zmatemÁtica ensino mÉdio

5/10/2018 ZMATEMÁTICA ENSINO M DIO - slidepdf.com

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MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO

Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.Chamamos:

de fração; a de numerador; b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a

divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos

homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com númerosnaturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual

é o significado de ?Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes,

consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos ochocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca

é a parte que sobrou do chocolate.

1



Como se lê uma fração

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 etambém quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

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Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-

se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração

simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível . A fraçãonão pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

3



1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores econservar o denominador . Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores econservar o denominador .

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes,de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações

.

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos

normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários

4

http://www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php





Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador,e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da

segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinadoexpoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente,conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário,

estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme oexemplo abaixo:

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

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Exemplo

5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :

a) 7²= 7x7=49

b) 4³= 4x4x4=64

= 5x5x5x5=625 c) 5

= d) 2 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado

O expoente 3 é chamado de cubo

O expoente 4 é chamado de quarta potência.

O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado

b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo

Lê-se: cinco elevado a quarta c) 5 potência

Lê-se: dois elevado a quinta potência d) 2

Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

6



exemplo

a) 8¹ = 8

b) 5¹ = 5

c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1

exemplo

a) 8º=1

b) 4º=1

c) 12º=1

EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?

b) Qual é o expoente?

c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4=

b) 5x5

c) 9x9x9x9x9=

d) 7x7x7x7

e) 2x2x2x2x2x2x2=

f) cxcxcxcxc=

3) Calcule a potência:

a) 3² = (R: 9)

b) 8² = (R: 64)c) 2³= (R: 8)

7



d) 3³ = (R: 27)

e) 6³ = (R: 216)

f) = 2 (R: 16)

m) 10² = (R: 100)

n) 10³ = (R: 1000)

o) 15² = (R: 225)

p) 17² = (R: 289)

q) 30² = (R: 900)

4) Calcule as potências:

a)40² =1600

b)32² =1024c)15³ = 3375

d) 30³= 27000

f) 300² = 90000

g) 100³ = 1000000

h) 101² = 10201

5) Calcule as Potências:

a) 11² = 121

b) 20² = 400

c) 17² =289

d) 0² = 0

e) 0¹ = 0

f) 1⁶ = 1

g) 10³ = 1.000

h) 470¹ = 470

i) 11³ = 1331

j) 67⁰ =1

k) 1³⁰ = 1

l) 10⁵ = 100000

m) 1⁵ = 1

n) 15³ = 3375

o) 1² = 1p) 1001⁰= 1

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RADICIAÇÃO

Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação

a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7

b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2

c) 3 = 81 ----------------------------⁴ ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical

O índice 2 significa : raiz quadrada

O índice 3 significa: raiz cúbica

O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

9



Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada

EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8

2) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)

b) x²= 25 (R:5)

c) x²= 49 (R:7)

d) x²= 81 (R:9)

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = 3

b) √16 = 4

c) √25 = 5

d) √81 = 9

e) √0 = 0

f) √1 = 1

g) √64 = 8

h) √100 = 10

4) Resolva as expressões abaixo:

10



a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10

b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8

c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5

d) √36- √1 = 6 - 1 = 5

e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13

f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.

exemplos

3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:

conservamos a base e somamos os expoentes.

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²= 4⁵

c) 2⁶ x 2²= 2⁸

e) 3⁷ x 3² = 3⁹

g) 5 x 5² = 5³

i) 6 x 6 = 6²

j) 3 x 3 = 3²

n) 4 x 4 x 4= 4³p) 15 x 15³ x 15 x 15 =⁴ 15⁹

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2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = 7⁸

b) 2² x 2 =⁴ 2⁶

d) 8² x 8 = 8³

e) 3⁰ x 3⁰ = 3⁰

f) 4³ x 4 x 4² = 4⁶

g) a² x a² x a² = a⁶

i) x⁸ . x . x = x¹⁰

j) m . m . m = m³

Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 54 : 5 = 54⁻¹ = 5³

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

12



c) 9⁵ : 9² = 9³

d) 4³ : 4² = 4¹

e) 9⁶ : 9³ = 9³

g) 5 : 5³ =⁴ 5¹

h) 6⁶ : 6 = 6⁷

i) a⁵ : a³ = a²

j) m² : m = m¹

k) x⁸ : x = x⁷

l) a⁷ : a⁶ = a¹


a) 2⁵ : 2³ =

b) 7⁸ : 7³=

c) 9 : 9 =⁴

d) 5⁹ : 5³ =

e) 8 : 8⁴ ⁰ =

f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os

expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:c) (3²)⁵

13



d) (4³)²

f) (5²)⁷

g) (6³)⁵

h) (a²)³

k) (x⁵)²

l) (a³)⁰

m) (x⁵)⁰


a) (7²)³ =

c) (8³)⁵ =d) (2⁷)³ =

e) (a²)³ =

h) (m²)⁷ =

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO

Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à

seguinte ordem :

1°) Potenciação

2°) Multiplicações e divisões

3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) 5 + 3² x 2 =

= 5 + 9 x 2 == 5 + 18 =

14



= 23

2) 7² - 4 x 2 + 3 =

= 49 – 8 + 3 =

= 41 + 3 =

= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados

nesta ordem:

1°) parênteses ( )

2°) colchetes [ ]

3°) chaves { }

exemplos

1°) 40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =

= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]

= 40 – [25 + 1 ]=

= 40 – 26 =

= 14

2°) 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =

= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=

= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =

= 50 – { 15 +12 } =

= 50 – 27 =

= 23

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)b) 2³ + 10 = (R:18)

15



c) 5² - 6 = (R:19)

d) 4² + 7⁰= (R:17)

e) 5⁰+ 5³= (R: 126)

f) 2³+ 2 =⁴ (R: 24)

g) 10³ - 10² = (R: 900)

h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)

i) 5² - 3² = (R: 16)

j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1)

2) Calcule

a) 3² + 5 = (R: 14)

b) 3 + 5² = (R: 28)c) 3² + 5² = (R: 34)

d) 5² - 3² = (R: 16)

e) 18 - 7⁰ = (R: 17)

f) 5³ - 2² = (R: 121)

g) 10 + 10² = (R: 110)

h) 10³ - 10² = (R: 900)

i) 10³ - 1¹ = (R: 999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)

b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )

c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)

d) 3 - 2 : 8 – 3 x 4 =⁴ ⁴ (R: 67)

e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)

f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)

g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)

h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)

b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰

= (R: 25)c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)

16



d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)

e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)

f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)

g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32)

h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)

b) 3 - 6 + 2³ =⁴ (R: 83)

c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)

e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)

f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)

g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)

h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488)


a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)

b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)

c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)

d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)

e) 6² : 2 - 1 x 5 =⁴ (R: 13)

f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172)


a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)

b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)

c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)

d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)

e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)

f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2 x 1 ] =⁴ (R: 79)g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )

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h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)

i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2 - 5⁴ ⁰] . 4¹}= (R:76)

b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)

c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)

d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)

e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2 . 3 - 3² . ( 5 – 2) =⁴ (R: 51)

f) 4² . [2 :⁴ ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)

g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)

i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)

j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)

k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)

l) (( 2³ + 2 ) . 3 -4) + 3² =⁴ (R: 77)

m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)

Divisibilidade

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitemverificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios dedivisibilidade.

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Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja,quando ele é par.Exemplos:1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.

2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.


Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.Exemplo:234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisívelpor 3, então 234 é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos doisúltimos algarismos da direita for divisível por 4.Exemplo:1800 é divisível por 4, pois termina em 00.4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.


Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.Exemplos:

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.


Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.Exemplos:1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).


Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos trêsúltimos algarismos da direita for divisível por 8.Exemplos:1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

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Exemplo:2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 édivisível por 9, então 2871 é divisível por 9.


Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.Exemplos:1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dosalgarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ªordem, e assim sucessivamente.Exemplos:

1) 87549Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11Si-Sp = 22-11 = 11Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21Si-Sp = 10-21Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11

(diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11= 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.Exemplos:1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos,20).2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.Exemplos:1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).


Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.Exemplos:200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

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Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e

ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

• Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3,5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero.

Neste caso o número é primo.Exemplos:1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2;• 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;• por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um

número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2;• 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;• não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;• por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).• por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além

disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois oumais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:24 = 4 x 624 = 2 x 2 x 624 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

21



No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos.

Então a fatoração de 24 é 23 x 3.De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural,

maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

• Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passospara montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo

menor divisor primo desse quociente e assimsucessivamente até obter o quociente 1.A figura ao lado mostra a fatoração donúmero 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatoresprimos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatoresprimos;2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 noalto, porque ele é divisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos eescrevemos esses produtos ao lado de cadafator primo;

22



4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximodivisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:

mdc (6,12) = 6mdc (12,20) = 4mdc (20,24) = 4mdc (12,20,24) = 4mdc (6,12,15) = 3

• CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposiçãodesses números em fatores primos.1) decompomos os números em fatores primos;2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dosfatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

• CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

23



1º) dividimos o número maior pelo número menor;48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisãoanterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12) 18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

• NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximodivisor comum desses números é 1.

Exemplos:Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

• PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é om.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 318 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros,então

ele é o m.d.c. dos números dados.

Mínimo Múltiplo Comum

• MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, entãodizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos númerosnaturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são:

7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...Observações importantes:

1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

• MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

24



Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de

mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, échamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a

abreviação m.m.c.

• CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração.Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos

2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:12 = 2 x 2 x 330 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:

12 = 22 x 330 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dosfatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

• PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números aomesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura aolado. O produto dos fatores primos que obtemos nessadecomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemoso cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

• PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é om.m.c.(3,6,30). Observe:

25



m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros,então

ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60,que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto dessesnúmeros

Equações de primeiro grau

(com uma variável)Introdução

26



Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. Apalavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0

Não são equações:4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:ax+b = 0

a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos doislados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "

desconhecida".Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade

denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na formaax =b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

ConjuntoVerdade eConjunto

Universo deuma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o

conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

27



Observe este outro exemplo:

• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo

ser indicado por: V = {-5, 5}.Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar comoconjunto universo o conjunto dos números racionais.

• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicadopor S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte

seqüência:• Substituir a incógnita por esse número. • Determinar o valor de cada membro da equação. • Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da

equação. Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo,determinando em cada caso o conjunto verdade.

• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

• Resolva a equação 2 x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)Para x = 0 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)Para x = 1 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

28



Para x = 2 na equação 2 x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2 x - 5 = 1 não possui raiz em U , logo V = Ø.

Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações quenos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem,finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação.Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade,dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípiosde equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

• Sendo , resolva a equação.

MMC (4, 6) = 12

-9 x = 10 => Multiplicador por (-1)

9 x = -10

Como , então .

• Sendo , resolva a equação

2 . ( x - 2) - 3 . (1 - x ) = 2 . ( x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2 x - 4 - 3 + 3 x = 2 x - 8

2 x + 3 x -2

x = - 8 + 4 + 3

3 x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades• Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6 x - 4) = 3 . (4 x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6 x - 2 . 4 = 3 . 4 x - 3 . 112 x - 8 = 12 x - 3

12 x - 12 x = - 3 + 8

29



0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equaçãoé impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø. Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

• Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3 x - 8 = 2 - 3 x .Observe a sua resolução:

-3 x + 3 x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação

possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído àvariável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

Equações de 1º grau (com duas variáveis)

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numacerta ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por ( x , y ) o par ordenado formado pelos elementos x e y , onde x é o 1º elemento e y é o 2ºelemento.

• Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:

. Exemplos

2. Dois pares ordenados ( x , y ) e (r , s) são iguais somente se x = r e y =s.

Representação gráfica de um Par OrdenadoPodemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas.Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2ºnúmero desse par. Assim:

30



Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um planocartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y,

perpendiculares entre si.A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x ).A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y ).

O ponto comum dessas duas retas é denominadoorigem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência

prática:• O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.• O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.• No encontro das perpendiculares aos eixos x e y , por esses pontos,

determinamos o ponto procurado. Exemplo:

• Localize o ponto (4, 3).

Produto Cartesiano

31



Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao ladoformaremos o conjunto de todos os pares ordenadosem que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x

B o conjunto de todos os pares ordenados ( x , y ) onde

Equações de primeiro grau(com duas variáveis)

Considere a equação: 2 x - 6 = 5 - 3y

Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y , pode ser transformadanuma equação equivalente mais simples. Assim:

2 x + 3y = 5 + 62 x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y , a toda equaçãoque pode ser reproduzida à forma ax + by = c , sendo a e b númerosdiferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c , denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita

a - coeficiente de x

b - coeficiente dey

c - termo independente

Exemplos:

x + y = 30

2 x + 3y = 15 x - 4y = 10

-3 x - 7y = -48

2 x - 3y = 0 x - y = 8

32



Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1

x - 2y = 46 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 44 = 4 (V)

x = 8, y = 2 x - 2y = 48 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 44 = 4 (V)

x = -2, y = -3 x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4-2 + 6 = 44 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos

( x , y ) - , sendo, portanto, seu conjunto universo .Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma

das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:• Determine uma solução para a equação 3 x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y . Assim:

3 x - y = 83 . (1) - y = 8

3 - y = 8-y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. V = {(1, -5)}

Resumindo:

Um par ordenado (r , s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y =s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveisSabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado ( x , y ).

33



Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto dassolução dessa equação. Exemplo:

• Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.1º par: A (4, 0)2º par: B (0, 4)

A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. x y

4 0

0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r , que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações Considere o seguinte problema: Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos certo)

2 x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução dosistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

Resolução de Sistemas

34



A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar umpar ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução• determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y

• Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y ) -3y = 3

• Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5

y = 1

• Substituímos o valor encontrado de y , em qualquer das equações, determinando x .

x + 1 = 4 x = 4 - 1

x = 3

• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método daadição.Resolva o sistema abaixo:

Solução

• Adicionamos membros a membros as equações:

2 x = 16

35



x = 8

• Substituímos o valor encontrado de x , em qualquer das equações,

determinado y :8 + y = 10y = 10 - 8

y = 2A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

Inequações de primeiro grauIntrodução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por umadesigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. • Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo

satisfaz ou não a desigualdade inicial. Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o

ponto auxiliar.Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao

qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

• Representamos graficamente a inequação

36



Tabela

x y ( x , y )

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequaçãoVerificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

Inequações de primeiro grau

Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grauPara resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

• traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; • determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos:

• Dê a resolução gráfica do sistema:SoluçãoTraçando as retas - x + y = 4 e 3 x + 2y = 6.

Tabela

x y ( x , y )

0 4 (0, 4)-4 0 (-4, 0)

Tabela

x y ( x , y )

0 3 (0, 3)

1 3/2 (1, 3/2)

Gráfico

37



38



Radiciação Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicandoàquele expoente. Exemplos:

Divisão de RadicaisSegundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimosos radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue aoperação. Exemplos:

Racionalização de denominadoresConsidere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma

fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração comdenominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seudenominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma novafração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

39



é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




Potência com expoente racional Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionaisAs propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentesinteiros.Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

Razões - Introdução

40



Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m decomprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de umdeles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro decorrida.

A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kartcorresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são

diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.

Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.

Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25. 2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desdeque seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Termos de uma razãoObserve a razão:

41



(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é

denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5 .

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual

a 1.Exemplo:

são razões inversas, pois .Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da

outra, e vice-versa.Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.

2) 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos

permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguintemaneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por ummesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão

equivalente. Exemplos:

são razões equivalentes.

42



são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quocienteentre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa

mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possuiuma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre asalturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei ebasquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquetepossui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes,determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa

razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezasenvolvidas.

Exemplos: 1) Consumo médio:

• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nessepercurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustívelconsumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média

11,5 km.

43



2) Velocidade média:• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre

a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?Solução:

Razão =Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:• O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em

6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre onúmero de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46

habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão

entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções – IntroduçãoRogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg.Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a

igualdade é uma proporção. Assim:Proporção é uma igualdade entre duas razões.

44



Elementos de uma proporçãoDados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formamuma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d ") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• b e c os meios da proporção. • a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos:Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.

Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporçõesObserve as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120Produto dos extremos = 3.40 = 120

Produto dos meios = 9.20 = 180

Produto dos extremos = 4.45 = 180

Produto dos meios = 8.45 = 360Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamentalDeterminação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

45



x = 24

Logo, o valor de x é 24.

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal.

Para obtermos 2 m3

de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.

Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos aproporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

46



(aplicando a propriedade fundamental) 1 . 2 = 0,04 . x

0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcionalDados três números racionais a, b e c , não-nulos, denomina-se quarta proporcional dessesnúmeros um número x tal que:

Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6

8 . x = 72

x = 9Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção

contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcionaldesses números o número x tal que:

Exemplo:Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.

SoluçãoIndicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental)

47



20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5. Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométricaou média proporcional entre a e c . Exemplo:

• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.Solução:

5 . 20 = b . b100 = b2

b2 = 100

b =b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).DemonstraçãoConsidere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.Solução:

48



Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.

Logo, x=36 e y=48 .

2ª propriedade:Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º)

termo,assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

DemonstraçãoConsidere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2membros por -1)

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18 , determine x e y na proporção .Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30.

Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos

consequentes,assim como cada antecedente está para o seu consequente.

DemonstraçãoConsidere a proporção:

Permutando os meios, temos:

49



Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dosconsequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.


Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos

consequentes,assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu

consequente.


50



Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões.

Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade,podemos escrever:

51



Algarismos Romanos

A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais

são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:

• Nos números de capítulos uma obra.• Nas cenas de um teatro.

• Nos nomes de papas e imperadores.

• Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...

Regras

A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes

valores:

Letras Valores

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.

Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma

ao valor da anterior.

Exemplos:

VI = 6

XXI = 21

LXVII = 67

A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X",

precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D"ou da "M", lhes subtrai cem unidades.

Exemplos:

IV = 4

IX = 9

XL = 40

XC = 90

CD = 400

CM = 900

Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas.Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas.

52



Exemplos:

XIII = 13

XIV = 14

XXXIII = 33

XXXIV = 34

A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M")

representam seu valor duplicado.

Exemplos:

X = 10

C = 100

M = 1.000

Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra

seguinte a ela.

Exemplos:

XIX = 19

LIV = 54

CXXIX = 129

O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras

horizontais em cima dos mesmos.

Exemplos:

Grandezas – Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezaspodem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, acapacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo deuso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

53



Grandezas diretamente proporcionaisUm forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)5 100

10 20015 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveisdependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.5 min ----> 100Kg10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.5 min ----> 100Kg15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quandoa razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores

correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre osdois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo emcada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme atabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)5 200

8 125

10 100

16 62,520 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveisdependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.5 m/s ----> 200s10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.5 m/s ----> 200s20 m/s ----> 50s

54



Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionaisquando

a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre osvalores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razãoentre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatrovalores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dostrês já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e

mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movidoa energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa áreapara 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)1,2 4001,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as

grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta nomesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equaçãotemos:

55



Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado

percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizadafosse de 480km/h? Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3480 x Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as

grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta nosentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equaçãotemos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5

camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 1205 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as

grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equaçãotemos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em

20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipefará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término (dias)8 205 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para términoaumenta.

Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que asgrandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equaçãotemos:

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Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ouinversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantoscaminhões serão necessários para descarregar 125m3? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espéciee, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume8 20 1605 x 125

Identificação dos tipos de relação:Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões.Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto arelação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razãoque contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantoscarrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela:

57



Homens Carrinhos Dias8 20 54 x 16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a

relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relaçãotambém é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar arazão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar essemuro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita ediscordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.Exercícios complementaresAgora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para

encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for

aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, paraconstruir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a umavelocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essacarga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

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5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm delargura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura,seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

Dízimas periódicasHá frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituemo período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.Exemplos:

(período: 5) (período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2Parte não periódica: 0

Período: 4Período não periódica: 15


São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma partenão periódica.Observações:Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Dízimas periódicas

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituemo período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas.Exemplos:

(período: 5)(período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

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Período: 4Período não periódica: 15


São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma partenão periódica.Observações:Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período.Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simplesA geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para

denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.Exemplos:

Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zerosquantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima: Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e paradenominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.Exemplos:

60



Dízima Composta:

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zerosquantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

PORCENTAGEMÉ frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em

preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Algunsexemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimalToda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão

centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas

percentuais.Considere o seguinte problema:João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o

total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado

61



valor.

Exemplos:• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS :

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando emgols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual ataxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com aporcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos

calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator demultiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim pordiante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou LucroFator de

Multiplicação10% 1,10

15% 1,15

20% 1,2047% 1,47

67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de

62



Multiplicação10% 0,90

25% 0,75

34% 0,6660% 0,40

90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Classificação dos polígonos

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Seusarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguintenomenclatura:

NÚMERO DELADOS

(OU ÂNGULOS)

NOME DO POLÍGONOEM FUNÇÃO DO

NÚMERO DE ÂNGULOSEM FUNÇÃO DO

NÚMERO DE LADOS3 triângulo trilátero4 quadrângulo quadrilátero5 pentágono pentalátero6 hexágono hexalátero7 heptágono heptalátero8 octógono octolátero9 eneágono enealátero

10 decágono decalátero11 undecágono undecalátero12 dodecágono dodecalátero15 pentadecágono pentadecalátero20 icoságono icosalátero

Área das figuras planas

RetânguloQuadrado

Triângulo Paralelogramo

63



Trapézio Losango

Triângulo equilátero

Medidas de superfície

IntroduçãoAs medidas de superficie fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntasmais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a area desta sala?

• Qual a area desse apartamento?

• Quantos metros quadrados de azulejos são necessarios para revestir essa piscina?

• Qual a area dessa quadra de futebol de salão?• Qual a area pintada dessa parede?

Superfície e área

Superficie é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza,portanto, um número.

Metro QuadradoA unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

64



O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metrode lado.

Múltiplos UnidadeFundamental

Submúltiplos

quilômetrosquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 eo mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:1) Leia a seguinte medida: 12,56m2


12, 56Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela

corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2


1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2


0, 91 70Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas AgráriasAs medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos,

fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare(ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidadeagrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalênciade valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se:1 ha = 1hm2

1a = 1 dam2

1ca = 1m2

Transformação de unidades

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidadesde superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidadeimediatamente inferior :

65



Observe as seguintes transformações:

• transformar 2,36 m2 em mm2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar m2

em mm2

(três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100). 2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

• transformar 580,2 dam2 em km2. km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

Medidas de volume

IntroduçãoFrequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três

dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidastridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbicoA unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico

(m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m dearesta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

66



MúltiplosUnidade

Fundamental

Submúltiplos

quilômetrocúbico

hectômetr o cúbico

decâmetr o cúbico

metrocúbico

decímetr o cúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000

m3 1.000.000

m3 1.000m3 1m3 0,001m3

0,000001m3

0,000000001 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidaslineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso dealguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

• Leia a seguinte medida: 75,84m3


75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm3


0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos

Transformação de unidades

Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar quecada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior .

67



Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000. 2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)

2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)

3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)

4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinalquando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo.Capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitrokl hl dal l dl cl ml

68



1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal l dl cl ml

2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".

Transformação de unidades Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior .

Observe a seguinte transformação:• transformar 3,19 l para ml.

kl hl dal l dl cl ml

Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000(10x10x10). 3,19 x 1.000 = 3.190 ml

Pratique! Tente resolver esses exercícios: 1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl)

2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l)

3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l)

4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

Equações de 2º grauDefinições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x , toda equação da forma:ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:• x 2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. • 6x 2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. • 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. • x 2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax ² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de umaequação do 2º grau na incógnita x ) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x ²; b é sempre o coeficiente de x ,

69



c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x ² - 9 x + 20 = 0 e - x ² + 10 x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quandoambos são iguais a zero. Exemplos:

• x ² - 36 = 0(b = 0)

• x ² - 10 x = 0(c = 0)

• 4x ² = 0(b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grauResolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ouconjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x ² - x - 2 = 0 ?

Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto everificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 00 = 0

(V)

Para x = 00² - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 11² - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0

-2 = 0(F)

Para x = 22² - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 0

0 = 0(V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2 p - 1) x ² - 2 px - 2 = 0.

SoluçãoSubstituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

70



Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas

importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .

SoluçãoInicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipoExemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR. Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um

número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

71



Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremospasso a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:

Temos

72



Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremospasso a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

73



4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:Temos

74



Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:• Para quais valores de k a equação x ² - 2 x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x ² - ( p - 1 ) x + p-2 = 0 possua raízesiguais.Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

75



3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes daequação são número complexos.

Exemplo:• Para quais valores de m a equação 3 x ² + 6 x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadasparâmetros.Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: xparâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: xparâmetro: a

76



Equações literais incompletasA resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações

numéricas.Observe os exemplos:• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução

3x2

- 12m2

= 03x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=

Logo, temos:• Resolva a equação literal incompleta my 2 - 2aby=0,com m 0 , sendo y a variável.

Solução my 2 - 2aby = 0 y(my - 2ab)=0 Temos, portanto, duas soluções:

y=0 ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assimresolvido: my 2 - 2aby= 0

my 2 = 2aby my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando destamaneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:Exemplo:

Resolva a equação: x 2 - 2abx - 3a2 b2 , sendo x a variável. Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2 b2

77



Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessaequação.

Logo:

Observe as seguintes relações:• Soma das raízes (S )

• Produto das raízes (P )

Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos deaplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

SoluçãoNesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

78



A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma desuas raízes seja igual a 7.

SoluçãoNesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x 2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízesseja igual a -2.

SoluçãoNesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x 1. x 2 = -2

Logo, o valor de m é .• Determine o valor de k na equação 15x2 + k x + 1 = 0, para que a soma dos inversos

de suas raízes seja igual a 8.

SoluçãoConsidere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .Assim:

Logo, o valor de k é -8.

• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 =0 admita:

a) raízes simétricas;b) raízes inversas.

SoluçãoSe as raízes são simétricas, então S=0.

79



Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

SoluçãoA soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das

raízes é . Solução

80



Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz será

.

Assim:

Logo, x 2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADAConsidere a equação ax2 + bx + c = 0.Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax 2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

SoluçãoCalculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

SoluçãoCalculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0. Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

EQUAÇÕES BIQUADRADAS

81



Observe as equações:x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termoem x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.Denominamos essas equações de equações biquadradas.Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

Cuidado!x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0 x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x sópossui expoentes pares.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável,

transformando-a numa equação do 2º grau.Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação

biquadrada.

Seqüência prática• Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y. • Resolva a equação ay2 + by + c = 0

• Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dáorigem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhumaraiz real para a mesma.

Exemplos: • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 - 13y + 36 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=4 e y''=9Como x2= y, temos:

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

• Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

82



SoluçãoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equação, obtemos:

y'=6 e y''= -10

Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: .

• Determine a soma das raízes da equação . SoluçãoUtilizamos o seguinte artifício:

Assim:y2 - 3y = -2y2 - 3y + 2 = 0y'=1 e y''=2

Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das raízes é dada por:

Resolução de equações da forma: ax2n + bxn + c = 0Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.Para isso, substituimos xn por y, obtendo:

ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.

Exemplo:

• resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0. SoluçãoFazendo x3=y, temos:

y2 + 117y - 1.000 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:y'= 8 e y''= - 125

83



Então:

Logo, V= {-5, 2 }.

Composição da equação biquadrada

Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:

(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo:• Compor a equação biquadrada cujas raízes são:

Soluçãoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0

PROPRIEDADES DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA

Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equaçãodo 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.

De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a

biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

84



2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -

.

3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são

irracionais.Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONALA resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la

inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação auma potência conveniente.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se asraízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equaçãoirracional dada ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação auma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

•

Solução

85



Logo, V= {58}.

•

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

•

Solução

86



Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAUObserve o seguinte problema:Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2.

Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 64

2x . ( 2x + 2y) = 192 4x2 + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:2x + y = 16 1x2 +xy = 48 2

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:

87



Assim: 2x + y = 16 1y = 16 - 2x

Substituindo y em 2 , temos:x2 + x ( 16 - 2x) = 48

x2

+ 16x - 2x2

= 48- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.x2 - 16x + 48 = 0

x'=4 e x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões daquadra:

Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24mLargura =2x = 2. 4 = 8mVerifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y em 1

y - 3x = -1 y = 3x - 1Substituindo em 2

x2 - 2x(3x - 1) = -3x2 - 6x2 + 2x = -3-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.5x2 - 2x - 3 = 0

x'=1 e x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e .

Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2º GRAUPara resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:

Sequência prática

• Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para alinguagem matemática.

• Resolva a equação ou o sistema de equações.

88



• Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados doproblema.

Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:

• Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja

.

SoluçãoRepresentamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão

representados por .

Temos estão a equação: .Resolvendo-a:

Observe que a raiz não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.

• Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos,obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.

SoluçãoRepresentamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.Observe:

Número: 10x + y

Número com a ordem dos algarismos trocada: 10y + x.Temos, então, o sistema de equações:

Resolvendo o sistema, temos:

89



Isolando y em 1 :

-x + y = 3 y= x + 3Substituindo y em 2:xy = 18x ( x + 3) = 18x2 + 3x = 18x2 + 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'= 3 + 3 = 6y''= -6 + 3 = -3

Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema onúmero36 ( x=3 e y=6).Resposta: O número procurado é 36.

• Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas maisque a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanqueisoladamente.

SoluçãoConsideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a2ª torneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:

Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão do tanque; observe a equaçãocorrespondente:

Resolvendo-a, temos:6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )6x + 30 + 6x = x2 + 5xx2 - 7x - 30 = 0x'= - 3 e x''=10

Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.

• Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentesrecebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavampresentes nesse jantar?

90



SoluçãoPodemos representar por:

Resolvendo-a:

Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15pessoas estavam presentes no jantar.

Medidas de massaIntrodução

Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em

qualquer lugar da terra ou fora dela. Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro daterra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seisvezes maior na terra do que na lua.

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidadelunar.Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo",é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

QuilogramaA unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à

temperatura de 4ºC.Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama

como unidade principal de massa.

91



Múltiplos e Submúltiplos do grama

MúltiplosUnidadeprincipal Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramakg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001gObserve que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamenteinferior. Exemplos:

1 dag = 10 g1 g = 10 dg

Medidas de massaTransformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidadeimediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações:• Transforme 4,627 kg em dag.

kg hg dag g dg cg mg

Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10

x 10).4,627 x 100 = 462,7

Ou seja:4,627 kg = 462,7 dag

Observação:Peso bruto: peso do produto com a embalagem.Peso líquido: peso somente do produto.

Medidas de tempoIntrodução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:Qual a duração dessa partida de futebol?Qual o tempo dessa viagem?Qual a duração desse curso?Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão demedida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

92



O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre assucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades Múltiplos

minutos hora diamin h d60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:• décimo de segundo

• centésimo de segundo

• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema demedidas de tempo não é decimal.

Observe:

Medidas de tempoOutras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 diasano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horasano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 diasquinzena = 15 diasbimestre = 2 mesestrimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 mesesbiênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anosdécada = 10 anosséculo = 100 anos

milênio = 1.000 anos

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Medidas de Comprimento Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles

possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cadavez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Eranecessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes devários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia osistema métrico decimal. Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmenteque a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte aoEquador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em1928.

Múltiplos e Submúltiplos do MetroAlém da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e

submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centie mili. Observe o quadro:

MúltiplosUnidade

FundamentalSubmúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetrokm hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001mOs múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os

submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão,

utilizamos:mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):Ano-luz = 9,5 · 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métricodecimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cmPolegada = 2,54 cmJarda = 91,44 cmMilha terrestre = 1.609 mMilha marítima = 1.852 m

Observe que:

1 pé = 12 polegadas1 jarda = 3 pés

Medidas de Comprimento

Leitura das Medidas de ComprimentoA leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de

unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:km hm dam m dm cm mm

94



2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parteinteira sob a sua respectiva.

km hm dam m dm cm mm1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e aparte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetrosOutros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 damlê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e setecentímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

• Transforme 16,584hm em m.

km hm dam m dm cm mm

Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

Medidas de Comprimento

Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento

h - altura ou larguraPerímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares

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Triângulo equilátero QuadradoP = l+ l + lP = 3 · l

P = l + l + l+ lP = 4 · l

Pentágono HexágonoP = l + l + l + l + l

P = 5 ·P = l + l + l + l + l + l

P = 6 · l l - medida do lado do polígono regular

P - perímetro do polígono regular Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l

Comprimento da CircunferênciaUm pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se:

Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante.Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor umpouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu

diâmetro (D), encontramos sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra grega (lê-se "pi"), que é aprimeira lera da palavra grega perímetro. Costuma-se considera = 3,14.

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Logo:Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer

circunferência.

Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtidoexperimentalmente.

C = 2 r C = 2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm

Média aritmética simples

A média aritmética simples também é conhecida apenas por média. É a medida de posiçãomais utilizada e a mais intuitiva de todas. Ela está tão presente em nosso dia-a-dia quequalquer pessoa entende seu significado e a utiliza com frequência. A média de um conjunto devalores numéricos é calculada somando-se todos estes valores e dividindo-se o resultado

pelo número de elementos somados, que é igual ao número de elementos do conjunto, ouseja, a média de n números é sua soma dividida por n.

Média ponderadaNos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a

mesma importância ou o mesmo peso. Dizemos então que elas têm o mesmo peso relativo. Noentanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, ocálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo. Este tipo demédia chama-se média aritmética ponderada.

Ponderar é sinônimo de pesar . No cálculo da média ponderada, multiplicamos cada valor doconjunto por seu "peso", isto é, sua importância relativa.DEFINIÇÃO DE MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA:

A média aritmética ponderada p de um conjunto de números x1, x2, x3, ..., xn cuja importânciarelativa ("peso") é respectivamente p1, p2, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p =

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EXEMPLO: Alcebíades participou de um concurso, onde foram realizadas provas dePortuguês, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2,respectivamente. Sabendo que Alcebíades tirou 8,0 em Português, 7,5 em Matemática, 5,0 emBiologia e 4,0 em História, qual foi a média que ele obteve?

p =

Portanto a média de Alcebíades foi de 6,45.

Números racionais

Racionais Positivos e Racionais NegativosO quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam

quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros,com divisor diferente de zero.Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais PositivosEsses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

• (+8) : (+5)

• (-3) : (-5)

Números Racionais NegativosSão quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

• (-8) : (+5)

• (-3) : (+5)

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Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o número racional

.

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito naforma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na formafracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e ozero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e érepresentado por Q. Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.Outros subconjuntos de Q:• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;• Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;• Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;• Q+

* é o conjunto dos números racionais e positivos;• Q-

* é o conjunto dos números racionais negativos.

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Operações com números racionaisAdição e Subtração

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas.Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma formacomo fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisãoNa multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e

denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso dasegunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado expoente,estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplosabaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando

essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

100



Tabuadas

1 2 3 4 51x1 = 11x2 = 21x3 = 31x4 = 41x5 = 51x6 = 61x7 = 71x8 = 81x9 = 9

1x10 = 10

2x1 = 22x2 = 42x3 = 62x4 = 8

2x5 = 102x6 = 122x7 = 142x8 = 162x9 = 18

2x10 = 20

3x1 = 33x2 = 63x3 = 9

3x4 = 123x5 = 153x6 = 183x7 = 213x8 = 243x9 = 27

3x10 = 30

4x1 = 44x2 = 8

4x3 = 124x4 = 164x5 = 204x6 = 244x7 = 284x8 = 324x9 = 36

4x10 = 40

5x1 = 55x2 = 105x3 = 155x4 = 205x5 = 255x6 = 305x7 = 355x8 = 405x9 = 455x10 = 50

6 7 8 9 10

6x1 = 66x2 = 126x3 = 186x4 = 246x5 = 306x6 = 366x7 = 42

6x8 = 486x9 = 546x10 = 60

7x1 = 77x2 = 147x3 = 217x4 = 287x5 = 357x6 = 427x7 = 49

7x8 = 567x9 = 637x10 = 70

8x1 = 88x2 = 168x3 = 248x4 = 328x5 = 408x6 = 488x7 = 56

8x8 = 648x9 = 728x10 = 80

9x1 = 99x2 = 189x3 = 279x4 = 369x5 = 459x6 = 549x7 = 63

9x8 = 729x9 = 819x10 = 90

10x1 = 1010x2 = 2010x3 = 3010x4 = 4010x5 = 5010x6 = 6010x7 = 70

10x8 = 8010x9 = 90

Razões trigonométricasCatetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os ladosadjacentes de catetos.Observe a figura:

101



Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e TangenteConsidere um triângulo retângulo BAC :

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razõestrigonométricas:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo ea medida da hipotenusa.

Assim:

• Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esseângulo e a medida da hipotenusa.

102



Assim:

Razões trigonométricasTangente

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medidado cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:

Exemplo:

103



Observações:1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo

e o seu cosseno. Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

2. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivosmenores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonalTriângulo eqüilátero de lado I e

altura

104



Seno, cosseno e tangente de 30ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 45ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente´para um ângulo de 45º, temos:

Seno, cosseno e tangente de 60ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

105



60º

Semelhança de PolígonosIntrodução

Observe as figuras:

Figura A

Figura B

Figura C

Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos tem amesma forma, mas de tamanhos diferentes.

Dizemos que esse mapas são figuras semelhantes.Nessas figuras podemos identificar:

AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo) CD - distância entre C e D (largura do retângulo)

- ângulos agudos formados pelos segmentos

Medindo os segmentos de reta e e os ângulos ( ) das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:

m ( ) m ( ) ângulo

Fig. C 3,9 cm 1,3 cm = 90º

Fig. B 4,5 cm 1,5 cm = 90º

Fig. A 6,0 cm 2,0 cm = 90ºObserve que:

• Os ângulos correspondente nas três figuras têm medidas iguais; • As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria

quando:• os ângulos correspondentes têm medidas iguais ; • as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais; • os elementos das figuras são comuns. Outro exemplos de figuras semelhantes:

106



têm formas iguais e tamanhos diferentes.

Semelhança de PolígonosPolígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C 'D', nas figuras:

Observe que:• os ângulos correspondentes são congruentes:

• os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:

ou

Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C 'D' são semelhantes e indicamos:

ABCD ~ A'B'D'C ' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C ' ")Ou seja:

Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes sãocongruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão desemelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados éObs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são

satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais.Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

107



Semelhança de PolígonosPropriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros éigual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dospolígonos.

Demonstração:Sendo ABCD ~ A'B'C 'D', temos que:

Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:Perímetro de ABCDE (2 p) = AB + BC + CD + DE + EA

Perímetro de A'B'C 'D'E' (2 p') = A'B' + B'C ' + C 'D' + D'E ' + E ' A'Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:

Exemplo:• Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a

um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo. Solução

Razão de semelhança =

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.

108



Operações com números racionais decimaisAdiçãoConsidere a seguinte adição:

1,28 + 2,6 + 0,038Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

SubtraçãoConsidere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as

demais.Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987

Operações com números racionais decimaisMultiplicaçãoConsidere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais, temos:Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamosa vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto sejaigual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

109



3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação:1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método

prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual aonúmero de casas decimais do fator decimal. Exemplo:

5 · 0,423 = 2,1152. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula

para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580%

Operações com números racionais decimaisDivisão

1º: Divisão exataConsidere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais, temos:Método prático

110



1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;2º) Suprimimos as vírgulas;3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos:

• 1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05Suprimindo as vírgulas: 140 : 5Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.

Efetuado a divisão

• 6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015Suprimindo as vírgulas 6.000 : 15Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.

Efetuando a divisão

• 4,096 : 1,6

Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600


Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades.Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para adeterminação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto,uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.

Operações com números racionais decimais

• 0,73 : 5

Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00Suprimindo as vírgulas 73 : 500


111



Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos umzero à direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão.Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto.Exemplos:

• 2,346 : 2,3

Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero noquociente e acrescentamos mais um zero aoresto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a

esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

Operações com números racionais decimais2º : Divisão não-exata

112



No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que umaunidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4.

Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.

4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo.3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que:3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo.

3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.Observação:

1. As expressões têm o mesmo significado: - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos.- Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e,

assim, sucessivamente.2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos

significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal doquociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos)13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos)13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos

completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir talaproximação. Exemplo:

O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

113



Operações com números racionais decimaisRepresentação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir

o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

• Converta em número decimal.

Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato.


Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.


Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.Dízima Periódicas

Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

= 0,333... = 0,8333...Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos,

dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízimaperiódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessadízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicascompostas. Exemplos:

= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) = 0,1212... (Período: 12)São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

= 0,0222...Período: 2Parte não periódica: 0



São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma partenão periódica.Observações

114



1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e operíodo. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou


Geratriz de uma Dízima PeriódicaÉ possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica.

Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.Procedimentos para determinação de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador operíodo e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos doperíodo.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde:

n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica.d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos detantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =


Potenciação

115



As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número naturalseguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:

(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 (0,18)0 = 1

Raiz QuadradaA raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando

o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões NuméricasNo cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas

regras aplicadas às expressões com números fracionários.Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando

todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25= 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes.Exemplos:

116



Quadrilátero Definição:

Quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Quadrilátero ABCD

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.

ElementosNa figura abaixo, temos:

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Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.

Lados:

Diagonais: Ângulos internos ou ângulos do

quadrilátero ABCD: .

Observações1. Todo quadrilátero tem duas diagonais. 2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja:

AB + BC + CD + DA.

Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontrao lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo

QuadriláteroSoma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo

A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.

Do triângulo ABD, temos : a + b1 + d1 = 180º. 1

Do triângulo BCD, temos:c + b2 + d2 = 180º. 2

Adicionando 1 com 2 , obtemos:a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º

a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360ºa + b + c + d = 360º

118



Observações1.Termos uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer

polígono convexo:Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.

2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.Se = 360º

Quadriláteros NotáveisParalelogramo

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.Exemplo:

h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais (E ) é chamado centro de simetria.Destacamos alguns paralelogramos:

QuadriláteroRetângulo

Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).Exemplo:

Losango

Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.Exemplo:

119



QuadradoQuadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro

ângulos são congruentes.Exemplo:

É o único quadrilátero regular. É, simultaneamenteretângulo e losango.

Trapézio

É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.Exemplo:

120



Denominamos trapezóide o quadrilátero que não apresenta lados paralelos.

QuadriláteroDestacamos alguns trapézios:

Trapézio retânguloÉ aquele que apresenta dois ângulos retos.

Exemplo:

Trapézio isósceles

É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.Exemplo:

Trapézio escaleno

É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.Exemplo:

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QuadriláteroPropriedades dos Paralelogramos1ª Propriedade

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

H : ABCD é paralelogramo.

T :

Demonstração Afirmativa Justificativa

1. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2ª PropriedadeCada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

H: ABCD é paralelogramo.

T:


1. Hipótese.

122



2. Hipótese.

3. Lado comum.

4. Caso L.L.L.

3ª PropriedadeAs diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo

T:


1. é diagonal (2ª propriedade)

2.Ângulos correspondentes em triânguloscongruentes.

3. Ângulos correspondentes em triânguloscongruentes.

4.

5.

Quadrilátero4ª Propriedade

As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.

H: ABCD é paralelogramo.

T:


1. Ângulos alternos internos.

2. Lados opostos (1ª propriedade).

3. Ângulos alternos internos.

4. Caso A.L.A..

5. Lados correspondentes em triânguloscongruentes.

123



Resumindo: Num paralelogramo:

• os lados opostos são congruentes; • cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes; • os ângulos opostos são congruentes; • as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.

Propriedade característica do retângulo.As diagonais de um retângulo são congruentes.

T: ABCD é retângulo.

H: .

124



Ângulos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOSDuas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma

origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas

semi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam.

O vértice é a origem comum dessas semi-retas.O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

125



ÂngulosObserve agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesmareta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

• As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de umavolta.

•

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

126



MEDIDA DE UM ÂNGULOA medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de

medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais,

determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulode 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor . O transferidor já vemgraduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º ede 360º.O grau compreende os submúltiplos:

• O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

• O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistemasexagesimal.

ÂngulosComo medir um ângulo, utilizando o transferidor Observe a seqüência

• O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

• A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do

ângulo .

• Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ânguloObserve as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:15º (lê-se "15 graus'')

127



45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')

ObservaçõesAlém do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão.Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado emnavegação.

A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letraminúscula ou de um número.

Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.O ângulo de uma volta mede 360º. Questões envolvendo medidas de ângulosObserve a resolução das questões abaixo:

• Determine a medida do ângulo AÔB na figura:

SoluçãoMedida de AÔB = xMedida de BÔC = 105ºComo m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo raso, temos:

m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)x + 105º = 180º

x = 180º - 105ºx = 75º

Logo, a medida de AÔB é 75º.

• Determine a medida do 6angulo não-convexo na figura:

128



SoluçãoVerificamos que o ângulo não-convexo na figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, juntos,um ângulo de uma volta, que mede 360º. Assim:

x + 50º = 360ºx = 360º - 50º

x = 310º

Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

ÂngulosComo construir um ângulo utilizando o transferidor Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

• Traçamos uma semi-reta .

• Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). • Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

• Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º. Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.Eles podem ser desenhados com esquadro.

TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADESComo vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema

sexagesimal.Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

• Transforme 30º em minutos.

SoluçãoSendo 1º = 60', temos:

30º = 30 . 60'= 1.800

129



'Logo, 30º = 1.800

• Transforme 5º35' em minutos.

Solução5º = 5 . 60' = 300'

300' + 35'= 335'Logo, 5º35'= 335'.

• transforme 8º em segundos.

SoluçãoSendo 1º = 60', temos:

8º = 8 . 60'= 480'Sendo 1'= 60'', temos:

480'= 480 . 60'' = 28.800''Logo, 8º = 28.800''.

• Transforme 3º35' em segundos.

Solução3º = 3 . 60'= 180'180' + 35' = 215'215' . 60'' = 12.900''

Logo, 3º35'= 12.900''• Transforme 2º20'40'' em segundos.

Solução2º = 2 . 60' = 120'120' + 20' = 140'140'. 60''= 8.400''8.400'' + 40'' = 8.440''

Logo, 2º20'40'' = 8.440''

ÂngulosTransformando uma medida de ângulo em número misto

• Transforme 130' em graus e minutos.

Solução

• Transforme 150'' em minutos e segundos.

Solução

130



• Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos.

Solução

Medidas fracionárias de um ângulo

• Transforme 24,5º em graus e minutos.

solução0,5º = 0,5 . 60' = 30'24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'

Logo, 24,5º = 24º30'.

• Transforme 45º36' em graus. solução

60' 1º

36' xx = 0,6º (lê-se ''seis décimos de grau'')

Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

• Transforme 5'54'' em minutos. Solução 60'' 1'

54'' xx = 0,9' ( lê-se ''nove décimos de minuto'')

Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

Ângulos

131



OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOSObserve alguns exemplos de como adicionar medidas de ângulos:Adição

• 30º48' + 45º10' • 43º18'20'' + 25º20'30''

• 10º36'30'' + 23º45'50''

Simplificando 33º81'80'', obtemos:

Logo, a soma é 34º22'20''.

SubtraçãoObserve os exemplos:

• 70º25' - 30º15

• 38º45'50'' - 27º32'35''

• 90º - 35º49'46''

132



• 80º48'30'' - 70º58'55''

Observe que:

Logo, a diferença é 9º 49'35''.

ÂngulosMultiplicação por um número naturalObserve os exemplos:

• 2 . ( 36º 25') • 4 . ( 15º 12')

•

5 . ( 12º36'40'')

Logo, o produto é 63º3'20''.

133



Divisão por um número naturalObserve os exemplos:

• ( 40º 20') : 2

• ( 45º20' ) : 4

• ( 50º17'30'' ) : 6

ÂngulosÂNGULOS CONGRUENTES

Observe os ângulos abaixo:

134



Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemosfazer a seguinte indicação:

Assim:

Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Propriedades da Congruência

• Reflexiva:

• Simétrica:

• Transitiva:

ÂngulosÂNGULOS CONSECUTIVOS

Observe a figura:

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB.

Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

Os ângulos AÔC e CÔB possuem: Vértice comum: O

Lado comum:

135



Os ângulos AÔC e AÔB possuem:

Vértice comum: O

Lado comum:

Os ângulos CÔB e AÔB possuem: Vértice comum: O

Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulosconsecutivos.Assim:

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

ÂngulosÂNGULOS ADJACENTESObserve os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internoscomuns

Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internoscomuns

136



Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internoscomuns

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internoscomuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.Assim:

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internoscomuns.

Observação:

Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Ângulos

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Observe a figura abaixo:

137



m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB )congruentes.

Nesse caso, a semi-reta é denominada bissetriz do ângulo AÔB.Assim:

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide emdois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo

Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.

• Centramos o compasso em O e comuma abertura determinamos os pontos

C e D sobre as semi-retas, respectivamente.

• Centramos o compasso em C e D ecom uma abertura superior à metadeda distância de C a D traçamos arcosque se cruzam em E.

• Traçamos , determinando assim abissetriz de AÔB.

ÂngulosÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO

138



Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.• Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:

• Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:

• Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:

RETAS PERPENDICULARESAs retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

139



Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

Observação

Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos.

Exemplo:

Ângulos

ÂNGULOS COMPLEMENTARESObserve os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

140



Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

Exemplo:Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º.Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.

Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Complemento

x 90º - x

Exemplo:• Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º?

SoluçãoMedida do complemento = 90º - medida do ângulo

Medida do complemento = 90º - 75ºMedida do complemento = 15ºLogo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º.

Observação:Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes.Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

ÂngulosÂNGULOS SUPLEMENTARES

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:

141



As semi-retas formam um ângulo raso.Verifique que:

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180ºNesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

Exemplo:

Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º.Dizemos que o ângulo de 82º é o suplemento do ângulo de 98º, e vice-versa.Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença

entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo Suplemento

X 180º - X

Exemplo:

• Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

SoluçãoMedida do suplemento = 180º - medida do ânguloMedida do suplemento = 180º - 55ºMedida do suplemento = 125ºLogo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º.

Observação:

Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, alémde

suplementares, são também adjacentes.

Dizemos que esses ângulos são adjacentessuplementares.

ÂngulosÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICEObserve os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

142



Verifique que:

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas

opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:

Logo: y = kAssim:

m (AÔB) = m (CÔD) AÔB CÔD

m (AÔD) = m (CÔB) AÔD CÔBDaí a propriedade:

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

• Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x- 40º. Qual é o valor de x?

Solução:

143



x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v

x - 3x = - 40º - 60º-2x = - 100º

x = 50ºLogo, o valor de x é 50º.

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INDICE

Frações..................................................................................1

Significado de uma fração..........................................................................................................1Como se lê uma fração............................................................. .................................................2Classificação das frações................................................ .........................................................2Frações equivalentes..................................... ...........................................................................3Simplificação de frações........................................................................... ................................3Adição e subtração de números fracionários.............................................. ...........................4Multiplicação e divisão de números fracionários...... .............................................................5Potenciação e radiciação de números fracionários... ............................................................5

Critérios de divisibilidade...............................................19

Números Primos......................................................................................................................21Decomposição em fatores primos.........................................................................................22Determinação dos divisores de um número.........................................................................23Máximo Divisor Comum .........................................................................................................23Mínimo Múltiplo Comum.........................................................................................................24

Equações de primeiro grau(com uma variável)...........................27

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação..................................................28Raízes de uma equação..........................................................................................................29Resolução de uma equação...................................................................................................29

Equações de primeiro grau(com duas variável)......................30

Inequações de primeiro grau(com duas variável)..................36

Radiciação..................................................................39

Razões - Introdução...................................................41

Proporções – Introdução............................................44

Algarismos Romanos..................................................52

Grandezas – Introdução.............................................53

Regra de três simples.................................................55

Regra de três composta..............................................57

145



dízima periódica.........................................................60

PORCENTAGEM...........................................................61

Classificação dos polígonos.............................................63

Área das figuras planas ..............................................64

Medidas de superfície.................................................65

Transformação de unidades........................................66

Medidas de volume.....................................................67Transformação de unidades............................................68

Medidas de capacidade...............................................69

Equações de 2º grau........................................................70

Equação completas e Incompletas............................................................................71

Resolução de equações incompletas........................................................................71

Resolução de equações completas...........................................................................72

Resolução de equações completas...........................................................................74

Discriminante.............................................................................................................................75

EQUAÇÕES LITERAIS..............................................................................................................77

Equações literais completas...................................................................................................78

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES.........................................................79

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES...................81

EQUAÇÕES BIQUADRADAS...................................................................................................82

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA.................................................................83

Composição da equação biquadrada.....................................................................................85

EQUAÇÕES IRRACIONAIS.......................................................................................................86

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU....................................87

146



Medidas de massa...........................................................................................92Medidas de tempo............................................................................................93Medidas de Comprimento...............................................................................94Medidas de Comprimento de ângulos e circunferência..............................96

Média aritmética simples e Média ponderada.............98

Números racionais......................................................99

Tabuadas..................................................................102

Razões trigonométricas..............................................................102

Semelhança de Polígonos............................................................107

Operações com números racionais decimais..............................110

Quadrilátero.................................................................................119

Ângulos.........................................................................................127BISSETRIZ DE UM ÂNGULO.........................................................................139ÂNGULO AGUDO, OBTUSO E RETO e outros.........................................................140

zmatemÁtica ensino mÉdio

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