Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

Кафедра начертательной геометрии и инженерной

графики

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рабочая тетрадь для лекций

Для всех направлений подготовки

архитектурного факультета

Студент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .гр. . . . . . . . . . . . . .

Санкт-Петербург

2015 г.

2

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

Обозначения

1. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

A, B, C, D, …. 1, 2, 3, 4, ….

2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, обозначают

строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ….

Линии уровня обозначают: h - горизонталь, f - фронталь, p - профильная прямая.

Для прямых используют также следующие обозначения:

(АВ) - прямая, проходящая через точки А и В;

IABI - длина отрезка АВ (расстояние между точками А и В).

3. Поверхности (плоскости) обозначают строчными буквами греческого алфавита (кроме

буквы П): α, β, γ, δ,…

4. Углы обозначают строчными греческими буквами: φ, ψ,…

5. Прямой угол на эпюре отмечают дугой с точкой внутри сектора.

6. Плоскости проекций обозначают прописными буквами П (пи) греческого алфавита с до-

бавлением подстрочного индекса:

Основные: П1 - горизонтальная плоскость проекций,

П2 - фронтальная плоскость проекций,

П3 - профильная плоскость проекций

Дополнительные: П4 , П5 , П6 , …

Для аксонометрических и перспективных проекций: П' .

7. Проекции точек, линий, произвольных поверхностей (плоскостей), поверхностей геомет-

рических фигур обозначают теми же буквами (цифрами), что и оригинал, но с добавлением

подстрочного индекса соответствующей плоскости проекций, на которой они получены:

горизонтальные проекции: А1 ,В1 ,С1 ,…11 ,21 ,31 ,…a1 ,b1 ,c1 ,…α1 ,β1 ,…

фронтальные проекции: А2 ,В2 ,С2 ,…12 ,22 ,32 ,…a2 ,b2 ,c2 ,…α2 ,β2 ,…

профильные проекции: А3 ,В3 ,С3 ,…13 ,23 ,33 ,…a3 ,b3 ,c3 ,…α3 ,β3 ,…

Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

Обозначение Содержание Пример символической записи

= Равны, результат

действия

АВ = CD – длины отрезков АВ и CD равны.

К = m∩n – точка К является точкой пересечения пря-

мых m и n

~ Подобие Ф1 ~ Ф – фигура Ф1 подобна фигуре Ф

≡ Тождественны,

совпадают А≡В – точка А тождественна (совпадает с) точке В

Конгруэнтны ∆ABC ∆DEF – треугольники ABC и DEF подобны по

форме и равны по величине – конгруэнтны

Параллельны m||n – прямая m параллельна прямой n

Перпендикулярны l Т – прямая l перпендикулярна плоскости Т

– Скрещиваются m–n – прямые m и n скрещиваются

3

Обозначения теоретико-множественные

Обозначение Содержание Пример символической записи

Принадлежит, является

элементом Am – точка А принадлежит прямой m

Включает, содержит l Г – прямая l принадлежит плоскости Г.

∩ Пересечение множеств К = m∩n – точка К является точкой пересече-

ния прямых m и n

Объединение множеств a Т – прямую a объединяем с плоскостью Т

(заключаем в плоскость)

Символы, обозначающие логические операции

Обозначение Содержание Пример символической записи

Конъюнкция предложений;

соответствует союзу «и» (А1l1) (А2l2) – если точка А1 принадлежит

линии l1 и точка А2 принадлежит линии l2

Дизъюнкция предложений;

соответствует союзу «или» (m∩n) (m–n) – если прямые m и n пересека-

ются или скрещиваются

Импликация – логическое

следствие

((aс) (bc)) ab – если две прямые a и b

параллельны третьей прямой с, то они парал-

лельны между собой

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия: учебник для строит. спец. вузов / Н. Н. Кры-

лов [и др.]; под ред. Н. Н. Крылова . – 6-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1990.

2. Бударин О.С. Начертательная геометрия. Краткий курс: Учебное пособие.- СПб.: Из-

дательство «Лань», 2008. – 368 с.: ил.- (Учебники для вузов. Специальная литература).

3. Климухин А.Г. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. -2-е изд., перераб. И

доп. – М.: Стройиздат, 1978. – с. 334, ил.

4. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб, и

доп. – М.: Высш. школа. 1981. – 262 с., ил.

5. Тимрот Е.С. Начертательная геометрия. – М.: Гос. изд. Литературы по строительству,

архитектуре и строительным материалам, 1962. – 280 с., ил.

6. Тарасов Б. Ф. Начертательная геометрия / Б. Ф. Тарасов, Л. А. Дудкина, С. О. Немо-

лотов. – 2-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2002.

7. Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс: Учеб. Пособие. – М.:

ИНФРА-М, 2015. – 184 с. – (Высшее образование: Бакалавриат).

8. Сальков Н.А. Начертательная геометрия. Основной курс: Учеб. Пособие. – М.:

ИНФРА-М, 2014. – 235 с. – (Высшее образование: Бакалавриат).

9. Тарасов Б.Ф. Методы изображения в транспортном строительстве. – Учеб. пособие

для вузов. – Л.:Стройиздат. Ленингр. Отд-ние, 1987. – 248 с., ил.

4

ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Чертеж – международный язык общения техников,

а начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа).

Начертательная геометрия изучает

Создатель начертательной геометрии – Гаспар Монж – геометр, ученый и общественный

деятель времен Великой французской революции. Первый учебник по начертательной

геометрии вышел в 1798г. во Франции. В России курс начертательной геометрии начали

читать в 1810г. в С.-Петербурге в Корпусе инженеров путей сообщения (ныне СПбГУПС).

Первый учебник по начертательной геометрии на русском языке вышел в 1821 году.

БАЗОВЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Точка – нульмерный объект (абстрактное математическое понятие).

Линия – одномерное непрерывное множество точек; непрерывная последовательность

положений точки, перемещающейся в пространстве по определенному закону (траекто-

рии); линия имеет только длину.

Поверхность – двумерное непрерывное множество точек; непрерывная последователь-

ность положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону; по-

верхность имеет длину, ширину и площадь.

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Для устранения неоднородности Евклидова пространства условно принято, что парал-

лельные между собой прямые пересекаются в бесконечно удаленной (несобственной) точ-

ке пространства.

Если a b с …, то a ∩ b ∩ с ∩ … = F∞

Евклидово пространство, дополненное несобственными элементами (точками, прямыми,

плоскостями), называют проективным.

МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Все изображения, построенные на основе метода проецирования, называются проекцион-

ными

ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Проецирование

Центральное Параллельное

Прямоугольное Косоугольное

Проецирование

Центральное Параллельное

Прямоугольное Косоугольное

5

Центральное проецирование Параллельное проецирование

ПОЛУЧЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Спроецируем точку А на плоскость проекций Пк по

направлению s.

Вывод: ______________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

Все дальнейшие построения будем выполнять на основе прямоугольного варианта

метода проецирования.

В качестве объекта используем точку, например «А».

«Привяжем» точку к пространственной системе ко-

ординат Oxyz и определим ее координаты. Чтобы

полученные координаты точки А отобразились на

плоскости проекций в истинную величину, необхо-

димо чтобы координатные плоскости были парал-

лельны плоскостям проекций. Следовательно, необ-

ходимо ввести две взаимно перпендикулярные плос-

кости проекций П1 и П2, соответственно параллель-

ные координатным плоскостям xOy и xOz. (xOy II

П1 и xOz II П2). Так как xOy xOz, то и П1 П2

Ортогонально спроецируем точку А совместно с си-

стемой координат Oxyz на обе плоскости проекций.

Вывод: _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

6

МЕТОД МОНЖА

Ортогональная система двух плоскостей проекций

Ортогональная система трех плоскостей проекций

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ

В ортогональной системе двух плоскостей проекций

Точка в I-ой четверти

П 2

П 1

x1,2

П1 –

П2 –

П3 –

7

Проецирование точки в ортогональной системе трех плоскостей проекций

Точка в первом октанте

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Способы задания прямой на эпюре

Положение прямой относительно плоскости проекций

_______________________ ___________________________

_____________________ ______________________

_______________________ ______________________ _____________________

_______________________ ______________________ _____________________

_______________________ ______________________ _____________________

8

Прямая общего положения

Это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций

А2

А

А 1

В2

В

В1

П 2

П 1

х1,2

l2

l

l1

х1,2

П 2

П 1

Прямые частного положения

Это прямые параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Прямая уровня - это прямая параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь - это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций l II П1 l

h

A

B

A2 B2

A1

B1

h2

h

h1

П2

П1

х1,2

П2х1,2

П1

Фронталь - это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций l II П2 l f

A

BA2

B2

A1 B1

f2

f

f1

П2

П1

х1,2

П2

х1,2

П1

Профильная прямая - это прямая параллельная профильной плоскости проекций l II

П3 l p

p2

B2

А2

A1

B1

p1

х1,2

z2,3

B3p3

А3

y1,3

А

Bp

П2

П1

П3

х1,2

y1

y3

z2,3

х1,2

z2,3

y1,3 y1

y3

z2,3

9

Проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций

Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная горизонтальной

плоскости проекций m П1

Фронтально-проецирующая прямая - это прямая перпендикулярная фронтальной плос-

кости проекций m П2

A

B

A2

B2

А1B1

m2

m

m1

П2

П1

х1,2

A

B

A1

А2B2

m2

m

m1

П2

П1

х1,2

B1

х1,2

П2

П1

х1,2

П2

П1

Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые Параллельные прямые Скрещивающиеся прямые

x1,2

П 2

П 1

x1,2

П 2

П 1

x1,2

П 2

П 1

ПОВЕРХНОСТИ

В качестве основного метода формирования по-

верхности принят кинематический.

g – образующая

d – направляющая

Если образующая является прямой, то поверх-

ность называется линейчатой.

Если образующая является кривой, то поверх-

ность называется нелинейчатой.

10

ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Данный раздел изучается студентом самостоятельно.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

Определитель поверхности

Определитель поверхности – это совокупность независимых условий, однозначно зада-

ющих поверхность.

Определитель состоит из двух частей: φ{(Г)(А)}

• (геометрическая) - геометрические фигуры (образующая и другие точки, линии, Г

поверхности), участвующие в образовании поверхности.

• (алгоритмическая) – закон перемещения и изменения формы образующей. А

Если поверхность линейчатая и образующая является прямой линией, которую можно од-

нозначно задать двумя точками или точкой и направлением и графически не изображать, в

отличие от кривой линии, то ее обозначение выносят за пределы геометрической части

определителя φ {g(Г)(А)}

Пример. Построить поверхность φ{g(d1,d

2, Σ)(g∩d

1, g∩d

2, gIIΣ)}

φ – прямой цилиндроид; Σ – направляющая плоскость (плоскость параллелизма) φ –

поверхность Каталана

Σ⊥П1 gi1IIΣ1 i=1,2,3,…

1

d1

1

d2

1

d2

2

d1

2

1

11

Каркас поверхности

Каркас поверхности – это множество точек и

линий, определяющих поверхность

Пример. Ф{ ai, b

j }

ai = Ф∩Г

i, i =1,2,3,…,m, Г

i II Гi+1

bj = Ф∩T

j, j =1,2,3,…,n, Tj II Tj+1

Пример. Ф{ aj, b

k }

aj = Ф∩Г

j, j =1,2,3,…,m, Г

j i

bk = Ф∩T

k, k =1,2,3,…,n, Tk i

Очерк поверхности

Очерк поверхности – это линия пересе-

чения плоскости проекций с проецирую-

щей поверхностью, касательной к задан-

ной поверхности и ее охватывающей.

gΩi

II s

Ω Φ = n,

Ω ∩ Пk= nk,

12

ПЛОСКОСТЬ Плоскость – плоская поверхность

Способы задания плоскости

ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

_______________________ ___________________________

_____________________ ______________________

Плоскость общего положения – это плоскость

___________________________________________

___________________________________________

___________________________________________

ПЛОСКОСТИ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ

Проецирующие плоскости – это плоскости ______________________________________

_____________________________________________________________________________

13

Плоскости уровня – это плоскости ______________________________________________

_____________________________________________________________________________

Вывод: характерная особенность эпюра плоскости частного положения _____________

_____________________________________________________________________________

14

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая принадлежит плоскости, если: 1.__________________________________________

_____________________________________________________________________________

l (1,2) α 1 l 2 l 2. ___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

l (1,s) α 1 l l II s В качестве примера плоскость α задаем треугольником АВС. Требуется построить произ-

вольную прямую l, принадлежащую плоскости α.

Первый способ Второй способ

Главные линии плоскости

К главным линиям плоскости относятся прямые уровня (горизонталь, фронталь, профиль-

ная прямая).

Горизонталь плоскости - __________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

Фронталь плоскости - ____________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

15

ТОЧКА НА ПЛОСКОСТИ

Точка принадлежит плоскости, если ______________________________________________

_____________________________________________________________________________

А α А l, l α Построить проекции произвольной точки А, принадлежащей плоскости α (m, n)

Первый способ Второй способ

m2

n2

A2

m1

n1

m2

n2

A2

m1

n1

m2

n2

A2

m1

n1

m2

n2

A2

m1

n1

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны, если

две пересекающиеся прямые одной плоско-

сти соответственно параллельны двум пе-

ресекающимся прямым другой плоскости.

α(ab); β(mn);

если am и bn, то αβ Через точку А провести плоскость Р парал-

лельную плоскости Т.

Пересекающиеся плоскости

Частный случай: одна из двух пересекающихся плоскостей плоскость частного положения

– Т фронтально-проецирующая.

A2

B2

C2

A1

B1

C1

A2

C2

C1

16

Общий случай: Заданы две плоскости и общего положения. Т Р

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

Прямая по отношению к плоскости может занимать следующие положения: ____________

_____________________________________________________________________________

Прямая параллельна плоскости, если _______________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Прямая пересекает плоскость, если _________________________

_______________________________________________________

_______________________________________________________

Прямая принадлежит плоскости, если _______________________

_______________________________________________________

______________________

17

Последовательность действий при определении взаимного положения прямой линии

и плоскости: 1. Прямую заключают во вспомога-

тельную секущую плоскость – про-ецирующую.

l Т; Т Пк lк Тк

В качестве примера выбираем Т П1. l1 Т1 2. Строят линию пересечения задан-

ной плоскости α(АВС) и принятой вспомогательной секущей плоско-сти Т.

Т α = m; mT; mα Если mT, то mк Тк m1 Т1 l1 Но mα. Тогда m(1,2); 1=mAB; 2=mCB 11=m1A1B1; 21=m1C1B1

Cтроят недостающую проекцию прямой m (m2), как принадлежащей плоскости α(АВС).

3. Так как прямые l и m лежат в одной плоскости Т, то можно определить их взаимное положение, которое, в свою очередь, определяет положение прямой l относительно плос-кости α: Если 12 m2 , то l α. Если 12 m2 , то l α. Если 12 II m2 , то l II α. Пример 1. Пример 2. Пример 3.

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

________________________ ________________________ _________________________

18

ТОЧКА НА ПОВЕРХНОСТИ Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит

линии, принадлежащей этой поверхности.

АФ Аl ; l Ф

Для повышения точности и упрощения решения задачи

линия, по возможности, должна иметь наиболее про-

стую геометрическую форму – прямой или окружности.

Точка на линейчатой поверхности

Так как образующей линейчатой поверхности является прямая линия, то условие принад-

лежности точки линейчатой поверхности можно сформулировать как _________________

_____________________________________________________________________________

Фg(F,d)(Fg, gd)

C2

A1

B1

Точка на поверхности вращения

d2B2

d1

A1

F2

F1

d2B2

d1

A1

F2

F1

g2

A2

i2

i1

g1

F2

F1

A2

B1

19

На линейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка,

может иметь форму как прямой (образующей), так и окружности (параллели).

На нелинейчатой поверхности вращения линия l, которой должна принадлежать точка,

должна иметь форму только окружности (параллель).

A2

C2

A2

B2

D2

C1

B1

A2

ЛИНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ

Линия принадлежит поверхности, если все множество ее то-

чек принадлежит этой поверхности.

Следовательно, чтобы построить линию на поверхности,

необходимо представить эту линию, как множество точек, и

построить каждую из точек этого множества, используя усло-

вие принадлежности точки поверхности.

Задача на построение линии на поверхности сводится к

многократному решению задачи на построение точки на

поверхности. a φ a{1,2,3,…, N}φ

N mn ; m

n φ ;

mn – линия, по возможности, наиболее простой геометрической формы.

20

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Ф – произвольная поверхность. - секущая плоскость. Σ ∩ Ф = a – линия пересечения

a Ф и a Σ; a{1,2,3,....,N};

Ф{m1, m

2,...,m

N};

mn – линия, по возможности, наиболее простой геометри-

ческой формы. 1 = m1

∩ Σ,

2 = m2

∩ Σ,

……………

N = mN

∩ Σ;

Если Σ – проецирующая плоскость (ΣПк), то Σк – пря-

мая линия и ак Σк. Следовательно, одна из проекций ли-

нии пересечения уже есть (ак). Так как a{1,2,3,....,N} Ф,

то далее решение задачи сводится к построению недостаю-

щей проекции линии, принадлежащей этой поверхности Ф.

Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой самой

поверхности и положением секущей плоскости относительно элементов этой поверхно-

сти.

Пересечение гранной поверхности плоскостью

При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – ломаная линия,

точками излома, которой являются точки пересечения секущей плоскости с ребрами по-

верхности.

Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения гранной поверхности

плоскостью сводится ___________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

P2

F2

Ф2

А2С2 В2

F1

Ф1А1

С1

В1

21

Пересечение конической поверхности плоскостью

Форма линии пересечения прямой круговой конической поверхности плоскостью опреде-

ляется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.

Ф – прямая круговая коническая поверхность.

Т – секущая плоскость.

Ф ∩ Т = m – линия пересечения.

22

23

В общем случае решение задачи на построение линии пересечения конической поверхно-

сти плоскостью сводится к определению точек пересечения образующих конической по-

верхности с секущей плоскостью.

Образующие поверхности можно условно рассматривать как ребра гранной поверхности

(пирамиды), вписанной в заданную кривую поверхность. Но, в отличие от рассмотренной

ранее задачи на построение линии пересечения гранной поверхности плоскостью, количе-

ство используемых образующих не фиксировано и определяется точностью, с которой

должна быть построена линия пересечения. Кроме этого, должны быть обязательно опре-

делены точки, определяющие габариты проекций фигуры сечения, а также видимость.

Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью

Форма линии пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью

определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов по-

верхности.

Ф – прямая круговая цилиндрическая поверхность;

Т – секущая плоскость;

Ф ∩ Т = m – линия пересечения.

24

В общем случае решение задачи на по-

строение линии пересечения цилин-

дрической поверхности плоскостью

сводится к определению точек пересе-

чения образующих поверхности с при-

нятой секущей плоскостью.

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________

Ф2

Ф1

P2

25

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Прямая пересекает поверхность, если она

пересекает какую-либо линию, принадлежа-

щую этой поверхности

l ∩ Φ ═ {K1,K

2,…};

{K1,K

2,…}= l ∩ m; m Φ

Так как плоскость является одной из разно-

видностей поверхности, последовательность

действий при построении точек пересечения

прямой с поверхностью аналогична действи-

ям, выполняемым при построении точки пе-

ресечения прямой линии с плоскостью.

Последовательность действий при построении точек пересечения прямой линии с поверхностью

1. Определить вид заданной поверхности для выявления возможных простых форм

сечений плоскостью (ломаная линия или окружность), и установить при каком по-

ложении секущей плоскости эти простые формы сечений могут быть получены.

2. Определить возможность заключения заданной прямой в одну из выбранных вспо-

могательных секущих плоскостей.

3. Прямую l заключить в выбранную секущую плоскость, например, Т.

l Т Наиболее часто применяют проецирующие плоскости. Для этого на эпюре нужно

одну из проекций прямой l совместить с одноименной проекцией плоскости Т.

Т Пк lкТк

4. Построить линию пересечения, например, m, заданной поверхности Ф и принятой

вспомогательной плоскости Т. Так как рассматриваемая поверхность Ф является

кривой, то и линия пересечения в общем случае будет кривой.

Т ∩ Ф = m{1,2,3,…}

5. Определить точки пересечения {K1,K

2,…} прямой l и линии m.

l ∩ m = {K1,K

2,…}

6. Определить видимость участков прямой l.

Пересечение прямой с гранной поверхностью

FABCD – четырехгранная пирамида.

Определить точки К1 и К

2 пересечения прямой l с по-

верхностью пирамиды.

l ∩ Φ (FABCD) = {К1, К

2}

Заданная поверхность является гранной. При пересе-

чении такой поверхности любой плоскостью фигурой

сечения всегда будет многоугольник (ломаная ли-

ния). Поэтому вспомогательная секущую плоскость -

проецирующая.

Заключаем ___________________________________

Строим _______________________________________

______________________________________________

______________________________________________

Определяем ___________________________________

l2

l1

F2

A2 B2C2D2

F1A1

B1

C1

D1

F2

A2 B2C2D2

A1

B1

C1

26

Определяем видимость участков прямой l.

Пересечение прямой линии с конической поверхностью

Задан прямой круговой конус.

Определить точки К1 и К

2 пересечения прямой l с поверхно-

стью конуса. l ∩ Φ = {К1, К

2}

У круговой конической поверхности есть две простые фор-

мы сечения плоскостью – две прямые (образующие) и

окружность.

Заданная прямая – горизонталь. Следовательно, заключив

прямую l в горизонтальную секущую плоскость (перпенди-

кулярна оси вращения конической поверхности), получим

сечение в форме окружности.

Кроме этого, в данном примере прямая пересекает ось вра-

щения конуса. С осью вращения прямая задает плоскость,

проходящую через ось вращения и вершину конуса. Эта

плоскость при пересечении с конической поверхностью об-

разует две прямые, являющиеся образующими этой поверх-

ности.

Таким образом, данная задача может быть решена с исполь-

зованием двух разных вспомогательных секущих плоско-

стей.

В данной задаче также требуется определить видимость участков прямой l.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Линией пересечения двух кривых поверхностей является одна или две пространственные

(возможны и плоские) кривые при полном или неполном пересечении соотвественно.

Для получения таких линий должны быть введены вспомогательные секущие поверхно-

сти-посредники как плоские, так и кривые.

Обязательные требования, предъявляемые к секущим поверхностям-посредникам:

• каждая из секущих поверхностей-посредников должна пересекать обе заданные по-

верхности;

• линии, получаемые в результате пересечения должны иметь наиболее простую гео-

метрическую форму и попарно пересекаться между собой.

Φ ∩ Ω = l {K1, K

2, K

3,… K

i}

i - секущая поверхность-

посредник

i ∩ Φ = m

i ;

i ∩ Ω = n

i

mi ∩ n

i = К

i

l2

l1

F2

F1

Ф2

Ф1

Ф2

Ф1

27

28

29

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ.

ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Ортогональные проекции обладают сравнительно плохой наглядностью вследствие

того, что на каждой проекции отсутствует какое-то одно измерение (на плане – высота, на

фасаде – глубина). Чтобы придать плоскому чертежу большую выразительность и рель-

ефность и наглядность, прибегают к построению контуров теней и окрашиванию поверх-

ностей с выделением цветом освещенных и теневых участков.

В зависимости от используемого источника света освещение подразделяют на есте-

ственное (солнечное) и искусственное (факельное). Солнечное освещение используется

при построении теней на фасадах зданий и сооружений в дневное время. Факельное - для

построения теней на фасадах зданий и сооружений при разработке подсветки в ночное и

вечернее время или внутри помещений (в интерьерах).

При любом из выделенных видов освещения световые лучи распространяются

прямолинейно.

При естественном освещении солнце рассматривается как источник света удален-

ный в бесконечность и поэтому световые лучи принимаются как параллельные друг другу

прямые. На основании этого, естественное (солнечное) освещение следует рассматривать

как параллельное косоугольное проецирование, у которого центром дополнительного

проецирования является солнце (для нас бесконечно удаленная несобственная точка).

Любой физический объект, если на него падает поток света, имеет освещенную и

неосвещенную части своей поверхности.

30

Контур (mk) падающей тени (k) определяется контуром (m) собственной тени,

так как является его параллельной проекцией и является замкнутой линией.

Тени, отбрасываемые заданной поверхностью на другие поверхности (плоскости),

называются падающими.

Неосвещенная часть поверхности объекта называется собственной тенью. Линия,

разделяющая освещенную и неосвещенную части поверхности, называется границей или

контуром собственной тени.

За направление лучей света наиболее часто принимается одна из диагоналей куба,

две грани которого совмещены с плоскостями проекций.

Задачи на построение теней геометрических образов сводятся к решению основных

позиционных задач:

определение точки пересечения прямой с поверхностью (при построении тени от

точки на плоскость или от точки на поверхность).

определение линии пересечения двух поверхностей.

Из всего многообразия этих задач выделим следующие случаи линий пересечения:

двух плоскостей (тень от прямой на плоскость);

плоскости с гранной поверхностью (тень от прямой на гранную поверхность, тень

от ломаной линии на плоскость);

плоскости с кривой поверхностью (тень от прямой на кривую поверхность, тень от

кривой линии на плоскость);

гранной поверхности с кривой поверхностью (тень от ломаной линии на кривую

поверхность, тень от кривой линии на гранную поверхность, тень гранной поверх-

ности на кривую поверхность, тень от кривой поверхности на гранную поверх-

ность);

двух кривых поверхностей (тень от кривой линии на кривую поверхность, тень от

кривой поверхности на кривую поверхность).

2. ТЕНЬ ОТ ТОЧКИ

Тенью точки на любую поверхность называется точка пересечения светового луча

(прямой линии), проходящего через заданную точку, с поверхностью. В общем виде данное положение представлено на рис. 4.

A sA, s

A s ,

sA ∩ α = А′ – падающая тень точки А на плоскости α.

С геометрической точки зрения построение тени точки это

решение основной задачи начертательной геометрии ____________________________

31

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2.1. Тень от точки на плоскости проекций

s1

s2

s1

s2

s

x

П1

П2

s1

s2

x

В

В1

В2

В2

А

А1

А2

А1

А1

А2

В1

В2

(В1)

(А2)

Судя по соотношению расстояний от оси х до горизонтальной и фронтальной про-

екций точки, можно точно сказать на какой из плоскостей проекций окажется действи-

тельная тень точки, или действительная тень от точки будет на той плоскости проекций, к

которой она ближе.

32

2.2. Тень от точки на плоской фигуре

А1

А2

s1

s2

x

2.3. Тень от точки на поверхности

x

А1

А2

s2

s1

33

3. ТЕНЬ ОТ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Тень l' от прямой линии l на по-

верхности α есть линия пересечения лу-

чевой плоскости ω с этой поверхностью.

Лучевой плоскостью ω называется

плоскость, проходящая через заданную

прямую линию l параллельно световому

лучу s (рис.8).

Так как пересечение лучевой

плоскости с любой другой плоскостью, в

том числе и плоскостью проекций, явля-

ется прямая линия, то тень от прямой

линии на плоскости прямая линия.

3.1. Тень от прямой линии на плоскости проекций

3.1.1. Тень от прямой линии общего положения

Если тени от концевых точек отрезка лежат на разных плоскостях, то тень на орто-

гональных проекциях будет иметь излом в точке пересечения с осью х. В этом случае

необходимо использование ложной (мнимой) тени от одной из концевых точек отрезка.

Т.е. должна быть построена тень от отрезка только на одной плоскости.

s1

s2

x

А2

В1

В2

А1

34

3.1.1. Тень от прямой линии частного положения

s1

s2

x

А1

А2

В1

В2

А1

А2

В1

В2

А1

В1

А2В2

а) б) в)а) б) в)

Тень от отрезка прямой параллельной плоскости проекций _________________________

_____________________________________________________________________________

Тень от отрезка прямой перпендикулярной плоскости проекций______________________

_____________________________________________________________________________

4. ТЕНЬ ОТ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Методика построения тени от плоской фигуры на плоскости зависит от ее положе-

ния относительно этой плоскости, т.е. необходимо рассмотреть, как частное, так и общее

положение.

4.1. Тень от плоской фигуры общего положения

Для построения тени от плоской фигуры необходимо построить тени от всех ее

вершин.

Судя по удаленности точек А, В и С относительно плоскостей проекций, действи-

тельные тени от точек А и В будут находиться на горизонтальной плоскости проекций, а

от точки С на фронтальной плоскости проекций.

Следовательно, действительная тень от треугольника АВС будет падать как на горизон-

тальную, так и на фронтальную плоскость проекций, т.е. тень, будет иметь излом при пе-

ресечении с осью х.

Последовательность построения:

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________

35

s1

s2

x

С2

А1

В1

А2

В2

С1

4.2. Тень от плоской фигуры частного положения

При изображении архитектурных фрагментов (карнизов, балконов, ниш, колонн и

др.) фасадов зданий часто приходится строить падающие тени от плоских фигур, находя-

щихся в частном положении относительно вертикальных плоскостей стен.

Построение теней от таких фигур выполняется на основе инвариантных свойств па-

раллельного проецирования:

тень от плоской линии (прямой или кривой) на плоскости ей параллельной парал-

лельна и конгруэнтна самой линии;

тень от прямой линии на плоскости ей перпендикулярной параллельна ортогональ-

ной проекции светового луча на эту плоскость;

тень от плоской фигуры на плоскости ей параллельной параллельна и конгруэнтна

самой фигуре.

Следовательно, тень от круга, плоскость которого параллельна плоскости проек-

ций, есть круг того же радиуса. Поэтому для построения тени круга на параллельную ему

плоскость проекций достаточно построить круг, центр которого совпадает с тенью от

центра заданного круга.

36

s1

s2

x

О1

О2

Тень круга, плоскость которого перпендикулярна плоскости проекций, представля-

ет собой эллипс – лекальную кривую второго порядка, которая строится по нескольким

точкам.

11

21

31

41

51

12 22 32 42 52

Т2

s2

s1

x12

Т1

11

31

41

22 32 42 52

Т2

Т1

Контур тени от окружности может быть получен без использования горизонталь-

ной проекции. Геометрические построения для такого случая показаны на следующих ри-

сунках.

37

5. ТЕНИ ОТ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Как было отмечено ранее, поверхность любого пространственного тела при его

освещении разделяется контуром собственной тени на освещенную и неосвещѐнную –

находящуюся в тени и тело отбрасывает падающую тень на другие поверхности. При

этом, контур падающей тени является параллельной проекцией контура собственной тени.

Следовательно, для построения контура падающей тени от любого пространствен-

ного тела необходимо сначала определить контур собственной тени, а затем построить

тень от этого контура.

5.1 Тень от параллелепипеда

s1

s2

x

А2 В2С2D2

E2 F2H2

А1В1

С1D1

E1 F1

G1H1

G2

38

При заданном направлении освещения у параллелепипеда в собственной тени бу-

дут находиться две грани: _____________________.

Границей между освещенной и неосвещенной частями поверхности или контуром

собственной тени будут четыре ребра: ___________________.

5.2 Тень от прямого кругового цилиндра

Для определения контура собственной тени прямого кругового цилиндра проводят-

ся две горизонтально-проецирующие лучевые плоскости касательные к поверхности ци-

линдра. Линиями касания этих плоскостей являются две образующие.

Если цилиндр расположен так, что тень от него падает на обе плоскости проекций

(рис. б), то тень от полуокружности на фронтальной плоскости проекций строится по про-

извольно выбранным точкам этой полуокружности.

s1

s2

x

a) б)a) б)

5.1 Тень от прямого кругового конуса

Сначала строят контуры падающей тени, а затем получают и контуры собственной.

Строят падающую тень от вершины конуса на плоскости его основания, и через получен-

ную точку проводят касательные к основанию конуса.

39

s1

s2

x

6. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕНЕЙ

6.1. Способ лучевых плоскостей

Через отрезок АВ параллельно световому лучу s проводится лучевая плоскость ω.

Так как отрезок АВ перпендикулярен горизонтальной плоскости проекций, то и лучевая

плоскость ω будет горизонтально-проецирующей.

Далее строится сечение заданной поверхности лучевой плоскостью ω. На рисунке

это фигура, выделенная красным цветом и ограниченная ломаной линией 12345678. Кон-

тур полученного сечения определяет форму тени. Для определения тени А' от точки А на

40

поверхности лестницы необходимо через точку А провести луч параллельно световому

лучу s до пересечения с контуром фигуры сечения 12345678. В итоге падающая тень от

всего отрезка АВ состоит из отрезка В1 (тень на горизонтальную плоскость проекций) и

ломаной линии 1234 А'.

А2

В2

А1В1

s2

s1

А1В1

6.2. Способ обратных лучей

Способ обратных лучей применяется при построении тени от одной геометриче-

ской фигуры на поверхности другой фигуры.

Строят тени от обеих фигур на одной из плоскостей проекций. Определяют точки пересе-

чения контуров полученных теней. Через отмеченные точки проводят лучи в направлении

противоположном световому лучу. Каждый из обратных лучей пересекает данные геомет-

рические фигуры, и определяют нужные для построения тени точки.

41

s1

s2

x

С1

С2

А1

В1

А2

В2

D2

E2

E1

D1

7. ТЕНИ НА ФАСАДАХ ЗДАНИЙ

Построение теней на фасадах зданий основано на построении точек пересечения

световых лучей с вертикальными плоскостями стен или с наклонными плоскостями ска-

тов крыши. На фасадах обычно присутствуют различные архитектурные элементы, утоп-

ленные вглубь стены (ниши, проемы) или выступающие (балконы, навесы) за ее пределы.

Поэтому для построения тени от таких элементов целесообразно иметь либо план, либо

торцевой фасад (профильную проекцию). Но если знать глубину или длину выступающе-

го от стены архитектурного элемента, то можно обойтись только фасадом.

7.1. Тени в нишах

Нишей называется углубление в стене. В нишах располагаются окна, двери, ворота

и скульптурные украшения.

42

Ниши могут иметь различную геометрическую форму: плоская, круглая, цилин-

дрическая полуциркульная с плоским верхом, сферическая, полуцилиндрическая, ограни-

ченная сверху четвертью сферы.

s1

s2

А2В2 С2D2

E2F2 H2

А1

В1 С1

D1E1

F1G1

H1

G2

А2

С2

D2

А1В1 С1D1

а) б)

В2

а) б)

В первом примере граница собственной тени проходит по двум ребрами

____________

Во втором примере над нишей расположен козырек. В этом случае происходит

наложение тени от карниза на тень в нише. Сначала строится тень от более удаленного от

наблюдателя объекта – тень в нише. Затем строится тень от козырька. Граница собствен-

ной тени проходит по ребрами ________________________________

43

Тень от трубы на плоскость крыши

s2

s1

A1B1

B2

C1

C2D2

D1E1

AB и DE – горизонтально-проецирующие прямые, горизонтальные проекции теней от них

совпадают с направлением световых лучей, фронтальные проекции построены из условия

принадлежности теней плоскости крыши. Вертикальные прямые на фронтальной проек-

ции образуют тени, параллельные скату крыши (т.е. направлены под углом α, но только в

том случае, когда углы наклонов ската одинаковые).