第 07 章 計量值管制圖
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第 07 章 計量值管制圖. 7.1 引言. 休哈特博士以樣本統計量之 三個標準誤 作為準則,來設定 界限幅寬 ,以建立管制圖。 錯誤的續用規則:「使用上個月的樣組數據,計算出當月管制圖的管制界限。」 上月的隨機抽樣「 手氣不佳 」,當月出現管制「績效超好」的假象 。 上月的隨機抽樣「 手氣甚佳 」,當月出現管制「績效超差」的假象 。. 績效超好. 績效超差. 7.2 平均數管制圖. 7.2.1 群體已知. 7.2.2 群體未知且小樣本. 7.2.3 群體未知且大樣本. 7.3 中位數管制圖. 7.3.1 群體已知. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
品質管理劉漢容、陳文魁
第 07 章 計量值管制圖
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7.1 引言休哈特博士以樣本統計量之三個標準誤作為準則,來設定界限幅寬,以建立管制圖。 錯誤的續用規則:「使用上個月的樣組數據,計算出當月管制圖的管制界限。」上月的隨機抽樣「手氣不佳」,當月出現管制「績效超好」的假象 。 上月的隨機抽樣「手氣甚佳」,當月出現管制「績效超差」的假象 。
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績效超好
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績效超差
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7.2 平均數管制圖
- 平均數 管制圖 (X-bar control chart)係管制平均數之變化,即是製程分配的集中趨勢之變化。令X代表製程
(μ , σ的品質特性,而X之數值是呈現常態分配N 2)之隨機變數;由於常態分配是對稱的,致使中位數等於平均數。
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7.2.1 群體已知假設製程品質特性X之平均數μ和標準差σ都是已知,利用統計學的抽樣理論及三標準誤之界限幅寬準則,我們即可以決定 -管制圖的中心線、管制上界和管制下界。
1
3A
nUCL
1
3A
nLCL
CL
nA /31
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7.2.2 群體未知且小樣本μ σ假設製程品質特性X之平均數 和標準差 都是未知
,而且是小樣本,利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則,我們可以決定 管制圖的中心線、
管制上界和管制下界。
2
12 d
AA
RAXn
XLCL 2
ˆ3
RAXn
XUCL 2
ˆ3
XCL
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7.2.3 群體未知且大樣本μ σ假設製程品質特性X之平均數 和標準差 都是未知
,而且是大樣本,利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則,我們可以決定 管制圖的中心線、
管制上界和管制下界。
sAXn
XLCL 3
ˆ3
sAXn
XUCL 3
ˆ3
XCL
4
13 c
AA
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7.3 中位數管制圖
- 中位數 管制圖 (median control chart)係管制中位數之變化,即是製程分配的集中趨勢之變化。令X代表製程
(μ , σ的品質特性,而X之數值是呈現常態分配N 2)之隨機變數;由於常態分配是對稱的,致使中位數等於平均數。
X~
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7.3.1 群體已知假設製程品質特性X之平均數μ和標準差σ都是已知,利用統計學的抽樣理論及三標準誤之界限幅寬準則,我們即可以決定 -管制圖的中心線、管制上界和管制下界。
CL
1333
Amn
mLCL
1333
Amn
mUCL
nmX
/3~
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7.3.2 群體未知且小樣本μ σ假設製程品質特性X之平均數 和標準差 都是未知
,而且是小樣本,利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則,我們可以決定 管制圖的中心線、
管制上界和管制下界。
2
12 d
AA
RAXn
XLCL 2
ˆ3
RAXn
XUCL 2
ˆ3
XCL
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7.3.3 群體未知且大樣本μ σ假設製程品質特性X之平均數 和標準差 都是未知
,而且是大樣本,利用統計學的抽樣理論及三標準誤 -之界限幅寬準則,我們可以決定 管制圖的中心線、
管制上界和管制下界。
sAXn
XLCL 3
ˆ3
sAXn
XUCL 3
ˆ3
XCL
4
13 c
AA
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7.4 全距數管制圖令X代表製程的品質特性,而X之數值是呈現常態分配N (μ,2) 之隨機變數。全距數: R = Xmax - Xmin 。全距數管制圖用以管制全距數之變化,製程分配的變異程度。
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7.4.1 群體已知且小樣本令X~N (μ,2) ,已知常態參數 μ和 σ 。 樣本全距數之平均數 R = d2σ 。樣本全距數之標準誤 R = d3σ 。
2322 33 DdddUCL R
2dCL
1322 33 DdddLCL R
321 3ddD 322 3ddD
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7.4.2 群體未知且小樣本令X~N (μ,2) ,未知常態參數 μ和 σ 。 樣本全距數之平均數。樣本全距平均之標準誤 = 。
RR
RDd
RdRRUCL R 4
2333
RDd
RdRRLCL R 3
2333
233 /31 ddD 234 /31 ddD
23 / dRd
R
R
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7.5 標準差管制圖令X代表製程的品質特性,而X之數值是呈現常態分配N (μ,2) 之隨機變數。標準差:。標準差管制圖用以管制標準差之變化,製程分配的變異程度。
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7.5.1 群體已知令X~N (μ,2) ,已知常態參數 μ和 σ 。 樣本標準差之平均數 = c4σ 。樣本標準差之標準誤 = c5σ 。
545 3ccB 546 3ccB
654 33 BccEUCL
554 33 BccELCL
4cCL
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7.5.2 群體未知且大樣本令X~N (μ,2) ,未知常態參數 μ和 σ 。 樣本標準差之平均數 。標準差平均之標準誤 = 。
sBc
scssUCL s 4
4533
sBc
scssLCL s 3
4533
sCL
4
53
31
c
cB
4
54
31
c
cB
45 / csc s s
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7.6 管制圖界限彙要及範例
7.2~7.4 節管制圖用公式 7.2~7.4 節管制圖用常數
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計算界限公式彙整 7.2~7.4 節管制圖用公式
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管制界限常數彙整 7.2~7.4 節管制圖用常數
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範例 7.1
(0) 查常數: A1=1.3416, D1=0, D2=4.9183, d2=2.326 。
(1) 管制界限 【附表一 管制圖用常數 】 X
42.4310*3416.1301 AUCL
CL 30
58.1610*3416.1301 ALCL
(2) 管制界限 R
18.4910*9183.42 DUCL
26.2310*326.22 dCL
LCL D 1 0
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範例 7.1 (2)(3) 製程抽樣:
自常態缽中隨機抽取 20 個樣組,每組樣本大小均為 5 ,計算各組之組平均和組全距。
±`ºA²ÚºÞ¨î¹Ï
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範例 7.2
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範例 7.2 (2)(0) 查常數:m3=1.154, c4=0.965, B5=0.1361, B6=1.8639 。
(1) 管制界限
【附表一 管制圖用常數 】
X
(2) 管制界限 R
12.7815*2238.177513 AmUCL
775CL
88.7685*2238.177513 AmLCL
32.95*8639.16 BUCL
83.45*965.04 cCL
68.05*1361.05 BLCL
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範例 7.2 (3)(3) 製程抽樣:
將 25 組平均數和標準差各自繪入 - 管制圖和標準差 σ- 管制圖,兩圖上都未顯示出統計失控的任何徵兆 。
¤¤¼Æ¼Ð·Ç®tºÞ¨î¹Ï
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7.7 管制圖的偵察能力
假設有某零件製程其能力達 CP = 1.0 ,而且是不偏的。 如果該製程往規格上界 USL 漂移了 3 ,雖然良率只剩50% ,製造出的產品卻仍然有一半的機率可以通測。 每次抽樣一只時半數零件仍然有機會落入規格內,以致我們有 50% 機會讓零件製程錯誤地持續生產。
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偵察能力
採用 管制圖,情形會有所改觀。 假設每組樣本的抽樣數是 4 ,則管制上界 UCL 與管制中心之距離就只有 1.5 。 如果該製程往規格上界 USL 漂移了 1.5 ,樣組平均數只有 0.135% 機會落至管制上界 UCL 之外,此際 6.7% 零件落至規格上界 USL 之外。
X
LSL
USL
LCL UCL
Reject
0.135%
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壹型誤差雖然製程未有改變,但是樣本點卻仍然有機會落出 - 管制圖的管制上界或管制下界之外。單一的這種界外機率是稱壹型誤差( α- 風險) 。
X
30
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範例 7.3
(0) 造亂數:製造 30 組四樣本的標準常態隨機亂數。
(1)Z 管制圖界限CL = 0 、 LCL = -1.5 、 UCL = +1.5
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範例 7.3 (2)
(2) 失控辨識
平均數數據
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範例 7.3 (3)
X(3) 做成 管制圖
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範例 7.3 (4)
(4)R 管制圖界限
LCL = 0 、 CL = 2.059 、 UCL = 4.698
D1=0, d2=2.326, D2=0
全距數數據
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範例 7.3 (5)
(5) 做成 R 管制圖
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範例 7.3 (6)
使用 Excel 函數 NORMDIST(1.5,-1.9,2/2,1) - NORMDIST(-1.5,-1.9,2/2,1) ,計算出製程中心漂移至 -1.9 時的 數值是 0.3442 。給予不同的漂移值,求算貳型誤差的機率,做成R - 管制圖之貳型風險的 OC- 曲線 (β- 風險 ) 。
(6) R 管制圖 OC 曲線
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7.7.1 平均數管制圖假設因有變化致使原來製程中心已非 μ0,業已偏移 kσ0,達到 μ1 = μ0+kσ 的新品質水準。 樣本點卻仍然有機會落入 - 管制圖的管制上界及管制下界之間,單一樣本平均的這種界內機率是稱貳型誤差 (β- 風險 ) 。
nn kkβ 33
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平均數管制圖之檢出力曲線對偏移達到 k0製程,管制圖可以檢出之機率是1-β ,所謂的檢出力 (power of test) 。
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範例 7.4
(0)
(1) ARL = 1/(1-b) = 1.08 。於第一組樣本就測知過程品質發生變異之機率為 1-β = 0.9295 。平均需經過 1.08 次抽樣就能測知製程中心達 2 的漂移變化。如果每隔兩小時抽檢一次,則平均製程需要 2.15 小時可以偵查出該巨大的漂移變化。
0705.047.747.1523523
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範例 7.4 (2)
(2) 求得各種樣本大小和製程中心各種 kσ 漂移程度的 β 和ARL 值。顯然,製程中心漂移愈小則風險大,抽取樣本大則風險小。
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7.7.2 全距數管制圖假設因有變化,致使製程的變異水準如今業已擴大至 0的新水準。可是,樣本全距數R卻仍然有機會落入R - 管制圖的管制上界及管制下界之間,這種界內機率是稱貳型誤差 (β- 風險 ) 。
2
2
22
2
2 ~//
d
RdR
樣本全距數之平均的自由度和母體之全距平均編製於附表二,以備卡方檢定時應用。
0 UCL
Pr
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範例 7.5(0) d2 = 2.326 ,估計 0 = = 14.44/2.326 = 6.169 。 (1) 假設製程變異擴大至 1.20 的新水準,則 1-β = 0.032 。
2/ dR
968.01.4169.6*2.1
47.30
0
rrr PP
UCLP
(2) 給予不同的 值,求算貳型誤差的機率,則 1-β = 0.032 ,做成R - 管制圖的 OC 曲線 。
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附表一管制圖用常數
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附表二d2* 常數