Дискретная математика...2017/09/08 · (неделя) Домашнее...

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» для направления

080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

Факультет Бизнес -информатики

Программа дисциплины

Дискретная математика

для направления 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра

Авторы программы: Броневич Андрей Георгиевич Шварц Дмитрий Александрович

Одобрена Департаментом математики на факультете экономических наук 29.08.2017

Зав. кафедрой Алескеров Ф.Т.

Рекомендована секцией УМС «___»____________ 2017 г.

Председатель

Утверждена Ученым Советом факультета экономических наук «___»_____________2017 г.

Ученый секретарь

Москва, 2017 Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями

университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» для

направления 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра

1 Область применения и нормативные ссылки Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных асси-стентов и студентов для направления 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину «Дискретная математика». Программа разработана в соответствии с: • Образовательным стандартом Федерального государственного автономного образова-тельного учреждения высшего образования Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»; • Рабочим учебным планом университета 080500.62 «Бизнес-информатика» подготовки бакалавра, утвержденным в 2017 г.

2 Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины «Дискретная математика» являются • ознакомление студентов с основами современной дискретной математики; • формирование навыков работы с абстрактными понятиями математики; • знакомство с прикладными задачами дисциплины.

3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дис-циплины В результате освоения дисциплины студент должен: • Знать основы дискретной математики, необходимые для дальнейшего изучения после-дующих дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами; • Уметь применять идеи и методы современной дискретной математики для решения за-дач, возникающих в дисциплинах, их использующих; • Владеть навыками применения современного инструментария дискретной математики.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция Код по ФГОС / НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения

результата)

Формы и методы обучения, способствующие формиро-ванию и развитию компе-

тенции

Общенаучная ОНК-1

Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода

Стандартные (лекцион-но-семинарские)


Способность перейти от проблем-ной ситуации к проблемам, зада-чам и лежащим в их основе проти-воречиям



Способность использовать методы критического анализа, развития научных теорий, опровержения и фальсификации, оценить качество исследований в некоторой пред-метной области



Готовность использовать основ-ные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной








тенции

деятельности, применять методы дискретной математики и модели-рования, теоретического и экспе-риментального исследования при работе в какой-либо предметной области


Готовность выявить естественно-научную сущность проблем, воз-никающих в ходе профессиональ-ной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппа-рат дисциплины



Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных обра-зовательных и информационных технологий



Способность порождать новые идеи (креативность)


Инструментальные ИК-2

Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программно-го обеспечения, работы в компью-терных сетях, составления баз данных


Профессиональные ПК-1

Способность демонстрации обще-научных базовых знаний естест-венных наук, математики и ин-форматики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой



Способность понимать и приме-нять в исследовательской и при-кладной деятельности современ-ный математический аппарат



Способность критически оцени-вать собственную квалификацию и её востребованность, переосмыс-ливать накопленный практический опыт, изменять при необходимо-сти вид и характер своей профес-сиональной деятельности



Способность решать задачи произ-водственной и технологической деятельности на профессиональ-ном уровне, включая разработку математических моделей, алго-ритмических и программных ре-








тенции

шений

4 Место дисциплины в структуре образовательной программы Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин ОПД.00 «Общие профессиональ-

ные дисциплины направления» и блоку дисциплин СД.00 «Специальные дисциплины» и явля-ется базовой.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • Начала математического анализа; • Геометрия; • Алгебра; • Начала информатики.

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями в рамках программы средней школы: • Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин; • Навыками решения типовых задач этих дисциплин.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изуче-нии следующих дисциплин: • Математический анализ; • Геометрия и линейная алгебра; • Теория вероятностей и математическая статистика; • Теория игр и исследование операций; • Методы оптимизации; • Методы разработки и анализа алгоритмов; • Базы данных и экспертные системы; • Основы информационной безопасности; • Криптографические методы защиты информации; • Информационная безопасность.

5 Тематический план учебной дисциплины Аудиторные часы № Название раздела Всего

часов Лек-ции

Семи-нары

Прак-тиче-ские

занятия

Самостоя-тельная работа

Алгебра высказываний, предикаты и кванторы, логические и булевы функ-ции.

16 4 4 8

Множества и соответствия. 32 8 8 16

Комбинаторика. 24 6 6 12

Бинарные отношения. 24 6 6 12 Математическая логика и логика пре-дикатов. Логический вывод.

32 8 8 16

Теория графов. 64 16 16 32

Теория алгоритмов. 32 8 8 16



Теория автоматов. 24 6 6 12

Элементы дискретной алгебры 24 6 6 12

Основы теории чисел 32 8 8 16

Всего часов 304 76 76 152 88

6 Формы контроля знаний студентов Тип контроля Форма контроля 2 3 4 Параметры

5 Письменная работа 80 минут 2 Письменная работа 80 минут 11 Письменная работа 80 минут

Контрольная работа

8 Письменная работа 80 минут

Текущий (неделя)

Домашнее задание 5 Срок выполнения – 2 недели Итоговый Экзамен 11 Письменный экзамен 120 минут

6.1 Критерии оценки знаний, навыков Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания

основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7 Содержание дисциплины 7.1. Алгебра высказываний, предикаты и кванторы, логические функции Понятие высказывания. Логические операции на высказываниях. Предикаты и кванторы.

Булевы (логические) функции и способы их задания. Эквивалентные преобразования логиче-ских формул.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 3) 2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-

рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 2, пп.1-2.) Дополнительная литература: 1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1975. (глава 1) 2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., Наука,

1977. (главы 1, 2)

7.2. Множества и соответствия Множества - основные понятия. Диаграммы Венна. Операции над множествами: объедине-

ние, пересечение, дополнение. Прямое произведение множеств. Соответствия, теоретико-множественные операции над соответствиями, полный образ и прообраз множества при данном соответствии, классификация соответствий: всюдуопределенность, функциональность, инъек-тивность, сюръективность. Частичные функции, отображения, взаимнооднозначные соответст-вия. Обратимость частичной функции и отображения. Композиция соответствий и ее свойства. Матричное представление композиции соответствий. Понятие функции. Обратные функции. Суперпозиции и формулы. Способы задания функций. Обратимые отображения и их свойства. Преобразования множества, подстановки.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004.(глава 1)



2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 1, пп.1-3)

7.3 Комбинаторика. Предмет комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и

исключения. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биноми-альные коэффициенты и соотношения для них. Задачи перечисления. Подсчет числа функций с конечными областями определения. Задача Муавра.

Основная литература: 1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МНЦМО,

2006. (главы 1,2)

7.4. Бинарные отношения Общее понятие отношения. Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, симмет-

ричность, транзитивность). Транзитивное замыкание отношений. Отношение эквивалентности и классы эквивалентности. Отношение толерантности, классы толерантности. Отношение по-рядка. Диаграммы Хассе. Линейный порядок и частичный порядок. Квазипорядок. Решетки.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004.(глава 1) 2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. – М.: Наука, 1971. (главы 1-4) 3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-

рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 1, пп.1-3) Дополнительная литература: 1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные

решения. - М.: Физматлит, 2012. (глава 3)

7.5. Математическая логика и логика предикатов Способы задания логических функций, фиктивные и существенные переменные, порядок

логической функции. Формулы над системой логических функций или их суперпозиции. Тео-рема о разложении логических функций по переменным. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные формы. Определение замкнутого класса. Полные системы функций. Базис и порядок замкнутого класса. Алгебра Жегалкина. Теорема об единственности многочлена Же-галкина. Классы Поста: функции сохраняющие 0, функции сохраняющие 1, самодвойственные функции, монотонные функции, линейные функции. Теорема Поста о функциональной полно-те. Логические методы анализа и синтеза переключательных схем.

Логика предикатов. Предметная область и предметные переменные. Правильно построенные формулы. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Обще-значимые и противоречивые формулы. Запись утверждений естественного языка в логике пре-дикатов. Логический вывод в логике высказываний. Теорема дедукции и ее следствия. Логиче-ский вывод в логике предикатов на основе правила резолюции. Извлечение ответа на вопрос из опровержения, основанного на резолюции.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 3) 2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-

рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 2, пп. 1, 2, 4) 3. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. Том 2. М.: Энергия, 1979. (гл. 15.) Дополнительная литература: 1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., Наука,

1977. (главы 1 и 2)



2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1975. (глава 1) 3. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. М.: Мир, 1973. (гл. 6)

7.6. Теория графов Основные определения: неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и

кратные ребра. Смежность и инцидентность. Локальные степени вершин. Способы представле-ния графов. Матрицы смежности и инцидентности. Графы и бинарные отношения. Изоморфизм графов. Части графов, суграфы и подграфы.

Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты связности. Шарниры мосты и блоки графа. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа.

Виды связности в ориентированных графах: сильная связность, односторонняя связность. Задачи о цепях: эйлеровы циклы, гамильтоновы циклы.

Основные числа теории графов: цикломатическое число, хроматическое число. Бихромати-ческие (двудольные) графы. Число внутренней устойчивости. Число внешней устойчивости. Метод Магу для отыскания всех максимальных внутренне устойчивых множеств, а также ми-нимальных внешне устойчивых множеств. Метод Магу для нахождения хроматического числа графа.

Деревья. Алгоритмы нахождения связных суграфов заданного графа с взвешенными ребра-ми с минимальной стоимостью.

Плоские графы, формула Эйлера, необходимые и достаточные условия того, что граф явля-ется плоским (теорема Понтрягина-Куратовского).

Транспортные сети. Потоки в транспортных сетях. Алгоритм Форда-Фалкерсона для нахож-дения максимального потока. Теорема Форда-Фалкерсона.

Алгоритм Дейкстры поиска наикратчайшего пути на орграфе с взвешенными дугами. Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 4) 2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. – М.: Наука, 1975. (глава 3) 3. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1964.

(главы 1, 4-8. 11-12, 20-21). Дополнительная литература: 1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. 2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные

решения. - М.: Физматлит, 2012. (главы 1,5) 3. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980. (главы 1-4, 13-14)

7.7 Теория алгоритмов. Общее понятие алгоритма. Требования к алгоритмам. Емкостная и вычислительная слож-

ность алгоритмов. Понятие рекурсии. Рекурсивные функции. Тезис Черча. Машины Тьюринга. Некоторые алгоритмически неразрешимые проблемы.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. ( глава 5) 2. Алферова З. В. Теория алгоритмов. - М.: Издательство статистика, 1973. (глава 1)

Дополнительная литература: 1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-

рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 3, пп.1-3) 2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. –

М.: Мир, 1979. (глава 1, глава 3)

7.8 Конечные автоматы



Понятие конечного автомата Мили и автомата Мура. Примеры применения. Автоматные функции, способы их задания. Минимизация автоматов. Теорема о преобразовании периодиче-ской последовательности автоматной функцией. Теорема Мура.

Основная литература: 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. ( глава 6)

7.9 Элементы дискретной алгебры Множества с алгебраическими операциями, группы, порядок группы, циклические группы,

абелевы группы, кольца и поля. Подстановки и перестановки. Операция умножения подстановок. Решение уравнений вида

A X B C= в подстановках произвольной степени. Группа всех постановок nS степени n . Четные и нечетные подстановки, цикловая запись

подстановки. Порядок подстановки. Построение подстановок максимального порядка, подсчет количества таких подстановок.

Основная литература: 1. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. (глава 1, §3; глава 10, §43-45; глава

14)

7.10 Основы теории чисел Целые числа и операции над ними. Делимость целых чисел. Простые числа. Бесконечность

множества простых чисел. Разложение на простые множители, единственность такого разложе-ния. Деление с остатком. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя. Подходящие дроби. Общее решение линейного уравнения с двумя неизвестными в целых чис-лах.

Арифметика вычетов по модулю простого и составного числа. Решение систем линейных уравнений по модулю простого числа. Решение системы двучленных уравнений по модулю простого числа. Малая теорема Ферма, Теорема Безу. Лемма Вильсона.

Китайская теорема об остатках. Решение одночленных систем линейных сравнений по мо-дулю простого и составного числа.

Кольцо многочленов над полем. Корни многочленов. Разложение многочленов на множите-ли. Неприводимые многочлены.

Квадратные уравнения по модулю простого числа. Квадратичные вычеты и невычеты. Сим-вол Лежандра, его основные свойства. Символ Якоби и его применение для решения систем двучленных уравнений.

Основная литература: 1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 6-е издание, М. Наука, 1991.

8 Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента 8.1 Образцы задач по теме «Алгебра высказываний, предикаты и кванторы,

логические функции» 1. Докажите равенство логических формул, используя таблицы истинности: а) ( ) ( )x y z x y z∧ ∧ = ∧ ∧ ; б) ( ) ( )x y z x y z∨ ∨ = ∨ ∨ ;

в) x y x y∧ = ∨ ;

г) x y x y∨ = ∧ . 2. Приведите логические формулы к ДНФ, используя эквивалентные преобразования:

а) 1. ( ) &x y z y z→ ∨ → ;

б) ( )& ( )x y z x y→ → ∨ ;



в) [ ]( & & ) ( )x y z x y z→ ∨ → ;

г) ( )& ( & )x y z x y z∨ → → ;

д) ( )x x y z→ ⊕ ⊕ . 3. Доказать равенство логических формул: а) ( ( )) ( ) 1x x y x y∧ → → → = ; б) обобщите свойство а) для случая n переменных: ( )1 1 2 2 3 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) 1n n nx x x x x x x x x−∧ → ∧ → ∧ ∧ → → → = .

4. Пусть ( )p x - это одноместный предикат, определенный на конечном множестве { }1,..., nX x x= . Покажите, что

а) ( )( ( )) ( )x X

x X p x p x∈

∀ ∈ = ∧ .

б) ( )( ( )) ( )x X

x X p x p x∈

∀ ∈ = ∨ .

5. Сформулируйте с помощью логики предикатов следующее определение: множество S называется выпуклым в 2 , если из принадлежности двух точек x и y множеству S следует, что и точка a+x y , где [0,1]a∈ принадлежит множеству S . Получите обратное утверждение, т.е. условие, при котором множество не является выпуклым, беря отрицание от полученного высказывания. Затем словесно сформулируйте данное условие.

6. Выведите высказывание «Если две прямые пересекаются, то они не параллельны» из вы-сказывания «Если две прямые параллельны, то они не пересекаются» с помощью логики преди-катов.

8.2 Образцы задач по теме «Множества и соответствия» 1. Сколько подмножеств есть у множества {1,2,3}? 2. Продолжить фразу : «множество A не является подмножеством множества B , если суще-

ствует такое x , что . . .» . 3. Опишите логически основные операции над множествами (объединения, пересечения,

разности, симметрической разности, дополнения). 4. Докажите равенства множеств: а) ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ ; б) ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ;

в) A B A B∩ = ∪ ; г) A B A B∪ = ∩ . 5. Докажите, что а) A B∩ =∅ ⇔ B A⊆ ; б) A B⊆ ⇔ A B B∪ = ; в) A B⊆ ⇔ A B A∩ = ; г) A B= ⇔ A B = ∅ ; д) A B∩ =∅ ⇔ A B A B∪ = ; е) ( ) ( )A B A B A B∪ = ∩ ; ж) \ ( )A B A A B= ∩ ; з) A B C∪ ⊆ ⇔ &A C B C⊆ ⊆ ; 6. Дайте определение мощности конечного множества и докажите равенства: а) 1 2 1 2 1 2A A A A A A∪ = + − ∩ ;



б) 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3A A A A A A A A A A A A A A A∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ .

6. Дайте определение прямого произведения множеств, опишите его логически, а также до-кажите следующие свойства прямого произведения:

а) ( ) ( ) ( )Z X Y Z X Z Y× ∩ = × ∩ × ; б) ( ) ( ) ( )X Y Z X Z Y Z∩ × = × ∩ × ; в) ( ) ( ) ( )Z X Y Z X Z Y× ∪ = × ∪ × ; г) ( ) ( ) ( )X Y Z X Z Y Z∪ × = × ∪ × ; д) ( \ ) ( ) \ ( )Z X Y Z X Z Y× = × × ; е) ( \ ) ( ) \ ( )X Y Z X Z Y Z× = × × ;

и) 1 2 1 2... ...n nX X X X X X× × × = ⋅ ⋅ ⋅ для конечных множеств 1,..., nX X .

7. Докажите равенство: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C A D B C B D∪ × ∪ = × ∪ × ∪ × ∪ × .

8. Пусть A X Y⊆ × . Дайте определения проекций 1pr A и 2pr A и инверсии 1A− множества A . Докажите следующие свойства:

а) ( )k k kpr A B pr A pr B∪ = ∪ , если ,A B X Y⊆ × , 1,2k = ;

б) ( )k k kpr A B pr A pr B∩ ⊆ ∩ , если ,A B X Y⊆ × , 1,2k = ;

в) 1( )pr X Y X× = , 2 ( )pr X Y Y× = для непустых множеств X и Y ; 9. Дайте определение соответствия и опишите логически: а) пересечение соответствий; б) объединение соответствий; в) дополнение соответствий; г) образа и прообраза множества при данном соответствии; 10. Пусть задано соответствие f X Y⊆ × . Докажите следующие свойства:

а) ( )f A = ∅ ⇔ 1( )A f Y−∩ = ∅ ;

б) 1( ) ( ( ))f A f A f Y−= ∩ ; в) ( ) ( )f A f B⊆ , A B X⊆ ⊆ ; г) ( ) ( ) ( )f A B f A f B∪ = ∪ , ,A B X⊆ ; д) ( ) ( ) ( )f A B f A f B∩ ⊆ ∩ , ,A B X⊆ ; е) 1 2( ) ( ) ( )f A f A f A= ∪ , если 1 2f f f= ∪ и A X⊆ ;

ж) 1 2( ) ( ) ( )f A f A f A⊆ ∩ , если 1 2f f f= ∩ и A X⊆ ; 11. Дайте определение а) всюду определенного соответствия; б) сюръективного соответствия; в) функционального соответствия; г) инъективного соответствия; д) композиции соответствий. 12. Пусть | | 3X = , | | 4Y = . Существует ли между X и Y а) функциональное, всюду определенное и сюръективное соответствие; б) инъективное, всюду определенное и сюръективное соответствие; в) инъективное, сюръективное, но не всюду определенное соответствие? 13. Докажите следующие свойства композиции соответствий: а) g f ≠ ∅ ⇔ 1( ) ( )f X g W−∩ ≠ ∅ , где f X Y⊆ × и g Z W⊆ × ;



б) ( ) 1 1 1g f f g− − −= ;

в) g f f g≠ в общем случае; г) ( ) ( )h g f h f g= ;

д) ( ) ( )( )h g f h g h f∪ = ∪ ;

е) ( ) ( )( )g f h g h f h∪ = ∪ ;

ж) ( ) ( )( )h g f h g h f∩ ⊆ ∩ ;

з) ( ) ( )( )g f h g h f h∩ ⊆ ∩ ;

и) ( )( ) ( ( ))g f A g f A= , где f X Y⊆ × , g Z W⊆ × и A X⊆ . 14. Докажите, что а) композиция функциональных соответствий есть соответствие функциональное; б) композиция инъективных соответствий есть соответствие инъективное; в) композиция всюду определенных соответствий есть соответствие всюду определенное; г) композиция сюръективных соответствий есть соответствие сюръективное.

8.3 Образцы задач по теме «Комбинаторика» 1. Сколькими способами можно разложить 7 монет различного достоинства по трем карма-

нам? 2. Сколько можно сделать различных стандартных автомобильныхномеров? Стандартный

номер имеет вид: А123БВ45 --- буква, три цифры, две буквы, две цифры; на каждом месте, предназначенно для буквы, может быть любая из 33 букв русского алфавита, на каждом месте, предназначенном для цифры, может быть любая из 10 цифр.)

3. Cколько существует а) различных семизначных телефонных номеров? б) сколько из них содержат хотя бы одну нечетную цифру? в) во скольких из них ни одна цифра не встречается дважды? Номер не может начинаться с нуля.

4. В алфавите некоторого племени всего 5 букв - a, b, c, d и e. Зато слово --- это совершенно любая последовательность букв. Сколько в языке этого племени:

а) слов из 4 букв; б) слов из не более, чем из 4 букв; в) слов из шести букв, в которых есть хотя бы две одинаковые буквы. 5. Код Морзе сопоставляет каждой из букв алфавита последовательность из точек и тире

(непустую). Доказать, что хотя бы одна буква закодирована последовательностью, в которой не меньше 5 знаков.

6. Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

7. Лестница состоит из 7 ступенек, не считая верхней и нижней площадок. Спускаясь, мож-но перепрыгивать через некоторые ступеньки (можно даже через все 7). Сколькими способами можно спуститься по этой лестнице?

8. В столовой предложено на выбор 6 блюд. Каждый день студент берет некоторый набор блюд (возможно, не берет ни одного блюда), причем этот набор блюд должен быть отличен от всех наборов, которые он брал в предыдущие дни. Какое наибольшее количество дней студент сможет питаться по таким правилам и какое количество блюд он в среднем при этом будет съе-дать за день?

9. Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мас-тей и достоинств?

10. Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одина-ковые цифры?



11. Сколько существует 6-значных чисел, а) первая цифра которых 7? б) делящихся на 5? в) в десятичной записи которых цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 встречаются ровно по одному разу? г) в десятичной записи которых цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 встречаются ровно по одному разу и

цифры 2 и 4 не стоят рядом? д) в десятичной записи которых встречаются только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; е) в десятичной записи которых встречаются только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем каждая

не более одного раза? ж) сумма цифр которых четна? з) все цифры которых четны? и) все цифры которых имеют одинаковую четность? к) в записи которых есть хотя бы одна четная цифра? л) в которых все цифры различны? м) четных чисел, в которых все цифры различны? (Отметим, что натуральное число не мо-

жет начинаться с 0.) н) которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких как 543345, 170071)? о) в их десятичной записи некоторая цифра встречается ровно 5 раз? п) составленных из цифр 1 и 2? р) не содержат цифры 2? с) в запись которых входит цифра 5? т) в запись которых входит ровно одна цифра 5? у) делящихся на 4 и состоящих из цифр 1,2,3,4; ф) делящихся на 4 и состоящих из цифр 1,2,3,4,5,6, причем каждая цифра может встречаться

только один раз? 12. Сколькими способами колоду из 36 карт можно перетасовать так, чтобы карты каждой

масти шли в порядке старшинства? 13. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если

участвуют 18 шахматистов? 14. Сколько диагоналей в выпуклом n -угольнике? 15. Сколько существует 5-значных чисел, в которых все цифры нечетны и различны? Найти

сумму всех таких чисел. 16. Сколько существует 5-значных чисел, в которых все цифры четны? Найти сумму всех

таких чисел. 17. Сколькими способами можно выстроить очередь из 10 человек (A-J), так, чтобы никакая

из троек ABC, DEF, HIJ не стояла именно в таком порядке? 18. Сколькими способами можно выстроить очередь из 9 человек (A-I), так, чтобы никакая

из троек ABC, DEF, GHI не стояла именно в таком порядке? 19. Сколькими способами можно выстроить очередь из 8 человек (A-H), так, чтобы никакая

из пар AB, DE, GH не стояла именно в таком порядке? 20. Сколько ожерелий можно составить из 5 одинаковых красных бусинок и двух одинако-

вых синих бусинок? 21. Сколько существует пар целых чисел, сумма модулей которых меньше 100? 22. Сколько существует 9-значных чисел, цифры которых расположены в порядке убывания

(т. е. каждая следующая меньше предыдущей)? 23. Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых монет между 7 нумизматами так,

чтобы каждому досталось хотя бы по монете?



24. Сколькими способами 4 человека могут разделить между собой а) 10 яблок; б) 6 яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин; в) 4 яблока, 2 апельсина и одну сливу; д) 7 яблок и 4 апельсина? Фрукты одного вида считаем одинаковыми. 25. Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырех комнатах, если требуется,

чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?

8.4 Образцы задач по теме «Бинарные отношения» 1. Представьте следующие отношения в теоретико-множественном, матричном и графиче-

ском виде: а) 1ϕ - это сужение отношения «≤ » на множество {1,2,3,4}X = ;

б) 2ϕ - это сужение отношения «< » на множество {1,2,3,4}X = ;

в) 3ϕ - это сужение отношения «= » на множество {1,2,3,4}X = ;

г) 4ϕ - сужение отношения χ (наибольший общий делитель двух натуральных чисел 2≥ ) на множество { }1,...,10Y = .

2. Поясните, как интерпретируются следующие отношения, полученные с помощью алгеб-раических операций: а) 1−≤ ; б) ( ) ( )≤ ∩ ≥ ; в) ( ) \ ( )≤ = ; г) ( ) ( ) \ ( )≤ = × ≤ ; ( ) \χ χ= × .

3. Запишите логически определения а) рефлексивных отношений; б) антирефлексивных отношений; б) симметричных отношений; в) антисимметричных отношений; г) асимметричных отношений; д) транзитивных отношений; е) связанных отношений. 4. Построить бинарное отношение: а) рефлексивное, симметричное, нетранзитивное; б) рефлексивное, антисимметричное, нетранзитивное; в) рефлексивное, несимметричное, транзитивное; г) нерефлексивное, антисимметричное, транзитивное; д) нерефлексивное, симметричное, транзитивное. 4. Пусть X Xϕ ⊆ × и Xe - тождественное отношение. Покажите, что

а) ϕ рефлексивно ⇔ Xe ϕ⊆ ;

б) ϕ антирефлексивно ⇔ Xe ϕ∩ =∅ ;

в) ϕ симметрично ⇔ 1ϕ ϕ ϕ−∩ = ;

г) ϕ асимметрично ⇔ 1ϕ ϕ−∩ =∅ ;

д) ϕ антисимметрично ⇔ 1Xeϕ ϕ−∩ ⊆ ;

е) ϕ транзитивно ⇔ ϕ ϕ ϕ⊆ ;

ж) ϕ связанно ⇔ 1Xe X Xϕ ϕ−∪ ∪ = × .

5. Заполните следующую таблицу, вместо знака «?», вставляя «да» или «нет». Каждый ответ следует обосновать.



№ Название 1 2ϕ ϕ∩ 1 2ϕ ϕ∪ 1 2\ϕ ϕ 1. Сохранение рефлексивности ? ? ? 2. Сохранение антирефлексивности ? ? ? 3. Сохранение симметричности ? ? ? 4. Сохранение асимметричности ? ? ? 5. Сохранение антисимметричности ? ? ? 6. Сохранение транзитивности ? ? ?

6. Дайте определение транзитивного замыкания отношения. Найдите транзитивное замыка-ние Trϕ отношения ϕ , заданного матрицей:

1 2 3 4

1

2

3

4

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0

x x x xx

R xxx

ϕ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

7. Докажите, что ϕ транзитивно ⇔ Trϕ ϕ= . 8. Проверьте, какими свойствами будет обладать транзитивное замыкание отношения χ из

задачи 1, г).

9. Пусть X Xϕ ⊆ × и X N= . Докажите, что 1

NTr n

n

ϕ ϕ=

=∪ .

10. Дайте определения отношения эквивалентности и связанных с ним классов эквивалент-ности. Опишите данные определения логически.

11. Пусть { }i i IB

∈=B - это разбиение множества X . Докажите, что отношение X Xϕ ⊆ × ,

определяемое по правилу: i ii I

B Bϕ∈

= ×∪ , является отношением эквивалентности и множества iB

являются классами эквивалентности. 12. Докажите, что каждое отношение эквивалентности X Xϕ ⊆ × сопряжено с некоторым

разбиением { }i i IB

∈=B множества X , и это разбиение единственно.

13. Пусть ϕ - это отношение на множестве целых чисел , для которого ( , )x y ϕ∈ , если x y− целочисленно делится на число m∈ . Докажите, что ϕ - это классы эквивалентности. Изобразите сужение отношения ϕ для 3m = на множество {1,...,10}X = . Будет ли оно отноше-нием эквивалентности?

14. Отношение эквивалентности P определено на множестве { , , , , }a b c d f . Известно, что {( , }, ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}P a b b c c d d e e f⊇ . Приведите пример бинарного отношения с такими свой-

ствами. Сколько существует таких отношений? 15. Сколько существует отношений эквивалентности на множестве {0, 1,..., 9}, если число

классов эквивалентности 3 или 4 и числа 1, 2, 3 находятся в разных классах? 14. Дайте определение толерантного отношения. Докажите, что каждое толерантное отно-

шение на множестве X сопряжено с некоторым покрытием множества X . Покажите, что дан-ное покрытие в общем случае выбирается неоднозначно.

15. Пусть ϕ - это отношение толерантности на множестве X , которое сопряжено с покры-тием { }kB=B . Докажите, что 2

kk

Bϕ =∪ .

16. Дайте определение класса толерантности. Постройте покрытие, состоящее из классов то-лерантности, для толерантного отношения из задачи 1, г).



17. Пусть ϕ - это отношение толерантности. Докажите, что Trϕ - это отношение эквива-лентности.

18. Пусть 1ϕ и 2ϕ - это отношения эквивалентности на множестве X . Докажите, что

а) 1 2ϕ ϕ∩ - это отношение эквивалентности;

б) опишите, какими будут классы эквивалентности отношения 1 2ϕ ϕ∩

в) пусть n - это число классов эквивалентности для отношения 1ϕ и m - это число классов эквивалентности для отношения 2ϕ . В каком промежутке будет число классов эквивалентности для отношения 1 2ϕ ϕ∩ ?

19. Дайте определения строгого и нестрогого порядка на множестве X . Почему нестрогие (строгие) порядки также называют частичными порядками? Чем линейный порядок на множе-стве X отличается от частичного порядка?

20. Проверьте, являются ли порядками следующие отношения: а) отношение «≤» (меньше или равно) на множестве действительных чисел; б) отношение включения «⊆» множеств; в) отношение { }( , ) | a b a делит bδ = на множестве натуральных чисел.

Есть ли среди них линейный порядок? В дальнейшем в предлагаемых задачах под порядком понимается нестрогий порядок. 21. Изобразите графически сужения отношений из задачи 20 на множества а) «≤» на множестве {1,...,7}; б) отношение включения всех подмножеств {1,2,3,4}; в) отношение делимости на множестве {2,...,9} 22. Является ли каждое вполне упорядоченное множество линейно упорядоченным. Или на-

оборот, является ли каждое линейно упорядоченное множество вполне упорядоченным? 23. Пусть множество X частично упорядочено. Дайте определения а) минимального элемента множества X ; б) максимального элемента множества X ; в) наименьшего элемента множества X ; г) наибольшего элемента множества X . 22. Верны ли утверждения: а) каждое частичное упорядоченное множество X содержит хотя бы один минимальный

элемент, если X - конечное множество; б) каждое частичное упорядоченное множество X содержит хотя бы один максимальный

элемент, если X - конечное множество; Может ли упорядоченное множество не содержать ни минимального, ни максимального

элемента? 23. Пусть X - упорядоченное множество. Докажите, что а) Если наименьший элемент существует, то он единственен. б) Каждый наименьший элемент является минимальным элементом. в) Если наибольший элемент существует, то он единственен. г) Каждый наибольший элемент является минимальным элементом. 24. Приведите примеры частичного упорядоченного множества, в котором а) 1 максимальный и 3 минимальных элемента; б) 3 максимальных и 2 минимальных элемента; 24. Пусть X - конечное частично упорядоченное множество. Верно ли, что



а) если в нем имеется только один минимальный элемент, то он является наименьшим? б) если в нем имеется только один максимальный элемент, то он является наибольшим? Может ли упорядоченное множество не содержать ни минимального, ни максимального

элемента? 25. Дайте определения диаграммы Хассе для частично упорядоченного множества и пред-

ложите алгоритм ее построения. Постройте диаграммы Хассе для частичных порядков из зада-чи 21.

26. Докажите, что каждое вполне упорядоченное множество линейно упорядочено. Если рассматриваемое множество конечно и линейно упорядочено, то оно вполне упорядочено.

27. Пусть ρ - это отношение порядка на конечном множестве X . Докажите, что существует отношение линейного порядка ρ∗ на X такое, что ρ ρ∗⊆ .

28. Пусть { }kρ - это некоторое множество линейных порядков на конечном множестве X .

Покажите, что их пересечение kk

ρ ρ=∩ есть частичный порядок.

29. Докажите, что любого порядка ρ на X существует семейство линейных порядков { }kρ ,

что kk

ρ ρ=∩ .

30. Сколько существует линейных порядков R на множестве { , , , , , }a b c d e f таких, что {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}R a b b c f b c d e d⊇ .

30. Дайте определение квазипорядка. Чем отличается квазипорядок от частичного порядка? 31. Проверьте, являются ли квазипорядками следующие отношения: а) Пусть при приеме на работу учитывается стаж специалиста, его умение программировать

на С++ и знания по дискретной математике в баллах. Тогда квалификацию кандидата можно представить в виде вектора 1 2 3( , , )x x x=x . Будем говорить, что вектор 1 2 3( , , )x x x=x предпочти-тельней, чем вектор 1 2 3( , , )y y y=y и писать ≤y x , если i iy x≤ , 1,2,3i = .

б) Пусть : [ , ]f a b → это произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке [ , ]a b . Рассмотрим отношение 2[ , ]a bϕ ⊆ , определяемое правилом: ( , )x y ϕ∈ в том и только том слу-чае, ( ) ( )f x f y≤ и функция на отрезке [ , ]x y или [ , ]y x монотонная.

32. Пусть ϕ - это отношение квазипорядка на множестве X . Докажите, что отношение 1ϕ ϕ−∩ является отношением эквивалентности.

33. Опишите классы эквивалентности для отношений эквивалентности 1ϕ ϕ−∩ , которые по-лучаются из квазипорядков ϕ из задачи 31.

34. Пусть ϕ - это отношение квазипорядка на множестве X и 1α ϕ ϕ−= ∩ . Дайте определе-ние отношения /ϕ α , определенного на классах эквивалентности отношения α . Докажите, что

/ϕ α - это частичный порядок. 35. Докажите, что каждое отношение квазипорядка ϕ на множестве X представляется в ви-

де ( , )i j

i jA A

A Aρ

ϕ∈

= ×∪ , где /ρ ϕ α= .

36. Пусть X - это упорядоченное множество с порядком ≤ и A X⊆ . Дайте определения: а) верхней границы множества A ; б) нижней границы множества A ; в) точной верхней границы множества A ; г) точной нижней границы множества A . 37. Пусть ρ - это частичный порядок на множестве X . Верно ли, что



а) X имеет точную нижнюю грань в том и только том случае, если X имеет наименьший элемент?

б) X имеет точную верхнюю грань в том и только том случае, если X имеет наименьший элемент?

38. Дайте определение решетки. Приведите примеры частично упорядоченных множеств, которые являются и не являются решетками.

39. Пусть 2X - это множество всех подмножеств множества X . Докажите, что это множест-во является решеткой относительно отношения включения множеств, причем A B∩ - это точ-ная нижняя граница { , }A B и A B∪ - это точная верхняя граница { , }A B .

40. Пусть - это множество натуральных чисел. Рассмотрим порядок ≤ на определяе-мый по правилу: a b≤ , если число a делит b . Докажите, что таким образом упорядоченное множество является решеткой и что точная нижняя граница множества { , }a b - это наиболь-ший общий делитель чисел a и b , а точная верхняя граница { , }a b - это наименьшее общее кратное чисел a и b . Из какого важного свойства целых чисел следует то, что является ре-шеткой?

41. Пусть X - конечное частично упорядоченное множество. Докажите, что оно является решеткой, если

а) линейно упорядочено; б) вполне упорядочено. 42. Докажите, что всякая конечная решетка имеет наименьший и наибольший элемент. 43. Докажите, что каждый порядок изоморфен порядку включения, определенному на неко-

тором семействе множеств.

8.5 Образцы задач и вопросов по теме «Математическая логика и логика предикатов» 1. Дайте следующие определения а) булевой функции; б) существенной и фиктивной переменной булевой функции; в) эквивалентности булевых функций. 2. Что такое суперпозиция булевых функций? Какие операции над булевыми функциями на-

зываются основными? Выразите через функцию 1 2 1 2| &x x x x= следующие логические функ-ции: x , &x y , x y∨ , 0 , 1 .

3. Выразите через логическую функцию 1 2x x∨ логические функции: x , &x y , x y∨ , 0 , 1 .

4. Обозначим: 0x x= , 1x x= . Доказать, что для произвольной булевой функции 1 2( , ,..., )nf x x x имеет место следующее разложение:

1 1( ,..., , ,..., )k k nf x x x x+ = 1

11 1 1( ,..., )

... ( ,..., , ,..., )k

kk k k nx x f x xσσ

σ σσ σ +∨ ⋅ ⋅ ⋅ ,

где дизъюнкция берется по всем возможным двоичным наборам 1( ,..., )kσ σ . 5. Используя результат задачи 4, доказать, что

1 2( , ,..., )nf x x x = 1 2

11

1 2( ,..., )( ,..., ) 1

... n

nn

nf

x x x σσ σ

σ σσ σ =

∨ ⋅ ⋅ ⋅

(представление логической функции в виде СДНФ). 6. Используя результат задачи 4, доказать, что

1 1( ,..., , ,..., )k k nf x x x x+ = 1

1

111 1 1( ,..., )

& ( ... ( ,..., , ,..., ))k

kk k k nx x f x xσσ

σ σσ σ−−

+∨ ∨ ∨ .

7. Используя результат задачи 4, доказать, что

1 2( , ,..., )nf x x x = 1

11

111( ,..., )

( ,..., ) 0

& ( ... )n

nn

ng

x x σσ

σ σσ σ

−−

=

∨ ∨



(представление логической функции в виде СКНФ). 7. Постройте СДНФ и СКНФ для следующих логических функций, заданных их вектором

значений: а) (01001001) ; б) (1100100101011000) . Если возможно, то упростите полученные выражения с помощью эквивалентных преобразований.

8. Пусть M - это произвольное подмножество 1C ( 1C - множество всех возможных булевых функций). Дайте определение замыкания ⎢ ⎥⎣ ⎦M множества M . Сформулируйте основные свой-ства замыкания.

9. Верно ли, что { } { }x y x y z⊕ = ⊕ ⊕⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ?

10. Дайте определение замкнутого класса логических функций, полной системы функций в замкнутом классе, базиса замкнутого класса.

11. Докажите, что базисом замкнутого класса 1C являются системы функций: а) {&, , }∨ ¬ ;

б) { & }x y ; в) { }x y∨ . 12. Докажите, что система функций {0,1, & , }x y x y= ⊕M является полной. Является ли она

базисом? 13. Докажите, что каждая булева функция 1 2( , ,..., )nf x x x представляется единственным об-

разом с помощью полинома (Жегалкина):

1 2{1,..., }

( , ,..., )n s iS n i S

f x x x a x⊆ ∈

= ∑ ∏ , где {0,1}Sa ∈ .

14. Постройте любым известным методом полиномы Жегалкина для логических функций задачи 7.

15. Дайте определение двойственной функции f ∗ к заданной f . Постройте двойственные функции для функций 0,1,&, , ,∨ ⊕ ∼ , для функций из задачи 7 в векторной и алгебраической форме.

16. Пусть f - логическая функция, и f ∗ - двойственная f . Объясните, как связаны СДНФ и СКНФ данных функций?

17. Докажите, что а) ( )f f∗ ∗ = ; б) если g f ∗= , то f g∗= . 18. Дайте определение логических функций, сохраняющих 0. Докажите, что множество 0T

всех таких функций является замкнутым. 19. Докажите, что {0,&, }⊕ - это полная система замкнутого класса 0T . Является ли эта

система функций базисом? 20. Посчитайте число функций от n аргументов из 0T .

21. Дайте определение логических функций, сохраняющих 1. Докажите, что множество 1T всех таких функций является замкнутым.

22. Докажите, что {1, , }∨ ∼ - это полная система замкнутого класса 0T . Является ли эта сис-тема функций базисом?

23. Посчитайте число функций от n аргументов из 1T . 24. Дайте определение самодвойственной функции. Покажите, что функции x , x ,

( , , )m x y z xy xz yz= ∨ ∨ , x y z⊕ ⊕ являются самодвойственными. 25. Пусть S - это множество всех самодвойственных функций. Покажите, что это множест-

во замкнуто. 26. Посчитайте, число самодвойственных функций от n аргументов. 27. Посчитайте число самодвойственных функций а) от 2 аргументов и которые существенно зависят от 2 аргументов; б) от 3 аргументов и которые существенно зависят от 3 аргументов;



в) от 4 аргументов и которые существенно зависят от 4 аргументов; г) выведите рекуррентную формулу числа самодвойственных функций от n аргументов и

которые существенно зависят от n аргументов. д) Верно ли, что если n - четное для пункта г), то число таких функций равно нулю? 28. Проверьте можно ли выразить все самодвойственные функции от трех аргументов через

функции { , , }m x y z¬ ⊕ ⊕ . Является ли данная система функций базисом для S ? 29. Дайте определение монотонной логической функции. Покажите, что функции &, ,m∨

являются монотонными. 30. Докажите, что множество M всех монотонных функций является замкнутым классом. 31. Докажите, что базисом M являются функции {&, ,0,1}∨ . 32. Посчитайте число монотонных функций а) от двух аргументов; б) от трех аргументов. в) все полученные функции из а) и б) представьте с помощью базиса {&, ,0,1}∨ . 33. Дайте определение линейной функции. Докажите, что множество L всех линейных

функций является замкнутым классом. 34. Из каких функций можно составить базис класса M ? Посчитайте число линейных

функций от n переменных. 35. Сформулируйте теорему Поста. С помощью теоремы Поста докажите, что следующие

системы функций являются базисами в 1C : а) {&, , }∨ ¬ ; б) { & }x y ; в) { }x y∨ . 36. Решите задачу 19 с помощью теоремы Поста. 37. С помощью теоремы Поста проверьте, образуют ли логические функции из задачи 7 ба-

зис в 1C . 38. Дайте определение предиката, правильно построенной формулы (ППФ). атомной фор-

мулы, терма, и литерала. 39. Может ли быть аргументом предиката атомная формула? Далее используются обозначения: 1) константы обозначаются строчными буквами , ,a b c и т.д.; 2) переменные - , ,x y z и т.д.; 3) функции - , ,f g h и т.д.; 4) предикаты и высказывания - заглавными буквами , , , ,A B C P Q . 40. Объясните какие из ниже перечисленных выражений являются (не являются) ППФ:

а) ( )( ), , ,P a g a x b ; ( ),P x y A→ ;

б) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( )P x y Q x Q z Q y∨ → → ;

в) ( ), ( ) ( )P x f x Q x→ ;

г) ( )( )f a¬ ; ( )( )( ), , ( )P f a P b a Q x→ ;

д) ( )( )f Q a .

38. Поясните, как с помощью кванторов из ППФ можно получить высказывания. Пусть пре-дикат ( , )P x y , определен на множестве натуральных чисел и истинен, если x делит y . Запи-шите все высказывания, которые можно получить из предиката ( , )P x y с помощью навешива-ния кванторов общности и существования. Запишите данные высказывания словесно. Опреде-лите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны.



39. Пусть предикат ( , )Father x y определен на множестве людей и истинен, если x является отцом y . Запишите все высказывания, которые можно получить из предиката ( , )P x y с помо-щью навешивания кванторов общности и существования. Запишите данные высказывания сло-весно. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны.

40. Запишите с помощью логики предикатов предложение: Существуют неземные цивили-зации, на которых обитают человеческие существа.

41. Дайте определение, когда высказывание B логически следует из высказываний 1,..., MA A . Данный факт будем записывать в виде 1,..., MA A B⇒ . Объясните, почему

1,..., MA A B⇒ в том и только том случае, если логическая формула 1 & ... & MA A B→ является тождественно истинной (общезначимой).

42. С помощью таблиц истинности докажите, что следующие ППФ являются общезначимы-ми:

а) ( ) & ( ) ( )P a P b P a→ , б) ( ) ( ) ( )P a P a P b→ ∨ ;

в) ( )( ) & ( ) ( ) ( )P a P a P b P b→ → ;

г) ( ) ( ) ( )( ) ( ) & ( ) ( ) ( ) ( )P a Q b P c Q b P a P c∨¬ ∨ → ∨ .

43. Покажите, что ППФ ( ) ( ) ( )x P x P a∀ → является общезначимой 44. Докажите, что если 1,..., LA A B⇒ , то 1,..., ,...,L MA A A B⇒ .

45. Докажите, что если 1 1,..., MA A B⇒ и 1 1 2,..., ,MA A B B⇒ , то 1 2,..., MA A B⇒ . 46. Объясните, как на основе свойств логического вывода, описанного в задачах 44 и 45

можно построить системы логического вывода. Объясните систему логического вывода в логи-ке высказываний на основе правила резолюции.

47. Докажите общезначимость ППФ из задачи 42 пункты а), б), в) с помощью правила резо-люции.

48. Опишите процедуру преобразования ППФ в предложения. Покажите, как это делать на примере ППФ: ( ) ( ) ( ){ } ( ){ }{ }{ }( ) ( ) ( , ) & ( , ) ( )x P x y P y P f x y y Q x y P y∀ → ∀ → ¬ ∀ → .

49. Объясните, как производится унификация атомных формул, что такое наиболее общий унификатор. Найдите наиболее общий унификатор для множества атомных формул:

а) ( ) ( ){ }, ( ), , , ( ),P x f y b P x f y b ;

б) ( ) ( ){ }( ), , ( ) , ( ), , ( )P f x y g y P f x z g x ;

в) ( )( ) ( ){ }, ( , ) , ( , ) , ( , ),P f x g a y g a y P f x z z .

50. Почему следующие литералы: а) { }( , ), ( , )Q x y P x z ;

б) ( ) ( ){ }( ), , , ( )P f x y P z g w¬ ;

в) ( ) ( ){ }( ), , ( ),P f x y P g z y .

не являются унифицируемыми? 51. Сформулируйте правило резолюции для аксиом, представленных в виде предложений.

Покажите, какие резольвенты можно получить из предложений: ( ) ( )1 , ( ) , ( ) ( )S P x f a P x f y Q y= ∨ ∨ , ( )2 , ( ) ( )S P x f a Q x= ¬ ∨¬ .

52. Опишите систему опровержения на основе резолюции. Покажите ее работу на следую-щем примере.



Пусть истинны следующие высказывания (аксиомы): 1) Прямая a пересекает прямую b . 2) Прямая b параллельна прямой c . 3) Если прямые параллельны, то они не пересекаются. 4) Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 5) Если прямая x параллельна прямой y , то прямая y параллельна прямой x . 6) Если прямая x параллельна прямой y и прямая y параллельна прямой z , то прямая x

параллельна прямой z . Докажите с помощью данных аксиом истинность высказывания (теоремы): 7) Прямые a и c пересекаются. 53. Введем следующие предикаты на множестве натуральных чисел { }2,3,...= : ( )S x : x –

простое число; ( , )E x y : число x равно числу y ; и функцию ( , )f x y xy= . Тогда справедливы следующие высказывания:

1. ( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( , ),z S z x y E f x y z∀ ↔ ∀ ∀ ¬ . т.е. число z – простое тогда и только тогда, когда

оно не является произведением натуральных чисел из множества { }2,3,...= .

2. ( ) ( , )z E z z∀ .

Докажите теорему: 3. ( ){ }( )x S x∃ ¬

54. Пусть истинны высказывания (аксиомы): ( )ПТИЦА петух ; ( ) ( )ПТИЦА ЛЕТАЕТx x→ ; ( ) ( )ПТИЦА ИМЕЕТ ,крыльяx x→ ;

Докажите теорему ( ) ( ) ( ){ }ИМЕЕТ ,крылья &ЛЕТАЕТx x x∃ .

55. Пусть истинны следующие высказывания: • Если лягушонок зеленый, то он веселый. • Если лягушонок невеселый, то он сидит на берегу. • Все лягушата либо зеленые, либо пестренькие. • Если лягушонок пестренький, то он плавает в воде. Проверьте, следуют ли из данных высказываний высказывания: • все лягушата плавают в воде; • все лягушата – невеселые; • все лягушата – веселые; • все лягушата – пестренькие; • все веселые лягушата – зеленые. При решении данной задачи переведите данные высказывания на язык логики высказываний

или логики предикатов и далее используйте правила логического вывода. 56. Во дворе живут два кота и две собаки. Кот Малыш боится обеих собак, а кот Тоша боится Шарика и дружит с Бобиком. Какое из утверждений неверно? • Каждый из котов боится какой-то из собак; • Есть кот, который не боится какой-то из собак; • Есть собака, которую боятся оба кота; • Есть собака, которую не боится ни один из котов; • Каждая из двух собак вызывает страх у какого-то из котов. При решении данной задачи переведите данные высказывания на язык логики высказываний

или логики предикатов и далее используйте правила логического вывода.



57. Для украшения класса к празднику 8 Марта купили воздушные шарики: синие, красные и зеленые. Некоторые из них длинные, а некоторые – круглые. Все зеленые

шарики – круглые, а все длинные – красные. Тогда обязательно • все красные шарики – длинные; • некоторые длинные шарики – синие; • все круглые шарики – зеленые; • все синие шарики – круглые; • некоторые синие шарики – длинные. При решении данной задачи переведите данные высказывания на язык логики высказываний

или логики предикатов и далее используйте правила логического вывода.

8.6 Образцы задач и вопросов по теме «Теория графов» 1. Дайте общее определение графа. Какие способы задания графов вы знаете? Дайте опреде-

ления: смежности вершин, смежности ребер, инцидентности вершин и ребер. Какой граф назы-вается неориентированным, а какой - ориентированным? Чем отличается простой граф от не-ориентированного графа? Сколько будет иметь ребер полный простой граф на n вершинах? Сколько будет иметь дуг полный ориентированный граф (без кратных дуг).

2. Дайте определение локальной степени для простых и ориентированных графов. Как ло-кальные степени связаны с числом ребер. Докажите, что в простом графе число вершин с не-четной локальной степенью – четное.

Решите следующие вводные задачи на простые графы. 3. В графе n вершин. Сколько в нем может быть ребер? 4. В графе 25 ребер. Сколько в нем может быть вершин. 5. Существует ли граф на 8 вершинах, в котором 23 ребра и есть вершина степени 1? 6. Привести пример графа, имеющего n вершин и ( -1)( - 2) / 2n n ребер. 7. Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с

тремя другими? 8. Придумайте алгоритм построения графа с заданным числом вершин. Попытайтесь прове-

рить его работоспособность для графов с локальными степенями вершин: Приведите пример графа (или докажите, что его не существует), степени вершин которого равны

а) (1,1,1,2,3,3,4); б) (1,1,1,2,3,3,3); в) (1,1,3,3,3,3,6); г) (5,5,7,7,7,7,7); д) (4,4,4,4,4,5,5); е) (1,1,2,2,2,6,6). Если такой граф не удается построить, докажите, что он не существует. 9. Дайте определение регулярного графа степени k . а) Как рассчитать число ребер в регулярном графе степени k на n вершинах? б) Докажите, что регулярный граф степени k на n вершинах существует тогда и только то-

гда, когда 1k n≤ − и число nk - четное. 10. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог? 11. Докажите, что в графе существуют, по крайней мере, 2 вершины, степени которых равны. 12. Дайте определение маршрута, циклического маршрута, пути, цикла, простого пути в в

ориентированном графе. Как данные определения распространяются для неориентированных графов. Поясните данные определения на примерах.



13. Дайте определения связности для неориентированных графов. Почему для ориентиро-ванных графов определяются два типа связанности?

14. В 15-этажном доме имеется лифт с двумя кнопками: "+7" и "-9". Можно ли проехать с этажа на любой?

15. Докажите, что граф с $n$ вершинами, степень каждой из которых не менее ( -1) / 2n , - связен.

16. Граф со 100 вершинами имеет 98 вершин степени 30, и по одной вершинестепеней 25 и 15. Обязательно ли он будет связен? Докажите, что вершины степеней 25 и 15 лежат в одной компоненте связности.

17. В связном графе степени всех вершин четные. Докажите, что граф останется связным и после удаления любого из ребер. 18. В графе никакие два цикла не имеют общих вершин. Может ли в таком графе быть 3 цикла, 16 вершин и 17 ребер? 19. В графе 8 вершин и 22 ребра. Верно ли, что этот граф~--- связный? Или в более общей

постановке: а) Сколько ребер может быть у связного графа на $n$ вершинах? б) Скольких ребер заведомо достаточно, чтобы граф был связен? 18. Каждое из ребер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов. Дока-

жите, что есть три вершины, все ребра между которыми одного цвета. 20. Докажите, что если в графе больше 5 вершин, либо сам граф, либо его дополнение со-

держат цикл длины 3. 21. Приведите пример графа на 5 вершинах, для которого утверждение предыдущего пункта

неверно. 22. Сколько вершин должно быть в графе, чтобы либо он сам, либо его дополнение обяза-

тельно содержали хоть какой-нибудь цикл? 23. Степень каждой из 20 вершин графа G не меньше 14. Докажите, что найдется 4 верши-

ны, попарно соединенные между собой. (Научно: в G есть подграф, изоморфный полному графу 4K .) 24. Докажите, что в любом связном графе можно удалить вершину вместе со всеми выходящими из нее ребрами так, чтобы он остался связным. 25. Дайте определение изоморфизма графов. Будут ли изоморфны графы, если а) у них по 10 вершин, степень каждой из которых равна 9? б) у них по 8 вершин, степень каждой из которых равна 3? в) они связны, без циклов и содержат по 6 ребер? 26. Перечислите все неизоморфные графы на 4 вершинах. г) Найдите все попарно неизоморфные графы со степенями вершин(3,3,3,3,4,4). 27. Все степени вершин n -вершинного графа равны 2. Сколько среди таких графов попарно

неизоморфных? а) вычислите ответ для 3 10n≤ ≤ ; б) найдите рекуррентное соотношение, позволяющее вычислить ответ для произвольного

n .(Указание: это связано с числами Стирлинга.) 28. Найдите все попарно неизоморфные графы со степенями вершин: а) (3,3,3,3,3,3); б) (6,6,6,6,6,6,6,6). 29. Дайте определение двудольного графа. Докажите, что граф является двудольным, если

не содержит простых циклов нечетной длины. Предложите алгоритм проверки двудольности графа.



30. Дайте определение гамильтоновой цикла. Чем отличается гамильтоновый цикл от га-мильтоновой цепи? Приведите пример негамильтонова графа, степени вершин которого равны (3,3,3,3,4,4,4,4,4).

31. Нарисуйте каркас 3-х мерного куба. Проверьте есть ли в нем гамильтонов цикл? Сотрите невидимые ребра куба и установите наличие (отсутствие) гамильтонового цикла в данном слу-чае.

32. Предложите алгоритм поиска гамильтонового цикла и проверки гамильтоновости графа. 33 Степени вершин n -вершинного графа не меньше / 2n . Докажите, что в графе есть га-

мильтонов цикл. 34. Докажите, что в связном регулярном графе типа $8,3$ есть гамильтонов цикл. 35. Дайте определение эйлерова цикла. Чем отличается эйлеров цикл от эйлеровой цепи?

Докажите, что неориентированный граф эйлеров в том и только том случае, если он связен и все степени вершин четные.

36. Предложите алгоритм построения эйлеровой цепи в эйлеровом графе. 37. Существуют ли графы, в которых эйлеров путь является также гамильтоновым путем?

Если да, то охарактеризуйте эти графы, если нет - объясните почему. 38. При каких m и n в полном двудольном графе ,m nK существует

а) эйлеров цикл; б) гамильтонов цикл? в) постройте оба цикла для графа 6,6K .

39. Дайте определение неориентированного дерева. Пусть граф G имеет n вершин и m ре-бер. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

а) G - дерево; б) в графе G нет циклов и 1m n= − ; в) G связен и 1m n= − ; г) в графе G нет циклов, и добавление ребра между любыми двумя несмежными вершинами

приводит к появлению цикла; д) G связен, но теряет это свойство при удалении любого ребра; е) каждая пара вершин соединяется единственной цепью. 40. Найдите все попарно неизоморфные деревья а) на 7 вершинах; б) на 9 вершинах, в которых есть путь длины 7; в) на 9 вершинах, в которых есть две вершины степени 4; г) на 9 вершинах, в которых есть вершина степени 6. 41 На доске нарисовано 7 графов, каждый из которых - дерево с 6 вершинами. Докажите,

что среди них есть два изоморфных. 42. Докажите, что дерево содержит по крайней мере 2 висячие вершины. , в котором есть

вершина, из которой выходит ровно одно ребро (такая вершина называется висячей). 43. В графе 10 вершин и 9 ребер. Верно ли, что этот граф --- дерево? 44. Существует ли дерево на 9 вершинах, в котором 2 вершины имеют степень~5? 45. В дереве на 8 вершинах три вершины имеют степень 1. Сколько вершин имеют сте-

пень~3? 46. Пусть T - дерево, в котором каждая вершина имеет степень 1 или k . Оценить количест-

во вершин в дереве T . 47. Докажите, что в дереве на 2n вершинах можно выбрать n вершин, между которыми нет

ни одного ребра.



48. Дайте определение планарного графа, его граней. Какой связный планарный граф имеет только одну грань?

49. Докажите формулу Эйлера, связывающую число вершин, ребер и граней в плоском гра-фе.

Для плоского графа будем обозначать: V - число вершин, E - число ребер, F - число гра-ней.

50. В плоском графе 7 граней --- 3 треугольника, 3 четырехугольника и 5-угольник. Сколько в этом графе ребер? А вершин?

51. Докажите, что для планарного связного графа справедливы неравенства а) 2 3E F≥ ; б) 3 6E V< − . 52. Докажите, что граф 5K не планарен. 53. Докажите, что граф, имеющий 10 вершин, степень каждой из которых равна 5, - не пла-

нарен. 54. Приведите пример планарного графа, степень каждой из вершин которого равна 5. 55. Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5. 56. Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный

или синий. Докажите, что либо "красный", либо "синий" граф не планарен. 57. Пусть все ребра плоского графа не менее, чем 4-угольники. Докажите, что для такого

графа 2E F> . 58. Выведите из предыдущей задачи, что граф 3,3K не планарен.

59. При каких m и n будут планарны графы: а) nK ; б) ,m nK .

60. Проверьте планарность каркаса трехмерного куба и его дополнения. 61. Дайте определение цикломатического числа, Каким будет цикломатическое число для

дерева, для графа nK , для графа ,n mK ? Как связано цикломатическое число с независимыми циклами.

62. Постройте максимальную систему независимых циклов для графа 4,4K .

63. Дайте определение максимального внутренне устойчивого множества, числа внешней устойчивости. Верно ли, что каждое одноэлементное множество вершин внутренне устойчиво?

64. Опишите метод Магу для перечисления всех максимальных внутренне устойчивых мно-жеств. Найдите максимальные внутренне устойчивые множества для графа на множестве вер-шин { , , , , , , , }a b c d f e g h , заданного матрицей смежности вершин

0 1 0 0 1 1 0 01 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0

a b c d f e g habcdfegh

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

65. Дайте определение минимального внешне устойчивого множества и числа внешней ус-тойчивости. Верно ли, что всегда множество всех вершин графа внешне устойчиво?

66. Опишите метод Магу для перечисления всех минимальных внешне устойчивых мно-жеств графа. Покажите его работу на графе из задачи 63.



67. Дайте определение ядра графа. Докажите, что каждое ядро графа одновременно макси-мально внутренне устойчиво и минимально внешне устойчиво.

68. Докажите, что в симметричном ориентированном графе (или неориентированном графе) каждое максимально устойчивое множество является минимально внешне устойчивым и обрат-но.

69. Перечислите все ядра для графа из задачи 63. 70. Приведите пример графа, а) не имеющего ядер; б) имеющего одно ядро; в) два ядра; г) 3 ядра; д) 10 ядер. 71. Найдите максимальные внутренне устойчивые и минимальные внешне устойчивые мно-

жества для а) полного ориентированного графа; б) голого графа; в) линейного порядка; г) ориентированного цикла четной длины; д) ориентированного цикла нечетной длины; е) неориентированной цепи; ж) ,m nK .

Также найдите для этих графов ядра, числа внешней и внутренней устойчивости. 72. Дайте определение хроматического числа графа. Каким будет хроматическое число для

а) дерева; б) графа nK ; в) графа ,m nK ? Для каких графов хроматическое число равно 1?

73. Опишите алгоритм Магу для нахождения минимальной окраски графа. С его помощью найдите минимальную окраску и хроматическое число графа из задачи 64.

74. Докажите, что ( ) ( )G G nα γ ≥ , где ( )Gα - число внутренней устойчивости графа G , ( )Gγ - хроматическое число графа G , n - число вершин графа G .

75. Пусть простой граф G задан на множестве вершин X . Докажите, что ( ) max{ ( ) | } 1G x x Xγ ρ≤ ∈ + , где ( )xρ обозначает локальную степень вершины X . Приведите

пример графа G , для которого ( ) max{ ( ) | } 1G x x Xγ ρ= ∈ + . 76. Дайте определение транспортной сети. Дайте определение потока в транспортной сети.

Сформулируйте задачу нахождения максимального потока. Объясните отличие между поня-тиями «величина максимального потока», «максимальный поток».

77. Дайте определение разреза транспортной сети и пропускной способности разреза. Дока-жите, что всегда величина потока меньше пропускной способности каждого разреза транспорт-ной сети.

78. Опишите и обоснуйте алгоритм Форда-Фалкерсона для нахождения максимального по-тока в транспортной сети. Как с помощью этого алгоритма можно находить минимальный раз-рез транспортной сети.

79. Докажите теорему Форда-Фалкерсона, связывающую пропускную способность мини-мального разреза с величиной максимального потока.

80. Пусть транспортная сеть задана пропускными способностями дуг

0 1( , )c x x = 6, 0 2( , )c x x = 8, 0 3( , )c x x 14, 1 4( , )c x x = 6, 1 5( , )c x x = 2, 2 9( , )c x x = 3,

2 6( , )c x x = 7, 3 6( , )c x x =8, 3 7( , )c x x = 1, 1 2( , )c x x = 4, 3 2( , )c x x = 1, 4 5( , )c x x = 8,

6 7( , )c x x = 4, 4 8( , )c x x = 10, 5 8( , )c x x = 9, 9 6( , )c x x = 7, 7 9( , )c x x = 4, 7 11( , )c x x = 2,



7 10( , )c x x = 8, 8 9( , )c x x = 4, 9 10( , )c x x = 9, 8 11( , )c x x = 10, 9 11( , )c x x = 6, 10 11( , )c x x = 12.

Будем считать, что 0x - это вход транспортной сети, а 11x - это выход транспортной сети. Найдите максимальный поток, величину максимального потока, минимальный разрез, пропуск-ную способность минимального разреза с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона.

81. Сформулируйте задачу нахождения наикратчайшего пути на взвешенном ориентирован-ном графе. Опишите алгоритм Дейкстры нахождения наикратчайшего пути. Найдите расстоя-ние от вершины 0x до всех остальных вершин для взвешенного ориентированного графа из за-дачи 80.

8.7 Образцы задач и вопросов по теме «Теория алгоритмов» 1. Объясните, что понимается под алгоритмом, какими свойствами обладают алгоритмы.

Приведите пример алгоритма, например, алгоритм для нахождения НОД целых чисел. 2. Дайте определение вычислительной и ёмкостной сложности алгоритма. Оцените ёмкост-

ную и вычислительную сложность следующих алгоритмов: а) алгоритм Евклида для нахождения НОД целых чисел; б) алгоритма проверки простоты натурального числа (предложите варианты нескольких ал-

горитмов; в) алгоритма решения определенной системы линейных уравнений Гаусса (сравните данный

алгоритм с методом Крамера). 3. Найдите сложность проверки а) изоморфизма графов (на основе определения). б) связности графа; в) двудольности графа; г) существования эйлерова цикла; д) существования гамильтонова цикла; 4. Найдите сложность а) волнового алгоритма Форда; б) алгоритма Форда-Фалкерсона; в) построения какого-нибудь остовного дерева; г) построения остовного дерева минимального веса (алгоритм Прима). 5. Опишите предпосылки возникновения теории алгоритмов: алгоритмически неразреши-

мые проблемы, проблемы оценки емкостной и вычислительной сложности и каким образом эти проблемы пытались решить.

6. Какие функции называются примитивно рекурсивными? С помощью каких операций они строятся из простейших арифметических функций? Докажите, что следующие функции явля-ются примитивно рекурсивными: а) x y+ ; б) x y⋅ ; в) yx ; г) x y− .

7. Дайте определение частично рекурсивной функции. Чем они отличаются от примитивно рекурсивных функций. Докажите, что

а) функция ( , ) 1f x y = , если x y> и ( , ) 0f x y = - в противном случае. частично рекурсивна. б) функция дающая остаток от деления двух целых чисел частично рекурсивна.

г) функция zx

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

частично рекурсивна.

8. В чем заключается тезис Чёрча? 9. Дайте определение машины Тьюринга (МТ). Объясните, что такое внешний алфавит МТ,

что такое внутренний алфавит МТ, что такое программа МТ. Покажите пошаговую работу ма-шины Тьюринга, которая обрабатывает слова в двоичном коде, заданную таблицей:

Copy 1q 2q 3q 4q 5q 6q 7q



0 00q N 30q R 41q N 50q L 61q R 70q L 00q R

1 20q R 21q R 31q R 41q L 51q L 20q R 71q L

на примере входного слова 10 11100...q . Какую функцию вычисляет данная машина Тьюрин-га?

10. Постройте машину Тьюринга, останавливающуюся в том и только том случае, если на ленте встречается 2 единицы подряд. В начальном состоянии головка машины находится у са-мой левой единицы.

11. Постройте машину Тьюринга, которая правильно вычисляет в унарной системе функцию а) ( ) 1f x x= + ; б) ( ) 1f x x= − ; в) ( ) 0f x = ; г) ( ) 2f x x= .

12. Решите задачу 10, если числа заданы в двоичной системе. 13. Постройте машину Тьюринга, а) переводящее унарное число в двоичную систему; б) переводящее двоичное число в унарную систему. 14. На ленте написано слово из 1. Постройте машину Тьюринга, ставящую ∗ (или ∗∗) в его середине. Единица(ы) заменяется, а не сдвигается. 15. На ленте записано слово из 0 и 1. Постройте машину Тьюринга, сортирующую эти циф-

ры в порядке возрастания. 16. На ленте написано слово, состоящее из букв a , b и c . Постройте машину Тьюринга а) стирающую все буквы a ; б) стирающую все буквы a и убирающую получившиеся пробелы; в) проверяющую, является ли записанное слово симметричные (читается одинаково слева

направо и справа налево). 17. Постройте машину Тьюринга для правильного вычисления функций (при этом удобно

пользоваться композицией МТ и представлять числа в унарном коде): а) x y+ ; б) x y⋅ ; в) yx ; г) x y− .

8.8 Образцы задач и вопросов по теме «Теория автоматов» 1. Дайте определение конечного автомата. Чем отличается автомат Мура от автомата Мили?

Покажите, как работает автомат Мили, если функция переходов δ и функция выходов λ зада-ны следующей таблицей:

/X S 0s 1s 2s 3s

1x 1 1/s y 2 3/s y 3 2/s y 0 1/s y

2x 0 2/s y 0 1/s y 3 1/s y 2 3/s y

для начального состояния 0s и входного слова 1 1 2 1( , , , ,...)x x x x . Для данного автомата изобрази-те диаграмму Мура.

2. Постройте конечный автомат для сложения двоичных чисел, если числа подаются ниж-ними разрядами вперед.

3. Постройте конечный автомат для управления работы светофором на переходе. Светофор должен пропускать пешеходов при нажатии кнопки. Состояние нажатия кнопки закодируем 1 , а отсутствие нажатия – нулем. Тогда входной алфавит у нас {0,1}X = . Выходным сигналом у нас является сигнал светофора, который может быть из множества

{ , , }Y зеленый желтый красный= . 4. Определите входной и выходной алфавиты и постройте диаграмму переходов для кодового замка, открывающегося от а) последовательного нажатия кнопок 5, 1, 2; б) последовательного нажатия кнопок 5, 1, 2 или 7, 1, 2;



в) нажатия кнопок 5, 1, 2 в произвольном порядке. 5. Постройте конечный автомат, имитирующий работу автомата по продаже газированной

воды. (С сиропом - 3 коп., без сиропа - 1коп., кидать можно монеты 1, 2 и 3 коп, автомат сдачу не возвращает).

6. Постройте конечный автомат (автомат Мура) с входным алфавитом { , , }a b c , распознаю-щий вхождение подслов

а) abc ; б) aaab ; в) abab ; г) ababc ; д) aba или bab ; е) aba и bab ; входном слове. 7. Постройте конечный автомат, со входным алфавитом { , , }a b c ,распознающий множество

а) { }ababc ; б) { , , }a bb cc ; в) {( ) }naba . 8. Дайте определение эквивалентности автоматов. Как это определение вводится для иници-

альных автоматов? Опишите алгоритм Мура построения минимального автомата. Приведите пример эквивалентных автоматов с разным числом внутренних состояний.

9. Постройте минимальный автомат, эквивалентный данному.

Здесь { }iq - множество внутренних состояний автомата; { , , }a b c - входной алфавит; {0,1} -

выходной алфавит. 9. Будут ли эквивалентны следующие (не инициальные) конечные автоматы?

10. Дайте определение детерминированного алфавитного отображения. Ограниченного ал-

фавитного отображения. Докажите, что детерминированное отображение является автоматным в том и только том случае, если оно является ограниченным.

11. Проверить, является ли заданное отображение ограниченным. При условии ограничен-ности отображения рассчитать его вес и построить диаграмму Мура.

( ), 0,( )

( ) ( 1), 1,2....x t t

y tx t x t t

=⎧= ⎨ ⊕ − =⎩

12. Проверить, является ли заданное отображение ограниченным: ( ) ([ / 3])y t x t= , где [ / 3]t - это целая часть числа / 3t .

13. Проверьте, являются ли следующие отображения автоматными: а) ( )ϕ =x xb , где xb - это произведение числа x на некоторое фиксированное число b в

двоичном коде;



б) ( )ϕ = −x x b , где − = −x b x b , если ≥x b и − =x b 0 в противном случае, для числа x и фиксированного числа b в двоичном коде;

в) ( ) [ / ]ϕ =x x b , где [ / ]x b - это целая часть частного /x b при делении числа x на фиксиро-ванное число b в двоичном коде.

14. Проверьте, являются ли следующие отображения автоматными (предполагается реализа-ция как для сложения чисел в двоичном коде):

а) ( , )ϕ =x y xy , где xy - это произведение чисел x и y ; б) ( , )ϕ = −x y x y ; в) ( , ) [ / ]ϕ =x y x y .

8.9 Образцы задач и вопросов по теме «Элементы дискретной алгебры»

12. Докажите, что группа, состоящая из простого числа элементов, - циклическая. 13. Проверьте, является ли следующие алгебраические системы полем или кольцом: а) множество целых чисел относительно сложения и умножения; б) множество квадратных симметричных матриц размерности n n× ; в) множество комплексных чисел; г) множество остатков при делении на n относительно сложения и умножения. 14. Можно ли представить поле комплексных чисел в матричной форме, с помощью каких

матриц?



8.10 Образцы задач и вопросов по теме «Основы теории чисел»



Сформулируйте теорему Вильсона и проверьте, ее решая следующие задачи.



43. Сформулируйте и докажите малую теорему Ферма. 44. Обобщите малую теорему Ферма с помощью функции Эйлера.



73. Посчитайте число многочленов степени 4, которые не имеют корней над p .

Дайте определение неприводимого многочлена над полем, в частности, над , , p .



Далее предполагается, что p - простое число.



9 Порядок формирования оценок по дисциплине Оценивание всех форм контроля знаний производится по 10-ти балльной шкале с точностью

до 0,1 и не округляется. Округляется только итоговая оценка. Округление строгое на границе 3/4 и математическое в остальных случаях, т.е. 3,96 округ-

ляется до 3, а 4,50 – до 5. Формула расчета итогового балла:

ОИ = 0,4·ОКР + 0,05 ОДЗ+0,55·ОЭкз, где ОКР – среднее арифметическое оценок за все 4 контрольные работы курса, ОДЗ – оценка за домашнее задание, ОЭкз – оценка, полученная на экзамене.

10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины 10.1 Базовый учебник 1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. 2. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов. – М.: Техносфера, 2005, 2-е изд

10.2 Основная литература 1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и тео-

рии алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. 2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. – М.: Наука, 1971. 3. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МНЦМО,

2006. 4. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. Том 2. М.: Энергия, 1979. 5. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. – М.: Наука, 1975. 6. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1964. 7. Алферова З. В. Теория алгоритмов. - М.: Издательство статистика, 1973. 8. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965. 9. Виноградов И.М. Основы теории чисел. 6-е издание, М. Наука, 1991.

10.3 Дополнительная литература 1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1975. 2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные

решения. - М.: Физматлит, 2012. 3. Нильсон Н. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. М.: Мир, 1973. 4. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978. 5. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980. 6. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. –

М.: Мир, 1979.

Дискретная математика...2017/09/08 · (неделя) Домашнее...

Documents