ (𝑎𝑎) = 12𝑎𝑎 > 0 จดท 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 เปนคาต าสดสมพทธ

𝑓𝑓′′ (−3𝑎𝑎) = −12𝑎𝑎 < 0 จดท 𝑥𝑥 = −3𝑎𝑎 เปนคาสงสดสมพทธ

จะหาคา 𝑎𝑎

จากโจทย บอกวา 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 0

ดงนน −5𝑎𝑎3 + 5𝑎𝑎 = 0

−5𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 1) = 0

เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = −1 , 0 , 1

แตจากโจทย บอกวา 𝑎𝑎 เปนจานวนจรงบวก

เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 1 ตอบ


วธทา กาหนดให 𝐿𝐿 = lim𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛

จากโจทย 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �1+2𝑛𝑛𝑛𝑛

+ 𝑎𝑎𝑛𝑛

take lim𝑛𝑛→∞

ทงสองขางของสมการ

จะไดวา lim𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim𝑛𝑛→∞

�1+2𝑛𝑛𝑛𝑛

+ 𝑎𝑎𝑛𝑛

= � lim𝑛𝑛→∞

1+2𝑛𝑛𝑛𝑛

+ lim𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛

ดงนน 𝐿𝐿 = √2 + 𝐿𝐿

𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿 + 2

แกสมการ จะไดวา 𝐿𝐿 = 2 ,−1

แตจากโจทย บอกวา 𝑎𝑎𝑛𝑛 เปนลาดบของจานวนจรงบวก

เพราะฉะนน lim𝑛𝑛→∞

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2 ตอบ


วธทา เนองจาก 995 ≡ 1(mod 7) จะไดวา 99516 ≡ 1(mod 7)

996 ≡ 2(mod 7) จะไดวา 9968 ≡ 256(mod 7)

และ 256 ≡ 4(mod 7)

ฉะนน 9968 ≡ 4(mod 7)

997 ≡ 3(mod 7) จะไดวา 9974 ≡ 81(mod 7)

และ 81 ≡ 4(mod 7)

ฉะนน 9974 ≡ 4(mod 7)

998 ≡ 4(mod 7) จะไดวา 9982 ≡ 16(mod 7)

และ 16 ≡ 2(mod 7)

ฉะนน 9982 ≡ 2(mod 7)

และ 999 ≡ 5(mod 7)

เพราะฉะนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 ≡ 16(mod 7)

และ เรารกนอยแลววา 16 ≡ 2(mod 7)

ดงนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 ≡ 2(mod 7)

เพราะฉะนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 หารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ตอบ


วธทา เนองจากเปนอสมการคาสมบรณ จงตองแบงกรณในการปลดคาสมบรณ

กรณท ๑ : 𝑥𝑥 ≥ 100

จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนบวก และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนลบ

จะไดวา �(100 + 𝑥𝑥) − �−(100 − 𝑥𝑥)�� < 100

|(100 + 𝑥𝑥) + (100 − 𝑥𝑥)| < 100

200 < 100

เปนเทจ

เพราะฉะนน ในกรณน ไมมจานวนจรงทสอดคลองกบอสมการ

กรณท ๒ : −100 < 𝑥𝑥 < 100

จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนบวก และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนบวก

จะไดวา |(100 + 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100

|2𝑥𝑥| < 100

ดงนน −100 < 2𝑥𝑥 < 100

−50 < 𝑥𝑥 < 50

เมอตรวจสอบกบเงอนไข พบวา คาตอบทกตวอยในเงอนไขนทงหมด

เพราะฉะนน ในกรณน จะมเซตคาตอบของอสมการ คอ (−50 , 50)


ขอ 12 (ตอ) :

กรณท ๓ : 𝑥𝑥 ≤ −100

จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนลบ และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนบวก

จะไดวา |−(100 + 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100

|(−100 − 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100

200 < 100

เปนเทจ

เพราะฉะนน ในกรณน ไมมจานวนจรงทสอดคลองกบอสมการ

เพราะฉะนน เซตคาตอบของอสมการ คอ (−50 , 50)

จะไดวา มจานวนเตมทสอดคลองกบอสมการอย 99 ตว ตอบ


วธทา พจารณาเซต 𝐴𝐴

จากสมการ จะไดวา 𝑧𝑧12 = cos 0° + 𝑖𝑖 sin 0°

จากทฤษฎบทของเดอมวร

จะไดวา 𝑧𝑧 = cos 0° + 𝑖𝑖 sin 0° , cos 30° + 𝑖𝑖 sin 30° , cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60°

, … , cos 330° + 𝑖𝑖 sin 330°

จะเหนไดวา 𝑧𝑧 มโมดลสเทากบ 1 ทกตว

พจารณาเซต 𝐵𝐵

จากสมการ จะไดวา (𝑧𝑧9 − 2)(𝑧𝑧9 + 1) = 0

ดงนน 𝑧𝑧9 = 2 หรอ 𝑧𝑧9 = −1

จะไดวา |𝑧𝑧| = √29 หรอ |𝑧𝑧| = 1

เพอจะหา 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 จะไดวา สมาชกในเซตนตองมาจากสมการดานขวาเทานน

ดงนน 𝑧𝑧9 = cos 180° + 𝑖𝑖 sin 180°

จะไดวา 𝑧𝑧 = cos 20° + 𝑖𝑖 sin 20° , cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60° , cos 100° + 𝑖𝑖 sin 100°

, … , cos 340° + 𝑖𝑖 sin 340°

เมอหาตวทซ ากน จะไดวา สมาชกของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ไดแก

cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60° , cos 180° + 𝑖𝑖 sin 180° , cos 300° + 𝑖𝑖 sin 300°

เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 3 ตอบ


วธทา พจารณาโจทย

(𝑢𝑢� + ��𝑣) × (𝑢𝑢� − ��𝑣) = (𝑢𝑢� × 𝑢𝑢� ) − (𝑢𝑢� × ��𝑣) + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) − (��𝑣 × ��𝑣)

= 0� + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) − 0�

= 2(��𝑣 × 𝑢𝑢� )

เพราะฉะนน 2(��𝑣 × 𝑢𝑢� ) = �2−4√5

�

จะไดวา |2(��𝑣 × 𝑢𝑢� )| = 5

ดงนน |��𝑣 × 𝑢𝑢� | = 52

โจทยถามหา |3𝑢𝑢� × 3��𝑣|

ดงนน |3𝑢𝑢� × 3��𝑣| = 3 × 3|𝑢𝑢� × ��𝑣|

= 9|��𝑣 × 𝑢𝑢� |

เพราะฉะนน |3𝑢𝑢� × 3��𝑣| = 452

ตอบ


วธทา ลองวาดกราฟไฮเพอรโบลาดกอน จะไดวา

ขอ (ก) ถก เพราะ จะหาเสนกากบ ใหเปลยน 1 เปน 0 ในสมการรปมาตรฐาน

จะไดวา สมการเสนกากบ คอ 𝑥𝑥2

8− 𝑦𝑦2

2= 0

คอ 𝑦𝑦2 = 14𝑥𝑥2

คอ 𝑦𝑦 = ± 12𝑥𝑥

ดงนน ผลคณความชนของเสนกากบ เทากบ − 14


ขอ 15 (ตอ) :

ขอ (ข) ถก เพราะ จากรป จะไดวา จดโฟกส คอ �±√10, 0�

เนองจาก |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2| = 2𝑎𝑎 ตามสมบตของไฮเพอรโบลา

ดงนน |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2| = 2�2√2�

เพราะฉะนน |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2|2 = 32

ขอ (ค) ถก เพราะ เนองจากเสนกราฟ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

คอ เสนกากบของกราฟ

เมอพจารณาบรเวณท 𝑥𝑥 > 0

จะพบวา เสนไฮเพอรโบลานน อยในบรเวณของ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥2

ทงหมด

เพราะฉะนน จด 𝑃𝑃 จะไมอยบน �(𝑥𝑥,𝑦𝑦) | 𝑥𝑥 > 0 และ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥2� แนนอน

ขอ (ง) ถก เพราะ ให 𝑃𝑃 มพกด (𝑎𝑎,𝑏𝑏)

จะไดวา ระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 เทากบ

|𝑎𝑎−2𝑏𝑏|√12+22

และ ระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ 𝑦𝑦 = − 12𝑥𝑥 เทากบ

|−𝑎𝑎−2𝑏𝑏 |√12+22

พจารณาจด 𝑃𝑃 บนไฮเพอรโบลา

จะไดวา 𝑎𝑎2

8− 𝑏𝑏2

2= 1

ดงนน 𝑎𝑎2 − 4𝑏𝑏2 = 8

เพราะฉะนน ผลคณของระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ = |𝑎𝑎−2𝑏𝑏||−𝑎𝑎−2𝑏𝑏|5

= |𝑎𝑎−2𝑏𝑏||𝑎𝑎+2𝑏𝑏|5

= �𝑎𝑎2−4𝑏𝑏2�5

= 85

เพราะฉะนน ผลคณของระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ จะเทากบ 85

ตอบ


วธทา จากโจทย arccos �− 115� = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶

𝜋𝜋 − arccos 115

= 𝜋𝜋 − 𝐴𝐴

เพราะฉะนน 𝐴𝐴 = arccos 115

จากโจทย จะไดวา 𝑐𝑐 = 3 และ 𝑏𝑏 = 5

จากกฎของ cos

ดงนน 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 cos𝐴𝐴

= 52 + 32 − 2(5)(3) � 115�

= 25 + 9 − 2

= 32

จะไดวา 𝑎𝑎 = 4√2

เพราะฉะนน ดาน 𝐵𝐵𝐶𝐶 จะยาว 4√2 หนวย ตอบ


วธทา จากโจทย take log2 ทงสองขางของสมการ

จะไดวา log2 𝑥𝑥(log 2 𝑥𝑥+1) = log2 64

(log2 𝑥𝑥 + 1)(log2 𝑥𝑥) = 6

มอง 𝐴𝐴 = log2 𝑥𝑥

จะไดวา (𝐴𝐴 + 1)(𝐴𝐴) = 6

𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴 − 6 = 0

(𝐴𝐴 + 3)(𝐴𝐴 − 2) = 0

ดงนน log2 𝑥𝑥 = −3 หรอ log2 𝑥𝑥 = 2

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 18

, 4

ตรวจคาตอบแลว สมการเปนจรงทงหมด

เพราะฉะนน ผลบวกคาตอบของสมการ เทากบ 338

ตอบ


วธทา เราจะใชคาของ 𝑧𝑧 ในโจทย ยอนกลบไปหาวา ระบบสมการชดนคออะไร

จากกฎของคราเมอร จะไดระบบสมการ คอ

𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4 --------------------- (๑)

2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = −1 --------------------- (๒)

𝑥𝑥 + 2𝑧𝑧 = 1 --------------------- (๓)

จากโจทย เมอคานวณคาดเทอรมนนท จะไดวา 𝑧𝑧 = −1

แทนคาในสมการ (๓) จะไดวา 𝑥𝑥 = 3

นาคา 𝑥𝑥 และ 𝑦𝑦 ไปแทนคาใน (๑) จะไดวา 𝑦𝑦 = 1

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4 ตอบ


วธทา ขอ (ก) ผด เพราะ ลองแทน 𝐴𝐴 = 0� , 𝐵𝐵 = �1 23 4� , 𝐶𝐶 = �1 3

5 7� ซง 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 จรง แต 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 เปนเทจ

ขอ (ข) ถก เพราะ เนองจาก 𝐴𝐴2 = 𝐼𝐼

จะทาให det𝐴𝐴2 = det 𝐼𝐼 = 1

ดงนน det𝐴𝐴 จะไมเทากบ 0 แนๆ

ทาให 𝐴𝐴 จะตองม 𝐴𝐴−1 เสมอ

จากโจทย 𝐴𝐴2 = 𝐼𝐼

𝐴𝐴−1 × 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴−1 × 𝐼𝐼

𝐴𝐴−1𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1

𝐼𝐼 × 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1

จงสามารถสรปไดวา 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1


ขอ 19 (ตอ) :

ขอ (ค) ถก เพราะ เนองจาก 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼

จะไดวา det𝐴𝐴𝐵𝐵 = det 𝐼𝐼

det𝐴𝐴 det𝐵𝐵 = 1

แสดงวา det𝐴𝐴 และ det𝐵𝐵 ตองไมเทากบ 0 แนๆ

สมการอกอน พสจนในทานองเดยวกน จะไดวา det𝐶𝐶 ตองไมเทากบ 0 แนๆ

แสดงวา 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 และ 𝐶𝐶 จะตองม 𝐴𝐴−1 ,𝐵𝐵−1 ,𝐶𝐶−1 เสมอ

จากโจทย 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼

𝐴𝐴−1 × 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1 × 𝐼𝐼

𝐴𝐴−1𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1

𝐼𝐼 × 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1

แสดงวา 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1

จากโจทย 𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝐼𝐼

𝐶𝐶𝐴𝐴 × 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐼 × 𝐴𝐴−1

𝐶𝐶 × 𝐴𝐴𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1

𝐶𝐶 × 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴−1

แสดงวา 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴−1

จงสามารถสรปไดวา 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶

ขอ (ง) ผด เพราะ จากการทาในขอ (ค) คอ ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼 จะไดวา 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1

จากสมบต 𝐴𝐴−1 = 1det 𝐴𝐴

adj𝐴𝐴

จะไดวา adj𝐴𝐴 = det𝐴𝐴 × 𝐴𝐴−1

ดงนน adj𝐵𝐵 = adj𝐴𝐴−1

= det𝐴𝐴−1 × (𝐴𝐴−1)−1

= 1det 𝐴𝐴

× 𝐴𝐴

เพราะฉะนน adj𝐵𝐵 = 1det 𝐴𝐴

× 𝐴𝐴


วธทา เนองจากตองการจานวนทมากกวา เจดแสน จงตองแบงเปน 3 กรณ คอ

กรณท ๑ : ตวแรกขนตนดวยเลข 7

จะไดวา เหลออก 5 ตว ไดแก 0 , 7 , 8 , 8 , 9

ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!2!

= 60 วธ

เพราะฉะนน กรณนจะสรางตวเลขได 60 จานวน

กรณท ๒ : ตวแรกขนตนดวยเลข 8


ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!2!

= 60 วธ


กรณท ๓ : ตวแรกขนตนดวยเลข 9


ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!

2!2!= 30 วธ


เมอรวมทงสามกรณ จะไดวา จะสรางตวเลขไดทงหมด 150 จานวน ตอบ


วธทา จากโจทย บอกวา นกเรยนทสอบไดนอยกวา 40 คะแนน ม 33%

ดงนน พนทใตเสนโคงจากตรงกลางจนถง 40 คะแนน เทากบ 0.17

เทยบกบตาราง จะไดวา คะแนนมาตรฐานของ 40 คะแนน เทากบ −0.44

ดงนน −0.44 = 40−𝑥𝑥10

เพราะฉะนน ��𝑥 = 44.4

คะแนนสอบ 50 คะแนน จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 50−44.4

10= 0.56

คะแนนสอบ 60 คะแนน จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 60−44.4

10= 1.56

เมอเทยบกบตาราง จะไดวา

พนทใตเสนโคงระหวาง 0.56 ถง 1.56 เทากบ 0.4406 − 0.2123 = 0.2283

เพราะฉะนน จะมนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวาง 50 ถง 60 คะแนน อย 22.83% ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา คาเฉลยเลขคณต = 𝑥𝑥+447

จะทาให มธยฐาน = 𝑥𝑥+447

ลองเรยงขอมลจากนอยไปมาก

3.5 , 5 , 7 , 8 , 8.5 , 12

𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥

ถา 𝑥𝑥 อยระหวาง 3 ชองแรก จะทาใหมธยฐานเทากบ 7

ดงนน 𝑥𝑥+44

7= 7 𝑥𝑥 = 5 ซงขดแยงกบโจทย เพราะโจทยบอกวาไมมฐานนยม

ถา 𝑥𝑥 อยระหวาง 3 ชองหลง จะทาใหมธยฐานเทากบ 8


7= 8 𝑥𝑥 = 12 ซงขดแยงกบโจทย เพราะโจทยบอกวาไมมฐานนยม

ถา 𝑥𝑥 อยตรงกลางพอด จะทาใหมธยฐานเทากบ 𝑥𝑥


7= 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 22

3

จะไดวา 𝑅𝑅 = 12 − 3.5 = 8.5 เพราะฉะนน 𝑅𝑅 − 𝑥𝑥 = 76

ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓(0) = 1 และ 𝑓𝑓′(0) = 32

โจทยถามหา lim𝑥𝑥→0

𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1𝑥𝑥

ดงนน lim𝑥𝑥→0


= lim𝑥𝑥→0

𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(0)𝑥𝑥−0

= lim𝑥𝑥→0

𝑓𝑓(0+𝑥𝑥)−𝑓𝑓(0)(0+𝑥𝑥)−0

= 𝑓𝑓′(0)

= 32

เพราะฉะนน lim𝑥𝑥→0


= 32

ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา ลาดบเลขคณตน มผลตางรวมเทากบ 3

เพราะฉะนน 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛 + 1

ถา 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 121 จะไดวา 𝑛𝑛 = 40

จากโจทย 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 𝑥𝑥(𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑎40)

= (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 𝑥𝑥 �402

(4 + 121)�

. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 2500𝑥𝑥

ดงนน 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (1 + 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + ⋯+ 40𝑥𝑥39) + 2500

เพราะฉะนน 𝑓𝑓′(1) = (1 + 2 + 3 + ⋯+ 40) + 2500

= �402

(1 + 40)� + 2500

เพราะฉะนน 𝑓𝑓′(1) = 2480 ตอบ


วธทา พจารณา 𝑎𝑎20 − 𝑎𝑎1 = 19𝑑𝑑

𝑎𝑎19 − 𝑎𝑎2 = 17𝑑𝑑

…..

𝑎𝑎11 − 𝑎𝑎10 = 𝑑𝑑

เพราะฉะนน โจทย = 121(19𝑑𝑑) + 1

19(17𝑑𝑑) + 117(15𝑑𝑑) + ⋯+ 1

3(1𝑑𝑑)

= 1𝑑𝑑� 1

1×3+ 1

3×5+ ⋯+ 1

15×17+ 1

17×19+ 1

19×21�

= 1𝑑𝑑�∑ 1

(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �

= 1𝑑𝑑�∑ 1

2× 2

(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �

= 12𝑑𝑑�∑ (2𝑛𝑛+1)−(2𝑛𝑛−1)

(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �

= 12𝑑𝑑�∑ � 1

2𝑛𝑛−1− 1

2𝑛𝑛+1�10

𝑖𝑖=1 �

= 12𝑑𝑑�1

1− 1

3+ 1

3− 1

5+ ⋯+ 1

17− 1

19+ 1

19− 1

21�

= 12𝑑𝑑�1 − 1

21�

= 214�20

21�

เพราะฉะนน โจทย = 5 ตอบ


วธทา เพอใหเหนภาพ เราจะเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �3×3= �

𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33

�

พจารณาเหตการณทเราสนใจ

สมมตใหสมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 ม 1 อย 𝑥𝑥 ตว

จะไดวา สมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 ม -1 อย 9 − 𝑥𝑥 ตว

ถาตองการผลรวมสมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 เทากบ 3

จะตงสมการไดวา 𝑥𝑥 − (9 − 𝑥𝑥) = 3

แกสมการ จะไดวา 𝑥𝑥 = 6

แสดงวา เมตรกซในเซตของเหตการณ จะตองม 1 อย 6 ตว และม -1 อย 3 ตว

จะหา 𝑛𝑛(𝐸𝐸) จะหาไดจาก

ขนท 1 : เลอกสมาชกในเมตรกซทมสมาชก คอ 1 ทงหมด 6 ตว ใสลงไปได 9 ตาแหนง ทาได �96� วธ

ขนท 2 : เลอกสมาชกในเมตรกซทมสมาชก คอ -1 ทงหมด 3 ตว ใสลงไปได 3 ตาแหนง ทาได �33� วธ

เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝐸𝐸) = �96��

33� = 84

จะหา 𝑛𝑛(𝑆𝑆)

หาไดจาก แตละตาแหนงสามารถใสตวเลขได 2 แบบ คอ 1 และ -1 แตเมตรกซนมอย 9 ตาแหนง

เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 29

เพราะฉะนน 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 8429 = 21

27 ตอบ


วธทา กาหนดให 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

จะไดวา 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 | 𝑦𝑦 − 2 + 𝑥𝑥2 ≤ 0}

และ 𝐵𝐵 = {𝑧𝑧 | 𝑦𝑦 ≥ 0}

เมอนามาวาดกราฟ จะไดกราฟดงน

ดงนน พนทของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∫ (−𝑥𝑥2 + 2)𝑑𝑑𝑥𝑥√2−√2

= �− 𝑥𝑥3

3+ 2𝑥𝑥� |𝑥𝑥=−√2

𝑥𝑥=√2

= �− 2√23

+ 2√2� − �2√23− 2√2�

เพราะฉะนน พนทของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 เทากบ 8√3

2 ตารางหนวย ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑃𝑃(1) = −1

ขอ (ก) ผด เพราะ จะหาเศษจากการหาร –𝑃𝑃(𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 − 1

ซงกคอ เศษ = −𝑃𝑃(1) = −(−1) = 1

ดงนน 𝑥𝑥 − 1 หาร –𝑃𝑃(𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1

ขอ (ข) ถก เพราะ จะหาเศษจากการหาร 𝑃𝑃2(𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 − 1

ซงกคอ เศษ = 𝑃𝑃2(1) = (−1)2 = 1

ดงนน 𝑥𝑥 − 1 หาร 𝑃𝑃2(𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1

ขอ (ค) ผด เพราะ จะหาเศษจากการหาร 𝑃𝑃(−𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 + 1

ซงกคอ เศษ = 𝑃𝑃�−(−1)� = 𝑃𝑃(1) = −1

ดงนน 𝑥𝑥 + 1 หาร 𝑃𝑃(−𝑥𝑥) จะเหลอเศษ −1

ขอ (ง) ถก เพราะ จะหาเศษจากการหาร −𝑃𝑃(−𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 + 1

ซงกคอ เศษ = −𝑃𝑃�−(−1)� = −𝑃𝑃(1) = 1

ดงนน 𝑥𝑥 + 1 หาร −𝑃𝑃(−𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝐺𝐺𝑛𝑛 = (𝑎𝑎1 × 𝑎𝑎1𝑟𝑟 × 𝑎𝑎1𝑟𝑟2 × … × 𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑛𝑛−1)1𝑛𝑛

= �𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑟𝑟1+2+⋯+(𝑛𝑛−1)�

1𝑛𝑛

= �𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑟𝑟

(𝑛𝑛−1)𝑛𝑛2 �

1𝑛𝑛

เพราะฉะนน 𝐺𝐺𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑛𝑛−1

2

ดงนน ∑ 𝐺𝐺𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = ∑ 𝑎𝑎1𝑟𝑟

𝑛𝑛−12∞

𝑛𝑛=1

= 𝑎𝑎1 ∑ 𝑟𝑟𝑛𝑛−1

2∞𝑛𝑛=1

= 𝑎𝑎1 �1 + 𝑟𝑟12 + 𝑟𝑟

22 + 𝑟𝑟

32 + ⋯�

= 𝑎𝑎1 �1

1−𝑟𝑟12�

เพราะฉะนน ∑ 𝐺𝐺𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = 𝑎𝑎1

1−𝑟𝑟12

ตอบ


วธทา จากกฎการวนลปของ 𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘+1 = 𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘+2 = −1 𝑖𝑖4𝑘𝑘+3 = −𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘 = 1

ถาลองจบกลมตดกน 4 ตว

จะไดวา ผลบวกจะมคาเทากบ 0

ถาจบกลม 𝑖𝑖4𝑘𝑘+1 , 𝑖𝑖4𝑘𝑘+2 , 𝑖𝑖4𝑘𝑘+3

จะไดวา ผลบวกจะมคาเทากบ −1

เพราะฉะนน คาของ 𝑛𝑛 ททาให 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘=1 = −1

𝑛𝑛 จะตองหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 (ซงกคอ เขยนในรป 𝑛𝑛 = 4𝑘𝑘 + 3 ไดนนเอง)

เนองจาก ในเซต {10 , 11 , 12 , 13 , … , 100} จะมจานวนทหารดวย 4 ลงตวอย 23 ตว

เพราะฉะนน จะมจานวนนบ 𝑛𝑛 ในเซต {10 , 11 , … , 100} อย 23 ตว ททาให 𝑆𝑆𝑛𝑛 = −1 ตอบ


เฉลยไมละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2558

1. 0.5 16. ตอบขอ 1

2. 280 17. ตอบขอ 1

3. 0.8 18. ตอบขอ 4

4. 0.25 19. ตอบขอ 3

5. 32 20. ตอบขอ 2

6. 20 21. ตอบขอ 2

7. 31 22. ตอบขอ 1

8. 0.8 23. ตอบขอ 3

9. 1 24. ตอบขอ 5

10. 2 25. ตอบขอ 5

11. ตอบขอ 2 26. ตอบขอ 3





ขอขอบคณ ตวโจทยและภาพประกอบเฉลย จากคณ GTRPing ดวยครบ


เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2558

Education