ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΕΡΕΩΝ · 2012-05-29 · ωε ωω∞ εωε...
TRANSCRIPT
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
ΣΤΕΡΕΩΝ
((ΠλέγμαΠλέγμα
+ + ηλεκτρόνιαηλεκτρόνια))
Τι θα μελετήσουμε
•
Αλληλεπίδραση
ακτινοβολίας
με
στερεό–
Μικροσκοπικά•
Απορρόφηση
φωτονίου
•
Δημιουργία
ζευγών
ηλεκτρονίου‐οπής
–
Μακροσκοπικά•
Εξισώσεις
Maxwell
•
Παράμετροι
υλικού.
–
Μεικτή•
Θα
ξεκινήσουμε
από
τη
Μακροσκοπική
και
επιλεκτικά
θα
επεκταθούμε
στην
Μικροσκοπική.
•
Απλά
φαινόμενα
•
Γραμμικά
φαινόμενα
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών 2
Διηλεκτρική
Συνάρτηση
•
Περιγράφει
ποσοτικά
την
επίδραση
ΗΜΑ
στο στερεό.
–
Ε‐πεδίο
"κίνηση"
•
Ρεύμα
"ελεύθερους
φορείς" ( Μέταλλα, ημιαγωγούς
με προσμίξεις).
–
Αγωγιμότητα
•
Δέσμια
(εντοπισμένα) φορτία–
Διπολικές
ροπές
•
Και οι δύο διαδικασίες ερμηνεύονται από τις εξισώσεις
Maxwell.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
3
( , , ) ( , , )r t r tω σ ω=j E
Διηλεκτρική
Συνάρτηση
•
Εξισώσεις
Maxwell
•
Χρονικά
(χωρικά
?) εξαρτώμενες
ποσότητες
!!
•
Συχνοτικά
εξαρτώμενες
ποσότητες
•
Μετασχηματισμών
Fourier:
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
4
( , )= ( , )( , )= ( , ) ( , )
curl t tcurl t t t
= ∇×
= ∇× +
r B rH H r j r D rE E
1( , ) ( , )2
ii rtt e de dωω ωπ
∞−
−
−
∞
= ∫ kr k kE E1( , ) ( , )
2rtt e ed dωω ω
π
∞−
−∞
−= ∫ kk kD r D
Διηλεκτρική
Συνάρτηση
•
Εξισώσεις
υλικού
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
5
( , ) ( , ) ( , )r t σ ω ω=j k E k
0( , ) ( , ) ( , )t ε ε ω ω=D r k E k
( , , )tή ά
ωπραγματικ υν ρτησηΣE r
( ) *( ) ( ) *( )ω ω ω ω= − = −D D E E0
0
( ) ( )( )
0
( )
0
0
0(
( )= ( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )[ ] () ( ) ( )) ( )
( ) ( ) ( )
i t
i tee
i
ii i i
ω
ωω ωω ω
σ ω ωε ε
σ
ω ω ω
ω ω ω
ω ωε ω ωω ε ω ε ω ωωε
ω
ω ω
ω σ
ε
−
−∇× + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⇒
∇× = =
∇× = − = − = −
−
+
H HE EH j D
H E E
H E E D
∼∼
Δέσμια
ηλεκτρόνιαΑντίφαση
??
Αγωγιμότητα
Επανεξέταση
έννοιας
"δεσμίου" ?
Θεωρούμε
ότι: k
<< G ( ) ( )( ) ( )
σ ω σ ωε ω ε ω
= −= −
Διηλεκτρική
Συνάρτηση
•
Αρχή
αιτιότητος:–
Η πόλωση Ρ
σε
χρόνο
t οφείλεται
σε
πεδία
E(t'), t'<t
•
Συνεπώς
για
να
ισχύει–
Ρ(t) ≡
0 t > t' ή
διαφορετικά
•
Θα
πρέπει–
χ(ω) →
0 για
ω
→
∞
και
να
απειρίζεται
(πόλος)
για
Im(ω) ≤
0
•
Δημιουργεί
'"σχέση" μεταξύ
πραγματικού και
φανταστικού
μέρους
!
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
6
0 0
1
0 0
2
( ) ( ( ) 1) (( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )
)iχ ω ε ω ε ω ε ω
ε ε ε ω ε ε ω ωε ω
ε χ=
= + = ⇒ = − =− = +
D P E E P E E
21
1( ) 1 ( ''
') dε ωε ω ωπ ω ω
∞
−∞
− = ℘−∫ 1
2( ')1 1( ) '
'dε ω ω
π ωε ω
ω
∞
−∞
−= ℘
−∫
0
'
( ) ( , ') ( ') ' ( ') ( ') '
( ) ( )
t t
t t
t t t t dt t t t dt
t dτ
χ χ
χ τ τ τ
−∞ −∞∞
= −
=
= ⎯⎯⎯⎯→
= −
= −
∫ ∫
∫
P E E
E
Εξαρτάται
μόνο
από
τη
διαφορά
του
χρόνου(Memory function)
ΣχέσειςKramers
Kronig
Απορρόφηση
ηλεκτρομαγνητικής
ακτινοβολίας
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
7
( )
/
( / )0 0
[ ( ) / )]0
( / )0
i t kx i t nx c
i xt n i x c i t nxc c
E E e E
e
e
E e eE
ω ω
ω κ ωωκ
− − − −
− − + −− −
= =
= =2 21 2
( ) ( )
( ) ( ) 2
n n i
n n
ω κ ε ω
ε ω κ ε ω κ
= + ≡ +
= − =
1 2 2( ) 12 2 1
1 1 1 ( ) 1n nT T R
n n nε ωε ω
−−= = = =
+ + + +
( / ) 2 2 ( / )0 0 1 2 2
( / )
0 1 2 2 2 ( / )2
(1 ....)
1
i n c d i n c d
i n c d
i n c d
E E TT e R e
eE TTR e
διερχ ω ω
ω
ω
= + +
=−
Διερχόμενη:
2
( / ) *0 0 0 0
| | 12( / ) 2( / )0 02
i n c d
n c d n c d
E E e I E E
E e I I e
διερχ ω διερχ διερχ
ω ωκ εΔ <<− −=
= ⇒ ∝
= ⎯⎯⎯→ =
Νόμος
Beer
Απορρόφηση
ηλεκτρομαγνητικής
ακτινοβολίας
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
8
Κ(ω)Συντελεστής
απορρόφησης
•
Το
μιγαδικό
μέρος
της
διηλεκτρικής
συνάρτησης
ελέγχει
την
απορρόφηση
(διαπερατότητα)
•
815
C-Cl
stretch.•
895 bend out of
plane
•
1200 C-H bend in
plane
•
1650 C=C stretch•
3100 C-H stretch
Διηλεκτρική
συνάρτηση
αρμονικού
ταλαντωτή
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
9
Cl ClCl Na Na
uun1 un2
20
0N eV V
e
N ε
γ ω
α
μ
∗
∗
+ = − +
= +
ΠόλωσηΙόν
ΠόλωσηΗλεκτρονίωτων ν
u u u E
uP E
1 2 1 2
2 2
2
1 1
2
1
1
21 0
22 0
20
1 2
1 1( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )n
n n n
n n n n n
n n
n
M e
e
e
M
M
M
γ ω
γ ω
γ ω ∗
∗
∗
+ +
+
− + − + − +
+ ⇒
=
=
+ = −
u u u E
u u u u u u
u u u E
E
Μετασχηματισμός
Fourier {α(ω)= α}2 20
0
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
ei
N NeV V
ω ω ω ω ωμ
ω ω ε α ω
∗
∗
− − =
= +
u E
P u E
2
( 0)012 2
20
2 2(0
2)0
( )) )) ((( () st st
N eN VV i i
iε ε ωε ε ω
ω ε ε ωε με ω α ε ωω ω
εε ω εω ω γγω ω∞
∞∞
∗
= →= →∞= + ⎯⎯⎯⎯⎯→
−−
+= + =−− −
Η ισοδύναμα
θεωρώνταςΕ
∼
e‐iωt
1 1 ,2
1 1 ,2
1 ,2
1 ,2
2 2
1
2
2
2 2
1
2
0
2 ( )
2 ( )
/ ( )
( )[ 2 / /
)
2 /
]
1(
n n
n n n
n n n
n n
n
n
n
n
M u f u u e
M u f u u e
u u e u u
u u f e
eu u u
f
−
μ −
− ω μ μ
ω −μ ω ω
μ
∗
∗
∗
∗
∗
+ = +
+ − = −
− = −
− + =
= = ⋅−
E
E
E
E
E
p
= e*u
Οπτικός
τρόπος
για
q ≈
0
Διηλεκτρική
συνάρτηση
αρμονικού
ταλαντωτή
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
10
2 2 20 0
1 2 2 2 2 2
20
2 2 2 2 2
0
20
( ) ( )( )( )
( )( )( )
st
st
ε
ε ε ω ω ωε ω εω ω
ε ω γωε ωω
ω
ω
γ
ω γ∞
∞∞
− −= +
− +
−=
− +
•
Μπορούμε
να
υπολογί‐ σουμε
τον
συντελεστή
απορρόφησης:
Συχνότητα
πλάσματος
ωL
ε1
( ωL
) = 0
2 202
2 2 2 2 20
( )( ) 1( )( )
stKc c
ε ε ω γωωε ωωω ω γ ω
∞−= = ⋅
− +
0
2 2 20 0
2 2 2 2 20
( )( ) ln( )
( ) ( )( )
st st
Id K d dI
dd dc c
ωω ω ωω
ε ε ω γω π ω ε εωω ω γ ω
∞ ∞
−∞ −∞
∞∞ ∞
−∞
=
− −= ⋅ =
− +
∫ ∫
∫
( )
0
2 2 1( ) ( ) ( )2 |
1 )
|
1lim (
z
i zz i
a z a z aa
zγπδ
γ
δ δ δ
→=℘ +
−
− = − + +•
Συνολική
απορρόφηση
:
–
Εξαρτάται
μόνον
από
τις
παραμέτρους
του
συστήματος
•
Συνολική
απορρόφηση
:
Διηλεκτρική
συνάρτηση
αρμονικού
ταλαντωτή
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
11
[ ]
2 0
2 2
20
1( ) ( ) ( )2 | |
( ) ( )
1 1 1( ) lim lim (
( )
)
z a z a z aa
z a f
z i zz z i z
z f a
γ γ
δ δ
γδ πδπ γ γ
δ
δ−
→ →
∞
∞
− = − +
= ⇔ =℘ ++ −
+
− =∫ [ ]
20
2 2020
2 20
00 0
( )( )
( )
( ) ( )
)
( )2
(st
st
st
iό
i
ω ε εε ω εω ω γω
ω ε
για μικ
εεω ω
πω ε ε δ ω ω δ ω
ρ
ω
γ∞∞
∞∞
∞
−= +
− −
−= +
−
+ − − + +
[ ]
[ ]
[ ]
00 0
00 0
20 0 0
0 0 0
2
0
( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( )2
( )( ) ( ) (
( ) 1( )
1
) ( )1 [ ]2
12
st
st
stst st
K d d dc c
dc
c c cd
πω ε ε δ ω ω δ ω ω
πω ε ε δ ω ω δ ω ω
πω πω πω ε εε ε δ ω ω δ ω ω ε ε ω
ωε ωω ω ω ω
ω ω ω
ω
ω ω
∞
∞
∞∞ ∞
∞ ∞ ∞
−∞ −∞ −∞
∞
−∞
∞
−∞
⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
−− − + +
= =
=
= = − + =
∫ ∫ ∫
∫
∫
2
0
0
2
( ) ( )st N eV c
K dc
ω ω πω εμ
εε
π∞
−∞
∞∗−
==∫2
⎯⎯⎯→∫2
** 2
f
0
e=e
0 0
1 1K(ω)dω N π e N π f eV ε c μ V ε c
=6 6 μ
∞
Διαμήκεις
και
εγκάρσιοι
κανονικοί
τρόποι
•
Διαμήκη
κύματα:
–
Τα
ανύσματα
των
Ε
και
P
είναι
εκτός
φάσεως
κατά
180ο
.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
12
(
( )0
)0 0 0
0 0i t qxy
i xt qx L
y
x L
P P
P P e
e
ω
ω− −
− −
∇Τ
∇
=
= ⎯⎯⎯⎯
∇×
→ ∇× =
≠ ∇⋅
∇ ⋅ ≠
⎯⎯⎯ =⎯→
×P=i q×P
×P=i q×PΕ
Διάμ
γκάρ
ηκε
σιο P P
ς P P
Διηλεκτρικό
χωρίς
ελεύθερα
φορτία:
ρ(x,y,z) = 0 !!
0
00 [ ( ) 1]
0
0 [ ( ) ] ( ) 0( )
1
1
L
εε ε ωρ ε ε ω ε ω
ε ω
ε
= += −
∇ ⋅∇ ⋅ = = = ∇ ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯→ =
−
⇒⇒ = −
D P EP E
Lε(ω ) = E0
PD E
P
Διαμήκεις
και
εγκάρσιοι
κανονικοί
τρόποι
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
13
0
( )0
0
( )0
[ ( )
ˆ ˆ ˆ
ˆ
1]
0 0
i t qxy y
yxi t q
y
P P e
έiqP ex y z ό z ώ
P
ω
ω τ
μ
ο θα χειμ νο συνιστ σα
καιε ε ω
μ − −
− −
=
∂ ∂ ∂∇× = = − ⇒
⎫∇× = −⎬
∇× = ⎭ −
∂
= ⇒
∂ ∂
x y
E HH D
P E
zH
P z
( ) ( )0 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ
0 0
i t qx i t q xz z z z
z
e iqH ex y z
ω ω− − − −∂ ∂ ∂= ⇒∇× = = −
∂ ∂ ∂
x y z
Η Η Η x
Η
•
Εγκάρσια
κύματα
( μόνο
κατά
τον
y !!!)•
Εγκάρσια
κύματα
( μόνο
κατά
τον
y !!!)
•
Το
D θα
έχει
μόνο
x
‐συνιστώσα
, αλλά
με
πλάτος•
Το
D θα
έχει
μόνο
x
‐συνιστώσα
, αλλά
με
πλάτος( )
0i t q x
x xD D e ω− −=0
0 1y
x
PD
εε
=−
Διαμήκεις
και
εγκάρσιοι
κανονικοί
τρόποι
Μη
τετριμμένη
λύση
⇒
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
14
( )0
(0
( ) ( )0 0
( )0 ( )
0 0 0 0 0 00
0
0
(
)0 0
ˆ
( ) [ ( ) 1] 0[ ( ) 1
[ ( ) (
]
1] )
i t qxx x
i t
i t q x i t qxy z z
i t q xy i t qx
z y
qxy
z z
z
y
i
iqP e H H e
iqP ei
P P eP
iqH
H P
e
P e
e q H
ω
ω
ω ω
ωω
ω
καιε ε ω ε ε ω
μμ
ω μ μ ωε ε ωε ε ω
− − − −
− −
− −
− −
−
− −
∇× = −
∇× = − =
−= − − − =
∇× =
∇× =
=⎫= = ⇒⎬ = −⎭
−
−
E H
P z
PH D
D
Η
E
) ( ) ( )0 0
( ) ( )0 0 0 0
( )ˆ( ) 1
( ) ( ) 0( ) 1 ( ) 1
t q x i t q x i t q xx z y
i t q x i t q xz z z y
D iqP e P e
iiqH e P e qH P
ω ω
ω ω
ε ωε ω
ω ε ω ω ε ωε ω ε ω
− − − − −
− − − −
= =−
− ⋅ ⋅− = − =
− −
x
00 0 2 22 2
00
0
0 0
( ) 0 0[ ( ) 1] [ ( ) 1
(]
( ) ()
)( ) 1 ( ) 1
y
z
Pq q
H
q c qq qω ε ω ω ε ω
ε ω ε ω
μ ωω
ε μ ε ω ε ω
ε ε ω μ ωε ε ω⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⇒⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝
⋅ ⋅− −
−
−
−= =
−
⎠
− −
Σχέση
διασποράς
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
15
2 2 2 2
2 22 2 2 2
( )L
T
c q c qω ωε ω
ω ωεω ω∞= =
−−
2
1 12 2
2 2
1
2
2 2 2
( )( ) ( ) 0( )
( )L
st T
L
T
t
T
s
T
L
έ LSTω ε χ
ε
σηω
ε ωε ω ε ε ωω ω
ω ωε ω εωε ω
∞
∞
∞
∞
−= + ⇒
−==
−
−Σ
=
4 22 2
2 2 0L Tcq cqωω ω ωε ε∞ ∞
⎡ ⎤− + =⎢
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝⎢ ⎠
⎥⎥⎣ ⎦
0( 0) ( )
T
L
cqq qω
ω ω ωωε∞
⎧⎧ ⎪= = → ∞ =⎨ ⎨ =⎩ ⎪
⎩
ε∞ε∞
stε
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
16
•
Για
μικρά
q
( )2 2 2 1/22 2 2 2 2 2/ 1 ( / ) 4 /
2 2L
L Tc q cq c qω εω ω ε ω ε∞
∞ ∞+ ⎡ ⎤= ± + −⎣ ⎦
•
Λύση
( ) ( )1/22 2 2 2 21/2 1/22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 22 2 2 22 2
2
4/ 4 / / 4 / 1 2
/1 22 2
TL T T T
TT
c q c qc q c q c q c qc q
ό
c qc q c q
ω εω ε ω ε ε ω ε ωε ε
οπ τε
εω ω
ε ε ω
∞∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
∞
∞ ∞
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ≅ − ≅ − ≅ −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎧⎡ ⎤≅ ± − = ⎨⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩
( )1/22 2 2 2 21/22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 2
2 2 2 1 102 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 22
20
2 1 2 2/ 4 / 1 1
( )/ 1 21
2 2
T TL T L L
L L L
LL T
L TL
L
c c qc q c q q
ό
c qc q c q
c q c q
ω ωω ε ω ε ω ωε ω ω ε ω
οπ τε
ω ε εω ε ωω ω ωε ω
ε ω ε
∞ ∞∞ ∞
− −∞
∞
∞∞
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ − ≅ + − ≅ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎧ + −⎡ ⎤⎛ ⎞+ ⎪= ± + − = ⎨⎢ ⎥⎜ ⎟ =⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎪
⎩
•
Για
μεγάλα
q
–
Σύζευξη
μηχανικών
+ ΗΜ
κυμάτων.–
Εξαρτάται
ισχυρά
από
τη
μορφή
ε(ω).
–
cq/ω
T
1 ⇒
q
1
·1012
s‐1/(3
·1016Å
s‐1)
3⋅
10‐4
Å-1
<< G (=2π/α
1Å-1).•
Δηλ. από
πολύ
μικρά
q
τα
"μεικτά
" κύματα
κινούνται
με
τη
συχνότητα
συντονισμού ωΤ
.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
17
–
Αν c →
∞ τότε η ω = ωΤ
= ω0
, η ΜΟΝΗ ΛΥΣΗ–
ΔΕΝ υπάρχει λύση οδευόντων κυµάτων για ωΤ
< ω < ωL
. •
To
q
γίνεται φανταστικό!
–
Για µεγάλα q το πάνω κλάδος τείνει ασυµπτωτικά στη•
Το φως "
βλέπει" "
στάσιµα" τα ιόντα.!
–
Παρατηρούνται µε τη φασµατοσκοπία Raman ή εξασθενηµένης ολικήςανάκλασης. •
Δυνατότητα µεταβολής του q
της προσπίπτουσας ΗΜ-
ακτινοβολίας.
Μη καθυστερηµένη
λύση.(
Ηλεκτροστατική
λύση)
/cqω ε∞=
•
Πολαριτόνια
Φωνοειδής, ω Τ
φωτόνιο
Πλέγμα, ω L
Φωτόν
ιο
Φωτον
οειδή
ς "ακίνη
ταιόν
τα"
ε∞
stε
Ισχυρή
σύζευξη
Επιφανειακά
κύματα
σε
ένα
διηλεκτρικό
•
Μη
άπειρες
διαστάσεις.–
Οριακές
συνθήκες
•
Ημιεπίπεδο.–
Θεωρούμε•
Λύσεις
χωρίς
καθυστέρηση
( στατικός
ΗΜ,
Coulomb).
••
ΕγκάρσιαΕγκάρσια
οδεύονταοδεύοντα
κύματακύματα
// επιφάνεια.
•
Μειώνονται
εκθετικά
κατά
τον
z.
••
ΔενΔεν
μαςμας
ενδιαφέρειενδιαφέρει
η θεώρηση διαμήκων
κυμάτων
όγκου.
–
Συνέχεια
του
D στον
z, δίδει
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
18
x
Yz
2
00, 00
E zί L
Eaplaceφ φ ξ σωση
∇× = ≠ ⇒
∇ = Δ = Ε
∇⋅ =
| | ( )0( , ) ( , ) ( , )qz i qx tx z e e E x z x zωφ φ φ− − −= ⇒ =−∇
( , ) 0x zφ∇⋅∇× =
0 000
( , ) ( , )( ) 1
( ) 1 ( ( ) 0)
zz
spl
z
spl L L
x z x zDzz
φ φε ε ω ε
ε ω ω ω ε ω≥≤
∂ ∂= − = −
∂ ∂+ = − < =
1/2 1/22
1 2 2
( ) 1( ) 1( ) 1st T st st
s T s s LT s
ε ε ω ε εε ω ε ω ω ω ω ωω ω ε ε
∞∞
∞ ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− += + = − ⇒ = ⇒ < < =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 0
0
0
0
c μ ε
μ
→∞⇒ →
∇× = − = − →E B H
Ιοντικό
πλέγμα
Μία
λύση
Επιφανειακά
κύματα
σε
ένα
διηλεκτρικό–
Εδώ
ειδική
περίπτωση:
•
Εντοπισμένα
στην
επιφάνεια.
–
Οι
συχνότητες
των
επιφανειακών
κυμάτων
κείνται
ωT
< ωs
< ωL–
Τα
επιφανειακά
κύματα
υφίστανται
για
–
Τα
επιφανειακά
κύματα
δεν
συζευγνύονται
με
το
φώς
!
•
Μόνο
σε
ειδικές
γεωμετρίες–
τραχύτητα, νανοσφαίρες, φράγματα,
–
Συζευγνύονται
με
φορτισμένα
σωματίδια, (e, He+, H+, e+
κλπ).•
Διαμήκη
κύματα.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
19
ωs
≥ φωτόςxq q = (ω / c)sinθ
Ανακλαστικότητα
διηλεκτρικού
επιπέδου•
Ενώ
η
διαπερατότητα
Τ(ω) για
λεπτάλεπτά
υμένια
καθορίζεται
βασικάβασικά
από
το
ε2
(ω)
•
Η
ανακλαστικότητα
εμπεριέχει
και
τα
δύο μέρη
της
ε(ω).
–
Ειδικά
για
την
κάθετη
πρόσπτωση
δίδεται
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
20
1
0
( / )
2 0 1 2 2 2 ( / )2
( )1
i n c d
i n c d
eI E TTR e
ω
ωω→
→
=−
2
22 2
2 2
* 1 1* 1 1
( ) 1 ( 1)( 1)( ) 1
Rn nI R R Rn n
nn
ε ω κκε ω
∗ − −= = ⋅ = ⋅
+ +
− − += =
+ ++
2 2 20 0
1 2 2 2 2 2
20
2 2 2 2 2
0
20
( ) ( )( )( )
( )( )( )
st
st
ε
ε ε ω ω ωε ω εω ω
ε ω γωε ωω
ω
ω
γ
ω γ∞
∞∞
− −= +
− +
−=
− +
1/21 / 1)( ε ε∞ ∞− +
ε1
= +1
R = 0
,n κ
κκ
Μιγαδικός
δείκτης
διαθλάσεως
Ανακλαστικότητα
n1/2 1/23 1stε ε∞= =
γγ
= 0= 0
ωω
TOTO ωω
LO LO
εε
11
= 0= 0ωω
LO LO , ,
εε
11
= 0, n== 0, n=
κκ
Reststrahlen Band Reststrahlen Band
InAsInAs
1/21 / 1)( st stε ε− +
ΤΟΠΙΚΟ
ΠΕΔΙΟ
•
Το
εξωτερικό
πεδίο
E
≠
Eloc
σε
πυκνά
μέσα.–
Έστω
ότι
Ε//z. ii
κυψελίδες.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
21
0
2
5
14
3 i ii
il
ioc
z rrπε
=−
+ ∑E pE
2 2 2 2 2 3/20 0 0
2
0 0
25 5
0
3 3
22
0
1 · cos 1( )4 4 4 ( )
2 sin cos (3cos 1)4 4
1 3( · ) 1 (34 4
))(x y
zr r x y z
p pE Ex r
p
r r
r z rr r
θϕπε πε πε
ϕ θ θ ϕ θπε πε
ϕπ π
= = =+ +
∂ ∂ −= − = = − =
∂ ∂
−= −∇ = = −
p rr
p r r pE pε ε
rE
θE
–
Σφαιρική
συμμετρία.
2
50
1 34
i iloc i
i i
z rrπε−
= + ∑E E p
–
Σφαιρική
συμμετρία. Χρήσιμη
για
q →
0, ή
λ
>> α
––
ΜένειΜένει
όμωςόμως
ηη
συνεισφοράσυνεισφορά
απόαπό
υλικόυλικό
εκτόςεκτός
σφαίραςσφαίρας
!!!!!!
–
Εδώ: Συνεχής, μακροσκοπικήμακροσκοπική
πόλωση
P.–
Κατανομή
φορτίου
⇒
κατανομή
Ε.–
Πεδίο
στο
κέντρο: 2cos siˆ c
nosP nP P
d P adaq θρ
πθθθ−
= − = − ⋅ = −
=
P n
2
2 20 0 0
2
0 00 0
2 sin s1 1 coscos cos4 4 2
2
in
3cos sin
2
o
2
c s
3P loc
dq ad ddEa
P aa
d
P
π
θ θ θθ θπε πε πε
πθ θ θ
π θ
π
θ
επε ε
θ= − = − =
= ⇒ += =
−
∫PE EP PE
ΤΟΠΙΚΟ
ΠΕΔΙΟ
•
Η
διαφοροποίηση
λόγω
τοπικού
πεδίου
επιβάλλει
διαφοροποίηση
των εξισώσεων
ταλάντωσης
(πλάτος, επαγόμενη
πόλωση).
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
22
2 20
0
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
loc
loc
ei
N NeV V
ω ω ω ω ωμ
ω ω ε α ω
∗
∗
− − =
= +
u E
P u E
2 20
0
00
( )( )( ) ( )3
( )( ) ( ) ( )3
)
)
(
(
ei
N NeV V
ωω ω ω ω ωμ ε
ωω ω ε α ωε
∗
∗
− − = +
= + +
Pu E
PP u E
2
2 20
0
0
( )( )3 1 / 3 1 / 3
( ) ( ) ( )1 / 3 1 / 3
N e eiV N V N V
N e NV N V V N V
ωω ω ω ωε μ α μ α
αω ω ε ωα α
∗ ∗
∗
⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= +− −
Eu
P u E
0
1 ( ) /1( ) 1 2/ 3
13
N VV
NVN
ω αεε ω α
ε αε∞∞
∞∞ ∞
= = + ⇒−
=+−
PE
2
' 2 20 0
20
0
2
0
( )( )1 / 33
( ) ( )
/ 3 ( / ) / ( 1)
1
( 1) ( )
/ 3ei
N V
e
N V N V
N eV N Vω ω
α ε
ωω ω ωμ α
αω ω ε ε ω
ωε μ
ε
α
∗
<
∗
∗
∞∞
∞
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− =
−⎜ ⎟⎜ ⎟
=
⎝ ⎠
= +
− −
−
−
−Eu
P u E
ω→ ∞, u(ω) → 0
'2 20
0
2
0 0 '
2'
'
2 2
'2 '
'0 0
2 2
0
2
1 ( )( )( ) /
( ) ( ) ( 1) ( )
( ) 1( 1) ( 1)( )
1/
( )( )( )
/ ( )
T st
Tsti
ei N V
e
eN V i
eN V
ε ωωμ ω ω ω α
αω ω ε ε ωε
ω εε ε ε εω μ α ω ω γω
ω ε εε εε ω εω ω γω ε μα ω
∗∞
∗
∞∞
∞∞
∞
∗
∗∞
∞
−=
− −
= + −
−− =
−=
= − +−
++−
=
−
−
Eu
P u E
PE
Γενικά
Μείωση
ωο
Καταστροφή
λόγω
πόλωσης•
Τοπικό
πεδίο
⇒
Μείωση
συχνότητας
συντονισμού.
–
Πόσο
?
ωΤ
= 0 ? ή
< 0 ?
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
23
22 2
003 1 / 3TN eV N V
ω ωε μ α
∗= −
−•
ωΤ
= 0–
Απωστικές
άμεσων
γειτόνων
(ελαστικές) < δυνάμεις
λόγω
πεδίου.–
Συνισταμένη
δύναμη
⇒
νέα
θέση
ισορροπίας.•
Δυνάμεις
στην
νέα
θέση
μη
αρμονικές
!!
–
Διαχωρισμός του στερεού σε περιοχές με διαφορετική
πόλωση.–
Καταστροφή
λόγω
πόλωσης.!!––
ΣιδηροηλεκτρικήΣιδηροηλεκτρική
φάσηφάση
⇐
( Σιδηρομαγνητική
φάση)
–
Η
πόλωση
υπολογίζεται
αθροιστικά
από
το
γινόμενο
του
φορτίου
επί
την
μετατόπιση
για
όλα
τα
ιόντα
Ba2+, Ti4+, O2‐.
p = 0,25 C m/κυψελίδα
⇒
P = p* κυψελίδα
= 2 10‐29
Cm.
Καταστροφή
λόγω
πόλωσης
•
Κοντά
στην
κρίσιμη
πολωσιμότητα
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
24
2 ( ) ( )11 1 3( ) 31 ( )2 3 ( )13
Na aNa Va VNaV a
NV
ω εε ε ωε ω
→∞⎧+− ⎪= ⇒ = ⇒ ⎨+ =⎪− ⎩
1
3( ) ( 1) ( ) 1/ 1/ ( )
1/ ( )
c
c c
Va s s a s T TNT T T T
ω ε ξ
ε ξ ε −
→ + << −
− ∝ −
•
Από
την
LST
σχέση
για
να
έχουμε
ωΤ
→0, πρέπει
εst
→ ∞, 2
2 2 2 10cT TT
T L T st cst st
T Tωεω ω ω ε
ε ε−∞
⎧ →= ⇒ ⎯⎯⎯→ ∝ ∝ −⎨
→ ∞⎩
PbTiO3
Τεχνολογικό
ενδιαφέρον
•Υλικά
υψηλής
ε
•Πυκνωτές, Μετασχηματιστές•Μη
πτητικές
μνήμες
•Πιεζοηλεκτρικά
Αέριο
Ελευθέρων
Ηλεκτρονίων
•
Χαρακτηρίζει
τη
διηλεκτρική
συμπεριφορά
υλικών
με
μεγάλη
συγκέντρωση
φορέων.
–
Μέταλλα, Ημιαγωγοί
με
μεγάλο
αριθμό
φορέων.
•
Πάλι
από
την
εξίσωση
του
εξαναγκασμένου
ταλαντωτή.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
25
1 1 1
1
21 0
0
1
( )0n n n
M nme ne
M e
Mnm ne
γ ωω
γ γγ
∗∗
→⎧⎪ → −⎪+ ∗ + = − ⎨
→⎪⎪ ∗→⎩
+ = −
u u u E
u u E
ωp
≡
Συχνότητα
πλάσματος
Συχνότητα
διαμήκους
ταλάντωσης
"ελεύθερων" ηλεκτρονίων
Θετικά
Ιόντα
Νέφος
ηλεκτρονίων
2 2
2 2
ne n een en
n enm ne
σ γγ σ
σ
= − = = =
+ = −
Ej u E
u u E
2 22
0
2 22
202
(
( ) ( )( )
( ) ( )
1
)
1
)
)
(
(( )
pp
p
n enm i ne
e
m
n
ne
i
ω ω ω ωσ ω
ω ε ε
ωε ω ω
ω εω ω
σ
ω
ω
ω
⎛ ⎞− − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =
−
+
= = −
u E
P u E
Αέριο
Ελευθέρων
Ηλεκτρονίων
•
Ιδιαίτερα
χρήσιμη
η
περίπτωση
μικρών
απωλειών
( γ
→
0, σ
→
∞).
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
26
2 22
20
2
22 ( )( 1 1) ( ) ( ) ( )p pέ
p n nm
i eεσον
ωε ω ε
ωε ω ε ω
ω εω κ
ω εΣ
∞Μ∞
⎯⎯⎯→ = − == − = +
ε(ω)
Εξασθένηση Διάδοση
p
ωω
→‐1
‐2
1
0 21,510,5
–
Εδώ
ε(ωP
) = 0. Υπάρχουν
μόνο
διαμήκη
κύματα. –
ωΤ
= 0. ΔΕΝ
υπάρχει
δύναμη
επαναφοράς.!!–
Οι
τιμές
του
ωP
εξαρτώνται
από
τη
συγκέντρωση
(n) και της
ενεργού
μάζας
(m∗). Περίπου
3 – 20 eV. –
Τα
πλασμόνια
είναι
καλά
ορισμένα
μόνο
απουσία
άλλων
διεγέρσεων. •
Μέταλλα, ημιαγωγοί
με
προσμίξεις.–
Ερμηνεύει
όμως
"καλά" την
υψηλή
ανακλαστικότητα
των
μετάλλων. ( Al, Zn
κλπ).–
Η
παρουσία
της
διαταινιακής
μετάπτωσης
"προκαλεί" συνολική
μείωση
της
ανακλαστικότητας
στο
90%.
⎯
Πλάσμα‐‐‐‐
Al
5 1 1
15,2
3,6 10p
cm
ω
σ − −
=
= ⋅ Ω
Διαταινιακή
μετάπτωση
2
2
2 2
2 2
( ) 1( / )
( ) 1( ) 1
( 1)( 1)
p
R
i
I
nn
σε ωσω ω ω
ε ωε ω
κκ
= −+
−=
+
− +=
+ +0.1 1 10 100
Frequency in HeVL
1.μ10-7
0.00001
0.001
0.1
10
lacitpO
stnatsnoc
γ=ε0
ωP
/σ
κ(ω)
n(ω)
ωP
Αέριο
Ελευθέρων
Ηλεκτρονίων•
Και τα τρία χαρακτηριστικά μεγέθη παριστάνονται στο
διπλανό
σχήμα.
••
ΠλάσμαΠλάσμα
μπορείμπορεί
νανα
σχηματισθείσχηματισθεί
καικαι
απόαπό
τατα
ηλεκτρόνιαηλεκτρόνια
σθένουςσθένους. (. (ΕνέργειαΕνέργεια
10 10 ‐‐30 30 eVeV))
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
27
0.1 1 10 100Frequency in HeVL
1.μ10-7
0.00001
0.001
0.1
10
lacitpO
stnatsnoc
γ=ε0
ωP
/σ
κ(ω)
n(ω)
ωP
0.1 1 10 100Frequency in HeVL
0.1
1
10
100
1000
noitposbAtniciffeoCHmc-1 L
0.1 1 10 100Frequency in HeVL
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ecnatcelfeR
R(ω)
•
Ενδιαφέρουσα
περίπτωση
είναι
ο
ημιαγωγός
In2
O3
:Sn.
•
Διαπερατό
στο
ορατό.
•
Φίλτρο
στο
υπέρυθρο. ( Επιστρώσεις
λυχνιών, θερμικών
παραθύρων)
( )2
K ω
=ωε / c2ωnκ= c
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
28
0 cosx xE tω=E e
0
22 ( ) ( , ) ( , )
2( )
2x
i t i tx
E Fx eE x
ex E e eV t i tm
ω ω ψ ψ−
= =−
⎛ ⎞⎜ ⎟∇ + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝
+
⎠
r r r
0( , ) ( ) ( )( , ) ( )iiE t
i ii ii i
tt a a t et ψ ϕψ−
= =∑ ∑r rr
( )
0
( ) ( )0
0 | | | | ( )( )2
( )
| |
( )
1 12
j i
ji ji
j ix ji j
E Eti ti t i t
i t i t
ji ji
ij
x
ia tE E
eE j x i j x i x de e
eE i
e
ej x e
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ϕ ϕ∗−
−
− +
−< > =+
⎛ ⎞− −
< >=
+⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠= < >
= ∫ ∫ r r r
Ταινίααγωγιμότητος
Ταινίασθένους
Ενδοταινιακήμετάπτωση
Διαταινιακήμετάπτωση
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
•
Ας
δούμε
αναλυτικότερα
το
πινακοστοιχείο
το
μας
επιτρέπει
να
υπολογίσουμε
την
αναμενόμενηαναμενόμενη
τιμήτιμή
τηςτης
διπολικήςδιπολικής
ροπήςροπής
pp
ijij
στηστη
διηγερμένηδιηγερμένη
κατάστασηκατάσταση..
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
29
| | ( ) ( )j ij x i x dϕ ϕ∗< >= ∫ r r r
1
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
| ( ) | (
(
) (
(
)
) )
(
j
j ji
i
i i i
E ti
i ii
E t E t E ti i i
i i j j
E ti
j jj
E t E tE ti i i
i j i i i
όύ όp ex d ex d
ex d ex d ex
a t e
e a t e
a t e
a t e ee a t e
νογραμμικο ς ρουςϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ψ
ϕ ϕ ϕ
ψ−
− −∗
∗
=−∗ ∗ ∗∗ ∗
∗ Μ= = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
= + +
∑
∫
∑∫ ∫
∫
r r r r
r
r
r
r
r r r rr
( )( ) ( )
0
220
| | | | | |
1 1( ) | |2
| |
( ) ( )
( )
2
)
( )ji
ji ji
ji ii
jji t i t
xii ij j
j ji ji
x
i t tj j
i tij
tjj
ii
j
i
ij
i t
j
ja t e a t e
a t
d
e i x i e i x j j x i
eE e eex e ex a t x a t j x i
e Eex x e e
eeω ω ω ω
ω
ωω
ω
ω
ω ω ω ω
− +∗−
−
∗
−−
∗
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= < > + < > + < >
⎛ ⎞− −= + + ← = < > +⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝
=−
⎠
+
∫
∑ ∑
∑
∑
r r
2 20
2
2 22
2 22
2
0
2 ( )
cos
| |2
|
2
2
( )
c s( )o|
ji ji
ji
ji ji
ji
i t i
j
x
t i ti t
ji j
ii i
i
i ti tji
ji
ji
ji
ti t i t
ji ji
i ti tji
jj
j
xij ii ij
j
i
ji
eEe
e e e e
x e x
e
e
E
e
e e e
x x t
e
p e t
ω ωω ω
ωω
ω ωω
ωω
ω ω ω ω ω ωω ω
ωω ω
ωω
ω
ωω ω
ωω
−−
−−⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟
−+
− +− −
+ +− +
+−
−−
⎝ − ⎠
+
+−
=
∑
∑
∑
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
•
Η
τελευταία
σχέση
είναι
πολύ
σημαντική.
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
30
–
Ο
πρώτος
όρος
δίδει
τη
ενυπάρχουσα
διπολική
ροπή. (Χωρίς
πεδίο
!!). ΑνΑν
ϕϕ
ii
(r(r)=)=‐‐ϕϕ
ii
((‐‐rr) ) τότετότε
χχ
ijij
= 0= 0.–
Ο
δεύτερος
όρος
είναι
γραμμικός
ως
την
Ε.
•
Συνεπώς
δίδει
την
πολωσιμότητα
χ
του
μέσου. •
Περιέχει
δύο
συνιστώσες. Η
μία
ταλαντούται
με
τη
συχνότητα
του
διεγείροντος
πεδίου
(ω).•
Η
δεύτερη
ταλαντούται
με
τις
"ατομικές
συχνότητες" ωji
>> ω–
ΔΕΝ
μπορούμε
να
την
παρατηρήσουμε. ( 1 eV
=2.41 1014
Hz)
•
Απειρίζεται
αν
η
συχνότητα
διέγερσης
συμπίπτει
με
μια
ατομική
συχνότητα.–
Εδώ
ο
υπολογισμός
της
γίνεται
με
τη
βοήθεια
των
σχέσεων
Kramers‐Kronig.–
Προσθέτουμε μια μικρή μιγαδική ποσότητα γ την οποία στη συνέχεια αφήνουμε να
τείνει
στο
μηδέν.
22
0 00
22 22
0 0
22
2 20
2 22 2
22
0 0
2
0
2 20
0
| |( ) ( ) / ( ) / ( / ) / ( ) /
| || | (
2
| || | [
21
22 )
2)( (
lim ijij
i ij
ijij
i
ji
ji
jiji ji
ji
jiji ji
j
j ij
ijij
ij i ij
xep VV
xe ei xV V
xe ei xV V
γε ω ω ω ε ω ε
ωω ω
ωω ω ω
ω ω
ωω ω ω ω
ω ω
ε
π π δε ε
π π δ δε ε
→= =
− +
−−
= − + +−
− = =
+
+
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
P E Eγ
)]
( )
2
2
2
2
0 0
1( ) ( ) ( )2
1 1lim lim (
|
)
|z a z a
i i zz z
a
z
za
iγ γ
γ πδγ
δ
γ
δ δ
→ →
− = −
+
+
= =℘
+
+−
0
0 0
2 20
2 c| | ( )2
( ) ( ) ( ) ( ( ) 1) (
2
)
oscos jx
ijj
ii
jj i
ii j
j
tteEp ex x
ω
ωω
ω
ε χ ω ω ω ω
ω
ε ε
ω−= +
=
+
= −
∑P E E
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
•
Αυτή η έκφραση είναι γενική και ισχύει για κάθε κβαντομηχανικό σύστημα (=
διακριτές
καταστάσεις)!! ΠεριοδικόΠεριοδικό
ήή
μημη.
•
Το
II
αριθμεί
τις
αρχικέςαρχικές
και
το
jj
τις
τελικέςτελικές
καταστάσεις.
•
Ο
παραπέρα
υπολογισμός
της
ε(ω) απαιτεί
τη
γνώση
των
ιδιοκαταστάσεων
του
κβαντομηχνικού
συστήματος.
•
Σημαντική
"ελάφρυνση" παρέχει
η
παρουσία
περιοδικότητας.
•
Σε
ένα
περιοδικό
υλικό
οι
καταστάσεις
περιγράφονται
μέσω
συναρτήσεων
Bloch.
(χωρικό
τμήμα)
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
31
2 2
1 222 2
02
2
0
( ) ( ) ( )
| || |
2( )1( ) ([ ( ] () (
( )])j i
j i j ij
iji
i jij
j i
E EE E E E
i
xe ei xV VE E
ε ω ε ω ε ω
π π δ δεε
ω ωεω∞
=
−→ + − − + + −
− −
+
= +∑ ∑
1 1| , ( ) | , ( ) ji
i j
iii ji u e i u e
V V⋅⋅< >≡ < >≡ k rk r
k kr k r r k r
•
Με
τη
βοήθεια
αυτών
μπορούμε
να
υπολογίσουμε
τα
πινακοστοιχεία
χij
.
( )1
| | ( ) ( )
| | | | ,, 0
,
i j n
i j
k k Gi j
j
i jn
i ij ij
i j ί
i x x d p im x
i p i p j
j
j e όκυψελ δα
ϕ ϕ
μ νο αν
ω
−= +
∗
⋅
< >=
⎯⎯⎯
=
< > = ⇒< > =→ ≠Ν∑
∫k k r
k k
kk k
r r
k k k
r
•
Δηλ. ισούται
με
το
πινακοστοιχείο
χij
σε μια κυψελίδα επί τις συνεισφορές των άλλων κυψελίδων.
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
32
22
2 2 20
( ( )| | | , |
( ( )[ () ] ]i
ό
j i j ij
j
ή
i
E Ei p je
V mE E
πορ κπομρ πϕηση
δ ω δ ωπε ωε ω
ΕΑ<
− − + −>
= +∑k
k k
3
22
2 2 2 30
1 1 | | ,(2 )
( ) | | [ ](2 )
( ( ( ) ( ))]
ij i j
i
ό
ji
j ij
d p i p jV
e p dm
E Eπορρ ϕηση
δ ω
π
πε ωε ω π
Α
− −
⇒ ≡< >
=
∑ ∫
∑∫
k
k k k
k k k
3( )
( )( ) | ( )
( )(2 )
|
( )
dV
ό
ά d df dqd grad
Z d Z d
dq
Z d
d
ω
ω ω
ω
ων νια
ω σταθ
ω ωπ
ερω ω
ω ω
⊥
⊥
+
Φ
=
=
=
=
=
∫
q
q q q
q qq q
3(2 )V dωπ
=| ( ) |ό
dfgrad
ω
ω σταθερ ω=∫
q q
3( ( ) ( )) 0
22
2 2 20
( ) | [ ( ) | (0) 1
1(2 ) | [ (
( ) | |) ( )] |
j i
ij iE E
jij
df dk dE dk dd
e p
E
dfEm E
ω
ω
ω
πωε
δ
εω π − − =
⊥ ⊥= = ∇
∇ −=
=
∑ ∫kk k
k
k
k k
k
k
3( ( ) ( )) 0
( ) ( ( ) ( )
1(2 ) | [ ( ) ( )] |
j i
ij ij j i
j iE E
Z Z E E
dfE E
ω
ω
ω
π − − =
= −
=∇ −∫
kk k
k k
k k
ΣυνδυασμένηΣυνδυασμένη
πυκνότητα
καταστάσεων Πυκνότητα
καταστάσεων
1( ) { ( )} ( ) | ( ) |const
g f g f dδ −
=
⋅ = ⋅ ∇ ⋅∫ ∫S
r r r r S
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
33
2 22 2
2 2 2 2 20 0
( ) | | ( ) ( )| |ij iji
ijj
ijij
e ep pm m
Z Zπ πε ωε ω
ωε ω
ω= ∑∑
[ ( ) ( )] 0
( ) ( )j i
j i
E E ί ί ή
E E ί vanHove
ρ σιμα σημε α
νωμαλ α
∇ − = Κ
∇ = ∇ Αk
k k
k k
k k
Αν
pij
= 0 ε2
(ω) = 0Απαγορευμένες
μεταπτώσεις
•
Θεωρούμε
υλικό
με
άμεσο
χάσμα.
2 22 2 ( )
2 2c g v g ij ijc c
E E k E E k p pm m∗ ∗= + = + =k•
Οπότε
22
22
2
1 1( )2
2
2( ) ( )
c v gc v
g
j i g
E E E km m
E k
E E k E
ωμ
ωμ μ
∗ ∗− = + +
= + =
∇ − = = −
Άμεσες
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
34
2
3 3 2( ) 0
1/23 2
221/2
2 2 20
( )1 1( )(2 ) | [ ( ) ( )] | (2 ) ( )
2 ( )(2 )
| |( )
4
c v
g
j iE E g
g
ijg
E ddfZE E E
E
pe Em
πω
ω
ω ϕμωπ π ω
π μ ωπ
μ ωε ω π
= −
−= =
∇ − −
= −
= − ∝
∫ ∫k
1/ 22 g
k
ε (ω) A(hω - E
k
)
Επιτρεπτές
μεταπτώσεις
•
Αν
pij
(k)= 0
τότε
το
αναπτύσσουμε
ως
προς
k
( )( ) ( ) ( )ijij ij
pp p
∂≅ + − + ⋅⋅ ⋅
∂0 0
kk k k k
k
3 2(
3
)
3/23 2
'
( )1( )(2 ) ( )
( )( )
(2 )
c v
g g
E E g
ijg
C E d EZ
E
pC E
ω
ω ωμωπ ω
μ ωπ
= −
− − −=
−
∂=
∝
−∂
∫
/ 22 gε (ω) A (hω - E
kk
)Απαγορευμένες
μεταπτώσεις Επειδή
pij
(k) ≠
0 η όλη θεώρηση
είναι
ποιοτική
Έμμεσες
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
•
Το
ελάχιστο
της
ταινίας
αγωγιμότητας
σε
διαφορε‐
τικό
k
από
το
μέγιστο
της
ταινίας
σθένους.
•
Η
υλοποίηση
απαιτεί
τη
συμμετοχή
και
φωνονίων.
–
Παρέχουν
την
απαιτούμενη
"ψευδοορμή"
•
Διαδικασία
δύο
βημάτων.
–
Συμμετοχή
τριών
"ημι‐σωματιδίων".
–
Η
ενδιάμεση
κατάσταση
μπορεί
να
είναι
πραγματική
ή
"δυνατή"
•
Διατήρηση
Ορμής: Σε
κάθε
βήμα!
•
Διατήρηση
ενέργειας: Αρχική
και
τελική. ΔΕΔΕ⋅⋅ΔΔt = t =
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
35
E( ) E( )
, <<(E E )j i L j i
L i j j i
ω ω
ω ω
= + ± = + ±
<< << −q
q
k k k q k k
k k k q
•
Έχουν
μικρή
ένταση. ( μικρή
πιθανότητα
"σύμπραξης" τριών
"ημι‐σωματιδίων"–
⇒
Εμφανίζονται
όταν
δεν
υπάρχουν
άμεσες
μεταπτώσεις.
abs 2 22 ( )=C ( ) για q g g gn E E Eε ω ω ω ω ω ω ω−⋅ + − − < < +q q q
/
11q KTn
e ω=−
ΔΕ
2 22
em 2 2C ( 1) ( )( )=C ( ) για qabs
q g ggn nE E Eω ωε ω ωω ω ω ω ω−− + ⋅⋅ + − + > +− −qq q
Διαταινιακές
μεταπτώσεις
+Ελεύθεροι
φορείς
•
Σε
αρκετά
κρυσταλλικά
υλικά
οι
διαταινιακές
μεταπτώσεις
βρίσκονται
στην
ίδια
ενεργειακή
περιοχή
με
αυτή
των
ελευθέρων
φορέων.
–
Ιδίως
σε
υλικά
με
d‐στάθμες. (Ag, Cu, Au).
•
Ενδιαφέρουσες
οπτικές
ιδιότητες.–
Μηδενισμός
της
ε1
(ω) στην
οπτική
περιοχή.
–
Υψηλή
απορρόφηση, Εκπομπή, Ανακλαστικότητα
–
Νανοπηγές
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
36
abs 2 32 ( )=C ( ) για q g g gn E E Eε ω ω ω ω ω ω ω−⋅ + − − < < +q q q
2 32
em 2 3C ( 1) ( )( )=C ( ) για qabs
q g ggn nE E Eω ωε ω ωω ω ω ω ω−− + ⋅⋅ + − + > +− −qq q
Έμμεσες
Απαγορευμένες
Μεταπτώσεις
Εξιτόνια•
Λαμβάνεται
υπόψη
η
αλληλεπίδραση
Coulomb
e‐οπής.
–
Οδηγεί
σε
συσχετισμένη
"κίνηση"
των
e‐οπής.–
Το
εξιτόνιο
έχει
τη
δυνατότητα
"κίνησης" εντός
του
υλικού.–
Εμφανίζονται
αν
∇Εc
(k) = ∇Εv
(k) •
Εμφάνιση
οξέων
δομών
(κορυφών) εντός
του
ενεργειακού
χάσματος.
–
Λίγο
πριν
από
την
ακμή
απορρόφησης.
–
Η
ένταση
των
εν
λόγω
κορυφών
μειώνεται
όσο
πλησιάζουμε
στην
ακμή.
•
Δεν συνεισφέρουν στην
αγωγιμότητα.•
Είναι
Bosons
( Συμπύκνωση)
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
37
•
Η
ενέργεια
σύνδεσης
μπορεί
να
μετρηθεί
–
Με
μετρήσεις
οπτικής
απορρόφησης–
Με
μετρήσεις
φωταύγειας. (Επανασύζευξη)
HoppingFrenkel
(Ισχυρά
προσδεδεμένα)
Wannier(Ασθενικά
προσδεδεμένα)
Εξιτόνια
•
Υδρογονικό
πρότυπο
Σωτήριος
Βες Διηλεκτρικές
Ιδιότητες
Στερεών Διαφάνεια
38
4
2 2 20
,
2
2
2132 2( )c v
ή
e
έ ύ
n
έ
h
ge
nE
m mE
ν ργεια νδεση ινητικ ν ργειας
μπ ε ε
Ε Σ
∗ ∗
Κ Ε
= +
∗= − +
+K
K k k
K
2 2
, 2 * *
4
2 2 20 0
20
2( )
1 13,6(4 ) 2
0,529
bn g
e h
b H H
n o o
EE En m m
eE E E eVm
mr n
μ μπε ε ε
ε α αμ
∗ ∗
∞ ∞
∞∗
= − ++
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
< >= ⋅ = Α
KK
0 0 0
2 2
2
12,8 0,067 0,2 0,0512,8 0,529 130 5,60,05
0,05 13,6 4,2 4912,8
e h
n
b
GaAsm m m m m
r n n a
E eV meV ά T K
ε μ
ταθερ
∗ ∗= = = =
< >= Α = Α >> = Α
= = ⇒ Σ ≤
CdS