Ëèíåéíà àëãåáðà 11. Ñîáñòâåíè ñòîéíîñòè è ... · 2020. 9. 17. ·...

Линейна алгебра11. Собствени стойности и собствени вектори

на матрица и линейно преобразувание.Диагонализиране на матрица

специалности: Математика, Бизнес математика, Приложнаматематика, I курс

лектор: Марта Теофилова


Собствени стойности и собствени вектори на матрица

Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. Комплексното (или реално-то) число λ и ненулевият вектор v ∈ Cn (или Rn) се наричат собстве-на стойност на A и съответен на λ собствен вектор (десен собственвектор) на A, ако

Av = λv. (1)

Като пример нека разгледаме

A =(

1 34 2

), v =

(34

), u =

(23

).

Тъй като

Av =(

1 34 2

) (34

)=

(1520

)= 5

(34

)= 5v,

то v е собствен вектор на A, отговарящ на собствената стойност λ = 5.


Собствени стойности и собствени вектори на матрица

Тъй като

Au =(

1 34 2

) (23

)=

(1114

)6= λu

за всяко λ ∈ R, то u не е собствен вектор на A (за никоя собственастойност на A).


Характеристично уравнение на матрица

Преобразуваме (1) последователно

Av − λv = o ⇔ Av − λEv = o ⇔ (A− λE)v = o,

където E e единичната квадратна матрица от n-ти ред. Следователноуравнението (1) има ненулево решение за v, точно когато уравнени-ето (A − λE)v = o има ненулево решение. Последното уравнение ематричният запис на система хомогенни линейни уравнения. Кактознаем, такава система има ненулеви решения, точно когато е неопре-делена, т.е. рангът ѝ не е максимален, т.е. точно когато основната ѝквадратна матрица има нулева детерминанта

det(A− λE) = 0. (2)

Уравнението (2) e полиномно уравнение от n-та степен за неизвес-тното λ и се нарича характеристично уравнение на матрицата A,а p(λ) = det(A − λE) се нарича характеристичен полином на A.Корените на уравнението (2) (комплексни и реални) са собственитестойности на A.


Собствени вектори и собствени подпространства наматрица

След като бъдат намерени собствените стойности на A, т.е. всичкирешения на уравнението (2), за намиране на съответните им собственивектори v, всяка собствена стойност λ се замества в уравнението

(A− λE)v = o, v 6= o. (3)

Тъй като det(A − λE) = 0, то горната система хомогенни линейниуравнения е неопределена и множеството от решенията ѝ заедно с ну-левия вектор на Cn образува векторно пространство, което се означавас Vλ (то е векторно подпространство на Cn) и се нарича собственоподпространство на A, съответно на собствената стойност λ. Всякабаза на Vλ, т.е. фундаментална система решения на (3), се състои отлинейно независими помежду си собствените вектори на A, съответнина собствената ѝ стойност λ.


Алгоритъм за намиране на собствените стойности исобствени вектори на матрица

Нека A е квадратна матрица от n-ти ред. За намиране на собстве-ните стойности на A и съответните им собствени вектори можем даизползваме следния алгоритъм:1) Намираме собствените стойности на A, като решаваме характе-

ристичното ѝ уравнение det(A− λE) = 0.2) За всеки корен на характеристичното уравнение (собствена стой-

ност на A) търсим съответните линейно независими собственивектори v ∈ Rn като фундаментална система решения на хомо-генната система линейни уравнения (A− λE)v = o.


Пример №1

Намерете собствените стойности, съответните им собствени подпрос-транства и собствените вектори на матрицата

A =(

1 34 2

).

Характеристичното уравнение на матрицата A има вида

det(A−λE) = 0 ⇔∣∣∣∣ 1− λ 34 2− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ2−3λ−10 = 0.Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на A са λ1 = 5и λ2 = −2.


Пример №1

Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ1 = 5. Тогава vудовлетворява уравнението

(A− λ1E)v =(

1− 5 34 2− 5

) (xy

)=

(00

),

откъдето получаваме 4x−3y = 0. Решенията на последното уравнениеса елементите на едномерното векторно пространство

Vλ1 = {(3p, 4p) | p ∈ R},

което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ1 = 5.Един ненулев вектор, принадлежащ на Vλ1 , е векторът v1 = (3, 4),който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ1 = 5.


Пример №1

Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на λ2 = −2. Тогаваv удовлетворява уравнението

(A− λ1E)v =(

1 + 2 34 2 + 2

) (xy

)=

(00

),

откъдето получаваме x + y = 0. Решенията на последното уравнениеса елементите на едномерното векторно пространство

Vλ2 = {(q,−q) | q ∈ R},

което е собственото подпространство на A, съответстващо на λ2 = −2.Един ненулев вектор, принадлежащ на Vλ2 , е векторът v2 = (1,−1),който е един собствен вектор на A, съответстващ на λ2 = −2.


2

Пример №2 – комплексни собствени стойности

Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата

B =(

1 −11 1

).


det(B − λE) = 0 ⇔∣∣∣∣ 1− λ −11 1− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ2 − 2λ + 2 = 0.Корените на уравнението, т.е. собствените стойности на B са λ1 = 1+iи λ2 = 1− i. Аналогично на предишния пример, установяваме, че навсяка от двете собствени стойности съответства едномерно собственоподпространство, като v1 = (1,−i) е един собствен вектор, отговарящна λ1, а v2 = (1, i) е един собствен вектор, отговарящ на λ2.


Твърдение

Собствените вектори на квадратна матрица, отговарящи на различнинейни собствени стойности, са линейно независими помежду си.

Алгебрична кратност alg mult(λ) на собствена стойност λ на A сенарича кратността на λ като корен на характеристичното уравнениена A. Геометрична кратност geom mult(λ) на λ се нарича размер-ността на собственото подпространство Vλ на A, съответно на λ, т.е.geom mult(λ) = dim Vλ. За всяка собствена стойност λ е изпълнено

alg mult(λ) ≥ geom mult(λ) ≥ 1.

Ако λ e прост (еднократен) корен на характеристичното уравнение наA, то dim Vλ = 1 (както видяхме в предходните два примера).Множеството от всички собствени стойности на A се нарича спектърна A. Ако всички собствени стойности на A са прости, то се казва, че Aима прост спектър. В този случай собствените вектори, отговарящина различните собствени стойности на A, образуват база на Cn (казвасе, че A притежава база от собствени вектори).


Пример №3 – кратни собствени стойности

Корените на характеристичното уравнение могат и многократни. Некаразгледаме следния пример.

Намерете собствените стойности и собствените вектори на матрицата

C =(

2 1−1 4

).


det(C − λE) = 0 ⇔∣∣∣∣ 2− λ 11 4− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ2 − 6λ + 9 = 0,чийто единствен двоен корен е λ1 = λ2 = 3.


Пример №3 – кратни собствени стойности

Нека v = (x, y) е собствен вектор, съответстващ на единствената соб-ствена стойност на C. Тогава v удовлетворява уравнението(

−1 1−1 1

) (xy

)=

(00

),

откъдето получаваме x− y = 0. Решенията на последното уравнениеса елементите на едномерното векторно пространство

Vλ = {(p, p) | p ∈ R},което е собственото подпространство на A, съответстващо на един-ствената ѝ собствена стойност λ = 3. Една база на Vλ e векторътv = (1, 1).

В този пример, за разлика от предходните два примера, алгебрична-та и геометричната кратност на собствените стойности не съвпадат.На двукратна собствена стойност съответства едномерно собственопространство. Следователно разгледаната в този пример матрица непритежава база от собствени вектори.


Собствени стойности и собствени вектори на линейнопреобразувание

Нека f е линейно преобразувание на n-мерното векторно пространствоV над полето K. Ненулевият вектор v ∈ V и числото λ ∈ K се наричатсъответно собствен вектор и собствена стойност на f , ако f(v) = λv.Ако A е матрицата на f във фиксирана база на V , то f(v) = Av завсеки v ∈ V . Припомняме, че матриците на f в различните бази наV са подобни, т.е. ако A и B са матриците на f съответно в базите eи e′ на V , то B = T−1AT , където T е матрицата на прехода от e къмe′.

Твърдение

Подобните матрици имат равни характеристични полиноми (следова-телно равни собствени стойности).

Тогава под собствени стойности на линейно преобразувание f на Vможем да разбираме собствените стойности на матрицата на f в про-изволна база на V .


Диагонализиране на матрица

Квадратната матрица A ∈ Mn×n(K) се нарича диагонализируеманад полето K, ако е подобна на диагонална матрица D ∈ Mn×n(K),т.е. ако

D = T−1AT (⇔ A = TDT−1), (4)

където

D =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

, λi ∈ K, T ∈Mn×n(K).Намирането на неособената матрица T , чрез която съгласно (4) от Aсе получава D, се нарича диагонализиране на A чрез неособенотолинейно преобразувание T .


Диагонализиране на линейно преобразувание

Линейното преобразувание f на векторно пространство се нарича ди-агонализируемо, ако съществува база на векторното пространство, вкоято матрицата на f е диагонална. Тази база (при условие, че съ-ществува) е база от собствени вектори на f .

Следователно неособената матрица T , чрез която се диагонализираf , е матрицата на прехода от базата, в която е зададено f , към базаот собствени вектори на f , т.е. T съдържа в стълбовете координатитена собствените вектори на f .



Твърдение

Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема над C, точнокогато съществува база на Cn от собствени вектори на A.

Твърдение

Квадратната матрица A от n-ти ред е диагонализируема, точно когатона всяка собствена стойност на A с кратност k съответства k-мернособствено подпространство (т.е. k линейно независими собствени век-тора).

Твърдение

Ако квадратна матрица A от n-ти ред има n различни собствени стой-ности (т.е. прост спектър), то A е диагонализируема.



Твърдение

Ако λ1, λ2, ..., λk са всички различни помежду си собствени стойнос-ти на квадратната матрица A от n-ти ред, то A е диагонализируема,точно когато сумата от размерностите на собствените подпространс-тва Vλi (i = 1, 2, ..., k) е равна на n, т.е.

dim Vλ1 + dim Vλ2 + ... + dim Vλk = n.

Забележка. Реалната квадратна матрица A от n-ти ред е диагонали-зируема над R, точно когато притежава само реални собствени стой-ности и база от собствени вектори.

Ако A е диагонализируема, то rank(A) е равен на броя на ненулевитесобствени стойности на A. В общия случай (и за недиагонализируемиматрици) rank(A) е равен на броя на ненулевите собствени стойностина матрицата AAT (AT A) (наричат се особени стойности на A).


Диагонализиране на матрица – примери

Да разгледаме квадратните матрици от 2-ри ред от трите примера.

Матрицата A от Пример №1 има две различни собствени стойностиλ1 = 5 и λ2 = −2, на всяка от които съответства едномерно собственоподпространство с бази съответно векторите v1 = (3, 4) и v2 = (1,−1).Тъй като всички собствени стойности на A са прости корени на харак-теристичното ѝ уравнение (т.е. A има прост спектър), то A е диагона-лизируема (над R, тъй като всички собствени стойности са реални).Изпълнено е D = T−1AT , където

D =(

5 00 −2

), T =

(3 14 −1

), T−1 =

17

(1 14 −3

).



Матрицата B от Пример №2 има само комплексни собствени стойнос-ти (въпреки че е реална) λ1 = 1 + i, λ2 = 1− i. Съответни собственивектори са v1 = (1,−i) на λ1 и v2 = (1, i) на λ2. Тази матрица същоима прост спектър и затова е диагонализируема, но над C. Изпълненое D = T−1AT , където

D =(

1 + i 00 1− i

), T =

(1 1−i i

), T−1 =

12

(1 i1 −i

).



Матрицата C от Пример №3 има една собствена стойност, която е дво-ен корен на характеристичното ѝ уравнение λ1 = λ2 = 3. Но на тазисобствена стойност съответства едномерно собствено подпространст-во (сумата от размерностите на всички собствени пространства на Ce 1 < 2). Следователно C не притежава база от собствени вектори ине е диагонализируема.


Специални квадратни матрици

Реалната квадратна матрица A = (aij) е от n-ти ред се нарича:симетрична, ако AT = A (⇔ aij = aji);антисиметрична, ако AT = −A (⇔ aij = −aji, откъдето следва,че aii = 0);ортогонална, ако AAT = AT A = E (⇔ AT = A−1). Еквивален-тно условие – системата от редовете (стълбовете) на A е орто-нормирана база на Rn;

Комплексната квадратна матрица A = (aij) е от n-ти ред се нарича:ермитова, ако A∗ = A (⇔ aij = aji, комплексен аналог на си-метрична матрица);антиермитова, ако A∗ = −A (комплексен аналог на антисимет-рична матрица)унитарна, ако AA∗ = A∗A = E (⇔ A∗ = A−1, комплексен ана-лог на ортогонална).

Горните шест вида матрици спадат към т. нар. нормални матрици,за които е изпълнено AA∗ = A∗A.


Диагонализиране на симетрични матрици (ортогоналнодиагонализируеми матрици)

Квадратната матрица A се нарича ортогонално диагонализируема,ако A е подобна на диагонална матрица D чрез ортогонална матрицаQ (привежда се в диагонален вид чрез ортогонално преобразувание),т.е. D = Q−1AQ (D = QT AQ, т.е. A = QDQT ).

Твърдение (Спектрална теорема за симетрични матрици –Аугустин Луи Коши)

Ако A е симетрична матрица от n-ти ред, то:всички собствени стойности на A са реални;собствените вектори на A, които съответстват на различни собс-твени стойности, са ортогонални помежду си;A притежава ортонормирана база от собствени вектори, т.е. A еортогонално диагонализируема.


Унитарно диагонализируеми матрици

Най-широкият клас матрици, които имат само реални собственистойности, са ермитовите матрици.

Най-широкият клас унитарно диагонализируеми матрици (A =UDU∗, U – унитарна) са нормалните матрици (Джон фон Нойман).


Диагонализиране на симетрична матрица – Пример № 4

Първият пример, който ще разгледаме, е на симетрични матрица спрост спектър.Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричнатаматрица

A =

0 1 −11 2 1−1 1 2

.Характеристичното уравнение е λ3− 4λ2 + λ + 6 = 0 с корени λ1 = 3,λ2 = 2 и λ3 = −1. Съответни собствени вектори са v1 = (0, 1, 1),v2 = (1, 1,−1) и v3 = (2,−1, 1). Тъй като трите вектора, отговарят наразлични собствени стойности, те са ортогонални помежду си. Нор-мираме ги, за да получим ортонормирана база от собствени векторини A:

e1 = v1||v1|| =1√2(0, 1, 1), e2 = v2||v2|| =

1√3(1, 1,−1),

e3 = v3||v3|| =1√6(2,−1, 1).



Тогава координатите на векторите e = {e1, e2, e3} формират стълбо-вете на ортогоналната матрица Q (на прехода от стандартната базана R3 към ортонормираната база e от собствени вектори на A)

Q =

0 1√

32√6

1√2

1√3

− 1√6

1√2

− 1√3

1√6

,чрез която симетричната матрица A се привежда в диагоналния сивид

D =

3 0 00 2 00 0 −1

.Изпълнено е D = Q−1AQ (A = QDQ−1).



Нека разгледаме и симетрична матрица, притежаваща кратни собст-вени стойности.Да се диагонализира чрез ортогонално преобразувание симетричнатаматрица

A =

0 2 22 0 22 2 0

.Характеристичното уравнение е λ3 − 12λ − 16 = 0 с корени λ1 = 4 иλ2 = λ3 = −2. На λ1 съответства собственият вектор v1 = (1, 1, 1).На λ2 съответства двумерно собствено подпространство с база v2 =(1,−1, 0) и v3 = (1, 0,−1). Векторът v1 е ортогонален на v2 и v3, тъйкато отговарят на различни собствени стойности. Но векторите v2 иv3 не са ортогонални помежду си, тъй като отговарят на една и същасобствена стойност. Следователно, за да получим ортонормирана базаот собствени вектори на A, първо трябва да се ортогонализира пометода на Грам-Шмид системата от двата вектора v2 и v3.



Нека e2 = v2 = (1,−1, 0). Търсим вектор e3, ортогонален на e2, въввида e3 = ce2 + v3. Тъй като c = − 〈e2,v3〉||e2||2 , то пресмятаме 〈e2, v3〉 = 1и ||e2||2 = 〈e2, e2〉 = 2 и намираме

e3 = −12e2 + v3 =

(12,12,−1

).

Сега трите вектора v1, v2(= e2) и e3 са ортогонални помежду си.Чрез нормирането им получаваме ортонормирана база от собственивектори на A:

e′1 =v1

||v1|| =1√3(1, 1, 1), e′2 =

v2||v2|| =

1√2(1,−1, 0),

e′3 =e3

||e3|| =1√6(1, 1,−2).

Координатите на горните три вектора формират стълбовете на орто-гоналната матрица Q, чрез която A се привежда в диагоналния сивид D, т.е. D = Q−1AQ, където



Q =

1√3

1√2

1√6

1√3

− 1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

, D = 4 0 00 −2 0

0 0 −2

.


Приложение на диагонализирането на матрица –степенуване на матрица

Нека A е квадратна матрица от n-ти ред, която е диагонализируема,т.е. A = TDT−1, където D е диагонална матрица. Лесно се установя-ва, че ако

D =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

, то Dk = DD...D︸︷︷︸k пъти

=

λk1 0 ... 00 λk2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λkn

.Тогава

Ak = (TDT−1)(TDT−1)...(TDT−1)︸︷︷︸k пъти

= TDkT−1.


Приложение на диагонализирането на матрица –намиране на обратна матрица

Нека A е квадратна матрица от n-ти ред, която е диагонализируема,т.е. A = TDT−1, където D е диагонална матрица. В случай, че A еобратима, т.е. 0 не е собствена стойност на A, то обратната матрицаA−1 може лесно да бъде намерена от формулата за диагонализацияна A. Пресмятаме A−1 = (TDT−1)−1 = TD−1T−1. Тъй като D едиагонална матрица с ненулеви елементи по главния си диагонал, т.е.

D =

λ1 0 ... 00 λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... λn

, то D−1 =

1λ1

0 ... 00 1λ2 ... 0... ... ... ...0 0 ... 1λn

.


Приложение на диагонализирането на матрица

Квадратен корен на матрицата A от тип (n × n) е матрица B от тип(n× n) такава, че A = B2 (означаваме B = A 12 ). Не всяка квадратнаматрица от n-ти ред има квадратен корен, а за някои квадратнияткорен не е единствен.

Ако D е диагонална матрица, то квадратните ѝ корени могат лесно дабъдат намерени чрез коренуване на елементите по главния ѝ диагонал.Например

D =(

a 00 b

) 12

=(±√

a 00 ±

√b

).

Ако A е диагонализируема матрица, т.е. A = TDT−1, то от

(TD12 T−1)2 = TDT−1 = A

следва, че матриците B = TD12 T−1 са квадратните корени на A.


Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-риред

Нека

A =(

a bc d

)е произволна квадратна матрица от 2-ри ред. Характеристичното урав-нение на A има вида

λ2 − (a + d)λ + ad− bc = 0. (5)

Ако A = (aij) е квадратна матрица от n-ти ред, под следа tr (A) на Aще разбираме сумата на всички елементи от главния диагонал на A,т.е. tr (A) = a11 + a22 + ...+ ann. Следователно за горната матрица от2-ри ред имаме tr (A) = a+ d. Освен това знаем, че det(A) = ad− bc.Тогава характеристичното уравнение (5) добива вида

λ2 − tr (A)λ + det(A) = 0. (6)


Характеристчно уравнение на квадратна матрица от 2-риред

От формулите на Виет знаем, че ако λ1 и λ2 са двата корена наквадратното уравнение (5), т.е. собствените стойности на A, то

λ1 + λ2 = tr (A), λ1λ2 = det(A). (7)

Аналогични формули са в сила и за квадратна матрица от произволенn-ти ред, т.е. ако λ1, λ2, ..., λn са собствените стойности на A, то

tr (A) = λ1 + λ2 + ... + λn, det(A) = λ1λ2...λn. (8)

Горните формули за произволна квадратна матрица могат да се до-кажат като следствия от теоремата на Шур (Исая Шур, 1875–1941).


Декомпозиция на Шур

Твърдение (Декомпозиция на Шур)

Всяка квадратна матрица A (с елементи комплексни или реални чис-ла) е унитарно подобна на горнотриъгълна матрица, т.е.

A = UTU∗, (9)

където матрицата U е унитарна, а T е горнотриъгълна, като елемен-тите по главния диагонал на T са собствените стойности на A.Ако A е реална матрица с реални собствени стойности, то матрицатаU е ортогонална.

Декомпозиция на Шур имат и недиагонализируемите матрици (нари-чат се още дефектни матрици).

Теоремата на Шур може да се използва за доказване на следваща


Характеристично уравнение на матрица

Твърдение (Теорема на Кейли-Хамилтън)

Всяка квадратна матрица A от n-ти ред удовлетворява характерис-тичното си уравнение, т.е. ако

λn + c1λn−1 + ... + cn−1λ + cn = 0 (10)

е характеристичното уравнение на A, то e изпълнено

An + c1An−1 + ... + cn−1A + cnE = O, (11)

където E и O са съответно единичната и нулевата квадратна матрицаот n-ти ред.


Едно приложение на теоремата на Кейли-Хамилтън

Теоремата на Кейли-Хамилтън може да бъде използвана за намиранена обратна матрица (в случай, че съществува).Нека разгледаме отново матрицата A от Пример № 1, т.е.

A =(

1 34 2

).

Характеристичното уравнение на тази матрица е λ2 − 3λ − 10 = 0.Следователно матрицата A удовлетворява матричното уравнениеA2−3A−10E = O, откъдето 10E = A2−3A. Тогава чрез умножениена двете страни на последното равенство с A−1 получаваме

A−1 =110

(A− 3E).


Матрични декомпозиции чрез собствени стойности

спректрална декомпозиция (диагонализация чрез собственистойности): A = TDT−1, D е диагонална с главен диагонал, фор-миран от собствените стойности на A. Съществува за недефектниквадратни матрици.декомпозиция на Шур: A = UTU∗, U е унитарна, T е горнот-риъгълна с главен диагонал, формиран от собствените стойностина A. Съществува за всяка квадратна матрица.жорданова нормална форма (жорданова декомпозиция): A =TJT−1, J е горнотриъгълна с главен диагонал, формиран от соб-ствените стойности на A, и евентуално единици непосредственонад главния диагонал за недистигащи линейно независими соб-ствени вектори на A (а всички останали елементи над главниядиагонал са нули). Съществува за всяка квадратна матрица.разлагане по особени стойности: A = UΣV T , U и V са унитар-ни, Σ е диагонална с главен диагонал, формиран от положител-ните квадратни корени на собствените стойности на AAT (AT A).Съществува за произволна правоъгълна матрица.


Литература

Т. Моллов, Ст. Миховски. Линейна алгебра. Пловдивско универ-ситетско издателство Паисий Хилендарски, Пловдив, 2008.П. Балючев, К. Коликов, А. Стоянова. Ръководство за решаванена задачи по линейна алгебра. Пловдивско университетско изда-телство Паисий Хилендарски, Пловдив, 1996.D. C. Lay, S. R. Lay, Judi J. McDonald. Linear algebra and its applications,5th ed. Pearson, 2016.G. Strang. Linear algebra and its applications, 4th ed. Nelson Engineering,2007.G. Strang, Introduction to linear algebra, 5th ed. Wellesley-CambridgePress, 2016, http://math.mit.edu/∼gs/linearalgebra/.H. Anton, C. Rorres. Elementary linear algebra (applications version),11th ed. Wiley, 2014.P. J. Olver, Ch. Shakiban. Applied linear algebra, 2nd ed. Springer,2018.T. S. Shores. Applied linear algebra and matrix analysis, 2nd ed.Springer, 2018.

http://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/

Ëèíåéíà àëãåáðà 11. Ñîáñòâåíè ñòîéíîñòè è ... · 2020. 9. 17. ·...

Documents