МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультет

Курс лекций поматематическому анализу

Лектор — Сергей Александрович Теляковский

II курс, 4 семестр, поток математиков

Москва, 2004 г.

Оглавление

1. Кратные интегралы 41.1. Мера Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Элементарные фигуры и измеримость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Свойства измеримых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Определение кратного интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Свойства кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4. Кратные и повторные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.5. Геометрический смысл якобиана отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6. Замена переменных в кратном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Несобственные кратные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Исчерпывающие последовательности множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Признаки сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Криволинейные и поверхностные интегралы 142.1. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Криволинейный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.3. Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4. Площади поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.5. Поверхностный интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.6. Ориентированные поверхности. Поверхностный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . 202.2.7. Формула Гаусса – Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.8. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Начальные сведения о дифференциальных формах 233.1. Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1. Гладкие многомерные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Определение дифференциальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3. Замена переменных в дифференциальной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Интеграл от дифференциальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2. Общая формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Кратные ряды 284.1. Виды сходимости двойных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1. Понятие двойного ряда. Методы суммирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.2. Повторные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2. Двойные степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.1. Понятие двойного степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2. Абсолютная сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

Введение

Предисловие

Еще одно, последнее сказанье,

И летопись окончена моя.

Исполнен долг, завещанный от Бога,

Мне, TEXману... Недаром многих лекций

Свидетелем Господь меня поставил,

TEXнарскому искусству вразумил...

...Когда-нибудь студент трудолюбивый

Зайдёт на сайт, чтоб выкачать матан,

Найдёт postscript огромный безымянный,

Часа за два скачает этот хлам,

Затем бумаги изведёт немало,

Чтобы матан предстал его очам,

И будет ботать... Мне ж теперь

Пора бы отдохнуть — немного задолбало...

Настоящее издание представляет собой полный вариант лекций С. А. Теляковского по математическому ана-лизу, читаемых в IV семестре. Материал слегка переработан автором данного документа Вельтищевым Миха-илом, и, стоит надеяться, что это пошло на пользу. Нельзя не отметить активное участие некоторых людей вобнаружении и исправлении ошибок, однако здесь всегда может оставаться некоторое количество опечаток инеточностей. Убедительная просьба ко всем читателям: в случае обнаружения ошибок немедленно сообщайтеавтору на dmvn@mccme.ru или загляните на http://dmvn.mexmat.net и посмотрите, где можно достать в настоя-щее время самого автора. Все пожелания и предложения по поводу оформления и содержания документа будутобязательно приняты к сведению. Последнее обновление: 8 февраля 2006 года.

Слова благодарности

Автор благодарит лектора за прочитанный курс лекций. Кроме того, нельзя не сказать спасибо тому, ктопопросил набрать эти лекции. Здесь было бы больше ошибок, если бы не было людей, которые эти ошиб-ки замечают. За обнаружение опечаток и ценные замечания хочется поблагодарить М. Берштейна, Г. Бровко,А. Воронцова, С. Захарова, М. Левина, П. Наливайко, В. Осокина, Я. Смирнова, А. Соколовскую, Д. Филимонова,а особенно И. Вегнера и Д. Котенко.

Принятые в тексте соглашения и используемые сокращения

1 Класс ограниченных функций обозначается так: f ∈ B(A) — функция f ограничена на A. Обозначениепроисходит от слова bounded. Точно так же будут иногда обозначаться ограниченные множества: A ∈ B,причём подразумеваются ограниченные подмножества в Em.

2 Интегрируемые в несобственном смысле на D функции обозначаются R(D).

3 Следуя [3], топологические понятия обозначаются сокращениями соответствующих английских слов. Так,IntA — множество внутренних точек множества A, ClA — замыкание множества A.

4 Класс измеримых по Жордану множеств обозначается через J .

5 Множество натуральных чисел N = 1, 2, 3, . . ., а N0 = 0 ∪ N.

6 Характеристическая функция (индикатор) множества A обозначается χA.

7 Используются аббревиатуры «ФНЛ»=«Формула Ньютона – Лейбница», «ФГО»=«Формула Гаусса – Остро-градского», «ФКПЛ»=«Формула конечных приращений Лагранжа».

8 При изложении материала из линейной алгебры мы будем неявно ссылаться на [4].

Литература

[1] М. Н. Вельтищев. Конспекты лекций С.А.Теляковского по математическому анализу. 2004.

[2] В. А. Зорич. Математический анализ. М.: МЦНМО, 2002.

[3] В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977.

[4] Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.

3

4 1.1.1. Элементарные фигуры и измеримость

1. Кратные интегралы

1.1. Мера Жордана

1.1.1. Элементарные фигуры и измеримость

Будем считать, что действия разворачиваются в конечномерном евклидовом пространстве Em. Мы изберёмтерминологию, связанную с площадями, а не с объёмами, поскольку часто будем проводить рассуждения напримере m = 2, не ограничивая, тем не менее, общности. Это связано хотя бы с тем, что в случае m = 2 удобнорисовать картинки. Точки пространства E будем обозначать так: x = (x1, . . . , xm) ∈ Em.

Определение. Пусть A = (a1, . . . , am), B = (b1, . . . , bm) и ai 6 bi. Тогда m-мерным прямоугольником будемназывать множество точек, которое в некоторой ортогональной системе координат может быть записано в виде

σ = x : xi ∈ [ai, bi]. Площадью σ назовём выражение |σ| :=m∏i=1

(bi − ai).

Определение. Пусть A,B ⊂ Em. Если IntA ∩ IntB = ∅, то A ∪B будем записывать в виде A⊕B.

Определение. Пусть σ1, . . . , σn — прямоугольники, а Ω = σ1 ⊕ . . .⊕ σn. Тогда Ω называется элементарнойфигурой, и положим |Ω| := |σ1|+ . . .+ |σn|. Ясно, что необходима проверка корректности определения, посколькуодну и ту же фигуру Ω можно разбить на прямоугольники несколькими способами. Геометрически этот факточевиден, а строгое доказательство неинтересно и потому здесь не приводится.

Определение. Простейшей элементарной фигурой называется элементарная фигура, у которой каждаяиз сторон всех образующих её прямоугольников параллельна системе координат, т. е. найдется такая плоскостьeiOej , которой эта сторона параллельна. Такие фигуры будем обозначать σK .

Приведём без доказательства свойства элементарных фигур и их площадей.

• Если σ1 ⊂ σ2, то |σ1| 6 |σ2|.• Значение площади инвариантно относительно движений в Em.

• Полуаддитивность и аддитивность: |σ′K ∪ σ′′

K | 6 |σ′K |+ |σ′′

K |, причём равенство достигается тогда и толькотогда, когда Intσ′

K ∩ Intσ′′K = ∅.

• |σK r σ′K | > |σK | − |σ′

K |, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда Intσ′K ⊂ IntσK .

• Если простейшую элементарную фигуру σK распилить параллельно системе координат, то получатся двепростейшие элементарные фигуры σ′

K и σ′′K , причём σK = σ′

K ⊕ σ′′K .

• Можно слегка раздвинуть или сузить стенки простейшей элементарной фигуры σK параллельно системекоординат и получить фигуру σ′

K так, что площадь изменится на сколь угодно малую величину. Важно,что при раздвигании стенок имеем σK ⊂ Intσ′

K , а при сужении σ′K ⊂ IntσK .

Определение. Зафиксируем прямоугольную систему координат и рассмотрим в Em сетку с шагом h. Будемсчитать, что h = 1

2N , где N ∈ N. Пусть A — ограниченное подмножество в Em. Пусть ωN (A) — объединениевсех квадратиков сетки, которые содержат точки из A, а ωN (A) — объединение тех квадратиков сетки, которыецеликом заняты точками множества A. Когда ясно, о каком множестве идёт речь, не будем это указывать.Очевидно, ωN ⊂ ωN , и, кроме того, ω1 ⊃ ω2 ⊃ . . . и ω1 ⊂ ω2 ⊂ . . . . Отсюда следует, что существуют пределыµ∗ := lim

i|ωi| и µ∗ := lim

i|ωi|, причём µ∗ > µ∗. Эти два предела называются соответственно верхней и нижней

мерами Жордана ограниченного множества A. Если µ∗ = µ∗, то их общее значение называется мерой Жорданамножества A, обозначается µ(A), и говорят, что A измеримо по Жордану. Необходима проверка корректностиопределения, состоящая в проверке его независимости от системы координат. Это будет сделано позже.

Замечание. В дальнейшем мы будем просто говорить «измеримо» вместо «измеримо по Жордану», по-скольку никаких других мер, кроме жордановой, мы рассматривать не будем.

Рассмотрим два поучительных примера неизмеримых по Жордану множеств.

Пример 1.1. Множество A := [0, 1] r Q неизмеримо, ибо его верхняя мера равна 1, а нижняя — нулю. Дей-ствительно, какую бы мелкую сетку мы не взяли, в любом квадратике на отрезке найдутся точки из множестваA и точки не из множества A. Поэтому в качестве ωN придётся всегда брать весь отрезок, а в качестве ωN —пустое множество.

Пример 1.2. Пусть rk — нумерация всех рациональных чисел отрезка [0, 1]. Пусть∑αk = 1

2 , причём αk >> 0. Рассмотрим A :=

⋃Uk, где Uk — интервал длиной αk с центром в rk. Ясно, что A открыто, но не является

измеримым, поскольку µ∗ = 1, а µ∗ 6 12 . Действительно, при подсчёте верхней меры мы должны включить в

ωN все квадратики, поскольку в каждом квадратике есть рациональные точки. С другой стороны, µ∗ не можетпревосходить суммы длин окрестностей Uk.

Теорема 1.1. Каждая элементарная фигура измерима, и её мера равна её площади.

4

5 1.1.2. Свойства измеримых множеств

Без ограничения общности можно считать, что A есть некоторый прямоугольник, не обязательно парал-лельный системе координат. Пусть задана сетка с шагом h. Раздуем немного множество A, получим множествоA′, затем сузим немного множество A, получим множество A′′. При этом раздутие и сжатие надо производитьтак, чтобы толщина «рамки» B := A′ rA′′ была не меньше Ch, где C — константа, зависящая только от размер-ности m. Нам это нужно для того, чтобы квадратик сетки помещался внутри рамки целиком. При подходящемвыборе C имеем M := ωN r ωN ⊂ B, откуда |M | 6 |B|. Отсюда следует измеримость множества A, посколь-ку |B| можно сделать сколь угодно малым при достаточно большом измельчении сетки. Отсюда следует, чтоµ(A) = |A|, поскольку множество A можно сколь угодно точно «зажать» между ωN и ωN .

Теорема 1.2 (Эквивалентные определения мер).

µ∗(A) = infN

|ωN (A)| = infσK⊃A

|σK | = infσ⊃A

|σ|,

µ∗(A) = supN

|ωN (A)| = supσK⊂A

|σK | = supσ⊂A

|σ|.

Докажем утверждение про верхнюю меру, а про нижнюю доказательство аналогично. В силу свойств ωпервое равенство в цепочке очевидно, кроме того, очевидно, что inf

N|ωN | > inf

σK⊃A|σK | > inf

σ⊃A|σ|, поскольку при

расширении базы inf его значение может только уменьшиться.Рассмотрим σ ⊃ A, тогда µ(σ) = inf

N|ωN (σ)|, поэтому ∀ ε > 0 имеем µ(σ) + ε > |ωN (σ)|. В этом неравенстве

меру можно заменить на верхнюю меру (они равны), а ωN (σ) на ωN (A), поскольку от такой замены неравенствотолько усилится. Отсюда µ∗(σ) + ε > |ωN (A)| > µ∗(A), поэтому |σ| + ε > µ∗(A), значит, по крайней мере, |σ| >

> µ∗(A). Значит, infσ⊃A

|σ| не может быть меньше µ∗(A). Но выше мы доказали, что он не может быть и больше,

поэтому они равны. Следовательно, зажатое между ними число infσK⊃A

|σK | также с ними совпадает.

Замечание. Теперь можно считать, что произведена проверка корректности определения меры, посколькудоказано, что верхняя и нижняя меры не зависят от системы координат.

1.1.2. Свойства измеримых множеств

Теорема 1.3 (Критерий измеримости). A ∈ J ⇔ ∀ ε > 0 ∃σ′K , σ

′′K : σ′

K ⊂ A ⊂ σ′′K и µ(σ′′

K) − µ(σ′K) < ε.

Пусть A ∈ J . Тогда µ(A) = µ∗(A) = µ∗(A). В силу эквивалентного определения мер и свойств точнойверхней и точной нижней граней имеем ∀ ε > 0 ∃σ′′

K ⊃ A : µ(A) + ε > µ(σ′′K) и ∃σ′

K ⊂ A : µ(A) − ε < µ(σ′K).

Отсюда следует, что µ(σ′K) и µ(σ′′

K) лежат в интервале(µ(A) − ε, µ(A) + ε

), поэтому µ(σ′′

K) − µ(σ′K) < 2ε, что и

требуется.Обратно, пусть выполнено второе условие теоремы. В силу эквивалентного определения мер имеем µ∗(A) 6

6 µ∗(σ′′K) = µ(σ′′

K), а µ∗(A) > µ∗(σ′K) = µ(σ′

K). Но мы знаем, что µ∗(A) > µ∗(A), поэтому µ∗(A) − µ∗(A) 6 ε,значит, они совпадают.

Следствие 1.1. A ∈ J ⇔ ∀ ε > 0 найдутся замкнутое множество F ∈ J и открытое U ∈ J , для которыхF ⊂ A ⊂ U и µ(U) − µ(F ) < ε.

Возьмём множества σ′K и σ′′

K из предыдущей теоремы. Объемлющее множество σ′′K слегка раздуем

и уберём его границу, получим открытое множество U . Мы уже замечали, что при правильном раздуваниисохранится свойство A ⊂ U . Далее, получим множество F сужением σ′

K и добавлением его границы, тогда Fбудет замкнуто. Но поскольку мы при этом изменили площадь не сильно, рассуждения предыдущей теоремыостаются в силе.

Теорема 1.4 (Критерий измеримости в терминах границы). Пусть A ∈ B. Тогда A ∈ J ⇔ µ(∂A) = 0.

Пусть A измеримо. По предыдущей теореме ∀ ε > 0 ∃σ′K ⊂ A ⊂ σ′′

K , причём σ′K замкнуто, σ′′

K открыто,а µ(σ′′

K)−µ(σ′K) < ε. Ясно, что ∂A ⊂ σ′′

K rσ′K , поэтому µ∗(∂A) 6 µ(σ′′

K rσ′K) =

поскольку мера элементарных

фигур совпадает с их площадью

= µ(σ′′K)−µ(σ′

K) < ε. Поскольку ε можно взять сколь угодно малым, получаемµ∗(∂A) = 0, откуда µ(∂A) = 0.

Обратно, если µ(∂A) = 0, то ∀ ε > 0 ∃σK ⊃ ∂A : µ(σK) < ε. Тогда рассмотрим σ′′K := A ∪ σK и σ′

K := Ar σK .Ясно, что это действительно будут простейшие элементарные фигуры, поскольку добавляя или выкидывая σK ,мы полностью меняем границу множества A, делая её «хорошей». Далее, имеем µ(σ′′

K) − µ(σ′K) < ε, и осталось

сослаться на критерий измеримости.

Лемма 1.5. Пусть µ(A) = 0, µ(B) = 0. Тогда µ(A ∪B) = 0.

Пусть ε > 0. Рассмотрим σAK ⊃ A : µ(σAK) < ε и σBK ⊃ B : µ(σBK) < ε. Тогда A ∪ B ⊂ σAK ∪ σBK , откудаµ∗(A ∪B) 6 ε+ ε = 2ε.

Теорема 1.6. Пусть A,B ∈ J . Тогда A ∪B, A ∩B и ArB измеримы.

5

6 1.2.1. Определение кратного интеграла Римана

Несложно видеть, что ∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B. Поскольку µ(∂A ∪ ∂B) = 0, имеем µ(∂(A ∪ B)

)= 0, и

осталось сослаться на критерий измеримости в терминах границы. Для пересечения и разности рассужденияаналогичны, поскольку ∂(A ∩B) ⊂ ∂A ∪ ∂B и ∂(ArB) ⊂ ∂A ∪ ∂B.

Теорема 1.7. Пусть A,B ∈ J . Тогда µ(A ∪ B) 6 µ(A) + µ(B), а если IntA ∩ IntB = ∅, то неравенствообращается в равенство.

Пусть ε > 0, тогда ∃σAK ⊃ A, σBK ⊃ B, для которых µ(σAK) < µ(A) + ε и µ(σBK) < µ(B) + ε. ПосколькуA ∪ B ⊂ σAK ∪ σBK , получаем µ(A ∪ B) 6 µ(σAK ∪ σBK) 6 µ(σAK) + µ(σBK) < µ(A) + µ(B) + 2ε, поэтому µ(A ∪ B) 6

6 µ(A) + µ(B).Пусть имеет место A⊕B. Тогда ∀ ε > 0 ∃σAK ⊂ A, σBK ⊂ B, для которых µ(σAK) > µ(A)−ε и µ(σBK) > µ(B)−ε.

Поскольку для σAK и σBK тем более выполнено σAK ⊕ σBK , имеем µ(A∪B) > µ(σAK ∪σBK) = µ(σAK)+µ(σBK) > µ(A)++ µ(B) − 2ε. Итак, µ(A ∪B) > µ(A) + µ(B), значит, верно и обратное неравенство.

Следствие 1.2 (Аддитивность меры). Если Ai ∈ J и A = A1 ⊕ . . .⊕An, то µ(A) = µ(A1) + . . .+ µ(An).

Замечание. Сказанное выше, а также пример неизмеримого счётного множества A := Q ∩ [0, 1] показыва-ет, что класс J является алгеброй, но не σ-алгеброй. Можно доказать, что мера Жордана является счётно-аддитивной на алгебре элементарных фигур, но мы не будем этого делать.

Приведём некоторые примеры измеримых множеств.1. Пусть f ∈ R[a, b] и f > 0. Тогда её подграфик, т. е. множество

(x, y) | x ∈ [a, b], y ∈

[0, f(x)

]измеримо

по Жордану. Это следует из геометрической интерпретации верхних и нижних сумм Дарбу.2. Из 1 следует измеримость фигуры с границей, представимой в виде графиков непрерывных функций.3. Пусть Γ :=

r(t) | t ∈ [a, b]

— непрерывная плоская спрямляемая кривая длины S. Покажем, что µ(Γ) =

= 0. Разделим кривую на n равных по длине частей, тогда длина каждого куска будет Sn. Накроем каждый

кусок кругом радиуса Sn, тогда µ∗(Γ) 6 n · π

(Sn

)2= πS2

n→ 0 при n→ ∞.

Определение. Пусть множество A ⊂ Em не является ограниченным. Рассмотрим концентрическую системурасширяющихся квадратов σ1, σ2, σ3, . . . со сторонами 1, 2, 3, . . . . Если существует предел lim

n→∞µ(σn ∩ A), то

значение этого предела называют мерой множества A и обозначают µ(A). Из определения ясно, что каждое измножеств σn ∩A должно быть измеримым.

Замечание. Можно доказать, что это определение не зависит от системы координат. Однако в дальнейшемнам не потребуется измерять неограниченные множества.

1.2. Кратные интегралы

1.2.1. Определение кратного интеграла Римана

Определение. Пусть A ∈ J . Назовём набор A1, . . . , An разбиением A, если A = A1 ⊕ . . . ⊕ An и Ai ∈ J .Разбиения обычно будем обозначать буквой T . Из определения следует, что µ(A) = µ(A1) + . . .+ µ(An). Будеминогда обозначать количество элементов разбиения T символом |T |.

Определение. Диаметром непустого множества A назовём число λ(A) := supx,y∈A

ρ(x, y). Диаметром разби-

ения T назовём число λT := max λ(A1), . . . , λ(An).Определение. Пусть T : A = A1 ⊕ . . . ⊕ An — разбиение A ∈ J . Пусть f : A → K, где K — поле R или

C. Пусть P := pk | pk ∈ Ak. Составим интегральную сумму Римана ST (f, P ) :=n∑k=1

f(pk)µ(Ak). Функция f

называется интегрируемой по измеримому множеству A, если ∃ I ∈ K : ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀T (A) : λT < δ, ∀Pимеем |ST (f, P ) − I| < ε. Тогда I называется интегралом функции f по множеству A и обозначается

∫A

f dx.

При этом пишут, что f ∈ R(A).

Очевидно, если f ≡ L, то∫A

f dx = Lµ(A).

Замечание. Мы знаем, что для функций одной переменной из интегрируемости следует ограниченность.Новый интеграл уже не обладает таким свойством: любая функция интегрируема по множеству меры нуль.

Определение. Обозначим через B(x, h) открытый шар радиуса h с центром в точке x ∈ Em. Положим

A(h) := A ∩( ⋃x∈IntA

B(x, h)

)и назовём A(h) подстриженным под h множеством A. Поясним, откуда берётся

такое название. Ясно, что IntA ⊂ A(h), кроме того, мы оставляем в A(h) только те точки из ∂A, для которыхсуществуют точки из IntA ближе, чем на расстоянии h.

Замечание. Если IntA = ∅, т. е. A = ∂A, то A(h) = ∅.

Теорема 1.8. Пусть µ(A) > 0 и f ∈ R(A), тогда ∃h > 0: f ∈ B(A(h)

).

6

7 1.2.2. Суммы Дарбу

В силу интегрируемости, ∃ δ > 0: ∀T (A) : λT < δ, ∀P имеем |I − ST (P )| < 1. Рассмотрим h := Cδи сетку с шагом h. Здесь C зависит только от m и таково, что диаметр элемента сетки не превосходит δ

3 .Такие тонкости нужны нам для того, чтобы диаметр элемента сетки, взятого вместе со своими соседями, непревосходил δ. Под соседями элемента мы подразумеваем те и только те элементы разбиения, которые могутиметь с данным элементом общие точки.

Рассмотрим произвольный элемент сетки σ, который содержит точки из IntA. Добавим к σ всех его со-седей, которые не содержат точек из IntA, затем пересечём всё это с множеством A, получим множество A1.Теперь пройдёмся по всем таким σ и построим множества A2, A3, . . . , An. Заметим, что Ai образуют разбиениенекоторого подмножества A, поскольку общих внутренних точек они не имеют. Положим A∗ := A1 ⊕ . . . ⊕ An.Легко видеть, что диаметр этого разбиения меньше δ. Кроме того, A(h) ⊂ A∗, поскольку все элементы сеткиσ, содержащие внутренние точки, были окружены слоем соседей толщиной h. Заметим, что ∀ k имеем µ(Ak) >> 0, ибо каждое Ak содержит точки из IntA. Повторяя слово в слово рассуждения, которые мы проводили дляинтегрирования на отрезке, получаем, что f ограничена на A∗, значит, она ограничена и на A(h).

Замечание. Теорема остаётся верной и в случае, когда A(h) пусто, однако утверждение «функция ограни-чена на пустом множестве» не очень содержательно, хотя и истинно.

Следствие 1.3. Пусть f ∈ R(A), причём A — прямоугольник. Тогда f ∈ B(A).

Теорема 1.9. Пусть f ∈ R(A), и ∃h > 0: g = f на A(h). Тогда g ∈ R(A) и∫A

g dx =∫A

f dx.

Рассмотрим разбиение T (A), для которого λT < Ch. Здесь C — некоторая константа, зависящая от m.Рассмотрим все Ak из T , для которых Ak ∩

(ArA(h)

)6= ∅, назовём их плохими. В силу условия на диаметр T ,

для плохих Ak имеем µ(Ak) = 0. Для всех остальных хороших Ak имеем Ak∩(ArA(h)

)= ∅, откуда Ak ⊂ A(h).

Разобьём интегральную сумму на две суммы: к первой отнесём все хорошие Ak, а ко второй — все плохие.Вторая сумма, очевидно, равна нулю, поскольку в ней все меры нулевые. В первой сумме можно f заменить наg, поэтому если ST (f, P ) стремится к

∫A

f dx, то и ST (g, P ) стремится к∫A

f dx, что и требовалось доказать.

1.2.2. Суммы Дарбу

В этом параграфе будем считать, что A ∈ J , а f : A→ R и f ∈ B(A).

Определение. Рассмотрим T : A = A1 ⊕ . . .⊕An. Положим

mk(f) := infx∈Ak

f(x), Mk(f) := supx∈Ak

f(x), ST (f) :=

n∑

k=1

Mkµ(Ak), ST (f) :=

n∑

k=1

mkµ(Ak).

Величины ST и ST назовём верхней и нижней суммами Дарбу для функции f по разбиению T .

Лемма 1.10. Для сумм Дарбу выполнено: ∀P имеем ST 6 ST (P ) 6 ST , ∀T ′, T ′′ имеем ST ′ 6 ST ′′ .

Первое свойство очевидно из определения. Ясно также, что при измельчении разбиения верхняя суммаДарбу может только уменьшиться, а нижняя сумма Дарбу — только увеличиться. Чтобы доказать второе,рассмотрим измельчение T := T ′ ∪ T ′′, которое состоит не более чем из |T ′| · |T ′′| элементов вида A′

i ∩A′′j . Ясно,

что ST 6 ST ′′ , а ST ′ 6 ST . Кроме того ST 6 ST . Объединяя эти неравенства, получаем ST ′ 6 ST 6 ST 6 ST ′′ .

Определение. Числа I∗(f) := infT

ST (f) и I∗(f) := supT

ST (f) называются соответственно верхним и нижним

интегралом Дарбу функции f .

Замечание. В случае, когда ясно, о какой функции идёт речь, мы будем опускать значки (f) у символовверхних и нижних сумм Дарбу, а также у интегралов Дарбу.

Теорема 1.11 (I-й критерий Дарбу). f ∈ R(A) ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀T (A) : λT < δ имеем ST − ST < ε.

Пусть функция интегрируема, обозначим через I её интеграл. Тогда ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀T (A) : λT < δ, ∀Pимеем I − ε < ST (P ) < I + ε. Переходя к sup и inf, получаем I − ε 6 ST 6 ST 6 I + ε. Отсюда ST − ST 6 2ε, чтои требовалось доказать.

Обратно, пусть выполнено условие ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀T (A) : λT < δ имеем ST − ST < ε. Из определенияверхнего интеграла и свойств сумм Дарбу вытекает, что ST 6 I∗ 6 ST . С другой стороны, ST 6 ST (P ) 6

6 ST , поэтому для таких разбиений имеем |ST (P ) − I∗| < ε. Но по определению интеграла это означает, что fинтегрируема, и I∗ является значением этого интеграла. Но вместо I∗ можно было бы подставить и I∗, тогдаполучается, что

∫A

f = I∗ = I∗. Таким образом, попутно доказано ещё и то, что если функция интегрируема, то

значения верхнего и нижнего интегралов совпадают и равны интегралу функции f .

Теорема 1.12 (II-й критерий Дарбу). f ∈ R(A) ⇔ ∀ ε > 0 ∃T (A) : ST − ST < ε.

7

8 1.2.3. Свойства кратных интегралов

В одну сторону теорема уже доказана. Обратно, пусть разбиение T ∗ : A = A∗1 ⊕ . . .⊕ A∗

n удовлетворяетусловию теоремы. Надо показать, что тогда для достаточно мелких разбиений всё будет хорошо. Проблемымогут возникнуть на стыке элементов разбиения T ∗, поэтому потребуется окружить стыки множеством малоймеры. По соглашению имеем |f | 6 B. Положим Γ :=

⋃k

∂A∗k. Поскольку µ(Γ) = 0, ∃σK ⊃ Γ: µ(σK) < ε. Теперь

раздуем стенки σK на такое малое δ, чтобы площадь его выросла не более, чем на ε. Теперь можно считать, чтоΓ ⊂ IntσK , а µ(σK) < 2ε. Число δ мы и возьмём в качестве ограничителя диаметров разбиений.

Рассмотрим произвольное T : A = A1⊕ . . .⊕AN , для которого λT < δ. Назовём элемент разбиения T плохим,если он зацепляет несколько элементов из T ∗, и хорошим в противном случае. Разделим разность сумм Дарбуна хорошую χ-сумму и плохую π-сумму:

ST − ST =

N∑

1

(Mk −mk)µ(Ak) =∑

χ

(Mk −mk)µ(Ak) +∑

π

(Mk −mk)µ(Ak).

Поскольку мы раздвинули σK , имеем⋃π

Ak ⊂ σK . Тогда∑π

(Mk −mk)µ(Ak) 6 2B∑π

µ(Ak) 6 2Bµ(σK) 6 4Bε.

Осталось оценить χ-сумму, вспомнив её определение:

∑

χ

(Mk −mk)µ(Ak) =∑

i

∑

Ak⊂A∗

i

(Mk −mk)µ(Ak) 6∑

i

∑

Ak⊂A∗

i

(M∗i −m∗

i )µ(Ak) =

=∑

i

(M∗i −m∗

i )∑

Ak⊂A∗

i

µ(Ak) 6∑

i

(M∗i −m∗

i )µ(A∗i ) < ε.

Итак, обе суммы оценены числом ε. Осталось применить первый критерий Дарбу.

Следствие 1.4. «Старый» интеграл по отрезку и «новый» интегралы совпадают:b∫a

f dx =∫

[a,b]

f dx.

Следствие 1.5 (Критерий интегрируемости в терминах интегралов Дарбу). f ∈ R(A) ⇔ I∗ = I∗.

В одну сторону это уже доказано. Обратно, пусть верхний и нижний интегралы совпадают, обозначимих общее значение через I. Тогда в силу их определений ∀ ε > 0 ∃T ′(A) : ST ′ > I − ε и ∃T ′′(A) : ST ′′ < I + ε.Рассмотрим измельчение T := T ′ ∪ T ′′, тогда ST − ST < 2ε, и осталось сослаться на второй критерий Дарбу.

Теорема 1.13. Пусть A замкнуто, и f ∈ C(A). Тогда f ∈ R(A).

Имеем A ∈ J , поэтому A ∈ B, значит, A компактно. Поэтому f равномерно непрерывна на A. Тогда∀ ε > 0 ∃ δ > 0: ∀x, y ∈ A : ρ(x, y) < δ имеем |f(x)−f(y)| < ε. Рассмотрим T (A) : λT < δ, тогда ST −ST =

∑(Mk−

−mk)µ(Ak) 6 ε∑µ(Ak) = εµ(A). Осталось сослаться на первый критерий Дарбу.

Теорема 1.14. Пусть A замкнуто, а B ⊂ A и µ(B) = 0. Пусть f ∈ B(A) и f ∈ C(ArB). Тогда f ∈ R(A).

Имеем ∀ ε > 0 ∃σK ⊃ B : µ(σK) < ε. Пусть |f | 6 K на A. Без ограничения общности можно считать,что σK открыто, тогда C := Ar σK замкнуто. По предыдущей теореме f ∈ R(C), откуда ∃T (C) : ST − ST < ε.Рассмотрим A0 := σK ∩ A, тогда A = A0 ⊕ T . Сделаем из разбиения T разбиение T0, добавив к нему элементA0. Тогда ST0 − ST0

=(ST − ST

)+ (M0 −m0)µ(A0) 6 ε+ 2Kε.

1.2.3. Свойства кратных интегралов

В этом разделе будем предполагать множества A,B,C измеримыми.

Теорема 1.15 (Аддитивность интеграла). Пусть A = B⊕C, а f ∈ B(A). Тогда f ∈ R(A) тогда и толькотогда, когда f ∈ R(B) и f ∈ R(C), и в случае интегрируемости имеет место равенство

∫A

f =∫B

f +∫C

f .

Пусть f ∈ R(A). Тогда ∀ ε > 0 ∃T (A) : ST (A) − ST (A) < ε. Рассмотрим разбиение T (B), индуцированное

на B разбиением T (A), для которого имеем B =n⊕1

(B ∩ Ai). Очевидно, что ST (B) − ST (B) 6 ST (A) − ST (A) < ε,

поэтому f ∈ R(B). Точно так же доказывается, что f ∈ R(C).Обратно, пусть f ∈ R(B) и f ∈ R(C). Тогда ∀ ε > 0 ∃T (B) : ST (B) − ST (B) < ε и ∃T (C) : ST (C) − ST (C) < ε,

поэтому для T (A) := T (B) ⊕ T (C) имеем ST (A) − ST (A) < 2ε, поэтому f ∈ R(A).Докажем равенство интегралов. По доказанному выше можно считать, что f ∈ R(A),R(B),R(C). Имеем∫

A

f = I∗(A) = infT (A)

ST (A), причём в силу того, что от измельчения разбиения верхняя сумма может только

уменьшиться, можно рассматривать только разбиения вида T (A) = T (B)⊕T (C). Поэтому ST (A) = ST (B)+ST (C).

Если перейти к точной нижней грани слева, то мы получим infT (A)

ST (A) 6 ST (B) + ST (C). Теперь перейдём к inf

8

9 1.2.4. Кратные и повторные интегралы

справа, тогда получим infT (A)

ST (A) 6 infT (B)

ST (B)+ infT (C)

ST (C). Если же сперва перейти к inf справа, а потом слева, то

получится обратное неравенство infT (A)

ST (A) > infT (B)

ST (B) + infT (C)

ST (C). Но это означает, что I∗(A) = I∗(B)+ I∗(C),

но так как функция интегрируема, получаем, что∫A

f =∫B

f +∫C

f .

Замечание. Для неограниченных функций эта теорема не имеет места. Пусть f = 0 на множестве B :=:= [0, 1] × (0, 1], и f неограничена на множестве C := [0, 1] × 0. Ясно, что f ∈ R(B), поскольку f = 0 на B, иf ∈ R(C), поскольку µ(C) = 0, но не менее очевидно, что f /∈ R(B ⊕ C).

Следствие 1.6. Если f ∈ R(A) и f ∈ B(A), а B ⊂ A, то f ∈ R(B).

Следствие 1.7. Пусть f ∈ R(A) и f ∈ B(A), а B ⊂ A и µ(B) = 0. Пусть g ∈ B(A), и g = f на ArB. Тогдаg ∈ R(A) и

∫A

f =∫A

g.

В самом деле, имеем∫A

f =∫

ArB

f +∫B

f =∫

ArB

f =∫

ArB

g =∫

ArB

g +∫B

g =∫A

g.

Теорема 1.16 (Линейность интеграла). Пусть f, g ∈ R(A), тогда ∀α, β имеем∫A

(αf+βg) = α∫A

f+β∫A

g.

Очевидно, что ST (αf + βg, P ) = αST (f, P ) + βST (g, P ), откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема 1.17. Пусть f ∈ R(A) и f > 0. Тогда∫A

f > 0.

Теорема 1.18. Пусть f 6 g, и f, g ∈ R(A). Тогда∫A

f 6∫A

g.

В самом деле, имеем g − f > 0, откуда∫A

(g − f) > 0, а потому∫A

g −∫A

f > 0.

Теорема 1.19. Пусть f ∈ R(A). Тогда |f | ∈ R(A) и∣∣∫A

f∣∣ 6

∫A

|f |.

Заметим, что для ограниченных функций можно слово в слово повторить доказательство второго се-местра, поскольку можно воспользоваться суммами Дарбу. Сведём рассуждения от неограниченных функцийк ограниченным. Мы знаем, что ∃h > 0, для которого f ∈ B

(A(h)

). Рассмотрим на A функцию g = f · χA(h),

тогда по теореме 1.9 получаем g ∈ R(A) и∫A

g =∫A

f . Поскольку g ограничена,∣∣∫A

g∣∣ 6

∫A

|g|. Далее, имеем |f | = |g|

на A(h), поэтому по той же теореме |f | ∈ R(A) и∫A

|f | =∫A

|g|.

Следующее утверждение не было доказано лектором для случая, когда f не является ограниченной намножестве A. Мы сейчас полностью докажем это утверждение без предположения ограниченности функции, азатем укажем, где в лекциях оно неявно используется. При доказательстве мы, естественно, будем пользоватьсятем, что мы знаем для ограниченных функций.

Теорема 1.20. Пусть A,B ∈ J , причём B ⊂ A. Пусть f ∈ R(A). Тогда f ∈ R(B) и∫A

f =∫B

f +∫

ArB

f .

Поскольку f ∈ R(A), найдётся такое h > 0, что f ∈ B(A(h)

). Кроме того, очевидно, что B(h) ⊂ A(h), а из

построения подстриженных множества следует их измеримость по Жордану. Обозначим C := A(h), а D := B(h).По известной теореме для ограниченных функций получаем

∫C

f =∫D

f+∫

CrD

f . По той же теореме выводим, что

f ·χC ∈ R(A) и f ·χD ∈ R(B), поскольку эти две функции ограничены. Кроме того,∫A

f ·χC =∫C

f и∫B

f ·χD =∫D

f .

Применим теорему 1.9 к функциям f и f · χC , получим равенство∫A

f =∫A

f · χC . Аналогично,∫B

f =∫B

f · χD.

Теперь остаётся только провести аналогичные рассуждения для C rD, после чего круг замкнётся.

1.2.4. Кратные и повторные интегралы

Теорема 1.21. Пусть A = [a, b] × [c, d]. Пусть f ∈ R(A). Пусть для ∀x ∈ [a, b] имеет смысл функция

Φ(x) :=d∫c

f(x, y) dy. Тогдаb∫a

Φ dx =∫A

f dx dy.

Пусть Tx = x0, . . . , xN — равномерное разбиение отрезка [a, b], а Ty = y0, . . . , yN — равномерноеразбиение отрезка [c, d]. Тогда шаги разбиений будут, соответственно, hx = b−a

Nи hy = c−d

N. Введём обозначения

для отрезков разбиения: [x]i := [xi−1, xi], аналогично для Ty. Так как A — прямоугольник, то f ограничена нанём, поэтому Φ тоже ограничена. Имеем

STx(Φ) =

N∑

i=1

sup[x]i

Φ(x)hx 6

N∑

i=1

sup[x]i

( N∑

j=1

sup[y]j

f(x, y)hy

)hx =

N∑

i=1

N∑

j=1

sup[x]i×[y]j

f(x, y)hyhx = STx×Ty(f).

9

10 1.2.5. Геометрический смысл якобиана отображения

Совершенно аналогично выводится оценка STx×Ty(f) 6 STx

(Φ). В силу критерия интегрируемости для f можно

получить, что ∀ ε > 0 имеем STx(Φ) − STx

(Φ) < ε, откуда и следует, что Φ ∈ R[a, b]. Утверждение о равенстве

интегралов следует из того, что If и IΦ оба зажаты по крайней мере между числами STx×Ty(f) и STx×Ty

(f).

Замечание. В этой теореме требование определённости для Φ на всём отрезке не очень существенно. Ес-ли Φ не определена в точке x, то можно положить Φ(x) по определению равным любому числу из отрезка[I∗(f(x, y)

), I∗(f(x, y)

)].

Определение. Пусть M ⊂ E2(x1, x2). Пусть P — проецирование на ось OX1. Положим M1 := P(M), аM(x1) := P−1(x1), где x1 ∈M1.

Теорема 1.22. Пусть M,M1 ∈ J . Пусть ∀x1 ∈ M1 имеем M(x1) ∈ J . Пусть f ∈ R(M), f ∈ B(M), иимеет смысл функция Φ(x1) :=

∫M(x1)

f dx2. Тогда Φ ∈ R(M1) и∫M

f =∫M1

Φ(x1) dx1.

Поскольку M ∈ J , имеем M ∈ B, поэтому ∃ прямоугольник A ⊃ M . Рассмотрим g := χM · f . Будемсчитать, что

∫M(x1)

g dx2 = 0 там, где M(x1) не определено. Используя предыдущую теорему, получаем

∫

M

f =

∫

M

g =

∫

M

g +

∫

ArM

g =

∫

A

g =

b∫

a

d∫

c

g dx2 dx1 =

b∫

a

∫

M(x1)

g dx2 dx1 =

∫

M1

∫

M(x1)

g dx2 dx1 =

∫

M1

∫

M(x1)

f dx2 dx1,

что и завершает доказательство.

Сформулируем эту теорему для произвольной размерности m. Пусть M ⊂ Em. Пусть P — отображениепроецирования на подпространство Ek(x1, . . . , xk). Положим Mk := P(M), а M(x1, . . . , xk) := P−1(Mk).

Теорема 1.23. Пусть M,Mk ∈ J и ∀ (x1, . . . , xk) ∈ Mk имеем M(x1, . . . , xk) ∈ J . Пусть f ∈ R(M) иf ∈ B(M). Пусть имеет смысл функция Φ(x1, . . . , xk) :=

∫

M(x1,...,xk)

f dxk+1 . . . dxm. Тогда Φ ∈ R(Mk) и∫M

f =

=∫Mk

Φ(x1, . . . , xk) dx1 . . . dxk.

1.2.5. Геометрический смысл якобиана отображения

Пусть G — область в Em(t1, . . . , tm). Пусть задано отображение Φ: Em(t) → Em(x) по правилу xi = ϕi(t), гдеi = 1, . . . ,m. Будем предполагать, что Φ ∈ C1(G), т. е. ϕi ∈ C(G) и ∂ϕi

∂tj∈ C(G). Положим H := Φ(G). Как мы

знаем, якобианом отображения Φ называется определитель матрицы Якоби

D(t) := |dΦ| =∂ϕ

∂t=

∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ1

∂t1. . . ∂ϕ1

∂tm...

...∂ϕm

∂t1. . . ∂ϕm

∂tm

∣∣∣∣∣∣∣

Теорема 1.24. Если |dΦ| 6= 0 на G, то H — область.

Покажем, что H открыто. Действительно, пусть x ∈ H . Рассмотрим t ∈ Φ−1(x). Поскольку, в частности,|dΦ|(t) 6= 0, по теореме о неявных функциях найдутся окрестности U(t) ⊂ G и V (x) ⊂ H , между которыми Φустанавливает взаимно однозначное соответствие. Отсюда следует, что каждая точка в H содержится в нём снекоторой своей окрестностью. Значит, H открыто.

Покажем, что H связно. Действительно, пусть x, y ∈ H . Покажем, что их можно соединить гладкой кривой,целиком лежащей в H . Рассмотрим u ∈ Φ−1(x) и w ∈ Φ−1(y), тогда точки u и w можно соединить гладкойкривой в силу связности G. Пусть Γ: [0, 1] → G — наша кривая, причём Γ(0) = u, а Γ(1) = w. Рассмотримотображение γ := Φ Γ: [0, 1] → H . Поскольку Φ — хорошее отображение, γ будет гладкой кривой по теореме опроизводной композиции функций. Осталось заметить, что γ(0) = x, а γ(1) = y.

Замечание. Отображение Φ, как несложно видеть, может отображать область G в H не биективно. Вэтом легко убедиться на следующем примере. Пусть Φ: E2(r, ϕ) −→ E2(x, y). В качестве G возьмём открытыйпрямоугольник (0, 5) × (−5π, 5π). Ясно, что G — область. Устроим отображение Φ по следующему правилу:x = r cosϕ, y = r sinϕ. Имеем |dΦ| = r 6= 0 на G. Легко видеть, что ϕ(G) есть открытый диск радиуса 5 свыколотым центром (0, 0), однако Φ не биективно, поскольку, например, Φ(2, π) = Φ(2, 3π).

Чтобы избежать подобных неприятностей, надо потребовать от Φ биективности, тогда проблем будет мень-ше. Настало время ввести важное понятие, а кроме того, мы будем избавлены от необходимости каждый разперечислять все необходимые ограничения.

Определение. Пусть G,H ⊂ Em — области. Отображение Φ: G → H называется диффеоморфизмом обла-стей G и H класса гладкости Cp, если:

10

11 1.2.5. Геометрический смысл якобиана отображения

1. Φ — биекция G↔ H ,2. |dΦ| 6= 0 на G,3. Φ,Φ−1 ∈ Cp.

Здесь Cp понимается в том смысле, что отображение непрерывно и существуют непрерывные частные про-изводные всех порядков до p включительно. Нас особенно будут интересовать диффеоморфизмы класса C1,поэтому если мы говорим о диффеоморфизме без указания класса гладкости, будем считать, что он имееткласс гладкости C1.

Теорема 1.25. Пусть задана композиция дифференцируемых отображений Ψ Φ. Тогда производная ком-позиции отображения равна композиции производных: d(Ψ Φ) = dΨ dΦ.

Мы это доказали во втором семестре, когда доказывали теорему о дифференцируемости компози-ции. Легко видеть, что в матричном виде формулы для производной сложной функции выглядят так: еслиΦ: Em(t) → En(x), а Ψ: En(x) → Ek(y), и имеет смысл композиция Ψ Φ, то

d(Ψ Φ) =

∂y1∂x1

. . . ∂y1∂xn

......

∂yk

∂x1. . . ∂yk

∂xn

∂x1

∂t1. . . ∂x1

∂tm...

...∂xn

∂t1. . . ∂xn

∂tm

.

Если перемножить матрицы, возникнет матрица производной Ψ Φ размера k ×m, а элементами в ней будут

частные производные ∂(ΨΦ)i

∂tj.

Следствие 1.8. Якобиан композиции равен произведению якобианов: |d(Ψ Φ)| = |dΨ| · |dΦ|.Лемма 1.26. Пусть Φ: G→ H — диффеоморфизм областей G и H. Пусть σ — множество, для которого

Clσ ⊂ G. Пусть τ = Φ(σ). Тогда ∂τ = Φ(∂σ). Иначе говоря, диффеоморфизм сохраняет границу.

Мы уже доказывали, что Φ(Intσ) ⊂ Int τ . Поскольку обратное отображение устроено так же, имеемΦ−1(Int τ) ⊂ Intσ. Значит, Int τ = Φ(Intσ). Отсюда ∂τ = Φ(∂σ), поскольку Φ биективно.

Пусть G ∈ B — область. Пусть Φ и все его частные производные допускают непрерывное продолжение наClG. Поскольку ClG — компакт, непрерывные на нём функции будут равномерно непрерывны. Следовательно,

ω(∂ϕi

∂tj, δ)→ 0 при δ → 0. Тогда ω(δ) := max

i,jω(∂ϕi

∂tj, δ)→ 0. В силу непрерывности имеем |ϕi| 6 L и

∣∣∂ϕi

∂tj

∣∣ 6 L.

Распишем всё в случае m = 2 для сокращения выкладок. Пусть t ∈ G, тогда D(t) = ∂ϕ1

∂t1(t)∂ϕ2

∂t2(t)− ∂ϕ1

∂t2(t)∂ϕ2

∂t1(t).

Пусть t0 ∈ G, тогда каждое из слагаемых в разности D(t) −D(t0) можно оценить следующим образом:

∣∣∣∣∂ϕ1

∂t1(t)∂ϕ2

∂t2(t) − ∂ϕ1

∂t1(t0)

∂ϕ2

∂t2(t0)

∣∣∣∣ 6

∣∣∣∣∂ϕ1

∂t1(t)∂ϕ2

∂t2(t) − ∂ϕ1

∂t1(t)∂ϕ2

∂t2(t0)

∣∣∣∣+∣∣∣∣∂ϕ1

∂t1(t)∂ϕ2

∂t2(t0) − ∂ϕ1

∂t1(t0)

∂ϕ2

∂t2(t0)

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∂ϕ1

∂t1(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ2

∂t2(t) − ∂ϕ2

∂t2(t0)

∣∣∣∣+∣∣∣∣∂ϕ2

∂t2(t0)

∣∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1

∂t1(t) − ∂ϕ1

∂t1(t0)

∣∣∣∣ 6 2L · ω(|t− t0|

).

Отсюда следует справедливость оценки |D(t) −D(t0)| 6 C(L,m) · ω(|t− t0|

), где C — некоторая константа.

Теорема 1.27. Пусть Φ осуществляет диффеоморфизм областей G и H, причём G ∈ B. Пусть σ —квадрат со стороной h, причём Clσ ⊂ G, а его стороны параллельны системе координат. Пусть τ = Φ(σ).Тогда множество τ измеримо, и для его меры справедлива оценка µ(τ) = µ(σ)

[|D(t)| +O

(ω(diamσ)

)], причём

эта оценка равномерна по t ∈ σ.

A00

A01

A10

A11

σ

t1

t2 Без ограничения общности будем вести доказательство в случае, когда m = 2.Обозначим вершины σ буквами A00, A01, A10 и A11 соответственно, как показано нарисунке. Мы знаем, что при диффеоморфизме внутренние точки переходят во внут-ренние, а граница — в границу. Поскольку ∂σ есть объединение гладких кривых, ∂τесть объединение их образов, а они также будут гладкими кривыми. Значит, µ(∂τ) = 0,следовательно, τ измеримо. Пусть t0 соответствует вершине A00. Для краткости обо-значим

(∂ϕi

∂tj

)k

:= ∂ϕi

∂tj

(t0 +θk(t− t0)

). В силу выведенной выше оценки, можно рассматривать значения якобиана

именно в точке t0, поскольку ошибка, которую мы при этом получаем, будет съедена слагаемым O(·). ПрименимФКПЛ, получим

x = x0 +

((∂ϕ1

∂t1

)1

(∂ϕ1

∂t2

)1(

∂ϕ2

∂t1

)2

(∂ϕ2

∂t2

)2

)(t− t0).

Введём линейное отображение Φ∗, задаваемое формулами

x∗ = x0 +

(∂ϕ1

∂t1(t0) ∂ϕ1

∂t2(t0)

∂ϕ2

∂t1(t0) ∂ϕ2

∂t2(t0)

)(t− t0).

11

12 1.2.6. Замена переменных в кратном интеграле

Введём обозначения для вершин криволинейного четырёхугольника τ : Bij := Φ(Aij). Кроме того, обозначимCij := Φ∗(Aij). Пусть τ∗ := Φ∗(σ). Поскольку Φ∗ линейно, τ∗ есть параллелограмм. Вспоминая о том, чтоориентированный объём параллелепипеда, натянутого на вектора a1, . . . , an есть определитель, составленныйиз координат этих векторов, получаем µ(τ∗) = |D(t0)|h2 = |D(t0)|µ(σ). Посмотрим, насколько далеко могутоказаться точки x и x∗. Имеем:

x− x∗ =

[((∂ϕ1

∂t1

)1

(∂ϕ1

∂t2

)1(

∂ϕ2

∂t1

)2

(∂ϕ2

∂t2

)2

)−(∂ϕ1

∂t1(t0) ∂ϕ1

∂t2(t0)

∂ϕ2

∂t1(t0) ∂ϕ2

∂t2(t0)

)](t− t0) =

((∂ϕ1

∂t1

)1− ∂ϕ1

∂t1(t0)

(∂ϕ1

∂t2

)1− ∂ϕ1

∂t2(t0)(

∂ϕ2

∂t1

)2− ∂ϕ2

∂t1(t0)

(∂ϕ2

∂t2

)2− ∂ϕ2

∂t2(t0)

)(t− t0).

Осталось заметить, что |ti − t0i | 6 h, поэтому разность между аргументами частных производных в каждойкомпоненте матрицы не превосходит h. Отсюда следует, что |x− x∗| 6 2ω

(h√

2)h =: λ. Если бы мы доказывали

теорему для произвольного m, мы получили бы оценку вида mω(h√m)h. Построим вокруг границы τ∗ рамку

F толщиной λ, тогда ∂τ ⊂ F , а |µ(τ∗) − µ(τ)| 6 µ(F ). Ясно, что длины сторон параллелограмма линейнозависят от h, поэтому с помощью простого подсчёта типа «площадь на длину» получаем µ(F ) 6 Kh2ω

(h√

2)

=

= Kµ(σ)ω(h√

2). Очевидно, что ситуация только улучшится, если рамка станет вырожденной, т. е. её внутренняя

часть исчезнет.

Следствие 1.9. Коэффициент искажения площади равен модулю якобиана: limh→0

µ(τ)µ(σ) = |D(t0)|.

1.2.6. Замена переменных в кратном интеграле

Мы сохраняем обозначения, введённые в предыдущем параграфе, однако теперь будем дополнительно пред-полагать, что область G выпукла. Это ограничение несущественно, однако доказательство теоремы будет вы-глядеть попроще.

Теорема 1.28 (О замене переменных). Пусть f ∈ R(H), f ∈ B(H). Рассмотрим F := f Φ: G → R.Тогда F ∈ R(G) и

∫G

F |D| dt =∫H

f dx.

Из условий теоремы следует, что |f | 6 B и |F | 6 B. Рассмотрим T : G = G1 ⊕ . . . ⊕GN , индуцируемоена нём сеткой с шагом h. Положим Hi := Φ(Gi), тогда в силу биективности Φ набор Hi будет образовыватьразбиение T (H). Разделим элементы разбиения T (G) на две группы: к группе I отнесём все полные квадратики,а к группе II — неполные. Тогда верхние суммы Дарбу для функций F |D| и f естественным образом распадаютсяна две суммы по этим группам: ST (G) =

∑I

+∑II

и ST (H) =∑I

+∑II

. В предположении о выпуклости множества G

можно утверждать, что ω(λt) 6 (λ+1)ω(t). Поскольку O(·) съедают любые константные множители, не будем ихписать. Разберёмся с суммами первой группы. По результатам предыдущего параграфа, имеем Mi(f)|D(t0)| == Mi(F )|D(t0)| = Mi

(F |D(t0)|

)= Mi

(F |D|

)+O

(ω(h)

), поэтому

∑

I

Mi(f)µ(Hi) =∑

I

Mi(f)[|D(t0)|µ(Gi) +O

(µ(Gi)ω(h)

)]=∑

I

Mi

(F |D|

)µ(Gi) +O

(ω(h)

).

Оценим теперь суммы второй группы. В силу измеримости G, можно сделать шаг сетки настолько мелким,что

∑II

µ(Gi) < ε. В силу ограниченности функций имеем∑II

Mi

(F |D|

)µ(Gi) 6 C

∑II

µ(Gi) < Cε. С суммой второй

группы для f поступим иначе: пусть x′, x′′ ∈ Hi, тогда ∃ t′, t′′ ∈ Gi, для которых x′ = Φ(t′) и x′′ = Φ(t′′). ПоФКПЛ имеем

ϕj(t′) − ϕj(t

′′) =

(∂ϕj∂t1

(t′ + θ(t′′ − t′)

), . . . ,

∂ϕj∂tm

(t′ + θ(t′′ − t′)

))(t′ − t′′) = O(h).

Это означает, что µ(Hi) 6 Kµ(Gi), где K — некоторая константа. Действительно, если t′ далеко не уйдёт от t′′,то и образы их далеко не разбегутся. Теперь очевидно, что

∑II

Mi(f)µ(Hi) 6 Pε.

Осталось рассмотреть разность верхних сумм Дарбу и убедиться в том, что они близки:

∣∣ST (G)(F |D|) − ST (H)(f)∣∣ 6 O

(ω(h)

)+ Cε+ Pε→ 0, ε→ 0, h→ 0.

Ясно, что для нижних сумм Дарбу можно вывести аналогичную оценку. Отсюда следует утверждение теоре-мы, поскольку f интегрируема по условию, а значения верхних сумм Дарбу для F |D| оказались близки к суммамДарбу для f . Совпадение интегралов вытекает из того, что

∫f и

∫F |D| оба зажаты между стягивающимися

суммами Дарбу.

12

13 1.3.1. Исчерпывающие последовательности множеств

1.3. Несобственные кратные интегралы

1.3.1. Исчерпывающие последовательности множеств

Определение. Пусть D ⊂ Em, и пусть Dk — последовательность подмножеств Em. Скажем, что Dkисчерпывает D, если Dk ⊂ Dk+1 и D =

∞⋃k=1

Dk.

Обоснование корректности формулировки следующей теоремы лежит на плечах теоремы 1.20, не доказаннойна лекциях.

Теорема 1.29. Пусть f ∈ R(D). Тогда для любой последовательности Dk ⊂ J , исчерпывающих D,имеем lim

kµ(Dk) = µ(D) и lim

k

∫Dk

f =∫D

f .

Поскольку A ∈ J , найдутся замкнутое F ∈ J и открытое G ∈ J , такие что F ⊂ A ⊂ G, а µ(G)−µ(F ) << ε. Отсюда µ(G) − µ(A) < ε и µ(A) − µ(F ) < ε. Построим таким образом множества Fk ⊂ Dk ⊂ Gk. Покажем,что Gk можно взять монотонной. Зафиксируем n, тогда ∃ ε′ : µ(Gn) + ε′ < µ(Dn) + ε. Рассмотрим открытоеG′, для которого Dn+1 rDn ⊂ G′, но µ(G′)− µ(Dn+1 rDn) < ε′. Тогда рассмотрим Gn+1 := Gn ∪G′. Оно будетоткрыто и измеримо. Очевидно, что Dn+1 ⊂ Gn+1, и осталось только оценить его меру: µ(Gn+1) 6 µ(Gn) ++ µ(G′) < µ(Gn) + µ(Dn+1)− µ(Dn) + ε′ < µ(Dn+1) + ε. Тем самым показана возможность выбрать монотоннуюпоследовательность Gk.

Мы знаем, что ∃F ⊂ D — замкнутое множество, для которого µ(D)−µ(F ) < ε. Очевидно,∞⋃k=1

Gk покрывают

D, поэтому они покрывают и F . Поскольку F измеримо, оно ограничено и вследствие замкнутости компактно.Следовательно, из его открытого покрытия Gk можно выделить конечное подпокрытие, но в силу монотонно-сти Gk найдётся N ∈ N, для которого F ⊂ GN . Тогда подавно ∀n > N имеем µ(F ) 6 µ(Gn). Следовательно,µ(D) < µ(F ) + ε 6 µ(Gn) + ε 6 µ(Dn) + 2ε. С другой стороны, поскольку Dn ⊂ D, получаем µ(Dn) 6 µ(D).Следовательно, µ(Dn) → µ(D).

Осталось показать, что существует указанный предел интегралов. Если f ограничена числом B, то∣∣∫D

−

−∫Dk

∣∣ 6 Bµ(DrDk) → 0. Если функция неограничена, то ∃h > 0: f ∈ B(D(h)

), причём µ

(DrD(h)

)= 0. Тогда

∫D

f =∫

D(h)

f , а дальше можно применить предыдущие рассуждения.

Определение. Пусть f : D → R. Если ∀ Dk, исчерпывающей D, имеем f ∈ R(Dk), и существует пределlimk

∫Dk

f =: I, не зависящий от выбора исчерпания, то функция f называется интегрируемой в несобственном

смысле на множестве D. Мы будем обозначать этот факт символом f ∈ R(D). Несложно видеть, что несоб-ственный интеграл обладает свойством линейности.

1.3.2. Признаки сходимости

В этом параграфе будем предполагать, что Dk ∈ J . Измеримость множества D предполагается только в томслучае, когда этого требуют используемые в теоремах объекты.

Теорема 1.30. Пусть f > 0 на D и ∀ Dk, исчерпывающей D, существует∫Dk

f . Если ∃ D∗k, для кото-

рой существует конечный предел I := limk

∫D∗

k

f , то f ∈ R(D) и∫D

f = I.

Пусть Dj — произвольная последовательность, исчерпывающая D. Обозначим Ij :=∫Dj

f , а I∗k :=∫D∗

k

f .

В силу неотрицательности f имеем Ij ↑ и I∗k ↑ I. Поскольку Dj и D∗k — возрастающие последовательно-

сти множеств, исчерпывающие D, то ∀ j ∃ k : Ij 6 I∗k . Отсюда Ij имеет предел, не превосходящий I. Но посимметричным рассуждениям верно и обратное, поэтому lim

jIj = I.

Теорема 1.31 (Мажорантный признак сходимости). Пусть |f | 6 g на D. Пусть g ∈ R(D), а ∀ Dk,исчерпывающей D, имеем f ∈ R(Dk). Тогда f ∈ R(D) и

∣∣∫D

f∣∣ 6

∫D

|f | 6∫D

g.

Пусть Dk исчерпывает D. Для собственных интегралов мы знаем, что∣∣ ∫Dk

f∣∣ 6

∫Dk

|f | 6∫Dk

g 6∫D

g.

Тем самым доказана ограниченность любой последовательности из интегралов∫Dk

f . Рассмотрим f+ := |f |+f2

и f− := |f |−f2 , тогда f = f+ − f−. Легко видеть, что f+ = max f, 0, а f− = −min f, 0, и f+, f− 6 |f |. По

предыдущей теореме f+ и f− интегрируемы, и ∀ Dk, исчерпывающихD, имеем limk

∫Dk

f+ =∫D

f+ и limk

∫Dk

f− =

13

14 2.1.1. Криволинейные интегралы первого рода

=∫D

f−. Кроме того, для собственных интегралов справедливо равенство∫Dk

f =∫Dk

f+ −∫Dk

f−. Поскольку в

правой части пределы существуют, можно перейти к пределу, откуда следует, что f ∈ R(D).Остаётся показать справедливость неравенства. Имеем |f | = f+ + f−, и осталось заметить, что

∣∣ ∫Dk

f∣∣ 6

6∫Dk

|f | =∫Dk

f+ +∫Dk

f− →∫D

f+ +∫D

f− =∫D

|f |. Но если нестрогое неравенство было верно для выражений под

знаком предела, то для пределов оно останется справедливым.

Теорема 1.32. Если f ∈ R(D), то и |f | ∈ R(D).

1. Докажем теорему от противного: предположим, что найдётся последовательность Dk, исчерпы-вающая D, для которой lim

k

∫Dk

|f | = +∞. В силу расходимости можно сделать так, что∫

Dk+1

|f | > 3∫Dk

|f | + 2k.

Всегда будем выкидывать лишние члены последовательности и проводить перенумерацию, чтобы не менятьобозначений.

2. Рассмотрим Ak := Dk+1 r Dk, тогда Dk+1 = Ak ⊔Dk. Отсюда в силу теоремы 1.20 получаем∫

Dk+1

|f | =

=∫Dk

|f |+∫Ak

|f |, поэтому∫Ak

|f | > 2∫Dk

|f |+2k, откуда∫Ak

(f++f−) > 2∫Dk

|f |+2k. Заметим, что ∀ k выполнено либо

неравенство∫Ak

f+ >∫Ak

f−, либо неравенство∫Ak

f+ <∫Ak

f−, ибо третьего не дано. Неравенств хотя бы одного

сорта будет бесконечно много, причём без ограничения общности можно считать, что был выбран первый сорт.Оставим все члены последовательности, для которых верно неравенство первого сорта, остальное выкинем иопять перенумеруем. Для того, что осталось, тем более будет выполнено 2

∫Ak

f+ > 2∫Dk

|f | + 2k. Сокращая на

константу, получаем∫Ak

f+ >∫Dk

|f | + k.

3. Рассмотрим разбиение T : Ak = Ak1 ⊕ . . . ⊕ Akn, для которогоn∑i=1

f+(pi)µ(Aki) >∫Dk

|f | + k, причём это

верно ∀ pi ∈ Aki. Отметим ∗ те элементы T , на которых f+ > 0. Образуем множество Bk :=⊕∗Aki ⊂ Ak, тогда

f+ > 0 на Bk. Несложно видеть, что∑∗f+(pi)µ(Aki) >

∫Dk

|f | + k. В самом деле, допустим, что неравенство

нарушилось. Тогда добавим к этой сумме элементы, не попавшие в Bk, и выберем для них pi так, чтобы f(pi) == 0. Это не изменит сумму. Но мы ведь предположили, что исходное неравенство верно для всех наборов P ,значит, оно не может нарушиться. Суммирование по ∗ есть просто интегральная сумма для f+ на множествеBk, но в ней f+ можно заменить на f , поскольку на Bk имеем f+ = f . Отсюда следует, что и

∫Bk

f >∫Dk

|f | + k.

В это несложно поверить, особенно если нарисовать картинку и вспомнить, что это верно для всех наборов P .4. Имеем

∫Bk

f >∫Dk

|f | + k > −∫Dk

f + k, откуда∫Bk

f +∫Dk

f > k. Но Bk ∩ Dk = ∅, ибо Bk ⊂ Ak. Тогда

для Ck := Bk ∪ Dk имеем∫Ck

f > k. Ясно, что Ck исчерпывает D, поскольку Dk ⊂ Ck ⊂ Dk+1. Но для неё

limk

∫Ck

f = +∞, а это противоречит сходимости∫D

f .

Замечание. Таким образом, для кратного интеграла не существует понятия условной сходимости. Доказа-тельство теоремы напоминает теорему Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

2. Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1. Криволинейные интегралы

2.1.1. Криволинейные интегралы первого рода

Будем считать, что мы находимся в пространстве E3(x, y, z). Пусть задана спрямляемая гладкая регулярнаякривая Γ длины S и для неё выбрана натуральная параметризация Γ: [0, S] → E3, т. е. l

(Γ[0, s]

)= s. Пусть

компоненты её радиуса-вектора r(s) суть функции x = ϕ(s), y = ψ(s) и z = χ(s). Несложно видеть, что принатуральной параметризации |r| = 1.

Определение. Пусть F : Γ → R. Если существует интегралS∫0

F(ϕ(s), ψ(s), χ(s)

)ds =:

∫Γ

F ds, то такой инте-

грал называется криволинейным интегралом первого рода по кривой Γ.

Формально, наше определение зависит от того, в какую сторону мы бежим по кривой. Покажем, что насамом деле криволинейный интеграл первого рода не зависит от этого. Действительно, движение по кривой

14

15 2.1.2. Криволинейный интеграл второго рода

в обратную сторону соответствует замене параметра s на параметр t = S − s. Обозначим кривую с обратнойпараметризацией через Γ−. Имеем

S∫

0

F(ϕ(s), ψ(s), χ(s)

)ds =

0∫

S

F(ϕ(S− t), ψ(S− t), χ(S− t)

)d(S− t) =

S∫

0

F(ϕ(S− t), ψ(S− t), χ(S− t)

)dt =

∫

Γ−

F dt.

Нам хотелось бы уметь считать криволинейные интегралы, не прибегая к натуральной параметризации.

Пусть Γ =(u(t), v(t), w(t)

) ∣∣ t ∈ [a, b]. Тогда s′(t) =

√(u′)2

+(v′)2

+(w′)2

, откуда, делая замену, получаем

∫Γ

F ds =b∫a

F (u, v, w)

√(u′)2

+(v′)2

+(w′)2dt.

Поскольку криволинейный интеграл первого рода определён через обыкновенный интеграл, многие свой-ства, как то линейность и аддитивность, переносятся и на него без всяких ограничений. Поэтому мы не будемзадерживаться на их рассмотрении.

Замечание. Физический смысл этого интеграла — масса тонкой нити с плотностью F .

2.1.2. Криволинейный интеграл второго рода

Мы сохраняем обозначения, введённые в предыдущем параграфе.

Определение. Говорят, что в E3 задано векторное поле, если задана вектор-функция a : E3 → E3. Компонен-ты вектора a(x, y, z) обычно обозначаются P , Q и R соответственно и называются компонентами векторногополя. Будем обозначать жирными буквами i, j, k три стандартных базисных вектора в E3. Тогда a(x, y, z) == P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Иногда нам будет достаточно, чтобы векторное поле было задано не навсём пространстве, а лишь на его подмножестве.

Определение. Пусть на кривой Γ, отнесённой к натуральному параметру, задано векторное поле a. Обо-значим через τ касательный вектор r. Тогда |τ | = 1. Напомним, что через (a, τ) мы обозначаем скалярноепроизведение векторов. Если существует криволинейный интеграл

∫Γ

(a, τ) ds, то говорят, что на ориентирован-

ной кривой Γ задан криволинейный интеграл второго рода. Он обозначается∫Γ

(a, ds).

Покажем, что криволинейный интеграл зависит от направления пробегания кривой. Пусть Γ+ — кривая,параметризованная в одну сторону, а Γ− — та же кривая, параметризованная в обратную сторону. Посколькуинтеграл первого рода не зависит от направления,

∫

Γ+

(a, ds) =∫Γ

(a, τ) ds = −∫Γ

(a,−τ) ds = −∫

Γ−

(a, ds). Итак,

смена направления параметризации меняет знак криволинейного интеграла второго рода.Иногда интеграл второго рода обозначается так:

∫Γ

(P dx+Qdy+Rdz), причём часто скобки не пишут. Такая

запись удобна при вычислении интеграла: выражая dx, dy, dz через dt, получаем обычный интеграл по отрезку.По определению касательного вектора, τ = ϕi + ψj + χk, поэтому наш интеграл можно переписать в таком

виде:∫Γ

(a, ds) =∫Γ

[P (ϕ, ψ, χ)ϕ+Q(ϕ, ψ, χ)ψ +R(ϕ, ψ, χ)χ

]ds.

Замечание. Подинтегральное выражение по виду напоминает производную некоторой сложной функцииV(ϕ(s), ψ(s), χ(s)

), где функции P,Q,R обозначают её частные производные Vϕ, Vψ , Vχ.

Посмотрим, как можно обойтись без натурального параметра в интеграле второго рода. Пусть s = s(t),причём для определённости s′(t) > 0 на отрезке параметризации. Тогда существует обратная функция t = t(s),причём t′(s) > 0. Тогда x = u(t) = u

(t(s)

)= ϕ(s), откуда ϕ(s) = u′(t) dt

ds, поэтому ϕ(s) ds = u′(t) dt. Аналогичные

формулы можно записать для функций ψ и χ. Делая замену переменной в нашем интеграле, получаем

∫

Γ

(a, ds) =

b∫

a

P (u, v, w)u′ +Q(u, v, w)v′ +R(u, v, w)w′ dt.

Определение. Если Γ замкнута, то∫Γ

(a, ds) называют циркуляцией векторного поля.

Замечание. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода — работа по движению материаль-ной точки вдоль кривой Γ в поле силы, заданной векторным полем a.

2.1.3. Формула Грина

Пусть G — измеримая область в E2, причём ∂G есть кривая, обходящая область в положительном направ-лении (это означает, что когда мы идём по границе, мы идём левой ногой по области, а правой — по её до-полнению). Пусть на G задано векторное поле a = (P,Q) класса гладкости C1(ClG). Формула Грина гласит:

15

16 2.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения

AB

C

a b

d

cG

x

y∫

Γ

(P dx+Qdy) =

∫

G

(Qx − Py) dx dy.

Сначала докажем формулу Грина для случая, когда область G представляет собойтреугольник ABC, как показано на рисунке, причём сторона AC есть график монотон-ной функции f ∈ C[a, b]. Рассмотрим

−∫

G

Py dx dy = −b∫

a

f(x)∫

c

Py dy dx = −b∫

a

P (x, y)∣∣∣f(x)

cdx = −

b∫

a

P(x, f(x)

)dx+

b∫

a

P (x, c) dx =

= −∫

AC

P dx+

∫

AB

P dx =

∫

CA

P dx+

∫

AB

P dx =

∫

Γ

P dx,

поскольку можно замкнуть путь, добавив третье нулевое слагаемое∫BC

P dx.

Аналогично можно поступить с производной Qx: мы знаем, что в силу монотонности f существует монотон-ная обратная функция g := f−1 ∈ C[c, d]. Тогда

∫

G

Qx dx dy =

d∫

c

b∫

g(y)

Qx dx dy =

d∫

c

Q(x, y)∣∣∣b

g(y)dy =

d∫

c

Q(b, y) dy −d∫

c

Q(g(y), y

)dy =

=

∫

BC

Qdy −∫

AC

Qdy =

∫

BC

Qdy +

∫

CA

Qdy +

∫

AB

Qdy =

∫

Γ

Qdy.

Имеет смысл подумать, в каких ещё случаях мы умеем доказывать формулу Грина. Ясно, что если областьудаётся порезать на куски, каждый из которых есть некоторый криволинейный треугольник того вида, которыймы рассматривали при доказательстве, то для такой области формула Грина тоже доказана: на стыке треуголь-ников мы обязательно один раз пройдём в одну сторону и один раз в другую, поэтому останется только то, чтобыло на границе области, а это и есть наша кривая.

Следствие 2.1. Криволинейные интегралы можно использовать для вычисления площадей.

Если Qx − Py = 1, то µ(G) =∫G

dx dy =∫Γ

P dx + Qdy. Возьмём поле с компонентами P = 0 и Q = x,

тогда Qx − Py = 1. Отсюда µ(G) =∫Γ

xdy.

2.2. Поверхностные интегралы

2.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения

Пусть Φ осуществляет диффеоморфизм областей G(x, y) и H(u, v). Пусть частные производные vxy, vyx ∈ C,тогда они равны. Пусть Ω ⊂ G — область, для которой справедлива формула Грина, тогда Γ(t) = ∂Ω — гладкаяграница этой области. Положим Γ∗ := Φ(Γ) и Ω∗ := Φ(Ω). Назовём положительным направлением обхода на Γ∗

то направление, которое индуцируется положительным направлением обхода кривой Γ. Очевидно, Γ∗ тоже будетгладкой кривой. Действительно, дифференцируемость следует из теоремы о производной сложной функции, арегулярность — из того, что (

uv

)=

(ux uyvx vy

)(xy

).

В самом деле, матрица линейного оператора в этой формуле — в точности матрица Якоби, а она невырождена.Поэтому если вектор (x, y) не обращается в нуль, то и (u, v) в нуль не обращается.

Пусть для Ω∗ также справедлива формула Грина, тогда µ(Ω∗) =∫Ω∗

du dv = ε∫Γ∗

u dv, где ε = ±1 и ε = 1

соответствует положительному обходу кривой. Тогда

∫

Γ∗

u dv =

b∫

a

uv dt =

b∫

a

u (vxx+ vy y) dt =

∫

Γ

(uvx dx+ uvy dy)!=

∫

Ω

(∂

∂x(uvy) −

∂

∂y(uvx)

)dx dy =

=

∫

Ω

(uxvy + u

∂

∂x(vy) − uyvx − u

∂

∂y(vx)

)dx dy

!!=

∫

Ω

(uxvy − uyvx) dx dy =

∫

Ω

|dΦ| dx dy.

16

17 2.2.2. Потенциальные векторные поля

Здесь переход, отмеченный знаком «!», обусловлен формулой Грина, а отмеченный знаком «!!» — фактом ра-венства вторых смешанных частных производных. Таким образом, можно установить, что sgn |dΦ| = ε. Дей-ствительно, по теореме о замене переменных, µ(Ω∗) =

∫Ω∗

du dv =∫Ω

| det dΦ| dx dy. Таким образом, ориентация

кривой сохраняется тогда и только тогда, когда якобиан перехода положителен.

2.2.2. Потенциальные векторные поля

Пусть задано векторное поле a : G→ E3 с компонентами P,Q,R.

Определение. Поле a называется потенциальным в области G, если ∃V : G→ R, для которой (P,Q,R) == (Vx, Vy, Vz). В этом случае функция V называется потенциалом векторного поля a. Используя оператор

Гамильтона ∇ =(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

), можно написать, что a = ∇V = gradV .

Теорема 2.1 (Критерий потенциальности поля). Пусть задано векторное поле a : G → E3. Тогда сле-дующие условия эквивалентны:

1. Поле a потенциально.2. Для любой замкнутой кривой

∫Γ

(a, ds) = 0.

3. ∀A,B ∈ G интеграл∫Γ

(a, ds) не зависит от выбора Γ: иными словами, значение криволинейного инте-

грала по любой кривой, соединяющей точки A и B, не зависит от того, по какому пути мы пойдём.

Эквивалентность 2 и 3 очевидна, если вспомнить о том, что криволинейный интеграл второго родаменяет знак при смене параметризации на противоположную.

1 ⇒ 3. Пусть существует потенциальная функция V для поля a. Тогда (P,Q,R) = (Vx, Vy, Vz). РассмотримA,B ∈ G и кривую ΓAB : [0, 1] → E3 с компонентами радиуса-вектора

(ϕ(t), ψ(t), χ(t)

), причём Γ(0) = A, а

Γ(1) = B. Имеем

∫

ΓAB

(a, ds) =

1∫

0

(P (ϕ, ψ, χ)ϕ+Q(ϕ, ψ, χ)ψ +R(ϕ, ψ, χ)χ

)dt =

=

1∫

0

(Vx(ϕ, ψ, χ)ϕ + Vy(ϕ, ψ, χ)ψ + Vz(ϕ, ψ, χ)χ

)dt =

1∫

0

(V Γ)′ dt = (V Γ)(1) − (V Γ)(0) = V (B) − V (A).

Тем самым доказано, что интеграл по Γ не зависит от самой кривой, поскольку он оказался равен разностизначений функции V , а она никак не зависит от кривой.

3 ⇒ 1. Пусть от кривой ничего не зависит. Зафиксируем точку A ∈ G и пусть B ∈ G. Рассмотрим функциюV (B) :=

∫ΓAB

(P dx+Qdy+Rdz). Такое определение корректно, поскольку значение этого интеграла не зависит

от Γ. Построим определённый путь в G, соединяющий точки A и B. Поскольку G — область, точка B обладаетнекоторой окрестностью U(B) ⊂ G. Проведём из B отрезок I, целиком лежащий в U , параллельный вектору i, ипусть конец этого отрезка — точка C. В силу связности G, точки A и C можно соединить кривой. Объединениекривой и отрезка I составят наш путь Γ. Тогда

∫ΓAC

+∫

ΓCB

=∫

ΓAB

. Разрешим точке B бегать вдоль I, тогда V (B) =

=∫

ΓAC

(a, ds) +∫

ΓCB

P dx =∫

ΓAC

(a, ds) +xB∫xC

P (t, y, z) dt. Продифференцируем это равенство по x. Поскольку первое

слагаемое есть константа, от xB есть только в верхнем пределе интеграла Римана, получаем Vx(B) = P (x, y, z).Аналогично можно получить, что Vy(B) = Q(x, y, z) и Vz(B) = R(x, y, z).

Определение. Ротором или вихрем векторного поля a называется векторное поле rota : E3 → E3, опреде-лённое по правилу

rota := [∇, a] =

∣∣∣∣∣∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

P Q R

∣∣∣∣∣∣= (Ry −Qz, Pz −Rx, Qx − Py) .

Если rota ≡ 0, то поле называется безвихревым.

Замечание. Формально ротор зависит от системы координат. На самом деле такой зависимости нет, и мыэто докажем позднее, когда выясним геометрический смысл ротора.

Теорема 2.2. Достаточно гладкие потенциальные векторные поля обладают нулевым ротором.

Если поле имеет потенциал V , то Qx − Py = Vxy − Vyx = 0, поскольку в условиях гладкости смешанныечастные производные равны между собой. Аналогично доказывается и про остальные компоненты.

17

18 2.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралы

Пример 2.1. Покажем, что условие равенства ротора нулю не является достаточным. Иными словами,существуют непотенциальные поля с нулевым ротором. Рассмотрим P (x, y, z) = − y

x2+y2 , Q(x, y, z) = xx2+y2 , а

R = 0. Пусть G = E2 r 0. Тогда Py = y2−x2

(x2+y2)2 , Qx = y2−x2

(x2+y2)2 , поэтому Qx − Py = 0, а остальные компоненты

автоматически равны 0, поэтому rota = 0. Рассмотрим верхнюю половинку S+ окружности x = cosϕ, y = sinϕ,

ϕ ∈ [0, π]. Тогда∫S+

(P dx +Qdy) =π∫0

((− sinϕ)(− sinϕ) + (cosϕ)(cosϕ)

)dϕ = π. Если теперь посчитать интеграл

по нижней половинке окружности S−, получится −π, поскольку эта дуга параметризуется отрезком ϕ ∈ [0,−π],причём порядок точек именно такой! Таким образом, поле a не потенциально.

Изучим поведение интегралов второго рода по замкнутым кривым в этом поле. Пусть кривая Γ ограничиваетобласть G, тогда рассмотрим несколько случаев:

1. Пусть (0, 0) /∈ G, тогда применима формула Грина, и∫Γ

(P dx +Qdy) =∫G

(Qx − Py) dx dy = 0.

2. Пусть G — окружность c центром (0, 0), а кривая Γ пробегает по этой окружности n раз в одном и том женаправлении. Тривиальный подсчёт, подобный тому, что мы проводили, когда доказывали непотенциальность,приводит к результату

∫Γ

= 2πn.

SΓ

D

G1

G2

x

y3. Пусть G — произвольная область, содержащая (0, 0). Опишем около

нуля окружность, целиком лежащую в G, и разделим область на фрагментыG1, G2 и D, как показано на рисунке. Легко видеть, что интеграл по кривойΓ можно будет представить в виде суммы трёх интегралов: по Γ1 := ∂G1, поΓ2 := ∂G2 и по S = ∂D. Поскольку (0, 0) /∈ G1, G2, имеем

∫Γ1

= 0,∫Γ2

= 0, а

∫S

= 2π. Можно рассмотреть несколько оборотов вокруг особой точки, тогда

получим∫S

= 2πn.

Замечание. Функция V (x, y) = arctg yx

годится для областей x > 0 и x < 0, поскольку если её продифферен-цировать, то получатся как раз компоненты P и Q векторного поля, рассмотренного в примере. Но посколькуэта функция вообще не определена при x = 0, потенциалом поля на E2 r 0 она не является.

Теорема 2.3. Пусть G — открытый прямоугольник (возможно, неограниченный) со сторонами, парал-лельными системе координат. Тогда любое гладкое векторное поле a в G с нулевым ротором потенциально.

Рассмотрим A(x0, y0, z0), B(x, y, z) ∈ G и соединим их кусочно гладким путём, состоящим из трёх отрез-ков, параллельных системе координат: ΓAB = (x0, y0, z0) . . . (x, y0, z0) . . . (x, y, z0) . . . (x, y, z). Несложно видеть,что указанный путь целиком лежит в области G. Покажем, что искомым потенциалом будет функция

V (B) :=

∫

ΓAB

(a, ds) =

x∫

x0

P (u, y0, z0) du +

y∫

y0

Q(x, v, z0) dv +

z∫

z0

R(x, y, w) dw.

В силу непрерывности поля, можно дифференцировать под знаком интеграла, тогда Vx = P (x, y0, z0) +

+y∫y0

Qx(x, v, z0) dv+z∫z0

Rx(x, y, w) dw. Если ротор нулевой, тоRy = Qz, Pz = Rx иQx = Py . Тогда Vx = P (x, y0, z0)+

+y∫y0

Py(x, v, z0) dv +z∫z0

Pz(x, y, w) dw =

ФНЛ

= P (x, y0, z0) + P (x, y, z0) − P (x, y0, z0) + P (x, y, z) − P (x, y, z0).

Аналогично проверяется, что Vy = Q(x, y, z) и Vz = R(x, y, z). Тем самым, построен потенциал для поля a.

2.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралы

Определение. Скажем, что в E3 задана гладкая поверхность, если задана функция r : Ω(u, v) → E3(x, y, z),причём r ∈ C1(Ω), и векторы ru и rv не коллинеарны. Последнее условие можно записать так: [ru, rv] 6= 0.Действительно, модуль векторного произведения [a, b] — это площадь параллелограмма, натянутого на вектораa и b, поэтому если они коллинеарны, то оно нулевое.

Поверхности можно задавать и другими способами. Например, если z = f(x, y) — гладкая функция, то еёграфик будет гладкой поверхностью в E3. Действительно, имеем rx =

(1, 0, fx

)и ry =

(0, 1, fy

), поэтому эти

вектора не могут быть коллинеарными. Кроме того, если функция задана неявно гладким уравнением видаF (x, y, z) = 0, но его можно разрешить относительно одной из переменных, то локально это уравнение такжебудет задавать гладкую поверхность.

Вернёмся к общему определению и посмотрим, что даёт условие неколлинеарности. Распишем векторное

18

19 2.2.4. Площади поверхностей

произведение:∣∣∣∣∣∣

i j k

xu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣= (∆yz ,∆zx,∆xy) , ∆yz :=

∂(y, z)

∂(u, v), ∆zx :=

∂(z, x)

∂(u, v), ∆xy :=

∂(x, y)

∂(u, v). (1)

Если этот вектор ненулевой, то хотя бы одна из его компонент ненулевая. Пусть, для определённости, ∆xy 6=0, тогда по теореме о системе неявных функций, можно выразить u, v через x, y: u = u(x, y), v = v(x, y).Следовательно, z = z(u, v) = z

(u(x, y), v(x, y)

)= f(x, y). Таким образом, все три способа локально эквивалентны.

Рассмотрим замену переменных для параметров, задающих поверхность. Пусть

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

u = u(s, t),

v = v(s, t).

Дифференцируя сложную функцию, получаем ∂(x,y)∂(s,t) = ∆xy · ∂(u,v)

∂(s,t) . Аналогично получаем ∂(y,z)∂(s,t) = ∆yz · ∂(u,v)

∂(s,t) и∂(z,x)∂(s,t) = ∆zx · ∂(u,v)

∂(s,t) . Используя соотношение (1), получаем [rs, rt] = ∂(u,v)∂(s,t) [ru, rv]. Таким образом, если мы хотим,

чтобы замена сохраняла регулярность поверхности, необходимо требовать невырожденности матрицы Якобизамены координат, что вполне естественно.

Зафиксируем один из параметров v = v0, а второй параметр u будем менять. Тогда на поверхности получитсягладкая кривая с касательным вектором ru(u, v0). Эта кривая называется u-линией. Аналогично определяютсяv-линии на поверхности. Рассмотрим касательные вектора ru и rv. Они, очевидно, лежат в касательной к по-верхности плоскости, поскольку иначе мы получили бы противоречие с близостью точек касательной плоскостии поверхности. Поскольку они не коллинеарны, они образуют базис касательной плоскости.

Будем считать, что функции, задающие поверхность, можно непрерывно продолжить на Cl Ω.

Определение. Если r(∂Ω) является кусочно-гладкой кривой, то мы будем называть такую поверхностьгладким куском. Если поверхность может быть разбита на конечное число гладких кусков, то мы будем называтьеё кусочно-гладкой.

2.2.4. Площади поверхностей

Пусть поверхность S задана функцией z = f(x, y) в измеримой области Ω. Рассмотрим разбиение Ω = Ω1 ⊕⊕ . . . ⊕ ΩN . Пусть (xi, yi) ∈ Ωi, тогда Qi :=

(xi, yi, f(xi, yi)

)∈ S. Пусть Li := TQi

S — касательная плоскость вточкеQi к поверхности S, а li — тот её кусок, который проецируется на Ωi. Будем называть эти куски чешуйками.Поскольку «в малом» касательная плоскость совпадает с поверхностью, а разбиение можно считать достаточномелким, естественно было бы назвать площадью поверхности предел сумм площадей этих чешуек, если онсуществует. Формализуем это понятие.

Обозначим λ := cos∠(n, k), где n — вектор нормали к поверхности в точке Qi. Из геометрических соображе-ний ясно, что если Ωi — прямоугольник, то µ(Ωi) = λ · µ(li). Если же Ωi не является прямоугольником, то, всилу измеримости, его всегда можно приблизить сколь угодно точно наборами прямоугольников. Дефект можетвнести только граница, но µ(∂Ωi) = 0, поэтому она не навредит. Итак, соотношение µ(Ωi) = λ · µ(li) верно дляпроизвольных измеримых множеств.

Найдём коэффициент λ. Пусть F (x, y, z) = f(x, y)− z, тогда нормаль может быть записана как n = gradF == (fx, fy,−1). Поскольку нам нужны значения λ в точках (xi, yi), не будем для краткости записи писать ар-

гументы у частных производных. Имеем λ = |(n,k)||n|·|k| = 1√

f2x+f2

y+1. Таким образом, получаем формулу µ(li) =

=√f2x + f2

y + 1 · µ(Ωi). Из этих слагаемых естественным образом составляется интегральная сумма Римана, и

мы приходим к формуле площади гладкой поверхности:

area(S) =

∫

Ω

√f2x + f2

y + 1 dx dy.

Рассмотрим теперь общий случай, когда поверхность задана параметрически. Как уже было выяснено впредыдущем разделе, без ограничения общности можно считать, что

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(x(u, v), y(u, v)

).

Чтобы выразить из этих соотношений zx, zy, продифференцируем z как сложную функцию по u и v. Получимсистему линейных уравнений (

zuzv

)=

(xu yuxv yv

)(zxzy

).

19

20 2.2.5. Поверхностный интеграл первого рода

Матрица этой системы — в точности матрица Якоби, а она в данном случае невырождена. Решая систему поправилу Крамера, находим

zx =∆zy

∆xy

, zy =∆xz

∆xy

.

Пусть Ω(x, y) ↔ G(u, v), тогда остаётся подставить выражения для производных и сделать замену переменныхв кратном интеграле:

∫

Ω

√z2x + z2

y + 1 dx dy =

∫

G

√∆2zy

∆2xy

+∆2xz

∆2xy

+ 1 |∆xy| du dv =

∫

G

√∆2zy + ∆2

xz + ∆2xy du dv =

∫

G

|[ru, rv]| du dv.

Осталось проверить, что данное определение не зависит от выбора параметризации. Пусть задан диффеомор-

физм G(u, v) ↔ H(s, t). Тогда ∂(u,v)∂(s,t) 6= 0, а векторные произведения связаны формулой [ru, rv] = [Rs, Rt]

∂(s,t)∂(u,v) .

Тогда∫G

∣∣[ru, rv]∣∣ du dv =

∫H

∣∣[Rs, Rt]∣∣ ·∣∣∣ ∂(s,t)∂(u,v)

∣∣∣ ·∣∣∣∂(u,v)∂(s,t)

∣∣∣ ds dt =∫H

∣∣[Rs, Rt]∣∣ ds dt.

2.2.5. Поверхностный интеграл первого рода

Определение. Пусть в области Ω(u, v) параметрически задана хорошая поверхность S своим радиус-векто-ром. Пусть Φ: S → R. Если существует интеграл

∫Ω

Φ(r)∣∣[ru, rv]

∣∣ du dv, то говорят, что на S задан поверхностный

интеграл первого рода. Обозначение:∫S

Φ dS.

Многие свойства этого интеграла, например, линейность, очевидны из свойств кратного интеграла. Можнопоказать, что его значение не зависит от параметризации поверхности, но мы не будем этого проделывать,поскольку рассуждения аналогичны тем, что были приведены в конце предыдущего параграфа.

Когда поверхность задана функцией z = f(x, y), получаем∫S

Φ dS =∫Ω

Φ(x, y, f(x, y)

)√f2x + f2

y + 1 dx dy.

2.2.6. Ориентированные поверхности. Поверхностный интеграл второго рода

Пусть S — хорошая поверхность, заданная радиус-вектором r(u, v). Изготовим нормаль к поверхности:

n = ± [ru, rv]∣∣[ru, rv]∣∣ .

Знак «+» или «−» мы можем выбирать произвольно, что соответствует выбору «положительной» или «отри-цательной» стороны поверхности, или ориентации.

Определение. Полем нормалей к поверхности S называется отображение N : S → E3, заданное по правилуN : P 7→ n(P ), при условии, что мы зафиксировали один и тот же знак для всех нормалей. Если N — гладкоеотображение, то S называется ориентируемой, или двухсторонней, поверхностью.

Пример 2.2. Лист Мёбиуса не обладает подобным свойством: непрерывно протащив вектор нормали по егооси, мы не сможем состыковать его с начальным положением, ибо они будут направлены в противоположныестороны. Такие поверхности называются неориентируемыми.

Определение. Если на ориентируемой поверхности зафиксирована какая-либо ориентация, то такую по-верхность называют ориентированной. Мы будем обозначать ориентированные поверхности символом S∗.

Обычно мы будем выбирать нормаль со знаком +. Это не ограничивает общности, поскольку при переста-новке переменных параметризации u и v вектор нормали изменит знак на противоположный.

Пример 2.3. Пусть поверхность S задана функцией z = f(x, y). Тогда вполне естественно называть поло-жительной её верхнюю сторону, на которой (n, k) > 0.

Направление обхода границы гладкого куска поверхности должно быть согласовано с выбранной ориента-цией: если вектор нормали смотрит на нас, то обход контура должен быть задан против часовой стрелки. Привыборе ориентации для кусочно гладких поверхностей нужно следить за тем, чтобы направления обходов границна стыке были противоположными. Мы не будем исследовать вопрос о том, когда это можно сделать.

Выясним, какими свойствами должна обладать замена параметров, чтобы знак нормали сохранялся. Призамене координат r(u, v) ↔ R(s, t) имеем

n =[ru, rv]∣∣[ru, rv]

∣∣ =[Rs, Rt] · ∂(u,v)

∂(s,t)∣∣[Rs, Rt]

∣∣ ·∣∣∣∂(u,v)∂(s,t)

∣∣∣.

20

21 2.2.7. Формула Гаусса –Остроградского

Отсюда видно, что для сохранения знака нормали необходимо требовать ∂(u,v)∂(s,t) > 0, что естественно.

Определение. Пусть S∗ — ориентированная поверхность, на которой задано непрерывное векторное полеa = (P,Q,R). Тогда (a, n) тоже будет непрерывной функцией. В этом случае имеет смысл говорить об интеграле∫S

(a, n) dS, который обозначается∫S∗

(a, dS∗) и называется поверхностным интегралом второго рода.

Получим явное представление для этого интеграла:

∫

S∗

(a, dS∗) =

∫

S

P∆yz +Q∆zx +R∆xy

|n| dS =

∫

Ω

P∆yz +Q∆zx +R∆xy

|n| |n| du dv =

∫

Ω

P∆yz +Q∆zx +R∆xy du dv.

Пусть A ⊂ E3. Через Ax, Ay, Az мы будем обозначать проекции A на координатные плоскости параллельноосям x, y, z соответственно.

Предположим, что векторное поле имеет вид (0, 0, R), а поверхность S такова, что однозначно проецируетсяна плоскость (x, y). Это означает, что её можно представить в виде графика функции z = f(x, y). В этом случае∆xy = 1, поэтому получаем

∫S∗

(a, dS∗) = ±∫Sz

R(x, y, f(x, y)

)dx dy =:

∫S∗

R(x, y, z) dx dy. Следует понимать, что

последняя запись — всего лишь условное обозначение. Все наши рассуждения можно слово в слово повторитьдля полей вида (0, Q, 0) и (P, 0, 0), если дополнительно предположить, что поверхность допускает проецированиена плоскости (x, z) и (y, z). Используя похожие обозначения, приходим к символической записи

∫

S∗

(a, dS∗) =

∫

S∗

P (x, y, z) dy dz +Q(x, y, z) dx dz +R(x, y, z) dx dy.

2.2.7. Формула Гаусса – Остроградского

Пусть G ⊂ E3 — измеримая область, причём её граница S := ∂G является кусочно гладкой поверхностью.Пусть в области G задано векторное поле a ∈ C1.

Определение. Дивергенцией векторного поля a называется функция div a := (∇, a) = Px +Qy +Rz.

Формула Гаусса –Остроградского утверждает, что

∫

G

div a dx dy dz =

∫

S∗

(a, dS∗) =

∫

S

(a, n) dS,

где S∗ отвечает внешней стороне поверхности.

Определение. Рассмотрим односвязную измеримую область V в плоскости (x, y), ограниченную гладкойкривой, и цилиндр над ней. Кроме того, рассмотрим гладкие функции U(x, y) > L(x, y), которые назовём верхнейи нижней крышками. Цилиндроидом над V называется область G = V ×

[L(x, y), U(x, y)

]⊂ E3. Обозначения L

и U для крышек происходят, соответственно, от английских слов lower — «нижний» и upper — «верхний».

Докажем нашу формулу в частном случае, когда a = (0, 0, R). Пусть G представляет собой некоторыйцилиндроид над Gz, причём его цилиндрическая часть может и отсутствовать. Тогда

∫

G

div a dx dy dz =

∫

G

Rz dx dy dz =

∫

Gz

U∫

L

Rz dz dx dy!=

∫

Gz

[R(x, y, U(x, y)

)−R

(x, y, L(x, y)

)]dx dy

!!=

!!=

∫

S∗

z

R(x, y, U(x, y)

)dx dy +

∫

S∗

z

R(x, y, L(x, y)

)dx dy

!!!=

∫

S

(a, n) dS.

Переход «!» обоснован с помощью ФНЛ. Далее, «!!» следует из того, что мы употребили знак «−» на то, чтобыустановить ориентацию в нижней крышке. Действительно, поскольку мы договорились брать внешнюю нормаль,на верхней крышке она и так такая, какая нам нужна, а на нижней крышке она неправильная, поэтому её надоисправить. Что касается третьего перехода, отмеченного «!!!», то он обоснован тем, что поверхностный интегралпо цилиндрической части равен 0. Действительно, на этой части поверхности нормаль параллельна плоскости(x, y), поэтому a⊥n, значит, (a, n) = 0. Значит, эту компоненту интеграла действительно можно добавить к двумдругим слагаемым. Таким образом, в этом частном случае формула доказана.

Теперь перейдём к общему случаю. Здесь уже необходимо предположить, что область G представляется ввиде цилиндроидов по всем трём осям. Осталось воспользоваться аддитивностью.

Следствие 2.2. Если G — хорошая выпуклая область, то условия теоремы заведомо выполнены.

21

22 2.2.8. Формула Стокса

Следствие 2.3. Если область можно разбить на хорошие выпуклые куски, то формула тоже верна, по-скольку на общей границе кусков нормали будут выбраны противоположные, и интегралы по этим кускамуничтожатся.

Следствие 2.4. Дивергенция поля не зависит от системы координат.

Пусть div a ∈ C(G). Рассмотрим A ∈ G, тогда ∃ шарик Uε(A) ⊂ G. Пусть S∗ε := ∂Uε. Применяя

ФГО, получаем∫Uε

div a dx dy dz =∫S∗

ε

(a, dS∗). Применим к интегралу в левой части теорему о среднем1, получим

(div a)(ξ) · µ(Uε) =∫S∗

ε

(a, dS∗), где ξ ∈ Uε. Будем уменьшать радиус ε шарика, тогда в пределе шарик стянется

в точку A. В силу непрерывности, (div a)(A) = limε→0

1µ(Uε)

∫S∗

ε

(a, dS∗). Выражение в правой части не зависит от

системы координат, поэтому и дивергенция от неё не зависит. Эту формулу можно считать геометрическимопределением дивергенции.

Определение. Поле a называется соленоидальным в областиG, если для любой кусочно гладкой, замкнутойповерхности S ⊂ G имеем

∫S

(a, n) dS = 0.

Определение. Область называется поверхностно-односвязной, если любую замкнутую поверхность в обла-сти можно непрерывно стянуть в точку.

Пример 2.4. Открытый шар является поверхностно-односвязной областью. Если U — открытый шар ра-диуса R, а B — замкнутый шар с центром в той же точке и радиуса r < R, то U r B — «вишня без косточки»доставляет пример односвязной области, не являющейся поверхностно-односвязной.

Из следствия 2.4 следует, что div a = 0 в соленоидальном поле. Таким образом, div a = 0 — необходимоеусловие для соленоидальности. Как следует из ФГО, для поверхностно-односвязных областей это также и до-статочное условие.

2.2.8. Формула Стокса

Пусть a — векторное поле с непрерывным ротором. Формула Стокса гласит:

∫

S∗

(rot a, dS∗) =

∫

Γ∗

(a, ds).

Здесь S∗ — ориентированная гладкая поверхность, а Γ∗ — край этой поверхности с согласованной ориентацией.Сначала мы докажем формулу в частном случае, когда a = (P, 0, 0), а поверхность задана функцией z =

= f(x, y). В этом случае имеем rot a = (0, Pz,−Py). Распишем интеграл в левой части формулы Стокса:

∫

S∗

(rota, dS∗) =

∫

S

(rot a, n) dS = −∫

S

(Py cos(k, n) − Pz cos(j, n)

)dS =: I.

Рассмотрим уравнение касательной плоскости: fx(x−x0)+fy(y−y0)−(z−z0) = 0. Нормированные коэффици-

енты в этом уравнении и есть направляющие косинусы нормали. ОбозначимK :=√f2x + f2

y + 1 — нормирующий

множитель. Тогда cos(j, n) = εfy

K, а cos(k, n) = ε−1

K, откуда cos(j, n) = −fy cos(k, n). Подставляя эти косинусы в

интеграл I, получаем

I = −∫

S

(Py + Pzfy) cos(k, n) dS = −∫

S

∂

∂yP(x, y, f(x, y)

)cos(k, n) dS =

= −∫

S∗

z

∂

∂yP (x, y, z)ε

−1

KK dxdy = −

∫

S∗

z

∂

∂yP (x, y, z) dx dy =: J.

В этой формуле знак «−» выбран за счёт ориентации проекции.Применим к этому интегралу формулу Грина, не особо задумываясь о том, можно ли это делать. Поскольку

Q = 0 и R = 0, получаем J =∫Γ∗

z

P(x, y, f(x, y)

)dx =

∫Γ∗

(a, ds), что и требовалось доказать.

В этом доказательстве по существу было только то, что R = 0, а для полей вида (0, Q, 0) оно вновь проходитслово в слово. Если функция допускает проецирование на плоскость (x, z), то проблем тоже не возникает.

1Речь идёт об обобщении одномерной первой теоремы о среднем на случай кратных интегралов. Её доказательство ничем не

отличается от доказательства одномерной теоремы. — Прим. наб.

22

23 3.1.1. Гладкие многомерные поверхности

Такой трюк заведомо не пройдёт, если всё расположено в плоскости, параллельной (x, y). Но тогда n = const, инесложно показать, что формула Стокса утверждает равенство типа 0 = 0.

Следствие 2.5. Ротор векторного поля не зависит от системы координат.

Рассмотрим нормаль n в какой-либо точке области G и рассмотрим перпендикулярную ей плоскость,проходящую через её начало. Рассмотрим в этой плоскости диск σε радиуса ε. Здесь мы используем рассуждения,похожие на те, которые были при доказательстве независимости дивергенции от системы координат. Из формулыСтокса получаем формулу (rot a, n)(A) = lim

ε→0

1µ(σε)

∫Γε

(a, ds), где Γε = ∂σε. Это выражение для ротора может

служить его геометрическим определением.

Рассмотрим вопрос о потенциальности полей. Мы доказывали, что из потенциальности поля следует ра-венство rota = 0. Обратное, вообще говоря, неверно, но если нам удастся в некоторой области G для любогоконтура выбирать поверхность, затягивающую этот контур, то из формулы Стокса и критерия потенциальностиследует потенциальность поля:

∫Γ

(a, ds) =∫S

(rota, n) dS = 0.

3. Начальные сведения о дифференциальных формах

3.1. Дифференциальные формы

3.1.1. Гладкие многомерные поверхности

Пусть задано пространство Em, и 1 6 k 6 m. Сейчас мы заново определим k-мерные поверхности, несмотряна то, что в трёхмерном пространстве это уже было сделано. Пусть сначала k = 1.

Определение. Будем говорить, что задана гладкая одномерная поверхность, если Φ: G → Em биективнои имеет класс гладкости C1 в области G ⊂ E1. В координатной форме Φ(t) =

(ϕ1(t), . . . , ϕm(t)

). Потребуем

также, чтобы ранг дифференциала отображения Φ был полным, иначе говоря, rk dΦ = rk(ϕ′1, . . . , ϕ

′m) = 1.

Направление обхода такой гладкой поверхности, которую можно называть гладкой кривой, задаётся вдольвозрастания параметра t.

Замечание. Мы будем называть матрицей Якоби матрицу дифференциала отображения, даже если она неквадратная. По этой причине приходится говорить о рангах, а не об определителях.

Теперь рассмотрим случай k = 2.

Определение. Будем говорить, что задана гладкая двумерная поверхность, если Φ: G → Em биективно иимеет класс гладкости C1, причём rk dΦ = 2, а G удовлетворяет следующим свойствам:

1. G ⊂ E2 — выпуклая и ограниченная область.2. Отображение Φ и его частные производные могут быть продолжены по непрерывности на ClG.3. ∂G — одномерная поверхность.

Ориентация на поверхности задаётся так. Пусть на ∂G задана ориентация, тогда рассмотрим касательныйвектор v = (ϕ′

1, ϕ′2) к этой кривой. Рассмотрим также внешнюю нормаль n = (n1, n2) к области G. Будем

говорить, что параметризация ∂G согласована с внешней нормалью, если

n v

v

G

∣∣∣∣n1 ϕ′

1

n2 ϕ′2

∣∣∣∣ > 0.

Раскрывая определитель, получаем n1ϕ′2−n2ϕ

′1 > 0, но это условие означает, что угол между

векторами n и (ϕ′2,−ϕ′

1) =: v положителен. Заметим теперь, что v получается из v поворотомна угол +π

2 , поэтому v и n сонаправлены.Переходим к общему случаю, и будем считать, что уже определены поверхности размерности k − 1.

Определение. Будем говорить, что задана гладкая k-мерная поверхность, если задано биективное отобра-жение Φ: G→ Em класса гладкости C1, причём rk dΦ = k, а G удовлетворяет следующим свойствам:

1. G ⊂ Ek — выпуклая и ограниченная область.2. Отображение Φ и его частные производные могут быть продолжены по непрерывности на ClG.3. ∂G является поверхностью размерности k − 1.

Замечание. Часто поверхностью называют не отображение Φ, а его образ S = Φ(G) ⊂ Em.

Определение. Границей поверхности S называется множество Φ(∂G) и обозначается ∂S.

Из определения следует, что граница k-мерной поверхности является гладкой поверхностью размерностиk − 1. Действительно, пусть χ задаёт границу ∂G, тогда d(Φ χ) = dΦ dχ, но это композиция невырожден-ных линейных отображений, поэтому rk d(Φ χ) = max. Гладкость следует из теоремы о дифференцируемостикомпозиции.

23

24 3.1.2. Определение дифференциальной формы

Остаётся разобраться с ориентацией. Если χ(τ) задаёт границу ∂G, то, по аналогии с двумерным случаем,будем говорить, что ориентации согласованы, если

∣∣∣∣∣∣∣∣

n1∂χ1

∂τ1. . . ∂χ1

∂τk−1

......

. . ....

nk∂χk

∂τ1. . . ∂χk

∂τk−1

∣∣∣∣∣∣∣∣> 0,

где n = (n1, . . . , nk) есть вектор внешней нормали к области G. Напомним, что для упрощения жизни мырассматриваем выпуклые области.

Посмотрим, что нужно потребовать, если мы хотим сохранить ориентацию при переходе к другой системекоординат. Пусть сделана замена τ ↔ ν, тогда, дифференцируя сложные функции, получаем

∣∣∣∣∣∣∣∣

n1∂χ1

∂ν1. . . ∂χ1

∂νk−1

......

. . ....

nk∂χk

∂ν1. . . ∂χk

∂νk−1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

n1∂χ1

∂τ1. . . ∂χ1

∂τk−1

......

. . ....

nk∂χk

∂τ1. . . ∂χk

∂τk−1

∣∣∣∣∣∣∣∣·

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 . . . 0

0 ∂τ1∂ν1

. . . ∂τ1∂νk−1

......

. . ....

0 ∂τk−1

∂ν1. . . ∂τk−1

∂νk−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Из этого соотношения сразу следует, что нужно условие∣∣∂τ∂ν

∣∣ > 0. Действительно, мы хотим, чтобы определительслева был положителен, а первый сомножитель справа положителен по условию. Таким образом, выбраннаяориентация на ∂G индуцирует некоторую ориентацию на ∂S.

Рассмотрим частный случай, когда поверхность задана графиком функции. Для удобства положим p := k−1.В нашем случае имеем

t1 = t1,

. . .

tp = tp,

tk = f(t1, . . . , tp),

∂t

∂t= id ⇒ rk = p.

Рассмотрим уравнение касательной плоскости:

tk − t0k −(ft1(t1 − t01) + . . .+ ftp(tp − t0p)

)= 0.

Следовательно, вектор нормали имеет координаты(−ft1 , . . . ,−ftp , 1

). Чтобы проверить, согласован ли вектор

нормали с ориентацией, необходимо вычислить знак определителя

D :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−ft1 1 0...

. . .

−ftp 0 11 ft1 . . . ftp

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Этот определитель легко вычислить, транспонировав его матрицу и разложив по первому столбцу. Получаем,что при нечётных k он равен 1+f2

t1+ . . .+f2

tp, а при чётных — тому же числу, но со знаком «−». Таким образом,

для нечётных k нормаль согласована с ориентацией, а для чётных необходимо брать нормаль с другим знаком.

Замечание. Выведенное соотношение достаточно важно, поскольку оно будет использовано при доказатель-стве общей формулы Стокса.

3.1.2. Определение дифференциальной формы

Определение. Пусть V — векторное пространство над полем K. Отображение

f : V × . . .× V︸ ︷︷ ︸k

→ K

называется полилинейным, или, точнее, k-линейным, если оно линейно по каждому своему аргументу при фик-сированных остальных: f(. . . , αx + βy, . . . ) = αf(. . . , x, . . . ) + βf(. . . , y, . . . ), для любых x, y ∈ V и α, β ∈ K.

Определение. Пусть задано пространство Em, а в нём область G. Дифференциальной формой порядка k наG называется формальное выражение

ω(x, dx) :=∑

p1<...<pk

Fp1,...,pk(x) dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

,

24

25 3.1.3. Замена переменных в дифференциальной форме

где x ∈ G, а Fp1,...,pk∈ C1(G) для любого набора индексов pi, где pi ∈ 1, . . . ,m. При этом внешнее произве-

дение дифференциалов обладает следующими свойствами:1. Полилинейность.2. Кососимметричность: dx ∧ dy = −dy ∧ dx.3. Ассоциативность: (dx ∧ dy) ∧ dz = dx ∧ (dy ∧ dz).Следствие 3.1. dx ∧ dx = 0.

Замечание. Символом p ↑ k будем обозначать запись p1 < . . . < pk, а вместо p1, . . . , pk будем писать p[k].

Хотя мы не определили, где действуют значки, участвующие в записи дифференциальной формы, всё этоочень похоже на внешнюю алгебру. Поливекторы dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

являются базисом этого пространства, адифференциальная форма — их линейной комбинацией с коэффициентами из пространства C1.

Дифференциальные формы можно перемножать внешним образом: произведение ωk ∧ ωl форм порядка k иl есть дифференциальная форма порядка k + l.

3.1.3. Замена переменных в дифференциальной форме

Пусть x = Φ(t), где Φ: Em → Em класса гладкости C1. Ввиду линейности, многие свойства форм доста-точно изучить на базисных векторах. Рассмотрим базисный элемент ω0 = dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

. Тогда, подставляядифференциалы для координат x, получаем

ω0 =

(m∑

s1=1

∂ϕp1∂ts1

dts1

)∧ . . . ∧

(m∑

sk=1

∂ϕpk

∂tsk

dtsk

)=∑

s↑k

sgnσ · ∂ϕp1∂ts1

· . . . · ∂ϕpk

∂tsk

· dtσ(s1) ∧ . . . ∧ dtσ(sk).

Поясним, откуда берётся такое выражение. Сначала мы расписали все слагаемые по линейности, затем вынеслив начало все скалярные множители (в нашем случае — все частные производные). Заметим, что можно неписать те слагаемые, где есть повторяющиеся индексы si, поскольку при внешнем перемножении они дадутнуль. Наконец, можно упорядочить все индексы по возрастанию, а от этого в качестве коэффициента прикаждом слагаемом появится знак чётности подстановки индексов.

Чтобы понять, что представляет собой это выражение, рассмотрим пример, в котором k = 2, а m = 3.Обозначим для краткости cji :=

∂ϕj

∂ti, а ei := dti. Тогда

ω0 = dxp1 ∧ dxp2 =(cp11 e

1 + cp12 e2 + cp13 e

3)∧(cp21 e

1 + cp22 e2 + cp23 e

3)

=

= cp11 cp21 e

1 ∧ e1 + cp12 cp21 e

2 ∧ e1 + cp13 cp21 e

3 ∧ e1++cp11 c

p22 e

1 ∧ e2 + cp12 cp22 e

2 ∧ e2 + cp13 cp22 e

3 ∧ e2++cp11 c

p23 e

1 ∧ e3 + cp12 cp23 e

2 ∧ e3 + cp13 cp23 e

3 ∧ e3 =

= (cp11 cp22 − cp12 c

p21 ) e1 ∧ e2 + (cp11 c

p23 − cp13 c

p21 ) e1 ∧ e3 + (cp12 c

p23 − cp13 c

p22 ) e2 ∧ e3 =

=

∣∣∣∣cp11 cp21

cp12 cp22

∣∣∣∣ e1 ∧ e2 +

∣∣∣∣cp11 cp21

cp13 cp23

∣∣∣∣ e1 ∧ e3 +

∣∣∣∣cp12 cp22

cp13 cp23

∣∣∣∣ e2 ∧ e3.

В общем случае можно провести те же выкладки, и мы получим следующее:

ω0 =∑

s↑k

∂ (ϕp1 , . . . , ϕpk)

∂ (ts1 , . . . , tsk)dts1 ∧ . . . ∧ dtsk

.

Теперь остаётся вспомнить, что мы преобразовывали только одно слагаемое. В общем случае получаем

ω =∑

p↑k

∑

s↑k

Fp[k] Φ

∂ (ϕp1 , . . . , ϕpk)

∂ (ts1 , . . . , tsk)dts1 ∧ . . . ∧ dtsk

.

Определение. Полученное выражение называется прообразом дифференциальной формы при отображенииΦ и обозначается Φ∗ω.

Рассмотрим ещё один важный случай, когда Φ: Ek → Em. Можно слово в слово повторить предыдущиерассуждения, но теперь от суммы по наборам s ↑ k останется только одно слагаемое, поскольку теперь индексымогут меняться в пределах 1, . . . , k. Тогда получим следующее выражение:

ω =∑

p↑k

Fp[k] Φ

∂ (ϕp1 , . . . , ϕpk)

∂ (t1, . . . , tk)dt1 ∧ . . . ∧ dtk.

Замечание. По определению, дифференциальная форма порядка 0 — это функция F : Em → R.

25

26 3.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм

3.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм

Определение. Пусть задана дифференциальная форма порядка k, причём k < m. Внешним дифференциа-лом формы называется дифференциальная форма порядка k + 1 вида

dω :=∑

p↑k

dFp[k]∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

.

Отметим, что такая запись не является канонической для дифференциальной формы.

Теорема 3.1. Пусть ω1 и ω2 — дифференциальные формы, причём ω1 имеет порядок k. Тогда d(ω1 ∧ ω2) == dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2.

В силу линейности, утверждение теоремы можно проверять только на базисных векторах. Пусть ω1 == Fdxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

, ω2 = Gdxq1 ∧ . . . ∧ dxqr, тогда ω1 ∧ ω2 = FGdxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr. Имеем

d(ω1 ∧ ω2) = d(FG) ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr

=

=((Fx1 dx1 + . . .+ Fxm

dxm)G+ (Gx1 dx1 + . . .+Gxmdxm)F

)∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr=

= (Fx1 dx1 + . . .+ Fxmdxm) ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

∧Gdxq1 ∧ . . . ∧ dxqr+

+ (Gx1 dx1 + . . .+Gxmdxm)F ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr=

= dω1 ∧ ω2 + (−1)kFdxp1 ∧ . . . ∧ dxpk∧ (Gx1 dx1 + . . .+Gxm

dxm) ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr=

= dω1 ∧ ω2 + (−1)kω1 ∧ dω2.

В этих формулах появление (−1)k обусловлено протаскиванием dxi через k сомножителей.

Теорема 3.2. Пусть Fp[k]∈ C2. Тогда d(dω) = 0.

По определению дифференциала, имеем

dω =∑

p↑k

(∑

i

∂Fp[k]

∂xidxi

)∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

,

откуда, дифференцируя ещё раз, получаем

d(dω) =∑

p↑k

(∑

i

∑

j

∂2Fp[k]

∂xi∂xjdxi ∧ dxj

)∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk

.

Осталось заметить, что внутри скобок в выражении для второго дифференциала стоит тождественный нуль.

Действительно, в силу непрерывности частных производных имеет место равенство∂2Fp[k]

∂xi∂xj=

∂2Fp[k]

∂xj∂xi, а тогда в

силу кососимметричности внешнего произведения, каждое слагаемое в скобке встретится один раз со знаком«+», а второй раз со знаком «−». В итоге всё сократится.

Теорема 3.3. Пусть Φ: Em(t) → Em(x). Пусть F ∈ C2. Тогда d(Φ∗ω) = Φ∗dω.

Докажем утверждение для базисных векторов. Имеем ω = Fdxp1 ∧ . . .∧ dxpk, тогда, используя правило

дифференцирования произведения форм, получаем

d(Φ∗ω) = d (F Φdϕp1 ∧ . . . ∧ dϕpk) = d (F Φ) ∧ dϕp1 ∧ . . . ∧ dϕpk

+ F Φ d (dϕp1 ∧ . . . ∧ dϕpk) .

Второе слагаемое равно нулю, поскольку это будет линейная комбинация нулевых вторых дифференциалов.Что касается первого слагаемого, то это и есть Φ∗dω по определению дифференциала и Φ∗.

3.2. Формула Стокса

3.2.1. Интеграл от дифференциальной формы

Определение. Интеграл от дифференциальной формы. Пусть в Em задана гладкая поверхность S размер-ности k. Как мы знаем, это означает, что есть отображение Φ: A → Em, где A ⊂ Ek, а S = Φ(A). Пусть ω —дифференциальная форма порядка k в Ek. Рассмотрим Φ∗ω = F dt1 ∧ . . .∧ dtk. Положим

∫A

Φ∗ω :=∫A

F dt. Пусть

ориентации S и ∂S согласованы, тогда ∫

S

ω :=

∫

A

Φ∗ω.

26

27 3.2.2. Общая формула Стокса

Теорема 3.4 (Корректность определения интеграла). Пусть сделана замена t = t(u), где t : Ek → Ek,а ∂t∂u

> 0 для сохранения ориентации. Пусть x = Φ t(u) =: Ψ(u), где u ∈ B ⊂ Ek. Тогда∫B

Ψ∗ω =∫A

Φ∗ω.

Действительно, имеем

Ψ∗ω = F t(u) dt1 ∧ . . . ∧ dtk = F t(u) · ∂t∂u

du1 ∧ . . . ∧ duk.

Отсюда ∫

B

Ψ∗ω =

∫

B

F t(u) · ∂t∂u

du1 ∧ . . . ∧ duk =

∫

B

F t(u) · ∂t∂u

du!=

∫

A

F dt =

∫

A

Φ∗ω.

Равенство, отмеченное восклицательным знаком, следует из теоремы о замене переменных.

3.2.2. Общая формула Стокса

Теорема 3.5 (Формула Стокса). Пусть S — кусочно гладкая ориентированная поверхность размерно-сти k в Em. Пусть ω — дифференциальная форма порядка k − 1. Тогда

∫

S

dω =

∫

∂S

ω.

Пусть отображение Φ: Ek(t) → Em(x) задаёт нашу поверхность S, тогда S = Φ(A), где A ⊂ Ek. Всилу определения интеграла и свойств дифференциальных форм имеем

∫S

dω =∫A

Φ∗dω =∫A

d(Φ∗ω). С другой

стороны,∫∂S

ω =∫∂A

Φ∗ω. Теорема будет доказана, если мы докажем, что

∫

∂A

Φ∗ω =

∫

A

d(Φ∗ω).

ИмеемΦ∗ω =

∑

p↑k−1

Fp[k−1]dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1

.

Распишем дифференциал от этой формы:

d(Φ∗ω) =∑

p↑k−1

dFp[k−1]∧ dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1

=∑

p↑k−1

(∑

s

∂Fp[k−1]

∂tsdts

)∧ dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1

.

Зафиксируем набор p[k−1] и посмотрим, как будет выглядеть каждое слагаемое внешней суммы. Оно будетсостоять из k слагаемых k-ого порядка, но поскольку числа pi могут меняться от 1 до k, а в каждом наборе нетодинаковых, то во всех внутренних k слагаемых, кроме одного, будут множители с повторяющимися индексами.Следовательно, они обнулятся, и останется слагаемое с таким s, которого не было в наборе p[k−1].

В силу линейности можно, не ограничивая, однако, общности, доказывать утверждение для s = k, т. е. дляформы, имеющей вид ∂F

∂tkdtk ∧dt1 ∧ . . .∧dtk−1. Пропихивая первый множитель в хвост произведения, получаем

∫

A

d(Φ∗ω) = (−1)k−1

∫

A

∂F

∂tkdt1 ∧ . . . ∧ dtk = (−1)k−1

∫

A

∂F

∂tkdt.

Теперь мы временно забудем про этот интеграл и будем разбираться с другой половиной формулы. Имеем

∫

∂A

Φ∗ω =

∫

∂A

F dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1.

Спроецируем A на гиперплоскость π := tk = 0, получим множество D. Будем считать, что множество Aвыпукло, значит, у него есть «верхняя» и «нижняя» крышки U и L. Тогда

A =t : (t1, . . . , tk−1) ∈ D, tk ∈

[L(t1, . . . , tk−1), U(t1, . . . , tk−1)

].

Пусть ΠL и ΠU — образы нижней и верхней крышек соответственно, а ΠS — боковая часть. Будем предполагать,что проекция ΠS на π есть ∂D размерности k − 2, а ∂A = ΠL ∪ ΠU ∪ ΠS . Тогда ∂D как-то параметризуется:

27

28 4.1.1. Понятие двойного ряда. Методы суммирования

(t1, . . . , tk−1) = f(τ1, . . . , τk−2). Рассмотрим dt1 ∧ . . .∧dtk−1. Имеем∫

ΠS

= 0, поскольку dτj уже только k− 2 штук,

и когда мы подставим выражения для ti через τj в дифференциалы, обязательно появятся повторяющиесяиндексы в каждом слагаемом. Теперь посмотрим на верхнюю крышку: ориентация на ней правильная, поэтому

∫

ΠU

F (t1, . . . , tk−1, tk) dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 = (−1)k−1

∫

D

F(t1, . . . , tk−1, U(t1, . . . , tk−1)

)dt1 . . . dtk−1.

На нижней крышке ориентация неправильная, поэтому∫

ΠL

F (t1, . . . , tk−1, tk) dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 = (−1)k∫

D

F(t1, . . . , tk−1, L(t1, . . . , tk−1)

)dt1 . . . dtk−1.

Отсюда

∫

∂A

Φ∗ω =

∫

ΠU

+

∫

ΠL

= (−1)k−1

∫

D

F(t1, . . . , tk−1, U(t1, . . . , tk−1)

)dt1 . . . dtk−1−

− (−1)k−1

∫

D

F(t1, . . . , tk−1, L(t1, . . . , tk−1)

)dt1 . . . dtk−1

!=

!= (−1)k−1

∫

D

U∫

L

∂F

∂tkdtk dt1 . . . dtk−1

!!= (−1)k−1

∫

A

∂F

∂tkdt.

В этих выкладках «!» следует из ФНЛ, а «!!» — из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному.

Задача 3.1. Выведите из общей формулы Стокса трёхмерную формулу.

Указание. Возьмите поле (P,Q,R), рассмотрите дифференциальную форму ω = P dx+Qdy + Rdz и про-дифференцируйте, а потом напишите общую формулу Стокса для этой формы.

4. Кратные ряды

Хотя в названии главы этого не указано, мы будем для упрощения жизни изучать только двойные ряды.

4.1. Виды сходимости двойных рядов

4.1.1. Понятие двойного ряда. Методы суммирования

Определение. Двойной ряд — формальная запись∞∑

i,j=1

aij , где aij ∈ K, а K — основное поле R или C.

Определение. Будем говорить, что задан метод M суммирования двойного ряда∑aij , если задано пра-

вило выбора последовательности Sk, удовлетворяющей следующему свойству: Sk — произвольные конечныеподмножества членов ряда, такие, что любой член ряда aij содержится во всех Sk, начиная с некоторого.

Замечание. Иногда в определении метода суммирования требуют, чтобы Sk ⊂ Sk+1.

Замечание. Задание одного только метода суммирования ещё не позволяет сказать, сходится данный рядпри суммировании этим методом, или нет. Для этого необходимо ввести сходимость ряда по методу суммиро-вания, что сейчас и будет сделано.

Определение. Двойная последовательность Skl сходится к числу S, если ∀ ε > 0 ∃N : ∀ k, l > N имеем|Skl − S| < ε.

Введём несколько наиболее употребительных методов суммирования двойных рядов и определим сходимостьпо этим методам.

Определение. Рассмотрим Skl :=k∑i=1

l∑j=1

aij , получим двойную последовательность Skl. Ряд∑aij схо-

дится по прямоугольникам к числу S, если Skl → S как двойная последовательность. Такая сходимость ещёназывается сходимостью по Принсгейму, поэтому мы будем обозначать эту сходимость символом P .

Разновидностью P -сходимости является сходимость по прямоугольникам с ограниченным отношением. Еёопределение таково: пусть 0 < c1 < c2 <∞, тогда ряд сходится к S, если ∀ ε > 0 ∃N : ∀ k, l > N : 0 < c1 6 l

k6 c2

имеем |Skl − S| < ε. Графически это означает, что мы запрещаем рассматриваемым прямоугольникам быть

28

29 4.1.2. Повторные ряды

слишком плоскими, если рассматривать элементы ряда как точки на плоскости. Такую сходимость можно обо-значать символом (P, c1, c2). Ещё одна разновидность P -сходимости — сходимость по кубам. Её можно получитьиз предыдущей, если положить c1 = c2 = 1.

Принципиально другим видом сходимости является T -сходимость, где строится последовательность суммSn :=

∑i+j6n

aij , а затем исследуется на сходимость как обычная последовательность.

Следующие два вида сходимости похожи на T -сходимость и различаются только выбором Sn. Для сфериче-ской S-сходимости имеем Sn :=

∑i2+j26n2

aij , а для H-сходимости по гиперболическим крестам Sn :=∑

|ij|6n

aij .

Название последней объясняется тем, что можно рассматривать и отрицательные индексы, тогда множества Snбудут образовывать крестовидные фигуры на плоскости.

Замечание. С T -сходимостью мы уже сталкивались, когда доказывали теорему Мертенса: речь шла о двой-ном ряде, в котором aij := uivj .

Теорема 4.1 (Линейность сходимости). Пусть ряды∑aij и

∑bij сходятся при одинаковом методе

суммирования. Тогда при том же методе сходится ряд∑

(λaij + µbij) для любых λ, µ ∈ R.

Пример 1.1. Если для обыкновенных рядов сходимость влечёт стремление к нулю членов ряда, то длядвойных рядов из сходимости не вытекает даже их ограниченность. Рассмотрим ряд a1j := j, a2j := −j, осталь-ные положим равными 0, и просуммируем его по методу прямоугольников. Очевидно, при k > 2 имеем Skl = 0,поэтому

∑aij = 0.

Замечание. Сходимость ряда по одному методу почти никогда не влечёт сходимость по другому методу, по-скольку можно привести соответствующие примеры. Исключение составляет серия P -методов: из P -сходимости,очевидно, следует (P, c1, c2)-сходимость и тем более (P, 1, 1)-сходимость. Как несложно увидеть, ряд в примере,приведённом выше, не является ни T -сходящимся, ни S-сходящимся.

4.1.2. Повторные ряды

Наряду с двойными рядами, имеет смысл рассматривать повторные ряды. Пусть дан ряд∑aij , тогда можно

рассмотреть два повторных ряда∞∑i=1

∞∑j=1

aij и∞∑j=1

∞∑i=1

aij . Несложно видеть, что фактически речь идёт о двойных

пределах limk

limlSkl и lim

llimkSkl. Аналогично тому, как из существования повторных пределов не следует су-

ществования общего предела функции многих переменных, из существования повторных пределов не следуетсуммируемость ряда. Кроме того, различные повторные пределы могут быть различными по значению, дажеесли они существуют.

Пример 1.2. Рассмотрим ряд aij := 1i+1

(ii+1

)j− 1i+2

(i+1i+2

)j. В качестве упражнения предлагается показать,

что суммирование в одном порядке даёт 12 , а в другом − 1

2 .

Теорема 4.2. Пусть ряд∑aij является P -суммируемым. Пусть ∀ i сходится

∑j

aij. Тогда∑i

∑j

aij =

=∑aij , причём утверждается и существование этого повторного ряда, и равенство.

Имеем ∀ ε > 0 ∃N : ∀ k, l > N имеем |Skl−S| < ε, где S :=∑aij . Кроме того, поскольку конечная сумма

пределов равна пределу суммы, имеем liml

k∑i=1

Sil =k∑i=1

∞∑j=1

aij . Перейдём в неравенстве |Skl − S| < ε к пределу

при l → ∞, получим ∣∣∣∣k∑

i=1

∞∑

j=1

aij − S

∣∣∣∣ 6 ε,

откуда следует требуемое равенство.

Теорема 4.3 (Маркова). Пусть сходится повторный ряд∑i

∑j

aij. Пусть ∀ j сходится∑i

aij. Для l ∈ N0

положим Ril :=∞∑

j=l+1

aij. Тогда:

1.∑i

Ril сходится ∀ l ∈ N0.

2. Положим Rl :=∑i

Ril. Тогда сходимость∑j

∑i

aij равносильна существованию предела limlRl.

3. Пусть R = limlRl, тогда

∑i

∑j

aij =∑j

∑i

aij тогда и только тогда, когда R = 0.

Сам факт существования величин Ril следует из условия теоремы. Имеем

Ril =∑

j

aij − (ai1 + . . .+ ail).

29

30 4.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные ряды

Эти равенства можно просуммировать по i от 1 до ∞, поскольку в правой части всё сходится по условию:

∑

i

Ril =∑

i

∑

j

aij −(∑

i

ai1 + . . .+∑

i

ail

).

Таким образом, свойство 1 доказано. Предыдущее равенство в точности означает, что Rl =∑i

∑j

aij−l∑

j=1

∑i

aij .

Рассмотрим R0 =∑i

∑j

aij , тогда получаем R0 − Rl =l∑

j=1

∑i

aij , откуда следует свойство 2. Но, как несложно

видеть, из этого равенства следует и свойство 3, что проверяется возможностью устремить l → ∞.

Определение. Будем говорить, что (k, l) > n, если k > n и l > n. Будем также говорить, что (x, y) 6= 0, еслиx 6= 0, y 6= 0.

Теорема 4.4 (Критерий P -сходимости Коши). Для сходимости∑aij необходимо и достаточно усло-

вия Коши: ∀ ε > 0 ∃N : ∀ (k, l), (p, q) > N имеем |Skl − Spq| < ε.

Необходимость. Пусть ряд сходится, тогда ∀ ε > 0 ∃N : ∀ (k, l) > N, ∀ (p, q) > N имеем |Skl − S| < ε и|Spq − S| < ε. Тогда |Skl − Spq| = |Skl − S + S − Spq| < ε+ ε.

Достаточность. Заметим, что Sii является обычной числовой последовательностью, для которой крите-рий Коши доказан давным-давно. Из условия Коши для двойных последовательностей, в частности, следует,что ∀ ε > 0 ∃N : ∀ (k, k), (p, p) > N имеем |Skk−Spp| < ε, поэтому для Sii выполнен обычный критерий Коши.Значит, она сходится к некоторому числу S. Потребуем, чтобы ∀ ε > 0 ∃N : ∀ (k, l), (p, q) > N было выполнено|Skl −Spq| < ε и ∀ i > N было выполнено |Sii −S| < ε. Тогда |S− Skl| = |S −Skk +Skk −Skl| 6 |S−Skk|+ |Skk −− Skl| 6 ε+ ε. Отсюда следует сходимость.

4.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные ряды

Определение. Пусть Σ — множество всех частных сумм ряда∑ |aij |. Если sup Σ <∞, то двойной ряд

∑aij

называется абсолютно сходящимся.

Покажем, что в этом случае любой метод суммирования приведёт к тому же S. Положим bij := |aij | и∑bij

сходится абсолютно. Если S = supΣ, то ∀ ε > 0 ∃σ ∈ Σ, для которой S − σ < ε. Тогда, по определению методасуммирования, в последовательности Sn рано или поздно окажутся все слагаемые σ, значит, подавно, будемиметь S − Sn < ε.

Пример 1.3. Исследуйте на сходимость ряды:∑i,j>2

ij ,∑ 1

(i+j)α ,∑ 1

(i2+j2)α .

4.2. Двойные степенные ряды

4.2.1. Понятие двойного степенного ряда

Определение. Двойным степенным рядом называется выражение вида

∑

i=0j=0

aij(x− x0)i(y − y0)

j ,

где aij ∈ R и x, y, x0, y0 ∈ R. Точка (x0, y0) называется центром степенного ряда.

Очевидно, что линейным сдвигом всё сводится к случаю, когда центр ряда находится в точке (0, 0). По этойпричине будем рассматривать только такие ряды.

Теорема 4.5. Пусть члены ряда ограничены в точке (x∗, y∗). Тогда ряд сходится абсолютно при |x| < |x∗|и |y| < |y∗|.

В силу ограниченности, найдётся M , для которого∣∣∣aijxi∗y

j∗

∣∣∣ 6 M . Тогда

∣∣aijxiyj∣∣ =

∣∣aijxi∗yj∗∣∣ ·∣∣∣∣x

x∗

∣∣∣∣i

·∣∣∣∣y

y∗

∣∣∣∣j

6 M ·∣∣∣∣x

x∗

∣∣∣∣i

·∣∣∣∣y

y∗

∣∣∣∣j

.

Всё сведено к доказательству сходимости двойной геометрической прогрессии∑αiβj , где α, β < 1, но она

очевидна, поскольку произвольная её частная сумма ограничена числом∑i

αi ·∑j

βj .

Замечание. В этой теореме используется такая мелочь, как теорема сравнения для двойных рядов, но ввидуочевидности мы её здесь не приводим.

30

31 4.2.2. Абсолютная сходимость степенных рядов

Покажем, что бывают двойные ряды, которые сходится по кубам только в двух точках. Рассмотрим ряд∑aijx

iyj , где ai0 = a0i = i! при i > 2, а ai1 = a1i = −i! при i > 2. Остальные члены ряда положим равныминулю. Имеем

2!y2 3!y3 4!y4 . . .−2!y2x −3!y3x −4!y4x . . .

2!x2 −2!x2y3!x3 −3!x3y4!x4 −4!x4y. . . . . .

Введём Xn := 2!x2 + 3!x3 + . . .+ n!xn и Yn := 2!y2 + 3!y3 + . . .+ n!yn. Пусть Sn — частичные суммы нашегоряда при суммировании по кубам. Легко видеть, что Sn = Xn− yXn+Yn−xYn = Xn(1− y)+Yn(1−x). Отсюдаясно, что ряд сходится в (0, 0) и (1, 1). Покажем, что других точек сходимости у него нет. Очевидно, что случаиx > y и y > x симметричны, поэтому достаточно рассмотреть один из них. При x = y 6= 1 имеем Xn = Yn,откуда Sn = 2Xn(1 − x) → ∞ при n → ∞. Если x > 1, то доказывать нечего. Если x = 0, то доказывать опятьнечего, поскольку факториалы забивают показательную функцию. Если x = 1, то всё опять очевидно. Самыйсложный случай, когда 0 < y < x < 1, предоставляется читателю в качестве упражнения. В качестве указанияприведём полезное представление для Sn:

Sn = 2!(x2(1 − y) + y2(1 − x)

)+ 3!

(x3(1 − y) + y3(1 − x)

)+ . . .+ n!

(xn(1 − y) + yn(1 − x)

).

4.2.2. Абсолютная сходимость степенных рядов

x

y

Mα

Xβ

YβMβ

γ

Исследуем ряд∑aijx

iyj на абсолютную сходимость в точках луча Lα = y = αx,где α ∈ (0,+∞). По теореме о сходимости из предыдущего раздела ∃ ! Mα ∈ Lα, длякоторой ряд сходится во всех точках луча, которые расположены ближе, чем Mα, к на-чалу координат, и расходится во всех точках, расположенных дальше. При этом мы неисключаем возможности Mα = +∞. Покажем, что отображение α 7→ Mα непрерывно.Действительно, рассмотрим другой луч y = βx. По той же теореме точка Mβ должнанаходиться на отрезке [Xβ, Yβ ], в противном случае точка Mα не была бы границейсходимости: она лежала бы либо внутри области сходимости, либо внутри области рас-ходимости. Но ясно, что при небольших отклонениях угла β от α точка Mβ далеко не уедет.

Таким образом, на плоскости можно прочертить непрерывную кривую граничных точек сходимости ряда.Она, очевидно, не имеет самопересечений и, как несложно видеть, является графиком некоторой монотонноубывающей функции. Вблизи осей координат её поведение может быть различным: она может «втыкаться» вось, а может асимптотически к ней приближаться.

31