základy elektroniky - n-games.cz1.1 sériový rezonanční obvod 9 1.1.6 Šířka pásma a činitel...
TRANSCRIPT
Základy elektroniky
27. listopadu 2005
Obsah
I Pasivní jednobrany a dvojbrany 7
1 Frekvenčně závislé jednobrany 71.1 Sériový rezonanční obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Rezonanční kmitočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Činitel jakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Mezní kmitočty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Šířka pásma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Šířka pásma a činitel jakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Normovaná rezonanční křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.8 Vypočtené normované rezonanční křivky sériových rezonančních obvodů . . . . . . 10
1.2 Paralelní rezonanční obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Admitance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Rezonanční kmitočet (ϕ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Činitel jakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Energetická definice činitele jakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Výpočet činitele jakosti podle energetické definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.6 Činitel jakosti paralelního rezonančního obvodu pro ϕ = 0 . . . . . . . . . . . . . . 121.2.7 Impedance při ϕ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.8 Porovnání rezonance sériového a paraleleního rezonančního obvodu . . . . . . . . . 131.2.9 Impedance paralelního rezonančního obvodu při Thomsonově kmitočtu . . . . . . . 131.2.10 Fáze paralelního rezonančního obvodu při Thomsonově kmitočtu . . . . . . . . . . 141.2.11 Rezonanční kmitočet pro maximum impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.12 Maximum amplitudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.13 Fáze v maximu amplitudy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.14 Šířka pásma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.15 Vypočtené normované rezonanční křivky paralelních rezonančních obvodů . . . . . 161.2.16 Detail rezonanční křivky paralelního rezonančního obvodu v okolí vrcholu . . . . . 171.2.17 Rezonanční křivky paralelních rezonančních obvodů v rozsahu dvou dekád . . . . . 18
2 Přechodové jevy prvního řádu v obvodech RC 192.1 Proud kondenzátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Nabíjení kondenzátoru konstantním napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Průběh napětí na kondenzátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Průběh napětí na odporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Průběh nabíjecího proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Vybíjení kondenzátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Průběh napětí na kondenzátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Průběh napětí na odporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Průběh vybíjecího proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Přechodové jevy prvního řádu v obvodech LR 233.1 Napětí na indukčnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Vznik proudu v sériovém obvodu LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.1 Průběh vznikajícího proudu indukčností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.2 Průběh napětí na odporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3 Průběh napětí na indukčnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Zánik proudu v sériovém obvodu LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1 Průběh zanikajícího proudu indukčností . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Průběh napětí na odporu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.3 Průběh napětí na indukčnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Frekvenčně závislé dvojbrany 274.1 Integrační článek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Přenos v základním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Přenos v souřadnicovém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.3 Absolutní hodnota přenosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.4 Fáze přenosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.5 Přenos v exponenciálním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.6 Nyquistova charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.1.7 Amplitudová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.8 Fázová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.9 Bodeho charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.10 Přechodová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Derivační článek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.1 Přenos v základním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.2 Přenos v souřadnicovém tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.3 Absolutní hodnota přenosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.4 Fáze přenosu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.5 Přenos v exponenciálním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2.6 Nyquistova charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.7 Amplitudová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.8 Fázová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.9 Bodeho charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.10 Přechodová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
II Bipolární tranzistory 39
5 Stabilizace pracovního bodu 395.1 Obecný stabilizační obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Základní stejnosměrné vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.3 Klidový proud kolektoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4 Definice činitelů stabilizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5 Výpočet činitelů stabilizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Závislost činitelů stabilizace na poměru odporů RB/RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 Převodní vztahy pro výpočet stabilizačních obvodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Bipolární tranzistor jako lineární zesilovač 446.1 Zapojení se společným emitorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.1 Schéma zapojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.2 Náhradní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.3 Proudové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.4 Vstupní odpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.1.5 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.6 Výstupní vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1.7 Závislost přenosových parametrů na zátěži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Zapojení se společným kolektorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.1 Schéma zapojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.2 Náhradní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.3 Proudové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.4 Vstupní odpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2.5 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.6 Výstupní vodivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.2.7 Závislost přenosových parametrů na zátěži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3 Zapojení s proudovou zpětnou vazbou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3.1 Schéma zapojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3.2 Náhradní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3.3 Proudové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3.4 Vstupní odpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3.5 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.3.6 Výstupní odpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.4 Problém kapacity v emitoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.1 Schéma zapojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.2 Náhradní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.3 Proudové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.4 Vstupní impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4.5 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4.6 Výstupní impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4.7 Dolní mezní kmitočet ωd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4.8 Frekvenční charakteristiky přenosových parametrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.4.9 Časová konstanta v emitoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5 Zesilovač s vysokou vstupní impedancí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5.1 Schéma zapojení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5.2 Náhradní schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5.3 Obvodové rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5.4 Vstupní impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.5 Limita pro ω → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.6 Limita pro ω →∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.7 Časové konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5.8 Dolní mezní kmitočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.5.9 Frekvenční závislost vstupní impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
III Operační zesilovače 63
7 Vlastnosti operačních zesilovačů 637.1 Vlastnosti ideálního operačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.1.1 Zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.1.2 Vstupní a výstupní odpor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.1.3 Princip virtuální nuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Dynamické vlastnosti operačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2.1 Frekvenční přenos otevřené smyčky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2.2 Přechodová charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.2.3 Rychlost přeběhu SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2.4 Mezní výkonová frekvence fm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.3 Rušivé signály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.1 Vstupní klidový proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.2 Vstupní proudový offset I0S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.3 Vstupní napěťový offset U0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.4 Proudový a napěťový drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.3.5 Činitel potlačení změny napájecího napětí SVRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3.6 Činitel potlačení součtového signálu H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3.7 Šum operačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Napájení operačních zesilovačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4.1 Symetrické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4.2 Nesymetrické . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.4.3 Způsoby napájení operačních zesilovačů stavebnice RC . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Proporcionální stupně s operačními zesilovači 728.1 Invertující zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.1.1 Převodník proudu na napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1.2 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1.3 Odpory ve vstupech operačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.1.4 Dělič napětí na vstupu zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.5 Dělič napětí ve zpětné vazbě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.1.6 Invertující sčítací zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.1.7 Invertující sčítací zesilovač jako D-A převodník . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2 Neinvertující zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.1 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.2 Sledovač signálu (napěťový sledovač) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.2.3 Neinvertující sčítací zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3 Zdroj napětí v neinvertujícím vstupu invertujícího zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.1 Řešení metodou virtuální nuly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.3.2 Řešení podle principu superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4 Rozdílový (diferenční) zesilovač . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.1 Napěťové zesílení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.2 Odstranění napěťové nesymetrie rozdílového zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7
Část I
Pasivní jednobrany a dvojbrany
1 Frekvenčně závislé jednobrany
1.1 Sériový rezonanční obvod
1.1.1 Impedance
Z = R+ ωL+1
ωC= R+
(ωL− 1
ωC
)(1)
1.1.2 Rezonanční kmitočet
Rezonance nastane při kmitočtu, kdy impedance Z má nulovou fázi ϕ = 0.Impedance v rezonanci je reálná, minimální, rovna pouze ztrátovému odporuZ0 = R. Imaginární část impedance se rovná nule.
ωL− 1ωC= 0
Odtud Thomsonův vzorec pro rezonanční kmitočet
ω20 =1
LC
ω0 =1√LC
(2)
f0 =1
2π√
LC(3)
1.1.3 Činitel jakosti
Průchodem proudu I vzniká na impedanci rezonančního obvodu napětí U . Je to součet fázorů UR +UL + UC . V rezonanci je napětí na sériovém rezonančním obvodu minimální, je to napětí UR na reálnéčásti impedance R. Napětí UL na indukčnosti a UC na kapacitě jsou stejně velká, ale opačná, takže senavzájem ruší a v součtu se neprojeví. Samostatně ale mohou být mnohonásobně vyšší než součet napětína vnějších svorkách obvodu. Nastává napěťová rezonance a její kvalita se hodnotí činitelem jakosti Qjako poměr samostatného napětí na některé reaktanci k celkovému napětí ve stavu rezonance. Napětíjsou úměrná impedancím, proto
Q0 =UL
U=
ω0L
R=
UC
U=
1ω0CR
=1R
√L
C(4)
1.1.4 Mezní kmitočty
Mezní kmitočet je kmitočet, při kterém součet napětí na reaktancích má stejnou velikost jako napětína obvodu v rezonanci, tedy jako napětí na ztrátovém odporu. Protože napětí na reaktancích majíopačnou fázi a odečítají se, nastane tato situace při dvou kmitočtech. Pro horní mezní kmitočet vyšší nežrezonanční, kdy UL − UC = UR a pro dolní mezní kmitočet nižší než rezonanční, kdy UC − UL = UR.Při mezním kmitočtu je velikost imaginární složky impedance rovna velikosti reálné složky impedance,
odporu R. Celková impedance se zvýší na Zh,d =√2R =
√2Z0.
Hodnota násobitele√2 vyjádřená v decibelech je 20 log
√2 = 3dB. Říkáme, impedance vzrostla
√2
krát nebo impedance vzrostla o 3 dB.Fáze impedance na horním mezním kmitočtu je kladná ϕ = +45, na dolním mezním kmitočtu je
záporná ϕ = −45.
8 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
Horní mezní úhlový kmitočetPodle definice mezních kmitočtů plyne pro horní mezní úhlový kmitočet
ωhL−1
ωhC= R
ω2hLC − ωhRC − 1 = 0
ωh 1,2 =RC ±
√R2C2 + 4LC
2LC
ωh 1,2 =R
2L±
√(R
2L
)2+1
LC
Absolutní hodnota druhého členu výrazu je větší než prvního. Protože neuvažujeme záporný kmitočet,použijeme
ωh =R
2L+
√(R
2L
)2+1
LC(5)
Dolní mezní úhlový kmitočetPodle definice mezních kmitočtů plyne pro dolní mezní úhlový kmitočet
1ωdC
− ωdL = R
−ω2dLC − ωhRC + 1 = 0
ωd 1,2 =−RC ±
√R2C2 + 4LC
2LC
ωd 1,2 = − R
2L∓
√(R
2L
)2+1
LC
Absolutní hodnota druhého členu výrazu je větší než prvního. Protože neuvažujeme záporný kmitočet,použijeme
ωd = −R
2L+
√(R
2L
)2+1
LC(6)
Geometrický střed pásma je rezonanční úhlová frekvence√
ωh · ωd = ω0
Po dosazení (5) a (6) dostaneme√√√√√√ 1
LC+
(R
2L
)2+
R
2L
√ 1LC+
(R
2L
)2− R
2L
=√1
LC+
(R
2L
)2−(
R
2L
)2=
1√LC
(7)
Aritmetický střed pásma
ωstř =ωh + ωd2
Po dosazení (5) a (6) dostaneme
ωstř =12
R
2L+
√(R
2L
)2+1
LC− R
2L+
√(R
2L
)2+1
LC
=√1
LC+
(R
2L
)2(8)
1.1.5 Šířka pásma
Kmitočty mezi dolním a horním mezním kmitočtem jsou rezonančním obvodem přibližně stejně tlumeny.Impedance se mění v tolerančním pásu 3 dB a fáze se mění v rozsahu ±45. Můžeme říci, že rezonančníobvod vybírá ze všech frekvencí právě jen tyto kmitočty. Rozdíl mezi horním a dolním mezním kmitočtemje šířka pásma B = fh − fd.Schopnost vybrat jen určené kmitočty se nazývá selektivita.
1.1 Sériový rezonanční obvod 9
1.1.6 Šířka pásma a činitel jakosti
Šířka pásma souvisí s činitelem jakosti. Odečtením mezních úhlových kmitočtů dostaneme
ωh − ωd =R
2L+
√(R
2L
)2+1
LC+
R
2L−
√(R
2L
)2+1
LC
ωh − ωd =R
L(9)
Dělíme-li rezonanční úhlovou rychlost tímto rozdílem, dostaneme
ω0ωh − ωd
=ω0L
R=
1√LC
L
R=1R
√L
C= Q0
Je tu další důležitá definice činitele jakosti velmi používaná v praxi
Q =ω0
ωh − ωd=
f0fh − fd
=f0B
(10)
U složitějších rezonančních obvodů se už obě definice přesně matematicky nerovnají, jejich hodnoty jsousi však velmi blízké.
1.1.7 Normovaná rezonanční křivka
Grafické vyjádření závislosti impedance rezonančního obvodu na frekvenci je rezonanční křivka. Má částamplitudovou a fázovou.Aby bylo možné porovnávat různé rezonanční obvody, křivka se normuje. Na svislou osu amplitudové
charakteristiky vynášíme poměr absolutních hodnot|Z||Z0|
v decibelech, decibely v lineárním měřítku.
Na svislou osu fázové křivky vynášíme lineárně fázi ve stupních nebo v radiánech.
Na vodorovnou osu vynášíme vždy logaritmus poměru frekvencí logf
f0. Pro snazší orientaci je vý-
hodnější zapisovat na vodorovnou osu do bodů, kam ukazují hodnoty logaritmů přímo hodnoty poměrůfrekvencí. Tím vznikne tzv. logaritmické měřítko, charakteristické opakováním dekád.Normujeme-li vodorovnou osu tímto způsobem, odečítáme z grafu místo šířky pásma rozdíl poměrných
frekvencí, což je 1/Q.fhf0− fd
f0=
fh − fdf0
=1Q
10 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
1.1.8 Vypočtené normované rezonanční křivky sériových rezonančních obvodů
Obrázek 1: Vliv činitele jakosti sériového rezonančního obvodu na tvar amplitudové rezonanční křivky
Obrázek 2: Vliv činitele jakosti sériového rezonančního obvodu na tvar fázové rezonanční křivky
1.2 Paralelní rezonanční obvod 11
1.2 Paralelní rezonanční obvod
1.2.1 Admitance
Y = ωC +1
R+ ωL= ωC +
R− ωL
R2 + ω2L2=
R
R2 + ω2L2+ ω
(C − L
R2 + ω2L2
)(11)
1.2.2 Rezonanční kmitočet (ϕ = 0)
Frekvenci fr, při které je admitance reálná s nulovou fází vypočítáme, položíme-li imaginární část rovnounule.
C − L
R2 + ω2rL2= 0
C =L
R2 + ω2rL2
R2 + ω2rL2 =
L
C(12)
ω2r =1
LC− R2
L2
ωr =
√1
LC−(
R
L
)2(13)
fr =12π
√1
LC−(
R
L
)2(14)
1.2.3 Činitel jakosti
Paralelní rezonanční obvod má při rezonanci nízkou admitanci (vysokou impedanci), proto jím protékávelmi malý příčný proud. Uvnitř uzavřené smyčky paralelního rezonančního obvodu však cirkuluje ještějiný, z vnějšku nepozorovatelný střídavý proud, který zprostředkuje výměnu energie mezi reaktancemi.Tento proud je největší při rezonančním kmitočtu a může být značně větší než proud, který obvodemprochází. Nastává proudová rezonance a její kvalita se hodnotí činitelem jakostiQ jako poměr cirkulujícíhoproudu ku proudu průchozímu ve stavu rezonance.
1.2.4 Energetická definice činitele jakosti
U paralelního rezonančního obvodu vlivem sériového ztrátového odporu nejsou proudy reaktencemi přesněv opačné fázi, proto vyjádření činitele jakosti Q přímo ze základní definice je obtížné. Pomůže tzv.energetická definice činitele jakosti
Q = 2πenergie akumulovaná v obvodu
energie rozptýlená během jedné periody(15)
Jestliže vnitřní smyčkou cirkuluje střídavý proud o omplitudě Icm, potom maximální akumulovaná energiev cívce je WL = 1
2LI2cm. Energie přeměněná na teplo v odporu za dobu periody v rezonanci je WJ =
RI2cTr = R(
Icm√2
)2Tr. Dosazením do (15) dostaneme
Q = 2π
12LI2cm
RI2cm2
Tr
=2πTr
L
R=
ωrL
R
1.2.5 Výpočet činitele jakosti podle energetické definice
1. Napíšeme výraz pro impedanci (napěťová rezonance) nebo admitanci (proudová rezonance) v sou-řadnicovém tvaru, aby reálná a imaginární část byly oddělené.
12 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
2. Imaginární část položíme rovnou nule a vypočítáme rezonanční kmitočet pro nulovou fázi ϕ. Abyto šlo, musí mít imaginární část v rezonanci stejně velké, ale opačné poloviny, kladnou a zápornou,induktivní a kapacitní.
3. Absolutní hodnotu některé z nich vydělíme celou částí reálnou, výpočet provedeme pro rezonančníkmitočet. Výraz odpovídá činiteli jakost Q podle energetické definice.
4. Impedanci nebo admitanci obvodu v rezonanci vypočítáme dosazením rezonančního kmitočtu doreálné části výrazu.
1.2.6 Činitel jakosti paralelního rezonančního obvodu pro ϕ = 0
Podle návodu dělíme induktivní část imaginární složky rovnice (11) celou reálnou složkou při úhlovémkmitočtu ω = ωr.
Qr =
ωrL
R2 + ω2rL2
R
R2 + ω2rL2
=ωrL
R=
L
R
√1
LC−(
R
L
)2=
√L
R2C− 1 (16)
DiskusePorovnejme činitel jakosti Qr paralelního rezonančního obvodu s činitelem jakosti Q0 sériového rezonanč-ního obvodu.
Do výrazu (16) dosadíme Q0 =1R
√L
C(4).
Qr =√
Q20 − 1, Q0 =√
Q2r + 1 (17)
Vidíme, že při dostatečně velkém Q0 lze jedničku pod odmocninou zanedbat a Qr.= Q0.
1.2.7 Impedance při ϕ = 0
Dosadíme-li výraz pro ωr do reálné části výrazu (11), získáme vzorec pro admitanci paralelního rezonanč-ního obvodu při nulové fázi ϕ = 0 (je tedy reálná). K tomu výhodně využijeme rovnici (12).
Yr =R
R2 + ω2rL2
Yr =RC
L(18)
Impedance je převrácená hodnota admitance
Zr =L
RC(19)
DiskuseS použitím (4) lze výraz upravit na
Zr = R Q20 (20)
S použitím (17) ještě naZr = R (1 +Q2r) (21)
Toto je výraz pro přepočet sériového ztrátového odporu na paralelní ztrátový odpor, hledáme-li k séri-ovému náhradnímu schéma indukčnosti jeho duální paralelní náhradní schéma. Impedance paralelníhorezonančního obvodu v rezonanci (při nulové fázi ϕ = 0) je rovna jeho paralelnímu ztrátovému odporu
Zr = Rp (22)
1.2 Paralelní rezonanční obvod 13
1.2.8 Porovnání rezonančních kmitočtů sériového a paraleleního rezonančního obvodu proϕ = 0
Rovnici (13) umocníme na druhou a upravíme ji použitím Thomsonova vztahu (2).
ω2r =1
LC− R2
L2
ω2r = ω20 − ω20R2C
L
Dále využijeme vztah (4) pro činitel jakosti sériového rezonančního obvodu1R
√L
C= Q0
ω2r = ω20 −ω20Q20
ω20 = ω2r +
(ω0Q0
)2(23)
Rovnice (23) je zápis Pythagorovy věty, grafické znázornění jena obrázku. Úhlová rychlost ω0 je na činiteli jakosti Q0 nezá-vislá. Úhlová rychlost ωr je vždy nižší než ω0 a blíží se k ní tímvíc, čím je vyšší činitel jakosti Q0.
ωr = ω0
√1− 1
Q20(24)
Pro vyšší činitele jakosti můžeme rezonanční kmitočet paralel-ního rezonančního obvodu počítat podle Thomsonova vzorce.
1.2.9 Impedance paralelního rezonančního obvodu při Thomsonově kmitočtu
Modul komplexní admitance je absolutní hodnota výrazu (11)
|Y | =
√(R
R2 + ω2L2
)2+ ω2
(C − L
R2 + ω2L2
)2(25)
Za ω dosadíme ω0 =1√LCa po úpravě dostaneme modul admitance při Thomsonově kmitočtu
|Y0| =CR
L
1√1 +R2
C
L
(26)
Impedance je převrácená hodnota admitance, s použitím (19) a (4) dostaneme
|Z0| =L
CR
√1 +R2
C
L= Zr
√1 +
1Q20
(27)
Impedance je vyšší než Zr, Zr tedy není maximum impedance. U paralelního rezonančního obvodu nenípři nulové fázi maximum impedance.
14 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
1.2.10 Fáze paralelního rezonančního obvodu při Thomsonově kmitočtu
Výraz pro tangens fázového úhlu vypočítáme jako podíl imaginární ku reálné složce admitance z rovnice(11) s opačným znaménkem. Správná fáze měřená od proudu k napětí je fáze impedance. Protože impe-dance je převrácená hodnota admitance, je fáze impedance stejně velká, ale opačná než fáze admitance.
tanϕ0 = −ωC − ωL
R2 + ω2L2
R
R2 + ω2L2
= −ω3CL2 + ωCR2 − ωL
R(28)
Za ω dosadíme ω0 =1√LCa po úpravě dostaneme pro fázi
tanϕ0 = −R
√C
L= − 1
Q0(29)
Paralelní rezonanční obvod má při Thomsonově kmitočtu zápornou fázi.
1.2.11 Rezonanční kmitočet pro maximum impedance
Úhlový kmitočet extrému admitance nalezneme řešením rovnice
ddt
√(R
R2 + ω2L2
)2+ ω2
(C − L
R2 + ω2L2
)2= 0 (30)
Tomu vyhovuje
ωm =1√LC
√√1 + 2R2
C
L−R2
C
L= ω0
√√√√√1 + 2Q20
− 1Q20
(31)
ωmω0=
√√√√√1 + 2Q20
− 1Q20
(32)
Rezonanční kmitočet pro maximum impedance
fm =1
2π√
LC
√√1 + 2R2
C
L−R2
C
L(33)
1.2.12 Maximum amplitudy
Minimální hodnotu admitance spočítáme dosazením výrazu (31) za ω do rovnice (25) pro absolutníhodnotu.
|Y |min =
√√√√2CL
(√1 +2R2C
L− CR2
2L− 1
)
Po dosazení z (4) dostaneme pro minimální admitanci
|Y |min =√2
RQ0
√√√√√1 + 2Q20
− 12Q20
− 1 (34)
a pro maximální impedanci
|Z|max =RQ0
√2
√√1 +
2Q20
− 12Q20
− 1
(35)
1.2 Paralelní rezonanční obvod 15
1.2.13 Fáze v maximu amplitudy
Do výrazu (28) pro výpočet fáze dosadíme za ω výraz (31) a po úpravě dostaneme pro fázi při maximuimpedance
tanϕm = −1R
√L
C
√√1 + 2R2
C
L−R2
C
L
(√1 + 2R2
C
L− 1
)(36)
Po dosazení z (4) dostaneme
tanϕm = −Q0
√√√√√1 + 2Q20
− 1Q20
(√1 +
2Q20
− 1
)
tanϕm = −Q0
√√√√√1 + 2Q20
− 1Q20
√√√√1 + 2Q20
− 2
√1 +
2Q20+ 1
tanϕm = −Q0
√√√√√1 + 2Q20
− 1Q20
√√√√2(1−√1 + 2Q20+1
Q20
)
Po dosazení (32) dostaneme
tanϕm = −√2Q0
ωm
ω0
√1−
(ωm
ω0
)2(37)
Paralelní rezonanční obvod má v maximu amplitudy zápornou fázi.
1.2.14 Šířka pásma
Dolní a horní mezní kmitočet jsou kmitočty, při kterých klesne impedance obvodu o 3 dB z maximaimpedance v rezonanci. Pokles o 3 dB, tedy úroveň -3 dB představuje snížení impedance 1√
2krát, vyčísleno
0,707 krát.
– Rozdíl horního a dolního mezního kmitočtu je šířka pásma fh − fd = B[Hz].
– Z podílu rezonanční frekvence a šířky pásma je definován činitel jakosti Q =fmB.
Poznámka Zde uvedené tři definice činitele jakosti nejsou u paralelního rezonančního obvodu přesněmatematicky shodné. Jejich numerické hodnoty jsou si však velmi blízké.
16 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
1.2.15 Vypočtené normované rezonanční křivky paralelních rezonančních obvodů
Obrázek 3: Vliv činitele jakosti paralelního rezonančního obvodu na tvar amplitudové rezonanční křivky
Obrázek 4: Vliv činitele jakosti paralelního rezonančního obvodu na tvar fázové rezonanční křivky
1.2 Paralelní rezonanční obvod 17
1.2.16 Detail rezonanční křivky paralelního rezonančního obvodu v okolí vrcholu
Obrázek 5: Vrchol amplitudové rezonanční křivky s vyznačením frekvence maxima modulu
Obrázek 6: Střed fázové rezonanční křivky s vyznačením frekvence nulové fáze
18 1 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ JEDNOBRANY
1.2.17 Rezonanční křivky paralelních rezonančních obvodů v rozsahu dvou dekád
Obrázek 7: Vliv činitele jakosti na symetrii amplitudové rezonanční křivky
Obrázek 8: Vliv činitele jakosti na symetrii fázové rezonanční křivky
19
2 Přechodové jevy prvního řádu v obvodech RC
2.1 Proud kondenzátoru
Základní vztah QC = C UC platí i pro přírůstky ∆QC = C∆UC .Dosadíme ∆QC = IC ∆t, dostaneme IC ∆t = C∆UC a
IC = C∆UC
∆t
Pro výpočet okamžité hodnoty proudu iC nahradíme výraz∆UC
∆tderivací napětí podle času
duC
dt, vyja-
dřující okamžitou rychlost růstu napětí a dostaneme
iC = CduC
dt(38)
Proud kondenzátoru je úměrný kapacitě a rychlosti, jakou na něm stoupá napětí.
2.2 Nabíjení kondenzátoru konstantním napětímSoučet napětí v sepnuté smyčce je roven nule.
− U0 +R iC + uC = 0
R CduC
dt+ uC = U0
τduC
dt+ uC = U0 (39)
Součin RC má rozměr času, je to časová konstanata τ .U0 je ustálené napětí, na které se kondenzátor nabije za dobut →∞.
2.2.1 Průběh napětí na kondenzátoru
Rovnice (39) je obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravoustranou. Její řešení pro nulové počáteční napětí na kondenzátoru je
uC(t) = U0
1− e−
t
τ
(40)
Pro nenulové počáteční napětí uC(0) je řešení rovnice
uC(t) = uC(0) + (U0 − uC(0))
1− e−
t
τ
(41)
Je to exponenciální funkce, vyjadřující závislost uC na čase. Její graf vychází z hodnoty uC(0) v čase t = 0a pro t →∞ se asymptoticky blíží hodnotě U0.
Směrnice tečny v počátku jeU0 − uC(0)
τ, směrnice tečny pro libovolné t je
U0 − uC(t)
τ.
Strmost křivky je v každém okamžiku přímo úměrná napětí, které zbývá do úplného nabití kondenzátorua nepřímo úměrná časové konstantě τ .
2.2.2 Průběh napětí na odporu
Napětí na odporu je v každém okamžiku rovno rozdílu uR(t) = U0 − uC(t). Po dosazení z (41) a úpravědostaneme
uR(t) = (U0 − uC(0)) e−
t
τ (42)
Je to exponenciální funkce klesající asymptoticky k nule z počáteční hodnoty uR(0) = U0 − uC(0).
Směrnice tečny pro libovolné t je −uR(t)
t.
20 2 PŘECHODOVÉ JEVY PRVNÍHO ŘÁDU V OBVODECH RC
2.2.3 Průběh nabíjecího proudu
Nabíjecí proud je podle Ohmova zákona iC(t) =uR(t)
R, tj.
iC(t) =U0 − uC(0)
Re−
t
τ = iC(0) e−
t
τ (43)
Je exponenciální funkcí klesající asymptoticky k nule z počáteční hodnoty iC(0) =U0 − uC(0)
R.
Směrnice tečny pro libovolné t je −iC(t)
τ.
Obrázek 9: Časové průběhy při nabíjení kondenzátoru z nulového počátečního napětí
2.3 Vybíjení kondenzátoru 21
2.3 Vybíjení kondenzátoru
Součet napětí v sepnuté smyčce je roven nule.
R iC + uC = 0
R CduC
dt+ uC = 0
τduC
dt+ uC = 0 (44)
Součin RC má rozměr času, je to časová konstanata τ .
2.3.1 Průběh napětí na kondenzátoru
Rovnice (44) je obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou(homogenní). Její řešení pro nenulové počáteční napětí na kondenzátoru uC(0) je
uC(t) = uC(0) e−
t
τ (45)
Je to klesající exponenciální funkce, vyjadřující závislost uC na čase. Její graf vychází z hodnoty uC(0)
v čase t = 0 a pro t →∞ se asymptoticky blíží k nule.Směrnice tečny v počátku je −
uC(0)
τ, směrnice tečny pro libovolné t je −
uC(t)
τ.
Strmost křivky je v každém okamžiku přímo úměrná zbývajícímu napětí na kondenzátoru a nepřímoúměrná časové konstantě τ .
2.3.2 Průběh napětí na odporu
Napětí na odporu je v každém okamžiku rovno napětí na kondenzátoru, vzhledem k orientaci smyčkovéhoproudu je záporné uR(t) = −uC(t).
uR(t) = −uC(0) e−
t
τ (46)
Je to exponenciální funkce směřující asymptoticky k nule ze záporné počáteční hodnoty uR(0) = −uC(0).
Směrnice tečny pro libovolné t je −uR(t)
t=
uC(t)
t(kladná).
2.3.3 Průběh vybíjecího proudu
Vybíjecí proud je podle Ohmova zákona iC(t) =uR(t)
R= −
uC(t)
R, vzhledem ke zvolené orientaci je
záporný.
iC(t) = −uC(0)
Re−
t
τ = − iC(0) e−
t
τ (47)
Je exponenciální funkcí směřující asymptoticky k nule ze záporné počáteční hodnoty iC(0) = −uC(0)
R.
Směrnice tečny pro libovolné t je −iC(t)
τ(kladná).
Kondenzátor se v počátku vybíjení chová jako ideální zdroj napětí a počáteční proudový impulz jedefinován velikostí počátečního napětí a vnějšího odporu R.
22 2 PŘECHODOVÉ JEVY PRVNÍHO ŘÁDU V OBVODECH RC
Obrázek 10: Časové průběhy při vybíjení kondenzátoru z nenulového počátečního napětí
23
3 Přechodové jevy prvního řádu v obvodech LR
3.1 Napětí na indukčnosti
Faradayův indukční zákon UL =∆Φ∆tupravíme pro přírůstky proudu a času UL = L
∆IL
∆t.
Pro výpočet okamžité hodnoty napětí uL nahradíme výraz∆IL
∆tderivací proudu podle času
diLdt, vyja-
dřující okamžitou rychlost růstu proudu a dostaneme
uL = LdiLdt
(48)
Napětí na cívce je úměrné její indukčnosti a rychlosti, jakou v ní stoupá proud.
3.2 Vznik proudu v sériovém obvodu LR připojením konstantního napětíSoučet napětí v sepnuté smyčce je roven nule.
− U0 +R iL + uL = 0
R iL + LdiLdt
= U0
L
R
diLdt+ iL =
U0R
τdiLdt+ iL = I0 (49)
PodílL
Rmá rozměr času, je to časová konstanata τ .
I0 je proud, který se ustálí v obvodu za dobu t →∞.
3.2.1 Průběh vznikajícího proudu indukčností
Rovnice (49) je obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty a nenulovou pravoustranou. Její řešení pro nulový počáteční proud indukčností iL(0) je
iL(t) = I0
1− e−
t
τ
(50)
Pro nenulový počáteční proud iL(0) je řešení rovnice
iL(t) = iL(0) + (I0 − iL(0))
1− e−
t
τ
(51)
Je to exponenciální funkce, vyjadřující závislost iL na čase. Její graf vychází z hodnoty iL(0) v čase t = 0a pro t →∞ se asymptoticky blíží hodnotě I0.
Směrnice tečny v počátku jeI0 − iL(0)
τ, směrnice tečny pro libovolné t je
I0 − iL(t)
τ.
Strmost křivky je v každém okamžiku přímo úměrná proudu, který zbývá do dosažení hodnoty ustálenéhoproudu a nepřímo úměrná časové konstantě τ .
3.2.2 Průběh napětí na odporu
Napětí na odporu je podle Ohmova zákona v každém okamžiku rovno uR(t) = R iL(t). Po dosazení z (51)a úpravě dostaneme
uR(t) = R iL(0) + (U0 −R iL(0))
1− e−
t
τ
(52)
Je to exponenciální funkce rostoucí asymptoticky k U0 z počáteční hodnoty uR(0) = R iL(0).
Směrnice tečny pro libovolné t jeU0 − uR(t)
t.
24 3 PŘECHODOVÉ JEVY PRVNÍHO ŘÁDU V OBVODECH LR
3.2.3 Průběh napětí na indukčnosti
Napětí na indukčnosti je v každém okamžiku rovno rozdílu uL(t) = U0−uR(t). Po dosazení z (52) a úpravědostaneme
uL(t) = (U0 −R iL(0)) e−
t
τ (53)
Je to exponenciální funkce klesající asymptoticky k nule z počáteční hodnoty uL(0) = U0 −R iL(0).
Směrnice tečny pro libovolné t je −uL(t)
τ.
Obrázek 11: Časové průběhy při vzniku proudu v LR obvodu z nulového počátečního proudu
3.3 Zánik proudu v sériovém obvodu LR 25
3.3 Zánik proudu v sériovém obvodu LR
Součet napětí ve smyčce je roven nule.
R iL + uL = 0
R iL + LdiLdt
= 0
L
R
diLdt+ iL = 0
τdiLdt+ iL = 0 (54)
PodílL
Rmá rozměr času, je to časová konstanata τ .
3.3.1 Průběh zanikajícího proudu indukčností
Rovnice (54) je obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty a nulovou pravou stranou(homogenní). Její řešení pro nenulový počáteční proud indukčností iL(0) je
iL(t) = iL(0) e−
t
τ (55)
Je to klesající exponenciální funkce, vyjadřující závislost iL na čase. Její graf vychází z hodnoty iL(0)v čase t = 0 a pro t →∞ se asymptoticky blíží k nule.Směrnice tečny v počátku je −
iL(0)
τ, směrnice tečny pro libovolné t je −
iL(t)
τ.
Strmost křivky je v každém okamžiku přímo úměrná zbývajícímu proudu indukčností a nepřímo úměrnáčasové konstantě τ .
3.3.2 Průběh napětí na odporu
Napětí na odporu je podle Ohmova zákona určeno proudem indukčnosti uR(t) = R iL(t).
uR(t) = R iL(0) e−
t
τ = uR(0) e−
t
τ (56)
Je to exponenciální funkce klesající asymptoticky k nule z počáteční hodnoty uR(0) = R iL(0).
Směrnice tečny pro libovolné t je −uR(t)
t.
3.3.3 Průběh napětí na indukčnosti
Napětí na indukčnosti je stejně velké jako napětí na odporu, ale vzhledem ke zvolené orientaci je zápornéuL(t) = −uR(t).
uL(t) = −R iL(0) e−
t
τ (57)
Je exponenciální funkcí směřující asymptoticky k nule ze záporné počáteční hodnoty uL(0) = −R iL(0).
Směrnice tečny pro libovolné t je −uL(t)
τ(kladná).
Indukčnost se v okamžiku odpojení vnějšího zdroje chová jako ideální zdroj proudu a velikost počátečníhonapěťového impulzu na indukčnosti je definována velikostí vnějšího odporu R.
26 3 PŘECHODOVÉ JEVY PRVNÍHO ŘÁDU V OBVODECH LR
Obrázek 12: Časové průběhy při zániku proudu v sériovém obvodu LR
27
4 Frekvenčně závislé dvojbrany
4.1 Integrační článek
4.1.1 Přenos v základním tvaru
RC článek
F (ω) =U2
U1=
1ωC
R+1
ωC
=1
1 + ωCR=
11 + ωτ
(58)
LR článek
F (ω) =U2
U1=
R
R+ ωL=
1
1 + ωL
R
=1
1 + ωτ(59)
Fourierův přenos je komplexní číslo (fázor), lze ho vyjádřit v pravoúhlých souřadnicích (v souřadni-covém tvaru) nebo v polárních souřadnicích (v exponenciálním tvaru).
4.1.2 Přenos v souřadnicovém tvaru
F (ω) =1
1 + ωτ=1− ωτ
1 + ω2τ2=
11 + ω2τ2
− ωτ
1 + ω2τ2(60)
<F (ω) =1
1 + ω2τ2(61)
=F (ω) = − ωτ
1 + ω2τ2(62)
4.1.3 Absolutní hodnota přenosu
|F (ω)| =
√(1− ωτ
1 + ω2τ2
)(1 + ωτ
1 + ω2τ2
)=
√1 + ω2τ2
1 + ω2τ2=
1√1 + ω2τ2
(63)
4.1.4 Fáze přenosu
tanϕ ==F (ω)<F (ω)
= −ωτ
ϕ = arctan (−ωτ) (64)
4.1.5 Přenos v exponenciálním tvaru
F (ω) = |F (ω)| eϕ =1√
1 + ω2τ2e arctan (−ωτ) (65)
28 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
4.1.6 Nyquistova charakteristika
Nyquistova charakteristika (obrázek 13) je zobrazení fázoru přenosu v komplexní (Gaussově) rovině jakokomplexní funkce reálného argumentu ω ∈ 〈0,∞). Zobrazuje cestu koncového bodu fázoru F (ω) z boduF (0) do bodu F (∞) v závislosti na parametru ω.
Počáteční bod pro ω → 0
Absolutní hodnota přenosu
limω→0
|F (ω)| = limω→0
1√1 + ω2τ2
=1√1= 1
Fáze přenosulimω→0
ϕ = limω→0arctan (−ωτ) = arctan (−0) = 0
Fáze se blíží nule ze záporné hodnoty (zdola či zleva).Počátek Nyquistovy charakteristiky je v reálné 1.
Koncový bod pro ω →∞
Absolutní hodnota přenosu
limω→∞
|F (ω)| = limω→∞
1√1 + ω2τ2
=1√∞= 0
Fáze přenosulim
ω→∞ϕ = lim
ω→∞arctan (−ωτ) = arctan (−∞) = −90
Konec Nyquistovy charakteristiky je v počátku souřadnic. Do tohoto bodu směřuje charakteristikas fází −90, tedy ze směru záporné imaginární osy.
Mezní úhlový kmitočetPři mezním kmitočtu se sobě rovnají velikosti reálné a imaginární složky přenosu
|<F (ωm)| = |=F (ωm)|1
1 + ω2mτ2=
ωmτ
1 + ω2mτ2
ωmτ = 1
ωm =1τ
Reálná část přenosu
<F (ωm) =1
1 + ω2mτ2=12
(66)
Imaginární část přenosu
=F (ωm) = −ωmτ
1 + ω2mτ2= −12
(67)
Absolutní hodnota přenosu pro mezní kmitočet
|F (ω)| = 1√1 + ω2mτ2
=1√2= 0,707 (68)
Fáze přenosu pro mezní kmitočet
ϕm = arctan (−ωmτ) = arctan (−1) = −45 (69)
4.1 Integrační článek 29
Nyquistova charakteristika integračního článku je půlkružnice v dolní polorovině komplexní roviny.
Obrázek 13: Nyquistova charakteristika integračního článku
4.1.7 Amplitudová charakteristika
Amplitudová charakteristika (obrázek 14) je zobrazení amplitudy (absolutní hodnoty, modulu) přenosuv závislosti na frekvenci
|F (ω)| = 1√1 + ω2τ2
(63)
Na svislou osu je lineárně vynesena amplituda v decibelech (v dvacetinásobcích logaritmu amplitudy)
|F (ω)|[dB] = 20 log |F (ω)| (70)
Na vodorovnou osu je vynesen logaritmus frekvence log f nebo logaritmus úhlové frekvence logω.Pro snazší orientaci je výhodnější zapisovat na vodorovnou osu do bodů, kam ukazují hodnoty logaritmůfrekvence log f přímo hodnoty frekvence f . Vzniklá stupnice není lineární, má logaritmický průběh cha-rakteristický opakováním dekád (každé desetinásobné zvětšení f představuje na ose stejný úsek rovnýjedné).Protože měřítko svislé osy je lineární a vodorovné osy logaritmické, říkáme, že frekvenční charakte-
ristiky zakreslujeme do semilogaritmického (polovičního logaritmického) papíru.
Asymptota pro ω → 0Ve jmenovateli výrazu pro absolutní hodnotu přenosu |F (ω)| = 1√
1 + ω2τ2(63) můžeme zanedbat
člen ω2τ2 proti 1. Hodnota výrazu se pro ω → 0 blíží k 1, převedeno na dB k úrovni 0 dB. Na vodorovnouosu vynášíme logω. Jestliže ω → 0, potom logω → −∞. Asymptota amplitudové charakteristiky prologω → −∞ (ω → 0) leží v ose 0 dB.
30 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
Asymptota pro ω →∞Ve jmenovateli výrazu pro absolutní hodnotu přenosu |F (ω)| = 1√
1 + ω2τ2(63) můžeme zanedbat
1 proti ω2τ2 a modul přenosu se blíží hodnotě vyjádřené rovnicí
|F (ω)| = 1ωτ
(71)
Rovnice (71) vyjadřuje nepřímou úměrnost. Stoupne-li úhlová frekvence 10 x, klesme amplituda na 110své hodnoty, což je o 20 dB. Stoupne-li úhlová frekvence 2 x, klesme amplituda na 12 své hodnoty, což jeo 6 dB. Grafem nepřímé úměrnosti v logaritmických souřadnicích je přímka klesající se směrnicí -20 dBna dekádu nebo -6 dB na oktávu. Tato přímka je asymptota amplitudové charakteristiky pro logω →∞(ω →∞).
Průsečík asymptot je bod, ve kterém projde asymptota pro logω →∞ úrovní 0 dB, tedy
1ωτ= 1
Tento bod je bodem zlomu asymptot. Úhlový kmitočet zlomu je mezní úhlový kmitočet a označujeneho ωm nebo ω0, mezní frekvenci fm nebo f0. Platí
ωm =1τ
(72)
fm =12πτ
(73)
Absolutní hodnota přenosu v bodě zlomu asymptot
Dosadíme-li mezní úhlový kmitočet ωm =1τ(72) do rovnice pro modul |F (ω)| = 1√
1 + ω2τ2(63),
dostaneme stejný výraz jako (68)
|F (ω)| = 1√1 + (ωmτ)2
=1√2= 0,707
Vyjádřeno v dB
|F (ω)|[dB] = 20 log1√2= −20 log
√2
.= −3 (74)
Při mezním kmitočtu prochází amplitudová charakteristika úrovní -3 dB.
4.1.8 Fázová charakteristika
Fázová charakteristika (obrázek 14) je zobrazení fáze přenosu v závislosti na frekvenci
ϕ = arctan (−ωτ)(64)
Na svislou osu je lineárně vynesena fáze ve stupních nebo v radiánech.Na vodorovnou osu je vynesen logaritmus frekvence log f nebo logaritmus úhlové frekvence logω nebo
přímo f či ω v logaritmickém měřítku stejně jako u charakteristiky amplitudové.
Asymptota pro ω → 0Limita výrazu pro fázi přenosu ϕ = arctan (−ωτ)(64) je
limω→0
ϕ = limω→0arctan (−ωτ) = 0
Jestliže ω → 0, potom logω → −∞.Fáze pro logω → −∞ (ω → 0) se asymptoticky blíží 0 .
4.1 Integrační článek 31
Asymptota pro ω →∞Limita výrazu pro tanϕ
limω→∞
tanϕ = limω→∞
−ωτ = −∞
Odpovídající limitata výrazu pro fázi přenosu ϕ = arctan (−ωτ) (64)
limω→∞
ϕ = limω→∞
arctan (−ωτ) = arctan (−∞) = −90
Fáze pro logω →∞ (ω →∞) se asymptoticky blíží -90 .
Fáze při mezním kmitočtu
Dosadíme-li mezní úhlový kmitočet ωm =1τ(72) do rovnice pro fázový úhel ϕ = arctan (−ωτ) (64),
dostaneme stejný výraz jako (69)
ϕm = arctan (−ωmτ) = arctan (−1) = −45
4.1.9 Bodeho charakteristiky
Amplitudová a fázová frekvenční charakteristika spolu úzce souvisejí. Proto se většinou kreslí pod sebese stejným měřítkem frekvence. Společně se nazývají Bodeho charakteristiky.
Obrázek 14: Frekvenční charakteristiky integračního článku
32 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
4.1.10 Přechodová charakteristika
Přechodová charakteristika (obrázek 15) je časová odezva výstupního napětí na jednotkový skok vstupníhonapětí. Vyjadřuje se jako funkce času, čas měříme od náběžné hrany skoku vstupního napětí.U integračního článku při skoku vstupního napětí nastává přechodový jev 1. řádu vyjádřený rovnicí
u2(t) = U1
1− e−
t
τ
(75)
Rovnice přechodové charakteristiky je
h(t) =u2(t)U1
= 1− e−
t
τ (76)
Obrázek 15: Přechodová charakteristika integračního článku
4.2 Derivační článek 33
4.2 Derivační článek
4.2.1 Přenos v základním tvaru
RC článek
F (ω) =U2
U1=
R
R+1
ωC
=ωCR
1 + ωCR=
ωτ
1 + ωτ(77)
LR článek
F (ω) =U2
U1=
ωL
R+ ωL=
ωL
R
1 + ωL
R
=ωτ
1 + ωτ(78)
Fourierův přenos je komplexní číslo (fázor), lze ho vyjádřit v pravoúhlých souřadnicích (v souřadni-covém tvaru) nebo v polárních souřadnicích (v exponenciálním tvaru).
4.2.2 Přenos v souřadnicovém tvaru
F (ω) =ωτ
1 + ωτ=
ωτ(1− ωτ)1 + ω2τ2
=ω2τ2 + ωτ
1 + ω2τ2=
ω2τ2
1 + ω2τ2+
ωτ
1 + ω2τ2(79)
<F (ω) =ω2τ2
1 + ω2τ2(80)
=F (ω) =ωτ
1 + ω2τ2(81)
4.2.3 Absolutní hodnota přenosu
|F (ω)| =
√(ω2τ2 + ωτ
1 + ω2τ2
)(ω2τ2 − ωτ
1 + ω2τ2
)=
ωτ√1 + ω2τ2
1 + ω2τ2=
ωτ√1 + ω2τ2
(82)
4.2.4 Fáze přenosu
tanϕ ==F (ω)<F (ω)
=1
ωτ
ϕ = arctan1
ωτ(83)
4.2.5 Přenos v exponenciálním tvaru
F (ω) = |F (ω)| eϕ =ωτ√1 + ω2τ2
e arctan
1ωτ (84)
34 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
4.2.6 Nyquistova charakteristika
Nyquistova charakteristika (obrázek 16) je zobrazení fázoru přenosu v komplexní (Gaussově) rovině jakokomplexní funkce reálného argumentu ω ∈ 〈0,∞). Zobrazuje cestu koncového bodu fázoru F (ω) z boduF (0) do bodu F (∞) v závislosti na parametru ω.
Počáteční bod pro ω → 0
Absolutní hodnota přenosu
limω→0
|F (ω)| = limω→0
ωτ√1 + ω2τ2
=0√1= 0
Fáze přenosu
limω→0
ϕ = limω→0arctan
1ωτ= arctan∞ = 90
Nyquistova charakteristika vychází z počátku souřadnic ve směru kladné imaginární osy.
Koncový bod pro ω →∞
Absolutní hodnota přenosu
limω→∞
|F (ω)| = limω→∞
ωτ√1 + ω2τ2
= limω→∞
1√1
ω2τ2+ 1
= 1
Fáze přenosu
limω→∞
ϕ = limω→∞
arctan1
ωτ= arctan 0 = 0
Konec Nyquistovy charakteristiky je v reálné jedničce. Do tohoto bodu směřuje charakteristika zesměru kladné imaginární osy.
Mezní úhlový kmitočetPři mezním kmitočtu se sobě rovnají velikosti reálné a imaginární složky přenosu
|<F (ωm)| = |=F (ωm)|ω2mτ2
1 + ω2mτ2=
ωmτ
1 + ω2mτ2
ωmτ = 1
ωm =1τ
Reálná část
<F (ωm) =ω2mτ2
1 + ω2mτ2=12
(85)
Imaginární část
=F (ωm) =ωmτ
1 + ω2mτ2=12
(86)
Absolutní hodnota přenosu pro mezní kmitočet
|F (ω)| = ωmτ√1 + ω2mτ2
=1√2= 0,707 (87)
4.2 Derivační článek 35
Fáze přenosu pro mezní kmitočet
ϕm = arctan1
ωmτ= arctan 1 = 45 (88)
Nyquistova charakteristika integračního článku je půlkružnice v horní polorovině komplexní roviny.
Obrázek 16: Nyquistova charakteristika derivačního článku
4.2.7 Amplitudová charakteristika
Amplitudová charakteristika (obrázek 17) je zobrazení amplitudy (absolutní hodnoty, modulu) přenosuv závislosti na frekvenci
|F (ω)| = ωτ√1 + ω2τ2
(82)
Na svislou osu je lineárně vynesena amplituda v decibelech (v dvacetinásobcích logaritmu amplitudy)
|F (ω)|[dB] = 20 log |F (ω)| (89)
Na vodorovnou osu je vynesen logaritmus frekvence log f nebo logaritmus úhlové frekvence logω.Pro snazší orientaci je výhodnější zapisovat na vodorovnou osu do bodů, kam ukazují hodnoty logaritmůfrekvence log f přímo hodnoty frekvence f . Vzniklá stupnice není lineární, má logaritmický průběh cha-rakteristický opakováním dekád (každé desetinásobné zvětšení f představuje na ose stejný úsek rovnýjedné).Protože měřítko svislé osy je lineární a vodorovné osy logaritmické, říkáme, že frekvenční charakte-
ristiky zakreslujeme do semilogaritmického (polovičního logaritmického) papíru.
Asymptota pro ω → 0Ve jmenovateli výrazu pro absolutní hodnotu přenosu |F (ω)| = ωτ√
1 + ω2τ2(82) můžeme zanedbat
člen ω2τ2 proti 1. Modul přenosu se blíží hodnotě vyjádřené rovnicí
|F (ω)| = ωτ (90)
36 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
Rovnice (90) vyjadřuje přímou úměrnost. Stoupne-li úhlová frekvence 10 x, vzroste i amplituda 10 x,což je o 20 dB. Stoupne-li úhlová frekvence 2 x, vzroste i amplituda 2 x, což je o 6 dB. Grafem příméúměrnosti v logaritmických souřadnicích je přímka stoupající se směrnicí 20 dB na dekádu nebo 6 dB naoktávu. Tato přímka je asymptota amplitudové charakteristiky pro ω → 0, tedy pro logω → −∞.
Asymptota pro ω →∞Ve jmenovateli výrazu pro absolutní hodnotu přenosu |F (ω)| = ωτ√
1 + ω2τ2(82) můžeme zanedbat
jedničku proti ω2τ2 a modul přenosu se blíží 1, v decibelech úrovni 0 dB.Asymptota amplitudové charakteristiky pro ω →∞, tedy pro logω →∞ leží v ose 0 dB.
Průsečík asymptot je bod, ve kterém projde asymptota pro logω → −∞ úrovní 0 dB, tedy
ωτ = 1
Tento bod je bodem zlomu asymptot. Úhlový kmitočet zlomu je mezní úhlový kmitočet a označujeneho ωm nebo ω0, mezní frekvenci fm nebo f0. Platí
ωm =1τ
(91)
fm =12πτ
(92)
Absolutní hodnota přenosu v bodě zlomu asymptot
Dosadíme-li mezní úhlový kmitočet ωm =1τ(91) do rovnice pro modul |F (ω)| = 1√
1 + ω2τ2(82),
dostaneme stejný výraz jako (87)
|F (ω)| = ωτ√1 + (ωmτ)2
=1√2= 0,707
Vyjádřeno v dB
|F (ω)|[dB] = 20 log1√2= −20 log
√2
.= −3 (93)
Při mezním kmitočtu prochází amplitudová charakteristika úrovní -3 dB.
4.2.8 Fázová charakteristika
Fázová charakteristika (obrázek 17) je zobrazení fáze přenosu v závislosti na frekvenci
ϕ = arctan1
ωτ(83)
Na svislou osu je lineárně vynesena fáze ve stupních nebo v radiánech.Na vodorovnou osu je vynesen logaritmus frekvence log f nebo logaritmus úhlové frekvence logω nebo
přímo f či ω v logaritmickém měřítku stejně jako u charakteristiky amplitudové.
Asymptota pro ω → 0Limita výrazu pro fázi přenosu ϕ = arctan
1ωτ(83) je
limω→0
ϕ = limω→0arctan
1ωτ= arctan∞ = 90
Jestliže ω → 0, potom logω → −∞.Fáze pro logω → −∞ (ω → 0) se asymptoticky blíží 90 .
4.2 Derivační článek 37
Asymptota pro ω →∞Limita výrazu pro fázi přenosu ϕ = arctan
1ωτ(83)
limω→∞
ϕ = limω→∞
arctan1
ωτ= arctan 0 = 0
Fáze pro logω →∞ (ω →∞) se asymptoticky blíží 0 .
Fáze při mezním kmitočtu
Dosadíme-li mezní úhlový kmitočet ωm =1τ(91) do rovnice pro fázový úhel ϕ = arctan
1ωτ(83),
dostaneme stejný výraz jako (88)
ϕm = arctan1
ωmτ= arctan 1 = 45
4.2.9 Bodeho charakteristiky
Amplitudová a fázová frekvenční charakteristika spolu úzce souvisejí. Proto se většinou kreslí pod sebese stejným měřítkem frekvence. Společně se nazývají Bodeho charakteristiky.
Obrázek 17: Frekvenční charakteristiky derivačního článku
38 4 FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ DVOJBRANY
4.2.10 Přechodová charakteristika
Přechodová charakteristika (obrázek 18) je časová odezva výstupního napětí na jednotkový skok vstupníhonapětí. Vyjadřuje se jako funkce času, čas měříme od náběžné hrany skoku vstupního napětí.U derivačního článku při skoku vstupního napětí nastává přechodový jev 1. řádu vyjádřený rovnicí
u2(t) = U1 e−
t
τ (94)
Rovnice přechodové charakteristiky je
h(t) =u2(t)U1
= e−
t
τ (95)
Obrázek 18: Přechodová charakteristika derivačního článku
39
Část II
Bipolární tranzistory
5 Stabilizace pracovního bodu
5.1 Obecný stabilizační obvod
Všechny lineární stabilizační obvody lze pomocí Théveninovateorému převést na obecný stabilizační obvod (na obrázku).Napětí UB a UC jsou napětí naprázdno obvodů v bázi a ko-lektoru tranzistoru, odpory RB , RE a RC jsou jejich vnitřníodpory.Pro proudy tranzistoru platí podle Kirchhoffova zákona
IE = IB + IC
IB = IE − IC (96)
5.2 Základní stejnosměrné vztahy
Zapojení se společnou bází
IC = h21B IE + ICB0
IC = h21B (IB + IC) + ICB0
IC(1− h21B) = h21B IB + ICB0
IC =h21B IB
1− h21B+
ICB0
1− h21B
Zapojení se společným emitorem
IC = h21E IB + ICE0
IC = h21E (IE − IC) + ICE0
IC(1 + h21E) = h21E IE + ICE0
IC =h21E IE
1 + h21E+
ICE0
1 + h21E
Porovnáním výsledků vyplynou důležité převodní vztahy
Společná báze Společný emitor Poznámky
h21B =h21E1 + h21E
h21E =h21B1− h21B
(1− h21B)(1 + h21E) = 1
ICB0 =ICE0
1 + h21EICE0 =
ICB0
1− h21Bh21B < 1, h21E 1
ICB0 = ICE0 (1− h21B) ICE0 = ICB0 (1 + h21E) ICE0 ICB0
40 5 STABILIZACE PRACOVNÍHO BODU
5.3 Klidový proud kolektoru
Z rovnice kolektorového proudu
IC = h21B IE + ICB0
vyjádříme proud emitoru
IE =IC − ICB0
h21B(97)
Z rovnice smyčky v obvodu báze
−UB +RB IB + UBE +RE IE = 0
RB IB +RE IE = UB − UBE
vyloučíme IB použitím (96)
RB (IE − IC) +RE IE = UB − UBE
(RB +RE) IE −RB IC = UB − UBE
a dosazením (97) za IE
(RB +RE)IC − ICB0
h21B−RB IC = UB − UBE
(RB +RE) IC − h21B RB IC = h21B (UB − UBE) + (RB +RE) ICB0
dostaneme pro proud kolektoru
IC =h21B (UB − UBE) + (RB +RE) ICB0
(1− h21B)RB +RE
dosazením za h21B =h21E1 + h21E
IC =h21E (UB − UBE) + (RB +RE)(1 + h21E) ICB0
(1 + h21E)RE +RB(98)
Rovnice (98) vyjadřuje závislost klidového proudu IC na třech základních stejnosměrných parametrechtranzistoru
– na napětí přechodu báze–emitor v propustném směru UBE
– na zbytkovém proudu v zapojení se společnou bází ICB0
– na stejnosměrném proudovém zesilovacím činiteli se společným emitorem h21E (H21e, β)
také na konstantách, které určuje obvod, v kterém tranzistor pracuje
– napětí naprázdno stejnosměrného zdroje, který zajišťuje předpětí báze UB
– vnitřní odpor stejnosměrného zdroje, který zajišťuje předpětí báze RB
– odpor v emitoru tranzistoru RE
5.4 Definice činitelů stabilizace 41
5.4 Definice činitelů stabilizace
Na teplotní stabilitu klidového proudu kolektoru má rozhodující vliv teplotní závislost tří veličin ICB0,UBE a h21E . Celkový přírůstek kolektorového proudu je součtem dílčích přírůstků, způsobených nestabi-litou těchto veličin.
∆IC = SI ∆ICB0 + SU ∆UBE + Sb∆h21E
SI =∂IC
∂ICB0SU =
∂IC
∂UBESb =
∂IC
∂h21ESI , SU , Sb jsou činitelé stabilizace, udávající vliv změny dané veličiny na celkovou změnu kolektorovéhoproudu. Obvod je tím stabilnější, čím jsou činitelé stability nižší.
5.5 Výpočet činitelů stabilizace
Výrazy pro výpočet činitelů stabilizace daného obvodu získáme výpočtem naznačených parciálních deri-vací výrazu (98) pro klidový proud kolektoru. Pro názornost vyjádříme jejich závislost na poměru odporůRB v bázi a RE v emitoru tranzistoru.
SI =(1 + h21E)(RE +RB)(1 + h21E)RE +RB
=(1 + h21E)(1 +RB/RE)1 + h21E +RB/RE
(99)
SU =−h21E
(1 + h21E)RE +RB=
−h21E/RE
1 + h21E +RB/RE(100)
Sb =(UB − UBE +RB ICB0)(RE +RB)
[(1 + h21E)RE +RB ]2= SI
UB − UBE +RB ICB0
[(1 + h21E)RE +RB ](1 + h21E)(101)
5.6 Závislost činitelů stabilizace na poměru odporů RB/RE
Obrázek 19: Graf závislosti SI na RB/RE
42 5 STABILIZACE PRACOVNÍHO BODU
Obrázek 20: Graf závislosti RBSU na RB/RE
Diskuse
1. Napěťový činitel stabilizace SU je záporný. Závislost napětí UBE na teplotě je však také záporná,takže teplotou způsobený přírůstek kolektorového proudu je kladný.
2. Proudový činitel stabilizace SI je nízký při nízkém poměru RB/RE (při nastavení předpětí bázeděličem napětí s nízkým vnitřním odporem). Napěťový činitel stabilizace SU je naopak nízký přivysokém poměru RB/RE (při nastavení klidového proudu báze velkým sériovým odporem). Prooptimální stanovení poměru RB/RE je třeba zjistit, zda u použitého tranzistoru je na teplotě vícezávislé napětí UBE nebo zbytkový proud ICE0. Je třeba vzít v úvahu i fakt, že proudový činitelstabilizace SI má podle rovnice (101) vliv i na činitel stabilizace zesílení Sb.
3. Pro moderní křemíkové tranzistory se zanedbatelným zbytkovým proudem je rozhodující napěťovýčinitel stabilizace SU . Pro germaniové tranzistory a výkonové tranzistory je rozhodující proudovýčinitel stabilizace SI . Pro běžná zařízení se vyžaduje SI = 5 až 10, pro profesionální zařízení SI =2 až 5.
5.7 Převodní vztahy pro výpočet stabilizačních obvodů 43
5.7 Převodní vztahy pro výpočet stabilizačních obvodů
Následující tabulka získaná úpravou z literatury [6] udává převodní vztahy pro výpočet ekvivalentníchodporů RB , RE a napětí UB k několika běžným zapojením stabilizačních obvodů. Tyto vztahy se dosadíza obecné veličiny UB , RB , RE do vzorců (99), (100) a (101) pro výpočet činitelů stabilizace.
Schéma Rovnice
UB = UCC
RB = R1
RE = RZ
UB = UCC
RB = R1
RE = R3 +RZ
UB = UCC
RB = R1
RE = R3
UB =R2
R1 +R2UCC
RB =R1R2
R1 +R2RE = R3
UB = UCCR2
R1 +R2
RB = RS +R1R2
R1 +R2RE = R3
44 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6 Bipolární tranzistor jako lineární zesilovač
6.1 Zapojení se společným emitorem
6.1.1 Schéma zapojení tranzistorového zesilovače se společným emitorem
Použité vztahy
RB =R1R2
R1 +R2
R′g =Rg RB
Rg +RB
R′Z =RZ RC
RZ +RC
Dhe = h11e h22e − h12e h21e
6.1.2 Náhradní schéma pro přenos signálu
6.1.3 Proudové zesílení
Výstupní proud i2 je částí celkového proudu kolektoru h21e i1. Poměr proudů je určen poměrem vodivostívětví, kterými proudy tečou
i2h21e i1
=1/RZ
1/RZ + 1/RC + h22eZ toho plyne výraz pro proudové zesílení
Ai =i2i1=
h21e/RZ
1/RZ + 1/RC + h22e(102)
Diskuse
nejvyšší proudové zesílení je Aimax = h21e, je-li výstup nakrátko (RZ = 0)
6.1.4 Vstupní odpor
Do vstupního odporu nejsou zahrnuty odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze.Do vstupní rovnice
u1 = h11e i1 + h12e u2
dosadíme za u2 z výstupního obvodu
u2 = −i2RZ =−h21e i1
1/RZ + 1/RC + h22e
a dostaneme
u1 = h11e i1 + h12e−h21e i1
1/RZ + 1/RC + h22ez toho
Rvst =u1i1= h11e −
h12e h21e1/RZ + 1/RC + h22e
= h11e −h12e h21e1/R′Z + h22e
(103)
6.1 Zapojení se společným emitorem 45
Diskuse
1. nejvyšší vstupní odpor je Rvstmax = h11e, je-li výstup nakrátko (R′Z = 0)
2. nejnižší vstupní odpor je Rvstmin = h11e −h12e h21e
h22e, je-li výstup naprázdno (R′Z →∞)
6.1.5 Napěťové zesílení
Výraz pro napěťové zesílení odvodíme takto
Au =u2u1=−i2RZ
u1=−i2RZ
i1Rvst= −Ai
RZ
Rvst(104)
dosazením výše odvozených výrazů
Au =
−h21e1/R′Z + h22e
h11e −h12e h21e1/R′Z + h22e
=−h21e
h11e (1/R′Z + h22e)− h12e h21e=
−h21eh11e/R′Z +Dhe
(105)
Diskuse
1. napěťové zesílení je záporné, zesilovač v zapojení SE obrací fázi (ϕ = −180)
2. nejvyšší napěťové zesílení je Aumax =−h21eDhe
, je-li výstup naprázdno (R′Z →∞)
6.1.6 Výstupní vodivost
Do výstupní vodivosti není zahrnut odpor RC v kolektoru (RC →∞).Odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze jsou z hlediska signálu zapojeny paralelně ke vstuputranzistoru. Jsou součástí zdroje signálu a upravují jeho vnitřní odpor na hodnotu paralelní kombinaceR′g = R1||R2||Rg.Do výstupní rovnice
i2 = h21e i1 + h22e u2
dosadíme za i1 ze vstupního obvodu pro ug = 0
i1 =−h12e u2h11e +R′g
a dostaneme
i2 = h22e u2 −h12e h21eh11e +R′g
u2
Výstupní vodivost
Gvýst =i2u2= h22e −
h12e h21eh11e +R′g
(106)
Diskuse
1. nejvyšší výstupní vodivost je Gvýstmax = h22e, je-li vstup naprázdno (R′g →∞)
2. nejnižší výstupní vodivost je Gvýstmin = h22e −h12e h21e
h11e, je-li vstup nakrátko (R′g = 0)
46 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6.1.7 Závislost přenosových parametrů na zátěži
Obrázek 21: Graf závislosti přenosových parametrů SE na zátěži
Platí pro tranzistor KC509 v pracovním bodě s těmito parametry
h11e = 3,2 kΩ
h12e = 2 · 10−4
h21e = 330
h22e = 30µS
6.2 Zapojení se společným kolektorem 47
6.2 Zapojení se společným kolektorem
6.2.1 Schéma zapojení tranzistorového zesilovače se společným kolektorem
Použité vztahy
RB =R1R2
R1 +R2
R′g =Rg RB
Rg +RB
R′Z =RZ RE
RZ +RE
Dhe = h11e h22e − h12e h21e
6.2.2 Náhradní schéma pro přenos signálu
6.2.3 Proudové zesílení
Uzlem v emitoru prochází proud velikosti (1 + h21e) i1, který se dělí do větví v poměru jejich vodivostí
i2(1 + h21e) i1
= − 1/RZ
h22e + 1/RE + 1/RZ
Z toho plyne výraz pro proudové zesílení
Ai =i2i1= − (1 + h21e)/RZ
h22e + 1/RE + 1/RZ(107)
Diskuse
1. proudové zesílení je nepatrně větší než v zapojení se společným emitorem, ale je záporné, (výstupníproud teče ze zesilovače ven, proti kladnému smyslu, který je dovnitř)
2. nejvyšší proudové zesílení je Aimax = −(1 + h21e), je-li výstup nakrátko (RZ = 0)
6.2.4 Vstupní odpor
Do vstupního odporu nejsou zahrnuty odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze.Do rovnice vstupní smyčky
u1 = h11e i1 − h12e u2 + u2 = h11e i1 + (1− h12e)u2
48 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
dosadíme za u2 z výstupního obvodu
u2 = −i2RZ =(1 + h21e) i1
h22e + 1/RE + 1/RZ=(1 + h21e) i1h22e + 1/R′Z
a dostaneme
u1 = h11e i1 +(1− h12e)(1 + h21e)
h22e + 1/R′Zi1
po úpravě
Rvst =u1i1= h11e +
(1− h12e)(1 + h21e)h22e + 1/R′Z
∼= h11e +h21e
h22e + 1/R′Z(108)
Diskuse
1. vstupní odpor je přibližně součet h11e plus h21e krát zvětšený celkový odpor ve výstupním obvodu
2. nejnižší vstupní odpor je Rvstmin = h11e, je-li výstup nakrátko (R′Z = 0)
3. nejvyšší vstupní odpor je Rvstmax = h11e+(1− h12e)(1 + h21e)
h22e, je-li výstup naprázdno (R′Z →∞)
6.2.5 Napěťové zesílení
Výraz pro napěťové zesílení odvodíme na základě rovnice (104)
Au = −AiRZ
Rvst=
1 + h21eh22e + 1/R′Z
h11e +(1− h12e)(1 + h21e)
h22e + 1/R′Z
=1 + h21e
h11e (h22e + 1/R′Z) + (1− h12e)(1 + h21e)
po úpravě
Au =1 + h21e
1 + h11e/R′Z +Dhe − h12e + h21e(109)
Diskuse
1. napěťové zesílení je kladné, v zapojení SK výstupní napětí sleduje fázi vstupního napětí (emitorovýsledovač)
2. nejvyšší napěťové zesílení je Aumax =1 + h21e
1 +Dhe − h12e + h21e, je-li výstup naprázdno (R′Z → ∞) a
je vždy < 1
6.2.6 Výstupní vodivost
Odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze jsou z hlediska signálu zapojeny paralelně ke vstupuzesilovače. Jako součást zdroje signálu upravují jeho vnitřní odpor na hodnotu paralelní kombinace R′g =R1||R2||Rg.Do výstupní vodivosti není zahrnut odpor RE v emitoru (RE →∞).Potom pro výstupní napětí platí
u2 =(1 + h21e) i1 + i2
h22e
a z toho pro výstupní proudi2 = h22e u2 − (1 + h21e) i1
Do rovnice dosadíme za i1 ze vstupního obvodu pro ug = 0
i1 = −u2 − h12e u2h11e +R′g
6.2 Zapojení se společným kolektorem 49
a dostaneme
i2 = h22e u2 +(1− h12e)(1 + h21e)u2
h11e +R′g
Výstupní vodivost
Gvýst =i2u2= h22e +
(1− h12e)(1 + h21e)h11e +R′g
∼= h22e +h21e
h11e +R′g(110)
Diskuse
1. výstupní vodivost je přibližně součet h22e plus h21e krát zvětšená vodivost ve vstupním obvodu
2. nejnižší výstupní vodivost je Gvýstmin = h22e, je-li vstup naprázdno (R′g →∞)
3. nejvyšši výstupní vodivost je Gvýstmax = h22e +(1− h12e)(1 + h21e)
h11e∼= h22e +
h21eh11e, je-li vstup
nakrátko (R′g = 0)
6.2.7 Závislost přenosových parametrů na zátěži
Obrázek 22: Graf závislosti přenosových parametrů SK na zátěži
Platí pro tranzistor KC509 v pracovním bodě s těmito parametry
h11e = 3,2 kΩ
h12e = 2 · 10−4
h21e = 330
h22e = 30µS
50 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6.3 Zapojení s proudovou zpětnou vazbou
6.3.1 Schéma zapojení zesilovače s proudovou zpětnou vazbou
Použité vztahy
RB =R1R2
R1 +R2
R′g =Rg RB
Rg +RB
R′Z =RZ RC
RZ +RC
Dhe = h11e h22e − h12e h21e
6.3.2 Náhradní schéma pro přenos signálu
6.3.3 Proudové zesílení
Z rovnice výstupní smyčky
R′Z i2 +1
h22e(i2 − h21e i1) +RE(i2 + i1) = 0
po úpravě
i2
(R′Z +
1h22e
+RE
)− i1
(h21eh22e
−RE
)= 0
dostaneme
A′i =i2i1=
h21e/h22e −RE
1/h22e +RE +R′Z=
h21e − h22e RE
1 + h22e(RE +R′Z)(111)
Skutečné proudové zesílení k proudu do zátěže získáme dosazením za i2 = iZRC +RZ
RCa za R′Z
Ai =iZi1=
RC
RC +RZ
h21e − h22e RE
1 + h22e(RE +R′Z)=
RC
RC +RZ
h21e − h22e RE
1 + h22e
(RE +
RZ RC
RZ +RC
) (112)
Diskuse
1. největší proudové zesílení je Aimax =h21e − h22e RE
1 + h22e REpro RZ = 0
2. pro RE = 0 se výraz (112) zjednoduší na Ai =RC
RC +RZ
h21e1 + h22eR′Z
, což odpovídá výrazu (102)
pro proudové zesílení v zapojení SE.
6.3 Zapojení s proudovou zpětnou vazbou 51
6.3.4 Vstupní odpor
Do vstupního odporu nejsou zahrnuty odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze.Rovnici vstupní smyčky
−u1 + h11e i1 + h12e uCE +RE(i1 + i2) = 0
−u1 + h11e i1 + h12ei2 − h21e i1
h22e+RE(i1 + i2) = 0
upravíme
u1 = i1
(h11e −
h12e h21eh22e
+RE
)+ i2
(h12eh22e
+RE
)za i2 dosadíme z (111)
i2 = i1h21e − h22e RE
1 + h22e(RE +R′Z)
a po dalších úpravách
u1 = i1
[h11e −
h12e h21eh22e
+RE +h21e − h22e RE
1 + h22e(RE +R′Z)
(h12eh22e
+RE
)]u1 = i1
[h11e +
−h12eh21e(RE +R′Z) +RE + h22eRE(RE +R′Z)− h12eRE + h21eRE − h22eR2E
1 + h22e(RE +R′Z)
]u1 = i1
[h11e +
−h12eh21eRE − h12eh21eR′Z +RE + h22eRER′Z − h12eRE + h21eRE
1 + h22e(RE +R′Z)
]u1 = i1
[h11e +
(1− h12e)(1 + h21e)RE − h12eh21eR′Z + h22eRER′Z
1 + h22e(RE +R′Z)
]dostaneme
Rvst =u1i1= h11e +
(1− h12e)(1 + h21e)RE + h22eRER′Z − h12eh21eR′Z
1 + h22e(RE +R′Z)(113)
nebo po uvedení celého výrazu na společný jmenovatel
Rvst =h11e + h11eh22e(RE +R′Z) + (1− h12e)(1 + h21e)RE + h22eRER′Z − h12eh21eR
′Z
1 + h22e(RE +R′Z)
Rvst =h11e +DheR
′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE
1 + h22e(RE +R′Z)(114)
Diskuse
1. nejvyšší vstupní odpor je Rvstmax = h11e +(1− h12e)(1 + h21e)RE
1 + h22eREpro R′Z = 0
2. nejnižší vstupní odpor je Rvstmin = h11e +RE −h12e h21e
h22epro R′Z →∞
3. pro RE = 0 se výraz (113) zjednoduší na Rvst = h11e −h12eh21eR
′Z
1 + h22eR′Z, což odpovídá výrazu (103)
pro vstupní odpor v zapojení SE.
4. pro R′Z = 0 se výraz (113) zjednoduší na Rvst = h11e +(1− h12e)(1 + h21e)RE
1 + h22eRE, což odpovídá
výrazu (108) pro vstupní odpor v zapojení SK.
6.3.5 Napěťové zesílení
Výraz pro napěťové zesílení odvodíme s použitím vztahů (111) a (114)
Au =−i2R
′Z
i1Rvst=−A′iR
′Z
Rvst=
−(h21e − h22eRE)R′Zh11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE
(115)
52 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
Diskuse
1. největší napěťové zesílení je Aumax =−h21e + h22e RE
Dhe + h22eREpro R′Z →∞
2. pro RE = 0 se výraz (115) zjednoduší na Au =−h21eR
′Z
h11e +DheR′Z, což odpovídá výrazu (105) pro
napěťové zesílení v zapojení SE
3. zanedbáme-li velikost parametrů h12e a h22e, můžeme napěťové zesílení v tomto zapojení přibližně
odhadnout Au∼= −
R′ZRE
6.3.6 Výstupní odpor
Do výstupního odporu není zahrnut kolektorový odpor RC (RC →∞).Odpory R1, R2 zajišťující stejnosměrné předpětí báze jsou z hlediska signálu zapojeny paralelně ke vstupuzesilovače. Jako součást zdroje signálu upravují jeho vnitřní odpor na hodnotu paralelní kombinace R′g =R1||R2||Rg.Z rovnice vstupní smyčky pro ug = 0
R′g i1 + h11e i1 + h12e uCE +RE(i1 + i2) = 0
R′g i1 + h11e i1 + h12ei2 − h21e i1
h22e+RE(i1 + i2) = 0
i1
(R′g + h11e −
h12eh21eh22e
+RE
)+ i2
(h12eh22e
+RE
)= 0
vyjádříme i1
i1 = −i2
(h12eh22e
+RE
)(
R′g + h11e −h12eh21e
h22e+RE
) = −i2h12e + h22eRE
Dhe + h22e(R′g +RE)(116)
Z rovnice výstupní smyčky
−u2 +1
h22e(i2 − h21e i1) +RE(i2 + i1) = 0
−u2 − i1
(h21eh22e
−RE
)+ i2
(1
h22e+RE
)= 0
vyjádříme u2
u2 = −i1
(h21eh22e
−RE
)+ i2
(1
h22e+RE
)dosadíme za i1 výraz (116) a postupně upravíme na společného jmenovatele
u2 = i2
[h12e + h22eRE
Dhe + h22e(R′g +RE)
(h21eh22e
−RE
)+1
h22e+RE
]u2 = i2
[h21eRE − h12eRE + h11e +DheRE +R′g +RE + h22eR
′gRE
Dhe + h22e(R′g +RE)
]u2 = i2
[h11e +R′g +RE(1− h12e + h21e + h11eh22e − h12eh21e + h22eR
′g)
Dhe + h22e(R′g +RE)
]u2 = i2
[h11e +R′g + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′g)h22eRE
Dhe + h22e(R′g +RE)
]dostaneme
Rvýst =h11e +R′g + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′g)h22eRE
Dhe + h22e(R′g +RE)(117)
6.3 Zapojení s proudovou zpětnou vazbou 53
Diskuse
1. nejnižší výstupní odpor je Rvýstmin =1
h22e+RE pro vstup naprázdno (R′g →∞)
2. nejvyšší výstupní odpor je Rvýstmax =h11e(1 + h22eRE) + (1− h12e)(1 + h21e)RE
Dhe + h22eREpro vstup na-
krátko (R′g = 0)
54 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6.4 Problém kapacity v emitoru
6.4.1 Schéma zapojení tranzistorového zesilovače s blokovací kapacitou v emitoru
Použité vztahy
RB =R1R2
R1 +R2
R′g =Rg RB
Rg +RB
R′Z =RZ RC
RZ +RC
Dhe = h11e h22e − h12e h21e
6.4.2 Náhradní schéma pro přenos signálu
6.4.3 Proudové zesílení
V rovnici (111) odvozené pro proudové zesílení tranzistoru v zapojení s proudovou zpětnou vazbou mů-žeme nahradit RE obecnou impedancí ZE
A′i =h21e − h22e ZE
1 + h22e(ZE +R′Z)
Impedance paralelního RC členu je ZE =RE
1 + ωCEREPo dosazení a úpravách
A′i =h21e − h22e
RE
1 + ωCERE
1 + h22e
(RE
1 + ωCERE+R′Z
)A′i =
h21e − h22eRE + ωh21eCERE
1 + h22e(RE +R′Z) + ωCERE(1 + h22eR′Z)
A′i =h21e − h22e RE
1 + h22e(RE +R′Z)
1 + ωCEh21eRE
h21e − h22eRE
1 + ωCERE(1 + h22eR
′Z)
1 + h22e(RE +R′Z)
dostaneme výraz pro frekvenční přenos
A′i (ω) = A′i (ω→0)
1 + ωCEh21eRE
h21e − h22eRE
1 + ωCERE(1 + h22eR
′Z)
1 + h22e(RE +R′Z)
(118)
6.4 Problém kapacity v emitoru 55
6.4.4 Vstupní impedance
V rovnici (114) odvozené pro vstupní odpor tranzistoru v zapojení s proudovou zpětnou vazbou můžemenahradit RE obecnou impedancí ZE
Zvst =h11e +DheR
′Z + (1− h12e)(1 + h21e)ZE + (h11e +R′Z)h22eZE
1 + h22e(ZE +R′Z)
Po dosazení ZE =RE
1 + ωCEREa úpravách
Zvst =h11e +DheR
′Z + (1− h12e)(1 + h21e)
RE
1 + ωCERE+ (h11e +R′Z)h22e
RE
1 + ωCERE
1 + h22eRE
1 + ωCERE+ h22e R′Z
Zvst =h11e +DheR
′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE + ωCERE(h11e +DheR
′Z)
1 + h22e(RE +R′Z) + ωCERE(1 + h22e R′Z)
dostaneme výraz pro frekvenční přenos
Zvst(ω) = Zvst(ω→0)
1 + ωCERE(h11e +DheR
′Z)
h11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE
1 + ωCERE(1 + h22e R′Z)1 + h22e(RE +R′Z)
(119)
6.4.5 Napěťové zesílení
V rovnici (115) odvozené pro napěťové zesílení tranzistoru v zapojení s proudovou zpětnou vazbou mů-žeme nahradit RE obecnou impedancí ZE
Au =−(h21e − h22eZE)R′Z
h11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)ZE + (h11e +R′Z)h22eZE
Po dosazení ZE =RE
1 + ωCEREa úpravách
Au =−(
h21e − h22eRE
1 + ωCERE
)R′Z
h11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE
1 + ωCERE+ (h11e +R′Z)h22e
RE
1 + ωCERE
Au =−(h21e − h22eRE)R′Z − ωCERER′Zh21e
h11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE + ωCERE(h11e +DheR′Z)
dostaneme výraz pro frekvenční přenos
Au (ω) = Au (ω→0)
1 + ωCEh21eRE
h21e − h22eRE
1 + ωCERE(h11e +DheR
′Z)
h11e +DheR′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′Z)h22eRE
(120)
6.4.6 Výstupní impedance
V rovnici (117) odvozené pro výstupní odpor tranzistoru v zapojení s proudovou zpětnou vazbou můžemenahradit RE obecnou impedancí ZE
Zvýst =h11e +R′g + (1− h12e)(1 + h21e)ZE + (h11e +R′g)h22eZE
Dhe + h22e(R′g + ZE)
56 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
Po dosazení ZE =RE
1 + ωCEREa úpravách
Zvýst =h11e +R′g + (1− h12e)(1 + h21e)
RE
1 + ωCERE+ (h11e +R′g)h22e
RE
1 + ωCERE
Dhe + h22e
(R′g +
RE
1 + ωCERE
)Zvýst =
h11e +R′g + (1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′g)h22eRE + ωCERE(h11e +R′g)
Dhe + h22e(R′g +RE) + ωCERE(Dhe + h22eR′g)
dostaneme výraz pro frekvenční přenos
Zvýst(ω) = Zvýst (ω→0)
1 + ωCE
RE(h11e +R′g)
(1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′g)(1 + h22eRE)
1 + ωCE
(h11e +R′g)h22eRE − h12eh21eRE
(h11e +R′g +RE)h22e − h12eh21e
(121)
6.4.7 Dolní mezní kmitočet ωd
Každý odvozený výraz (118, 119, 120, 121) definuje frekvenční závislost daného přenosového parametru(Ai, Zvst, Au, Zvýst). Frekvenční charakteristika každého parametru (obrázek 23) se láme ve dvou zlo-mových kmitočtech, které určují přechod od stabilizační stejnosměrné záporné zpětné vazby (ω → 0) kestřídavému přenosu signálu, zpětnou vazbou neovlivněnému (ω > ωd). Dolní mezní kmitočet střídavéhopřenosu musí být nejvyšší ze zlomových kmitočtů všech frekvenčních charakteristik a je určen ze všechnejmenší časovou konstantou.
ωd =h11e +DheR
′Z + (1− h12e)(1 + h21e)RE + h11eh22eRE + h22eRER′Z
CERE(h11e +DheR′Z)(122)
Výraz lze upravit takto
ωd =1
CE
[1
RE+(1− h12e)(1 + h21e)
h11e +DheR′Z+
h11eh22eh11e +DheR′Z
+h22eR
′Z
h11e +DheR′Z
](123)
Tento výraz je pro praktický výpočet složitý, proto ho budeme zjednodušovat
1. Hodnota výrazu pro ωd je závislá na velikosti zatěžovacího odporu R′Z . Klesá-li R′Z , hodnota ωd
se zvyšuje a nejvyšší je pro R′Z = 0. Zjednodušení výrazu je korektní, protože vypočtená hodnotabude vždy vyšší než skutečná.
ωd =1
CE
[1
RE+(1− h12e)(1 + h21e)
h11e+ h22e
]1 (124)
2. Výraz (1−h12e) je jen nepatrně menší než 1, protože velikost h12e bývá řádově 10−4. Nahradíme-liho jedničkou, bude vypočtená hodnota ωd nepatrně vyšší než skutečná, což opět není na újmuřešení. Dostáváme jednoduchý výraz.
ωd =1
CE
[1
RE+1 + h21e
h11e+ h22e
](125)
3. Jiné body zlomu má ovšem frekvenční závislost výstupní impedance a její dolní mezní kmitočet jedán výrazem
ωd =(1− h12e)(1 + h21e)RE + (h11e +R′g)(1 + h21eRE)
CERE(h11e +R′g)(126)
Hodnota výrazu závisí na vnitřním odporu zdroje signálu a nejvyšší je pro napěťové buzení (R′g = 0).Přijmeme-li stejná zjednodušení jako v předešlém, dostaneme pro ωd opět výraz (125).
6.4 Problém kapacity v emitoru 57
Obrázek 23: Frekvenční charakteristiky Ai, Au, Zvst, Zvýst
6.4.8 Frekvenční charakteristiky přenosových parametrů
6.4.9 Časová konstanta v emitoru
Výraz pro časovou konstantu získáme převrácením výrazu (125).
τd =CE
1RE+1 + h21e
h11e+ h22e
(127)
Názorné schéma pro výpočet časové konstanty v emitoru tranzistoru uka-zuje obrázek. Kondenzátor se vybíjí trojicí paralelné zapojených odporů.Největší vliv na výslednou časovou konstantu má nejmenší z nich. Můžeto být emitorový odpor RE nebo (1+h21e) krát zmenšený parametr h11e.Poměrně nízkou výstupní vodivost h22e lze většinou zanedbat.2
1Výraz v hranaté závorce je výstupní vodivost v emitoru zesilovače v zapojení se společným kolektorem pro napěťovébuzení (R′
g = 0), se započtením odporu RE . Více o tom v odstavci 6.2.6.2Zde uvedené řešení lze porovnat s řešením uvedeným v literatuře[3], kde je zahrnut vliv vnitřního odporu zdroje signálu
R′g zapojeného v sérii s h11e. Podobné řešení nabízí i literatura[4], kde je kapacita v emitoru vypočtena současně se vstupnívazební kapacitou. Podrobně je problém dolního mezního kmitočtu zesilovače v zapojení SE s kapacitní vazbou vyřešenv literatuře[5].
58 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6.5 Zesilovač s vysokou vstupní impedancí
6.5.1 Schéma zapojení tranzistorového zesilovače s vysokou vstupní impedamcí
Použité vztahy
RB =R2R3
R2 +R3
RE =R4RZ
R4 +RZ
R′E =RE/h22e1/h22e +RE
R′′E =RB R′E
RB +R′E
6.5.2 Náhradní schéma pro přenos signálu
6.5.3 Obvodové rovnice
Metodou uzlových napětí sestavíme tyto rovnice
1. pro uzlové napětí u1u1 − uX
R1+
u1 − u2(1− h12e)h11e
− ivst = 0 (128)
2. pro uzlové napětí u2
u2(1− h12e)− u1h11e
+ (u2 − uX)ωC1 +u2R′E
− h21e i1 = 0
po dosazení za i1 =u1 − u2(1− h12e)
h11edostaneme
u2(1− h12e)− u1h11e
+ (u2 − uX)ωC1 +u2R′E
− h21eu1 − u2(1− h12e)
h11e= 0 (129)
3. pro uzlové napětí uX
uX − u1R1
+uX
RB+ (uX − u2)ωC1 = 0 (130)
6.5 Zesilovač s vysokou vstupní impedancí 59
Rovnice přepíšeme do maticového tvaru
u1
(1
R1+1
h11e
)− u2
1− h12eh11e
− uX1
R1− ivst = 0 (131)
−u11 + h21e
h11e+ u2
[(1− h12e)(1 + h21e)
h11e+ ωC1 +
1R′E
]− uX ωC1 = 0 (132)
−u11
R1− u2 ωC1 + uX
(1
R1+1
RB+ ωC1
)= 0 (133)
6.5.4 Vstupní impedance
Řešením soustavy rovnic odvodíme výraz pro vstupní impedanci Zvst =
(R1 +RB)[h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E ] + ωC1(R1 +RB)R′Eh11e +R1RB [h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E ]R1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E + ωC1 [(R1 + h11e)(RB +R′E)−RBR′Eh12eh21e]
Po úpravě
Zvst =(R1 +RB)[h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E ]R1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E
1 + ωC1
(h11eR
′E
h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E+
R1RB
R1 +RB
)1 + ωC1
(R1 + h11e)(RB +R′E)−RBR′Eh12eh21eR1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E
(134)
6.5.5 Limita pro ω → 0
limω→0
Zvst =(R1 +RB) [h11e +R′E (1− h12e) (1 + h21e)]R1 +RB + h11e +R′E (1− h12e) (1 + h21e)
(135)
Pro kmitočet blízký nule je reaktance kondenzátoru C1 velká a zpětná vazba nepůsobí. Vstupní impedancese rovná prosté paralelní kombimaci vstupní impedance samotného tranzistoru v zapojení se společnýmkolektorem a odporu děliče zajišťujícího předpětí báze.
6.5.6 Limita pro ω →∞
limω→∞
Zvst =(R1 +
RB R′ERB +R′E
)h11e +R1RB R′E
RB +R′E(1− h12e) (1 + h21e)
R1 + h11e −RB R′E
RB +R′Eh12e h21e
limω→∞
Zvst =(R1 +R′′E)h11e +R1R′′E (1− h12e) (1 + h21e)
R1 + h11e −R′′E h12e h21e
limω→∞
Zvst =R′′E h11e +R1[h11e +R′′E (1− h12e) (1 + h21e)]
R1 + h11e −R′′E h12e h21e(136)
Pro vyšší kmitočty je reaktance kondenzátoru C1 zanedbatelná. Vlivem zpětné vazby je z hlediska signáluodpor RB zařazen paralelně k odporu v emitoru, tedy je posunut až na výstup zesilovače a vzhledemke své velikosti se téměř neuplatňuje. Odpor R1 je zapojen mezi bázi a emitor, má tedy na obou svýchsvorkách napětí shodné fáze a téměř stejné velikosti. Úbytek napětí na něm je nepatrný a proud, kterýjím protéká je velmi malý. Jeho odpor relativně vzrostl.
6.5.7 Časové konstanty
Výraz pro impedanci (134) obsahuje dvě časové konstanty. Vstupní impedance je frekvenčně závislá,amplitudová charakteristika má dva zlomy. Rozhodující pro dolní mezní kmitočet nasazení zpětné vazbyje menší časová kanstanta ve jmenovateli zlomku.
τd = C1(R1 + h11e)(RB +R′E)−RBR′Eh12eh21eR1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E
(137)
60 6 BIPOLÁRNÍ TRANZISTOR JAKO LINEÁRNÍ ZESILOVAČ
6.5.8 Dolní mezní kmitočet
Výraz dolní mezní kmitočet odvodíme ze vztahu (135).
ωd =1C1
R1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E(R1 + h11e)(RB +R′E)−RBR′Eh12eh21e
(138)
fd =12π C1
R1 +RB + h11e + (1− h12e)(1 + h21e)R′E(R1 + h11e)(RB +R′E)−RBR′Eh12eh21e
(139)
6.5.9 Frekvenční závislost vstupní impedance
Obrázek 24: Frekvenční závislost vstupní impedance zesilovače s kladnou zpětnou vazbou
Platí pro zapojení s tranzistorem KC509 s těmito parametry
h11e = 3,2 kΩ
h12e = 2 · 10−4
h21e = 330
h22e = 30µS
R1 = 47 kΩ
R2 = R3 = 68 kΩ
RE = 4, 7 kΩ
C1 = 10µF
61
Část III
Operační zesilovače
7 Vlastnosti operačních zesilovačů
7.1 Vlastnosti ideálního operačního zesilovače
Operační zesilovače jsou určeny pro zapojení se zpětnou vazbou. Vlastnosti obvodu s operačním zesilo-vačem mají být určeny pouze zapojením zpětné vazby a mají být nezávislé na vlastnostech samotnéhooperačního zesilovače. Proto jsou na operační zesilovače kladeny zvláštní požadavky vyjádřené typickýmiparametry.
7.1.1 Zesílení
U2 = A(U1 − UZV )
U2 = A
(U1 −
R2R1 +R2
U2
)U2
(1 +
R2R1 +R2
A
)= A U1
U2U1=
A
1 +R2
R1 +R2A=
A
1 + β A=
11A+ β
limA→∞
U2U1=1β
Čím větší bude zesílení samotného operačního zesilovače A (zesílení otevřené smyčky), tím méně naněm bude záviset zesílení v zapojení s uzavřenou zpětnou vazbou (zesílení s uzavřenou smyčkou).Při dostatečné velkém zesílení A samotného zesilovače se výsledné zesílení rovná převrácené hodnotě
přenosu β zpětnovazebního článku.
Typ zesilovače zesílení
ideální operační zesilovač A →∞skutečný 80 až 100 dB
7.1.2 Vstupní a výstupní odpor
Uvst = U1Rvst
R1 +Rvst= U1
1
1 +R1Rvst
limRvst→∞
Uvst = U1
Uvýst = Uvýst0RZ
RZ +Rvýst= Uvýst0
1
1 +RvýstRZ
limRvýst→0
Uvýst = Uvýst0
Čím větší je vstupní odpor operačního zesilovače, tím méně na něm závisí vstupní napětí.Čím menší je výstupní odpor operačního zesilovače, tím méně na něm závisí výstupní napětí.
62 7 VLASTNOSTI OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
Typ zesilovače vstupní odpor výstupní odpor
ideální operační zesilovač Rvst →∞ Rvýst → 0bipolární zesilovač Rvst ∼= 105 Ω Rvýst ∼= 101 až 102 Ωvstupní tranzistory FET Rvst ∼= 1013 Ω Rvýst ∼= 101 až 102 Ω
7.1.3 Princip virtuální nuly
Nekonečně velké zesílení ideálního operačního zesilovače má tyto důsledky:
1. Vstupní napětí má nějakou konečnou hodnotu. Potom by mělo být výstupní napětí neko-nečně velké. Velikost výstupního napětí je ale omezena velikostí napájecího napětí. Nějvyšší možnáhodnota napětí na výstupu je tzv. saturační napětí, jen o málo menší než napětí napájecí. Zesilovačv saturaci neplní funkci zesilovače – nezesiluje. Na výstupu je konstantní napětí a vztah mezi vstu-pem a výstupem není definován, spojení vstup → výstup je přerušeno. Výstup reaguje pouze napolaritu vstupního napětí a podle polarity vstupního napětí může být výstup operačního zesilovačebuď v kladné nebo v záporné saturaci.
Tento případ nastane, je-li zesilovač zapojen bez zpětné vazby nebo s kladnou zpětnou vazbou apoužívá se jako komparátor.
2. Výstupní napětí má nějakou konečnou hodnotu, ne saturační. Potom při nekonečně velkémzesílení musí být vstupní napětí nulové. Obvod se chová tak, jako by byl mezi invertujícíma neinvertujícím vstupem operačního zesilovače zkrat. Tímto zdánlivým zkratem ale neteče žádnýproud, protože vstupní odpor ideálního operačního zesilovače je nekonečný. Této dvojí nulové úrovnina vstupu operačního zesilovače: nulové napětí – nulový proud říkáme virtuální (zdánlivá) nula.
Virtuální nula se může vytvořit na vstupu operačního zesilovače pouze v zapojeních se zápornouzpětnou vazbou. Princip virtuální nuly značně zjednodušuje řešení obvodů s operačními zesilovači.
7.2 Dynamické vlastnosti operačního zesilovače 63
7.2 Dynamické vlastnosti operačního zesilovače
7.2.1 Frekvenční přenos otevřené smyčky
Frekvenční přenos operačního zesilovače má být kompenzován tak, aby byl 1. řádu a měl integračnícharakter.
A(ω) =A(ω→0)
1 + ωτ0(140)
Frekvenční charakteristika operačního zesilovače má pro ω > 1τ0klesat pod asymptotou se strmostí
-20 dB/dek.
Obrázek 25: Ideální frekvenční charakteristiky operačního zesilovače
Pro stabilitu zesilovače je rozhodující tranzitní kmitočet fT , kdy amplitudová charakteristika protínáosu 0 dB, zesílení je rovno jedné.
1. Sklon amplitudové charakteristiky nemá být na tomto kmitočtu větší než -20 dB/dek
2. Absolutní hodnota fáze |ϕ| < 180.
Hodnota frekvence fT se označuje též jako šířka pásma BW .
64 7 VLASTNOSTI OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
7.2.2 Přechodová charakteristika
Přechodová charakteristika operačního zesilovače má odpovídat přenosu 1. řádu integračního charakteru(exponenciela). Ve skutečnosti bývá však často odlišná
Obrázek 26: Různé přechodové charakteristiky
Pro vyhodnocení a porovnávání přechodových charakteristik jsou definovány tyto měřitelné časovéúseky
td – doba zpoždění odezvy – od 0 do dosažení 10% ustálené hodnoty U∞
tr – doba náběhu – od 10% do 90% ustálené hodnoty U∞
ts – doba ustálení – od prvního dosažení 90% ustálené hodnoty do okamžiku, od kterého už zvlněnízůstává trvale uvnitř pásu ±ε od ustálené hodnoty U∞. Velikost ε se volí nejčastěji v intervalu(0, 01U∞ ≤ ε ≤ 0, 1U∞).
tz – doba zotavení po přebuzení – od okamžiku přechodu ze saturace do okamžiku, od kterého už zvlněnízůstává trvale uvnitř pásu ±ε od ustálené hodnoty U∞.
7.2 Dynamické vlastnosti operačního zesilovače 65
7.2.3 Rychlost přeběhu SR (Slew Rate)
Strmost náběžné hrany při skoku výstupního napětí nemůže být nekonečná. Rychlost přeběhu je největšímožná rychlost změny napětí na výstupu operačního zesilovače.
SR =∆Uvýst∆t
[Vµs
](141)
Typ zesilovače rychlost přeběhu SR [V/µs]
běžný operační zesilovač 0,2 až 20
speciální zesilovač 100 až 2500
7.2.4 Mezní výkonová frekvence fm
Mezní výkonová frekvence fm =ωm2πje největší frekvence sinusového signálu, kterou přenese operační
zesilovač na výstup v maximální amplitudě a bez tvarového zkreslení.
Mezní výkonová frekvence souvisí s rychlostí přeběhuMatematické vyjádření sinusového signálu na výstupu operačního zesilovače je
uvýst(t) = Uvýstm sinωt
Rychlost změny napětí na výstupu lze vyjádřit jeho derivací výrazu podle času
duvýstdt
= ωUvýstm cosωt
Maximální rychlost změny je v okamžicích průchodu sinusovky nulou, kdy sinωt = 0 a cosωt = 1[duvýstdt
]max
= ωUvýstm
Pro mezní výkonovou frekvenci musí být maximální rychlost změny výstupního napětí právě rovna rych-losti přeběhu
SR = ωmUvýstm = 2πfmUvýstm (142)
fm =SR
2π Uvýstm(143)
66 7 VLASTNOSTI OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
7.3 Rušivé signály
7.3.1 Vstupní klidový proud
Do vstupů skutečného operačního zesilovače tečou klidovéproudy IB+ a IB−.Proudy obou vstupů nejsou obvykle shodné, proto se udávájejich střední hodnota
IB =IB+ + IB−
2(144)
Typ zesilovače vstupní klidový proud IB
bipolární zesilovač 0,01 až 1µA
vstupní tranzistory FET < 1 pA
7.3.2 Vstupní proudový offset I0S (Vstupní proudová nesymetrie, vstupní zbytkový proud)
Vstupní proudová nesymetrie je rozdíl vstupních klidových proudů obou vstupů. Je způsobena nesymetriívstupního diferenciálního zesilovače OZ.
I0S = IB+ − IB− (145)
Přibližně platí, že I0S ≤ 0, 25 IB .
7.3.3 Vstupní napěťový offset U0 (Vstupní napěťová nesymetrie, vstupní zbytkové napětí)
Vlivem nesymetrie vstupního diferenciálního zesilovače může být na výstupu operačního zesilovavačenenulové napětí Uvýst 6= 0, i když je nulové napětí Uvst = 0 mezi oběma vstupy.
Napětí na výstupu OZ lze v tom případěvynulovat přiložením nějakého nenulovéhonapětí Uvst 6= 0 mezi vstupy. Velikost to-hoto napětí je hodnota vstupní napěťovénesymetrie U0.
U0 = Uvst pro Uvýst = 0 (146)
7.3.4 Proudový a napěťový drift
Proudový a napěťový offset se udává pro teplotu ϑ = 25C a napájecí napětí UCC = ±15V. Offset neníkonstantní, ale mění se v závislosti na
1. čase
2. teplotě
3. napájecím napětí
Změna offsetu se nazývá drift. Rozlišujeme:
Časový drift je nevratný a udává se změnou offsetu za časový interval.
Proudový teplotní drift∆I0S∆ϑ
[nA/C]
Napěťový teplotní drift∆U0∆ϑ
je typicky 20µV/C.
7.3 Rušivé signály 67
7.3.5 Činitel potlačení změny napájecího napětí SVRR
Napájecí drift se vyjadřuje činitelem potlačení změny napájecího napětí (Supply Voltage Rejection Ratio– SVRR)
SVRR =∆Uvýst∆UCC
(147)
7.3.6 Činitel potlačení součtového signálu H (Common Mode Rejection Ratio – CMRR)
Vstup ideálního operačního zesilovače je rozdílový.Rozdílové vstupní napětí UD = U+ − U−Rozdílové zesílení operačního zesilovače je definováno
A =Uvýst
U+ − U−=
UvýstUD
Reálný operační zesilovač ale zesiluje i průměrné souhlasné napětí na svých vstupech
UCMvst =U+ + U−2
Souhlasné zesílení je definováno
B0 =Uvýst
UCMvst
Výsledné výstupní napětí je součet
Uvýst = A UD +B0 UCMvst
Činitel potlačení součtového signálu H je poměr rozdílového zesílení ku souhlasnému zesílení
H = CMRR =A
B0(148)
Typ zesilovače činitel potlačení součtového signálu H
ideální operační zesilovač H →∞, protože A →∞ a B0 → 0skutečný H
.= 80 až 140 dB
7.3.7 Šum operačního zesilovače
Vyjadřujeme velikostí šumového napětí Uš a šumových proudů Iš na vstupu ideálního bezšumovéhozesilovače.
Celkové šumové napětí na vstupu
Ušc =√
U2š + 2(Ri Iš)2 (149)
Johnsonův tepelný šum vnitřního odporu Ri obvodu při-pojeného ke vstupu zesilovače (zdroje signálu)
U2Rš = 4kT∆fRi (150)
k = 1,38 · 10−23 JK−1 Bolzmanova konstantaT [K] absolutní teplota∆f [Hz] šířka frekvenčního pásmaRi [Ω] vnitřní odpor obvodu
Celkové šumové napětí na vstupu operačního zesilovače včetně tepelného šumu odporů Ri
Ušc =√
U2š + 2(Ri Iš)2 + 2U2Rš (151)
Kromě Johnsonova tepelného šumu se u operačních zesilovačů projevuje ještě
68 7 VLASTNOSTI OPERAČNÍCH ZESILOVAČŮ
Typ šumu frekvenční pásmo
polovodičový šum 1/f 0,1Hz až 10Hz
interferenční šum 10Hz až 1 kHz
Shottkyho šum 1 kHz až 100 kHz
7.4 Napájení operačních zesilovačů
7.4.1 Symetrické
Klasické napájení operačních zesilovačů (LM741CN) je syme-trické, dvěma zdroji napětí obojí polarity proti zemi (typickyUB = ±15V). Střední svorka zdrojů představuje tzv. operační(nebo analogovou) zem, která je referenčním uzlem pro vstupníi výstupní napětí operačních zesilovačů. Vstupní i výstupní na-pětí může mít obě polarity.
Saturační napětí je největší napětí na výstupu operačníhozesilovače dosažené ve stavu saturace (nasycení) tranzistorůjedné větve koncového stupně.
Saturační napětí operačního zesilovače má velikost napájecího napětí zmenšeného o hodnotu saturač-ního napětí samotných tranzistorů v koncovém stupni. Podle kvality OZ je tento rozdíl 0,5V až 2V. Přisymetrickém napájení OZ má i saturační napětí obě polarity Us+ a Us−. Může, ale nemusí vždy platit,že |Us+| = |Us−|.
7.4.2 Nesymetrické
Nesymetrické napájení OZ je jednodušší, napájecí napětí májednu polaritu, druhý napájecí přívod operačního zesilovače jeuzemněn. Od této země se měří vstupní i výstupní napětí, kterémůže mít jen jednu polaritu. Vstupní diferenciální zesilovač OZfunguje optimálně, jsou-li vstupní napětí přibližně rovna polo-vině napájecího napětí. Vstupní napětí U1, U2 nemají být blízkánule ani napájecímu napětí. Tento problém lze řešit konstrukcítzv. umělé nuly pro jeden ze vstupů pomocí děliče napětí.
Moderní operační zesilovače mají saturační napětí velmi blízká napájecím, proto mohou pracovat smalými napájecími napětími (+5V) a lze je spojovat přímo s TTL logikou. Některé zesilovače mají navýstupu otevřený kolektor pro připojení zátěže proti kladnému napětí (např. LM339).
7.4 Napájení operačních zesilovačů 69
7.4.3 Způsoby napájení operačních zesilovačů stavebnice RC
1. Přímé napájení symetrické i nesymetrické
(a) Operační zesilovač 741CN senapájí symetricky dvěma odděle-nými zdroji 12 až 15V. Střed na-pájení je nutné připojit na zemmodulu (AGND), kam sice nenípřipojen žádný vývod operačníhozesilovače, ale jsou zde propojenyochranné obvody modulu.
(b) Operační zesilovač LM339je napájen nesymetricky napětím+5V proti zemi (GND). Zesilovačemají na výstupu otevřené kolek-tory, které mají být napájeny přesodpor z napájecího napětí +5V.
2. Symetrické napájení vnitřním měničem ±10V se společnou napájecí i analogovou zemí (GND)
Starší modul bez signalizace saturace a pře-tížení.Napětí +5V napájí pouze spínaný zdroj ±10V in-stalovaný uvnitř modulu a ten symetricky napájíoperační zesilovač. Vyveden je pouze střed symet-rického napájení jako analogová zem. Tato zem jeuvnitř modulu trvale propojena se zemí (GND)napájecího napětí (5V) a není možné ji odpojit.Saturační napětí těchto modulů je 6 až 7V a častobývá nesymetrické.
3. Symetrické napájení vnitřním měničem ±15V s oddělenou napájecí (GND) a analogovou (AGND)zemí
Novější modul se signalizací kladné a zá-porné saturace a proudového přetížení vý-stupu LED.Napětí +5V napájí pouze spínaný zdroj ±15V in-stalovaný uvnitř modulu a ten symetricky napájíoperační zesilovač. Vyveden je pouze střed syme-trického napájení jako analogová zem (AGND).Tato zem je galvanicky oddělena od země(GND) napájecího napětí (5V), ale je možné obězemě vně modulu propojit nebo spojit s jiným po-tenciálem.Saturační napětí těchto modulů bývá ±14V.
70 8 PROPORCIONÁLNÍ STUPNĚ S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI
8 Proporcionální stupně s operačními zesilovači
8.1 Invertující zesilovač
8.1.1 Základem invertujícího zesilovače je převodník proudu na napětí
Invertující vstup operačního zesilovače je virtuálně uzemněn.Proud I1 teče do virtuálního zkratu, je to tedy proud na-krátko. Protože vstup operačního zesilovače má nekonečnývstupní odpor, nemůže do něho téci žádný proud. Celý proudI1 tedy teče odporem R k výstupu operačního zesilovače. Úby-tek napětí na odporu R způsobený průchodem proudu I1 musíbýt stejně velký jako výstupní napětí U2 mezi výstupem OZ azemí, ale jeho orientace je opačná.
U2 = −R I1 (152)
8.1.2 Napěťové zesílení
U–R diagram
Vstup OZ je virtuálně uzemněn. Vstupní proud I1 teče odporemR1 a odporem R2. Jeho velikost je:
I1 =U1R1
Výstupní napětí:
U2 = −R2 I1 = −R2R1
U1
Napěťové zesílení invertujícího zesilovače s OZ je
Au =U2U1= −R2
R1(153)
Poznámka: přestože vstupní odpor samotného OZ je neko-nečný, vstupní odpor invertujícího zesilovače s OZ má koneč-
nou hodnotu Rvst =U1I1= R1.
Do vstupu invertujícího zesilovače vždy teče nějakýproud a invertující zesilovač vždy zatěžuje obvod, kekterému je připojen.
8.1.3 Vliv odporů ve vstupech operačního zesilovače na napěťovou nesymetrii
Do vstupů skutečného operačního zesilovače tečou vstupní klidové proudy3. Tyto proudy procházejívnitřními odpory vnějších obvodů. Na nich vzniklé úbytky napětí způsobují nežádoucí diferenční napětína vstupu OZ. Pro U1 = 0 platí
3Více o tom v odstavci 7.3.1
8.1 Invertující zesilovač 71
U+ = −R3 IB+ U− = −R1R2
R1 +R2IB−
Vzniklé diferenční napětí je třeba minimalizovat.
UD = U+ − U−!= 0
U+!= U−
−R3 IB+!= − R1R2
R1 +R2IB−
Za předpokladu přibližné rovnosti vstupních klidových proudůIB+
.= IB− má být
R3!=
R1R2R1 +R2
(154)
8.1.4 Dělič napětí na vstupu zesilovače
Výpočet dle Théveninovy formule
Ux0 =R2
R1 +R2U1
Ri =R1R2
R1 +R2
U2 = − R4Ri +R3
Ux0
Po dosazení
U2 = −R4
R1R2R1 +R2
+R3
R2R1 +R2
U1
ZesíleníU2U1= − R4
R1R2R1 +R2
+R3
R2R1 +R2
= − R2R4R1R2 +R1R3 +R2R3
(155)
Výpočet přímo metodou virtuální nulyNa invertujícím vstupu operačního zesilovače je nulové napětí. Pro výpočet Ux jsou odpory R2 a R3
zapojeny paralelně.
Ux =
R2R3R2 +R3
R1 +R2R3
R2 +R3
U1 =R2R3
R1(R2 +R3) +R2R3U1
U2 = −R4R3
Ux = −R4R3
R2R3R1(R2 +R3) +R2R3
U1 = −R2R4
R1R2 +R1R3 +R2R3U1
ZesíleníU2U1= − R2R4
R1R2 +R1R3 +R2R3(156)
8.1.5 Dělič napětí ve zpětné vazbě
Děličem napětí ve zpětné vazbě se dosahuje velkého zesílení při použití malých zpětnovazebních odporů.Náhradní schéma výstupního obvodu dle Theveninovy formule:
72 8 PROPORCIONÁLNÍ STUPNĚ S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI
Uy0 =R3
R3 +R4U2
Ri =R3R4
R3 +R4
Uy0 = −R2 +Ri
R1U1
R3R3 +R4
U2 = −R2 +Ri
R1U1
R3R3 +R4
U2 = −R2 +
R3R4R3 +R4R1
U1
U2U1= −
R2 +R3R4
R3 +R4R1
R3 +R4R3
= −R2R3 +R2R4 +R3R4R1R3
(157)
8.1.6 Invertující sčítací zesilovač
Odporem R2 teče součet proudů I11 + I12 + I13 vstupujících do uzlu X.
Úbytek napětí na odporu R2
−U2 = R2(I11 + I12 + I13)
Vstupní proudy
I11 =U11R11
I12 =U12R12
I13 =U13R13
Výstupní napětí
U2 = −(
R2R11
U11 +R2R12
U12 +R2R13
U12
)(158)
Změna odporu v jednom vstupu neovlivní zesílení ostatních vstupů.
8.1.7 Invertující sčítací zesilovač jako D-A převodník
U2 = −(
SA0R2R1
U1 + SA1R2
R1/2U1 + SA2
R2R1/4
U1
)U2 = −
(SA0
R2R1
U1 + 2SA1R2R1
U1 + 4SA2R2R1
U1
)U2 = − (SA0 + 2SA1 + 4SA2)
R2R1
U1
U2 = − (20 · SA0 + 21 · SA1 + 2
2 · SA2)R2R1
U1 (159)
Velikost výstupního napětí určuje kombinace sepnutých spí-načů.
8.2 Neinvertující zesilovač 73
8.2 Neinvertující zesilovač
Základem neinvertujícího zesilovače je převodník napětí na napětí.
8.2.1 Napěťové zesílení
U–R diagram
Z principu virtuální nuly na vstupu OZ plyne
U+ = U−
U1 =R1
R1 +R2U2
Napěťové zesílení
Au =U2U1=
R1 +R2R1
= 1 +R2R1
(160)
Poznámka: vstup neinvertujícího zesilovače je přivedenpřímo na neinvertující vstup OZ, vstupní odpor neinvertujícíhozesilovače s OZ se blíží nekonečnu Rvst →∞.Do vstupu neinvertujícího zesilovače neteče proud aneinvertující zesilovač nezatěžuje obvod, ke kterému jepřipojen.
8.2.2 Sledovač signálu (napěťový sledovač)
Sledovač signálu je neinvertující zesilovač s jednotkovým zesí-lením.
U+ = U−
U1 = U2
Au = 1 Rvst →∞ Rvýst → 0 (161)
Sledovač signálu se používá jako impedamční tramsformátor.
8.2.3 Neinvertující sčítací zesilovač
Součet napětí je proveden odporovou sítí na neinvertujícímvstupu operačního zesilovače. Zesilovač zesílí výsledné napětí.Změna velikosti odporu v jednom vstupu sčítacího zesilovačeovlivní zesílení ve všech ostatních vstupech. Při výpočtu pou-žijeme princip superpozice.
74 8 PROPORCIONÁLNÍ STUPNĚ S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI
Součet napětí na neinvertujícím vstupu
U+ = U11
R12R13R12 +R13
R11 +R12R13
R12 +R13
+ U12
R11R13R11 +R13
R12 +R11R13
R11 +R13
+ U13
R11R12R11 +R12
R13 +R11R12
R11 +R12
Výsledné výstupní napětí
U2 =
(1 +
R2R1
)U11
R12R13R12 +R13
R11 +R12R13
R12 +R13
+ U12
R11R13R11 +R13
R12 +R11R13
R11 +R13
+ U13
R11R12R11 +R12
R13 +R11R12
R11 +R12
(162)
8.3 Zdroj napětí v neinvertujícím vstupu invertujícího zesilovače
8.3.1 Řešení metodou virtuální nuly
Virtuální nula U− = U+ = U3
Vstupní proud I1 =U1 − U3
R1Výstupní napětí
U2 = U3 −R2 I1
U2 = U3 −R2R1(U1 − U3)
U2 =
(1 +
R2R1
)U3 −
R2R1
U1 (163)
Zesilovač zesiluje napětí U1 zesílením invertujícícho zesilovače a napětí U3 zesílením neinvertujícího zesi-lovače. Ke stejnému výsledku lze dojít použitím principu superpozice.
8.3.2 Řešení podle principu superpozice
1. Vypočítáme podíl výstupního napětí U21 závislý na vstup-ním napětí U1. Podíl druhého vstupního napětí U3 vylou-číme tak, že napětí U3 položíme rovné nule. Protože nulovénapětí může být jedině na ideálním zkratu, nahradíme zdrojnapětí U3 zkratem. Tím uzemníme neinvertující vstup ope-račního zesilovače a dostaneme zapojení invertujícího zesi-lovače. Podíl výstupního napětí
U21 = −R2R1
U1 (164)
8.4 Rozdílový (diferenční) zesilovač 75
2. Vypočítáme podíl výstupního napětí U23 závislý na vstup-ním napětí U3. Podíl vstupního napětí U1 vyloučíme tak,že napětí U1 položíme rovné nule. Protože nulové napětímůže být jedině na ideálním zkratu, nahradíme zdroj na-pětí U1 zkratem. Tím dostaneme zapojení neinvertujícíhozesilovače. Podíl výstupního napětí
U23 =
(1 +
R2R1
)U3 (165)
3. Výsledné výstupní napětí je součtem obou částí
U2 = U21 + U23 = −R2R1
U1 +
(1 +
R2R1
)U3 (166)
Výsledek je shodný s (161)
8.4 Rozdílový (diferenční) zesilovač
8.4.1 Napěťové zesílení
Pro výpočet zesílení použijeme princip superpozice. Vypočí-táme část výstupního napětí U21 určenou zesílením napětí U11.Pro napětí U12 = 0 dostaneme zapojení neinvertujícího zesilo-vače.
U21 =R1 +R2
R1U+
U21 =R1 +R2
R1
R4R3 +R4
U11
Vypočítáme část výstupního napětí U22 určenou zesílením napětí U12. Pro napětí U11 = 0 dostanemezapojení invertujícího zesilovače.
U22 = −R2R1
U12
Výsledné výstupní napětí je součtem obou dílčích částí
U2 = U21 + U22
U2 =R1 +R2
R1
R4R3 +R4
U11 −R2R1
U12
U2 =R2R1
(R1 +R2
R2
R4R3 +R4
)U11 −
R2R1
U12
U2 =R2R1
(R1 +R2
R2
R4R3 +R4
U11 − U12
)Výraz se zjednoduší, bude-li
R1 +R2R2
R4R3 +R4
= 1
tedy
R1R4 +R2R4 = R2R3 +R2R4
R1R4 = R2R3R4R3
=R2R1
76 8 PROPORCIONÁLNÍ STUPNĚ S OPERAČNÍMI ZESILOVAČI
Při splnění této podmínky zesilovač zesiluje pouze rozdíl vstupních napětí
U2 =R2R1(U11 − U12) (167)
8.4.2 Odstranění napěťové nesymetrie rozdílového zesilovače
U+ =R1
R1 +R2Ur
U− =R1
R1 +R2U2
U+ = U−
Ur = U2
Seznam obrázků
1 Vliv činitele jakosti sériového rezonančního obvodu na tvar amplitudové rezonanční křivky 102 Vliv činitele jakosti sériového rezonančního obvodu na tvar fázové rezonanční křivky . . . 103 Vliv činitele jakosti paralelního rezonančního obvodu na tvar amplitudové rezonanční křivky 164 Vliv činitele jakosti paralelního rezonančního obvodu na tvar fázové rezonanční křivky . . 165 Vrchol amplitudové rezonanční křivky s vyznačením frekvence maxima modulu . . . . . . 176 Střed fázové rezonanční křivky s vyznačením frekvence nulové fáze . . . . . . . . . . . . . 177 Vliv činitele jakosti na symetrii amplitudové rezonanční křivky . . . . . . . . . . . . . . . 188 Vliv činitele jakosti na symetrii fázové rezonanční křivky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Časové průběhy při nabíjení kondenzátoru z nulového počátečního napětí . . . . . . . . . 2010 Časové průběhy při vybíjení kondenzátoru z nenulového počátečního napětí . . . . . . . . 2211 Časové průběhy při vzniku proudu v LR obvodu z nulového počátečního proudu . . . . . 2412 Časové průběhy při zániku proudu v sériovém obvodu LR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2613 Nyquistova charakteristika integračního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2914 Frekvenční charakteristiky integračního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3115 Přechodová charakteristika integračního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216 Nyquistova charakteristika derivačního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3517 Frekvenční charakteristiky derivačního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3718 Přechodová charakteristika derivačního článku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3819 Graf závislosti SI na RB/RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4120 Graf závislosti RBSU na RB/RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4221 Graf závislosti přenosových parametrů SE na zátěži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622 Graf závislosti přenosových parametrů SK na zátěži . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4923 Frekvenční charakteristiky Ai, Au, Zvst, Zvýst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5724 Frekvenční závislost vstupní impedance zesilovače s kladnou zpětnou vazbou . . . . . . . 6025 Ideální frekvenční charakteristiky operačního zesilovače . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6526 Různé přechodové charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Literatura
[1] M.Mikulec, V.Havlíček: Základy teorie elektrických obvodů 1ČVUT Praha 1999
[2] M.Mikulec, V.Havlíček: Základy teorie elektrických obvodů 2ČVUT Praha 2002
[3] Inž. Jaroslav Budínský: Nízkofrekvenční tranzistorové zesilovačeSNTL Praha 1964
[4] J. Čermák, J.Navrátil: Tranzistorová technikaSNTL Praha 1967
[5] J. Stránský a kolektiv: Polovodičová technika ISNTL Praha 1973
[6] Zima, Braun, Žilka: Lineární obvody s aktivními prvkySNTL Praha 1976
[7] Krejčiřík, Rozehnal, Vobecký, Záhlava: Elektronika - PříkladyČVUT Praha 1996
[8] Doc. Ing.Ondřej Vysoký,CSc: Elektronické systémy IIČVUT v Praze 1999
[9] Vedral, Fischer: Elektronické obvody pro měřicí technikuČVUT v Praze 1999
[10] Ing.Miloslav Bezděk: Elektronika IKOPP České Budějovice 2003
[11] Robert Láníček: Elektronika - obvody ∗ součástky ∗ dějeBEN Praha 2001
[12] Vobecký, Záhlava: ElektronikaGRADA Praha 2000
[13] Blahovec: Základy elektotechniky v příkladech a úloháchSNTL Praha 1989
[14] Boltík, Český,Hojka,Vomela: Elektronická zařízení pro 4. ročník SPŠESNTL Praha 1988
[15] Kleskeň: Elektrotechnická měřeníSNTL Praha 1976
[16] Vl. Haasz, M. Sedláček: Elektrická měření - Přístroje a metodyČVUT v Praze 2000
[17] Petr Kocourek a kolektiv: Číslicové měřicí systémyČVUT v Praze 1994
[18] Dufek, Fajt: Elektrická měření I - Elektrické měřicí přístrojeSNTL Praha 1974
[19] Drechsler, Gyárfáš, Jakl, Vítovec: Elektrická měření II - Základní metodySNTL Praha 1973