zweiachsige bemessung von...

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Zweiachsige Bemessung von Stahlbeton-Querschnitten Dr.-Ing. Casimir Katz, SOFiSTiK AG, Oberschleißheim Zusammenfassung: Die Schubbemessung von Stahlbetonquerschnitten ist wohl die Aufgabe mit den meisten empirischen Elementen in den verschiedenen Bemessungsnormen. Bei einer zweiachsigen Bean- spruchung ist wenig Literatur und schon gar keine anerkannten Rechenregeln verfügbar. Von einer allgemeinen Software erwartet man aber immer eine Lösung. Summary: The shear design of a reinforced concrete section is presumably the most empirical element in many design codes. For biaxial bending hardly any literature may be found and the codes do not provide any rules, but a general software is expected to provide a solution for all cases. 1 EINFÜHRUNG 1.1 Schubspannungen Die Definition eines 3D-Spannungstensors besteht aus drei Normalspannungen und sechs Schubspannungskomponenten, die sich aber infolge von Gleichgewichtsbedingungen auf drei reduzieren. Der Spannungszustand lässt sich auch durch die drei Invarianten bzw. Haupt- spannungen und deren Richtungen beschreiben. Viele Bodenmechaniker und Betonbauer neigen deshalb dazu, die Existenz von Schubspannungen grundsätzlich zu verneinen und lassen nur die Hauptspannungen gelten. Als Grundlage ist es sinnvoll sich vor Augen zu halten, dass es zwei Möglichkeiten gibt, Schubspannungen zu berechnen. Mit dem Kraftgrößenverfahren kann man die allgemeinbekannte Formel aus dem statischen Moment herleiten: V S I b τ = (1)

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  • Zweiachsige Bemessung von Stahlbeton-Querschnitten

    Dr.-Ing. Casimir Katz, SOFiSTiK AG, Oberschleißheim

    Zusammenfassung:

    Die Schubbemessung von Stahlbetonquerschnitten ist wohl die Aufgabe mit den meisten

    empirischen Elementen in den verschiedenen Bemessungsnormen. Bei einer zweiachsigen Bean-

    spruchung ist wenig Literatur und schon gar keine anerkannten Rechenregeln verfügbar. Von einer

    allgemeinen Software erwartet man aber immer eine Lösung.

    Summary:

    The shear design of a reinforced concrete section is presumably the most empirical element in many

    design codes. For biaxial bending hardly any literature may be found and the codes do not provide

    any rules, but a general software is expected to provide a solution for all cases.

    1 EINFÜHRUNG

    1.1 Schubspannungen

    Die Definition eines 3D-Spannungstensors besteht aus drei Normalspannungen und sechs

    Schubspannungskomponenten, die sich aber infolge von Gleichgewichtsbedingungen auf drei

    reduzieren. Der Spannungszustand lässt sich auch durch die drei Invarianten bzw. Haupt-

    spannungen und deren Richtungen beschreiben. Viele Bodenmechaniker und Betonbauer neigen

    deshalb dazu, die Existenz von Schubspannungen grundsätzlich zu verneinen und lassen nur die

    Hauptspannungen gelten.

    Als Grundlage ist es sinnvoll sich vor Augen zu halten, dass es zwei Möglichkeiten gibt,

    Schubspannungen zu berechnen. Mit dem Kraftgrößenverfahren kann man die allgemeinbekannte

    Formel aus dem statischen Moment herleiten:

    V SI b

    τ ⋅=⋅

    (1)

  • Mit den bekannten Nachteilen, dass eigentlich keiner der Werte in dieser Formel ohne Vorbehalte

    anwendbar ist. Insbesondere bei mehrfach zusammenhängenden Querschnitten sind aufwändige

    Zusatzbetrachtungen erforderlich.

    Allgemeiner ist es, mit dem Weggrößenverfahren und der Methode der Finiten Elemente oder der

    Integralgleichungen die Differenzialgleichung der Verwölbung zu lösen:

    2 2

    2 2

    : 0

    xxy

    xxz

    x

    xy y xz z

    wG zy x

    wG yz x

    w wG w Gy z x

    Boundary condition n n

    τ

    τ

    σ

    τ τ

    ⎛ ⎞∂ ∂Θ= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

    ∂ ∂Θ⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂

    Δ = + = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠+ =

    (2)

    Stahlbeton heißt fast immer: gerissener Querschnitt. Und damit haben wir ein spezielles

    nichtlineares Problem vor uns. Wenn der Querschnitt gerissen ist, so ist die Normalspannung Null,

    damit auch ihre Ableitung und der inhomogene Teil der Poisson’schen Differentialgleichung

    verschwindet. Damit wird die Ableitung der Schubspannungen ebenfalls zu Null und die

    Schubspannungen müssen einen konstanten Wert annehmen.

    Den wenigsten Ingenieuren dürfte es bewusst sein, dass genau

    dieser Sachverhalt sich in der bekannten Formel für den

    Schubfluss V/z verbirgt, die ja einen konstanten Wert des

    Schubflusses in der Zugzone von der Nulllinie bis zur

    Bewehrung postuliert. Damit ergibt sich der links skizzierte

    Verlauf der Schubspannungen:

    Abbildung 1: Schubspannungen Zustand II

    Ein ähnlicher Fall ergibt sich bei nicht mitwirkenden Querschnittsteilen. Wenn man sich einen

    Kastenquerschnitt mit Torsionsbeanspruchung näher betrachtet, kommt man zur Erkenntnis, dass

    die nicht mitwirkenden Teile sehr wohl für Schub mitwirkend sein müssen. Aber da die

    Normalspannung Null ist, erhält man wieder einen konstanten Wert der Schubbeanspruchung:

    Abbildung 2: Schubspannungen aus Querkraft an einem Querschnitt mit nicht mitwirkenden Teilen

  • 1.2 Bemessung mit Schubspannungen

    Alte Bemessungsnormen haben beim Schub gerne mit Abzugsspannungen gearbeitet: Man

    berechnet eine völlig fiktive Schubspannung aus Querkraft und Querschnittsfläche, zieht davon

    einen Anteil des Betons ab und berechnet für den Rest eine erforderliche Bügelbewehrung.

    c s c sl yslV V V b h A f zτ= + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (3)

    Das ist zwar einfach, aber nicht sachgerecht. Davon abgesehen, dass eine konstante Schubspannung

    über den gesamten Querschnitt eine starke Vereinfachung darstellt, der Hebelarm z nicht eindeutig

    ist, sind auch die real-mathematischen Schubspannungen sehr empfindlich von der Orientierung

    des Koordinatensystems abhängig. Wenn man z.B. in einem gevouteten Träger den Schnitt nur ein

    kleines bisschen verändert, ergeben sich sehr unterschiedliche Werte der Schubspannungen:

    Abbildung 3: Schubspannungen an einem gevouteten Träger

    1.3 Schubfluß

    Mit dem Erscheinen der DIN 1045-1 hatten sich die Verfasser hingegen bemüht, das Wort

    Schubspannung völlig zu vermeiden. Leider wurde dabei das Kind mit dem Bade ausgeschüttet,

    indem man gleich ausschließlich auf die Querkraft V übergegangen ist. Damit ergeben sich jedoch

    bei der Interaktion mit Torsion oder bei der Bemessung von Gurten gegliederter Querschnitte

    erhebliche Klimmzüge. Es ist wesentlich sinnvoller auf eine Schubkraft Tv = V/z überzugehen, die

    problemlos mit der Schubkraft Tt aus Torsion überlagert werden kann. Beim Anschluss von Gurten

    oder gevouteten Querschnitten wird man statt dessen den Unterschied der Längskraft ΔFd/av eines

    abgetrennten Teils verwenden:

    . . 2d t

    v k

    V F MT b z B oder oderz a A

    τ Δ= ⋅ =⋅ (4)

    10.62

    57.90

    52.1053.960

    00

    00

    00

    -28.

    -53.

    -32..

    .

  • Abbildung 4: Längsschubkräfte beim Anschluss von Gurten (aus DIN 1045-1)

    Ein besonderes Problem entsteht nun dann, wenn beide Seiten des betrachteten Segments

    plastifiziert sind bzw. im Rechteck-Bereich des Parabelrechteck-Diagramms liegen. Aus Gleich-

    gewichtsgründen wäre die Schubkraft eigentlich Null, die DIN 1045-1 definiert jedoch in

    Gleichung (83), dass die Schubkraft näherungsweise im Verhältnis der abgetrennten Druckkraft zur

    Gesamtzugkraft sich aus der maximalen Schubspannung im Querschnitt definiert. In AQB wurde

    eine Verallgemeinerung dieser Formel implementiert, die zahlreiche weitere Sonderfälle (Längs-

    normalkraft, Schnitte senkrecht zur Nulllinie etc.) abdeckt:

    maxges ges

    Z DT T ABSZ D⎡ ⎤

    = ∗ −⎢ ⎥⎣ ⎦

    (5)

    Aber auch diese Formel muss mit Vorsicht angewendet werden wenn man mehrfach zusammen-

    hängende Querschnitte hat bzw. ein Teilstück in der Mitte herausschneidet. Dann muss man

    nämlich das unterschiedliche Vorzeichen der Schubkräfte der einzelnen Schnittflächen genau

    beachten und die Formel versagt im Grenzfall wenn das abgetrennte Teilstück zu klein wird. In all

    diesen Fällen wird man auf die linear elastischen Schubspannungen zurückgreifen müssen.

    Sowohl die linear elastischen Schubspannungen wie auch die Methode der abgetrennten Teilflächen

    sind bei einer zweiachsigen Beanspruchung anwendbar. Bei letzterer muss man jedoch einige

    zusätzliche Annahmen treffen. Zuerst muss man den Wert Tmax der im einachsigen Fall mit V/z

    halbwegs klar definiert ist, verallgemeinern z.B. mit

    2 2

    max 2 2

    y zV VTy z

    +=

    + (6)

    Die zweite Annahme nimmt für herausgeschnittene Teilsegmente an, dass die Verteilung der

    Schubspannungen auf die Schnittränder sich im Zustand II nicht ändert.

    Die Bemessung mit dem Fachwerkmodell auf eine zulässige Hauptdruckspannung und eine

    erforderliche Bügelbewehrung ist danach dann in allen Fällen einfach zu bewerkstelligen.

  • 2 BEISPIEL EINES TRÄGERS

    Im folgenden soll ein einfacher Träger unter einer kombinierten Querbelastung betrachtet werden.

    Ein Rechteckquerschnitt mit b/h = 40/50 cm, und einer Stützweite von 4.0 m wird mit einer

    Belastung von 140 kN/m in Hauptrichtung und 100 kN/m in Querrichtung untersucht.

    Abbildung 5: Halbierter Einfeldträger mit Symmetriebedingung

    2.1 Klassische Rechnung

    Die Schnittgrößen am Schubschnitt im Abstand von 40 cm betragen:

    Vy = 160.0 kN Mz = -72.00 kNm

    Vz = 224.0 kN My = 100.80 kNm

    Mit einem statischen Randabstand von 5 cm und einem Hebelarm von z = 0.9 d ergibt sich daraus

    ein Schubfluss je Bügelseite von

    Ty = ½ ·160.0/0.315 = 253.97 kN/m

    Tz = ½ ·224.0/0.405 = 276.54 kN/m

    Mit einem Neigungswinkel des Fachwerks von 45° und einem Abstand von 40 cm ergäbe sich

    dadurch eine Kraft in den senkrecht zur Stabachse angeordneten Bügeln von 101.6 bzw. 110.6 kN.

    Diese Kräfte sind so völlig unabhängig von einem zusätzlich wirkenden konstanten Moment in

    Querrichtung, lediglich ein genauerer Hebelarm könnte eine Einfluss haben.

    2.2 Fachwerkmodell

    Wenn man eine glaubhafte Referenzlösung benötigt, so wird man am besten ein Fachwerkmodell

    erstellen. Dabei muss man zwar einige Annahmen über den Neigungswinkel treffen, muss die

    Bewehrung vorab abschätzen und sich Gedanken über eine Skalierung der Steifigkeit der

  • Betondruckstreben machen. Das hier verwendete Modell enthält an nichtlinearen Effekten dann

    aber nur den Ausfall der Betonstreben auf Zug. Der Hebelarm der inneren Kräfte ist jetzt 0.8h für

    die vertikale Beanspruchung und 0.75h für die horizontale Beanspruchung.

    Abbildung 6: Fachwerkmodell des halbierten Einfeldträgers

    Die einachsige Beanspruchung ergibt das vertraute Bild der Druck und Zugstreben:

    Abbildung 7: Einachsige Beanspruchung am halbierten Einfeldträger: Druck- und Zugstreben

    Bei der zweiachsigen Beanspruchung ergibt sich jedoch ein anderes Bild:

  • Abbildung 8: Zweiachsige Beanspruchung am halbierten Einfeldträger: Druck- und Zugstreben

    Die folgende Tabelle stellt die nach den beiden Methoden ermittelten Bügelkräfte gegenüber:

    Belastung links rechts oben Unten

    Klassisch 111 111 102 102

    Nur vertikal 84 84 0 0.7

    Nur horizontal 0.4 0 60 60

    Kombiniert 97.3 70.7 70 50

    Kombiniert + Mz 97.7 70.3 70.3 49.7

    Kombiniert - Mz 89.6 78.4 64.2 55.8

    Tabelle 1: Kräfte der Bügel im Fachwerkmodell

  • Man erkennt, dass ein gleichsinniges Moment die Kräfte nur gering ändert, wohingegen ein

    gegensinniges Moment deutlichere Abweichungen hervorruft. Die Summe der Fachwerkkräfte ist

    jedoch konstant. Somit ist unsere klassische Bemessung gar nicht so falsch für diesen Fall. Die

    kleinen Spaltzug-Bewehrungen der einachsigen Beanspruchungen sind um eine Größenordnung

    kleiner als die Abweichungen zu den zweiachsigen Fällen.

    2.3 AQB-Bemessungsmodell

    AQB kann leider nicht nach dem 3D Fachwerkmodell rechnen. Es folgt dem Konzept der abge-

    trennten Teilflächen. Die erste Frage die sich stellt, ist welche Form der Abtrennung denn am

    sinnvollsten ist. Schräge Schnitte wie der rechts haben die unschöne Eigenschaft, dass es einige

    Unklarheiten bei der Umrechnung der meisten Werte gibt und dass die Zuordnung der Bügel zur

    Schubkraft ebenfalls nur gemeinsam verstanden werden kann. Die abgeknickten Schubschnitte über

    Eck muss AQUA mit STEU STYP 3 berechnen, damit die Verteilungsfaktoren richtig ermittelt

    werden, dann ergeben sich aber hier die gleichen Ergebnisse wie beim durchgehenden Schnitt!

    Abbildung 9: Schubschnitte aus AQUA für AQB

    Die folgende Tabelle stellt die von AQB ermittelten Schubflüsse der Schnitte unserer klassischen

    Rechnung gegenüber:

    Belastung Hebel vertikal horizontal unten links unten rechts

    oben links

    oben rechts

    Klassisch 0.405

    0.315 277 244

    Nur vertikal 0.38 298 0 298 298 273 273

    Nur horizontal 0.25 0 300 266 237 266 237

    Kombiniert 0.32 323 288 457 288 279 836

    Kombiniert + Mz 0.31 327 389 464 387 26 707

    Kombiniert - Mz 0.36 322 252 400 322 558 401

    Resultierende des Fachwerk komb.

    0.40 0.30

    243/177 125/175 273 217 299 249

    Tabelle 2: Schubkräfte in Schubschnitten

  • Die vom Programm AQB ermittelten Hebelarme sind deutlich kleiner. Die DIN 1045-1 verlangt ja

    auch einen Höchstwert des Hebelarms von d-2·cnom, der hier aber nicht maßgebend wird. Das

    Fachwerkmodell dürfte hier wohl einen zu günstigen Hebelarm ansetzen. Auch der häufig

    angesetzte Wert des Hebelarms in Feldmitte ist nur geringfügig (2 cm) größer als die Werte in der

    Nähe des Auflagers. Die Werte von AQB zeigen eine deutliche Sensitivität gegenüber der Richtung

    der Nulllinie, die in der folgenden Grafik für die drei kombinierten Lastfälle angegeben ist:

    0.20

    0.00

    -0.2

    0

    -14.17

    0.20

    0.00

    -0.2

    0

    -4.35

    -14.17

    -14.17

    0.20

    0.00

    -0.2

    0

    -9.66-1

    4.17

    Abbildung 10: Spannungsverteilungen / Lage der Nulllinie der Lastfälle 3 bis 5

    Aus der Sicht des Querschnitts sind die Schubbeanspruchungen der Ecken auch ganz sinnvoll

    berechnet. Gerade die sehr unterschiedlichen Werte im Lastfall 4 der oberen Ecke, sind ein Indiz für

    die Verlagerung der Schubbeanspruchung auf die hochbelastete rechte Seite.

    3 NEUE MÖGLICHKEITEN – FE-QUERSCHNITTE

    Mit der Weiterentwicklung der heißen Bemessung wurde die Möglichkeit geschaffen, den gesamten

    Querschnitt als FE-Struktur zu behandeln. Der wesentliche Entwicklungsschritt dazu war die

    Trennung der reinen Netzgenerierung wie auch die thermische Analyse von der Definition der

    zusätzlichen Querschnittselemente wie Bewehrung oder Nachweis-Schnitten bzw. Punkten.

    Wenn man es genau betrachtet, so ist ein Stab-Querschnitt bereits eine “Substructure” bei der ein

    dreidimensionales Kontinuum mittels der Bernoulli-Hypothese in seinen Verformungs-

    möglichkeiten eingeschränkt und damit in einen vereinfachten Ansatzraum projeziert wird. Alle

    Verschiebungen im gesamten Kontinuum werden primär durch die sechs Verschiebungen entlang

    der Stabachse beschrieben:

    ( ) ( )( )( )

    x xo yo s zo s

    y yo xo m

    z zo xo m

    u u z z y y

    u u z z

    u u y y

    ϕ ϕ

    ϕ

    ϕ

    = + − − −

    = − −

    = + − (7)

  • Hinzu kommt eine komplexere Funktion für die Verwölbung w(y,z), die man meist mit

    Einheitsverwölbungszuständen für Torsion und Querkraft formuliert.

    Für den Stab selbst arbeitet man mit integrierten Schnittgrößen und Querschnittswerten:

    ( ) ( )

    ;

    ;

    y zx z y

    A

    y zy x z zz yz

    A

    y zz x y yz yy

    A

    y zy yx y

    y yzA

    yzz zx z

    z yzA

    t zx D yx D t xA

    uN dA EA EA EAx x x

    uM z dA EA EA EAx x x

    uM y dA EA EA EAx x x

    V VV dAGA GA

    VVV dAGA GA

    M y y z z dA GI

    ϕ ϕσ

    ϕ ϕσ

    ϕ ϕσ

    τ

    τ

    τ τ

    ∂∂ ∂= ⋅ = + −

    ∂ ∂ ∂

    ∂∂ ∂= ⋅ ⋅ = + −

    ∂ ∂ ∂

    ∂∂ ∂= ⋅ ⋅ = + −

    ∂ ∂ ∂

    = ⋅ Θ = +

    = ⋅ Θ = +

    ⎡ ⎤= − − − ⋅ = Θ⎣ ⎦

    xb x m

    A

    M w dA ECxϕσ ∂= ⋅ ⋅ =∂

    ∫ (8) Die Querschnittswerte werden teils als Integrale über die Koordinaten, teils über die Spannungen

    ermittelt:

    2 2

    2 2

    2 22 2

    2

    ; ;

    ; ;

    ; ;

    y yA A A

    yy zz yzA A A

    yx yx zxzxy z yz

    A A A

    tA

    MA

    EA E dA EA E y dA EA E z dA

    EA E y dA EA E z dA EA E y z dA

    GA dA GA dA GA dAG G G

    w wGI G y z dAy z

    EC E w dA

    τ τ ττ

    = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

    = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

    = ⋅ = ⋅ = ⋅

    ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + − − ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

    = ⋅ ⋅

    ∫ ∫ ∫

    ∫ ∫ ∫

    ∫ ∫ ∫

    (9)

    Elastizitäts- und Schubmodul sind natürlich nicht konstant, man kann sie als Tangenten- oder

    Sekantenmodul einführen. In jedem Falle können sich zusätzliche eingeprägte Vordehnungen bzw.

    Krümmungen ergeben. Normalerweise eliminiert man einige Terme indem man geeignete

    Referenzsysteme wie Schwerpunkt und Hauptachsen verwendet, aber eine allgemeine Lösung sollte

    alle Terme berücksichtigen.

  • Bei der heißen Bemessung haben wir in jedem Punkt des Querschnitts eine unterschiedliche

    Temperatur und damit Vordehnung gegeben. Die Spannung ist damit hochgradig nichtlinear, sie

    setrzt sich aus der komplexen Vordehnung und einer Zusatzdehnung nach der Bernoulli-Hypothese

    zusammen:

    ( )( )( ) s y z fiy k z kσ ε σ ε ε= − ⋅ + ⋅ − Θ (10) SOFiSTiK AG, 85764 Oberschleißheim, Bruckmannring 38, Tel:089/315-878-0WINGRAF (V14.58-23) 2.11.2007

    SEITE 58

    Calibration of temperature distribution of a column (BK 2003 S. 211)

    M 1 : 2.40X

    YZ

    Spannung des Querschnitts in Stablängsrichtung aus der Elementmitte , Lastfall 1 Interior column,Stab 1001 X=0 m , von -16.2 bis -2.30 Stufen 0.347 MPa

    -16.2

    -16.0

    -15.6

    -15.3

    -14.9

    -14.6

    -14.2

    -13.9

    -13.5

    -13.2

    -12.9

    -12.5

    -12.2

    -11.8

    -11.5

    -11.1

    -10.8

    -10.4

    -10.1

    -9.7

    -9.4

    -9.0

    -8.7

    -8.3-8.0-8.0-7.6-7.6-7.3-7.3-6.9-6.9-6.6-6.6-6.3-6.3-5.9-5.9-5.6-5.6-5.2-5.2-4.9-4.9-4.5-4.5-4.2-4.2-3.8-3.8

    -3.5

    -3.1

    -2.8-2.3

    -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 m

    -0.2

    0-0.1

    0-0

    .00

    0.10

    0.20

    SOFiSTiK AG, 85764 Oberschleißheim, Bruckmannring 38, Tel:089/315-878-0WINGRAF (V14.58-23) 2.11.2007

    SEITE 59

    Calibration of temperature distribution of a column (BK 2003 S. 211)

    M 1 : 2.40X

    YZ

    Spannung des Querschnitts in Stablängsrichtung aus der Elementmitte , Lastfall 1 Interior column,Stab 1001 X=1.00 m , von -19.2 bis -1.11 Stufen 0.451 MPa

    -19.2

    -19.0

    -18.5-18.1-18.1-17.6-17.6-17.2-17.2-16.7-16.7-16.2-16.2-15.8-15.8

    -15.3

    -14.9

    -14.4

    -14.0

    -13.5

    -13.1

    -12.6

    -12.2

    -11.7

    -11.3

    -10.8

    -10.4

    -9.9

    -9.5

    -9.0

    -8.6

    -8.1-7.7-7.7-7.2-7.2-6.8-6.8-6.3-6.3-5.9-5.9-5.4-5.4-5.0-5.0-4.5-4.5-4.1-4.1-3.6-3.6

    -3.2

    -2.7

    -2.3

    -1.8-1.1

    -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 m

    -0.2

    0-0.1

    0-0

    .00

    0.10

    0.20

    SOFiSTiK AG, 85764 Oberschleißheim, Bruckmannring 38, Tel:089/315-878-0WINGRAF (V14.58-23) 2.11.2007

    SEITE 60

    Calibration of temperature distribution of a column (BK 2003 S. 211)

    M 1 : 2.40X

    YZ

    Spannung des Querschnitts in Stablängsrichtung aus der Elementmitte , Lastfall 1 Interior column,Stab 1001 X=2.00 m , von -21.0 bis 0 Stufen 0.525 MPa

    -21.0

    -20.5

    -20.0

    -19.4

    -18.9

    -18.4

    -17.9

    -17.3

    -16.8

    -16.3

    -15.8

    -15.2

    -14.7

    -14.2

    -13.7

    -13.1

    -12.6

    -12.1

    -11.6

    -11.0

    -10.5

    -9.9

    -9.5

    -8.9

    -8.4

    -7.9

    -7.4

    -6.8

    -6.3

    -5.8

    -5.3

    -4.7

    -4.2-3.7-3.7-3.2-3.2-2.6-2.6-2.1-2.1

    -1.6

    -1.1

    -0.50.0

    -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 m

    -0.2

    0-0

    .10

    -0.00

    0.10

    0.20

    Abbildung 11: Längsspannungen bei heißer Bemessung

    Wenn aber die Spannung bekannt ist, so kann man grundsätzlich auch die Ableitung der Spannung

    für die Poisson-Gleichung oder die Differenz der Spannungen für den Längsschub ermitteln. Eine

    exakte Bestimmung der Ableitung ist nahezu ausgeschlossen. Die Standardlösung ist aber nach der

    Produktregel ermittelbar:

    ( ) ( )x xd M d M dMdx dM dx

    σ σ= ⋅

    d.h. wir haben einen Wert innerhalb des Querschnitts, der sich aus dem Tangentenmodul bezüglich

    des Moments ergibt, den wir mit der Ableitung des Moments, bzw. der Querkraft multiplizieren.

    Veränderliche Normalkräfte und Vouten sollen jetzt erst mal unberücksichtigt bleiben.

    Ungeklärt ist bislang ob man hier besser den mathematisch korrekten Wert des Tangentenmoduls

    verwenden sollte oder ob der Sekantenmodul nicht nur wegen seiner numerischen Vorteile die

    bessere Wahl darstellt.

    Die folgenden Bilder zeigen die Schubspannungsverteilungen für Querkraft (Abb. 12) und

    Torsionsmoment (Abb. 13) jeweils für den kalten und heißen Zustand:

  • Abbildung 12: Schubspannungen durch Vz in kaltem / heißen Querschnitt

    Man kann eine Konzentration der Querkraft-Schubbeanspruchung auf die äußeren Teile erkennen

    und ein Anwachsen des Hebelarms der inneren Kräfte. Bei der Torsion vergleichmäßigt sich der

    Schubfluss und kommt der Form des eingeschriebenen Kreises näher.

    Abbildung 13: Schubspannungen durch Mt in kaltem / heißen Querschnitt bzw. Mt2 (kalt)

    Ähnliche Betrachtungen gelten für einen gerissenen Querschnitt.

    die nebenstehende Abbildung zeigt die Spannungsverteilung in

    einem solchen Querschnitt. Es gibt einen großen Bereich ohne

    Spannungen und einen Bereich mit konstanter Druckspannung.

    Beide haben auf den ersten Blick keine Änderung der Spannung

    in Längsrichtung. Auch wenn man die Spannungsdifferenz

    betrachtet, ergibt sich die Hypothese, dass es in diesem Bereich

    eine konstante Schubspannung geben müsste. Da die

    Schubspannung am Rande Null ist, wäre Sie dann in der

    plastifizierten Druckzone ebenfalls Null. Hier ist wieder der Widerspruch zu unserer Anschauung,

    den wir dadurch umgehen können, dass wir mit Sekantensteifigkeiten arbeiten. Die folgenden

  • Bilder zeigen die Schubspannungen die mit dieser Annahme und einem konstanten Schubmodul im

    gesamten Querschnitt ermittelt wurden:

    Abbildung 14: Schubspannungen für Vy (links), Vz (mitte) und Vperp (rechts) mit Sekantensteifigkeiten

    Die unsymmetrische Verteilung der vertikalen Schubbeanspruchung ist ein klares Indiz dafür, dass der Standard-Ansatz basierend auf der einachsigen Beanspruchung nicht zutreffend sein kann. Das rechte Bild wurde mit der tatsächlichen zweiachsigen Spannungsverteilung für die Ableitung der Spannung berechnet. Es gibt dann keine unabhängigen Schubkräfte, der Schub definiert sich immer senkrecht zur Nullinie. Diese Ergebnisse sind natürlich erst ein Anfang, ob man sie auch allgemein für nichtlineare Berechnungen oder gar Bemessungen wird verwenden können, muss sich erst noch erweisen.

    4 AUSBLICK

    Warum soll ein trivialer Stabquerschnitt mit so hohem Aufwand

    berechnet werden? Derzeit arbeiten wir nicht nur an der nichtlinear-

    elastischen Analyse solcher Querschnitte sondern auch an den

    Algorithmen zur plastischen Berechnung. Die zugehörige Methode

    ist als das Sandhügelverfahren bekannt, hat sich aber für den

    allgemeinen Fall als außerordentlich komplex herausgestellt:

    Abbildung 15: Sandhügel für einen komplexeren Querschnitt

    Da Querschnitte wie Eingangs erwähnt ideale Substructures darstellen, eröffnen Sie auch die

    Möglichkeiten einer wirklich performanten Parallelisierung. Durch das neue Konzept einer eigenen

    Datenbank für jeden Querschnitt, wird die Implementierung neuer nichtlinearer Verfahren mit der

    Verfolgung von Lastgeschichten bzw. von Lastzyklen in naher Zukunft möglich sein.

    Selbstverständlich wird es in Kürze auch möglich sein, das Finite-Element-Netz der Querschnitte in

    AQUA automatisch zu erzeugen.

    Die Zukunft der Berechnungsverfahren bleibt also spannend !

  • 5 LITERATUR

    [1] HARTMANN F. , KATZ C., Structural Analysis with Finite Elements, Springer, Berlin, 2003, 2nd ed. 2006

    [2] SOFiSTiK Manual „AQUA“ , SOFiSTiK AG, Oberschleißheim (1987-2007) [3] SCHADE D. , Zur Wölbkrafttorsion von Stäben mit dünnwandigem Querschnitt

    Ingenieur−Archiv, 38, pp 25−34, 1969 [4] KATZ C., Self-Adaptive Boundary Elements for the Shear-Stress in Beams

    Proceedings of the 2nd Boundary Element Technology Conference, MIT (J.J. Connor, C.A. Brebbia ed) Computational Mechanics Publications, 1986

    [5] SCHADE D., Zur Berechnung von Querschnittswerten und Spannungsverteilungen für Torsion und Profilverformungen von prismatischen Stäben mit dünnwandigen Querschnitten. Z. Flugwiss.Weltraumforschung 11 , 167−173. 1987

    [6] KATZ C., Fließzonentheorie mit Interaktion aller Stabschnittgrößen bei Stahltragwerken Stahlbau 66, pp 205-213, Ernst & Sohn, Berlin, 1997

    [7] KATZ C., BELLMANN J., From Geometry to Finite Element Analysis European Conference on Computational Mechanics ECCM Munich, 1999

    [8] GRUTTMANN F., WAGNER, W.: Ein Weggrößenverfahren zur Berechnung von Quer-kraftschubspannungen in dünnwandigen Querschnitten, Bauingenieur 76, pp. 474-480 (2001)

    [9] KRAUS, M., Computerorientierte Berechnungsmethoden für beliebige Stabquerschnitte des Stahlbaus, Shaker Verlag, Aachen 2005

    [10] KETTIL P., RODENAS J.J., AGUILERA TORRES C. WIBERG N.-E., Strength and deformation of arbitrary beam sections using adaptive FEM, Computers and Structures Volume 85, pp 15-29, 2007