ЛЕКЦИЯ 6mathdep.ifmo.ru/mathdep1/wp-content/uploads/2018/09/6...1 1 2 2 211 222 2 111 122 1 m...
TRANSCRIPT
ЛЕКЦИЯ 6
ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ
НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 6.1. Однородные системы линейных уравнений:
структура общего решения линейной однородной
системы, фундаментальная система решений. Теорема
о виде общего решения линейной неоднородной
системы............................................................................2
6.1. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ:
СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ, ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ
СИСТЕМА РЕШЕНИЙ. ТЕОРЕМА О ВИДЕ ОБЩЕГО
РЕШЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНЕ. Система линейных уравнений (С.Л.У) называется
однородной, если столбец её свободных членов равен нулю:
0...
............................................
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Так как у однородной С.Л.У всегда есть тривиальное решение
( 0...21 nxxx ), то она всегда совместна (см. ЛЕКЦИЯ 5, п.5.1).
Возможны два случая:
nrA rang , т.е. 0det A и решение единственное (тривиальное).
nrA rang , тогда решений бесконечно много.
ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, что если X и Y - некоторые решения однородной
С.Л.У, тогда и любая их линейная комбинация YX является решением
этой системы.
В случае, когда решений бесконечно много, встаёт вопрос о виде общего
решения однородной системы и в конце этой лекции мы сформулируем и
докажем соответствующую теорему. Для этого нам понадобится ввести ряд
дополнительных понятий.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность ненулевых решений kXXX ,...,, 21 однородной
С.Л.У. называется фундаментальной системой решений, если:
1) kXXX ,...,, 21 - линейно независимы,
2)Любое другое ненулевое решение X однородной C.Л.У может быть
представлено линейной комбинацией kXXX ,...,, 21 :
RcХсXcXcX ikk ,, 2211 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение однородной С.Л.У, представленное в виде
RcХсXcXcX ikk ,, 2211 ,
где kXXX ,...,, 21 - фундаментальная система решений однородной С.Л.У ,
называется общим решением однородной С.Л.У.
Далее перейдём к формулировке и доказательству теоремы о
фундаментальной системе решений.
ТЕОРЕМА (О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ РЕШЕНИЙ). Если
ранг матрицы коэффициентов однородной С.Л.У меньше числа
неизвестных, то эта система имеет фундаментальную систему решений
размерностью (n-r) , где n - число неизвестных, r=rangA.
Доказательство:
Т.к. r=rangA, то выразим r базисных переменных через n-r свободных:
(*)
......
............................................
......
......
112211
21122222121
11111212111
nrnrrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
xaxaxaxaxa
Базисный минор
0
...
.........
...
1
111
rrr
r
r
aa
aa
M ,
значит базисные переменные rxxx ,...,, 21 находятся однозначно, если придать
свободным переменным nrr xxx ,...,, 21 некоторые числовые значения.
Придадим свободным неизвестным следующие наборы решений (всего n-r
наборов):
1
...
0
0
0
,...,
0
..
1
0
0
,
0
..
0
1
0
,
0
..
0
0
1
подставим их в систему и найдём r наборов базисных неизвестных.
Например, берём набор
0
..
0
0
1
, которому соответствуют следующие значения
свободных переменных:
0,...,0,1 21 nrr xxx ,
тогда, при подстановке в систему (*), получим:
12211
122222121
111212111
...
............................................
...
...
rrrrrrr
rrr
rrr
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
,
эта С.Л.У имеет единственное решение - столбец значений базисных
переменных:
1
1
3
1
2
1
1
..
rx
x
x
x
.
Далее, берём набор
0
..
0
1
0
, которому соответствуют следующие значения
свободных переменных:
0,...,1,0 21 nrr xxx ,
тогда, при подстановке в систему (*) получим:
22211
222222121
211212111
...
............................................
...
...
rrrrrrr
rrr
rrr
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
,
откуда однозначно находим ещё один столбец базисных значений
переменных:
2
2
3
2
2
2
1
..
rx
x
x
x
.
Продолжая процесс далее, находим r наборов базисных неизвестных:
1
1
3
1
2
1
1
..
rx
x
x
x
,
2
2
3
2
2
2
1
..
rx
x
x
x
,...,
rn
r
rn
rn
rn
x
x
x
x
..
3
2
1
.
Объединим наборы базисных и свободных переменных в n-r наборов
решений однородной С.Л.У:
0
..
0
0
1
..1
1
2
1
1
1
rx
x
x
X ,
0
..
0
1
0
..2
2
2
2
1
2
rx
x
x
X ,...,
1
..
0
0
0
..
2
1
rn
r
rn
rn
rn
x
x
x
X .
УТВЕРЖДЕНИЕ. Полученная система решений r-nXXX ,...,, 21 является
фундаментальной системой решений, т.е. она линейно независима и любое
другое решение системы X есть линейная комбинация фундаментальных
решений.
Доказательство:
1) Докажем линейную независимость системы решений r-nXXX ,...,, 21 .
Рассмотрим линейную комбинацию 0...2211 r-nrn XcXcXс , которая
соответствует однородной С.Л.У с переменными rnсcс ,...,, 21 .
Матрица коэффициентов этой системы:
1...00
............
0...00
0...10
0...01
...
............
...
21
1
2
1
1
1
rn
rrr
rn
xxx
xxx
,
в ней можно выделить базисный минор
01
1...00
............
0...10
0...01
rnM ,
значит однородная С.Л.У с переменными rnсcс ,...,, 21 имеет единственное
решение - тривиальное, что доказывает, что система решений r-nXXX ,...,, 21 -
линейно независима.
2) Рассмотрим любое решение X :
n
r
r
x
x
x
x
x
X
...
...
1
2
1
и матрицу 1nY :
rnnrr XxXxXxXY ...2211 =
0
...
0
0
0
...
1
..
0
0
0
..
...
0
..
0
1
0
..
0
..
0
0
1
..
...
...
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
3
2
1
2
1
r
rn
r
rn
rn
n
r
r
r
r
n
r
r
r
r y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
которая является столбцом решений однородной С.Л.У (см. ЗАМЕЧАНИЕ
в начале лекции ). Значит и решение равносильной системы (*), которая при
таком наборе решений является однородной и имеет только одно решение -
тривиальное, т.е.
0
...
0
0
0
0
...
0
0
0
...
0
0
0
...
2
1
ry
y
y
Y .
Тогда
0
...
0
0
0
0
...
0
0
1
..
0
0
0
..
...
0
..
0
1
0
..
0
..
0
0
1
..
...
...
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
3
2
1
2
1
rn
r
rn
rn
n
r
r
r
r
n
r
r
r
r x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
откуда находим, что
1
..
0
0
0
..
...
0
..
0
1
0
..
0
..
0
0
1
..
...
...
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
3
2
1
2
1
rn
r
rn
rn
n
r
r
r
r
n
r
r
r
r x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
или в краткой форме
r-nnrr XxXxXxX ...2211 .
Утверждение доказано.
ЗАМЕЧАНИЕ. В ходе доказательства ТЕОРЕМЫ (О
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ РЕШЕНИЙ) мы доказали, что общее
решение X однородной системы представляется в виде
kk XсXсXсX ...2211 ,
где система решений kXXX ,...,, 21 является фундаментальной системой
решений однородной С.Л.У.
Далее сформулируем (без доказательства) ещё одну важную теорему.
ТЕОРЕМА (ОБ ОБЩЕМ ВИДЕ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ С.Л.У.)
Если Y - некоторое частное решение неоднородной С.Л.У с n неизвестными,
ранг системы r, k=n-r, kkо XсXсXсX ...2211 - общее решение
соответствующей однородной С.Л.У., тогда общее решение неоднородной
С.Л.У имеет вид:
YXсXсXсYXX kko ...2211
ПРИМЕР 1. Найти общее решение неоднородной С.Л.У.
1422
74
332
2
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
.
Решение:
1. Найдём общее решение соответствующей однородной С.Л.У.
0422
04
032
0
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Посчитаем ранг матрицы коэффициентов:
2
0000
0000
5330
1111
5330
5330
5330
1111
4221
1114
3112
1111 (
rrr ~~(2)-(4)(2)-(3)
(1)-(4)(1)4-(3)1)2-(2)
.
Базисный минор 30
112
M , ему соответствуют базисные переменные 21, xx .
224 rnk - число свободных неизвестных и размерность
фундаментальной системы решений.
Выразим базисные переменные 21, xx через свободные переменные 43 , xx . Для
этого от преобразованной матрицы коэффициентов
0000
0000
5330
1111
перейдём
к эквивалентной однородной С.Л.У.
,0533
0
432
4321
xxx
xxxx
432
4321
533 xxx
xxxx
и найдём фундаментальные решения 1X и 2X :
,
0
1
533
4
3
432
4321
x
x
xxx
xxxx
0
1
105133
1
011
4
3
2
4321
x
x
x
xxxx
,
0
1
1
0
4
3
2
1
x
x
x
x
, т.е.
0
1
1
0
1X ,
,
1
0
533
4
3
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
0
3
51503
3
1
3
210
3
5
4
3
2
4321
x
x
x
xxxx
,
1
0
3
5
3
2
4
3
2
1
x
x
x
x
, т.е.
1
03
53
2
2X ,
тогда общее решение однородной С.Л.У.
1
03
53
2
0
1
1
0
212211 ссXсXсX о, Rcc 21, .
2. Найдём частное решение исходной неоднородной системы. Для этого
преобразуем расширенную матрицу этой системы к ступенчатому виду (с
помощью тех же преобразований, которыми мы применяли при подсчёте
ранга матрицы коэффициентов однородной С.Л.У.), посчитаем её ранг,
выделим базисный минор и перейдём к эквивалентной С.Л.У:
2
0|0000
0|0000
1|5330
2|1111
1|5330
1|5330
1|5330
2|1111
1|4221
7|1114
3|3112
2|1111 (
rr ~~(2)-(4)(2)-(3)
(1)-(4)(1)4-(3)1)2-(2)
Базисный минор 30
112
M , ему соответствуют базисные переменные 21, xx .
224 rnk - число свободных неизвестных и размерность
фундаментальной системы решений.
Выразим базисные переменные 21, xx через свободные переменные 43 , xx . Для
этого от преобразованной расширенной матрицы
0|0000
0|0000
1|5330
2|1111
перейдём к эквивалентной неоднородной С.Л.У.
1533
2
432
4321
xxx
xxxx.
Найдём любое частное решение этой системы, придав свободным
переменным некоторые числовые значения, например при 0,0 43 xx .
Тогда
,
0
0
1533
2
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
3
,
0
0
3
1
3
1
3
5
3
52
3
12
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
3
т.е. частное решение Y исходной неоднородной С.Л.У.: Y=
0
03
13
5
.
Теперь запишем общее решение неоднородной С.Л.У.:
0
03
13
5
1
03
53
2
0
1
1
0
212211 ссYXсXсYXX o , Rcc 21,
или
.3
1
3
5
3
5
3
2
24
1
212
21
cx
cx
ccx
cx
3
Проверка. Проверку можно сделать двумя способами:
1. Придадим коэффициентам 21,cc некоторые значения , 1,1 21 cc . Тогда
частное решение неоднородной С.Л.У :
1
1
3
7
3
11
3
51
3
7
3
5)1(
3
2
4
2
1
x
x
x
x
3
,
1
1
3
7
3
7
4
2
1
x
x
x
x
3
,
подставим эти значения в исходную С.Л.У.:
163
2142
3
72
3
7
73
2111
3
7
3
74
34743
21131
3
7
3
72
2)1(13
7
3
7
- получили верные тождества, значит проверка верна.
2. Подставим в исходную С.Л.У. выражения для переменных при всех
Rcc 21, :
24
1
212
21
3
1
3
5
3
5
3
2
cx
cx
ccx
cx
3
,
1423
1
3
52
3
5
3
2
73
1
3
5
3
5
3
24
333
1
3
5
3
5
3
22
23
1
3
5
3
5
3
2
21212
21212
21212
21212
ссccc
ссccc
ссccc
ссccc
- также получаем верные тождества.
ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно, что при приведении расширенной матрицы
неоднородной С.Л.У и при подсчёте ранга матрицы коэффициентов
соответствующей однородной С.Л.У применялись одни и те же
преобразования. Поэтому, для сокращения поиска общего решения
неоднородной С.ЛУ., можно сразу начинать с преобразования расширенной
матрицы системы и, выписывая из неё матрицу коэффициентов однородной
С.Л.У, находить соответствующую фундаментальную систему решений.