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1. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1
1.1. Solução analítica:
1.1.1. Modelo:
fxxx =++ 45 &&&
1.1.2. Solução analítica:
tt eetx 423)( −− −=
1.1.3. Arquivo para simulação no Matlab:
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer clc; clear; format short; t=0:0.1:10; x=3*exp(-t)-2*exp(-4*t); plot(t,x); title('Soluçao do Exemplo 1'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;
1.1.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
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1.2. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 1 em Variáveis de Estado
1.2.1. Modelo:
fxxxfxxx +−−=∴=++ &&&&&& 5445
1.2.2. Conversão para variáveis de estado: Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a velocidade x2 = ẋ , teremos:
⎩⎨⎧
+−−==
⇒⎩⎨⎧
==
fxxxxx
xxxx
212
21
2
1
54&
&
&
Logo, temos que:
fxx
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡10
5410
2
1
2
1
&
&
1.2.3. Arquivo para simulação no Matlab:
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1.2.4. Plotando simulação executada no Simulink Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab. % Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 08 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer disp('*********************************************************************************************************** '); % Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada. load massamola; plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:)); title('Soluçao do Exemplo 1 implementado no Simulink'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid; 1.2.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
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2. Simulação da solução analítica do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2
2.1. Modelo:
fxxx =++ 5.83 &&&
2.2. Solução analítica:
)367,05,2sen(79,2)( 5,1 += − tetx t
2.3. Arquivo para simulação no Matlab:
% Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer clc; clear; format short; disp('*********************************************************************************************************** '); % Equaçoes Diferenciais Ordinarias x=zeros(1,101); t=0:0.1:10; x=2.79.*exp(-1.5*t).*sin(2.5*t+0.367); plot(t,x); title('Soluçao do Exemplo 2'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;
2.4. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
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3. Representação do Sistema Massa-Mola-Amortecedor do Exemplo 2 em Variáveis de Estado
3.1. Modelo:
fxxxfxxx +−−=∴=++ &&&&&& 35.85.83
3.2. Conversão para variáveis de estado: Se definirmos uma variável de estado como a posição x1 = x e o outro estado como a velocidade x2 = ẋ , teremos:
⎩⎨⎧
+−−==
⇒⎩⎨⎧
==
fxxxxx
xxxx
212
21
2
1
35.8&
&
&
Logo, temos que:
fxx
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡10
35.810
2
1
2
1
&
& [ ] ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
101xx
y
3.3. Arquivo para simulação no Matlab:
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3.4. Plotando simulação executada no Simulink Para plotar a simulação do Simulink, executar o arquivo abaixo. Este código apanha os valores das variáveis de interesse que foram armazenadas e plota dentro do ambiente do Matab. % Simulaçao de um sistema massa-mola-amortecedor usando o Matlab - 09 de Janeiro de 2006 % Autor: Edson Nemer disp('*********************************************************************************************************** '); % Este codigo e para ser executado apos a simulaçao massamola do Simulink ter sido executada. load massamola; plot(masMolAmort(1,:),masMolAmort(2,:)); title('Soluçao do Exemplo 2 implementado no Simulink'); xlabel('X'); ylabel('y=f(x)'); grid;
3.5. Gráfico obtido na simulação com o Matlab:
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Referências:
1) Franklin, Powell, Emami-Naieni: "Feedback Control of Dynamic Systems". Addison-Wesley, 1986.
2) D'Azzo e Houpis. "Análise e Projeto de Sistemas de Controle
Lineares". Editora Guanabara, 1984. 3) Palm III, W. J. Control Systems Engineering. Wiley, 1986.