要点梳理 1. 等比数列的定义 如果一个数列...
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§6.3 等比数列及其前 n 项和. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 等比数列的定义 如果一个数列 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示 . 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ,公比为 q ,则它的通项 a n =. 从第二项起,后项与相邻前项的比是. 一个确定的常数(不为零). 公比. q. a 1 · q n -1. 3. 等比中项 若 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 4. 等比数列的常用性质 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
要点梳理1. 等比数列的定义 如果一个数列
,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 表示 .
2. 等比数列的通项公式 设等比数列 {an} 的首项为 a1 ,公比为 q ,则它的通
项 an= .
§6.3 等比数列及其前 n项和
从第二项起,后项与相邻前项的比是
一个确定的常数(不为零)公比
q
a1·qn-1
基础知识 自主学习
3. 等比中项 若 ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .4. 等比数列的常用性质( 1 )通项公式的推广: an=am· ,(n , m∈N*).
( 2 )若 {an} 为等比数列,且 k+l=m+n ,( k , l ,
m , n∈N* ),则 .
( 3 )若 {an} , {bn} (项数相同)是等比数列,则 {
an} ( ≠ 0 ), , { } , {an·bn} ,
仍是等比数列 .
G2=a·b
qn-m
ak·al=am·an
na1 2
na
n
n
ba
5. 等比数列的前 n 项和公式
等比数列 {an} 的公比为 q ( q≠0 ),其前 n 项和
为 Sn ,当 q=1 时, Sn=na1 ;当 q≠1 时, Sn=
6. 等比数列前 n 项和的性质 公比不为 -1 的等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,则
Sn , S2n-Sn , S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 .
qqa n
1)1(1
.111
)1( 111
qa
qqa
qqa nn
qn
基础自测
1. 设 a1=2, 数列 {an+1} 是以 3 为公比的等比数
列,则 a4 的值为
( )
A.80 B.81 C.54 D.53
解析 由已知得 an+1=(a1+1)·qn-1,
即 an+1=3·3n-1=3n,
∴an=3n-1 ,∴ a4=34-1=80.
A
2. 等比数列 {an} 中, a4=4, 则 a2·a4·a6 等于(
)
A.4 B.8 C.32 D.64
解析 ∵ a4 是 a2 与 a6 的等比中项,
∴a2·a6= =16.∴a2·a4·a6=64.
D
24a
3. ( 2009· 广东文, 5 )已知等比数列 {an} 的公
比为正数,且 a3·a9=2 ,a2=1, 则 a1= (
)
A.2 B. C. D.
解析 设公比为 q, 由已知得 a1q2·a1q8=2(a1q4)2,
即 q2=2. 因为等比数列 {an} 的公比为正数 , 所
以 q= , 故 a1=
C25a
222
21
.22
212
qa
2
4. 在 等 比 数 列 {an} 中 , 前 n 项 和 为 Sn , 若
S3=7 , S6=63 ,则公比 q 的值是
( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3
解析 方法一 依题意, q≠1,
∵ =7 ,
①
=63. ②
②÷① 得 1+q3=9,∴q3=8,∴q=2.
方法二 ∵ (a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6,
而 a4+a5+a6=S6-S3=56,
∴7·q3=56,q3=8,q=2.
A
qqa
1)1( 3
1
qqa
1
)1( 61
5. ( 2008· 浙江理, 6 )已知 {an} 是等比数列 ,a2
=2,a5= , 则 a1a2+a2a3+…+anan+1 等于( )
A.16(1-4-n) B.16(1-2-n)
C. (1-4-n) D. (1-2-n)
解析 ∵
∴an·an+1=4· ( ) n-1·4· ( ) n=25-2n,
故 a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=23+21+2-1+2-3+…+25-2n
C
332
332
.2
1,8
13
2
5 qqa
a
21
21
4
1
)41(3
32
4
11
)4
11(8
nn
题型一 等比数列的基本运算【例 1 】已知 {an} 为等比数列, a3=2 , a2+a4= ,
求 {an} 的通项公式 .
根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项 ,公比的方程组 .
解 方法一 设等比数列 {an} 的公比为 q ,则 q≠0 ,
a2= a4=a3q=2q ,
∴ +2q=
解得 q1= , q2=3.
3
20
思维启迪
,23
qqa
q2
.320
31
题型分类 深度剖析
① 当 q= 时, a1=18 ,
∴an=18× ( ) n-1= =2×33-n.
② 当 q=3 时, a1= ,
∴an= ×3n-1=2×3n-3.
综上所述, an=2×33-n 或 an=2×3n-3.
方法二 由 a3=2, 得 a2a4=4 ,又 a2+a4= ,
则 a2 , a4 为方程 x2- x+4=0 的两根,
31
31
13
18n
92
92
320
320
a2= a2=6
a4=6 a4=
解得 或 .
32
32
① 当 a2= 时 ,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3.
② 当 a2=6 时, q= ,an=2×33-n
∴an=2×3n-3 或 an=2×33-n.
( 1)等比数列 {an} 中, an=a1qn-1, Sn=
中有五个量,可以知三求二;( 2)注意分
类讨论的应用 .
32
31
探究提高
qqa n
1
)1(1
知能迁移 1 已知等比数列 {an} 中, a1=2,a3+2 是 a2
和 a4 的等差中项 .
( 1 )求数列 {an} 的通项公式;
( 2 )记 bn=anlog2an, 求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
解 ( 1 )设数列 {an} 的公比为 q,
由题意知: 2(a3+2)=a2+a4,
∴q3-2q2+q-2=0 ,即 (q-2)(q2+1)=0.
∴q=2 ,即 an=2·2n-1=2n.
( 2 ) bn=anlog2an=n·2n,
∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n.
①
2Sn=1·22+2·23+3·24+…+ ( n-
1 ) ·2n+n·2n+1.②
①-② 得 -Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1
=-2-(n-1)·2n+1.
∴Sn=2+ ( n-1 ) ·2n+1.
题型二 等比数列的判定与证明
【例 2 】 ( 2008· 湖北文, 21 )已知数列 {an} 和
{bn} 满足: a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),
其中 为实数, n 为正整数 . ( 1 )证明:对任意实数 , 数列 {an} 不是等比数列 ;
( 2 )证明:当 ≠ -18 时,数列 {bn} 是等比数列 .
( 1)可用反证法 . ( 2)根据递推关系推出 bn+1=- bn ,用 ≠ -18 说
明 b1≠0,即 bn≠0.
32
思维启迪
32
证明 ( 1 )假设存在一个实数 , 使 {an} 是等比数列 ,
则有 =a1a3, 即
9=0, 矛盾 .
所以 {an} 不是等比数列 .
( 2 ) bn+1=(-1)n+1 [ an+1-3(n+1)+21 ]
=(-1)n+1( an-2n+14)
=- (-1)n·(an-3n+21)=- bn.
又 ≠ -18 ,所以 b1=-( +18)≠0.`
22a )4
94()3
32( 2
494
9494 22
32
32
32
由上式知 bn≠0, 所以 (n∈N*).
故当 ≠ -18 时,数列 {bn} 是以 -( +18) 为首项,
为公比的等比数列 .
证明一个数列是等比数列的主要方法有
两种:一是利用等比数列的定义,即证明 (q≠0,n∈N*),二是利用等比中项法,即证明 =anan+2≠0 (n∈N*).在解题中,要注意根据欲证明
的问题,对给出的条件式进行合理地变形整理,构 造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论 .
探究提高
3
21
n
n
b
b
32
qa
a
n
n 1
21na
知能迁移 2 ( 2009· 全国Ⅱ理, 19 )设数列{an} 的 前 n 项 和 为 Sn, 已 知
a1=1 , Sn+1=4an+2.
( 1 )设 bn=an+1-2an ,证明数列 {bn} 是等比数
列; ( 2 )求数列 {an} 的通项公式 .
( 1 ) 证 明 由 已 知 有 a1+a2=4a1+2, 解 得
a2=3a1+2=5, 故 b1=a2-2a1=3.
又 an+2=Sn+2-Sn+1
=4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an,
于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ,即 bn+1=2bn.
因此数列 {bn} 是首项为 3, 公比为 2 的等比数列 .
(2) 解 由( 1 )知等比数列 {bn} 中 b1=3, 公比 q=2,
所以 an+1-2an=3×2n-1, 于是
因此数列 是首项为 , 公差为 的等差数列 ,
所以 an=(3n-1)·2n-2.
,4
3
22 11
nn
nn aa
nna
2 21
43
,4
1
4
3
4
3)1(
2
1
2 nn
ann
题型三 等比数列的性质及应用
【例 3 】在等比数列 {an} 中, a1+a2+a3+a4+a5=8 且
=2, 求 a3.
( 1)由已知条件可得 a1 与公比 q的方程组,
解出 a1 、 q,再利用通项公式即可得 a3.
( 2)也可利用性质 =a1·a5=a2·a4 直接求得 a3.
解 方法一 设公比为 q, 显然 q≠1,
∵{an} 是等比数列,∴ 也是等比数列,公比
为 .
思维启迪
1
1a
5432
1111aaaa
23a
na1
q1
∴ = ( a1q2 ) 2=4 ,∴ a3=±2.
方法二 由已知得
∴ =4.∴a3=±2.
由已知条件得
21
1
)1
1(1
81
)1(
51
51
q
qa
q
qa
,4421 qa解得
23a
23a
.28
11111
23
23
54321
23
3
42
42
51
51
54321
aa
aaaaa
a
aaaaa
aaaa
aaaaa
探究提高 在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若 m+n=p+q, 则 am·an=ap·aq” ,可以减少运算量,提高
解题速度 .知能迁移 3 ( 1 )已知等比数列 {an} 中,有 a3a11=
4a7 ,数列 {bn} 是等差数列,且 b7=a7, 求 b5+b9 的
值 ;( 2 )在等比数列 {an} 中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16
= 8, 求 a41a42a43a44.解 ( 1 )∵ a3a11= =4a7 ,
∵a7≠0 ,∴ a7=4 ,∴ b7=4 ,
∵{bn} 为等差数列,∴ b5+b9=2b7=8.
27a
( 2 ) 方 法 一 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3=
q6=1.①
a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
= ·q54=8. ②
②÷① : =q48=8q16=2 ,又 a41a42a43a44=a1q40a1q41·a1q42·a1q43
= ·q166= ·q6·q160=( ·q6)·(q16)10
=1·210=1 024.
41a
41a
641
5441
qa
qa
41a
41a
41a
方法二 由性质可知,依次 4 项的积为等比数列,设公比为 p ,设 T1=a1·a2·a3·a4=1 ,
T4=a13·a14·a15·a16=8 ,
∴T4=T1·p3=1·p3=8 ,∴ p=2.
∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1 024.
题型四 等差、等比数列的综合应用【例 4 】 ( 12 分)已知等差数列 {an} 的首项 a1=1,
公差 d > 0 ,且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 {bn} 的第 2 项、第 3 项、第 4 项 .
( 1 )求数列 {an} 与 {bn} 的通项公式;
( 2 )设数列 {cn} 对 n∈N* 均有 =an+1 成立,
求 c1+c2+c3+…+c2 010.
( 1)可用基本量法求解;( 2)作差 an+1-an
=
n
n
bc
bc
bc
2
2
1
1
思维启迪
.n
n
bc
解 ( 1 )由已知有 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∴ ( 1+4d ) 2=(1+d)(1+13d).解得 d=2(∵d> 0). 2 分∴an=1+(n-1)·2=2n-1. 3 分
又 b2=a2=3,b3=a5=9,
∴ 数列 {bn} 的公比为 3,
∴bn=3·3n-2=3n-1. 5 分
( 2 )由 得
当 n≥2 时 ,
两式相减得 :n≥2 时 , =an+1-an=2. 8 分
.1
1
2
2
1
1n
n
n abc
bc
bc
12
2
1
1 n
n
n abc
bc
bc
n
n
b
c
∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2).
又当 n=1 时, =a2,∴c1=3.
3 (n=1) 2·3n-1 (n≥2). 10 分∴c1+c2+c3+…+c2 010
=3+ =3+(-3+32 010)=32 010. 12 分
在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n项和公式 .本题第( 1)问就是用基本
量公差、公比求解;第( 2)问在作差 an+1-an 时要注意
n≥2.
探究提高
1
1
bc
∴cn=
31326 0102
知能迁移 4 已知数列 {an} 中, a1=1,a2=2, 且
an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2,q≠0).
( 1 )设 bn=an+1-an (n∈N*), 证明: {bn} 是等比数
列; ( 2 )求数列 {an} 的通项公式;
( 3 )若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证
明:对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项 .
( 1 )证明 由题设 an+1= ( 1+q ) an-qan-1 ( n≥2 ),
得 an+1-an=q(an-an-1), 即 bn=qbn-1,n≥2.
由 b1=a2-a1=1,q≠0, 所以 {bn} 是首项为 1 ,公比为 q
的等比数列 .
( 2 )解 由( 1 ),a2-a1=1,a3-a2=q,…
an-an-1=qn-2 (n≥2).
将以上各式相加,得 an-a1=1+q+…+qn-2 (n≥2) ,
即 an=a1+1+q+…+qn-2 (n≥2).
所以当 n≥2 时,
( 3 )解 由( 2 ),当 q=1 时,显然 a3 不是 a6 与a9 的
等差中项,故 q≠1.由 a3-a6=a9-a3 可得 q5-q2=q2-q8, 由 q≠0 得q3-1=1-q6,
上式对 n=1 显然成立 .
.1,
,1,1
11
1
qn
qa
n
n
①
整 理 得 ( q3 ) 2+q3-2=0, 解 得 q3=-2 或 q3=1
(舍去) .
于是 q= .
另一方面,
an-an+3=
an+6-an=
由①可得 an-an+3=an+6-an,
即 2an=an+3+an+6,n∈N*.
所以对任意的 n∈N*,an 是 an+3 与 an+6 的等差中项 .
3 2
),1(11
3112
q
q
qq nnn
).1(11
6151
q
q
qq nnn
方法与技巧1. 等比数列的判定方法有以下几种:
(1) 定义: =q (q 是不为零的常数, n∈N*)
{an} 是等比数列 .
(2) 通项公式: an=cqn (c 、 q 均是不为零的常数 ,
n∈N*){an} 是等比数列 .
(3) 中项公式 : =an·an+2(an·an+1·an+2≠0,
n∈N*) {an} 是等比数列 .
n
n
aa 1
21na
思想方法 感悟提高
2. 方程观点以及基本量(首项和公比 a1,q )思想仍
然是求解等比数列问题的基本方法:在 a1,q,n,an,Sn
五个量中,知三求二 .
3. 分类讨论的思想:当 a1 > 0,q > 1 或 a1 < 0,0
< q
< 1 时, {an} 为递增数列;当 a1 < 0,q > 1 或 a1
> 0,
0 < q < 1 时, {an} 为递减数列;当 q < 0 时,
{an}
为摆动数列;当 q=1 时, {an} 为常数列 .
失误与防范1. 特别注意 q=1 时, Sn=na1 这一特殊情况 .
2. 由 an+1=qan,q≠0, 并不能立即断言 {an} 为等比数
列,还要验证 a1≠0.
3.Sn+m=Sn+qnSm.
一、选择题1. ( 2009· 广东理, 4 )已知等比数列 {an} 满足 a
n > 0,n=1,2,…, 且 a5·a2n-5=22n(n≥3) ,则当 n≥
1 时 , log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= (
) A.n(2n-1) B.(n+1)2
C.n2 D.(n-1)2
解析 由题意知 an=2n,log2a2n-1=2n-1,
log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2.
C
定时检测
2. ( 2009· 辽宁理, 6 )设等比数列 {an} 的前 n
项和为 Sn, 若 =3, 则 =
( )
A.2 B. C. D.3
解析 由题意知
∴q3=2.
B3
6
SS
6
9
SS
37
38
,311
1
1)1(
1)1(
33
6
31
61
3
6
q
qqaqqa
SS
.3
7
41
81
)(1
)(1
1
1
1
)1(1
)1(
23
33
6
9
61
91
6
9
q
q
q
q
q
qaq
qa
S
S
3. 等比数列 {an} 中,其公比 q< 0 ,且 a2=1-a1,a4=
4-a3, 则 a4+a5 等于 (
) A.8 B.-8 C.16 D.-16 解析 ∵ a1+a2=1 , a3+a4=4= ( a1+a2 ) q2 ,
又 q< 0 ,∴ q=-2. ∴a4+a5= ( a3+a4 ) q=4× ( -2 ) =-8.
B
4. 在数列 {an} 中, an+1=can (c 为非零常数 ) ,且
前 n 项和为 Sn=3n+k ,则实数 k 的值为 (
) A.0 B.1 C.-1 D.2
解析 {an} 为等比数列的充要条件是 Sn=
由 Sn=3n+k 知 k=-1.
C
),1(11 nqqa
5. 等比数列 {an} 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且
满足条件 a1 > 1,a99a100-1 > 0 , < 0. 给出下列结
论:① 0< q< 1 ;② a99·a101-1 < 0 ;③ T100 的值
是 Tn 中最大的;④使 Tn> 1 成立的最大自然数 n 等于
198. 其中正确的结论是 ( )A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④
1
1
100
99
a
a
解析 ①中,
∴① 正确 . a99a101=a100
2
0 < a100 < 1
T100=T99·a100
0 < a100 < 1
10
1
1
1
0)1)(1(
100
99
1
10099
10099
a
a
a
aa
aa
),1,0(99
100 a
aq
② 中, a99·a101 < 1,∴② 正确 .
T100 < T99,∴③错误 .③中,
④ 中 , T198=a1a2…a198=(a1·a198) … (a2·a197)
…
(a99·a100)=(a99·a100)99 > 1,
T199=a1a2…a198·a199= ( a1a199 )… (a99·a101)
·a100=a100199 < 1,∴④ 正确 .
答案 A
6. 在正项等比数列 {an} 中, an+1 < an , a2·a8=6 ,
a4+a6=5, 则 等于 ( )
A. B. C. D.
解析 设公比为 q, 则由 an+1 < an 知 0 < q < 1,
由 a2·a8=6 ,得 =6.
∴a5= , a4+a6=
解得 q=
D7
5
aa
65
56
32
23
25a
6 .566 qq
.23
)26
(1
,62 2
27
5 qa
a
二、填空题
7. ( 2009· 浙江, 11 )设等比数列 {an} 的公比
q=
前 n 项和为 Sn ,则 = .
解析 ∵ S4= a4=a1q3,
15
,21
4
4
aS
,1
)1( 41
qqa
.15
21
2
12
11
)1(
1
)1(
)1(
3
4
3
4
31
41
4
4
q
qqa
qaaS
8. ( 2009·海南文, 15 )等比数列 {an} 的公比 q >
0.
已知 a2=1 , an+2+an+1=6an ,则 {an} 的前 4 项和 S4= .
解析 ∵ {an} 是等比数列,∴ an+2+an+1=6an 可化
为 a1qn+1+a1qn=6a1qn-1,∴q2+q-6=0
∵q> 0,∴q=2,∴S4=
215
21
)21(21
1)1(
44
1
qqa
215
9. ( 2009· 江苏, 14 )设 {an} 是公比为 q 的等比
数列, |q| > 1, 令 bn=an+1(n=1,2,…) ,若数列 {bn} 有
连续 四项在集合 {-53,-23 , 19 , 37 , 82} 中,则
6q=
.
解析 由题意知,数列 {bn} 有连续四项在集合 {-53,
-23,19,37,82} 中,说明 {an} 有连续四项在集合
{-54,
-24,18,36,81} 中,由于 {an} 中连续四项至少有一
项 为负,∴ q < 0,
又 ∵ |q| > 1,∴{an} 的连续四 项 为 一 24,36,-
54,81.
∴q= ∴6q=-9.
-9
,23
2436
三、解答题10. 等比数列 {an} 满足 :a1+a6=11, a3·a4= ,
且公 比 q∈(0,1).
( 1 )求数列 {an} 的通项公式;
( 2 )若该数列前 n 项和 Sn=21 ,求 n 的值 .
解 ( 1 )∵ a3·a4=a1·a6= ,
由条件知 a1,a6 是方程 x2-11x+ =0 的两根,
解得 x= 或 x=
932
932
932
31
.332
又 0 < q < 1,∴a1= ,a6= .
∴q5= 即 q=
∴an=a6·qn-6= ·( )n-6.
( 2 )令 =21 ,得 ,∴n=6.
31
332
,321
1
6 aa
,21
31
21
21
1
])21(1[
332
n
641
)21( n
11. 数列 {an} 中, a1=2,a2=3, 且 {anan+1} 是以
3 为公比的等比数列,记 bn=a2n-1+a2n (n∈N*).
( 1 )求 a3,a4,a5,a6 的值;
( 2 )求证: {bn} 是等比数列 .
( 1 )解 ∵ {anan+1} 是公比为 3 的等比数列,
∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n ,
∴a3= =6 , a4= =9 ,
a5= =18 , a6= =27.
2
232a
3
332a
5
532a
4
432a
( 2 )证明 ∵ {anan+1} 是公比为 3 的等比数列,
∴anan+1=3an-1an ,即 an+1=3an-1 ,
∴a1 , a3 , a5,… , a2n-1 , … 与 a2,a4,a6 ,
…, a2n ,…
都是公比为 3 的等比数列 .
∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1 , ∴ bn=a2n-
1+a2n=5·3n-1.
故 {bn} 是以 5 为首项, 3 为公比的等比数列 .
,335
351
1
n
n
n
n
bb
12. 设函数 f(x) 满足 f(0)=1, 且对任意 x,y∈R ,都有 f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2.
( 1 )求 f(x) 的解析式;( 2 )若数列 {an} 满足 :an+1=3f(an)-1 (n∈N*),
且 a1=
1, 求数列 {an} 的通项公式;
( 3 )求数列 {an} 的前 n 项和 Sn.
解 ( 1 )∵ f ( 0 ) =1 ,令 x=y=0,
得 f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2.
再令 y=0 得 f(1)=2=f(x)f(0)-f(0)-x+2,
∴f ( x ) =x+1,x∈R.
( 2 )∵ f ( x ) =x+1,
∴an+1=3f(an)-1=3an+2.
∴an+1+1=3(an+1).
又 a1+1=2,∴ 数列 {an+1} 是公比为 3 的等比数
列 .
∴an+1=2×3n-1 ,即 an=2×3n-1-1.
( 3 ) Sn=a1+a2+…+an
=2× ( 30+31+32+…+3n-1 ) -n
=3n-n-1. 返回