неделя 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 лекц. зан. 2 2 2 2...

УЧЕБНО-НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС «МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КЫРГЫЗСТАНА»

СТРУКТУРНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СОГЛАСОВАНО»Проректор по учебно-административной работе НОУ УНПК «МУК», д.и.н., доц. Муса кыэы Алина

1А. у / 20 Ф г. / / 2 (ДОг.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИИ КОМПЛЕКСНазвание дисциплины: «Профессиональная математика»

Название и код направления подготовки: 230111 Программирование в компьютерных

системах

Квалификация выпускника: Техник-программист

Форма обучения: очная

Составитель(и): Камбарова М.К.

График проведения модулей

3-Семестр

неделя 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17лекц. зан. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 111 2 2 2 2 2 3 2

ере 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Сем. Зан. 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1

«РАССМОТРЕНО»На заседании предметно-цикловой комиссии СПО «Таалим» НОУ УНПК «МУК»Протокол № Sjот «43 » /0 _____ 2 0 /3 г.Директор СПО «Таалим» - председатель предметно-цикловой комиссии Жумукова А.С._________

«ОДОБРЕНО»На заседании Учебно-методического объединения НОУ УНПК «МУК» Протокол № &от «/S » _____20/УгПредседатель Учебно-методического объединения /Л2Матвеева Т.В._______ , ' у * / ______

Директор Научной библиотеки НОУ УНПК «МУК»

Бишкек 2019 г.

2

ОГЛАВЛЕНИЕАННОТАЦИЯ 31 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЕЙ) 41. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4ЫМиссия и стратегия 41.2Цель и задачи дисциплины 41.3Формируемые компетенции, а также перечень планируемых результатов обучения по дисциплине. 41.4. Место дисциплины (модулей) в структуре ООП С ПО 52 СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ 53 СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 64 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ - ПРИЛОЖЕНИЕ 1 115 ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 116 ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ТЕКУЩЕГО, РУБЕЖНОГО ИИТОГОВОГО КОНТРОЛЕЙ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЕЙ) 15б.Шеречень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения дисциплины 156.2. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности 15б.ЗОписание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания 186.4. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценкизнаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности. 197 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕДИСЦИПЛИНЫ 297.1Список источников и литературы 297.2Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимый для освоения дисциплины (модулей) 298 ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯСАМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ 298.1. Планы практических (семинарских) и лабораторных занятий. 298.2. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модулей) 298.3. Методические рекомендации по подготовке отчетов по лабораторным работам 299 МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 3010 ГЛОССАРИЙ 3011 ПРИЛОЖЕНИЯ 32

3

АННОТАЦИЯ

Дисциплина «Профессиональная математика» представляет собой специализированный курс, который является одним из важнейших при подготовке специалистов по формированию теоретических и практических основ математики и ее приложений.

4

1 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЕЙ)1. Пояснительная записка

1.1 Миссия и стратегияМиссия НОУ УНИК «МУК» - подготовка международно - признанных, свободно

мыслящих специалистов, открытых для перемен и способных трансформировать знания в ценности на благо развития общества.

Главная цель Стратегии развития НОУ УНПК «МУК» на период с 2018 по 2023 г.г. соответствие уровня научно-образовательных технологий университета высоким современным требованиям.

1.2 Цель и задачи дисциплиныЦель дисциплины:Целью освоения дисциплины «Математика» является формирование теоретических и

практических основ математики и ее приложений.Задачи дисциплины:1. Формирование у учащегося системы математических знаний, умений и навыков,

необходимых в повседневной жизни, для продолжения образования, будущей профессиональной деятельности.

2. Развитие общих интеллектуальных умений (сравнение, обобщение, классификация, анализ, синтез, систематизация, абстрагирование, конкретизация), познавательных и общих учебных умений (поставить вопрос, сформулировать проблему, высказать и проверить гипотезу, сделать вывод, выделить главное, точно и лаконично выразить свои мысли).

3. Развитие математических способностей, включающих такие компоненты, как гибкость мышления, логика рассуждения, способность к абстрагированию, пространственное воображение, математическая интуиция, умение обосновывать и доказывать. Важнейшей целью процесса обучения математике является выработка умения использования полученных знаний для решения практических задач.

4. Развитие у учащихся интереса к математике, формирование представления об её месте в системе наук, её методологическом значении, роли в формировании общей культуры, осознания того, что средствами математики описываются и исследуются явления, процессы действительности.

5. Формирование в процессе обучения математике таких качеств личности, как самостоятельность, критичность, настойчивость, принципиальность, любознательность, целеустремлённость, умение преодолевать трудности, делать ответственный выбор.

1.3 Формируемые компетенции, а также перечень планируемых результатовобучения по дисциплине.

Дисциплина направлена на формирование следующих компетенций:• OKI. Различать числа. Производить арифметические и алгебраические операции

над числами. Уметь вычислять числовые значения различных математических выражений.• ОК2. Определять основные функции и выражения, знать их свойства. Понимать

различия, существующие между основными функциональными зависимостями. Производить арифметические и алгебраические операции с основными математическими выражениями. Уметь решать уравнения, неравенства и их системы, доказывать тождества.

• ОКЗ. Знать основные геометрические фигуры и их элементы. Владеть элементарными методами преобразования графиков основных функций. Использовать графическое представление аналитических выражений для анализа явлений из окружающей действительности.

• ОК4. Иметь понятие о детерминированных и недетерминированных процессах, различать их. Уметь производить операции над множествами. Владеть методами элементарной обработки статистической информации. Знать основные свойства вероятности и уметь их использовать для решения задач, связанных с окружающей действительностью.

5

В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:

Знать:1. - содержание утверждений и следствий из них, используемых для обоснования

выбираемого математического инструментария решения задач;2. - методы представления математических данных и основные методы работы с ними;3. - основные математические модели и методы решения экономических и социально

экономических задачУметь:

1. - логически мыслить;2. - применять математический инструментарий при решении поставленных задач.3. - выбирать оптимальные методики при решении профессиональных задач.

Владеть:1. - способностью производить самостоятельный выбор методов и способов решения;2. - навыками сбора, анализа, систематизации и обобщения необходимых данных для математической постановки и решения профессиональных задач.3. - навыками сведения профессиональных задач к математическим задачам

1.4 Место дисциплины (модулей) в структуре ООП СПО Дисциплина «Профессиональная математика» является частью профессионального

цикла (блока) дисциплин учебного плана по направлению подготовки специалистов СПО 050720 Переводческое дело

Для освоения дисциплины (модулей) необходимы компетенции, сформированные в ходе изучения следующих дисциплин и прохождения практик: основные разделы математики, программирования.

2 Структура дисциплиныОбщая трудоемкость дисциплины составляет 2 кредита, аудиторная работа

обучающихся с преподавателем 60ч., в том числе лекционные - 22, семинарские - 14, самостоятельная работа обучающихся 24 ч.

Наименование разделов и тем

Очная форма обучения

Количество часов

Лекции Практ. СРСВсего часов по теме

Раздел 1. Прямая линия5 3 5 13

Тема 1. Понятие уравнения прямой линии. 1 1 1

Тема 2. Уравнения прямых, параллельных осям координат, уравнение осей координат

2 1 2

Тема 3. Уравнение прямой в общем виде. 2 1 2

Раздел 2 Теория пределов 5 3 5 13

Тема 4. Теоремы пределов 1 1 2

6

Тема 5. Переменные и постоянные величины 2 1 2

Тема 6. Бесконечно малые величины 2 1 1

Раздел 3. Производная 4 2 5 10

Тема 9. Функция. Область определения функции. Обозначениефункциональности функции

2 1 1

Тема 10. Приращение аргумента и приращение функции

1 1 2

Тема 11. Непрерывность функции. 1 2

Раздел 4. Определенный интеграл. 4 3 5 11

Тема 12. Определённый интеграл как площадь. Вычисление определенного интеграла при помощи не определённого интеграла.

2 1 2

Тема 13. Определенный интеграл как предел суммы. 1 1 2

Тема 14. Простейшие свойства определенного интеграла

1 1 1

Раздел 5. Матрицы. 4 3 4 11Тема 15. Вида матриц,

действие над матрицами 1 1 1

Тема 16. Схема Сар нуса 1 1 2Тема 17. Метод Гаусса,

метод краммера. 1 1 1

Сдача 1 модуля 1Итого 22 14 24 36

3 Содержание дисциплины

№ Наименование раздела, темы дисциплины

Краткое содержание

Раздел 1 Основы теоции операционных систем.

1. Тема 1. Уравнение прямой с угловым коэффицентом

Угол наклона прямой коси ОхОх, расположенный в декартовой системе координат ОхуОху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления ОхОх к прямой против часовой стрелки. Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона заданной прямой.

7

Стандартное обозначение буквой kk. Из определения получим, что k=tg ak=tg а. Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность. Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот.

2. Тема 2. Угол между двумя отрезками

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 44 угла, из которых два - вертикальные, а два - смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

3. Тема 3. Уравнение прямой в общем виде.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + By + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Раздел 2 Теопия ппеделов

4. Тема 4 Теоремы пределов Теорема 1. (о пнедельном пепеходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

/ М = я 0 0Теорема 2. (о пнедельном пепеходе в

неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Д * Х г М „

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

lim с = ск—.Доказательство. f(x) =с, докажем,

lim / ( х ) = счто .Возьмем произвольное е>0. В

8

качестве d можно взять любое положительное|т - а\ < S к - с| = 0 € s число. Хогдапри 1 1 1 1

5. Тема 5 Переменные и постоянные величины

Постоянные и переменныевеличины. Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения. Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными. Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли

6. Тема 6 Бесконечно малые величины

Бесконечно малая величина — числовая функци я или последовательность, которая стремится к нул ю.Бесконечно большая величина — числовая функ ция или последовательность, которая стремится к б есконечности определённого знака.

1®*пчисел П — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрест поlim f ( x ) = 0

сти точки хо, если х^хоФункция называется бесконечно малой на бесконеч

lim f i x ) = 0ности, если x-*+cc ' либо

lim f ( x ) = 0x —>—30Также бесконечно малой является функция, предст являющая собой разность функции и её предела, то

lim f i x ) = аесть если х-*+оо

lim ( f i x ) — а) = 0, тоДх) - а = а(х), г—+оо • '

Раздел 3 Производная

7. Тема 7 Функция Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное

у = / ( х )значение у. Обозначение:Перемейную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой.Говорят, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции. Все значения, которые принимает х, образуют область

9

определения функции; все значения, которые принимает у, образуют множество значений функции.

8. Тема 8 Приращение аргумента и приращение функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины, например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия, как «приращение функции» и «приращение аргумента».

9. Тема 9 Непрерывность функции.

Функция .' ' ' ' называется непрерывной в точке й, если:функция ■ ■ ' ' определена в точке й и ее окрестности;существует конечный предел функции J '• ■' 'в точке й;это предел равен значению функции в точке й, т.е. 1^1 =При нахождении предела функции У = /(■*-), которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то естьПш fix) = f ( lim ж) = На)

Раздел 4. Эпиеделенный интегцал.10. Тема 10 Определённый интеграл

как площадь. Вычисление определенного интеграла при помощи не определённого интеграла.

Определённый интеграл — одно из основных понятий математического анализа, один из видов интеграла. Определённый интеграл является числом, равным пределу сумм особого вида (интегральных сумм)^. Геометрически определённый интеграл выражает площадь «криволинейной трапеции», ограниченной графиком функции В терминах функционального анализа, определённый интеграл — аддитивный монотонный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которыхесть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции.

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство и dv = d (uv) - v d a . Проинтегрировав его в пределах от а до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

10

ь ь ь

dv= ^d (uv) - 1 v du.а. а. а.

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

|зUV ,Iй

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

ju dv = uv д-J v du.a. a.

11. Тема 11. Определенный интеграл как предел суммы.

Предел, к которому стремится интегральная сумма SD при неограниченном произвольном разбиении D и стремлении к нулю максимального из отрезков разбиения называется определённым интегралом от функции f(x) на [a, t>l

12. Тема 12. Свойство определенного интеграла.

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.а.

J /O ) dx= 0.а.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:а.

J /O ) dx = F (a)- F(a) = 0.а.

Раздел 5.Матицы13. Тема 13. Виды матриц, действие

над матрицами Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C, Матрицей порядка ш*п называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и и - столбцов. Равенство матриц: Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.Виды матриц:-Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.-Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу

11

столбцов.-Матрица строка: матрица порядка 1*п (ш=1) имеет вид а11,а12,а13 и называется матрицей строки.

14. Тема 14 Метод Крамера, Метод Г аусса Метод Крамера (правило Крамера) — способ

решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Г аусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы

15. Тема 15. Правило СаррюсаПравило Саррюса — метод вычисления определителя матрицы третьего порядка. Наряду с правилом треугольника призвано внести в процесс вычисления определителя наглядность, уменьшив тем самым вероятность возникновения ошибки. Названо по имени французского математика Пьера Фредерика Саррюса

4 Конспект лекций - ПРИЛОЖЕНИЕ 1

5 Информационные и образовательные технологии

№п/п

Наименована е раздела

Видыучебнойработы

Формируемы е компетенции (указывается код компетенции)

Информационны е и образовательные технологии

1 2 3 4 5

12

2 Гема 1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

ЛекцияПрактика.С амостоятел ьна я работа

(ПК-2)(ПК-6)

Лекция-визуализацияс согласно теме занятия Лабораторная работапо темеПодготовка к занятиюс использованием электронного курса лекций

3 Гема 2 Угол между двумя прямыми


(ПК-1)(ПК-4)

(ПК-7)


4 Гема 3Уравнение прямой в общем виде


(ПК-2)(ПК-6)


6 Гема 4. Теоремы пределов


(ПК-1)(ПК-2)(ПК-6)


7 Гема 5.Переменные ипостоянныевеличины


(ПК-1)(ПК-4)

(ПК-7)


S Гема 6. Бесконечно малые величины


(ПК-2)(ПК-4)


9 Гема 9. Функция. Область определения функции.


(ПК-6)(ПК-7)

Лекция-визуализацияс согласно теме занятия Лабораторная работапо теме

13

Обозначениефункциональностифункции

Подготовка к занятиюс использованием электронного курса лекций

10 Гема 10. Приращение аргумента и приращение функции

Лекция Практика Самостоятельна я работа

(ПК-4)(ПК-6)


11 Гема 11.Непрерывностьфункции.


(ПК-2)(ПК-7)


Гема 12.Определённыйинтеграл какплощадь.Вычислениеопределенногоинтеграла припомощи неопределённогоинтеграла.


(ПК-2)(ПК-4) Лекция-визуализация

с согласно теме занятия Лабораторная работапо темеПодготовка к занятиюс использованием электронного курса лекций

Гема 13. Определенный интеграл как предел суммы.


(ПК-1)(ПК-7)


Гема 14.Простейшиесвойстваопределенногоинтеграла


(ПК-2)(ПК-4)


Гема 15. Вида матриц, действие над матрицами


(ПК-1)(ПК-7)

Лекция-визуализацияс согласно теме занятия Лабораторная работапо темеПодготовка к занятиюс использованием

14

электронного курса лекций

Гема 16. Схема Сариуса


(ПК-1)(ПК-7)


Гема 17. Метод Гаусса, метод краммера.


(ПК-1)(ПК-7)


6 Фонд оценочных средств для текущего, рубежного и итогового контролей поитогам освоению дисциплины (модулей)

6.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессеосвоения дисциплины

Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения дисциплины представляется в виде таблицы:

ЛЬ п/п Контролируем ые разделы дисциплины

(модулей)

Кодконтролируемой компетенции (компетенций)

Наименование оценочного средства

2 Гема 1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

(ПК-2)(ПК-6) Решение математических задач

Выполнение домашней работы Коллоквиум (Вопросы по темам/разделам дисциплины)

3 Гема 2 Угол между двумя прямыми

(ПК-1)(ПК-4)

(ПК-7)

Решение математических задач Выполнение домашней работы Коллоквиум (Вопросы по темам/разделам дисциплины)

4 Гема 3Уравнение прямой в общем виде

(ПК-2)(ПК-6)


6 Гема 4. Теоремы пределов (ПК-1)(ПК-2)(ПК-6)

Решение математических задач Выполнение домашней работы

15

Коллоквиум (Вопросы по темам/разделам дисциплины)

7 Гема 5. Переменные и постоянные величины

(ПК-1)(ПК-4)

(ПК-7)


S Гема 6. Бесконечно малые величины

(ПК-2)(ПК-4)


9 Гема 9. Функция. Область определения функции. Обозначение функциональности функции

(ПК-6)(ПК-7)


10 Гема 10. Приращение аргумента и приращение функции

(ПК-4)(ПК-6)


11 Гема 11. Непрерывность функции.

(ПК-2)(ПК-7)


Гема 12. Определённый интеграл как площадь. Вычисление определенного интеграла при помощи не определённого интеграла.

(ПК-2)(ПК-4)


Гема 13. Определенный интеграл как предел суммы.

(ПК-1)(ПК-7)


Гема 14. Простейшие свойства определенного интеграла

(ПК-2)(ПК-4)


Гема 15. Вида матриц, действие над матрицами

(ПК-1)(ПК-7)


Гема 16. Схема Сар нуса (ПК-1)(ПК-7)


16

Гема 17. Метод Гаусса, метод краммера.

(ПК-1)(ПК-7)


6.2. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности

Методические материалы составляют систему текущего, рубежного и итогового (экзамена) контролей освоения дисциплины (модулей), закрепляют виды и формы текущего, рубежного и итогового контролей знаний, сроки проведения, а также его сроки и формы проведения (устный экзамен, письменный экзамен и т.п.). В системе контроля указывается процедура оценивания результатов обучения, при использовании балльнорейтинговой системы приводится таблица с баллами и требованиями к пороговым значениям достижений по видам деятельности обучающихся; показывается механизм получения оценки (из чего складывается оценка по дисциплине (модулю).

Текущий контроль осуществляется в виде опроса, участие в дискуссии на семинаре, выполнение самостоятельной - оценивается до 80 баллов.

Рубежный контроль (сдача модулей) проводится преподавателем и представляет собой письменный контроль, либо компьютерное тестирование знаний по теоретическому и практическому материалу. Контрольные вопросы рубежного контроля включают полный объём материала части дисциплины (модулей), позволяющий оценить знания, обучающихся по изученному материалу и соответствовать УМК дисциплины, которое оценивается до 20 баллов.

Итоговый контроль (экзамен) знаний принимается по экзаменационным билетам, включающий теоретические вопросы и практическое задание, и оценивается до 20 баллов.

Форма контроля Срок отчетности Макс.баллов

количество

За одну работу

Всего

Текущий контроль:- Прием лабораторных работ

-опрос

- посещаемость

2,3,4,5недели

1,3,4 недели

1,2,3,4,5 неделя

8баллов

6баллов

2 балла

До 40 баллов


10баллов

Рубежный контроль: (сдача модуля)

5 неделя 100%х0,2=20 баллов

Итого за I модуль До100 баллов




Всего

Текущий контроль:

17

- Прием лабораторных работ

-опрос


6, 8,9 недели

7,8, недели

6,7,8,9,10 недели

10баллов

6баллов

2 балла



10баллов

Рубежный контроль: 10 неделя 100% х 0,2=20 баллов(сдача модуля)Итого за II модуль До

100 баллов




Всего

Текущий контроль:- Прием лабораторных работ

-опрос


12,14 недели

11,13,15 недели

11,12,13,14,15,16недели

8баллов

6баллов

2 балла



10баллов

Рубежный контроль: (сдача модуля)

16 неделя 100% х 0,2=20 баллов

Итого за III модуль До100 баллов

Экзаменатор выставляет по результатам балльной системы в семестре экзаменационную оценку без сдачи экзамена, набравшим суммарное количество баллов, достаточное для выставления оценки от 55 и выше баллов - автоматически (при согласии обучающегося).

Полученный совокупный результат (максимум 100 баллов) конвертируется в традиционную шкалу:

Рейтинговая оценка (баллов) Оценка экзамена

От 0 - до 54 неудовлетворительноот 55 - до 69 включительно удовлетворительноот 70 - до 84 включительно хорошоот 85 - до 100 отлично

18

6.3 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания

Текущий контроль (0 - 80 баллов)При оценивании посещаемости, опроса и приема лабораторных работ из расчета на

одну неделю учитываются:- посещаемость (2 балла одно занятие (10 баллов за модуль)- степень раскрытия содержания материала (2.8 балла одно занятие (14 баллов за

модуль);- изложение материала (грамотность речи, точность использования терминологии и

символики, логическая последовательность изложения материала (2.8 балла одно занятие (14 баллов за модуль);

- знание теории изученных вопросов (2.8 балла одно занятие (14 баллов за модуль);- сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков (2.8

балла одно занятие (14 баллов за модуль);-точность решения задачи (2.8 балла одно занятие (14 баллов за модуль).

Рубежный контроль (0 — 20 баллов)При оценивании контрольной работы учитывается:- полнота выполненной работы (задание выполнено не полностью и/или допущены

две и более ошибки или три и более неточности) - 8 баллов;- обоснованность содержания и выводов работы (задание выполнено полностью, но

обоснование содержания и выводов недостаточны, но рассуждения верны) - 14 баллов;- работа выполнена полностью, в рассуждениях и обосновании нет пробелов или

ошибок, возможна одна неточность - 17 баллов.- работа выполнена полностью, в рассуждениях и обосновании нет пробелов или

ошибок - 20 баллов.При оценивании теста учитывается:- полнота выполненной работы (задание выполнено не полностью и/или допущены

две и более ошибки или три и более неточности) - до 20 баллов;

Итоговый контроль (экзаменационная сессия) - ИК = Бср х 0,8+Бэкз х 0,2При проведении итогового контроля обучающийся должен ответить на 3 вопроса (два

вопроса теоретического характера и один вопрос практического характера).При оценивании ответа на вопрос теоретического характера учитывается:- теоретическое содержание не освоено, знание материала носит фрагментарный

характер, наличие грубых ошибок в ответе (2 балла);- теоретическое содержание освоено частично, допущено не более двух-трех

недочетов (5 баллов);- теоретическое содержание освоено почти полностью, допущено не более одного-

двух недочетов, но обучающийся смог бы их исправить самостоятельно (8 баллов);- теоретическое содержание освоено полностью, ответ построен по собственному

плану (10 баллов).При оценивании ответа на вопрос практического характера учитывается:- ответ содержит менее 20% правильного решения (3 балла);- ответ содержит 21-89 % правильного решения (7 баллов);- ответ содержит 90% и более правильного решения (10 баллов).

6.4. Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности.

Раздел УМК включает образцы оценочных средств, примерные перечни вопросов и заданий в соответствии со структурой дисциплины и системой контроля.

19

Контрольная работа

По разделу 1

1. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная её угловой коэффициент к и отрезок «Ъ», отсекаемый ею на оси Оу.

2. Дана прямая 2х + Зу + 4 —О Составить уравнение прямой, проходящей через точкуА/ ( 2;1):

а) параллельно данной прямой;

б) перпендикулярно к данной прямой.

3. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ~х " Зу + 5 —0 Зх + 2у - 7 —0 и одна из его вершин А (2; - 3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

4. Даны уравнения двух сторон прямоугольника х ~ 2у —0 х - 2у + 15 —0 и уравнение одной из его диагоналей + у - 15 —0 р£айти вершины прямоугольника.

5. Найти проекцию точки Р (- 8; 12) на прямую, проходящую через точки А(2; -3) и В (- 5; 1 ).

6. Найти точку M i , симметричную точке М2 (8, - 9) относительно прямой, проходящей через точки А ( 3; - 4) и В ( - 1; - 2 ).

7. Даны середины сторон треугольника Му (2; 1), М2 (5; 3 ) и Мз (3; -4) . Составить уравнения его сторон.

8. Даны вершины треугольника Му (2; 1), М2 ( - ! ; - ! ) и А /; ( 3; 2 ). Составить уравнения его высот.

9. Даны вершины треугольника А (1; - 1), В ( - 2; 1) и С' ( 3; 5 ). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

10. Определить угол между двумя прямыми:

а) 5х - у + 7 -0 , Зх + 2у =0 .

0 Зх - 2у + 7 —0, 2х + Зу - 3 =0 .

х - 2у - 4 =0, 2х - 4у + 3 =0 .

Зх + 2у - 1 =0, 5х - 2у + 3 =0

По разделу 21 )Что называется последовательностью?2)Дать определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

20

3) Какая последовательность называется сходящейся, что называется пределом последовательности?4) Дать определение предела функции на бесконечности.5) Дать определение окрестности точки.6) Дать определение предела функции в точке.7) Сформулировать свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.8) 3апишите первый замечательный предел и его разновидности. Какую неопределенность раскрывает этот предел?

9) Найти первые пять членов последовательности:

//_/а) ип = ; б) ип =(-!)// +1; в) ип 2п_.

п2 +1 //

п___10) Дана последовательность ип = , //=1,2,3, ... Найти такой номер

п ■ 1

N = N (е), что при n > N выполняется неравенство \нп / | г, для

8 = 0,1; 0,01; 10-4. Найти предел последовательности.

Найти пределы последовательностей при // —изо.


fix) —х7 + i x 3 4 - 2х2 +9.1. Найдите производную функции 4

2. Найдите значение производной функцииУ =-

в точке х° = 0 .

3. Для какой функции найдена производная УD 4х - х ,

У

4. Найдите значение углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции —9х- 4х и точке с абсциссой х° —1'

5. Найдите функции 9

f i r ) если(х) =3х2 - 2х

fix) — ■

в точкеsin X. 6. Напишите уравнение касательной к графику

21

с абсциссой х° " •

7. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени f с., если она движется прямолинейно по закону х^ — ~ t + 4 (координата измеряется метрах).

8. Определите точку максимума функции 3 + 8.v - х . у f ix)

9. По графику производной функции 1

У f укажите количество промежутков 1 3

убывания функции У ~ fix'-

10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

fix) - х •■<>- х) на промежутке I -


1. Найти производную следующих функций:

У =-х3 - 1

а) У = х2;б)У~х у * ; в) ^ ; г)-у =six + 4 - 3.

-is/х - б)4 .4 У = 3: X - 1

^ y = w x - w ;e) vx- + 1 ; ж) У = 1п(6 *) ; з)У — arctg Sin X

У =“-----у2. Составить уравнение касательной к графику функции 4 + х ■

а) в точке х = 2 ; б) в точке пересечения с осью ординат.

3. Найти производную п-го порядка функций: а) У =х ; б)У ~ а .4. Объём продукции “ (уел. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию

и —- [3 - 5t2 + 75f + 425 Где t - время (ч.) найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

5. Применяя правило Лопиталя, найти:

а)ел + е ' х - 2 \ Ух + £

йш-------- ------- lirmxlnxJ lim; б) х— » 0 ; в) *' ' ” six - 1

22

6. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) У =*2 “ 4х + 3 ; б)У =27хЭ ~ х + 1

7. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) У ; б)^ = х1п2 х

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) У =3х " 6;* на отрезке t ^ ;

б)

9. Исследовать функции и построить их графики:

2 ^ 1у - х +— , ,а) * ; б ) У = ( 2 + х ) е *

10.Расходы ® на рекламу влияют на валовой доход по полученному эмпирический(а) -Rr.il + \fa) R.. j-f R,.закону и , где 0 - доход в отсутствие рекламы. 11ри каких значениях о

оптимальные расходы на рекламу могут превысить весь доход в отсутствие рекламы?


1 )Что называется матрицей, определителем?2) 3апишите правило вычисления определителей второго и третьего порядков.3) Что называется минором, алгебраическим дополнением?4) Как формулируется теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца?5) Сформулируйте свойства определителей.

1.Образуют ли векторы а и b базис на плоскости. Если да, то найти координаты вектора с в этом базисе.A) о ={3, \},Ъ ={—5, 2}, с ={1, -5}.

Б) а ={3, 0}, Ъ ={2, -2}, с ={1,4}.

B) а —{ 1, 2}i& ={3, -4}, с ={2, 7}.

Г) я ={1, 2}, Ъ ={4, 2}, с ={3, 7}.

2. Е1айти угол между векторами р и q , если р =3 a b ,q 2а ЬЬ .A) а ={3 ; 2 ; -4}, b ={-5 ; 0 ; 1},

Б) а ={—2 ; 1 ; -7}, А ={6 ; 5 ; 2},

B ) а = { - 4 ; 1 ; 7 } , й = { 3 ; 1 ; 2 } ,

У =1 + х*пх на промежутке^ *’

23

3. Парал./елограмм построен на векторах а = р + 3q и Ъ = 2 р -q , где А)р = 4 , q = 6 , (p,q) = % 6 .Б)/> 5 , q 3 , (/;,</) я Д .

В)^=3 , q 2, 0 ,^ ) = 2л/з .Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

4. Компланарны ли векторы

A) а =(-2 ; 1 ; -5), b =(-4 ; 2 ; -10), с =(2 ; 5 ; 4),

Б) а =(3 ; 4 ; 6), й =(7 ; 3 ; 1), с =(-2 ; 3 ; -1),

B) а =(2 ; 0 ; 9), Ъ =(8 ; 0 ; 36), с=(~7 ; 5 ; 3)?

5. Найти точку С , делящую отрезок Аб в отношении АС : СВ =3: 4, если А) А( \ М В{~2- -3).

Б)А(2;4),5(5; 7).

В) А(3;8), В(5, 9).Экзаменационные вопросы:

Экзаменационный билет № 1

1. Числовая окружность на координатной плоскости.2. Производная функции. Физический и геометрический смысл производной.3. Вычислить производную функции f(x)=x4-6x9+4 в точках х=1, х=2


1. Определение основных тригонометрических функций.2. Алгоритм исследования функции с помощью производной и построение ее

графика.3. В цехе работают 3 станка. Вероятность отказа в течение смены для станков

соответственно равна 0,1; 0,2; 0,15. Найдите вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка.


1. Основные формулы тригонометрии.2. Аксиомы стереометрии.

3. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок,

в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии.

24


1. Формулы приведения в тригонометрии.2. Параллельные прямые.3. Найти производную функции у=4х3 - 0.5х2+ в точке х=2


1. Параллельность прямой и плоскости.2. Приращение функции и приращение аргумента.

3. Решить неравенство х2-5х+4 >0


1. Параллельность плоскостей.2. Касательная к графику функции.3. Выразить в радианной мере величины углов 45°, 36°, 72°


1. Вписанные и описанные многогранники.2. Производная в физике и технике.3. Построить график функции у = cos ( - х)


1. Перпендикулярность прямых и плоскостей.2. Метод интервалов.

25

3. Построить график функции у = tg (х+я)


1. Тела вращения.2. Производная сложной функции.3. Найдите область определения функции f(x)=


1. Производные тригонометрических функций.2. Многогранники. Построение сечений.3. Постройте график функции у =


1. Признаки возрастания и убывания функции.2. Вероятность события. Случайное событие. Классическое определение вероятности

события.3. Стороны прямоугольника равны 15 м и 20 м. Найдите приращения его периметра и

площади, если меньшую сторону увеличили на 0.11 м


1. Исследование функции у = cos (х).2. Декартовы координаты в пространстве.

3. Найти среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени [2;4], если известен закон движения точки: x(t)=5t - 4


1. Непрерывность функции. Точки разрыва. Асимптоты.2. Платоновы тела.

3. Решить уравнение f ' (х) =0, если f(x)=2x2-x

26


1. Исследование функции y=tg(x).2. Конус. Сечения конуса плоскостями.

3. Исследуйте функцию и постройте ее график у =х2-4х+3


1. Производная функции. Физический и геометрический смысл производной.2. Понятие объема. Формулы для вычисления объемов призмы, пирамиды, цилиндра,

конуса, шара.3. Вычислить объем шара, если его радиус равен 6.


1. Четные и нечетные функции.2. Симметрия прямоугольного параллелепипеда.

3. Постройте график функции у=х3 и проведите к нему касательную, проходящуючерез точку с абсциссой хо=3


1. Признаки возрастания и убывания функции.2. Полная группа событий. Противоположные события.3. Найти производную функции f(x) = (2х-7)8


27

1. Векторы в пространстве.2. Исследование функции y=ctg(x)

3. Найти производную функции f(x) = (х3 -2х2 +3)17


1. Критические точки функции.2. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

3. Задайте формулой хотя бы одну функцию, производная которой f ' (х) = 1 - sin(x)


1. Периодичность функций. Исследование функции у = sin(x).2. Теорема умножения вероятностей.

3. Найти область определения функции

Самостоятельная работа студентов:Подготовка доклада к занятию.Основные этапы подготовки доклада:•О выбор темы;•О консультация преподавателя;S подготовка плана доклада;S работа с источниками и литературой, сбор материала;S написание текста доклада;S оформление рукописи и предоставление ее преподавателю до начала

доклада, что определяет готовность студента к выступлению;•О выступление с докладом, ответы на вопросы.S Тематика доклада предлагается преподавателем в ФОС.

6.1

7 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины7.1 Список источников и литературы

Основная литература'.1. Н.П. Тарасов Курс Высшей математики2. Сборник задач по высшей математике длястудентов: Учебное пособие / Под

ред. В.И. Ермакова. - ИНФРА-М, 2007. - 575 с. (Серия «Высшее образование»).

Дополнительная литература'.

28

1. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: ВШ, 2003.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1.

3. М.:ВШ, 2000.

4. Астровский А.И., Широкова Н.А. Курс лекций по высшей математике. 4.1. - Ми.: ИСЗ, 2002.

7.2 Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимый для освоения дисциплины (модулей)

1. httD://www.iDrbookshoD.ru/2. htto://w w w . goog le.com /3. httD://kvrlibnet.kg/ru/4. httD://w w w .b ib lioteka.kg/5. www.iDrbookshoD.rn6. httD://ilim .box/7. httDs://w w w .w ho.int/hinari/en/8. httD:// search, eonet. com /9. httDs://w w w .cam bridge.org/core

8 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работыобучающихся

8.1. Планы практических (семинарских) и лабораторных занятий Методические указания по организации и проведению лабораторных занятий, (прилагается в приложении II)

8.2. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модулей)Методические указания предназначены для рационального распределения времени

студента по видам самостоятельной работы и разделам дисциплины. Они составляются на основе сведений о трудоемкости дисциплины, ее содержании и видах работы по ее изучению, а также учебно-методического и информационного обеспечения. В раздел включаются: рекомендации по изучению дисциплины (модулей) или отдельных тематических разделов, вопросы и задания для самостоятельной работы, материалы, необходимые, для подготовки к занятиям (разделы книг, статьи и т.д.). Раздел может быть представлен в табличной форме.

8.3. Методические рекомендации по подготовке отчетов по лабораторным работамТребования при оформлении лабораторных работ:1. Требованияо Первая страница Титульный листо Условия задачи, цели, этапы выполненияо Программный кодо Графикио Результатыо ВыводыПравила оформления лабораторных работ:• текст печатается на странице формата А4;• шрифт - Times New Roman;• размеры полей: левое - 3 см, верхнее - 2 см, правое - 2 см и нижнее - 2 см;• выравнивание по ширине.

http://www.iDrbookshoD.ru/

http://www.biblioteka.kg/

http://www.iDrbookshoD.rn

http://www.who.int/hinari/en/

http://www.cambridge.org/core

29

• размер шрифта основного текста - 12;• интервал межстрочный (полуторный) - 1,5;• название работы печатается полужирным, размер шрифта - 14;• заголовки печатаются жирным шрифтом 14-ым размером, перед ними следует

оставить пустую строку, выравниваются по центу;• подзаголовки печатаются жирным шрифтом 12-ым размером выравниваются по

центу;• нумерация страниц - внизу по центру.• Нумерация рисунков, графиков и т.п. Например: (рис.1 Название рисунка) рисунки

нумеруются снизу и по центру, таблица (Таблица 1. Название таблицы) таблицы нумеруются сверху выравнивание к правому краю.

о Библиографические ссылки при цитировании приводятся в конце статьи инумеруются согласно порядку цитирования в тексте. Указываются автор (сначала фамилия, потом инициалы), название, место и год издания, страница. Порядковые номера ссылок должны быть написаны внутри квадратных скобок (например: [1], [2]). Источники приводятся с указанием в алфавитном порядке фамилий и инициалов всех авторов, сначала отечественных, затем иностранных, полного названия статьи, названия источника, где напечатана статья, том, номер, страницы (от и до) или полное название книги, место и год издания. Фамилии иностранных авторов, название и выходные данные их работ даются в оригинальной транскрипции. Каждый источник приводится с новой строки.

9 Материально-техническое обеспечение дисциплиныМинимальные требования к материально-техническому обеспечению дисциплины:

- Компьютерный класс- проектор, экран- колонки

10 ГлоссарийЗнания- это освоенная человеком информация, ставшая его достоянием: она

существует объективно, но, будучи обретенная человеком, превращается в одну из основ его духовности, культуры, всей субъектной сущности. Знания формируются в результате целенаправленного подготовленного педагогического процесса, самообразования или жизненного опыта.Первичное понятие - понятие, не определяемое через другие понятия. Множество - совокупность объектов различной природы, объединенных по общему признаку.

Структура - совокупность взаимосвязанных аксиом на множестве и возникающий таким образом математический объект.Пространство (с соответствующим прилагательным)- общее название структур, связанных с непрерывностью.Зона - общее название пространства или его части с нарушением непрерывности.

Декартова или прямоугольная система координат - наиболее простой способ записи точек парами чисел (на плоскости) и тройками чисел (в пространстве).

Вектор направленный отрезок прямой АВ с началом в точке А и концом в точке В. Поверхность второго порядка геометрическое место точек пространства, декартовы

координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени относительно х, у,г.

Пренебрежимо малая величина - неформальное понятие, используемое для составления упрощенных математических моделей процессов и явлений (она заменяется

30

нулем). Примеры: тонкий лист бумаги заменяется на «бесконечно тонкий», автомашина на дороге заменяется на «точку».

Предел - общее название для постоянной величины такой, что переменная величина бесконечно приближается к ней.Функция (отображение, преобразование) - названия для переменной

величины, зависящей от другой (других) переменных величин, а также для самой зависимости.

Матрица-пря м оу гол ь ная таблица элементов<а/Я чиселматематических выражений),состоящая из m

строк и п столбцов:Минор- (от лат.М/«ог-меньший.) .В математике определитель, составленный из

элементов, стоящих на пересечении произвольно выделенных к строк и к столбцов данной матрицы или определителя.Парадокс- {от греч. Paradoxos -неожиданный, странный)

31

11 ПриложенияПРИЛОЖЕНИЕ 1

Лекция 1

Тема 1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угол наклона прямой и угловой коэффициент прямойПеред записью такого уравнения необходимо дать определение угла наклона прямой к оси Ох Ох с их угловым коэффициентом. Допустим, что задана декартова система координат Ох Ох на плоскости. Угол наклона прямой к оси ОхОх, расположенный в декартовой системе координат Оху Оху на плоскости, это угол, который отсчитывается от положительного направления ОхОх к прямой против часовой стрелки.

Когда прямая параллельна Ох Ох или происходит совпадение в ней, угол наклона равен 00. Тогда угол наклона заданной прямой (Ш, определен на промежутке [0,7t)[0, тг).Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона заданной прямой.Стандартное обозначение буквой kk. Из определения получим, что k=tg ttk=tg 0L Когда прямая параллельна Ох, говорят, что угловой коэффициент не существует, так как он обращается в бесконечность.

Угловой коэффициент положительный, когда график функции возрастает и наоборот. На рисунке показаны различные вариации расположения прямого угла относительно системы координат со значением коэффициента.

32

Для нахождения данного угла необходимо применить определение об угловом коэффициенте и произвести вычисление тангенса угла наклона в плоскости.

Пример 1Посчитать угловой коэффициент прямой при угле наклона равном 120° 120°.

Решение

Из условия имеем, что а — 120°а—120°. По определению необходимо вычислить угловой коэффициент. Найдем его из формулы k=tg 0=120=—Х' 3 k=tg (X 120 -3.Ответ: к=—л/[з к—-3.Лекция

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами - эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора —ХШ—* и —»ЬЬ—> , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку ОО и отложим от нее векторы — ЮА=—>ЬОА—>=Ь—» и — ЮВ=—А) О В—»=Ь—»Определение 1Углом между векторами —»аа—» и —Д)Ь—> называется угол между лучами ОАО А и О ВОВ.Полученный угол будем обозначать следующим образом: ( —>3.—ИЬ)з—»,Ь—»/ч

33

в /

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 00 до 7Ш или от 0 0 до 180180 градусов.( —>а,—>Ь)=0 а—>,Ь—>Л=0 , когда векторы являются сонаправленными и С— — Ь)=яа—>,Ь—>л=71, когда векторы противоположнонаправлены.Определение 2Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 9 0 9 0 градусов или пш2 радиан.Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол ( —»а,—*Ь )а—»,Ь—»л не определен.

Нахождение угла между векторамиКосинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведениеесть (—>а, —>b)=| |— а| |• | i i—>b| 11-cos("— a,—>b)a—>, b—>=a—>-b—>-cosa—>,b—>Л.Если заданные векторы —»аа—» и —»ЬЬ—* ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: cos^—>а,—>b)=(->a,->b)i i->aiн 11 -Ь|i ic o sa ^ ,b ^ A= a ^ , b ^ a ^ ■ b ^

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Пример 1Исходные данные: векторы —»аа—> и —»ЬЬ—> . Длины их равны 33 и 6 6 соответственно, а их скалярное произведение равно —9-9. Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos(/'^a,^b)=-93-6=-i2cosa^,b^/4=-93-6=-12,Теперь определим угол междувекторами: ("—>а,—►b)=arccos (-i2)=37i4a^,b^A=arccos (-12)=3тг4 Ответ: cosf—>а,—ИЬ)=-12, (л а ,^ Ь )= З я4

Лекция

34

Уравнение прямой на плоскостиОпределение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + By + С = О,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• С = О, А 40, В Ф 0 - прямая проходит через начало координат

• А = 0, В 40, С 40 {Ву + С = 0} - прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А 40, С 4 0 { А х + С = 0 } - прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А 40 - прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В 40 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + By + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2)

перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составил! при А = ЗиВ = -1 уравнение прямой: Зх - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + С = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: Зх - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точкиПусть в пространстве заданы две точки M i ( x i , y i , z i ) H Мг ( х у 2 , / л ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

X - A' V - } \ 2 Z.

х , - х, у , - у , z 1 - Z,

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прялюй упрощается:

>4 - V , ,У - у , - — — ( Х - Х г)

X, - X,

если х 1 4 Х2 и х = х 1 , если х i = хг .

35

>'а \\

Дробь Л = к называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

1)

у - 2 = х -1.V- у - 1 - О

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициентуЕсли общее уравнение прямой Ах + By + С = 0 привести к виду:

Л с

} ~ в ' в

А С- — - к: — — - Ь', т,е. у - кх + bи обозначить 1 ' ^' , то полученное уравнениеназывается уравнением прямой с угловым коэффициентом к .

Уравнение прямой по точке и направляющему векторуПо аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор “ ( a t . а;.), компоненты которого удовлетворяют условию А ш + В аг = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + By + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ах + By + С = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * А + (-1)*В = 0, т е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ах + Ау + С = 0, или х + у + С / А = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ А = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у -3 = 0

36

Уравнение прямой в отрезкахЕсли в общем уравнении прямой Ах + By + С = О СфО, то, разделив на -С,

А В----- х ------v - 1

С С 'получим: или

X V — + — - Ia h , где

аС

В

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а Ъ - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х у * I 0. Е1айти уравнение этой прямой в отрезках.

Нормальное уравнение прямой

Если обе части уравнения Ах + By + С = 0 умножить на число называется нормирующем множителем , то получим

xcoscp + ysincp - р = 0 -

нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы ц * С < 0. р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а ф - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.

V ■'1 которое

---X ------ у = 165 65

+ = 1(6 з /1 2 ) (■уравнение этой прямой в отрезках:

уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)

12 6 5 12у = — .V------ = — .V -1 3 .

.5 з 5

нормальное уравнение прямой:

37

J \ 2 ~ + ( - 5 ) 2 13 13 1 3 ”^ } ; cos cp = 12/13; sin cp= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см 2 .

- + - = 1Решение. Уравнение прямой имеет вид: 1 * , ab /2 = 8 ; ab=16; а=4, а=-4. а = -4 < 0 не

—+ — = 1подходит по условию задачи. Итого: ^ ^ или х + у - 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

X X

Решение. Уравнение прямой имеет вид:х - 0 v - 0 х у

_ 2 - о ~~ -3 - о ' - 2 ~~ - 3

х., - х . V., у. где X 1 = у 1 = 0; Х2

3.V — 2 у = 0.

-2 ; у2 = -

Угол между прямыми на плоскостиОпределение. Если заданы две прямые у = ki х + bi , у = к гх + Ьг , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

tg a ~А ", — к у1 +

Две прямые параллельны, если к] = кг Две прямые перпендикулярны, если ki = -1/ кг .

Теорема. Прямые Ах By • С 0 и A i х Bi у - Су 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты Ai = ХА. Bi = /43 Если еще и Ci = ХС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение. Прямая, проходящая через точку Mi (xi , yi ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

у - У 1

38

Расстояние от точки до прямойТеорема. Если задана точка М(хо, уо), то расстояние до прямой Ах + By + С =0 определяется как

d -

Доказательство. Пусть точка М i(x 1, у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и Mi :

с1 = у1{х1 - х , У + ( у 1- у „ У (1)

Координаты xi и yi могут быть найдены как решение системы уравнений:

|Ах + Ву+С - О\ Л[у - у п) - В { х - х 1:) =0

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М о перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

А(х- х о ) + В(у у.,) • Ахо + Вуо + С = 0,

то, решая, получим:

а 2 + в 2 ( Л х

+ +

в

Уо - j 2 0 2 №А + В

1о

+

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: у = -Зх + 7;у = 2х+1.

k 1 = -3; к 2 = 2 ; tgcp = ф= к 14.

Пример. Показать, что прямые Зх - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярны.

39

Решение. Находим: к i = 3/5, кг = -5/3, к 1* к 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), В (6 ; 5), С (12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

х - 0 v — 1 х у - 1 _ ?

Решение. Находим уравнение стороны АВ: ' 1 — ' 1 о — \ ''' 4 • 4 х = 6 у - 6 ;

О

2 х ~ 3 у + 3 = 0 ; ■'

Л

Й1Искомое уравнение высоты имеет вид: Ах + By + С = 0 или y = kx + b . k = - . Тогда у

3— х + hО= ^ . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному

3 3-1 = - —12-й. v - ,т + 17о оуравнению: ^ откуда b = 17. Итого: . **

Ответ: 3х + 2 у - 3 4 = 0.

ЛекцияТеоремы о пределахПредел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном:, а также математиками ХУШ века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 181 б году и Коши в 1821 году.

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция Дх) стремится к бесконечности при х стремящимся к а, если для любого М > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех х удовлетворяющих неравенству \х-а\ < d имеет место неравенство Дх) > М.

Ц.пьввНГ

2. Функция ограниченная при х® а.3. Функция ограниченная при х® Г.4. Теорема. Если lim*® af(x)=b, то функция Дх) ограниченная при х® а.5. Бесконечно малые и их свойства. limx®a а(х)=0

Теорема. 1. НслиДх) /з а, где а - б.м. при х® а, то Нщ#аДх)=& и обратно, если Нт.т®с7Дх)=й, то можно записать Дх)=й+а(х).

40

Теорема. 2 . Если limx®a a(.v) 0 и а(х) № 0 , то 1/а® Г.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м, на ограниченную функцию есть б.м.

6 . Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0 ).

Теорема. 4. Если н(х) J г(х) J v(x), и 1ппЛ-« „• w(x)=limx® а v(x)=b, то Итх®<з z{x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

7. Первый замечательный предел.

0.5sin(x) < 0.5х < 0.5tg(x)

sin(x)lim =1 .

х® 0 х

8 . Второй замечательный предел.

Переменная величина

жи

1 Я Цшп

ЛекцияПостоянные и переменные величиныПрименение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины, и в противоположность ей, понятие постоянной величины.Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значенияПостоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.

41

Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.Например Температура Т кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная Т=100°С. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, Т величина переменная.Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита х, у, z. А постоянные — первыми а, Ь, с.

ЛекцияБесконечно малые числаБесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится кнулю.

Исчисление бесконечно малых и большихИсчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.Бесконечно малаяПоследовательность ап называется бесконечно малой, если п—юо . Например,

последовательность чисел П. — бесконечно малая.lim fix) = О

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки хо, если х—>х®Функция называется бесконечно малой на бесконечности,

lim f(x) = 0 lim fix) = Оесли г—+ЭО либо ж—5-о с ' 'Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её

lim f(x) = a lim (fix) — а) = Определа, то есть если г—+30 7 , тоДх) - а = а(х), х —.-+эо^Бесконечно большая величинаВо всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумеваетсяопределённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx,неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при X —* +0G.

lim ап = ооПоследовательность ап называется бесконечно большой, если п—юсlim fix) = со

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки хо, если л—жо

Функция называется бесконечно большой на бесконечности,lim fix) = оо lim f(x) = ооесли ж—t+эо лиоо х—.у-зо v -

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших• Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.• Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.• Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно

малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

42

Если ап — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак,

то Щг — бесконечно большая последовательность.Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?О

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределенность (). Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и томже X —у Q. величины а(х) и Р(х) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

lim — — ОЕсли я—чз Q' , то Р — бесконечно малая высшего порядка малости, чем а.Обозначают р = о{а).

lim — = ОС'Если я—чз Q1 , то Р — бесконечно малая низшего порядка малости, чем а.Соответственно а = о(Р).

lim — — сЕсли я—»а Q' (предел конечен и не равен 0), то а и Р являются бесконечно малымивеличинами одного порядка малости.Это обозначается как Р = 0(a) или a = О(Р) (в силу симметричности данного отношения).

lim — = сЕсли я-*а oim (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина Р имеет т-й порядок малости относительно бесконечно малой а.Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.Примеры сравненияПри-'Е —> О величина х5 имеет высший порядок малости относительно х3, так

ХЪlim — = 0.

как -7—0 х С другой стороны, ,г имеет низший порядок малости относительно х ,

lim ^ = оо.так как я^ 0

С использованием Q-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде х5 = о(х3).

2 х? + ЬхШШ --------------■г—*0 X= 2х2 + 6х и g(x) = х являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2х2 + 6х = 0(х) и х = 0(2х2 + 6х).При X —'у 0 бесконечно малая величина 2х3 имеет третий порядок малости

9-г3lim — г = 2,

относительно х, поскольку бесконечно малая 0 J x 2 — второй порядок,бесконечно малая V — порядок 0,5.

Эквивалентные величиныОпределение

lim — = 1Если я—чз q s то бесконечно малые величины а и Р называются эквивалентными (а ~ /?)

2 х + 6lim -------- = lim {2 х + 6) = 6,я —>0 1 я—0 то есть при X —У () функцииДх)

43

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При X —► и справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

• sin х ~ х . t g x ^ X

. Ill( 1 + х ) ^ XX 1• е — 1 ^ х.

ТеоремаПредел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использованияsin 2 х

И т ------- .• Найти л:— X

Заменяя sinlx эквивалентной величиной 2х,sin 2 х 2 х

Inn------- Inn — 2.получаем ;Е— X X

ЛекцияФункцияФункция - это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула Р — Р Ф - это зависимость давления жидкости ?' от глубины '

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение У — I ■ ■ как раз и выражает идею такой зависимости однойвеличины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, илиправилу, обозначаемому J .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) и поопределенному правилу меняется -У.

Совсем необязательно обозначать переменные и У. Например, L (^) = ^ 0 (1 “Ь - зависимость длины от температуры^, то есть закон теплового расширения. Сама запись • ' ' означает, что величина ' ■ зависит от ' .

2. Можно дать и другое определение.

Функция - это определенное действие над переменной.

44

Это означает, что мы берем величину делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) - и получаем величину У.

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается г - а на выходе получается У.

У■>

Итак, функция - это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

ЛекцияПриращение функцииПри сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке хо со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности хо, удобно выражать разность f(x) - f(xo) через разность х - хо, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».Пусть х - произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки хо. разность х - хо называется приращение независимой переменной ( или приращением аргумента) в точке хо и обозначается Ах. Таким образом,

Ах = х -хо,откуда следует, что

х = хо + Ах.Говорят также, что первоначальное значение аргумента хо получило приращение Ах. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) - f(xo) = f (хо +Ах) - f(xo).Эта разность называется приращением функции f в точке хо, соответствующим приращению Ах, и обозначается символом Af (читается «дельта эф»), т.е. по определению

Af = f (хо + Ах) - f (хо),откуда

f (х) = f (хо +Ах) = f (хо) + Af.При фиксированном хО приращение Af есть функция от Ах. Af называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Ду для функции у = f(x)

ЛекцияНепрерывность функции.Понятие непрерывности функции в точке Основные понятия и определения ОпределениеФункция • ' ' называется непрерывной в точке й., если:функция J ■ ' определена в точке й и ее окрестности;существует конечный предел функции ■ ■ 'в точке й;

, l i m f (x)это предел равен значению функции в точке й, т.е. >и*Замечание

Д а)

45

При нахождении предела функции У ~ J ' ', которая является непрерывной, можнопереходить к пределу под знаком функции, то естьHim f(x) — f ( Ши а?) — Д а )J' —HI ‘ \J! —41 /Пример

ir2 + 1lim InЗадание. Вычислить предел *<» x 2 — 3

lim lu = In ( lim = In 1 = 0Решение. j.'—юс a’2 — 3

+ 1a,*2 - 3

lim In ■ = 0Ответ, .c >ot a.*2 — 3 Приращение аргумента и функцииРассмотрим функцию У = Д :1‘), которая определена в некотором интервале ' fl: ''"и рассмотрим произвольную точку П) из этого интервала: ^0 € (й; Ь)ОпределениеПриращением аргумента 1 : " в точке называется разность Д ,? = ~ :,‘ПЗамечание. Из последнего равенства легко увидеть, что х ;,‘п + Д £.Приращением функции Д У = Д / = Д / ) в точке Л называется разность соответствующих значений функции J ' 1 ' J ( :,‘0 ' или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:Ду = Д / = Д/(л?о) = f ( x ) ~ / Ы = Д#о + Дх) — f ( x о)ТеоремаФункция ■ : ■ ' непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента А х соответствует бесконечно малое приращение функции Д j ( ^ 0 ):lim Ду = lim Af (x$) = lim [Д^о + Дат) — Дхо)] н 0Д.Е —*0 1 Дх—Щ Дх-*0

Пример_ 2

Задание. Исследовать на непрерывность функцию У _ 2

Решение. Функция У определена в любой точке из Н Найдем приращение заданной функции Ду произвольной точке х.А у = f ( x + Ах) - f (x) — (х + А х)2 - х 2 -= х 2 - 2хА х + А х 2 ■ х 2 = А х 2 - 2хА хТогдаlim A y = lim (Лд‘2 - 2.гД.г) = О

As: .1 ) Д i- . O ' 7 _ 2А тогда делаем вывод, что функция У является непрерывной.

,. _ >2Ответ. Функция У ’ является непрерывной.

Лекция 10Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-ЛейбницаОпределённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [а, Ь] (где а * ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла! При этом употребляется запись

а.Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено &&), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) - F(a)).

46

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а, Ь] - отрезком интегрирования.Таким образом, если F(x) - какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласноопределению,ь\ j{x)dx=F{h)-F{a) .- (38)Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) - F(a) кратко записывают так:

а

F(x) ьа.'

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

\ f ( x ) d X = F(x)\i.* (39)Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) - произвольные первообразные подынтегратьной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + С. Поэтому ф( Ь) -ф(а) =

= [F(b)+C-]-[F(a)+C] = F (b) -F (a )Тем самым установлено, что на отрезке [а, Ь] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела Ь, далее - значение нижнего предела а и вычисляется разность F(b) - F(a). Полученное число и будет определённым интегралом..При а = b по определению принимаетсяА.| f (x)dx = 0.

Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов, потребуется таблица основных неопределённых интегралов и пособие "Действия со степенями и корнями".Пример 1. Вычислить определённый интеграл

47

s =| ifx idx. оРешение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

f \ / х ййг = [ xy3dx = - - - - - + С = — xifx + С.J J 4 /3 4Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

| Цх dx = -x lfc j® = - • S-VS - 0 - 12.0 4 4Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).Пример 2. Вычислить определённый интеграл

j в2"dx.1

Решение. Используя формулу

[Л * г = - e fe+ С,J кполучим

ЛекцияОпределенный интеграл как предел интегральных сумм

Криволинейной трапецией называется область на плоскости ^ ХУ ограниченная осью прямымиУ , X где а < Ь и графиком непрерывной на отрезке l-43’ функции У ~ f (см рис. ])

Р

азбиением отрезка I<3, нал частей называется набор чисел Ао < xi < х 2 < - ■ < хп из этогоу X~i у ~~ I'l I у у Iотрезка, где 0 и п .В каждом отрезке (элементарном участке) 1 1 ’ * 1 разбиения

выберем некоторую точку > L i~ l* ' J . Такое разбиение обозначим буквой J , а длину элементарного участка - через Х; ~~Х' Х|-1. Пусть на отрезке t а * определена некотораяфункция У ~ 1 х) .

Определение. Интегральной суммой для функции У ~ f _ построенной по разбиению 2отрезка^0 ’ 3 , называется сумма произведений значений функции в выбранных точкахС' на длины элементарных участков.

48

I f (T) = £ f(ci )AxiОбозначение: 1=1 . Если ^ х) —0 B [о ,Ь ]равнина ощади соответствующей криволинейной трапеции.

£ (X)то 1 / приближенно

Определение. Определенным интегралом от функции У f на отрезке называетсяпредел интегральных сумм этой функции по разбиениям отрезка а ’ , у которых максимальный стремится к нулю. т.е.

tf (x)dx= lim У f (T)max Ах[ -> О

Если f в ^ I , то этот интеграл выражает/иочну/о площадь соответствующейкриволинейной трапеции.

Теорема. Если функция У ~ f (х) непрерывна на от реже t 0 ? X] ти имеет на нем конечное число

rточек разрыва первого рода, то эта функция интегрируема на £ 0 , т е а существует.

11.1 §4. Свойства определенного интеграла

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции - интегрируемы в соответствующих отрезках.

\Cdx =С(Ь - а)1)а С - постоянная.

ъ ъ(f (x)dx < (g(x)dx

2) Если , тоа а

3) Оценка определенного интеграла снизу и сверху. Если на отрезке I ^ I функция fМ.т.е.еслина1а,Ь] m < f ( x ) < Mошраничена снизу и сверху числамит и

bт ф - а ) < J f ( x ) d x < М ф - а )

.то

4) Теорема о среднем. Пусть функция У непрерывна на отрезке I С1’ Ь~\ , тогда на этомотрезке найдется такая точкас, что

$ f ( x ) d x - f (c)(b - a )a

f i e ) [a ,b ]Это значение называется средним значением функции на

49

5) Оценка модуля определенного интеграла.

ъ

ff(x)dxо

<1 f(x)\dxО

ь bf (A f ( x ) + Bg(x))dx = A f f ( x ) d x + В jg(x)dx.

6) Свойство линейности. ° " “

6) Свойство аддитивности. Если выполняется неравенство й < С < Ь то

Ь с Ь

j f(x)dx=tf(x)dx+ jf(x)dxа с

] f ( x ) d x - J f (x)dx Jf (x)dxЕсли a < О, то интегралом b называется число 0 . Интеграл aсчитается равным нулю. Свойство аддитивности справедливо (при условии существованияинтегралов) для чисел с расположенных в любом порядке, т.е. требование й < С < Ь здесь не обязательно.

Теорема 1. (Ньютона - Лейбница) Пусть функция У ' непрерывна на отрезке ^ и функция У ~ F(x) есть ее первообразная на этом отрезке, тогда

Ь

Jf(x)dx=F(b)- F(a) =F(x)а

b

а

Теорема 2. (Замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция У f 'А| непрерывна в отрезке^0 , а функция х монотонная и непрерывно дифференцируема вотрезке1 а ,/Л гдеф(а) =а ф(Ю =Ь тогда

J f (x)dx = j f (^(t))^D(t)dta a

Теорема J. (Нахождение определенного интеграла no частям) Пусть функции У иу — v(x) неПрерЫвно дифференцируемы в отрезке^-а , ^> , тогда верно равенство

50

ju d v-wСокращенная запись:

■ №

11.2 §5. Несобственные интегралы

Пусть функция У ~ f непрерывна в промежутке t ° ’+0°) Несобственным интегралом от а до от этой функции называется предел:

+ 0 0 Ь

J f ( x ) d x = lim j f ( x ) d xa b 4 + ® a

Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся,если он не существует, то интеграл называется расходящимся. В случае, если ' * * впромежутке [°>+00) . такой интеграл выражает площадь неограниченной фигуры с границами:У — . У ~ ^ (х — °) и графиком функции У — ' . Для сходящегося интеграла эта площадьконечна, для расходящегося - бесконечна. Формула Ньютона-Лейбница для таких несобственных интегралов имеет вид:

=limF(*)-F(o)

Пусть теперь функция У непрерывна в промежутке 00 ’ . Тогданесобственныминтегралом от ~ dob называется предел

f f ( x ) d x = lim f f ( x ) d xQ—> -00

Такой интеграл (при ) выражает площадь фигуры с границами:

У =0 х - Ъ (х —Ь) ИУ = f (х)

x)dx=F(xb

Формула Ньютона-Лейбница:оо

=F(i)- limF(x)J-t-tC

Если функция У ' 'Л непрерывна на всей числовой оси, то несобственным интегралом от ~ ^ до J называется следующая сумма двух интегралов

JfO) = JfO )^ + Sf(x)dx- ос - 00

51

(здесь С . некоторое число). Это определение не зависит от выбора С Такой интеграл называетсяслуЩямц/л/ея, если сходятся оба интеграла:

с +соj f ( x ) d x J f ( x ) dx

- *>' и с

JY ( x ) dxЕсли хотя бы один из этих интегралов расходится, то интеграл - “

тзываетсярасходящимся. Приу = 0 у — f(x) границами-7 и-7 ' '.

f (x) > 0 J f ( x } d xинтеграл - 00 выражает площадь области с

Формула Ньютона-Лейбница:

к + С0

00

=limF(x)- IimF(x)*-*ю

ЛекцияОсновные свойства определенного интеграла

. Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 55 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что аа не превосходит bb.

Основные свойства определенного интеграла Определение 1Функция у = f(x)y = f(x), определенная при х=ах=а, аналогично справедливому равенству Jaaf(x)dx=0 jaaf(x)dx=0 .Доказательство 1Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма оо для любого разбиения на промежутке [а; а] [а; а] и любого выбора точек ЗЕр равняется нулю, потому как xi-xi~l=0 , 1=1, 2 ,.., nxi-xi-l=0 , i=l, 2 ,.., п, значит, получаем, что предел интегральных функций - ноль.Определение 2Для функции, интегрируемой на отрезке [а; Ь][а; Ь|, выполняется условие jbaf(x)dx=-Jabf(x)dxjabf(x)dx=-jbaf(x)dx.Доказательство 2Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки x=bx=b. Определение 3jba(f(x)±g(x))dx=jbaf(x)dx±|bag(x)dxJabfx±g(x)dx=jabf(x)dx±Jabg(x)dxпpимeняeтcя для интегрируемых функций типа у= f(x)y= f(x) и y=g(x)y=g(x), определенных на отрезке [а;Ь][а;Ь].Доказательство 3Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x)y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором

52

точек ф Д:o=Xni=1 (f(y)±g(y))• (x i-x i-1 )==^ni=1 Дф)- (x i-x i-1 )±£ni=1 g((î)-(xi-xi-1 )=of±og о=ф =1 nfy±gy• xi-xi-1 ==ф=1 nf(y) xi-xi-l±î=1 nggi xi-xi-1 =of±og где of of и ogog являются интегральными суммамифункций у = f(x)y = f(x) и у = g(x)y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при k=m axi=l, 2,..., n (x i-x i - l )—>-0k=maxi=l, 2,..., n(x i-x i-l)—►() получаем, что lim kÔ oM im k—>-0(of±og)=limk—>-0og±limk—>-0oglimk—>-0o=limk—>-0of±og=limk—>-0og±li mk—>0og.

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Определение 4Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [а; Ь] [а; Ь] с произвольным значением kk имеет справедливое неравенство вида Jbak-f(x)dx=k-Jbaf(x)dxJabk f(x)dx=k Jabf(x)dx.Доказательство 4

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:

o=XniMk-f(^)^xi-xi-l)=MoXni=lf(î)-(xi-xi-l)=k-of=>limk—>-0o=limk—>-0(k-of)=k4imk—>0о f=^Jbak-f(x)dx=k-Jbaf(x)dxo=Xi= 1 nk-fy-(xi-xi-l )==1<Д4=1 nfy(xi-xi- l)Mrof^limkÔoMimkÔ(kof)=klimk—>-Oof=>Jabkf(x)dx=kJabf(x)dx Определение 5Если функция вида y=f(x)y=f(x) интегрируема на интервале хх с а£х, bGxaGx, b£x, получаем, что Jbaf(x)dx=Jcaf(x)dx+Jbcf(x)dxJabf(x)dx=Jacf(x)dx+Jcbf(x)dx.Доказательство 5Свойство считается справедливым для с£[а; Ь]с£а; Ь, для с<ас<а и c>bc>b. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.Определение 6Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [а; Ь][а; Ь], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка [с; d]£[a; b]c; d£a; b.Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольнымиУзнать стоимость Доказательство 6

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.

Определение 7Когда функция интегрируема на [а; Ь][а; Ь] из f(x)>0 (f(x)<0)f(x)>0 f(x)<0 при любом значении х£[а; Ь]х£а; Ь, тогда получаем, что Jbaf(x)dx>0 (Jbaf(x)<0)Jabf(x)dx>0 Jabf(x)<0. Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек фф с условием, что f(x)>0 (f(x)<0)f(x)>0 f(x)<0, получаем неотрицательной.Доказательство 7Если функции у = f(x)y = f(x) и у = g(x) у = g(x) интегрируемы на отрезке [а; Ь][а; Ь ], тогда следующие неравенства считаются справедливыми:Jbaf(x)dx<Jbag(x)dx, если f(x)<g(x) Vx£[a;b]Jbaf(x)dx>Jbag(x)dx, если f(x)>g(x) Vx£[a;b]Jabf( x)dx<Jabg(x)dx, если f(x)<g(x) Vx£a;bJabf(x)dx>Jabg(x)dx, если f(x)>g(x) Vx£a;b

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

53

Определение 8При интегрируемой функции y=f(x)y=f(x) из отрезка [а; Ь][а; Ь] имеем справедливое неравенство вида ||jbaf(x)dx||<[ba|f(x)|dxjabf(x)dx<fabf(x)dx.Доказательство 8Имеем, что —|f(x)|<f(x)<|f(x)|-f(x)<f(x)<f(x). Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида -jba|f(x)|dx<fbaf(x)dx<Jbajf(x)|dx-jabf(x)dx<fabf(x)dx<fabf(x)dx. Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: I |Jbaf(x)dx| |<fba|f(x)|dxjabf(x)dx<[abf(x)dx.Определение 9Когда функции у = f(x)y = f(x) и у = g(x)y = g(x) интегрируются из отрезка [а; Ь] [а; Ь] при g(x)>0g(x)>0 при любом х£[а; Ь]х£а; Ь, получаем неравенство вида m-jbag(x)dx<Jbaf(x)-g(x)dx<M-Jbag(x)dxm-Jabg(x)dx<fabf(x)-g(x)dx<M-Jabg(x)dx, где m=minxG[a; b]f(x)m=minx£a; bf(x) и M=maxx£[a; b]f(x)M=maxx£a; bf(x). Доказательство 9Аналогичным образом производится доказательство. ММ и mm считаются наибольшим и наименьшим значением функции у = f(x)y = f(x), определенной из отрезка [а; Ь][а; Ь], тогда m<f(x)<Mm<f(x)<M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию у = g(x)y = g(x), что даст значение двойного неравенствавида m-g(x)<f(x)-g(x)<M-g(x)m g(x)<f(x) g(x)<M g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [а; Ь][а; Ь], тогда получим доказываемое утверждение.Следствие: При g(x)=lg(x)=l неравенство принимает вид m-(b-a)<jbaf(x)dx<M-(b-a)m b- a<fabf(x)dx<M- (Ь-а).

Первая формула среднего значения Определение 10При у = f(x)y = f(x) интегрируемая наотрезке [a; b][a; b] с m=minx£[a;b]f(x)m=minx£a;bf(x) иМ=тахх£[а; b]f(x)M=maxx£a; bf(x ) имеется число p£[m; М]ц£т; М, которое подходит jbaf(x)dx=p-(b-a)Jabf(x)dx=p b-a. Следствие: Когда функция у = f(x)y = f(x) непрерывная из отрезка [а; Ь] [а, Ь], то имеется такое число с£[а; Ь]с£а; Ь, которое удовлетворяет равенству Jbaf(x)dx=f(c)-(b-a)jabf(x)dx=f(c)b-a.

Первая формула среднего значения в обобщенной форме Определение 11Когда функции у = f(x)y = f(x) и у = g(x)y = g(x) являются интегрируемыми изотрезка [a; b][a; b] с m=minx£[a; b]f(x)m=minx£a; bf(x) и M=maxx£[a; b]f(x)M=maxx£a; bf(x), a g(x)>0g(x)>0 при любом значении x£[a; b]x£a; b. Отсюда имеем, что естьчисло ц£[т; М]ц£т; М, которое удовлетворяетравенству j baf(x) • g(x)dx=p • jbag(x)dxjabf(x) • g(x)dx=p • |abg(x)dx.

Вторая формула среднего значенияОпределение 12Когда функция y=f(x)y=f(x) является интегрируемой изотрезка [a; b][a; b], a y=g(x)y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое с£[а; Ь]с£а; Ь, где получаем справедливое равенство вида Jbaf(x)-g(x)dx=g(a)-Jcaf(x)dx+g(b)-jbcf(x)dx

Лекция

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме

54

значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.

Матрицей А=Ат„ порядка т*п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и и - столбцов.

А = А = { а Л =

/ \Й 11 О i t

^2L а 22 - а 2п

« е + + + «, „ ++ * н ,

a m l a m2 ~—a mn

В - В тя- ( Ь $ , С - С яя- ( с р

4 _ ( а п а п У22 а 2\ а 22 !

а П а 12 й 13а 2\ а22 а 2Ъ

Элементы матрицы ау, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (ш=п) главную диагональ образуют элементы ап, щ,..., апп .

Равенство матриц.

А=В, если порядки матриц А и В одинаковы и ау=Ьу (i=l,2,...,m; j=l,2,...,n)

Действия над матрицами.

1 Сложение матриц - поэлементная операция

А тп щпа П + *11 а 12+ ^ 12““ +

ат! + Ът! ат2 + Ът2~- атп + Ьтп

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

Ат» Автаи ~ ^ п й \г

ат Г Ьт!

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

55

^ 1 1 X a l2 ... ^a I n

A d 2 L A(?22 A C l 2 n

=3 m l A a m2 A c ? n t n

4. Умножение А*В матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В)

Amk*Bk„=Cmn причем каждый элемент су матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j -го столбца матрицы В , т.е.

п

Ci r ailb\ j +ai2b2 j+ " + au,b„ r 2 а р ц1 = 1

Н а щ т м е р ,

С и - a n b n + a n b 2 l + й 135 31 + ... + a ln b nJ

С П = а \\Ь \2 + а 12^22 ^ а \2рЪ2 + + а \гРп2

Покажем операцию умножения матриц на примере

Пусть A j , = 1 0 2\ 3 1 О/

f - 1 0 1

5 1 4

\ — 2 О I

А 2 3*5 33_ *“ 23i 0 2 3 1 О,

/ - 1 о и5 1 4 =

\ —2 0 I t

/1 4= ( “ 1 ) + 04= 5 + 2 * ( — 2) 1 4 = 0 + 0 4 = 1 + 2 4 = 0 1 4= 1 + 0 4 = 4 + 24= 1!

\3 4 = ( - 1 } + 1 4=5 + 0 + ( - 2 ) 34=0 + 1 4=1 + 04=0 34= 1 + 1 4= 4 + 04= l|

5 Возведение в степень

А т — Л * Л * . . . 4< А

т р а з

56

ш>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают А1 или А'

/

\

Если А

А '

*11 а 12 *•*

Й

1—-*<5

а 22 а 22 " " * 2 «

а т1 ...

*11 а 2 \ — а ml

*12 а 22 а т2

а ы а 2„ ■■■ а т п

то

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Л = ( 1 2 3 )\4 $ б )

1 4 ’|2 5

б,

Свойства опрераций над матрицами

А+В=В+А

(А+В)+С=А+(В+С)

ЦА+В)=>А.+^В

А(В+С)=АВ+АС

(А+В)С=АС+ВС

>.(ЛВ)=(/,Л)В=Л(/,В)

А(ВС)=(АВ)С

(А')'=А

(ХА)'=МА)'

(А+В)'=А'+В'

57

(АВ)'=В'А'

Виды матриц

1. Прямоугольные: т и п - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: т=1. Например, (1357) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: п=1 Например

1 V 4 6 8 /

5. Диагональная матрица: m=n и ау=0, если i7j. Например

2 О О

О 3 О

О 0 4

6. Единичная матрица: m=n и

1 0 01

0 1 0 ,

, 0 0 1 ]

т.е, Ъи — 0 если i Ф /

если i — j

7. Нулевая матрица: ау=0, i=l,2,...,m

j=l,2,...,n

0 0 0

0 0 0

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

Пример.

(1 3 4' 0 2 5 Ю 0 3,

58

9. Симметрическая матрица: m=n и ау=ад (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно А'=А

Например,

0 1 3'1 2 5 3 5 4,

10. Кососимметрическая матрица: m=n и ау—ад (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем ан=-ан)

Пример.

/ О 1 2- 1 О - 3

V — 2 3 О

Ясно, А'=-А

П. Эрмитова матрица: ш=п и а«=-йи (ад - комплексно - сопряженное к ад, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное A=3-2i)

Пример

2 5 - 4 /

5 + 4 / 3

Лекция 12 Матрица

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? - Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание - решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая - системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Га^т-К/у/ = s1„ „ а, х + Ъ~.у = S-,Рассмотрим систему уравнении ~

59

На первом шаге вычислим определитель определителем системы.

кк его называют главным

Если А ~ 0 , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Г аусса.

Если А ^ 0 то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:

*i к Av = Й1 *1% к У

и S 2

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:

Пример 7

Решить систему линейных уравнений [506д + 66Ь = 2315,11 66а +11* = 392,3

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая - довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

Д =50666

6611

= 506-11- 66- 66= 5566-4356 = 1210 *0, значит, система имеет

единственное решение.

2315,1 66 392,3 11„ -425,7а = ■

Д 1210

506 2315,1 66 392,3

= 2315,1 11-392,3-66= 25466,1-25891,8 = -425,79

м-0,35

= 506 ■ 392,3- 66 - 2315,1 = 198503,8 -152796,6 = 45707,2

t = A , = 4 5 7 0 ^Д 1210

60

Ответ: ЙН-°'35, ^ й37'77

Оба корта обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментомоформления задания является следующий фрагмент: «* 0, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе:подставляем приближенные значения а н и в левую часть каждогоуравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

неделя 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 лекц. зан. 2 2 2 2...

Documents