ÂÅÑÒÍÈÊ · 2019-10-15 · теңдеу үшін кері есепті шешуде...

ҚАРАҒАНДЫ УНИВЕРСИТЕТ IН IҢ

ÕÀÁÀÐØÛÑÛ ÂÅÑÒÍÈÊ

КАРАГАНДИНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ISSN 0142-0843

МАТЕМАТИКА сериясы

2(58)/2010 Серия МАТЕМАТИКА

Сəуір–мамыр–маусым

1996 жылдан бастап шығады Жылына 4 рет шығады

Апрель–май–июнь Издается с 1996 года Выходит 4 раза в год

Собственник РГКП Карагандинский государственный университет имени Е.А.Букетова

Бас редакторы — Главный редактор

Е.К.КУБЕЕВ, академик МАН ВШ, д-р юрид. наук, профессор

Зам. главного редактора М.Ж.Буркеев, д-р хим. наук Ответственный секретарь Г.Ю.Аманбаева, д-р филол. наук

Серияның редакция алқасы — Редакционная коллегия серии

М.И.Рамазанов, редактор д-р физ.-мат. наук; Л.К.Кусаинова, д-р физ.-мат. наук; Е.С.Смаилов, д-р физ.-мат. наук; К.А.Турсунов, д-р техн. наук; Н.А.Бокаев, д-р физ.-мат. наук; Х.Ж.Халманов, д-р техн. наук; К.Т.Искаков, д-р физ.-мат. наук; Е.Д.Нурсултанов, д-р физ.-мат. наук; М.Т.Дженалиев, д-р физ.-мат. наук; К.К.Шакенов, д-р физ.-мат. наук; У.У.Умербаев, д-р физ.-мат. наук; Н.Г.Абдрахманов, канд. физ.-мат. наук; Б.С.Кошкарова, ответственный секретарь канд. физ.-мат. наук

Адрес редакции: 100028, г. Караганда, ул. Университетская, 28

Тел.: 77-03-69 (внутр. 1026); факс: (7212) 77-03-84.

Редакторы Ж.Т.Нұрмұханова Редактор И.Д.Рожнова

Техн. редактор В.В.Бутяйкин

Издательство Карагандинского государственного университета

им. Е.А.Букетова 100012, г. Караганда,

ул. Гоголя, 38, тел.: (7212) 51-38-20

e-mail: [email protected]

Басуға 28.06.2010 ж. қол қойылды. Пiшiмi 6084 1/8. Офсеттік қағазы. Көлемi 14,87 б.т.

Таралымы 300 дана. Бағасы келiсiм бойынша.

Тапсырыс 417.

Подписано в печать 28.06.2010 г. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная.

Объем 14,87 п.л. Тираж 300 экз. Цена договорная. Заказ 417.

Отпечатано в типографии издательства КарГУ им. Е.А.Букетова

© Карагандинский государственный университет, 2010 Зарегистрирован Министерством культуры, информации и общественного согласия Республики Казахстан.

Регистрационное свидетельство 1131–Ж от 10.03.2000 г.

2

МА ЗМ ҰНЫ С О Д Е РЖ АНИ Е

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА

Əлибиев Д.Б., Дошақова Д.С. Иерархияны тал-дау əдісін қолдану арқылы тасымалдаушылар-ды таңдау ............................................................. 4

Алибиев Д.Б., Дошакова Д.С. Выбор постав-щиков с использованием метода анализа иерархии ............................................................... 4

Базыкен Г., Нұрымов Б.С., Түнғатаров А. Сы-зық пен сингулярлық нүктесі бар жазықтықта-ғы кейбір екінші ретті эллипстік жүйелер кла-сы үшін Робин типтегі есеп ............................... 9

Базыкен Г., Нуримов Б.С., Тунгатаров А. За-дача типа Робина для одного класса эллипти-ческих систем второго порядка на плоскости с сингулярной точкой и линией ............................ 9

Берікханова Г.Е. Тесілген облыстағы біртекті емес бигармониялық теңдеу үшін шекаралық есеп ...................................................................... 13

Берикханова Г.Е. Краевая задача для неодно-родного бигармонического уравнения в про-колотой области................................................... 13

Дженалиев М.Т., Рамазанов М.Ы., Түймебае-ва А.Е. «Маңызды» жүктелген параболалық теңдеу үшін кейбір шекаралық есеп туралы .... 22

Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И., Туймебае-ва А.Е. Об одной граничной задаче для «су-щественно» нагруженного параболического уравнения ............................................................. 22

Ерденеева А.А., Түлепбердинова Г.А. Квази-стационарлық жуықтаумен электродинамика-ның кері есебі үшін тиімділеу əдісінің дис-креттік ұқсастығы ............................................... 27

Ерденеева А.А., Тюлепбердинова Г.А. Дис-кретный аналог оптимизационного метода для обратной задачи электродинамики в квазиста-ционарном приближении.................................... 27

Жанбусинова Б.Х. Екінші ретті дифференци-алды-айырымдық теңдеулердің бір класының периодтық шешімдері туралы ........................... 32

Жанбусинова Б.Х. О периодических решениях одного класса дифференциально-разностных уравнений второго порядка ................................ 32

Жанбусинова Б.Х. Ауытқуы бар аргументті бі-рінші ретті дифференциалдық теңдеулердің периодтық шешімдері туралы ........................... 37

Жанбусинова Б.Х. О периодических решениях дифференциальных уравнений первого по-рядка с отклонением аргумента ......................... 37

Жетпісов Қ., Жұмабаев Б.С., Джузбаева А.М. Реттік қатынастар жəне реттелген жиынның қасиеттері ............................................................ 41

Жетписов К., Жумабаев Б.С., Джузбаева А.М. Порядковые отношения и свойства упорядо-ченных множеств................................................. 41

Иманбердиев К.Б. Шекаралық басқаруымен берілген жылуөткізгіштіктің жүктелген тең-деуі үшін тиімді басқару есебінің шешілгішті-гі туралы .............................................................. 48

Иманбердиев К.Б. О разрешимости задачи оптимального управления для нагруженного уравнения теплопроводности с граничными управлениями ...................................................... 48

Ысқақов С.А. Төртінші ретті дифференциал-дық теңдеу үшін жалған облыстағы əдіс .......... 54

Искаков С.А. Метод фиктивных областей для дифференциального уравнения четвертого порядка ................................................................. 54

Ысқақов Қ.Т., Оралбекова Ж.О. Параболалық теңдеу үшін кері есепті шешуде тиімділеу əді-сінің дискреттік ұқсастығы................................ 60

Искаков К.Т., Оралбекова Ж.О. Дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для параболического уравне-ния......................................................................... 60

Қанғужин Б.Е., Анияров А.А., Берікханова Г.Е. Көпнүктелі шекаралық шарттары бар Дирихле есебінің ақырлы өлшемді ауытқулары ............. 64

Кангужин Б.Е., Анияров А.А., Берикхано-ва Г.Е. Конечномерные возмущения задачи Дирихле с многоточечными краевыми усло-виями .................................................................... 64

Тен Т.Л., Когай Г.Д. Көпдеңгейлі ақпараттық жүйелер иерархиясын кескіндеудің бағдарла-малы-тұтастық əдісі............................................ 76

Тен Т.Л., Когай Г.Д. Программно-целевой ме-тод проектирования иерархий многоуровне-вых информационных систем ............................ 76

Шалдықова Б.А. Жылуөткізгіштіктің спек-тралды-жүктелген операторы үшін шекаралық есебі. II ................................................................. 80

Шалдыкова Б.А. Краевая задача для спек-трально-нагруженного оператора теплопро-водности. II .......................................................... 80

3

Құсайынова Л.Қ., Ухман А.В. Жалпылаған мо-нотондық шартымен Харди екісалмақты опе-раторының аппроксимациялық сандар тараты-лу функцияның асимптотикасы туралы. I ........ 88

Кусаинова Л.К., Ухман А.В. Об асимптотике функции распределения аппроксимативных чисел двухвесового оператора Харди с усло-вием обобщенной монотонности. I.................... 88

Ухман А.В. Жалпылаған монотондық шарты-мен Харди екісалмақты операторының ап-проксимациялық сандар есептеу функцияның төменгі бағалары туралы. II............................... 95

Ухман А.В. Об оценках снизу считающей функции аппроксимативных чисел двухвесо-вого оператора Харди с условием обобщенной монотонности. II .................................................. 95

МЕХАНИКА МЕХАНИКА

Бəкіров Ж.Б., Тəңірбергенова А.Ə. Кездейсоқ факторларды ескеріп, стержендердің күдікті-ден кейінгі деформациясын зерттеу.................. 102

Бакиров Ж.Б., Танирбергенова А.А. Исследо-вание деформации после сжатия стерженя с учетом случайных факторов............................... 102

Мінбаева С.Р., Тукешова Г.А. Көлденең күш-тер мен иілудің əсерінен пайда болған беттер-ді қолдануымен берілген топталған жүктемеге мембрананы есептеу........................................... 109

Минбаева С.Р., Тукешова Г.А. Расчет мембра-ны на сосредоточенную нагрузку с использо-ванием поверхности влияния прогибов и по-перечных сил ....................................................... 109

Оралбекова Ж.О. Изотермиялық фильтрация теориясының есебін шешудегі бір жуықтау əдіс туралы .......................................................... 113

Оралбекова Ж.О. Об одном приближенном методе решения задачи теории изотермиче-ской фильтрации.................................................. 113

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР ........... 118 СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ.............................. 118

4

МАТЕМАТИКА

УДК 51.5:004

Д.Б.Алибиев, Д.С.Дошакова

Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова

Выбор поставщиков с использованием метода анализа иерархии

В статье описан метод анализа иерархий (MAИ), предложенный Т.Л. Саати, основанный на парных сравнениях альтернатив по различным критериям с использованием 9-балльной шка-лы, и последующее ранжирование множества альтернатив по всем критериям и целям. В MAИ отношения между критериями учитываются путем построения иерархии критериев и примене-нием парных сравнений для выявления важности критериев и субкритериев. Здесь примером MAИ является выбор поставщиков.

Ключевые слова: поставщик, объем инвестиций, метод анализа иерархий, Саати, альтернатива, надежность, приоритет, критерий.

В зависимости от содержания процесса снабжения формируется перечень показателей, как каче-

ственных, так и количественных, на основе которых оценивается выгодность привлечения того или иного поставщика для выполнения определенных функций. Часть суждений строится на формали-зуемых и количественно измеримых характеристиках (цена, объем инвестиций и т.п.). Однако конеч-ное решение о выборе поставщика строится также и на основе суждений о множестве факторов, не подлежащих количественному отображению, и тех, формализовать которые представляется затруд-нительным.

Метод представления суждений в виде числовых значений должен удовлетворять многим крите-риям. Некоторая неопределенность в суждениях не должна сильно влиять на соответствующее чи-словое значение, но значительная разница в суждениях должна отражаться значительным разбросом на числовой шкале [1; 34].

Большинство управленческих решений на предприятии принимается в результате анализа сло-жившейся ситуации и перспектив с использованием в большей или меньшей мере экспертных оце-нок. Однако суждения управленцев не всегда состоятельны, т.е. невозможно однозначно определить приоритетность и важность объектов.

При числовом попарном сравнении двух поставщиков, предлагающих свою продукцию на при-близительно одинаковых условиях, трудно учесть чувства лица, принимающего решения (ЛПР) и опыт работы (собственный или других фирм) с данными предприятиями. Чтобы представить резуль-тат сравнения двух исследуемых контрагентов, требуется точное представление об их деятельности, знание их внутреннего состояния и того, какие характеристики и в какой степени могут повлиять на достижение поставленных перед ними целей.

С увеличением попарного сравнения увеличивается число оценок d (суждений):

( 1)

2n n

d .

Сравнение критериев говорит об их важности, а сравнение альтернатив — об их предпочтитель-ности [2].

Выбор оптимальных поставщиков из множества потенциальных (подавших заявку) для заклю-чения контракта на основе числовой шкалы требует предварительного формирования рангов важно-сти. Определим ранги важности, основываясь на изложенные в [3; 35, 1; 29] шкалы отношений (табл.).

5

Т а б л и ц а

Определение рангов важности поставщиков

Степень важности

Определение Пояснение

0 Участники несравнимы Сравнение двух предприятий бессмысленно 1 Участники имеют одинаковую зна-

чимость для проекта Оба предприятия могут внести одинаковый вклад в дос-тижение представленной цели в рамках проекта

3 Слабое превосходство одного участ-ника над другим

Есть некоторые основания предпочесть одно предпри-ятие другому, но их нельзя считать неопровержимыми

5 Один существенно выгоднее другого (сильное превосходство)

Одно из предприятий обладает значительными конку-рентными преимуществами

7 Очевидная конкурентоспособность участника

Имеются неопровержимые основания для предпочтения одного предприятия другому

9 Абсолютная значимость участника Превосходство одного из предприятий столь очевидно, что не может вызвать ни малейшего сомнения

Значения 2, 4, 6, 8 соответствуют промежуточным суждениям и используются, когда выбор ме-

жду двумя соседними нечетными числами вызывает затруднение. Для многих предприятий, нацеленных на участие в проекте, параметром их сравнения может

служить надежность поставок. Надежность — это способность системы сохранять в процессе функционирования бесперебой-

ность работы при должном качестве ее выходных параметров [4]. Характеристика «надежность поставок» в полной мере охватывает логистические правила «7-R»

[5, 6]. Она является интегральной оценкой способности предприятия (будь то поставщика или под-рядчика) обеспечивать стабильный, бесперебойный запланированный проектом производственный процесс заказчика. Надежность поставок включает в себя степень готовности к поставкам, уровень гибкости поставок, умение обеспечивать сохранность продукции в процессе ее погрузки и транспор-тировки. К показателям, образующим базу для оценки надежности поставок, относятся:

время пролеживания (до начала производственного процесса) покупаемых ресурсов; количество несостоявшихся поставок; количество поставок, имеющих какие-либо отклонения; продолжительность доставки готовой продукции; время между поставками (включает подготовительный и производственный этапы); точность выполнения транспортных операций по срокам; риск в интервалах поставки; количество повреждений продукции в процессе транспортировки; вероятность недопоставки. При этом оценивание надежности поставок может включать в себя анализ внутрифирменной си-

туации потенциального контрагента. Неустойчивость внутренней среды предприятия вызывает и/или усиливает колебания в производственном и сбытовом процессах, что, естественно, влечет за собой снижение качества поставок продукции, а это, в свою очередь, отражается на функционировании клиентов.

Стоимость поставки одной единицы продукции или партии, слагаемыми которой выступают це-на продукции и суммарные затраты на доставку, выделим в отдельный критерий.

Оценку качества продукции получаем исходя из информации о соответствии продукции госу-дарственным и мировым стандартам, наличии международных сертификатов качества, отзывах и ко-личестве рекламаций потребителей.

Важным аспектом в осуществлении внешнеэкономического проекта, в рамках которого метал-лургические предприятия собираются поставлять продукцию заказчику, является формирование и контроль над поддержанием рыночного статуса, иначе предприятия могут столкнуться с проблемой антидемпинговых процессов [2, 7]. Конечным результатом проекта является начало процесса произ-водства определенной продукции подразделениями заказчика, поэтому в его задачи также входит контроль за тем, чтобы производство и продажа данной продукции осуществлялись в соответствии с установленными в мировой практике рыночными принципами. Таким образом, в категории «надеж-ность поставок» должна учитываться степень соответствия предприятия рыночному статусу.

6

Обеспечение надежности производственно-сбытовой и логистической деятельности предпри-ятия невозможно без правильной организации финансовой работы. Финансовая нестабильность предприятия приводит к срывам в производственном процессе и задержкам поставок. Предприятие, которое выступает в роли клиента, должно учитывать риск невыполнения поставщиком своих обяза-тельств вследствие финансовых проблем, поскольку в таких случаях высока вероятность нарушения им сроков поставок, оговоренных уже с его заказчиком. Определение финансового состояния осно-вывается на анализе ликвидности баланса, анализе финансовой устойчивости и платежеспособности, анализе динамики и структуры статей баланса, оценке деловой активности, учете количества судеб-ных исков и претензий и его стоимостного выражения.

Еще одним критерием оценки поставщиков является информационная прозрачность. Данный критерий характеризует возможность быстрого получения достоверной и актуальной, интересующей заказчика информации в полном объеме. Прежде всего, заказчик желает быть постоянно информиро-ванным о ходе выполнения его заказа на предприятии и нахождении продукции в пути. Естественно, соответствие требованиям доступности и прозрачности подобной информации возможно лишь на предприятиях с развитой информационной системой и высоким уровнем логистического сервиса.

Таким образом, оценку эффективности предприятий, участвующих в тендере на поставку собст-венной продукции или оказание услуг, будем проводить по следующим критериям: цена, качество, надежность поставок, финансовая устойчивость, информационная прозрачность (рис. 1).

Рисунок 1. Наилучший поставщик

На рисунке 2 приведены числовые оценки матрицы попарных сравнений для критериев.

Рисунок 2. Числовые оценки матрицы попарных сравнений критериев

Нормализованный собственный вектор матрицы попарных сравнений (табл.) представлен на ри-сунке 2. Собственное значение матрицы попарных сравнений равно

max5,3932 . Тогда индекс со-

гласованности (ИС) составляет:

7

max5,39 5

ИС 0,0991 4n

n

Рисунок 3. Нормализованный собственный вектор

Как видно, наибольший вес имеет качество, за ним следует надежность поставок, а далее — стоимость поставки, и, наконец, менее значимые критерии — информационная прозрачность и фи-нансовая устойчивость.

Среднее значение индекса согласованности (однородности) случайным образом составленной матрицы попарных сравнений, порядок которой равен пяти, составляет 1,12 [1, 2].

Отношение согласованности суждений равняется:

ИС

ОС 0,088 (8,8 %)М(ИС)

,

что соответствует рекомендуемому требованию [1, 2], согласно которому данный показатель не дол-жен превышать 10 %, т.е. суждения являются однородными и логичными.

Далее представим нормализованные оценки вектора приоритета поставщиков по указанным вы-ше критериям. Расчет осуществляется таким же образом.

Рисунок 4. Нормализованные оценки вектора приоритетов поставщиков

Рисунок 5. Аддитивная свертка критериев по каждому из поставщиков

Окончательный выбор поставщиков осуществляется на основе результатов аддитивной свертки критериев по каждому из предприятий и выбора наибольшего значения (рис. 5).

8

Список литературы

1 Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций. — М.: Сов. радио, 1977. — 304 с. 2 Прозоров В.В. Некоторые аспекты организации внешнеэкономической деятельности на промышленном предприятии

// Вісник Донецького університету. — В.: Економічні науки, 2000. — Вип. 2. — С. 147–150. 3 Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь, 1993. — 378 с. 4 Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика,

2000. — 368 с. 5 Белый А.П., Лысенко Ю.Г., Макаров К.Г., Мадых А.А. Комплексные оценки в системе рейтингового управления

предприятием. — Донецк: ООО «Юго-Восток Лтд», 2003. — 120 с. 6 Головкин Н.Н. Аспекты прикладной логистики: монография. — М.: ИНФРА-М, 2002. — 147 с. 7 Мешалкин В.П. Принципы промышленной логистики. — М.: Генуя, 2002. — 722 с.

Д.Б.Əлибиев, Д.С.Дошақова

Иерархияны талдау əдісін қолдану арқылы тасымалдаушыларды таңдау

Мақалада Т.Л.Саати ұсынған, тоғыз баллды шкаланы қолданып жəне келесі рангқа салу балама жиынтығын барлық мақсат пен критерий бойынша əр түрлі критерийлі альтернативті қос салыстырмалы нұсқасына негізделген иерархияларды талдау əдісі қарастырылды (ИТƏ). ИТƏ-да критерийлердің өзара қарым-қатынасы иерархия критерийлерін құруын есептеу жəне критерий мен астыңғы критерийлерді керекті анықтауы үшін қос салыстырманы қолдануды, қажет етеді. ИТƏ-ні қолдануы мысалы ретінде кəсіпорынмен жабдықтаушыларды таңдау болып табылады.

D.B.Alibiev, D.S.Doshakova

Sourcing using the analytic hierarchy process

This article describes a method of analysis of hierarchies (MAH) proposed by T.L.Saaty, based on paired comparisons of alternatives according to various criteria using devyatibalnoy scale and the subsequent ranking of a set of alternatives for all criteria and goals. In MAH relationship between the criteria are taken into account by constructing a hierarchy of criteria and the application of paired comparisons to identify the importance of criteria and sub-criteria. An example of MAH is the choice of suppliers now.

9

УДК 517.956.3

Г.Базыкен1, Б.С.Нуримов1, А.Тунгатаров2

1Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева; 2АО «Финансовая академия», Астана

Задача типа Робина для одного класса эллиптических систем второго порядка на плоскости с сингулярной точкой и линией

В статье учтено разнообразие решений одного класса эллиптических систем на плоскости с сингулярной точкой и линией. Решена задача Робина для этих систем в неограниченных уг-ловых областях. Данные результаты могут быть использованы в теории бесконечно малых из-гибаний поверхностей положительной кривизны с гладкой линией.

Ключевые слова: задача Робина, дифференциальный оператор, пространство Соболева, инте-гральное уравнение, Дирихле, Нейман, многообразие.

Пусть 210 и 11221 )0()0( cc , 2'12

'21 )0()0( cc . Рассмотрим в G уравнение

)(4

)(

)(4

)(

2

)(

2

3

12

21

xky

zaW

xkyz

aW

z

aWW zzzzz , (1)

где ,,,, 21 kk — действительные числа, причем ,01 k ,02 k 10 , 0 , 1 ; iyxz ;

],0[)( 1 Ca j , )3,1( j ;

zzzzzzzzyxz WWWWiWWW )(,)(),(2

1 . (2)

Решения уравнения (1) ищем в классе

)()(2 GCGWp , (3)

где

2

21 p , если 2 и 1p , если 2 .

Здесь )(2 GWp — пространство С.Л.Соболева [1].

В работе [2] построено общее решение уравнения (1) и решена задача Дирихле для него при 0 , 0)()()( 321 aaa . При 0 уравнение (1) становится уравнением только с сингуляр-

ной точкой и оно изучено в работах [3, 4]. Следует отметить, что эллиптические системы на плоскости одновременно с сингулярной точкой и линией еще не исследованы. Такие уравнения могут быть применены в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с линией и точкой уплощения.

Дифференциальные операторы (2) в полярной системе координат записываются в виде [4]:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1( ), ( );

2 4

2 1 1 2( ).

4

i

i iez r r z z r r r r

e i i

z r r r r r r r

(4)

Используя формулы (4), уравнение (1) записываем в полярной системе координат:

2

22

21

22

22

122

22 )(

1)(2)2)(()(

We

rr

W

r

eaee

r

W

r

iWeea

r

i

r

We i

iiiiii

)cos(sin

)(

)cos(sin

)(

2

3

12

2

k

raW

kr

a. (5)

Решения уравнения (5) из класса (3) ищем в виде ( , ) ( )W r r , ,2 (6)

где )( — новая неизвестная функция из класса 12 ,0 C .

10

Подставляя функцию ),( rW , заданную формулой (6), в уравнение (5), получим:

)()()()()()()()( 432'

1" bbbb , (7)

где

i

iii

e

eeeaib

2

221

1

))2(2)2)((()( ,

i

ii

e

eaeb

21

2

2

)))(()1)((2()( ,

)()cos(sin

)()(

21

23

iek

ab ,

)()cos(sin

)()(

22

34

iek

ab .

Рассмотрим соответствующее (7) однородное уравнение:

0)()()()()( 2'

1" bb . (8)

Из условия 1 следует, что 0e i2 и поэтому коэффициенты уравнения (8) непрерывны

в ],0[ 1 . Следовательно, оно имеет фундаментальную систему решений из класса ],0[ 1C . Пусть

)(1 , )(2 — фундаментальная система решений уравнения (8). Методом вариации произволь-

ных постоянных уравнение (7) приводим к интегральному уравнению )()()())(()( 0201 FIcJcB , (9)

где

)()( 10 J , )()( 20 I ,

dhB )(0

),())(( ,

dgF )(0

),( ,

)(

))()()()()((),( 12213

b

h ,

)(

))()()()()((),( 12214

b

g , )()()()()( 1221 .

0)( в области ],0[ 1 , как Вронскиан фундаментальной системы решений. Так как

10 , 0)( в ],0[ 1 , то несобственные интегралы, определяющие функции )(F , ))(( B ,

сходятся в ],0[ 1 .

В дальнейшем также используем функции

,0

)(1),()(

dkJhkJ ,0

)(1),()(

dkIhkI ,0

)(1),()(

dkghkF

)())(( 0 B , ))(())(( 1 BB , )))()((())(( 1 kk BBB , ),1( k .

Действуя оператором B на обе части равенства (9) и подставив полученное значение ))(( B

обратно в (9), имеем:

)()()()()()())(()( 10120211012 FFIcIcJcJcB . (10)

Опять, действуя оператором B на обе части равенства (10) и подставив полученное значение ))(( B в (9), получим:

3

1 0 1 1 1 2 1 3

2 0 2 1 2 2 2 3 0 1 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

B c J c J c J c J

c I c I c I c I F F F

Продолжая этот процесс n2 раза, имеем:

12

01122

1121

022

021

12 )()()()()())(()(n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

n FIcJcIcJcB . (11)

Имеют место следующие легко проверяемые неравенства:

,!

)1(

1)(,!

)1(

0)(

,!

)1(

0)(,!

)1(

0

1

2

k

khgF

k

khI

k

khJ

k

khkB

kk

k

(12)

11

где ),(max

1,01

hh , )(max

100

),(max

1,01

gg .

Если в (11) перейти к пределу при n , то в силу (12) получим: )()()()()()( 12112221 FQcPcQcPc , (13) где

0

22 )()(k

kIQ ,

1121 )()(

kkIQ ,

0

22 )()(k

kJP ,

1121 )()(

kkJP ,

1

)()(k

kFF .

Используя неравенства (12), получим оценки для ),(1 Q ),(2 Q ),(1 P )(2 P , )(F :

1 1 2 10 1 0 1

1 2 2 20 1 0 1 1 1

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) exp( ).

Q sh h Q ch h

P sh h P ch h F g h

(14)

Из (6) и (13) следует

FQcPcQcPcrrW ))()()()()((),( 12112221 . (15)

Используя свойства функций ),(1 Q ),(2 Q ),(1 P )(2 P , )(F , можно доказать, что функция ),( rW , заданная формулой (15), является решением уравнения (1) из класса (3).

Таким образом, имеет место Теорема 1. Уравнение (1) имеет многообразие решений из класса (3), которое находится по

формуле (15). Рассмотрим задачу Робина для уравнения (1). Задача типа Дирихле, Неймана и Робина в беско-

нечно угловой области произвольного раствора для уравнения вида (1) еще не изучена. Задача 1R . Требуется найти решение уравнения (1) из класса (3), удовлетворяющее условиям

rrW 1)0,( ,

rrW 2)0,( , (16)

где 1 , 2 — заданные действительные числа.

Решение. Для решения задачи 1R используем формулу (15). Постоянные 1c и 2c в формуле (15) выбираем так, чтобы решение уравнения (1), представленное в виде (15), удовлетворяло условию (16). Легко можно получить равенства: 1 1 2 1 2 2(0) (0) (0) 0, (0) (0), (0) (0);Q P F Q P

1 1 2 1 2 2(0) (0) (0) 0, (0) (0), (0) (0).Q P F Q P

Следовательно,

rcc

orWrccorW ))0()0((

),(,))0()0((),( '

12'211221 . (17)

Подставляя функцию ),( rW , заданную формулой (15), в равенства (16), учитывая при этом равенства (17), получим систему уравнений:

1 2 2 1 1

' '1 2 2 1 2

(0) (0) ,

(0) (0) .

c c

c c

(18)

Так как определитель системы 0)0( , то система (18) имеет единственное решение:

)0(

)0()0( 12'11

1

c , )0(

)0()0( '2122

2

c . (19)

Следовательно, задача 1R имеет решение вида

)())0()0(()())0()0((()0(

),( 112'11212

'11 PP

rrW

))()())0()0(()())0()0(( 1'21222

'2122 FQQ . (20)

Таким образом, справедлива Теорема 2. Задача 1R имеет единственное решение вида (6), которое находится по формуле (20).

12

Аналогично можно решить следующую задачу. Задача 2R . Требуется найти решение уравнения (1) из класса (3), удовлетворяющее условиям

,)0,()0,(

,)0,()0,(

643

521

rlrWlrWl

rlrWlrWl (21)

где ,jl )6,1( j — заданные действительные числа.

Справедлива Теорема 3. При 04132 llll задача 2R имеет единственное решение вида (6), которое нахо-

дится по формуле

'3 5 1 6 2 4 5 2 6 2 2 3 5 1 6 2

' '4 5 2 6 2 1 1 6 3 5 1 2 6 4 5 1 2

'1 6 3 5 1 2 6 4 5 1 1

( , ) ((( ) (0) ( ) (0)) ( ) (( ) (0)(0)

( ) (0)) ( ) (( ) (0) ( ) (0)) ( )

(( ) (0) ( ) (0)) ( ) ( )),

rW r l l l l l l l l P l l l l

l l l l P l l l l l l l l Q

l l l l l l l l Q F

где )()0()0( 4132 llll .


8 Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Физматгиз, 1959. — 628 с. 9 Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

10 Абдыманапов С.А., Тунгатаров А.Б. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэф-фициентами. — Алматы: Ғылым, 2005. — 169 с.

11 Алтынбек С.А., Тунгатаров А.Б. Задача Дирихле для одной системы дифференциальных уравнений в частных про-изводных второго порядка на плоскости // Вестн. ЕНУ им. Л.Н.Гумилева. Сер. естеств.-техн. наук. — Астана, 2006. — 4(50). — С. 11–20.

Г.Базыкен, Б.С.Нұрымов, А.Түнғатаров

Сызық пен сингулярлық нүктесі бар жазықтықтағы кейбір екінші ретті эллипстік жүйелер класы үшін Робин типтегі есеп

Мақалада жазықтықтағы сингулярлы нүктеcі жəне сызығы бар екінші ретті эллиптикалық жүйелердің бір класы үшін үзіліссіз шешімдердің көп бейнесі алынды жəне осы жүйе үшін шексіз бұрыштық облыста Робин есебі шешілді. Алынған нəтижелер тегіс оң қисықты беттердің шексіз аз иілу теориясында қолданылуы мүмкін.

G.Bazyken, B.S.Nurimov, А.Тungatarov

Problem similar to Robin for a class of elliptic systems of second order on the plane with the singular point and line

In work given the variety of solutions of one class of the second order elliptic systems in the plane with singular point and line and solved the problem Robin for this systems in unbounded angular do-mains. Given results can be used in the theory of infinitesimal bendings of surfaces of positive curva-ture with a flattening line.

13

УДК 517.95

Г.Е.Берикханова

Семипалатинский государственный педагогический институт

Краевая задача для неоднородного бигармонического уравнения в проколотой области

В статье показаны все свойства функции Грина бигармонического уравнения для задачи Ди-рихле в круге, а также возможность решения краевых задач для неоднородного бигармониче-ского уравнения в проколотой Ω0 области.

Ключевые слова: колебания пластин, оболочка, задача Дирихле, бигармоническое уравнение, функция Грина, защемленный край.

1. Введение

При моделировании колебаний пластин и оболочек с учетом точечных связей возникают опера-торы вида

22 2

2 21

N

i iix y

,

так как тонкостенные трубы и панели в реальных условиях, как правило, опираются на точечные же-сткие и упругие, шарнирные и защемленные опоры, имеют точечно присоединенные массы [1]. По-скольку i — дельта-функции Дирака имеют точечные носители, то речь идет о точечных взаимо-действиях. В 1961 г. Березин и Фаддеев [2] дали математическое толкование точечных взаимодейст-вии в рамках теории расширений абстрактных операторов.

2. Вспомогательные утверждения и доказательство теорем

В дальнейшем нам понадобится известное утверждение. Теорема 1. Решение задачи Дирихле для бигармонического уравнения в круге

2 , , ,W x y f x y 2 2 2x y r задается формулой

2 2 2

, , , , , ,r

W x y G x y f d d

с граничными условиями

2 2 2

2 2 2

0, 0,x y r

x y r

WW

n

где n

— производная по внешней нормали на границе,

2 2 2 2, , , lnG x y d x y x y

2 22 22 2

2 2 2 2 2d x r y r

r

2 22 22 2

2 2 2 2 2ln x r y r

r

2 2 2 22

2 21 1

x ydr

r r

2 22 22 2

2 2 2 2 2ln x r y r

r

2 2 2 22

2 21 1

x ydr

r r

d — некоторая константа. Эта теорема утверждает, что функция Грина для круглой пластины с защемленным краем выпи-

сывается в явном виде. Заметим также, что функция влияния , , ,G x y принимает только неотри-

цательные значения при любых ,x y и , , поскольку задаче Дирихле для бигармонического

14

уравнения соответствует положительно определенный оператор. Подобная задача была рассмотрена в работе Б.Е.Кангужина [3].

Пусть ,h x y — произвольная, четыре раза дифференцируемая в круге функция. Введем но-

вую функцию по формуле

2,, , , , , ,I x y G x y h d d

где 2 2

, 2 2

— оператор Лапласа по переменным , .

Ясно, что функция ,I x y обладает свойствами:

2 2, ,, , , , ;x y x yI x y h x y x y (2)

, 0;I x y (3)

,

0.I x y

n

(4)

С другой стороны, вспоминая вторую формулу Грина

2 2 ,v

uvdxdy u vdxdy uv u u v u v dsn n n n

функцию ,I x y можно переписать в виде:

2,, , , , ,I x y G x y h d d

2,, , , ,h G x y d d

, ,, ,

, , , , , , ,hG x y h G x yn n

, , ,, ,

, , , , , , , ,h G x y h G x y dsn n

, (5)

где ,n — внешняя нормаль к окружности в точке , .

В силу симметрии функции Грина , , ,G x y относительно пар ,x y и , имеем равенство

2, , , , , , , ,G x y x y (6)

где , , ,x y — дельта-функция Дирака в области .

Из (5) и (6) следует равенство

, ,, ,

, , , , , , , , ,I x y h x y hG x y h G x yn n

, , ,, ,

, , , , , , , ,h G x y h G x y dsn n

.

Поскольку , , ,, , , 0

x yG x y

и

, , , ,

, , , 0x y

G x yn

, последнее равенство

переписываем в виде

,,

, , , , , ,I x y h x y h G x yn

, ,,

, , , ,h G x y dsn

. (7)

Удобно вести обозначение , , , .M x y h x y I x y

Подставим правую часть (7) в соотношение (2). В результате для любой гладкой функции

,h x y получим соотношение

2, , 0x yM x y . (8)

15

Теперь используем граничные условия (3), (4). Подставим правую часть (7) в граничные условия (3), (4), тогда для произвольной гладкой функции ,h x y имеем граничные соотношения

, ,

0;

0.x y x y

h M

h M

n n

(9)

В силу произвольности ,h x y и независимости граничных значений ,

, ,hn

,h при

, убеждаемся в справедливости следующих свойств функции Грина:

,, , , ,

, , , ,

,, , , ,

,, , , , ,

, , , , , , ,

, , , 0,

, , , , , , ,

, , , 0,

x y

x y

x y x y

x y x y

G x y x yn

G x y

G x y x yn

G x yn n

(10)

где , , ,x y — дельта-функция Дирака на границе .

По-видимому, граничные соотношения (10) для функции Грина , , ,G x y известны, но автор

не смог найти точные координаты для ссылок. Сформулируем необходимые для дальнейшего резуль-таты в виде отдельного утверждения.

Теорема 2. Функция Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в круге обладает свойствами:

1) , , , , ,G P Q G Q P Q P

2) , 0, , ,G P Q Q P

3) 2, , , , , ,x yG Q P P Q Q P

4) ( , ) 0, , ,G P Q P Q

5) ( , ) 0, , ,p

G P Q P Qn

6) при ,P Q справедливо соотношение (10). Теперь образуем новую функцию:

, , , , , , , ,W x y G x y f d d h x y I x y

(11)

где ,h x y — произвольная достаточно гладкая функция. ,I x y — определяется по формуле (7).

Рассмотрим проколотый круг 0 0\ M , где 0M — некоторая внутренняя точка круга .

Возьмем произвольную функцию ,h x y из пространства 42 0W и введем новую функцию по

формуле

2,

0, lim , , , ,I x y G x y h d d

,

где 0\ ;M 0 0 0 0 0, : , M x x y y , 0 0,x y — координаты

точки 0M .

Преобразуем функцию ,I x y аналогично формулам (2)–(7), в результате будем иметь:

,,

, , , , , ,I x y h x y h G x yn

, ,,

, , , ,h G x y dsn

16

0

, ,0, ,

lim , , , , , , ,M

hG x y h G x yn n

, , ,, ,

, , , , , , , ,h G x y h G x y dsn n

(12)

при 0,x y M . Предполагаем также, что относительно ,h в окрестности точки 0 0,x y выпол-

нены условия:

0 0 0

0 00 0 , 0

0

, ,sup sup , , ,

y y

h x h xh x h x h x

, 0 , 0 , 0, , ,h x h x h x C

; (13)

0 0 0

0 00 0 , 0

0

, ,sup sup , , ,

x x

h y h yh y h y h y

, 0 , 0 , 0, , ,h y h y h y C

; (14)

и существуют пределы

0

0

, 0 , 00lim , ,

y

y

h x h x d

0

0

, 0 , 0, ,x

x

h y h y d

;

0

0

, 0 , 00

lim , ,y

y

h x h x d

;

0

0

, 0 , 00

lim , ,x

x

h y h y d

;

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

h x h x h y h yd d

;

0

0

0 00

lim , ,y

y

h x h x d

;

0

0

0 00

lim , ,x

x

h y h y d

.

Отсюда получим:

0

, ,0, ,

lim , , , , , , ,M

hG x y h G x yn n

, , ,, ,

, , , , , , , ,h G x y h G x y dsn n

0

0

0 0 0, 0

0

, , , , , ,lim ,

y

y

G x y x G x y x yh x d

0

0

0 0 0, 0

0

, , , , , ,lim ,

y

y

G x y x y G x y xh x d

17

0

0

, 0 , 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

y

y

G x y x G x y x y h xd

0

0

, 0 0 , 0 0

0

, , , , , , ,lim

y

y

G x y x y G x y x h xd

0

0

0 0 , 0 , 00

, , , lim , ,y

y

G x y x y h x h x d

0

0

0 0, 0 0

0

, ,, , , lim

y

y

h x h xG x y x y d

0

0

0 0 0, 0

0

, , , , , ,lim ,

x

x

G x y y G x y x yh y d

0

0

0 0 0, 0

0

, , , , , ,lim ,

x

x

G x y x y G x y yh y d

0

0

, 0 , 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

x

x

G x y y G x y x y h yd

0

0

, 0 0 , 0 0

0

, , , , , , ,lim

x

x

G x y x y G x y y h yd

0

0

0 0 , 0 , 00

, , , lim , ,x

x

G x y x y h y h y d

0

0

0 0, 0 0

0

, ,, , , lim

x

x

h y h yG x y x y d

0

0

0 0 0

, 00

, , , , , ,

lim ,y

y

G x y x y G x y x

h x d

0

0

0 0 0

, 00

, , , , , ,

lim ,y

y

G x y x G x y x y

h x d

0

0

, 0 0 , 0

00

, , , , , ,lim ,

y

y

G x y x y G x y xh x d

0

0

, 0 , 0 0

00

, , , , , ,lim ,

y

y

G x y x G x y x yh x d

0

0

0 0, 0 , 0

0

, , ,lim , ,

y

y

G x y x yh x h x d

0

0

, 0 0 0 00

, , , lim , ,y

y

G x y x y h x h x d

0

0

0 0 0

, 00

, , , , , ,

lim ,x

x

G x y x y G x y y

h y d

18

0

0

0 0 0

, 00

, , , , , ,

lim ,x

x

G x y y G x y x y

h y d

0

0

, 0 0 , 0

00

, , , , , ,lim ,

x

x

G x y x y G x y yh y d

0

0

, 0 , 0 0

00

, , , , , ,lim ,

x

x

G x y y G x y x yh y d

0

0

0 0, 0 , 0

0

, , ,lim , ,

x

x

G x y x yh y h y d

0

0

, 0 0 0 00

, , , lim , , .x

x

G x y x y h y h y d

Поскольку по предположению для функции ,h существуют 0 0 и 0C такие, что вы-

полняются соотношения (13), (14), то справедливо предельное соотношение

0

,0, ,

, , , ,lim , , , ,

M

h G x yG x y h ds

n n

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,

G x y x y G x y x yG x y x y

, 0 0 , 0 0 , 0 0, , , , , , , , , ,G x y x y G x y x y G x y x y

где числа , , , , , были определены выше. Здесь учтено, что функция , , ,G x y при

, ,x y является достаточно гладкой функцией. Таким образом, из соотношения (12) получаем

,,

, , , , , ,I x y h x y h G x yn

, ,,

, , , ,h G x y dsn

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,


, 0 0 , 0 0 , 0 0, , , , , , , , ,G x y x y G x y x y G x y x y

.

Отсюда

,,

, , , , , ,h x y I x y h G x yn

, ,,

, , , ,h G x y dsn

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,



.

Тогда

,,

, , , , , , , , ,W x y G x y f d d h G x yn

, ,,

, , , ,h G x y dsn

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,



. (15)

19

Для того чтобы решение ,W x y , задаваемое формулой (15), принадлежало пространству

2 0L , необходимо положить 0 , т.е. функция ,h x y должна быть непрерывной в

точке 0M . Формула (15) дает решение неоднородного бигармонического уравнения в проколотой

области 0 . Таким образом, доказана теорема Теорема 3. Краевая задача для неоднородного бигармонического уравнения в проколотой об-

ласти 0 : 2

0, W f ;

, ,W x y h x y ;

, ,

, ,

x y x y

W x y h x y

n n

;

0

0

, 0 , 00lim , ,

y

y

W x W x d

0

0

, 0 , 0, ,x

x

W y W y d

0

0

, 0 , 00lim , ,

y

y

h x h x d

0

0

, 0 , 0, ,x

x

h y h y d

;

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

W x W x W y W yd d

(16)

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim ;

y x

y x

h x h x h y h yd d

0 0

0 0

0 0 0 00 0

lim , , lim , , ;y y

y y

W x W x d h x h x d

0 0

0 0

0 0 0 00 0

lim , , lim , ,x x

x x

W y W y d h y h y d

при любой правой части f имеет единственное решение, и оно задается формулой (15). Отметим, что решение краевой задачи из теоремы 3 ищется в классе функций, которые удовле-

творяют условиям (13), (14), и существуют пределы (16). Теперь покажем, как, используя теорему 3, можно получить новые граничные корректно разре-

шимые задачи для бигармонического уравнения в проколотом круге. Для этого достаточно, чтобы функция ,h x y непрерывным образом зависела от ,f x y , т.е. пусть существует непрерывный опе-

ратор L , отображающий ,f x y в ,h x y . Напомним, ,h x y — гладкая функция в проколотой об-

ласти 0 . Итак, пусть 2h L W .

Тогда задача (16) примет вид: 2

0, , , ,W x y f x y x y ; (17)

2,W x y L W ;

2

, ,x y x y

L WW

n n

;

20

0

0

, 0 , 00lim , ,

y

y

W x W x d

0

0

, 0 , 0, ,x

x

W y W y d

0

0

2 2, 0 , 00

lim , ,y

y

L W x L W x d

0

0

2 2, 0 , 0, , ,

x

x

L W y L W y d

0

0

, 0 , 00

lim , ,y

y

W x W x d

0

0

2 2, 0 , 0

0lim , , ,

y

y

L W x L W x d

0

0

, 0 , 00

lim , ,y

y

W x W x d

0

0

, 0 , 00

lim , , ;y

y

h x h x d

0

0

, 0 , 00

lim , ,x

x

W y W y d

0

0

, 0 , 00

lim , , ;x

x

h y h y d

0

0

, 0 , 00

lim , ,x

x

W y W y d

0

0

2 2, 0 , 0

0lim , , ,

x

x

L W y L W y d

(18)

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

W x W x W y W yd d

0

0

2 20 0

0

, ,lim

y

y

L W x L W xd

0

0

2 20 0, ,

,x

x

L W y L W yd

0

0

0 00

lim , ,y

y

W x W x d

0

0

2 20 0

0lim , , ,

y

y

L W x L W x d

0

0

0 00

lim , ,x

x

W y W y d

0

0

2 20 0

0lim , , .

x

x

L W y L W y d

Условия (18), накладываемые на функцию ,W x y , можно интерпретировать как дополнитель-

ные условия для того, чтобы уравнение (17) при любой правой части ,f x y имело единственное

решение. Таким образом, задача (17)–(18) представляет корректную всюду разрешимую задачу с но-выми «краевыми» условиями вида (18). Слово «краевые» пишем в кавычках из-за того, что в общем случае эти условия не являются граничными.

21

Итак, справедлива Теорема 4. Для любого непрерывного оператора L , отображающего пространство f в

множество гладких функций h в проколотой области 0 , задача (17)–(18) имеет единственное

устойчивое решение при всех допустимых правых частях .f Также справедливо обратное утверждение Теорема 5. Если уравнение (17) при всех допустимых правых частях f с некоторыми дополни-

тельными условиями имеет единственное устойчивое решение, то найдется непрерывный оператор L , отображающий пространство f в множество гладких функций h в проколотой области

0 , такой, что дополнительные условия примут вид (18).

Замечание 1. Если ,h x y и ,h x y

n

на равно нулю, то теорема 4, 5 дает одномерное воз-

мущение однородной задачи Дирихле для неоднородного бигармонического уравнения.


1 Базаров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неод-нородных механических систем. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. — 189 с.

2 Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // Докл. РАН. — 1961. — Т. 137. — 5. — С. 1011–1014.

3 Кангужин Б.Е., Кошанов Б.Д. Представление и свойства функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений // Математический журнал. — Алматы, 2008. — Т. 8. — 1(27). — С. 50–58.

Г.Е.Берікханова

Тесілген облыстағы біртекті емес бигармониялық теңдеу үшін шекаралық есеп

Мақалада дөңгелектегі бигармониялық теңдеу үшін Дирихле есебіндегі Грин функциясының барлық мүмкін қасиеттері көрсетілген. Сонан соң Ω0 ойық облыстағы біртектес емес бигармониялық теңдеу үшін шекаралық есептің шешімі қарастырылған.

G.Е.Berikhanova

Boundary problem for inhomogeneous biharmonic equation in a punctured domain

In this work show all properties Green’s function of biharmonic equation for Dirichlet problems in the circle. Then show able solution boundary value problems for non-homogenous biharmonic equa-tion on punctured area Ω0.

22

УДК 517.95

М.Т.Дженалиев1, М.И.Рамазанов2, А.Е.Туймебаева1

1«Институт математики» МОН РК, Алматы; 2Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова

Об одной граничной задаче для «существенно» нагруженного параболического уравнения

В статье исследована проблема по определению размерности ядра оператора для одномерного уравнения теплопроводности с «существенной» загрузкой при фиксированной переменной времени в ограниченной области.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, оператор, ядро, пространство с весом, преобразова-ние Фурье, задача Коши-Неймана.

В данной статье исследуется задача на определение размерности ядра оператора для одномерно-

го уравнения теплопроводности с «существенной» нагрузкой при фиксированной временной пере-менной в ограниченной области.

На практике достаточно часто возникают нагруженные уравнения, где присутствуют следы ис-комой функции, получающиеся при фиксированной «временной» переменной. К такого рода уравне-ниям приводят, например: задачи импульсного управления, задачи механики вязкоупругости с «па-мятью» [1], проблемы, появляющиеся при эквивалентном преобразовании нелокальных задач к ло-кальным [2, 3] и др. Сюда также могут быть отнесены нагруженные обыкновенные дифференциаль-ные уравнения [4–6].

В данной работе изучаются две задачи: первая — это установление размерности ядра оператора второй краевой задачи для одномерного по пространственной переменной уравнения теплопроводно-сти, с нагрузкой при фиксированной временной переменной; вторая — это вопросы сильной одно-значной разрешимости второй краевой задачи для вышеназванного уравнения. Особенностью рас-сматриваемых здесь задач является наличие нагруженного слагаемого с производной от искомого решения более высокого порядка, чем в главной дифференциальной части уравнения. Такие уравне-ния названы «существенно» нагруженными [7, 8].

Задача 1. Рассматривается следующая однородная задача:

0

,,,

k

k

xxtt

txutxutxu 1,0x , 0t ; (1)

xxu 0, , 0,1,0 tutux , 1,0x . Задача 2. Рассматривается следующая неоднородная задача:

txft

txutxutxu

k

k

xxt ,,

,,

1,0x , 0t , (2)

xxu 0, , 0,1,0 tutux , 1,0x ,

где C , ,0Rt — заданные величины, ...,2,1,0k

1,0, 20,2 LRWf k , 1,02L . (3)

Здесь 0 в обозначении пространства означает, что

00,

m

m

t

xf, 1...,,1,0 km .

1. О размерности ядра Применяя косинус-преобразование Фурье с конечными пределами по переменной x к задаче (1)

1

02

12cos,, dx

xntxutnU , Nn , ...,3,2,1N

для Фурье-образа tnU , , получаем следующую задачу Коши для обыкновенного дифференциально-го уравнения:

0,,2

1,

22

tnUtsUntnU k , nnU 0, , (4)

где ...,3,2,1n Из (4) непосредственно следует справедливость утверждения

23

Теорема 1. Для того чтобы однородная задача (1) имела только тривиальное решение, необхо-димо и достаточно, чтобы для Nn были выполнены условия:

22

22

1

2

22

2 1 11 2

11 , если 0,

10 2

11 1 , если 1, 2, 3, ...

2

n t

k

kn tk

ek

nn

n e k

(5)

Исследуем подробнее условия (5) при различных значениях ...,3,2,1k 1. Пусть 0k . В этом случае условие (5) может быть записано в следующем виде:

1

2

1

12

2

2

1

0

22

n

en

tn

. (6)

Максимальное и минимальное значения функции n0 , Nn соответственно равны:

22max0

22

1

x

e tx

, 0inf0 , то есть, имеем, что Nn , 02

4

0

4

10

2

Me

n

t

.

Последние неравенства позволяют получить утверждения, которые представлены в таблице 1.

Т а б л и ц а 1

Выполнение условия теоремы 1 (k = 0)

dim KerL Условие (6)

1. Im 0 0 не нарушается

2. Im 0

а) 0 и 10M 0 не нарушается

b) 10M 1 нарушается в одной точке

с) 10M 1

нарушается при 1n n , если 2

2

44 1t

e

Из таблицы 1 следует, что если C такое, что 0Im 1,0Im t , то задача (1) не

имеет нетривиального решения. Если же 0,0Im M , то задача (1) имеет ровно одно нетри-

виальное решение, если tn

e

n

2

12

2

1

12

2

1

.

2. Пусть 1k . В этом случае условие (5) записывается в виде:

1

22

2

1

1

tn

en . (7)

Максимальное и минимальное значения функции n1 , Nn соответственно равны:

14

1max1

2

1 Met

, 0inf1 , т.е. имеем, что Rs , 14

1

2

0 Ment

. Полученные данные сведем в таблицу 2.

24


Выполнение условия теоремы 1 (k = 1)



2. Im 0

а) 11M 0 не нарушается

b) 11M 1 нарушается в единственной точке

с) 11M 1

нарушается при 1n n , если

22

11

4 2n t

e

Результаты таблицы 2 означают, что если C , такое, что

1,0Im0Im M ,

то задача (1) не имеет нетривиального решения. Если 1,0Im M , то задача (1) имеет ровно

одно нетривиальное решение, если tne2

1 . 3. Пусть ...,2,1,2 mmk В этом случае условие (5) принимает вид:

121222

tnmm enn . (8)

Максимальное и минимальное значения функции sm2 , Rs соответственно равны:

mm

m Metm 212

max2 /12 , 0inf2 m , т.е. имеем, что Nn ,

m

m

m Met

mn 2

12

2

120

.


Выполнение условия теоремы 1 (k = 2m, m = 1, 2, …)

KerLdim Условие (8)

1. 0Im 0 не нарушается

2. 0Im

а) 12 mM 0 не нарушается

b) 12 mM 1 нарушается, если t таково, что

Nmetn 12111

с) 12/12 metm 1 нарушается в 4-х точках 1s , 2s

Таким образом, из данных таблицы 3 видно, что если C такое, что

Nnnm ,,0Im0Im 12 , то задача (1) не имеет нетривиального решения. Задача

(1) может иметь одно нетривиальное решение, если t такое, что существует единственное значение

Nn , для которого nm1

2,0Im . Если

temmM

21221

2,0Im , то задача (1) име-

ет два нетривиальных линейно независимых решения, если t таково, что существуют два значения

Nnn 21 , , для которых 12m .

Покажем, что такой вариант возможен. Действительно, пусть, например, 2ln2

2

t , тогда су-

ществуют два нетривиальных решения задачи при 3/121 mn , 3/1222 mn , где, напри-

25

мер, 38,14,2m , и др. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что при

12

433

m

выполняется равенство 2212 nn mm . 4. Пусть 12 mk , ...,2,1m В этом случае условие (5) может быть записано в виде:

12412

tnmm enn . (9)

Тогда для Nn будет справедливо соотношение:

12

2

12

20

m

m

m Met

mn .

Отсюда непосредственно следует


Выполнение условия теоремы 1 (k = 2m + 1, m = 1, 2, …)



2. Im 0 а) 2

2 /m

m te 0 не нарушается

b) 22 /

mm te 2 нарушается в 2-х точках 0s

с) 22 /

mm te 4 нарушается в 4-х точках 1s , 2s

Таким образом, результаты таблицы 4 означают, что если C такое, что

Nnm ,,0Im0Im 112 , то задача (1) имеет только тривиальное решение. Задача

(1) имеет одно тривиальное решение, если t таково, что существует только единственное значение

Nn , для которого nm1

12,0Im . При 1

124 2

,0Im

mtm Me задача (1) имеет

два нетривиальных линейно независимых решения, если, t таково, что существует два значения

Nnn 21 , , для которых

2

1121

112 nn mm .

2. О нетривиальных решениях задачи 1. Если t, заданы согласно таблицам 1–4, то соот-ветствующие им нетривиальные решения задачи (1) определяются по следующим формулам:

2

2

1 2

2

, 1 sin ,

, 1 sin , 1, 2,j

j

tn

n t

jn n

j

u x t e x

u x t e n x jn

(10)

где вещественные числа jn являются соответствующими корнями уравнений

2

2

11 0

n te

n

, если 0k ,

21 2 11 1 0

k k n tn e , если 1,2,3,...k

Заметим, что ни одна из функций (10) не принадлежит пространству 2 0,1L R . Это означа-

ет, что в пространстве 2 0,1L R ядро оператора L задачи (1) нульмерно. Однако каждая из

функций (10) принадлежит пространству с весом:

22,, 0,1 для 0t

t

eL v v x t e L R

, (11)

т.е. ядро оператора L задачи (1) в пространстве 2, te

L не всегда пусто и имеет соответствующую раз-

мерность согласно данным таблиц 1–4.

26

3. Класс и критерий однозначной сильной разрешимости. Дадим следующее Определение 1. Функцию 2,

, teu x t L будем называть сильным решением задачи (2), если су-

ществует последовательность

2,, , 1,2,... , ,0tn e

u x t n v v L v x x

такая, что

lim , ,nn

u x t u x t

в пространстве 2, te

L ,

и

, ,lim

k kn

k kn

Lu x t f x t

t t

в пространстве 2L R R .

Применяя косинус-преобразование Фурье по переменной x , из (2) будем иметь:

2, ,, , ,

,0 ,

k

k

dU n t d U n tn U n t F n t

dt d t

U n n

(12)

где tnF , , n — образы Фурье для функций txf , , x соответственно. При выполнении усло-вий (5) теоремы 1, интегрируя уравнение (12), получим следующее представление единственного ре-шения задачи (12):

2

2 21

2 212

0

1, 1 1 ,

n tk k k kn t n t

k

eU n t n n e n F n e d

n

1

1 2 1 1

1

1 ,k

m m m

m

n F n t

2 21

0

,n t n tn e F n e d , (13)

где k n определено в (5). Из (13) видим, что ,U n t удовлетворяет следующей, равномерной по n

априорной оценке:

2

20

, ,k

mt

L Rm L R

U n t e C n F n t

, (14)

где постоянная C не зависит от n , где 0 . Из оценки (14), используя равенство Парсеваля, полу-чим:

2 22 2

0,1 0,1 ,0,1 , 0,1 ,, , ,kt

L L RL R L Ru x t e C x f x t f x t

. (15)

На основе оценки (15) устанавливаем справедливость следующего утверждения. Теорема 2. Задача Коши-Неймана (2) при любых ,f , удовлетворяющих условиям (3), одно-

значно сильно разрешима в пространстве 2, te

L , определяемом условием (11), тогда и только тогда,

когда выполнены условия (5). Замечание 1. Классом сильных решений задачи (2) является пространство с весом

2, teL , кото-

рое определено условием (11).


1 Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980. — 383 с. 2 Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Диф. ур-ния. — 1983. — Т. 19. — 1. — С. 86–94. 3 Шелухин В.В. Задача со средними по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. жур-

нал. — 1991. — Т. 32. — 2. — С. 154–165. 4 Ломов И.С. Свойства базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов второго порядка

на интервале // Диф. ур-ния. — 1991. — Т. 27. — 1. — С. 80–93. 5 Ломов И.С. Теорема о безусловной базисности корневых векторов нагруженных дифференциальных операторов

второго порядка // Диф. ур-ния. — 1991. — Т. 27. — 9. — С. 1550–1563. 6 Krall A.M. The development of general differential and general differential boundary systems // Rocky Mountains I. Math.

— 1975. — Vol. 5. — 4. — P. 493–542.

27

7 Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. О гранично-начальной задаче для «существенно» нагруженного параболического уравнения // Изв. НАН РК. Сер. физ.-мат. — 2005. — 5. — С. 36–43.

8 Рамазанов М.И. О точечном спектре полупериодической граничной задачи для «существенно» нагруженного пара-болического уравнения // Вестн. НАН РК. — Алматы, 2006. — 6. — С. 19–21.

М.Т.Дженалиев, М.Ы.Рамазанов, А.Е.Түймебаева

«Маңызды» жүктелген параболалық теңдеу үшін кейбір шекаралық есеп туралы

Мақалада бекітілген уақытша айнымалы бойынша шектелген облыста бірөлшемді жы-луөткізгіштік теңдеу үшін «елеулі» жүктеме бойынша ядроның өлшемін анықтау есебі зерт-телген.

М.Т.Dzhenaliyev, М.Y.Ramazanov, А.Е.Тuiymebaeva

On a boundary problem for the "essential" loaded parabolic equation

In given article the problem on definition of dimension of a kernel of the operator for the one-dimensional equation of heat conductivity with «essential» loading is investigated at the fixed time variable in the limited area.

УДК 517.988.68+517.968.22

А.А.Ерденеева, Г.А.Тюлепбердинова

Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Алматы

Дискретный аналог оптимизационного метода для обратной задачи электродинамики в квазистационарном приближении

Рассмотрена обратная задача для системы уравнений Максвелла в квазистационарном при-ближении. На основе метода оптимизации построен дискретный аналог. Получены конечно-разностные формулы для вычисления обратной задачи.

Ключевые слова: уравнение Максвелла, квазистационарное приближение, оптимизационный метод, преобразование Фурье, разностная задача, сеточная функция.

§1. Прямая и обратная задача в вертикальной неоднородный среде Рассмотрим постановку прямой и обратной задачи для системы уравнений Максвелла в квази-

стационарном приближении [1]:

33 1 2 3rot , 0, ( , , ) ,

rot 0, 0,

стH E j x x x x R

H E tt

(1)

здесь 1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )T TE E E E H H H H — векторы напряженности электрического и магнитного

полей; — магнитная проницаемость среды; — проводимость среды; cmj — плотность сторон-них токов.

Все физическое пространство 3R переменных 1 2 3( , , )x x x x плоскостью 3 0x разобьем на два

полупространства: 3 33| 0R x R x (воздух), 3 3

3| 0R x R x (земля). В 3R (воздух) парамет-

ры , — постоянные.

28

На границе 3 0x коэффициенты , имеют конечный разрыв, поэтому потребуем выполне-ния условий

3 30 0 ,j x j xE E

3 30 0 , 1,2j x j xH H j (2)

и считаем, что до момента времени 0t поле отсутствует, т.е. 0, 0tE H , 0 0cm

tj . (3)

Прямая задача: При заданных , и стороннем токе cmj найти векторы E , H из соотношений (1)–(2).

Пусть относительно решения прямой задачи известна дополнительная информация вида

3 0 ( )j x jE f t , 1,2j . (4)

Обратная задача состоит в определении , по известным равенствам (4) из соотношений (1)–(3).

Далее рассмотрим дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для системы (1)–(3), постановка которой на дифференциальном уровне изложена в монографии [2].

В предположении, что сторонний ток имеет вид 1 3(0,1,0) ( ) ( ) ( ),cm Tj b x x g t где 1( )b x , ( )g t —

функции, описывающие распределение источника по переменным 1x , t , в системе (1) останутся не-

нулевыми только три компонента — 2E , 1H , 3H .

После исключения частных производных компонент 1H , 3H получим задачу для определения

2E :

2 2 21 1 3 3

1 1E E E

t x x x x

,

2 0 0tE ,

3

2 00

xE

,

3

2 13 0

( ) ( )x

E b x g tx

.

Полагая, что функция ( )x зависит от глубины 3x и применяя преобразование Фурье 1x

F x ,

получим задачу:

2

223

0x

, 3x R ,

3 0

0x

, 3

3 0

( )x

b g tx

,

0 0t ,

2

23 2

3

1 1( )x

t x

, 3x R ,

где 1 2 1 3( , , )xF E x x t ,

1 1( )xb F b x — образы преобразования Фурье функций 2E , 1( )b x .

Будем рассматривать прямую и обратную задачу только при 3 0x с условием на границе 3 0x вида

3

3 0

( )x xb g t

.

Теперь конкретизируем постановку рассматриваемой задачи: требуется в области

0, 0,Q l T найти решение следующей задачи:

2

23 2

3

1 1( )x

t x

, 3( , )x t Q , (5)

3( ,0) 0x , 3 (0, )x l , (6)

3 3 0( ) ( )x x b g t , (7)

( , ) 0l t , (0, )t T . (8)

29

Пусть относительно решения прямой задачи (5)–(8) известна дополнительная информация (0, ; ) ( )t f t .

Приведем задачу (5)–(8) к удобному виду для численной реализация. Для этого введем новые переменные [3]:

3( )z x , 3

3

0

1( )

( )

x

x dc

, 2

33

1( )

( )c x

x

(9)

и новые функции

12

3( )( )

(0)

c xS z

c

, 3( , ) ( , ) ( )u z t x t S z . (10)

Тогда задача (5)–(8) запишется следующим образом: ( )t zzu u a z u , (0, )z L , (11)

0

( )( 0)

z

z

u u b g t

, (12)

( , ) 0u L t , (0, )t T , (13) ( ,0) 0u z , (0, )t L , ( )L l , (14) а дополнительная информация примет вид: (0, ; ) ( )u t a f t , (0, )t T . (15)

Обратную задачу об определении функции ( )a z по известному условию (15) будем решать оп-тимизационным методом.

Пусть ( )q z — приближенное решение обратной задачи. Рассмотрим функционал:

2

0

( ) (0, ; ) ( )T

J q u t q f t dt . (16)

Известно, что градиент функционала (16) имеет вид [2]:

0

( ) ( , ) ( , )T

J q u z t z t dt , (17)

где ( , )z t — решение сопряженной задачи:

( )t zz q z , ( , )z t Q , ( , ) 0z T , (0, )z L ,

0

2 (0, ; ) ( )( 0)

z

z

u t q f t

, (0, )t T ,

( , ) 0L t , (0, )t T . §2. Дискретный аналог оптимизационного метода Пусть ( )ip x — приближенное решение обратной задачи. Аппроксимируем задачу (11)–(14) сле-

дующей разностной схемой:

11 jj

t zzy y ay

, ( , )i j hz t , (17)

0 0iy , 0 i N , (18)

0jNy , 1 j M , (19)

,0 1 0 2j

zy y , 1 j M , (20)

здесь h h — сеточная аппроксимация области 0, 0,Q L T

, 0, ,i zz ih i N h L N ,

( , )i jy z t — сеточная аппроксимация функции 11( , ), ( , )j

i ju z t ay y z t .

Пусть относительно разности прямой задачи (17)–(20) известна дополнительная информация 0 ( )j

jy f t , 1 j M .

30

Рассмотрим разностный аналог функционала (16) вида

2

01

Mj j

ij

J p y p f

. (21)

Зададим приращение i ip p и j ji i i i i iy y p p y p . Относительно приращения j

iy нетрудно

получить следующую разностную задачу: 1 1 1j j j

t zzy y y p p y , ( , )i j hz t , (22)

0 0iy , 0 i N , (23)

0jNy , 1 j M , (24)

,0 1 0 2j

zy y , 1 j M . (25)

Перейдем к выводу разностного аналога градиента функционала. Умножим обе части разностно-го соотношения (22) на сеточную функцию j

i и просуммируем по j от 1 до 1 и по индексу i — от 1 до 1M . Тогда получим:

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

( )M N M N M N

j j j j j j jt i i i i i i i izz

j i j i j i

h y h y h p y y p

.

Применяя разностный аналог интегрирования по частям: 0 1( , ) ( , ) N Ny y y y из последнего соотношения получим цепочку равенств:

1

1

101 ),(

N

iii

Mi

Mi

ji

ji yyyhS ,

ji

M

j

N

ii

ji

jii pyypS

1

1

1

1

112 ,

)( 11

0

1

1

13

ji

ji

ji

M

j

N

i

ji yyS

1

100110 )),,((

M

jNN

ji

jiNN

ji

ji yyyyyy .

Раскроем суммы в скалярных произведениях, тогда

1

1 1

1

000110

113

M

j

N

i

N

iNNNNi

ji

ji

ji yyyyyyS

)()( 111

0011

110

11

1

1

1

1 jN

jN

jN

jjjN

jN

jjjN

jN

M

j

N

i

ji

ji

ji yyyyyy

)( 011

0jjjy

1

1

1

1

11

1100

11

110

1 )(M

j

N

i

jN

jN

jN

jN

jjjN

jN

jjjN

jN

ji

ji

ji yyyyyyy

100

10

jjji

j yy . Собирая полученные соотношения, имеем:

1

1

10,N

iii

Mi

Mi

ji

ji yyyh

1

132

1

1

110

111

10

11

1M

j

N

i

jjjN

jN

jjjN

jN

ji

ji

ji SSyyyyy . (26)

Из левой части соотношения находим

1

1

11

21

N

i

Mi

Miii

ji

ji

M

j

yyyhS .

31

Из исходного уравнения (22) очевидно, что 01iii ypy , тогда

1

1

10

21

N

iii

Mi

Mi

ji

ji

M

j

yypyyhS .

Введя замену 1' jj , правую часть уравнения (26) запишем иначе:

)( 11

2

1

12

'

' jjM

j

N

i

jiyS

1

1

1

1

1110

11

11

111

'''''''''''''N

i

N

i

ji

jii

ji

jiiL

jjN

jN

jN

jL

jjN

jN yphyphyyyyy .

Введем сопряженную задачу:

11 ji

j

zztp , 2,...,1, MMj , (27)

0Mi , Ni ,0 , (28)

01 jN , 1,...,1, MMj , (29)

ji

jjL

jz fpy

01

010, 2 , 2,...,1, MMj . (30)

Далее, учитывая условие (23)–(25), а также (27)–(30), соотношение (26) примет вид:

M

j

M

j

N

i

ji

jii

jjjN

iiii yphyfyyph

2 2

1

1

100

1

1

1 2 .

Отсюда приращение функционала определяется из формулы:

1

1 2

1

1

101N

i

M

j

N

iiii

ji

jii pyhyphpJ ,

а градиенты функционала (21) вычисляются по формуле:

M

jii

jii yyjJ

2

101 . (31)

Таким образом, получена обратная схема вычисления:

1. Задаем начальное приближение )( 3)0( x по формуле (10), вычисляем )()0( za , затем решаем

прямую задачу (17)–(20) и находим )(;, )0()0(iji zatzy .

2. Вычисляем краевое условие (30) при )0()0(ii ap и, решая сопряженную задачу (27)–(30), нахо-

дим )0()0( ;, ijii ptz .

3. Вычисляем градиенты функционала по формуле (31).

4. По методу спуска находим очередное приближение )()(i

t xp .

5. Вычисляем значение функционала (21). Если он достиг минимума, то полагаем, что

)()( )1(ii xpxp , если нет, то )()( )1()0(

ii xpxp и возврат к пункту 2.


1 Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. — М.: Наука, 1991. — 334 с.

2 Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. — Новоси-бирск: Изд-во НГУ, 2001. — 316 с.

3 Алексеев А.С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизи-ческих данных. — М.: Наука, 1967. — С. 9–84.

32

А.А.Ерденеева, Г.А.Түлепбердинова

Квазистационарлық жуықтаумен электродинамиканың кері есебі үшін тиімділеу əдісінің дискреттік ұқсастығы

Мақалада Максвеллдің квазистационарлық жуықтау теңдеулер жүйесі үшін кері коэффи-циентті есеп қарастырылды. Оптимизациялық əдісті қолданып, оның дискретті аналогы құрылды. Функционалдық градиентін есептеуде соңғы-айырымды формула алынды.

А.А.Erdeneeva, G.А.Tyulepberdinova

Discrete analog of the optimization method for the inverse problem of electrodynamics in the quasisteady approximation

V koeffitsentnaya we consider the inverse problem for Maxwell's equations in kvazistatsionar ap-proximation. Based on the optimization method built its discrete analog. We obtain a finite-difference formula for vychesleniya inverse problem.

УДК 517.925.5

Б.Х.Жанбусинова


О периодических решениях одного класса дифференциально-разностных уравнений второго порядка

Исследован вопрос о существовании периодических решений волнового уравнения, содержа-щих отклонения аргумента. Дан алгоритм построения периодических решений независимого уравнения. Приведено построение решения этого уравнения. Также применен метод усредне-ния для стандартного вида. Кроме того, приведены теоремы существования периодических решений для уравнения с малым параметром.

Ключевые слова: автоколебательный режим, периодическое решение, автономное уравнение, усредненная система, численно-аналитические методы.

Широко известны колебательные системы, в которых возникновение автоколебательного режи-

ма, по существу, связано с наличием запаздывания. К их числу относится, например, электромагнит-ный прерыватель. Автоколебаниям, возникающим в системах, соответствуют устойчивые предель-ные циклы. Предельный цикл — это изолированная замкнутая траектория. Поэтому предельные цик-лы возможны лишь для уравнений, имеющих изолированные периодические решения.

Исследуем вопрос существования периодических решений у автономных уравнений. Этот во-прос представляет большой интерес, так как автономные уравнения имеют существенные особенно-сти.

Во-первых, для неавтономных уравнений любое периодическое решение имеет вполне опреде-ленный, наперед заданный период, равный или кратный периоду правых частей. Автономные урав-нения, в силу того, что не содержат явно времени, могут иметь периодические решения с некоторым периодом, который заранее неизвестен.

Во-вторых, если ( )x t — периодическое решение автономного уравнения, то ( )x t h , где h — постоянная величина, также является периодическим решением автономного уравнения.

Рассмотрим дифференциально-разностное автономное уравнение второго порядка вида

2

2 ( )( ) ( ),

d x dx tx t f x t

dt dt

, (1)

33

где ,f x y — непрерывная по совокупности переменных ,x y функция, которая определена в облас-

ти , ( , )t x y D D ; — постоянная, характеризующая запаздывание, причем

0 T .

Предположим, что в области функция ,f x y удовлетворяет условию ограниченности и

условию Липшица

( , )f x y M , 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y K x x K y y ,

где M , 1K , 2K — положительные постоянные.

Сделаем в уравнении (1) замену переменной

(1 ),t a

(1 )a

, 1a , a const .

Тогда уравнение (1) примет вид

22

22

1(1 ) , ,

1

dx dxd x aa x f x f x

d a d d

. (2)

Теперь 2 -периодические решения уравнения (2) будем искать по формулам: ( ) ( )cos ( )sinx u v ,

( )sin ( )cosdx

u vd

, (3)

( )sin( ) ( )cos( )dx

u vd

.

Так как cos sin ( )sin ( )cosdx du dv

u vd d d

, то на основании формулы (3) имеем

cos sin 0du dv

d d

, (4)

2

2sin cos ( )cos ( )sin

d x du dvu v

d d d

.

Подставив выражения для ( )x , dx

d

и

2

2

d x

d в (2), получим:

2sin cos (2 )( ( )cos ( )sin )du dv

a a u vd d

2

1( )cos ( )sin ; sin( ) cos( )

af u v u v

, (5)

где ( )u u , ( )v v .

Решая систему уравнений, составленную из (4), (5), относительно du

d и

dv

d, получим:

22 2

22 2

1( 2 ) sin 2 sin , ; sin ;

2

1(2 ) cos sin 2 ; ; cos ,

2

dxdu u aa a v f x

d d

dxdv v aa a u f x

d d

(6)

где ; ( )cos ( )sin , ( )sin( ) ( )cos( )dx

f x f u v u vd

.

Систему (6) можно сокращенно записать в виде

, , ,dy

g a y yd

, (7)

где y и g — двумерные векторы, ( 2 , , , ) ( , , , )g a y y g a y y .

34

Рассмотрим усредненную систему, соответствующую системе (7):

0 , ,d

g ad

, (8)

где 2

0

0

1( , ( ), ( )) ( , , , )

2g a g a d

.

Согласно теореме [1] система (7) имеет периодическое решение, если функция 2

0

1( , , ) ( , , )

2g g d

имеет изолированную особую точку, т.е. ( , , ) 0g . Следовательно,

система (7) имеет периодическое решение, если усредненная система (8) имеет изолированное поло-жение равновесия 0 , 0 ( , ( ), ( )) 0g a . Такая система при определенном выборе параметра

0 1a a может иметь решение 0 , 0 0 0 0( , ( ), ( )) 0g a . Таким образом, значение параметра

0 1a и определяет период 02 (1 )aT

периодического решения исходного уравнения.

Рассмотрим автономное волновое уравнение с малым параметром и отклонением аргумента

2

2 ( ) ( ), ( )d x

x t f x t x tdt

, 1 . (9)

Вопросы существования и построения периодических решений для широкого класса дифферен-циальных уравнений второго порядка в классе аналитических функций изучены методом Пуанкаре, в классе гладких функций — с помощью асимптотических методов Крылова-Боголюбова-Митрополь-ского, а также численно-аналитическими методами Самойленко [2–4]. Используя вышеизложенную методику, можно установить условия существования периодических решений уравнения (9) на осно-вании второй основной теоремы Н.Н.Боголюбова и численно-аналитического метода Самойленко [2].

Изучим те периодические решения уравнения (9), которые при 0 переходят в периодические решения 1 2( ) cos sinx t C t C t соответствующего однородного уравнения. Период искомого пе-риодического решения зависит от параметра :

2

( )( )

T T

, где 0

lim ( )

.

Таким образом, ( )1

, 1 .

Сделаем в уравнении (9) замену независимой переменной

(1 )

t

, 1(1 )

. (10)


22

2

12

11 ( , )

d xx g x x

d

. (11)

Из замены (10) следует, что значению t T соответствует 2 , т.е. период искомого решения уравнения (1) совпадает с периодом преобразованного уравнения (3), и он равен 2 .

Замечание. Следует отметить, что исследование Т-периодических решений систем второго по-рядка справедливо как в автономных, так и в неавтономных случаях. Кроме того, согласно определе-нию системы второго класса [5] период решения таких систем совпадает с периодом решения соот-ветствующего однородного уравнения.

Перепишем систему уравнений (11) в виде

22

21 12

12 ( , ) ( ), ( )

d xx x g x x G x x

d

, (12)

из которого видно, что соответствующее однородное уравнение имеет 2 -периодическое решение

1 2( ) cos sinx C C . Таким образом, существование 2 -периодических решений уравнения (11) можно исследовать

на основании результатов, полученных в [5], т.е. с помощью интегрального уравнения

35

2

0 1

0

( ) ( ) ( ) ( ), ( sin( )x x G x x t d

,

где 1 2( ) cos sinx C C , а функция ( ) определена формулой

1 , 0 ,

,

tt

Tt

t TT

и на основании известных результатов соответствующих ему систем уравнений первого порядка стандартного вида.

Для уравнения (11) запишем соответствующую стандартную систему первого порядка. Сделав в уравнении (11) замену (3), получим:

1 1 1

cos sin 0;

sin cos ( )( ( )cos ( )sin ) , , , , , , ,

du dv

d ddu dv

u v g u v u vd d

здесь 2( ) 2 ,

2

1 1 1 1 1 1 1

1, , , , , , ( )cos ( )sin , ( )cos( ) ( )sin( )g u v u v g u v u v

.

Решая эту систему относительно ,du dv

d d , получим стандартную систему уравнений первого по-

рядка:

21 1 1 1 1 1 1

21 1 1 2 1 1 1

( ) sin 2 sin , , , , , , sin , , , , , , ;2

( ) cos sin 2 , , , , , , cos , , , , , ,2

du uv g u v u v f u v u v

d

dv vu g u v u v f u v u v

d

или сокращенно:

1 1, , , ,dy

f y yd

, (13)

где y и f двумерные векторы — ,y u v , 1 2,f f f .

Таким образом, на основании второй основной теоремы Н.Н.Боголюбова [3, 4] получим сле-дующее утверждение.

Теорема. Пусть при некотором значении 0 уравнение (12) является 2 -периодической

системой второго класса, и правая часть системы (13) удовлетворяет условиям второй основной теоремы Н.Н.Боголюбова [2]. Тогда автономное уравнение (9) имеет периодическое, периода

02 (1 )T

решение

0 0 0 0

( ) cos sin1 1 1 1

t t t tx t u v

.

В качестве примера рассмотрим автономную колебательную систему, которая описывается дифференциально-разностным уравнением вида

2

2( ) ( 2 )

d xx t x t n

dt .

Решение этого уравнения будем искать в виде ( )cos ( )sinx u t t v t t , аналогичный вид имеет

решение порождающего уравнения. Для определения ( )u t и ( )v t , следуя описанному алгоритму, по-

лучим следующую систему уравнений стандартного вида:

36

sin 2 1 cos 2( 2 ) ( 2 ) ;

2 2

1 cos2 sin 2( 2 ) ( 2 ) .

2 2

du t tu t n v t n

dt

dv t tu t n v t n

dt

Применяя к этой системе метод усреднения, получим систему обыкновенных дифференциаль-ных уравнений без отклонений аргумента:

( );

2

( ),2

duv t

dtdv

u tdt

решение которой имеет вид: 1 2( ) cos sin2 2

u t C t C t

, 1 2( ) sin cos2 2

v t C t C t

.

Таким образом, искомое периодическое решение имеет вид: 1 2( ) cos 1 sin 12 2

x t C t C t

.


1 Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 216 с.

2 Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. — Киев: Вища шк., 1976. — 182 с.

3 Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 501 с.

4 Митропольский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. — Киев: Наук. думка, 1983. — 212 с.

5 Хома Г.П. Периодические решения волновых дифференциальных уравнений второго порядка. — Киев, 1986. — 44 с.


Екінші ретті дифференциалды-айырымдық теңдеулердің бір класының периодтық шешімдері туралы

Мақалада аргументтің ауытқуынан тұратын толқындық теңдеудің периодтық шешімдерінің бар болу сұрағы зерттелген. Автономдық жүйенің периодтық шешімін тұрғызу алгоритмі берілген. Бұл шешімнің тұрғызылуы үшін теңдеудің шешімі стандартты түрге келтіріліп орталандыру əдісі қолданылған. Аз параметрлі теңдеу үшін периодтық шешімнің бар болу теоремасы келтірілген.

B.H.Zhanbusinova

About periodic solutions of a class of difference-differential equations of the second order

The question of existence of periodic decisions of the wave equation containing a deviation of argu-ment is investigated. The algorithm of construction of the periodic decision of the independent equa-tion is given. For construction of this decision the equation is led. To standard kind the averaging method also is applied. The theorem of existence of the periodic decision for the equation with small parameter is resulted.

37

УДК 517.925.5



О периодических решениях дифференциальных уравнений первого порядка с отклонением аргумента

В статье рассмотрены различные линейные и нелинейные дифференциальные уравнения пер-вого порядка с отклоняющимся аргументом. Исследованы вопросы существования периодиче-ских решений уравнений. Доказаны леммы и теоремы их разрешимости. Указано количество решений для каждого случая.

Ключевые слова: периодическое решение, отклонение аргумента, линейное уравнение, запаз-дывание, уравнение Бернулли, асимптотическое приближение.

Математическое моделирование явлений и процессов в биологии, химии, физике, астрономии

приводит к необходимости исследования дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргумен-том. В частности, модель биологического сообщества «хищник–жертва» описывается системой диф-ференциальных уравнений с запаздыванием и ставится задача нахождения периодического решения.

Исследуем вопрос существования периодических решений уравнений вида

, ( )dx

f t x tdt

, (1)

где функция ( , )f t x — периодическая по t с периодом определена для всех t , — по-стоянная величина, характеризующая отклонение аргумента, причем 0 .

Для исследования нам понадобятся следующие леммы, доказательства которых аналогичны до-казательствам лемм для обыкновенных дифференциальных уравнений без отклонений аргумента [1].

Лемма 1. Если существует ограниченная при 0 ( 0)t t полутраектория уравнения (1), то либо она является -периодическим решением, либо она асимптотически приближается к -периоди-ческому решению.

Лемма 2. Если , ( )f t x t монотонна по x при a x b , то уравнение (1) в полосе

t , a x b имеет не более одного периодического решения. Рассмотрим линейное уравнение первого порядка с отклонением аргумента

( ) ( ) ( )dx

p t x t q tdt

, (2)

где ( ), ( ) ( , )p t q t C , ( ) ( )p t p t , ( ) ( )q t q t , 0 . Для того чтобы решение ( )x t было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы

(0) ( )x x . Найдем общее решение уравнения (2), сделав предварительно замену переменной:

t s , dx dx

dt ds .


( )dx

p s x s q sds

. (3)

Общим решением уравнения (3) будет

1 1

0 0 0

( ) exp exps s

x s q p d d C p d

,

в силу эквивалентных преобразований общее решение уравнения (2) имеет аналогичный вид:

0 0 0

( ) exp expt t

x t q p s ds d C p d

.

В дальнейшем для краткости записи будем обозначать через 0

( ) expt

E t p d

.

38

Используя условие периодичности решения (0) ( )x x , найдем постоянную C :

0

1( )

( ( ) 1)C q s E s ds

E

.

Таким образом, периодическое решение уравнения (2) имеет вид

1

0 0

1( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) 1)

t

x t q s E s ds q s E s ds E tE

. (4)

Теорема 1. Линейное дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом вида (2):

а) имеет единственное периодическое решение (4), если 0

0p t dt

;

б) не имеет периодических решений, если 0

0p t dt

и 0

( ) 0q t E t dt

;

в) имеет множество решений, которые являются периодическими, если 0

0p t dt

и

0

( ) 0q t E t dt

.

Лемма 3. Если 0

0p t dt

, 0q t , то единственное периодическое решение уравне-

ния (3), следовательно, и уравнения (2) ( ) 0x t , причем 0

sgn ( ) sgnx t q t p t dt

.

Это утверждение следует из формулы (4). Лемма 4. Если существует непрерывная на всей оси ветвь изоклины нуля уравнения (1), т.е. ( )x g t такая, что , ( ) 0f t g t , причем в полосе ,D m x M t , где

0min ( )

tm g t

,

0max ( )

tM g t

, нет других, отличных от ( )g t ветвей уравнения , ( ) 0f t x t ,

и при этом функция ,f t x меняет знак при переходе через кривую ( )g t , то в полосе D существует

хотя бы одно -периодическое решение уравнения (1). Доказательство. Пусть, например, , ( ) 0f t x t при ( )x g t , , ( ) 0f t x t при ( )x g t ,

где ( , )t x D . Тогда любое решение, начинающееся внутри полосы D , не сможет покинуть эту поло-су при его продолжении влево, аналогично, и при его продолжении вправо. Тогда, согласно лемме 1, существует ограниченная полутраектория, которая либо сама является периодическим решением, ли-бо асимптотически приближается к нему, отсюда следует, что в полосе D содержится хотя бы одно периодическое решение уравнения (1).

Рассмотрим уравнение вида

2 ( )dx

x t q tdt

, (5)

где ( ) ( , )q t C , ( ) ( )q t q t , — постоянная величина, характеризующая запаздывание, причем 0 .

Представляет интерес задача об определении точного числа различных -периодических реше-ний уравнения (5).

Очевидно, что при ( ) 0q t уравнение (5) не имеет периодических решений, при ( ) 0q t имеет одно периодическое решение ( ) 0x t .

Замечание. Для того чтобы уравнение (5) имело хотя бы одно ненулевое -периодическое ре-шение, необходимо, чтобы было выполнено условие

0

( ) 0q t dt

.

Действительно, проинтегрировав (5), получим:

2

00 0

( ) ( ) ( ) 0x t x t dt q t dt

2

0 0

( ) ( ) 0q t dt x t dt

.

39

Сделаем замену переменной: t s . Тогда уравнение (5) относительно новой переменной примет вид

2 ( )dx

x s q sds

. (6)

Теорема 2. Если 0q s , то уравнение (6), следовательно, и уравнение (5) имеет два перио-

дических решения. Доказательство. Рассмотрим изоклину нуля уравнения (6): 2 ( ) 0x s q s . Эта изоклина

состоит из двух ветвей: 1x q s и 2x q s , определенных и непрерывных на всей

оси, каждая из которых удовлетворяет условиям леммы 2. Согласно этой лемме в каждой из полос

m x M , M x m , t , где 0min ( )

tm q s

,

0max ( )

tM q s

содержится хотя

бы одно -периодическое решение уравнения (5), но их не более двух, что доказывается методом от противного.

Следствие. Для того чтобы уравнение (5) имело периодическое решение, необходимо, чтобы

всякое ненулевое решение уравнения 2

2( ) 0

d yq t y

dt было неколеблющимся.

На самом деле, если 1( )x t — периодическое решение уравнения (5), то функция

1

0

exp ( )t

y x d

является решением уравнения

2

2( ) 0

d yq t y

dt .

Теорема 3. Если 1( )x t — -периодическое решение уравнения (5), то при:

а) 1

0

( ) 0x t dt

уравнение (5) не имеет других периодических решений, кроме 1( )x t ;

б) 1

0

( ) 0x t dt

существует второе -периодическое решение 2 ( )x t , отличное от 1( )x t , кото-

рое выражается через 1( )x t без квадратур.

Доказательство. Сделав в уравнении (5) подстановку 1( ) ( ) ( )x t x t u t , с учетом условия теоре-мы получим уравнение:

21( ) 2 ( ) ( )

duu t x t u t

dt .

Замена переменной t s приведет к уравнению Бернулли

21( ) 2 ( ) ( )

duu s x s u s

ds ,

которое, в свою очередь, приводится к линейному уравнению 1( ) 2 ( ) ( ) 1z s x s z s . (7)

Применяя к уравнению (7) теорему 1, получим, что при 1

0

( ) 0x t dt

это уравнение не имеет пе-

риодических решений, а при 1

0

( ) 0x t dt

имеет одно периодическое решение ( )z t .

Следовательно, в первом случае уравнение (5) не имеет других, кроме 1( )x t , периодических ре-

шений, а во втором случае это уравнение имеет -периодическое решение 12 1( ) ( ) ( )x t x t z t .

С учетом формулы (4) это решение имеет вид

2 1

1 1

0 0

( ) 1( ) ( )

1 ( ( ) ( ) ( ) ( )t

Ex t x t

E E s ds E E s ds E t

,

где 1

0

( ) exp 2 ( )t

E t x d

.

40

Пример 1. Уравнение 2 4sin 2 cos ( )dx

x t t tdt

имеет периодическое решение

21( ) cosx t t , период которого T . В силу того, что 2

0

cos 0tdt

, данное уравнение имеет второе

периодическое решение 22 ( ) cos ( )x t t u t , где ( )u t определяется по формуле (4).

Пример 2. Уравнение 2 2cos sin ( )dx

x t t tdt

имеет периодическое решение

1( ) sinx t t , период которого 2T . В силу того, что 2

0

sin 0t dt

, данное уравнение не имеет других

периодических решений. Рассмотрим уравнения вида

( ) ( )dx

f x t q tdt

, (8)

где ( ) ,q t C , ( ) ( )q t q t , 0 , ( ,f x t C , причем ( )f x такова, что имеет

место единственность решения [2,3], -постоянная величина, характеризующая отклонение аргу-мента, причем 0 .

Ответ на вопрос о существовании и числе решений уравнения (9) дает следующая теорема Теорема 4. Пусть функция ( )f x монотонна и [ , ]m M E f , где

0min

tm q t

,

0max

tM q t

. Тогда уравнение (8) имеет единственное периодическое решение периода T .

Доказательство. Сделаем замену переменной t s , тогда dx dx

dt ds и уравнение (8) примет вид

( )dx

f x s q sds

. (9)

Изоклина нуля уравнения (9), т.е. ( )f x s q s 1( )x s f q s — непрерывная од-

нозначная функция, определенная на всей оси, причем правая часть уравнения (9) меняет знак при переходе через эту изоклину. Поэтому, согласно лемме 4, существует -периодическое решение уравнения (9), следовательно, уравнение (8), в силу преобразований, имеет -периодическое реше-ние периода. Единственность этого решения следует из леммы 2.


1 Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.: Наука, 1964. — 367 c.

2 Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. — Киев: Вища шк., 1976. — 182 с.

3 Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Мартынюк Д.И. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 216 с.


Ауытқуы бар аргументті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулердің периодтық шешімдері туралы

Мақалада ауытқитын аргументпен берілген, əр түрлі бірінші ретті сызықтық жəне сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер қарастырылған. Берілген теңдеудің периодтық шешімдерінің бар болу сұрағы зерттеліп. Ол шешімдердің шешілгіштігі жөніндегі теоремалар мен леммалар дəлелденген. Əр жағдай үшін шешімдер саны көрсетілген.

41

B.H.Zhanbusinova

On periodic solutions of differential equations of the first order with argument‘s divergence

In article different linear and nonlinear differential equations of the first order with deviating argu-ment are considered. The questions of existence of the periodic decisions theses equations are re-searched. Lemmas and theorems about their solubility are proved. Amount of the decisions is speci-fied for each event.

ƏОЖ 517.12

Қ.Жетпісов1, Б.С.Жұмабаев1, А.М.Джузбаева2

1Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті; 2Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті

Реттік қатынастар жəне реттелген жиынның қасиеттері

Мақалада жартылай жəне сызықтық реттелген жиындардың қасиеттері көрсетілген. Модельдерді оқудың, олардың изоморфизмі мен гомоморфизмінің қатынасының пропедевтикасын жартылай (сызықтық) реттелген жəне квазиреттелген жиындарға қолдану арқылы жүзеге асырылады. Авторлар өткел туралы теореманы зерттеу мысалында нақтыдан абстрактілікке диалектік кемелдеу процесін жəне қайта нақтыны байытылған түрде қабылдауды орындары, алайда дамудың жоғары дəрежесінде.

Кілтті сөздер: изоморфизм, гомоморфизм, максималды элементтер, минималды элементтер, бөліктік реттелген, фактор, модель.

Реттік құрылымдар мен оларды классификациялауды алғаш айқындаған Н.Бурбаки болатын [1].

Бұл көзқарас қазіргі уақытқа дейін əлі өзгерусіз қалды. Осыған байланысты модельдерді оқып-зерт-теу (пропедевтикасы) бастамасы модельдердегі изоморфизм жəне гомоморфизм қатынастары бөлік-тік (сызықтық) реттелген жəне квазиреттелген жиындарға қатысты да қолданылымды. Бұл мақалада енгізілген реттік қатынаспен реттелген жиын əдістемелік ерекшеліктері тұрғысынан қарастырылады. Бөліктік реттелген жиынның, ішкі жиынының ең үлкен (ең кіші), максималды (минималды) элемент-тері жəне «тура жоғарғы (тура төменгі) қыры» ұғымдарының ерекшеліктерін көрсету үшін стандарт-ты емес мысалдар келтіріледі.

Математикадағы бұл ұғымдардың универсалдығына (əмбебаптығына) қарамастан, студенттер бұл ұғымдар туралы қажетті деңгейде мағлұмат алмағандықтан, оларға формалды түрде қарап, олар-дың мағыналарын түсіне бермейді.

Бөліктік (сызықтық) реттелген жиындардағы «модельдердің изоморфизмі» мен «гомоморфизмі» ұғымдары анықталып, негізгі қасиеттері сипатталады жəне бөліктік реттелген жиынның көрінісі ту-ралы теорема қарастарылады. Бұл теореманың əдістемелік құндылығы, ол нақты мысалдардың көме-гімен абстрактілі ұғымдарды дұрыс қабылдауға (түсінуге) көмегін тигізеді.

Теореманың қолданбалық (практикалық) маңыздылығы, ол теоретика-жиындық көріністерді, мысалға, Эйлер-Венн диаграммасын, бөліктік реттік жиындармен жұмыс істегенде қолдануды қамта-масыз етеді. Бұл теореманың технологиялық ерекшелігінде де əдістемелік құндылық бар. Теорема-ның тұжырымы бойынша кез келген бөліктік реттелген жиынды кейбір жиынның барлық ішкі жиын-дарының Буль алгебрасының ішкі алгебрасы түрінде кескіндеуге болады.

Бұдан біз бөліктік реттелген жиынның белгілі бір (сəйкесінше) жиындар алгебрасы түрінде анықталуы үшін жəне оның құрылымдық қасиеттерін анықтаушы аксиомалар жұмыс істеуі үшін өз-өзіне жеткіліктігін көреміз.

Студенттердің назарын теореманың дəлелдеуінің негізгі кезеңдеріне жəне орындалу ретіне аударған жөн. Себебі осы жоба бойынша əріректе Буль алгебрасының көріністері туралы теорема дə-лелденеді жəне онда осы технологиялар қолданылады.

42

Туыстас объектілер жиындықтарының шамалық жəне реттік сипаттамаларымен байланысты көптеген жаратылыс-ғылыми ұғымдарды анықтауда квазиреттік қатынас негізгі рөл атқарады.

Абстракциялық сəйкестендіруді орындауда квазиреттелген жиынның құрылымдық қасиеттері одан бөліктік реттелген жиынға көшуді толығымен қамтамасыз етеді. Бұл туралы «көшу туралы тео-ремада» айтылады. Нақты квазиреттелген жиынға бұл теореманы қолдану модельдердің изоморфтық жəне гомоморфтық қасиеттерін оқып-зерттеудегі дайындық кезеңіндегі жұмысқа өте бай мүмкіндік ашады.

1. Сандық жиындардағы табиғи реттер

Эквиваленттік қатынастармен қатар реттік қатынастар математикада маңызды рөл атқарады. Математиканың негізгі ұғымдарының бірі бөліктік қатынас болып табылады. Ол теоретикалық

математика мен оның əр түрлі қосымшаларында кеңінен қолданылады. Сандық жиындардағы бөлік-тік реттік қатынастардың мысалы ретінде « » « » «<» «>» — «кіші немесе тең», «үлкен немесе тең», «кіші», «үлкен» қатынастарын алуға болады. Мысалы, осы табиғи қатынастарды N натурал

сандар жиынында беру арқылы оның бөліктерін анықтай аламыз. Олар осы 2N N N — жарты ке-ңістігінің «диагоналдық элемент жиыны», x y , ішкі жарты жазықтықтары ( ,x y y x ). Осы қа-

тыныстардың N натурал сандар жиынындағы қасиеттері мектеп курсындағы математикадан бізге та-ныс.

R нақты сандар жиынындағы « » қатынасының рефлексивтілігі, антисимметриялығы жəне транзитивтілігі белгілі. Сонымен қатар бұл жиынды кез келген ,x y үшін x y немесе y x немесе x y . « » қатынасына ие жиындардың ішінде бірқатар басқада ерекше қасиеттерге ие жиындар бар. Мысалға, натурал сандар жиынының кез келген өзіндік шексіз ішкі жиыны негізгі жиынның барлық қасиеттеріне ие, ал бірақ рационал сандар жиынына мұндай жағдай əр уақытта бола бермейді. Рацио-нал сандар жиынындағы қатынасы тығыз, яғни, кез келген x, y рационал сандары үшін x y болса, онда z рационал саны табылып, x z y теңсіздігі орындалады.

Рационал сандар жиынындағы қатынасы — натурал сандар жиынындағы қатынасының та-биғи жалғасы. Осыған қарамастан, қатынасы натурал сандар жиынында тығыз емес.

Студенттердің назарын осы кезеңде жиындарда рационал, натурал анықталған қатынасының табиғи екендігін, оны сырттан, белгілі бір шарттардың, қажеттіліктердің себебінен туындамағанды-ғын түсіндіру қажет. Бұл қатынас осы жиындарда анықталған бірден бір қатынас емес. Мұндай таби-ғи қатынастар көп. Мысалға, натурал сандар жиынында реттік P қатынасын келесі ереже бойынша анықтайық: mPn (m — жұп, n — жұп жəне m n ) немесе (m — тақ, n — тақ жəне m n ) немесе (m — жұп, n — тақ).

Яғни жұп сандар P бойынша қатынасымен реттелген, тақ сандар да P бойынша қатына-сымен реттелген, əрбір жұп сан əрбір тақ санның P бойынша алдында тұрады.

Барлық натурал сандар P реті бойынша келесі түрде орналасады: 0; 2; 4; 6; 8; ...; 2 ; ...; 1; 3; 5; 6; ...; 2 1; ...n n ( )n N . (1)

Осыған ұқсас N жиынында басқа да реттік қатынастарды анықтауға болады. Бұл мысалдар сан-дық жиындарда əр түрлі қасиеттерге ие реттік қатынастардың бар екендігін көрсетеді.

2. Бөліктік реттелген жиындар

Əр түрлі жиындардағы (сандық табиғатты болуы міндетті емес) барлық мүмкін қатынастарды оқып-зерттеу мақсатында келесі анықтаманы енгізейік:

A жиынындағы P қатынасы бөліктік реттік қатынас (немесе бөліктік рет) (б.р.қ.) деп атала-ды, егер ол рефлексивті, антисимметриялы, транзитивті болса.

Мысалдар келтірейік: а) айталық M — кез келген бос емес жиын жəне P M оның ішкі жиындарының жиыны бол-

сын. (қамтылу) қатынасы P M жиынындағы бөліктік реттік қатынас болады;

б) айталық, M 1 2, , , / 0,1n i ; 1,2,i n ноль мен бірден құрылған ұзындығы n -

ге тең барлық реттелген тізбектердің жиыны болсын. Кез келген 1 1, , ; , ,n n M үшін

43

1, , n P 1, , n 1

n

i ii

ережесімен M жиынында анықталған бинарлық P қатынасы

бөліктік реттік қатынас болады; в) « x саны y санын бөледі». D қатынасы N натурал сандар жиынында

0 &x N y N x Dy x z N y z x (2)

ережесімен анықталған жəне ол бөліктік реттік қатынас; г) N натурал сандар жиынында P бинарлық қатынасын келесі түрде анықтайық:

(x N y N xPy x санының цифрларының қосындысы y санының цифрларының қосынды-

сынан үлкен емес). Онда P қатынасы рефлексивті, транзитивті, бірақ антисимметриялы емес. Шындығында, егер 386a жəне 935b болса, онда aPb жəне bPa (сандардың цифрларының

қосындысы 17-ге тең), бірақ a b . Бұл жағдайда P бөліктік қатынас болмайды. Бөліктік ретке қо-сымша талаптар қою арқылы жаңа қатынастар аламыз. Байламдылық қасиетіне ие бөліктік қатынас сызықтық реттік қатынас деп аталады.

Мысалға, , , ,N Z Q R натурал, бүтін, рационал, нақты сандар жиынындағы табиғи рет-сызық-тық реттік қатынас болады.

M жиыны онда анықталған бөліктік (сызықтық) P қатынысымен бөліктік (сызықтық) реттел-ген жиын деп аталып, ;M P арқылы белгіленеді.

Бөліктік реттелген ;M P жиынының элементтері x жəне y салыстырымдылы деп аталады,

егер xPy немесе yPx болса. Сонымен, P қатынысы бойынша сызықтық реттелген жиында осы жи-ынның кез келген элементтері салыстырылымды.

Бөліктік реттелген жиын модельдің қарапайым мысалы, яғни, алгебралық амалдар жиыны бос болатын алгебралық жүйе, сигнатурасында функционалдық таңба жоқ.

Сонымен біз бөліктік реттелген жиындарды оқып-зерттеу барысында біруақытта «алгебралық жүйе» жəне «модель» ұғымдарын пропедевтикалық оқып-зерттеуді жүзеге асырамыз.

Сандық жиындардағы табиғи реттілікке қатысты x y болғанда x -ті y -тің алдындағысы, ал y -ті x -тің ілесушісі деп атайды.

Осы терминологияны сақтап, ;M P бөліктік реттелген жиын болған жағдайда x -ті y -тің P ал-

дындағысы, ал y -ті x -тің P ілесушісі деп атайтын боламыз. Əр түрлі аттардың (атаулардың) сөздіктерін құруда лексикологиялық деп аталатын рет кеңінен

қолданылады жəне оның көмегімен осы сөздіктегі сөздердің орналасуы іске асады. Студенттерге жаттығу ретінде осы мысалдың формалданған түрін беріп шыққан (қатынастың)

реттің қасиеттерін зерттеуді ұсынуға болады.

3. Ең үлкен жəне ең кіші, максималды жəне минималды элементтер

Енді бөліктік реттелген жиынды оқып-зерттеуді ең үлкен жəне ең кіші элементтер туралы индук-тивті көріністерді формаль түрде беруге бағыттайық. Осы көріністердің баламасы ретінде нақты сан-дар жиынында « » табиғи ретімен анықталған

/ ; ; / ; ; / ;x x a x x b x b x a (3)

сызықтық реттелген ішкі жиындарды алуға болады. Оқып-зерттеудің бағытталғандығы бөліктік рет-телген жиынның «ең үлкен (ең кіші)», «максималды (минималды) элементтері», «бөліктік реттелген жиынның ішкі жиынның жоғарғы (төменгі)», «тура жоғарғы (тура төменгі) қырлары» ұғымдарымен қажет болған жағдайда білікті пайдалана білуге арналған.

Бұл ұғымдар барлық математикалық пəндерді практикалық оқып-үйренудегі қажеттілік болып табылады. Мысалы, математикалық талдауда «нақты сандар» ұғымы енгізіледі жəне Дедекинц қима-сы əдісімен оқып-зерттеледі, «шек» ұғымы негізделеді жəне шексіз аз санағы құрылады. Осы ұғым-дар жүйесінің жеткілікті деңгейде ұғындырылуы олардың шектелген бірлігінде индуктивті анықтама-лар мен дəлелдеулер əдістемесін жақсы меңгеруде, сол сияқты оларды минималдық шартымен бөлік-тік реттелген жиындарға жалпылауға (нётрлік индукция) көмегін тигізеді.

Сонымен қатар жалпы алгебрада кейбір S қасиетін қанағаттандыратын ( S қасиетіне ие) ішкі жүйелер жиынтығы теоретико-жиындық қамтылу « » қатынасына қатысты, Цорн леммасының шарттарын қанағаттандыратын, қамтылу бойынша S қасиетті максималды ішкі жүйелер құрайды.

44

Осыған ұқсас технологиялар (əдістемелер) модельдер теориясында да, жалпы алгебралық жүйелер теориясында да қолданылады. Айталық ;M P бөліктік реттік жиын болсын. a M элементі:

а) ;M P бөліктік реттелген жиынның ең үлкен (ең кіші) элементі деп аталады, егер

x M xRa x M aRx болса; (4)

б) ;M P бөліктік реттелген жиынның максималды (минималды) элементі деп аталады, егер

x M aRx x a x M xRa x a болса. (5)

(4) шарт ;M P бөліктік реттелген жиында ең үлкен (ең кіші) элементтің M жиынының барлық

элементтерімен салыстырымды болатындығын жəне ең үлкен элементтің M жиынының кез келген элементінің ілесуші екендігін, ең кіші элементтің алдыңғысы екендігін білдіреді.

(5) шарт максималды a элементінің одан өзгеше ілесушісінің жоқ екендігін, ал минималды a элементінің одан өзгеше алдыңғысының жоқ екендігін білдіреді.

Басқаша айтқанда, максималды элемент өзімен салыстырымды кез келген элементтің ілесушісі, ал минималды элемент — алдыңғысы.

Негізделген ұғымдардың қарапайым қасиеттерін тұжырым түрінде берейік: а) егер бөліктік реттелген жиында ең үлкен (ең кіші) элемент бар болса, онда ол бірмəнді анық-

талады; б) бөліктік реттелген жиында ең үлкен (ең кіші) элемент максималды (минималды) элемент бо-

лады, кері тұжырым дұрыс емес; в) сызықтық реттелген жиын үшін ең үлкен (ең кіші) жəне максималды (минималды) элементтер

ұғымдары сəйкес келеді. Егер ;M P кез келген бөліктік реттелген жиын болса, онда ондағы ең үлкен жəне ең кіші эле-

менттердің бар болуына (жоқ болуына) қатысты келесі мүмкіндіктер орынды. ;M P бөліктік реттелген жиында:

а) ең үлкен, ең кіші элементтері де жоқ; б) ең үлкен элемент бар, бірақ ең кіші элемент жоқ; в) ең үлкен элемент жоқ, бірақ ең кіші элемент бар; г) ең үлкен жəне ең кіші элементтер бар. Осы барлық мүмкіндіктердің орындалатындығын тексеру қиын емес. Мысал ретінде негізгі жи-

ындары сəйкесінше интервал, жарты интервалдар, сегмент: , ; , ; , ; , , ;a b a b a b a b a b a b R бо-

латын нақты сандар жиынын, ал P қатынасы ретінде осы жиындағы кəдімгі « » қатынасы анықтал-ған бөліктік реттелген жиында алуға болады.

Əр түрлі санды максималды, минималды элементтері бар болатын (жоқ болатын) бөліктік рет-телген жиындар əр қилы болуы мүмкін. Геометриялық сипаттағы көрнекіліктерді пайдаланып жəне дəстүрлі емес тұрғылармен, мүмкіндігінше, математиканың əр түрлі саласынан алынған «құрылыс материалдарын» іріктеп, олардан мысалдар құруға болады. Мысалға, егер M шексіз жиын болса, он-

да ;B M бөліктік реттелген жиында жəне M ішкі жиындары сəйкесінше ең кіші жəне ең үл-

кен элементтер болады. Егер \ ; ;B M M бөліктік реттелген жиынын қарастырсақ, онда оның

ең үлкен жəне ең кіші элементтері болмайды. Мұндағы кез келген бір элементті ішкі жиын

a a M минималды, ал \M a a M түріндегі кез келген ішкі жиын максималды элемент бо-

лады. Егер B M арқылы M жиынының барлық ақырлы ішкі жиындарының жиынын белгілесек,

онда бос ішкі жиын ;B M бөліктік ішкі жиынның ең кіші элементі болады.

Əрбір бірэлементті ішкі жиын a a M осы бөліктік реттелген ;B M жиынының ми-

нималды элементі болады, бірақ бұл бөліктік реттелген жиынның ең үлкен жəне ең кіші элементтері де болмайды.

Бөліктік реттелген ;N D жиынында, мұндағы D — осы N жиынындағы бөлінгіштік (бүтін-

дей) қатынасы, яғни 0xD y x жəне x саны y санын (бүтіндей) бөледі, 1 саны — ең кіші эле-мент, ал бірақ бұл жиынның ең үлкен элементі де, максималды элементі де жоқ.

45

Егер \ 0,1N N болса, онда ,N D бөліктік реттелген жиында минималды элементтер

жиыны жай сандар жиынымен сəйкес келеді.

4. Жоғарғы жəне төменгі, тура жоғарғы жəне тура төменгі шекара

Айталық, ;M P бөліктік реттелген жиын жəне A M болсын. a M элементі ;M P бөліктік

реттелген жиындағы A ішкі жиынының жоғарғы (төменгі) шекарасы деп аталады, егер келесі шарт-тар орындалса:

x A xPa x A aPx . (6)

A M ішкі жиынының ;M P бөліктік реттелген жиында бірнеше жоғарғы (төменгі) шекарасы

болуы мүмкін. Бөліктік реттелген ;M P жиынындағы A ішкі жиынының барлық жоғарғы шекаралар жиынын

A

арқылы, ал барлық төменгі шекаралар жиынын A

арқылы белгілейміз.

A A

бос жиын болмаған жағдайда M жиынындағы A ішкі жиынының жоғарыдан (төменнен)

шектелгендегі туралы айтуға болады.

Бөліктік реттелген ,A P

жиынының ең үлкен элементі ;M P жиынындағы A ішкі жиыны-

ның тура төмендегі шекарасы деп аталады.

Бөліктік реттелген ,A P

жиынының ең кіші элементі ;M P жиынындағы A ішкі жиынының

тура жоғарғы шекарасы деп аталады. ;M P жиынындағы A ішкі жиынының тура жоғарғы шека-

расын supM A арқылы, ал тура төменгі шекарасын infM A арқылы белгілейміз (1-сур.).

1-сурет.

Жаңадан енгізілген ұғымдар ертеректе қарастырылған мысалдардың терминінде анықталғандық-тан, осы мысалдарды жаңа мазмұн мен мағынада толықтырады жəне осы жаңа ұғымдардың мағына-сын ашып көрнекіліктердің көмегімен көрсету үшін осы бөліктік реттелген жиындардың мысалдары қолданылады.

Айталық, ;a b — нақты сандар жəне a b болсын. M ретінде R нақты сандар жиынын, ал A

ішкі жиыны ретінде ;a b интервалындағы сандардың жиынын алайық. Онда A ішкі жиыны ;M

жиынында жоғарыдан да, төменнен де шектелген жəне бұл жағдайда ;A a

;A b

(2-сур.),

2-сурет.

тура жоғары да, тура төменгі де шекаралары жоқ.

46

5. Реттелген жиындардағы изоморфизм қатынасы

Бөліктік реттелген жиын жағдайында модельдердің изоморфизмінің жалпы анықтамасы келесі түрде анықталады:

Егер A жиынының B жиынына биективті бейнелеуі бар болып,

a A b B a S b a R b (7)

шарты орындалса, онда бөліктік (сызықтық) реттелген ;A SA жəне ;B RU жиындарын изо-

морфты (таңбалық түрде )T U деп атаймыз [2]. (7) шарттың кейбір жағдайларда «қатынасты сақтау» шарты деп атайды. Бөліктік жəне сызықтық реттердің өзіндік ерекшеліктері, бұл анықтамадағы кейбір шарттарды

бəсеңдетуге болатындығын ерекше айта кетуге болады. Атап айтсақ: 1) бөліктік (сызықтық) реттелген жиын жағдайында бейнелеуінің биективті болуы талабын

изоморфизмнің анықтамасында осы бейнелеудің сюръективті болуы талабына дейін босаңдатуға бо-лады;

2) сызықтық реттелген жиын жағдайында изоморфизмнің анықтамасындағы (7) шартты

a A b B a S b a R b (7*)

шартына дейін бəсеңдетуге болады. Енді осы айтылғандарды негіздейік. 1. Айталық, ;A SA жəне ;B RU бөліктік реттелген жиындар жəне бейнелеуі (7)

шартты қанағаттандыратын A -ның B -ға сюръективті бейнелеуі болсын. Онда T U болатынды-ғын дəлелдейік.

Дəлелдеу тек ғана бейнелеуінің биективтілігін талап етеді, яғни

x A y B x y x y . (8)

Кері жориық. Айталық, кейбір ,x y A үшін ,x y бірақ x y болса, x жəне y элемент-

тері үшін екі жағдай орынды: а) x жəне y салыстырымды; б) x жəне y салыстырымсыз. Осы жағдайлардың əрқайсысын жеке-жеке қарастырайық. а) x y болғандықтан, онда келесі жағдайлардың тек біреуі ғана орынды: x S y немесе y S x

(керісінше жағдайда, S қатынасының антисимметриялығынан x y болар еді). Мысалға, x S y бол-

сын. x y болғандықтан, онда R рефлексивтілігінен y R x .

Онда (7) шарттан алатынымыз y S x . Бірақ, бұл жоғарыда көрсетілгендей, x y теңдігіне əкеле-ді. Бұл қарама-қайшылық а) жағдайының орындалмайтындығын көрсетеді; б) жоғарыдағы талдауға ұқсас ой-пайымдауларды қолданып, б) жағдайының да орындалмайтындығын көрсетуге болады. x жəне y үшін басқа мүмкіндіктердің жоқтығынан қарама-қайшылыққа келеміз.

Сонымен, (8) шарт орынды, яғни бейнелеуі биективті. 2. Бұдан (7*) шартындағы импликацияның қайтымдылығын дəлелдеу талап етіледі, яғни

x A y A x R y x S y (9)

қатынасын дəлелдеу керек.

Кері жориық: айталық, x R y , біреу кейбір ,x y A үшін x S y

болсын. S сызықтық

рет болғандықтан, x жəне y S бойынша салыстырымды. Яғни x S y

болғандықтан, y S x .

Бұдан (7*) шартына сəйкес y R x шығады, ал ол x R y қатынасымен бірге

x y теңдігін береді. биекция болғандықтан, x y x y . S қатынасының рефлек-

сивтігін ескерсек, x S y жəне x S y

шарттары қарама-қайшылықты береді.

Сонымен, (9) толық дəлелденді.

47

6. Квазиреттік қатынас жəне «көшу» туралы теорема

Бос емес жиындағы рефлексивті жəне транзитивті қатынас квазиреттік қатынас деп аталады. M жиыны онда берілген кейбір квазиреттік P қатынасымен квазиреттелген ;M PM жи-

ын деп аталады. Абстракция əдісін қолдануда квазиреттік қатынас туыстас объектілер жиынтығының шамалық

жəне реттік сипаттамаларына байланысты көптеген табиғи-ғылымдық ұғымдарды анықтауда маңыз-ды роль атқарады. Бұл əдістің негізінде (белгілі бір мағынада) квазиреттелген ;M P жиынынан *P

бөліктік рет анықталған M жиынының кейбір фактор группасына табиғи (каноникалық) көшу жа-тыр. Квазиреттің қасиеттерін оқып-зерттеу мəселесі осы көшуді толық қамтамасыз етеді.

Келесі теорема бұл қатынастың негізін құрайды [3]. Айталық, M жиынында P квазиреттік қатынасы анықталсын. Онда:

а) &Px M y M x y x P y y P x ережесімен M жиынындағы анықталған би-

нарлық P -қатынасы осы M жиынындағы эквиваленттік қатынас болады;

б) *( )P PP P P P P P

M Mx y x P y x x y y x Py

ережесімен P

M фактор-жиынында анықталған бинарлық *P қатынасы бөліктік реттік қатынас бола-

ды. Осы теоремаға байланысты (əріректе «көшу туралы теорема» деп аталатын болады) келесі ес-кертулерді атап өтейік:

1. M жиынындағы P квазиреттік қатынастан P

M фактор-жиынындағы бөліктік реттік *P қа-

тынасына көшу ;M P моделінен *;P

M P фактор-модельге көшу болып табылады. P

M фактор-

жиынында анықталған *P қатынасы алгебралық жүйелердің жалпы теориясындағы фактор-модельді құрудың жалпы əдістемесіне сəйкес келеді [4].

2. Қарастырылып отырған жағдайда, яғни P квазиреттік қатынас болғанда,

P P

x x y y x P y

(10)

шарты

P P

x x y y x P y

(11)

шартымен тең мəнді. 3. *P қатынасы байламды болады сол уақытта тек қана сол уақытта, егер P байламды болса (со-

нымен, P квазиретті байламды болғанда *P бөліктік рет болып қана қоймай, ол жəне сызықтық рет болады).

Əдебиеттер тізімі

1 Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории развития математики. — М.: ИЛ, 1965. — 292 с. 2 Гончаров С.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. — М.: Интерпракс, 1994. — 255 с. 3 Гончаров С.С., Дроботун Б.Н., Никитин А.А. Методические аспекты изучения алгебраических систем в высшем

учебном заведении: Моногр. — Новосибирск: НГУ, 2007. — 251 с. 4 Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с.

К.Жетписов, Б.С.Жумабаев, А.М.Джузбаева

Порядковые отношения и свойства упорядоченных множеств

В данной статье изучаются свойства частично упорядоченных и линейно упорядоченных множеств. Пропедевтика изучения моделей, отношений изоморфизма и гомоморфизма моделей осуществляется применительно к частично (линейно) упорядоченным и квазиупоря-доченным множествам. На примере изучения теоремы о переходе авторы воспроизвели в действии процесс диалектического восхождения от конкретного к абстрактному и вновь к обогащенному восприятию конкретного, но уже на более высоком уровне развития.

48

K.Zhetpisov, B.S.Zhumabaev, А.M.Dzhuzbaeva

Ordinal relations and properties of order sets

In this article properties of partially ordered sets and linearly ordered sets are studying. Propaedeutics of studying models, relations of isomorphism and homomorphism of models are realizing comforta-bly to partially (linearly) ordered sets and quasiordered sets. Authors reproduced in motion the proc-ess of the dialectical ascent from concrete to abstract and again to enriched perception of concrete on more high level of development by example studding of transition theorem.

УДК 517.95

К.Б.Иманбердиев

Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы

О разрешимости задачи оптимального управления для нагруженного уравнения теплопроводности

с граничными управлениями

В статье исследованы вопросы разрешимости задачи оптимального управления для нагружен-ного уравнения теплопроводности с граничными управлениями. Показано, что существует ре-шение задачи оптимального управления. Указаны условия оптимальности с помощью решения сопряженной краевой задачи. Для решения задачи использован метод расщепления соотноше-ния условий оптимальности путем преобразования Риккати.

Ключевые слова: оптимальное управление, нагруженное уравнение, уравнение теплопроводно-сти, граничные управления, преобразование Риккати, сопряженная задача.

В настоящей работе исследуются вопросы разрешимости задачи оптимального управления для

нагруженного уравнения теплопроводности с граничными управлениями [1–5]. Для решения задачи используется метод расщепления соотношений условий оптимальности с помощью преобразования Риккати [6].

1. Постановка задачи. Введем пространство 2

2 2(0, ) | (0, ; ( / 2, / 2)), ( )tY T y y L T H y L Q и рассмотрим начально-граничную задачу в пространстве (0, )Y T :

( , ) ( , ) ( , )t xxy x t y x t y x t f , , x t Q , (1.1)

0( ,0) ( )y x y x , / 2 / 2x , (1.2)

1( / 2, ) ( )y t u t , 2( / 2, ) ( )y t u t , 0 t T , (1.3)

где , / 2 / 2, 0 Q x t x t T , 1( )u t , 2 ( )u t — граничные управляющие функции, а

( , )f x t и 0 ( )y x — заданные функции, удовлетворяющие условиям

2

10 2

(0, ), 1,2 выпуклое замкнутое множество,

( ) ( / 2, / 2), ( , ) ( ),

( / 2, / 2), const

j jgu U L T j

y x H f x t L Q

x

C.

(1.4)

На решениях задачи (1.1)–(1.3) при выполнении (1.4) задан функционал

1

22 2

1 2 ( /2, /2)1 0

, ( , ) ( ) ( )T

j jHj

J u u y x T x u t dt

, (1.5)

где 1j R , 1,2j , 1( ) ( / 2, / 2)x H — заданная функция.

49

Задача оптимального управления состоит в следующем: требуется найти граничные управления

1( )u t , 2 ( )u t и соответствующие им решения ( , )y x t граничной задачи (1.1)–(1.3), удовлетворяющие

условиям (1.4) и минимизирующие функционал (1.5). Обозначим через ( ) ( , , )y v y x t v решение задачи (1.1)–(1.3) при u v .

Задача. Найти управление 1 2 1 2 , g g gu u u U U U , минимизирующее функционал (1.5) на

решениях задачи (1.1)–(1.3). 2. Существование решения задачи оптимального управления. Покажем, что поставленная

нами задача имеет решение, т.е. существует управление u (называемое оптимальным управлением), для которого [ ] inf [ ]

gv UJ u J v

. Для этого положим

1

2

( 2, 2)1

( , ) ( ( , ; ) ( , ;0), ( , ; ) ( , ;0)) ( , )j j jHj

u v y x T u y x T y x T v y x T u v

, (2.1)

1 ( 2, 2)( ) ( ( , ;0), ( , , ) ( , ;0))

HL v y x T y x T v y x T

. (2.2)

Тогда очевидно:

1

2

( 2, 2)( ) ( , ) 2 ( ) ( , ;0)

HJ v v v L v y x T

, (2.3)

где ( , )u v есть непрерывная симметричная билинейная форма, удовлетворяющая условиям

2

1 2( , ) ( , ), ( , ) , min , ,

( , ) непрерывно по , ,

u v v u v v v

u v u v

(2.4)

а ( )L v — линейная непрерывная форма. Отсюда следует следующая теорема [6].

Теорема 2.1. Задача (1.1)–(1.5) имеет единственное решение 1 2 ( ), ( )u t u t .

Теперь получим условия оптимальности управлений 1 2 ( ), ( )u t u t .

В силу дифференцируемости по Гато функционала (1.5) получим ( ), 0vJ u v u для gv U

или

2 2

2 2

[ ( , ; ) ( )] ( , ; )( ) [ ( , ; ) ( )] ( , ; )( )v x xvy x T u x y x T u v u dx y x T u x y x T u v u dx

2

1 0

( ) [ ( ) ( )] 0T

i i i ii

u t v t u t dt

(2.5)

для gv U , где u — оптимальное управление; ( )vJ u — производная Гато от функционала (1.5).

Теперь запишем краевую задачу (1.1)–(1.3) и ее решение в операторном виде:

0

1

2

( , )

( )( )

( )

( )

f x t

y xAy v F

v t

v t

; 1( )y v A F ,

где 2,1( ) | ( )D A y y H Q , а также другой операторный вид задачи (1.1) — (1.3):

11 1

2

( )( )

( )

v tA y v F

v t

, если 1( ) | ( ), (1.1) (1.2)D A y y D A .

Таким образом, получаем 1 11 1 1( , ; ) ( )( , )y x t v A F A v x t ; 1

1A линейно, так как y линейно зависит

от v , а 1A — непрерывно обратимый оператор. Проведем следующие преобразования:

11( , ; ) ( )( , )y x T v A v x T ,

1 1 11 1 1( , ; ) ( ) ( ( ))( , ) ( )( , ) ( )( , ) ( , ; ) ( , ; )vy x T u v u A v u x T A v x T A u x T y x T v y x T u ;

11( , ; ) ( ) ( , )x xy x T v A v x T ,

1 1 11 1 1( , ; ) ( ) ( ( )) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ; ) ( , ; )xv x x x x xy x T u v u A v u x T A v x T A u x T y x T v y x T u .

50

Подставляя полученные соотношения в неравенство (2.5), перепишем его в виде:

2 2

2 2

[ ( , ; ) ( )] [ ( , ; ) ( , ; )] [ ( , ; ) ( )] [ ( , ; ) ( , ; )]x x xy x T u x y x T v y x T u dx y x T u x y x T v y x T u dx

2

1 0

( ) [ ( ) ( )] 0 дляT

i i i i gi

u t v t u t dt v U

. (2.6)

Неравенство (2.6) можно представить в виде:

1

2

( 2, 2)1 0

( , ; ) ( ), ( , ; ) ( , ; ) ( ) [ ( ) ( )] 0, дляT

i i i i gHi

y x T u x y x T v y x T u u t v t u t dt v U

. (2.7)

3. Разрешимость сопряженной граничной задачи и условия оптимальности. Теперь опреде-лим сопряженное состояние ( )p u как решение краевой задачи

22

22

( ) ( )( ) ( , , ) в

p u p ux x p t u d Q

t x

, (3.1)

( 2, ; ) ( 2, ; ) 0, (0, )p t u p t u t T , (3.2)

( , ; ) ( , ; ) ( ), ( 2, 2)p x T u p x T u x x . (3.3)

Справедлива Теорема 3.1. Начально-краевая задача (3.1)–(3.3) имеет единственное решение ( )p u , удовле-

творяющее интегральному тождеству

2 22

20 2 2

( , ) ( , )( , ; ) ( , ) [ ( , ; ) ( )] ( , ; )

T x t x tp x t u x t dxdt y x T u x x T u dx

t x

(3.4)

для ( , ) (0, )x t Y T и ( ,0) 0x , а также условию

( , ; ) 0p x T u , (3.5)

где u — оптимальное управление. Доказательство этой теоремы будет дано ниже. Умножим равенство (3.1) (при v u ) скалярно на ( ) ( )y v y u и проинтегрируем от 0 до T :

0 0

( ), ( ) ( ) ( ), ( ( ) ( )) ( ( , ; ) ( ), ( , ; ) ( , ; ))

T Tp uy v y u dt p u y v y u dt y x T u x y x T v y x T u

t t

;

22 2

2 20 0 2

( ) ( ), ( ) ( ) [ ( ) ( )]

T Tp u p uy v y u dt y v y u dxdt

x x

2

2

20 0 2

( ) ( )[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

T T

x x

p u p uy v y u dt y v y u dxdt

x x

2

2 2 1 1

0 0 0 2

( 2, ; ) ( 2, ; )[ ] [ ] ( ) [ ( ) ( )]

T T T

xx xx

p t u p t uv u dt v u dt p u y v y u dxdt

x x

;

2 2 2

0 2 0 2 2

( ) ( , ; ) , ( ) ( ) ( ) ( , ; ) [ ( , ; ) ( , ; )]T T

x x p t u d y v y u dt x x p t u d y x t v y x t u dxdt

2 2

0 2 2

( ) ( , ; ) [ ( , ; ) ( , ; )]T

x p t u dx y t v y t u d dt

2 2

0 2 2

( , ; ) ( )[ ( , ; ) ( , ; )]T

p x t u x y t v y t u d dx dt

2

0 2 0

( , ; )[ ( , ; ) ( , ; )] ( ( , ; ) , [ ( , ; ) ( , ; )])T T

p x t u y x t v y x t u dx dt p x t u y x t v y x t u dt

51

и, сложив полученные соотношения, получаем:

2

20

( ), ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) [ ( , ; ) ( , ; )] ( ( , ; ) ( )T

p u y v y u y v y u y x t v y x t u dt y x T u xt x

,

2 2 1 1

0 0

( 2, ; ) ( 2, ; )( , ; ) ( , ; )) [ ] [ ] 0

T Tp t u p t uy x T v y x T u v u dt v u dt

x x

или

1 1

2 22 20

( ) ( )( ( , ; ) ( ), ( , ; ) ( , ; )) , ,

T

x x

v up u p uy x T u x y x T v y x T u dt

v ux x

.

Следовательно, неравенство (2.7) можно переписать в следующем виде:

1 11 1 2 2

2 22 20

( ) ( ), , 0

T

x x

v up u p uu u dt

v ux x

(3.6)

для gv U и тем самым доказана

Теорема 3.2. Если выполнены условия

1 2

110 0 0

( , ) ( ),

( ) ( ) ( ,0) ( / 2, / 2)

t xxf f w w w x t L Q

y x y x w x H

и (2.4), то оптимальное управление gu U удовлетворяет соотношениям (1.1)–(1.3), (3.1)–(3.3) и

вариационному неравенству (3.6). Доказательство теоремы 3.1. Из теоремы 1.2.1 [4] следует, что отображение

2

2

( , ) ( , )( , )

x t x tx t

t x

определяет гомеоморфизм 2(0, ) (0, )Y T L T . Так как 2L( ; (0, ))I U L T , то имеет место гомеомор-

физм (0, )Y T U . С другой стороны,

2

2

( ) [ ( , ; ) ( )] ( , ; )y x T u x x T u dx

есть линейная непрерывная форма над (0, )Y T . Поэтому по теореме Рисса [7] существует единствен-

ный элемент 2( ) ( )p u L Q , который удовлетворяет интегральному тождеству (3.4) и условию (3.5). Теорема 3.1 доказана.

Замечание 3.1. Если 2 2(0, ) (0, )gU U L T L T , т.е. множество допустимых управлений совпа-

дает со всем пространством U , то из (3.6) получаем

11 2

1 ( )( )

x

p uu t

x

, 22 2

1 ( )( )

x

p uu t

x

. (3.7)

В общем случае исследование разрешимости условий оптимальности (1.1)–(1.3), (3.1)–(3.3), (3.7) представляет определенные трудности. Возникает нелинейная краевая задача для интегро-дифференциального уравнения типа Риккати. Здесь исследуется случай, когда gU U и неравенство

(3.6) эквивалентно (3.7). 4. Расщепление соотношений условий оптимальности с помощью преобразования Рикка-

ти. Далее, используя (3.7), начально-краевые задачи (1.1)–(1.3), (3.1)–(3.3) можно переписать в виде:

2

2( , )

y yy x t f

t x

, (4.1)

22

22

( ) ( , , )p p

x x p t u dt x

, (4.2)

0( ,0) ( )y x y x , 21 2

1 ( )|x

x

p uy

x

, 22 2

1 ( )|x

x

p uy

x

. (4.3)

2 2| | 0p p , ( , ; ) ( , ; ) ( )p x T u y x T u x , (0, )y Y T , 2 ( )p L Q .

52

Далее введем следующее обозначение:

2

2

( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , )p P t y r t P x t y t d r x t

. (4.4)

Продифференцируем формально это тождество, используя общее обозначение dX dt X , по-сле, подставляя результат в (3.1), получаем: * 0P y Py r A p . Затем, используя уравнение (1.1), находим: *( ) 0P y P Ay f r A p . Заменим здесь p по формуле (4.4) и получаем

*( ) ( ( ) ( )) 0P PA y Pf r A P t y r t или * *( ) ( ) 0P PA A P y r A r Pf . (4.5)

Из (4.5), так как y произвольно, следует, что соотношения (1.1) и (3.1) соответственно эквива-лентны равенствам

* 0P

PA A Pt

, ( )P T I , (4.6)

* 0r

A r Pft

, ( )r T , (4.7)

где ( )P t — оператор для почти всех (0, )t T ; r — функция;

22

22

( )A x x dx

,

22

*2

2

( )A x x dx

.

Следуя [6] (при определенных дополнительных условиях), можно обосновать преобразование Риккати и показать, что оператор 2

2( ) L( ( 2, 2); ( ))P t H L Q для почти всех (0, )t T , * ( ) ( )P t P t , функция 1 2

2 ( ) (0, ; ( 2, 2))r L Q H T H являются решениями задач (4.4)–(4.5). Эти условия, используя теорему Шварца о ядрах [8], можно переписать в виде:

2 22 2

2 22 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( ) ( , , ) ( ) ( , , ) 0,

P x t P x t P x tx x P t d P x t d

t x

2 22

22 2

( , ) ( , )( ) ( , ) ( , ) ( , , ) 0,

r x t r x tx x r t d f t P x t d

t x

( , , ) ( , , )P x t P x t ; ( , 2, ) ( , 2, ) 0P x t P x t ; ( 2, , ) ( 2, , ) 0P t P t ;

( , , ) ( )P x T x , ( , ) ( 2, 2) ( 2, 2)x ;

( 2, ) ( 2, ) 0r t r t ; ( , ) ( )r x T x , ( 2, 2)x . (4.8) Согласно (4.4) оптимальное управление (3.7) выражается решением задачи (4.8) следующим об-

разом:

1 21

1( ) [ ] |x x xu t P y r

, 2 2

2

1( ) [ ] |x x xu t P y r

, (4.9)

в форме так называемого синтеза обратной связи (позиционное управление), т.е. в зависимости от состояния системы y вырабатывается соответствующее ему управление u . Легко видеть, что управ-ление (4.9) является допустимым.

Таким образом, исходная задача оптимального управления (1.1)–(1.5) свелась к нахождению ре-шений начально-краевых задач (4.8), а также (4.1) и (4.3).

53


1 Нахушев А.М. // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19. — 1. — С. 86–94. 2 Ахмедов Ф.Ш. // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 283. — 4. — С. 787–791. 3 Дженалиев М.Т. Оптимальное управление линейными нагруженными параболическими уравнениями // Дифферен-

циальные уравнения. — 1989. — Т. 25. — 4. — С. 641–651. 4 Иманбердиев К.Б. О корректности задачи Коши-Дирихле для нагруженного уравнения теплопроводности с гранич-

ными управлениями // Вестн. КарГУ. Сер. Математика. — 2009. — 3(55). — С. 19–27. 5 Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с. 6 Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.:

Мир, 1972. 7 Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.

— М., 1967. 8 Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. I. Теория распределений

и анализ Фурье. — М., 1986.

К.Б.Иманбердиев

Шекаралық басқаруымен берілген жылуөткізгіштіктің жүктелген теңдеуі үшін тиімді басқару есебінің шешілгіштігі туралы

Мақалада шекаралық басқарулары бар жылуөткізгіштік теңдеуі үшін тиімді басқару есебінің шешімділігі мəселелері зерттелген. Тиімді басқару есебінің шешімі бар екендігі көрсетілген. Түйіндес шекаралық есептің шешімі арқылы тиімділік шарттары табылған. Есепті шешу мақсатында Риккати түрлендіруі көмегімен тиімділік шарттарының қатынастарын бөліктеу əдісі қолданылған.

K.B.Imanberdiev

On the solubility of optimal control problems for the loaded heat equation with boundary controls

In the present paper are investigated questions of resolvability of a problem of optimality control for the loaded equation of heat-conductivity with boundary controls. It is shown, that of exists a solution of a problem of optimality control. The optimality conditions are stated with help of the solution of the adjoint boundary value problem. For the problem decision the method splitting of parities of con-ditions of optimality by means of transformation Riccati is used.

54

УДК 519.683.85

С.А.Искаков


Метод фиктивных областей для дифференциального уравнения четвертого порядка

В статье приведены и доказаны двусторонние оценки для решения бигармонического уравнения. Использовано разложение приближенного решения по степеням малого параметра. Данные дву-сторонние оценки ведут к оценке точного решения, как сверху, как и снизу. Использование экст-раполяции Ричардсона дает более высокий порядок точности приближенного решения.

Ключевые слова: поперечный изгиб, тонкая пластина, метод фиктивных областей, абсолютная сходимость, бигармоническое уравнение.

Математическая задача о поперечном изгибе тонкой пластины приводит к решению уравнения

)(2 xfauuАu , 2RDx , (1) с краевым условием на D : либо

00 uВ , 01

n

uuB , (2)

или

01

2

2

2

2

2

n

u

s

u

n

uuB , (3)

012

3

sn

u

su

nuB , (4)

здесь )(xuu — поперечный изгиб серединной плоскости пластины; )(xff — интенсивность внеш-

ней нагрузки; n

— производная по внутренней нормальной к ; s

обозначает дифференцирование по

длине дуги ; )1,0( — постоянная Пуассона; )(x — радиус кривизны в точке x . Краевые условия (3), (4) для уравнения (1) называются естественными краевыми условиями, а

условия (2), (3) — главными краевыми условиями. Для уравнения рассмотрим следующие краевые задачи: задача І — задача (1), (2), (4) — задача

об изгибе тонкой пластины, шарнирно закрепленной; задача II — задача (1), (3), (4) — задача об из-гибе тонкой пластины со свободной границей.

Будем считать, что функция )(xa в уравнения (1) ограничена, положительна 0)( 0 axa .

В дальнейшем будем использовать формулу преобразования D

uvdx2 следующим образом. В

формуле интегрирования по частям

D

vdxnx

uxn

xx

uxn

x

uuvdxI 23

2

3

22

21

3

131

3

,cos,cos2,cos

D

dxx

v

x

u

x

v

xx

u

x

v

x

u

232

3

2221

3

131

3

2 ,

где n — нормаль к границе. Поверхностный интеграл добавлением и вычитанием в подынтеграль-

ном выражении слагаемого 121

3

,cos xnxx

u

преобразуем к виду

vdxx

uu

n 21

2

,

55

здесь

— производная по касательной к . При этом использовались соотношения 21 n , 12 n

для компонент нормального и касательного векторов к . Интегрируем по частям обычный интеграл по D .

D

dxx

v

x

u

x

v

xx

u

x

v

x

u

232

3

2221

3

131

3

2

dxnx

v

x

uxn

x

v

xx

uxn

x

v

x

u2

222

2

1221

2

11

21

2

,cos,cos2,cos

D

dxx

v

x

u

xx

v

xx

u

x

v

x

u.2

22

2

22

2

21

2

21

2

21

2

21

2

Предполагая, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая, обозначим через внут-

реннюю приграничную полосу шириной . Считаем достаточно малой величиной, а внутреннюю границу обозначим через s .

В введем приграничную систему координат ns, , где s — длина дуги между некоторой

точкой на S — началом координат и основанием нормали, опущенной из данной точки на S , а n — расстояние от точки до кривой s . При этом на s задается направление отсчета дуг.

Пусть теперь sgxn 1 , sgx 22 параметрическое представление, тогда координаты точки из

в системе 21, xx и ns, связаны так:

nsnsgx 111 ,

nsnsgx 222 ,

где 1n , 2n — координаты внутренней нормали n к . После элементарных выкладок получим

D

uvdx

D

dxx

v

x

u

xx

v

xx

u

x

v

x

u22

2

22

2

21

2

21

2

21

2

21

2

2

n

v

n

uk

s

uuv

s

u

sk

n

u

sn

u 22

,

где sk — кривизна кривой . Укажем для задачи I интегральное тождество, определяющее ее обобщенное решение.

Обобщенным решением задачи I является функция DWu

22 , удовлетворяющая интегральному

тождеству ,, fub

для произвольной функции DWx

22 , где

DD

dxadxxx

u

xxxx

u

xx

uub

22

2

22

2

21

2

21

2

21

2

21

2

2, .

Далее, в соответствии с методом фиктивных областей [1–3] дополним область D некоторой об-ластью 1D до области 10 DDD с границей 0DГ и рассмотрим вспомогательную задачу

fauu , Dx ,

0

ua

u , 1Dx , (5)

0 Гu , 02 ГuB .

На кривой разрыва коэффициентов ставим условия согласования:

uBuB 00 , uBuB 11 , uBuB 22 uBuB 33 . (6)

56

Введем обозначение uuw .

Теорема 1. Пусть DWf 22 , 0

22 DWu

, DWu

22 . Тогда имеет место оценка

2/12

2cuu

DW, (7)

где с — постоянная, не зависит от , а 0 малый параметр. Доказательство. Для w имеем

0,,,,,1111

DDDDD wu

awwawuawubwwb , (8)

где iD

D uvdxvu1

, , 1,0i ,

D

D dxx

v

x

u

xx

v

xx

u

x

v

x

uvub

22

2

22

2

21

2

21

2

21

2

21

2

1 2,

В D

dxxx

v

xx

u

x

v

x

udx

xx

v

xx

u

x

v

x

u

21

2

21

2

21

2

22

2

21

2

21

2

22

2

21

2

.

В формуле (8), применяя формулу интегрирования по частям, неравенство Коши, неравенство Фридрихса, получим:

2

1

2

12/1 1

1121

22

2

ccwwcn

wDWDW

L

и приходим к оценке (7). Далее переходим к получению двусторонних оценок для задачи І. Рассмотрим следующую

вспомогательную задачу:

3,1,

,

,

,

22

00

jjuBQ

uB

uBuB

uBuB

DxfАu

jj

0

,0

,0

2

0

1

Г

Г

uB

uB

DxAuQ

(9)

Здесь Q — параметр, принимающий значения 1 и –1. Условия согласования примут вид

uBuB 00 , uB

QuB 11 ,

uBuB 22 , uB

QuB 33 . (10)

Решения задачи (5), (6) будем искать в виде рядов

0

1k

kk vS , Dx ,

1

2k

kk yS , 1Dx . (11)

Для определения членов kv , ky подставим (7) в уравнения (5). Приравнивая выражения при

одинаковых степенях , получим систему задач для нахождения kv , ky .

0

,0

,

02

00

0

vB

vB

DxfAv

.3,1,

,0

,0

,0

01

10

12

11

jjvByQB

yB

yB

DxAy

jj

Г

Г

(12)

57

для 1k

2,0,

,0

iiyBvB

DxAv

kiki

k

2,0,0

3,1,

,0

1

1

1

iiyB

jjvByQB

DxAy

Гki

kjkj

k

. (13)

Теорема 2. Существует 0 такое, что для всех 00 ряды 1S , 2S , определенные формулой

(11), абсолютно сходятся в 12

22

2 , DWDW соответственно, и имеет место равенство

,,1 DxSu ,2Su ,1Dx (14)

где u — решение задачи (5).

Доказательство. Из теоремы эллиптических уравнений известно, что при сделанных выше предположениях уравнений из системы (12), (13) имеют единственные решения и для них справедли-вы оценки, доставляемые теорией неоднородных граничных задач. Отсюда получим абсолютную

сходимость рядов 21,SS .

Далее умножим уравнения из системы (12), (13) относительно kv , ky на k и просуммируем по

всем k . Учитывая ограниченность оператора A , имеем, что полученная задача относительно 1S , 2S

совпадает с (5). Поэтому при всех 0 имеют место равенства (14).

Рассмотрим вспомогательную задачу ІІ.

.0

,0

,,

22

3

uuB

uuB

DxfAu

(15)

Обобщенным решением задачи (15) называется функция

DWxu 22 ,

удовлетворяющая интегральному тождеству

,

1, fd

nn

uuub (16)

для произвольной функции DW 22 .

Теорема 3. Пусть DWf 22 , 0

22 DWu . Тогда справедлива оценка

cuuDW 2

2, (17)

где u — решение задачи II, u — решение задачи (15).

Доказательство. Обозначим uuw , тогда для w получим задачу

0Aw , w ,

n

w, (18)

где и таковы, что

cW 2

1

2,

c

L2.

По теореме устойчивости по граничным данным обобщенные решения бигармонического уравнения:

12 2

2 2 2W D L Ww c

,

откуда и получаем оценку (17).

58

Получим двусторонние оценки для задачи II по методу фиктивных областей [4]

,3,2,

,1,0,

,,

juBuB

iuBuBQ

DxfAu

jj

ii

.3,2,0

,,0 1

juB

DxAuQ

Гj

(19)

Решение задачи (19) будем искать в виде рядов

0

1k

kk vS , Dx ,

1

2k

kk yS , 1Dx , (20)

Для определения членов kv , ky подставим (20) в уравнения (19). Приравнивая выражения при

одинаковых степенях , получим систему задач для нахождения kv , ky .

,3,2,0

,,

0

0

ivB

DxfAv

i

1 1

1 0

1

0, ,

, 0,1,

0, 2,3,

j j

i Г

Ay x D

QB y B v j

B y i

для 1k (21)

,3,2,

,,0

iyBvB

DxAv

kiki

k

.3,2,0

,1,0,

,,0

1

1

11

iyB

jjvByQB

DxAy

Гki

kjkj

k

Теорема 4. Существует 0 , что для всех 00 ряды 1S , 2S , определенные формулой (20),

абсолютно сходятся в DW 22 , 1

22 DW соответственно, и имеет место равенство

1Su , Dx ; 2Su , 1Dx , (22)

где u — решения задачи (15). Доказательство. Почти полностью повторяет доказательство теоремы 2.

Обозначим через u решение вспомогательной задачи (15) с параметром 1Q , для которого в

силу теоремы 4 имеют место следующие разложения:

0kk

k vu , Dx ;

1kk

k yu , 1Dx , (23)

где kk yv , — решения из систем (21) при 1Q .

Точно так же для решения u задачи (15) при 1Q справедливы равенства

0kk

k vu , Dx ;

1kk

k yu , 1Dx . (24)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

kk vv , если k — четное; kk vv , если k — нечетное, (25)

Используя (25), перепишем разложения (23), (24) в исходной области D в следующем виде:

21

ovuu ; 21

ovuu , (26) где u — решение задачи II. Поскольку главные члены погрешностей в разложениях (26) имеют раз-ные знаки, то справедлива

Теорема 5. Пусть DLf 2 , u — решение задачи II,

uu , — решение задачи (15), соответ-

ствующие выбору 1Q и 1Q . Тогда для всех Dx и 0 имеют место асимптотические поточечные двусторонние неравенства

22 ,max,min

oxuxuxuxuxuо

и оценки точности

cxuxu

Dxmax . (27)

59

Точность получаемых двусторонних оценок в данном случае ограничена оценкой (27). Для того

чтобы получить двусторонние оценки решения xu с заданной точностью s , применим идею экст-

раполяции Ричардсона. Построим экстраполированные решения sU , являющиеся линейной комби-

нацией k

u с некоторыми весами:

s

kks kuU

1

,

s

kks kuU

1

, (28)

kk

, sk ,...,1 ,

!!

1

ksk

k sks

k

(29)

и

s

kk

1

1 ,

s

kjk

k1

0 , 1,...,1 sj . Тогда

11

ss

ss ovcuU ,

где

s

j

s

j jc

11

1.

Аналогично,

11

ss

ss ovcuU .

Пусть s — нечетные, тогда ss vv и, значит,

11

ss

ss ovcuU , (30)

11

ss

ss ovcuU .

Теорема 6. Пусть

DLf 2 , u — решение задачи II,

uu , — решение задачи (14), соответ-

ствующие выбору 1Q и 1Q . Тогда для всех Dx и 00 имеют место асимптотические

поточечные двусторонние неравенства

11 ,max,min sssss

s oxUxUxuxUxUо

и оценки близости

ss

DxcxUxu

max , 1

2

1max s

ss cxUxUxu .

Доказательство. С помощью представления (30) доказывается теорема 6.


1 Коновалов А.Н. Об одном варианте метода фиктивных областей // Некоторые проблемы вычислительной и приклад-ной математики. — Новосибирск, 1975. — С. 191–199.

2 Букенов М.М. Малые параметры в алгоритмах задач теории упругости: Дис. … канд. физ.-мат. наук. — Новосибирск, 1982.

3 Смагулов Ш., Орунханов М.К. Приближенный метод решения уравнений гидродинамики в многосвязных областях // Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 260. — 5. — С. 1078–1082.

4 Вабищевич Г.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. — М.: Изд. МГУ, 1991.

60

С.А.Ысқақов

Төртінші ретті дифференциалдық теңдеу үшін жалған облыстағы əдіс

Төртінші ретті теңдеудің шешімі үшін фиктивті облыстар əдісімен екі жақты бағалар келтірілген жəне негізделген. Жуық шешімнің дəрежелік қатарға жеткілікті аз параметрі бойынша жіктелуі қолданылады. Алынған екі жақты бағалар арқылы дəл шешімді жоғарыдан да, төменнен де бағалауға болады. Ричардсонның экстраполяциясын қолдануы жуық шешімнің дəлдігінің ретін жоғарлатады.

S.А.Yskakov

Method of fictitious domain for the differential equation of the fourth order

In the article bilateral estimations for the decision of the biharmonic equation are resulted and proved. Decomposition of the approached decision in degree a number by small parameter is used. The taken mutual marks let to valuation exact solution as on the up and as on the down. Using Richardson`s ex-trapolation makes higher order exactlyes of approach solution.

УДК 517.988.68+517.968.22

К.Т.Искаков, Ж.О.Оралбекова


Дискретный аналог оптимизационного метода решения обратной задачи для параболического уравнения

Рассмотрен метод конечных разностей для коэффициента обратной задачи для уравнения па-раболического типа. Получен градиент функционала в конечно-разностной области для задачи оптимизации.

Ключевые слова: дискретный аналог, оптимизационный метод, обратная задача, параболиче-ское уравнение, дифференциальный уровень, функционал.

§1. Постановка оптимизационной задачи на дифференциальном уровне

В области [0, ] [0, ]Q T L рассмотрим прямую задачу об определении функции ( , )u x t из соот-ношений: ( ) , 0 , 0t xxu u q x u x L t T , (1)

1(0, ) ( ), 0xu t t t T , (2)

( , ) 0, 0u L t t T , (3)

0( ,0) ( ), 0u x u x x L . (4) Пусть относительно решения прямой задачи (1)–(4) известна дополнительная информация вида:

(0, ) ( ), 0u t f t t T . (5) Обратная задача: По известной дополнительной информации (5) найти функции )(xq ,

)(;, xqtxu из соотношений (1)–(4).

Здесь и в дальнейшем выражение )(;, xqtxu обозначает особую зависимость функции ),( txu от коэффициента )(xq .

Пусть )(xp — приближенное решение обратной задачи. Рассмотрим функционал невязки

T

dttfptupJ0

2)();,0()( . (6)

61

Суть оптимизационного метода состоит в следующем: задаем начальное приближение )()0( xp , последующие приближения определяем из соотношений:

)()()1( )()( nn

nn pJxpxp , ,2,1,0n (7)

Здесь )(npJ — градиент функционала (6). Рассмотрим приращения )()( xpxp и );,();,( ptxupptxuu . Тогда приращение функционала )()( pJppJ имеет вид:

2

0 0

( ) ( ) 2 (0, ; ) ( ) (0, ) (0, )T T

J p p J p u t p f t u t dt u t dt .

По аналогии, как в работах [1, 2], получим формулу для вычисления градиента, который примет вид:

T

dttxtxupJ0

),(),()( , (8)

где ),( tx есть решение сопряженной задачи вида:

TtLxxpxxt 0,0,)( , (9) LxTx 0,0),( , (10)

TttL 0,0),( , (11)

Tttfptutx 0,)();,0(2),0( . (12) Приведем общую схему оптимизационного метода на дифференциальном уровне: 10. Задаем начальное приближение (0) ( )p x и решаем прямую задачу (1)–(4), полагая в ней

(0)( ) ( )q x p x , находим (0) (0)( , ; ( ))u x t p x .

20. Вычисляем значение функционала (6). Если он достиг минимума, то примем (0) ( )p x за при-ближенное решение обратной задачи, если нет, то далее.

30. Вычисляем краевое условие (12) и при )()( )0( xpxp , решаем задачу (9)–(12), получим ее

решение (0) (0)( , ; ( ))x t p x .

40. Вычисляем градиент функционала из (8), получим (0) ( )J p x .

50. По формуле (7) находим очередное приближение (1) ( )p x . 60. Вновь вычисляем значение функционала (6). Если он достиг минимума, то полагаем в качест-

ве приближенного решения функцию (1)( ) ( )p x p x , если нет, то, полагая )()( )1()0( xpxp , возвра-щаемся к пункту 30.

Замечание 1. При описании алгоритма оптимизационного метода на дифференциальном уровне, мы полагаем, что решение прямой и сопряженной задачи в классическом смысле существует единст-венно и устойчиво. Также полагаем, что для решения прямой и сопряженной задач применяются классические методы их решения.

Данный алгоритм решения оптимизационной задачи будет использоваться нами на дискретном уровне.

§2. Дискретный аналог оптимизационного метода

Пусть ( )ip x — приближенное решение обратной задачи. Аппроксимируем задачу (1)–(4) следующей разностной схемой:

hji

jjxxt txpyyy ),(,11 , (13)

TMtty jjjx 0),(10, , (14)

TMty jjN 0,0 , (15)

hiii xxuy ),(00 . (16)

Здесь hh — сеточная аппроксимация области ],0[],0[ TLQ ;

/1,,0, NhNiihxih ; /,,0, MTMjjt j ; ),( ji txy — сеточная аппрок-

симация функции ),( txu .

62

Пусть относительно разностной прямой задачи (13)–(16) известна дополнительная информация:

.0),(0 Mttfy jjj (17)

Замечание 2. Можно использовать и другую аппроксимацию задачи (1)–(4), используя классиче-скую теорию разностных схем [3] и использовать приведенную ниже схему исследования. Но для простоты рассуждения мы остановимся на приведенной разностной схеме.

Рассмотрим один из вариантов дискретного аналога функционала (6), например вида

2

01

[ ]M

j ji

j

J p y p f

. (18)

Зададим приращение ii pp , и j j ji i i i i iy y p p y p .

В дальнейшем будем использовать обозначение iji py , показывающее особую зависимость се-

точной функции jiy от искомого коэффициента ip .

Относительно приращения jiy нетрудно получить следующую разностную задачу:

hji

jjjxxt txyppyyy ),(,111 , (19)

Ttty jjjx 0,0),0(1 , (20)

TttLy jjj 0,0),(1 , (21)

hii xxy ,0)0,( . (22) Перейдем к выводу разностного аналога градиента для функционала (18).

Умножим обе части разностного соотношения (19) на сеточную функцию jih и затем просум-

мируем по j от 1 до 1M и по индексу i от 1 до 1N , имеем:

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1

( ) ( )M N M N M N

j j j j j j jt i xx i i i i i ii

j i j i j i

h y h y h p y y p

. (23)

Применим к последнему разностный аналог интегрирования по частям. Рассматривая левые и правые части последнего соотношения в отдельности, при этом обозначая их через 1S , 2S , 3S , полу-чим цепочку соотношений:

ji

N

i

M

j

ji

ji

M

j

ji

ji

N

i

yhyy

hS

1

1

1

1

11

1

11

11 .

Здесь и далее применим разностные аналоги интегрирования по частям:

1 0 0

0 1

( , ) , ,

( , ) , ,

N N

N N

y v v y y v y v

y v v y y v y v

(24)

где iii yyy 1 ; 1 iii yyy ;

1

1

),(N

iiivyvy ;

1

,N

i ii

y v y v

.

Тогда, используя (24), получим, что

1

0 11

1

( , )N

j j j M Mi i i i i i

i

S h y y y

,

1 1

1 12

1 1

M Nj j j

i i i i ij i

S h p y y p

,

1

1

11

13

N

i

ji

jxx

M

j

yhS .

Займемся преобразованием соотношения 3S правой части уравнения (23), при этом запишем ее в виде:

1 1 1 11 1 1 1

1 11 13

1 1 0 1

1j j j jM N M Nj j j j ji i i ii i i i i

j i j i

y y y yS y y

h h h

.

Используя разностные аналоги интегрирования по частям (25), получим:

1

3 0 1 1 0 01

, ,M

j j j ji i N N i i N Ni i

j

S y y y y y y

.

63

Раскрыв скалярные произведения, имеем:

1 1

1 13 0 1 1 0 0

1 1 1

M N Nj j j j

i i i i N N N Nj i i

S y y y y y y

.

Далее, раскрыв суммы и объединяя их вновь, получим:

1 1

1 1 1 1 1 13 0 1 1 0 0 1

1 1

( ) ( )M N

j j j j j j j j j j j j j ji i i N N N N N N N

j i

S y y y y y y

1 1

1 1 1 10 1 0 0 1 1

1 1

( ) ( )M N

j j j j j j j j j j j ji i i N N N N

j i

y y y y y

1 1 1 1 10 0 1 0 1 0 0j j j j j j j j j j

N N N Ny y y y y .

Учитывая соотношение 1S , 2S , 3S , запишем исходное уравнение (23) иначе:

1

0 1

1

( , )N

j j j M Mi i i i i i

i

h y y y

1 1

1 1 1 1 11 0 1 1 0 1 2 3

1 1

( )M N

j j j j j j j j j j ji i i N N N N

j i

y y y y y S S

. (25)

Введем в рассмотрение сопряженную задачу:

2,,1,,11 MMjp ji

jxxt , (26)

,,,1,0,0 NiMi (27)

1,,1,,01 MMjjN , (28)

1,0 02 , , 1, , 2j j j

x iy p f j M M . (29)

Далее, учитывая условия (20)–(22), а также (26)–(29), соотношение (25) примет вид:

1 1

0 1 10 0

1 2 2 1

2N M M N

j j j j ji i i i i i

i j j i

h p y y f y h p y

.

Таким образом, окончательно получим, что приращение функционала имеет вид:

M

j

N

iiii

ji

ji

N

ii pyhyphpJ

2

1

1

1011

1

)( ,

откуда градиент функционала

M

j

ji

jiii yypJ

2

110)( . (30)

Приведем общую схему оптимизационного метода на дискретном уровне: 10. Задаем начальное приближение (0) ( )ip x и решаем прямую задачу (13)–(16), находим

(0) (0), ; ( )i j iy x t p x .

20. Вычисляем краевое условие (29), и при )()( )0(iii xpxp решая сопряженную задачу (26)–

(29), получим ее решение (0) (0), ; ( )i i j ix t p x .

30. Вычисляем градиент функционала по формуле (30).

40. По методу спуска (7) находим очередное приближение )()1(ixp .

50. Вычисляем значение функционала (18). Если он достиг минимума, то полагаем в качестве приближенного решения обратной задачи функцию (1)( ) ( )i ip x p x , если нет, то, полагая

(0) (1)( ) ( )ip x p x , возвращаемся к пункту 20.

Заключение

При численной реализации оптимизационного метода решения обратной коэффициентной задачи эффективным является дискретный подход, описанный в параграфе 2. Эффективность этого подхода для обратной коэффициентной задачи для уравнения гиперболического типа показана в работе [4].

64


1 Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. — 400 с. 2 Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. — Новоси-

бирск: Изд-во НГУ, 2001. — 316 с. 3 Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. — 656 с. 4 Карчевский А.Л. Схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом // Сиб. элек-

тронные математические известия. — Т. 5. — С. 609–619.

Қ.Т.Ысқақов, Ж.О.Оралбекова

Параболалық теңдеу үшін кері есепті шешуде тиімділеу əдісінің дискреттік ұқсастығы

Параболалық типті теңдеулер үшін коэффициентті кері есептерді шешудің дискретті аналогы қарастырылды. Оңтайландыру есебі үшін ақырлы-айырымдық деңгейде функционалдың градиентін есептеуге арналған формулалар алынды.

K.Т.Yskakov, Zh.О.Oralbekova

Discrete analogue of the optimization methods of inverse problem’s solution for parabolic equation

The finite-difference method for the coefficient inverse problem for parabolic type equation is con-sidered. The gradient of the functional in finite-difference domain for optimization problem is ob-tained.

УДК 517.95

Б.Е.Кангужин1, А.А.Анияров2, Г.Е.Берикханова2

1Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы; 2Семипалатинский государственный педагогический институт

Конечномерные возмущения задачи Дирихле с многоточечными краевыми условиями

В статье для уравнения Пуассона в круге построено конечномерное возмущение Дирихле, ко-торое при этом корректно решено. С помощью теории расширений операторов в этой работе изучена разрешимость краевых задач в ограниченной области.

Ключевые слова: конечномерные возмущения, задача Дирихле, многоточечные краевые усло-вия, функция Грина, оператор, Лаплас.

В работе В.А.Садовничего и В.А.Любишкина [1] исследованы спектральные свойства конечно-

мерных возмущений уравнений с частными производными. Б.С.Павлов [2] исследовал уравнения с частными производными во всем пространстве. В дальнейшем нам понадобится известное утвержде-ние.

Теорема 1 [3]. Решение задачи Дирихле для неоднородного гармонического уравнения в круге 2 2 2, , ,W x y f x y x y r задается формулой

2 2 2

, , , , ,r

W x y G x y f d d

,

с граничным условием 2 2 2 0

x y rW

,

65

где

2 22 2

2 2 2 22 2 2 2 2

, , , ln ln ,G x y d x y d x r y rr

d — некоторая константа, конкретный вид которой не играет роли. Обсуждение теоремы 1. Теорема 1 утверждает, что функция Грина задачи Дирихле для круга

выписывается в явном виде. Заметим также, что функция влияния , , ,G x y принимает только от-

рицательные значения при любых ,x y и , , поскольку задаче Дирихле для гармонического

уравнения соответствует отрицательно определенный оператор. Функция , , ,G x y на границе удовлетворяет граничному условию Дирихле , , ,

, , , 0x y

G x y

. (1)

Пусть ,h x y — произвольная, дважды дифференцируемая в круге функция. Введем новую функцию по формуле

,, , , , , ,I x y G x y h d d

где 2 2

, 2 2

— оператор Лапласа по переменным , .

Ясно, что функция ,I x y обладает свойствами:

, ,, , , ,x y x yI x y h x y x y , (2)

, 0I x y . (3)

С другой стороны, вспоминая формулу Грина ,v u

uvdxdy u vdxdy u v dsn n

функ-

цию ,I x y можно переписать в виде:

, ,, , , , , , , , ,I x y G x y h d d G x y h d d

,, ,

, , ,, , , ,

G x yhG x y h ds

n n

, (4)

где ,n — внешняя нормаль к окружности в точке , . Заметим, что , , , 0G x y при

, , поскольку , , , , , ,G x y G x y и верно (1). Точно так же, в силу симметрии функ-

ции Грина , , ,G x y относительно пар ,x y и , имеем равенство

, , , , , , , ,G x y x y (5)

где , , ,x y — дельта-функция Дирака в области .

Из (4) и (5) следует равенство

,,

, , ,, , ,

G x yI x y h x y h ds

n

. (6)

Удобно вести обозначение , , , .M x y h x y I x y Подставим правую часть (6) в соотноше-

ние (5). В результате для любой гладкой функции ,h x y получим соотношение

, , 0x yM x y . (7)

Теперь используем граничное условие (3). Подставим (6) в граничное условие (3), тогда для

произвольной гладкой функции ,h x y имеем граничное соотношение

0h M . (8)

66

В силу произвольности ,h x y при , из соотношения (8) убеждаемся в справедливости

следующего свойства функции Грина:

, , , ,

, , , , , , ,x y

G x y x yn

(9)

где , , ,x y — дельта-функция Дирака на границе .

По-видимому, граничное соотношение (9) для функции Грина , , ,G x y известно, но авторы

не смогли найти точные координаты для ссылок. Поэтому сформулируем необходимые для дальней-шего результаты в виде отдельного утверждения

Теорема 2. Функция Грина задачи Дирихле для неоднородного гармонического уравнения в круге обладает свойствами:

1) , , , , ,G P Q G Q P Q P 2) , 0, , ,G P Q Q P

,3) , , , , ,x yG Q P P Q Q P

4) ( , ) 0, , ,G P Q P Q 5) при ,P Q справедливо соотношение (9).

Теперь данную задачу рассмотрим в следующей области. Пусть 0 0\ M — область про-

колотого круга, где 0M — некоторая внутренняя точка круга . Возьмем произвольную функцию

,h x y из пространства 22 0W и введем функцию по формуле

,0

, lim , , , ,I x y G x y h d d

,

где 0\ ;M 0 0 0 0 0, : , M x x y y , 0 0,x y — координаты

точки 0M .

Преобразуем функцию ,I x y аналогично формулам (2)–(6), в результате имеем

,,

, , ,, , ,


n

(10)

0

,0, ,

, , , ,lim , , , ,

M

h G x yG x y h ds

n n

при 0,x y M . Предполагаем также, что относительно ,h в окрестности точки 0 0,x y выпол-

нены условия:

0 0 0

0 00 0

0

, ,sup sup , ,

y y

h x h xh x h x C

(11)

0 0 0

0 00 0

0

, ,sup sup , ,

x x

h y h yh y h y C

(12)

и существуют пределы

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

h x h x h y h yd d

;

0

0

0 00

lim , ,y

y

h x h x d

;

0

0

0 00

lim , ,x

x

h y h y d

.

67

Тогда выпишем предел.

0

,0, ,

, , , ,lim , , , ,

M

h G x yG x y h ds

n n

0

0

0 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

y

y

G x y x G x y x y h xd

0

0

0 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

y

y

G x y x y G x y x h xd

0

0

0 00 0

0

, ,, , , lim

y

y

h x h xG x y x y d

0

0

0 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

x

x

G x y x y G x y y h yd

0

0

0 0 0 0

0

, , , , , , ,lim

x

x

G x y y G x y x y h yd

0

0

0 00 0

0

, ,, , , lim

x

x

h y h yG x y x y d

0

0

0 0 0

00

, , , , , ,

lim ,y

y

G x y x y G x y x

h x d

0

0

0 0 0

00

, , , , , ,

lim ,y

y

G x y x G x y x y

h x d

0

0

0 00 0

0

, , ,lim , ,

y

y

G x y x yh x h x d

0

0

0 0 0

00

, , , , , ,

lim ,x

x

G x y y G x y x y

h y d

0

0

0 0 0

00

, , , , , ,

lim ,x

x

G x y x y G x y y

h y d

0

0

0 00 0

0

, , ,lim , , .

x

x

G x y x yh y h y d

Поскольку по предположению для функции ,h существует 0 0 и 0C такие, что вы-

полняются соотношения (11), (12), то справедливо предельное соотношение

0

,0, ,

, , , ,lim , , , ,

M

h G x yG x y h ds

n n

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , , ,


где числа , , были определены выше. Здесь учтено, что функция , , ,G x y при , ,x y

является достаточно гладкой функцией. Тогда получим

,,

, , ,, , ,


n

68

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,


.

Отсюда

,,

, , ,, , ,

G x yh x y I x y h ds

n

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,


.

Поэтому

,,

, , ,, , , , , ,

G x yW x y G x y f d d h ds

n

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,


. (13)

Формула (13) дает решение неоднородного уравнения Лапласа в проколотой области 0 .

Теорема 3. Краевая задача для неоднородного уравнения Лапласа в проколотой области 0

, ,W x y f x y (14)

с граничными условиями

, ,W x y h x y

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

W x y W x y W x y W x ydy dx

x x y y

(15)

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim ;

y x

y x

h x y h x y h x y h x ydy dx

x x y y

0 0

0 0

0 0 0 00 0


y y

W x y W x y dy h x y h x y dy

0 0

0 0

0 0 0 00 0

lim , , lim , ,x x

x x

W x y W x y dx h x y h x y dx

при любой части f имеет единственное решение, и оно задается по формуле (13). Для доказательства теоремы 3 приведем следующие леммы. Лемма 1. Для любой непрерывно дифференцируемой функции ,F x y справедливы следующие

равенства:

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim 0;

y x

y x

F x y F x y F x y F x ydy dx

x x y y

(16)

0

0

0 00

lim , , 0;y

y

F x y F x y dy

(17)

0

0

0 00

lim , , 0.x

x

F x y F x y dx

(18)

Доказательство леммы 1. Так как справедливы следующие соотношения:

0 0

0

, ,lim 0;

F x y F x y

x x

0 0

0

, ,lim 0;

F x y F x y

y y

0 00lim , , 0;F x y F x y

69

0 00lim , , 0,F x y F x y

то очевидным образом вытекают требуемые соотношения. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Для функции 0 0, , ,G x y x y справедливы следующие равенства:

0

0

0 0 0 0 0 0

0

, , , , , ,lim

y

y

G x y x y G x y x ydy

x x

(19)

0

0

0 0 0 0 0 0, , , , , ,1;

x

x

G x y x y G x y x ydx

y y

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , , 0;y

y

G x y x y G x y x y dy

(20)

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , , 0.x

x

G x y x y G x y x y dx

(21)

Доказательство леммы 2. Проверим соотношение (19). Напомним, что

2 2

0 0 0 0, , , lnG x y x y d x x y y , а ее производная по x и по y соответственно будет

0 0 02 2

0 0

, , , 2G x y x y x xd

x x x y y

и

0 0 02 2

0 0

, , , 2G x y x y y yd

y x x y y

.

Тогда

0

0

0 0 0 0 0 0

0

, , , , , ,lim

y

y


x x

0

0

0 0 0 0 0 0, , , , , ,x

x


y y

0

0

0 0 0 02 2 2 20

0 0 0 0 0 0

2 2lim

y

y

x x x xd d dy

x x y y x x y y

0

0

0 0 0 02 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2x

x

y y y yd d dx

x x y y x x y y

0

0

2 22 200 0

2 2lim

y

y

d d dyy y y y

0

0

2 22 20 0

2 2x

x

d d dxx x x x

0 0

0 0

2 22 200 0

4 4lim

y x

y x

d ddy dx

y y x x

0 0

0 0

0 0

0lim 4 4

y x

y x

y y x xdarctg darctg

4 1 4 1 4 1 4 1 2 .darctg darctg darctg darctg d

Так как 1

2d

, то данный предел будет равен 1.

Теперь проверим соотношение (20)

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , ,y

y


0

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0 00

lim ln lny

y

d x x y y d x x y y dy

70

0

0

2 22 20 0

0lim ln ln 0

y

y

d y y d y y dy

.

Теперь проверим соотношение (21)

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , ,x

x


0

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0 00

lim ln lnx

x

d x x y y d x x y y dx

0

0

2 22 20 0

0lim ln ln 0

x

x

d x x d x x dx

.

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма 3. Для 0 0

0

, , ,G x y x y

x

справедливы следующие равенства:

0

0

2 20 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


x x x x

(22)

0

0

2 20 0 0 0 0 0

0 0

, , , , , ,0

x

x


x y x y

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim 1;

y

y


x x

(23)

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim 0.

x

x


x x

(24)

Доказательство леммы 3. Так как 2 2

0 0 0 0, , , lnG x y x y d x x y y , то

0 0 02 2

0 0 0

, , , 2G x y x y x xd

x x x y y

.

Вычислим производные по x и по y , тогда получим

2 22

0 00 022 2

00 0

2, , , x x y yG x y x yd

x x x x y y

2

0 0 0 022 2

00 0

, , , 4G x y x y x x y yd

x y x x y y

.

Проверим соотношение (22)

0

0

2 20 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


x x x x

0

0

2 20 0 0 0 0 0

0 0

, , , , , ,x

x


x y x y

0

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 20 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2lim

y

y

x x y y x x y yd d dy

x x y y x x y y

0

0

0 0 0 0 0 02 22 2 2 2

0 0 0 0 0 0

4 4x

x

x x y y x x y yd d dx

x x y y x x y y

71

0

0

2 22 20 0

2 20 2 22 20 0

2 2lim

y

y

y y y yd d dy

y y y y

0

0

0 02 22 22 2

0 0

4 4x

x

x x x xd d dx

x x x x

0 0

0 0

020 2 2

0

8lim 0

y x

y x

x xdy d dx

x x

0 0

0 0

2 200

2 20 02 22 20 0

48lim lim

x x

x x

d d x xd x x dx

x x x x

0

0

2 2 22 2 20 00 0 0 0 0

4 4 4lim lim 0

x

x

d d d

x x x x x x

.

Теперь проверим соотношение (23):

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


x x

0

0

0 0 0 02 2 2 20

0 0 0 0 0 0

2 2lim

y

y

x x x xd d dy

x x y y x x y y

0 0

0 0

2 2 22 2 20 00 0 0

2 2lim 4 lim

y y

y y

dyd d dy d

y y y y y y

00

00

0

020 0

0

4 lim 4 lim 4 1 4 1 2

1

yy

yy

y yd

y yd d arctg d arctg d arctg d

y y

Так как 1

2d

, то данный предел равен 1.

Проверим соотношение (24):

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

x

x


x x

0

0

0 02 2 2 20

0 0 0 0 0 0

2 2lim

x

x

x x x xd d dx

x x y y x x y y

0

0

0 02 22 20

0 0

2 2lim 0

x

x

x x x xd d dx

x x x x

.

Лемма 4. Для 0 0

0

, , ,G x y x y

y

справедливы следующие равенства:

0

0

2 20 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


y x y x

(25)

0

0

2 20 0 0 0 0 0

0 0

, , , , , ,0

x

x


y y y y

72

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim 0;

y

y


y y

(26)

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim 1.

x

x


y y

(27)

Доказательство леммы 4. Проверим соотношение (25). Так как 0 0, , ,G x y x y

2 2

0 0lnd x x y y , то 0 0 0 0

0

, , , , , ,G x y x y G x y x y

y

, тогда

0 0 0

2 20 0 0

, , , 2G x y x y y yd

y x x y y

.

Вычислим производные по x и по y , тогда получим

2

0 0 0 022 2

00 0

, , , 4G x y x y x x y yd

y x x x y y

2 22

0 00 022 2

00 0

2, , , y y x xG x y x yd

y y x x y y

.

Тогда

0

0

2 20 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


y x y x

0

0

2 20 0 0 0 0 0

0 0

, , , , , ,x

x


y y y y

0

0

0 0 0 0 0 02 20 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

4 4lim

y

y

x x y y x x y yd d dy

x x y y x x y y

0

0

2 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 22 2 2 2

0 0 0 0 0 0

2 2x

x

y y x x y y x xd d dx

x x y y x x y y

0

0

0 02 20 2 22 2

0 0

4 4lim

y

y

y y y yd d dy

y y y y

0

0

2 22 20 0

2 22 22 20 0

2 2x

x

x x x xd d dx

x x x x

0 0

0 0

020 22

0

8lim 0

y x

y x

d y ydy dx

y y

0 0

0 0

2 200

2 20 02 22 20 0

48lim lim

y y

y y

d d y yd y y dy

y y y y

0

0

2 2 22 2 20 00 0 0 0 0

4 4 4lim lim 0

y

y

d d d

y y y y y y

.

73

Теперь проверим (26):

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

y

y


y y

0

0

0 02 2 2 20

0 0 0 0 0 0

2 2lim

y

y

y y y yd d dy

x x y y x x y y

0

0

0 02 22 20

0 0

2 2lim 0

y

y

y y y yd d dy

y y y y

.

Теперь проверим (27):

0

0

0 0 0 0 0 0

00 0

, , , , , ,lim

x

x


y y

0

0

0 0 0 02 2 2 20

0 0 0 0 0 0

2 2lim

x

x

y y y yd d dx

x x y y x x y y

0 0

0 0

2 2 22 2 20 00 0 0

2 2 4lim lim

x x

x x

d dxd d dx

x x x x x x

00

00

0

020

0

4 lim 4 4 1 4 1 2

1

xx

xx

x xd

x xd d arctg d arctg d arctg d

x x

.

Так как 1

2d

, то данный предел равен 1.

Доказательство теоремы 3. Проверим для ,W x y соотношение (14). Справедливость равенст-

ва (14) следует из того, что верны (7) и (5). Проверим для ,W x y первое соотношение из (15). Пусть

,x y . Тогда из равенства 4) теоремы 2 и соотношений (14), (9) и (16), (17), (18) из леммы 1 сле-

дует требуемое граничное соотношение из (15). Справедливость второго соотношения из (15) следует из равенства 4) теоремы 2 и соотношений (13), (9), а также леммы 2. Выполнение второго граничного условия покажем подробнее:

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x


x x y y

0

0

0 0

0

, , , , , ,lim

y

y

F x y F x ydy

x x

0

0

2 20 0

0, ,

, , , , , ,lim

y

y

F x y F x ydy

x n x n

0

0

2 20 0

,, ,

, , , , , ,,

x

x

F x y F x ydx h ds

y n y n

0

0

0 0 0 0 0 0

0

, , , , , ,lim

y

y


x x

0

0

0 0 0 0 0 0, , , , , ,x

x


y y

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , ,y

y


74

0

0

0 0 0 0 0 00

lim , , , , , ,x

x


.

Остальные граничные условия доказываются аналогичным образом. Теперь покажем, как, используя теорему 3, можно получать новые граничные корректно разре-

шимые задачи для неоднородного гармонического уравнения в проколотой области 0 .

Для этого достаточно, чтобы функция ,h x y непрерывным образом зависела от функции

,f x y , т.е. пусть существует непрерывный оператор K , отображающий ,f x y в ,h x y . Напом-

ним: ,h x y — достаточно гладкая функция в проколотой области 0 . Итак, пусть h K f . Тогда

задача (14)–(15) примет вид:

0, , , , ,W x y f x y x y (28)

, 0,W x y K W (29)

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x


x x y y

0

0

0 0

0

, ,lim

y

y

K W x y K W x ydy

x x

0

0

0 0, ,;

x

x

K W x y K W x ydx

y y

0 0

0 0

0 0 0 00 0


y y

W x y W x y dy K W x y K W x y dy

0 0

0 0

0 0 0 00 0

lim , , lim , , .x x

x x

W x y W x y dx K W x y K W x y dx

Условие (29), накладываемое на функцию ,W x y , можно интерпретировать как дополнитель-

ное условие для того, чтобы уравнение (28) при любой правой части ,f x y имело единственное

решение. Таким образом, задача (28)–(29) представляет корректную всюду разрешимую задачу с но-вым «краевым» условием вида (29). Слово «краевое» пишем в кавычках из-за того, что в общем слу-чае это условие не является граничным. Итак, справедлива

Теорема 4. Для любого непрерывного оператора K , отображающего пространство

2 0f L в множество гладких функций 22 0h W , задача (28)–(29) имеет единственное

устойчивое решение при всех допустимых правых частях .f Теперь докажем обратное утверждение Теорема 5. Если уравнение (28) при всех допустимых правых частях f с некоторыми дополни-

тельными условиями имеет единственное устойчивое решение, то найдется непрерывный оператор K , отображающий пространство 2 0f L в множество гладких функций 2

2 0h W , та-

кой, что дополнительное условие примет вид (29). Доказательство теоремы 5. Пусть уравнение (28) с некоторыми дополнительными условиями

однозначно разрешимо для любой правой части ,f x y . Соответствующее единственное решение обо-

значим через , ,W x y f . Введем функцию , , , , , ,u x y f G x y f d d

и составим разность

, , , , ,v x y W x y f u x y f . (30)

Ясно, что ,v x y является решением однородного уравнения 0v и однозначно определяется

по .f Таким образом, любому элементу f соответствует единственная функция v , которая пред-ставляет достаточно гладкую функцию и является гармонической функцией. Обозначим через K оператор, ставящий каждой f в соответствие v , т.е. v K f . Рассмотрим совершенно новую

функцию по формуле

75

,,

, , ,, , , ,

G x yw x y W x y f v ds

n

0 0 0 00 0

, , , , , ,, , ,


.

Последняя формула аналогична формуле (13). В данном случае роль ,h x y играет функция ,v x y .

Следовательно, приведенные выше рассуждения из теоремы 3 показывают, что

, ,w x y f x y , (31)

, , ,w x y v x y

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim

y x

y x

w x y w x y w x y w x ydy dx

x x y y

0 0

0 0

0 0 0 0

0

, , , ,lim ;

y x

y x

v x y v x y v x y v x ydy dx

x x y y

0 0

0 0

0 0 0 00 0


y y

w x y w x y dy v x y v x y dy

0 0

0 0

0 0 0 00 0

lim , , lim , , ,x x

x x

w x y w x y dx v x y v x y dx

где ,v x y K f или , .v x y K w

С другой стороны, из представления (30) следует, что , , , , ,W x y f u x y f v x y также

удовлетворяет соотношениям (31). Поэтому из теоремы единственности вытекает, что

, , ,W x y f w x y . Следовательно, дополнительные условия для однозначной разрешимости имеют

вид (31). Теорема 5 полностью доказана.


1 Садовничий В.А., Любишкин В.А. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Функц. анализ и его приложения. — 1986. — Т. 20. — 3. — С. 55–65.

2 Павлов Б.С. Теория расширений и явнорешаемые модели // Успехи мат.наук. — 1987. — Т. 42. — 6(258). — С. 99–131.

3 Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.

Б.Е.Қанғужин, А.А.Анияров, Г.Е.Берікханова

Көпнүктелі шекаралық шарттары бар Дирихле есебінің ақырлы өлшемді ауытқулары

Мақалада дөңгелектегі Пуассон теңдеуі үшін Дирихле есебінің ақырлы өлшемді ауытқулары құрылған жəне олар корректілі шешілімді екендігі көрсетілген. Оператордың кеңеюі теориясының көмегімен шектелген облыста шекаралық есептің шешілімдігі зерттелген.

B.Е.Kanguzhin, А.А.Аniyarov, G.Е.Berikhanov

Finite-dimensional perturbations of Dirichlet problem with multipoint boundary conditions

In this work for the Poisson equation in the circle we have constructed finite-dimensional perturbation of the Dirichlet problem, which at this correctly solved. With using the theory of operator extensions in this work we study the solvability of boundary problems in a limited area.

76

УДК 621.3.083

Т.Л.Тен1, Г.Д.Когай2 1Карагандинский экономический университет Казпотребсоюза;

2Карагандинский государственный технический университет

Программно-целевой метод проектирования иерархий многоуровневых информационных систем

В статье рассмотрен программно-целевой метод развития многоуровневой информационной системы. Одним из основных назначений активности системы является реформирование суще-ствующей структуры иерархии, в пределе, равном идеалу Sa, решаемое структурными эле-ментами в равной степени. Здесь разработан метод анализа существующей структуры и фор-мирование оптимальной иерархии для него, где классификация задач управления ограничена в соответствии с иерархией целей системы.

Ключевые слова: информационно-измерительные системы, иерархия, структурный элемент, максимум, функционал, Беллман, динамическое программирование.

Информационно-измерительные системы (ИИС) имеют иерархическую структуру управления,

это является объективным требованием управления в соответствии с целями. Однако нередко факти-ческая структура, проявляющаяся при функционировании, отличается от нормативной (соответст-вующей дереву целей). Это объясняется, прежде всего, тем, что в современных ИИС происходит по-стоянная корректировка целей управления [1].

Структура управления ИИС, сформировавшаяся без использования приемов системной деятель-ности, как правило, не полностью соответствует программно-целевому управлению. Это обстоятель-ство, которому часто не придают значения, является основным фактором принятия нерациональных, несогласованных решений в ИИС, что, в конечном счете, приводит к неоправданным потерям. Пусть существующая структура управления описана ориентированным графом ( , W)G Z , где Z — множе-

ство структурных элементов системы управления (вершин графа), а W — множество управляющих

связей в системе (дуг графа). При этом дуга 1 2, W , если структурный элемент 2 находится

под управлением 2 . Естественно предполагать, что G является ориентированным графом — без

контуров, так как управляющие воздействия направлены в одну сторону — от «вышестоящих» структурных элементов к «нижестоящим». Граф G , как правило, отличается от иерархического дере-ва с элементами αS . Одним из основных приемов системной деятельности является преобразование

существующей структуры в иерархию, максимально соответствующую идеальной S .

Упорядоченное разбиение 1 2( , , ..., )nR Z Z Z множества вершин графа G на попарно непересе-

кающиеся множества kZ Z будем называть многослойной иерархией, если не существует дуг

1 2, ) W таких, что 1 2, k jZ Z и k j .

Существует много способов разбиения множества Z на многослойную иерархию, однако нас интересуют разбиения, учитывающие характер задач, решаемых структурными элементами, обра-зующими тот или иной слой. Как было сказано, каждой цели ИИС C можно поставить в соответст-

вие семейство задач α , 1, ..., ,jD j связанных с реализацией этой цели. Поставим задачу опреде-

ления соответствия задач, решаемых элементами существующей структуры управления ,G Z W ,

множеству задач, решение которых необходимо для реализации соответствующих целей системы управления:

α

α : , 1, ..., jD D A j . (1)

Пусть α jp — относительная загрузка элемента Z решением задачи α jD в (1) так, что

αμ

α

α 1

( ) 1j

A j

p

. (2)

77

Используя относительную загруженность элемента задачами, относящимися к той или иной це-ли, можно определить вектор распределения задач, решаемых элементом , по уровням иерархии, соответствующей дереву целей: 1 2( ) ( ), ( ), ..., ( )LP P P P , (3)

где αμ

α

λα , α λ 1

( ) ( )j

A j

P p

— относительная загруженность элемента решением задач управле-

ния, соответствующих целям λ-го уровня дерева целей. Весьма важной представляется задача поиска разбиения множества структурных элементов ИИС

по уровням иерархии, задаваемой деревом целей. В простейшем виде эта задача сводится к определению многослойной иерархии

1 2( , , ..., )LR Z Z Z множества вершин графа ,G Z W , такого, что при этом максимизируется сле-

дующий функционал:

λ1

Ф ( ) ( ).L

LZ

R P

(4)

Если не учитывать сложившуюся структуру управления, задаваемую графом G , то очевидно, что максимум функционала (4) достигается на разбиении 1 2( , , ..., ),LR Z Z Z которое определяется следующим образом:

1 1: ( ) max ( )Z Z P P

,

1 1 для : ( ) max ( ) , 1, 2, ..., 1k k kk

Z Z P P k L , (5)

где 1\ \ ... \ .k kZ Z Z Z Разбиение Z на многослойную иерархию, не нарушающую отношение порядка, задаваемое гра-

фом G , существенно усложняет решение поставленной задачи. Пусть ( )LI G — множество всех разбиений графа G на многослойную иерархию вида R , тогда

обозначим

( )( ) max Ф ( ).

LL L

R I Gf Z R

(6)

Нетрудно видеть, что ( )Lf Z удовлетворяет функциональному уравнению Беллмана:

1; Θ( )

( ) max ( ) ( \ )L L LX Z X X

X

f Z P f Z X

, (7)

где X для произвольного подмножества X Z есть множество вершин графа G , для которых

существует путь из X . При решении реальных задач определения структур управления размерность графа G может

быть большой, тогда процедура решения задачи методом динамического программирования стано-вится не только неэффективной, но и невозможной. Действительно, классическая схема динамиче-ского программирования приводит к перебору большого количества подмножеств X при вычисле-нии (7). Пусть ( )LI G — множество всех иерархий графа G , состоящих из L уровней. Рассматрива-

ется задача нахождения иерархии R , максимизирующая функционал (4). Введем на множестве ( )LI G отношение порядка: будем считать, что 1 2R R ( 1R «не выше « 2R ), если для 1, 2, ..., 1k L ,

имеет место следующее соотношение:

1 2 ,k kZ Z где 1\ \ ... \ .k kZ Z Z Z (8)

Соотношение 1 2R R ( 1R «ниже» 2R ) будет означать, что 1 2R R , но 1 2R R . Множество ( )LI G является решеткой: любое его подмножество I имеет точную нижнюю — minR I и точ-

ную верхнюю — maxR I границы в смысле введенного отношения порядка. Действительно, R и R определяются следующим образом: , .k k k k

R I R IZ Z Z Z

(9)

78

Нетрудно показать, что для любых 1 2,R R ( )LI G имеет место следующее соотношение:

1 2 1 2 1 2Ф( ) Ф( ) Ф(min , ) Ф(max , ).R R R R R R (10)

Обозначим теперь 0 ( )LI G — множество всех оптимальных в смысле (4) разбиений, тогда, если 1 2,R R 0 ( )LI G , то с учетом оптимальности рассматриваемых иерархий и (10) имеет место следую-

щее: 1 2 1 2 1 2Ф(min , ) Ф(max , ) Ф( ) Ф( )).R R R R R R (11)

По индукции получаем, что нижняя и верхняя границы любого подмножества 0 ( )LI G также яв-

ляются оптимальными иерархиями, а значит, множество 0 ( )LI G также является решеткой в смысле введенного порядка. Это позволяет использовать следующую схему поиска оптимальной, в смысле (4), иерархии, используя упорядоченность, задаваемую графом ( , )G Z U . Зададимся целью найти

нижнюю границу множества всех оптимальных иерархий, обозначим ее *R . Шаг 1. В качестве начального приближения выбираем иерархию 0 ( )LR I G такую, что

0 ( )LR R I G . (12)

Шаг 2. Если построена иерархия kR , то переход к 1kR осуществляется с помощью оператора 1: ( )k kA R A R такого, что

( )k kR A R R , (13)

причем, если 1то, k k kR R R R .

Шаг 3. Если обнаружится, что 1k kR R , то задача решена. Для реализации приведенной алгоритмической схемы предлагается метод минимальных вариа-

ций условно-оптимальных иерархий 1( )R Z , оптимизирующих функционал (4) при фиксированном

слое 1Z . Рассмотрим основные свойства множества ( )LI G , используемые в данном методе. Прежде

всего, можно показать, что для того чтобы R оставалась «не выше» условно-оптимальной иерархии:

1( )R R Z , необходимо и достаточно, чтобы 1 1Z Z . Это позволяет строить вариации для наращи-

вания слоя 1Z , оставаясь «не выше» оптимальных иерархий. Действительно, среди множества 1( )V Z

допустимых вариаций слоя 1Z иерархии 1( ),R Z т.е. таких 1( )X V Z , что 1 1( ) ( )R R Z X R Z ,

будем выбирать вариацию X , для которой функционал (4) возрастает:

1 1Ф ( ) Ф ( )R Z X R Z , (14)

причем не на одном подмножестве X соотношение (16) не выполняется (в этом смысле вариация X называется минимальной).

После построения уровней взаимодействия необходимо решить задачу разделения их на сферы деятельности, соответствующие целям С . Сфера деятельности элемента определяется решением

задач управления, связанных со всеми подцелями C С . Относительную загруженность элемента

решением задач сферы деятельности С будем обозначать:

1

( ) ( )ic c j

p p

. (15)

Метод распадается на последовательное решение 12

L

n задач, каждая из которых эквивалентна

следующей. Пусть на вершинах графа ( , )G Z W задана векторная функция

1 2( ) ( ), ( ),..., ( )nP p p p , необходимо найти разбиение 1( ,..., )nQ Z Z множества вершин графа

G на не связанные между собой дуги w W подмножества , 1,...,iZ i n , максимизирующие функ-ционал

1

( ) ( )i

nP i

i Z

Ф Q p

. (16)

В целом после решения приведенных задач анализа структуры можно оценить соответствие сложившейся структуры управления нормативным целям системы. Для этого достаточно сравнить

79

полученное в результате решения значение функции (4) со значением этой функции, получающимся при классификации элементов системы Z в соответствии с деревом цели, но без учета их реального взаимодействия, задаваемого графом G . Если имеет место явное несоответствие, то возникает задача изменения взаимодействия между элементами системы. В случае если и это не решает проблему, то следует менять вид деятельности элементов системы.

Наиболее важны способы построения иерархий, при которых устанавливается взаимосвязь структуры управления с деревом целей системы.

Построение и анализ дерева целей крупных ИИС позволяет сделать вывод о том, что разбиение ИИС на систему управления и объект управления зависит от уровня, который интересует исследова-теля. Будем считать, что в разделение на управляющий орган и объект управления четко представле-но и соответствует дереву целей. Введем обозначения: — состояние системы S ; u — управ-

ляющее воздействия системы S на элементы более низкого уровня , , 1, 2, ..., ;iS i — интег-

рированная информация, определяемая целью С , передаваемая из S в S (при 2 ),

α,,1 , ..., — информация о сферах деятельности α , α, 1, ..., .iС i

Система 1S управляет деятельностью всей ИИС. Системы нижнего уровня S , где L ,

управляют непосредственно объектами системы, реализуя выделенные для нее функции. Вообще управление объектом осуществляется некоторой системой S , где 1,..., L , посредством приня-

тия решений, которые, в свою очередь, являются результатами решения задач из семейства

, 1, ..., jD j , связанных с целью С .


1 Тен Т.Л. Методы анализа информационно-измерительных систем // Вестн. ПГУ. Сер. физ.-мат. — Павлодар: ПГУ им. С.Торайгырова, 2005. — 4. — С. 83–86.

Т.Л.Тен, Г.Д.Когай

Көпдеңгейлі ақпараттық жүйелер иерархиясын кескіндеудің бағдарламалы-тұтастық əдісі

Мақалада ақпараттық жүйелерді көп деңгейлі иерархияларын жобалаудың программа-мақсатты əдісі қарастырылған. Жүйелік қызметтің негізгі əдістерінің бірі құрылымның элементтерімен шешетін максималды идеалына сəйкес келетін бар құрылымды иерархияға ай-налдыру болып табылады. Бар құрылымды талдайтын əдіс құрастырылған жəне одан оңтайлы иерархия қалыптастыру, онда мақсатты жүйе иерархиясының максималды дəрежесінде басқарудың тапсырмаларын үлестіру қарастырылған.

Т.L.Теn, G.D.Kogaiy

Program-special method of hierarchies’ projection multilevel information systems

Program-special method of multilevel information system’s development is considered at this work. One of the main appointment of system activity is reformation of existent structure to hierarchy, the limit equal to ideal Sa, solvable by structure elements, making either layer. There is developed the method of existent structure’s analysis and optimal hierarchy’s formation from it, where the classifi-cation of management problems the limit accord to hierarchy of system’s aims.

80

ƏОЖ 517.9+51:53

Б.А.Шалдықова Рудный индустриалдық институты

Жылуөткізгіштіктің спектралды-жүктелген операторы үшін шекаралық есебі II

Мақала [1]-жұмыстың жалғасы болып табылады. Мұнда сипаттамалық интегралдық теңдеулердің шешімділігі туралы сұрақтар қарастырылды. Карлеман-Векуа реттеу əдісі арқылы берілген екінші ретті Вольтерра айрықша интегралдық теңдеулері шешілген. Өзара-түйіндес шеттік есептердің шешімділігі зерттелген. Жүктелген жылуөткізгіштік операторы үшін жалпыланған спектралдық есептердің спектрі сұрақтары талданған. Формулалар мен пункттердің нумерациясы [1]-жұмыстың сəйкес нумерациясын жалғастырады.

Кілтті сөздер: спектралды-жүктелген операторы, сипаттамалық интегралдық теңдеулер, параметр, регуляризация əдісі, регулярлық опрератор.

Лемма 3. 2-лемманың шарттары орындалғанда келесі теңсіздік орын алады:

2

2 12 1 2, ,

tQ t Q t M M t

t

.

Лемма 3-тің дəлелденуі. Лемма 1-ді ескере отырып, келесіні аламыз:

2 1 2 12

2 2 1 2 1

2 1, ,

44

ttQ t Q t

tt

2 1 2 122 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1

2 11

4 2 1

t tt

t t t

2 1 2 1

0 0

2 1 2 1

0 0

2 1 1 1

4 1 1

t t

t t

2 1 2 1

0 02 1

0 2 1 2 1

0 0

1 11

2 1 1 1

t tt t

t t t

2 1 2 1

0 0

2 1 2 1

0 0

2 1 1 1

4 1 1

t t

t t

2 1 2 1

1 2

0 0

1 / 2

1 1 12 1

t t

t

t tt

2 1 2 1

0 0

2 2

0 0 0

2 1 1 1

4 1 1

t t

t t t t t t t

22 2 2 3

0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 2

2 21 1 1 1

2t t t t t t t t t t t

2 2 2 3

0 2 0 2 0 2 2 0 2

11 1 2

2t t t t t t t t

81

222 3

0 2 0 2 3 0 3 0 2 2 0 2

12 1 2 2 1 1 1 1

2t t t t t t t t t

2 22

0 3 3 0 3 2 0 21

0

2 11 1

2 1t t t t t t

t t

2 2

3 0 3 0 3 3 0 3 0 2 2 0 21 1 2 1t t t t t t t t t

2 1 2 1

0 0

2 2

0 0 0

2 1 1 1

4 1 1

t t

t t t t t t t

2 3

2 2 22 0 2

0 0 0 02 2

0

1 11 1 1

21

t tt t t t t t t t t t

t t

2 3

1 2 0 2

0 3 0 3 0 2

3 0 3

12 2 2 11 1

2 1

t tt t t t t t

t t

2 22 2 0 22

0 2 2 0 2 0 3 3 0 3 0 3 1

0

2 1 11 1 .

2 1

t tt t t t t t t t t

t t

Мұндағы 3 3 3,0 1t t болғандықтан,

2 2 2 1

2 12 0 0

2 1 2 2 1 2, , 1

4 4

tQ t Q t t t t t

t

2

2 2 1 2 2 2 1 2 11 2

1 2 12 1 1 2 1

4 4

tt t t t t t M M t

t

.

3-лемма дəлелденді. 1-теореманың дəлелденуі. (34) шартты ескере отырып, ең алдымен келесі теңсіздікті аламыз:

3/2 3/2

0

2 33/2 3/2

1,

2

t tt t tP t M

t t

. (35)

2 0Q Q болатын параметрінің мəні жəне 0 t үшін талап етіліп отырған баға төмендегі теңсіздіктерден алынады:

2 2 2 2 2 2exp exp 1 exp exp expK K P P Q P Q Q Q P P Q P Q Q Q .

Осылайша, 1–3 леммаларын ескере отырып

3/22

2 12 3 1 23/2 3/2

Qt t t tK K M M M M t e

tt t

3/2 3/21 1 2 1 2 1

1 22Qt tt t t t t

M M M et tt tt

;

3/22 1/2

/2 /2 2 1 /2 2 11 22

exp / 2Q

Q Q Q tt t t te Mt e M t e M t e C Q

t t tt

теңсіздігін аламыз. Мұнда сонымен қатар

, 0n n

n mx mnx e e x

m

теңсіздігі қолданылады.

82

2 0Q Q болатын параметрінің мəні мен 0 t үшін осы теңсіздіктерде 2 ,Q Q

сəйкесінше 2 ,P P функцияларының орындарын ауыстыру жеткілікті.

(32) теңсіздіктің нақтылығы 2 , ,K t K t айырымы əлсіз ерекшелікке ие екендігін көрсетеді,

жəне келесі шектік арақатынас орындалады:

3/21

20

0

lim exp , / 2 exp , / 2 0,t

t

t tQ t Q t d

t

жəне (28) теңдеу (27) теңдеу үшін шын мəнінде сипаттамалық болып табылады. 1-теорема дəлелденді.

(28) жəне (29) сипаттамалық интегралдық теңдеулердің шешімдері келесі өрнектермен анықталады [2, 3]:

2 1 2 1

'1/

1 120

1

2 1

t

t f t r t f d

2 1

2

1

exp ,2 1

N

k kk N

tc iz t R

; (36)

2 1 2 1

'1/

1 12

1,

2 1t

v t g t r t g d t Rt

. (37)

Алынған (36) жəне (37) шешімдері келесі шарттарды қанағаттандырады:

1 1

122 1 / 2 1 /

2 1 2 11,t M R v t L R

tt t

; (38)

exp arg 2k теңдеуімен өрнектелген сызықтар өзара қиылыспайтын , 0,1,2,...mD m

облыстарға параметрінің комплекстік жазықтығын келесі түрде бөледі:

2 1 2

(1) (2) (1) (2)2 1 2 1

1 0\ , , \

n n

n n n k n n n kk k

D D D U D D D D D U D

,

мұнда

(1) (2): exp 2 1 arg , : exp 2 arg , 0,1,2,...n nD n D n n

0,1,2,...mD m облысының , 0,1,2,...mD m шекарасының сыртқы бөліктерін , 0,1,2,...mГ m арқылы белгілейміз.

4. (17) жəне (22) интегралдық теңдеулерді регуляризация əдісімен шешу. Келесі белгілеулерді енгіземіз:

2( , ) , ,K t K t K t , (39)

жəне (28) теңдеуін ескеріп, (17) теңдеуін келесі түрде жазамыз:

1

1

0

, ,K I K K t d f t t R . (40)

Оң жағын уақытша белгілі функция ретінде қарастырып, ақырғы теңдеуді характеристикалық теңдеу ретінде шешеміз. Онда (36) формулаға сəйкес мынаны аламыз:

2 1 2 1

1/1 1

1 20 0

1,

2 1t f t K t d r t

2 1

2

1

1

0

, exp2 1

N

k kk N

tf K d d c iz

.

83

Берілген теңдеуді мына түрге келтіреміз:

2 1

2

10

ˆˆ ˆ ˆ , exp ,2 1

t N

k kk N

tK I K t K t d f t c iz t R

, (41)

мұнда

2 1 2 1

'1/

2

1ˆ , , , , ,2 1

t

K t K t r t K d K t K t

;

2 1 2 1

'1/

1 120

1ˆ2 1

t

f t f t r t f d

.

Енді (41) теңдеуі регулярлық болып табылатынын, яғни біртіндеп жуықтау əдісімен шешілеті-нін, көрсетеміз.

Əрі қарай ыңғайлы болу үшін келесі белгілеуді енгіземіз: 2 1, 1 / 2, 0 . (42)

Теорема 2. Егер 1 /2

01t t t

функциясы, мұндағы 0 , 0t t t , ал t

функциясы 0 t интервалында екі рет үзіліссіз дифференциалданатын жəне , 0t C t

болса, онда ,K t ядросы əлсіз ерекшелікке ие, яғни келесі баға орын алады:

1/2

1/21 /2ˆ , , 0 / 2, 2 1 0, 0

tK t C t

t

. (43)

Дəлелдеуі. ˆ , , ,K t K t K t белгілеуіне ие болғандықтан, (43) бағалауы (32)-ден жəне

төмендегі келтірілген қатыстардан шығады. Келесі қос теңсіздікті пайдаланып: 1 1

1 2 ,C t t t C t t

мұнда 1 2min 1, , max 1, ,C C алдымен мынаны аламыз 2 1 :

1 /2 1 /21 /2 /211 1

1 2, expt tC tt

K t M d Mtt

1 /2 3/2 3 /22

1 23/2exp , ,

C ttd J t J t

tt

.

Мұнда , , 1,2,j jC M j — -дан ғана тəуелді тұрақтылар; 1 2, , ,J t J t сəйкес мынаған тең:

1

1 1 1 11 /2 1 /21 /2

1exp ,

t C tt tJ M d M I t

tt

;

1 /22

2 2 2 23/2 1/21 /2 1 /2exp ,

t C tt t tJ M d M I t

tt

.

Əрі қарай 1 2, , ,I t I t функцияларының əрқайсысын екі қосылғыштың қосындысы түрінде

көрсетеміз 1 11 12, , , ;I t I t I t 2 21 22, , , ,I t I t I t

олардың əрқайсысы үшін аламыз

2

111 1 /2

1, exp

t

C tI t d

tt

22 1

t

td tC t z

tt

1

20

1 1 / 1 2ln / / 1 ln ln

/ //

C C C Cdz tt t

t t t t t tz t

84

1 2 1 3

1 1/ ln / / ,C C t t C C t

tt t

мұнда параметрінің мəні 0 / 2 шартынан таңдалынады

112 1 /2

/2

1, exp

t

t

C tI t d

tt

1 /2

1

1/2

2 1exp

t

t

C C td

t tt t

1 /21 11

1 1 /2 1 /2/2

1exp

t

t

C t C tC ttC d z

tt t t t

2

0

exp ;C C

z dzt t

/ 2 1 /2 22

21 3/2 1/2, exp

tt C tt td

I t d Ctt t

1 2 1 3

1 1/ ln / / ,C C t t C C t

tt t

мұнда ақырғы теңсіздік 11 ,I t бағалауынан алынады жəне параметрінің мəні сол сияқты

0 / 2 шартынан таңдалынады

1 /22

22 3/2 1/2/2

, expt

t

C ttI t d

tt

1 /23

3/2/2

expt

t

C t tC td

tt t

11 /23

3/2/2

exp 1t

t

C C tt

t tt t

1 /2

11 /24

3/2 1 /20

3/2

2exp

4

t

tz

tC C ttd

tt t t ddz

t

/2

2

/2

exp .t

C Cz dz

t t

Бұл теңсіздіктерде , , 1,2,3,4jC C j əр түрлі жəне тек қана -дан тəуелді.

Алынған теңсіздіктерден ізделінді (43) баға шығады. Лемма дəлелденді. Сонымен, оң жақ бөлік үшін (43) баға бойынша (41) теңдеуі біртіндеп жуықтау əдісімен

көрсетуге болатын жалғыз ғана шешімге ие болады. (17) жəне (41) теңдіктерден біртекті теңдеу

2 2 2

0

, 0,t

K I K t K t d t R (44)

біртекті емес теңдеуге тепе-тең болатыны

2 2 1

10

ˆ ˆ , exp ,2 1

t Nk

kk N

izK t K t d c t t R

, (45)

шығады. (45)-тің орнына интегралдық теңдеулер жүйесін қарастырамыз

2 1

1 2,

0

ˆ ˆ , exp , ,...,0,....,2 1

tkiz

K t K t d t k N N t R

. (46)

85

Əрі қарай (46)-нің əрбір теңдеуі жалғыз тривиалды емес шешімге ие болатындықтан, 0/C D

параметрінің əрбір мəні үшін 1 2, ,... 0, ...,k t k N N , функциялары (44) біртекті теңдеудің сəйкес

меншікті функциялары болып табылады (ендеше (17) біртекті теңдеуі үшін де орындалады). Келесі леммалардың дұрыстығын дəлелдеу қиын емес. Лемма 4. 0D мəні 2K (17) операторының регулярлық саны болып табылады.

Лемма 5. 0\C D жиыны 2K (17) операторының характеристикалық санын құрайды. Сонымен

қатар егер 1 \ 1 , 1,2,...,m m

m mD Г e m онда 2dim Ker K m ; жəне сəйкес меншікті

функциялармен (46) теңдеуінің шешімі болады

2 11

1 2ˆ exp , 1,...., 1

2 1k

k

izt K t k m N N

.

Ескерту 5. Біртекті емес (41) интегралдық теңдеуінің жалпы шешімі, (17) теңдеу сияқты, келесі функция болып табылады:

1 2 11

1

ˆˆ ,m N N

k kk

t K f t c t t R

, (47)

мұнда , 1, ...,kc k m — кез келген тұрақты. (17)-теңдеуге одақтас болып табылатын (22) интегралдық теңдеуін қарастырамыз. (22)-тең-

деуінің ядросы əлсіз ерекшелікке ие екенін көрсетеміз, яғни

2lim , 0t

t

K t d

.

Шынында

3 22

3/2 2

4lim exp lim exp

4 2 22t tt t

d dt t tt

2 2 2 1

1lim lim lim 0,t t t

t t

d dC

t

бұндай жағдайда кез келген C үшін сəйкес біртекті интегралдық теңдеулер тек қана тривиалдық шешімге ие.

Сонымен, 4-ші, 5-ші леммалардың тұжырымдарынан келесі лемманы аламыз. Лемма 6. 1. C əрбір мəні *

2K (22) операторының регулярлық саны болып табылады.

2. Егер 0D болса, онда (22) біртекті емес интегралдық теңдеуі 1g t -нің кез келген оң жақ

бөлігінде бірмəнді шешіледі.

3. Егер 1 \ 1 , 1,2,...m m

m mD Г e m болса, онда (22) біртекті емес интегралдық

теңдеуінің біртекті шешімділігі үшін, 1g t функциясы келесі ортогоналдық шарттарды

қанағаттандыруы қажетті жəне жеткілікті

1 1 2

0

0, 1,....., 1k t g t dt k m N N

. (48)

Ескерту 6. 6-лемманың тұжырымдамасына сəйкес (22) біртекті емес интегралдық теңдеудің шешімі келесі функция болады:

1*2 1 ,v t K g t t R

. (49)

Ескерту 7. Жоғарыдағы қорытындылардан міндетті түрде 1,t M R v t L R (50)

екені шығады. 5. (1) жəне (2) шекаралық есептерін зерттеу. (11)-ге сəйкес (1) есебінің шешуін мына түрде

жазамыз:

3/2

00 0 0

, , , , ,t t

u x t K x t d G x t f d d

, (51)

86

мұнда t (47) жəне 3/2

,t f x t функциялары сəйкес R жəне Q -да шектелген жəне үзіліссіз

болып табылады. 0 ,K x t (13) жəне , ,G x t (12) функцияларының теріс еместігін ескеріп,

(51)-ден келесі бағаны аламыз:

3/2

1 1/21 2 0 3

0

, , ,t

u x t C C K x t d C t x t

(52)

мұнда 3 1 2C C C .

,u x t (51) шешімінің туындылары үшін келесі қатынас дұрыс:

3/2 3/2

, , ,t xxt u x t u x t t t f x t M Q . (53)

Сонымен, (51) функциясы (53) қатынасы мағынасында (1)-дегі теңдеуді қанағаттандырады. Міндетті түрде ,u x t шешімі үшін (1)-дегі бастапқы жəне шекаралық шарттардың орындалуы

тексеріледі. Мұндай жағдайда (52) жəне (53)-ке сəйкес (51) функциясы (1) шекаралық есебін қанағаттандырады жəне U класына тиісті.

Əрі қарай (20)-ға сəйкес (2)-ші есептің шешімін мына түрде жазамыз:

3/2

0

, , , , , ,t t

x t G x t v d G x t g d d

, (54)

мұнда 1v t L R .

,x t функциясы V класынан болуы үшін келесі шарттың орындалуы жеткілікті:

3/2 3/2

1, ,t

t G x t v d L Q

; (55)

3/2

1

0

, , ,t

t G x t g t d dt L Q

. (56)

Алынған қорытындыларды (1) жəне (2) шекаралық есептерінің шешімділігі бойынша келесі теорема түрінде тұжырымдаймыз.

Теорема 3. Егер 0D (50) болса, онда f (5) үшін (1) шекаралық есеп u U жалғыз шешімге

ие болады. Егер 0 1\ \ 1m m

m mC D D Г e (50) болса, онда f (5) үшін (1) шекаралық

есебі біртекті теңдеудің ,біртu x t шешімдерінен тұратын жалпы u U шешімге ие болады

1

, ,m

бірт k kk

u x t c u x t

;

3/2

0

0

, , , 1,..,t

k ku x t K x t d k m

,

мұнда 2 11ˆ exp , 1, ..., , , 1, ..,

2 1k

k k

izK t k m c k m

— кез келген тұрақтылар,

жеке шешім ,дербu x t ;

3/2 3/21

3/20

0 0 0

ˆˆ, , , , ,t t

дербu x t K x t K f d G x t f d d

.

Теорема 4. Егер 0D болса, онда f (5) үшін (2) шекаралық есеп 7V жалғыз шешімге

ие болады. Егер 0 1\ \ 1m m

m mC D D Г e болса, онда (2) шекаралық есептің 7V

класында бірмəнді шешімділігі үшін g (5) функциясы ортогоналдық шарттарды қанағаттандыруы қажетті жəне жеткілікті

1 2

0

, , 0, 1,......, 1ku x t g x t dxdt k m N N

.

87

6. 1L (3) жəне *1L (4) операторларының спектрі туралы. 4–5 леммалардың тұжырымдарынан

төмендегі басты теоремаларды аламыз: Теорема 5. 0D ашық жиыны 1L (3) операторы үшін резольвентті, ал оның толықтауышы

0\C D 1L (3) операторының спектрін құрайды. Сонымен қоса егер

1 \ 1 , 1, 2, ...,m m

m mD Г e m болса, онда 1dim Ker L m , жəне 1L (3) операторы-

ның сəйкес меншікті функциялары мына формуламен анықталады:

3/20 1 2

0

, , 1t

ku K x t d m N N ,

мұнда

2 11

1 2ˆ exp , 1,...., 1

2 1k

k

izt K t k m N N

.

Теорема 6. C мəндерінің жиыны *1L (4) операторының резольвентті жиыны болады.


1 Дженалиев М.Т., Шалдықова Б.А., Құсайынова Б.С. Жылуөткізгіштік спектралды-жүктелген операторы үшін шекаралық есебі // ҚарМУ хабаршысы. Математика сер. — 2010. — 1(57). — 15–21-б.

2 Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Об одной граничной задаче для спектрально-нагруженного оператора теплопро-водности I // Дифференциальные уравнения. — Алматы, 2007. — Т. 43. — 4. — С. 498–508.

3 Дженалиев М.Т., Рамазанов М.И. Об одной граничной задаче для спектрально-нагруженного оператора теплопро-водности II // Дифференциальные уравнения. — Алматы, 2007. — Т. 43. — 6. — С. 788–794.

Б.А.Шалдыкова

Краевая задача для спектрально-нагруженного оператора теплопроводности. II

Настоящая работа является продолжением работы [1]. Здесь исследуются вопросы разрешимо-сти характеристических интегральных уравнений. Методом регуляризации Карлемана-Векуа решаются исходные особые интегральные уравнения Вольтерра второго рода. Исследуется разрешимость взаимно-сопряженных граничных задач. Изучаются вопросы спектра обобщен-ных спектральных задач для нагруженного оператора теплопроводности. Нумерация формул и пунктов продолжает соответствующую нумерацию работы [1].

B.А.Shaldykova

Boundary problem for spectrally-loaded heat conduction’s operator

The present work is continuation of work [1]. It examines the questions of solvability of the charac-teristic of integral equations. The method of regularization of the Carleman-Vekua solved the original integral equations. Resolvability of the is mutual-interfaced boundary problems is investigated. Ques-tions of a spectrum of the generalized spectral problems for the loaded operator of heat conductivity are studied. Numbering of formulas and points continues corresponding numbering of work [1].

88

УДК 517.983.23

Л.К.Кусаинова, А.В.Ухман

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана

Об асимптотике функции распределения аппроксимативных чисел двухвесового оператора Харди

с условием обобщенной монотонности. I.

Рассмотрено определение интегрального оператора Харди : ( ) ( )p qS L R L R . Получены

оценки монотонного условия снизу и сверху для считающей функции аппроксимативных чи-сел ( )na S при 1 p q .

Ключевые слова: асимптотика, функция распределения, аппроксимативные числа, оператор Харди, обобщенная монотонность, непересекающиеся интервалы, покрытие.

В работе рассматривается двухвесовой оператор Харди

0

( ) ( ) ( ) ( )x

Sf x v x u y f y dy (1)

с условием обобщенной монотонности, действующий из пространства Лебега ( )pL R в ( )qL R ,

(0, )R , 1 p q . В терминах локальных средних от ( )u x и ( )v x получены верхние оценки

считающей функции аппроксимативных чисел оператора S .

Пусть ,E F — пара банаховых пространств, ,L E F — совокупность всех линейных ограни-

ченных операторов, действующих из E в F . Через ,nL E F обозначим множество всех конечно-

мерных операторов ,A L E F , размерность образа которых ( )rank A n . Величина

( ) inf || ||n

nL L

a T T A

называется n -ным аппроксимативным числом оператора ,T L E F . Числа ( )na T являются наи-

большими среди всех s -чисел, дающих нам информацию об аппроксимативных возможностях ком-пактного оператора.

Сформулируем вначале результаты работы. Пусть Q — промежуток в ( , )R . Через

( , )L Q loc обозначается пространство локально суммируемых в Q функций. Для измеримого e Q

далее | |e

e dx , ( )e

w e wdx , ( , ),a b ;a b ,a b , B — множество всех конеч-

ных .R Положим ( ) / 2, / 2h x x h x h . Для 0 и ( )h x интервал ( )h x . Далее

3( ) ,

2 2

x xx

, *

0

: ( ) .x

B x

Пусть , .f L R loc Положим

*

* 1( ) sup | |

| |x B

M f x f dt

.

Клаcс MG . Будем говорить, что функция [0, );L loc удовлетворяет условию обобщенной

монотонности, если существует такое 0 , что

0

1( )

t

dt tt для любого 0t .

Запись .MG

Очевидно, что MG содержит все монотонно неубывающие веса из [0, ),L loc с 1 .

89

В дальнейшем

'

'

1/ 1/

( ) | | | | ,1

p q

p q pK u v p

p

.

Положим ( ) ( ( )).K x K x

Теорема 1. Пусть 1 p q , '

1 | |p Mw u G и

0

sup ( )uvx

K K x

.

Тогда оператор

( ) ( )p qS L L R L L R .

При этом || || ,uvS cK , ,c c p q .

Положим

'

' '1/ 1/* *(| | )( ) (| | )( )

p qp pФ x M u x M u x .

Обозначим через ( )

( ; ) 1na S

N S

функцию распределения (считающую функцию) аппроксиматив-

ных чисел ( )na S .


1 1 1,

r q p

'

1 | |p Mw u G , и пусть ( )uv rФ Ф L R . Тогда имеет

место оценка

1

10: ( )

( ; ) ( )

r

rr

x x Ф x c

cN S Ф x dx

, (2)

где ( , , )c c p q .


1 1 1.

r q p Пусть функции ,u v удовлетворяют условиям:

1) u монотонно не убывает и 1(2 ) ( ), 0,u x u x x

2) 12 2

( )

( )

v t

v x , если ( ), 0t x x ,

3) ( )ruv L R . Тогда справедлива оценка

1

10: ( ) ( )

( ; ) | | ,

r

rr

x x u x v x c

cN S uv dx

(3)

где 1 2( , , , )c c p q . Приведем здесь некоторые сравнения результатов данной работы с полученными ранее. Наибо-

лее общие результаты, связанные с оценками асимптотики ( )na S , содержатся на настоящее время

в [1]. В частности, в [1] получены следующие оценки. Пусть ( )ruv L R и 1 2p q либо 2 p q . Тогда имеют место оценки

1 1

1 2( , ) lim ( ) lim ( ) ( , )r rn nc C u v n a T n a T c C u v ,

где

1/

0

( , ), ( , ) | |

r

ri iс с p q C u v uv

. Нетрудно увидеть, что тогда

1/1 2 0( , ) ( ) ( , ),r

nc C u v n a S c C u v n n ,

90

где 0n некоторое, вообще говоря, неопределяемое натуральное число. Из теоремы 2 и 3 данной рабо-ты следует, что (в условиях теорем) для всех 1n . 1

1( ) ( )na s c n ,

где 1/ 0: ( )

( ) .r

r r

x x x

dx

.

Из (3) также следует предельное неравенство

1/1 2lim ( ) ( , , , ) ( )r

nn a s c p q C uv . Лемма 1. ([2], §1.) Пусть ( )h x — положительная и ограниченная функция, определенная на

ограниченном множестве E R , и 0 ( )h x x для любого 0x . Тогда существует не более чем

счетное семейство интервалов , ,j j J ( ) / 2, ( ) / 2j j j j jx h x x h x кратности 2 и разделяю-

щееся на не более чем 4 подсемейств ,j ij J непересекающихся интервалов.

Такие покрытия мы будем называть B -покрытиями. Пусть 1 2, веса на ( , )a b R . Обозначим через 1

1 2( ; , )pW пространство всех абсолютно

непрерывных в R функций F таких, что

1/ 1/

1 '1 2 1 2|| ; ( ; , ) || | | | |

p pb bp p

p

a a

F W F dx F dx

.

Условие ,( , )p . Пусть 1 p , 0 1 , 0 . Будем говорить, что весовая пара ),( 21 в

R удовлетворяет условию ,( , )p , если для любого

1

1/ 1/

11 2 2

( ) ( )

( , , ) || inf

p p

p

ex x e

M x dx

,

где inf берется по всем ( )e x с | | | ( ) | .e x

Лемма 2. [3, 1.5] Пусть 1 p q и 1 2 ,( , )( , ) p . Тогда для любого ( )x справедливо

неравенство

'

'

1/ 1/ 1/

1 11 2| ( ) ( ) | | | || ; ( ; , ) ||

q p q

q p qpv x F x c v F W

,

где ( , , , ).c c p q

Теорема А. [3, 1.8] Пусть 1 p q , ,( , )( , ) pw и

'

'

1/ 1/

1,

0 ( ) ( )

sup | |

p q

p qv

x x x

K v

.

Тогда имеет место оценка 1

, , 1 2|| ; || || ; ( ; , ) ||q v v pF L cK F W R , (4)

где ( , , , ).c c p q В (4) весовая норма

1/

0

; ( ) .

q

q

qvF L v x F dx

Теорема B. [4, 1.3] Пусть 1 p q . Тогда конечная постоянная 0C в неравенстве

1/ 1/

0

0 0 0

| ( ) | | |

q pxq pw x g dx C g dx

эквивалентна величине

'

'

1/ 1/

0 0

sup | | | |

p qxp q

x x

C w

.

91

Лемма 3. Пусть '

| | , | | , 1 | |p M p p p pu G u w p u U , где '

0

( ) | |x

pU x u . Тогда весовая пара

,( , ), ppw .

Доказательство леммы 3. Для любого ( )x и e с e в силу условия '

| | Mpu G

' '

'

1/ 1/ 1/ 1/

1/ 1

( ) ( ) ( ) ( )

2 1( ; , ) inf 1 | | inf | |

3 | |

p p p p

pp p p

e ex x e x x e

M x p w w p u u

1/ 12 | |1 ,

3 | |

p ep

,

где 1/21 1

3

pp

.

Доказательство теоремы 1. Пусть 0 ,pf L 0

( ) .x

F x fu Тогда

1/

',

0

|| || 1|| ; ||

|| ||

ppq

q vp

SfF L F

f u

. (5)

Рассмотрим неравенство

'0 0

0 0

1,

pp pwF dx C F dx C

u

. (6)

Полагая 1 ,g u F перепишем (6) в виде:

0

0 0 0

| |

pxp pw ug dx C g dx

.

В силу теоремы B существует 1 1( , )с с p q такое, что

'

1/

1/0 1

0sup ( )

p

p p

x x

С с U x w dx

,

где '

0

( ) | |x

pU x u . Функцию pw зададим через условие

'/ ( )p p p

x

w dx U x

для любого 0x . (7)

Дифференцируя (7), получим, что 1 | |p p pw p u U . Итак, для pw в (7) и | | pu

1 '1

1|| ; ( ; , ) || 1p

pp

F W R w c Fu

. (8)

При этом пара ,( , ), .ppw Но тогда из теоремы А и (8) следует, что

1

, ,1 ,1

1 ( , )'

|| |||| ; ( ) ( ) || sup 1 sup ,

1 ; ( , )pp

q v q vp q u vp

f F W w p

p

FFS L R L R c cK

F W wFu

где ( , , , )c c p q . Положим

1

( ) ( ) ( ) , ( , ).( )

qx x

qa a

R f x v x fu v x fu dx a bv

Лемма 4. [1, 2.1] Пусть 1 p q , ( , ) .a b B Норма

0|| ; ( ) ( ) || ( ),p qR L L K (9)

где постоянная 0 0 ( , ).p q

92

Лемма 5. Пусть 1 p q , '

1 | |p Mw u G , 0 : ( )x K x Ø и пусть

0

lim ( ) lim ( ) 0x x

K x K x

.

Тогда существует конечномерный оператор : ( ) ( )p qL L R L R такой, что

|| ||S L c . (10)

При этом

1

10: ( )

( ) 4 ( )

r

r r

x x Ф x c

rank L Ф x dx

(11)

Постоянная ( , , )c c p q .

Доказательство леммы 5. Пусть 0 a b такие числа, что

( )K x , если 0 x a либо x b .

Пусть ,j j J — В-покрытие интервалами ( )j jx . Поскольку ( )jK и все

1 3,

2 2j a a

, то ( )card J . Семейство ,j j J запишем в виде , ,jm j J ( )card J n по

возрастанию центров .jmx Имеем здесь два случая:

(i) jm не пересекаются,

(ii) найдутся такие ,j 1j что 1j jm m

.

В случае (i) полагаем jj mQ . В случае (ii) совокупность интервалов jm мы можем разбить

на m , 1 m n , групп ,jm lj так, чтобы выполнялись следующие условия:

k jm m

если ,,k s j lm m s l .

Положим max , .

j ji i

i m m ij j

b mix a

Заметим, что 1 ,a a 1b b . Если 1m , то ,i ia i ib .

Представим R как 1 1 1 1 2 2 1(0, ] ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) [ , )m m mR a a b b a a b a b b . В случае 1m

поступаем следующим образом. Образуем промежутки 1 11 ,

j jm j m mQ Q

при 1 .j n Каждо-

му jQ соотнесем оператор j j jL S R , где jj Q , а jj QR R . Положим

1

n

jj

L L

. Заметим, что

( )rank L n . Далее мы будем также использовать B -покрытие 1 , k k J множества

10 , ,1 , .bjx b x Q j n b b Для произвольного '1

|| || 1,p pp

f L c f Fu

где 0

( )x

F x fu .

В силу леммы 1 и лемм 2 и 3

1 11 10

( ) | ( ) |k j k j

b n nqq q q qj j j

j jk J k JQ Q

Sf Lf dx Sf dx Sf L f dx x F dx R f dx

1

/

1 32 1

1 1

1( ) ; ( ; , ) ( ) 2

j

qq pp pnq p pq p q q q

j p k j pj pQ

k J

K F W p c K f c F Fc u

0

31 2 32 1 ,

p

q q qq p qc c c f c

где 3 3 ( , , )с c p q . Осталось перейти к пределу при b .

93

Если 1m , то вначале мы выстроим группы полупромежутков ,1jl lQ j n , где

111 mQ ,

11 j jj m mQ

, 11 j n , 1 1( ),n card 11

21 ,nmQ

11 1

2 n j n ij m mQ

, 22 j n , 2 2( )n card и

т.д. до группы ,1 , ( )mj m m mQ j n n card . Каждой группе промежутков ,1ji iQ j n соотне-

сем сумму операторов 1

in

ljj

L , где , ,

lj ljlj lj lj lj Q lj QL S R R R . Положим 1 1

lnm

ljl j

L L

. Множество

1 1

lnm

ljl j

Q

, поэтому ( )K x для всех

0 , ,1 ,1 ,blj lx x b x Q l m j n max .l

lb b

Далее, аналогично случаю (i) выводим оценку (10). Из определения ( )Ф t следует, что для любо-

го ( ),t x x

'

'

/ /

( ) ( )

1 1( ) ( ) | | | | ( ) .

| ( ) | | ( ) |

r p r q

r p q r r

x x

xФ t x u v K xx x

Пусть ,j ij J подсемейства непересекающихся интервалов покрытия ,j j J . В любом

из рассматриваемых случаев

1

( )

( ) ( ) 4 max 4 ( ) .i i j

r

r r r r rj

ji j J j J

x Ф x

rank L n K Ф dt Ф t dt

Доказательство теоремы 2. Из определения *M f следует, что для любого ( )t x

'

'

/ /

( ) ( )

1 1( ) | | | | ( ) | | ( ) | ( )

| ( ) | | ( ) |

r p r q

r p q r

x x

K x u v x x Ф tx x

.

Поэтому ( ) ( )j

r rK x Ф x

. Теперь нетрудно вывести, что условие ( )uv rФ Ф L R влечет равенство

0


K x K x

.

Если ( )K x для всех 0x , то в силу теоремы 1 0 1( ) || || ,a S S c где 1 1( , , ).c c p q Следова-

тельно, 1( ; ) 0N c S . Пусть теперь не пусто. Обращаясь к лемме 5, запишем оценку 2( )na S c , где n подчинено оценке (11), но тогда

1

1

2

0: ( )

( ; ) ( ; ) 4 ( ) ,

r

r r

x x Ф x c

N c S N c S Ф x dx

,

где 1 2max 4, , , , .c c c c p q Замена ' c приводит к требуемой оценке.

Доказательство теоремы 3. Пусть ,x B т.е. существует такое ( ),y что ( ).x y Из условия 1) теоремы 3 следуют оценки

1

21( ) ( )

p p ppu u u x

,

откуда имеем

1

1/2( ) ( ) .

pp

M u x u x

(12)

Из условия 2) теоремы 3 следует, что

1/

22 2

1( ) ( )

qq

v v y v x

,

откуда

1/22( ) ( ) .

qq

M v x v x

(13)

94

Функция 'p Mu G с 1, а из (12), (13) и условия 3) теоремы 3 непосредственно вытекает, что:

( )rL R и 1 1

1 11 2

1 2

0: ( ) 0: ( ) ( )

( ) .

r r

rrrr

x x Ф x c x x uv x c

ccФ x dx uv dx

Теперь мы можем утверждать, что (3) следует из (2).


1 Ломакина Е.Д. Оценки характеристических чисел интегральных операторов: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. — Хаба-ровск, 2006.

2 Гусман М. Дифференцирование интегралов. — М., 1978. 3 Кусаинова Л.К.// Дис. … д-ра физ.-мат. наук. — Алма-Аты, 1999. 4 Мазья В.Г. Пространства Соболева. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — С. 416.

Л.Қ.Құсайынова, А.В.Ухман

Жалпылаған монотондық шартымен Харди екісалмақты операторының ап-проксимациялық сандар таратылу функцияның асимптотикасы туралы. I

Мақалада ( )pL R Лебег кеңістігінен ( )qL R Лебег кеңістігіне, мұндағы (0, )R ,

1 p q , əсер ететін, жалпыланған бір сарындылық шарттарымен берілген екісалмақты

Харди операторы қарастырылған. «Локалды орта» терминінде ( )u x жəне ( )v x функциялары-

нан S операторының аппроксимативтік сандарының функцияларын санайтын жоғарғы бағалаулар алынған.

L.K.Kusaiynova, А.V.Uhman

About asymptotics of distribution functions of approximation numbers of the two-weight Hardy operator with the condition of generalized monotonicity. I.

The Hardy integral operator : ( ) ( )p qS L R L R defined by is considered. Under general monotonic

condition on u upper estimates for the counting function of the approximation numbers ( )na S are ob-

tained when 1 p q .

95

УДК 517.983.23

А.В.Ухман

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана

Об оценках снизу считающей функции аппроксимативных чисел двухвесового оператора Харди

с условием обобщенной монотонности. II.

Рассмотрено определение интегрального оператора Харди : ( ) ( )p qS L R L R . Получены

оценки снизу локального регулярного условия на u и v для считающей функции аппроксима-тивных чисел ( )na S при 1 p q .

Ключевые слова: оператор типа Вольтерра, банахово пространство, аппроксимативные числа, Харди, непересекающиеся интервалы, Лебег.

В работе рассматривается двухвесовой оператор Харди

0

( ) ( )x

Sf x v x ufdy , (1)

действующий из пространства Лебега ( )pL R в ( )pL R , (0, )R , 1 p q . Для случая, когда

функции u и v удовлетворяют определенным локальным условиям регулярности в среднем получе-ны нижние оценки считающей функции (функции распределения) аппроксимативных чисел операто-ра (1).

Пусть ,E F — пара банаховых пространств, ,L E F — совокупность всех линейных ограни-

ченных операторов, действующих из E в F . Через ,nL E F обозначим множество всех конечно-

мерных операторов ,A L E F , размерность образа которых rankA n . Величина

( ) inf || ||n

nL L

a S T A

называется n -ным аппроксимативным числом оператора ,T L E F .

Изучение аппроксимативных чисел оператора (1) было начато в [1]. Дальнейшее развитие во-просы аппроксимативных характеристик операторов типа Вольтерра получили в работах [2–6]. Ре-зультаты данной работы дополняют статью [8], в которой была получена верхняя оценка функции распределения

( )

( ; ) 1na S

N S

аппроксимативных чисел оператора S . Пусть Q — промежуток в ( , )R . Через ( , )L Q loc обозначается пространство локально

суммируемых в Q функций. Неотрицательную функцию w из ,L Q loc будем называть весом в Q.

Для измеримого e Q далее | |e

e dx , ( )e

w e wdx , ( , )a b , a b ; a , b . По-

ложим ( ) / 2, / 2h x x h x h . Для 0 и ( )h x интервал ( )h x . Далее 3

( ) ,2 2

x xx

,

0

: ( )x

B x

.

Класс ,1pA p . Будем говорить, что вес на R удовлетворяет условию pA , если

'

'1/ 1/

11

0 ( ) ( )sup sup | | || || ,

ph

p pp

Ax x x

где '

1

pp

p

. Запись pA .

96

Класс ,A . Будем говорить, что вес на R удовлетворяет условию ( )A

, если для данно-

го 0,1 найдется такое 0,1 , что для любого B

e

как только e и | | | |e .

В дальнейшем важную роль будут играть следующие локальные характеристики функций (*)u и

(*)v в среднем:

'

'

1/ 1/

( ) | | | |

p q

p qK u v

, ( ) | | ,ruv dt

'

1 1 1

r q p .

Положим ( ) ( ( ))K x K x , ( ) ( ( ))x x .

Теорема 1. Пусть 1 2p q либо 2 p q , '

| |ppu A , | |qv A

и пусть

0


K x K x

. (2)

Тогда имеет место оценка

0: ( )

( ; ) | |r r

x x c

N S c uv dx

, (3)

где ( , )p

p

Ac c p q u

.


| |ppu A , | |qv A

и пусть

0


K x K x

.

Тогда имеет место оценка

1

0: ( )

( ; ) | |ux x c

N S c uv dx

, (4)

где ( , )p

p

Ac c p q u

.

Теорема 3. Пусть 1 2p q либо 2 p q . Пусть u удовлетворяет условиям:

1) 0

1( ) ( ) 0;

tp p

U t u u t tt

2) 1(2 ) ( ), 0;U t U t t

3) 2

1( ) ( ), 0 .

p

hu U t dt x h xt

Пусть к тому же | |qv A и выполнено (2). Тогда справедлива оценка (3).

Теорема 4. Пусть 1 p q и пусть веса ,u v удовлетворяют условиям теоремы 3. Тогда име-ет место оценка (4).

Замечания 1. Условиям 1)–3) теоремы 3 удовлетворяет функция ( ) , 0.u x x

2. 0: ( )

( ) r

x x

строго монотонно убывает. Поэтому, обращая неравенство (3), получим

оценки: 1 1( ) ( 1), 1n ua S c n n .

3. Если оператор S компактен, то из (3) также следует предельное неравенство 1

1

0

lim ( ) .rr

n un a S c uv

В работе [6] были получены (при определенных условиях на и u v ) следующие результаты:

1

1

sup ( ) ( , )rn

n

n a S C u v

,

97

1

0

lim ( ) ( , ) .rr

nn a S c p q uv

Лемма 1. ([8] п. 1.) Пусть ( )h x — положительная и ограниченная функция, определенная на

ограниченном множестве E R и 0 ( )h x x для любого 0x . Тогда существует не более чем

счетное семейство интервалов ,j j J , ( ) / 2, ( ) / 2j j j j jx h x x h x кратности 2 и разделяю-

щееся на не более чем 4 подсемейств ,j ij J непересекающихся интервалов.

Такие покрытия мы будем называть B -покрытиями. Перейдем к задаче дискретизации оценки снизу аппроксимативных чисел ( )na S . Если ( )K x ,

то *0 ( ) inf (0, ) : ( ( ))hh x h x K x x .

Понятно, что *( ( ))K x , где

* ( ) ( )hx x с * ( )h h x .

Пусть n

jj 1

*

— конечная совокупность непересекающихся интервалов )(**

jj x , где цен-

тры )(:0 xKxx j , ** 1~

jj . Возьмем функцию 0C с

2

1,

2

1)(sup p та-

кую, что 10 на

2

1,

2

1, 1 на

2

1,

2

1 и пусть 0

' ||sup c . Положим

)(||)( 1jjj xxx . Ниже )( RLqv −весовое пространство Лебега с нормой

.)(

/1

0,

q

q

vqdxfxvf

Рассмотрим вначале оператор P на )( RLqv . Положим

n

jj

jj

jgPg

1~

~

),(

),(,

где

*

~),(

j

dxvggq

jj . Пусть ),(|| Av q . Применяя неравенство Гельдера к интегралу

*

'1~),(

j

dxvgg q

q

jj , выводим оценки:

q

qq

qqn

j

q

qn

j

q

j

q

jj

jq

jjjjj

vvdxvgdxvdxvg

dxPgxv*

'

****

/

1 ~1~

~

0 ,

,)(

,||||1

1

1

11

01 *

qL

qn

j

q

qv

j

gcdxgvdxvg

откуда следует, что

qvqvq cRLRLP /1

1,, )()(: ,

где 11 1 c . Пусть W — ограниченное множество в нормированном пространстве X и пусть W содержит

нулевой элемент X . Обозначим через kF совокупность всех подпространств XM размерности k . Величина

XMyWxFM

k yxXWdk

infsupinf);(

называется n -поперечником по Колмогорову множества W .

98

Пусть npl — пространство nR , наделенное нормой

1/

1

| | , 1pn

pip

i

p

. Для единичного

шара npB в n

ql известны следующие оценки (см. [9]):

1, если 1

;, если 1 2,2

n nk p q

p q

d B l n kp q p q

n

(5)

Лемма 2. Пусть qp,1 , pp Au

'

||1 , Av q||2 и пусть существует 2n непересе-

кающихся интервалов )(**jj x , на которых )( *

jK . Тогда для любого натурального nm 12

справедлива оценка

nq

npmum lBdcSa ;)( 1 , (6)

где pAu cc 1 .

Доказательство леммы 2. Для произвольного взятого 0 найдется такой оператор

)()(: RLRLA qp , что mAM )(dim , где )(:)( RLfAfgAM p , и

)()(;)( RLRLASSa qpm . (7)

Далее,

qAMgff

qff

qp gSfAfSfRLRLAS)(1||:||1||:||

infsupsup)()(;

.)()(infsupinf

/1

0 0)(1||:||))((

qqx

AMgffRLFMdxxgfuxv

qm

(8)

Обозначим через W множество всех ),(xF абсолютно непрерывных в R и удовлетворяющих

условиям 0)0( F , 11 ' Fu

. Тогда для любого ))(( RLFM qm

vqp

LAMgUF

qqx

AMgffgFdxxgfuxv

,)(

/1

0 0)(1:infsup)()(infsup

p

n

jjj

n

jjj

MgLAMgUF

u

PgP

PgPFP i

vq

1

1

)(0)( 1infsupinfsup

1,

. (9)

Пусть )( 1 msg skk — базис подпространства M и

s

k

n

jjjkk fMgg

1 1

, .

Тогда

n

j

s

kjkjk

n

jjj aPgPf

1 11

, ,

где ~

~

),(

)(

jj

jkjk

ga

, и

dxvaPgPf

j

ìq

q

j

n

j

qs

kkjkj

q

L

1 1

,.

Пусть L~

— подпространство nR , натянутое на систему векторов skka 1 , где ),...,( 1 knkk aaa .

Оценка (9), в свою очередь, приводит к следующей оценке:

99

pp

j

n

j

p

j

qn

j

qq

jj

LyR

qqx

AMgff

dxu

dyvy

dxxgfuxv

j

j

njp

1

'

1

1

1

)(0

1

0 0)(1:

~

~

1

infsup)1()()(infsup

pn

j

p

j

qp

q

p

j

n

j

qq

jjLyRRFL

dxudxy

jj

nj

ns

1

1

1

'1

1)(0)(infsupinf)1(

.

Из условий

AvAuq

pp

21 ,'

следует, что

quu

q

j

pq

p

jq

ccKdxudxv

jj

11*'1

**

, (10)

где ,),( 1 pAu qpcc и из (5), (7)–(10) следует, что

nq

npmum lBdcSa ;)( 1 . (11)

Доказательство теоремы 1. Пусть множество )(:0 xKx . Обозначим через

Bj * — покрытие )(:0 xxG , разделяющееся на подсемейства ** , ij Jj , 4i , непе-

ресекающихся интервалов *j . Допустим, что хотя бы одно из подсемейств **

0, ij Jj содержит

конечное подмножество jj ,* с .2)( cardn Пусть m — максимальное натуральное число,

не превосходящее n12 . Тогда из леммы 1 и (5) получаем, что 11)( cSam , где ucc 21 , откуда

)(sup);(*0

11

cardScNiJ

.

Заметим, что в силу неравенства Гельдера относительно сопряженных показателей r

p и

r

q для

любого B

.)('

'r

qr

qp

r

prKvuuv

(12)

В частности, из (12) следует, что G . Используя (12), продолжим оценки:

.supsup)(sup*0

**0

*0

*0

*

i jiii Jj

r

J

rr

jj

J

r

J

dxuvKcard

Если 1)( * iJcard , то

*

*1iJj

r

jr K .

В итоге

.44);( 1111

* *

dxuvuvScNG

rr

i Jj

rr

i j

(13)

Если )(:0 xKx пусто, то и G пусто, соответственно

G

rdxuv 0 .

Замена ' 11c в (13) приводит к окончательной оценке.

Доказательство теоремы 2. Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1.

100

Доказательство теоремы 3. Утверждение теоремы 3 будет следовать из теоремы 1, если мы по-

кажем, что из условий 1)–3) теоремы 3 следует, что 1

p

pu A . Пусть 0 .

2

xh Тогда

3 5

( ),4 4 hx t x t x

и из условий 1) и 3) на функцию 1

p

pu A следует

1/ 1/ 1/1// 1/ 1/1/1/ 1 5 1 3 5 1 3

( )4 4 4 4

p p ppp p p ppp

p

dt x xU t dt U U dt

t x xu

1/ 1/1/ 1/

1 1 21

5 51,

3 3

p pp p

U t dtt

откуда следует

1

1/ 1/ 1/1 1 2

1 1

51.

3

p p pp c

(14)

Пусть .2

xh x Тогда

' ' '

' ' '2 2

21 1 1 2 1

0 0

1 34 ,

2

p p ppx xp p p

p p pp p p p p p p pu t dt cp

откуда имеем

'

'

1 1

11 2

14 .

ppp pu c

(15)

В силу (14) и (15) 1/

1 24 .p

uc

Доказательство теоремы 4 повторяет приведенные выше рассуждения.


1 Edmunds D.E., Evans W.D. Spectral theory and differential operators. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1987.

2 Edmunds D.E., Evans W.D., Harris D.J. Two-sided estimates of the approximation numbers of certain Volterra integral operators // StudiaMath. — 1997. — Vol. 124. — P. 59–80.

3 Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Об асимптотическом поведении аппроксимативных чисел и оценках норм Шатенна-Неймана интегрального оператора типа Харди // Докл. РАН. — 1999. — Т. 367. — 5. — С. 594–596.

4 Lomakina E.D. On asymptotic of the approximation numbers and estimates of Schatten vonNeumann norms of the Hardy-type integral operators // Function spaces and application.— New Delhi: Narosa Publishing House, 2000. — P. 153–187.

5 Ломакина Е.Н., Степанов В.Д. Асимптотические оценки аппроксимативных и энтропийных чисел одновесового оператора Римана-Лиувилля // Доклады РАН. — 2005. — Т. 403. — 5. — С. 598–599.

6 Ломакина Е.Д. Оценки характеристических чисел интегральных операторов: Дис. … д-ра физ.-мат. наук. — Хаба-ровск, 2006.

7 Кусаинова Л.К., Ухман Л.К. Об асимптотике функции распределения аппроксимативных чисел двухвесового опера-тора Харди // Вестн. ПГУ. — Павлодар: Изд-во ПГУ, 2010. — 3. — С. 132–141.

8 Гусман М. Дифференцирование интегралов. — М., 1978.

9 Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — М., 1976.

101

А.В.Ухман

Жалпылаған монотондық шартымен Харди екісалмақты операторының аппроксимациялық сандар есептеу функцияның төменгі бағалары туралы. II

Мақалада ( )pL R Лебег кеңістігінен ( )qL R Лебег кеңістігіне, мұндағы (0, )R ,

1 p q , əсер ететін, екісалмақты Харди операторы қарастырылған. u жəне v функциялары реттіліктің анықталған локалдық шарттарын қанағаттандырған жағдайда орта шамамен екісалмақты Харди операторының аппроксимативтік сандарының функцияларын санайтын төменгі бағалалары алынған.

A.V.Uhman

About lower bound of the counting function of approximation numbers of the two-weight operator hardy with the condition of generalized monotonicity. II

The Hardy integral operator : ( ) ( )p qS L R L R defined by is considered. Under local regular con-

ditions on u and v lower estimates for the counting function of the approximation numbers ( )na S

are obtained, when 1 p q .

102

МЕХАНИКА

ƏОЖ 621.01.539.3

Ж.Б.Бəкіров, А.Ə.Тəңірбергенова

Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті

Кездейсоқ факторларды ескеріп, стержендердің күдіктіден кейінгі деформациясын зерттеу

Тұрақтылығын жоғалтқаннан кейінгі стерженнің иілімінің садағының кездейсоқ сипаттамаларын анықтау туралы есеп қарастырылған, ол үш кездейсоқ шаманың функциясы болып табылады: өстің бастапқы қисаюының садақ жүгі, эксцентриситет жүгі. Иілімнің бөлу тығыздығы кездейсоқтықтың тығыздығының түрлендіруі арқылы анықталған жəне де осының негізінде сенімділікті бағалау үшін формулалар, математикалық күтім жəне иілім дисперсиясын есептеу формулалары алынған.

Кілтті сөздер: стержендердің деформациясы, жүктеменің таралу заңы, математикалық үміт, дисперсия, екінші қатардың бастапқы моменті, интеграл.

Орнықтылықты жоғалтқаннан кейін стержендердің деформациясын анықтау үшін иілудің

сызықтық дифференциалдық теңдеуіне немесе деформацияның сызықтық емес құраушыларын ескеру арқылы энергетикалық қатынастарды қолданылады. Кейбір жағдайларда майысу шегін анықтау теңдеуі келесі түрде көрсетіледі:

3 1 / 0крF F . (1)

Осыдан

1/2/ / 1 /крA l F F , (2)

мұнда — өлшемсіз майысу шегі; — стержендердің бекінісіне тəуелді сызықтық емес өлшемсіз

коэффициент; крF — күдікті күш.

Əрі қарай сығушы күшті кездейсоқ шама болып табылады деп санаймыз, оның таралу тығыздығы P F . Иілу шетінің таралу тығыздығы ықтималдық тығыздығы өрнектеу теңдеуінен [1]

анықталады

dhf P h

d

, (3)

мұнда 2 1 крh F F .

Жүктелудің бірқалыпты таралу заңында бұл өрнек мына түрге ие:

22 2 2 40 02 / exp / 2mf

. (4)

Мұнда келесі белгілеу енгізілген:

2 2 2 20 0 0 0 0/ , / ,F кр кр F F mF t F m m t m , (5)

бұнда ,F Fm — жүктеменің математикалық үміті мен тұрақтысы.

Беріктік есептерін шешу үшін жиі, яғни, майысу шегінің деңгейінен аспайтын ықтималдығын анықтау есептерін шығарамыз. Бұл деңгей тікелей беріктік шартынан беріледі. Соңғы жағдайда мəні мына шарттан анықталады:

103

max */ /F A F l W ,

мұнда * — шектік кернеу. Осыдан

* * / 1 / /F A W l .

Егерде жүктеме кездейсоқ шама болса, онда мына теңсіздік міндетті түрде орындалады:

* */ 1 / /F A l W F ,

үлкен gH ықтималдығымен орындалады, яғни, былай болу керек

*

kF

gH P F dF F F

, (6)

мұнда F x — жүктеменің таралу заңы.

мəні енді (6) теңдеуінің түбірі болып табылады. Сонымен, мысалы, бірқалыпты заң үшін

* /H F FF m ,

мұнда H — қалыпты таралудың квантилі, ол Hg ықтималдығына сəйкес. Онда

* 1F H FF m k жəне

**

1

1F H F

W

l m k A

.

Майысудың шектік деңгейден асып кетпеу ықтималдығы мына өрнекпен анықталады:

*

*

0

крP F F f d

, (7)

мұнда бірінші мүше теңесудің тік сызықты пішінін сақтау ықтималдығына тең. Бұнда (4)-ті қойып, жəне айнымалыларға ауыстыру жасаймыз

2 2 20/mt .

Онда

1

20 0t t ,

1

20 0/ 2d dt t t ;

* *

2

0

1/22

* 0

0

(2 )t

t

t

f d e dt Ф t Ф t

,

мұнда 2 2* 0 * 0/t t .

Əрі қарай ескертетініміз, қалыпты заң үшін 0 ,крF F Ф t толығымен мынаны аламыз:

* *P Ф t .

Ықтималдық есептерді шығару үшін кейде майысудың математикалық үміті мен дисперсиясын білу жеткілікті. Олар мына формулалары бойынша анықталады:

m f d

;

2 2 2 22D m f d f d m m

, (8)

мұнда 2 — екінші қатардың бастапқы моменті.

(4)-ті (8)-ші өрнекке қойып жəне жоғарыда аталған белгілеулерді енгізіп, аламыз

2

2

0

1 1

2 20 02

t

t

m t t е dt

.

Тағы да бір айнымалыға ауыстыру жасаймыз 0 ,x t t онда

20 11

22 220 0

0

2 exp / 2 .t

m l x x xt dx

104

Арнайы функциялар теориясынан [2] интеграл алынады

22 /4

0

exp / 2 1 1/ 2, ,a zx x zx dx Г a e U a z

мұнда Г d — толық гамма функция; ,U d z — параболалық цилиндр функциясы.

Осы интегралды қолданып, аламыз

20142

0 02 3 / 2 1, ,t

m е Г U t

3 / 2 / 2Г екенін ескеріп, толық мынаған ие боламыз:

20

40 01, / 8

t

m е U t

. (9)

Егер 0 0t болса, онда мына теңсіздікті қолдануға болады:

(1, ) 1, / 3 / 2 2 1,U x V x Г V x ,

мұнда 1,V x — бұл да параболалық цилиндрдің функциясы. Бұл функциялардың кестелерін [2]-ден

табуға болады. Майысу дисперсиясын табамыз. Ол үшін, біріншіден, екінші моментті анықтаймыз

2 2

2 22 22 0 0/ 2 / 2

t m

m

t m e dt mФ m e

. (10)

Енді майысу тұрақтысы мынаған тең

22D m .

Ұқсас түрде зерттеулерді жүктеменің басқа да таралу заңдарында жүргізуге болады. Мысалы, егер күш гамма таралуына бағынса, онда критерийден артық аумағындағы шеттердің майысу тығыздығының ықтималдығы мынаған тең:

1 1 2 20 012 1 exp 1f t Г t

,

мұнда 0 / .крt F

Майысу берілген * деңгейінен аспайтын ықтималдығын анықтаймыз, яғни айнымалыларға

ауыстыру жасай отырып,

20 1t t

аламыз,

*

0

1* 0 *1 1, 1, / 1 ,

tt

t

P Г t t е dt t Г

мұнда 2* 0 *1 ,t t аяғында мынаны аламыз:

* *2 ,2 2 .P P t

Майысудың математикалық үмітін табамыз. Алдыңғы айнымалдарды ауыстыруды пайдалана отырып, мынаған ие боламыз:

0

1 01

0

.t

t

t tm Г t е dt

t

Тағы да бір айнымалыға ауыстыру жасаймыз 0 0/х t t t . Онда

0 0

1 11 12 2

010

1 .t xtm Г t е x x е dx

Интегралды көрсетуді ескере отырып, гипергеометриялық функцияларды [2]

11

0

1 , ,b aa tSt t e dt Г a U a b S

105

аламыз,

010

0

/3 / 2, 5 / 2,

1

tt еm U t

Г

.

Дисперсияны анықтау үшін екінші алғашқы моментті табамыз

0

1 0 0 02 0 0

0

2, 1,1

1t

t

Г t t Г tt Г t t t е dt

t Г

,

мұнда 1, ,a t

x

Г a x t е dt Г a a x

.

Өлшемсіз майысу шеті бар 0 оны бірқалыпты заңмен таратылған кездейсоқ шама деп қарастырып, алғашқы қисаю осі бар стерженді қарастырамыз

12 2

0 02 exp / 2H HP

. (11)

Бастапқы майысу функциясын стерженнің орнықтылығын жоғалту пішінімен сəйкес келеді деп есептейміз. Онда майысу шетін анықтау формуласы мына түрге ие:

301 / крF F . (12)

(12) теңдеуінің есебі бойынша крF F кезінде əр түрлі 0 қисықтардың шоғырлануы 0

айқынсыз шешімнің айналасында болады. Ал егер крF F кезінде қисықтардың шоғырлануы

айқынсыз емес орнықты (2) шешімдердің жанында орын алады. Сонымен, крF F кезінде майысу аз болса, онда (12)-ні елемей бірінші мүшеден мыналарды

табамыз:

0 / 1 / крF F . (13)

Бұл жағдайда толық майысу (11) таралуына мына тұрақты ие:

/ 1 /Н крF F .

(12) жəне (13) формулалар бойынша жүргізілген есептерде 0,9 крF F кезінде майысуды

анықтау қателігі 7 % -ті құрайды. Ал 0,9 крF F кезінде (12)-ші жалпы формуласын қолданған дұрыс.

Онда формула бойынша мынаны аламыз:

2

22 2 23 1 /

exp 1 / / 22

кр

кр H

H

F Ff F F

. (14)

шекті мəнінен майысудың аспау ықтималдығын анықтаймыз, оны стерженнің сенімділігі деп түсіндіреміз

*

*

*H P f d

. (15)

(14)-ті (15)-ке қоя отырып, айнымалыға ауыстыру жасаймыз

2 1 / /кр Ht F F .

Онда

2

*

2* *

0

2 / 2 1,t t

H P e dt Ф t

(16)

мұнда 2* * * 1 / / .кр Ht F F

Күдіктіден кейін аумағында толық майысу бастапқы майысуларға аз тəуелді екенін ескере отырып, математикалық үмітті (2) формуласы бойынша анықтауға болады. Дисперсияны анықтау үшін келесі жағдайларды қарастырамыз. Толық майысуды (2)-ші формула бойынша g идеалды

стержендердің қосындысы ретінде жəне алғашқы қисаю осінен туған аз ауытқу ретінде қарастырамыз g . (17)

106

Онда (12) теңдеуін былай жазуға болады:

3

01 /g кр gF F .

Бұл теңдеуден (1) теңдеуін шегеріп тастаймыз. Онда мына теңдік шығады:

2 2 203 1 / / 3 1 /g g g крF F .

крF F кезінде / 1g болатынын ескеріп, бірінші жақшадан соңғы екі мүшені алып тастаймыз.

Бұл детерминдік шешімнің айналасындағы ауытқудың сызықтануына тең болып табылады. Онда

0 / 2 / 1крF F . (18)

Бұдан толық майысудың тұрақтысын табамыз

/ 2 / 1H крF F . (19)

Осы формуламен келісіп, крF F кезінде тұрақты шексіздікке тең. Бұл жағдайда өткізілген

сызықтанудың жалған екендігі шығады. крF F кезінде (12) теңдеуі мынадай түрге ие болады:

30 .

Онда майысу таралуының тығыздығы мынаған тең болады:

2

2 6 23exp / 2

2H

H

f

.

Майысу дисперсиясы мына өрнекпен анықталады:

2

0

2 .D f d

Айнымалыны ауыстырғаннан кейін 2 6 2/ 2 Ht былай жазуға болады:

2 2

3 36

0

/ 2 / / 2 5 / 6 /S

tH HD t e dt Г

. (20)

Сығу күші сонымен қатар кездейсоқ шамалар болып табылады. Алғашқы майысудың жəне күштің статистикалық тəуелсіздігі олардың біріккен ықтималдық тығыздығы мынадай түрге ие бола-ды: 0 0( , ) ( ) ( )P F P P F .

(12) теңдеуінен мынаны аламыз: 3, 1 / крh F F F .

Майысудың ықтималдық тығыздығын анықтаймыз

, /f P h F P F dh d dF

.

Жүктеменің қалыпты таралу заңында майысудың ықтималдық тығыздығының нақты өрнегі [3] жұмысында келтірілген

24 2 2 2 2 2 2

3 4 2 22 2 2 020

2 3exp

22

m ma

fa

a

, (21)

мұнда /H кр Fa F .

Егер алғашқы майысу 0H жоқ болса, онда бұл өрнек (4) өрнегіне сəйкес келеді. Егер

жүктеме кездейсоқ емес болса 0F , онда (21) (14) өрнегіне сəйкес келеді.

(21)-ді (15)-ке қойып, стерженнің сенімділігін анықтаймыз. Айнымалыларға ауыстыру жасаймыз

2 2 2 2 20( ) /mt a . (22)

Ықтималдықтарды түрлендіру формуласын қолдана отырып, t кездейсоқ шамасы бірлік дисперсиясындағы орталықтандырылған қалыпты заңмен таратылады.

2

1222 .t

P t e

107

Онда сенімділік (16) өрнегімен анықталады, мұнда

2 2 2 2 2* * * 0 */mt a .

Əрі қарай (22) өрнегінен майысуды табамыз

1

222 4 2 2 4 2 2 4 20 0 0/ 2 / 4m mt t t a

.

Енді майысу кездейсоқ шаманың функциясы болып табылады 2x t ( )f x .

Онда бұл функцияны математикалық үміттің айналасында xm тарату арқылы майысудың математикалық үміті мен тұрақтысы үшін жуық өрнекті анықтау керек

( ); ( )x x xm f m f m D .

x кездейсоқ шамасының ықтималдық сипаттамаларын табамыз

2 4 2 4

0 0

2 ( ) 1, 2 ( ) 1 2x x xm t P t dt D t m t P t dt

.

Сəйкес математикалық түрлендірулерден кейін мыналарды аламыз:

1/2

2 4 2 4 2 2 20 0( ) / 2 ( ) / 4 /m m нm

;

4 2 4 2 20 0

2 40

( ) 2 /

2

m н

m

b

b b

,

мұнда 2 4 2 2 20( ) 4 /m нb .

Математикалық үміт пен дисперсияны анықтауды төмендегідей жеңілдетуге болады. крF F

кезінде (13) өрнегін пайдаланамыз. Онда

0m , 1 /

H

F kpm F

.

крF F кезінде (17) ұсынуын жəне (2) жəне (18) формулаларын қолданамыз

1/2

0

2( )kp kp

gkp kp

F F F

F F F

.

Əрі қарай бұл өрнекті математикалық үміттің айналасында Тейлор қатарына жіктеуді қолданамыз

Fm жəне 0

0m [1]. Онда

1/2/F кр крm m F F

;

0

2 2

2 2

, 00 FF

H FF mF m

DF

2 2

24(1 / ) 4 ( / 1)H F

F kp kp F kpm F F m F

.

Енді күшпен қысылған топсаны тірелген стерженді қарастырамыз, оның қойылым нүктесі ең кіші тығыздық жазықтығында ауырлық центрден e ара қашықтығында орналасқан. Бубнов- Галеркин əдісін пайдаланып, қайтадан (12) теңдеуін аламыз 0 4 / .креF lF

Егер крF F болса, онда майысу шеті мына өрнекпен анықталады:

4

*/ 1кр

e

l F F

.

Эксцентриситет (11) таралу тығыздығымен кездейсоқ шама болып табылсын. Онда келесі есепте қосымша қисайған стержень үшін формулалар бойынша жүргізіледі, оларға мыналарды қоюға бола-ды: 4 / ,H e крF F

мұнда е /e l қатысты эксцентриситет тұрақтысы.

108

Егерде бір мезгілде майысу мен эксцентриситет болса, онда есептік формулалар да əділ болады, егер оларға мыналарды қоятын болсақ,

22 24 / * ,H HП кр еF F 0 4 / ,HП крFe lF

мұнда ,HП НП — қатыстық жебе жəне алғашқы майысу тұрақтысы.

Эксцентриситет бар болғанда стерженнің сенімділігін бағалау үшін * майысуының шектік мəні мына өрнекпен анықталады: * * * *1 / / / ,e l F A

мұнда /W A — қима түйінінің радиусы; * — шектік кернеу; *F , *e — күш пен эксцентриситет

мəні, олар есептеудің ықтималдық сенімділігіне gH сəйкес. Сонымен, бұл шамалардың қалыпты та-

ралу заңдарында * 1F H FF m k , * H ee l .

Алдыңғы формуладан мынаны аламыз: * * * */ /W F e l .

Алынған нəтижелердің негізінде сенімділікті бағалайтын, деформацияланудың математикалық үмітін жəне дисперсияларын анықтайтын формулалар алынды.


1 Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. — М.: Наука, 1969. — 57 с. 2 Справочник по специальным функциям / Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. — М.: Наука, 1979. — 830 с. 3 Бакиров Ж.Б. Исследование закритического прогиба пластин с учетом случайных факторов // Строительство: Тр.

КарГТУ. — Вып. 1. — Караганда: Изд. КарГТУ, 1996. — С. 171–174.

Ж.Б.Бакиров, А.А.Танирбергенова

Исследование деформации после сжатия стержня с учетом случайных факторов

Решается задача об определении вероятностных характеристик стрелы прогиба стерженей после потери устойчивости, которая является функцией трех случайных величин: нагрузки стрелы начального искривления оси, эксцентриситета нагрузки. Плотность распределения прогиба определена преобразованием плотностей вероятности, и на этой основе получены формулы для оценки надежности, вычисления математического ожидания и дисперсии прогиба.

Zh.B.Bakirov, А.А.Tanirbergenova

Research the deformation of the rod after the suspect, given the probability factors

The problem is solved to determine probability characteristics of rod sags after the stability loss which is the function of three random quantities: load, a sag initial axis bending, load eccentricity. The deflection distribution density is determined by converting probability densities, and the formulae to evaluate the reliability, to calculate the expectation and the deflection dispersion have been ob-tained on this basis.

109

УДК 531.391.2

С.Р.Минбаева, Г.А.Тукешова


Расчет мебраны на сосредоточенную нагрузку с использованием поверхности влияния

прогибов и поперечных сил

В статье рассмотрен метод мембранного расчета с использованием функции Грина, с помощью которого выполняются некоторые преобразования. Получены формулы поверхности боковых сил и действия мембранных прогибов, с помощью которых рассматривается напряженно-деформированное состояние мембраны под действием произвольной системы сосредоточен-ной силы.

Ключевые слова: мембрана, сосредоточенная нагрузка, прогиб, поперечные силы, поверхность влияния, напряженно-деформированное состояние.

Одним из направлений научно-технического прогресса является все более широкое использова-

ние в строительстве облегченных конструкций, мембранных и мягких оболочек, висячих покрытий, которые позволяют экономично перекрывать большие пролеты инженерных сооружений, промыш-ленных и общественных зданий. К висячим покрытиям можно отнести вантово-сетчатые конструк-ции, образованные гибкими и жесткими нитями, гибкие мембранные (и мягкие) оболочки. Геометри-ческие формы висячих покрытий весьма разнообразны и не всегда являются простыми — типа ци-линдрической, сферической, параболоидной и т.п. Под действием динамических и статических на-грузок висячие покрытия могут испытывать весьма значительные перемещения и деформации. Вследствие этого желательно получить общие уравнения механики таких систем, которые были бы пригодны для анализа сложных конструкций и описывали бы напряженно-деформированное состоя-ние при любых деформациях и перемещениях [1]. В данной работе с помощью численных и аналити-ческих методов [2] определены не только прогибы, но и поперечные силы мембраны, что другие ме-тоды не позволяют сделать или представляют собой определенную трудность.

Пусть на мембрану действует подвижная сосредоточенная сила P , приложенная к точке М (рис. 1). Положение этой силы относительно системы координат определяется параметрами, 1a и 2a .

Введем безразмерные координаты и параметры:

1

1

xx

l , 2

2

xy

l , 1

11

a

, 2

22

a

, 1 11 , 2 21 , (1)

где 1 2, — размеры сторон мембраны вдоль координатных осей 1x и 2 .x

Функцию прогибов и поперечные силы мембраны возьмем следующим образом в соответствии с [3]:

1 2 0( , ) ( , ), ( , )W x x W f x y f x y x y , (2)

01 1

fQ Q

x

, 0

2 2

fQ Q

y

, 0

1 0

0

1

WQ S

l , 0

2 0

0

2

WQ S

l , (3)

где 0W — максимальный прогиб мембраны; ( )X x , Y(y) — известные нитевые функции, которые

определяются по следующим формулам: при 1x , 1( ) (1 )X x x ,

при 2y , 2( ) (1 )Y y y , (4)

при 1x , 1( ) (1 )X x x ,

при 2y , 2( ) (1 )Y y y ,

дальше, осуществляя следующую перестановку и полагая, что 1P , получим функцию Грина для каждой квадранты прогибов, определенных в квадрантах (рис. 1):

110

Рисунок 1. Мембрана, нагруженная сосредоточенной силой

1 2 1 2, , ,x y x y ,

1 2 1 2( , , )x y x y ,

1 2 1 2( , , )x y x y ,

1 2 1 2( , , )x y x y , (5)

1 2 1 2( , , )x y x y . Разбив мембраны на четыре квадранта на основании [2], используя формулы (2), (4) и (5), опре-

деляем функции прогибов в этих квадрантах: 1) при 10 x , 20 y 1 , 1 1 1 2W x y xy ,

2) при 1 1x , 20 y 2 , 1 1 2 1W x y x y , (6)

3) при 10 x , 2 1y 3 , 1 1 1 2W x y x y ,

4) при 1 1x , 2 1y 4 , 2 1 1 1W x y x y .

Соединив квадранты функции прогибов, получим поверхность влияния прогибов для мембраны

,S x y , вид этой поверхности влияния прогибов при 1 0,5 , 2 0,5 представлена на рисунке 2,

числовые значения представлены в таблице 1:

CreateMesh W 0 1 0 1( ) CreateMesh W 0 1 0 1( )

Рисунок 2. Поверхность влияния прогибов мембраны, справа вид — изолинии, слева — поверхность влияния в пространстве

111


Функция прогибов при действии произвольной системы координат

y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 W(0, y) 0 0 0 0 0, 0 W(0,2, y) 0 0,01 0,02 0,02 0,01 0 W(0,4, y) 0 0,02 0,04 0,04 0,02 0 W(0,6, y) 0 0,02 0,04 0,04 0,02 0 W(0,8, y) 0 0,02 0,02 0,02 0,01 0 W(1, y) 0 0 0 0 0 0

20

11 2 2 (1 1) 1m

m

, 1

2

lm

l , 1

00

1Q

l

, 2

00

2Q

l

;

1) 1, 2x y 2) 1, 2x y

1 11 ( , ) 0 (1 2)Q x y Q xy 2 11 ( , ) 0 (1 ) (1 2)Q x y Q x y (7)

1 22 ( , ) 0 (1 1)Q x y Q xy 2 22 ( , ) 0 1 (1 )Q x y Q y x 3) 1, 2x y 4) 1, 2x y

3 11 ( , ) 0 (1 ) 2Q x y Q x y 3 22 ( , ) 0 (1 )(1 1)Q x y Q x y

4 11 ( , ) 0 (1 )(1 ) 2Q x y Q x y 4 22 ( , ) 0 1(1 )(1 )Q x y Q x y Здесь 0 — параметр прогибов.

Соединив поперечные силы этих квадрантов, получим поверхности влияния поперечных сил для мембраны 1( , )Q x y и 2( , )Q x y (рис. 3), вид этих поверхностей влияния поперечных сил при 1 0,5 ,

2 0,5 представлен на рисунке 3, числовые значения представлены в таблице 2.

CreateMesh Q2 0 1 0 1( ) CreateMesh Q2 0 1 0 1( )

CreateMesh Q1 0 1 0 1( ) CreateMesh Q1 0 1 0 1( )

Рисунок 3. Поверхности влияния поперечных сил мембраны, рисунки слева — изолинии, рисунки справа — поверхности влияния в пространстве

112


Функция поперечных сил при действии произвольной системы координат

y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Q1(0, y) 0 0 0 0 0 0

Q1(0,2, y) 0 –0,08 –0,16 0,16 0,08 0 Q1(0,4, y) 0 –0,16 –0,32 0,32 0,16 0 Q1(0,6, y) 0 –0,16 –0,32 0,32 0,16 0 Q1(0,8, y) 0 –0,08 –0,16 0,16 0,08 0 Q1(1, y) 0 0 0 0 0 0

Q2(0, y) 0 0 0 0 0 0

Q2(0,2, y) 0 –0,08 –0,16 –0,16 –0,08 0 Q2(0,4, y) 0 –0,16 –0,32 –0,32 –0,16 0 Q2(0,6, y) 0 0,16 0,32 0,32 0,16 0 Q2(0,8, y) 0 0,08 0,16 0,16 0,08 0 Q2(1, y) 0 0 0 0 0 0 На основании полученных поверхностей влияния ( , )S x y , 1( , )Q x y и 2( , )Q x y можно произво-

дить расчеты мембраны на действие сосредоточенных сил, приложенных к разным точкам мембраны. Таким образом, используя метод расчета мембраны [1], можно определить напряженно-дефор-

мированное состояние мембраны при действии произвольной системы сосредоточенных сил.


1 Ивович В.А., Покровский Л.Н. Динамический расчёт висячих покрытий. — М.: Стройиздат, 1989. — 312 с. 2 Турсунов К.А. Механика мембран, пластин и оболочек. — Караганда: Изд-во КарГУ, 2009. — 141 с. 3 Турсунов К.А. Механика стержневых конструкций. — Караганда: Изд-во КарГУ, 2009. — 141 с.

Мінбаева С.Р., Тукешова Г.А.

Көлденең күштер мен иілудің əсерінен пайда болған беттерді қолдануымен берілген топталған жүктемеге мембрананы есептеу

Мақалада Грин функциясын қолданып, мембраналарды есептеу əдісі қарастырылған. Грин функциясын түрлендіру арқылы мембрананың майысу мен көлденең күштердің əсер ету беттері алынған. Олардың көмегімен мембранаға кез келген шоғырланған күштер жүйесі əсер еткендегі кернеулері мен деформациялардың күйін анықтауға болады.

Мinbaeva S.R., Тukeshova G.А.

Сalculation of mebrany on fixed load with the help of influence surface of deflection and shear forces

In the article the method of membrane calculation by Green function is considered with the help of which making some transformations the formulae of surfaces of lateral force and membrane deflec-tions effect are received with the help of which deflected mode of membrane under the action of arbi-trary system of concentrated force is considered.

113

УДК 532.685

Ж.О.Оралбекова


Об одном приближенном методе решения задачи теории изотермической фильтрации

В статье рассмотрен класс точных решений задачи двухфазной фильтрации жидкости в порис-той среде. В двумерном случае приведен алгоритм построения решения рассматриваемой за-дачи, содержащей свободную (неизвестную) границу.

Ключевые слова: фильтрация, двухкомпонентная жидкость, приближенный метод, Маскет, скважина, нестационарная задача, метод характеристик.

В данной работе исследована двумерная задача теории фильтрации со свободными границами.

Предлагаемый метод применен ранее в работе [1] с целью построения класса точных решений дву-мерных задач неоднородной жидкости и магнитной гидродинамики. В случае определения топологи-ческой структуры течения недостаточно ограничиться стационарной моделью. Развивается указан-ный в работе [1] метод для систем уравнений теории фильтрации составного типа. Известно [2–3], что в случае фильтрации двухфазной жидкости в пористой среде движение фаз подчиняется обоб-щенному закону Дарси и насыщенности ( , , )s s x y t смачивающей жидкостью, причем уравнение относительно насыщенности вырождается на искомом решении.

Постановка задачи. Будем рассматривать двухкомпонентную жидкость как совокупность кон-тинуумов, заполняющих один и тот же объем несжимаемого парового пространства. Для каждого из континуумов, помимо насыщенностей is , введем свою плотность , скорость фильтрации iv

и дав-

ление p . Тогда уравнения неразрывности каждой компоненты жидкости могут быть записаны в виде

0, 1,2.i i i im s div v it

(1)

Учитывая качественную картину многофазной фильтрации, М.Маскет предложил следующее формальное обобщение закона Дарси для каждой из жидкостей:

00 , 1,2,i

i i ii

kv K p g i

(2)

где 0K — по-прежнему коэффициент фильтрации пористой среды для однородной жидкости (или

симметричный тензор для анизотропной среды); i — коэффициенты динамической вязкости; а

0ik — относительные фазовые проницаемости. При этом 0

ik должны зависеть от насыщенности is ,

поскольку часть парового пространства занята другой жидкостью. По определению насыщенности is

меняются в пределах 000 1 ,i

i js s s ,i j 1 2 1,s s и по достижению значений 0 ,i is s движение

i -й компоненты прекращается, что обеспечивается выполнением условий 00 ( ) 0,i

ik s 1,2.i Ниже рассматривается плоское установившееся течение несмешивающейся двухфазной жидкости в порис-той среде в области , имеющей вид плоского канала 1 2 3 4A A A A с одной криволинейной стенкой

1 4A A . Для определенности будем считать, что жидкость втекает в через участок 1 2A A и вытекает

через 3 4A A . Боковые стенки 2 3A A и 1 4A A считаем непроницаемыми для жидкости. Пусть a — длина

канала, b — ширина входа канала, т.е. длина отрезка 1 2A A ; ( ), [0, ]y f x x a — уравнение границы

1 4A A . Такое движение жидкости в пористой среде соответствует вытесняющему агенту от нагнета-тельной скважины до добывающей скважины.

0,

(1 )(1 ) 0.

в

н

sm div s v

ts

m div s vt

(3)

114

При указанных выше предположениях уравнение (3) преобразуется к следующему виду: (1 ) 0,и нdivv div s v s v

(4)

где 1 2( , )v v v — приведенная скорость. С другой стороны, из (2) и (4), без учета гравитационных и с учетом капиллярных сил, имеем:

0)1( ннии pkspksdivvdiv

(5)

или

( ) ( ) 0.иdiv k s p h s

Тогда из последнего уравнения путем перрекрестного дифференцирования получим следующее уравнение:

1 1 2 2

1 1( ) ( ) 0

( ) ( )v h s v h s

y k s x k s

. (6)

Исходя из результатов работы [3] считаем, что ( ) 0k s const .

Тогда, исходя из результатов работы [2], с помощью замены 21 1

1

, ln , ( 0)v

r v vv

преобра-

зуем (6) следующим образом: ( ), 0r

y x x x y yr r e F s r r , (7)

где 1 2( )y x

F s h h — относительная проницаемость.

В силу условий непроницаемости функция на 2 3A A и 1 4A A , а функция s на 1 2A A удовлетво-ряют условиям:

2 3 1 4 1 2

00, , ( ).A A A A A A

f s s y (8)

В случае нестационарной задачи для замыкания математической модели добавляется следующее начальное условие: 0 ( , )s s x y , причем 0

0( ) ( , )s y s x y при 0x . (8’)

На границе 1 2A A будем считать значение r известным, так как на нагнетательной скважине за-дается расход. Для определения единственного решения системы (5) необходимо еще задать значения на 1 2A A и 43 AA . Указанные значения не задаются, а определяются из условия существования

точного решения системы (7). С учетом краевых условий (8) можно положить ( / )y f f , где — некоторая функция, определенная на промежутке [0,1] , удовлетворяющая условиям (0) 0 ,

(1) 1 и , — является неизвестной функцией. Таким образом, задача сведена к решению уравне-ний (5), причем в области течения фильтрационного канала выполняется условие

y

ff

. (9)

Применяя метод характеристик во второе уравнение из (7) легко получить явный вид функций:

1( , ) ln( , )

Cr x y

x y

. (10)

Умножив первое уравнение на функцию и сложив со вторым уравнением из систем уравне-ний (7), получим:

21 ( ).rx x yr e F s (11)

С другой стороны, со второго уравнения из (7): x yr . Подставляя последнее соотношение в

(11), имеем: ( )r

x y e F s ,

либо с учетом (10) получим:

1

( )x y F sС

. (12)

115

Далее, применяя метод характеристик относительно уравнения (12) в явном виде относительно функции получим следующее интегральное выражение:

21

1( )F s dy C

С ,

либо из представления из функций имеем:

21

1( ) ( )

( )

yf x F s d C

f x С

.

Для определения постоянных воспользуемся условиями относительно функций , т.е. при 0y имеем 2 0C , а при ( )y f x получим

( )

1 0

1( ) ( )

f x

f x F s dC

. (13)

С помощью (13) и с учетом (0)f b составим следующее рекуррентное соотношение:

1 ( )

1 0 0

1( ) ( )

nfx

nf x b F s d dC

, (14)

где (0, )1

r bС e .

Найденные значения постоянных окончательно позволяют получить представление относитель-но функций :

0( )

0

( )

( )( )

y

f x

F s dy

f xF s d

. (15)

Полученные соотношения в (13)–(15) позволяют определить полностью искомые функции, и окончательный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. При выполнении условий (0, )1 0r bС e , (8) и (8’) для решения рассматриваемой зада-

чи справедливы представления (14), (15) и для насыщенности имеет место:

010

( , , ) ( , ) expx divv

s t x y s x y dv

.

Ради подтверждения полученных результатов проведены численные эксперименты с реальными данными конкретного месторождения: «Восточный Молдабек» Атырауской области. По продложен-ной методике проведены расчеты для определения неизвестных границ относительно водонасыщен-ности, концентрации поверхностно-активных веществ, температуры и давления. Результаты расчетов приведены на рисунках 1–6. На рисунках 1–2 показаны изменения границы относительно водонасы-щенности и концентрации.

Рисунок 1. Фронт водонасыщенности Рисунок 2. Фронт изменения концентрации

116

На рисунках 3–4 показаны изменения границы относительно давления.

Рисунок 3. В начале расчета Рисунок 4. В конце расчета

На рисунках 5–6 показаны изменения границы относительно температуры по времени.

Рисунок 5. В начале расчета Рисунок 6. В конце расчета

Расчеты показывают, что отклонение от реальных измерений по инженерным моделям состав-ляют 10–13 процентов.


1 Алексеев Г.В., Мокин Ю.А. Класс точных решений двумерных уравнений гидродинамики и магнитной гидродинами-ки идеальной жидкости // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1972. — Вып. 12. — С. 5–13.

2 Levitt L.C. Some Exact Solutions for a Class of two-dimensional Gydromagnetic steady Flows // J. Math. Analysis and Appl. — 1963. — Vol. 6. — P. 483–396.

3 Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. — Новосибирск, 1969. — Вып. 2. — С. 156–167.

117

Ж.О.Оралбекова

Изотермиялық фильтрация теориясының есебін шешудегі бір жуықтау əдіс туралы

Мақалада қос фазалық сұйықтың қуыс ортадағы сүзгіленуін сипаттайтын есептің дəл шешімін анықтайтын класы қарастырылған. Есептің шешімі екі өлшемді жағдайда зерттеліп, бір бос (белгісіз) шекарасы болғандағы дəл шешімін табудың алгоритмі келтірілген.

Zh.О.Oralbekova

On an approximate method of problem’s solution of the isothermal filtration’s theory

In work the class of exact decisions of a problem of a biphase filtration of a liquid in the porous envi-ronment is considered. In a two-dimentional case the algorithm of construction of the decision of the considered problem containing free (unknown) border is resulted.

118

АВТОРЛАР ТУРАЛЫ МƏЛІМЕТТЕР СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Алибиев Д.Б. — зав. кафедрой прикладной математики и информатики к.ф.-м.н., Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Анияров А.А. — магистр математики, Семипалатинский государственный педагогический институт, Семей.

Базыкен Г. — магистрант 2-го года обучения по специальности 6N0601 — Математика, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана.

Бəкіров Ж.Б. — механика кафедрасының меңгерушісі т.ғ.д., профессор, Қарағанды мемлекеттік техникалық университеті.

Берикханова Г.Е. — декан физико-математического факультета, доцент кафедры математики и ме-тодики преподавания математики к.ф.-м.н., Семипалатинский государственный педагогический институт, Семей.

Дженалиев М.Т. — директор д.ф.-м.н., профессор, Институт математики МОН РК, Алматы.

Джузбаева А.М. — математика жəне математиканы оқыту əдістемесі кафедрасының оқытушысы, Қоркыт Ата атындағы Кызылорда мемлекеттік университеті.

Дошакова Д.С. — магистрант 1-го года обучения по специальности 6N0602 — Информатика, Кара-гандинский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Ерденеева А.А. — преподаватель кафедры информационных систем обучения, Казахский нацио-нальный педагогический университет им. Абая, Алматы.

Жанбусинова Б.Х. — доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений к.ф.-м.н., Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Жетпісов Қ. — Т.Ғ.Мұстафин атындағы алгебра, геометрия жəне математикалық логика кафед-расының меңгерушісі ф.-м.ғ.к., Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті.

Жұмабаев Б.С. — 6N0601 — «Математика» мамандығы бойынша 1-курс магистранты, Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті.

Иманбердиев К.Б. — старший преподаватель кафедры теории управления, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы.

Искаков К.Т. — заведующий кафедрой естественных дисциплин Института магистратуры и докто-рантуры PhD д.ф.-м.н., Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Алматы.

Искаков С.А. — ст. преподаватель кафедры методики преподавания математики и информатики, Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Кангужин Б.Е. — заведующий кафедрой математического анализа механико-математического фа-культета д.ф.-м.н., профессор, Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы.

Когай Г.Д. — заведующий кафедрой вычислительной техники и программного обеспечения к.т.н., профессор, Карагандинский государственный технический университет.

Кусаинова Л.К. — д.ф.-м.н., профессор, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана.

Минбаева С.Р. — магистрант 2-го года обучения по специальности 6N0603 — Механика, Караган-динский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Нуримов Б.С. — старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики PhD доктор, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана.

119

Оралбекова Ж.О. — старший преподаватель кафедры информационных систем обучения, Казахский национальный педагогический университет имени Абая, Алматы.

Рамазанов М.И. — профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений д.ф.-м.н., Карагандинский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Тəнірбергенова А.Ə. — механика кафедрасының аға оқытушысы, Қарағанды мемлекеттік техника-лық университеті.

Тен Т.Л. — профессор кафедры ИВС д.т.н., Карагандинский экономический университет Казпотреб-союза.

Туймебаева А.Е. — старший научный сотрудник к.ф.-м.н., Институт математики МОН РК, Алматы.

Тукешова Г.А. — магистрант 2-го года обучения по специальности 6N0603 — Механика, Караган-динский государственный университет им. Е.А.Букетова.

Тунгатаров А. — заведующий кафедрой естественно-технических дисциплин д.ф.-м.н., профессор, АО «Финансовая академия», Астана.

Тюлепбердинова Г.А. — преподаватель кафедры информационных систем обучения, Казахский на-циональный педагогический университет им. Абая, Алматы.

Ухман А.В. — докторант 3-го года обучения PhD-докторантуры, Евразийский национальный уни-верситет им. Л.Н.Гумилева, Астана.

Шалдықова Б.А. — жоғарғы математика кафедрасының аға оқытушысы, Рудный индустриалдық институты.

ÂÅÑÒÍÈÊ · 2019-10-15 · теңдеу үшін кері есепті шешуде...

Documents