Тема 11: Комплексные числаkadm.kmath.ru/files/angfiz_ovs_11.pdf · 2019. 8....

Тема 11: Комплексные числа

А. Я. Овсянников

Уральский федеральный университетИнститут естественных наук и математики

Департамент математики, механики и компьютерных наукАналитическая геометрия для физиков

А. Я. Овсянников Тема 11: Комплексные числа

Понятие поля в алгебре

Определение

Множество F называется полем, если оно удовлетворяет следующимусловиям:1) ∀a, b ∈ F∃!c ∈ F (c = a+ b – сумма a и b;2) ∀a, b ∈ F∃!d ∈ F (d = a · b – произведение a и b;3) ∀a, b ∈ F a+ b = b + a; коммутативность сложения4) ∀a, b ∈ F a · b = b · a;5) ∀a, b, c ∈ F (a+ b) + c = a+ (b + c); ассоциативность сложения6) ∀a, b, c ∈ F (a · b) · c = a · (b · c);7) ∃0 ∈ F : ∀a ∈ F a+ 0 = a; нулевой элемент8) ∃1 ∈ F : ∀a ∈ F (a · 1 = a) ∧ (1 6= 0); единичный элемент9) ∀a ∈ F∃b ∈ F : a+ b = 0; противоположный элемент10) ∀a ∈ F (a 6= 0⇒ ∃b ∈ F : a · b = 1); обратный элемент11) ∀a, b, c ∈ F (a+ b) · c = a · c + b · c. дистрибутивность

Примерами полей являются множества Q и R соответственно всехрациональных и всех действительных относительно обычных операцийсложения и умножения.


Понятие поля комплексных чисел

Определения

Элементы множества C = {(a, b)|a, b ∈ R} называются комплекснымичислами. Суммой комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется число

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b + d),

произведением комплексных чисел (a, b) и (c, d) называется число

(a, b) · (c, d) = (ac − bd , bc + ad).

Теорема

Относительно только что определенных операций сложения и умножениямножество C является полем.

⇓Аксиомы 3)-6) и 11) проверяются непосредственно. Проверим 6). Имеем((a, b) · (c, d)) · (e, f ) = (ac − bd , bc + ad) · (e, f ) = ((ac − bd)e − (bc +ad)f , (ac−bd)f +(bc+ad)e) = (ace−bde−bcf −adf , acf −bdf +bce+ade)и (a, b) · ((c, d) · (e, f )) = (a, b) · (ce − df , cf + de) = (a(ce − df )− b(cf +de), a(cf +de)+b(ce−df )) = (ace−adf −bcf −bde, acf +ade+bce−bdf ),что и требуется доказать.


Окончание доказательства

Легко проверить, что нулевым элементом является пара (0, 0), единицей— пара (1, 0). Нетрудно убедиться, что противоположным к числу (a, b)является число (−a,−b), обратным к числу (a, b) (при условии, что

(a, b) 6= (0, 0), т.е. a2 + b2 > 0) является число(

a√a2 + b2

,− b√a2 + b2

).

Таким образом, теорема доказана.⇑


Алгебраическая форма комплексного числа

Числа вида (a, 0) ведут себя относительно операций сложения иумножения как действительные числа:

(a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0), (a, 0) · (b, 0) = (ab, 0),

поэтому комплексное число (a, 0) отождествляют с действительнымчислом a. Таким образом, выполняется включение R ⊂ C. Далее,умножение действительного числа на комплексное производится поправилу a · (b, c) = (a, 0) · (b, c) = (ab, ac), т.е.

a · (b, c) = (ab, ac).

Положим i = (0, 1). Каждый элемент поля C однозначно записывается ввиде (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1). Легко проверить, чтоi2 = (−1, 0). Комплексное число (a, b) принято записывать в виде a+ bi ,причем i2 = −1.

Определения

Алгебраической формой комплексного числа называется его запись в видеa+ bi . Комплексное число i называется мнимой единицей.Действительное число a называется действительной частью числа a+ bi ,а действительное число b — мнимой частью числа a+ bi .


Алгебраическая форма записи комплексных чисел (2)

Очевидно следующее

Наблюдение

Комплексные числа a+ bi и c + di равны тогда и только тогда, когда a = cи b = d , т.е. комплексные числа в алгебраической форме равны тогда итолько тогда, когда равны их действительные части и мнимые части.

Заметим, что

(a+ bi) + (c + di) = (a, b) + (c, d) = (a+ c, b + d) = (a+ c) + (b + d)i ,

(a+ bi)(c + di) = (a, b) · (c, d) = (ac − bd , ad + bc) = (ac − bd) + (ad + bc)i ..

Иными словами,

сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической формеосуществляется как сложение и умножение обычных многочленов с«неизвестным» i , при умножении дополнительно учитывается, чтоi2 = −1.


Комплексное сопряжение (1)


Если x = a+ bi — комплексное число, то число a− bi называетсякомплексно сопряженным к x и обозначается через x .

Свойства операции комплексного сопряжения

Если x и y — произвольные комплексные числа, то:

1) x — действительное число тогда и только тогда, когда x = x ;

2) x + x — действительное число;

3) x · x — действительное число; более того, x · x > 0, причем x · x = 0тогда и только тогда, когда x = 0;

4) x + y = x + y ;

5) xy = x · y .


Комплексное сопряжение (2)

⇓Свойство 1 очевидно. Свойства 2 и 3 вытекают из того, что, как легкопроверить, если x = a+ bi , то x + x = 2a и x · x = a2 + b2. Свойства 4 и 5проверяются простыми вычислениями.⇑

Свойство 3 можно использовать для того, чтобы найти алгебраическуюформу числа вида a+bi

c+di. В самом деле, умножив числитель и знаменатель

этой дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю, имеем

a+ bi

c + di=

(a+ bi)(c − di)

(c + di)(c − di)=

ac + bd + (bc − ad)i

c2 + d2 =ac + bd

c2 + d2 +bc − ad

c2 + d2 · i .


Геометрическая интерпретация комплексных чисел (1)

Зафиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат.Комплексное число a+ bi будем изображать точкой плоскости скоординатами (a, b). Тогда каждому комплексному числу будетсоответствовать точка на плоскости (причем только одна) и, наоборот,каждой точке на плоскости будет соответствовать комплексное число(причем только одно). Точки оси абсцисс и только они будут изображатьдействительные числа, а точки оси ординат и только они — числа вида bi ,которые называются чисто мнимыми. Начало координат соответствуетчислу 0.


Пусть комплексное число z = a+ bi изображается на плоскости точкой M(см. рис. 1 на следующем слайде). Тогда длина отрезка OM называетсямодулем числа z . Если z 6= 0, то угол между положительнымнаправлением оси Ox и отрезком OM называется аргументом числа z . Учисла 0 аргумент не определен. Модуль комплексного числа zобозначается через |z |, а аргумент — через arg(z).


Геометрическая интерпретация комплексных чисел (2)

На следующем рисунке r = |z | и ϕ = arg(z).

-

6

��

rr

O x

y

a

b

rϕ

M(a, b)

Рис. 1

Отметим, что для действительных чисел, рассматриваемых каккомплексные, введенное только что понятие модуля совпадает с понятиеммодуля (абсолютной величины), известным из школьного курса. Аргументкомплексного числа определен неоднозначно, так как если ϕ — аргументчисла a+ bi , то ϕ+ 2πk — также его аргумент при любом целом k.


Извлечение квадратного корня из комплексного числа, записанного валгебраической форме

Как найти квадратный корень из комплексного числа, показываетследующее.

Предложение

Для любого комплексного числа u 6= 0 существуют два противоположныхрешения уравнения z2 = u.

⇓Пусть u = a+ bi , z = x + yi , где a, b, x , y ∈ R. Тогдаa+ bi = (x + yi)2 = x2 − y2 + 2xyi , откуда получаем систему уравнений{

x2 − y2 = a,2xy = b.

(1)

Рассмотрим два случая.1. b = 0, т.е. u = a ∈ R. Тогда из второго уравнения системы (1) следуетx = 0 или y = 0. При a > 0 имеем y = 0 и x2 = a, откуда x = ±

√a. Это

обычное извлечение корня из положительного действительного числа.При a < 0 имеем x = 0 и −y2 = a, откуда y = ±

√−a и z = ±i

√−a. Так

извлекается корень из отрицательного действительного числа.


Окончание доказательства

2. b 6= 0. Тогда x , y 6= 0. Возведем обе части каждого из уравненийсистемы (1) в квадрат и рассмотрим сумму полученных равенств:

x4 − 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = a2 + b2 или (x2 + y2)2 = a2 + b2.

Таким образом, x2 + y2 =√a2 + b2, так как x , y – действительные числа.

Прибавляя и вычитая к этому уравнению первое уравнение системы (1),

получаем x2 =a+√

a2+b2

2 , y2 =

√a2+b2−a

2 . Следовательно,

x = ±

√a+√a2 + b2

2, y = ±

√√a2 + b2 − a

2.

Так как xy = b2 , по знаку x знак y определяется однозначно и мы

получаем два противоположных решения уравнения z2 = u.⇑

Для комплексного числа u обозначение√u применяется для множества из

всех решений уравнения z2 = u.


Пример

Покажем на примере числа z = 3− 4i , как найти√3− 4i . Пусть

(x + yi)2 = 3− 4i . Тогда 3− 4i = (x + yi)2 = x2 − y2 + 2xyi . Имеем системууравнений {

x2 − y2 = 3,2xy = −4. (2)

Подчеркнем, что нам необходимо найти действительные решения этойсистемы. Возведем обе части каждого из этих уравнений в квадрат ирассмотрим сумму полученных равенств:

x4 − 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = 25 или (x2 + y2)2 = 25.

Получаем, что x2 + y2 = 5 (ясно, что случай x2 + y2 = −5 невозможен,поскольку x и y — действительные числа). Отсюда и из первого уравнениясистемы (2) имеем x2 = 4, y2 = 1, откуда x = ±2 и y = ±1. Из второгоуравнения системы (2) видно, что xy < 0. Поэтому мы получаем дварешения: x1 = 2, y1 = −1 и x2 = −2, y2 = 1. Итак, мы нашли√3− 4i = {2− i ,−2+ i}.


Тригонометрическая форма записи комплексных чисел (определение)

Пусть r — модуль, а ϕ — аргумент комплексного числа a+ bi . Ясно, чтоr =√a2 + b2, cosϕ = a√

a2+b2и sinϕ = b√

a2+b2. Следовательно,

a+ bi =√

a2 + b2 ·(

a√a2 + b2

+b√

a2 + b2· i)

= r(cosϕ+ i sinϕ).


Если r — модуль, а ϕ — аргумент комплексного числа a+ bi , товыражение r(cosϕ+ i sinϕ) называется тригонометрической формойзаписи этого числа.


Если z = x + iy – комплексное число, то по определению полагаютez = ex(cos y + i sin y) (здесь e – основание натуральных логарифмов). Вчастности, e iϕ = cosϕ+ i sinϕ и тригонометрическую форму комплексногочисла можно записать в виде re iϕ.


Тригонометрическая форма записи комплексных чисел (примеры)

Пусть, например, u = 1+ i , r = |u| и ϕ = arg(u). Тогда, очевидно, r =√2,

cosϕ = 1/√2 и sinϕ = 1/

√2. Из двух последних равенств вытекает, что

ϕ = π/4. Следовательно, тригонометрической формой записи числа 1+ iбудет

√2(cos(π/4) + i sin(π/4)

).

Приведем еще один пример. Пусть v = −1+√3i , ρ = |v | и ψ = arg(v).

Тогда ρ = 2, cosψ = −1/2 и sinψ =√3/2. Из двух последних равенств

вытекает, что ψ = 2π/3. Следовательно, тригонометрической формойзаписи числа v будет 2

(cos(2π/3) + i sin(2π/3)

).

Тригонометрическая форма комплексного числа определена неоднозначно— это вытекает из неоднозначности аргумента комплексного числа.


Умножение и деление комплексных чисел, записанных втригонометрической форме

С помощью тригонометрической формы легко находятся произведение ичастное от деления двух комплексных чисел. Пустьz1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) и z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2). Тогда

z1z2 = r1r2(cosϕ1 + i sinϕ1)(cosϕ2 + i sinϕ2) =

= r1r2[(cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2)+i(cosϕ1 sinϕ2 + sinϕ1 cosϕ2)] =

= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)

);

z1z2

=r1(cosϕ1 + i sinϕ1)

r2(cosϕ2 + i sinϕ2)=

r1(cosϕ1 + i sinϕ1)(cosϕ2 − i sinϕ2)

r2(cosϕ2 + i sinϕ2)(cosϕ2 − i sinϕ2)=

=r1((cosϕ1 cosϕ2 + sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2 − cosϕ1 sinϕ2)

)r2(cos2 ϕ2 + sin2 ϕ2)

=

=r1r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)

).

Мы видим, что:

модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению ихмодулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов;модуль частного от деления z1 на z2 равен частному от деления модуля z1на модуль z2, а аргумент частного — разности аргументов z1 и z2.


Возведение в степень комплексных чисел, записанных втригонометрической форме

Из результата о произведении комплексных чисел в тригонометрическойформе вытекает, что(

r(cosϕ+ i sinϕ))n

= rn(cos nϕ+ i sin nϕ) (3)

для любого натурального n. Таким образом,

при возведении комплексного числа в натуральную степень его аргументвозводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

При r = 1 из формулы (3) получается равенство, известное как формулаМуавра:

(cosϕ+ i sinϕ)n = cos nϕ+ i sin nϕ.


Применение формулы Муавра

Формула Муавра оказывается удобным средством для преобразованиятригонометрических выражений. Продемонстрируем это на следующемпримере: выразить cos 5ϕ и sin 5ϕ через cosϕ и sinϕ. Будем исходить изравенства

cos 5ϕ+ i sin 5ϕ = (cosϕ+ i sinϕ)5,

которое получено из формулы Муавра при k = 5. Правую его частьпреобразуем по формуле бинома Ньютона:

(cosϕ+ i sinϕ)5 = cos5 ϕ+ 5i cos4 ϕ sinϕ− 10 cos3 ϕ sin2 ϕ−

− 10i cos2 ϕ sin3 ϕ+ 5 cosϕ sin4 ϕ+ i sin5 ϕ =

= (cos5 ϕ− 10 cos3 ϕ sin2 ϕ+ 5 cosϕ sin4 ϕ)+

+ (5 cos4 ϕ sinϕ− 10 cos2 ϕ sin3 ϕ+ sin5 ϕ)i .

Следовательно,

cos 5ϕ = cos5 ϕ− 10 cos3 ϕ sin2 ϕ+ 5 cosϕ sin4 ϕ,

sin 5ϕ = 5 cos4 ϕ sinϕ− 10 cos2 ϕ sin3 ϕ+ sin5 ϕ.


Использование комплексных чисел для преобразования выражений

С помощью тригонометрической формы комплексных чисел можнопреобразовывать суммы неограниченного числа слагаемых в суммунебольшого фиксированного числа слагаемых (т.е. выполнятьсуммирование). Покажем на примере, как это можно делать.

Преобразовать сумму 1+∑n+1

k=2 k cos(k − 1)ϕ (ϕ – произвольноедействительное число).

ПоложимS = 1+

∑n+1k=2 k cos(k − 1)ϕ = 1+ 2 cosϕ+ 3 cos 2ϕ+ . . .+ (n + 1) cos nϕ,

T = 2 sinϕ+ 3 sin 2ϕ+ . . .+ (n + 1) sin nϕ, z = cosϕ+ i sinϕ. Тогда поформуле Муавра S + iT = 1+ 2(cosϕ+ i sinϕ) + 3(cos 2ϕ+ i sin 2ϕ) + . . .+(n + 1)(cos nϕ+ i sin nϕ) = 1+ 2z + 3z2 + . . .+ (n + 1)zn. ПоложимU(z) = 1+ 2z + 3z2 + . . .+ (n + 1)zn. Тогда U(z) = (z + z2 + . . .+ zn+1)′

есть производная от суммы геометрической прогрессии. Так какz + z2 + . . .+ zn+1 = z zn+1−1

z−1 = zn+2−zz−1 , имеем по формуле

дифференцирования дроби U(z) =(

zn+2−zz−1

)′= ((n+2)zn+1−1)(z−1)−zn+2+z

(z−1)2 =

= (n+1)zn+2−(n+2)zn+1+1(z−1)2 . Преобразуем (z − 1)2 = z2 − 2z + 1 =

= cos 2ϕ+ i sin 2ϕ− 2 cosϕ− 2i sinϕ+ 1. Так как cos 2ϕ− 2 cosϕ+ 1 == 2 cos2 ϕ− 2 cosϕ = 2(cosϕ− 1) cosϕ и sin 2ϕ− 2 sinϕ = 2(cosϕ− 1) sinϕ,


Окончание примера

получаем (z − 1)2 = 2(cosϕ− 1)(cosϕ+ i sinϕ) = 2(cosϕ− 1)z = 4z sin2 ϕ2 .

Так как z−1 = z , имеем U(z) = (n+1)zn+2−(n+2)zn+1+14z sin2 ϕ

2=

14 sin2 ϕ

2((n+ 1)zn+1 − (n+ 2)zn + z) = 1

4 sin2 ϕ2((n+ 1)(cos(n+ 1)ϕ+ i sin(n+

1)ϕ− (n + 2)(cos nϕ+ i sin nϕ) + cosϕ− i sinϕ) = 14 sin2 ϕ

2((n + 1) cos(n +

1)ϕ− (n + 2) cos nϕ+ cosϕ) + i((n + 1) sin(n + 1)ϕ− (n + 2) sin nϕ− sinϕ).Поскольку U(z) = S + iT , получаем

S =1

4 sin2 ϕ2

((n + 1) cos(n + 1)ϕ− (n + 2) cos nϕ+ cosϕ)

иT =

14 sin2 ϕ

2

((n + 1) sin(n + 1)ϕ− (n + 2) sin nϕ− sinϕ).

Используя тригонометрические формулы cosα− cosβ = −2 sin α+β2 sin α−β

2и sinα− sinβ = 2 sin α+β

2 cos α−β2 , можно упростить выражения для S и T .В частности, (n + 1) cos(n + 1)ϕ− (n + 2) cos nϕ+ cosϕ == (n+1)(cos(n+1)ϕ−cos nϕ)+cosϕ−cos nϕ = −2(n+1) sin(n+ 1

2 )ϕ sin 12ϕ−

−2 sin n+12 ϕ sin 1−n

2 ϕ. Таким образом,

S = − 12 sin ϕ

2(n + 1) sin(n +

12)ϕ+

12 sin2 ϕ

2

sinn + 12

ϕ sinn − 12

ϕ.


Извлечение корней из комплексных чисел (1)


Пусть n — натуральное число. Корнем степени n из комплексного числа zназывается комплексное число w такое, что wn = z .Множество всех корней степени n из комплексного числа z обозначаетсячерез n

√z .

Если z = 0, то, очевидно, для любого натурального n существует ровноодин корень n-й степени из z , равный нулю. Пусть теперьz = r(cosϕ+ i sinϕ) и z 6= 0. Корень степени n из z будем искать тоже втригонометрической форме. Пусть w = q(cosψ + i sinψ) и wn = z . Тогда,в силу формулы (3),

qn(cos nψ + i sin nψ) = r(cosϕ+ i sinϕ).

Получаем равенства qn = r и nψ = ϕ+ 2πk, где k — некоторое целоечисло. Поскольку q и r — положительные действительные числа, этоозначает, что q — арифметический корень степени n из числа r . Дляаргумента числа w справедливо равенство ψ = (ϕ+ 2πk)/n. В частности,мы видим, что корень n-й степени из числа z всегда существует.


Извлечение корней из комплексных чисел (2)

Выясним, сколько значений может иметь корень из комплексного числа.Как мы видели, все корни n-й степени из числа z задаются формулой

wk = n√r

(cos

ϕ+ 2πkn

+ i sinϕ+ 2πk

n

), (4)

где k — целое число. Ясно, что wk = w` тогда и только тогда, когдаϕ+2πk

n= ϕ+2π`

n+ 2πm при некотором целом m. Последнее равенство

равносильно равенству k−`n

= m. Иными словами, числа wk и w`совпадают тогда и только тогда, когда разность k − ` нацело делится на n.Таким образом, чтобы получить все различные значения корня,достаточно в формуле (4) взять n последовательных значений k,например, последовательно приравнивать k к 0, 1, . . . , n − 1. Мы доказали,что существует ровно n различных значений корня степени n изпроизвольного ненулевого комплексного числа z , которые вычисляются поформуле

wk = n√r

(cos

ϕ+ 2πkn

+ i sinϕ+ 2πk

n

), где k = 0, 1, . . . , n − 1. (5)

При этом n√z = {w0, . . . ,wn−1}.


Извлечение корней из комплексных чисел (пример)

Рассмотрим пример: найти корни четвертой степени из числа 1+ i .Модуль этого числа равен

√2, аргумент равен π/4. Согласно формуле (5)

имеем

4√1+ i =8√2

cos

π

4+ 2πk

4+ i sin

π

4+ 2πk

4

,

где k = 0, 1, 2, 3. Получаем четыре значения корня:

при k = 0 : w0 =8√2(cos

π

16+ i sin

π

16

),

при k = 1 : w1 =8√2(cos

9π16

+ i sin9π16

),

при k = 2 : w2 =8√2(cos

17π16

+ i sin17π16

),

при k = 3 : w3 =8√2(cos

25π16

+ i sin25π16

).


Корни из единицы


Корнем степени n из единицы называется комплексное число ε такое чтоεn = 1.

Положим εn,k = cos 2πkn

+ i sin 2πkn. Так как 1 = cos 0+ i sin 0, имеем

n√1 = {εn,k |k = 0, 1, . . . , n − 1} – множество всех корней n-й степени из 1.

На комплексной плоскости корни n-й степени из 1 расположены наокружности радиуса 1 с центром в точке 0 в вершинах правильногоn-угольника, одна из вершин которого расположена в точке 1.Легко видеть, что для любого ненулевого комплексного числа z и длялюбого x ∈ n

√z справедлива формула n

√z = x n

√1.


Комплексное число ε называется первообразным корнем степени n изединицы, если εn = 1 и εm 6= 1 для всех 1 ≤ m < n.

Очевидно, что εn,1 – первообразный корень степени n из единицы, так какεn,k = εkn,1 при k = 1, . . . , n − 1.


Критерий первообразности корня

Следующее утверждение позволяет выделить первообразные корнистепени n среди элементов множества n

√1.

Теорема

Число εn,k = cos 2πkn

+ i sin 2πkn

(1 < k < n) является первообразнымкорнем степени n из единицы тогда и только тогда, когда числа k и nвзаимно просты.

⇓Пусть εn,k является первообразным корнем степени n из единицы. Отпротивного, предположим, что числа k и n не взаимно просты. Пустьd = (n, k) – наибольший общий делитель, n = n1d , k = k1d . Имеем поформуле Муавра εn1n,k = cos 2πkn1

n+ i sin 2πkn1

n= cos 2πk1dn1

n+ i sin 2πk1dn1

n=

cos 2πk1 + i sin 2πk1 = 1. Так как n1 < n, получаем противоречие.Предположим, что числа k и n взаимно просты и εmn,k = 1. Тогдаcos 2πkm

n+ i sin 2πkm

n= 1, откуда 2πkm

n= 2πq для некоторого целого числа

q. Имеем km = qn, откуда в силу взаимной простоты k и n получаем, чтоn делит m. Следовательно, εrn,k 6= 1 при 1 ≤ r < n и εn,k – первообразныйкорень степени n из единицы.⇑


Тема 11: Комплексные числаkadm.kmath.ru/files/angfiz_ovs_11.pdf · 2019. 8....

Documents