129

ՇԻՐԱԿԻ Մ. ՆԱԼԲԱՆԴՅԱՆԻ ԱՆՎԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ ШИРАКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. НАЛБАНДЯНА

SHIRAK STATE UNIVERSITY AFTER M. NALBANDYAN У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И Գ Ի Տ Ա Կ Ա Ն Տ Ե Ղ Ե Կ Ա Գ Ի Ր S C I E N T I F I C P R O C E E D I N G S

Պրակ Բ Выпуск Б Issue B

Դ Ա Ս Ա Վ Ա Ն Դ Մ Ա Ն Մ Ե Թ Ո Դ Ի Կ Ա ՀՏԴ 519 : 37

Գ. Մ. Մելքոնյան, Ա. Հ. Սարգսյան

ՀԻՊԵՐԲՈԼԱԿԱՆ ԵՎ ՀԱԿԱԴԱՐՁ ՀԻՊԵՐԲՈԼԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐՆ ՈՒ ՈՐՈՇ

ԿԻՐԱՌՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ Բանալի բառեր` հիպերբոլական ֆունկցիաներ, հակադարձ հիպեր-

բոլական ֆունկցիաներ, նույնություններ, շղթայագիծ: Ключевые слова: гиперболические функции, обратные гиперболические

функции, тождества, цепная линия. Keywords: hyperbolic functions, inverse hyperbolic functions, identities, catenary. Աշխատանքում ներկայացվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպեր-

բոլական ֆունկցիաների մի շարք հատկություններ և կիրառություններ: Դի-տարկվում են հետաքրքրություն ներկայացնող որոշ խնդիրներ:

1. Ներածություն. Ուսումնասիրելով հիպերբոլական և հակադարձ հիպեր-բոլական ֆունկցիաներին առնչվող մի շարք գրականություն [1 − 9]` աշխա-տանքում ներկայացվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների հատկությունները, դրանց, ինչպես նաև տարրական այլ ֆունկ-ցիաների միջև առնչությունները և մի շարք կիրառություններ: Նախ սահման-վում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները, տրվում են առնչություններ հիպերբոլական ֆունկցիաների, հիպերբոլական և եռանկյու-նաչափական ֆունկցիաների միջև, ինչպես նաև լոգարիթմական, հակադարձ եռանկյունաչափական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների միջև: Տրվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանց-ման և ինտեգրման կանոնները: Այնուհետև ներկայացվում են նշված ֆունկ-ցիաների կիրառությունները ֆունկցիաների և դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման տեսանկյունից: Դիտարկվում են նաև հետաքրքրություն ներկայաց-նող մի շարք առաջադրանքներ` մանրամասն լուծումներով:

2 0 1 6 № 1

130

Աշխատանքը մեթոդական մեծ նշանակություն ունի և կարող է կիրառվել բուհական ուսումնական պրոցեսում, ինչպես նաև կարող է նպաստել գիտական ուսումնասիրություններ կատարող գիտական աշխատողների գործու-նեությանը: 2. Հիպերբոլական ֆունկցիաների սահմանումներն ու հատկությունները: Մա-թեմատիկայում բացի առանձին ցուցչային ֆունկցիաներից, լայն կիրառություն ունեն ցուցչային ֆունկցիաների համակցությունները: Դրանց շարքում կարևոր տեղ են գրավում 푒 և 푒 ցուցչային ֆունկցիաների որոշակի գծային և կոտո-րակագծային համակցություններ, որոնք կոչվում են հիպերբոլական ֆունկցիա-ներ: Հիպերբոլական ֆունկցիաները թվով վեցն են, որոնց համար օգտագործվում են հատուկ անուններ և նշանակումներ.

sh푥 =푒 − 푒

2հիպերբոլականսինուս(1)

ch 푥 =푒 + 푒

2հիպերբոլականկոսինուս(2)

th 푥 =푒 − 푒푒 + 푒

հիպերբոլականտանգես(3)

cth x =푒 + 푒푒 − 푒

հիպերբոլականկոտանգես(4)

sch푥 =2

푒 + 푒հիպերբոլականսեկանս(5)

csch 푥 =2

푒 − 푒հիպերբոլականկոսեկանս(6)

Հիպերբոլական ֆունկցիաների անունները պայմանավորված են նրա-նով, որ վերջիններս միավոր կիսառանցքով հավասարակողմ հիպերբոլի կետե-րի կոորդինատների հետ կապված են նույն կերպ, ինչ որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները` միավոր շառավղով շրջանագծի կետերի կոորդինատների հետ:

Միևնույն արգումենտից կախված տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկ-ցիաներ կապված են բազմաթիվ հայտնի առնչություններով: Համանման առնչու-թյուններ են գործում նաև հիպերբոլական ֆունկցիաների միջև:

Օրինակ՝ եռանկյունաչափությունից հայտնի հետևյալ sin 푥 + cos 푥 = 1 նույնությանը համապատասխանում է հիպերբոլական սինուսի և կոսինուսի միջև գործող հետևյալ նույնությունը` ch 푥 − sh 푥 = 1: Վերջինս հետևում է հիպերբոլական սինուս և կոսինուս ֆունկցիաների սահմանումներից:

Մի շարք կարևոր նույնություններ են հետևում հիպերբոլական ֆունկ-ցիաների սահմանումներից և նշված նույնությունից.

sh푥ch 푥

= th 푥 ,ch 푥sh 푥

= cth푥 ,1

sh 푥= csch 푥

1ch 푥

= sch푥 , th푥 ∙ cth 푥 = 1 1 − th 푥 = sch 푥 , cth 푥 − 1 =csch 푥(7)

131

Եռանկյունաչափությունից հայտնի բանաձևերի համանմանությամբ կա-րելի է ստանալ բանաձևեր նաև հիպերբոլական ֆունկցիաների արգումենտների գումարի և տարբերության, կրկնակի և կես արգումենտի, ինչպես նաև հիպերբոլական ֆունկցիաների գումարի, տարբերության և արտադրյալի համար:

Ցուցչային, եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիաների գա-ղափարները կարելի է սահմանել նաև արգումենտի կոմպլեքս, մասնավորապես կեղծ արժեքների համար, ինչը հնարավորություն կտա կապ հաստատելու վերջիններիս միջև:

Օգտվելով կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունից հայտնի Էյլերի բանաձևերից և հիպերբոլական ֆունկցիաների սահմանումներից՝ կարե-լի է կապ հաստատել նաև եռանկյունաչափական և հիպերբոլական ֆունկցիա-ների միջև.

cos 푧 = ch 푖푧 , 푖 sin 푧 = sh 푖푧 , 푖 tg 푧 = th 푖푧 ,1푖ctg 푧 = cth 푖푧

ch 푧 = cos 푖푧 , 푖 sh 푧 = sin 푖푧 , 푖 th 푧 = tg 푖푧 ,1푖cth 푧 = ctg 푖푧(8)

Եթե (8) բանաձևերում տեղադրենք 푧 = 푖푥, որտեղ 푥-ը իրական թիվ է, այսինքն՝ արգումենտը վերցնենք զուտ կեղծ թիվ, ապա կստանանք.

cos 푖푥 = ch 푥 , sin 푖푥 = 푖 sh 푥 , tg 푖푥 = 푖 th푥 , ctg 푖푥 = −푖 cth푥 ch 푖푥 = cos 푥 , sh 푖푥 = 푖 sin 푥 , th 푖푥 = 푖 tg푥 , cth 푖푥 = −푖 ctg 푥 (9)

Ստացված բանաձևերը հնարավորություն են տալիս անցում կատարելու եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից հիպերբոլական ֆունկցիաներին և հակառակը, ինչպես նաև` կեղծ արգումենտը փոխարինել իրականով:

Համանմանորեն կարելի է ստանալ հիպերբոլական ֆունկցիաների մյուս բանաձևերը, այդ թվում նաև՝ հիպերբոլական ֆունկցիաների արգումենտների գումարի և տարբերության, կրկնակի և կես անկյան և այլ բանաձևեր: Այսպիսով, սովորական եռանկյունաչափությունից կարելի է ստանալ, այսպես կոչված, «հիպերբոլական եռանկյունաչափություն»:

Հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցման և ինտեգրման բանաձևերը ևս հետևում են այդ ֆունկցիաների սահմանումներից.

(sh 푥) = ch 푥 , (ch 푥) = sh푥,

(th푥) =1

ch 푥, (cth 푥) = −

1sh 푥

ch 푥 푑푥 = sh 푥 + 퐶, sh 푥 푑푥 = ch 푥 + 퐶 푑푥ch 푥

= th 푥 + 퐶,푑푥sh 푥

= −cth 푥 + 퐶(10)

132

ퟑ. Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաներ: Եթե 푥 = sh 푦, ապա կարելի է այստեղից 푦-ն արտահայտել 푥-ով, որը կլինի հիպերբոլական սինուս ֆունկ-ցիայի հակադարձ ֆունկցիան: Այն նշանակում են հետևյալ կերպ` 푦 = Arsh푥, և կարդացվում է հիպերբոլական արեասինուս: Նույն կերպ են սահմանվում նաև մյուս հիպերբոլական ֆունկցիաների հակադարձ ֆունկցիաները.

푥 = 푐h푦 ⇔ 푦 = Arch 푥 (հիպերբոլական արեակոսինուս), 푥 = th 푦 ⇔ 푦 = Arth푥 (հիպերբոլական արեատանգես), 푥 = cth 푦 ⇔ 푦 = Arcth푥 (հիպերբոլական արեակոտանգես), 푥 = sch 푦 ⇔ 푦 = Arsch푥 (հիպերբոլական արեասեկանս), 푥 = csch 푦 ⇔ 푦 = Arcsch 푥 (հիպերբոլական արեակոսեկանս): Ինչպես որ հիպերբոլական ֆունկցիաներն են արտահայտվում ցուցչային

ֆունկցիաներով, այնպես էլ հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաները կարելի է արտահայտել հակադարձ ցուցչային, այսինքն՝ լոգարիթմական, ֆունկ-ցիաներով: Տեղի ունեն հետևյալ բանաձևերը`

Arsh푥 = ln(푥 + 푥 + 1)(11)Arch푥 = ln(푥 ± √푥 − 1) (푥 ≥ 1)(12)

Arth푥 =12ln

1 + 푥1 − 푥

, (|푥| < 1)(13)

Arcth푥 =12ln

푥 + 1푥 − 1

, (|푥| > 1)(14)

Arsch푥 = ± ln1푥+

1푥

− 1 , (0 < 푥 < 1)(15)

Arcsch 푥 = ln1푥+

1푥

+ 1 (16)

(12) բանաձևի արտածման համար դիտարկենք`푦 = Arch 푥 հիպերբո-լական արեակոսինուս ֆունկցիան: Այս դեպքում 푥 = ch푦, և, ինչպես հայտնի է, հիպերբոլական կոսինուս ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել ցուցչային ֆունկ-ցիաների միջոցով, հետևյալ կերպ`ch 푦 = կամ որ նույնն է`

푥 =푒 + 푒

2⇔ 푒 − 2푥푒 + 1 = 0

Լուծելով այն՝ կստանանք` 푒 = 푥 ± √푥 − 1: Լոգարիթմելով ստացված հավասարման երկու մասերը՝ կստանանք` 푦 = ln(푥 ± √푥 − 1): Մյուս կողմից` 푦 = Ar푐h 푥, ուստի կստանանք (12) բանաձևը:

Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների ածանցման և ինտեգրման բանաձևերն են.

(Arsh푥) =1

√1 + 푥, (Arch 푥) =

1√푥 − 1

(Arth푥) =1

1 − 푥, (Arcth푥) = −

1푥 − 1

133

푑푥√푥 + 푎

= ln 푥 + 푥 + 푎 + 퐶 =Arsh

푥√푎

+ 퐶,երբ푎 > 0

Arch푥

√−푎+ 퐶,երբ푎 < 0

푑푥푥 − 푎

=12푎

ln푥 − 푎푥 + 푎

+ 퐶 =

=−1푎Arth

푥푎+ 퐶,երբ|푥| < 푎

−1푎Arcth

푥푎+ 퐶,երբ|푥| > 푎

(17)

Առաջին չորս բանաձևերն ապացուցելու համար կարելի է օգտվել հակա-դարձ ֆունկցիաների ածանցման կանոնից՝ 푦 = : Օրինակ, երբ 푦 = Arsh푥,

ապա 푥 = sh 푦: Վերջինս ածանցենք ըստ 푦-ի, կստանանք 푥 = ch푦: Հետևաբար`

푦 = (Arsh푥) =1푥 ′

=1ch 푦

=1

1 + sh 푦=

1√1 + 푥

4. Ինտեգրալների հաշվումը հիպերբոլական ֆունկցիաներով տեղադրումների միջոցով: Ինչպես հայտնի է ինտեգրալային հաշվի դասընթացից ∫푅 푥, √푎푥 + 푏푥 + 푐 푑푥 ինտեգրալը, որտեղ 푅-ը ռացիոնալ ֆունկցիայի նշանն է, կարելի է հաշվել, այսպես կոչված, եռանկյունաչափական տեղադրման միջոցով, այսինքն՝ 푥 արգումենտը փոխարինվում է նոր 푡 պարամետրի եռանկյունա-չափական ֆունկցիայով: Հաճախ եռանկյունա- չափական տեղադրումները կա-րող են հանգեցնել առավել բարդ արդյունքների, հատկապես այն ժամանակ, երբ ներմուծում ենք սեկանս կամ կոսեկանս: Այս պարագայում կարելի է ∫푅 푥, √푎푥 + 푏푥 + 푐 푑푥 տեսքի ինտեգրալները հաշվել` կիրառելով հիպերբո-լական տեղադրումներ: Խնդիր 1: Ինտեգրել հիպերբոլական ֆունկցիաների տեղադրման միջոցով [4].

푰 = 풙 풙ퟐ + 풙+ ퟏ풅풙

Լուծում: Տեղադրենք 푥 + = √ sh 푡, այս դեպքում կստանան

푡 = Arsh√

푥 + ,푑푥 = √ ch 푡 푑푡: Հետևաբար

퐼 = 푥 푥 +12

+34푑푥 =

√34

ch 푡 √3 sh 푡 − 134sh 푡 +

34푑푡 =

=38

ch 푡 √3 sh 푡 − 1 푑푡 =3√38

ch 푡 sh 푡 푑푡 −38

ch 푡 푑푡 =

=3√38

ch 푡 푑(ch 푡) −316

(ch 2푡 + 1) 푑푡 ==√38ch 푡 −

332

sh2푡 −316

푡 + 퐶 =

=124

(4푥 + 4푥 + 2) −2푥 + 116

4푥 + 4푥 + 2 −

134

−316

ln 푥 +12+ 4푥 + 4푥 + 2 + 퐶̅

որտեղ 퐶̅ = 퐶 + ln √3 5. Դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրումը: Հիպերբոլական ֆունկցիա-ները կիրառվում են նաև մի շարք դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման ժամանակ: Ինտեգրման ընթացքում հնարավոր է, որ ստացվեն այնպիսի արտա-հայտություններ, որոնք առավել հեշտ կլինի հաշվել հիպերբոլական տեղա-դրման միջոցով:

Դիտարկենք դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մի քանի օրինակ-ներ, որոնք հետաքրքրություն են ներկայացնում:

Խնդիր 2: Գտնել Լապլասի 흏ퟐ휱흏풙ퟐ

+ 흏ퟐ휱흏풚ퟐ

= ퟎ հավասարման այն մասնավոր

լուծումը, որը բավարարում է հետևյալ եզրային պայմանները`

휱(풙,풚)|풚 ퟎ = 풂퐜퐨퐬(풎풙− 풏풕) ,흏휱흏풚 풚 풉

= ퟎ

որտեղ 풂,풎, 풏, 풕 −ն պարամետրեր են [ퟒ]: Լուծում: Օգտվելով առաջին եզրային պայմանից՝ մասնավոր լուծումը

կփնտրենք հետևյալ տեսքով. 훷(푥, 푦) = cos(푚푥 − 푛푡) 푌(푦)

որտեղ 푌(푦) −ը անհայտ ֆունկցիա է` կախված միայն 푦 −ից և 푌(0) = 푎: Հաշվենք 훷(푥, 푦) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնական ածանցյալները.

휕 훷휕푥

= −푚 cos(푚푥 − 푛푡) 푌(푦),휕 훷휕푦

= cos(푚푥 − 푛푡) 푌′′(푦)

Տեղադրենք դրանք Լապլասի հավասարման մեջ, կստանանք հետևյալ նույնությունը.

cos(푚푥 − 푛푡) [푌 (푦) − 푚 푌(푦)] ≡ 0 Քանի որ cos(푚푥 − 푛푡) ≠ 0, ուստի կստանանք հաստատուն գործակիցնե-

րով, գծային համասեռ դիֆերենցիալ հավասարում. 푌 (푦) − 푚 푌(푦) = 0

որի ընդհանուր լուծումն է. 푌(푦) = 퐶 ch푚푦 + 퐶 sh푚푦

Գտնենք 푌(0) = 푎 պայմանին բավարարող մասնավոր լուծումը. 푎 = 퐶 ch 0 + 퐶 sh 0

Հետևաբար 퐶 = 푎 և մասնավոր լուծումը կլինի. 푌(푦) = 푎 ch푚푦 + 퐶 sh푚푦

Այսպիսով՝ 훷(푥, 푦) = cos(푚푥 − 푛푡) (푎 ch푚푦 + 퐶 sh푚푦)(18)

Այժմ գտնենք մասնական ածանցյալը. 휕훷휕푦

= 푚 cos(푚푥 − 푛푡) (푎 sh푚푦 + 퐶 ch푚푦)

Եվ կիրառենք երկրորդ եզրային պայմանը, կստանանք.

135

푚cos(푚푥 − 푛푡) (−푎 sh푚ℎ + 퐶 ch푚ℎ) = 0 Քանի որ 푚cos(푚푥 − 푛푡) ≠ 0, հետևաբար −푎 sh푚ℎ + 퐶 ch푚ℎ = 0: Վեր-

ջին հավասարումը գրենք հետևյալ տեսքով. 푎퐶

=sh푚ℎch푚ℎ

Տեղադրենք այն(18) հավասարման մեջ, կստանանք.

훷(푥, 푦) = 푎 cos(푚푥 − 푛푡) ch푚푦 +sh푚ℎch푚ℎ

sh푚푦

Հաշվի առնելով, որ ch푚푦 ch푚ℎ + sh푚푦 sh푚ℎ = ch푚(푦 + ℎ), կստանանք 훷(푥, 푦) = 퐶 cos(푚푥 − 푛푡) ch푚(푦 + ℎ), որտեղ 퐶 = :

Այս խնդիրը շատ հաճախ հանդիպում է հիդրոդինամիկայում, ուղղա-հայաց պատերով և ℎ խորությամբ ջրամբարի ալիքի արագության պոտենցիալը հաշվելիս:

Խնդիր 3: Գտնել հետևյալ հաստատուն գործակիցներով, անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը` 풚 − 풂ퟐ풚 = 풃퐬퐡풂풙 [ퟒ]:

Լուծում: Օգտվելով հիպերբոլական սինուսի սահմանումից՝ այս դիֆե-րենցիալ հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով.

푦 − 푎 푦 =푏푒2

−푏푒2

Համապատասխան համասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի հետևյալ տեսքը` 푦 = 퐶 ch 푎푥 + 퐶 sh 푎푥, որտեղ 퐶 = 퐶∗ + 퐶∗, 퐶 = 퐶∗ − 퐶∗:

Տրված անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

կլինի 푌 = 푦 + 푦 + 푦 : Նախ գտնենք 푦 լուծումը 푦 − 푎 푦 = հավասա-

րումից: Քանի որ 푎 −ն բնութագրիչ հավասարման լուծում է, ուստի վերջինիս լուծումը կունենա հետևյալ ընդհանուր տեսքը` 푦 = 퐴푥푒 : 퐴 անորոշ գործակի-ցը որոշելու համար լուծումը բավարարենք վերջին դիֆերենցիալ հավա-

սարմանը, կստանանք`퐴 = և հետևաբար 푦 = : −푎 −ն ևս բնութագրիչ

հավասարման լուծումն է, ուստի 푦 լուծումը, որը կորոշենք 푦 − 푎 푦 =

հավասարումից, կունենա 푦 = 퐵푥푒 տեսքը: Բավարարելով դիֆերենցիալ

հավասարմանը` կստանանք. 퐵 = , հետևաբար 푦 = : Այսպիսով՝ տրված

անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը կլինի.

푌 = 푦 + 푦 + 푦 = 퐶 ch푎푥 + 퐶 sh 푎푥 +푏푥푒4푎

+푏푥푒4푎

=

= 퐶 ch푎푥 + 퐶 sh푎푥 +푏푥2푎

ch 푎푥

136

6. Երկրաչափական կիրառություններ: 푦 = 푎 ch հիպերբոլական ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է շղթայագիծ: Այս անվանումը կապված է այն հանգամանքի

հետ, որ երկու ծայրերից ինչ-որ եղանակով ամրացված շղթան ընդունում է այս կորի տեսքը: Շղթայագիծն ունի բազմաթիվ կարևոր հատկություններ: ա) 푦 = 푎 ch շղթայագծով, կոորդինա-

տական 푂푥 առանցքով և 푥 = 0 ու 푥 ընթա-ցիկ աբսցիսներին համապատասխան օր-դինատներով սահմանափակված 푂퐴푀푃 կորագիծ սեղանի (նկ. 1) 푄 մակերեսը

հավասար է`

푄 = 푦푑푥 = 푎 ch푥푎푑푥 = 푎 sh

푥푎

= 푎 sh푥푎= 푎 푎 ch

푥푎− 푎 = 푎 푦 − 푎

բ) Շղթայագծի 퐴(0, 푎) գագաթով և ընթացիկ 푀(푥, 푦) կետով սահմանա-փակված աղեղի 푠 երկարությունը հավասար է.

푠 = 1 + 푦 푑푥 = ch푥푎푑푥 = 푎 sh

푥푎

= 푎 ch푥푎− 푎 = 푦 − 푎

գ) Կատենոիդ: 푦 = 푎 ch շղթայագիծը 푂푥

առանցքի շուրջը պտտելիս ստացված պտտման մակերևույթը կոչվում է կատենոիդ (նկ. 2): Հաշվենք այն մարմնի 푉 ծավալը, որը սահմանափակված է կատենոիդով, 푦푂푧 կոորդինատական հարթությամբ և այդ հարթությանը զուգահեռ ու նրանից 푥 հեռավորության վրա գտնվող հարթությամբ: Կստանանք`

푉 = 휋 푦 푑푥 = 휋푎 ch푥푎푑푥 =

휋푎2(푎푥 + 푠푦)

Կատենոիդի մակերեևույթի 푄 մակերեսը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևի միջոցով.

푄 = 2휋 푦푑푠 = 2휋 푦 1 + 푦 푑푥 = 2휋푎 ch푥푎푑푥 = 휋푎 푥 + 푎 sh

푥푎ch푥푎

= 휋(푎푥 + 푠푦)

նկ. 2

137

Համեմատելով կատենոիդի ծավալի և մակերևույթի մակերեսի բանաձևե-րը՝ կստանանք հետևյալ առնչությունը` 푉 = 푄:

Այժմ դիտարկենք մի քանի խնդիրներ, որոնց լուծումը բերվում է շղթայագծի կամ կապված է շղթայա-գծի հետ:

Խնդիր 4. Ճկուն, համասեռ, չձգվող ퟐ풔 երկարությամբ մետաղալարի ծայ-րերն ամրացված են միևնույն բարձ-րության վրա գտնվող երկու կետե-րում, որոնց միջև եղած հեռավորու-թյունը հավասար է ퟐ풍(풍 < 푠): Այն կախված է իր սեփական զանգվածի

ազդեցության տակ: Գտնել մետաղալարի կախման կորի հավասարումը[ퟒ]: Լուծում. Կոորդինատական առանցքներն ընտրենք հետևյալ կերպ. 푂푥

առանցքը տեղադրենք հորիզոնական ուղղությամբ, իսկ 푂푦 առանցքն անցկաց-նենք 푀 푀 հատվածի միջնակետով: Այս դեպքում 푀 և 푀 կետերի աբսցիսները հավասար կլինեն – 푙 −ի և 푙 −ի: Բարակ թելի կախման խնդրից հայտնի է [4], որ

որոնելի կորը կլինի 푦 = 푎 ch շղթայագիծը: Բայց այն դեպքում 푎 պարամետրը

հայտնի էր և 푎 = : Այս դեպքում խնդիրը բերվում է 푎 պարամետրի որոշմանը,

որը հավասար է կոորդինատական սկզբնակետի և շղթայագծի գագաթի միջև եղած հեռավորությանը (նկ. 3):

Կորի աղեղի երկարության հաշվման համար ունենք հետևյալ բանաձևը.

푠 = 1 + 푦 푑푥 = 2 1 + sh푥푎푑푥 = 2 ch

푥푎푑푥 = 2푎 sh

푙푎

Վերլուծենք sh ֆունկցիան ըստ աստիճանային շարքի.

sh푙푎=푠푎=푙푎1 +

13!

푙푎

+15!

푙푎

+⋯

Կատարենք հետևյալ նշանակումները` !( ) = 푢, = 푧, այդ դեպքում

վերջին հավասարությունը կընդունի հետևյալ տեսքը`

푢 = 푧 +3!5!푧 +

3!7!푧 +⋯ = 휑(푧)

նկ.3

138

Ստանանք այս շարքի հակադարձը, այսինքն՝ 푧 −ը՝ որպես 푢 −ի ֆունկ-

ցիա: Այս դեպքում հնարավոր կլինի հաշվել 푎 =√

պարամետրը: Այդ նպատա-

կով 푧 = 푓(푢) ֆունկցիայի համար կազմենք Մակլորենի շարքը.

푧 = 푓(0) +푓 (0)1!

푢 +푓 (0)2!

푢 +⋯+푓( )(0)푛!

푢 +⋯

Անմիջապես 푢 −ի սահմանումից հետևում է, որ 푓(0) = 0, իսկ 푧 −ի ոչ բացասական լինելուց հետևում է, որ 푧 = 0, երբ 푢 = 0:

푓(푢) ֆունկցիայի ածանցյալների համար ունենք.

푓 (푢) =1

휑 (푧), 푓 (푢) = −

휑 (푧)[휑 (푧)]

, 푓 (푢) =[3[휑 (푧)] − 휑 (푧)휑 (푧)]

[휑 (푧)], …

Այս հավասարումներում տեղադրելով 푧 = 0` կարելի է գտնել 푓 (0), 푓 (0),푓 (0), … արժեքները.

푓 (0) = 1, 푓 (0) = −3! ∙ 25!

, 푓 (0) =3 ∙ 2 ∙ 3!7!

=4175

,…

Այսպիսով՝ կստանանք.

푧 = 푢 −120

푢 +2525

푢 + ⋯

Հետևաբար խնդիրը լուծված է: Մնում է որոշել 푎 պարամետրը 푎 =√

հավասարման միջոցով: Եթե պահանջվում է որոշել 푑 = 퐴퐵 մեծությունը, այսինքն՝ 푀 푀 հատ-

վածի 퐵 միջնակետի հեռավորությունը շղթայագծի 퐴 գագաթից, ապա պետք է

օգտվել հետևյալ տարբերությունից` 푑 = 푎 ch − 푎 = = 푎 ch√푧 − 1 : Վերջինի

մեջ տեղադրելով ch√푧 աստիճանային շարքի վերլուծությունը՝ կստանանք`

푑 = 푎푧2!+푧4!+푧6!+⋯

Մնում է 푎 −ն փոխարինել √−ով: 푧 −ը փոխարինելով նրա վերլուծու-

թյունով ըստ 푢 −ի և պահպանելով երկուսից փոքր կարգ ունեցող անդամները՝

կստանանք` 푑 = √푢 1 + 푢 − 푢 , որտեղ 푢 = ( ):

푑 մեծության հաշվման բանաձևը կիրառվում է, օրինակ, հեռախոսա-գծերի մետաղալարերի կախումն ուսումնասիրելիս:

139

Խնդիր 5. Գտնել կորը՝ իմանալով, որ այդ կորի 푴ퟎ푴 աղեղով, 푶풙 առանց-քով, 푷ퟎ푴ퟎ հաստատուն և 푷푴 փոփոխական օրդինատներով սահմանա-

փակված կորագիծ սեղանի մակերեսը համեմատական է այդ կորի 푴ퟎ푴 աղեղի երկարությանը [ퟒ]:

Լուծում. Ենթադրենք այդ կորը գտել ենք, և դրա հավասարումն է 푦 =푓(푥): Կորի աղեղի երկարության և նրանով սահմանափակված պատկերի մակերեսի համար ունենք հետևյալ բանաձևերը.

푀 푀 = 푠 = 1 + 푦 푑푥,푄 = 푦푑푥

Համաձայն խնդրի պայմանի`

푦푑푥 = 푎 1 + 푦 푑푥

որտեղ 푎 −ն համեմատականության գործակիցն է: Դիֆերենցելով վերջինս՝

կստանանք` 푦 = 푎 1 + 푦 : Սա առաջին կարգի, գծային դիֆերենցիալ հավասա-

րում է, որը ինտեգրելու համար կատարենք 푦 = sh 푧 նշանակում, հետևաբար կստանանք 푦 = 푎 ch 푧, վերջինիս ածանցյալը հավասար է` 푦 = 푎푧 sh푧, բայց մյուս կողմից ունենք, որ 푦 = sh 푧: Այսպիսով՝ կստանանք`

푎푧 sh 푧 = sh 푧 կամ푧 =1푎,հետևաբար푧 =

푥 + 퐶푎

Վերադառնալով 푦 = sh 푧 նշանակմանը՝ կստանանք`

푦 = sh푥 + 퐶푎

, հետևաբար푦 = 푎 ch푥 + 퐶푎

+ 퐶

Խնդիր 6. Հաշվել 풚 = 풂퐜퐡 풙풂 շղթայագծի 풙 = −풃 ու 풙 = 풃 սահմաններում

ընկած աղեղի պտտումից առաջացած մակերևույթի մակերեսը, եթե այն պտտել են ա) աբսցիսների առանցքի շուրջը, բ) օրդինատների առանցքի շուրջը [ퟒ]:

Լուծում: ա) 푆 = 2휋 ∫ 푦 1 + 푦 푑푥: Այս դեպքում 푦 = sh , հետևաբար

կստանանք`

푆 = 4휋푎 ch푥푎

1 + sh푥푎푑푥 = 4휋푎 ch

푥푎푑푥 = 2휋푎 ch

2푥푎+ 1 푑푥

= 휋푎 2푏 + 푎 sh2푏푎

140

բ) Օրդինատների առանցքի շուրջը պտտելիս ստացված մակերևույթի մակերեսը հաշվելու համար կօգտվենք մաթեմատիկական անալիզից հայտնի

հետևյալ բանաձևից` 푆 = 2휋 ∫ 푥 1 + 푦 푑푥: Կստանանք`

푆 = 2휋 푥 1 + sh푥푎푑푥 = 2휋 푥 ch

푥푎푑푥 = 2휋푎 푥푑 sh

푥푎=

= 2휋푎 푥 sh푥푎

− sh푥푎푑푥 = 2휋푎 푥 sh

푥푎− 푎 ch

푥푎

= 2휋푎 푏 sh푏푎− 푎 ch

푏푎+ 푎

7. Եզրակացություն: Այսպիսով՝ ուսումնասիրությունը ամփոփ մեթոդա-

կան աշխատանք է հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկ-ցիաների վերաբերյալ: Այստեղ ներկայացվում են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիաների հատկությունները և անհրաժեշտ տեսական հիմքերը, տրվում են բազմաթիվ առնչություններ: Այս ամենը ներկայացվում է ընթերցողի և ուսանողի համար մատչելի կերպով:

Դիտարկված են հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկ-ցիաները նաև կիրառական տեսանկյունից: Հատկապես հետաքրքրություն են ներկայացնում դիֆերենցիալ հավասարումներն ինտեգրման տեսանկյունից: Բոլոր խնդիրները տրվում են համապատասխան լուծումներով` մանրամասն նկարագրությամբ:

Г. М. Мелконян, А. А. Саргсян Свойства и некоторые применения гиперболических и обратно

гиперболических функций

В работе представлены некоторые свойства и применения гиперболи-ческих и обратно гиперболических функций. Рассматриваются некоторые задачи, представляющие интерес.

G. M. Melqonyan, A. H. Sargsyan Properties and Some Applications of Hyperbolic and

Inverse Hyperbolic Functions In the work some properties and applications of hyperbolic and inverse

hyperbolic functions are presented. Some problems of interest are considered.

141

Գ ր ա կ ա ն ո ւ թ յ ո ւ ն

1. Фишман Н. М. Комплексные числа, ряды и гиперболические функции. Москва-Ленинград. Государственное технико-теоретическое издательство. 1933. 104с.

2. Штаерман И. Я. Гиперболические функции. Москва. Объед. научно-техни-ческое издательство НКТП СССР. Главная ред. общетехнической литературы и номографии. 1935. 57 с.

3. Шерватов В.Г. Популярные лекции по математике. Гиперболические функции. Москва. Государственное технико-теоретическое издательство.1954. 60 с.

4. Янпольский А. Р. Гиперболические функции. Москва. Государственное издательство физико-математической литературы. 1960. 197 с.

5. Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. Москва. Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы. 1968. 472 с.

6. Վիգոդսկի Մ.Յ., Բարձրագույն մաթեմատիկայի տեղեկագիրք: Երևան: «Լույս» հրատարակչություն: 1973: 948 էջ:

7. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды элемен-тарные функции. Москва. Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы. 1981. 801 с.

8. Shervatov V. G., Argunov B. I., Skornyakov L. A., Boltyanskii V. G. Hyperbolic Functions: with Configuration Theorems and Equivalent ant Equidecomposable Figures. Mineola, New York. Dover Publications, Inc. 2007. 71p.

9. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Лань. 2009. 608 с.

Տեղեկություններ հեղինակների մասին Սարգսյան Արմենուհի Հակոբի- ՇՊՀ, Բարձրագույն մաթեմատիկայի և մաթեմատիկայի դասավանդման ամբիոնի դոցենտ, ֆիզմաթ գիտ. թեկն., E-mail: armenuhis@mail.ru Մելքոնյան Գայանե Մխիթարի- ՇՊՀ, մագիստրանտ, E-mail: melqonyangayane94@gmail.com

Տրվել է խոբագրություն 13. 09. 2016.