zklady elementrnej geometrie - km.fpv.ukf.sk univerzita kon tantna filozofa fakulta prrodnch...

Download ZKLADY ELEMENTRNEJ GEOMETRIE - km.fpv.ukf.sk univerzita kon tantna filozofa fakulta prrodnch vied zklady elementrnej geometrie  ediv ondrej – vallo du an vydan v nitre

Post on 08-Feb-2018

234 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 1

    UNIVERZITA KONTANTNA FILOZOFA

    FAKULTA PRRODNCH VIED

    ZKLADY ELEMENTRNEJ GEOMETRIE

    EDIV ONDREJ VALLO DUAN

    Vydan v Nitre 2009

    Fakultou prrodnch vied Univerzity Kontantna Filozofa v Nitre

    s finannou podporou projektu

    Tvorba geometrickch predstv iaka v mladom kolskom veku a adekvtna prprava

    uiteov elementaristov KEGA 3/6314/08

    NITRA 2009

  • 2

    Nzov: Zklady elementrnej geometrie

    Autori: prof. RNDr. Ondrej ediv, CSc.

    RNDr. Duan Vallo, PhD.

    Recenzenti: doc. RNDr. Oliver idek, CSc.

    RNDr. Janka Drbekov, PhD.

    Technick spoluprca: Vladimr Ondrejka

    Edcia: Prrodovedec . 391

    Schvlen: Vedenm FPV UKF v Nitre da 13.10.2009

    Rukopis nepreiel jazykovou pravou.

    Ondrej ediv

    Duan Vallo

    ISBN: 978-80-8094-623-4

    EAN: 9788080946234

  • 3

    1 PLANIMETRIA

    1.1 Historick poznmky Slovo geometria pochdza z grckeho vrazu h g meten, o znamen vymeriavanie

    pozemkov pomocou ln.

    Geometria vznikla v dvnej minulosti a spene sa rozvjala najm v Egypte, Babylone,

    Indii a v ne. Avak teoretick zklady geometrie nachdzame a v Grcku. Starogrcki

    filozofi sa vo vekej miere zaoberali aj matematikou. Znme s koly: Tlesova,

    Pytagorejsk, Platonova, Apollniova, Aristotelova, Archimedova, Euklidova.

    kola Tlesova poloila cenn zklady elementrnej geometrie. Tlesa okrem geometrie

    zaujmala i astronmia a on prv vypotal zatmenie Slnka, ktor bolo presne poda jeho

    vpotov.

    kola Pytagorejsk mala pre vvoj geometrie vek vznam a obohatila geometriu

    almi poznatkami napr. veta o ste vntornch uhlov trojuholnka, Pytagorova veta, at.

    kola Aristotelova zaala budova geometriu na princpoch logiky a Aristoteles

    vypracoval deduktvnu metdu pre potreby geometrie.

    Archimedes predstavite Archimedovskej koly zblil teriu s praxou a udal smer

    vvoja matematiky vbec.

    V treom storo pred naim letopotom sa nahromadilo toko poznatkov z geometrie, e

    bolo potrebn ich da do uritho systmu na deduktvnom zklade.

    Tto vek prcu pri vytvran systmu vedeckho budovania geometrie urobil genilny

    starogrcky vedec Euklid (3. storoie pred naim letopotom). On zozbieral, doplnil a vydal

    v diele Zklady vetky dovtedy znme poznatky z elementrnej geometrie. Niekoko

    storo boli Zklady jedinou uebnicou geometrie. Po om sa nazva i geometria

    euklidovsk geometria.

  • 4

    1.2 Zkladn tvary geometrie Zkladn geometrick tvary s :

    bod

    priamka

    rovina

    Body oznaujeme vekmi psmenami A, B, C, X, Y, Z ... Dva body mu by rzne

    A B, X Y, alebo mu splva, hovorme aj, e s toton, M = N, P = Q.

    Priamky oznaujeme malmi psmenami a, b, p, q ... alebo bodmi, ktormi je uren, m

    = ABsuur

    , p = PQsuur

    . Priamka je jednoznane uren dvoma rznymi bodmi.

    Bod a priamka mu ma nasledovn vzjomn polohu :

    bod patr priamke (bod le na priamke), napr. Ap,

    bod nepatr priamke (bod nele na priamke), napr. Mm.

    Priamka je bodov mnoina, teda jej prvky s body. Priamku meme uri

    ktormikovek jej dvoma rznymi bodmi.

    Priamku meme rozdeli ubovonm jej bodom na dve asti. Kad z tchto ast

    nazvame polpriamka.

    Na urenie polpriamky okrem bodu A pouijeme al bod, napr. X.

    Polpriamku budeme oznaova AXuuur

    . Bod A je zaiatok polpriamky.

    Kee bod rozdel priamku na dve polpriamky, jednu ozname napr. AXuuur

    , druh AYuuur

    .

    Ak vezmeme polpriamku AXuuur

    ako prv, potom polpriamku AYuuur

    nazvame opan

    polpriamka AXuuur

    . Plat aj, e polpriamka AXuuur

    je opan polpriamka k polpriamke AYuuur

    , teda

  • 5

    polpriamky AXuuur

    , AYuuur

    s navzjom opan polpriamky. Opan polpriamky maj spolon

    zaiatok.

    Prklad

    Na priamke p s dan dva rzne body A, B. Ak polpriamky uruj tieto dva body ?

    Rieenie :

    Odpove : Dva rzne body A, B leiace na jednej priamke uruj dve rzne polpriamky

    ABuuur

    , BAuuur

    .

    as priamky p, ktor je tvoren bodmi leiacimi medzi bodmi A, B, vrtane bodov A, B,

    nazvame seka AB. Body A, B s krajn body seky, seku budeme oznaova AB.

    seka AB a seka BA je t ist as priamky, t. zn., e pri oznaen seky nezle na

    porad krajnch bodov.

    Urobme prehad ast priamky

    Rovina je op zkladn geometrick tvar. Rovina je jednoznane uren tromi

    rznymi bodmi neleiacimi na jednej priamke. Rovinu budeme oznaova psmenami grckej

    abecedy , , , ..., alebo psmenami, ktor uruj rovinu, napr. ABCsuuuur

    .

  • 6

    Zapisujeme ABC =suuuur

    Rovina je op bodov mnoina, to znamen, e body leiace v rovine s prvkami roviny.

    Nech bod A le (je prvkom) v rovine , zapeme A . Ak bod M nele (nie je prvkom)

    v rovine , zapeme M .

    Nech je dan priamka p, ktorej vetky body leia v rovine . Potom priamka p je asou

    roviny , o zapeme p .

    ,,,

    A p AB p BX p Xp

    Rovinu meme rozdeli ubovonou jej priamkou p na dve asti. Kad z tchto ast

    nazvame polrovina.

  • 7

    Ak priamka p je uren bodmi A, B a mimo priamky p le bod C, potom polrovinu

    meme oznai ABCuuuuur

    . Polrovinu meme oznai aj pCuuur

    Ako sme vyie uviedli, priamka rovinu rozdel na dve asti, teda na dve polroviny. Jedna

    je ABXuuuuur

    a druh ABYuuuuur

    .

    Priamka AB je pre obidve polroviny hranicou.

  • 8

    Polrovina ABYuuuuur

    je opanou polrovinou k polrovine ABXuuuuur

    . Taktie polrovina ABXuuuuur

    je

    opanou polrovinou k polrovine ABYuuuuur

    . Hovorme, e polroviny ABXuuuuur

    , ABYuuuuur

    s navzjom

    opan polroviny.

    Prklad

    Nech s dan tri body A, B, C, ktor neleia na jednej priamke. Napte vetky

    polroviny, ktor s uren danmi tromi bodmi.

    Rieenie :

    polrovina ABCuuuuur

    hranica ABsuur

    polrovina ACBuuuuur

    hranica ACsuur

    polrovina BCAuuuur

    hranica BCsuur

    Odpove: Tri body neleiace na jednej priamke uruj tri rzne polroviny.

  • 9

    1.3 Prenanie seiek. Porovnvanie seiek Nech je dan seka AB a polpriamka EX.

    Pouime psik papiera a ozname na om dva body tak, aby splvali s bodmi A, B.

    Pomocou tohto psika vyzname na polpriamke EX bod F.

    seka EF vznikla prenesenm seky AB pomocou psika papiera. seku EF meme

    vytvori aj napr. pomocou kruidla. seka EF je zhodn s sekou AB, o zapisujeme

    AB EF.

    V alom sa budeme zaobera porovnvanm dvoch seiek AB, CD. Rozlime tri

    prpady.

    1. prpad

    Zvome ubovon polpriamku EX. Na tto polpriamku prenesieme obidve seky AB,

    CD tak, aby body A, C sa stotonili s bodom E. Dostaneme dva alie body F, G, priom

    AB EF, CD EG.

  • 10

    V tomto prpade bod G padol do vntra seky EF. Na zklade toho je seka EF via

    ako seka EG. Zapeme

    EF > EG.

    seka EF vznikla prenesenm seky AB a seka EG vznikla prenesenm seky CD.

    Potom AB EF, CD EG. Na zklade toho meme vzah EF > EG nahradi vzahom

    AB > CD. Hovorme, e seka AB je via ako seka CD.

    2. prpad

    Po prenesen oboch seiek na polpriamku EX vznikne nasledovn situcia:

    EF FG

    V zmysle predchdzajcej vahy je AB CD.

    3. prpad

    Prenesme op seky AB, CD na polpriamku EX a dostaneme:

  • 11

    Bod G padne za bod F. EF < EG. Potom aj AB < CD.

    Zver: Ak AB, CD s dve seky, potom me nasta jeden z nasledujcich

    prpadov:

    1. AB > CD, 2. AB CD

    3. AB < CD

  • 12

    1.4 Grafick set a grafick rozdiel seiek Nech s dan dve ubovon seky AB, CD a polpriamka EX. Postupne prenesme na

    polpriamku EX seku AB do seky EF a seku CD do seky FG.

    Dostali sme seku EG, ktor mono napsa ako set seiek EF a FG. seka EF AB

    a FG CD. seku EG nazvame grafickm stom seiek AB, CD.

    Prklad

    Dan s tyri seky AB, CD, PQ, MN. Postupne stajte dan tyri seky.

    Rieenie:

    Zvolme si ubovon polpriamku EX. Postupne budeme prena dan seky.

    Plat : EK = EF + FG + GH + HK

    EF AB, FG CD, GH PQ, HK MN

    Odpove: seka EK je grafickm stom seiek AB, CD, PQ, MN.

    Majme op dve ubovon seky AB, CD a polpriamku EX. Prenesme op seky

    AB, CD na polpriamku EX tak, ako je znzornen na obrzku.

    AB EF, CD GF

  • 13

    seku EG meme zapsa: EG = EF FG = AB CD. seku EG nazvame grafickm

    rozdielom seiek AB, CD. Zrejme plat EF = EG - GF.

    Cvienia

    1. Na obrzku s dan tri body A, B, C. Koko rznych priamok me by urench

    ubovonou dvojicou z bodov A, B, C ?

    2. Zmen sa poet priamok urench dvojicami z bodov A, B, C, ak ich poloha je takto ?

    3. Najmenej koko seiek potrebujeme na vymodelovanie psmen L, K, T ? 4. Koko rznych polpriamok me by urench dvojicou z bodov A, B, C ?

    a)

    b)

    5. Koko rznych seiek me by urench ubovonou dvojicou z bodov A, B, C ?

    a)

    b)

    6. Znzornite (vyrafujte) spolon as polrovn ABC a CBA.

  • 14

    7. Pomocou grafickho stania seiek zostrojte trojnsobok seky AB.

    8. Na priamke p s dan tri body A, B, C. Pomocou seiek urench danmi bodmi vyjadrite

    seku BC.

    9. Dan s tyri rzne body A, B, C, D v napsanom porad a leiace na jednej priamke. Urte

    prienik:

    a) polpriamok AB, BA

    b) polpriamok BC, DA

    c) polpriamok BA, BC

    d) polpriamok BA, CD

    e) seiek AC, CD

    f) seiek AC, BC

    g) seiek AD, BC

    h) seiek AB, CD

    i) seky AC a polpriamky BD

Recommended

View more >