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  • 1

    Zinsmodelle fr Versicherungen - Diskussion der

    Anforderungen und Vergleich der Modelle von Hull-White

    und Cairns

    Arbeitspapier

    Robin Pfeier1, Jrgen Bierbaum2, Mathias Kunze2,

    Norbert Quapp2, Nicole Buerle1

    Zusammenfassung

    Anwendungen von Zinsmodellen im Versicherungsbereich zeichnen sich durch die

    Verwendung von Zinsen verschiedener Laufzeiten, lange Vertragslaufzeiten der zu be-

    wertenden Produkte sowie hug einer Mindestverzinsung aus. Die Forderung einer

    realistischen Modellierung dieser Aspekte ber lange Zeitrume hinweg ist die wesent-

    liche Anforderung an Zinsmodelle im Versicherungsbereich. Das Fehlen beobachtbarer

    Preise von Versicherungsprodukten erschwert die Modellanalyse, die daher auf theore-

    tische Modelleigenschaften sowie den Vergleich mit Referenzmodellen angewiesen ist.

    Der Modellvergleich unterschiedlicher Modelle stellt unterschiedliche Anforderungen

    an die Umsetzung der Modelle, insbesondere an Kalibrierung und Modellierung von

    Schocks.

    1 Einleitung

    Lebensversicherungsunternehmen (LVU) investieren zu groen Teilen in festverzinsliche

    Wertpapiere, beispielsweise in Staatsanleihen, Unternehmensanleihen, Pfandbriefe und Hy-

    potheken. Fr alle diese Anlageklassen bildet die Zinsstrukturkurve heimischer Staatsan-

    leihen eine Benchmark der risikolosen Zinsen. Zustzlich weisen die von LVU gegenber

    den Versicherungsnehmern (VN) eingegangenen Verpichtungen unterschiedliche, zum Teil

    sehr lange Laufzeiten auf. Typischerweise bieten LVU in ihren Produkten eine garantierte

    Ablaueistungen oder Verzinsungen an. Der VN erhlt also ein in den Versicherungsvertrag

    eingebettetes Zinsderivat mit sehr langen Laufzeiten. Damit sind LVU fr die Bewertung

    der eingegangenen Zahlungsverpichtungen sowie auch fr das Risikomanagement der An-

    lageseite in besonderem Mae auf Zinsmodelle angewiesen.

    2Allianz Lebensversicherungs-AG Stuttgart. Die Inhalte dieser Arbeit stellen die persnliche Meinung

    der Autoren dar und geben nicht notwendigerweise die Position der Allianz Lebensversicherungs-AG wieder.

    E-mail: juergen.bierbaum@allianz.de, mathias.kunze@allianz.de, norbert.quapp@allianz.de1Karlsruher Institut fr Technologie. Das dem Bericht zugrundeliegende Vorhaben wurde mit Mitteln

    des Bundesministeriums fr Bildung und Forschung unter dem Frderkennzeichen 03BAPAD2 gefrdert.

    Die Verantwortung ber den Inhalt dieser Verentlichung liegt bei den Autoren.

    E-Mail: robin.pfeier@kit.edu, nicole.baeuerle@kit.edu

  • 2 1 EINLEITUNG

    LVU unterscheiden sich in ihren Anforderungen an Modelle der Zinsstrukturkurve zum

    Teil deutlich von anderen Finanzmarktakteuren. Betrachtet man die Dynamik der gesam-

    ten Zinsstrukturkurve, so liefert das kurze Ende der Zinsstrukturkurve den lokalen Dis-

    kontierungssatz, Zinsen hherer Laufzeit bilden eine Benchmark fr Bondportfolios mit

    entsprechender Duration. Die Modellierung der Dynamik sowohl des kurzen als auch des

    langen Endes der Zinsstrukturkurve ist also von entscheidender Bedeutung. Auf Grund der

    langen Laufzeiten ergeben sich ebenfalls einige besondere Anforderungen an Zinsmodelle,

    die einige marktbliche Modelle nicht erfllen knnen.

    Die Forschung der letzten Jahre bietet einen ganzen Katalog verschiedener Zinsmodelle.

    Ziel dieser Arbeit ist es, Kriterien fr Zinsmodelle im Versicherungsbereich vorzuschlagen

    und an zwei Modellen exemplarisch zu diskutieren. Dabei steht die prinzipielle, methodi-

    sche Vorgehensweise im Vordergrund. Abschlieend wird untersucht, wie verschiedene Mo-

    delle anhand der Bewertung von Zahlungsansprchen aus der Versicherungspraxis fair

    miteinander verglichen werden knnen.

    Zinsmodelle lassen sich anhand mehrerer Eigenschaften in Gruppen einteilen, wobei

    ein Vergleich von Modellen aus verschiedenen Gruppen besonderer Sorgfalt bedarf. Insbe-

    sondere sind die Anzahl stochastischer Faktoren des Modells, die Mglichkeit, das Modell

    an die aktuelle Zinsstrukturkurve anzupassen, sowie das Zulassen negativer Zinsen solche

    Klassikationseigenschaften. In der vorliegenden Arbeit sollen beispielhaft am Modell von

    Cairns [Cai04] und am Modell von Hull und White [HW90] Probleme und Lsungsmg-

    lichkeiten bei der Auswahl von Zinsmodellen aufgezeigt werden. Das Cairns-Modell ist

    dabei als Zwei-Faktor-Modell implementiert, es garantiert positive Zinsen, lsst sich aller-

    dings nur approximativ an eine Zinsstrukturkurve kalibrieren. Das Hull-White Modell ist

    ein Ein-Faktor-Modell, das an jede gegebene aktuelle Zinsstrukturkurve kalibriert werden

    kann, aber in Simulationen negative Zinsen zulsst. Das Cairns Modell wurde ausgewhlt,

    da es krzlich als Zinsmodell fr LVU vorgeschlagen wurde, das Hull-White Modell, da es

    in der Versicherungspraxis oft verwendet wird. Die ausgewhlten Modelle erlauben einen

    breiten berblick ber wichtige Anstze bei drei entscheidenden Problemen der Zinsmo-

    dellierung: exakte oder approximative Kalibrierung, Ein-Faktor oder Mehr-Faktor-Modell

    sowie positive oder negative Modellzinsen.

    In Kapitel 2 werden das Hull-White Modell sowie das Cairns Modell vorgestellt. Kapitel

    3 zeigt anhand der Unterschiede beider Modelle verschiedene Kriterien fr die realistische

    Modellierung der Zinsstrukturkurve auf, insbesondere die Anzahl stochastischer Faktoren,

    die Positivitt der Zinsstrukturkurve im Modell, die Kalibrierungsmglichkeit des Modells

    sowie die Problematik der Schtzung. In Kapitel 4 wird als Beispiel eines Modellverglei-

    ches in der Praxis der Preis fr die Garantie eines Rentenfaktors in einem langlaufenden

    Rentenversicherungsvertrag mit beiden Zinsmodellen bestimmt. Kapitel 5 fasst die Arbeit

    zusammen.

  • 3

    2 Modelle

    In diesem Abschnitt werden die beiden verwendeten Modelle von Cairns [Cai04] sowie Hull

    und White [HW90] vorgestellt. Beide Modelle sind stetige No-Arbitrage Modelle. Da die

    beobachtete Welt ebenso wie die Modellwelt im Versicherungsbereich im Grunde diskret

    ist, erscheint Stetigkeit des Modells keine notwendige Forderung zu sein. Zu beachten ist

    hierbei allerdings, dass zur Schtzung der Modelle unter Umstnden andere diskrete Zeit-

    schritte verwendet werden mssen als fr sptere Anwendungen bentigt werden. Hug

    werden viertel-, halb- oder sogar jhrliche Beobachtungen fr die Anwendung gengen. Fr

    die Schtzung anhand dieser Daten reichen die vorhandenen historischen Daten derselben

    Frequenz im allgemeinen aber nicht aus, insbesondere im Hinblick auf mgliche Struk-

    turbrche in den Daten. Ein Wechsel der Beobachtungsfrequenz zwischen Schtzung und

    Simulation ist in zeitstetigen Modellen aber einfacher zu realisieren.

    Bei Zinsmodellen sind zwei Wahrscheinlichkeitsmae zu unterscheiden: das physische

    Ma P und das risikoneutrale Ma Q. Fr die Anwendung sind die Dynamiken der Zu-standsprozesse beziehungsweise der Zinsen unter beiden Maen von Bedeutung. Unter dem

    physischen Ma P wird das jeweilige Modell anhand realer Daten geschtzt. Vorhersagender Zinsstrukturkurve werden ebenfalls unter diesem Ma berechnet. Weiterhin ist das

    physische Ma fr die Risikoanalyse von Bedeutung, etwa bei der Berechnung von Risi-

    koprmien. Fr die Bewertung von Auszahlungsprolen wird hingegen das risikoneutrale

    Ma bentigt. Die Bewertung komplexer, pfadabhngiger Auszahlungsprole ist im Allge-

    meinen nur mit Hilfe eines Monte Carlo Bewertungsansatzes mglich. Insbesondere sollte

    daher ein Zinsmodell zur Bewertung unter Q schnell und einfach Zinspfade fr die MonteCarlo Simulation generieren knnen.

    Fr die sptere Diskussion ist zu beachten, dass historische Beobachtungen unter dem

    Ma P stattnden, die Bewertung von Zahlungsansprchen aber Simulationen unter Qbentigt. Da die Mae P und Q quivalente Martingalmae sind, besitzen sie insbesonderedie gleichen Nullmengen. Historisch beobachtbare Zinsstrukturkurven haben daher auch

    positive Wahrscheinlichkeit unter Q. Dies rechtfertigt es, in spteren Kapiteln ber all-gemeine Eigenschaften von Zinsstrukturmodellen die Menge der historisch beobachtbaren

    Zinsstrukturkurven unter P als Richtschnur fr unter Q mgliche Zinsstrukturkurven zuverwenden.

    2.1 Das Cairns-Modell

    Das Modell von Cairns [Cai04] stellt eine mgliche Umsetzung des Modells von Flesaker

    und Hughston [FH96] dar. Flesaker und Hughston prsentieren einen allgemeinen Modell-

    rahmen, der positive Zinsen garantiert, indem Bondpreise stets kleiner 1 modelliert werden.

    Cairns whlt die entsprechenden Funktionen des Flesaker-Hughston Modells so, dass sie

    zur folgenden Formel fr den Preis P (t, T ) zum Zeitpunkt t T einer sicheren Auszahlung

  • 4 2 MODELLE

    von 1 mit Flligkeit in T fhren

    P (t, T ) = P (X, t, T ) =

    TtH(u,X(t))du0 H(u,X(t))du

    (1)

    mit

    H(u,X(t)) = exp

    u+ ni=1

    iXi(t)eiu 12

    ni=1

    nj=1

    ijiji + j

    e(i+j)u

    , (2)wobei der n-dimensionale Faktor-Prozess (oder auch Zustandsvektor) des Modells X =

    (X(t)) = (X1(t), . . . , Xn(t)) unter dem risikoneutralen Ma Q einem Ornstein-UhlenbeckProzess folgt mit Dynamik

    dX(t) = diag() [V (t)X(t)] dt+ CdWQ(t) (3)

    und C = ((cij))i,j=1,...,n so gewhlt wurde, dass CC = (ij)ni,j=1 eine instantane Korrela-

    tionsmatrix ist. Die Parameter i beschreiben die Rckstellkraft der Ornstein-Uhlenbeck

    ProzesseXi mit := (1, . . . , n), der Parameter > 0 bestimmt die FunktionH fr groe

    u und damit das lange Ende der Zinsstrukturkurve. Die Parameter i sind Gewichtungs-

    faktoren der Ornstein-Uhlenbeck Prozesse in der Bondpricing-

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