ТЕОРИЯНАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙАЛГЕБРАИЧЕСКИХ...

Т. Г. НЕЗБАЙЛО

ТЕОРИЯ НАХОЖДЕНИЯКОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ(в символьном представлении)

Санкт-ПетербургКОРОНА-Век

2007

УДК 372.8 373 5H44

Условные обозначения:

hypergeom — гипергеометрическая функция;

Cnk или C (n, k) — биномиальная функция;

Р — функция Похгаммера.

k

G l

l l m==

∑1 ..

0

( )

f (k1, k2 .. km) — означает вложение последо-

вательных сумм с нижним индексом суммирования,меняющимся от k1 = 0 до km = 0, и верхним значениемот G (1) до G (m).Например:

f k k kk

G l

k

G

k

G

kl l

( , .. )

..

( ) ( ) ( )

1 2 40 0

1

0

2

01 4 1 2 3=

= = = =∑ ∑ ∑=

G

k

G

f k k k( ) ( )

( , .. )3

0

4

1 2 4

4

∑ ∑=

и так далее.

δ (0) = 1, δ (i) = 0, i = 1, 2, 3 .. N — символ Кронекера.

sinh ( )x — гиперболическая функция;

arcsin ( ) ln ( )h x x x= + +2 1 — обратная гиперболиче-ская функция.

ISBN 978-5-903383-42-9 © Незбайло Т. Г., 2007

С О Д Е Р Ж А Н И Е

В в е д е н и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ . . . . . . . . . . . . 7

2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . 102.1. n-Образ квадратного уравнения . . . . . . . . . —2.2. Свойства n-образа . . . . . . . . . . . . . . . 112.3. Определение явного вида коэффициентов n-образа . 142.4. Определение общих формул для корней

квадратного уравнения . . . . . . . . . . . . . 162.5. Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1. Преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . —3.2. n-Образ кубического уравнения . . . . . . . . . 233.3. Свойства n-образа . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. Определение общих формул для коэффициента

n-образа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5. Гипергеометрическая форма представления формул

для коэффициентов n-образа . . . . . . . . . . . 363.6. Вывод формул для корней кубического уравнения . 46

3.6.1. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . 493.7. Преобразование формул для корней кубического

уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.0. Способ инверсии индексов суммирования . . 593.7.1. Преобразование гипергеометрическихфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.7.2. Способ преобразования уравнения (3.1)к виду, при котором коэффициент а1 = 0 . . . . . . 713.7.2.1. Преобразование коэффициента А1 (п) . . . 723.7.2.2. Преобразование коэффициента А2 (п) . . . 733.7.2.3. Преобразование коэффициента А3 (п) . . . 74

3.8. Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ. . . . . . 844.1. Преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . —4.2. n-Образ алгебраического уравнения четвертой

степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3. Свойства n-образа . . . . . . . . . . . . . . . 874.4. Определение общих формул для коэффициентов

n-образа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4.1. Вывод общих формул для коэффициентовAi (n), i = 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . 924.4.2. Гипергеометрическая форма представлениякоэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 4 . . . . . . 964.4.3. Преобразование к стандартному гипергеомет-рическому представлению коэффициента А1 (п) . . . 100

4.4.4. Преобразование к стандартному гипергеомет-рическому представлению коэффициента А2 (п) . . . 1024.4.5. Преобразование к стандартному гипергеомет-рическому представлению коэффициента А3 (п) . . . 1034.4.6. Преобразование к стандартному гипергеомет-рическому представлению коэффициента А4 (п) . . . 105

4.5. Формула для корней уравнения четвертой степени . 1064.6. Преобразование гипергеометрических функций . . 110

4.6.1. Новые представления для гипергеометриче-ских функций . . . . . . . . . . . . . . . . . —

4.7. Формулы для корней при а1 = 0, а2 = 0 . . . . . . 1144.7.1. Преобразование коэффициента А1 (п) . . . . 1164.7.2. Преобразование коэффициента А2 (п) . . . . 1174.7.3. Преобразование коэффициента А3 (п) . . . . 1194.7.4. Преобразование коэффициента А4 (п) . . . . 121

4.8. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ . . . . . . . 1295.1. Преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . —5.2. n-Образ алгебраического уравнения пятой степени . 1305.3. Свойства n-образа . . . . . . . . . . . . . . . 1335.4. Определение общих формул для коэффициентов

n-образа Ai (n), i = 1, 2 .. 5 . . . . . . . . . . . 1355.4.1. Вывод общих формул для коэффициентовAi (n), i = 1, 2 .. 5 . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.5. Гипергеометрическая форма представлениякоэффициентов n-образа Ai (n), i = 1, 2 .. 5 . . . . 1405.5.1. Представление к стандартному гипергеомет-рическому представлению коэффициентов Ai (n),i = 1, 2 .. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.6. Формула для нахождения корней алгебраическогоуравнения пятой степени . . . . . . . . . . . . 147

5.7. Преобразование гипергеометрических функций.Новые области определения для корней алгебраи-ческого уравнения пятой степени. Примеры . . . . 1515.7.1. Новые представления для гипергеометриче-ских функций . . . . . . . . . . . . . . . . . —5.7.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ m . . . . . . . . . 1606.1. Уравнения n-образа . . . . . . . . . . . . . . —6.2. Свойства уравнения n-образа и его коэффициентов 1616.3. Определение общей формулы для коэффициентов

n-образа Am, i (n) . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.4. Гипергеометрическое представление коэффициентов

n-образа. Область определения . . . . . . . . . . 1846.5. Формулы для определения корней алгебраического

уравнения степени т . . . . . . . . . . . . . . 1916.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Л и т е р а т у р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

В в е д е н и еИзвестно, что основной теоремой алгебры называется теорема, доказывающая, что заданное

алгебраическое уравнение степени m имеет ровно m корней. Однако данная теорема не опреде-ляет формул для нахождения этих корней, поэтому задача нахождения корней алгебраическогоуравнения степени m является, по сути, основной задачей алгебры (во всяком случае, она явля-лась таковой с XVI по XIX век [1]). Так как все достижения в этом направлении, за более чемпятьсот лет интенсивного развития алгебры, характеризуются только тем, что получены (в ради-калах) формулы для корней алгебраических уравнений не выше четвертой степени, то это озна-чает, что данная проблема продолжает оставаться актуальной. Несмотря на то что Абель, а за-тем и Галуа доказали, что формул в радикалах для алгебраических уравнений степени выше чемчетыре установить нельзя, тем не менее даже в аналитической форме в общем случае получитьих не удалось. Безуспешные усилия в этом направлении привели к тому, что выдающимися ма-тематиками прошлого (Ньютон, Лейбниц, Коши, Эйлер, Лобачевский и др.) была решена болеепростая задача: построена теория вычисления корней алгебраических уравнений степени m [1],т. е. математики научились вычислять приближенно (с любой степенью точности) корни алгеб-раических уравнений, только в одной точке, т. е. при конкретных числовых значениях коэф-фициентов этого уравнения. Поскольку вычисления составляют основу арифметики, то теориявычисления корней алгебраических уравнений является, по сути, высшим достижением ариф-метики.

Задачей алгебры является изучение символьных операций и преобразований, поэтому тотфакт, что задача нахождения корней алгебраических уравнений в символьной форме, так и нерешена до настоящего времени, не позволяет считать эту науку совершенной.

Цель данной работы заключается в построении теории нахождения формул для корней алгеб-раических уравнений степени m в символьной форме. Формулы выписываются через гипергео-метрические функции, поэтому, в силу того что эти функции представляют собой функциональ-ные ряды, формулы для искомых корней определены только в строго установленной области

5

изменения для коэффициентов исходного алебраического уравнения. При этом для решения дан-ной проблемы потребовалось ввести новое математическое понятие — уравнение n-образа. Этоуравнение является производным от исходного со степенью тп (т. е. намного больше чем сте-пень исходного уравнения m). Однако уравнение n-образа, в отличие от исходного, уже содержитновый параметр n, являющийся произвольным натуральным числом. Затем, опираясь на дости-жения Ньютона, касающиеся особенностей преобразования его биномиальной формулы, посред-ством строго формальных алгебраических операций из уравнения n-образа генерируем т системлинейных алгебраических уравнений степени т − 1, каждая из которых содержит только один(отличный от других систем) корень исходного уравнения. Далее используя формулы Крамеранаходим в символьном представлении искомые формулы для корней исходного уравнения.

В работе приводятся не только общие формулы, но и примеры, доказывающие работоспособ-ность излагаемой теории.

1. КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫКак известно, способ решения квадратных уравнений был известен ученым Египетской и Ва-

вилонской культур. Корни кубического уравнения впервые были в символьном виде установле-ны итальянским математиком Сципион дель Ферро в 1510 году, а в 1545 году тоже итальянскийученый Л. Феррари вывел формулы для вычисления в радикалах корней алгебраического урав-нения четвертой степени. С тех пор научный мир сосредоточился на решении задачи нахожде-ния в символьной форме корней уравнения пятой степени. Однако более чем трехсотлетние поис-ки ни к чему не привели. Максимально, что удалось только сделать, это преобразоватьуравнение пятой степени

x5 + a1x4 + а2х

3 + а3х2 + a4x + a5 = 0 (1.1)

посредством равенства

y c xii

i

==∑

1

7

(1.2)

к виду:y5 + b1y + b2 = 0. (1.3)

Выполнил эту работу в 1763 году лорд Чирнгауз, именем которого теперь и называется под-становка (1.2).

В 1770 году основополагающими работами Лежандра и Вандермонда начинается новый этапразвития теории решения алгебраических уравнений в радикалах. Лагранж, проведя тщатель-ный математический анализ в этом направлении, обнаружил, что каждый из кубических ради-калов в формуле дель Ферро можно представить в виде:

x x x1 23

3

3

+ +ω ω,

где ω — любой корень кубический из единицы, xk, k = 1, 2, 3 — корни кубического уравнения.

7

Он установил фундаментальный факт, заключающийся в том, что функция

z = (x1 + ωx2 + ωх3)3

может принять только два различных значения при любых перестановках его корней. Вы-полнив подобный анализ алгебраических уравнений четвертой степени, Лагранж пришелк функции

z = x1x2 + x3x4,

которая при любых перестановках xk, k = 1, ..., 4 принимает только три различных значения,вследствие чего z является корнем алгебраического уравнения третьей степени, коэффициентыкоторого выражаются через коэффициенты исходного уравнения четвертой степени. Руковод-ствуясь приведенными результатами, Лагранж вводит понятие резольвенты исходного алгеб-раического уравнения в виде некоторой новой переменной

z xi ik

kk

m

==∑ ω ,

1

i = 1, ..., т,

где ωi − i-й корень уравнения ωm = 1.Из теории Лагранжа следовало, что если знать все zi-чисел, то можно определить все корни

исходного уравнения степени т. Лагранж доказывает, что если т простое число, то zi являетсякорнем уравнения степени т − 1, однако коэффициенты этого уравнения зависят от алгебраиче-ского уравнения степени (т − 2)!. Таким образом, для определения уравнения резольвенты приусловии, что исходное алгебраическое уравнение является уравнением пятой степени, необходи-мо найти корни уравнения степени 3! = 6, что делает эту задачу бессмысленной. Однако заслугаЛагранжа заключается в том, что этими работами он положил начало теории групп, опираясь накоторую сначала Руффини, потом Абель и в конце Галуа доказали невозможность нахождениякорней алгебраического уравнения выше степени четыре в радикалах.

8

Невозможность решения алгебраического уравнения в радикалах вызвала интенсивные поис-ки такого решения в форме аналитических функций. Наиболее серезных результатов, по нашемумнению, в этом направлении удалось добиться немецкому ученому Биркланду [6]. Он, изучаятрехчленные алгебраические уравнения:

xn = gxs + β,получил для их корней общие формулы в символьной форме, выраженные через гипергеометри-ческие функции [3].

Из остальных можно отметить работы Эрмита, Ламберта, Лобачевского, Эйлера и (в частно-сти) П. К. Лахтина, также разработавшего свой метод нахождения корней для определенныхклассов алгебраических уравнений через гипергеометрические функции [5].

2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯНесмотря на то что формулы для корней квадратного уравнения известны давно, изложим их

нахождение, исходя из следующих соображений:— излагаемый метод является общим и поэтому необходимо проверить его выполнение для

случаев, когда искомый результат заведомо известен;— представляет особый интерес установить известные формулы другим подходом;— метод позволяет получить новые математические результаты, имеющие отношение к дру-

гим областям математики.

2.1. n$Образ квадратного уравнения

Пусть задано квадратное уравнение в приведенной форме:

х2 = а1х + а2, (2.1)

где a1, а2 — произвольные, в общем случае комплексные числа. При этом а2 ≠ 0.Ставится задача нахождения корней х = {x1, x2} уравнения (2.1). С этой целью возведем обе

части уравнения (2.1) в степень с натуральным числом n:

x(2n) = (a1x + a2)n. (2.2)

В соответствии с формулой бинома Ньютона:

( ) .( )a x a C a a xnni k n k k

k

n

1 2 1 20

+ = −

=∑ (2.3)

равенство (2.2) принимает вид:

x C a a xnni k n k k

k

n( ) ( ) .2

1 20

= −

=∑ (2.4)

10

Как видим, полученное выражение справа представляет собой полином степени п по х, в кото-ром можно все значения х2, х3, x4... xn убрать, пользуясь формулой (2.1). Действительно, так какпо определению имеет место формула (2.1), то умножая ее правую и левую часть на x, получим:

x3 = а1х2 + ха2.

Подставляя в правую часть этого равенства значение (2.1), получим:х3 = (a2 + a1

2 )x + a1a2.Совершенно аналогичным образом устанавливаем:

x4 = a1 (2a2 + a12 )x + a2 (a2 + a1

2 ),x5 = (3 1

2a а2 + a22 + a1

4 )х + a1а2 (2a2 + a12 )

и так далее.Таким образом, подставляя полученные значения в (2.4), приводим его в общем случае

к виду:x(2n) = A1 (n)x + A2 (n), (2.5)

где Ai (n), i = 1, 2 — многочлены коэффициентов аi, i = 1, 2 степени n + 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Равенство (2.5) называется n-образом квадратного уравнения (2.1),a Ai (n), i = 1, 2 — коэффициентами n-образа.

2.2. Свойства n$образа1) n-образ содержит все корни исходного уравнения. Действительно, с учетом (2.1) равенст-

во (2.5) принимает вид:(а1х + а2)

n = А1 (п)х + А2 (п). (2.6)Отсюда с учетом формулы (2.3) имеем:

C a a xni k n k k

k

n

1 20

( )−

=∑ = A1 (n)x + A2 (n).

11

Однако данное равенство тождественно выполняется для всех х = {х1, х2} в силу определениякоэффициентов Аi (п), i = 1, 2.

2) Коэффициенты Ai (n), i = 1, 2 удовлетворяют начальным условиям:

A1 (0) = 0, A2 (0) = 1, (2.7)A1 (1) = a1, A2 (1) = a2. (2.8)

Действительно, несмотря на то что n — натуральное число, равенство (2.2) выполняется так-же при п = 0, так как в этом случае оно превращается в тождество: 1 = 1. Следовательно, уравне-ние n-образа (2.5) также должно выполняться. Принимая в этом равенстве n = 0, получаем:

1 = A1 (0)х + А2 (0).

Следовательно, выполнение этого равенства для всех х = {x1, x2} и задает необходимость вы-полнения условий (2.7). Совершенно аналогичным образом принимая в (2.5) п = 1, получаем:

х2 = А1 (1)х + А2 (1).

Так как полученное равенство должно быть равно по определению исходному (2.1), то отсюдаследует необходимость выполнения условия (2.8).

3) Коэффициенты Аi (n), i = 1, 2 удовлетворяют рекуррентным соотношениям:

А1 (п + 1) = А1 (п)а2 + А1 (п)a12 + А2 (п)а1, (2.9)

А2 (n + 1) = а2 (А2 (п) + А1 (п)а1). (2.10)

Доказательство: Принимая в (2.5) п = n + 1, получим:

х(2n + 2) = А1 (п + 1)х + А2 (п + 1).Отсюда следует:

x(2n)x2 = A1 (n + 1)x + A2 (n + 1).

С учетом (2.5) имеем:(А1 (п)х + А2 (п))х2 = А1 (п + 1)х + А2 (п + 1).

12

Раскрывая скобки и учитывая (2.1), а также что

х3 = (а2 + a12)х + а1а2,

в итоге получаем:

(A1 (n)a2 + A1 (n)a12 + A2 (n)a1)x + a2 (A2 (n) + A1 (n)a1) = A1 (n + 1)x + A2 (n + 1).

Так как данное равенство должно выполняться для всех х = {х1, x2}, то отсюда и следуют ре-куррентные равенства (2.9), (2.10).

П р им е ч а н и е: Принимая в (2.9) и (2.10) n = 0, получим:

A1 (1) = A1 (0)а2 + А1 (0)a12 + А2 (0)a1,

A2 (1) = a2 (A2 (0) + A1 (0)a1).

Очевидно, эти равенства должны выполняться для условий (2.7), (2.8). Действительно, этоимеет место, поскольку после их подстановки получаем тождества а1 = а1 и а2 = а2.

4) В том случае, если корни уравнения (2.1) известны, коэффициенты n-образа Аi (п),i = 1, 2 определяются однозначно формулами:

A nx x

x x

n n

112

22

1 2

( )( ) ( )

=− +

− +, A n

x x x x

x x

n n

222

1 2 12

1 2

( )( ) ( )

=− +

− +. (2.11)

Действительно, в соответствии с свойством 1, оба корня уравнения (2.1) являются также кор-нями уравнения n-образа, поэтому принимая в уравнении n-образа (2.5) последовательно х = х1,х = х2, получим равенства:

x n12( ) = A1 (n)x1 + A2 (n), (2.12)

x n22( ) = А1 (п)х2 + А2 (п). (2.13)

Решая эту систему алгебраических уравнений относительно Ai (n), i = 1, 2, получим искомыеформулы (2.11).

13

2.3. Определение явного вида коэффициентов n$образаПо сделанному предположению коэффициенты n-образа Ai (n), i = 1, 2 представляют собой

многочлены с очевидно биномиальными коэффициентами. В частности, используя начальныеусловия (2.7), (2.8) и рекуррентные соотношения (2.9), (2.10), получим:

A1 (1) = a1, А2 (1) = а2,A1 (2) = 2a2a1 + a1

3, А2 (2) = а2 (а2 + a12),

A1 (3) = 3 22a а1 + 4 2 1

3a a + a15, А2 (3) = a a a a a2

322

12

2 143+ + ,

A1 (4) = 4 10 623

1 22

13

2 15

17a a a a a a a+ + + , A2 (4) = a a a a a a a2

423

12

22

14

2 166 5+ + + .

и так далее.Изучение этих и других равенств позволяет установить следующие закономерности:— для всех составляющих a as t

1 2 показатели s, t удовлетворяют равенствам:в формуле для A1 (n) − s + 2t = 2n − 1;в формуле для А2 (п) − s + 2t = 2п.

При этом:— в выражении для A1 (n) степени у коэффициента а2 уменьшаются с n − 1 до нуля через

единицу, так что число слагаемых равно n. Степени у а1 начинаются с единицы и увеличиваютсядо 2п − 1 через 2;

— числовой коэффициент при a ak n k12 1

21( ) ( )+ − − определяется значением: Cn k

n k+− − 1;

— в выражении для А2 (п) степени у коэффициента а2 последовательно (через единицу) воз-растают с единицы до n. Степени у а1 последовательно убывают через 2 начиная с 2n − 2 до нуля.

— числовой коэффициент при a ak n k12

2( ) ( )− определяется значением: Cn k

n k+ −− −

11.

Выявленных закономерностей достаточно, чтобы представить искомые значения коэффици-ентов n-образа в виде:

A n C a an kn k k n k

k

n

11

12 1

21

0

1

( ) ( ) ( )= +− − + − −

=

−

∑ (2.14) A n C a an kn k k n k

k

n

2 11

12

20

( ) ( ) ( )= + −− − −

=∑ (2.15)

14

Докажем справедливость этих формул. Для начала убедимся, что выполняются начальныеусловия (2.7) и (2.8). Действительно:

A C a akk k k

k1

112 1

21

0

1

0 0( ) : ( ) ( )= =− − + − −

=

−

∑ A C a akk k k

k2 1

112

20

0

0 1( ) : ( ) ( )= =− +− − −

=∑

A C a a akk k k

k1 1 1

2 12 1

0

0

1( ) : ( ) ( )= =+− + −

=∑ A C a a ak

k k k

k2 1

221

20

1

1( ) : ( ) ( )= =− −

=∑

Таким образом, осталось доказать, что формулы (2.14), (2.15) выполняются для любых n. Дляэтой цели воспользуемся рекуррентными соотношениями (2.9), (2.10).

Допустим, что формулы (2.14), (2.15) выполняются для любых n. Докажем, что они выполня-ются также для значения параметра n + 1. Благодаря (2.14), (2.15) имеем:

A n C a an kn k k n k

k

n

1 1 12 1

20

1( ) ( ) ( )+ = + +− + −

=∑ (2.16) A n C a an k

n k k n k

k

n

2 12

21

0

1

1( ) ( ) ( )+ = +− + −

=

+

∑ (2.17)

Подставляя эти значения в рекуррентные равенства (2.9), (2.10), мы должны получить тождество.Действительно:

C a a a a C an kn k k n k

k

n

n kn k

+ +− + −

=+− −∑ = +1 1

2 12

02 1

2 11

( ) ( ) (( ) 2 12

1

0

1

11

12

20

k n k

k

n

n kn k k n k

k

n

a C a a+ − −

=

−

+ −− − −

=∑ +) ( ) ( ) ( )∑

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ a1, (2.18)

C a a a C a an kn k k n k

k

n

n kn k k

+− + −

=

+

+ −− −∑ =1

22

1

0

1

2 11

12( ) ( ) ( )

20

112 1

21

0

1( ) ( ) ( )n k

k

n

n kn k k n k

k

n

C a a−

=+− − + − −

=

−

∑ ∑+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟a1 .

Первое уравнение данной системы преобразуется к виду:

( ( ) ( ) ( )C a a C an kn k k n k

k

n

n kn k k

+ +− + −

=

−

+− − +∑ −1 1

2 12

0

11

12 1 a a a C a a an k

n kn k k n k

21

2 12

11

12

2 1( ) ( ) ( )( ) )− −

+ −− − −+ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + =+a n

12 1 0( ) . (2.19)

15

Так как сумма ряда:

( ( ) ( ) ( )C a a C an kn k k n k

k

n

n kn k k

+ +− + −

=

−

+− − +∑ −1 1

2 12

0

11

12 1 a a a C a a an k

n kn k k n k

21

2 12

11

12

2 1( ) ( ) ( )( ) )− −

+ −− − −+ −

равна − +a n12 1( ), то равенство (2.19) тождественно выполнено. Аналогично доказывается тождест-

венность и второго равенства системы (2.18). Таким образом, формулы (2.14), (2.15) являютсяистинными. Следовательно в общем виде уравнение n-образа (2.5) можно записать в виде:

x C a a x Cnn kn k k n k

k

n

n( ) ( ) ( )2 1

12 1

21

0

1

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ++

− − + − −

=

−

+∑ kn k k n k

k

n

a a−− − −

=∑ 1

112

20

( ) ( ) . (2.20)

2.4. Определение общих формул для корней квадратного уравнения (2.1)

Вычисляя значения полученных выражений для коэффициентов n-образа Ai (n), l = 1, 2(2.14), (2.15), получаем:

( )

C a an kn k k n k

k

n

na n

+− − + − −

=

−

−

∑ =112 1

21

0

12

12 2

( ) ( )

sinh arcsinha

a

a

a

1

2

12

2

2

14

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

, (2.21)

C a a a na

an kn k k n k

k

nn

+ −− − −

=∑ =1

112

20

2 22

1( ) ( ) cosh arcsinh2

11

2

22⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

a na

asinh arcsinh

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

+4 2 12a a

. (2.22)

16

Таким образом, уравнение n-образа (2.20) принимает вид: (2.23)

( )

x n

na n

a

ax

a

( )

sinh arcsin

2

2

12 1

2

22

1

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

+

h

12

2

1

2

1

4

22 2

a

a

a

a

a nn+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −cosh arcsin

sinh

h

22

4

1

2

2 12

na

a

a a

arcsinh⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ ⎟⎟

.

Введем в рассмотрение некоторый параметр ω, являющийся корнем алгебраического урав-нения

ω2 = 1 (2.24)

и принимающий значения: ω1 = 1, ω2 = −1. Очевидно, что если имеет место равенство (2.24), тосправедливы также и более общие равенства: ω i

n( )2 = 1, i = 1, 2, где n — натуральное число.В этом случае равенство (2.23) формально можно записать следующим образом: (2.25)

(ωix)(2n)

( )

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

+

a na

ax

a

a

n

2

12 1

2

12

2

22

14

sinh arcsinh

+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −a nn

a

a

a n

2 2 1

2

1

2

2

cosh arcsin

sinh ar

h

csinha

a

a a

1

2

2 12

2

4

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

+,

i = 1, 2.

17

Поскольку каждому значению ωi, i = 1, 2 можно сопоставить свое значение корня х = {x1, х2},то (2.25) представим в виде: (2.26)

( )

( )( )

sinh arcsin

ω i in

n

x

a na

a2

2

12 1

2

22

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟−

h ⎟+

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −

+

x

a

a

a

a

a

a nn

14

212

2

1

2

2 2cosh arcsinh

11

2

2 12

22

4

sinh arcsinna

a

a a

h⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

+

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

,

i = 1, 2.

В силу произвольности параметра n формально расширим его область определения на дейст-

вительные числа, т. е. примем в этом уравнении: n = 12. Тогда (2.26) станет равным:

ω i ix a

a

ax

a

a

i

=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

+

22

4

1

2

12

2

2

sinh arcsinh12 1

2

1

2

⎛⎝

⎞⎠

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −cosh arcsin

sinh arcsi

ha

a

a nha

a

a a

1

2

2 12

2

4

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

+, i = 1, 2.

Как видим, появились два алгебраических уравнения первого порядка относительно искомыхнеизвестных значений {х1, x2}. Решая, получим:

xi

a

a a ai

=⋅ + −

2

4

2

2 12

1ω, i = 1, 2.

18

Отсюда, с учетом равенств: ω1 = 1, ω2 = −1, получаем искомые формулы:

xa

a a a1

2

4

2

2 12

1

=+ −

, xa

a a a2

2

4

2

2 12

1

=− + −

. (2.27)

Непосредственная проверка показывает, что полученные значения являются корнями уравне-ния (2.1).

2.5. Приложения

Полученные математические результаты дают возможность установить еще один способ нахо-ждения некоторых биномиальных конечных сумм. Действительно, пусть задано специальноеквадратное уравнение:

(x − х0)2 = 0. (2.28)

В раскрытой и соответствующей (2.1) форме оно принимает вид:

х2 = 2хх0 − x02 .

В этом случае:а1 = 2х0, а2 = −x0

2 . (2.29)

Воспользуемся формулами (2.11):

A nx x

x x

n n

112

22

1 2

( )( ) ( )

=− +

− +, A n

x x x x

x x

n n

222

1 2 12

1 2

( )( ) ( )

=− +

− +. (2.30)

В силу определения (2.2) имеют место равенства:

x n12( ) = (a1х1 + a2)

n, x n22( ) = (a1х2 + a2)

n.

Подставляя их в (2.30), получим:

A na x a a x a

x x

n n

11 1 2 1 2 2

1 2

( )( ) ( )

=− + + +

− +, A n

a x a x x a x a

x x

n n

21 2 2 1 2 1 1 2

1 2

( )( ) ( )

=− + + +

− +. (2.31)

19

Поскольку уравнение (2.28) имеет два одинаковых корня х1 = x2 = x0, то из (2.31) следуюточевидные равенства:

A nx x

x

a x a a x a

x x

n n

12 1

1 1 2 1 2 2

1 21

( ) lim( ) ( )

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥→

− + + +

− += x0

= (a1x0 + a2)(−1 + n)na1,

A nx x

a x a x x a x a

x x

n n

22 1

1 2 2 1 2 1 1 2

1 2

( ) lim( ) ( )

=⎡

⎣⎢

⎤→

− + + +

− + ⎦⎥ =

=

+ + + − +

x x

a x a a x a x a a a x a a nxn n n

1 0

1 0 2 1 0 1 0 2 2 1 0 2 1( ) ( ) ( ) 0

1 0 2a x a+.

Подставляя сюда значения (2.29), получим:

А1 (п) = 2 02 1x nn( )− A2 (n) = −x n

02( ) (2n − 1). (2.32)

Подставим значения (2.29) также и в значения рядов (2.14), (2.15). Тогда получим:

A n x Cn nn kn k k k

k

n

1 01 2 1 1

0

1

2 1 1 4( ) ( ) ( )( ) ( )= − −− ++− − +

=

−

∑ ,

A n x Cn n kn kn k k

k

n

2 02

11

0

1 1 4( ) ( ) ( )( )= − − + −− −

=∑ .

Сравнивая с (2.32), в итоге получаем:

C nn kn k k k n

k

n

+− − +

=

−

− = −∑ 1 1

0

1

1 4 1( ) ( )( ) ,

( ) ( ) ( )( )− = − −+ −− − +

=∑ 1 4 1 2 11

1 1

0

kn kn k k n

k

n

C n .

Таким образом, полученные формулы дают еще один новый способ нахождения конечныхсумм.

20

3. КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯПусть задано кубическое уравнение в приведенной форме:

x3 = а1х2 + а2х + а3, а3 ≠ 0, (3.1)

где аi = 1, 2, 3 — заданные действительные или комплексные числа.Ставится задача нахождения всех корней х = {x1, x2, x3} алгебраического уравнения (3.1).Решение этой задачи производится классическим методом, изложенным в [1]. Наша задача

заключается в получении аналогичных результатов совершенно новым подходом.

3.1. Преобразования

В связи с тем, что подстановки, упрощающие вид исходного алгебраического уравнения (3.1),также серьезно упрощают и его решение, то имеет смысл изучить вопрос определения таких под-становок.

а) Подстановка

x ya

= +1

3(3.2)

приводит уравнение (3.1) к виду:y3 = b1y + b2, (3.3)

где

b aa

1 213

3= + b a

a a a2 3

1 2 13

3

2

27= + + . (3.4)

b) Преобразованием Чирнгауза

у = х2 + Ах + В, (3.5)

21

где параметр А является корнем алгебраического уравнения:

( ) ( )3 9 2 7 4 62 12 2

3 13

1 2 14

22

12

2 1 3a a A a a a a A a a a a a a+ + + + + + + + = 0, (3.6)

а B a Aa a= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + +1

3 12

1 22( ), (3.7)

исходное уравнение (3.1) преобразуется к виду:

y3 = С, (3.8)С = a3A

3 + 3а1а3А2 + (3 12a a3 + 3а2a3 + 6Ва3)А + В3 + 3Ва1а3 + a3

2 + a13а3 + 2а1a2а3. (3.9)

Как видим, в данном случае фактически приведен аналог классического алгоритма к нахожде-нию корней уравнения (3.1). Действительно, поскольку кубическое уравнение (3.8) имеет корни:

( ) ( ) ( )y C y yC

I

C

I1 2 3

13

13

13

2 1 3 2 1 3= = =

− + − −, ,

( ) ( ). (3.10)

где I — мнимая единица, то подставляя последовательно эти значения в (3.5), получим триалгебраических квадратных уравнения:

yi = x2 + Ax + B, i = 1, 2, 3. (3.11)

Поскольку коэффициент А определяется тоже из алгебраического уравнения второго поряд-ка, то в общем случае получим шесть алгебраических уравнений:

уi = х2 + Ajx + Bj, i = 1, 2, 3, j = 1, 2. (3.12)

Эти уравнения позволяют определить 12 значений х = {x1, х2..х12}, из которых отбираютсятолько три значения, удовлетворяющие условиям теоремы Виета для кубического уравнения(3.1). Эти значения и будут являться искомыми корнями уравнения (3.1).

22

3.2. n$Образ кубического уравнения

Правую и левую части кубического уравнения (3.1) возведем в степень n:

х(3п) = (а1х2 + а2х + а3)

n. (3.13)

Алгебраическое уравнение (3.13) является уравнением степени 3n и заведомо содержит всекорни исходного кубического уравнения (3.1). Правая часть этого уравнения при условии, чтоn — натуральное число, является алгебраическим уравнением степени 2n и принимает вид:

( )( ) (a x a x a C C a a a xn

n

i

n i

i i i n i i i1

22 3 1 2 3

21

1

2 1 2 1 2 1+ + = −− − +

=

−

=∑∑ i

i

n i

i

n2

2

1

1 00

) . (3.14)

Следовательно, она может быть представлена следующим образом:

C C a a a xn

i

n i

i i i n i i i i

i

n i

i

1

1

2 1 2 1 2 1 2

2

1

1

1 2 32

0−

− − +

=

−

∑ ( ) ( )

= =∑ ∑=

0 0

2n

ii

i

n

p x . (3.15)

Здесь рi — функции коэффициентов а1, а2, а3, определяемые путем приравнивания коэффи-циентов при одинаковых степенях xi, i = 0, 1, 2 .. 2п правой и левой частей этого алгебраическо-го уравнения.

С учетом исходного уравнения (3.1) можем получить:

х3 = а1х2 + а2х + а3,

х4 = х3х = (а1х2 + a2x + a3)x = a1x

3 + а2х2 + ха3 = а1 (а1х

2 + а2х + а3) + а2х2 + ха3 =

= (а2 + a12)х2 + (а3 + a1a2)x + a1а3.

Следовательно,х4 = (а2 + a1

2)х2 + (a3 + a1a2)x + a1a3. (3.16)

23

Совершенно аналогичным образом получаем:

х5 = (a3 + 2а1a2 + a13)x2 + (a1a3 + a1

2а2 + a22)х + a1

2а3 + а2а3, (3.17)

х6 = (2а1a3 + 3 12a а2 + a2

2 + a14)x2 + (a1

2а3 + 2а2а3 + a a13

2 + 2 1 22a a )х + a a1

33 + 2а1а2а3 + a3

2, (3.18)

и так далее.Таким образом, все значения x3, x4, x5, x6, ... и так далее могут быть соответственно заменены

в правой части равенства (3.15) их значениями (3.1), (3.16), (3.17), (3.18), которая в этом случаеможет быть представлена следующим образом:

p x p p x p x p a x a x a p a a x aii = + + + + + + + +0 1 2

23 1

22 3 4 2 1

2 23( ) (( ) ( + + +

=

−

∑ a a x a ai

n

1 2 1 30

3 1

) )

+ + + + + + + +p a a a a x a a a a a x a a a a5 3 1 2 13 2

1 3 12

2 22

12

3 2 32(( ) ( ) ) ++ + + + + + + +p a a a a a a x a a a a a a a6 1 3 1

22 2

214 2

12

3 2 3 13

22 3 2 2(( ) ( 1 22

13

3 1 2 3 322a x a a a a a a) )...+ + +

Следовательно, раскрывая скобки и производя перегруппировку коэффициентов при всех сте-пенях хk, k = 0, 1, 2, в общем случае получим:

p xii

i

n

=∑

0

2

= A1 (n)x2 + A2 (n)x + A3 (n). (3.19)

Здесь, с учетом определения pi — как функций коэффициентов а1, а2, a3, получаем, что Ai (n),i = 1, 2, 3 — также являются функциями коэффициентов a1, a2, a3.

Так как левая часть равенства (3.19) определяется (3.15) и далее (3.14) и (3.13), то равенство(3.19) приводит к представлению:

х(3n) = А1 (п)х2 + А2 (п)х + А3 (п) (3.20)

или к эквивалентному:

(a1x2 + a1x + a3)

n = A1 (n)x2 + A2 (n)x + A3 (n). (3.21)

24

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Алгебраическое уравнение (3.20) (или эквивалентное ему (3.21)) называет-ся n-образом кубического уравнения (3.1), а Ai (n), i = 1, 2, 3 называются коэффициентамиn-образа.

Вычисление коэффициентов n-образа A1 (n), i = 1, 2, 3 производится с использованием урав-нений (3.20) (или (3.21)), с учетом исходного уравнения (3.1).

Пример: Вычислить значения коэффициентов n-образа A1 (n), i = 1, 2, 3 для случаев п = 1,2.Р еш е н и е: Принимая в (3.21) n = 1, получим:

a1х2 + а2х + а3 = А1 (1)х2 + А2 (1)х + А3 (1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней хk, k = 0, 1, 2, устанав-ливаем:

A1 (1) = a1, A2 (1) = a2, A3 (1) = a3. (3.22)

Снова принимая в (3.21) n = 2, получим:

(a1x2 + a2x + a3)

2 = A1 (2)x2 + A2 (2)x + A3 (2).

Раскрывая скобки в левом выражении, получим:

a12х4 + 2а1х

3а2 + (2а1а3 + a22)х2 + 2а2ха3 + a3

2 = А1 (2)x2 + А1 (2)х + А3 (2). (3.23)

Исходное уравнение (3.1), как ранее было установлено, позволяет выписать равенство (3.16),поэтому:

х3 = a1х2 + а2х + а3,

х4 = (а2 + a12)х2 + (а3 + a1а2)х + а1а3.

Подставляя эти равенства в (3.23), имеем:

(2a1a3 + a2 +3 12

2a a + a14)х2 + (2a2 + a1

2) (a1a2 + a3)х + a3 (a3 + a13 + 2a1a2) = A1 (2)x2 + A2 (2)х + A3 (2).

25

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней xk, k = 0, 1, 2, устанавливаем:

A1 (2) = 2a1a3 + a a a a22

12

2 143+ + , (3.24)

A2 (2) = (2а2 + a12) (a1a2 + a3),

A2 (3) = a3 (a3 + a13 + 2a1a2).

Задача решена. Совершенно аналогичным образом можно получать значения коэффициентовn-образа A1 (n), i = 1, 2, 3 и для других значений параметра п.

3.3. Свойства n$образа

СВОЙСТВО 1. Уравнение n-образа имеет степень 3n (или 2n) и содержит все корни исходногоуравнения (3.1).

Данное свойство очевидно, так как уравнение n-образа (3.20) (или (3.21)) следует из уравне-ния (3.13), для которого это условие заведомо выполнено, без использования других условий наопределение корней (3.1), кроме задаваемого исходным уравнением (3.1).

СВОЙСТВО 2. Коэффициенты n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3 определяются рекуррентными соотно-шениями: (3.25)

A1 (n + 1) = (a3 + a13 + 2a1a2) А1 (п) + (a1

2 + а2) А2 (п) + А3 (п) a1,

А2 (п + 1) = (а1a3 + a12а2 + a2

2) A1 (n) + (a1a2 + a3) А2 (п) + А3 (п) a2,

А3 (п + 1) = а3 (a12 + a2) A1 (n) + А2 (п) a1a3 + А3 (п) a3.

Доказательство: Принимая в (3.20) n = п + 1, получаем:

x(3n + 3) = A1 (n + 1)x2 + A2 (n + 1)x + A3 (n + 1).

Тогда с учетом (3.20) и (3.1) отсюда следует:

(A1 (n)x2 + A2 (n)x + A3 (n)) (a1x2 + а2х + а3) = A1 (n + 1)х2 + А2 (п + 1)х + А3 (п + 1).

26

Раскрывая скобки в левой части этого равенства и далее приводя подобные члены, получим:

((a3 + a13 + 2a1a2)A1 (n) + (a1

2 + a2)A2 (n) + A3 (n)a1)х2 +

+ ((a1а3 + a12a2 + a2

2)A1 (n) + (а1а2 + а3)А2 (п) + A3 (n)a2)x + a3 (a12 + a1)A1 (n) + A2 (n)a1a2 + A3 (n)a3 =

= A1 (n + 1)x2 + A2 (n + 1)x + A3 (n + 1).

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней xk, k = 0, 1, 2, по-лучаем формулы (3.25).

Эти формулы позволяют легко получать все значения коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1,2, 3, n = 1, 2, 3, 4... Действительно, принимая, например, в формулах (3.25) n = 1, получаем:

A1 (2) = (a3 + a13 + 2a1a2)A1 (1) + (a1

2 + a2)А2 (1) + A3 (1)a1,

A2 (2) = (a1a3 + a12a2 + a2

2)A1 (1) + (a1a2 + a3)A2 (1) + A3 (1)a1,

A3 (2) = a3 (a12 + a2)A1 (1) + A2 (1)a1a3 + A3 (1)a3.

С учетом (3.22) имеем:A1 (2) = 2a1a3 + a2

2 + 3 12

2a a + a14,

A2 (2) = (2a2 + a12)(a1a2 + a3),

A3 (2) = a3 (a3 + a13 + 2a1a2).

Сравнивая полученные значения с (3.24), устанавливаем, что они совпадают. Таким образом,на примере подтверждена справедливость формул (3.25).

СВОЙСТВО 3. Существует строгая связь между коэффициентами n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3и корнями алгебраического уравнения (3.1), а именно: если известны три корня алгебраическо-го уравнения (3.1) — х = {хi, i = 1, 2, 3}, то коэффициенты n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3 определя-ются однозначно.

27

Действительно, в соответствии с свойством 1, корни исходного уравнения (3.1) заведомо яв-ляются также корнями уравнения n-образа. Следовательно,

x A n xin

i( ) ( )3

12= + A2 (n)xi + A3 (n), i = 1, 2, 3.

Решая эту систему алгебраических уравнений, при условии что х1 ≠ х2, х2 ≠ х3, x1 ≠ x3, получим:

A nx x x x x x x x x

x

n n n

12 3 1

33 1 2

32 1 3

3

( )( ) ( ) ( )

(

( ) ( ) ( )

=− + − + − +

2 3 2 1 1 3− − + −x x x x x) ( ) ( ), (3.26)

A nx x x x x x x x x xn n

22 3 2 3 1

31 3 1 3 2

3

( )( )( ) ( ) ( ) (( ) ( )

=− − + + − + − − + +

− − + −

x x x x x

x x x x x x

n2 1 1 2 3

3

2 3 2 1 1 3

) ( )

( ) ( ) ( )

( )

,

A nx x x x x x x x x x x x xn n

32 3 2 3 1

31 3 1 3 2

31 2 2( )

( ) ( ) (( ) ( )

=− − − + − +

− − + −

x x

x x x x x x

n1 3

3

2 3 2 1 1 3

)

( ) ( ) ( )

( )

.

Полученные формулы и доказывают наличие строгой связи между значениями коэффициен-тов n-образа Аi (п), i = 1, 2, 3 и корнями х = {xi, i = 1, 2, 3} исходного алгебраического уравне-ния (3.1).

Подставляя полученные формулы (3.26) в рекуррентные соотношения (3.25), получим новыетри соотношения между корнями алгебраического уравнения (3.1), отличные от определяемыхтеоремой Виета, так как они будут содержать произвольный параметр п. Непосредственной про-веркой можно убедиться, что при n = 1 эти формулы совпадают с соотношениями, определяемы-ми теоремой Виета для кубического уравнения (3.1).

3.4. Определение общих формул для коэффициентов n$образа

Так как в соответствии с свойством 3 была доказана прямая связь между значениями коэф-фициентов n-образа и корнями исходного уравнения (3.1), то крайне важной является задачаопределения общих формул представления для коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1, 2, 3.

28

Вычислим, используя рекуррентные соотношения (3.25), значения для коэффициентовn-образа Аi (п), i = 1, 2, 3 при n = 1, 2, 3, 4.

A1 (1) = a1, A2 (1) = a2, A3 (1) = a3.

A1 (2) = 2a1a3 + a22 + 3 1

22a a + a1

4.

A2 (2) = 2a2a3 + a a12

3 + a a13

2 + 2 1 22a a .

A3 (2) = a32 + a a1

33 + 2a1a2a3.

A1 (3) = 3 3 12 5 10 61 32

3 22

3 12

2 3 14

13

22

15

2 17a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + + 4 1 2

3a a .

A2 (3) = 3 9 8 6 512

32

1 3 22

13

3 2 15

3 12

23

14

22

1a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 62 2

42 3

23a a a a+ + .

A3 (3) = 4 6 5 613

32

3 12

22

3 14

2 3 16

1 2 32

3 23

3a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 3.

A1 (4) = a a a a a a a a a a a a a a110

25

32

12

2 3 13

22

3 15

2 3 1 2330 60 42 20+ + + + + + + + + +4 6 15 81 3

332

22

32

14

3 17a a a a a a a a

+ + + +28 9 35 1516

22

18

2 14

23

12

24a a a a a a a a .

A2 (4) = 6 6 5 20 5 2112

33

18

3 15

32

25

1 13

24

24

3 15a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + a a a a a a a a2

319

2 17

22

1 32

228 24+ + + +

+ + + + +30 45 14 40 413

32

2 14

3 22

16

3 2 12

3 23

2 33a a a a a a a a a a a a a a .

A3 (4) = a a a a a a a a a a a a a a34

32

12

22

32

14

2 1 2 33

3 15

2230 30 12 21 8+ + + + + 3 1

72 3 1

323

3 1 2420 5a a a a a a a a+ + +

+ + + +10 7 413

33

32

16

3 19

32

23a a a a a a a a .

Анализируя вычисленные значения для коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1, 2, 3, устанавли-ваем, что в общей форме эти коэффициенты определяются суммой слагаемых вида В (k1, k2, k3)a a a

k k k

1 2 31 2 3, где В (k1, k2, k3) — некоторый числовой коэффициент, являющийся целым числом,

a ki, i = 1, 2, 3 показатели степени.

29

При этом выясняется следующая закономерность:если ввести комбинированный параметр:

K(n) = k1 + 2k2 + 3k3, (3.27)

то для всех слагаемых образующих коэффициент A1 (n), он принимает значение:

K (n) = 3n − 2, (3.28)

для всех слагаемых, образующих коэффициент А2 (п), он принимает значение:

K (n) = 3n − 1, (3.29)

и для всех слагаемых, образующих коэффициент А3 (п), он принимает значение:

K (n) = 3n. (3.30)

Таким образом, показатели слагаемых a a ak k k

1 2 31 2 3 для коэффициента A1 (n) удовлетворяют фор-

муле:3n − 2 = k1 + 2k2 + 3k3.

Отсюда следует, чтоk1 = 3n − 2 − 2k2 − 3k3. (3.31)

Поскольку параметр k1, принимая значение, равное нулю, определяет при этом максимальноезначение параметра k2, max, то из этого равенства получим:

0 = 3n − 2 − 2k2, max − 3k3.

Таким образом,

kn k

2

3 2 3

23

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −. (3.32)

30

Здесь квадратные скобки означают выполнение операции антье, т. е. выделения целой частииз дробного числа.

Совершенно аналогичным образом, используя формулы (3.27)—(3.30), получаем, что:1) для коэффициента А2 (п)

k1 = 3n − 1 − 2k2 − 3k3 kn k

2

3 1 3

23

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− −. (3.33)

2) для коэффициента А3 (п)

k1 = 3n − 2k2 − 3k3 kn k

2 1

3 3

23

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−. (3.34)

При этом поскольку k2, max не может быть меньше единицы, то коэффициент k3 определяетсяиз формулы:

3n − 3k3 = 2Z,

где Z — целое число и ноль. Таким образом, область изменения k3 определяется интервалом от1 до п.

Следовательно, общий вид искомых коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3 с учетом приве-денных рассуждений и опираясь на формулу (3.14) лучше всего искать в виде:

A n B n k k a a ai i

k k k

k

k

k

n

( ) ( , , ), max

===

−

∑∑ 2 3 1 2 300

11 2 3

2

2

3

i = 1, 2, (3.35)

A n B n k k a a ak k k

k

k

k

n

3 3 2 3 1 2 300

1 2 3

2

2 1

3

( ) ( , , ) ., max

===

∑∑

31

Здесь

B n k k Cic n c k c

d n d

i i j jj

i

i

( , , )

, , ,

,

2 3

02

3

4

0

=+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+

=∑

i j jj

i

i i j jj

k d

e n e k

C, ,

, ,

=

=

∑

∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⋅2

3

4

02

3

+

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

=∑

e

q n q k q

i

i i j jj

i

,

, , ,

,

4

02

3

4

где ci, 0, ci, j, ci, 4, di, 0, di, j, di, 4, ei, 0, ei, j, ei, 4, qi, 0, qi, j, qi, 4 — целые числа, которые требуется опре-делить.

С учетом полученных формул (3.31), (3.32), (3.33), (3.34) формулы для искомых коэффициен-тов (3.35) принимают вид:

A n B n k k a a an k k k k

k

n

1 1 2 3 1

3 2 2 3

2 30

2 3 2 3

2

3 2

( ) ( , , ) ,( )

=− − −

=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑

3 3

2

3 0

1

k

k

n

(3.36)


k

n

2 2 2 3 1

3 1 2 3

2 30

2 3 2 3

2

3 1

( ) ( , , ) ,( )

=− − −

=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑

3 3

2

3 0

1

k

k

n

(3.37)


k

n k

3 3 2 3 1

3 2 3

2 30

2 3 2 3

2

3 3 3

( ) ( , , ) .( )

=− −

=

−

2

3 0

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

n

(3.38)

Таким образом, задача сводится к определению числовых коэффициентов ci, 0, ci, j, ci, 4, di, 0,di, j, di, 4, ei, 0, ei, j, ei, 4, qi, 0, qi, j, qi, 4 — биномиальных коэффициентов.

Для нахождения коэффициентов Вi (n, k2, k3) воспользуемся методом аналогии. С этой цельюрассмотрим аналогичное представление коэффициентов для алгебраического уравнения второ-

32

го порядка. В частности, для коэффициента A1 (n) искомое значение B1 (n, k2) определяется фор-мулой:

B n k C n k

k

1 2 2 12

2( , ) = − − ,

а для коэффициента А2 (п) искомое значение B2 (n, k2) равно:

B n k C n k

k

2 2 2 22

2( , ) = − − .

Так как инвариант для слагаемых B1 (n, k2)a ak k

1 21 2 коэффициента A1 (n) равен:

k1 + 2k2 = 2n − 1,

а для слагаемых B2 (n, k2)a ak k

1 21 2 коэффициента А2 (п):

k1 + 2k2 = 2n − 2,

то по аналогии интуитивный анализ значения функции B1 (n, k2, k3) показывает, что так же каки в случае с показателями слагаемых Bi (n, k2, k3)a a a

k k k

1 2 31 2 3 , используя закон симметрии, необхо-

димо принять:B1 (n, k2, k3) = C CK

c k c k c

c k c k c

k

1

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

2+ ++ + ,

где с1, с2 — искомые целые числа, а параметр K1 определяется формулой для k1 из уравнениядля инварианта, у которой коэффициенты при k2 и k3 меньше на единицу.

Таким образом, с учетом (3.31) получим, что

K1 = 3п − 2 − k2 − 2k3.

Следовательно, для коэффициента A1 (n) искомое значение B1 (n, k2, k3), определяется формулой:

B1 (n, k2, k3) = C Cn k k

c k c k c

c k c k c

k

3 2 22 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

2− − −

+ ++ + . (3.39)

33

Соответственно для коэффициента A2 (n):

B2 (n, k2, k3) = C Cn k k

b k b k b

b k b k b

k

3 1 22 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

2− − −

+ ++ + (3.40)

и для коэффициента A3 (n):

B3 (n, k2, k3) = C Cn k k

e k e k e

e k e k e

k

3 22 3

1 2 2 3 3

1 2 2 3 3

2− −

+ ++ + . (3.50)

Непосредственные проверки показывают, что интуитивная догадка оказалась правильной.Действительно, принимая в (3.36) последовательно n = 1, 2, 3, получим:

A1 (1) = В1 (1, 0, 0)а1, (3.51)A1 (2) = В1 (2, 0, 0)a1

4 + В1 (2, 1, 0)a a12

2 + В1 (2, 2, 0)a22 + В1 (2, 0, 1)а1а3,

A1 (3) = В1 (3, 0, 0)a17 + В1 (3, 1, 0)a a1

52 + В1 (3, 2, 0)a a1

322 + В1 (3, 3, 0)a a1 2

3 + В1 (3, 0, 1)a a14

3 ++ B1 (3, 1, 1)a a a1

22 3 + В1 (3, 2, 1)a a2

23 + B1 (3, 0, 2)a a1 3

2 .

В соответствии с ранее вычисленными значениями:

A1 (1) = а1, (3.52)A1 (2) = 2а1а3 + a2

2 + 3 12

2a a + a14,

A1 (3) = 3 3 12 5 10 61 32

3 22

3 12

2 3 14

13

22

15

2 17a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + + 4 1 2

3a a .

Анализируя полученные значения B1 (n, k2, k3), устанавливаем, что B1 (n, 0, 0) = 1 для любыхзначений n.

Это означает, что для выполнения данного условия необходимо, чтобы с3 = 0.Для определения с1, с2 используем уравнения, следующие из сравнения (3.39) и (3.51):

В1 (2, 1, 0) = 3,В1 (3, 1, 0) = 6,В1 (2, 2, 0) = 1,

В1 (3, 2, 0) = 10.

34

Эти равенства эквивалентны (с учетом (3.39)) и условия с3 = 0 системе равенств:

C cc

3 11 3= ,

C cc

6 11 6= ,

2 12

2

12

2

2

11 1C c C c

c c− = ,

2 105

2

12

5

2

11 1C c C c

c c− = .

Данная система выполнима при условии с1 = 1, с2 = 1.Таким образом, искомое значение определяется формулой:

B1 (n, k2, k3) = C Cn k k

k k

k k

k

3 2 22 3

2 3

2 3

2− − −+

+ . (3.53)

Совершенно аналогичным образом устанавливаем, что:

B2 (n, k2, k3) = C Cn k k

k k

k k

k

3 2 2

1

2 3

2 3

2 3

2− − −+ −

+ , (3.54)

B3 (n, k2, k3) = C Cn k k

k k

k k

k

3 2 1

1

12 3

2 3

2 3

2− − −+ −

+ − .

Подставляя полученные значения (3.53), (3.54) в (3.36), (3.37), (3.38), в итоге получаем иско-мые значения коэффициентов n-образа A1 (n), i = 1, 2, 3.

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k k

1 3 2 2 1

3 2 2 3

22 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+

+− − − 2 3

2

3 2 3 3

2

3

300

1

ak

kk

n

n k

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

− −

∑∑ , (3.55)

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

2 3 2 2

1

1

3 1 2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+ −

+− − −

2 300

12 3

2

3 1 3 3

2

3

k k

kk

n

a

n k

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

− −

∑∑ . (3.56)

35

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

3 3 2 1

1

1 1

3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+ −

+ −− −

2 300

2 3

2

3 3 3

2

3

k k

kk

n

a

n k

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ . (3.57)

Справедливость полученных формул доказывается методом математической индукции, ана-логично тому, как это выполнено для случая квадратного уравнения.

3.5. Гипергеометрическая форма представления формулдля коэффициентов n$образа

Преобразуем полученные формулы для коэффициентов n-образа A1 (n), i = 1, 2, 3 и докажем,что они являются гипергеометрическими функциями.

1) Преобразование к гипергеометрической форме представления коэффициента А1 (п)Преобразование формул к гипергеометрическому представлению означает, что конечная сум-

ма, которую представляет собой функция (3.55), представляется как сходящийся ряд. С этой це-лью произведем последовательно замену индексов суммирования по формулам:

k2 = k1, k3 = п − k2 − 1

и одновременно в качестве верхнего предела суммирования примем бесконечность. В этом случаеполучаем:

A n a a C C ann k k

k n k

k n k

k

1 1 31

2

1

1 1

2

1 2

1 2

1 2

1( ) ( ) (= −

− ++ − −

+ − −− k k k k

kk

a a

k

1 2 1 2

1

12

3 2

2

2

3

2 300

+ −

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑ ) ( ). (3.58)

Преобразовывая выражениеC Cn k k

k n k

k n k

k

− ++ − −

+ − −1 2

1 2

1 2

12

1

1

36

к факториальной форме представления, имеем:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k

k k− ++ − −

+ − − =− +

− +1 2

1 2

1 2

1 1 2

12

1

1

2

2 3

( ) !

( 2 1 21 1+ − −) ! ! ( ) !k n k. (3.59)

Так как(n − 1 − k2)! = Р(n, −k2) (n − 1)!

(n − k1 + 2k2)! = Р(n, 2k2 − k1 + 1) (n − 1)!(−2k1 + 3k2 + 1)! = Р(2, 3k2 − 2k1)

Р (1, k2) = k2!то равенство (3.59) принимает вид:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k k− ++ − −

+ − − =− +

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

2

1

1

2 1 1P P( , ) ( , )

( , ) ( , ) ! !P P2 3 22 1 2 1 2k k n k k k− −.

Подставляя его в (3.58) с учетом обозначений:

z za

a

a

a1 22

12

13

3

= =, , (3.60)

получим

A n a a n n k k k z z

k

k k

1 1 31 2 1 1

2 32 1 2 1

122

2

( ) ( ) ( , ) ( , )

( ,= − − +P P

P − −=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

+

∑∑ 2 1 2 1 21

3 2 1

2

2 00 k n k k kkk

k

) ( , ) ! !P. (3.61)

Докажем, что полученный ряд

P P

P P

( , ) ( , )

( , ) ( , )

n k k k z z

k k n k k

k k2 1 1

2 3 22 1 2 1

122

2 1 2 1

− +

− − ! !kkk

k

21

3 2 1

2

2 00 =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

+

∑∑ (3.62)

представляет собой гипергеометрическую функцию, и установим его область сходимости.

37

С этой целью воспользуемся горновским определением гипергеометрической функции [7].В соответствии с ним, если составленные по заданному правилу соотношения:

f k kk k

k k1 1 21 2

1 2

1( , )

( , )

( , )=

+R

R,

f k kk k

k k2 1 21 2

1 2

1( , )

( , )

( , )=

+R

R,

где

RP P

P P( , ) :

( , ) ( , )

( , ) ( , )k k

n k k k

k k n k1 2

2 1 1

2 3 22 1 2

2 1 2

=− +

− − k k1 2! !,

будут представлять собой конечные функции, то ряд (3.62) сходится и имеет конечные радиусысходимости.

В нашем случае:

f k kk k k k

k n k k1 1 2

3 2 3 2 1

1 22 1 2 1

1 1 2

( , )( )( )

( ) ( )=

− + − + −

+ − +,

f k kn k k k n k k n

k k2 1 2

1 2 1 2 2

2 32 2 1 2 1

1

( , )( )( ) ( )

(= −

− − − + + − + +

− 2 2 1 1 22 3 3 2 2 3 4− − − + − −) ( ) ( )k k k k.

Отсюда следует, что ряд (3.62) сходится и имеет конечную область сходимости.Действуя по схеме Горна, установим эти радиусы. Для этого произведем замену индексов k1,

k2 по формулам:k1 = tl1, k2 = tl2,

где l1, l2 — новые индексы, определенные в интервале [0, 1], а t — параметр, который предпола-гается увеличивать до бесконечности.

38

В этом случае:

F l l f tl tlt

l l

l l l1 1 2 1 1 2

3 2

22 1

2

1 1 2

( , ) lim ( , )( )

( )= = −

→ ∞

− +

−,

F l l f tl tlt

l l l

l l2 1 2 2 1 22 1 2

2

2 13

2

3 2( , ) lim ( , )

( )

( )= =

→ ∞

−

− +.

Таким образом, искомые радиусы сходимости определяются формулами:

rF l l l l

l l l

l l1

1 1

3 2

2

1 1 2 1 1 2 02 1

2

1 1 2

= =⎡= = − +

−

[ | ( , ) | ] ( )

( )

,

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 1 2 0

14

,

,

rF l l l l l

l l

l l2

1 1

2

3 2

2 1 2 1 0 2 1 2 1 22

2 13

= == = −

− +

[ | ( , ) | ] ( )

( )

, ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 0 2 1

274

,

.

Следовательно, ряд (3.62) сходится, если переменные z1, z2 одновременно удовлетворяютусловиям:

| | , | | .z z1 214

274

< <

Или в раскрытой форме, с учетом (3.60):

a

a

a

a2

12

13

3

14

274

< <, . (3.63)

2) Преобразование к гипергеометрической форме представления коэффициента А2 (п)Произведем в (3.56) замену индексов суммирования по формулам:

k2 = k1, k2 = n − k3 − 1

39

и одновременно в качестве верхнего предела суммирования примем бесконечность. В этом случаеполучаем:

A n a a C Cnn k k

k n k

k n k

k a

a2 12

31

2

2

11 2

1 2

1 2

1 2

1

( ) ( )= −− ++ − −

+ − − 2

113

3

2

1

3 2

2

2 0

1

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑k k

kk

a

a

k

. (3.64)

Преобразовывая выражение C Cn k k

k n k

k n k

k

− ++ − −

+ − −1 2

1 2

1 2

12

2

1 к факториальной форме представления,имеем:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k k n− ++ − −

+ − − =− + + − −

1 2

1 2

1 2

1 1 2 1

2

2

1

2 1( ) ! ( k

k n k k k k n k2

1 2 1 2 1 22 2 2 3 1

)!

( ) ! ( ) ! ! ( ) !+ − − − + − −. (3.65)

Так как(k1 + n − 1 − k2)! = Р(n, k1 − k2) (n − 1)!(n − k1 + 2k2)! = Р(n, 2k2 − k1 + 1) (n − 1)!(k1 + n − 2 − k2)! = Р(n, k1 − k2 − 1) (n − 1)!

(−2k1 + 3k2 + 2)! = Р(2, 3k2 − 2k1 + 1)(n − 1 − k2)! = Р(n, −k2) (n − 1)!

P (1, k2) = k2!

то равенство (3.65) принимает вид:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k k− ++ − −

+ − − =− +

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

2

2

1

2 1 1P P( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ! ( , )

P

P P P

n k k

n k k k k k n k k1 2

1 2 2 1 1 2 21 2 3 2 1

−

− − − + − !.


z za

a

a

a1 22

12

13

3

= =, , (3.66)

40

получим

A n a a n n k k k n k k

n2 12

31 2 1 12 1 2 1 2( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( ,= − − + −P P P

P k k k k k n k kk

k

1 2 2 1 1 2 21

3 2

2

1 2 3 2 10

1

− − − + −=

+⎡

⎣⎢

⎤

) ( , ) ! ( , ) !P P

⎦⎥

=

∞

∑∑k

k kz z

2

1 2

01 2 . (3.67)


P P P

P P

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( ,

n k k k n k k

n k k k

2 1 1

1 2 32 1 2 1 2

1 2 2

− + −

− − − 2 11 1 2 21

3 2

2

2

1

0

1

01 2k k n k kkk

k k

k

z z+ −=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑ ) ! ( , ) !P2 (3.68)

представляет собой гипергеометрическую функцию, и установим его область сходимости.Используя горновское определение гипергеометрической функции по заданному правилу (со-

вершенно аналогичным образом, как это выполнено для случая определения гипергеометриче-ской функции для коэффициента А1 (п)), получаем соотношения:

f k kk n k k k k k

k n1 1 2

1 1 2 3 2 2 3

11 2 1 2 1 2

1

( , )( )( ) ( )

(=

+ − − + − +

+ − − k k n k k2 1 1 21 2)( )( )+ − +,

f k kk n k n k k k n k k

2 1 21 2 2 1 2 1 22 1 2 1 2

( , )( )( ) ( ) (

=+ − − − − − + + + − + + +

+ − − − + − + − +

2

1 3 2 3 4 2 3 5 2 31 2 1 2 1 2 1 2

n

k n k k k k k k k

)

( ) ( ) ( ) ( ).



здесь l1, l2 — новые индексы определенные в интервале [0, 1], a t — параметр, который предпо-лагается увеличивать до бесконечности.

41


F l l f tl tlt

l l

l l l1 1 2 1 1 2

2 3

21 2

2

1 1 2

( , ) lim ( , )( )

( )= = −

→ ∞

−

−,

F l l f tl tlt

l l l

l l2 1 2 2 1 22 1 2

2

1 23

2

2 3( , ) lim ( , )

( )

( )= =

→ ∞

−

−.


rF l l l l

l l l

l l1

1 1

2 3

2

1 1 2 1 1 2 01 2

2

1 1 2

= =⎡= =

−−

−

[ | ( , ) | ] ( )

( )

,

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 1 2 0

14

,

,

rF l l l l l

l l

l l2

1 1

2

2 3

2 1 2 1 0 2 1 2 1 22

1 23

= =⎡= = −

−

[ | ( , ) | ] ( )

( )

,

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 0 2 1

274

,

.

Таким образом, ряд (3.68) сходится, если переменные z1, z2 одновременно удовлетворяютусловиям:

| | , | |z z1 214

274

< < .


a

a

a

a2

12

13

3

14

274

< <, . (3.69)

Как видим, область сходимости гипергеометрических функций для коэффициентов А1 (п),А2 (п) одна и та же.

42

3) Преобразование к гипергеометрической форме представления коэффициента A3 (n)Так как суммирование в двукратной функции (3.57) производится по индексу k3 от 0 до n, то

учитывая, что гипергеометрическая функция задается в интервале от нуля до бесконечности, про-изведем в (3.57) замену индексов суммирования в два этапа: на первом этапе, используя подстановку,

k3 = s + 1,получим:

A n C C a a an k s

k s

k s

k n k s k

3 3 2 3 1

3 2 3 3

2 32

2

2

2 2 2( )( ) (= − − −

++

− − − s

ks

nn s

+

=

− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=

−

∑∑⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1

00

1

2

32

32

32

) . (3.70)

Теперь, последовательно используя равенства:k2 = k1, k2 = n − s − 1,

производим в (3.70) замену индексов суммирования и одновременно, исходя из предположения,что этот ряд сходится, в качестве верхнего предела суммирования примем бесконечность. В этомслучае получаем:

A n a C Cnn k k

k n k

k n k

k a

a3 3 2 1

1

11 2

1 2

1 2

1 2

12

( ) =⎛

⎝⎜

⎞− + −+ − −

+ − − ⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑k k

kk

a

a

k

113

3

2

1

3 2

2

2 00

. (3.71)

Преобразовывая выражениеC Cn k k

k n k

k n k

k

− + −+ − −

+ − −1 2

1 2

1 2

12 1

1

1 к факториальной форме представления, имеем:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k

k− + −+ − −

+ − − =−− +

−1 2

1 2

1 2

1 1 2

2 1

1

1

2

2

1( ) !

( 1 2 1 23 1+ − −k k n k) ! ! ( ) !. (3.72)

Так как(n − k1 + 2k2 − 1)! = Р(n, −k1 + 2k2) (n − 1)!

(−2k1 + 3k2)! = Р(1, 3k2 − 2k1)(n − 1 − k2)! = Р(n, −k2) (n − 1)!

Р (1, k2) = k2!

43

то равенство (3.72) принимает вид:

C Cn k k

k n k

k n k

k n k k k− + −+ − −

+ − − =− +

1 2

1 2

1 2

1 1 2

2 1

1

1

2 1P P( , ) ( , 2

2 1 1 2 21 3 2

)

( , ) ! ! ( , )P Pk k k k n k− −.


z za

a

a

a1 22

12

13

3

= =, , (3.73)получим:

A n a nn k k k

k k k k n3 31 2 2

2 1 1 2

2 1

1 3 2( )

( , ) ( , )

( , ) ! ! ( ,=

− +

−

P P

P P −=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑ kkk

k k

k

z z2

1

3 2

2

2

1 2

001 2)

. (3.74)


P P

P P

( , ) ( , )

( , ) ! ! ( , )

n k k k

k k k k n kk

− +

− −=

1 2 2

2 1 1 2 21

3

2 1

1 3 20

k

k

k kz z

2

2

2

1 2

01 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑ (3.75)

представляет собой гипергеометрическую функцию, и установим его область сходимости.Используя горновское определение гипергеометрической функции, получаем соотношения:

f k kk k k k

n k k k1 1 2

3 2 1 2 3

2 1 12 1 1 2

1 2 1

( , )( )( )

( ) ( )=

− − − +

− + − +,

f k kn k k k k n n k

k k2 1 21 2 1 2 2

1

2 2 1 1

1 2 3( , )

( )( ) ( )

(=

− + − + + + − −

− + 2 1 2 1 22 2 3 3 2 3)( )( )− + − +k k k k.



44

здесь l1, l2 — новые индексы, определенные в интервале [0, 1], а t — параметр, который предпо-лагается увеличивать до бесконечности.


F l l f tl tlt

l l

l l l1 1 2 1 1 2

2 3

21 2

2

1 1 2

( , ) lim ( , )( )

( )= = −

→ ∞

−

−,

F l l f tl tlt

l l l

l l2 1 2 2 1 22 1 2

2

1 23

2

2 3( , ) lim ( , )

( )

( )= =

→ ∞

−

−.


rF l l l l

l l l

l l1

1 1

2 3

2

1 1 2 1 1 2 01 2

2

1 1 2

= =⎡= =

−−

−

[ | ( , ) | ] ( )

( )

,

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 1 2 0

14

,

,

rF l l l l l

l l

l l2

1 1

2

2 3

2 1 2 1 0 2 1 2 1 22

1 23

= =⎡= = −

−

[ | ( , ) | ] ( )

( )

,

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

= =l l1 0 2 1

274

,

.

Следовательно, ряд (3.75) сходится, если переменные z1, z2 одновременно удовлетворяют ус-ловиям:

| | , | |z z1 214

274

< < .


a

a

a

a2

12

13

3

14

274

< <, .

Как видим, область сходимости гипергеометрических функций для всех коэффициентовn-образа A1 (n), A2 (n), A3 (n) одна и та же.

45

3.6. Вывод формулы для корней кубического уравнения

Докажем, что справедлива ТЕОРЕМА 3.1:Корни кубического уравнения:

х3 = a1х2 + а2х + а3

где ai, i = 1, 2, 3 его коэффициенты, удовлетворяющие условиям:

a

a

a

a2

12

13

3

14

274

< <, ,

определяются формулами:

( )

xi

a a B a B

a B

i i

i

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

−

−

3

13 2

1 1 32

3

1 1

23

23

13

ω ω

ω

( )

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

a B

a a B

i

i

3 3

3

13 2

1 1

13

23

ω

ω

( )

ω

ω ω

i

i i

a B

a B a a B

212

2

1 1 3

23

12

2

23

13

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠

− − ⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

, i = 1, 2, 3. (3.76)

Здесь

B nn k k k z z

k k n

k k

1

2 1 1

2 3 22 1 2 1

122

2 1

( )( , ) ( , )

( , ) ( ,=

− +

−

P P

P P −=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

+

∑∑ k k kkk

k

2 1 21

3 2 1

2

200 ) ! !

, (3.77)

46

B nn k k k n k k

n k k2

2 1 1

12 1 2 1 2

1 2

( )( , ) ( , ) ( , )

( , ) (=

− + −

− −

P P P

P P 2 3 2 12 1 1 2 21

3 2

2

20

1

0 , ) ! ( , ) !k k k n k kkk

k

− + −=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑ P∑ z zk k

1 21 2 ,

B n a nn k k k

k k k k n3 31 2 2

2 1 1 2

2 1

1 3 2( )

( , ) ( , )

( , ) ! ! ( ,=

− +

−

P P

P P −=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑ kkk

k k

k

z z2

1

3 2

2

2

1 2

001 2)

,

za

a

a

a12

12

13

3

= = ,

ωi — корни кубического уравнения ω3 = 1

ωi = 1, ω2 =− +1 3

2I

, ω3 =− −1 3

2I

. (3.78)

Доказательство: Полученные значения для коэффициентов n-образа А1 (п), А2 (п), А3 (п) вформе (3.61), (3.67), (3.74) позволяют выписать уравнение n-образа для кубического уравнения(3.1) в общей форме:

x a a B n x a a B n x a B nn n n n( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )31 3

11

212

31

2 3 3= + +− − , (3.79)

где Вi (n), i = 1, 2, 3 — определяются формулами (3.77). Каждый из представленных рядовявляется гипергеометрической функцией, и, как было показано выше, область сходимости этихфункций определяется условиями теоремы 3.1. В соответствии с свойством 1 уравнение (3.79) за-ведомо содержит все корни исходного кубического уравнения (3.1). В силу того, что в дан-ном уравнении параметр n может формально являться действительным числом, то принимая

в (3.79) последовательно значения n = 13

23

, , получим два квадратных линейных алгебраических

уравнения:

47

xa a B x a B x B3 1 12

12

2 3

23 1

313

13

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ a3, (3.80)

x a a B x a B x a B23 1 1

212

2 3 3

13 2

323

23

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ .

Эти уравнения линейны относительно {х, х2}, поэтому решая полученную систему, напримерметодом Крамера, получим один из корней кубического уравнения (3.1) — х = x1. Однако задачазаключается в нахождении всех корней кубического уравнения (3.1).

С этой целью используем формальный прием, а именно: уравнение (3.79) представим в сле-дующем виде:

xa

a B n x a B n x B n a

a

n

n

( ) ( ) ( ) ( )3

3

1 12

12

2 3 3

3

=+ +

. (3.81)

Введем параметр ω — удовлетворяющий условию: ω3 = 1. Таким образом, можно записать:

a a an n3

33 3

13= =

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ω ω .

Решая кубическое уравнение: ω3 = 1, получаем его корни, определяемые формулами (3.78).Тогда сопоставляя i-му значению ωi значение i-го корня xi, i = 1, 2, 3, уравнение (3.81) предста-вим в виде:

( )x

a

a B n x a B n x B n a

ai

i

i i

ω 3

13

1 12

12

2 3 3

3

=+ +( ) ( ) ( )

, i =1, 2, 3.

Принимая в этом уравнении последовательно значения n = 13

23

, , получим три системы, со-

стоящие каждая из двух алгебраических уравнений второй степени:

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

( )3n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟( )3n

48

( )x

a

a B x a B x Bi

i

i i

ω 3

13

1 12

12

2 313

13

13=

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛+ +

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ a

a

3

3

i =1, 2, 3,

( )x

a

a B x a B x a Bi

i

i i2

23

23

1 12

12

2 323

23

ω

=

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟+ + 3

3

23

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

a.

Общее решение этих трех систем методом Крамера определяется формулами (3.76), т. е. опре-деляет искомые формулы для корней кубического уравнения. В частности, для ω1 = 1 получимотсюда систему (3.80). Теорема доказана.

П р им е ч а н и е: На практике знак «бесконечность = ∞» в значениях рядов (3.77) необходимозаменить некоторым натуральным числом N — достаточно большим, чтобы получить требуемуюточность при практических вычислениях. В этом случае полученный корень хi = xi (N), i = 1,2, 3, уравнения (3.1) является функцией от параметра N.

Точность вычисления (или, что эквивалентно по смыслу — абсолютную относительную ошиб-ку вычисления) хi, i = 1, 2, 3, корня кубического уравнения (3.1) будем определять формулой:

δi (N) =− − −x N a x N a x N a

ai i i( ) ( ) ( )3

12

2 3

3

, i = 1, 2, 3. (3.82)

3.6.1. ПримерыПриведем примеры решения алгебраических уравнений, с учетом изложенной теории.Последовательность нахождения корней кубического уравнения:

x3 = a1x2 + a2x + a3 (3.83)

будет определяться следующими действиями и формулами:

49

Действие 1. Задаются значения коэффициентов ai, i = 1, 2, 3 уравнения (3.83).Действие 2. Вычисляем значения:

z za

a

a

a1 22

12

13

3

= =,

и далее устанавливаем соответствие коэффициентов ai, i = 1, 2, 3 условиям:

| | | |,z z1 214

274

< < . (3.84)

В случае их выполнения искомые корни кубического уравнения (3.83) должны вычислятьсяс любой требуемой точностью.

Действие 3. Для n = 13

23

, , вычисляем значения Вi (n), i = 1, 2, 3, используя формулы:

B n C C z zn k k

k n k

k n k

k k k

k

k

1 2

1

1 1 20

1 2

1 2

1 2

1 1 2

1

3

( ) = − ++ − −

+ − −=

2 1

2

2 0

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

N

, (3.85)

B n C C z zn k k

k n k

k n k

k k k

k2 2

2

1 1 20

1

1 2

1 2

1 2

1 1 2

1

( ) = − ++ − −

+ − −=

+3 2

2

2 0

k

k

N

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ , (3.86)

B n C C z zn k k

k n k

k n k

k k k

k3 2 1

1

1 1 21 2

1 2

1 2

1 1 2

1

( ) .= − + −+ − −

+ − −= 00

3 2

2

2

k

k

N

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ (3.87)

Здесь N — параметр, задающий точность определения Вi (n), i = 1, 2, 3, а в целом и точностьвычисления корней (3.83). В данных формулах используются биномиальные коэффициенты,из-за того что они хорошо адаптированы к вычислениям на ЭВМ.

50

Действие 4. Вычисляем корни уравнения (3.83), пользуясь формулами:

( )

xi

a a B a B

a B

i i

i

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

−

−

3

13 2

1 1 32

3

1 1

23

23

13

ω ω

ω

( )

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

a B

a a B

i

i

3 3

3

13 2

1 1

13

23

ω

ω

( )ω

ω ω

i

i i

a B

a B a a B

212

2

1 1 3

23

12

2

23

13

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠

− − ⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

, i = 1, 2, 3. (3.88)

Здесь

ωi = 1, ω2 = − +1 32

I, ω3 = − −1 3

2I

. (3.89)

Действие 5. Вычисляем относительную ошибку найденных корней xi = xi (N), i = 1, 2, 3 поформуле:

δi (N) =− − −x N a x N a x N a

ai i i( ) ( ) ( )3

12

2 3

3

, i = 1, 2, 3. (3.90)

Пример 1. Вычислить корни кубического уравнения:

x x x3 2

460= − + + . (3.91)

Р еш е н и е:Действие 1. Выписываем значения коэффициентов уравнения (3.91):

а1 = −1, a214

= , а3 = 60.

51

Действие 2. Устанавливаем значения:

z z1 214

160

= = −, .

Действие 3. Проверяем условия (3.84):

14

14

160

274

< <, .

Первое условие не выполняется, однако покажем, что корни уравнения (3.91) могут быть вы-числены с высокой точностью.

Действие 4. Задаем значение параметра N = 20 и последовательно для n = 13

23

, вычисляемзначения:

B C Ck k

k k

k k

kk

1 2

13

141

3 1 2

123 2

123 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

− −

− −

1 2

1

3 2

212

2

16000

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

kk

k

= .3345516562,

B C Ck k

k k

k k

kk

2 2

13

141

3 1 2

153 2

123 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

− −

− −

1 2

1

3 2

2

2

1600

1

0

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

kk

k

= −.2803753279е-1,

B C Ck k

k k

k k

k

3 2

13

142

3 1 2

123 2

123 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− − +

− −

− −

k k

kk

k

1 2

1

3 2

2

2

16000

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ = 1.001756231,

B C Ck k

k k

k k

kk

1 2

23

142

3 1 2

113 2

113 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

− −

− −

1 2

1

3 2

212

2

16000

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

kk

k

= .6682462107,

52

B C Ck k

k k

k k

kk

2 2

23

142

3 1 2

143 2

113 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− +

− −

− −

1 2

1

3 2

2

2

1600

1

0

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑

k

kk

k

= .5536307761е-1,

B C Ck k

k k

k k

k

3 2

23

141

3 1 2

113 2

113 2

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− − +

− −

− −

k k

kk

k

1 2

1

3 2

2

2

16000

20

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ = 1.001962800.

Действие 5. Вычисляем корни уравнения (3.91), пользуясь формулами (3.88), (3.89):

( )

x1

60 6682462107 60 117768003345516562 60 105373

13

=

+ . .. .

( )86

60 6682462107 5536307761 1

3345516562

13

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+ −. .

.

e-

( )60 2803753279 123 +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥. e-

= 3.627816884,

( ) ( )

x

I

2

60 668246210712

1 32

60 1177680013

12

2

=

+ − +⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −. .

( )

( )

12

1 32

1672758281 1672758281 3 30

12

2

12

+⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

− + −

I

I. . . ( )

( )

05268693 30 05268693 3

60 66824621

12

13

+

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥.

.

I

( ) ( )07

12

1 32

553630776112

1 32

12

2 12

− +⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ − − +

⎛

⎝

⎜⎜

I I. e-1

( ) ( )

⎞

⎠

⎟⎟

− + −

2

12

231672758281 1672758281 3 60 1401876640. . .I e ( )-1 e-1+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥.1401876640 3

12I

=

= −2.313908443 + 3.344353445 I,

53

( ) ( )

x

I

3

60 668246210712

1 32

60 1177680013

12

2

=

+ − −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ −. .

( )

( )

12

1 32

1672758281 1672758281 3 30

12

2

12

−⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

− − −

I

I. . . ( )

( )

05268693 30 05268693 3

60 66824621

12

13

−

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥.

.

I

( ) ( )07

12

1 32

553630776112

1 32

12

2 12

− −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ − − −

⎛

⎝

⎜⎜

I I. e-1

( ) ( )

⎞

⎠

⎟⎟

− − −

2

12

231672758281 1672758281 3 60 1401876640. . .I e ( )-1 e-1−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥.1401876640 3

12I

=

= −2.313908443 − 3.344353445 I.

Действие 6. Вычисляем относительную ошибку найденных корней xi = xi (N), i = 1, 2, 3 отточного значения по формуле (3.90):

δ1 (20) =3 627816884 1 3 627816884

1 3 6278168844

60

60

3 2. ( ) ..

− − − −= |−.7е-9 |,

δ2 (20) =( . . ) ( )( . .− + − − − +2 313908443 3 344353445 1 2 313908443 3 33I 44353445

1 2 313908443 3 344353445

460

60

2II

)( . . )

−− +

−

=

= | .790е-9 − .22е-9 I |,

54

δ3 (20) =( . . ) ( )( . .− − − − − −2 313908443 3 344353445 1 2 313908443 3 33I 44353445

1 2 313908443 3 344353445

460

60

2II

)( . . )

−− −

−

=

= | .790е-9 + .22е-9 I |.П р и м е ч а н и е: Точные значения корней кубического уравнения (3.90) равны:

x1 = 3.627816886, х2 = −2.313908443 − 3.344353444 I, x3 = −2.313908443 + 3.344353444 I.

Как видим, уже при N = 20 получаем искомые корни с достаточно высокой точностью. Приэтом оказывается, что условия (3.84) не являются строгими, т. е. если даже нарушаются незна-чительно, все равно решение получается с высокой точностью.


x3 = x2 + 6x + 60. (3.92)Р еш е н и е:Действие 1. a1 = 1, а2 = 6, а3 = 60.

Действие 2. z1 := 6 z2 :=160.

Действие 3. Проверяем выполнение условий соответствия (3.84):

6 14

160

274

≤ <, .

Вывод: Первое условие не выполнено. Тем не менее, продолжая вычисление корней, получаем:Действие 4. Вычисляем, пользуясь формулами (3.85)—(3.87), для N = 20:

B213

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1.87770, B1

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .256552, B3

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .981606,

B323

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .980705, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.85506, B1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .586165.

55

Действие 5. Вычисляем, пользуясь формулами (3.88), (3.89), корни уравнения (3.92):

x1 = 4.82320, x2 = −1.91159 + 2.96407 I, х3 = −1.91159 − 2.96407 I.

Действие 6. Вычисляем относительную ошибку вычислений:

δ1 (20) = | .1е-4|, δ2 (20) = |−.2е-5 + .1е-5 I |, δ3 (20) = |−.2е-5 − .1е-5 |.

Как видим, точность вычисления корней для N = 20 оказалась достаточно высокой.П р им е ч а н и е. Точные корни кубического уравнения (3.91):

х1 = 4.82318, х2 = −1.91159 + 2.96407 I, х3 = −1.91159 − 2.96407 I.

Пример 3. Вычислить корни кубического уравнения с комплексными коэффициентами:

х3 = (1 − 3 I)х2 + (15 + 8 I)х + 10 − 200 I, (3.93)I — мнимая единица.

Р еш е н и е:Действие 1. а1 = 1 − 3 I, а2 = 15 + 8 I, а3 = 10 − 200 I.

Действие 2: z1 := − +4225

1350

I, z2 := − −193

20052512005

I.


6. ≤ .2500000000 .1666666667e-1 ≤ 6.750000000.

Вывод: второе условие выполнено, первое — нет, однако продолжая, получаем:Действие 4. Вычисляем, пользуясь формулами (3.85)—(3.87), для N = 20:

B113

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3471866228 + .1287381899е-2 I, B3

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9605430230 − .3487683863е-1 I,

B213

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.6506103078 + .1023489643 I,

56

B123

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .6746140365 − .3363822392е-2 I, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1.199622824 + .1951305610 I,

B323

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9621348467 − .3226857471е-1 I.

Действие 5. Вычисляем, пользуясь формулами (3.88), (3.89), корни уравнения (3.91):

х1 = 6.047471416 − 3.185917770 I,х2 = .4433713234 + 4.261321147 I,

х3 = −5.490842739 − 4.075403380 I.

Точные корни кубического уравнения (3.91):

х1 = −5.490842740 − 4.075403378 I,х2 = .4433713238 + 4.261321147 I,х3 = 6.047471416 − 3.185917770 I.

Как видим, несмотря на то, что условия (3.84) не выполнены, корни уравнения полученыс высокой точностью.


х3 = 10x2 − 5x + 1. (3.94)

Р еш е н и е:Действие 1. a1 = 10, а2 = −5, а3 = 1.Действие 2. Вычисляем:

z z1 2120

1000= =, .


.5000000000е-1 ≤ .2500000000 1000. ≤ 6.750000000.

57

Вывод: первое условие выполнено, второе — не выполнено (и достаточно существенно). Оче-видно, что в данном случае используемый подход не может дать положительного результата.Действительно:

Действие 4. Вычисляем, пользуясь формулами (3.85)—(3.87), для N = 20:

B113

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .8831503507е40, B2

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3175397358е40, B3

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1389377130е41,

B323

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1828635986е41, B1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1171137359е41, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.4155454632е40.

Действие 5. Вычисляем, пользуясь формулами (3.88), (3.89), предполагаемые корни уравне-ния (3.94):

х1 = .2491240672е-1,х2 = .2491240669е-1 − .5818899960е-11 I,х3 = .2491240669е-1 + .5818899960е-11 I.

Точные корни кубического уравнения (3.91):

х1 = .2580453979 − .1971150029 I, х2 = .2580453979 + .1971150029 I, х3 = 9.483909204.

Как видим, условия (3.84) существенно не выполнены и следовательно, корни уравнения(3.94) вычислить невозможно, что и следовало ожидать.

3.7. Преобразование формул для корней кубического уравнения

Поскольку формулы для корней кубического уравнения (3.1) в форме (3.76) справедливытолько при условиях (3.75), то возникает вопрос: «Как поступать в том случае, если условия(3.75) не выполняются?» Существует несколько способов решения этой проблемы. Самый про-стой и очевидный — это способ инверсии индексов суммирования.

58

3.7.0. Способ инверсии индексов суммированияОн заключается в преобразовании индексов суммирования в формулах (3.55), (3.56), (3.57)

в соответствии с равенствами:

s kn k

2 2

3 2 3

23= − + ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− −,

s k n3 3 1= − + − .

Тогда эти формулы принимают вид:(3.95)

A n Cn s s

s n

s

s

12

1

12

3 32 2 3

12

3 32 2

( ) =− +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ +

−⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − − s

s n s

s

C as

s

3

12

3 32 2 3

12

3 32 2

12

11

1 2

⋅+

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − −

+⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− − +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 32 2 3

12

3 32 22 3

2

s ss s s

a a3

1

00

13

2

12

3 3

2

3

( )n s

ss

n

s

− −

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑

(3.96)

A n Cn s s

s n s

s

s

21 2

1 2

3 32 2 3

3 32 2 3

( ) =− +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ +

+⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − −

⋅+

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − −

+⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− − +

C as

s s

s n s

s

1 1

1

1

2 2 1

3 32 2 3

3 32 2

3 32

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −

2 3

2

1

3

12 3

3 32 2s s s

na a

s

( s

ss

n

s

3

2

3 3

2

3 0

1

0

1)

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑

(3.97)

A n Cn s s

s s

s

s

32 3

3 3

232 2 3

3 3

232 2 3

( ) =− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + + −

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − +

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − +

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − −

⋅n

s s n

s

C as

s s

3 3

232 2 3

3 3

232 2

3 3

2

1

2 32 2 3

3 3

232 22 3 3

2 3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟s s s

a a

s

( )− + +

=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ s n

ss

n

s

3

2

3 3

232

3

1

01

Это сделано с целью инверсии области определения гипергеометрических функций, порож-даемых формулами (3.55), (3.56), (3.57).

59

Совершенно аналогичным способом, как это было сделано сделано ранее, доказываетсяТЕОРЕМА 3.2:

Корни кубического уравнения (3.1) в области определения

| z1 | < 4, | z2 | < 427

, z za

a

a

a1 212

2

23

3

= =, (3.98)

определяются формулами:

xi

i i B B B B

= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠

+ −ω ω23 1 3 3

23

13

13

13

⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− + + −

ω

ω ω

i

i i

B

B B

21

22

1

23

1 13

23

ω ωi iB B B B31 2

32 1

23

13

23

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

, i = 1, 2, 3, (3.99)

где(3.100)

B n Cn k k

k n

k

k

12

1

12

3 22 1 2

12

3 22 1

( ) =− +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − + − − k

k n k

k

C ak

k

2

12

3 22 1 2

12

3 22 1

12

11

1 2

⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − + − −

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3 22 1 2

12

3 22 1

2 3

2

k kk k k

a a31

00

2

1

12

3 2

2

2

( ),

n k

kk

k

− −

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑

B n Cn k k

k n k

k

k

21 2

1 2

3 22 1 2

3 22 1 2

( ) =− +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − + − −

⋅+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − + − −

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − − +

C ak

k k

k n k

k

1 1

1

1

2 2 1

3 22 1 2

3 22 1

3 22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − −

2 3

2

1

311 2

3 22 1

k k kn

a a

k

( k

kk

k

2

1

3 2

2

20

1

0

),

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑

B n C Cn k k

k n k

k

k

32 1

1

3 22 1 2

3 22 1 2

( ) = ⋅−

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+ + −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − −

3 22 1 2

3 22 1

3 22

11

2 2

k

k k

k n k

k k

a⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− + − −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− −

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥+

1 2

3 22 1

2

1

3 2

2 3

2 30

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

=

⎡

k kn k

k

a a

k

k

( ).

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

∞

∑∑k2

0

60


x3 = x2 + 2x + 90. (3.101)

Р еш е н и е:Действие 1. а1 = 1, а2 = 2, а3 = 90.Действие 2. z1 := .5000000000, z2 := .8888888889е-1.Действие 3. Проверяем выполнение условий (3.98):

.5000000000 ≤ 4, .8888888889е-1 ≤ .1481481481.

Вывод: Оба условия выполнены. Продолжая вычисление корней, получаем:Действие 4. Вычисляем, пользуясь формулами (3.100), для N = 20:

B313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 4.457407393, B1

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1617871908е-1, B2

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2762492618e-1.

B123

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1466725452,5, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2721399314, B3

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 19.97248671.

Действие 5. Вычисляем, пользуясь формулами (3.99), корни уравнения (3.101):

x1 = 5.000000001,x2 = −1.999999999 − 3.741657387 I,х3 = −1.999999999 + 3.741657387 I.

Действие 6. Вычисляем относительную ошибку вычислений:

δ1 (20) = | .1е-4|, δ2 (20) = |−.2е-5 + .1e-5 I |, δ3 (20) = |−.2е-5 − .1е-5 I |.

Как видим, точность вычисления корней, даже при N = 20, оказалась достаточно высокой.


х3 = (1 − 2 I)х2 + (−1 + I)х + 40 − 80 I. (3.102)

61

Р еш е н и е:Действие 1. a1 = 1 − 2 I, а2 = − (1 − I), а3 = 40 − 80 I.Действие 2. z1 := −.5000000000 + 3.500000000 I, z2 := −.1000000000е-1 + .3000000000е-1 I.Действие 3. Проверяем выполнение условий соответствия (3.98):

3.535533906 ≤ 4, .3162277660е-1 ≤ .1481481481.

Вывод: Оба условия выполнены. Продолжая вычисление корней, получаем:Действие 4. Вычисляем, пользуясь формулами (3.100), для N = 20:

B313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 4.209288948 − 1.631191757 I, B1

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3522568242е-1 − .1380854348е-1 I,

B213

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.2630129616е-1 + .2922711330е-1 I.

B123

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2487448532 − .2270875578 I, B3

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 14.95665788 − 13.58852107 I,

B223

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1596599992 + .2072750275 I.

Действие 5. Вычисляем, пользуясь формулами (3.100), корни уравнения (3.102):

x1 = 4.354718830 − 2.348316974 I,х2 = −.3548354202 + 3.883169792 I,х3 = −2.999883408 − 3.534852823 I.

Действие 6. Вычисляем относительную точность вычислений:

δ1 (20) = | .1е-6|, δ2 (20) = |−.2е-7|, δ3 (20) = |−.4е-5 − .1е-5 I |.

Как видим, и в этом случае точность вычисления корней, даже при N = 20, оказалась доста-точно высокой.

62

Таким образом, Теорема 3.2 существенно расширяет область определения корней кубическогоуравнения (3.1). Действительно, в соответствии с Теоремой 3.1 корни кубического уравнения(3.1) определены, если его коэффициенты удовлетворяют условиям

a

a

a

a2

12

13

3

14

274

< <, .

в сответствии с Теоремой 3.2, а в соответствии с Теоремой 3.3, если выполнены условия:a

a

a

a12

2

23

3

4 427

< <, .

Таким образом, область определения корней кубического уравнения (3.1) расширилась, еслииспользовать условия теорем 3.1, 3.2.

3.7.1. Преобразование гипергеометрических функцийИдея заключается в том, что гипергеометрические представления коэффициентов A1 (n),

i = 1, 2, 3 принимают новую форму, в которой параметры z1, z2 — получают новое представление.1) Представление коэффициента A1 (n). Анализ показал, что коэффициент

A n a an n k k k z z

k

k k

1 31

1

2 1 1

2 32 1 2 1

122

2

( ) ( ) ( , ) ( , )

( ,= − − +P P

P − −=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

+

∑∑ 2 1 2 1 21

3 2 1

2

2 00

1

k n k k kkk

n

k

) ( , ) ! !P, z z

a

a

a

a1 22

12

13

3

: , := = , (3.103)

может быть представлен также следующим образом: (3.104)

A n a a C C Znn k k

n k k

n k k

k k k

1 32

22 3 2

23 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ −

+ −− + 2 3

2

3

3 2

3 2

33

0

3 2

1 3 32 1

Z a a a C Ck

k

k

nn k k

n k k

n k=

+−

+ ++ − −

+ −∑ + ( )k

k k k k

k

k

kk

Z Z

nn

2

3 2 2 3

2

3

3

1

2

3

2

1

3

2 30

3

00−

−

==

⎡⎣

⎤⎦

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑∑

−1

∑ ,

Z Za

a

a

a2 3

12

2

23

32

: , := = .

63

Докажем, что конечные суммы

C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k k

k

k

k+ ++ −

+ −− +

=

+

∑3 2

3 2

3 2

3 2 2 3

2

33 2

2 30

3 2

3

2

0

1

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑

n

, (3.105)

C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k k

k

k

k+ ++ − −

+ − −−

=∑

3 2

3 2

3 2

3 2 2 3

2

31

1

3

2 30

3

3

1

2

0=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑

n

(3.106)

представляют собой гипергеометрические функции, и установим их область определения.Действительно, для коэффициентов из (3.105) имеем:

G k k C Cn k k

n k k

n k k

k k

1 2 3

3 2

3 2

3 2

3 2

3 2( , ) : .= ⋅+ ++ −

+ −− +

Следовательно, так как

F k kG k k

G k k

n k k k k1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 3 21 1 3( , )

( , )

( , )

( ) (= =

+ + + + − + 2

2 1 2 22 2

)

( )( )k k+ +, (3.107)

F k kG k k

G k k

n k k n k2 2 3

1 2 2

1 2 3

3 2 31 1 2 3

( , )( , )

( , )

( ) (= =

+ + + + − − ) ( )

( ) ( ) ( )

n k

k k k k k k

− −− + − + + −

2 2

3 3 3 4 3 53

3 2 3 2 3 2

, (3.108)

то поскольку правые части — ограниченные функции, то ряд

C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k k

k

k

k+ ++ −

+ −− +

=

+

∑3 2

3 2

3 2

3 2 2 3

2

33 2

2 30

3 2

3 0=

∞

∑ (3.109)

сходится и является гипергеометрической функцией.Подстановкой

k2 = tl2, k3 = tl3, (3.110)

64

где t — параметр, функции (3.107), (3.108) приводятся к виду:

lim ( , )( )( )

tF tl tl

l l l l

l→ ∞= −

+ − +1 2 3

3 2 3 2

22

3

4(3.111)

lim ( , )( )

( )tF tl tl

l l l

l l→ ∞= −

+

− +2 2 3

4

33 2 3

2

3 23

(3.112)

Отсюда, принимая в (3.111) l2 = 1, l3 = 0, а в (3.112) l2 = 0, l3 = 1, получим искомые радиусысходимости ряда (3.109):

a

a

a

a

12

2

23

32

14

427

< <, . (3.113)

Совершенно аналогичным образом, для коэффициентов из (3.106) устанавливаем:

G k k C Cn k k

n k k

n k k

k k

2 2 3

1

1

3

3 2

3 2

3 2

3 2( , ) := ⋅+ ++ − −

+ − −−

Следовательно, так как

F k kG k k

G k k

n k k k k1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 3 21 1 3( , )

( , )

( , )

( ) ( )= =

+ + + + −

( ) ( )2 2 2 32 2k k+ +, (3.114)

F k kG k k

G k k

n k k n k2 2 3

1 2 2

1 2 3

3 2 31 1 2 2

( , )( , )

( , )

( ) (= =

+ + + + − − ) ( )

( ) ( ) ( )

n k

k k k k k k

− −− + − + − +

2 1

3 1 3 2 3 33

3 2 3 2 3 2

, (3.115)

то поскольку правые части — ограниченные функции, то бесконечный ряд

C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k k

k

k

k+ ++ − −

+ − −−

=∑

3 2

3 2

3 2

3 2 2 3

2

31

1

3

2 30

3

3 0=

∞

∑ (3.116)

65

сходится. Таким образом, подстановкой (3.110) функции (3.114), (3.115) приводятся к виду:

lim ( , )( )( )

tF tl tl

l l l l

l→ ∞= −

+ − +1 2 3

3 2 3 2

22

3

4, (3.117)

lim ( , )( )

( )tF tl tl

l l l

l l→ ∞= −

+

− +1 2 3

4

33 2 3

2

3 23. (3.118)

Отсюда, принимая в (3.117) l2 = 1, l3 = 0, а в (3.118) l2 = 0, l3 = 1, получим искомые радиусысходимости:

a

a

a

a

12

2

23

32

14

427

< <, . (3.119)

Следовательно, гипергеометрическая функция:

A n a a C C Znn k k

n k k

n k k

k k k

1 32

22 3 2

23 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ −

+ −− + 2 3

2

3

3 2

3 2

33

0

3 2

1 3 32 1

Z a a a C Ck

k

k

nn k k

n k k

n k=

+−

+ ++ − −

+ −∑ + ( )k

k k k k

k

k

kk

Z Z2

3 2 2 3

2

3

33

1

3

2 30

3

00−

−

==

∞

=

∞

∑∑∑ ,

Z Za

a

a

a2 3

12

2

23

32

: , := = (3.120)

имеет область определения, определяемую ограничениями (3.119).2) Представление коэффициента A2 (n). Коэффициент A2 (n):

A n a a n n k k k n k k

n2 12

31 2 1 12 1 2 1 2( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

( ,= − − + −P P P

P ( )k k k k k n k kz

k

1 2 2 1 1 2 2

1

1 2 3 2 1 1− − − + −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞) ( , ) ! ( , ) !P P ⎠

⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ zk

kk

n

k

20

1

0

12

1

3 2

2

2

⎠

⎟⎟⎟⎟

(3.121)

66

представляется как: (3.122)

A n a a a a C Cnn k k

n k k

n k k

k k

2 32

2 1 2

1 3

3 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ − −

+ −− +

=

+

+ + −+ − −

+ −∑ +2

2 30

3 2

3 1

12 3

2

3

3 2

3 2

3 2Z Z a C C

k k

k

k

n k k

n k k

n k k

3 1

2 30

3 1

00

3 2 2 3

2

3

3

1

2

3

2k k k k

k

k

kk

Z Z

nn

− +

=

+

=

⎡⎣

⎤⎦

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑∑

−1

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.

Совершенно аналогичным образом, как это исполнено для коэффициента A1 (n), устанавлива-ем, что ряд:

A n a a a a C Cnn k k

n k k

n k k

k k

2 32

2 1 2

1 3

3 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ − −

+ −− +

=

+

+ + −+ − −

+ −∑ +2

2 30

3 2

3 1

12 3

2

3

3 2

3 2

3 2Z Z a C C

k k

k

k

n k k

n k k

n k k

3 1

2 30

3 1

00

3 2 2 3

2

3

33

k k k k

k

k

kk

Z Z− +

=

+

=

∞

=

∞

∑∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ (3.123)

является гипергеометрической функцией и его область определения характеризуется формулами(3.119).

3) Представление коэффициента А3 (n). Коэффициент А3 (n):

A n a nn k k k

k k k k n3 31 2 2

2 1 1 2

2 1

1 3 2( )

( , ) ( , )

( , ) ! ! ( ,=

− +

−

P P

P P ( )−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∑ kz z

k k

k

k

2

1 2

1

3 2

2

1 20 ) ⎟

⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

−

∑k

n

2 0

1

(3.124)

представляется следующим образом: (3.125)

A n a a a C Cnn k k

n k k

n k k

k k

3 31

2 1

1

1

3

3 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ − −

+ − −− +

=

+

+ + −+ − −

+ −∑ +1

2 30

3 2

3 1

12 3

2

3

3 2

3 2

3 2Z Z a C C

k k

k

k

n k k

n k k

n k k −−

==

⎡⎣

⎤⎦

=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦

∑∑

−

1

3

2 30

3

00

1

3 2 2 3

2

3

3

1

2

3

2k k k k

k

k

kk

Z Z

nn⎥

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟.

67

Совершенно аналогичным образом, как это исполнено для коэффициента A1 (n), устанавлива-ем, что ряд:

A n a a a C Cnn k k

n k k

n k k

k k

3 31

2 1

1

1

3

3 2

3 2

3 2

3 2( ) ( )= −+ ++ − −

+ − −− +

=

+

+ + −+ − −

+ −∑ +1

2 30

3 2

3 1

12 3

2

3

3 2

3 2

3 2Z Z a C C

k k

k

k

n k k

n k k

n k k −−

==

∞

=

∞

∑∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1

3

2 30

3

00

3 2 2 3

2

3

33

k k k k

k

k

kk

Z Z (3.126)

является гипергеометрической функцией и его область определения характеризуется формулами(3.119).

Таким образом, уравнение n-образа для кубического уравнения (3.1) принимает вид:

x a x B n a xB n a B nn n n n( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )33

2 21 3

22 3

13= + +− − − , (3.127)

где коэффициенты Вi (п), i = 1, 2, 3 определяются формулами: (3.128)

B n a C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k k

k1 2

2 3 2

2 33 2

3 2

3 2

3 2 2 3

2

( ) = + ++ −

+ −− +

=

+

+ ++ − −

+ − −−∑ +

0

3 2

1 3

1

1

3

2

3

3 2

3 2

3 2

3 2 2

k

n k k

n k k

n k k

k k ka a C C Z Z

k

k

k

kk3

0

3

00

3

2

3

33

,==

∞

=

∞

∑∑∑

B n a a a C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k

2 2 1 2

1 3 2

23 2

3 2

3 2

3 2 2( ) = + ++ − −

+ −− +

30

3 2

3 1

1 33

2

3

3 2

3 2

3 2

3 2k

k

k

n k k

n k k

n k k

k ka C C

=

+

+ + −+ − −

+ −− +∑ +

1

2 30

3 1

00

2 3

2

3

33

Z Zk k

k

k

kk =

+

=

∞

=

∞

∑∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ,

B n a a C C Z Zn k k

n k k

n k k

k k k

3 2 1

1

1

3 1

23 2

3 2

3 2

3 2 2( ) = + ++ − −

+ − −− +

30

3 2

3 1

1

1

33

2

3

3 2

3 2

3 2

3k

k

k

n k k

n k k

n k k

k ka C C

=

+

+ + −+ − −

+ − −−∑ + 2 2 3

2

3

33

2 30

3

00

Z Zk k

k

k

kk ==

∞

=

∞

∑∑∑ .

Из (3.127) получаем эквивалентное представление:

x a a x B n a xin

i

n

i( )

( )

( ) ( )( ( )33

3

32 2

1 32

13=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎛⎝

⎞⎠ − −ω i B n a B n2 3

13( ) ( )),( )+ − i = 1, 2, 3, (3.129)

где xi — корни кубического уравнения (3.1), а параметры ωi — удовлетворяют условию:

ω i3 = 1, i =1, 2, 3.

68

Таким образом, из (3.120), принимая последовательно n = 13

23

, , получим три системы линей-ных относительно {х, х2} уравнений:

x ai i

x B

a

x B

a

Bi i

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝

⎞⎠ω 3

13

21

32

2

32

313

13

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟a3

, x ai i

x B

a

x B

a

Bi i2 2

3

23

21

32

2

32

323

23

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝

⎞⎠ω

23

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟a.

Решения этой системы определяются формулами Крамера: (3.130)

xi

i i

i

B

a

B

a

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−

ω ω

ω

3

3

23

1

3

53

13

13

23

3

13

21

3

43

23

23

1

B

a

B

a

i⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

− +

ω

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

− + −⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

ω ωi iB

a

B2

3

53

113

1

13⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

− −

a

B

a

Bi i

3

53

22

3

43

21

23

23

ω ω ⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

+

a3

43

1

, i =1, 2, 3, ωi = 1, ω2 = − +1 32

I, ω3 = − −1 3

2I

.

69

Таким образом, доказана ТЕОРЕМА 3.3: Корни кубического уравнения (3.1), при условии,что его коэффициенты аi, i = 1, 2, 3 удовлетворяют условиям (3.119), определяются формулами(3.130), где коэффициенты Вi (n), i = 1, 2, 3 вычисляются формулами (3.128).

Совершенно аналогично можно показать, что для коэффициентов l-образа Ai (l), l = 1, 2, 3уравнения

х(6l) = A1 (2l)x2 + A2 (2l)x + A3 (2l), (3.131)

где l — натуральное число, справедливы формулы: (3.132)

A l a C Cll k k

l k k

l k k

k

1 23 1

3 2 1

3 1

3 123 2

3 2

3 2

3( ) ( )= −− + −+ − −

+ − −

a

a

a

a

k k

kk

l

k

12

2

23

13

3

3

2 2

3

2 00

3 1 ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑ ,∑

A l a a C Cll k k

l k k

l k k2 1 23 1

3 2 1

3 2

3 123 2

3 2

3 2( ) ( )= −

− + −+ − −

+ − −k

k k

kk

a

a

a

a

k

3 12

2

23

13

3

3

2 2

313

2 0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑ ,

0

3 1l −

∑

A l a a a C Cll k k

l k k

l k k3 1 3 23 2

3 2 1

3 2

323 2

3 2

3 2( ) ( )= −

− + −+ − −

+ − −=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∑ 2

0

3 12

2

23

13

3

3

2 2

313

2

kk k

kk

a

a

a

a

k

=

−

∑0

3 2l

.

Используя аналогичные приведенным математические подходы, можно выписать формулыдля корней кубического уравнения (3.1) в области определения:

a

a

a

a

12

2

3

13

14

274

≤ <, . (3.133)

70

Таким образом, другое представление гипергеометрических функций приводит к новой облас-ти определения для коэффициентов кубического уравнения, что в свою очередь дает новые фор-мулы для его корней в этой установленной области. Следовательно, в общем случае, количествоформул для вычисления корней кубического уравнения определяется количеством условий,охватывающих все возможные значения его коэффициентов. Это имеет место и для уравненийболее высокой степени. В данной работе будем рассматривать только один главный вариант,определяющий корни заданного уравнения и соответственно его область определения. Производ-ные от него варианты можно получить за счет преобразования области определения коэффициен-тов главного варианта.

3.7.2. Способ преобразования уравнения (3.1)к виду, при котором коэффициент a1 = 0

Другим способом упрощения вида коэффициентов n-образа является преобразование егок виду, при котором коэффициент a1 = 0. Это преобразование определяется равенством (3.2).В этом случае кубическое уравнение (3.1) принимает вид:

x3 = а2х + а3. (3.134)

Тем не менее уравнение n-образа для (3.134) имеет тот же стандартный вид:

х(3n) = А1 (п)х2 + А2 (п)х + А3 (п). (3.135)

В этом случае коэффициенты Аi (n), i = 1, 2, 3 определяются формулами (3.55), (3.56), (3.57),в которых коэффициент а1 = 0. Произведем последовательно преобразование всех коэффициен-тов Ai (п), i = 1, 2, 3 к виду, при котором учтено требование а1 = 0.

Выполнение этой операции требует оставить под знаком суммы только те слагаемые, в кото-рых степень коэффициента a1 в каждом значении Аi (n), i = 1, 2, 3 удовлетворяет условию:

3n − 3 + i − 2k1 − 3k2 = 0.

71

3.7.2.1. Преобразование коэффициента A1 (n)Задача заключается в преобразовании коэффициента

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k k

1 3 2 2 1

3 2 2 3

21 2

1 2

1 2

1 1 2( )( )

= − − −+

+− − − 1 2

1

32

3 2

2

2

30

1

0

1

ak

kk

n

nk

=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ (3.136)

к виду, при котором в новой формуле коэффициент а1 будет отсутствовать. Для этого степень ко-эффициента а1 должна быть равна нулю, то есть должно иметь место равенство:

3n − 2 − 2k1 − 3k2 = 0.Отсюда находим:

kn k

1

3 2

22=

− −( ).

Данное равенство можно представить следующим образом:

k n kn k

1 2 1 2

2= − − +

−. (3.137)

Так как по определению индекс k1 — натуральное число, то индекс k2 определяется формулой:

k2 = п − 2i,где i — новый индекс суммирования.

В этом случае индекс k1 равен:k1 = 3i − 1. (3.138)

Подставляя эти значения в формулу (3.136), получаем:

A n C a an ii i n i

i

n

1 13 1

23 1

32

1

2

( ) .( ) ( )= − +− − −

=

⎡⎣

⎤⎦

∑ (3.139)

72

3.7.2.2. Преобразование коэффициента A2 (n)Задача заключается в преобразовании коэффициента

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

2 3 2 2

1

1

3 1 2 3

1 2

1 2

1 2

1 1 2( )( )

= − − −+ −

+− − −

2 300

11 2

1

32

12

3 2

2

2

k k

kk

n

a

nk

=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ (3.140)


3n − 1 − 2k1 − 3k2 = 0.Отсюда находим:

kn k

1

3 1

22=

− −( ).


k n kn k

1 22 1

2= − +

− −. (3.141)


k2 = п − 2i − 1,где i — новый индекс суммирования.

В этом случае индекс k1 равен:k1 = 3i + 1.


A n C a ai ni i n i

i

n

23 1

23 1

32 1

0

1

2

( ) .( ) ( )= ++ + − −

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑ (3.142)

73

3.7.2.3. Преобразование коэффициента А3 (п)Задача заключается в преобразовании коэффициента

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

3 3 2 1

1

1 1

3 2 3

1 2

1 2

1 2

1 1 2( )( )

= − − −+ −

+ −− −

2 301

1 2

1

32

3 2

2

2

k k

kk

n

a

nk

=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ (3.143)


3n − 2k1 − 3k2 = 0.Отсюда находим:

kn k

1

3

22=

−( ).


k n kn k

1 22

2= − +

−. (3.144)


k2 = n − 2i,где i — новый индекс суммирования.

В этом случае, в соответствии с (3.144), индекс k1 равен:

k1 = 3i.


A n C a ai ni i n i

i

n

3 13

23

32

0

1

2

( ) .( ) ( )= + −−

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑ (3.145)

74

Таким образом, подставляя найденные формулы в (3.135), получаем уравнение n-образа:

x C a ann i

i i n i

i

n

( ) ( ) ( )31

3 123 1

32

1

2

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟− +− − −

=

⎡⎣

⎤⎦

∑ ⎟⎟

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

++ + − −

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑x C a ai ni i n i

i

n

2 3 123 1

32 1

0

1

2( ) ( )

⎟⎟⎟

+ + −−

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑x C a ai ni i n i

i

n

13

23

32

0

1

2( ) ( ).

Преобразуем его к виду:

x a a C Z xn nn i

i i

i

n

( ) ( )33 2

11

3 1

1

22

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+−− +−

=

⎡⎣

⎤⎦

∑ a a C Z x Ci ni i

ii n

i

n

2 31 3 1

01

3

1

2( )−

++

=

⎡⎣

⎤⎦

+ −

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ Z i

i

n

=

⎡⎣

⎤⎦

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟0

1

2

. (3.146)

Za

a= 2

3

32. (3.147)

Очевидно, что при условии | |Z < 427

справедливо следующее представление для уравненияn-образа (3.146):

x a a B n x a a B n x B nn n( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ))33 2

11

22 3

12 3= + +− − , (3.148)

где

B n C Zn ii i

i1 1

3 1

0

( ) ,= − +−

=

∞

∑ (3.149)

B n C Z n ni ni i n n

21 3 1 1

2 212

( ) : , ,= = + − + − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+

+ hypergeom , , ,23

43

4270

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑ Z

i

, (3.150)

B n C Z ni ni i n n

3 13

2 212

13

1( ) : , , ,= = − + − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ − hypergeom , ,2

34270

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑ Z

i

. (3.151)

75

В соответствии со схемой, которая ранее использовалась, уравнение (3.148) представим в виде:

x a a B n x a a B n x Bni

( ) ( ) ( )( ( ) ( )33 2

11

22 3

12 3

13= + +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

− −ω ( ))n , (3.152)

где

ω1 = 1, ω2 = − +1 32

I, ω3 = − −1 3

2I

. (3.153)

Сопоставляя каждому ωi соответствующее значение хi, i = 1, 2, 3, равенство (3.152) предста-вим следующим образом:

x a a B n x a a B n xin

i i i( ) ( ) ( )( ( ) ( )3

3 21

12

2 31

2

13= +

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

− −ω + B n3 ( )).

Принимая в данном равенстве последовательно n = 13

23

, , получим три системы линейныхуравнений относительно неизвестных {х, х2}:

x a Bi i

B x

a

a B x

a

i i

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝

⎞⎠ω 3 3

13

12

2

2 2

3

13

13 1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟, (3.154)

x a Bi i

B x

a

a B x

a

i i2 2

3 3

23

12

2

2 2

3

23

23

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝

⎞⎠ω 1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟. (3.155)

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟( )3n

76

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟( )3n

Так как( )

B C Zi

i i Z

ZZ

13 11

3

2

81 12 181 12

9

23

23⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = = −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +

−

− +− ( )230i =

∞

∑ , (3.156)

( )

( )B C Z

i

i i Z

ZZ

13 12

3

2

81 12 181 12

9

13

13

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = −

⎛⎝

− +

−

− +−

( )( )

⎜⎞⎠⎟

=

∞

∑ 130i

, (3.157)

( )B C Z

i

i i

i

Z

Z2

1 3

0

13

108 12 81 12

2 81 1213

13⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = =

+

+

=

∞+ −

−

( )∑ , (3.158)

B C Zi

i i Z Z

Z

21 32

3

36 81 12 9

9 81 12 8

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = −

+

+ − − − +

+ −

( )

( )( )

1 12 108 12 81 12130

− + −=

∞

∑Z Z

i( )

, (3.159)

( )B C Z

i

i i

i

Z

Z3

3

0

13

3 108 12 81 12

2 81 1223

13⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = =

−=

∞+ −

−∑ ( )

, (3.160)

( ) ( )( )

B C Zi

i i

i

Z

Z3

3

0

23

18 9 81 12

2 81 1213

13 2

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = =

−=

∞ + −

−∑

( ), (3.161)

77

то искомые корни кубического уравнения (3.134) определяются в явном виде методом Крамераиз системы линейных уравнений (3.154), (3.155):

( )( )

( )

xi

i

i

i

a B

a B

a

a B

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

−ω

ω

ω

3

13

3

3

13

1

2

23

23

3

13

13

23

( )

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥−

−

1

23

23

23

1

2

2

ω

ω

i

i

a B

a

a B

( )

( )2

3

23

3

13

1

2

22 2

13

1

13

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −

−

a

a B

a

a B

i

i

ω

ω

( )

( )

a

a B

a

i

3

13

23

23

1

2

1

23

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ω

i = 1, 2, 3. (3.162)

Таким образом, получены в явном виде (т. е. через радикалы) все три корня кубическогоуравнения (3.134). При этом они справедливы для любых, т. е. и комплексных значений коэф-фициентов этого уравнения. Это стало возможным только при условии, что полученные одномер-ные ряды определяются через гипергеометрические функции и при заданных значениях пара-метра n выражаются в радикалах.

78

Пример 1. Вычислить корни кубического уравнения

х3 = 5х − 7. (3.163)

Р еш е н и е. Так как а2 = 5, а3 = −7, то

Z := 12549

, ω1 := 1, ω2 := − +12

32

I , ω3 := − −12

32

I .

Следовательно, благодаря формулам (3.156)—(3.161) получаем:

B113

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := −.3871483002, B1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := −.3730047756, B2

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := .4071887641, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := .7382857131,

B313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 1.221566292, B3

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 1.176939330.

Таким образом, из (3.162) получаем искомые корни уравнения (3.163):

x1 = 1.373673271 + .8129789411 I, х2 = −2.747346541, х3 = 1.373673270 − .8129789413 I.

Задача решена.П р им е ч а н и е. Точные решения уравнения (3.152)

х2 = −2.747346540, х3 = 1.373673270 − .8129789415 I, x1 = 1.373673270 + .8129789415 I.

Пример 2. Вычислить корни кубического уравнения (3.94)

x3 = 10x2 − 5x + 1. (3.164)

Р еш е н и е. Так как a1 = 10, a2 = −5, a3 = 1, то подстановкой (3.2):

x y= +103

(3.165)

79

уравнение (3.124) приводится к виду:

yy3 1577

27

85

3= + . (3.166)

Применительно к нашему случаю: a2853

= , a3157727

= , поэтому

Z := 165813752486929

, ω1 := 1, ω2 := − +12

32

I , ω3 := − −12

32

I .

Следовательно, благодаря формулам (3.156) — (3.161) получаем:

B113

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := −9.913193808, B1

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := −8.148131847, B2

13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 2.476914692, B2

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 2.441436141,

B313

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 7.430744076, B3

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ := 6.107686748.

Таким образом, из (3.162) получаем искомые корни уравнения (3.166):

y1 := 6.150575864, y2 := −3.075287933 + .1971150053 I, y3 := −3.075287933 − .1971150053 I.

Возвращаясь к подстановке (3.165), получим искомые корни уравнения (3.164):

x1 = 9.483909197, х2 = .258045400 + .1971150053 I, х3 = .258045400 − .1971150053 I.

Задача решена.П р им е ч а н и е. Точные решения уравнения (3.153):

х1 = 9.483909204, х2 = .2580453979 + .1971150029 I, х3 = .2580453979 − .1971150029 I.

Как видим, посредством замены удалось решить кубическое уравнение (3.94), которое до это-го не решалось.

80

3.8. Приложение

Используем изложенную теорию для вычисления конечных сумм двукратных рядов вида,определяемого гипергеометрическими представлениями: (3.167)

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k k

1 3 2 2 1

3 2 2 3

22 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+

+− − − 2 3

2

3 2 3 3

2

3

300

1

ak

kk

n

n k

,=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

− −

∑∑

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

2 3 2 2

1

1

3 1 2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+ −

+− − −

2 300

12 3

2

3 1 3 3

2

3

k k

kk

n

a

n k

,=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

− −

∑∑

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

3 3 2 1

1

1 1

3 2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 3( )( )

= − − −+ −

+ −− −

2 300

2 3

2

3 3 3

2

3

k k

kk

n

a

n k

.=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑

С этой целью воспользуемся специальным кубическим уравнением:

(х − х0)3 = 0,

корни которого все равны.В этом случае, представляя его в приведенной форме, имеем:

x x x xx x3 20 0

2033 3= − + .

Отсюда следуета1 := 3х0, а2 := −3x0

2, а3 := x03 .

81

Подставляя эти значения в формулы (3.167), будем иметь:

A n x Cn n kn k k

k

13

03 2

3 2 219

3 1 2

2 3( ) ( )( ) ( ) ( )= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅ −− −

− − −2 3

2 3

2 3 2

2

32

3 3

2

3

33

0

1

0

1+

+− −

=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑ k

k k

k k k

kk

n

C

nk

( )∑ ,

A n x Cn n k k k

n k23

03 1 1 3

3 2 23 1 32 2 3

2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= −− − − − −− − − k

k k

k k

k

kk

n

C

nk

3

2 3

2 3

2

2

32

12

3 3

2

3

1

00

1+ −

+=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ ,

A n x C Cn n kn k k

k k

k k33

03

3 2 1

13 1 2

2 3

2 3

2( ) ( )( ) ( ) ( )= − −

− − −+ −

+ 3

2 3 2

2

32

3 3

2

3

1

3

00

3−− −

=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ k k k

kk

n

nk

( ).

С другой стороны, ранее были получены формулы для Ai (n), i = 1, 2, 3 в форме (3.26).Тогда, поскольку все корни в этих равенствах равны, то, учитывая это, получаем:

lim lim ( )( ) ( )

x x x xx x

A nnx nn

2 3 1 23 0

03 2

1

3 3 1

2→ →=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− −,

lim lim ( ) ( )( )

x x x xx x

nA n nx n2 3 1 2

3 0

2 03 13 3 2

→ →=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − − ,

lim lim ( )( ) ( ) (

x x x xx x

A nx n nn

2 3 1 23 0

03

3

3 1 3 2

→ →=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− − )

2.

82

Приравнивая теперь полученные правые части этих равенств с аналогичными значения-ми (3.26), в итоге получаем искомые формулы:

( )( ) ( )− −

− − −+

+− −

=

1 32

2 3

2 3

2 3

2 3 2

2

3

3 2 2

3

0

kn k k

k k

k k

k k k

k

C C

n2

3 3

2

3

1

1

0

127 3 1

2

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑∑ =− −

k

n

k

nn n( ) ( )

,

( )( ) ( )− − − − −

− − −+ −

+1 32 2 3

2 3

2 3

2 3

2

2

1 3

3 2 2

1k k k

n k k

k k

k k

k

k

C C=

− −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

−−∑∑ = − −

00

11 3

32

12

3 3

2

3

3 3 2

nk

k

nn n n( ) ( ),

( )( ) ( )− −

− − −+ −

+ −− −

1 32

2 3

2 3

2 3

2 3 2

2

3 2 1

1

1

3kn k k

k k

k k

k k k

k

C C=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=∑∑ =

− − −

00

32

3 3

2

3

27 3 1 3 2

2

nk

n

k

nn n( ) ( ) ( )

.

Как видим, получены значения весьма сложных двукратных сумм, которые могут бытьиспользованы в качестве как справочного материала, так и для апробации других новых методоввычисления сумм двукратных рядов.

4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИПусть задано алгебраическое уравнение четвертой степени в приведенной форме:

x4 = a1x3 + a2x

2 + a3x + a4, a4 0≠ , (4.1)

где ai, i = 1..4 — заданные действительные или комплексные числа.Ставится задача нахождения всех корней х = {x1, x2, х3, х4} алгебраического уравнения (4.1).

Решение этой задачи производится методом, идентичным для кубического уравнения.


В связи с тем, что подстановки, упрощающие вид исходного алгебраического уравнения (4.1),также серьезно упрощают и определение его решения, то получаем следующие результаты:а) Подстановка

x ya

= +1

4(4.2)

приводит уравнение (4.1) к виду:

y a y a ya a a a a a

42

23

3

8 8 2

3

25612

13

2 1 14

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + 3 1 2 1

2

4 16 4

a a aa+ + . (4.3)

b) Преобразованием Чирнгауза

у = х2 + Ах + В, (4.4)

где параметр А является корнем алгебраического уравнения:

a a a a a a a a aA A2 1

213

3 1 2 12

2

6 16 8 2

5

12 42+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + 1

422

1 3 4

16 12 3 30+ + + =

a a a a, (4.5)

84

а BAa a a

= − − −1 2 12

4 2 4, (4.6)

исходное уравнение (4.1) преобразуется к новому алгебраическому уравнению четвертой степениболее простой формы:

y4 + с1y + с2 = 0. (4.7)

c1 = (− − − − − − −4 4 6 12 4 412

4 13

3 13

42

2 3 4 12

33Aa a Aa a a a A a a ABa a Ba A a a a a a a a A a1 3 3 4 1 3

212 2

32 2 6− − − −− − − − − − −4 12 6 2 32 3

23 1

24 1 2 4 1

22 3 1

43 2

2Ba a A Ba a A a a a a a a a a a a a Aa a a Ba ABa a3 2 4 1 4 1 34 4 12− − − −− − − − − −8 4 4 4 61 2 3 3

2 43

3 34

23Aa a a Aa A a AB A a B a A) / .

с2 = − − − − − − − −B Aa a Aa a a a A a a ABa a Ba412

4 13

3 13

42

2 3 4 12

34 4 6 12 4( − − − −4 2 231 3 3 4 1 3

2A a a a a a a

− − − − − − −6 4 12 6 2 312 2

3 2 32

3 12

4 1 2 4 12

2 3a A a Ba a A Ba a A a a a a a a a a a a a Aa a a Ba14

3 22

3 2 4 1 44 4− − − −− − − − − − −12 8 4 4 4 61 3 1 2 3 3

2 43

3 34

23ABa a Aa a a Aa A a AB A a B a B A) / − − −4 43

1 4 13

4A a a Aa a− − − − − − −8 3 4 6 21 2 4 1

44 1

22 4 1

24 1

2 24 1 3 4Aa a a a a a a a a Ba a A a a a a 4 6 122 4

22 4 2

24 1 4Ba a A a a a a ABa a− − − −

− − − − −4 12 63 42

4 42 4

42

4Aa a A Ba a A a B a .

4.2. n Образ алгебраического уравнения четвертой степени

Правую и левую части уравнения (4.1) возведем в степень n:

х(4n) = (a1x3 + а2х

2 + а3х + а4)n. (4.8)

Алгебраическое уравнение (4.8) является уравнением степени 4n и заведомо содержит всекорни исходного уравнения (4.1). Правая часть этого уравнения при условии, что n — натураль-ное число, является алгебраическим уравнением степени 3n и принимает вид:

( )a x a x a x a C C Cnni

n i

i

n i i

i

i

n i

13

22

3 40

1

1

2

1 2

3

3

1

+ + + = − − −=

− − i

i

n i

i

ni i i n i i i i

a a a a x2

2

1

1

1 2 3 1 2 3 1

001 2 3 4

3∑∑∑=

−

=

− − − +( ) ( 2 2 3i i+ ). (4.9)

85

Способом, совершенно аналогичным, как это сделано для кубических уравнений, приходимк представлению уравнения (4.9) в виде:

х(4п) = А1 (п)х3 + А2 (п)х

2 + А3 (п)х + А4 (п) (4.10)

или к эквивалентному представлению:

(a1x3 + а2х

2 + a3x + a4)n = A1 (n)x

3 + A2 (n)x2 + A3 (n)x + A4 (n), (4.11)

где Ai (n), i = 1..4 — многочлен коэффициентов a1, a2 .. a4.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Алгебраическое уравнение (4.10) (или эквивалентное ему (4.11)) называет-ся n-образом алгебраического уравнения (4.1), a Ai (n), i = 1 .. 4 называются коэффициентамиn-образа.

Вычисление коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 4 производится с использованием уравне-ний (4.9), (4.10) (или (4.11)), с учетом исходного уравнения (4.1).

Пример: Вычислить значения коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 4 для случаевn = 1, 2:

Р еш е н и е. Принимая в (4.11) n = 1, получим:

a1x3 + a2x

2 + a3x + a4 = A1 (1)x3 + A2 (1)х

2 + A3 (1)x + A4 (1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней хk, k = 0, 1, 2, 3, устанав-ливаем:

A1 (1) = a1, A2 (1) = a2, A3 (1) = а3, A4 (1) = a4. (4.12)

Снова принимая в (4.11) n = 2, получим:

(a1х3 + a2x

2 + a3x + a4) = А1 (2)х3 + А2 (2)х

2 + А3 (2)х + А4 (2).

Раскрывая скобки в левом выражении, получим:

a x12 6 + 2a1х

5a2 + (a22 + 2a3a1)х

4 + (2a2a3 + 2a1a4)х3 + (2a2a4 + a3

2)х2 + 2a3xa4 + a42 = (4.13)

= A1 (2)x3 + А2 (2)x

2 + А3 (2)х + А4 (2).

86

Исходное уравнение (4.1) дает равенства:

x4 = a1x3 + a2x

2 + a3x + a4,x5 = (a2 + a1

2)x3 + (a3 + a1a2)x2 + (a4 + a3a1)x + a1a4,

x6 = (a3 + 2a1a2 + a13)x3 + (a4 + a3a1 + a a a2 1

222+ )x2 + (a1a4 + a a1

23 + a2a3)x + a4 (a2 + a1

2).

Подставляя эти равенства в (4.13), имеем:

( ) (3 3 4 2 212

3 1 22

13

2 1 4 2 3 15 3

12

4 1a a a a a a a a a a a x a a a+ + + + + + + 33 1

42 2 4 2

212

23

32

1 2 322 3 4a a a a a a a a a a a a x+ + + + + + +)

+ + + + + + +( )a a a a a a a a a a a a a a a a13

4 1 2 4 14

3 3 4 2 12

3 22

3 32

12 2 3 2 x a a a a a a a a+ + + + + =4 4 2 12

22

14

3 13 2( )= A1 (2)x

3 + A2 (2)x + А3 (2)x + А4 (2).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней xk, k = 0, 1, 2, 3, устанав-ливаем:

A1 (2) = 3 3 4 2 212

3 1 22

13

2 1 4 2 3 15a a a a a a a a a a a+ + + + + , (4.14)

А2 (2) = a a a a a a a a a a a a a a a12

4 13

3 14

2 2 4 22

12

23

32

1 2 32 3 4+ + + + + + + ,А3 (2) = a a a a a a a a a a a a a a a a1

34 1 2 4 1

43 3 4 2 1

23 2

23 3

212 2 3 2+ + + + + + ,

A4 (2) = а4 (a4 + 3 2 12

22

14a a a a+ + + 2a3a1).

Задача решена.Совершенно аналогичным образом можно получать значения коэффициентов n-образа Ai (n),

i = 1 .. 4 и для любых других значений параметра n.

4.3. Свойства n образа

СВОЙСТВО 1. Уравнение n-образа имеет степень 3n (или 2п) и содержит все корни исходногоуравнения (4.1).

Данное свойство очевидно, так как уравнение n-образа (4.10) (или (4.11)) следует из уравне-ния (4.1), для которого это условие заведомо выполнено.

87

СВОЙСТВО 2. Коэффициенты n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3, 4 определяются рекуррентными соот-ношениями: (4.15)

А1 (п + 1) = (a4 + 2a1a3 + a22 + a1

4 + 3 12

2a a )А1 (п) + (a3 + a13 + 2a1a2)А2 (п) + (a2 + a1

2)А3 (п) + А4 (п)a1,А2 (п + 1) = (a1a4 +a a1

23 +2 1 2

2a a + 2a2a3 +a a13

2)A1 (n) + (a4 +a22 +a a1

22 + a1a3)A2 (n) + (a3 + a1a2)A3 (n) +А4 (п)a2,

A3 (n + 1) = (a a13

3 +a a12

4 + a2a4 + 2a1a2a3 +a32)A1 (n) + (a a1

23 + a1a4 + a2a3)А2 (п) + (a4 + a1a3)A3 (n) + A4 (n)a3,

A4 (n + 1) = a4 (a3 + a13 + 2a1a2)A1 (n) + a4 (a2 + a1

2)A2 (n) + A3 (n)a1a4 + A4 (n)a4.

Доказательство. Принимая в (4.10) n = n + 1, получаем:

х(4n + 4) = A1 (п + 1)х3 + A2 (n + 1)х2 + A3 (n + 1)х + A4 (n + 1).


(A1 (n)x3 + А2 (п)х

2 + A3 (n)x + A4 (n)) (a1x3 + а2х

2 + a3x + a4) == A1 (n + 1)x3 + A2 (n + 1)х2 + А3 (п + 1)x + A4 (n + 1)

Раскрывая скобки в левой части этого равенства и далее приводя подобные члены, получим:

(A1 (n)a4 + A2 (n)a3 + A3 (n)a2 + A4 (a)a1 + 2A1 (n)a1a3 + 3A1 (n)a a12

2 + 2А2 (п)a1a2 + А1 (п)a22 +

+ A1 (n)a14 + A2 (n)a1

3 + A3 (n)a12)x3 + (A2 (n)a4 + A4 (n)a2 + A3 (n)a3 + A1 (n)a1a4 + A1 (n)a a1

23 +

+ А2 (п)a1a3 + 2A1 (n)a2a3 + А1 (п)a a13

2 + А2 (п)a a12

2 + 2A1 (n)a a1 22 + A3 (n)a1a2 + A2 (n)a2

2)x2 ++ (A3 (n)a4 + A4 (n)a3 + A1 (n)a a1

24 + A2 (n)a1a4 + A1 (n)a2a4 + A1 (n)a a1

33 + A2 (n)a a1

23 + A3 (n)а1a3 +

+ A2 (n)a2a3 + 2A1 (n)a1a2a3 + A1 (n)a32)x + a4 (A2 (n)a2 + A4 (n) + A3 (n)a1 + 2A1 (n)a1a2 +

+ A1 (n)a13 + A2 (n)a1

2 + A1 (n)а3) = А1 (п + 1)х3 + А2 (п + 1)x2 + A3 (n + 1)x + A4 (n + 1)

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней xk, k = 0, 1, 2, по-лучаем формулы (4.15).

Эти формулы позволяют легко получать все значения коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1,2, 3, n = 1, 2, 3, 4, ... . Действительно, принимая, например, в формулах (4.15) n = 1, получаем:

A1 (2) = (a4 + 2a1a3 + a22 + a1

4 + 3 12

2a a )A1 (1) + (a3 + a13 + 2a1a2)А2 (1) + (a2 + a1

2)A3 (1) + A4 (1)a1,A2 (2) = (a1a4 +a a1

23 +2 1 2

2a a + 2a2a3 +a a13

2)A1 (1) + (a4 +a22 +a a1

22 + a1a3)A2 (1) + (a3 + a1a2)A3 (1) + A4 (1)a2,

88

A3 (2) = (a a13

3 +a a12

4 + a2a4 + 2a1a2a3 +a32)A1 (1) + (a a1

23 + a1a4 + a2a3)A2 (1) + (a4 + a1a3)A3 (1) + A4 (1)a3,

A4 (2) = a4 (a3 + a13 + 2a1a2)A1 (1) + a4 (a2 + a1

2)A2 (1) + A3 (1)a1a4 + A4 (1)a4.

С учетом (4.12) имеем:

A1 (2) = 2a1a4 + 3 12

3a a + 3 1 22a a + a1

5 + 4 13

2a a + 2a2a3,А2 (2) = a a1

24 + a a1

33 + 3 1

222a a + 4a1a2a3 + a a1

42 + 2a2a4 + a2

3 + a32,

А3 (2) = a a14

3 + a a13

4 + 2a1a2a4 + 3 12

2 3a a a + 2 1 32a a + a a2

23 + 2a3a4,

A4 (2) = 2a3a1a4 + a a14

4 + 3 12

4 2a a a + a a22

4 + a42.

Сравнивая полученные значения с (4.14), устанавливаем, что они совпадают. Таким образом,пользуясь формулами (4.15), последовательно находим Ai (n), i = 1 .. 4, n = 3, 4, 5, ... .

СВОЙСТВО 3. Существует строгая связь между коэффициентами n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3, 4и корнями алгебраического уравнения (4.1), а именно: если известны различные корни алгеб-раического уравнения (4.1) — х = {хi, i = 1, 2, 3, 4}, то коэффициенты n-образа Ai (n), i = 1, 2,3, 4, определяются однозначно формулами: (4.16)

A nx

x x x x x x

x

x x x

n n

114

1 2 1 3 1 4

24

1 2 2

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )(= −

− − − − − − − − − ++ −

x x x

x

x x x x x x

x

x

n n

3 2 4

34

1 3 2 3 4 3

44

1)( ) ( )( )( ) (

( ) ( )

− − − +x x x x x4 2 4 4 3)( )( )

A nx x x x

x x x x x x

x xn

22 4 3 1

4

1 2 1 3 1 4

1 4( )( )

( )( )( )

(( )

= ++ +

− − −

+ +

− − −

+ +−

x x

x x x x x x

x x x x

x

n n3 2

4

1 2 2 3 2 4

1 4 2 34)

( )( )( )

( )

(

( ) ( )

1 3 2 3 4 3

1 3 2 44

1 4 2 4− − − +

+ +

− −+

x x x x x

x x x x

x x x x

n

)( )( )

( )

( )(

( )

)( )− +x x4 3

A nx x x x x x x

x x x x x x

n

33 2 4 2 3 4 1

4

1 2 1 3 1 4

( )( )

( )( )( )

( )

= −+ +

− − −

( )

( )( )( )

(( )x x x x x x x

x x x x x x

x xn3 1 4 1 3 4 2

4

1 2 2 3 2 4

2 1+ +

− − −

++

x x x x x

x x x x x x

x x x xn4 1 4 2 3

4

1 3 2 3 4 3

2 1 3 1+

− − − +

+ +−

)

( )( )( )

(( ) x x x

x x x x x x

n3 2 4

4

1 4 2 4 4 3

)

( )( )( )

( )

− − − +

A nx x x x

x x x x x x

x x x xn

44 2 3 1

4

1 2 1 3 1 4

4 1 3 2( )( ) (

( )( )( )= − +

− − −

4

1 2 2 3 2 4

4 2 1 34

1 3 2 3

n n

x x x x x x

x x x x

x x x x

) ( )

( )( )( ) ( )(− − − − −−

)( ) ( )( )( )

( )

− + − − − ++

x x

x x x x

x x x x x x

n

4 3

2 1 3 44

1 4 2 4 4 3

89

Доказательство. Действительно, в соответствии со свойством 1, корни исходного уравнения(4.1) заведомо являются также корнями уравнения n-образа (4.10).

Следовательно,

xin( )4 = A1 (n)xi

3 + А2 (п)xi2 + А3 (п)xi + A4 (n), i =1, 2, 3, 4.

Решая эту систему алгебраических уравнений, получим формулы (4.16). Свойство 3 доказано.Подставляя формулы (4.16) в рекуррентные соотношения (4.15), получим новые четыре соот-

ношения между корнями алгебраического уравнения (4.1), отличные от определяемых теоремойВиета, в силу наличия произвольного параметра п. Непосредственной проверкой можно убедить-ся, что при п = 1 эти формулы совпадают с соотношениями, определяемыми теоремой Виета дляуравнения четвертой степени.

4.4. Определение общих формулдля коэффициентов n образа

Так как в соответствии со свойством 3 была доказана прямая связь между значениями коэф-фициентов n-образа и корнями исходного уравнения (4.1), то крайне важной является задачаопределения общих формул представления для коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3, 4.

Вычислим, используя рекуррентные соотношения (4.15), значения для коэффициентовn-образа Ai (n), i = 1, 2, 3, 4 при п = 1, 2, 3.

A1 (1) = a1, A2 (1) = a2, A3 (1) = a3, A4 (1) = a4.

A1 (2) = 2a1a4 + 3 12

3a a + 3 1 22a a + a1

5 + 4 13

2a a + 2a2a3.А2 (2) = a a1

24 + a a1

33 + 3 1

222a a + 4a1a2a3 + a a1

42 + 2a2a4 + a a2

332+ .

А3 (2) = a a a a14

3 13

4+ + 2a1a2a4 + 3 212

2 3 1 32

22

3a a a a a a a+ + + 2a3a4.A4 (2) = 2a3a1a4 + a a a a a a a a1

44 1

24 2 2

24 4

23+ + + .

90

A1 (3) = 3 6 10 7 5 30 301 42

4 15

13

32

16

3 24

1 12

3 22a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + a a a a a a a a a1

43 2 1 3

22 4 1

2312 12+ + +

+ + + + + + +12 20 6 21 204 1 22

4 13

2 4 2 3 19

33

22

15

2a a a a a a a a a a a a a a313

23

3 17

24 8a a a a a+ + .

A2 (3) = 18 3 5 10 71 4 2 3 12

42

16

4 14

32

17

3 12

24a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 1

622

14

23

22

32

18

2 2 4215 6 3a a a a a a a a a+ + + + +

+ + + + + +4 8 18 10 30 14 23

13

4 3 12

4 22

14

4 2 13

3 22a a a a a a a a a a a a a a 2 18 16 3 31

53 2 1

232

2 1 23

3 25

4 32

1 33a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + .

A3 (3) = 24 10 15 7 2012

4 2 3 14

3 4 14

3 22

16

3 2 13

32a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + a a a a a a a a a a2 1

34 2

215

4 2 2 42

110 6 6+ + + ++ + + + + +4 6 10 12 92

34 1 2

24 3 1

223

3 1 22

32

32

1 4a a a a a a a a a a a a a a a 6 4 6 315

32

18

3 13

42

17

4 33

12

33

2a a a a a a a a a a a a+ + + + + ++ +a a a a2

43 3 4

23 .

А4 (3) = a4 (10 6 6 12 20 112

23

12

32

3 1 4 3 1 22

3 13

2 42a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2 6 3 151

24 2 3 1

52 3

214

22a a a a a a a a a+ + + +

+ + + + +7 5 316

2 14

4 18

22

4 24a a a a a a a a ).

Анализируя вычисленные значения для коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1, 2, 3, 4, уста-навливаем, что в общей форме эти коэффициенты определяются суммой слагаемых видаВ (k1, k2, k3, k4)a a a a

k k k k

1 2 3 41 2 3 4 , где В (k1, k2, k3, k4) — некоторый числовой коэффициент, являю-

щийся целым числом, а ki, i = 1, 2, 3, 4 показатели степени. При этом выясняется следующаязакономерность: если установить комбинированный параметр:

K(n) = k1 + 2k2 + 3k3 + 4k4, (4.17)

то для всех слагаемых, образующих коэффициент A1 (n), он принимает значение:

K (n) = 4n − 3. (4.18)

Действительно, возьмем, например, первое слагаемое в A1 (3): 3 1 42a a . Тогда сумма степеней,

в соответствии с (4.17), для него равна: −1 + 2 (0) + 3 (0) + 4 (2) = 9. В то же время в соответствиис формулой (4.18) имеем: 4 (3) − 3 = 9. Как видим, результаты совпали.

91

Для всех слагаемых, образующих коэффициент А2 (п), параметр (4.17) принимает значение:

K (n) = 4n − 2,

и для всех слагаемых, образующих коэффициент А3 (п), он принимает значение:

K (n) = 4n − 1,

для всех слагаемых, образующих коэффициент А4 (п), он принимает значение:

K (n) = 4n.

Таким образом, общая формула для всех степеней слагаемых многочленов, образующих коэф-фициенты Ai (п), i = 1, 2, 3, 4, определяется формулой:

4n − 4 + i = k1 + 2k2 + 3k3 + 4k4, i = 1 .. 4. (4.19)

4.4.1. Вывод общих формул для коэффициентов Ai (n), i = 1, 2, 3, 4

Показатели слагаемых a a a ak k k k

1 2 3 41 2 3 4, , , многочлена для коэффициентов Ai (n), i = 1, 2, 3, 4

удовлетворяют формуле (4.19).Отсюда следует, что

k1 = 4n − 4 + i − 2k2 − 3k3 − 4k4.

Таким образом, слагаемые многочлена, определяющего вид коэффициента Ai (n), определяют-ся видом:

a a a an i k k k k k k

1

4 4 2 3 4

2 3 42 3 4 2 3 4( )

.− + − − −

(4.20)

Поскольку параметр k1, принимая значение, равное нулю, определяет при этом максимальноезначение парметра k2, max, то из этого равенства получим:

0 = 4n − 3 − 2k2, max − 3k3 − 4k4.

92


kn i k k

2

4 4 3 4

23 4

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + − −. (4.21)

Здесь квадратные скобки означают выполнение операции округления дроби до наименьшегоцелого числа вниз.

Снова принимая в (4.21) k2, max = 0, получаем равенство:

4n − 4 + i − 3k3, max − 4k4 = 0.

Отсюда имеем:

kn i k

3

4 4 4

34

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + −. (4.22)

Таким образом, с учетом (4.20), (4.21), (4.22) формула для нахождения коэффициентов Ai (n),i = 1, 2, 3, 4 может быть записана следующим образом:

A n B k k k k n a a ai i

n i k k k k( ) ( , , , , )

( )=

− + − − −1 2 3 4 1

4 4 2 3 4

22 3 4 2

3 400

3 4

2

4 4 3 3 4 4

2

3

4 4 4 4

k k

kk

a

n i k kn i k

.=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− + − −− + −

∑3

4 0

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑k

n

(4.23)

Очевидно, что нахождение коэффициентов Bi (k1, k2, k3, k4, n) необходимо производить поформуле:

B k k k k n Cik b n kcs j

ii

si j i j

( , , , , ), , ,

1 2 3 4

2

4=

=∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + +

b k r n m

j

s ji

is

i j i j, , ,

.=∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + +

=∏ 2

4

1

3

Это следует из вида формул для квадратного и кубического уравнений.

93

Для нахождения коэффициентов Вi (k1, k2, k3, k4, n) воспользуемся методом аналогии. С этойцелью расмотрим аналогичное представление коэффициентов для алгебраического уравне-ния второго и третьего порядков. В частности, для коэффициента А1 (п) искомое значениеВ1 (k1, k2, k3, k4, n) определяется формулой:

для уравнения второго порядка: C n k

k

2 12

2− − ,

для уравнения третьего порядка: C Cn k k

k k

k k

k

3 2 21 2

1 2

1 2

1− − −+

+ .

Следовательно, для уравнения четвертой степени необходимо принять:

B k k k k n C Cn k k k

k k k

k k k1 1 2 3 4 4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4( , , , , ) = − − − −

++ +

k

k k

kC2

4 3

3+ .

Проверка показывает, что выбор сделан правильно. Действительно, возьмем, например, пер-вое слагаемое в A1 (3): 3 1 4

2a a . Здесь k2 = 0, k3 = 0, k4 = 2. Следовательно, в соответствии с форму-лой (4.24) имеем:

C C C4 3 3 0 2 0 3 20 0 2

0 0 20

2 00 3( ) ( ) ( )− − − −

+ ++ + + = ,

что совпадает с полученным значением.Совершенно аналогичным образом устанавливаем значение В2 (k1, k2, k3, k4, n) для коэффи-

циента А2 (п):B k k k k n C Cn k k k

k k k

k k2 1 2 3 4 4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3( , , , , ) = − − − −

+ + −+ + +k

k

k k

kC

4

2

4 3

3 ,

для коэффициента А3 (п):


k k k

k k3 1 2 3 4 4 2 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3( , , , , ) = − − − −

+ + −+ + − +k

k

k k

kC

4

2

4 3

31 ,

94

для коэффициента А4 (п):


k k k

k k4 1 2 3 4 4 1 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3( , , , , ) = − − − −

+ + −+ + − + −k

k

k k

kC

4

2

4 3

31 1.

Подставляя полученные значения Вi (k1, k2, k3, k4, n), i = 1, 2 .. 4 в (4.23), в итоге получаемискомые значения коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1, 2, 3, 4. (4.25)

A n C C C an k k k

k k k

k k k

k

k k

k

1 4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3( ) = − − − −+ +

+ + + 1

4 3 2 3 4

2 3 40

2 2

2 3 4 2 3 4

2

32

3 3

2 4

( ).

n k k k k k k

k

n k

a a a

k

− − − −

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑kk

n

nk

3

43

4 4

3

4 0

1

0

1

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

2 4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3( ) = − − − −

+ + −+ + +

3 2 3 4 2 3 4

2

3 3

2

1

4 2 2 3 4

2 3 40

2 1 2

a a a an k k k k k k

k

n kk

( ).

− − − −

=

− − − 4

3

43

23

4 4

3

4 00

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑kk

n

nk

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k3 4 2 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − − −

+ + −+ + − + 3

3 2 3 4 2 3 4

2

12

3 3

2

1

4 1 2 3 4

2 3 40

2

k n k k k k k k

k

n

a a a a

k

( ).

− − − −

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑2

00

14

3

43

13

4 4

3

4

k

kk

n

nk

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k4 4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − − −

+ + −+ + − + 3

3 2 3 4 2 3 4

2

3 3

2

1 1

4 2 3 4

2 3 40

2 2

−− − −

=

− −

k n k k k k k k

k

n k

a a a a

k

( ).

4

3

43

4 4

3

4 00

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑∑

kk

n

nk


95

4.4.2. Гипергеометрическая форма представлениякоэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 4

Полученные конечные суммы для коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1, 2 .. 4 определены длялюбых целых натуральных значений n. Вводя новые переменные:

za

a1

2

12

= , za

a2

3

13

= , za

a3

4

14

= , (4.26)

представим формулы (4.25) следующим образом: (4.27)

A n a C C Cnn k k k

k k k

k k k

k

1 14 3

4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) ( )= −− − − −+ +

+ + k k

k k k k

k

n k

k

z z z

k

4 3

3 2 3 4

2

32

3 3

2 4

3

1 2 30

2 2

+=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑ ,

0

1

0

1

43

4 4

3

4

nk

k

n− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

2 14 2

4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ +2

4 3

3 2 3 4

2

3 3

2 4

3

1 2 30

2 1 2

C z z zk k

k k k k

k

n k

k

k

+=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∑ ,=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑00

1

43

23

4 4

3

4

nk

k

n

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k3 14 1

4 2 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ + − 1 1 2 30

2 2

2

4 3

3 2 3 4

2

12

3 3

2 4

k

k k

k k k k

k

n k

C z z z

k

+=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

,∑∑∑=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

kk

n

nk

3

43

13

4 4

3

4 00

1

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

4 14

4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= − − − −

+ + −+ + −

2

4 3

3 2 3 4

2

3 3

2 4

3

1 1 2 30

2 2

C z z zk k

k k k k

k

n k

k

k

+ −=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∑ .=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

00

43

4 4

3

4

nk

k

n

Будем считать, что коэффициенты аi, i = 1, 2 .. 4 уравнения (4.1) выбраны таким образом, чтоправые части при заданном значении n из поля действительных чисел представляют собой сходя-

96

щиеся ряды. В этом случае справедлива ТЕОРЕМА 4.1: Коэффициенты Ai (n), i = 1, 2 .. 4, опреде-ляемые формулами (4.27), представляют собой трехмерные гипергеометрические функции (4.28)

A n a n n k k k r r rk k k

1 14 3 33 4 2 3 4

3 42 4 1

223

34

( ) ( ) ( , )

(= − − + +

−

P

P n k k k k k kkk , ) ! ! !2 3 4 2 3 423

2 300 + +=

∞

=

∞

∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

k4

0=

∞

∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ ,

A na

n

n k k k kn

231

4 22 4 2

2 2 1

2 4 2 3 4( )

( )

( )

( , ) (=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−

−

− + +P + +

− + +=

k k r r r

n k k k k k k

k k k

k

3

0

4 12

23

34

2 3 4 2 3 42

3 4 2 3

)

( , ) ! ! !P

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

kk34

00

,

A na

n

n k k k k kn

33 41

4 12 4 3

4 1

1 4 2 3 4( )

( ) ( , ) (=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

−

−

− + + +P )

( , ) ! ! !

r r r

n k k k k k k

k k k

k

12

23

34

2 3 4 2 3 42

2 4 2 30 P − + +=

∞

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

∞

=

∞

∑∑kk34

00

,

A na

n

n k k k k r r rn k k

431

42 4 4 1

223

4

4 2 3 4( )

( ) ( , )=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

− + +P 34

4 2 3 4 3 223

1 4 2 300

k

k n k k k k kkk ! ( , ) ! !P − + +=

∞

=

∞

∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

∞

∑k4

0

,

гдеr

a

a1

2

12

= , ra

a2

3

13

= , ra

a3

4

14

= (4.29)

с областью определения:| |r3

27256

< , | |r2427

< , | |r114

< . (4.30)

Доказательство. Докажем Теорему 4.1 для коэффициента A1 (n), так как для других она дока-зывается аналогично.

Вводя обозначение:F k k k C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k( , , )2 3 4 4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

3= − − − −

+ ++ + + k

k

4

3

97

и следуя горновскому определению, составим соотношения: (4.31)

f k k kF k k k

F k k k

n k1 2 3 4

2 3 4

2 3 4

21 4 4 2 3( , , ) :

( , , )

( , , )

(= =

+ − − − k k n k k k

n k k k k3 4 2 3 4

2 3 4 2

4 4 3 2 3 4

4 3 2 3 1

− − − − −

− − − − +

) ( )

( ) ( ),

f k k kF k k k

F k k k

n k2 2 3 4

2 3 4

2 3 4

21 4 5 2 3( , , ) :

( , , )

( , , )

(= =

+ − − − k k n k k k n k k k

n k3 4 2 3 4 2 3 44 4 4 2 3 4 4 3 2 3 4

4 4

− − − − − − − − −

− −

) ( ) ( )

( 2 3 4 2 3 4 32 3 4 3 2 3 1− − − − − − +k k n k k k k) ( ) ( ),

f k k kF k k k

F k k k3 2 3 42 3 4

2 3 4

1( , , ) :

( , , )

( , , )= =

+

=− − − − − − − − − − −( ) ( ) (4 6 2 3 4 4 5 2 3 4 4 4 2 32 3 4 2 3 4 2 3n k k k n k k k n k k − − − − −

− − − − − − −

4 4 3 2 3 4

4 5 2 3 4 4 24 2 3 4

2 3 4 2

k n k k k

n k k k n k

) ( )

( ) ( k k n k k k k3 4 2 3 4 43 4 3 2 3 1− − − − − +) ( ) ( ).

Так как порядки полиномов числителей и знаменателей во всех формулах равны, то отсюдаследует, что соответствующие бесконечные ряды сходятся условно и имеют конечные радиусысходимости. Действуя по схеме Горна, вычислим эти радиусы. Для этого в формулах (4.31) вве-дем преобразования:

k2 = sl2, k3 = sl3, k4 = sl4,

где l2, l3, l4 — параметры, принимающие значение в интервале [0, 1], а параметр s принимаетзначение в интервале [0, ∞).

Тогда получим:

f sl sl sln sl sl sl n sl

1 2 3 4

4 4 2 3 4 4 3 2 32 3 4 2( , , ) :( )(

=− − − − − − − sl sl

n sl sl sl sl3 4

2 3 4 2

4

4 3 2 3 1

−

− − − − +

)

( ) ( ),

f sl sl sln sl sl sl n sl

2 2 3 4

4 5 2 3 4 4 4 2 32 3 4 2( , , ) :( )(

=− − − − − − − sl sl n sl sl sl

n sl sl sl3 4 2 3 4

2 3 4

4 4 3 2 3 4

4 4 2 3

− − − − −

− − − −

) ( )

( ) ( ) ( )4 3 2 3 12 3 4 3n sl sl sl sl− − − − +,

98

f sl sl sl3 2 3 4( , , ) :=

=− − − − − − − − − −( ) ( ) (4 6 2 3 4 4 5 2 3 4 4 4 22 3 4 2 3 4n sl sl sl n sl sl sl n sl sl sl n sl sl sl

n sl sl2 3 4 2 3 4

2 3

3 4 4 3 2 3 4

4 5 2

− − − − − −

− − − −

) ( )

( 3 4 4 2 3 4 3 2 34 2 3 4 2 3 4 4sl n sl sl sl n sl sl sl sl) ( ) ( ) (− − − − − − − − + 1).

Отсюда получим равенства:

R l l l f sl sl sls

l l l1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 42 3 4( , , ) : lim ( , , )

( )= = −

→ ∞

+ + 2

2 3 4 22 3( )l l l l+ +,

R l l l f sl sl sls

l l l2 2 3 4 2 2 3 4

2 3 42 3 4( , , ) : lim ( , , )

( )= = −

→ ∞

+ + 3

2 3 42

32 3( )l l l l+ +,

R l l l f sl sl sls

l l l3 2 3 4 3 2 3 4

2 3 42 3 4( , , ) : lim ( , , )

( )= = −

→ ∞

+ + 4

2 3 43

42 3( )l l l l+ +.

Таким образом, в соответствии со схемой Горна искомые радиусы сходимости равны:

pR1

11 0 0

141

:| ( , , ) |

= = , pR2

10 1 0

4272

:| ( , , ) |

= = , pR3

10 0 1

272563

:| ( , , ) |

= = .

Следовательно, тройной ряд, определяющий гипергеометрическую функцию А1 (п), сходитсяпри условии, что имеют место неравенства (4.30). Изложенного достаточно, чтобы сделать выводо соответствии тройного степенного ряда, из (4.27), определяющего значение коэффициентаА1 (п), гипергеометрической функции:

A n a C C Cnn k k k

k k k

k k k

k

1 14 3

4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) ( )= −− − − −+ +

+ + k k

k k k k

kkk

z z z4 3

3 2 3 4

234

1 2 3000

+=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ . (4.32)

99

Совершенно аналогичным образом доказывается, что Ai (n), i = 2 .. 4. (4.33)

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

2 14 2

4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ +2

4 3

3 2 3 4

234

1 2 3000

C z z zk k

k k k k

kkk+

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ ,

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k3 14 1

4 2 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ + − 1 1 2 3000

2

4 3

3 2 3 4

234

k

k k

k k k k

kkk

C z z z+=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ ,

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

4 14

4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= − − − −

+ + −+ + −

2

4 3

3 2 3 4

234

1 1 2 3000

C z z zk k

k k k k

kkk+ −

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ ,

также являются трехмерными гипергеометрическими функциями, имеющими область определе-ния (4.30).

4.4.3. Преобразование к стандартному гипергеометрическому представлениюкоэффициента А1 (п)

Преобразуем формулу, определяющую значение коэффициента А1 (п) в форме (4.32), к Пох-гаммеровскому представлению.

Так как

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k n4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

34 3

− − − −+ +

+ + + =− −( k k k

n k k k k k k2 3 4

2 3 4 2 3 4

2 3

4 3 2 3 4

− −

− − − −

) !

( ) ! ! ! !(4.34)

то в соответствии с формулой:

(l + k − 1)! = Р(l, k) (l − 1)!

100

имеем:(4n − 3 − k2 − 2k3 − 3k4)! = Р(4n − 2, −k2 − 2k3 − 3k4) (4n − 3)! (4.35)

(4n − 3 − 2k2 − 3k3 − 4k4)! = Р(4n − 2, −2k2 − 3k3 − 4k4) (4n − 3)!

Так как индексы суммирования входят в эти формулы с отрицательными знаками, то вос-пользуемся формулой:

PP

( , )( )

( , )a k

k

a k− =

−−1

1.

В этом случае формулы (4.35) примут вид:

(4n − 3 − k2 − 2k3 − 3k4)! =− −

− + +

+ +( ) ( ) !

( , )

( )1 4 3

3 4 2 3

2 2 3 3 4

2 3 4

k k k n

n k k kP,

(4n − 3 − 2k2 − 3k3 − 4k4)! =− −

− + +

+ +( ) ( ) !

( , )

( )1 4 3

3 4 2 3 4

2 2 3 3 4 4

2 3 4

k k k n

n k k kP.

Подставляя эти значения в (4.35) и далее в (4.34), получаем:

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

31

− − − −+ +

+ + + =− −( )( k k k n k k k

n k k k k

2 3 42 3 4

2 3 4 2

3 4 2 3 4

3 4 2 3

− − − + +

− + +

) ( , ) !

( , ) !

P

P k k3 4! !.

Таким образом, (4.32) в итоге принимает вид:

A n a n n k k k r r rk k k

1 14 3 3 4 2 3 4

3 42 3 4 1

223

34

( ) ( ) ( , )

(= − − + +

−

P

P n k k k k k kkk , ) ! ! !2 3 4 2 3 423

2 300 + +=

∞

=

∞

∑∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

k4 0=

∞

∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ , (4.36)

гдеr1 = −z1, r2 = −z2, r3 = −z3. (4.37)

101


Преобразуем формулу

A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

2 14 2

4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ +2

4 3

3 2 3 4

234

1 2 3000

C z z zk k

k k k k

kkk+

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑

к Похгаммеровскому представлению.Так как

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k n4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

34

− − − −+ + −

+ + + =−( 3 2 3

4 2 2 3 42 3 4 2 3 4

2 3 4 2 3

− − − + +

− − − −

k k k k k k

n k k k k k k

) ! ( )

( ) ! ! ! 4 !, (4.38)

то в соответствии с формулой:(l + k − 1)! = Р(l, k) (l − 1)!

имеем:(4n − 2 − 2k2 − 3k3 − 4k4)! = Р(4п − 1, −2k2 − 3k3 − 4k4) (4n − 2)! (4.39)(4п − 3 − k2 − 2k3 − 3k4)! = Р(4n − 2, −k2 − 2k3 − 3k4) (4n − 3)!

Так как индексы суммирования входят в эти формулы с отрицательными знаками, то вос-пользуемся равенством:

PP

( , )( )

( , )a k

k

a k− =

−−1

1.

В этом случае получим:

Р (4п − 1, −2k2 − 3k3 − 4k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

2 4 2 3 4

2 2 3 3 4 4

2 3 4

k k k

n k k kP,

Р (4п − 2, −k2 − 3k3 − 3k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

3 4 2 3

2 2 3 3 4

2 3 4

k k k

n k k kP.

102

Подставляя эти формулы в (4.39) и далее в (4.38), имеем:

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

31

− − − −+ + −

+ + + =−( )( ) ( , ) ( )

( ,

k k k n k k k k k k

n k

2 3 42 3 4 2 3 4

2

2 4 2 3 4

3 4

+ + − + + + +

− +

P

2P 2 3 2 13 4 2 3 4k k n k k k+ −) ( ) ! ! !.

Таким образом, коэффициент А2 (п) принимает искомое представление:

A na

n

n k k k k k kn

214 2

2 3 4 2 3 4

2 2 1

2 4 2 3 4( )

( )

( )

( , ) (= =

−

−

− + + + +P )

( , ) ! ! !

r r r

n k k k k k k

k k k

kk

12

23

34

2 3 4 2 3 423

3 4 2 300 P − + +=

∞

=∑

∞

=

∞

∑∑k4 0

. (4.40)



A n a C Cnn k k k

k k k

k k k3 14 1

4 2 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= −

− − − −+ + −

+ + − 1 1 2 3000

2

4 3

3 2 3 4

234

k

k k

k k k k

kkk

C z z z+=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ (4.41)


C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 2 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

34

− − − −+ + −

+ + − + =( n k k k k k

n k k k k k

− − − − +

− − − − +

2 2 3

4 1 2 3 42 3 4 4 3

2 3 4 2 4

) ! ( ) !

( ) ! ! ( k k k3 3 41− ) ! ! !, (4.42)


(l + k − 1)! = Р(l, k) (l − 1)!

103

имеем:

(4n − 2 − k2 − 2k3 − 3k4)! = Р(4п − 1, −k2 − 2k3 − 3k4) (4n − 2)! (4.43)

(4п − 1 − 2k2 − 3k3 − 4k4)! = Р(4n, −2k2 − 3k3 − 4k4) (4n − 1)! (4.44)


PP

( , )( )

( , )a k

k

a k− =

−−1

1.


Р (4п − 1, −k2 − 2k3 − 3k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

2 4 2 3

2 2 3 3 4

2 3 4

k k k

n k k kP,

Р (4п, −2k2 − 3k3 − 4k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

1 4 2 3 4

2 2 3 3 4 4

2 3 4

k k k

n k k kP.

Подставляя эти формулы в (4.43), (4.44) и далее в (4.42), имеем:

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 2 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3− − − −+ + −

+ + − + =−( 1 1 4 2 3 4

2 4 2

2 3 42 3 4 4 3

2

) ( , ) ( )

( ,

( )− − − − + + +

− +

k k k n k k k k k

n k

P

P k k n k k k3 4 2 3 43 4 1+ −) ( ) ! ! !.

Таким образом, искомое представление коэффициента А3 (п) (4.41) принимает вид:

A na

n

n k k k k k r rn k

314 1

2 3 4 4 3 12

4 1

1 4 2 3 4( )

( ) ( , ) ( )= =

−

−

− + + +P 23

34

2 3 4 2 3 4234

2 4 2 3000

k kr

n k k k k k kkkk P( , ) ! ! !− + +=

∞

=

∞

=∑∑

∞

∑ . (4.45)

104



A n a C Cnn k k k

k k k

k k k

k

4 14

4 2 3 1

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4( ) ( )= − − − −

+ + −+ + −

2

4 3

3 2 3 4

234

1 1 2 3000

C z z zk k

k k k k

kkk+ −

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ (4.46)


C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 2 3 1

1

1 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3− − − −+ + −

+ + − + − =( ) !

( ) ! ! ! ( ) !

4 2 3 1

4 2 3 4 12 3 4

2 3 4 2 3 4

n k k k

n k k k k k k

− − − −

− − − −, (4.47)


(l + k − 1)! = Р(l, k) (l − 1)!имеем:

(4n − k2 − 2k3 − 3k4 − 1)! = Р(4п, −k2 − 2k3 − 3k4) (4n − 1)! (4.48)(4п − 2k2 − 3k3 − 4k4)! = Р(4n + 1, −2k2 − 3k3 − 4k4) (4n)! (4.49)


PP

( , )( )

( , )a k

k

a k− =

−−1

1.


Р (4п + 1, −2k2 − 3k3 − 4k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

4 2 3 4

2 2 3 3 4 4

2 3 4

k k k

n k k kP,

Р (4п, −k2 − 2k3 − 3k4) =−

− + +

+ +( )

( , )

( )1

1 4 2 3

2 2 3 3 4

2 3 4

k k k

n k k kP.

105

Подставляя эти формулы в (4.48), (4,49) и далее в (4.47), имеем:

C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 2 3 1

1

1 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3− − − −+ + −

+ + − + − =( ) ( , )

( ,

( )− − + +

− + +

− − −1 4 2 3 4

1 4 2 3

2 3 42 3 4

2 3 4

k k k n k k k

n k k k

P

P ) ! ! ( ) !n k k k2 3 4 1 4−.

Таким образом, искомая форма коэффициента А4 (п) (4.46) принимает вид:

A na

n

n k k k k r r r

k

n k k k

414

2 3 4 4 12

23

34

44

4 2 3 4( )

( ) ( , )

!= =

− + +P

P( , ) ! !1 4 2 32 3 4 3 2234 000 − + +=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ n k k k k kkkk

. (4.50)

Теорема доказана.

4.5. Формула для корней уравнения четвертой степени

Докажем, что справедлива ТЕОРЕМА 4.2. Корни алгебраического уравнения четвертой сте-пени (4.1), где аi, i = 1, 2 .. 4 коэффициенты, удовлетворяющие условиям (4.30), а Ai (n),i = 1, 2 .. 4 — определяются (4.36), (4.40), (4.45), (4.50), находятся в соответствии с формулами:

xi

R

Gi

i

= , i = 1, 2 .. 4, (4.51)

где

R

A A A

Ai

i i i

i=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝

ω ω ω

ω

4 2 1

24

14

14

14

12

⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1 22

21

34

3

12

12

34

ω ω

ω ω

i i

i i

A A

A A Ai23

134

34

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ω

, (4.52)

106

G

A A A

Ai

i i i

i=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

ω ω ω

ω

3 2 1

23

14

14

14

1

12

12

12

34

1 22

21

33

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠

ω ω

ω

i i

i

A A

A ⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ω ωi iA A32

31

34

34

1

,

ω1 = −1, ω2 = 1, ω3 = I, ω4 = −I. (4.53)

I — мнимая единица.ωi — корни алгебраического уравнения

ω4 = 1. (4.54)

Доказательство: Так как n-образ для алгебраического уравнения (4.1) представляется равен-ством:

х(4n) = А1 (п)х3 + А2 (п)х

2 + А3 (п)х + А4 (п), (4.55)

где Ai (n), i = 1, 2 .. 4 — определяются формулами (4.36), (4.40), (4.45), (4.50), то введем пара-метр ω, удовлетворяющий условию (4.54). Очевидно, что в этом случае также выполняется ра-венство:

ω(4n) = 1,

где n — произвольное натуральное число.Следовательно, формально уравнение (4.55) можно записать следующим образом:

х(4п) = ω(4п) (А1 (п)х3 + А2 (п)х

2 + А3 (п)х + А4 (п)). (4.56)

Так как коэффициенты исходного уравнения (4.1) аi, i = 1, 2 .. 4 удовлетворяют условиям(4.30), то это позволяет формально расширить область определения параметра n и на множество

107

действительных чисел. Поэтому задавая ему формально значения: n i=4, i = 1, 2, 3, равенство

(4.56) образует систему алгебраических уравнений:

xi = ωi A x A x A x Ai i i i1

32

23 44 4 4 4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , i = 1, 2, 3. (4.57)

Так как параметр ω принимает в соответствии с (4.53) четыре разных значения: ω = {ω1, ω2, ω3, ω4},то сопоставим каждому из них соответствующее искомое значение х = {x1, x2, х3, х4}. Следова-тельно, образуются четыре системы алгебраических уравнений вида (4.57),

x A x A x A x Aki

ki

k k ki i i=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +ω 1

32

23 44 4 4

i4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , i = 1, 2, 3, k = 1, 2 .. 4. (4.58)

каждое из которых содержит только один различный корень уравнения (4.1):Решая последовательно системы алгебраических уравнений (4.58), в итоге получаем методом

Крамера значения корней (4.51). Теорема 4.2 доказана.Отметим, что для вычисления корней алгебраического уравнения (4.1), используя Теоре-

му 4.2, необходимо вычислять суммы рядов (4.30), т. е. уметь вычислять тройные бесконечныеряды вида:

A k k kkkk

( , , )1 2 3000 123 =

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑ .

В общем случае для вычисления суммы этого бесконечного тройного ряда недостаточно ука-зать вид функции А (k1, k2, k3), необходимо также задать последовательность частичных сумм,пределом которых по определению и будет сумма указанного ряда. Например, суммой по кубуназывается:

lim ( , , )N k

N

k

N

k

N

A k k k→ ∞ ===

∑∑∑ 1 2 3000 123

,

108

а суммой по треугольным призмам:

lim ( , , )N k

k k

k

k

k

N

A k k k k k→ ∞ =

−

==

− −∑∑∑ 1 2 3 2 1000 1

3 2

2

3

3

(4.59)

с использованием рекуррентных соотношений, обходящих случаи, когда (вместе или раздель-но) k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся, что при верхнем пределепо k3, равном N, сумма (4.59) включает в себя все целые точки {k1, k2, k3}, которые принадле-жат призме в положительном квадрантном пространстве, отсекающем оси в точках{[N, 0, 0], [0, N, 0], [0, 0, N]}, т. е. здесь частичные суммы отвечают суммированию по призмам.

Выделяя последовательно нулевые значения индексов из (4.59), получим:

A k k k k kk

k k

k

k

k

N

( , , )1 2 3 2 1000 1

3 2

2

3

3

− − ==

−

==∑∑∑ (4.60)

= − − +=

−

==∑∑∑ A k k k k k A k k

k

k k

k

k

k

N

( , , ) ( , ,1 2 3 2 1111

2

1

3 2

2

3

3

0 3 211

1 3 1112

3

3 1

3

3

0 0− + − +== ==

∑∑ ∑∑k A k k k Ak

k

k

N

k

k

k

N

) ( , , ) ( , 0 0, ).

Данная формула определяет структуру вложенных циклов алгоритма вычисления, а алго-ритм обладает достаточно хорошей эффективностью.

Так как полученные корни хi = хi (N), i = 1, 2 .. 4 уравнения (4.1) являются функцией от па-раметра N, то относительная ошибка вычисления хi, i = 1, 2 .. 4 будет определяться формулой:

δi (N) =− − − −x N a x N a x N a x N a

ai i i i( ) ( ) ( ) ( )

,4

13

22

3 4

4

i = 1, 2 .. 4. (4.61)

109

4.6. Преобразование гипергеометрических функций

4.6.1. Новые представления для гипергеометрических функцийПоскольку формулы для корней алгебраического уравнения (4.1) в форме Теоремы 4.2 требуют

особых преобразований для использования в качестве вычислительного алгоритма, то рассмотрими другие представления для гипергеометрических функций (4.30), лишенные этого недостатка.В частности, производя замену индекса k4 на −k4 + п − 1 в первых трех представлениях (4.25) и за-мену индекса суммирования k4 на −k4 + n в четвертом представлении, получим: (4.62)

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − +

+ − + −+ − + − − + − +

− − − + −

=

+

n k

k k k k k k k n

k

a a a a1 1

1 2 3 4

2 3 4

1

03

3 2 3 4 2 3 4

2

( ) ( ),

12

3 3

2 4

3

13

4 4

3

4

2

00

1− +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑

kkk

kk

n

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k2 2 3

2

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − +

+ − + −+ − + − − + − +

− − − + −

=

+

n k

k k k k k k k n

k

a a a a1 1

2 2 3 4

2 3 4

1

03

3 2 3 4 2 3 4

2

( ) ( ),

1 2

00

1

3 3

2 4

3

23

4 4

3

4

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑

kkk

kk

n

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

3 1 2 3

2

22 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) = + − − ++ − + −

+ − + − −k n k

k k k k k k k n

k

a a a a4 3

3 2 3 4 2 3 4

2

1 1

3 2 3 4

2 3 4

1

+ − +− − − + −+( ) ( )

,=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑0

2

0

1

0

1

32

3 3

2 4

3

4 4

3

4

kkk

kk

n

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) = − − − ++ − + −

+ − + − −k n k

k k k k k k k n

k

a a a a4 3

3 2 3 4 2 3 4

2

1 1

2 3 4

2 3 40

+ − +− − − +

=

−

+( ) ( ).

3 3

2 4

3

4 4

3

4

2

00

kkk

kk

n+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑∑

110

Как видим, в этих формулах параметр п находится только в верхнем пределе суммированияпоследней суммы, поэтому данные формулы легко применимы для непосредственного вычисле-ния корней уравнения (4.1), в форме: (4.63)

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − +

+ − + −+ − + − − + − +

− − − + −

=

+

n k

k k k k k k k n

k

a a a a1 1

1 2 3 4

2 3 4

1

03

3 2 3 4 2 3 4

2

( ) ( ),

12

3 3

2 4

3

13

4 4

3

4

2

00

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑∑

kkk

kk

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k2 2 3

2

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − +

+ − + −+ − + − − + − +

− − − + −

=

+

n k

k k k k k k k n

k

a a a a1 1

2 2 3 4

2 3 4

1

03

3 2 3 4 2 3 4

2

( ) ( ),

1 2

00

3 3

2 4

3

23

4 4

3

4

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑∑

kkk

kk

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

3 1 2 3

2

22 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) = + − − ++ − + −

+ − + − −k n k

k k k k k k k n

k

a a a a4 3

3 2 3 4 2 3 4

2

1 1

3 2 3 4

2 3 4

1

+ − +− − − + −+( ) ( )

,=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑∑0

2

0

1

0

32

3 3

2 4

3

4 4

3

4

kkk

kk

A n C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2( ) = − − − ++ − + −

+ − + − −k n k

k k k k k k k n

k

a a a a4 3

3 2 3 4 2 3 4

2

1 1

2 3 4

2 3 40

+ − +− − − +

=

−

+( ) ( ).

3 3

2 4

3

4 4

3

4

2

00

kkk

kk

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑∑

Область определения этих гипергеометрических функций определяется методом, аналогич-ным ранее изложенным:

a

a

a

a

a

a

14

4

2

12

3

13

25627

14

427

< < <, , . (4.64)

111

Таким образом, доказана ТЕОРЕМА 4.3. Корни уравнения (4.1) при условии, что его коэффи-циенты удовлетворяют условию (4.64), определяются формулами (4.51), (4.52), где коэффициен-ты n-образа задаются (4.63).

Пример 1. Вычислить корни уравнения

x x x x4 3162

8 8= + − + (4.65)

при условии, что для его вычислений используются только первые одиннадцать слагаемых в ря-дах (4.63).

Р еш е н и е: Проверяем, удовлетворяют ли условиям (4.64) коэффициенты уравнения (4.63),т. е. выполняются ли условия:

a

a

a

a

a

a

14

4

2

12

3

13

25627

14

427

< < <, , .

В данном случае имеем:116

25627

18

14

18

427

< < <, , .

Как видим, условия выполнены, поэтому вычисляем по формулам (4.63) для N = 10 (т. е.в этих формулах заменяем бесконечность на данное значение) коэффициенты n-образа:

A314

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1960340501e-2, A1

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3111925206е-1, A2

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1558710980e-1, A4

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1.995992480,

A212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.4675562884e-1, A3

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7828556656e-2, A1

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1245299440, A4

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.987861261,

A234

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −9355482320e-1, A1

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3740822495, A4

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 7.979122396, A3

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3126218834e-1.

112

Таким образом, искомые корни уравнения (4.65) будут равны:

x1 = −1.770834452, х2 = 2.294234895, х3 = .2382997775 + 1.970144916 I,x4 = .2382997775 − 1.970144916 I.

Точность вычислений равна:

δ (x1) = .1656250000е-8, δ (х2) = .2050000000е-8, δ (х3) = .3245796561е-9, δ (x3) = .3245796561е-9.

Задача решена.П р им е ч а н и е: Как видим, уже при N = 10 точность вычислений очень высока.


х4 = 6656 + 12Ix3 − 5х2 + 12х

при условии, что для его вычислений используются только первые одиннадцать слагаемых в ря-дах (4.63).

Р еш е н и е: Проверяем удовлетворяют ли условиям (4.64) коэффициенты исходного уравнения:

8126

25627

5144

14

1144

427

< < <, , .

Как видим, условия выполнены, поэтому вычисляем по формулам (4.63) для N = 10 (т. е.в этих формулах заменяем бесконечность на данное значение) коэффициенты n-образа:

A414

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 8.452956812 − .2404695652е-1 I, A1

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2716265991е-4 + .3384788391е-2 I,

A314

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4638348567е-2 + .8721800263е-1 I, A2

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1436183731е-1 − .7244676238е-4 I,

113

A112

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3722689581е-3 + .6180627305е-1 I, A4

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 72.49285758 − .2607383740 I,

A312

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7825671676е-1 + 1.206616985 I, A2

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1581668036 − .4748277136е-3 I,

A434

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 658.6605575 − 1.622577438 I, A1

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2868060183е-2 + .8871199474 I,

A234

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .8461261820 + .3782047542е-3 I, A3

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1.002179927 + 9.286071117 I.

Таким образом, искомые корни исходного алгебраического уравнения будут равны:

x1 = −7.652720199 + 2.287364335 I, х2 = 7.718056290 + 2.316048873 I,х3 = −.3870111780е-1 + 14.51932115 I, х4 = −.2670358121е-1 − 7.122598340 I.

Относительная ошибка вычислений равна:

δ (x1) = .5855773306е-5, δ (х2) = .6068250876е-5, δ (х3) = .8720401906е-4, δ (х4) = .2694017773е-5.

Задача решена с высокой точностью.

4.7. Формулы для корней при а1 = 0, а2 = 0

Исследование алгебраического уравнения (4.1) в общем случае представляет довольно слож-ную задачу из-за наличия трехкратных рядов в гипергеометрических функциях коэффициентовn-образа. Теория сходимости таких рядов представляет собой слабо исследованную область со-временной математики. Обойти это препятствие можно применением ранее введенных преобра-зований (4.2), (4.3), которые приводят исходное уравнение (4.1) к более простому виду.

114

Таким образом, если только:1) a1 = 0 — трехмерные ряды для коэффициентов n-образа переходят в двухмерные.2) a1 = 0, a2 = 0 — трехмерные ряды для коэффициентов n-образа переходят в одно-

мерные.3) а2 = 0, a3 = 0 — трехмерные ряды для коэффициентов n-образа переходят в одно-

мерные.Самыми интересными, с точки зрения конечного результата, являются второй и третий слу-

чаи. При этом третий случай фактически повторяет второй. Действительно, в этом случае алгеб-раическое уравнение (4.1) принимает вид:

x4 = а1х3 + а4. (4.66)

Выполняя подстановку:x

z= 1

, (4.67)

получим:14

1

3 4z

a

za= + .

Выполняя умножение обеих частей этого равенства на z4 и выделяя старшую степень по z, по-лучим:

za

za

a4 1

4

1

4

= − . (4.68)

Таким образом, получен второй вариант, поэтому только его и будем рассматривать. В этомслучае уравнение (4.1) принимает вид:

х4 = а3х + а4. (4.69)

Воспользуемся для преобразований гипергеометрическими представлениями вида (4.52).

115

4.7.1. Преобразование коэффициента А1 (п)Он определяется формулой:

A n C C C an k k k

k k k

k k k

k

k k

k

1 4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3( ) = − − − −+ +

+ + + 1

4 3 2 3 4

2 3 40

2 2

2 3 4 2 3 4

2

32

3 3

2 4

( ).

n k k k k k k

k

n k

a a a

k

− − −

=

− −

−

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑kk

n

nk

3

43

4 4

3

4 0

1

0

1

(4.70)

Очевидно, что если a1 = 0, a2 = 0, то во всех трех суммах останутся только те члены, в кото-рых показатель степени равен нулю. Отсюда следует:

4n − 3 − 2k2 − 3k3 − 4k4 = 0, k2 = 0.

Отсюда из первого равенства следует:

kn k k

343

2

3

4

31 2 4= − − − .

Представим его в виде:

k3 = n − k4 − 1 +n k−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4

3.

Последнее равенство (в скобках) может быть выполнено только тогда, когда

n − k4 = 3i, i— новый индекс суммирования.

Диапазон его изменения определяется диапазоном изменения k4.

При k4 = 0, n = 3i, i = n3

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

k4 = n − 1, 1 = 3i,k4 = n − 2, 2 = 3i,k4 = n − 3, 3 = 3i.

116

В итоге

k4 = n − 3i, kэ = 3i − 1 + 33

4 1i

i= − .

Тройная сумма в (4.70) переходит в простую сумму по индексу i вида:

A n a a Cnn ii

i

n

a

a1 4 3

11

4 1

1

3

34

43

( ) ( )=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟−

+ −−

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑ ⎟

i

.

Переходя стандартным образом к суммированию начиная с нуля, получим в итоге:

A n a a Cnn ii

i

n

a

a1 4

333 4 3

0

13

34

43

( ) ( )=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠

−++

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

∑ ⎟⎟

i

. (4.71)

Переходя к гипергеометрическому представлению, имеем:

A n a a C nnn

n n n1 4

333 3 1 1

53

13

13

1( ) , , ,( )= + − + − + −− hypergeom

343

54

32

74

27

256

34

43

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟, , , ,

a

a. (4.72)

4.7.2. Преобразование коэффициента A2 (n)Он определяется формулой:

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

2 4 3 2 3

1

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 3( ) = − − − −

+ + −+ + +

3 2 3 4 2 3 4

2

3 3

2

1

4 2 2 3 4

2 3 40

2 1 2


k

n kk

( ).

− − −

=

− −

−

− 4

3

43

23

4 4

3

4 00

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑kk

n

nk

(4.73)

117

Очевидно, что если a1 = 0, а2 = 0, то во всех трех суммах останутся только те члены, в кото-рых показатель степени равен нулю. Отсюда следует:

4n − 2 − 2k2 − 3k3 − 4k4 = 0, k2 = 0.


kn k k

343

23

2

3

4

32 4= − − − .


k3 = n − k4 +n k− −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4 2

3.


п − k4 − 2 = 3i,

i — новый индекс суммирования.


При k4 = 0, i n= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− 23

k4 = n − 1, −1 = 3i,k4 = n − 2, 0 = 3i.

Следовательно, i = 0. Это означает, что изменение индекса i определяется границами

0 23

, n −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

В итогеk4 = п − 2 − 3i, k3 = 3i + 2 + i = 4i + 2.

118


A n a a Cnn ii

i

n

a

a2 4

232 4 2

0

2

3

34

43

( ) ( )=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠

−++

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

∑ ⎟⎟

i

. (4.74)


A n a a C nnn

n n n2 4

232 2 1 1

43

13

13

1( ) , , ,( )= + − + − + −− hypergeom

323

34

54

32

27

256

34

43

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟, , , ,

a

a. (4.75)

4.7.3. Преобразование коэффициента А3 (п)Он определяется формулой:

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k3 4 2 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − − −

+ + −+ + − + 3

3 2 3 4 2 3 4

2

12

3 3

2

1

4 1 2 3 4

2 3 40

2

k n k k k k k k

k

n

a a a a

k

( ).

− − −

=

− −

−

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑2

00

14

3

43

13

4 4

3

4

k

kk

n

nk

(4.76)

Очевидно, что если a1 = 0, а2 = 0, то во всех трех суммах останутся только те члены, в кото-рых показатель степени равен нулю. Отсюда следует:

4n − 1 − 2k2 − 3k3 − 4k4 = 0, k2 = 0.


kn k k

343

13

2

3

4

32 4= − − − .

119


k3 = n − k4 +n k− −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4 1

3.


п − k4 − 1 = 3i,

i — новый индекс суммирования.Диапазон его изменения определяется диапазоном изменения k4.

При k4 = 0, i n= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− 13

k4 = n − 1, 0 = 3i.Следовательно, i = 0. Это означает, что изменение индекса i определяется границами

0 13

, n −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

В итогеk4 = n − 1 − 3i, k3 = 3i + 1 + i = 4i + 1


A n a a Cnn ii

i

n

a

a3 4

13

4 1

0

1

3

34

43

( ) ( )=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟−

++

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

∑ ⎟

i

. (4.77)


A n a a n nn n n n3 4

13 1 1

13

13

13

13

2( ) , , ,( )= + − + − + − +− hypergeom3

12

34

54

27

256

34

43

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟, , , ,

a

a. (4.78)

120

4.7.4. Преобразование коэффициента A4 (n)Он определяется формулой:

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k4 4 1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4( ) = − − − −

+ + −+ + − + 3

3 2 3 4 2 3 4

2

3 3

2

1 1

4 2 3 4

2 3 40

2 2

−− −

=

−

−

−

k n k k k k k k

k

n k

a a a a

k

( ).

4

3

43

4 4

3

4 00

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑∑

kk

n

nk

(4.79)

Очевидно, что если а1 = 0, а2 = 0, то во всех трех суммах останутся только те члены, в кото-рых показатель степени равен нулю. Поэтому:

4n − 2k2 − 3k3 − 4k4 = 0, k2 = 0.


kn k

343

4

34= − .


k3 = n − k4 +n k−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4

3.


n − k4 = 3i, i— новый индекс суммирования.


При k4 = 0, i n= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− 13

k4 = n − 1 − 3i, k3 = 4i.В итоге

k4 = n − 1 − 3i, k3 = 3i + 1 = 4i.

121


A n a Cnn ii

i

in

a

a4 4 1

4

0

1

3

34

43

( ) .=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+ −

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

∑ (4.80)


A n a nn n n n4 4

13

13

13

23

1113

( ) , , , ,= − + − + − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

hypergeom4

12

34

27

256

34

43

, , ,⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

a

a. (4.81)

Таким образом, установлены искомые формулы для гипергеометрических функций коэффи-циентов n-образа.

Очевидно, что область сходимости их определяется неравенством:

27

256

34

43

1a

a< . (4.82)

Следовательно, доказана ТЕОРЕМА 4.4. Алгебраическое уравнение (4.69), коэффициенты ко-торого удовлетворяют условию (4.82), имеет корни, определяемые формулами (4.51), (4.52), гдекоэффициенты n-образа характеризуются равенствами (4.72), (4.75), (4.78), (4.81).

Пример 1.Вычислить корни алгебраического уравнения:

х4 = 12х + 6656. (4.83)

122

Р еш е н и е: Проверяем выполнение условия (4.82).

2187294876348416

1< .

Так как условие выполнено, то вычисляем, используя формулы (4.72), (4.75), (4.78), (4.81),коэффициенты n-образа.

A314

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −4071095297е-2, A4

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 9.032403434, A1

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2894644236е-8, A2

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.2752393150е-5,

A312

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7354355056e-1, A4

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 81.58431200, A1

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2988067956e-7, A2

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3314763389e-4,

A334

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9964125317, A4

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 736.9024226, A1

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1686839709e-6, A2

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.2245521024e-3.

Теперь используя формулы (4.51), (4.52), вычисляем искомые корни уравнения (4.83).

x1 = −8.995556844, х2 = 9.069100384, х3 = −.3677177532е-1 + 9.032478310 I,х4 = −.3677177532е-1 − 9.032478310 I.

Искомые значения корней получены с высокой точностью, на что указывают относительныеошибки:

δ (х1) = .4507211538е-8, δ (х2) = .1502403846е-9, δ (х3) = .1045973558е-9,δ (х4) = .1045973558е-9.

Задача решена.

123

Покажем, что даже при значительно большем невыполнении условия (4.82) метод позволяетхорошо вычислять искомые корни.

Пример 2.Вычислить корни алгебраического уравнения:

х4 = 30Ix − 2 − 6I. (4.84)

Р еш е н и е: Проверяем выполнение условия (4.82).

54675 10512

1< .

Условие не выполнено, однако продолжаем вычислять, используя формулы (4.72), (4.75),(4.78), (4.81), коэффициенты n-образа.

A314

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3405304538 − .1774123305е-2 I, A4

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2728974626 − .8938882241е-1 I,

A114

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.4417936174е-1 − .7255271468е-1 I, A2

14

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7672152255е-1 − .4642755573е-1 I,

A212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3461781026 − .2100631669е-2 I, A3

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1.795658158 + 1.036050455 I,

A112

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1773163389 − .9917081313е-1 I, A4

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3395198877 − .3635475427 I,

A334

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −4.360458038 + 7.574499601 I, A1

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3122652461 + .4583316058е-2 I,

A234

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.6535683183 + .3787924540 I, A4

34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3867822446 − 1.846213961 I.

124

Теперь, используя формулы (4.51), (4.52), получаем искомые корни уравнения (4.84).

х1 = −2.754672776 + 1.575443911 I, х2 = .1999368419 − .6668503914е-1 I,х3 = 2.623152412 + 1.578982870 I, x4 = −.6841649841е-1 − 3.087741719 I.

Искомые значения корней получены с высокой точностью, на что указывают относительныеошибки:

δ (х1) = .4013010092е-6, δ (х2) = .1581138830е-9, δ (х3) = .1526106156е-6,δ (х4) = .6009346886е-7.


4.8. Приложения

Известно, что нахождение даже частных примеров вычисления сумм тройных конечных ря-дов представляет собой определенный математический результат. Формулы служат своеобраз-ным критерием других методов вычисления сумм рядов. Полученные результаты позволяют вы-числить специальные суммы тройных конечных рядов, возникающих в качестве частныхслучаев.

Пусть все корни уравнения (4.1) равны х0. Тогда справедливо равенство:

(x − x0)4 = 0. (4.85)

Следовательно, отсюда следует приведенное равенство:

х4 = 4х3х0 − 6 4202

03

04x x xx x+ − .

Таким образом, по определению:

а1 = 4x0, а2 = −6 02x , а3 = 4 0

3x , а4 = −x04 .

125

Подставляя эти значения в формулы (4.63), получим: (4.86)

A n xn n1

10

3 41 4( ) ( )( ) ( )= − ×+ − +

× − − ++ − + −

+ − + − − + − +C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

42 3

1

1 1 k

k k k kk

k

k

k

3

3 2 4 32

4

2

12

3 3

2

1 2 2564

0

38

( ) ,( ) ( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −

=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑2

00

14

3

13

4 4

3

4

k

kk

n

k

A n xn n2

1 40

2 41 2( ) ( )( ) ( )= − ×+ − +

× − − ++ − + −

+ − + − − + − +C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

42 3

2

1 1 k

k k k kk

k

k

k

3

3 2 4 32

4

2

3 3

2

1 2 2564

0

1

38

( ) ,( ) ( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −

=

− + 2

00

14

3

23

4 4

3

4

k

kk

n

k ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑

A n xn n3

1 60

1 41 2( ) ( )( ) ( )= − ×+ − +

× + − − ++ − + −

+ − + − − + −C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n1 2 3

2

22 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 1

4

03

3 2 4 32

4

2

32

3

1 2 25638+

− − −

=

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

k k k kk

k

k

k

( ) ,( ) ( )

3

2 4

3

4 4

3

4

2

0

1

0

1+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑k

kk

n

k

A n xn n4 0

41( ) ( ) ( )= − ×

× − − − ++ − + −

+ − + − − + −C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n1 2 3

1

12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 1

4

03

3 2 4 32

4

2

3 3

2

1 2 25638+

− − −

=

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

k k k kk

k

k

k

( ) .( ) ( )

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑∑

2

00

4

3

4 4

3

4

k

kk

n

k

В соответствии с формулами установлены зависимости коэффициентов n-образа от значениякорней уравнения (4.1). Так как в нашем случае эти корни все одинаковы и равны x0, то прини-

126

маем последовательно в каждой формуле для соответствующего значения Ai (n), i = 1 .. 4 усло-вие равенства корней. Это дает следующие равенства:

lim lim lim ( )(

x x x x x xx x

A nx n

3 4 2 3 1 24 0

03 4

1

4

→ → →=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

− + ) ( ) ( )n n n− + − +1 4 1 2

3,

lim lim lim ( ) (

x x x x x xx x

nA n x3 4 2 3 1 2

4 0

2 04 22

→ → →=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − ) ( ) ( )n n n− + − +1 4 3 4 ,

lim lim lim ( ) (

x x x x x xx x

nA n x3 4 2 3 1 2

4 0

3 01 44

→ → →=

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ) ( ) ( )n n n− + − +1 2 3 4 ,

lim lim lim ( )( ) (

x x x x x xx x

A nx n

3 4 2 3 1 24 0

04

4→ → →

=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = −

−3 4 1 2 1 4

3

+ − + − +n n n) ( ) ( ).

Приравнивая последовательно правые части соответствующих равенств, получим итоговыеформулы:

C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n k− − ++ − + −

+ − + − − + − +2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

42 3

1

1 1 3

3 2 4 32

4

2

12

3 3

2

1 2 2564

0

38

k k k kk

k

k

k

( )( ) ( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

− − −

=

− + 2

00

14

3

13

4 4

3

4

k

kk

n

k ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑

=− − + − ++( ) ( ) ( )( )1 1 4 1 2

3

1 n n n n,

C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n k− − ++ − + −

+ − + − − + − +2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

42 3

2

1 1 3

3 2 4 32

4

2

3 3

2

1 2 2564

0

1 2

38

k k k kk

k

k

kk

( )( ) ( )

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − −

=

− + 4

3

23

4 4

3

4 00

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑ =kk

n

k

= − − − + − +− +2 1 1 4 3 43 1( ) ( )( ) ( ) ( )n n n n ,

127

C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n+ − − ++ − + −

+ − + − − + −1 2 3

2

2 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 +− − −

=

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =k

k k k kk

k

k

k

3

3 2 4 32

4

2

32

3 3

1 2 2564

0

38

( )( ) ( )

2 4

3

4 4

3

4

2

0

1

0

1+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑k

kk

n

k

= − − − + − +− +2 1 1 2 3 44 1( ) ( )( ) ( ) ( )n n n n ,

C C Cn k k k

k k k n

k k k n

k

k n− − − ++ − + −

+ − + − − + −1 2 3

1

1 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

4 +− − −

=

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+

k

k k k kk

k

k

k

3

3 2 4 32

4

2

3 3

2

1 2 2564

0

38

( )( ) ( )

2

00

4

3

4 4

3

4

k

kk

n

k ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑∑

= −− − + − + − +( ) ( ) ( ) ( )1 3 4 1 2 1 4

3

n n n n.

Проверка подтверждает правильность расчетов. Как видим, формулы достаточно сложныеи существующими методами суммы этих конечных тройных биномиальных рядов вычислитьне просто.

5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИПусть задано алгебраическое уравнение пятой степени в приведенной форме:

х5 = a1х4 + а2х + a3x

2 + a4x + a5, (5.1)

где ai, i = 1 .. 5 — заданные действительные или комплексные числа.Ставится задача нахождения всех корней х = {x1, x2, x3, х4, x5} алгебраического уравне-

ния (5.1).Решение этой задачи производится методом, идентичным для квадратного, кубического

и уравнения четвертой степени.


В связи с тем, что подстановки, упрощающие вид исходного алгебраического уравнения (5.1),также серьезно упрощают и определение его решения, то получаем следующие результаты:а) Подстановка

x ya

= +1

5(5.2)

приводит уравнение (5.1) к виду:

y a y a ya a a a a

52

33

22

5

4

25

3

5

3

112

13

2 1 14

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

25

3

25

2

5

4

31252 1

23 1 1

5

4 5+ + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + + +

a a a a aa y a (5.3)

+ + +1

5

1

125

1

254 1 2 1

33 1

2a a a a a a.

Преобразование уравнения (5.1) к трехчленному виду:

y5 = a4y + a5 (5.4)

129

является крайне сложной (и громоздкой по объему вычислений) задачей. После введения Чирн-гаузом преобразований:

y c xii

i

m

==∑

1

, (5.5)

где сi — искомые значения, при заданном m, в 1786 году математику Брингу удалось, используяих, привести уравнение (5.1) к виду (5.4). Однако позже они были утеряны, и только Джерардв 1893 году восстановил их вновь. Предварительные оценки показывают, что объем результатоввычислений составляет от 150 до 200 страниц.

5.2. n Образ алгебраического уравнения пятой степени

Правую и левую части уравнения (5.1) возведем в степень с натуральным числом п:

x(5n) = (a1х4 + а2х

3 + а3х2 + a4х + а5)

n. (5.6)

Алгебраическое уравнение (5.6) является уравнением степени 5n и заведомо содержит всекорни исходного уравнения (5.1). Правая часть (5.6) является алгебраическим уравнением степе-ни 4n и, в соответствии с формулой Ньютона, принимает вид:

(a1x4 + a2x

3 + a3x2 + а4х + а5)

n = (5.7)

==

− − −

=

− −

=

−

=−∑∑∑∑ C Cn

i

i

n i i i

i

n i i

i

n i

i

n

n1

4

1 2 3

3

1 2

2

1

1 0000i

i

n i i

i

n i i i

i i i i i n iC C a a a a a

1

2

1 2

3

1 2 3

4 1 2 3 4 11 2 3 4 5− − − − −

−( − − − + + +i i i i i i ix2 3 4 1 2 3 44 3 2) ( )

.

Способом, совершенно аналогичным, как это сделано для уравнений низших степеней, прихо-дим к представлению уравнения (5.6) в виде:

х(5n) = А1 (п)х4 + А2 (п)х

3 + А3 (п)х4 + А4 (п)х + А5 (п) (5.7)

130

или к эквивалентному представлению:

(a1х4 + а2х

3 + а3х2 + a4x + a5)

n = А1 (п)х4 + А2 (п)х

3 + А3 (п)х2 + А4 (п)х + А5 (п), (5.8)

где Ai (n), i = 1 .. 5 — многочлен коэффициентов a1, а2 .. a5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1: Алгебраическое уравнение (5.7) (или эквивалентное ему (5.8)) называетсяn-образом алгебраического уравнения (5.1), a Ai (n), i = 1 .. 5 — называются коэффициентамиn-образа.

Вычисление коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 5 производится с использованием уравне-ний (5.7), (5.8) с учетом исходного (5.1).

Пример: Вычислить значения коэффициентов n-образа Ai (n), i = 1 .. 5 для случаевn = 1, 2:

Р еш е н и е: Принимая в (5.8) n = 1, получим:

а1х4 + а2х

3 + а3х2 + a4х + a5 = A1 (1)х

4 + А2 (1)х3 + А3 (1)х

2 + А4 (1)x + A5 (1).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней хk, k = 0, 1, 2, 3, 4, уста-навливаем:

A1 (1) = a1, A2 (1) = a2, A3 (1) = a3, A4 (1) = a4, A5 (1) = a5. (5.9)

Снова принимая в (5.8) п = 2, получим:

(a1x4 + a2x

3 + a3x2 + a4x + a5)

2 = A1 (2)х4 + А2 (2)х

3 + А3 (2)х2 + A4 (2)x + A5 (2).

Раскрывая скобки в левом выражении, имеем: (5.10)

a x12 8 + 2a1x

7a2 + (2a1a3 + a22)x6 + (2a1a4 + 2a2a3)x

5 + (2a1a5 + 2a2a4 + a32)x4 + (2a2a5 + 2a3a4)x

3 ++ (a4

2 + 2a3a5)x2 + 2a4xa5 + a5

2 = A1 (2)х4 + А2 (2)х

3 + А3 (2)х2 + A4 (2)x + A5 (2).

Исходное уравнение (5.1) дает:

x5 = а1x4 + a3x

3 + a3x2 + a4x + a5.

x6 = (a2 + a12)x4 + (a3 + a1a2)x

3 + (a4 + a1a3)x2 + (a5 + a1a4)x + a1a5.

131

x7 = (a3 + 2a1a2 + a13)x4 + (a4 + a1a3 + a a a1

22 2

2+ )x3 + (a5 + a1a4 + a a12

3 + a2a3)x2 +

+ (a1a5 + a a12

4 + a2a4)x + a5 (a2 + a12).

x8 = (2a1a3 + 3 12

2a a + a4 + a a22

14+ )x4 + (a1a4 + a a1

23 + 2a2a3 + a5 + a a1

32 + 2 1 2

2a a )x3 ++ (2a1a2a3 + a1a5 +a a1

24 + a2a4 +a a a3

213

3+ )x2 + (a2a5 + 2a1a2a4 +a a a a12

5 13

4+ + a3a4)x + a5 (a3 + 2a1a2 +a13).

Подставляя эти равенства в (5.10), получаем:

(6a1a2a3 + 2a1a5 + 6 512

22

32

14

2a a a a a+ + + 2a2a4 + a a a a a a16

13

3 23

12

44 3+ + + )x4 ++ (a a a a1

34 2

233+ + 2a3a4 + 4a1a2a4 + 2 4 31 3

214

3 12

5 13

22

1 23

15

2a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2a2a5 + 6 12

2 3a a a )х3 ++ (a a a a a a a2

24 1

22 4 2 3

23 2+ + + 4a1a3a4 + 2a1a2a5 + 2a3a5 +a a a a a a a a a a a a a a a14

4 13

2 3 13

5 42

1 22

3 12

32

15

34 3 3+ + + + + + )x2 ++ (3 1

23 4 2

25a a a a a+ + 2a4a5 + 2 41 4

215

4 13

2 4a a a a a a a+ + + 2a2a3a4 + 2a1a3a5 + 3 31 22

4 14

5 12

2 5a a a a a a a a+ + )x ++ a5 (a5 +4 31

32 1 2

215a a a a a+ + + 2a1a4 + 2a2a3 +3 1

23a a ) = A1 (2)x

4 + A2 (2)x3 + A3 (2)x

2 + A4 (2)x + A5 (2).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых значениях степеней хk, k = 0, 1, 2, 3, устанав-ливаем, что: (5.11)

A1 (2) = 6a1a2a3 + 2a1a5 + 6 512

22

32

14

2a a a a a+ + + 2a2a4 + a a a a a a16

13

3 23

12

44 3+ + + .

А2 (2) = a a a a13

4 22

33+ + 2a3a4 + 4a1a2a4 + 2 4 31 32

14

3 12

5 13

22

1 23

15

2a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2a2a5 + 6 12

2 3a a a .

A3 (2) = a a a a a a a22

4 12

2 4 2 323 2+ + + 4a1a3a4 + 2a1a2a5 + 2a3a5 + a a a a a a a a a a a1

44 1

32 3 1

35 4

21 2

234 3+ + + + +

+ 3 12

32

15

3a a a a+ .

A4 (2) = 3 12

3 4 22

5a a a a a+ + 2a4a5 +2 41 42

15

4 13

2 4a a a a a a a+ + + 2a2a3a4 + 2a1a3a5 + 3 31 22

4 14

5 12

2 5a a a a a a a a+ + .

A5 (2) = a5 (a5 + 4 313

2 1 22

15a a a a a+ + + 2a1a4 + 2a2a3 + 3 1

23a a ).

Задача решена.Совершенно аналогичным образом можно получать значения коэффициентов n-образа Ai (n),

i = 1 .. 5 и для любых других значений параметра n.

132

5.3. Свойства n образа

СВОЙСТВО 1. Уравнение n-образа имеет степень 5n (или 4n) и содержит все корни исходногоуравнения (5.1).

Данное свойство очевидно, так как уравнение n-образа (5.7) (или (5.8)) следует из уравнения(5.1), для которого это условие заведомо выполнено.

СВОЙСТВО 2. Коэффициенты n-образа Аi (п), i = 1 .. 5 определяются рекуррентными соотно-шениями: (5.12)

A1 (n + 1) = (a5 + 4 313

2 1 22

15a a a a a+ + + 2a1a4 + 2a2a3 + 3 1

23a a )A1 (n) +

+ (2a1a3 + 3 12

2a a + a4 + a a22

14+ )А2 (п) + (a3 + 2a1a2

2 + a13)А3 (п) + (a2 + a1

2)А4 (п) + А5 (п) a1,

А2 (п + 1) = (a1a5 + a a a a a14

2 12

4 32+ + + 4a1a2a3 + 3 1

222a a + 2a2a4 + a a a1

33 2

3+ )A1 (n) ++ (a1a4+ a a1

23 +2a2a3+ a5+ a a a a1

32 1 2

22+ )А2 (п)+ (a4+ a1a3+ a a a12

2 22+ )A3 (n)+ (a3+ a1a2)A4 (n)+ A5 (n)a2,

A3 (n + 1) = (a a12

5 + 2a3a4 + a a14

3 + a2a5 + 2a1a2a4 + a a a a a a a a a13

4 1 32

12

2 3 22

32 3+ + + )A1 (n) ++ (2a1a2a3 + a1a5 + a a1

24 + a2a4 + a a a3

213

3+ )A2 (n) + (a5 + a1a4 + a a12

3 + a2a3)А3 (п) ++ (a4 + a1a3)A4 (n) + A5 (n) a3,

A4 (n + 1) = (a a14

4 + 2a1a2a5 + a a a a a a a a13

5 42

22

4 12

2 43+ + + + a3a5 + 2a1a3a4)A1 (n) ++ (a2a5 + 2a1a2a4 + a a a a1

25 1

34+ + a3a4)A2 (n) + (a1a5 + a a1

24 + a2a4)A3 (n) + (a5 + a1a4)A4 (n) + A5 (n)a4,

A5 (n + 1) = a5 (2a1a3 + 3 12

2a a + a4 + a a22

14+ )A1 (n) + a5 (a3 + 2a1a2 + a1

3)А2 (п) + a5 (a2 + a12)A3 (n) +

+ A4 (n) a1a5 + A5 (n) a5.

Доказательство: Принимая в (5.7) n = n + 1, получаем:

x(5n + 5) = A1 (n + 1)x4 + A2 (n + 1)x3 + A3 (n + 1)x2 + A4 (n + 1)x + A5 (n + 1).


А1 (п + 1)х4 + А2 (п + 1)х3 + А3 (п + 1)x2 + A4 (n + 1)x + A5 (n + 1) == (А1 (п)х

4 + А2 (п)х3 + А3 (п)х

2 + A4 (n)x + A5 (n)) (а1х4 + а2х

3 + а3х2 + а4х + a5).

133

Раскрывая скобки в правой части этого равенства и далее приводя подобные члены при одина-ковых степенях xk, k = 0, 1 .. 5, получим, приравнивая левые и правые части формулы (5.12), фор-мулы, которые позволяют легко получать все значения коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1 .. 5,n = 1, 2, 3, 4... . Действительно, принимая, например, в формулах (5.12) n = 1, получаем:

A1 (2) = (a5 + 4 313

2 1 22

15a a a a a+ + + 2a1a4 + 2a2a3 + 3 1

23a a )A1 (1) + (2a1a3 + 3 1

22a a + a4 + a a2

214+ )А2 (1) +

+ (a3 + 2a1a2 + a13)А3 (1) + (a2 + a1

2)A4 (1) + A5 (1)a1,

A2 (2) = (a1a5 + a a a a a14

2 12

4 32+ + + 4a1a2a3 + 3 1

222a a + 2a2a4 + a a a1

33 2

3+ )A1 (1) ++ (a1a4 + a a1

23 + 2a2a3 + a5 + a a a a1

32 1 2

22+ )А2 (1) + (a4 + a1a3 + a a a12

2 22+ )A3 (1) +

+ (a3 + a1a2)A4 (1) + A5 (1)a2,

A3 (2) = (a a12

5 + 2a3a4 + a a14

3 + a2a5 + 2a1a2a4 + a a a a a a a a a13

4 1 32

12

2 3 22

32 3+ + + )A1 (1) ++ (2a1a2a3 + a1a5 + a a1

24 + a2a4 + a a a3

213

3+ )A2 (1) + (a5 + a1a4 + a a12

3 + a2a3)A3 (1) ++ (a4 + a1a3)A4 (1) + A5 (1) a3,

A4 (2) = (a a14

4 + 2a1a2a5 + a a a a a a a a13

5 42

22

4 12

2 43+ + + + a3a5 + 2a1a3a4)A1 (1) ++ (a2a5 + 2a1a2a4 + a a a a1

25 1

34+ + a3a4)A2 (1) + (a1a5 + a a1

24 + a2a4)A3 (1) + (a5 + a1a4)A4 (1) + A5 (1)a4,

A5 (2) = a5 (2a1a3 + 3 12

2a a + a4 + a a22

14+ )A1 (1) + a5 (a3 + 2a1a2 + a1

3)A2 (1) ++ a5 (a2 + a1

2)A3 (1) + A4 (1)a1a5 + A5 (1)a5.

С учетом (5.9) имеем: (5.13)

A1 (2) = 6a1a2a3 + 2a1a5 + 6 512

22

32

14

2a a a a a+ + + 2a2a4 + a a a a a a16

13

3 23

12

44 3+ + + ,

A2 (2) = a a a a13

4 22

33+ + 2a3a4 + 4a1a2a4 + 2 4 31 32

14

3 12

5 13

22

1 23

15

2a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2a2a5 + 6 12

2 3a a a ,

A3 (2) = a a a a a a a22

4 12

2 4 2 323 2+ + + 4a1a3a4 + 2a1a2a5 + 2a3a5 + a a a a a a a a a a a1

44 1

32 3 1

35 4

21 2

234 3+ + + + +

+ 3 12

32

15

3a a a a+ ,

A4 (2) = 3 12

3 4 22

5a a a a a+ + 2a4a5 + 2 41 42

15

4 13

2 4a a a a a a a+ + + 2a2a3a4 + 2a1a3a5 + 3 31 22

4 14

5 12

2 5a a a a a a a a+ +A5 (2) = a5 (a5 + 4 31

32 1 2

215a a a a a+ + + 2a1a4 + 2a2a3 + 3 1

23a a ).

134

Сравнивая полученные значения с (5.11), устанавливаем, что они совпадают. Таким обра-зом, пользуясь формулами (5.12), действительно последовательно находим Аi (п), i = 1 .. 5,n = 3, 4, 5... .

СВОЙСТВО 3. Существует строгая связь между коэффициентами n-образа Аi (п), i = 1 .. 5и корнями алгебраического уравнения (5.1), а именно: если известны различные корни алгеб-раического уравнения (5.1) х = {xi, i = 1 .. 5}, то коэффициенты n-образа Аi (п), i = 1 .. 5, опре-деляются однозначно.Доказательство: Действительно, в соответствии со свойством 1, корни исходного уравнения

(5.1) заведомо являются также корнями уравнения n-образа (5.7). Следовательно,

xin( )5 = A1 (n)xi

4 + A2 (n)xi3 + A3 (n)xi

2 + A4 (n)x + A5 (n), i = 1 .. 5.

Решая эту систему алгебраических уравнений, получим искомые формулы (здесь не приво-дятся в силу громоздкости). Свойство 3 доказано.

Подставляя эти формулы в рекуррентные соотношения (5.12), получим новые четыре соотно-шения между корнями алгебраического уравнения (5.1), отличные от определяемых теоремойВиета, в силу наличия произвольного параметра п. Непосредственной проверкой можно убедить-ся, что при n = 1 эти формулы совпадают с соотношениями, определяемыми теоремой Виета дляуравнения пятой степени.

5.4. Определение общих формул для коэффициентов n образа Аi (n), i = 1, 2 .. 5

Так как в соответствии со свойством 3 была доказана прямая связь между значениями коэф-фициентов n-образа и корнями исходного уравнения (5.1), то крайне важной является задачаопределения общих формул представления для коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1 .. 5.

Анализируя вычисленные значения (5.13) для коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1 .. 5, уста-навливаем, что в общей форме эти коэффициенты определяются суммой слагаемых видаВ (k1, k2 .. k5) a a a a a

k k k k k

1 2 3 4 51 2 3 4 5, где В (k1, k2 .. k5) — некоторый числовой коэффициент, являю-

135

щийся целым числом, a ki, i = 1 .. 5 — показатели степени. При этом выясняется следующая за-кономерность:если ввести комбинированный параметр:

K(n) = k1 + 2k2 + 3k3 + 4k4 + 5k5, (5.14)

то для всех слагаемых, образующих коэффициент A1 (n), он принимает значение:

K (n) = 5n − 4. (5.15)

Действительно, возьмем, например, первое слагаемое в A1 (2): −6a1а2а3. Тогда сумма степе-ней, в соответствии с (4.17), для него равна: −1 + 2 (1) + 3 (1) = 6. В то же время в соответствиис формулой (5.15) имеем: 5 (2) − 4 = 6. Как видим, результаты совпали.

Совершенно аналогично выясняется, что:1) для всех слагаемых, образующих коэффициентА2 (n), параметр (5.14) принимает значение:

K (n) = 5n − 3,

2) для всех слагаемых, образующих коэффициент А3 (п), он принимает значение:

K (n) = 5n − 2,

3) для всех слагаемых, образующих коэффициент А4 (п), он принимает значение:

K (n) = 4n − 1,

4) для всех слагаемых, образующих коэффициент A5 (n), он принимает значение:

K (n) = 4n.

Таким образом, общая формула для для всех степеней слагаемых многочленов, образующихкоэффициенты Аi (п), i = 1 .. 5, определяется формулой:

5п − 5 + i = k1 + 2k2 + 3k3 + 4k4 + 5k5. (5.16)

136

5.4.1. Вывод общих формул для коэффициентов Аi (п), i = 1, 2 .. 5

Таким образом, показатели слагаемых a a a a ak k k k k

1 2 3 4 51 2 3 4 5 многочлена для коэффициентов Аi (п),

i = 1 .. 5 удовлетворяют формуле (5.16). Отсюда следует, что

k1 = 5п − 5 + i − 2k2 − 3k3 − 4k4 − 5k5. (5.17)

Таким образом, слагаемые многочлена, определяющего вид коэффициента Аi (п), определяют-ся видом:

a a a a an i k k k k k k k k

1

5 5 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5( )

.− + − − − −

(5.18)

Поскольку параметр k1, принимая значение равное нулю, определяет при этом максимальноезначение парметра k2, max, то из (5.17) получим:

0 = 5n − 5 + i − 2k2 − 3k3 − 4k4 − 5k5.


kn i k k k

2

5 5 3 4 5

23 4 5

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + − − −. (5.19)

Здесь квадратные скобки означают выполнение операции округления дроби до наименьшегоцелого числа вниз.

Снова принимая в (5.19) k2, max = 0, получаем равенство:

5n − 5 + i − 3k3, max − 4x4 − 5k5 = 0.

Отсюда имеем:

kn i k k

3

5 4 4 5

34 5

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + − −. (5.20)

137

Совершенно аналогичными рассуждениями получаем:

kn i k

4

5 4 5

45

, max = ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− + −. (5.21)

Таким образом, с учетом (5.19), (5.20), (5.21) формула для нахождения коэффициентов Аi (п),i = 1 .. 5 может быть записана следующим образом: (5.22)

A n B k k k ni ik

n i k k k

( ) ( , .. , )==

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦

− + − − −

1 2 502

5 5 3 3 4 4 5 5

2⎥⎥

− + − − − −

=∑ a a a a a

n i k k k k k k k k

k

n

1

5 5 2 3 4 5

2 3 4 50

2 3 4 5 2 3 4 5

3

5

.

− + − −− + − ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

5 4 4 5 5

3

4

5 5 5 5

4

5 00

i k kn i k

kk

n i ss

i

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

∑δ ( )

5

δ (i) — символ Кронекера, обладающий свойством: δ (0) = 1, δ (i) = 0, i — натуральное число.Нахождение коэффициентов Вi (k1, k2 .. k5, n) производим подходом, изложенным ранее, со-

вершенно аналогичным для случаев уравнений меньших степеней. Используя, в частности, ме-тод аналогии построения коэффициентов B1 (k1, k2 .. k5, n) для уравнений второй, третьей и чет-вертой степени, выписываем их известные значения:— для уравнений второй степени: C n k

k

2 12

2− − ,

— для уравнении третьей степени: C Cn k k

k k

k k

k

3 2 23 2

2 3

2 3

2− − −+

+( )

,

— для уравнений четвертой степени: C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 3 2 34 3 2

2 3 4

2 3 4

2

4 3

3− − − −+ +

+ + +( )

.

Поэтому предполагаемый вид коэффициента В1 (k1, k2 .. k5, n) для определения коэффициен-та А1 (п) характеризуется формулой:

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

k5 4 3 2 45 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

3− − − − −+ + +

+ + +( )

+ + +k k

k

k k

kC

4 5

3

4 5

4 .

138

В итоге, аналогичным подходом, получаем искомые значения коэффициентов n-образа Аi (п),i = 1, 2 .. 5:

A nikk

n i k k kn i

( ) = ×=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− + − − −− + −

∑2

5 5 3 3 4 4 5 5

2

3

5 5

00

4 4 5 5

3

4

5 5 5 5

4

5 00

k kn i k

kk

n s−− + − ⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑δ ( −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

∑i

s i)

4

(5.22)

×− − − − − + − −

+ + + −

=∑

Cn k k k k i i s

k k k k

s

i

5 4 3 2 4 25 4 3 23

2 3 4 5

( ) ( )δ

δ

δ

( )

( )

i s

k k k k i s

s

i

s

iC

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

+ + + − −

=

=

∑2

2 3 4 53

∑ ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + −

=

k

k k k i s

k

k k

C C

s

i2

4 3 54

3

4 5δ δ( ) ( )i s

k

s

i

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

×

5

4

×− + − − − −

a a a a an i k k k k k k k k

1

5 5 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ).

Или в раскрытой форме для каждого члена: (5.23)

A n Ck

n k k k

n k k k

10

5 4 3 2

2

5 4 3 3 4 4 5 5

2

5 4( ) =

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −

− − − −

∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

3

4 54− −+ + +

+ + + + + +k

k k k k

k k k k

k

k k k

k

k kC C C( ) k

kk

n k kn k

4

3

5 4 4 4 5 5

3

4

5 4 5 5

4

00 =

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −− −

∑∑k

n

5 0

1

=

−

∑ ×

×− − − − −

a a a a an k k k k k k k k

1

5 4 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ),

A n Ck

n k k k

n k k k

20

5 4 3 2

2

5 3 3 3 4 4 5 5

2

5 4( ) =

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −

− − − −

∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

3

44

1

− −+ + + −

+ + + + + +k

k k k k

k k k k

k

k k k

k

kC C C( )

k

k

kk

n k kn k

5

4

3

5 3 4 4 5 5

3

4

5 3 5 5

4

00 =

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

− − −− −

∑⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − −


1

5 3 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ),

139

A n Ck

n k k k

n k k k

30

5 4 3 2

2

5 2 3 3 4 4 5 5

2

5 4( ) =

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −

− − − −

∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

33

1

1− −+ + + −

+ + + − + +k

k k k k

k k k k

k

k k k

k

kC C C( )

4 5

4

3

5 2 4 4 5 5

3

4

5 2 5 5

4

00+

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤ − − −− −

∑ k

k

kk

n k kn k

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − −


1

5 2 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ),

A n Ck

n k k k

n k k k

40

5 4 3 2

2

5 1 3 3 4 4 5 5

2

5 4( ) =

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −

− − − −

∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

32

1

1 1− −+ + + −

+ + + − + + −k

k k k k

k k k k

k

k k k

kC C

( )Ck k

k

kk

n k kn k

4 5

4

3

5 1 4 4 5 5

3

4

5 1 5 5

4

00+

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢

− − −− −

∑⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − −


1

5 1 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ),

A n Ck

n k k k

n k k k

50

5 4 3 2

2

5 3 3 4 4 5 5

2

5 4 3( ) =

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − − −

− − −

∑ k

k k k k

k k k k

k

k k k

k

kC C C2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

31

1

1 1−+ + + −

+ + + − + + −( )

4 5

4

3

5 4 4 5 5

3

4

5 5 5

4

100

+ −=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

− −−

∑ k

k

kk

n k kn k

⎥

=∑∑ ×

k

n

5 0

×− − − −


1

5 2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ).


5.5. Гипергеометрическая форма представления коэффициентов n образа Аi (n), i = 1 .. 5

Полученные конечные суммы для коэффициентов n-образа Аi (п), i = 1, 2 .. 5 определены длялюбых целых натуральных значений n. Вводя новые переменные:

za

a1

2

12

= , za

a2

3

13

= , za

a3

4

14

= , za

a4

5

15

= , (5.24)

140

представим формулы (5.22) следующим образом:

A n ain i

kk

n i k k k

( ) ( )= ×− +

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − − −

∑15 5

02

5 5 3 3 4 4 5 5

2

3

5 5 4 4 5 5

3

4

5 5 5 5

4

00 =

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − −− + −

∑

n i k kn i k

k∑∑

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

k

n s is i

5

4

0

δ ( )

(5.25)

×− − − − − + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

=∑

Cn k k k k i i s

k k

s

i

5 4 3 2 4 25 4 3 23

2

( ) ( )δ

3 4 52

2 3 4 5

+ + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

+ + + −

=∑k k i s

k k k k

s

i

Cδ

δ

( )

(i s

k

k k k i s

k

s

i

s

iC

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= =∑ ∑) ( )

3

2

4 3 54

3

δ

Ck k i s

k

s

i

4 55

4

+ − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

×δ ( )

× z z z zk k k k

1 2 3 42 3 4 5, i = 1, 2 .. 5.

Будем считать, что коэффициенты ai, i = 1, 2 .. 5 уравнения (5.1) выбраны таким образом,что правые части формул (5.25) представляют собой сходящиеся ряды при любых, даже оченьбольших значениях параметра п. В этом случае справедлива ТЕОРЕМА 5.1: КоэффициентыАi (п), i = 1, 2 .. 5, представляют собой гипергеометрические функции: (5.26)

A n a n n k k k r r r rk k k k

1 15 4 5 4 2 3 43 4 5 1

223

34

45

( ) ( ) ( , )= − − + + +P

P ( , ) ! ! ! !− + + + +=

∞

=

∞

=∑∑ 5 4 2 3 42 3 4 5 2 3 4 5234 00 n k k k k k k k kkkk 00

5

∞

=

∞

∑∑k

,

A n a n n k k k k k k k rk

2 15 3 5 3 2 3 43 4 5 2 3 4 5 1

( ) ( ) ( , ) ( )= − − + + + + + +P 2

23

34

45

2 3 4 5 2 3 45 3 5 4 2 3 4

r r r

n n k k k k k k k

k k k

( ) ( , ) ! !− − + + + +P ! !kkkkk 52345 0000 =

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑∑ ,

A n a n n k k k k k k r rk

3 15 2 5 2 2 3 43 4 5 4 3 5 1

22

( ) ( ) ( , ) ( )= − − + + + + +P

k k kr r

n n k k k k k k k k

334

45

2 3 4 5 2 3 4 55 2 5 3 2 3 4( ) ( , ) ! ! !− − + + + +P !kkkk2345 0000 =

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑∑ ,

141

A n a n n k k k k k r r rk k

4 15 1 5 1 2 3 43 4 5 4 5 1

223

( ) ( ) ( , ) ( )= − − + + + +P 3

445

2 3 4 5 2 3 4 55 5 2 2 3 4 5 1

k kr

n k k k k n k k k kk P ( , ) ( ) ! ! ! !− + + + + −2345 0000 =

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑∑kkk

,

A n a n n k k k k r r r rk k k k

5 15 5 2 3 43 4 5 5 1

223

34

45

( ) ( ) ( , )

(=

− + +P

P − + + + +=

∞

=

∞

=∑∑ 5 1 2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5234 00 n k k k k n k k k kkkk , ) ! ! ! !00

5

∞

=

∞

∑∑k

.

гдеri = −zi, i = 1 .. 4 (5.27)

или

ra

a1

2

12

= − , ra

a2

3

13

= − , ra

a3

4

14

= − , ra

a4

5

15

= − , (5.28)

с областью определения:

| |r42563125

< , | |r327256

< , | |r2427

< , | |r114

< . (5.29)

Доказательство: Докажем Теорему 5.1 для коэффициента A1 (n).Вводя обозначение:

F k k k k C Cn k k k k

k k k k

k( , , , )2 3 4 5 5 4 3 2 45 4 3 2

2 3 4 5

2= − − − − −

+ + ++ k k k

k

k k k

k

k k

kC C

3 4 5

2

4 3 5

3

4 5

4+ + + + +

и следуя горновскому определению, составим соотношения: (5.30)

f k k k kF k k k k

F k k k k

n1 2 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

1 5( , , , )

( , , , )

( , , , )

(= =

+ − − − − − − − − − −

− −

5 4 3 2 5 5 5 4 3 2 4

5 4 35 4 3 2 5 4 3 2

5

k k k k n k k k k

n k

) ( )

( k k k k4 3 2 22 4 1− − − +) ( ),

142

f k k k kF k k k k

F k k k k2 2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

1( , , , ) :

( , , , )

( , , , )= =

+

=− − − − − − − − − − −( ) ( ) (5 5 4 3 2 6 5 5 4 3 2 5 5 55 4 3 2 5 4 3 2n k k k k n k k k k n k k k k

n k k k k n k k5 4 3 2

5 4 3 2 5 4

4 3 2 4

5 4 3 2 5 5 4 3

− − − −

− − − − − − − −

)

( ) ( 2 4 13 2 3k k k− − +) ( ),

f k k k kF k k k k

F k k k k3 2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

1( , , , ) :

( , , , )

( , , , )= =

+

=− − − − − − − − − − −( ) ( ) (5 5 4 3 7 2 5 5 4 3 2 6 5 55 4 3 2 5 4 3 2n k k k k n k k k k n k k k k n k k k k

n k k5 4 3 2 5 4 3 2

5 4

4 3 2 5 5 5 4 3 2 4

5 4 3

− − − − − − − − −

− −

) ( )

( − − − − − − − − − − − − −2 6 5 4 3 2 5 5 4 3 23 2 5 4 3 2 5 4 3 2k k n k k k k n k k k k) ( ) ( 4 14)( )k +,

f k k k kF k k k k

F k k k k4 2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

1( , , , ) :

( , , , )

( , , , )= =

+

=− − − − − − − − − − −( )( )(5 5 4 8 3 2 5 5 4 3 7 2 5 55 4 3 2 5 4 3 2n k k k k n k k k k n k k k k n k k k k n k k5 4 3 2 5 4 3 2 5 44 3 2 6 5 5 4 3 2 5 5 5 4− − − − − − − − − − −)( )( − − −

− − − − − − − − − −

3 2 4

5 4 3 7 2 5 4 3 2 6

3 2

5 4 3 2 5 4 3

k k

n k k k k n k k k

)

( )( k n k k k k n k k k k k2 5 4 3 2 5 4 3 2 55 4 3 2 5 5 4 3 2 4 1)( )( )(− − − − − − − − − − + ).

Так как порядки полиномов числителей и знаменателей во всех формулах равны, то отсюдаследует, что соответствующие бесконечные ряды сходятся условно и имеют конечные радиусысходимости. Действуя по схеме Горна, вычислим эти радиусы. Для этого в формулах (5.30) вве-дем преобразования:

k2 = sl2, k3 = sl3, k4 = sl4, k5 = sl5,

где l2, l3, l4, l5 — параметры, принимающие значение в интервале [0, 1], а параметр s принимаетзначение в интервале [0, ∞).

Тогда получим:

f1 (sl2, sl3, sl4, sl5) =( ) (5 5 4 3 2 5 5 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3 2n sl sl sl sl n sl sl sl sl− − − − − − − − − − 4

5 4 3 2 4 15 4 3 2 2

)

( ) ( )n sl sl sl sl sl− − − − − +,

143

f2 (sl2, sl3, sl4, sl5) =

=− − − − − − − − −( ) (5 5 4 3 2 6 5 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3 2n sl sl sl sl n sl sl sl sl − − − − − −

− − − −

5 5 5 4 3 2 4

5 4 3 25 4 3 2

5 4 3

) ( )

(

n sl sl sl sl

n sl sl sl sl2 5 4 3 2 35 5 4 3 2 4 1− − − − − − +) ( ) ( )n sl sl sl sl sl,

f3 (sl2, sl3, sl4, sl5) =

=− − − − − − − − −( )(5 5 4 3 7 2 5 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3 2n sl sl sl sl n sl sl sl sl − − − − − − − − − −6 5 5 4 3 2 5 5 5 4 3 25 4 3 2 5 4 3)( )(n sl sl sl sl n sl sl sl sl

n sl sl sl sl n sl sl sl s

2

5 4 3 2 5 4 3

4

5 4 3 2 6 5 4 3 2

−

− − − − − − − − −

)

( )( l n sl sl sl sl sl2 5 4 3 2 45 5 4 3 2 4 1− − − − − − +)( )( ),

f4 (sl2, sl3, sl4, sl5) = ((5n − 5sl5 − 4sl4 − 8 − 3sl3 − 2sl2) (5n − 5sl5 − 4sl4 − 3sl3 − 7 − 2sl2) ×× (5n − 5sl5 − 4sl4 − 3sl3 − 2sl2 − 6) (5n − 5sl5 − 4sl4 − 3sl3 − 2sl2 − 5) (5n − 5sl5 − 4sl4 − 3sl3 − 2sl2 − 4)) /

/ ((5n − 4sl5 − 3sl4 − 7 − 2sl3 − sl2) (5n − 4sl5 − 3sl4 − 2sl3 − 6 − sl2) (5n − 4sl5 − 3sl4 − 2sl3 − sl2 − 5) ×× (5n − 4sl5 − 3sl4 − 2sl3 − sl2 − 4) (sl5 + 1)).

Отсюда следуют равенства:

R l l l l f sl sl sl sls

l l1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5 45( , , , ) lim ( , , , )

(= = −

→ ∞

+ 4 3 22

5 4 3 2 2

3 2

4 3 2

+ +

+ + +

l l

l l l l l

)

( ),


l l2 2 3 4 5 2 2 3 4 5

5 45( , , , ) lim ( , , , )

(= = −

→ ∞

+ 4 3 23

5 4 3 22

3

3 2

4 3 2

+ +

+ + +

l l

l l l l l

)

( ),


l l3 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5 45( , , , ) lim ( , , , )

(= = −

→ ∞

+ 4 3 24

5 4 3 23

4

3 2

4 3 2

+ +

+ + +

l l

l l l l l

)

( ),


l l4 2 3 4 5 4 2 3 4 5

5 45( , , , ) lim ( , , , )

(= = −

→ ∞

+ 4 3 25

5 4 3 24

5

3 2

4 3 2

+ +

+ + +

l l

l l l l l

)

( ).

144

Таким образом, в соответствии со схемой Горна искомые радиусы сходимости равны:

pR1

11 0 0

141

:| ( , , ) |

= = , pR2

10 1 0

4272

:| ( , , ) |

= = , (5.31)

pR3

10 0 1

272563

:| ( , , ) |

= = , pR4

10 0 1

25631254

:| ( , , ) |

= = .

Следовательно, четырехкратный ряд, определяющий гипергеометрическую функцию A1 (n),сходится при условии, что имеют место неравенства (5.29). Изложенного достаточно, чтобы сде-лать вывод о соответствии четырехкратного степенного ряда, из (5.25), определяющего значениекоэффициента A1 (n), гипергеометрической функции: (5.32)

A n a Cn k k k kn k k k k1 1

5 45 4 3 21 2 3 4 5

5 4 3 2( ) ( )( ) ( )= −− + + +

− − − − − 4 12 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

3

4 5

4 2k k k k

k k k k

k

k k k

k

k k

k kC C C r r

+ + ++ + + + + + 2 3 4

0000

3 4 5

2345

k k k

kkkk

r r .=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑∑

Совершенно аналогичным образом доказывается, что Аi (п), i = 2 .. 5,

A n ain i k k k k

kkk

( ) ( )( ) ( )= − ×− + + + +

=

∞

=

∞

=∑∑1

5 5

000

1 2 3 4 5

234

∞

=

∞

∑∑k5 0

(5.33)

×− − − − − + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

=∑

Cn k k k k i i s

k k

s

i

5 4 3 2 4 25 4 3 23

2

( ) ( )δ

3 4 52

2 3 4 5

+ + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

+ + + −

=∑k k i s

k k k k

s

i

Cδ

δ

( )

(i s

k

k k k i s

k

s

i

s

iC

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

= =∑ ∑) ( )

3

2

4 3 54

3

δ

Ck k i s

k

s

i

4 55

4

+ − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

×δ ( )

× r r r rk k k k

1 2 3 42 3 4 5

также являются четырехмерными гипергеометрическими функциями, с областью определения(5.29).

145

5.5.1. Преобразование к стандартному гипергеометрическому представлениюкоэффициентов Аi (п), i = 1, 2 .. 5

Преобразуем формулу, определяющую значение коэффициента Ai (n) в форме (5.32), к Пох-гаммеровскому представлению.

Так как

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

k k5 4 3 2 45 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4− − − − −+ + +

+ + + + 3 5

3

4 5

4 5 4 3 2

2 3

5 4 3 2 4

5 4 2 3+ + =− − − − −

− − −k

k

k k

kC

n k k k k

n k k

( ) !

( − −4 54 5 2 3 4 5k k k k k k) ! ! ! ! !. (5.34)

В соответствии с формулой:

(l + k − l)! = P(l, k) (l − 1)!

имеем:

(5п − 4k5 − 3k4 − 2k3 − k2 − 4)! = Р(−3 + 5п, −k2 − 2k3 − 3k4 − 4k5) (−4 + 5n)! (5.35)(5п − 5k5 − 4k4 − 3k3 − 2k2 − 4)! = Р(−3 + 5n, −2k2 − 3k3 − 4k4 − 5k5) (−4 + 5n)!


PP

( , )( )

( , )a k

k

a k− =

−−1

1.


Р (5n − 3, −k2 − 2k3 − 3k4 − 4k5) =−

− + + + +

+ + +( )

( , )

( )1

5 4 2 3 4

2 2 3 3 4 4 5

2 3 4 5

k k k k

n k k k kP,

Р (5n − 3, −2k2 − 3k3 − 4k4 − 5k5) =−

− + + + +

+ + +( )

( , )

( )1

5 4 2 3 4 5

2 2 3 3 4 4 5 5

2 3 4 5

k k k k

n k k k kP.

146

Подставляя эти значения в (5.35) и далее в (5.34), получаем искомое представление:

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

k k5 4 3 2 45 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4− − − − −+ + +

+ + + + 3 5

3

4 5

42 3 4 5

2 31 5 4 2 3 4+ + =

− − + + ++ + +

k

k

k k

kC

k k k k n k k k( ) ( ,( ) P 4 5

2 3 4 5 2 3 4 5

5

5 4 2 3 4

+

− + + + +

k

n k k k k k k k k

)

( , ) ! ! ! !P.

Совершенно аналогичным способом получаем также:

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

k5 4 3 2 4

1

5 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4− − − − −+ + + −

+ + + + + + =− − + + ++ + +

k k

k

k k

kC

k k k k n k k

3 5

3

4 5

42 3 4 5

2 31 5 3 2 3( ) ( ,( ) P 4 5

5 4 2 3 4 5 34 5 2 3 4 5

2 3 4 5

k k k k k k

n k k k k n

+ + + +

− + + + + −

)( )

( , ) ( )P k k k k2 3 4 5! ! ! !,

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

5 4 3 2 3

1

15 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2− − − − −+ + + −

+ + + − k k k

k

k k

kC

k k k k n k k

4 3 5

3

4 5

42 3 4 5

21 5 2 2 3+ + + =

− − + ++ + +( ) ( ,( ) P 3 4 5 4 3 5

2 3 4 5

4 5

5 3 2 3 4 5 2

+ + + +

− + + + + −

k k k k k

n k k k k n k

) ( )

( , ) ( )P 2 3 4 5! ! ! !k k k,

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

5 4 3 2 2

1

15 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2− − − − −+ + + −

+ + + − k k k

k

k k

kC

k k k k n k

4 3 5

3

4 5

42 3 4 5

2

1

1 5 1 2+ + − + =

− − + ++ + +( ) ( ,( ) P 3 4 5

5 2 2 3 4 5 13 4 5 4 5

2 3 4 5 2

k k k k k

n k k k k n k

+ + +

− + + + + −

) ( )

( , ) ( )P ! ! ! !k k k3 4 5

,

C C Cn k k k k

k k k k

k k k k

k

5 4 3 2 1

1

15 4 3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2− − − − −+ + + −

+ + + − k k k

k

k k

kC

k k k k n k

4 3 5

3

4 5

42 3 4 5

2

1 1

1 5 2+ + − + − =

− − ++ + +( ) ( ,( ) P 3 4 5

5 1 2 3 4 53 4 5

2 3 4 5 2 3 4 5

k k k

n k k k k n k k k k

+ +

− + + + + −

)

( , ) ! ! ! (P 1) !.

Подставляя полученные значения в (5.32), (5.33), получим искомые формулы (5.26). Теоремадоказана.

5.6. Формула для нахождения корней алгебраического уравнения пятой степени

Докажем, что справедлива ТЕОРЕМА 5.2: Корни алгебраического уравнения пятой степени(5.1), где ai, i = 1, 2 .. 5 — коэффициенты, удовлетворяющие условиям (5.29), определяются фор-мулами:

xi

R

Gi

i

= , i = 1, 2 .. 5, (5.35)

147

где (4.52)

R

A A A

i

i i i i

:=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −ω ω ω ω3

53

33

235

35

35

1 31

45

43

42

35

45

45

45

A

A A Ai i i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞ω ω ω

⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛

1 41

5 3 2

45

15

15

15

ω

ω ω ω

i

i i i

A

A A A⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

ω

ω ω ω

i

i i i

A

A A

1

25

23

15

25

25

1 22

21

25

25

A Ai⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

ω

,

G

A A A

i

i i i

:=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −ω ω ω ω3

43

33

235

35

35

1 i

i i i

A

A A A

31

44

43

42

35

45

45

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝

ω ω ω ⎜⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

1

1

41

4 3

45

15

15

ω

ω ω ω

i

i i i

A

A A A2 1

24

23

15

15

25

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω

−ω ω

i

i i

A

A A + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 22

21

25

25

ω ωi iA A

⎥⎥⎥⎥

,

ω1 = 1, ω2 = − + ++1

454

2 5 5

4

I, ω3 = − − +

+14

54

2 5 5

4

I,

ω4 = − − −+1

454

2 5 5

4

I, ω5 = − + −

+14

54

2 5 5

4

I,

148

I — мнимая единица, Ais5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , i = 1 .. 5, s = 1 .. 4 — выражаются формулами (5.26).

ωi — корни алгебраического уравнения:

ω5 = 1. (5.36)

Доказательство: Так как n-образ для алгебраического уравнения (5.1) представляется равен-ством:

x(5n) = A1 (n)x4 + A2 (n)x

3 + A3 (n)x2 + A4 (n)x + A5 (n), (5.37)

где Ai (n), i = 1, 2 .. 5 — определяются формулами (5.26), то введем параметр ω, удовлетворяю-щий условию (5.36). Очевидно, что в этом случае также выполняется равенство:

ω(5n) = 1,

где n — произвольное натуральное число.Следовательно, уравнение (5.37) можно формально записать следующим образом:

x(5n) = ω(5n) (A1 (n)x4 + A2 (n)x

3 + A3 (n)x2 + A4 (n)x + A5 (n)). (5.38)

Так как коэффициенты исходного уравнения (5.1) аi, i = 1, 2 .. 5 удовлетворяют условиям(5.29), то гипергеометрические функции (5.26) сходятся, также при условии, что параметр

n — действительное число. Поэтому зададим ему значения: n i=5, i = 1, 2, 3, 4. В этом случае ра-

венство (5.38) образует систему алгебраических уравнений:

xi = ωi A x A x A x A xi i i i1

42

33

245 5 5 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟A i

5 5, i = 1, 2, 3, 4, (5.39)

каждое из которых содержит только один корень уравнения (5.1).

149

Так как параметр ω принимает в соответствии с (5.37) пять отличных значений, удовлетво-ряющих (5.36), т. е. ω = {ωi, i = 1 .. 5}, то сопоставим каждому из них соответствующее неизвест-ное значение x = {xi, i = 1 .. 5}. Следовательно, образуются пять систем алгебраических уравне-ний вида:

x A x A x A x Aki

ki

k k ki i i=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +ω 1

42

33

2

5 5 5 4 55 5i ix Ak

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , i = 1, 2, 3, 4, k = 1, 2 .. 5, (5.40)

каждая из которых содержит отличный от других только один корень алгебраического уравне-ния (5.1).

Решая последовательно эти системы алгебраических уравнений (5.40) методом Крамера,в итоге и получаем формулы для корней (5.35). Теорема доказана.

Отметим, что для вычисления корней алгебраического уравнения (5.1), используя Теорему5.2, необходимо вычислять суммы рядов (5.26), т. е. уметь вычислять четырехкратные бесконеч-ные ряды вида:

kkkk 1234 0000 =

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑∑∑∑ A (k1, k2, k3, k4).

В общем случае для вычисления суммы недостаточно указать вид функции A (k1, k2, k3, k4),необходимо также задать последовательность частичных сумм, пределом которых по определе-нию и будет сумма указанного ряда. По аналогии с вычислением тройных бесконечных сумм дляуравнений четвертой степени в данном случае вычисление можно производить по четырехмер-ным призмам:

k

k k k

k

k k

k

k

k 1

4 3 2

2

4 3

3

4

4 0000 =

− −

=

−

==

∞

∑∑∑∑ A (k1, k2, k3, k4 − k3 − k2 − k1)

150

с использованием рекуррентных соотношений, обходящих случаи, когда (вместе или раздельно)k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0, k4 = 0.

Относительную ошибку вычисления искомых корней можно установить, пользуясь формулой:

δ (xi) =− + + + +x a x a x a x a x a

ai i i i i5

14

23

32

4 5

5

( ), i = 1, 2 .. 5. (5.41)

5.7. Преобразование гипергеометрических функций.Новые области определения для корней алгебраического уравнения пятой степени.

Примеры

5.7.1. Новые представления для гипергеометрических функцийПоскольку формулы для корней алгебраического уравнения (5.1) в форме Теоремы 5.2. тре-

буют особых преобразований для использования в качестве вычислительного алгоритма, торассмотрим и другие представления для гипергеометрических функций (5.26), лишенные этогонедостатка. В частности, производя замену индекса k5 на −k5 + n − 1 в первых четырех представ-лениях (5.23) и замену индекса k5 на −k5 + n в пятом равенстве, получим новые представле-ния: (5.42)

A n Ck

k

n k k k

k k

10

2

4 3 2

2

12

3 3

2 4

5 5

3

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑ k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

1

1 1

( )+ + − + −+ + − + − + − + −

k

k k n

k

kk

C

k kk

3

4 5

4

3

13

4 4

3

5 5

3

4

14

5 5

4

100

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − + −+

a a a a ak k k k k k k k n

1

1 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

151

A n Ck

k

n k k k k

k k

20

1 2

4 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

1 1

( )k k k k n

k k k k n

k

k k k n

kC C

+ + − + −+ + − + − + − + −

3

4 5

4

3

23

4 4

3

5 5

3

4

12

5 5

4

100

Ck k n

k

kk

k kk

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

∑⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − + −+


1

2 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k

k k

30

2

4 1 3 2

2

32

3 3

2 4

5 5

2

5 4( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + − −∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

2−+ + − + −

+ + − + − + − +k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C( )

− − + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑ 1 10

1

0

3

4 5

4

3

4 4

3

5 5

3

4

34

5 5

k

k k n

k

kk

C

k kk

4

5 0

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

×− − − − + −+


1

3 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k

k k

40

2 2

4 2 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + − −∑ −+ + − + −

+ + − + − + − + −k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

2

( )

2 100

1

3

4 5

4

3

43

4 4

3

5 5

3

4

5 5

4k

k k n

k

kk

C

k kk

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − + −+


1

4 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k k

k k

50

2

4 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3 2( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑ −+ + − + −

+ + − + − + − + −1

1

1 12 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

( )k k k k n

k k k k n

k

k k k nC Ck

k k n

k

kk

C

k kk

3

4 5

4

3

4 4

3

5 5

3

4

5 5

4

100

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

∑⎦⎥⎥

=∑∑ ×

k

n

5 0

×− − − − ++


1

2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ) ( ).

152

Как видим, в этих формулах параметр n находится только в верхнем пределе суммированияпоследней суммы, поэтому данные формулы легко применимы для непосредственного вычисле-ния корней уравнения (5.1), в форме: (5.43)

A n Ck

k

n k k k

k k

10

2

4 3 2

2

12

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑ k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

1

1 1

( )+ + − + −+ + − + − + − + −

k

k k n

k

kk

C

k kk

3

4 5

4

3

13

4 4

3

5 5

3

4

14

5 5

4

100

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑ ×k5 0

×− − − − + −+


1

1 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k k

k k

20

1 2

4 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

1 1

( )k k k k n

k k k k n

k

k k k n

kC C

+ + − + −+ + − + − + − + −

3

4 5

4

3

23

4 4

3

5 5

3

4

12

5 5

4

100

Ck k n

k

kk

k kk

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+⎡

∑⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑ ×k5 0

×− − − − + −+


1

2 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k

k k

30

2

4 1 3 2

2

32

3 3

2 4

5 5

2

5 4( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + − −∑3 2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

2−+ + − + −

+ + − + − + − +k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C( )

− − + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑ 1 10

1

0

3

4 5

4

3

4 4

3

5 5

3

4

34

5 5

k

k k n

k

kk

C

k kk

4

5 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑ ×k

×− − − − + −+


1

3 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

A n Ck

k

n k k k

k k

40

2 2

4 2 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ + − −∑ −+ + − + −

+ + − + − + − + −k

k k k k n

k k k k n

k

k k k nC C2

2 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

2

2

( )

2 100

1

3

4 5

4

3

43

4 4

3

5 5

3

4

5 5

4k

k k n

k

kk

C

k kk

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

+

∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

∞

∑∑ ×k5 0

×− − − − + −+


1

4 2 3 4 5

2 3 4 5

12 3 4 5 2 3 4 5( ) ( )

,

153

A n Ck

k

n k k k k

k k

50

2

4 3 2

2

3 3

2 4

5 5

2

5 4 3 2( ) =

=

− − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − − −∑ −+ + − + −

+ + − + − + − + −1

1

1 12 3 4 5

2 3 4 5

2

4 3 5

( )k k k k n

k k k k n

k

k k k nC Ck

k k n

k

kk

C

k kk

3

4 5

4

3

4 4

3

5 5

3

4

5 5

4

100

− + −=

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡

⎣⎢⎢

⎤

∑⎦⎥⎥

=

∞

∑∑ ×k5 0

×− − − − ++


1

2 3 4 5

2 3 4 52 3 4 5 2 3 4 5

( ) ( ),

Очевидно, что область определения этих гипергеометрических функций другая:

a

a

a

a

a

a

a

a

15

5

4

14

3

13

2

12

3125256

27256

427

14

< < < <, , , . (5.44)

Она определяется аналогично ранее изложенным горновским подходом.Таким образом, замена индексов суммирования определяет новые области сходимости для

итоговых формул, для корней уравнения (5.1).Изложенное позволяет считать доказанной ТЕОРЕМУ 5.3. Корни уравнения (5.1), при усло-

вии, что его коэффициенты удовлетворяют условию (5.44), определяются формулами (5.35), гдекоэффициенты n-образа задаются значениями (5.43).

5.7.2. ПримерыПример 1. Вычислить корни уравнения

x xxx x5 4

3 2

4 6 84= + + − − (5.45)

при условии, что для его вычислений используются только первые шесть слагаемых в рядах (5.43).Р еш е н и е: Проверяем, удовлетворяют ли условиям (5.44) коэффициенты уравнения (5.45):

14

3125256

18

27256

16

427

14

14

< < < =, , , .

154

Как видим, первые три условия выполнены, а четвертое нет. Однако, исходя из предположе-ния, что отклонение незначительно, вычисляем по формулам (5.43) для N = 5 (т. е. в этих фор-мулах заменяем бесконечность на данное значение) коэффициенты n-образа:

A415

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2716454592е-1 + .1973619780е-1 I, A1

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5577660332е-1 − .4052407430е-1 I,

A515

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1.078063460 + .7832589517 I, A3

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1089564441е-1 + .7916149013е-2 I,

A215

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .8312310938е-2 + .6039247365е-2 I,

A425

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2422327099е-1 + .7455156248е-1 I, A5

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5486687086 + 1.688628641 I,

A325

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7211133783е-2 + .2219358774е-1 I, A2

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2883524440е-2 + .8874575781е-2 I,

A125

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5629361214е-1 − .1732539231 I,

A535

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7278377999 + 2.240054410 I, A4

35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3920479672е-1 + .1206599562 I,

A335

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5177649544е-2 + .1593516676е-1 I, A1

35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1108307098 − .3411018493 I,

A235

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5183419996е-2 − .1595292648е-1 I,

155

A345

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2542066903е-1 − .1846919706е-1 I, A2

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7369957434е-1 − .5354587523е-1 I,

A445

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1277240806 + .9279697655е-1 I, A1

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5033178421 − .3656818167 I,

A545

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −2.503439644 + 1.818855368 I.

Таким образом, искомые корни в соответствии с формулами (5.35) равны:

х1 = 1.359933739 + .6560642185 I, х2 = −.2762603093 + 1.194432399 I,х3 = −1.167346916 − .5215402053е-9 I, х4 = −.2762603082 − 1.194432399 I,

х5 = 1.359933738 − .6560642190 I.


δ (х1) = −.4656е-7 + .9312е-7 I, δ (х2) = −.20524е-7 + .2250е-7 I,δ (х3) = −.1671е-7 + .2897802584е-8 I, δ (х4) = −.18290е-7 − .1366е-7 I,

δ (х5) = −.4732е-7 − .9190е-7 I.

Как видим, даже при первых шести значениях рядов точность вычисления очень высока.Задача решена.


x x Ix

IIx x5 43 2

7 2 28= + + + + + (5.46)

при условии, что для его вычислений используются только первые шесть слагаемых в рядах (5.43).

156

Р еш е н и е: Проверяем удовлетворяют ли условиям (5.44) коэффициенты уравнения (5.46):

6565

3125256

12

27256

12

427

17

14

< < < <, , , .

Как видим, второе и третье условия не выполняются. Однако, продолжая вычислять по фор-мулам (5.43) для N = 5 (т. е. в этих формулах заменяем бесконечность на данное значение), полу-чаем коэффициенты n-образа:

A115

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4630278493е-2 + .3864559905е-1 I, A2

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1359907647е-1 − .7163080708е-2 I,

A415

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1338664052е-1 − .1967559791е-1 I, A5

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1.527279702 + .2111315390е-1 I,

A315

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1475080524е-1 + .4714101514е-2 I,

A225

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3086323286е-1 − .1982180575е-1 I, A1

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1108466022е-1 + .1173116615 I,

A525

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2.329085964 + .7505123180е-1 I, A3

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4782668155е-1 + .1235276533е-1 I,

A425

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4364787564е-1 − .4624998070е-1 I,

Всего необходимо получить двадцать различных значений Aik5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , i = 1 .. 5, k = 1 .. 4.

157

Продолжая вычислять коэффициенты n-образа с точностью до 10−6 степени далее получаем:

A335

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1158011730 + .2111968407е-1 I, A1

35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1768005570е-1 + .2661306508 I,

A235

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4660617967е-1 − .4157602629е-1 I, A4

35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1078495166 − .7252321548е-1 I,

A535

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.538765633 + .1982028788 I,

A445

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2390070219 − .7586352619е-1 I, A2

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4680940055е-1 − .7875139035е-1 I,

A145

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1878248716е-1 + .5342628592 I, A3

45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2486278415 + .2365632109е-1 I,

A545

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 5.344168917 + .4614903099 I.

Таким образом, искомые корни уравнения (5.46), определяются по формулам (5.35) и будутравны:

x1 = 1.543094126 + .2183860278 I, х2 = .3118072385 + 1.695483253 I,х3 = −1.163996414 + 1.116894065 I, х4 = −1.148622588 − .7601539112 I,

х5 = .4577177403 − 1.270609380 I.


δ (x1) = .9385384617е-7 − .5416923077е-7 I, δ (х2) = .1847830770е-6 − .9953538462е-7 I,δ (х3) = −.7432307693е-7 − .1415846154е-6 I, δ (х4) = −.1976923074е-8 − .6031538463е-7 I,

δ (х5) = .2270153847е-7 − .5208769232е-7 I.

158

Отсюда следует, что несмотря на отсутствие выполнения условий (5.44), корни уравнения(5.46) вычислены с очень высокой точностью.

Задача решена.П р им е ч а н и е: Изложенный пример показывает, что условия (5.44) не являются строгими.

Выводы:Не существует единых формул для определения корней алгебраического уравнения (5.1) для

произвольного значения коэффициентов аi, i = 1, 2 .. 5, как это имеет место для уравнений совторой по четвертую степень. Корни уравнения пятой и, конечно же, более высоких степенейможно вычислять только для определенных областей сходимости коэффициентов исходногоалгебраического уравнения (5.1). Однако, в принципе, можно путем преобразования индексовсуммирования, а также разложением известных представлений коэффициентов n-образа Аi (п),i = 1, 2 .. 5, установить формулы, справедливые для других областей изменения аi, i = 1, 2 .. 5.

6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ mРассмотрим алгебраическое уравнение степени т в приведенной форме:

x a xmi

m i

i

m

= −

=∑ ( ),

1

(6.1)

где ai — произвольные элементы множества С, ат ≠ 0.В соответствии с основной теоремой алгебры [1], уравнение (6.1) имеет т корней

−х = {хi, i = 1 .. т}. Ставится задача определения формул для их нахождения. Несмотря на точто Абель и Галуа доказали, что в радикалах этих формул не существует, это не означает, чтоэти формулы не существуют вообще. Их можно установить, например, в виде аналитическихфункций. Поскольку до настоящего времени этого не сделано, то цель этого параграфа воспол-нить этот существенный пробел.

6.1. Уравнение n образа

Как это было показано ранее, основной идеей в решении поставленной задачи является введе-ние понятия уравнения n-образа, который в общем случае, применительно к уравнению (6.1),определяется формулой:

x A n xmnm i

m i

i

m( )

,( )( ) .= −

=∑

1

(6.2)

Здесь Ат, i (n) — коэффициенты n-образа.Уравнение (6.2) следует из (6.1), если правую и левую части возвести в степень с натураль-

ным числом п. Далее используя формулу бинома Ньютона, раскрываем правую часть и произво-дим с учетом (6.1) замену всех переменных x(m + i), i = 0, 1, 2 .. п. Таким образом и приходимк представлению (6.2).

160

Очевидно, имеет место, с учетом (6.1), также и эквивалентная формула:

a x A n xim i

i

m n

m im i

i

m( )

,( )( ) .−

=

−

=∑ ∑

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

1 1

(6.3)

На основании изложенного следует, что главной теперь является задача нахождения общейформулы для коэффициентов n-образа — Ат, i (n).

6.2. Свойства уравнения n образа и его коэффициентов

СВОЙСТВО 1. Уравнение n-образа (6.2) содержит все корни уравнения (6.1).Данное свойство очевидно, так как алгебраическое уравнение (6.2) образовано возведением

в степень п исходного уравнения (6.1) без привлечения других равенств. При этом все перемен-ные x(m + i), i = 0, 1, 2 .. п заменены также с учетом только (6.1).

СВОЙСТВО 2. Коэффициенты n-образа Aт, i (n) должны удовлетворять начальным условиям:

Аm, i (1) = аi, i = 1 .. т. (6.4)

Действительно, принимая в (6.2) п = 1, получим:

x A xmm i

m i

i

m

= −

=∑ ,

( )( ) .11

Так как по условию свойства 1 данное уравнение является степени той же, что и исходное(6.1), то для того, чтобы оно имело такие же корни, необходимо и достаточно, чтобы имело месторавенство (6.4).

161

СВОЙСТВО 3. Коэффициенты n-образа Ат, i (n) удовлетворяют рекуррентным соотношениям,следующим из равенства:

A n a x A n xm k im i k

i

m

k

m

m im i

i

m

,( )

,( )( ) ( ) ,2

11 1

1− −

==

−

=∑∑ ∑= + (6.5)

в котором предполагается, что после определения конкретного значения т производится заме-на всех переменных х(m + i), i = 0, 1, 2.. с учетом исходного уравнения (6.1) и далее приравнива-ются коэффициенты при одинаковых степенях х(m − i), i = 1 .. т.

Действительно, принимая в уравнении n-образа (6.3) n = n + 1, получим:

x A n xm nm i

m i

i

m( ( ))

,( )( ) .+ −

=

= +∑1

1

1

С учетом исходного уравнения (6.1) и уравнения n-образа (6.3) левая часть принимает вид:

A n x a x A n xm im i

im i

i

m

i

m

m im i

i,

( ) ( ),

( )( ) ( )− −

==

−

=∑∑ = +

11 1

1m

∑ .

Отсюда и следует равенство (6.5).

СВОЙСТВО 4. Если корни уравнения (6.1) известны, то коэффициенты n-образа определяютсяоднозначно.

Действительно, в том случае если известны все корни уравнения (6.1), то в силу свойства 1имеют место равенства:

x A n ximn

m i ii

mm i( )

, ( ) ,( )

=−

=∑

1

i = 1 .. т. (6.6)

162

Решая эту систему линейных уравнений относительно т неизвестных коэффициентовАт, i (n), i = 1 .. т, получим однозначные искомые формулы, подобно тому как это сделано в слу-чае уравнений второй, третьей, четвертой и пятой степеней.

6.3. Определение общей формулы для коэффициентов n образа Аm, i (n)

Задача правильного определения общего вида для коэффициентов n-образа Ат, i (п) являетсяключевой в построении теории нахождения корней алгебраических уравнений (6.1). С этойцелью воспользуемся методом индукции, исходя из уже установленных ранее значений этих ко-эффициентов для алгебраических уравнений со второй по пятую степень. Выпишем значения ко-эффициентов n-образа Ат, 1 (п), т = 2 .. 5.

A n C a an k

k n k k

k

n

2 1 2 1 1

2 1 2

20

1

2

2 2 2

2

,

( )( ) ,= − −

− −

=

−

∑

A n C C a an k k

k k

k k

k n k k

3 1 3 2 2 1

3 2 3 2

2 3

2 3

2 3

2 3 2,

( )( ) = − − −

++

− − −2 3

0

1

0

12 3

3

32

3 3

2

3

k k

kk

n

a

nk

,=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑

A n C C Cn k k k

k k k

k k k

k

k k

k

4 1 4 3 2 32 3 4

2 3 4

2 3 4

2

3 4, ( ) = − − − −

+ ++ + +

3 4 3 2 2 3 4

2

32 4

3

1

4 3 4 3 2

2 3 40

2 2


k

n kk

( ),

− − −

=

− − −

−

3

2

3

43

4 4

3

4 0

1

0

1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑∑kk

n

nk

A n Ck

k

n k

nk k

5 10

2 2

5 4 2

2

52

5 5

2 4

3 3

2

2, ( ) =

=

− − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −∑ k k k

k k k k

k k k k

k

k k k

k

kC C C3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2

3 4 5

3

43 4− −+ + +

+ + + + + + k

k

kk

nk k

nk

5

4

3

53

43

5 5

3

4 4

3

4

54

5 5

4

00

1

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢

∑⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×k

n

5 0

1

×− − − − −


1

5 4 5 4 3 2

2 3 4 55 4 3 2 2 3 4 5

( ).

163

Анализируя представленные формулы, приходим к следующим обобщающим результатам:

1) Количество знаков суммирования равно т − 1;2) Значение верхнего предела суммирования последней суммы ряда равно n − 1;

3) Значение верхнего предела суммирования для предпоследней суммы рядаm n k

mm( )− − +

−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1

1;

4) Значение верхнего предела суммирования для следующей, после предпоследней, суммы

рядаm n k m k

mm m( ) ( ) )− − + − −

−−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 1 1

21 ;

5) Значение верхнего предела суммирования для l, l = 2 ..m − 1 начиная с предпоследней

суммы рядаm n m s k

m l

m ss

l

( ) ( )− + − − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +

− +=∑

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

1 1 2

1

22 ;

6) Значения нижних пределов суммирования в первой сумме ряда: k2 = 0, во второй суммеряда k3 = 0 и так до km = 0 в последней сумме ряда;

7) Количество биномиальных коэффициентов под знаком сумм равно т − 1;

8) Выражение для произведения биномиальных коэффициентов под знаком суммы может

быть записано в общем виде как C Cm n s k

k

k

k

rss

m

ss

m

ss r

mr

( ) ( )− + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=

=

=∑

∑

∑⋅

1 1 12

2

2

1m −

∏ ;

164

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

9) Выражение для произведения коэффициентов исходного алгебраического уравнения, под

знаком сумм: a am n sk

sk

s

mss

m

s1

1 1

2

2( )− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .

Изложенного достаточно, чтобы в общем виде выписать значение коэффициента n-образаАт, 1 (п):

A n C Cmm n s k

k

kss

m

ss

m

ss

,( ) ( )

( )11 1 1

2

2= ⋅− + − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

=

∑

∑

=

=

∑

∑

=

− − + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∏r

mr

ss

m

k

r

m m n sk

sa a2

1

1

1 12

( )k

s

m

k

s

m l l m

m n m j km j

==∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = −

− + − − + − +

201 2

1 1 2

[ ] ..

( ) ( ) 22

1

0

1

j

l

m l

mk

n

=

+

−

∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

−

∑∑ .

Совершенно аналогичным образом устанавливаем значение коэффициента n-образа Ат, 2 (п):

A n Cmm n s s k

k s

ss

m

s

,( ) ( ) ( ( ) ( ) )

(

( )21 1 2 1

2

2

=− + + − − −

− −

=∑δ δ

δ )

[ ] ..

( ) (

ss

m

m l l m

m n m j

k

==

− = −

− + − − +

∑∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

×2

2

2

1 2

1 2

0

2 22

1

0

2

)

( )

km jj

l

m l

m

s

k

n s− +

=

+

−=

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

− −

∑δ

2

1m −

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑

×− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − +

= +=∑∑

∏C ak s

k

r

m m n

ss rs r

mr

δ ( )

( )

22

1

1

1 2

1

2

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

sk

sk

s

mss

m

sa2

2

,

165

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

коэффициента Ат, 3 (n):

A n Cmm n s s ks

s

m,( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )31 2 2 3 1

2

=− + + − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

=∑δ δ

⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

−

∑∑×

k s

k

sss

m

m l l m

m n

δ ( )

[ ] ..

(

3

0

2

3

2

1 2

1) ( )+ − − + − +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∑

3 2 22

1

0

m j km jj

l

m l

mk

n − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

∑

∑δ ( )s

s

m

33

1

×− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − +

= +=∑∑

∏C ak s

k

r

m m n

ss rs r

mr

δ ( )

( )

32

1

1

1 3

1

3

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

sk

sk

s

mss

m

sa2

2

,

коэффициента Ат, 4 (п):

A n Cmm n s s ks

s

m,( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )41 3 3 4 1

2

=− + + − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

=∑δ δ

⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

−

∑∑×

k s

k

sss

m

m l l m

m n

δ ( )

[ ] ..

(

4

0

2

4

2

1 2

1) ( )+ − − + − +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∑

4 2 22

1

0

m j km jj

l

m l

mk

n − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

∑

∑δ ( )s

s

m

44

1

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak s

k

r

m

ss r

m

s r

r

δ ( )42

1

1

1

4

m n sk

sk

s

mss

m

sa( )− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

1 4

2

2⎟⎟⎟,

166

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

коэффициента Ат, 5 (n):

A n Cmm n s s ks

s

m,( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( )51 4 4 5 1

2

=− + + − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

=∑δ δ

⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

−

∑∑×

k s

k

sss

m

m l l m

m n

δ ( )

[ ] ..

(

5

0

2

5

2

1 2

1) ( )+ − − + − +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∑

5 2 22

1

0

m j km jj

l

m l

mk

n − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

∑

∑δ ( )s

s

m

55

1

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak s

k

r

m

ss r

m

s r

r

δ ( )52

1

1

1

5

m n sk

sk

s

mss

m

sa( )− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

1 5

2

2⎟⎟⎟.

Изложенного достаточно, чтобы выписать коэффициенты n-образа Ат, i (n) в общем виде:

A n Cm im n i i i s s ks

s

m,( ) ( ) (( ) ( ) ( ) )

( ) =− + − + − − − −

⎡

=∑1 1 1 1

2δ δ

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

∑∑×

k i s

k

ss

i

s

m

m l l m

δ ( )

[ ] ..

22

1 2 0

1 2 22

1

m n i m j km jj

l

m l

( ) ( )− + − − + − +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∑⎜

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

∑

∑k

n s i

m

s i

m

0

1

δ ( )

(6.7)

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak i s

k

r

m

ss r

m

s r

ir

δ ( )1

2

1

1

m n i sk

sk

s

mss

m

sa( )− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

1

2

2⎟⎟⎟, i = 1 .. m.

Здесь δ (0) = 1, δ (1) = 0, δ (−i) = 0, i = 1, 2 .. n.

167

Исследуем полученную формулу на соответствие. Покажем вначале, что формула (6.7) прит = 2, 3, 4, 5 дает уже ранее доказанные и проверенные на практике вычисления корней форму-лы для коэффициентов n-образа уравнений второй, третьей, четвертой, пятой степени. Действи-тельно, из (6.7) следует:

Для квадратных уравнений, при т = 2:

A n Ci n i i i k

k i ss

i

2 2 2 1 1 2 2

22

, ( ) ( ) ( )

( )

( ) = − + − + − − −

− −⎡

=∑

δ δ

δ⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− + −=∑

∑k

n s i

n i k ks i

a a2

1

2

01

2 2 2

2

δ ( )

( ) 2. (6.8)

Для кубических уравнений, при т = 3:

A n Cin i i i s s ks

s

33 3 1 1 1

2

3,( ) ( ) ( ) ( )

( ) =− + − + − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

=∑δ δ

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− + −

= =∑ ∑k i s

k

ss s

in i

2

3

2

2

32

32 2

3

0

δ ( )trunc

k

s i

k

n s i 3

2

3

2

0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑∑ ×

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

=∑ δ ( )

(6.9)

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∏C a

k i s

k

r

n

ss r s r

ir3

1

2

2

1

3

δ ( )

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

3

2

32

3

i sk

sk

s

ss sa .

Как видим, условие соблюдения при т = 2, 3 начальных значений коэффициентов n-образаАт, i (n) выполнено. Продолжая далее, установим возможность получения из общей формулы ра-нее установленных соотношений.

168

Для алгебраических уравнений четвертой степени, при m = 4: (6.10)

A n Cin i i i s s ks

s

44 4 1 1 1

2

4,( ) ( ) ( ) ( )

( ) =− + − + − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

=∑δ δ

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− + −

= =∑ ∑k i s

k

n ks

s s

ii

2

4

2

2

2 4

0

2 2 2δ ( )

trunc −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

− + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∑∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

×

⎛ 3 3

2

3

43

43 3

4 4

3

0

kn i

k

k

trunc

⎝

⎜⎜⎜⎜=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=∑

∑k

n s is i

4

3

0

δ ( )

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∏C a

k i s

k

r

n

ss r s r

ir4

1

2

3

1

4

δ ( )

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎞4

2

42

4

i sk

sk

s

ss sa

⎠

⎟⎟⎟⎟.

Для алгебраических уравнений пятой степени, при m = 5: (6.11)

A nik k

n ik k

503

53

53 3

5 5

3

4 4

3

, ( ) =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜ =

− + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∑trunc

2

52

52 2

5 5

2 4

3 3

2

4 0

2

0 =

− + − − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

trunctr n ik k

k

k

unc 54

54 4

5 5

4

5

4

0

n ik

s i

k

n s i − + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

− −⎛

⎝⎜

∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

=∑ δ ( )⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑

Cn i i i s s k

k

ss

ss

5 5 1 1 12

5

2

− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

=

∑δ δ( ) ( ) ( ) ( )

5

2

5

1

∑ ∑

∑ ∑

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤=

= = +

⋅δ

δ

( )

( )

i s

k i s

s

i

ss r s r

iC

⎦⎥⎥

=

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∏ =

∑k

r

n i sk

sk

s

r

ss sa a

2

4

1

5 5

2

2

5

5

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟.

169

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Убеждаемся, что полученные формулы соответствуют ранее установленным для соответст-вующих степеней исходного алгебраического уравнения. Таким образом, формула (6.7) включа-ет в качестве частного случая все ранее выведенные формулы. Проверим соответствие формулы(6.7) начальным условиям (6.4):

Ат, i (1) = ai, i = 1 .. m.

Принимая в (6.7) n = 1, получим:

A Cm ii i i s s k

k

ss

m

z

,( ) ( ) ( ) ( )

( )11 1 1

2

=− + − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∑δ δ

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

− − +

∑∑×

δ ( )

[ ] ..

(

i s

k

i

s

i

z

m

m l l m

m s

22

1 2

2

0

)

( )

km ss

l

m l

m

s i

k

s i− +

=

+

−=

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

− −

∑

22

1

0

1 δm −

∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑

1

(6.12)

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak i s

k

r

m

zz r

m

s r

ir

δ ( )1

2

1

1

i sk

sk

s

mss

m

sa−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2

2

.

Так как в верхнем пределе суммирования по km:

s i

m

=

−

∑1

δ (s − i) = 1, i = 1 .. m − 1 иs m

m

=

−

∑1

δ (s − i) = 0,

170

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

то для коэффициентов n-образа Ат, i (1), i = 1 .. m − 1, индекс km = 0, а для Аm, m (1) он также мо-жет принимать значение, равное единице. Следовательно, (6.12) принимает значения:

A Cm ii i i s s k

k

ss

m

z

,( ) ( ) ( ) ( )

( )11 1 1

2

=− + − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∑δ δ

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

− − +

∑∑×

δ ( )

[ ] ..

(

i s

k

i

s

i

z

m

m l l m

m s

22

1 2

2

0

) km ss

l

m l

− +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∑

23

1

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak i s

k

r

m

zz r

m

s r

ir

δ ( )1

2

1

1

i sk

sk

s

mss

m

sa−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

2

, i = 1 .. m − 1,

A Cm mm m m s s k

k

ss

m

z

,( ) ( ) ( ) ( )

( )11 1 1

2

=− + − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∑δ δ

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

==

− = −

− − +

∑∑×

δ ( )

[ ] ..

(

m s

k

m

s

m

z

m

m l l m

m j

22

1 2

2

0

) km js

l

m l

mk

− +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∑∑

22

1

0

1

×

= = +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∏C ak m s

k

r

m

zz r

m

s r

mr

δ ( )1

2

1

1

m sk

sk

s

mss

m

sa−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟

2

2

.

171

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Рассмотрим вторую формулу из (6.13). Здесь

δ (m − 1) = 0,s

m

=∑

2

(m − 1) δ (m − s) = m − 1,s

m

=∑

2

δ (m − s) = 1,s r

m

= +∑

1

δ (m − s) = 1.

Поэтому

A Cm mm s k

k

ss

m

ss

m

,( )

( )11 1

1

2

2=− − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

=

=

∑

∑⋅

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

=

=

∑

∑

∏C ak

k

r

m m sk

zz r

mr

ss

m

12

1

12

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

==∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = −

− − + −

ask

s

m

k

m

s

m l l m

m j km j

201 2

2

[ ] ..

( ) +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∑∑

22

1

0

1

s

l

m l

mk

.

Так как индекс km принимает только два значения: ноль или единица, то при km = 0 все сла-гаемые в силу отрицательности коэффициентов, входящих в биномиальные коэффициенты, рав-ны нулю. Поэтому остается рассмотреть случай km = 1. Здесь остаются только слагаемые, содер-жащие индекс km − 1, который может принимать только значение km − 1 = 0, но тогда и всеостальные индексы km − l = 1 .. т − 3 оказываются равными нулю. Следовательно, для выраже-ния, расположенного после биномиальных коэффициентов, получаем:

a a am sk

sk

s

mm

ss

m

s1

21

2−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

−=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =: ( mk

sk

s

m

mm sa a)

=∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2

.

Таким образом, доказано, что: Ат, т (1) = ат для любых m.

172

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

В первой формуле (6.13) km = 0, поэтому примем i = т − 1. Тогда получим:

A Cm mm m m s s ks

s

m,( ) ( ) ( ) ( )

( )−− + − − − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦

=

=∑

12 2 1 1

1

2δ δ ⎥

⎥

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

=

−

=

− = −

∑∑×

k m s

k

zs

m

z

m

m l l m

δ ( )

[ ] ..

1

0

2

1

2

1 2

m m s km ss

l

m l

− −⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟− + − +

=

+

−

∑

∑

1 2 23

1

( )

×

= = +

−

∑ ∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

Ck m s

k

r

m

zz r

m

s r

mr

δ ( )121

1

1

1

1

2

2∏ ∏− −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑ ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟a a

m sk

sk

s

mss

m

s .

Так как

δ (m − 2) = 0,s

m

=∑

2

(m − 2) δ (m − 1 − s) = m − 2,s

m

=

−

∑2

1

δ (m − 1 − s) = 1,s r

m

= +

−

∑1

1

δ (m − 1 − s) = 1,

то

A Cm mm s k

k

ss

m

ss

m

,( )

( )−− − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

=

=

−

=

−

∑

∑

12 1

1

2

1

2

1 ⎞

⎠⎟⎟ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−=

− − −⎛

⎝⋅

=

=

∑

∑

∏1

12

1

1

12

C ak

k

r

m m sk

zz r

mr

ss

m⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

==

− −

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− = −

ask

s

m

k

m

s

m l l m 20

1

1 2[ ] ..

(m s km ss

l

m l

− + − +=

+

−

∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∑

2 23

1

)

.

173

В этом случае при l = 1 индекс km − 1 может принимать только два значения: ноль или еди-ницу. В первом случае, в силу отрицательности второй составляющей, биномиальные коэффи-циенты равны нулю, поэтому остается рассмотреть случай km − 1 = 1. Здесь остаются только сла-гаемые, содержащие индекс km − 2, который может принимать только значение km − 2 = 0, но тогдаи все остальные индексы km − l, l = 1 .. m − 3 оказываются равными нулю. Следовательно, длявыражения, расположенного после биномиальных коэффициентов, получаем:

a a am sk

sk

s

mss

m

s1

1

2

12

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

−=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =: 1

1 1

2

1

11( ( ) )m m k

sk

s

m

mm sa a

− − −

=

−

−− ∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = .

Таким образом, имеем:Aт, m − 1 (1) = ат − 1.

Снова принимая i = т − 2, аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что имеет ме-сто равенство:

Аm, m − 2 (1) = аm − 2.

Следовательно, в общем случае приходим к выводу, что Ат, i (1) = аi, i = 1 .. т − 1. Утвержде-ние доказано. Таким образом, показано, что формулы (6.7) удовлетворяют условиям (6.4).

В качестве примера, доказывающего справедливость полученной формулы, рассмотрим слу-чай т := 6.

Тогда для алгебраического уравнения шестой степени:

х6 = а1х5 + а2х

4 + а3х3 + а4х

2 + a5x + a6 (6.14)

уравнение n-образа имеет вид:

x(6n} = A6, 1 (n)x5 + A6, 2 (n)x

4 + A6, 3 (n)x3 + A6, 4 (n)x

2 + A6, 5 (n)x + A6, 6 (n). (6.15)

174

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

В этом случае из формулы (6.7) получаем: (6.16)

A nk

n s i

k

s in i

6 10 06

5

5

65

65

15

1

,

( )

( ) ==

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

− + −=∑

∑δ

( ) ( )8 82

2

5

4

32

32

14

1 8 8

0

− −=

− −∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

− + −

∑

j k jj n i

j k jj

k

=− −

=∑ ∑

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

− + −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∑

2

3

4

3

13

1 8 82

4

0

2 2

k

n i

j k jj

( )

3

∑

Cn i i i s s k

k

ss

s

6 6 1 1 12

6

− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

=∑δ δ

δ

( ) ( ) ( ) ( )

(i s

k

ns

i

s

i

j k jj

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− + −==

− −=

∑∑×

)

( )

22

6

2

12

1 8 82

5

0

3 3

∑⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

∑2

×

= = +∑ ∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∏C a

k i s

k

l

n

ss l s l

il6

1

2

5

1

6

δ ( )

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏6 1

2

62

6

sk

sk

s

ss sa , i =1 .. 6.

Выписывая (6.16) в раскрытой форме, получаем следующие значения коэффициентовn-образа: (6.17)

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 1 6 5 2 3 4 5

02 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + +

=

3 3 2

0

2 2 52 6

5 5

2 4

3 3

2

3

53 6

5 5

3n k k

k

n kk kk

− − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

4 4

3

4

32

54

3 6

2

5 5

4

5

65

00

kn

k kn

kk

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

1

0

1

6 6

5

6

k

k

n

× + + + + + + + + + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

5 6

5 6 5 4 3 2 2 3 4 5 61

6 5 6 5 4 3 2

2 3 4 5 6a a a a a an k k k k k k k k k k( )

,− − − − − −

175

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 2 6 5 2 3 4 5

1

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + + −

=

− − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑0

3 2 3 2

0

2 2 6

5 5

2 4

3 3

2

3

43 6

5 5n k k

k

n kk kk

3

4 4

3

4

32

3 6

2

5 5

4

5

65

0

1

0

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

kn

k kn

kk

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

45

6 6

5

6 0

1

k

k

n

× + + + + + + + + + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

5 6

5 6 5 4 3 2 2 3 4 5 61

6 4 6 5 4 3 2

2 3 4 5 6a a a a a an k k k k k k k k k k( )

,− − − − − −

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 3 6 4 2 3 4 5

1

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + + −

=

− − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑0

3 3 2

0

2 1 2 32 6

5 5

2 4

3 3

2

3

6

5 5n k k

k

n kk kk

3

4 4

3

4

32

34

3 6

2

5 5

4

5

6

00

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

kn

k kn

kk

535

6 6

5

6 0

1− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

k

k

n

× + + + + − + + + + + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k k2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

51 6

5 6 5 4 3 2 2 3 4 51

6 3 6 5 4 3 2

2 3 4 5 6

k n k k k k k k k k k ka a a a a a

( )− − − − − − 6,

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 4 6 3 2 3 4 5

1

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + + −

=

− − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑0

3 1 3 2

0

2 2 6

5 5

2 4

3 3

2

3

23 6

5 5n k k

k

n kk kk

3

4 4

3

4

32

12

3 6

2

5 5

4

5

6

00

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

kn

k kn

kk

525

6 6

5

6 0

1− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

k

k

n

× + + + + − + + + − + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

51 1 +− − − − − −

k

k n k k k k k k k k ka a a a a a

6

5 6 5 4 3 2 2 3 4 51

6 2 6 5 4 3 2

2 3 4 5

( )

66k ,

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 5 6 2 2 3 4 5

1

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + + −

=

− − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑0

3 3 2

0

2 2 12 6

5 5

2 4

3 3

2

3

13 6

5n k k

k

n kk kk5

3

4 4

3

4

32

14

3 6

2

5 5

4

5

6

00

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

kn

k k

kk

nk

k

n 515

6 6

5

6 0

1− −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

× + + + + − + + + − + + −C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

41 1 1 k k

k n k k k k k k k k ka a a a a

5 6

5 6 5 4 3 2 2 3 41

6 1 6 5 4 3 2

2 3 4 5+− − − − − −( ) 5 6

6ak,

176

A n C n k k k k k

k k k k k

k6 6 6 1 2 3 4 5

1

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

, ( ) = − − − − − −+ + + + −

=

− − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −

∑0

3 3 2

0

2 2 6

5 5

2 4

3 3

2

3

6

5 5

3

4 4n k k

k

n kk kk k

3

4

32

3 6

2

5 5

4

5

65

6 6

5

00

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣

∑∑kk

nk k

nk

⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑ ×

k

n

6 0

× + + + + − + + + − + + −C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

41 1 1 k k

k n k k k k k k k k ka a a a a

5 6

5 6 5 4 3 2 2 3 41 1

6 6 5 4 3 2

2 3 4 5+ −− − − − −( ) 5 6

6ak.

Проверим полученные формулы на соответствие начальным условиям (6.4). С этой цельюпримем в системе (6.17) n = 1.

Рассмотрим подробно вычисление коэффициента А6, 1 (1):

A n C k k k k k

k k k k k

k6 1 1 2 3 4 5

02 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

12

, ( ) = − − − − −+ + + +

=

− 3 2

0

2 6

5 5

2 4

3 3

2

3

13 6

5 5

3

4 4

3k k

k

kk kk k

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢⎢

∑

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∑∑∑kk

k kk

4

14

3 6

2

5 5

4

5

15

6 6

5

00k6 0

0

=∑ ×

× + + + + + + + + + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

5 6

5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 61

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6a a a a a ak k k k k k k k k k( )

.− − − − −

Так как индекс k6 = 0, то для верхнего предела суммирования индекса k5 имеем:

15

6

515

6 0−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=k

.

Следовательно, индекс k5 = 0. В этом случае значение верхнего предела суммирования дляиндекса k4 равно:

14

3

2

5

414

6 5 0− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=k k

.

177

Следовательно, индекс k4 = 0. Поэтому значение верхнего предела суммирования для индексаk3 равно:

13

5

3

4

313

2 065 4− − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=kk k

.

Отсюда следует, что индекс k3 = 0, поэтому значение верхнего предела суммирования для ин-декса k2 равно:

12

5

2

3

212

3 2 06 45 3− − − −⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

=k kk k

.

Отсюда следует, что индекс k2 = 0, поэтому под знаком суммы остается только одно слагаемое:

C Ck k k k k

k k k k k

k k k k k1 2 3 4 52 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2 3 4 5 6− − − − −+ + + +

+ + + +k

k k k k

k

k k k

k

k k

k k k kC C C a2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

5 6

5 2 31

1 2 3 4

+ + + + + +− − −( 4 5 6 2 3 4 5 65 6

2 3 4 5 6

− −k k k k k k ka a a a a)

,

в котором все индексы необходимо принять равными нулю. В этом случае получаем:

С (1, 0)С (0, 0)4а1 = a1.

Таким образом, показано, что:A6, 1 (1) = a1.

Совершенно аналогичным способом показывается, что:

A6, 2 (1) = a2, A6, 3 (1) = a3, A6, 4 (1) = a4, A6, 5 (1) = a5, A6, 6 (1) = a6.

Убедимся, что при n = 2 вычисленные по формулам (6.17) значения действительно соответст-вуют истинным.

С этой целью правую и левую части уравнения (6.14) возведем в квадрат:

(х6)2 = (a1x5 + a2х

4 + а3х3 + а4x

2 + a5x + a6)2.

178

Раскрывая скобки и используя уравнение (6.14) с целью исключения неизвестных: x10, x9, x8,x7, x6, в итоге получим:

х12 = (4 313

4 22

3a a a a+ + 6a1a2a4 + a a a a a a a a a a a17

15

2 13

22

14

3 1 23

12

56 10 5 4 3+ + + + + + 2a2a5 + 2a3a4 + 2a1a6 ++ 12 31

22 3 1 3

2a a a a a+ )x5 + (9 6 3 31 22

3 12

23

2 32

13

5 22

4a a a a a a a a a a a+ + + + + 4a1a2a5 + 4a1a3a4 + 8 13

2 3 24a a a a+ +

+ a a a a a a a a a a a a15

3 14

4 14

22

12

32

12

6 16

25 3+ + + + + + 2a3a5 + 2a2a6 + 6 12

2 4 42a a a a+ )х4 + (2a3a6 + 3 1 2

24a a a +

+ 6 212

22

3 1 42

23

3 13

6 33

22

5a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2a1a2a6 + 3 12

2 5a a a + 4a1a3a5 + 6 51 2 32

15

4 14

2 3a a a a a a a a+ + ++ 4a2a3a4 + a a a a a a1

45 1

332

16

34+ + + 2a4a5 + 4 613

2 4 12

3 4a a a a a a+ )х3 + (3 1 22

5a a a + 6a1a2a3a4 + 6 12

22

4a a a ++ a a a a a a a a a a a3

24 2

34 1

242

22

6 12

2 63 3+ + + + + 2a1a3a6 + a a a a a a a a15

5 14

2 4 13

3 45 4+ + + 4a1a4a5 + 2a2a3a5 ++ a a a a a a1

46 1

64 2 4

22+ + + 2a4a6 + 4 313

2 5 12

3 5 52a a a a a a a+ + )х2 + (3 1 2

26a a a + 6a1a2a3a5 + 6 31

222

5 12

4 5a a a a a a+ ++ a a a a a a3

25 2

35 1 5

22+ + + 2a2a4a5 + a a a a a a a a15

6 14

2 5 13

3 55 4+ + + 2a1a4a6 + 2a2a3a6 + a a16

5 + 2a5a1 ++ 4 31

32 6 1

23 6a a a a a a+ )x + a6 (4 1

33 2

3a a a+ + 6a1a2a3 + a16 + a6 + 5 31

42 1

24a a a a+ + 2a1a5 + 2a2a4 + 6 1

222

32a a a+ ).

С другой стороны, подставляя в уравнение n-образа (6.15) значение n = 2, имеем:

x12 = A6, 1 (2)х5 + A6, 2 (2)x

4 + A6, 3 (2)x3 + A6, 4 (2)х

2 + A6, 5 (2)x + A6, 6 (2).

Таким образом, в силу равенства левых частей, необходимо, чтобы имели место равенства:(6.18)

А6, 1 (2) = 2a2a5 + 2a3a4 + 2a1a6 + 6a1a2a4 + 12 3 4 5 3 312

2 3 12

5 13

4 14

3 1 32

22

3a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 6 15

2a a ++ 10 41

322

1 23

17a a a a a+ + ,

A6, 2 (2) = a42 + 2a3a6 + 2a2a6 + a a a a1

26 1

62+ + 4a1a2a5 + 6 1

22 4a a a + 4a1a3a4 + a a a a a a1

35 1

44 2

243+ + +

+ a a a a a a a a a a a a a a a15

3 13

2 3 1 22

3 12

32

2 32

14

22

18 9 3 3 5 6+ + + + + + 223

24a a+ ,

A6, 3 (2) = 2a4a5 + a a13

6 + 2a3a6 + 2a1a2a6 + 3 12

2 5a a a + 4a1a3a5 + a a a a a a a a a14

5 22

5 15

4 13

2 44+ + + ++ 6 3 4 5 6 61

23 4 1 2

24 2 3 4 1

42 3 1

222

3 1 2a a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + a a a a a a a a a a32

1 42

16

3 13

32

23

3 332 4+ + + + + ,

А6, 4 (2) = a52 + 2a4a6 + a a a a a2

26 1

22 63+ + 2a1a3a6 + a a a a a a a a a a a a a1

46 1

55 1

32 5 1

23 5 1 2

254 3 3+ + + + +

+ 4a1a4a5 + 2a2a3a5 + 5 4 6 3 214

2 4 13

3 4 12

22

4 16

4 12

42

23

4a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 2 42

32

4 1 2 3 46a a a a a a a+ + ,

179

A6, 5 (2) = 2a5a6 + a a a a a a a a a a a15

6 13

2 6 12

3 6 1 22

64 3 3+ + + + 2a1a4a6 + 2a2a3a6 + 5 414

2 5 13

3 5a a a a a a+ ++ 6 3 21

222

5 12

4 5 16

5 1 52

23

5 32

5a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + 6a1a2a3as + 2a2a4a5,

А6, 6 (2) = a6 (a6 + 2a1a5 + 6a1a2a3 + 6 12

22a a + 2a2a4 + 5 4 31

42 2

313

3 16

12

4 32a a a a a a a a a+ + + + + ).

Подставляя теперь в формулы (6.17) n = 2, получаем совершенно идентичные значения, в ча-стности покажем это для коэффициента

A C k k k k k

k k k k k

k6 1 7 2 3 4 5

0

22 3 4 5 6

2 3 4 5 6

2

72

, ( ) := − − − − −+ + + +

=

− − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − −⎡

⎣⎢

∑3 2

0

2 6

5 5

2 4

3 3

2

3

73 6

5 5

3

4 4

3k k

k

kk kk k

⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∑∑kk

k kk

4

74

3 6

2

5 5

4

5

75

6 6

5

00∑∑

=

×k6 0

1

× + + + + + + + + + +C C C Ck k k k k

k

k k k k

k

k k k

k

k k

k

2 3 4 5 6

2

3 4 5 6

3

4 5 6

4

5 6

5 6 5 4 3 2 2 3 4 5 61

7 6 5 4 3 2

2 3 4 5 6a a a a a ak k k k k k k k k k( )− − − − −

=

= − − − −+ + +

+ + + + +C C Ck k k k

k k k k

k k k k

k

k k7 2 3 42 3 4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2

3 4 k

k

k k

k

k

k

k

k

k

C C

k k

5

3

4 5

4

5

5

2

72

5 5

2 4

3 3

2

3 0

2

+=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑ ×

000

73

5 5

3

4 4

3

4

74

5 5

4

5

75

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣

∑∑

k kk

kk

⎢⎤⎦⎥

∑

× +− − − −

− − −a a a a a Ck k k k k k k k

k k1

7 5 4 3 2

2 3 4 5 2 2 35 4 3 2 2 3 4 5

2 3

( )

k k

k k k k

k k k k

k

k

k

C

k

4 5

2 3 4 5

2 3 4 5

2

2

12

5 5

2 4

4

1

10

2

−+ + + +

+ + + +=

− − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

∑∑ ×

3 3

2

3

13

5 5

3

4 4

3

4

14

5 5

00

kk kk

kk

4

5

1

5

0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑∑k

× + + + + + +− − − −

C C C ak k k

k

k k

k

k

k k k k k

3 4 5

3

4 5

4

5

5 5 4 31 1 1 1

1 5 4 3 2( 2 2 3 4 52 3 4 5 6

)a a a a ak k k k

=

180

= − − −+ +

+ + +C C C C Ck k k

k k k

k k k

k

k k

k

k

k

k7 2 3 0

0

2 3 4

2 3 4

2 3 4

2

3 4

3

4

4

2

72 4

3 3

2

4 3 2 2 3

0

2

1

7 4 3 2

2 3 4=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −∑k

k k k k k

k

a a a a( ) k

kk

k

4

3

73

4 4

3

4

74

00

+=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑∑

+ − − −+ + +

+ + + + +C C C Ck k k

k k k

k k k

k

k k

k

k3 2 3

1

1 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

3 4

3

4 +=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −∑ 1 11

0

1 2

1

2 4 3 2

24

2

4

3 3

2

4 3 2k

k

k

k k k kC a a

k

( ) 2 3 4

3

23

4 4

3

4

12

3 4 500

a a ak k

kk

k

+=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑∑

+ − − −+ + +

+ + + + +C C C Ck k k

k k k

k k k

k

k k

k

k2 2 3

1

1 12 3 4

2 3 4

2 3 4

2

3 4

3

4 +=

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− − −∑ 1 01

0

2

1

1 4 3 2

24

2

12 4

3 3

2

4 3 2k

k

k

k k kC a a

k

( ) k k k

kk

a a a

k

2 3 4

3

13

4 4

3

4

14

3 4 600

:==

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑∑

: ( )( )

= − −+

+− −

C C C C a ak k

k k

k k

k

k

k k k

7 2 00 2

1

7 3 2

22 3

2 3

2 3

2

3

3 3 2 k k

kk

a

k

2 3

2

72

3 3

2

3

73

300

+=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑∑

+ − −+ +

+ + +− −

C C C C C ak k

k k

k k

k

k

k k

4 2

1

1 1 11

00

1

3 3 2

2 3

2 3

2 3

2

3

3 3( k k k

kk

a a a

k

2 2 3

2

32

3 3

2

3

1

2 3 400

)[ ]

+=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

+ − −+ +

+ + +− −

C C C C C ak k

k k

k k

k

k

k k

3 2

1

1 1 01

11

1

2 3 2

2 3

2 3

2 3

2

3

3 3( k k k

kk

a a a

k

2 2 3

2

3 3

2

3

23

2 3 50

1

0

)+

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=∑∑

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

181

+ − −+ +

+ + +− −

C C C C ak k

k k

k k

k

k

k k

2 2

1

1 1 10 2

1

1 3 2

2 3

2 3

2 3

2

3

3 3( )( k k k

kk

a a a C

k

2 2 3

2

12

3 3

2

3

13

2 3 600

7

)=

=

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−∑∑

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

k

k

k

k k k

k

C C a a2

2

2

2 2 2

2

72

00 3

1

7 2

20

( )( )−

=

+

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑

+ +−+

+−

=∑ C C C C a a ak

k

k

k k k

k5

1

1 11

00 2

1

4 2

2 30

2

2

2

2 2 2

2

2

( )( )

[ ]

C C C C a a ak

k

k

k k k

k3

2

2 22

00 2

1

1 2

2 32

02

2

2

2 2 2

2

12

−+

+−

=

+

⎡⎣

( )( )

⎢⎤⎦⎥

∑

+ +−+

+−

=

⎡⎣

C C C C C a a ak

k

k

k k k

k4

1

1 01

11

00

1

3 2

2 40

2

2

2

2 2 2

2

32

( )⎢

⎤⎦⎥

∑ −+

+−

=

+C C C C C a a a ak

k

k

k k k

k2

2

2 12

11

00

1

2

2 3 42

2

2

2 2 2

2

( )

0

0[ ]

∑

+ +−+

+−

=∑ C C C C a a ak

k

k

k k k

k3

1

1 10 2

11

1

2 2

2 50

2

2

2

2 2 2

2

1

( )( )

[ ]

C C C a a ak

k

k

k k k

k2

1

1 11 3

1

1 2

2 60

2

2

2

2 2 2

2

12

−+

+−

=

=

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )( )∑

= + + + + + +a a a a a a a a a a a a a a17

15

2 13

22

1 23

14

3 12

2 3 226 10 4 5 12 3 3 1 3

213

43 4+ +a a a a + 6a1a2a4 + 2a3a4 + 3 12

5a a ++ 2a2a5 + 2a1a6,

что в точности соответствует (6.18). Совершенно аналогичным способом показывается, чтоА6, i (2), i = 2, 3 .. 6, вычисленные по формулам (6.17), в точности соответствуют значениям, по-лученным другим способом в (6.18). Это доказывает на практике справедливость полученныхформул.

Приведем программу на языке программирования MAPLE, печатающую в раскрытой формезначения коэффициентов n-образа для алгебраического уравнения степени т.

182

> restart:> m:=2: #введите степень алгебраического уравнения> x^m =add(a[l]*x^(m�l),l = 1 .. m);x^(m*n)=add(A[m,l](n)*x^(m�l),l = 1 .. m);> yrn := proc (m,i::integer) local k,k0,i0,l, Ds; global resd,Yr,yr0,x; option

remember;yr0:=x^m=Sum(a[l]*x^(m�l),l = 1 .. m);Yr:=x^(m*n)=Sum(A[m,l](n)*x^(m�l),l = 1 .. m);delta(0):=1;for i0 to m+10 do delta(i0):=0;delta(�i0):=0 od;for k0to m�1 do g(k0):=[value((m*(n�1)+i�Sum((m�j+2)*k[m�j+2],j = 2 .. k0+1))/(m�k0))]od;Ds:=value(C(m*(n�1)+delta(i�1)+(i�1)*Sum(delta(i�s),s = 2..m)�Sum((j�1)*k[j],j = 2 .. m),Sum(k[z],z = 2 .. m)�Sum(delta(i�s),s = 2 .. i))*Product(C(Sum(k[z],z = l .. m)�Sum(delta(i�s),s = l+1 .. i),k[l]),l = 2 .. m�1)*a[1]^(m*(n�1)+i�Sum(j*k[j],j = 2 .. m))*Product(a[j]^k[j],j = 2 .. m)); for k0 from 2 to m�1 doDs:=Sum(Ds,k[k0]=0..value(g(m�k0))) end do; resd :=A[m,i](n)=Sum(Ds,k[m]=0..n�value(Sum(delta(s�i),s = i .. m�1)))end:

> M:=m:for e to M do yrn(M,e) od;

Программа распечатает исходное алгебраическое уравнение степени т, его уравнение n-обра-за и все значения коэффициентов n-образа.

В частности, при т := 2 получаем:х2 = a1х + a2,

х(2n) = А2, 1 (n)x + A2, 2 (n),

A n C a an k

k

k

nn k k

2 1 2 10

1

1

2 1

22

2

2

2 2,

( )( ) ,= − −

=

−− −∑

A n C a an k

k

k

nn k k

2 2 2 1

1

01

2 2

22

2

2

2 2,

( )( ) = − −

−

=

−∑

и так далее.П р им е ч а н и е: Наиболее доказательным фактором правильности формул (6.17) будет нали-

чие высокой точности при вычислении корней конкретных алгебраических уравнений.

183

6.4. Гипергеометрическое представление коэффициентов n образа.Область определения

Основная идея нахождения корней алгебраического уравнения (6.1), используя уравнениеn-образа (6.2), заключается в формальном расширении области определения параметра n на мно-жество действительных чисел. Произвольность этого параметра позволяет задавать ему такиезначения, которые и приводят к появлению системы линейных алгебраических уравнений мень-шей степени, содержащей только одно решение исходного уравнения (6.1). При этом использует-ся идея Ньютона, заключающаяся в том, что выражение:

C xnk k

k

n

=∑

0

,

которое при целых n удовлетворяет формуле:

C x x Cnk k

k

nn

nk k

n n k=∑ = + =

−0

1( ) , !! ( ) !

, (6.19)

после замены в верхнем пределе суммирования параметра п на бесконечность, образует анало-гичную зависимость в представлении

C x x Cnk k

k

nnk k

n n k=

∞

∑ = + =+

+ − +0

11

1 1( ) ,

( )

( ) ( )

Г

Г Г. (6.20)

«Платой» за это является следующее: если равенство (6.19) справедливо для любых значений х,то равенство (6.20) только для определенного подмножества его значений, которое называетсяобластью определения (6.20). Однако в этом случае в (6.20) параметр n может становиться нетолько натуральным числом, но и принадлежать к множеству действительных чисел. Эта воз-можность представления параметра n и является ключевой идеей использования уравненияn-образа (6.2) к нахождению корней алгебраического уравнения (6.1). Следуя этой идее, произве-

184

дем замену параметра n в верхнем пределе суммирования формулы (6.7) на бесконечность. Тогдаполучим новое представление для коэффициентов n-образа:

A n Cm im n i i i s s ks

s

m,( ) ( ) (( ) ( ) ( ) )

( ) =− + − + − − − −

⎡

=∑1 1 1 1

2δ δ

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟

= =

=

∑ ∑

∑⋅

k i s

k

ss

m

s

i

ss r

mC2 2

δ ( )

⎟ − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

−

=

∞

= +− = − ∑

∏∑δ ( )[ ] .. i s

k

r

m

ks r

ir

m l l m1

1 2 2

1

0

⎛

⎝

⎜⎜⎜

×=

∞

∑km 0

(6.21)

×⎛

⎝⎜

⎞

⎠

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏a am n i sk

sk

s

mss

m

s1

1

2

2( )

⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟.

В соответствии с горновским определением гипергеометрической функции [16], составим со-отношения:

f k ki m

Cm n i i i s s ks

s

m

( .. )

( ) ( ) (( ) ( ) ( )

2

1 1 1 1

2

=

− + − + − − − −=

δ δ∑

∑ ∑⋅

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

− −=

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

kss

mi s

s

i

kss

C2 2

δ ( )

r

mi s

s r

i

kr

r

m

∑ ∑⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

− −= +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

−

∏⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥

δ ( )

1

2

1

⎥⎥

= +

− + − + − − − −=

⎡

∑

ki ki

m n i i i s s kss

mC

1

1 1 1 1

2

( ) ( ) (( ) ( ) ( )δ δ

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

− −=

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

∑ ∑⋅

kss

mi s

s

i

kss r

mC2 2

δ ( )

∑ ∑⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

− −= +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

−

∏δ ( )i s

s r

i

kr

r

m

1

2

1

, (6.22)

i = 2 .. m.Так как в числителе и знаменателе содержится одинаковое число биномиальных коэффици-

ентов, то порождаемые ими полиномы имеют конечные радиусы сходимости. Следовательно,функция (6.21) относится к классу гипергеометрических функций. Установим радиус сходимо-

185

сти, т. е. установим область определения гипергеометрической функции (6.21) в общем случае.С этой целью, согласно горновской методике, произведем замену параметров ki по формуле:ki = qli, i = 2 .. т, где li — новые переменные, определенные только в интервале [0, 1], a q — па-раметр, стремящийся к бесконечности. В этом случае определяются функции:

Fi (l2 .. lm) = limq → ∞

fi (ql2 .. qlm), i = 2 .. т.

Следовательно, искомые радиусы сходимости равны:

Ri F l li m

= 1

2| ( .. ) |, i = 2 .. т, (6.23)

где все lj = 0, j — принадлежит интервалу (2, m], в котором одно значение li = 1, где i принимаетпоследовательно значения от 2 до т.

Выражение

a am n i sk

sk

s

mss

m

s1

1

2

2( )− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ,

которое определяет сходимость гипергеометрической функции (6.21), можно представить в виде:

a a am n i sk

sk

s

mm

ss

m

s1

1

21

2( )

( (− + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

∏ = n ik

s

m a

as

s

s− +

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∏1

2 1

) ) .

В этом случае, опираясь на результаты (6.23), приходим к выводу, что т − 1 — кратный ряд,определяющий гипергеометрическую функцию (6.21), сходится при одновременном выполненииусловий:

a

ai

iRi

1

< , i = 2 .. m.

186

Выясним числовые значения радиусов сходимости Ri. С этой целью выпишем последователь-но его значения для уравнений со второй по пятую степень, пользуясь изложенной методикой,по которой эти вычисления производились ранее.

Для квадратных уравнений:a

a

2

12

1

22< .

Для кубических уравнений:a

a

2

12

1

22< ,

a

a

3

13

2

3

2

3< .

Для уравнений четвертой степени:a

a

2

12

1

22< ,

a

a

3

13

2

3

2

3< ,

a

a

4

14

3

4

3

4< .

Для уравнений пятой степени:a

a

2

12

1

22< ,

a

a

3

13

2

3

2

3< ,

a

a

4

14

3

4

3

4< ,

a

a

5

15

4

5

4

5< .

Анализируя полученные формулы, можно сделать однозначный вывод о том, что радиусысходимости представляются формулами:

Rii

i

i

i=

− −( ) ( )1 1

, i = 2 .. т.

В этом случае формула принимает законченный вид:

a

a

i

ii

i

i

i1

11<

− −( ) ( )

, i = 2 .. т. (6.24)

Таким образом, условия (6.24) задают область определения, в которой гарантированно имеетместо сходимость т-кратных рядов, определяющих гипергеометрические функции (6.21). При-ведение гипергеометрических функций (6.21) к общепринятому представлению через функции

187

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Похгаммера выполнено в работе [8]. Однако использование полученных гипергеометрическихфункций в форме (6.21) для вычисления коэффициентов n-образа требует создания специальноговычислительного алгоритма, подобно тому как это описано для случаев кубического уравнения,уравнений четвертой и пятой степеней.

В данном общем случае получим новое представление функций (6.7), которое позволит полу-чить такие гипергеометрические представления для коэффициентов n-образа, что это не потребу-ет образования специальных вычислительных алгоритмов, а позволит прямо использовать полу-ченные формулы для необходимых вычислений.

С этой целью представим (6.7) в виде:

A nm ik

m n i

m l l m

m j km jj

l

,[ ]

( )

( )..

( )

=− = −

− − + − +=

=

− +

1 2

2 23

0

1

+

−

−=

−∑

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

− −⎛

⎝⎜

∑∑

1

1

0

mkm

m l

m

s i

m

k

n s iδ ( )⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑

Cm n i i i s s ks

s

m

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+=

−

∑1 1 1 12

1

δ δ ( ) ( ) ( )

( )

i i m m k

k k i s

m

ss

m

ms

i

− − − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − −=

−

=∑

1 1

2

1

2

δ

δ∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

×

×

=

−

= +∑ ∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

Ck k i s

k

r

m

ss r

m

ms r

ir

1

1

2 δ ( )

− − + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=∏ =

−

∑1

1

12

1

a am n i sk mk

sk

s

ss

m

m

s

( )

2

1m

mka m

−

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟.

188

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Произведем замену — инверсию индекса суммирования km, т. е. заменим его на

− + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

−

∑k n s ims i

m

δ ( )1

.

Тогда получим формулу:

A nm ik

i

m l l m

m m j km jj

l

,[ ]

( )..

( )

=

∑

− = −

− − − + − +=

+

=

+⎛

1 2

2 23

1

0

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ + −=

−

−

∑⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

∑

m km s is i

m

m l

δ ( )

1

⎜⎜⎜⎜

=

− −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

−

∑

∑k

n s i

m

s i

m

0

1

δ ( )

Cm n i i i s s ks

s

m

( ) ( ) (( ) ( ) ( ) )− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑1 1 1 12

1

δ δ⎥

+ − − − − − + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢ =

−

∑( ) ( ) ( ) ( )i i m m k n s ims i

m

1 11

δ δ⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−=

−

=

−

∑ ∑k k n s iss

m

ms i

m

2

1 1

δ δ( ) ( )i ss

i

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∑×2

×

=

−

=

−

∑ ∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

Ck k n s i is

s r

m

ms i

m1 1

δ δ( ) ( −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − + −

= +

=

∑∏

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟s

k

r

m m i sk

s r

ir

ss

a)

1

2

2

1

1

m

ms i

m

m k s i−

=

−

∑ ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

1 1

δ ( )⎞

⎠

⎟⎟

=

− − + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−

∑a ask

s

m

m

k n s i

s

ms i

m

2

1

1

δ ( )⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟.

189

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

В данном случае получена формула, содержащая параметр n только в верхнем пределе сум-мирования последней суммы, поэтому следуя идее, изложенной ранее, произведем замену значе-

ния n s is i

m

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

−

∑ δ ( )1

на знак «бесконечность». В итоге имеем искомую формулу:

A nm ik

i

m l l m

m m j km jj

l

,[ ]

( )..

( )

=

∑

− = −

− − − + − +=

+

=

+⎛

1 2

2 23

1

0

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

+ + −=

−

−

∑⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜

∑

m km s is i

m

m l

δ ( )

1

⎜⎜⎜⎜

=

∞

∑km 0

(6.25)

Cm n i i i s s ks

s

m

( ) ( ) (( ) ( ) ( ) )− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥

=

−

∑1 1 1 12

1

δ δ⎥

+ − − − − − + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢ =

−

∑( ) ( ) ( ) ( )i i m m k n s ims i

m

1 11

δ δ⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−=

−

=

−

∑ ∑k k n s iss

m

ms i

m

2

1 1

δ δ( ) ( )i ss

i

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

∑×2

×

=

−

=

−

∑ ∑⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

Ck k n s i is

s r

m

ms i

m1 1

δ δ( ) ( −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=

− − + −

= +

=

∑∏

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟s

k

r

m m i sk

s r

ir

ss

a)

1

2

2

1

1

m

ms i

m

m k s i−

=

−

∑ ∑⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + + −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

1 1

δ ( )⎞

⎠

⎟⎟

=

− − + − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∏⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−

∑a ask

s

m

m

k n s i

s

ms i

m

2

1

1

δ ( )⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟,

i = 1 .. m.

190

Она позволяет производить непосредственные вычисления коэффициентов n-образа, в томчисле и для действительных значений параметра п.

Так как формула (6.25) получена посредством инверсии km, то область определения коэффи-циентов n-образа (6.25) имеет вид:

a

a

i

ii

i

i

i1

11<

− −( ) ( )

,

i = 2 .. т − 1, (6.26)a

am

m

m

m

m

m

1

11<

− −( ) ( ).

6.5. Формулы для определения корнейалгебраического уравнения степени m

Рассмотрим уравнение n-образа (6.2)

x A n xmnm i

m i

i

m( )

,( )( ) ,= −

=∑

1

(6.27)

в котором коэффициенты n-образа Ат, i (n) определяются формулами (6.25), в области определе-ния (6.26).

В этом случае параметр п может принимать и действительные значения. Пусть задан некийновый параметр ω = {ω1, ω2 .. ωm}, удовлетворяющий алгебраическому уравнению:

ωm = 1. (6.28)

Тогда будет справедливо также и другое формальное равенство:

ω(mn) = 1. (6.29)

191

Очевидно, что с формальной точки зрения уравнение (6.27) не изменится, если его записатьв следующем виде:

x A n xmn mnm i

m i

i

m( ) ( )

,( )( )=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

=∑ω

1

. (6.30)

В силу того, что параметр n может принадлежать и множеству действительных чисел, зада-дим ему последовательно новые значения:

nm

= ε, ε = 1, 2 .. т − 1. (6.31)

В этом случае равенство (6.30) образует систему алгебраических уравнений степени т − 1, от-носительно неизвестных: х, х2, x3 .. х(m − 1):

x A xm im i

i

m

mε εω ε=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

=∑ ,

( )

1

, ε = 1, 2 .. т − 1. (6.32)

Эта система преобразуется к виду:

x A x Am im i

i

m

m mm mε ε εω ωε ε−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠

−

=

−

∑ ,( )

,1

1

⎟ , ε = 1, 2 .. т − 1. (6.32)

В матричной форме эта система принимает вид:

QX = B, (6.33)

где Q — матрица размерности ((т − 1) (т − 1)) коэффициентов левой части (для которой в дан-ном случае выписаны только первые четыре члена строки и столбца).

192

Q

A A Am m m m m mm m m

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠− − −1 1 2 3

1 1 1ω ω ω, , , ⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞

−

− −

ω

ω ω

A

A A

m m

m m m m

m

m m

,

, ,

4

21

22

1

2 21⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

− −

−

ω ω

ω

23

24

31

2 2

3

A A

A

m m m m

m m

m m

m

, ,

,⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛− − −ω ω ω32

33

34

3 3 31A A Am m m m m mm m m, , , ⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −− − −ω ω ω4

14

24

34 4 4A A Am m m m m mm m m, , ,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−1 44

4ω Am m m,

. (6.34)

X

xxx

xx

m

m

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

−

2

3

2

1

( )

( )

. . . . . . — вектор, содержащий искомые значения х. (6.35)

B

A

A

A

m m

m m

m m

m

m

m=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω

ω

ω ε ε

,

,

,

. . . . . . .

1

22

. . . . . . . . . . .

( ),

( ),

ω

ω

mm m

mm m

A

A

mm

mm

−

−

−

−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠

2

1

2

1⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

— вектор свободных коэффициентов правой части (6.32). (6.36)

193

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.............

Используя либо метод Крамера, либо, как в данном случае, матричный подход к решениюсистемы уравнений (6.33), получим искомое решение:

X = Q(−1)B, (6.37)

где Q(−1) — матрица, обратная Q.Поскольку параметр ω представляет собой вектор ω = {ω1, ω2 .. ωm}, то каждому его значению

ωk, k = 1 .. т, которое по условиям является корнем уравнения (6.28), соответствует свое значе-ние соответственно: Bk, Qk

( ),−1 Xk, k = 1 .. m, так что В = {В1, В2 .. Вт}, Q(−1) = {Q Q11

21( ) ( ),− − .. Qm

( ) },−1

X = {X1, Х2 .. Xm}. Поэтому формулу (6.37) можно представить в общей форме:

Xk = Qk( )−1 Bk, k = 1 .. m. (6.38)

Поскольку в соответствии с (6.35) вектор

X

x

x

x

x

x

k

k

k

k

km

km

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

−

2

3

2

1

. . . . . .( )

( )

k = 1,2 .. т

содержит в качестве одного из решений xk, то получаем из (6.38) т различных корней алгебраи-ческого уравнения (6.1).

Таким образом, доказана ТЕОРЕМА 6.1: Корни алгебраического уравнения (6.1), коэффици-енты которого удовлетворяют условиям (6.26), определяются формулами (6.38).

Вывод: Данная теорема решает основную задачу алгебры, вытекающую из основной теоремыалгебры.

194

6.6. Примеры

Очевидно, что основным критерием любой теории является ее практическое приложение.В данном случае, для практических вычислений, необходимо в формуле (6.25), определяющей зна-чения коэффициентов n-образа, вместо значка «бесконечность» ввести новый параметрN — коли-чество слагаемых. Кроме того, необходимо ввести понятие точности вычислений, т. е. показательошибки вычислений заданного корня. В качестве такого показателя будем использовать формулу:

δ ( )

( )

xk

x a x

a

km

i km i

i

m

m

=∑

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

= 1, k = 1 .. т (6.39)

которая определяет относительную ошибку (или точность) вычислений корня xk.Приведем примеры, подтверждающие справедливость изложенной теории.Искомые корни заданных уравнений будут установлены в матричной форме, используя метод

Крамера.Представляем программу на языке Maple, печатающую формулы для корней заданного алгеб-

раического уравнения в соответствии с определением Теоремы 6.1.

> restart:

> m:=3; # степень алгебраического уравнения

> with(student):

> with(LinearAlgebra):

with(Student[LinearAlgebra]):

> with(linalg):alias(C=binomial):

> print(«алгебраическое уравнение»);

195

> yr0:=x^m=sort(add(a[i]*x^(m�i),i=1..m),x);

> print(«в области определения»);

> seq(abs(a[i]/a[1]^i)<(i�1)^(i�1)/i^i,i=2..m�1),abs(a[1]^m/a[m])<m^m/(m�1)^(m�1);

> n:=e/m:

> Rs:=solve({omega^m=1},omega):

> r:=x^(m*n) =omega^(m*n)*add(A[m,i](n)*x^(m�i),i = 1 .. m):

> for e to m�1 do E(e):=expand(subs(seq(x^(m�i)=z[m�i],i=1..m�1),r)) od:

> F0:=genmatrix({seq(E(l),l=1..m�1)},[seq(z[i],i=1..m�1)]):

> F:=GenerateMatrix({seq(E(l),l=1..m�1)},[seq(z[i],i=1..m�1)]):

> Fx:=swapcol(F,1,m):

> Fx1:=Matrix(m�1,m,Fx):

> Fz:=SubMatrix(Fx1,[seq(i,i=1..m�1)],[1..m�1]):

> for i to m do x[i]=subs(Rs[i],Fz/matrix(m�1,m�1,F0)) od:i:=’i’:n:=’n’:#корни

алгебраического уравнения в раскрытой матричной форме.

> print(«имеет корни»);

> x[i]=subs(omega=omega[i],Fz/matrix(m�1,m�1,F0)),i=1..m;n:=’n’:i:=’i’:#корни

алгебраического уравнения в матричной форме — общий вид.

> #LinearSolve(F)[1]; #корни алгебраического уравнения в раскрытой, т. е. явной

форме.

> print(«где»);

> seq(subs(omega=omega[i],Rs[i]),i=1..m);

> ###############################################################################

################

> delta(0) := 1: for i0 to m+10 do delta(i0) := 0: delta(�i0) := 0 end do: for

k0 to m�1 do g(k0) := [((m*(n�1)+i�Sum((m�j+2)*k[m�j+2],j = 2 .. k0+1))/(m�k0))]

196

end do: Ds := C(m*(n�1)+delta(i�1)+Sum((i�1)*delta(i�s)�(s�1)*k[s],s =2 .. m),

Sum(k[s],s = 2 .. m)�Sum(delta(i�s),s = 2 .. i))*Product(C(Sum(k[s],s = l .. m)�

Sum(delta(i�s),s = l+1 .. i),k[l]),l = 2 .. m�1)*a[1]^(m*(n�1)+i�Sum(s*k[s],

s = 2 .. m))*Product(a[s]^k[s],s = 2 .. m): for k0 from 2 to m�1 do Ds :=

Sum(Ds,k[k0] = 0 .. (g(m�k0))) end do: resd := A[m,i](n) = Sum(Ds,k[m] = 0 .. n�

(Sum(delta(s�i),s = i .. m�1))):

> ResA:=subs(S=k[m],changevar(k[m]=�S+n�value(Sum(delta(s�i),s = i .. m�1)),

resd,S)):

> Rs:=subs(n=epsilon/m,lhs(ResA)=Sum(op(rhs(ResA))[1],k[m]=0..infinity)),i=1..m,

epsilon=1..m�1;

> print(«########################################################################

######################»);

Пример 1Выписать формулы для корней уравнения шестой степени

х6 = а1x5 + а2х

4 + а3х3 + а4х

2 + а5х + а6 (6.40)

в области определения (6.26) и проверить на примерах.Р еш е н и е. В соответствии с теорией и пользуясь приведенной программой, получаем ре-

зультат:Алгебраическое уравнение (6.40) в области определения

a

a

2

12

14

< ,a

a

3

13

427

< ,a

a

4

14

27256

< ,a

a

5

15

2563125

< ,a

a16

6

456563125

< . (6.41)

197

имеет корни: (6.42)

xi

i i i iA A A

=

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −ω ω ω ω6 6 6 4 6 3

16

16

16, , , A A

A A

i

i i

6 2 6 1

26 6

26

16

16

13

1

, ,

, ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−

−

ω

ω ω 42

6 32

6 22

6 113

13

13

1⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −ω ω ωi i iA A A, , , 3

12

12

112

36 6

36 4

36 3

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

− −ω ω ωi i iA A A, , , ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

− −ω ω

ω

i i

i

A A

A

36 2

36 1

46 6

12

12

23

, ,

, ⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠− − −ω ω ωi i iA A A4

6 44

6 34

6 223

23

123, , , ⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−

− −

ω

ω ω ω

i

i i

A

A A

46 1

56 6

56 4

23

56

56

,

, , i i iA A A56 3

56 2

56 1

56

56

156, , ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢

− −ω ω

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝− −1

16

166 5 6 4ω ωi iA A, , ⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −

−

ω ω ωi i iA A A6 3 6 2 6 116

16

16, , ,

ω ω ω ωi i iA A A26 5

26 4

26 3

13

113

13, , ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − − i i

i i

A A

A

26 2

26 1

36 5

3

13

13

12

, ,

,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

−

−

ω

−ω ω A A A Ai i i6 43

6 33

6 231

21

12

12, , ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −ω ω ω 6 1

46 5

46 4

46

12

23

23

,

, , ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −ω ω ωi i iA A A 3

46 2

46 1

56 5

23

123

23

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− −

−

ω ω

ω

i i

i

A A

A

, ,

,56

56

56

56

56 4

56 3

56 2

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟− − −ω ω ωi i iA A A, , ,

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥−1

56

56 1ω iA ,

,

i = 1, 2 .. 6,

198

где

ω1 = −1, ω2 = 1, ω3 = −− +2 2 3

2

I, ω4 =

− +2 2 3

2

I, ω5 = −

− −2 2 3

2

I, ω6 =

− −2 2 3

2

I,

A ik k k

i

j k jj

60 06

6 5

565 5

8 82

2

5

4

,

( )

εε

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

∑

=

∞

=

− + −

∑ ∑

− −=

=

− + −

=

− + −

− −=

− −=

∑

∑0 0

24

32 4

8 82

3

4

3

3 3

8 8ε εi

j k jj i

j k jj

k

( ) ( )2

4

3

∑

∑

Ci i i s s k

k

ss

ss

ε δ δ− + − + − − − −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

=

∑6 1 1 12

6

( ) (( ) ( ) ( ) )

2

6

2

6

∑ ∑

∑

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

=

=

⋅δ

δ

( )i s

k

s

i

ss l

C( )

( )

i s

k

lks l

il

i

j k jj

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

==

− + −

= +

− −=

∑∏

12

2 2

8 8

2

5

0

3ε 2

5

22

6

1

6

2

6

∑

⎛

⎝⎜

⎞∑ ∏

− + −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

=

=∑

a ai sk

sk

s

ss s

ε

⎠⎟ ,

i = 1 .. 6, ε = 1 .. 5.

Таким образом, формулы, определяющие корни уравнения шестой степени, установлены.Приведем примеры практического вычисления этих корней. При этом примем N = 5.

Пример 2Вычислить корни уравнения

x x xx x x6 52 2 12004 3 2

8 8 6= + − + + + . (6.43)

199

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Р еш е н и е.Проверяем, удовлетворяют ли коэффициенты уравнения (6.43) условиям (6.41):

475

45656312

5132

14

164

427

196

27256

116

2563125

< < < < <, , , , .

Поскольку все условия выполнены, то производим вычисление коэффициентов n-образа, ис-пользуя формулы, представленные в (6.42):

A6 316,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1387656333е-3 + .3468581112е-2 I, A6 2

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3229009411е-1 − .7659514718е-3 I,

A6 613,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 5.678546983 − .1156890772 I, A6 1

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1045559040е-1 + .7071953180 I,

A6 456,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1872851819 + .2691771603e-2 I, A6 4

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5191551497e-1 + .1771782667e-2 I,

A6 256,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .6820454610e-1 − .6178304230e-3 I, A6 6

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 76.35933599 − .9922474511 I,

A6 356,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1841838530e-2 + .1713044524 I, A6 4

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1661478682e-1 + .7060290247e-3 I,

A6 116,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2094127385e-3 + .4452215661e-2 I, A6 3

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2081922022e-2 + .1033498009 I,

A6 312,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1244693187e-2 + .4417667054e-1 I, A6 2

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1255358235e-1 − .3574523932e-3 I,

200

A6 513,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .8244029371e-1 − .2674532031e-1 I, A6 6

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2.382297397 − .3019970063e-1 I,

A6 112,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.2729203348e-2 + .7557686930e-1 I, A6 1

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9081526416e-3 + .2119367067e-1 I,

A6 623,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 32.19986663 − .6634720335 I, A6 6

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 13.53242449 − .3117041223 I,

A6 556,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2.799502352 − .4102711397 I, A6 5

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1730609831e-1 − .5538479020e-2 I,

A6 416,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3641687027e-2 + .1810347631e-3 I, A6 3

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5165088675e-3 + .1483654690e-1 I,

A6 123,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .6403338276e-2 + .2391069542 I, A6 5

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9386317410 − .2294424615 I,

A6 223,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .6270006184e-1 − .1084064015e-2 I, A6 4

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1237119787 + .3053952056e-2 I,

A6 216,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3374345061e-2 − .1065185481e-3 I, A6 5

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2949400162 − .8890081903e-1 I.

Теперь пользуясь формулами (6.42), представленными в матричной форме, получаем иско-мые корни:

x1 = −2.997330322, x2 = 3.720833185, х3 = −1.349740938 − 2.761029926 I,х4 = 1.987989504 + 2.727620026 I, х5 = −1.349740938 + 2.761029926 I,

х6 = 1.987989504 − 2.727620026 I.

201

Определим относительную ошибку вычислений, пользуясь формулами (6.39):

δ (x1) = |−.9521е-8|, δ (х2) = ||−.12800е-7||, δ (x3) = | .4895е-8 + .2538е-8 I |,δ (х4) = |−.134е-9 + .3431е-8 I|, δ (x5) = | .4895е-8 − .2538е-8 I|, δ (х6) = |−.134е-9 − .3431е-8 I |.

Как видим, даже при N = 5 решения получаются с очень высокой точностью.Задача решена.

Пример 3Вычислить корни уравнения с комплексными коэффициентами

x Ix xx Ix x6 52 8 1804 3 2

7 40 6= − + + + + . (6.44)

Р еш е н и е.Проверяем, удовлетворяют ли коэффициенты уравнения (6.44) условиям (6.41):

1320

427

196

27256

14

2563125

128

14

1645

46656312

< < < < <, , , ,5.

Поскольку все условия выполнены, то производим вычисление коэффициентов n-образа, ис-пользуя формулы, представленные в (6.42):

A6 113,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5882351745е-2, A6 1

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .902275028le-3, A6 6

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 367.5217243,

A6 212,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1259734617е-1, A6 4

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5496959217е-1, A6 3

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.4346342202е-2,

A6 512,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5452033484е-3, A6 6

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.256978276, A6 6

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 10.60931266,

202

A6 416,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5769524560е-3, A6 2

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5308433159e-1, A6 2

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3389058936e-1,

A6 112,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2877004296e-1, A6 4

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3755541990e-2, A6 3

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1464014629,

A6 156,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5104001478, A6 5

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2099059141e-1, A6 6

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 112.6751026,

A6 513,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5423418906е-3, A6 4

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1653756047e-1, A6 1

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1251224608,

A6 456,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1137564959, A6 2

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.6964120444e-3, A6 3

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7356602971e-3,

A6 213,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3558141753e-2, A6 5

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7119651445e-4, A6 5

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2536987130,

A6 323,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5937364676e-1, A6 6

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 34.56735109, A6 3

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1798864084e-1

Теперь пользуясь формулами (6.42), представленными в матричной форме, получаем иско-мые корни:

х1 = −2.225590239 + .2839789082 I, х2 = 2.307679215 + .2970394127 I,х3 = −1.168657602 − 1.778839129 I, x4 = 1.032709932 + 2.563056686 I,x5 = −1.081993444 + 2.479973246 I, х6 = 1.135851962 − 1.845209226 I.

Определим относительную ошибку вычислений, пользуясь формулами (6.39):

δ (x1) = | .2912е-7 + .7464е-7 I |, δ (x2) = ||−.682е-7 + .1899е-7 I ||, δ (x3) = | .433е-8 + .4988е-7 I |,δ (x4) = |−.22422е-6 + .588е-7 I |, δ (x5) = | .4558е-7 + .2179е-6 I |, δ (x6) = |−.2544е-7 + .3884е-7 I |.

203

Как видим, даже при N = 5 решения алгебраических уравнений с комплексными коэффици-ентами получаются с очень высокой точностью.


Пример 4Найти корни уравнения

x xx x x64 3 2

8 8 62 1200= − + + + . (6.45)

Р еш е н и е.Как видим, в этом уравнении а1 = 0, поэтому нет смысла проверять на соответствие области

определения (6.41), так как заведомо эти условия не выполнены. Однако решение по приведен-ной схеме дает правильный результат.

Коэффициенты n-образа равны:

A6 312,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1806156764е-2, A6 3

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3695031233е-3, A6 1

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.8080405117е-5,

A6 616,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 3.259833596, A6 1

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.1371039150е-5, A6 3

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3196608951е-1,

A6 612,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 34.64080776, A6 5

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5934465211е-2, A6 6

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 368.1144893,

A6 256,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3196273517е-1, A6 5

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5119378246, A6 2

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .3693616211е-3,

A6 223,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7846021299е-2, A6 4

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .7187501948е-4, A6 4

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2337122017е-2,

204

A6 423,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1025753756е-1, A6 1

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7179957873е-7, A6 4

13,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4732842566е-3,

A6 623,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 112.9237179, A6 5

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .2898043471е-1, A6 4

56,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .4220189533е-1,

A6 113,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3741705186е-6, A6 3

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.5669434903е-4, A6 2

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .5666807892е-4,

A6 316,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .1257985123, A6 1

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.3969402915е-5, A6 5

16,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = .9114217034е-3,

A6 613,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 10.62652903, A6 3

23,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −.7847620156е-2, A6 2

12,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −1805621400е-2.

Корни приведенного уравнения, используя формулы (6.42), имеют следующие значения:

x1 = −3.266073704, х2 = 3.268038011, х3 = −1.632793973 − 2.813325043 I,х4 = 1.631811821 + 2.821822662 I, x5 = −1.632793973 + 2.813325043 I,

х6 = 1.631811821 − 2.821822662 I.

При этом относительная ошибка вычислений равна:

δ (х1) = |−.2822е-8|, δ (x2) = || .346е-9||, δ (x3) = |−.1146е-8 + .308е-9 I |,δ (x4) = | .3503е-8 + .1282е-8 I|, δ (x5) = |−.1146е-8 − .308е-9 I|, δ (x6) = | .3503е-8 − .1282е-8 I |.

Отсюда следует, что корни уравнения даже при N = 5 получены с высокой точностью, несмот-ря на то что условия определения не выполняются.


205

Л и т е р а т у р а1. Большой Энциклопедический словарь Математика. — М.:

Научное издательство «Большая Советская Энциклопедия»,1988. — 845 с.

2. Чеботарев Н. Г. Теория Галуа. ОНТИ НКТП СССР. — Л.,1936.

3. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до серединыXIX столетия. — М.: Издательство «Наука», 1966. — 506 с.

4. Граве Д. А. Элементы высшей алгебры. — Киев, 1914. —698 с.

5. Лахтин Л. К. Алгебраические уравнения, разрешимые в ги-пергеометрических функциях. — М., 1993. — 426 с.

6. Birkeland R. Les equations algebricues at les fonctioshypergeometricues / Ark Norske Vid. Akad. Oslo. 8 1927.str. 1—23 (111).

7. Бейтман Г., Эрдей А. Высшие трансцендентные функции. Ги-пергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Изда-тельство «Наука», 1983.

8. Незбайло Т. Г. Теория нахождения корней алгебраическихуравнений в аналитической форме. СПб.: Издательство БАН,2000. — 167 с.

Незбайло Т. Г.H44 Теория нахождения корней алгебраических уравне-

ний (в символьном представлении) : пособие для уча-щихся старших кл. — СПб. : КОРОНА-Век, 2007. —207 с. — ISBN 978-5-903383-42-9.

Книга посвящена решению самой старой (имеющей более чемтысячелетнюю историю) и наиболее известной, но так до конца ине решенной математической проблеме, а именно: нахождениюформул для корней алгебраических уравнений произвольной степе-ни. После того как Сципион Дель Ферро в 1530 году нашел форму-лы для вычисления корней кубического уравнения, а в 1545 Фер-рари установил эти формулы для корней уравнения четвертойстепени, большинство математиков всего мира стали безуспешноискать формулы для корней алгебраического уравнения пятой сте-пени. Только в 1834 году Абель, а затем и Галуа доказали, что кор-ни алгебраических уравнений степени выше четыре в радикалахполучить нельзя. Но это, однако, не запрещает им существовать вклассе трансцендентных функций, что подтверждается работамимногих известных математиков. Тем не менее даже в этом случаеполучить эти формулы в общем виде, с позиции единого научногоподхода пока никому не удалось. В данной работе излагается еди-ная теория нахождения формул для корней алгебраических урав-нений с произвольными коэффициентами. Кроме самих формулприводится также много примеров, иллюстрирующих излагаемуютеорию. Также представлены программы для ЭВМ, позволяющиераспечатать эти формулы для уравнения заданной степени.

УДК 372.8 373 5

У ч е б н о е и з д а н и е

Незбайло Тиберий Георгиевич

ТЕОРИЯ НАХОЖДЕНИЯКОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(в символьном представлении)Пособие для учащихся старших классов

Оформление обложки Е. Н. ГозманТехнический редактор и верстальщик А. Г. Хуторовская

Корректор А. К. Райхчин

Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 95 3000 —книги и брошюры. Подписано в печать 30.07.07. Формат 60 × 901/16.Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13. Тираж 1000 экз.

Заказ № .

ООО «КОРОНА-Век».193318, Санкт-Петербург, ул. Ворошилова, 6.

ТЕОРИЯНАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙАЛГЕБРАИЧЕСКИХ...

Documents