ИУС

Дополнительные разделы теории ПР:

Функции выбора

ИУС

Снова вернемся к основной диаграмме:

X

Множествоальтернатив

Y

Множествоисходов

Механизмоценкиисходов

СистемапредпочтенийЛПР

(1) (2)

ИУС

Механизмы оценки исходов:

• Критериальный язык

• Язык бинарных отношений

•Язык функций выбора(Универсальность языковых средств возрастаетсверху вниз)

ИУС

Основная идея

Заключается не в оценке альтернатив с помощью числовых критериев и не в попарном сравнении альтернатив по предпочтительности, а в выделении из некоторого множества альтернатив подмножества «лучших» вариантов

ИУС

Более точное определение:

Y – множество возможных исходов

2YYD

- множество всех подмножеств Y

YD - множество допустимых предъявлений:

2Y

: 2

: ( )

YC YD

A YD C A A

ИУС

Геометрическая иллюстрация

А

YD

ИУС

ПРИМЕР функции выбора для выбора Парето-оптитмальных точек:

( ) max, .nk

a Af a A R

( ) | , : .P i iC A a A y A y a i y a

(точка выбирается тогда и только тогда, когда любая другая точка будет хуже хотя бы по одному из частных критериев)

ИУС

Типичные ситуации выбора описываются функциями выбора, удовлетворяющими некоторым специальным ограничениям, что позволяет строить и изучать различные классы функций выбора

ИУС

Аксиома наследования (Н-свойство):

( ) ( ).Y Y YD C Y Y C Y

Смысл этой записи: C(Y) – это выбранные элементы из Y. Если какие-то из них будут предъявлены в составе подмножества Y', то они также должны войти в выбор С(Y').

ИУС

Аксиома отбрасывания (О-свойство):

( ) ( ) ( ).Y Y YD C Y Y C Y C Y

Смысл этой записи: Если подмножество Y' включает в себя все выбранные из Y варианты, то выбор на Y' совпадает с выбором на Y. Иначе говоря, если удалить из предъявляемого множества какие-то невыбираемые варианты, то выбор не изменится

ИУС

Аксиома согласованности (С-свойство):

, , :

( ) ( ) ( ).

Y Y YD Y Y YD

C Y C Y C Y Y

Смысл этой записи: Если вариант выбирается в каждом из двух множеств (предъявлений), то он будет выбран и в объединении этих множеств

ИУС

Докажите следующие утверждения:

1 2C C

1 2C C

1 2C C

1. Если С1 и С2 обладают Н-свойством, то им же обладает функция выбора

2. Если С1 и С2 обладают С-свойством, то им же обладает функция

а для это неверно

ИУС

Обсуждение• Понятие функции выбора имеет большое

теоретическое значение, позволяя моделировать различные ситуации выбора и изучать с общих позиций, например, процедуры многокритериального выбора вариантов

• Принципиальным является введение механизма предъявления, т.к. не любое подмножество альтернатив и, соответственно, исходов оказывается доступным – пример с магазином и театром

ИУС

Многокритериальный выбор в условиях

неопределенности

ИУС

Простейший подход

• Вначале ранжируем частные критерии по важности «методом Саати» на основе построения матрицы попарных сравнений

• Далее строим обобщенный («глобальный») критерий на основе метода линейной (или другой) свертки

• Задача сводится к однокритериальной оптимизации в условиях определенности

ИУС

ПРИМЕР

Пусть задана трехмерная (2-2-6) матрица решений:

z1 z2

x1 f111, f2

11, f311,

f411, f5

11, f611

f112, f2

12, f312,

f412, f5

12, f612

x2 f121, f2

21, f321,

f421, f5

21, f621

f122, f2

22, f322,

f422, f5

22, f622

z1 z2

x1 f111, f2

11, f311,

f411, f5

11, f611

f112, f2

12, f312,

f412, f5

12, f612

x2 f121, f2

21, f321,

f421, f5

21, f621

f122, f2

22, f322,

f422, f5

22, f622

ИУС

Для построения коэффициентов превосходства

12 23 5,6, , ...,

зададим пользователю пять вопросовв соответствии с таблицей смысловой интерпретации уровней превосходства. Пусть получены следующие ответы:

ИУС

1. Критерий f1 слабо превосходит по важности f2 : α12 = 2

2. Критерий f2 сильно превосходит по важности f3 : α23 = 4

3. Критерий f4 сильно превосходит по важности f3 : α34 = 1/4

4. Критерий f4 равносилен по важности f5 :

α45 = 1

1. Критерий f5 сильно превосходит по важности f6 : α56 = 4

ИУС

Используя соотношение

/ij i j и условие нормированности вектора весовых коэффициентов как и раньше получаем:

α1 = 0,364; α2 = 0,182; α3 = 0,045; α4 = 0,182;

α5 = 0,182; α6 = 0,045

ИУС

Предполагаем, что числа fi jk, нам

заданы:

z1 z2

x1 0,25, 0,5, 0,3,

0,1, 0,7, 0,25

0,5, 0,14, 0,3,

0,7, 0,1, 0,25

x2 0,25, 0,3, 0,3,

0,18, 0,18, 0,5

0,5, 0,14, 0,3,

0,5, 0,18, 0,25

ИУС

На основе построенных весовых коэффициентов получаем следующую матрицу решений для обобщенного критерия оптимальности

6

1

, , 1, .2jk jki i

i

J f j k

ИУС

z1 z2

x1 J11 J12

x2 J21 J22

Здесь:J 11 = 0,364·0,25 + 0,182·0,5 + 0,045·0,3 + + 0,182·0,1 + 0,182·0,7 + 0,045·0,25 = 0,35235;J 12 = 0,37783J 21 = 0,24712J 22 = 0,37783

ИУС

Предположим, что мы имеем задачу принятия решений в условиях риска и вероятности состояний среды заданы: p(z1) = 0,4; p(z2) = 0,6

Применим критерий Байеса-Лапласа, минимизируя ожидаемое значение обобщенного критерия:

1

2

( ) 0,4 0,35235 0,6 0,37783 0,367638;

( ) 0,4 0,24712 0,6 0,37783 0,325546.

J x

J x

В результате выбираем альтернативу x2.

Задача решена.