Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά...

Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 1

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά

Συστήµατα Ελέγχου u  Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion)

•  Ο µετασχηµατισµός Ζ •  Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D

u  Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/A Conversion)

•  Συστήµατα (στο χώρο συχνότητας) από δειγµατοληπτικά δεδοµένα

Κλασσική Μορφή Συστήµατος Ελέγχου µε Η/Υ

u Ο Αναλογοψηφιακός Μετατροπέας



Κεφάλαιο 2: Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

u  Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) •  Μετατροπέας A/D (A/D

converter) : µετατρέπει ένα αναλογικό σήµα (δηλ. µία συνάρτηση συνεχούς χρόνου και µε συνεχές πεδίο τιµών) σε ψηφιακό (συνάρτηση διακριτού χρόνου και µε διακριτό πεδίο τιµών), δηλαδή σε µία χρονοσειρά από bytes.

•  Δρα σαν “ενδιάµεσος φορέας” (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος & ενός ψηφιακού συστήµατος που “οδηγείται” από το αναλογικό.


Αναλογοψηφιακή Μετατροπή u  Η συσκευή δειγµατοληψίας & παρακράτησης σήµατος (Sample & Hold - S/H): τµήµα του A/D που χρησιµοποιείται για πραγµατοποίηση ταχείας δειγµατοληψίας ενός αναλογικού σήµατος και παρακράτηση του δείγµατος µέχρι που να ζητηθεί η επανάληψη νέας δειγµατοληψίας.

u  Αυτό γίνεται γιατί ο κβαντιστής, που ακολουθεί, απαιτεί κάποιο χρόνο για να µετατρέψει τα αναλογικά σήµατα εισόδου σε ψηφιακά και αν το σήµα εισόδου του άλλαζε κατά την διάρκεια αυτού του χρόνου θα έδινε εσφαλµένα αποτελέσµατα.

u  Ο κβαντιστής (quantizer) είναι το τµήµα του A/D που λαµβάνει ως είσοδο το σήµα (διακριτού χρόνου) δειγµατοληψίας από τον S/H και το κωδικοποιεί σε διακριτό πεδίο τιµών.

u  Ένας από τους κλασσικούς κβαντιστές είναι αυτός του τύπου διαδοχικής προσέγγισης (successive approximation).

S/H

Quantizer


Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά

u  Εύρος Εισόδου u  Διακριτότητα ή επίπεδο κβαντισµού, q. Το επίπεδο κβαντισµού είναι πολύ µικρό όταν ο αριθµός των bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος πράγµα που ισχύει στην σύγχρονη τεχνολογία όπου (Ν = 32, 64, 128).

u  Χρόνος Μετατροπής Λόγω της σύγχρονης τεχνολογίας ηλεκτρονικών ο χρόνος µετατροπής είναι πολύ µικρός.

( )( )

max min

2 1Nq υ υ−=

−

( )f t∗( )f t

T T

f(0) f(T) f(2T) f(nT) ……

Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Απλοποιηµένο Μοντέλλο

Δειγµατολήπτη


( )f t∗

( )f t

f(0) f(T) f(2T) f(nT) ……

T

Αναλογοψηφιακοί Μετατροπείς: Χαρακτηριστικά


( )f t∗( )f t

f(0) f(T) f(2T) f(nT) ……

( ) ( ) ( ) ( )0k

F s L f t L f kT t kTδ∞

∗ ∗

=

⎡ ⎤⎡ ⎤⇒ = = ⋅ − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦∑

f ∗ t( ) = f 0( ) ⋅δ t( ) + f T( ) ⋅δ t −T( ) ++ f 2T( ) ⋅δ t − 2T( ) +…

f ∗ t( ) = f kT( ) ⋅δ t − kT( )

k=0

∞

∑

( ) ( ) ( )0

k T s

kF s L f t f kT e

∞∗ ∗ − ⋅ ⋅

=

⎡ ⎤⇒ = = ⋅⎣ ⎦ ∑

( ) ( )0kf kT L t kTδ

∞

=

= ⋅ − =⎡ ⎤⎣ ⎦∑( ) k T sL t kT eδ − ⋅ ⋅− =⎡ ⎤⎣ ⎦

Από τις ιδιότητες του Μ/σµου Laplace


Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D – Ο Μετασχηµατισµός Ζ

u  Είναι προφανής η σηµασία της περιόδου δειγµατοληψίας Τ στην παράσταση του σήµατος από δειγµατοληψία.

u  Θεώρηµα Δειγµατοληψίας : (Nyquist - Shannon) Εάν ένα αναλογικό σήµα δεν εµπεριέχει καµιά συχνότητα υψηλότερη της ωc (rad/sec), τότε µπορεί να χαρακτηρισθεί εντελώς από τις τιµές του σήµατος που µετρώνται σε στιγµές που ισαπέχουν κατά Ts = π / ωc .

u  Στην πράξη T << Ts .

H Σηµασία της Δειγµατοληψίας στην Ορθή Καταγραφή Πληροφορίας: Ένα Παράδειγµα



Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D – Ο Μετασχηµατισµός Ζ

u  Η προηγούµενη µορφή της δεν είναι ανάλογη των γνωστών µας πολυωνυµικών.

u  ΟΜΩΣ µέσω της σύµµορφης απεικόνισης

1 l τ τεn όT sz e s zT

⋅= ⇒ = F ∗ s = 1

Tln z⎛

⎝⎜⎞⎠⎟= f kT( )

k=0

∞

∑ ⋅ z−k = F z( )

Αυτός είναι ο µετασχηµατισµός-Ζ του που ορίζεται ως

F z( )! Z f t( )⎡⎣ ⎤⎦ = F ∗ s( )⎡⎣ ⎤⎦s= 1

Tln z

= L f ∗ t( )⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣

⎤⎦s= 1

Tln z

F ∗ s( ) = f kT( ) ⋅

k=0

∞

∑ e−k⋅T ⋅s


Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D – Μετασχηµατισµός Ζ & Συναρτήσεις Μεταφοράς

( ) ( )( )Y s G s R s∗= ⋅ ( ) ( ) ( )Y z G z R z⇒ = ⋅Tr t( )

R s( )r∗ t( )R∗ s( )

G(s) y t( )Y s( )

Ty∗ t( )Y ∗ s( )

Παραδειγµα: Για Τ=1 και µε είσοδο G z( ) = 0.632 ⋅ zz2 − 0.736 ⋅ z + 0.368 r t( ) = us t( )⇒

⇒ R z( ) = zz −1Y z( ) = G z( ) ⋅R z( ) = 0.632 ⋅ z2

z −1( ) z2 − 0.736 ⋅ z + 0.368( )Y z( )z

= 0.632 ⋅ zz −1( ) z2 − 0.736 ⋅ z + 0.368( ) =

Az −1

+ Bz +Cz2 − 0.736 ⋅ z + 0.368

⇒ A = 1, B = −1,C = 0.368

Y z( ) = zz −1

−z z − e−0.5 cos1( )

z2 − 2 ⋅ z ⋅e−0.5 cos1+ e−1= 11− z−1

− 1− e−0.5 cos1⋅ z−1

1− 2 ⋅ z−1 ⋅e−0.5 cos1+ e−1 ⋅ z−2⇒

⇒ y k( ) = Z −1 Y z( ){ } = 1− e−0.5⋅k ⋅cosk

Από τη 7η περίπτωση του πίνακα Μ/σµών – Ζ :

Αυτο ευρίσκεται από την G(s) µέσω της µεθοδολογίας Απλών ή Πολλαπλών πόλων του Παραρτήµατος

Tr t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

G1(s) G1(s) d t( )D s( )

y t( )Y s( )

Ty∗ t( )Y ∗ s( )

Tr t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

G1(s) T

G2(s) d t( ) d∗ t( )D s( ) D∗ s( )

y t( )Y s( )

Ty∗ t( )Y ∗ s( )



( ) ( )( )Y s G s R s∗= ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1Y z Z G s G s R z G G z R z= ⋅ ⋅ = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 1 2 1G G z G z G z≠ ⋅

( ) ( ) ( )Y z G z R z⇒ = ⋅

( ) ( ) ( )2Y z G z D z= ⋅

( ) ( ) ( )1D z G z R z= ⋅( ) ( ) ( ) ( )2 1Y z G z G z R z⇒ = ⋅ ⋅}

Tr t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

G(s) y t( )Y s( )

Ty∗ t( )Y ∗ s( )



Παράδειγµα-1:


Ε(s) Ε*(s) R(s) Y(s) G(s)

H(s)

Y z( ) = G z( ) ⋅E z( ) E s( ) = R s( )−M s( )⇒ E z( ) = R z( )−M z( ) M z( ) = GH z( ) ⋅E z( ), GH z( ) ! Z G s( ) ⋅H s( )⎡⎣ ⎤⎦

M(s) E z( ) = R z( )−GH z( ) ⋅E z( )⇒ E z( ) = 11+GH z( ) ⋅R z( )

Y z( ) = G z( )1+GH z( ) ⋅R z( )

R(s) Ε(s) Ε*(s)

M(s) H(s)

Y(s) G1(s) G2(s)

Y z( ) = G2G1 z( ) ⋅E z( ), G2G1 z( ) ! Z G2 s( ) ⋅G1 s( )⎡⎣ ⎤⎦E s( ) = R s( )−M s( )⇒ E z( ) = R z( )−M z( )

M z( ) = HG2G1 z( ) ⋅E z( ),HG2G1 z( ) ! Z H s( ) ⋅G2 s( ) ⋅G1 s( )⎡⎣ ⎤⎦

E z( ) = R z( )− HG2G1 z( ) ⋅E z( )⇒ E z( ) = 11+ HG2G1 z( ) ⋅R z( )⇒ Y z( ) = G2G1 z( )

1+ HG2G1 z( ) ⋅R z( )

Κλασσική Μορφή Συστήµατος Ελέγχου µε Η/Υ

u Ο Ψηφιαναλογικός Μετατροπέας



Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος σε Αναλογικό (D/Α Conversion)

u  Ψηφιοαναλογικός Μετατροπέας (D/A converter): συσκευή µετατροπής ενός ψηφ ιακού σήµατο ς (συνάρτηση διακριτού χρόνου - διακριτού πεδίου τιµών) σε αναλογικό (δηλ. συνάρτηση συνεχούς χρόνου - συνεχούς πεδίου τιµών). Αυτή η συσκευή είναι απαραίτητη σαν “ενδιάµεσος φορέας” (interface) µεταξύ ενός αναλογικού συστήµατος και ενός ψηφιακού συστήµατος που “οδηγεί” το αναλογικό.

χρησιµοποιείται για µετατροπή ψηφιακών τιµών σε τιµή τάσης

χρησιµοποιείται για προσέγγιση του σήµατος µεταξύ των στιγµών ανανέωσης κρατώντας ουσιαστικά σταθερή την τελευταία τιµή


Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή u  Ηλεκτρονική Υλοποίηση u  Μαθηµατική Ανάλυση Διαδικασίας D/A

u  Ο αριθµός bits που χρησιµοποιείται για την παράσταση του ψηφιακού σήµατος είναι µεγάλος (Ν = 32, 64, 128)

u  Μπορεί εποµένως να αγνοηθεί ο decoder οπότε αρκεί να δούµε την επίδραση του ΖΟΗ, το οποίον µαθηµατικά περιγραφουµε ως ...

bnbn−1bn−2!b1 = bi ⋅2i−1

i=1

n

∑Για µία ψηφιακή τιµή έχουµε Και κατά συνέπεια η έξοδος είναι:

( ) ( ) )( )( ) ( ) ( )

/ , 1k

s s

u t u t t k T k T

u k T u t u t T

= ∈ ⋅ + ⋅ =⎡⎣

= ⋅ ⋅ − −⎡ ⎤⎣ ⎦

b1υR

R+ b2

υR

2R+…+ bN−1

υR

2N−2R+ bN

υR

2N−1R= − υ0

RF

υ0 = − 2RFυR

Rb12+ b222

+…+ bN−1

2N−1 +bN2N

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

DECODER ZOH

υ0

Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή


... την επίδραση του ΖΟΗ

περιγράφει η συνάρτηση ...

( ) ( ) )( )( ) ( ) ( )

/ , 1k

s s

u t u t t k T k T

u k T u t u t T

= ∈ ⋅ + ⋅ =⎡⎣

= ⋅ ⋅ − −⎡ ⎤⎣ ⎦To us(t) συµβολίζει την «συναρτηση βαθµίδας» (step function) και ΔΕΝ έχει καµµία σχέση µε τη συνάρτηση εισόδου uk(t), u(t).


Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή ( ) ( ) )( ) ( ) ( ) ( )/ , 1k s su t u t t k T k T u k T u t u t T= ∈ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − −⎡ ⎡ ⎤⎣ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1o

T s T s

h s s s se eG s L u t u t T L u t L u t T

s s s

− ⋅ − ⋅−= − − = − − = − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )oh

G s

( ) 1oh

G z =

u(k·T) uk(t) k = 0,1,…

( ){ } 1

1 11sZ L u t Z

s z−⎡ ⎤= =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) 11

11

nsZ f t nT z F z Z u t T z

z− −

−− = ⋅ ⇒ − = ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −

⇒

( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }

oh s s

s s

s s

Z G s Z L u t u t T

Z L u t L u t T

Z L u t Z L u t T

⎡ ⎤ = − − =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

= − − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

z.ο.h. G s( )r t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

h t( )H s( )

h∗ t( )H ∗ s( )

y t( )Y s( )

y∗ t( )Y ∗ s( )

T

T T


Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Πως Βρίσκουµε τη, µέσω Μετ/σµου-Ζ, περιγραφή του Διακριτού Αναλόγου Δεδοµένης Εγκατάστασης?

( ) ( )H z R z=

Y z( ) = Z G s( ) ⋅Gho

s( )⎡⎣

⎤⎦ ⋅R z( ) = G1 z( ) ⋅R z( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

1 1T sT s G s e G s G seG z Z G s Z Z z Z

s s s s

− ⋅− ⋅−⎡ ⎤⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤−

= ⋅ = − = − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Από την 4η ιδιότητα των Μ/σµων-Ζ


Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Παράδειγµα

( ) ( )H z R z=

Y z( ) = Z G s( ) ⋅Gho

s( )⎡⎣

⎤⎦ ⋅R z( ) = G1 z( ) ⋅R z( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

11

1 122

1 1

11 111

T sT s G s e G s G seG z Z G s Z Z z Zs s s s

Tz Tz Z zs zz

− ⋅− ⋅−

− −

⎡ ⎤⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤−= ⋅ = − = − ⋅ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ⋅ = − ⋅ =⎢ ⎥ −⎣ ⎦ −

z.ο.h. 1/ sr t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

h t( )H s( )

h∗ t( )H ∗ s( )

y t( )Y s( )

y∗ t( )Y ∗ s( )

T

T T


Ψηφιο-αναλογική Μετατροπή: Παράδειγµα

G1 z( ) = T

z −1

z.ο.h. 1/ sr t( )R s( )

r∗ t( )R∗ s( )

h t( )H s( )

h∗ t( )H ∗ s( )

y t( )Y s( )

y∗ t( )Y ∗ s( )

T

T T

Y z( ) = G1 z( ) ⋅R z( ) = T ⋅ z

z −1( )2

y kT( ) = k ⋅T

Αν τότε οπότε

r t( ) = us t( )⇒ R s( ) = 1s⇒ R z( ) = z

z −1

ΔΕΝ δείχνει το y(t) ΑΛΛΑ το y∗(t)

Μεταξύ των χρονικών στιγµών k·T?


Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ

F z( ) = Z f t( )⎡⎣ ⎤⎦ = F ∗ s( )⎡⎣ ⎤⎦s= 1

Tln z

= L f ∗ t( )⎡⎣ ⎤⎦⎡⎣

⎤⎦s= 1

Tln z

=

Z t⎡⎣ ⎤⎦ = ?Παράδειγµα: Να ευρεθεί ο Μ/σµος-Ζ της συνάρτησης «ραµπας»

f kT( ) = kT ⇒ f ∗ t( ) = kT ⋅δ t − kT( )k=0

∞

∑

F∗ s( ) = kT ⋅e−kTsk=0

∞

∑z = esT ⇒ e−kTs = z−k

⎫

⎬⎪

⎭⎪⇒ F z( ) = kT ⋅ z−k

k=0

∞

∑ = T z−1 + 2z−2 + 3z−3 +!( )

L f kT( )k=0

∞

∑ ⋅δ t − k ⋅T( )⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

s= 1T

ln z

=

= f kT( )k=0

∞

∑ ⋅ L δ t − k ⋅T( )⎡⎣ ⎤⎦⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

s= 1T

ln z

= f kT( )k=0

∞

∑ ⋅e−k⋅T ⋅s⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

s= 1T

ln z

= f kT( )k=0

∞

∑ ⋅ z−k


Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ

zF z( ) = T 1+ 2z−1 + 3z−2 +!( )⇒ zF z( )− F z( ) = T 1+ z−1 + z−2 +!( )

F z( ) = T 1

z −1( ) 1+ z−1 + z−2 +!( )

1+ z−1 + z−2 +!= 1

1− z−1= zz −1

⇒ F z( ) = T zz −1( )2

Z t[ ] = T zz −1( )2

F z( ) = T z−1 + 2z−2 + 3z−3 +!( )


Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ.

( ) ?sZ u t =⎡ ⎤⎣ ⎦

Απλοί Πόλοι

Παράδειγµα:

Μπορούµε επίσης να χρησιµοποιήσουµε και Πίνακα ....

F z( ) = N ξn( )′D ξn( )n=1

k

∑ ⋅ 11− eξn⋅T ⋅ z−1

′D ξn( ) = dD ξ( )dξ

ξ=ξn

( ) ( )( )

( )( ) 1

1

1 1 11

0

s

N sL u t D

s D s F zz

ξ

ξ−

⎫ʹ′= = =⎡ ⎤ ⎪⎣ ⎦ ⇒ =⎬

−⎪= ⎭

Ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του µετασχηµατισµού Ζ, F(z), µίας συνάρτησης f (t) µε µετασχηµατισµό Laplace µε πόλους είναι:

( ) ( )( )

N sF s

D s= k ξn n = 1,2,!,k


Παράρτηµα: ο Μετασχηµατισµός Ζ, συνεχ.

Ενώ όταν οι πόλοι έχουν πολλαπλότητα ο καθένας

Παράδειγµα:

1nm ≥

[ ]sin ?Z tω =

[ ] ( )( )

( ) ( )

( )

1,22 2

1,2

1 1 2

sin

2 2

1 1 1 sin2 1 1 2 cos 1j T j T

N sL t j

s D sD D j

z TF zj e z e z z z Tω ω

ωω ξ ω

ω

ξ ξ ξ ω

ωω− − −

⎫= = = ± ⎪+ ⇒⎬

⎪ʹ′ ʹ′= = ± ⎭

⎡ ⎤⇒ = − =⎢ ⎥− − − +⎣ ⎦

( )( )( ) ( )

( ) ( )1

11 1

1 ln

11 11

! 1 !

n nnn

i

in

n

n

m i mim imk T s nnnm i i

n i ns

s s s zT

d d s F sK eF z Km i ds i ds

ξξ

ξ−

−−− ⋅

− −= =

== −

=

⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎜ ⎟ −⎪ ⎪− ⋅ ⎪ ⎪−⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥= ⋅ = ⋅⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑


Παράρτηµα: Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Ζ

1. Z f1 t( ) ± f2 t( )⎡⎣ ⎤⎦ = F1 z( ) ± F2 z( )2. Z a ⋅ f t( )⎡⎣ ⎤⎦ = a ⋅F z( )3. Z f t − nT( )⎡⎣ ⎤⎦ = z−n ⋅F z( )

Z f t + nT( )⎡⎣ ⎤⎦ = zn ⋅ F z( )− f kT( ) z−k

k=0

n−1

∑⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

4. Z e∓aT ⋅ f t( )⎡⎣ ⎤⎦ = F z ⋅e±aT( )5. f 0( ) = lim

k→0f kT( ) = lim

z→∞F z( ) if lim

z→∞F z( ) exists

6. limk→∞

f kT( ) = limz→1

1− z−1( )F z( ) if limz→∞

1− z−1( )F z( ) exists

7. Z∂ f t,a( )

∂a⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=∂ F z,a( )

∂a

8. F1 z( )F2 z( ) = Z f1 nT( ) f2 kT − nT( )n=0

k

∑⎡⎣⎢

⎤

⎦⎥

9. Z t ⋅ f t( )⎡⎣ ⎤⎦ = −T ⋅ z ⋅dF z( )

dz


Παράρτηµα: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ

f k ⋅T( )↔ Z −1 F z( )⎡⎣ ⎤⎦

Ο πιο συνήθης τρόπος αντίστροφου µετασχηµατισµού είναι η αποσύνθεση σε απλά κλάσµατα και παράγοντες που είναι σε µία από τις µορφές που ευρίσκονται σε ένα πίνακα µετασχηµατισµών. Παράδειγµα-1:

f k ⋅T( )↔ Z −1 0.5z

z − 0.5( ) z − 0.7( )⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Από τη 3η περίπτωση του πίνακα Μ/σµών – Ζ :

Z −1 z

z − K⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= Z −1 1

1− Kz−1⎡⎣⎢

⎤⎦⎥↔ K( )k k = 0,1,2,!

F z( )z

= 0.5z − 0.5( ) z − 0.7( ) =

Az − 0.5

+ Bz − 0.7

= −2.5z − 0.5

+ 2.5z − 0.7

⇒

⇒ F z( ) = −2.5 ⋅ zz − 0.5

+ 2.5 ⋅ zz − 0.7

Ο «Αντιστροφος-Ζ» παρέχει την f(kT) και οχι την f(t)


Παράρτηµα: Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Ζ

( )( )

( )( )1

1?

1

aT

aT

e zf k T Z

z z e

−

−

−

⎡ ⎤−⎢ ⎥⋅ = =

− −⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( ) ( ) 1

1 1akT

aT aT

F z A B z zF z f kT ez z z e z z e

−− −

= + ⇒ = − ⇒ = −− − − −


Back

f kT( ) = −2.5 ⋅ 0.5( )k + 2.5 ⋅ 0.7( )k

f ∗ t( ) = f kT( ) ⋅δ t − kT( )k=0

∞

∑ = −2.5 ⋅ 0.5( )k + 2.5 ⋅ 0.7( )k⎡⎣ ⎤⎦ ⋅δ t − kT( )k=0

∞

∑

f∗ t( ) = 0 ⋅δ t( ) + 0.5 ⋅δ t −T( ) + 0.6 ⋅δ t − 2T( ) + 0.545 ⋅δ t − 3T( ) +!

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά...

Documents