工程数学 第 15 讲
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工程数学 第 15 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 ( 单击 'ppt 讲义 ' 后选择 ' 工程数学 ' 子目录 ). 积分变换. 傅里叶 (Fourier) 级数展开. 在工程计算中 , 无论是电学还是力学 , 经常要和随时间而变的周期函数 f T ( t ) 打交道 . 例如 :. 具有性质 f T ( t + T )= f T ( t ), 其中 T 称作周期 , 而 1/ T 代表单位时间振动的次数 , 单位时间通常取秒 , 即每秒重复多少次 , 单位是赫兹 (Herz, 或 Hz). t. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
在工程计算中 , 无论是电学还是力学 , 经常要和随时间而变的周期函数 fT(t) 打交道 . 例如 :
具有性质 fT(t+T)=fT(t), 其中 T 称作周期 , 而 1/T 代表单位时间振动的次数 , 单位时间通常取秒 , 即每秒重复多少次 , 单位是赫兹 (Herz, 或 Hz).
t
最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(t+)
其中 =2/T
而 Asin(t+) 又可以看作是两个周期函数sint 和 cost 的线性组合
Asin(t+)=asint+bcost
t
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可 , 通常研究在闭区间 [T/2,T/2] 内函数变化的情况 . 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近 , 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet) 条件 , 即在区间 [T/2,T/2] 上1, 连续或只有有限个第一类间断点2, 只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
数 .
不满足狄氏条件的例 :
.0
)1
sin()(
tg)(
点处存在着无限多个极值在靠近
存在第二类间断点
ttf
ttf
而在工程上所应用的函数 , 尤其是物理量的变化函数 , 全部满足狄氏条件 . 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的 , 但经常用不连续函数来近似一些函数 , 使得思维简单一些 .
在区间 [T/2,T/2] 上满足狄氏条件的函数的全体也构成一个集合 , 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也构成一个线性空间 V, 此空间的向量就是函数 , 线性空间的一切理论在此空间上仍然成立 . 更进一步地也可以在此线性空间 V 上定义内积运算 , 这样就可以建立元素 ( 即函数 ) 的长度 ( 范数 ), 及函数间角度 , 及正交的概念 . 两个函数 f 和 g 的内积定义为 :
2
2
d)()(],[T
Tttgtfgf
一个函数 f(t) 的长度为
.0],[
,,],[
cos
d)(d)(d)()(
],[
:
d)(],[||||
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
正交与称为则如果
间的夹角余弦是
这样可令
即
而许瓦兹不等式成立
gfgf
gfgf
gf
ttgttfttgtf
gfgf
ttffff
T
T
T
T
T
T
T
T
而在区间 [-T/2,T/2] 上的三角函数系1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ...,
cos nt, sin nt, ...是两两正交的 , 其中 =2/T, 这是因为cos nt 和 sin nt 都可以看作是复指数函数 ej
nt 的线性组合 . 当 nm 时 ,
d2
d,d2
d,2
0de2
dee )j(jj2
2
Tt
T
t
T
tt
Tt mntmtn
T
T
则其中
由此不难验证
),,,3,2,1,(0dcoscos
),,,3,2,1,(0dsinsin
),,3,2,1,(0dcossin
),,3,2,1(0dsin
),,3,2,1(0dcos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
mnmnttmtn
mnmnttmtn
mnttmtn
nttn
nttn
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
而 1, cost, sint, ..., cos nt, sin nt, ... 的函数的长度计算如下 :
2d
2
2cos1dsinsin
2d
2
2cos1dcoscos
d11
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Tt
tnttntn
Tt
tnttntn
Tt
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
因此 , 任何满足狄氏条件的周期函数 fT(t), 可表示为三角级数的形式如下 :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d)(2
2)dsindcos(
d2
d)(
],1,[,
)1.1()sincos(2
)(
0
0
1
0
0
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttfT
a
Ta
ttnbttna
ta
ttf
fa
tnbtnaa
tf
T
nnn
T
T
nnnT
即
即计算为求出
为求 an, 计算 [fT(t), cosnt], 即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dcos)(2
2dcos
dcossin
dcoscos
dcos2
dcos)(
2
1
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttntfT
a
Tattna
ttntmb
ttntma
ttna
ttntf
Tn
nn
n
mm
mm
T
即
同理 , 为求 bn, 计算 [fT(t), sin nt], 即
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dsin)(2
2dsin
dsinsin
dsincos
dsin2
dsin)(
2
1
1
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
ttntfT
b
Tbttnb
ttntmb
ttntma
ttna
ttntf
Tn
nn
n
mm
mm
T
即
最后可得 :
),2,1(dsin)(2
),2,1(dcos)(2
d)(2
)1.1()sincos(2
)(
2
2
2
2
2
2
0
1
0
nttntfT
b
nttntfT
a
ttfT
a
tnbtmaa
tf
T
T
T
T
T
T
Tn
Tn
T
nnnT
其中
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为 :
1
jj0
1
jjjj
0
jjjj
2
j
2
j
2
2j
2
2)(
:2
jsin,2
cos
n
tnnntnnn
n
tntn
n
tntn
n
T
eba
ebaa
eeb
eea
atf
eeee
得由
如令 n=n (n=0,1,2,...)
n
tjn
n
tjn
tjnT
nnn
nnn
nnn ecececctf
njba
c
njba
c
ac
10
00
)(
,3,2,1,2
,3,2,1,2
,2
且令
给定 fT(t), cn 的计算如下 :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d)(1
d]sin)[cos(1
dsin)(1
dcos)(1
21
d)(1
20
0
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
tetfT
ttnjtntfT
ttntfT
j
ttntfT
jbacn
ttfT
ac
tjnT
T
T
Tnn
n
T
时当
n
tT
n
tnT
tTn
tnTn
nnn
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
eefT
ectf
ndtetfT
c
dtetfT
cba
c
jj
j
j
j
2
2
2
2
2
2
d)(1
)(
),2,1,0()(1
)(1
2
j
子因此可以合写成一个式
而
则
),2,1,0()sinc(2
1sin
2
1
4
11
14
1
4
1)(
4
1
)(1
1
1
2
2 4
2
2
n
eej
ej
dtedtetf
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tjtj
tjTn
nnn
nn
T
Tn
sinc 函数介绍
则函数在整个实轴连续
用不严格的形式就写作所以定义
但是因为处是无定义的严格讲函数在
函数定义为
,10
sin
,1)0sinc(
1sin
lim
,0
sin)sinc(
sinc
0
xx
x
x
x
xx
xx
x
则
),2,1,0()sinc(4
1sin
4
1
8
11
18
1
8
1)(
8
1
)(1
1
1
4
4 8
2
2
n
eej
ej
dtedtetf
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tjtj
tjTn
nnn
nn
T
Tn
一般地 , 对于周期 T
),2,1,0()sinc(2sin2
11
1
1
1
)(1
1
1
2
2
nTT
eeTj
eTj
dteT
dtetfT
c
nn
n
jj
n
tj
n
tj
tjTn
nnn
n
T
Tn
当周期 T 越来越大时 , 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小 , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是 sinc 函数的形状 , 因此 , 如果将方波函数 f(t) 看作是周期无穷大的周期函数 , 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成 , 将那个频率上的轮廓即 sinc函数的形状看作是 f(t) 的各个频率成份上的分布 , 称作 f(t) 的傅里叶变换 .
对任何一个非周期函数 f(t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当 T 时转化而来的 . 作周期为 T 的函数 fT(t), 使其在 [-T/2,T/2]之内等于 f(t), 在 [-T/2,T/2]之外按周期 T延拓到整个数轴上 , 则 T 越大 , fT(t)与 f(t)相等的范围也越大 , 这就说明当 T 时 , 周期函数fT(t)便可转化为 f(t), 即有
)()(lim tftfTT
,,2
,
,
d)(1
lim)(
d)(1
)(
1
jj
jj
2
2
2
2
nnnn
n
n
tT
T
n
tTT
TT
n
eefT
tf
eefT
tf
n
T
Tn
n
T
Tn
或
两个相邻的点的距离为布在整个数轴上
所对应的点便均匀分取一切整数时当
可知
由公式
如图
nn
tT
n
tT
T
n
T
Tn
n
n
T
Tn
eef
eefT
tf
tf
jj
0
jj
2
2
2
2
d)(2
1lim
d)(1
lim)(
)( 又可写为
T
2
{
O 1 2 3 n-1n
T
2
{ T
2
{ T
2
{
tn
nnTn
nnnT
nn
tT
tTnT
nn
n
n
T
Tn
n
n
T
Tn
eef
T
eeftf
eef
jj
0
jj
0
jj
d)(2
1)(
)()(,,0
)(lim
d)(2
1lim)(
d)(2
1)(
2
2
2
2
即当
令
此公式称为函数 f(t) 的傅里叶积分公式 , 简称傅氏积分公式 ,
dd)(2
1)(
d)(d)(
)(lim)(
d)(2
1)(
jj
0
jj
t
nn
nnnT
tn
eeftf
tf
eef
n
nn
最后得
由
傅氏积分定理 若 f(t) 在 (, +) 上满足条件 : 1, f(t) 在任一有限区间上满足狄氏条件 ; 2, f(t) 在无限区间 (, +) 上绝对可积 , 则有
收敛绝对可积是指的在
来代替
应以处在它的间断点而左端的成立
ttf
tftf
ttf
eeftf t
d|)(|),(
.2
)0()0(
,)(,
)4.1(dd)(2
1)( jj
(1.4) 式也可以转化为三角形式
)5.1(dd)(cos)(2
1)(
,)(sin)(
)(sin)(
d)(cos)(2
1
dd)(2
1
dd)(2
1)(
)(j
jj
tftf
dtf
ddtfj
tf
ef
eeftf
t
t
的奇函数是因