2

Jeśli nie możesz wyjaśnić czegoś tak po prostu to nie rozumiesz tego wystarczająco dobrze

Albert Einstein

rdquoLiczby pierwsze słyną z tego że tworzą nieprzeniknioną plątaninę Według wielu

matematykoacutew ich kolejność nie wynika z dostrzegalnego wzorurdquo

Vine Guy

3

SPIS TREŚCI

SŁOWO WSTĘPNE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4

LICZBY PIERWSZE ndash WŁAŚCIWOŚCI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

FAKTORYZACJA ILOCZYNOacuteW LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

REKORDY LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

PODSTAWOWY PORZĄDEK helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

TABELE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

4

SŁOWO WSTĘPNE

To będzie miliony lat trwało zanim zrozumiemy a nawet jeśli nie w pełni zrozumiemy to i tak

stoimy przed nieskończonością

P Erdoumls (wywiad z P HoffmanC listopad 1987 str 74)

Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzoacuter i jako takie liczby pierwsze są same prawem

dla siebie Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśroacuted liczb naturalnych Od

wiekoacutew matematycy proacutebowali i nie udało się wyjaśnić jaki jest podstawowy wzoacuter liczb

pierwszych Możliwe że nie istnieje taki wzoacuter i liczby pierwsze ze swej natury wykazują

przypadkowe rozmieszczenie w tym przypadku zaleca się matematykom podjąć się innych

mniej ambitnych zagadnień z tej dziedzinyrdquo

Simon Singh

Chociaż istnieje nieskończoności liczb pierwszych ich rozmieszczenie w obrębie dodatnich

liczb całkowitych jest najbardziej mistyfikujące

D M Burton

Tak było przed odkryciem regularnego wzoru opartego na proporcjonalności odwrotnej

ukrytego za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy

starałem się dodać do tego wyjaśnienie Wykazałem że p = a + b to jedyny wzoacuter ktoacutery jest

nieodłączny od liczb pierwszych ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie lecz dzięki

przystawaniu do siebie modulo 7 mają jako poprzednika liczbę parzystą ktoacuterej połowa

gwarantuje że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składnikoacutew o

identycznych sumach pośrednich nie mające wspoacutelnego dzielnika większego od 1 a ich ilość

jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości Wszystko to daje nam do ręki

przysłowiową sieć by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie takie jak

nieustanność liczb bliźniaczych odstępoacutew między nimi mocnego i słabego przypuszczenia

Goldbacha i wielu innych

Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematykoacutew zaroacutewno profesjonalnych

jak i amatorskich odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące Na

przykład już Euklides pokazał że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Jednakże kilka

ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane Liczby pierwsze

nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli Z jednej strony liczby pierwsze wydają się być

rozmieszczone przypadkowo pośroacuted liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak

prawdopodobieństwa Jednak z drugiej strony rozmieszczenie liczb pierwszych globalne

ujawnia niezwykle gładką regularność To połączenie losowości i prawidłowości

zmotywowało mnie do wyszukiwania wzoroacutew w rozmieszczeniu liczb pierwszych ktoacutere w

końcu mogą rzucić światło na ich ostateczny charakter Pisząc tę książkę chciałem dokonać

syntezy co na temat teorii liczb pierwszych już wiadomo i ukazać ją jako dziedzinę w ktoacuterej

systematycznie bada się naturalne zagadnienia teorii liczb całościowo Mam nadzieję że wszyscy

miłośnicy matematyki poczują się szczęśliwi gdy będą czytali te stronice

5

LICZBY PIERWSZE - WŁAŚCIWOŚCI

Liczby pierwsze to bdquocegiełkirdquo z ktoacuterych zbudowane są wszystkie inne liczby naturalne Nie znajdziemy ich jednak w żadnej tabliczce mnożenia gdyż liczba pierwsza nie może być nigdy wynikiem żadnej sensownej operacji mnożenia lecz tylko dodawania Każda liczba pierwsza jest suma dwoacutech składnikoacutew określających jej miejsce w ciągu liczb naturalnych

pomiędzy dwoma skrajnymi liczbami parzystymi p = a + b Składnik a - to połowa poprzedzającej liczbę pierwszą od niej mniejszej liczby parzystej Składnik b - to połowa następującej po liczbie pierwszej od niej większej liczby parzystej 1 22 3 42 5 62 7 82 9 102 11 122 13 142 15 162 17 18219 202 21 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 5 + 6 = 11 6 + 7 = 13 8 + 9 = 17 9 + 10 = 19 Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczbowy w ktoacuterym każdy wyraz (oproacutecz dwoacutech

początkowych a1 i a2 roacutewnych 1) jest sumą dwoacutech połoacutewek skrajnych liczb parzystych p = (2n + 2nrsquo)2 czyli sumą dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7

Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą i poprzez nią zasada bdquowiększy o jedenrdquo zostanie przeniesiona na następne liczby naturalne gwarantując łączność i postęp w ciągu

2 = 1 + 1

1

3 = 1 + 2 = (2)2 + (4)2

1 4 = 2 + 2

1 5 = 2 + 3 = (4)2 + (6)2

1 6 = 3 + 3

1

7 = 3 + 4 = (6)2 + (8)2

6

Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2) jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika

i następnika są o jeden większe od mniejszego z nich

2n2 + (2n + 2)2 = 2 (n) + 1 = p

3 = (2+4)2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)2 = (3+4) = 2(3) + 1

11=(10+12)2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)2=(8+9)=2(8) + 1

Wiemy że każda liczba naturalna większa niż 1 podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składnikoacutew względnie pierwszych ktoacuterych największym wspoacutelnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + srsquo]) stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem że dana liczba jest liczbą pierwszą Np 11=(10 + 1)1= (9 + 2)1= (8 + 3)1= (7 + 4)1=(6 + 5)1 5(11) = 55

(11sup2 - 11)2 = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 555 = 11 [(p)sup2 - p]2 = p(prsquo)prsquo = p Firma sprzedająca liczby pierwsze może w oparciu o ten dowoacuted swoacutej towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotoacutewki bez obawy że zbankrutuje

Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności

n n + 2 n + 6 n + 8

k + 1 k + 3 k + 7 k + 9

11 13 17 19

22 21

20 19

18 17

16 15

14 13

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p = (s + s)1 (22 + 1)1 (21 + 2)1 (20 + 3)1 (19 + 4)1 (18 + 5)1 (17 + 6)1 (16 + 7)1 (15 + 8)1 (14 + 9)1 (13 + 10)1 (12 + 11)1

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

3

SPIS TREŚCI

SŁOWO WSTĘPNE helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4

LICZBY PIERWSZE ndash WŁAŚCIWOŚCI helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 5

FAKTORYZACJA ILOCZYNOacuteW LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 12

REKORDY LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 13

PODSTAWOWY PORZĄDEK helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 18

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 49

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 53

TABELE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 59

4

SŁOWO WSTĘPNE

To będzie miliony lat trwało zanim zrozumiemy a nawet jeśli nie w pełni zrozumiemy to i tak

stoimy przed nieskończonością

P Erdoumls (wywiad z P HoffmanC listopad 1987 str 74)

Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzoacuter i jako takie liczby pierwsze są same prawem

dla siebie Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśroacuted liczb naturalnych Od

wiekoacutew matematycy proacutebowali i nie udało się wyjaśnić jaki jest podstawowy wzoacuter liczb

pierwszych Możliwe że nie istnieje taki wzoacuter i liczby pierwsze ze swej natury wykazują

przypadkowe rozmieszczenie w tym przypadku zaleca się matematykom podjąć się innych

mniej ambitnych zagadnień z tej dziedzinyrdquo

Simon Singh

Chociaż istnieje nieskończoności liczb pierwszych ich rozmieszczenie w obrębie dodatnich

liczb całkowitych jest najbardziej mistyfikujące

D M Burton

Tak było przed odkryciem regularnego wzoru opartego na proporcjonalności odwrotnej

ukrytego za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy

starałem się dodać do tego wyjaśnienie Wykazałem że p = a + b to jedyny wzoacuter ktoacutery jest

nieodłączny od liczb pierwszych ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie lecz dzięki

przystawaniu do siebie modulo 7 mają jako poprzednika liczbę parzystą ktoacuterej połowa

gwarantuje że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składnikoacutew o

identycznych sumach pośrednich nie mające wspoacutelnego dzielnika większego od 1 a ich ilość

jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości Wszystko to daje nam do ręki

przysłowiową sieć by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie takie jak

nieustanność liczb bliźniaczych odstępoacutew między nimi mocnego i słabego przypuszczenia

Goldbacha i wielu innych

Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematykoacutew zaroacutewno profesjonalnych

jak i amatorskich odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące Na

przykład już Euklides pokazał że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Jednakże kilka

ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane Liczby pierwsze

nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli Z jednej strony liczby pierwsze wydają się być

rozmieszczone przypadkowo pośroacuted liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak

prawdopodobieństwa Jednak z drugiej strony rozmieszczenie liczb pierwszych globalne

ujawnia niezwykle gładką regularność To połączenie losowości i prawidłowości

zmotywowało mnie do wyszukiwania wzoroacutew w rozmieszczeniu liczb pierwszych ktoacutere w

końcu mogą rzucić światło na ich ostateczny charakter Pisząc tę książkę chciałem dokonać

syntezy co na temat teorii liczb pierwszych już wiadomo i ukazać ją jako dziedzinę w ktoacuterej

systematycznie bada się naturalne zagadnienia teorii liczb całościowo Mam nadzieję że wszyscy

miłośnicy matematyki poczują się szczęśliwi gdy będą czytali te stronice

5

LICZBY PIERWSZE - WŁAŚCIWOŚCI

Liczby pierwsze to bdquocegiełkirdquo z ktoacuterych zbudowane są wszystkie inne liczby naturalne Nie znajdziemy ich jednak w żadnej tabliczce mnożenia gdyż liczba pierwsza nie może być nigdy wynikiem żadnej sensownej operacji mnożenia lecz tylko dodawania Każda liczba pierwsza jest suma dwoacutech składnikoacutew określających jej miejsce w ciągu liczb naturalnych

pomiędzy dwoma skrajnymi liczbami parzystymi p = a + b Składnik a - to połowa poprzedzającej liczbę pierwszą od niej mniejszej liczby parzystej Składnik b - to połowa następującej po liczbie pierwszej od niej większej liczby parzystej 1 22 3 42 5 62 7 82 9 102 11 122 13 142 15 162 17 18219 202 21 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 5 + 6 = 11 6 + 7 = 13 8 + 9 = 17 9 + 10 = 19 Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczbowy w ktoacuterym każdy wyraz (oproacutecz dwoacutech

początkowych a1 i a2 roacutewnych 1) jest sumą dwoacutech połoacutewek skrajnych liczb parzystych p = (2n + 2nrsquo)2 czyli sumą dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7

Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą i poprzez nią zasada bdquowiększy o jedenrdquo zostanie przeniesiona na następne liczby naturalne gwarantując łączność i postęp w ciągu

2 = 1 + 1

1

3 = 1 + 2 = (2)2 + (4)2

1 4 = 2 + 2

1 5 = 2 + 3 = (4)2 + (6)2

1 6 = 3 + 3

1

7 = 3 + 4 = (6)2 + (8)2

6

Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2) jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika

i następnika są o jeden większe od mniejszego z nich

2n2 + (2n + 2)2 = 2 (n) + 1 = p

3 = (2+4)2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)2 = (3+4) = 2(3) + 1

11=(10+12)2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)2=(8+9)=2(8) + 1

Wiemy że każda liczba naturalna większa niż 1 podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składnikoacutew względnie pierwszych ktoacuterych największym wspoacutelnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + srsquo]) stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem że dana liczba jest liczbą pierwszą Np 11=(10 + 1)1= (9 + 2)1= (8 + 3)1= (7 + 4)1=(6 + 5)1 5(11) = 55

(11sup2 - 11)2 = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 555 = 11 [(p)sup2 - p]2 = p(prsquo)prsquo = p Firma sprzedająca liczby pierwsze może w oparciu o ten dowoacuted swoacutej towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotoacutewki bez obawy że zbankrutuje

Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności

n n + 2 n + 6 n + 8

k + 1 k + 3 k + 7 k + 9

11 13 17 19

22 21

20 19

18 17

16 15

14 13

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p = (s + s)1 (22 + 1)1 (21 + 2)1 (20 + 3)1 (19 + 4)1 (18 + 5)1 (17 + 6)1 (16 + 7)1 (15 + 8)1 (14 + 9)1 (13 + 10)1 (12 + 11)1

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

4

SŁOWO WSTĘPNE

To będzie miliony lat trwało zanim zrozumiemy a nawet jeśli nie w pełni zrozumiemy to i tak

stoimy przed nieskończonością

P Erdoumls (wywiad z P HoffmanC listopad 1987 str 74)

Ciąg liczb pierwszych ma niezauważalnej wzoacuter i jako takie liczby pierwsze są same prawem

dla siebie Choć wydają się być jak dzikie chwasty rozproszone wśroacuted liczb naturalnych Od

wiekoacutew matematycy proacutebowali i nie udało się wyjaśnić jaki jest podstawowy wzoacuter liczb

pierwszych Możliwe że nie istnieje taki wzoacuter i liczby pierwsze ze swej natury wykazują

przypadkowe rozmieszczenie w tym przypadku zaleca się matematykom podjąć się innych

mniej ambitnych zagadnień z tej dziedzinyrdquo

Simon Singh

Chociaż istnieje nieskończoności liczb pierwszych ich rozmieszczenie w obrębie dodatnich

liczb całkowitych jest najbardziej mistyfikujące

D M Burton

Tak było przed odkryciem regularnego wzoru opartego na proporcjonalności odwrotnej

ukrytego za pozornie chaotycznie rozmieszczonymi liczbami pierwszymi i w mojej pracy

starałem się dodać do tego wyjaśnienie Wykazałem że p = a + b to jedyny wzoacuter ktoacutery jest

nieodłączny od liczb pierwszych ponieważ nie są rozmieszczone bezładnie lecz dzięki

przystawaniu do siebie modulo 7 mają jako poprzednika liczbę parzystą ktoacuterej połowa

gwarantuje że wszystkie liczby poprzedzające tworzą pary skrajnych składnikoacutew o

identycznych sumach pośrednich nie mające wspoacutelnego dzielnika większego od 1 a ich ilość

jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości Wszystko to daje nam do ręki

przysłowiową sieć by uchwycić w niej pozostałe nierozstrzygnięte kwestie takie jak

nieustanność liczb bliźniaczych odstępoacutew między nimi mocnego i słabego przypuszczenia

Goldbacha i wielu innych

Liczby pierwsze są przedmiotem większej uwagi dla matematykoacutew zaroacutewno profesjonalnych

jak i amatorskich odkąd ludzie zaczęli badać własności liczb i uważają je za fascynujące Na

przykład już Euklides pokazał że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Jednakże kilka

ważnych właściwości liczb pierwszych nie są jeszcze dobrze poznane Liczby pierwsze

nurtowały przez wieki ciekawych myślicieli Z jednej strony liczby pierwsze wydają się być

rozmieszczone przypadkowo pośroacuted liczb naturalnych bez żadnego innego prawa jak

prawdopodobieństwa Jednak z drugiej strony rozmieszczenie liczb pierwszych globalne

ujawnia niezwykle gładką regularność To połączenie losowości i prawidłowości

zmotywowało mnie do wyszukiwania wzoroacutew w rozmieszczeniu liczb pierwszych ktoacutere w

końcu mogą rzucić światło na ich ostateczny charakter Pisząc tę książkę chciałem dokonać

syntezy co na temat teorii liczb pierwszych już wiadomo i ukazać ją jako dziedzinę w ktoacuterej

systematycznie bada się naturalne zagadnienia teorii liczb całościowo Mam nadzieję że wszyscy

miłośnicy matematyki poczują się szczęśliwi gdy będą czytali te stronice

5

LICZBY PIERWSZE - WŁAŚCIWOŚCI

Liczby pierwsze to bdquocegiełkirdquo z ktoacuterych zbudowane są wszystkie inne liczby naturalne Nie znajdziemy ich jednak w żadnej tabliczce mnożenia gdyż liczba pierwsza nie może być nigdy wynikiem żadnej sensownej operacji mnożenia lecz tylko dodawania Każda liczba pierwsza jest suma dwoacutech składnikoacutew określających jej miejsce w ciągu liczb naturalnych

pomiędzy dwoma skrajnymi liczbami parzystymi p = a + b Składnik a - to połowa poprzedzającej liczbę pierwszą od niej mniejszej liczby parzystej Składnik b - to połowa następującej po liczbie pierwszej od niej większej liczby parzystej 1 22 3 42 5 62 7 82 9 102 11 122 13 142 15 162 17 18219 202 21 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 5 + 6 = 11 6 + 7 = 13 8 + 9 = 17 9 + 10 = 19 Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczbowy w ktoacuterym każdy wyraz (oproacutecz dwoacutech

początkowych a1 i a2 roacutewnych 1) jest sumą dwoacutech połoacutewek skrajnych liczb parzystych p = (2n + 2nrsquo)2 czyli sumą dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7

Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą i poprzez nią zasada bdquowiększy o jedenrdquo zostanie przeniesiona na następne liczby naturalne gwarantując łączność i postęp w ciągu

2 = 1 + 1

1

3 = 1 + 2 = (2)2 + (4)2

1 4 = 2 + 2

1 5 = 2 + 3 = (4)2 + (6)2

1 6 = 3 + 3

1

7 = 3 + 4 = (6)2 + (8)2

6

Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2) jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika

i następnika są o jeden większe od mniejszego z nich

2n2 + (2n + 2)2 = 2 (n) + 1 = p

3 = (2+4)2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)2 = (3+4) = 2(3) + 1

11=(10+12)2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)2=(8+9)=2(8) + 1

Wiemy że każda liczba naturalna większa niż 1 podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składnikoacutew względnie pierwszych ktoacuterych największym wspoacutelnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + srsquo]) stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem że dana liczba jest liczbą pierwszą Np 11=(10 + 1)1= (9 + 2)1= (8 + 3)1= (7 + 4)1=(6 + 5)1 5(11) = 55

(11sup2 - 11)2 = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 555 = 11 [(p)sup2 - p]2 = p(prsquo)prsquo = p Firma sprzedająca liczby pierwsze może w oparciu o ten dowoacuted swoacutej towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotoacutewki bez obawy że zbankrutuje

Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności

n n + 2 n + 6 n + 8

k + 1 k + 3 k + 7 k + 9

11 13 17 19

22 21

20 19

18 17

16 15

14 13

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p = (s + s)1 (22 + 1)1 (21 + 2)1 (20 + 3)1 (19 + 4)1 (18 + 5)1 (17 + 6)1 (16 + 7)1 (15 + 8)1 (14 + 9)1 (13 + 10)1 (12 + 11)1

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

5

LICZBY PIERWSZE - WŁAŚCIWOŚCI

Liczby pierwsze to bdquocegiełkirdquo z ktoacuterych zbudowane są wszystkie inne liczby naturalne Nie znajdziemy ich jednak w żadnej tabliczce mnożenia gdyż liczba pierwsza nie może być nigdy wynikiem żadnej sensownej operacji mnożenia lecz tylko dodawania Każda liczba pierwsza jest suma dwoacutech składnikoacutew określających jej miejsce w ciągu liczb naturalnych

pomiędzy dwoma skrajnymi liczbami parzystymi p = a + b Składnik a - to połowa poprzedzającej liczbę pierwszą od niej mniejszej liczby parzystej Składnik b - to połowa następującej po liczbie pierwszej od niej większej liczby parzystej 1 22 3 42 5 62 7 82 9 102 11 122 13 142 15 162 17 18219 202 21 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 5 + 6 = 11 6 + 7 = 13 8 + 9 = 17 9 + 10 = 19 Ciąg liczb pierwszych to ciąg liczbowy w ktoacuterym każdy wyraz (oproacutecz dwoacutech

początkowych a1 i a2 roacutewnych 1) jest sumą dwoacutech połoacutewek skrajnych liczb parzystych p = (2n + 2nrsquo)2 czyli sumą dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7

Liczba 2 jest jedyną liczbą pierwszą parzystą i poprzez nią zasada bdquowiększy o jedenrdquo zostanie przeniesiona na następne liczby naturalne gwarantując łączność i postęp w ciągu

2 = 1 + 1

1

3 = 1 + 2 = (2)2 + (4)2

1 4 = 2 + 2

1 5 = 2 + 3 = (4)2 + (6)2

1 6 = 3 + 3

1

7 = 3 + 4 = (6)2 + (8)2

6

Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2) jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika

i następnika są o jeden większe od mniejszego z nich

2n2 + (2n + 2)2 = 2 (n) + 1 = p

3 = (2+4)2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)2 = (3+4) = 2(3) + 1

11=(10+12)2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)2=(8+9)=2(8) + 1

Wiemy że każda liczba naturalna większa niż 1 podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składnikoacutew względnie pierwszych ktoacuterych największym wspoacutelnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + srsquo]) stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem że dana liczba jest liczbą pierwszą Np 11=(10 + 1)1= (9 + 2)1= (8 + 3)1= (7 + 4)1=(6 + 5)1 5(11) = 55

(11sup2 - 11)2 = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 555 = 11 [(p)sup2 - p]2 = p(prsquo)prsquo = p Firma sprzedająca liczby pierwsze może w oparciu o ten dowoacuted swoacutej towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotoacutewki bez obawy że zbankrutuje

Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności

n n + 2 n + 6 n + 8

k + 1 k + 3 k + 7 k + 9

11 13 17 19

22 21

20 19

18 17

16 15

14 13

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p = (s + s)1 (22 + 1)1 (21 + 2)1 (20 + 3)1 (19 + 4)1 (18 + 5)1 (17 + 6)1 (16 + 7)1 (15 + 8)1 (14 + 9)1 (13 + 10)1 (12 + 11)1

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

6

Wszystkie liczby pierwsze (za wyjątkiem 2) jako średnia arytmetyczna swego parzystego poprzednika

i następnika są o jeden większe od mniejszego z nich

2n2 + (2n + 2)2 = 2 (n) + 1 = p

3 = (2+4)2 = (1+2) = 2(1)+1 5 = (4+6)2 = (2+3) = 2(2)+1 7 = (6+8)2 = (3+4) = 2(3) + 1

11=(10+12)2=(5+6) = 2(5)+1 13 =(12+14)2 = (6+7) = 2(6)+1 17=(16+18)2=(8+9)=2(8) + 1

Wiemy że każda liczba naturalna większa niż 1 podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Każdą liczbę pierwszą tworzą jedynie pary składnikoacutew względnie pierwszych ktoacuterych największym wspoacutelnym dzielnikiem jest jeden (1 | [s + srsquo]) stąd nie dzielą się przez wszystkie inne liczby i fakt ten jest najlepszym certyfikatem że dana liczba jest liczbą pierwszą Np 11=(10 + 1)1= (9 + 2)1= (8 + 3)1= (7 + 4)1=(6 + 5)1 5(11) = 55

(11sup2 - 11)2 = 55 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 555 = 11 [(p)sup2 - p]2 = p(prsquo)prsquo = p Firma sprzedająca liczby pierwsze może w oparciu o ten dowoacuted swoacutej towar swobodnie oferować z gwarancją zwrotu gotoacutewki bez obawy że zbankrutuje

Od pierwszej dziesiątki liczby pierwsze przybierają cztery charakterystyczne dla nich liczby jedności

n n + 2 n + 6 n + 8

k + 1 k + 3 k + 7 k + 9

11 13 17 19

22 21

20 19

18 17

16 15

14 13

12 11

10 9

8 7

6 5

4 3

2 1 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11

12 13

14 15

16 17

18 19

20 21

22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

p = (s + s)1 (22 + 1)1 (21 + 2)1 (20 + 3)1 (19 + 4)1 (18 + 5)1 (17 + 6)1 (16 + 7)1 (15 + 8)1 (14 + 9)1 (13 + 10)1 (12 + 11)1

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

7

Każda liczba naturalna większa niż jeden podzielna tylko przez 1 i samą siebie jest liczbą pierwszą Ta właściwość wynika z definicji liczb pierwszych Mają one wiele innych właściwości chociażby ta że rozkładają się na sumę p = a + (a + 1) w ktoacuterej nieparzysty lub parzysty dodajnik jest o 1 większy od poprzedniego dodajnika a = 2n2 roacutewnego połowie poprzedniej liczby parzystej Kilka tych właściwości jest trywialna ma jednak wpływ na liczby ktoacutere złożone są z liczb pierwszych co zobaczymy w dalszej części Inne właściwości dotyczą iloczynoacutew liczb pierwszych dlatego mają tylko warunkowo zastosowanie jako kryterium liczb pierwszych Dana liczba bdquoardquo jest pierwszą jeżeli po rozłożeniu na składniki żadna z możliwych par składnikoacutew nie ma wspoacutelnego dzielnika większego od jeden

Tak stopniowo powstają liczby pierwsze jako kolejne liczby naturalne ktoacuterych pary składnikoacutew

skrajnych nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 (1 + 1)1 = 2 (1 + 2)1 = 3 [1 + (2 + 3) + 4]1

= 5 1 + [2 + (3 + 4) + 5] + 61 = 7 ale 1 + 2 + [3 + (4 + 5) + 6]3 + 7 + 81 = 9 ma jedną parę

składnikoacutew skrajnych (3 + 6)3 = 9 ktoacuterych wspoacutelny dzielnik wynosi 3 stąd (3+6)3 = (1+2)(3) = 3(3)=9

Uświadomienie sobie że parami dodawanie wyrazoacutew z przeciwległych końcoacutew wykazu liczb

poprzedzających daną liczbę nieparzystą przynoszą zawsze identyczne sumy pośrednie

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

8

pozwoli nam na utworzenie skutecznego algorytmu testującego czy dana liczba troacutejkątna

jako suma liczb poprzedzających do danej wielkości składa się tylko z liczb pierwszych czy

złożonych Jeżeli suma liczb poprzedzających rozkłada się na czynniki pierwsze aż po daną

liczbę to znaczy że każda suma pary składnikoacutew jest liczbą pierwszą(n + nrsquo)1 + (nrdquo + nrsquordquo)1 =

t = p + p Faktoryzacja połowy roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby a daną liczbą na

czynniki pierwsze mniejsze od danej liczby oznacza że co najmniej jedna para składnikoacutew ma

wspoacutelny dzielnik pierwszy i dana liczba jest złożona (xsup2 - x)2 = t = p p(plt x) (25sup2 - 25)2 =

30012 = 12(25) = (223)(55) 25 = (20 + 5)5 = (10 + 15)5

Liczba jedenaście jest pierwszą ponieważ pięć par składnikoacutew jakie ją tworzą 11 = (10 + 1)1

= (9 + 2)1 = (8 + 3)1 = (7 + 4)1 = (6 + 5)1 5(11) = 55 = (11sup2 - 11)2 dodawane skrajne jako

liczby poprzedzające daną liczbę nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 i w sumie dają

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 55 co jako suma stojących przed nią liczb jest połową

roacuteżnicy pomiędzy kwadratem danej liczby i daną liczbą (xsup2 - x)2 = t i jest zawsze liczbą

troacutejkątną całkowicie podzielną przez ilość identycznych sum pośrednich roacutewnej połowie

stojącej przed nią liczby parzystej Liczby troacutejkątne jako suma liczb poprzedzających daną

liczbę nieparzystą składają się z n ndash tej ilości par składnikoacutew dodawanych wyrazoacutew z

przeciwległych końcoacutew wykazu liczb poprzedzających roacutewnej połowie poprzedzającej liczby

parzystej ktoacutere jeżeli nie mają wspoacutelnego dzielnika większego od 1 tworzą identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych(4 +1)1 + (2 + 3)1 = 5 + 5 = 102 = 5 a jeżeli mają

przynajmniej jeden wspoacutelny dzielnik większy niż 1 to tworzą identyczne sumy pośrednie

tylko liczb złożonych(8 + 1)1 + (7 + 2)1 + (6 + 3)3 + (5+ 4)1 = 9 + 9 + 9 + 9 = 364 = 49 =

(22)(33)

Ta właściwość liczb pierwszych do tworzenia tylu par skrajnych składnikoacutew nie mających

wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 i dzielenia sumy składnikoacutew na identyczne sumy

pośrednie tylko liczb pierwszych powoduje że dwie proste na ktoacuterych zapisane są liczby

poprzedzające dzielą się w połowie na 4 roacutewne części sum pośrednich liczb pierwszych(2 + 2

= 44 4 + 4 = 84 6 + 6 = 124 10 + 10 = 204 12 + 12 = 244 16 + 16 = 324 22 + 22 = 444

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

9

Stąd możemy napisać liczba ktoacutera po odjęciu od niej liczb (3 5 11 13 17 19 23 29 37 43

53 83 199) jest podzielna przez 4 wskazuje że jako liczba pierwsza zbudowana jest z n ndash tej

ilości liczby 7 i pozostałych liczb pierwszych 59 = 87 + 3 1039 = 2107 + 199 1093 =

1527 + 29 1091 = 1447 + 83 1117 = 1527 + 53 1171 =1647 + 23 971 = 1367

+ 19 1109 = 1567 + 17 1163 = 1607 + 43 1049 = 1487 + 13 1153 = 1647 + 5

Podobnie liczba od ktoacuterej po odjęciu (25 35 49 65 77 85 91 115 119 155 235 247 295

4274456291007) otrzymujemy liczbę podzielną przez 3 wskazuje że jest złożoną 817 ndash

427 = 3903 817 = 1943 961 ndash 91 = 8703 961 = 3131 713 ndash 629 = 843 713 = 2331

Bezpośrednim sprawdzeniem ktoacuterym iloczynem liczby pierwszej jest dana liczba to odjęcie

od niej jednej z 17 liczb pierwszych (a ndash 57111317192329313741434753596167)p

= 2n a gdy dzieli się przez tą liczbę to znak że jest jej iloczynem 2n(p) + p = p(prsquo) 817 ndash 19 =

79819 = 42 42(19) + 19 = 817 961 ndash 31 = 93031 = 30 30(31) + 31 = 961

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

10

Ten systematyczny proces określania ktoacutera liczba jest iloczynem liczb pierwszych lub pierwszą jest

dobrym przykładem na algorytm (xsup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) Algorytm jest to metoda

za pomocą ktoacuterej możemy rozwiązać jakiś problem stosując się do zawartych w nim wskazoacutewek Gdy

to zastosujemy wtedy mamy niezbity certyfikat potwierdzający że dana liczba jest liczbą pierwszą lub

ich iloczynem

(xsup2 - x)2 Σ(s + slsquo) P plsquo pldquo (pltx)= p(p) x = p

(103sup2 - 103)2 5253 3 17 103

(1003sup2 - 1003)2 502503 3 17 59 167ltx=p(p)

(10003sup2 - 10003)2 50025003 3 7 1429 1667ltx=p(p)

[(10^⁵+3)^sup2 ndash (10^⁵+3)]2 5000250003 3 7 2381 100003

[(10^⁶+3)^sup2 - (10^⁶+3)]2 500002500003 3 166667 1000003

19 10000000000000000031 20 10000000000000000003 = 536 7099 029216 3971 473 379 21 100000000000000000003 = 373155 7731 721 071 782 307 22 1000000000000000000003 = 6714 925 373 134 328 358 209 23 1000000000000000000003 = 71576011 031 13714 682 887 281 24 100000000000000000000003 = 1133 049290 244 589 115 247 419 25 1000000000000000000000003 = 3 529821 461838 069411 605 923 26 10000000000000000000000003 = 137 668 629100 308 773 475 776 339 27 100000000000000000000000003 = 223161 377 320 7032 778 770 221 987 28 1000000000000000000000000003 = 813 219 7131 229 679 979 486 675 331 29 10000000000000000000000000003 = 719957189 779140 035 456 540 965 619 30 100000000000000000000000000003 = 3110 928 153295 183 134 022 089 846 821 31 1000000000000000000000000000003 = 1 859 827537 684 419 034 673 655 130 289

11

32 10000000000000000000000000000003 = 13231 45317 0211 352 315 810 743 633 261 969 33 100000000000000000000000000000003 = 196 271839 285 264 668 608 213 245 600 047 34 1000000000000000000000000000000003 = 151439668835 338 459 45742 250 012 204 817 35 10000000000000000000000000000000003 = 7^2210019971729 379 975 436 624 732 980 913 36 100000000000000000000000000000000003 = 1726793961219540251670011409967 913 819 37100000000000000000000000000000000000310392263934808817231673023024732613877 3810000000000000000000000000000000000003=13769230769230769230769230769230769231 39(10^38+3) = 76 417 71750 954 499 311 25725 681 678 366 581 487 41(10^40+3) = 74366150 261 106 447 997 346 213 579 545 740 119 923 42(10^41+3) = 29471491 046 191470 659 572 629 542 911 224 468 953 859 43(10^42+3) = 9 865 301 191101 365 379 590 466 879 644 202 035 797 733 44(10^43+3) = 13769 230 769 230 769 230 769 230 769 230 769 230 769 231 45(10^44+3) = 312 2935 113275 142 993 946 312 101 483 059 532 532 768 657 46(10^45+3) = 2 62126 190 869202 758 9772 039 334 898 82335 230 144 787 557 47(10^46+3) = 744 029774 717 324 390 885 24141 881 272 672 179 231 514 961 48(10^47+3) = 397198 266 889 0491 270 455 041 555 076 682 580 419 086 613 351 49(10^48+3) = 4 378 83769 080 5271 127 952 8112 930 857 126 525 877 256 434 827 50(10^49+3) = 13464 459551 342 4795 952 808 865 209504 621 641 480 758 757 819 51(10^50+3) = 1997283994 327 748 56961 236 769 827 8293 148 809 563 627 188 687 52(10^51+3) = 173 1871 353 38313 637 925 013 200 840 085 919 638 391 816 980 569 079 53(10^52+3) = 75 290 477 824 748 729270 026 919 286 686 265 519 817 460 570 276 301 54(10^53+3) = 234 116 417 953 254 772 568 8991 056 215 898 465 504 263 474 971 028 839 55(10^54+3) = 6714 925 373 134 328 358 208 955 223 880 597 014 925 373 134 328 358 209 56(10^55+3) = 132 290 143 0013 696 549 175 591 57790 865 194 024 447 148 790 098 749 503 58(10^57+3) =2 448 952 313 317113 619 994 412 5493 593 891 055 967 117 960 201 170 304 091 59(10^58+3) = 710331382934587194025 722 583 321 808 878 440 049 785 645 138 984 926 013 Jeszcze jedna cecha wszystkich liczb nieparzystych a więc i liczb pierwszych łącznie z dwoacutejką ma ogromne znaczenie a jest to zdolność do tworzenia sumy z połowy poprzedzającej liczby parzystej i jej samej ktoacutera podwojona i powiększona o 1 jest jej 3 wielokrotnością(n ndash 1)2 + n = Σ (2Σ + 1)3

12

Ma to ogromne znaczenie przy testowaniu i faktoryzacji liczb nieparzystych Jeżeli dana wielokrotność dzieli się tylko przez 3 i samą siebie to jest liczbą pierwszą 48 + 97 = 145 2(145) + 1 = (291)3 = 97 jeżeli można ją sfaktoryzować innymi liczbami to jest liczbą złożoną 49 + 99 = 148 2(148) + 1 = (297)911 911 = 99

FAKTORYZACJA ILOCZYNOacuteW LICZB PIERWSZYCH

Dana liczba bdquoardquo jest iloczynem liczb pierwszych gdy jej trzecia wielokrotność da się rozłożyć

na czynniki pierwsze mniejsze od niej Zasada rozkładu trzeciej wielokrotności na czynniki

pierwsze jest najszybszą i najbezpieczniejszą metodą faktoryzacji Mamy tym samym

roacutewnież szybki sposoacuteb kwalifikacji liczb pierwszych niezbędnych do budowy kodu RSA

377 = 2317 = 3311 711 = 77 (70 + 7)7 = (63 + 14)7 = (66 + 11) 11 = (56 + 21)7 = (55 + 22)11

= (10 + 1)(6 + 1) = 11(7) 34759123141 = 14 277 369 42348 781 = 292 68397 561 = 3

4759123141 = (4759025580 + 97561)97561 = (4759074360 + 48781)48781 = (48780 + 1)

(97560 + 1) = 4878197561

341550071728321 = (341550039718164 + 32010157)32010157 = (341550061058268 +

10670053)10670053 = (10670052 + 1)(32010156 + 1) = 1067005332010157

2^67 ndash 1 = 147 573 952 589 676 412 927 = 761 838 257 287193 707 721

50000000000000000000000000000000000000000000000000000003 =

101025954401325674065508514949223226476531491438676389953

1 000 000 000 037 = 5318867924529 = 5359349916319

(10^24+37) = 53188679245283018867924529 = 53197969539878628473706469

100000000000000000000000000000000000000000000000000000067 =

449222717149220489977728285077951002227171492204899777283

(10^⁵⁹ + 3) = 31^2104 058 272 632 674 297 606 659 729 448 491 155 046 826 222 684 703 433 923

(10^⁵⁹ + 67) = 1161862539982320229914759854091090347403953640469105164386261

1020030004000050000060000007 = 11101103140411513057112373564559

102003000400005000006000000711 = 92730000363640909096363637

92730000363640909096363637101 = 918118815481593159369937

918118815481593159369937103 = 8913774907588283100679

8913774907588283100679140411 = 63483451493033189

634834514930331895130571 = 12373564559

1237356455912373564559 = 1

341550071728321 = 1067005332010157

10^37+37 = 531886792452830188679245283018867924529 = 5367099029216397 1473379

97692443917177103 (10^89+37) = 5318 867 924 528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924

528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924 529

12

Ma to ogromne znaczenie przy testowaniu i faktoryzacji liczb nieparzystych Jeżeli dana wielokrotność dzieli się tylko przez 3 i samą siebie to jest liczbą pierwszą 48 + 97 = 145 2(145) + 1 = (291)3 = 97 jeżeli można ją sfaktoryzować innymi liczbami to jest liczbą złożoną 49 + 99 = 148 2(148) + 1 = (297)911 911 = 99

FAKTORYZACJA ILOCZYNOacuteW LICZB PIERWSZYCH

Dana liczba bdquoardquo jest iloczynem liczb pierwszych gdy jej trzecia wielokrotność da się rozłożyć

na czynniki pierwsze mniejsze od niej Zasada rozkładu trzeciej wielokrotności na czynniki

pierwsze jest najszybszą i najbezpieczniejszą metodą faktoryzacji Mamy tym samym

roacutewnież szybki sposoacuteb kwalifikacji liczb pierwszych niezbędnych do budowy kodu RSA

377 = 2317 = 3311 711 = 77 (70 + 7)7 = (63 + 14)7 = (66 + 11) 11 = (56 + 21)7 = (55 + 22)11

= (10 + 1)(6 + 1) = 11(7) 34759123141 = 14 277 369 42348 781 = 292 68397 561 = 3

4759123141 = (4759025580 + 97561)97561 = (4759074360 + 48781)48781 = (48780 + 1)

(97560 + 1) = 4878197561

341550071728321 = (341550039718164 + 32010157)32010157 = (341550061058268 +

10670053)10670053 = (10670052 + 1)(32010156 + 1) = 1067005332010157

2^67 ndash 1 = 147 573 952 589 676 412 927 = 761 838 257 287193 707 721

50000000000000000000000000000000000000000000000000000003 =

101025954401325674065508514949223226476531491438676389953

1 000 000 000 037 = 5318867924529 = 5359349916319

(10^24+37) = 53188679245283018867924529 = 53197969539878628473706469

100000000000000000000000000000000000000000000000000000067 =

449222717149220489977728285077951002227171492204899777283

(10^⁵⁹ + 3) = 31^2104 058 272 632 674 297 606 659 729 448 491 155 046 826 222 684 703 433 923

(10^⁵⁹ + 67) = 1161862539982320229914759854091090347403953640469105164386261

1020030004000050000060000007 = 11101103140411513057112373564559

102003000400005000006000000711 = 92730000363640909096363637

92730000363640909096363637101 = 918118815481593159369937

918118815481593159369937103 = 8913774907588283100679

8913774907588283100679140411 = 63483451493033189

634834514930331895130571 = 12373564559

1237356455912373564559 = 1

341550071728321 = 1067005332010157

10^37+37 = 531886792452830188679245283018867924529 = 5367099029216397 1473379

97692443917177103 (10^89+37) = 5318 867 924 528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924

528 301 886 792 452 830 188 679 245 283 018 867 924 529

13

1671 16671 16667 = 72381 1666671 1666667 = 4735461 16666667 = 197391187 166666667 =

22212287328121 16666666666667= 89251746079353 1666666666666671 1666666666666667 =

12922571289733131 16666666666666667 = 76165701594085421 166 666 666 666 666 667 =

171311 42752 445 056 723 1 666 666 666 666 666 667 = 2364360 6891 856 948 927

16 666 666 666 666 666 667 = 155 977 777106 852 828 571

166 666 666 666 666 666 667 = 107 1 557 632 398 753 894 081

1 666 666 666 666 666 666 667 = 8311 6991 716 413 478 514 451

16 666 666 666 666 666 666 667 = 7^219 96117 040 030 781 111 603

166 666 666 666 666 666 666 667 = 6565712566737312019971201

1 666 666 666 666 666 666 666 667 = 29263153 7011 542 089 921 953 189

16 666 666 666 666 666 666 666 667 = 19298 9932 933 824 479 021 717 401

166 666 666 666 666 666 666 666 667 = 1271 312 335 958 005 249 343 832 021

1 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 1 531142 895 917 1477 618 224 009 731

16 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 717 041445 847313 378 923 550 840 603

166 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 4384 623 84345 802 327 746 425 579 083

1 666 666 666 666 666 666 666 666 666 667 = 67 24 875 621 890 547 263 681 592 039 801

REKORDY LICZB PIERWSZYCH

Im wartości liczbowe stają się większe tym ilość liczb pierwszych coraz rzadsza Tylko 4 liczb w

25000000000 liczbach to liczby pierwsze Ten nieroacutewny nieprzewidywalny rozkład liczb pierwszych

wśroacuted liczb naturalnych przyczynia się do trudności w zlokalizowaniu kandydatoacutew do dużych liczb

pierwszych i określenia czy wybrany kandydat jest liczbą pierwszą

Oto liczby pierwsze znajdujące się wśroacuted 100 liczb powyżej 10sup1sup2 10sup2⁴ 10sup3⁶ 10⁴⁸ 10⁵⁷ 10⁶⁰ 10⁷sup1 10⁷sup2 Dla przykładu wśroacuted 100 liczb pomiędzy 100 000 000 000 do 100 000 000 100 są 4 liczby pierwsze ale popatrz ile ich jest w 100 liczbach powyżej 10sup2⁴ tylko dwie liczby pierwsze powyżej10sup3⁶ tylko 1 liczba pierwsza powyżej10⁴⁸ żadnej liczby pierwszej powyżej 10⁵⁷ roacutewnież żadnej liczby pierwszej powyżej 10⁶⁰ są 4 liczby pierwsze powyżej 10⁷sup1 znoacutew żadna liczba pierwsza i powyżej 10⁷sup2 znoacutew 1 liczba pierwsza

14

Znając właściwości liczb pierwszych możemy rozglądnąć się za rekordowymi liczbami pierwszymi

Następnych dziesięć liczb pierwszych po (10^99+1) to

(10^99+2)2 =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000001(10^99+3) =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

15

0000000000000000000000000000250000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000003 = 3166 666 666

666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666

666 666 666 666 666 666 667

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000003

(10^99+62)2 =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000031(10^99+63) =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000006250000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000019533 =

1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

6666666666666666666666666668750000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000065116666666666

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

666666666666666677 =

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000063

(10^9999+2)2(10^9999+3) = 3166666667(10^9999+3)

(10^9999+62)2(10^9999+63) = 3166666677(10^9999+63)

(10^99999+62)2(10^99999+63) = 3166666666hellip677(100000000hellip063)

A oto rekordy liczb pierwszych o 10 000 000 100 000 000 i 1 000 000 000 cyfr składające się z

określonych iloczynem połowy poprzedzającej liczby parzystej par składnikoacutew i danej liczby ktoacutery

rozkłada się na czynniki pierwsze do danej liczby 1022103 = 51103 = 52533 = 175117 = 1031

potwierdzając w ten sposoacuteb że 51 par skrajnych składnikoacutew liczby 103 = (102 + 1)1 = (101 + 2)1

(100 + 3)1 nie mają wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 co oznacza że dana liczba jest liczbą

pierwszą

Przy bardzo wielkich liczbach takich jak te rekordy zasada braku wspoacutelnego dzielnika większego od 1 w parach składnikoacutew (s + s)1 = (s + s )1 = p jest certyfikatem potwierdzającym jej niepodzielność przez inne liczby Wszystkie moje rekordy liczb pierwszych zostały utworzone przy zastosowaniu tej metody Liczby pierwsze i ich wielokrotności mają dla matematykoacutew tak wielkie znaczenie że każdy przełom

w lepszym poznaniu ich natury ma epokowe znaczenie

16

PODSTAWOWY PORZĄDEK Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z ich naturalnej kolejności Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby troacutejkątne 1 = (11) 1 + 2 = 3 = (215) 1 + 2 + 3 = 6 = (32) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (425) ktoacutere można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 05 większego215 = 3 32 = 6 Podobnie poprzez dodawanie par skrajnych składnikoacutew powstają liczby pierwsze 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 5 = (4 + 1) = (3 + 2) 7 = (6 + 1) = (5 + 2) = (4 + 3) a więc stale największa do najmniejszej (2 + 1) (4 + 1) (6 + 1) W ten sposoacuteb dodając do siebie dziewięć kolejnych liczb (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5) dających zawsze identyczne sumy pośrednie widzimy że są do siebie odwrotnie proporcjonalne bo gdy jeden składnik maleje to drugi rośnie

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych 9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9 tworzą 17 par skrajnych składnikoacutew ktoacutere użyte jako czynniki (91) = 9 (82) = 16 (73) = 21 (64) = 24 (55) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25 co dowodzi że te czynniki czyli wszystkie liczby naturalne są do siebie odwrotnie proporcjonalne

17

Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty do ktoacuterej zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (91)1 8 = (82)2 7 = (73)3 6 = (64)4 5 = (55)5)

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola ktoacutera pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10 znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy gdy iloczyn w procesie zmian jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej jest stały x₁y₁ = x₂y₂ == k To że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy kroacutetko π(x) (Σ(n+n)frac12N)N 4 = (85)10 25 = (5050)100 to znaczy gdy iloczyn ilości składnikoacutew liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość będzie mniejszy

Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą czy

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

14

Znając właściwości liczb pierwszych możemy rozglądnąć się za rekordowymi liczbami pierwszymi

Następnych dziesięć liczb pierwszych po (10^99+1) to

(10^99+2)2 =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000001(10^99+3) =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

15

0000000000000000000000000000250000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000003 = 3166 666 666

666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666

666 666 666 666 666 666 667

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000003

(10^99+62)2 =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000031(10^99+63) =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000006250000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000019533 =

1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

6666666666666666666666666668750000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000065116666666666

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

666666666666666677 =

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000063

(10^9999+2)2(10^9999+3) = 3166666667(10^9999+3)

(10^9999+62)2(10^9999+63) = 3166666677(10^9999+63)

(10^99999+62)2(10^99999+63) = 3166666666hellip677(100000000hellip063)

A oto rekordy liczb pierwszych o 10 000 000 100 000 000 i 1 000 000 000 cyfr składające się z

określonych iloczynem połowy poprzedzającej liczby parzystej par składnikoacutew i danej liczby ktoacutery

rozkłada się na czynniki pierwsze do danej liczby 1022103 = 51103 = 52533 = 175117 = 1031

potwierdzając w ten sposoacuteb że 51 par skrajnych składnikoacutew liczby 103 = (102 + 1)1 = (101 + 2)1

(100 + 3)1 nie mają wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 co oznacza że dana liczba jest liczbą

pierwszą

Przy bardzo wielkich liczbach takich jak te rekordy zasada braku wspoacutelnego dzielnika większego od 1 w parach składnikoacutew (s + s)1 = (s + s )1 = p jest certyfikatem potwierdzającym jej niepodzielność przez inne liczby Wszystkie moje rekordy liczb pierwszych zostały utworzone przy zastosowaniu tej metody Liczby pierwsze i ich wielokrotności mają dla matematykoacutew tak wielkie znaczenie że każdy przełom

w lepszym poznaniu ich natury ma epokowe znaczenie

16

PODSTAWOWY PORZĄDEK Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z ich naturalnej kolejności Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby troacutejkątne 1 = (11) 1 + 2 = 3 = (215) 1 + 2 + 3 = 6 = (32) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (425) ktoacutere można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 05 większego215 = 3 32 = 6 Podobnie poprzez dodawanie par skrajnych składnikoacutew powstają liczby pierwsze 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 5 = (4 + 1) = (3 + 2) 7 = (6 + 1) = (5 + 2) = (4 + 3) a więc stale największa do najmniejszej (2 + 1) (4 + 1) (6 + 1) W ten sposoacuteb dodając do siebie dziewięć kolejnych liczb (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5) dających zawsze identyczne sumy pośrednie widzimy że są do siebie odwrotnie proporcjonalne bo gdy jeden składnik maleje to drugi rośnie

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych 9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9 tworzą 17 par skrajnych składnikoacutew ktoacutere użyte jako czynniki (91) = 9 (82) = 16 (73) = 21 (64) = 24 (55) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25 co dowodzi że te czynniki czyli wszystkie liczby naturalne są do siebie odwrotnie proporcjonalne

17

Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty do ktoacuterej zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (91)1 8 = (82)2 7 = (73)3 6 = (64)4 5 = (55)5)

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola ktoacutera pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10 znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy gdy iloczyn w procesie zmian jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej jest stały x₁y₁ = x₂y₂ == k To że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy kroacutetko π(x) (Σ(n+n)frac12N)N 4 = (85)10 25 = (5050)100 to znaczy gdy iloczyn ilości składnikoacutew liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość będzie mniejszy

Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą czy

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

15

0000000000000000000000000000250000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000003 = 3166 666 666

666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666

666 666 666 666 666 666 667

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000003

(10^99+62)2 =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000031(10^99+63) =

5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000006250000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000019533 =

1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

6666666666666666666666666668750000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000000000000000000000000065116666666666

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

666666666666666677 =

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000063

(10^9999+2)2(10^9999+3) = 3166666667(10^9999+3)

(10^9999+62)2(10^9999+63) = 3166666677(10^9999+63)

(10^99999+62)2(10^99999+63) = 3166666666hellip677(100000000hellip063)

A oto rekordy liczb pierwszych o 10 000 000 100 000 000 i 1 000 000 000 cyfr składające się z

określonych iloczynem połowy poprzedzającej liczby parzystej par składnikoacutew i danej liczby ktoacutery

rozkłada się na czynniki pierwsze do danej liczby 1022103 = 51103 = 52533 = 175117 = 1031

potwierdzając w ten sposoacuteb że 51 par skrajnych składnikoacutew liczby 103 = (102 + 1)1 = (101 + 2)1

(100 + 3)1 nie mają wspoacutelnego dzielnika większego niż 1 co oznacza że dana liczba jest liczbą

pierwszą

Przy bardzo wielkich liczbach takich jak te rekordy zasada braku wspoacutelnego dzielnika większego od 1 w parach składnikoacutew (s + s)1 = (s + s )1 = p jest certyfikatem potwierdzającym jej niepodzielność przez inne liczby Wszystkie moje rekordy liczb pierwszych zostały utworzone przy zastosowaniu tej metody Liczby pierwsze i ich wielokrotności mają dla matematykoacutew tak wielkie znaczenie że każdy przełom

w lepszym poznaniu ich natury ma epokowe znaczenie

16

PODSTAWOWY PORZĄDEK Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z ich naturalnej kolejności Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby troacutejkątne 1 = (11) 1 + 2 = 3 = (215) 1 + 2 + 3 = 6 = (32) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (425) ktoacutere można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 05 większego215 = 3 32 = 6 Podobnie poprzez dodawanie par skrajnych składnikoacutew powstają liczby pierwsze 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 5 = (4 + 1) = (3 + 2) 7 = (6 + 1) = (5 + 2) = (4 + 3) a więc stale największa do najmniejszej (2 + 1) (4 + 1) (6 + 1) W ten sposoacuteb dodając do siebie dziewięć kolejnych liczb (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5) dających zawsze identyczne sumy pośrednie widzimy że są do siebie odwrotnie proporcjonalne bo gdy jeden składnik maleje to drugi rośnie

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych 9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9 tworzą 17 par skrajnych składnikoacutew ktoacutere użyte jako czynniki (91) = 9 (82) = 16 (73) = 21 (64) = 24 (55) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25 co dowodzi że te czynniki czyli wszystkie liczby naturalne są do siebie odwrotnie proporcjonalne

17

Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty do ktoacuterej zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (91)1 8 = (82)2 7 = (73)3 6 = (64)4 5 = (55)5)

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola ktoacutera pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10 znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy gdy iloczyn w procesie zmian jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej jest stały x₁y₁ = x₂y₂ == k To że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy kroacutetko π(x) (Σ(n+n)frac12N)N 4 = (85)10 25 = (5050)100 to znaczy gdy iloczyn ilości składnikoacutew liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość będzie mniejszy

Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą czy

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

16

PODSTAWOWY PORZĄDEK Jak się mają wszystkie liczby nawzajem do siebie wynika z ich naturalnej kolejności Dodając jedną do drugiej otrzymujemy coraz większe liczby troacutejkątne 1 = (11) 1 + 2 = 3 = (215) 1 + 2 + 3 = 6 = (32) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = (425) ktoacutere można przedstawić jako iloczyn kolejnych liczb i czynnika stale o 05 większego215 = 3 32 = 6 Podobnie poprzez dodawanie par skrajnych składnikoacutew powstają liczby pierwsze 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 5 = (4 + 1) = (3 + 2) 7 = (6 + 1) = (5 + 2) = (4 + 3) a więc stale największa do najmniejszej (2 + 1) (4 + 1) (6 + 1) W ten sposoacuteb dodając do siebie dziewięć kolejnych liczb (9 + 1) = (8 + 2) = (7 + 3) = (6 + 4) = (5 + 5) dających zawsze identyczne sumy pośrednie widzimy że są do siebie odwrotnie proporcjonalne bo gdy jeden składnik maleje to drugi rośnie

Takie malejące i rosnące ciągi liczb naturalnych 9-8-7-6-5-4-3-2-1-2-3-4-5-6-7-8-9 tworzą 17 par skrajnych składnikoacutew ktoacutere użyte jako czynniki (91) = 9 (82) = 16 (73) = 21 (64) = 24 (55) = 25 dają iloczyny rosnące według malejących liczb nieparzystych 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 + 1 = 25 co dowodzi że te czynniki czyli wszystkie liczby naturalne są do siebie odwrotnie proporcjonalne

17

Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty do ktoacuterej zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (91)1 8 = (82)2 7 = (73)3 6 = (64)4 5 = (55)5)

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola ktoacutera pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10 znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy gdy iloczyn w procesie zmian jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej jest stały x₁y₁ = x₂y₂ == k To że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy kroacutetko π(x) (Σ(n+n)frac12N)N 4 = (85)10 25 = (5050)100 to znaczy gdy iloczyn ilości składnikoacutew liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość będzie mniejszy

Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą czy

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

17

Na wykresie punktowym malejący i rosnący ciąg liczb naturalnych tworzą wiązkę prostych przecinających się dokładnie w połowie tak jak linie asymptoty do ktoacuterej zbliżają się punkty wyrażające ich wartość (9 = (91)1 8 = (82)2 7 = (73)3 6 = (64)4 5 = (55)5)

Wykresem funkcji proporcjonalności odwrotnej jest parabola ktoacutera pokazuje jak linie paraboli wyrażającej odwrotną proporcjonalność 4 liczb pierwszych do 10 znajdują odbicie w odległościach pomiędzy liczbami wyrażającymi odwrotną proporcjonalność 25 liczb pierwszych do 100 9 + 7 = 16 + 5 = 21 + 3 = 24 Proporcjonalność odwrotna zachodzi między wielkościami zmiennymi x i y wtedy gdy iloczyn w procesie zmian jak następuje podwojenie jednej wielkości połączone ze zmniejszeniem o połowę drugiej jest stały x₁y₁ = x₂y₂ == k To że ilość liczb pierwszych π(x) jest odwrotnie proporcjonalna do danej wielkości N piszemy kroacutetko π(x) (Σ(n+n)frac12N)N 4 = (85)10 25 = (5050)100 to znaczy gdy iloczyn ilości składnikoacutew liczb pierwszych i połowy danej wielkości jest stały to iloraz wskazujący ilość liczb pierwszych im większa jest dana wielkość będzie mniejszy

Tak podstawowe liczby nie są określane przez naturę metodą przypadkowego rzutu monetą czy

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

18

kostką ndash Boacuteg nie gra ze światem w kości ndash lecz oparte na odwiecznych prawach proporcjonalności odwrotnej Przypadek i chaos są dla matematyki po prostu nie do przyjęcia

ROZMIESZCZENIE LICZB PIERWSZYCH

Lepsze zrozumienie liczb pierwszych wiąże się dla matematyka z nadzieją znalezienia nowych droacuteg przez przygniatającą kompleksowość świata matematyki Mimo ich pozornej prostoty i zasadniczego charakteru były liczby pierwsze najbardziej tajemniczymi obiektami jakie matematycy badali Pytania o rozmieszczenie liczb pierwszych należały do najtrudniejszych Długi czas były to pytania natury czysto teoretycznej jednak dziś liczby pierwsze znalazły zastosowanie w roacuteżnych dziedzinach Nagle pojawia się roacutewnież zainteresowanie gospodarcze pytaniem czy dowoacuted przypuszczenia Riemanna może nam coś powiedzieć o rozmieszczeniu liczb pierwszych w świecie liczb Od stuleci na proacuteżno szukano magicznej formuły do sporządzenia listy liczb pierwszych może nadszedł więc czas by podejść do sprawy z nową strategią Jak dotąd wydawało się że liczby pierwsze pojawiają się zupełnie przypadkowo Takie nastawienie nie pozwala oczywiście by można było przewidzieć jaka będzie liczba pierwsza po liczbie 10 000 Nie pytanie o ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb lecz obserwacja odstępoacutew między dwoma liczbami pierwszymi naprowadziła mnie na pewną regularność z jaką się pojawiają 2 3 5-2-7-4- 11-2- 13-4- 17-2- 19-4- 23 a więc 2 4 2 4 to jest najmniejszy odstęp w całym nie kończącym się ciągu liczb pierwszych Po 23 liczba pierwsza 29 przychodzi jednak w odstępie 6 (23 -2- 25 -4- 29) ponieważ między nimi jest miejsce dla pierwszego produktu liczb pierwszych iloczynu liczby pierwszej 5 = 25 = 5(5) Odtąd wszystkie iloczyny liczby pierwszej jako produkt liczb pierwszych będą zajmowały wolne miejsce w ciągu liczb pierwszych zachowując odstępy ndash 2 ndash 4 ndash 2 ndash 4 Całe pokolenia nuta po nucie słuchały muzyki liczb pierwszych nie były jednak w stanie uchwycić tej kompozycji w całości Dla mnie stało się jasne że liczby pierwsze i ich iloczyny pojawiają się w interwałach 2 i 4 2 + 3 = 5 + 2 = 7 + 2 = 9 + 4 = 13 + 2 = 15 + 4 = 19 + 2 = 21 + 4 = 25 + 2 = 27 + 4 = 31 + 2 = 33 + 4 = 37 + 2 = 39 + 4 = 43 + 2 = 45 + 4 = 49 + 2 = 51 + 4 = 55 7 + 4 = 11 + 2 = 13 + 4 = 17 + 2 = 19 + 4 = 23 + 2 = 25 + 4 = 29 + 2 = 31 + 4 = 35 + 2 = 37 + 4

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

19

Liczby pierwsze nie pojawiają się jak chwasty pomiędzy liczbami naturalnymi pozornie nie podlegając innym prawom jak prawu przypadku i nikt nie może przewidzieć gdzie pojawi się następna lub rozpoznać czy dana liczba jest pierwsza

Z tej listy liczb pierwszych ułożonych kolejno wyczytać można ile liczb pierwszych i bliźniaczych jest do 100 = 2514 i do 1000 = 16868 ale nic poza tym Jeżeli chodzi o odszukiwanie wzoroacutew i porządku to liczby pierwsze nie są więcej niedościgłym wezwaniem Wiedząc w jakim odstępie pojawi się następna liczba pierwsza lub ich iloczyn łatwo możemy całą ich listę zestawić A gdy do tego mamy jeszcze wskazoacutewki jak określić następną liczbę w ciągu czy jest pierwszą lub złożoną to i lista liczb pierwszych nie jawi nam się jako chaotyczna i przypadkowa Dwa fakty są decydujące jeżeli chodzi o rozmieszczenie liczb pierwszych o ktoacuterych mam nadzieję Was przekonać do tego stopnia że pozostanie to na zawsze w pamięci Pierwszy to że liczby pierwsze mimo swej prostej definicji i roli jako cegiełki liczb naturalnych same dla siebie są cegiełkami tzn każda liczba pierwsza większa niż 3 jest sumą swoich poprzednikoacutew czyli sześciu liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 11 + 13 + 29 = 63 = 3(3)7) i n ndash tej wielokrotności liczby pierwszej 7 2 3 5 11 13 29 + n(7) = p 2 = 2 3 = 3 4(2) + 3(7) = 29 5 + 8(7) = 61 2 + 3 = 5 3 + 4(7) = 31 11 + 8(7) = 67 5 + 2 = 7 2 + 5(7) = 37 29 + 6(7) = 71 2(2) + 7 = 11 13 + 4(7) = 41 3 + 10(7) = 73 2(3) + 7 = 13 29 + 2(7) = 43 2 + 11(7) = 79 3 + 2(7) = 17 5 + 6(7) = 47 13 + 10(7) = 83 5 + 2(7) = 19 11 + 6(7) = 53 5 + 12(7) = 89 2 + 3(7) = 23 3 + 8(7) = 59 13 + 12(7) = 97 2 + 15(7) = 107 3 + 14(7) = 101 5 + 14(7) = 103 11 + 14(7) = 109 13 + 18(7) = 139 29 + 12(7) = 113 3 + 148(7) = 1 039 29 + 1430(7) = 10 039 5 + 142 862(7) = 1 000 039 5 + 142 857 142 862(7) = 1 000 000 000 039

3 + 1(7) = 10

2 + 14(7) = 100

6 + 142(7) = 1 000

4 + 1 428(7) = 10 000

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

20

5 + 14 285(7) = 100 000

1 + 142 857(7) = 100E+06

3 + 1 428 571(7) = `100E+07

2 + 14 285 714(7) = 100E+08

6 + 142 857 142(7) = 100E+09

4 + 1 428 571 428(7) = 100E+10

5 + 14 285 714 285(7) = 100E+11

1 + 142 857 142 857(7) = 100E+12

3 + 1 428 571 428 571(7) = 100E+13

2 + 14 285 714 285 714(7) = 100E+14

6 + 142 857 142 857 142(7) = 100E+15

4 + 1 428 571 428 571 428(7) = 100E+16

5 + 14 285 714 285 714 285(7) = 100E+17

4 + 1428 571 428e99(7) = 100E+100

4 + 1428 571 428e999(7) = 100E+1000

4 + 1428 571 428e99 999 999(7) = 100E+100 000 000

4 + 1428 571 428e999 999 999(7) = 100E+1000 000 000

Drugi fakt jest jeszcze bardziej zaskakujący gdyż moacutewi że liczby pierwsze są ogromnie regularnie rozmieszczone i podlegają prawu przystawania według modułu 7 z nadzwyczajną dokładnością Ponieważ wszystkie liczby naturalne (1234567890) przystają do siebie według modułu 7 jak to pokazuje poniższy wykres to i liczby pierwsze

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

21

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśroacuted liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne ale nie jest znany żaden wzoacuter ktoacutery pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposoacuteb bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa chyba że uwzględnimy wzoacuter (x sup2 - x)2 = p (x = p) lub (plt x) = p(prsquo) ktoacutery pozwala rozłożyć każdą liczbę złożoną na czynniki pierwsze U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży bowiem rozkład ich iloczynoacutew na czynniki pierwsze ktoacutere przez przystawanie według modułu 7 wyodrębniają znaczną część iloczynoacutew liczby 3 5 i 7 Według małego twierdzenia Fermata liczby do potęgi (p ndash 1) minus jeden są bez reszty podzielne przez liczbę pierwszą Np - 1 = 999 9997 = darr - 142 857 857 142 Dowoacuted

gdy a ne p p ge 3 a ge 2 = 64 ndash 1 = 637 = 729 ndash 1 = 7287 Podobnie

przy ułamkach 17 = 0142 857 142 857 1hellip 27 = 02857 142857 14 hellip 37 = 042857 142857 1 hellip 47 = 057 142857 142857 1 57 = 07 142587 142587 1 67 = 0857 142587 142587 87 = 1142857 142857 97 = 12857 142857 14 107 = 142857 142857 hellip 117 = 157 142857 1428hellip 127 = 17 142857 14285hellip 137 = 1857 142857 142hellip gdzie iloraz w rozwinięciu dziesiętnym od jakiegoś miejsca po przecinku zaczyna powtarzać sześciocyfrowe liczby w nieskończoność zaczynające się od 1 a kończące na 7 W praktyce oznacza to że każda sześciocyfrowa kombinacja liczb Np (x x x x x x)7 (x y x y x y)7 (y x y x y x)7 (xyz xyz)7 (zxy zxy)7 (yzx yzx)7 (zyx zyx)7 (yxz yxz)7 (xzy xzy)7 i ich wielokrotności dzielą się bez reszty przez 7 111 111 111 111 111 1117 = 15 873 015 873 015 873

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

22

Wiemy już ktoacutere liczby i dlaczego są pierwsze czas zapytać ile ich jest i jak są rozmieszczone w ciągu

liczb naturalnych Oto spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19

21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73

75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103 105 107

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb nieparzystych tworzy dwa bliźniacze przeplatające się ciągi o

stałym odstępie 2 w ktoacutery od kwadratu każdej liczby pierwszej wplatają się ich iloczyny w odstępach

2p ndash 4p ndash 2p (9 ndash 15 ndash 21 25 ndash 35 ndash 55 49 ndash 77 ndash 91) Helikoidalna struktura arytmetycznego ciągu

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew pokazuje stałą roacuteżnicę pomiędzy dwoma następującymi członami

tzn istnieje taka liczba d Є R posiadająca własności ktoacutere odnoszą się do wszystkich n Є N middotmiddot+1middotmiddotmiddotmiddot = d

11 ndash 5 = 6 = 13 ndash 7

2 + 3 = 5 ndash 2 ndash 7 ndash 4 - 11 ndash 2 ndash 13 - 4 - 17 ndash 2 ndash 19 ndash 4 - 23 ndash 2 ndash 25 ndash 4 - 29 ndash 2 ndash 31 ndash 4 - 35 ndash 2 ndash 37

Dlatego mimo że w hipotezie Riemanna funkcja rozmieszczenia liczb pierwszych π(x) jest funkcją

stopniową małych poważnych nieprawidłowości to w podwoacutejnym ciągu arytmetycznym liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew o stałym odstępie D = 6 widzimy zaskakującą gładkość Roacutewnomierność z

jaką ten wykres rośnie nie zawdzięcza on wyrażonej liczbie liczb pierwszych do danej wielkości N

ktoacutere mogą być zlokalizowane funkcją logarytmiczną ale ich regularnemu rozmieszczeniu ktoacutere

pochodzi od stałej roacuteżnicy d = 6 pomiędzy członami podwoacutejnego ciągu arytmetycznego liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew

Jeżeli wszystkie liczby naturalne uszeregujemy w 6 kolumnach od 1 do nieskończoności to

najmniejsza odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w dwoacutech roacutewnoległych kolumnach będzie

wynosić 6 natomiast iloczyny liczb pierwszych narastają warstwowo co 6(p)(57111317192329)

tzn 30426678102114138174 liczb i to powoduje ten roacutewnomierny wzrost jednych i drugich liczb

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

23

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

24

Do 100 mamy 16 iloczynoacutew liczby 3(9152127333945515763697581879399) w ciągu o stałej

roacuteżnicy d = 6 wspoacutelnej dla pozostałych 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew co pozwala na

utworzenie (50 ndash 16) = 34 2 ciągoacutew liczb pierwszych i ich iloczynoacutew po 17 liczb (25 + 9) = 342 = 17

Czyż można sobie wyobrazić bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

25

Jeżeli wszystkie liczby nieparzyste uszeregujemy w kolumnach po 35 liczb to wprawdzie odstępy

pomiędzy liczbami pierwszymi będą rosły od 2 4 6 8 do coraz większych lecz w rzędach pomiędzy

kolumnami stałą pozostaje najmniejsza odległość 70 = 10(7) a reszta jest n - tą wielokrotnością liczby

7 (13-83-223 17-157 19-89 23-163 29-239 31-101 37-107)

Spośroacuted tego barwnego wzoru jaki na liście liczb pierwszych zostawiają iloczyny liczb pierwszych

wplatając się w ten ciąg w stałych odległościach iloczyny liczb 3 co 72 5 co n(70) 7 co n(70) 11 co 66

13 co 78 17 co 68 19 co 76142 23 co 138 29 co 58 31 co 62124) liczb wyraźnie widzimy jak

liczby pierwsze formują się w dwa krzyżujące się ukośnie ciągi jeden co n(70) liczb drugi co 72 liczb

ktoacutere w 11 kolumnach zostawiają miejsce dla wyodrębnionych przez przystawanie iloczynoacutew liczb 3

5 i 7 Lista liczb pierwszych to bicie serca matematyki a ten puls jest napędzany wielokrotnością

liczby pierwszej 7 w rytmie na n(7) (3 + 10(7) = 73 + 30(7) = 283) w 24 kolumnach

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

26

Ten puls napędzany wielokrotnością liczby pierwszej 7 w rytmie na 2(7) i 4(7) w kolumnach (5 + 2(7) =

19 + 4(7) = 47 + 2(7) = 61 + 4(7) = 89) daje stały odstęp D ndash 6 w trzech roacutewnoległych spiralnych

ciągach 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 i 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 ndash 31 ndash 37 ndash 43 9 ndash 15 ndash 21 ndash 27 ndash 33 ndash 39 ndash 45

Skoro odległość pomiędzy liczbami pierwszymi w kolumnach jest zawsze wielokrotnością liczby 7 to

znaczy że wszystkie liczby pierwsze przystają do siebie według modułu 7 Dlatego od liczby 7

zajmują miejsca tylko po liczbach parzystych o zakończeniu jednostkowym 0 ndash 2 ndash 6 ndash 8 ktoacutere

przystają do siebie według modułu 7 10 11 12 13 16 17 18 19

- 70 - 82 83 - 70 - 88 89

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

27

Poniższy wykres pierścieniowy ilustruje przystawanie liczb pierwszych według modułu 7

Ten spiralnie rozwijający się ciąg liczb pierwszych tworzy 24 kolumny przylegających do siebie

według modułu 7 liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 5 7 ktoacutere na wykresie radarowym

układają się w 12 podwoacutejnych wiroacutew o stałym odstępie p ndash n(72)

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

28

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy 7 zygzakowatych ciągoacutew iloczynoacutew liczby 5

przylegających do siebie według modułu 7 a zaczynających się od liczb 25 35 55 65 85

115 145 oraz 4 ciągi iloczynoacutew liczby 7 zaczynających się od liczb 49 77 91 133 a także

24 ciągi mieszane liczb pierwszych i ich iloczynoacutew zaczynających się od liczb 2 3 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 79 97 103 109 127 139 191

Panujący tu gołym okiem widzialny porządek przeczący wszelkiej przypadkowości i

nieprzewidywalności oproacutecz dużych waloroacutew estetycznych ma dla nas znaczenie praktyczne

Wykorzystamy go do obliczenia funkcji zliczającej liczby pierwsze π(x) czyli liczbę liczb pierwszych

mniejszych od danej liczby N

Natura zarezerwowała być może odkrycie liczb pierwszych 13 i 17 dla cykad ale matematycy szukają

bardziej systematycznego sposobu aby znaleźć liczby pierwsze Z wszystkich tych wyzwań lista liczb

pierwszych stoi powyżej wszystkich innych dla ktoacuterej matematycy poszukują jakieś tajne formuły A

ta jest bardzo prosta p ndash n(70) ndash prsquo rarr n(7)350 czytaj ndash liczby pierwsze uszeregowane według

charakterystycznych dla nich liczb jedności k + 1 k + 3 k + 7 k + 9 rozmieszczone są według formuły

liczba pierwsza plus n ndash ta wielokrotność liczby 7 (31 ndash 70 ndash 101 ndash 140 ndash 241 23 ndash 140 ndash 163 ndash 70 ndash

233 17 ndash 140 ndash 157 ndash 70 - 227 19 ndash 70 ndash 89 ndash 140 ndash 229) zaś odstępy pomiędzy wierszami są n ndash tą

wielokrotnością liczby 7(3 ndash 73 79 ndash 149)

U podstaw rozmieszczenia liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych leży sama budowa liczb

nieparzystych składających się z dwoacutech połoacutewek poprzedzającej i następującej liczby parzystej (2k +

1) = (2n + 2nrsquo)2 ktoacutere są większe jedna od drugiej zawsze o 1 (un = u2-1 + un+1) 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5

czyli na utworzenie 35 liczb nieparzystych potrzeba 35 kolejnych liczb naturalnych dodawanych

podwoacutejnie co daje 35 liczb nieparzystych większych od 2 do 69 Aby obliczyć ile liczb pierwszych

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

29

znajduje się w tym ciągu do liczby 70 dzielimy ją przez 2 i od 35 to jest liczby liczb nieparzystych

odejmujemy 11 iloczynoacutew liczby 3 (9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69) 4 iloczyny liczby 5 (25 35

55 65) i 1 iloczyn liczby 7 (49) 11 + 4 + 1 = 16 35 ndash 16 = 19 i tyle liczb pierwszych jest w tym ciągu

czyli mamy wzoacuter π(x) = frac12N ndash Σp(prsquo) Czyli ilość liczb pierwszych do danej wielkości jest roacuteżnicą

pomiędzy połową danej wielkości a sumą iloczynoacutew liczb pierwszych w danej wielkości

Ciąg liczb nieparzystych jako suma dwoacutech kolejno następujących po sobie liczb naturalnych (1 + 2 =

3 2 + 3 = 5 3 + 4 = 7 4 + 5 = 9) w rzeczywistości jest splotem 3 ciągoacutew o stałym odstępie d = 6

pomiędzy wyrazami w dwoacutech ciągach liczb pierwszych i ich iloczynoacutew oraz ciągu samych iloczynoacutew

liczby 3 5 ndash 11 ndash 17 ndash 23 ndash 29 ndash 35 7 ndash 13 ndash 19 ndash 25 9 ndash 15 ndash 21 przy czym iloczyny liczb

pierwszych wplatają się w ten ciąg od kwadratu liczby pierwszej w odstępach co 2p ndash 4p ndash 2p 25 ndash

2(5) - 35 ndash 4(5) - 55 ndash 2(5) - 65 49 ndash 4(7) ndash 77 ndash 2(7) ndash 91 Wyobraźmy więc sobie taki ciąg iloczynoacutew

liczby 3 (9 ndash 153 = 5 ndash 213 = 7 ndash 27 ndash 333 = 11) do ktoacuterego doczepić można iloczyny pozostałych

liczb pierwszych od jej kwadratu (15 - 25 ndash 35 ndash 55 ndash 65) (21 ndash 49 ndash 77 ndash 91) (33 ndash 121 ndash 143 ndash 187 ndash

209) Ponieważ wzoacuter ogoacutelny liczb nieparzystych to (2n + 1) = k ten sam efekt uzyskamy biorąc

połowę liczby parzystej przed nimi stojącej do ktoacuterej dodajemy kolejno wartości liczby pierwszej 4 ndash

(7 + 5 = 12 + 5 = 17) ndash (10 + 14 = 24 + 14 = 38 + 7 = 45) ndash (16 + 44 = 60 + 11 = 71 + 22 = 93 + 11 = 104

+ 22 = 126) A oto tabela 11 ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych wraz z połoacutewkami poprzedzającej

liczby parzystej zaczynające się od kwadratu danej liczby (25 - 12 121 - 60 289 ndash 144 529 ndash 264 841

ndash 420 1369 ndash 684 1681 ndash 840 2209 ndash 1104 2809 ndash 1404 3481 ndash 1740 4489 ndash 2244) oraz 6 ciągoacutew

samych połoacutewek poprzedzającej liczby parzystej iloczynoacutew liczb (7 13 19 31 43 61) To pozwoli

nam łatwo obliczyć ile iloczynoacutew liczb pierwszych jest do danej wielkości

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

30

Twierdzenie

Jeżeli połowa parzystej części liczby nieparzystej po odjęciu od niej połowy parzystej części

trzykrotnego czynnika pierwszego 3 p = (3p ndash 1)2 =[3(5) ndash 1]2 = 142 = 7 [3(7) ndash 1]2 = 202 = 10

(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55 61 64 70 79 88 91 100) jest podzielna przez (5 7 11 13 17

19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67) to na pewno jest to liczba złożona

Dowoacuted [p(prsquo) ndash 1]2 ndash (3p ndash 1)2 = np [p(prsquo) ndash 1]2 ndash(7 10 16 19 25 28 34 43 46 55

61 64 70 79 88 91 100) = n(5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67)

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

31

2009 ndash 1 = 20082 = 1004 ndash 10 = 9947 = 142 2009 = 7(287) = 7(284 + 3)

1067 ndash 1 = 10662 = 533 ndash 16 = 51711 = 47 1067 = 11(97) = 11(94 + 3)

437 ndash 1 = 4362 = 218 ndash 28 = 19019 = 10 437 = 19(23) = 19(20 + 3)

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 43431 = 14 961 = 31(31) = 31(28 +3)

W każdym z tych ciągoacutew iloczynoacutew liczb pierwszych co trzecia liczba jest podzielna dodatkowo przez

3 a więc należy do ciągu iloczynoacutew liczby 3 i wszystkie muszą zostać odjęte od danego ciągu W ciągu

50 iloczynoacutew liczby 5 jest (50 ndash 2)3 = 16 iloczynoacutew liczby 3 a w ciągu 98 iloczynoacutew liczby 5 jest ich

32 A więc samych iloczynoacutew liczby 5 jest (98 ndash 32 = 66)

Ponieważ połoacutewki poprzedzającej liczby parzystej od kwadratu danej liczby rosną stale o tę samą

liczbę pierwszą stąd ostatnia połoacutewka w danym ciągu po odjęciu wartości połoacutewki pierwszego

iloczynu liczby 3 i 5 (15 ndash 7) oraz wartości n ndash tej ilości pozostałych iloczynoacutew (325 = 160) da nam

ilość iloczynoacutew liczby pierwszej w ciągu do danej wielkości [(n ndash a) ndash (np)]p = x [(497 ndash 7) ndash

(325)]5 = (490 ndash 160)5 = 3305 = 66 zaś do 95 mamy [(47 ndash 7) ndash (25)]5 = (40 ndash 10)5 = 305 = 6

Stąd widzimy że liczby te rosną w postępie geometrycznym an+1 = (anq) + 6 66 = 6(10) + 6 666 =

66(10) + 6 6666 = 666(10) + 6 Podobnie rośnie ilość iloczynoacutew liczby 3 Ostatnim iloczynem liczby 3

przed 100 jest 99 a liczba parzysta podzielna przez 6 tzn przez stały odstęp pomiędzy iloczynami to

100 ndash 4 = 966 = 16 1000 ndash 4 = 9966 = 166 10000 ndash 4 = 99966 = 1666 czyli 166 = 16(10) + 6 1666 =

166(10) + 6

Ostatnim iloczynem liczby 7 przed 100 jest 91 a połowa liczby parzystej przed nią stojącej 45 to

odejmując od niej wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczby 3 i 7 (21 ndash 10) oraz wartości

pozostałych iloczynoacutew (2 7 = 14) da nam ilość iloczynoacutew liczby 7 w ciągu do danej wielkości [(45 ndash

10) ndash 14]7 = (35 ndash 14)7 = 217 = 3 [(486 ndash 10) ndash (317)]7 = (476 ndash 217)7 = 2597 = 37 czyli długi

na 68 liczb ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 zawiera 68 ndash 31 = 37 liczb podzielnych tylko przez 7

[(4994 ndash 10) ndash (3327)]7 = (4984 ndash 2324)7 = 26607 = 380

N 2k + 1 98 ndash 32 68 ndash 31 43 ndash 23 35 - 19 25 - 15 23 ndash 15 20 -14 14 ndash 12 14 ndash 13

66 p(p)

0 3 7 + 5(n) 37 p(p)

1 5 25 10 + 7(n)

2 7 35 49 20 p(p)

3 9 45 63 16 + 11(n) 16 p(p)

4 11 55 77 121 19 + 13(n)

5 13 65 91 143 169 10 p(p)

6 15 75 105 165 195 25 + 17(n) 8 p(p)

7 17 85 119 187 221 289 28 + 19(n)

8 19 95 133 209 247 323 361 6 p(p)

9 21 105 147 231 273 357 399 34 + 23(n)

10 23 115 161 253 299 391 437 529

11 25 125 175 275 325 425 475 575 2 p(p)

12 27 135 189 297 351 459 513 621 43 + 29(n) 1 p(p)

13 29 145 203 319 377 493 551 667 841 46 + 31(n)

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

32

14 31 155 217 341 403 527 589 713 899 961

15 33 165 231 363 429 561 627 759 957 1023

16 35 175 245 385 455 595 665 805 1015 1085

17 37 185 259 407 481 629 703 851 1073 1147

18 39 195 273 429 507 663 741 897 1131 1209

19 41 205 287 451 533 697 779 943 1189 1271

20 43 215 301 473 559 731 817 989 1247 1333

21 45 225 315 495 585 765 855 1035 1305 1395

22 47 235 329 517 611 799 893 1081 1363 1457

23 49 245 343 539 637 833 931 1127 1421 1519

24 51 255 357 561 663 867 969 1173 1479 1581

25 53 265 371 583 689 901 1007 1219 1537 1643

26 55 275 385 605 715 935 1045 1265 1595 1705

27 57 285 399 627 741 969 1083 1311 1653 1767

28 59 295 413 649 767 1003 1121 1357 1711 1829

29 61 305 427 671 793 1037 1159 1403 1769 1891

30 63 315 441 693 819 1071 1197 1449 1827 1953

31 65 325 455 715 845 1105 1235 1495 1885 2015

32 67 335 469 737 871 1139 1273 1541 1943 2077

33 69 345 483 759 897 1173 1311 1587 2001 2139

34 71 355 497 781 923 1207 1349 1633 2059 2201

35 73 365 511 803 949 1241 1387 1679 2117 2263

36 75 375 525 825 975 1275 1425 1725 2175 2325

37 77 385 539 847 1001 1309 1463 1771 2233 2387

38 79 395 553 869 1027 1343 1501 1817 2291 2449

39 81 405 567 891 1053 1377 1539 1863 2349 2511

40 83 415 581 913 1079 1411 1577 1909 2407 2573

41 85 425 595 935 1105 1445 1615 1955 2465 2635

42 87 435 609 957 1131 1479 1653 2001 2523 2697

43 89 445 623 979 1157 1513 1691 2047 2581 2759

44 91 455 637 1001 1183 1547 1729 2093 2639 2821

45 93 465 651 1023 1209 1581 1767 2139 2697 2883

46 95 475 665 1045 1235 1615 1805 2185 2755 2945

47 97 485 679 1067 1261 1649 1843 2231 2813 3007

48 99 495 693 1089 1287 1683 1881 2277 2871 3069

49 101 505 707 1111 1313 1717 1919 2323 2929 3131

50 103 515 721 1133 1339 1751 1957 2369 2987 3193

51 105 525 735 1155 1365 1785 1995 2415 3045 3255

52 107 535 749 1177 1391 1819 2033 2461 3103 3317

53 109 545 763 1199 1417 1853 2071 2507 3161 3379

54 111 555 777 1221 1443 1887 2109 2553 3219 3441

55 113 565 791 1243 1469 1921 2147 2599 3277 3503

56 115 575 805 1265 1495 1955 2185 2645 3335 3565

57 117 585 819 1287 1521 1989 2223 2691 3393 3627

58 119 595 833 1309 1547 2023 2261 2737 3451 3689

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

33

59 121 605 847 1331 1573 2057 2299 2783 3509 3751

60 123 615 861 1353 1599 2091 2337 2829 3567 3813

61 125 625 875 1375 1625 2125 2375 2875 3625 3875

62 127 635 889 1397 1651 2159 2413 2921 3683 3937

63 129 645 903 1419 1677 2193 2451 2967 3741 3999

64 131 655 917 1441 1703 2227 2489 3013 3799 4061

65 133 665 931 1463 1729 2261 2527 3059 3857 4123

66 135 675 945 1485 1755 2295 2565 3105 3915 4185

67 137 685 959 1507 1781 2329 2603 3151 3973 4247

68 139 695 973 1529 1807 2363 2641 3197 4031 4309

69 141 705 987 1551 1833 2397 2679 3243 4089 4371

70 143 715 1001 1573 1859 2431 2717 3289 4147 4433

71 145 725 1015 1595 1885 2465 2755 3335 4205 4495

72 147 735 1029 1617 1911 2499 2793 3381 4263 4557

73 149 745 1043 1639 1937 2533 2831 3427 4321 4619

74 151 755 1057 1661 1963 2567 2869 3473 4379 4681

75 153 765 1071 1683 1989 2601 2907 3519 4437 4743

76 155 775 1085 1705 2015 2635 2945 3565 4495 4805

77 157 785 1099 1727 2041 2669 2983 3611 4553 4867

78 159 795 1113 1749 2067 2703 3021 3657 4611 4929

79 161 805 1127 1771 2093 2737 3059 3703 4669 4991

80 163 815 1141 1793 2119 2771 3097 3749 4727 5053

81 165 825 1155 1815 2145 2805 3135 3795 4785 5115

82 167 835 1169 1837 2171 2839 3173 3841 4843 5177

83 169 845 1183 1859 2197 2873 3211 3887 4901 5239

84 171 855 1197 1881 2223 2907 3249 3933 4959 5301

85 173 865 1211 1903 2249 2941 3287 3979 5017 5363

86 175 875 1225 1925 2275 2975 3325 4025 5075 5425

87 177 885 1239 1947 2301 3009 3363 4071 5133 5487

88 179 895 1253 1969 2327 3043 3401 4117 5191 5549

89 181 905 1267 1991 2353 3077 3439 4163 5249 5611

90 183 915 1281 2013 2379 3111 3477 4209 5307 5673

91 185 925 1295 2035 2405 3145 3515 4255 5365 5735

92 187 935 1309 2057 2431 3179 3553 4301 5423 5797

93 189 945 1323 2079 2457 3213 3591 4347 5481 5859

94 191 955 1337 2101 2483 3247 3629 4393 5539 5921

95 193 965 1351 2123 2509 3281 3667 4439 5597 5983

96 195 975 1365 2145 2535 3315 3705 4485 5655 6045

97 197 985 1379 2167 2561 3349 3743 4531 5713 6107

98 199 995 1393 2189 2587 3383 3781 4577 5771 6169

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

34

W ten sam sposoacuteb obliczamy ile jest iloczynoacutew liczby 11 do tysiąca Ostatnią jest 979 po odjęciu od

niej 1 dzielimy na poacuteł a od ilorazu odejmujemy 16 jako wartość połoacutewki pierwszego iloczynu liczb 3 i

11 (33 ndash 16) i od roacuteżnicy odejmujemy iloczyn 10 liczb dodatkowo podzielnych przez 5 i 7 jak i iloczyn

13 liczb podzielnych przez 3 (165231297363429) a roacuteżnicę dzielimy przez 11 co daje 20 czyli

długi na 43 liczby ciąg liczb podzielnych przez 3 5 7 i 11 zawiera 43 ndash [10 + 13] = 20 liczb podzielnych

tylko przez 11 (979 ndash 1) = 9782 = 489 ndash 16 = 473 ndash [10(11)] = 363 ndash [13(11)] = 22011 = 20 W

podobny sposoacuteb postępujemy przy obliczaniu ilości iloczynoacutew liczb 13 17 19 23 29 i 31 do tysiąca

949 ndash 1 = 9482 = 474 ndash 19 = 455 ndash [9(13)] = 338 ndash [10(13)] = 20813 = 16 = 35 ndash 19 901 ndash 1 = 9002

= 450 ndash 25 = 425 ndash [9(17)] = 272 ndash [6(17)] = 17017 = 10 = 25 ndash 15 931 ndash 1 = 9302 = 465 ndash 28 = 437 ndash

[5(19)] = 342 ndash [10(19)] = 15219 = 8 = 23 ndash 15 989 ndash 1 = 9882 = 494 ndash 34 = 460 ndash [3(23)] = 391 ndash

[11(23)] = 13823 = 6 = 20 ndash 14 899 ndash 1 = 8982 = 449 ndash 43 = 406 ndash [12(29)] = 5829 = 2 = 14 ndash 12

961 ndash 1 = 9602 = 480 ndash 46 = 434 ndash [13(31)] = 3131 = 1 = 14 ndash 13 W tysiącu liczb naturalnych mamy

166 liczb podzielnych przez 3 i (665 + 377 + 2011 + 1613 + 1017 + 819 + 623 + 229 + 131 =

166) przez inne liczby pierwsze Odejmując teraz od połowy danej wielkości sumę iloczynoacutew liczb

pierwszych dowiemy się ile jest w niej samych liczb pierwszych 500 ndash (166 + 166) = 168 π(x) = frac12N ndash

Σp(prsquo) 500 = 168 + 166 + 166 Z 35 kolumnowej listy liczb pierwszych wynika że iloczyny liczby 5

tworzą 7 ciągoacutew a iloczyny liczby 7 tworzą 4 ciągi czyli stosunek iloczynoacutew liczb 5 i 7 jest jak 7 4 66

= (79) + 3 37 = (49) + 1 666 = (795) + 1 380 = (495) Natomiast potroacutejnie spleciony ciąg liczb

pierwszych i ich iloczynoacutew przez przystawanie według modułu (n)7 wyodrębnia 24 ciągi mieszane

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew Na tej podstawie z dużym przybliżeniem możemy określić ilość liczb

pierwszych do danej wielkości 25 = (24 + 1) 168 = 7(24) 1229 = 5124 + 5

W rzeczywistości rozmieszczenie liczb pierwszych zależy od ich stosunku do swoich iloczynoacutew a ten

wynika z przystawania wszystkich liczb naturalnych według modułu 7 i jest odwrotnie

proporcjonalny to znaczy im więcej liczb pierwszy jest w dziesięciu liczbach nieparzystych tym mniej

ich iloczynoacutew jako wyraz tej proporcjonalności odwrotnej do 10 (4 110)

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

35

Na tym wykresie radarowym wyraźnie widzimy jak cztery liczby pierwsze (2 3 5 7) tworzą parabolę

oznaczającą że są odwrotnie proporcjonalne do 10 Stąd możemy napisać xy = k 410 = 40 a 1b

4 110 Przy liczbach pierwszych ten podstawowy iloczyn 410 = 40 jako że mnożenie jest skroacuteconą

formą dodawania należy rozpisać na poszczegoacutelne stosunki z ktoacuterych się składa 40 = (2 + 8) + (3 + 7)

+ (5 + 5) + (7 + 3) A tak to wygląda na wykresie liniowym Tu suma 4 liczb pierwszych (2 + 3 + 5 + 7 =

17) dopełniona sumą roacuteżnic do 10 (8 + 7 + 5 + 3 = 23) pokazuje jaka jest proporcja liczb pierwszych

do ich iloczynoacutew w 17 + 23 = 40 liczbach

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

36

Jak to widać w poniższej 10 kolumnowej tabeli w pierwszym rzędzie są 4 pary czyli 8 liczb

pierwszych (2 3)(57)(11 13)(17 19) a tylko 2 iloczyny liczby 3 (9 i 15) ndash (8 + 2) W dalszych

rzędach ten stosunek kształtuje się następująco (4 + 6)(5 + 5)(5 + 5)(3 + 7) = 17 + 8 = 25 liczb

pierwszych do 23 + 2 = 25 ich iloczynoacutew a więc w piątym rzędzie stosunek ten się

wyroacutewnuje W rzędach 6 do 24 stosunek ten wzrasta 1733 a w rzędach od 24 do 50 nawet

1743 Stąd w 1000 liczbach stosunek ten prawie się podwaja 170 ndash 2 = 168 340 ndash 8 = 332

Do pełnego podwojenia dochodzi jednak dopiero przy 540 liczbach kiedy to na 180 liczb pierwszych

przypada 360 ich iloczynoacutew Odtąd ten stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew będzie coraz

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

37

większy jak to widać w poniższej tabeli W rzędach 51 ndash 63 stosunek liczb pierwszych do ich

iloczynoacutew ulega podwojeniu z 1743 do 3486 ponieważ obejmuje zakres 34 + 86 = 120 liczb Mamy

tu jeszcze zakres 17 + 53 = 70 liczb 34 + 96 = 130 liczb i 34 + 106 = 140 liczb

W większych zakresach liczb stosunek ten kształtuje się następująco

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

38

W 10 000 liczb pierwszych jest 1 229 a ich iloczynoacutew przeszło 31 229 = 3 687 + 84 = 3 771 więcej W

100 000 liczb pierwszych jest 9 592 a ich iloczynoacutew o 49 592 = 38 368 + 1 040 = 40 408 więcej W

1 000 000 liczb pierwszych jest 78 498 a ich iloczynoacutew 578 498 = 392 490 + 29 012 = 421 502

więcej W 10 000 000 liczb pierwszych jest 664 579 a ich iloczynoacutew o przeszło 6664 579 = 3 987 474

+ 347 947 = 4 335 421 więcej W 100 000 000 liczb pierwszych jest 5 761 455 a ich iloczynoacutew

75 761 455 = 40 330 185 + 3 908 360 = 44238545 więcej

W miliardzie liczb pierwszych jest 50 847 534 a ich iloczynoacutew o 850 847 534 = 414 780 272 +

34 372 194 = 449 152 466 więcej

Ponieważ iloczynoacutew liczby 3 do danej wielkości jest zawsze roacutewna ilość (15 + 1)1 11 111 1111

= 16 166 1666 ilość liczb pierwszych zależy od połowy sumy i roacuteżnicy ilości ich iloczynoacutew większych

od 3 to znaczy że stosunek liczb pierwszych do ich iloczynoacutew większych od 3 jest odwrotnie

proporcjonalny czyli im więcej liczb pierwszych (25 + 9)2 = 17 tym mniej iloczynoacutew większych od 3

(25 plusmn 9)2 = [(25 ndash 9)2 + (25 + 9)2] = 8 + 17 = 25 i odwrotnie im więcej iloczynoacutew większych od 3

(168 + 166)2 = 167 tym mniej liczb pierwszych (168 plusmn 166)2 = [(168 ndash 166)2 + (168 + 166)2 = 1 +

167 = 168 (2105 + 1229)2 = 1667 (2105 ndash 1229)2 = 438 1667 ndash 438 = 1229

0 84p 84p 83p(p) 83p(p) 166 n3

1 2 3

2 5 7 9

3 11 13 15

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

39

4 17 19 21

5 23 25 27

6 29 31 33

7 37 35 39

8 41 43 45

9 47 49 51

10 53 55 57

11 59 61 63

12 67 65 69

13 71 73 75

14 79 77 81

15 83 85 87

16 89 91 93

17 97 95 99

18 101 103 105

19 107 109 111

20 113 115 117

21 119 121 123

22 127 125 129

23 131 133 135

24 137 139 141

25 143 145 147

26 149 151 153

27 157 155 159

28 163 161 165

29 167 169 171

30 173 175 177

31 179 181 183

32 185 187 189

33 191 193 195

34 197 199 201

35 203 205 207

36 211 209 213

37 215 217 219

38 223 221 225

39 227 229 231

40 233 235 237

41 239 241 243

42 245 247 249

43 251 253 255

44 257 259 261

45 263 265 267

46 269 271 273

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

40

47 277 275 279

48 281 283 285

49 287 289 291

50 293 295 297

51 299 301 303

52 307 305 309

53 311 313 315

54 317 319 321

55 323 325 327

56 331 329 333

57 337 335 339

58 341 343 345

59 347 349 351

60 353 355 357

61 359 361 363

62 367 365 369

63 373 371 375

64 379 377 381

65 383 385 387

66 389 391 393

67 397 395 399

68 401 403 405

69 409 407 411

70 413 415 417

71 419 421 423

72 425 427 429

73 431 433 435

74 439 437 441

75 443 445 447

76 449 451 453

77 457 455 459

78 461 463 465

79 467 469 471

80 473 475 477

81 479 481 483

82 487 485 489

83 491 493 495

84 499 497 501

85 503 505 507

86 509 511 513

87 515 517 519

88 521 523 525

89 527 529 531

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

41

90 533 535 537

91 541 539 543

92 547 545 549

93 551 553 555

94 557 559 561

95 563 565 567

96 569 571 573

97 577 575 579

98 581 583 585

99 587 589 591

100 593 595 597

101 599 601 603

102 607 605 609

103 613 611 615

104 617 619 621

105 623 625 627

106 631 629 633

107 635 637 639

108 641 643 645

109 647 649 651

110 653 655 657

111 659 661 663

112 665 667 669

113 673 671 675

114 677 679 681

115 683 685 687

116 689 691 693

117 695 697 699

118 701 703 705

119 709 707 711

120 713 715 717

121 719 721 723

122 727 725 729

123 733 731 735

124 739 737 741

125 743 745 747

126 751 749 753

127 757 755 759

128 761 763 765

129 769 767 771

130 773 775 777

131 779 781 783

132 787 785 789

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

42

133 791 793 795

134 797 799 801

135 803 805 807

136 809 811 813

137 815 817 819

138 821 823 825

139 827 829 831

140 833 835 837

141 839 841 843

142 845 847 849

143 853 851 855

144 857 859 861

145 863 865 867

146 869 871 873

147 877 875 879

148 881 883 885

149 887 889 891

150 893 895 897

151 899 901 903

152 907 905 909

153 911 913 915

154 919 917 921

155 923 925 927

156 929 931 933

157 937 935 939

158 941 943 945

159 947 949 951

160 953 955 957

161 959 961 963

162 967 965 969

163 971 973 975

164 977 979 981

165 983 985 987

166 991 989 993

167 997 995 999

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

43

Ilość liczb pierwszych π(x) jaka mieści się w danym przedziale liczb naturalnych N jest odwrotnie

proporcjonalna do liczb nieparzystych ktoacutere stanowią połowę liczb naturalnych π(x) α frac12N Oznacza to że ilość liczb pierwszych składa się z połowy roacuteżnicy i sumy ilości liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 [sum p plusmn sum p(prsquo)]2 a gdy iloczynoacutew tych jest więcej niż liczb pierwszych to z połowy roacuteżnicy i sumy ich iloczynoacutew i liczb pierwszych [sum p(prsquo) plusmn sum p]2 [sum p(prsquo) - sum p]2 plusmn [sum p(prsquo) + sum p]2 = π(x)

sum p(prsquo) (sum p(prsquo) - sum p)2 (sum p(prsquo) + sum p)2 π(x) 9 8 plusmn 17 25

166 1 plusmn 167 168

2 105 438 plusmn 1667 1229

23 742 7 075 plusmn 16667 9592

254 836 88 169 plusmn 166667 78498

2 668 755 1 002 088 plusmn 1666667 664 579

27 571 879 10 905 212 plusmn 166666667 5 761 455

282 485 800 115 819 233 plusmn 1666666667 50 847 534

2 878 280 823 1 211 614 156 plusmn 16666666667 455 052 511

29 215 278 521 12 548 611 854 plusmn 166666666667 4 118 054 813

295 725 421 316 1 29 058 754 649 plusmn 1666666666667 37 607 912 018

2 987 267 796 495 1 320 601 129 828 plusmn 16666666666667 346 065 536 839

30 128 391 582 532 13 461 724 915 865 plusmn 166666666666667 3 204 941 750 802

303 488 762 910 665 136 822 096 243 998 plusmn 1666666666666667 29 844 570 422 669

3 054 094 992 299 409 1 387 428 325 632 742 plusmn 16666666666666667 279 238 341 033 925

Suma i roacuteżnica dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą a więc podzielną przez 2 Reguła połowy roacuteżnicy i sumy ktoacutera nam pozwala obliczyć ilość liczb pierwszych w danym przedziale liczb wynika więc z właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Ponieważ liczby pierwsze wraz z iloczynami stanowią połowę danej wielkości to stosunek ich jest

odwrotnie proporcjonalny zaroacutewno do iloczynoacutew liczby 3 ktoacuterych jest zawsze ściśle określona ilość

(16 166 1666) jak i innych iloczynoacutew a także do całości jak to pokazuje poniższa tabela

Zatem ta proporcjonalność odwrotna πx + sum(2k + 1)3 + sump(prsquo) = frac12N zachowana jest w każdym bloku liczb od pierwszej dziesiątki 4 + 1 = frac1210 25 + 16 + 9 = frac12100 aż do nieskończoności jak to widzimy na poniższym wykresie

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

44

Fakt ten zapisujemy więc następująco π(x) Σ(2n+1)3 Σp(p) N 455 052 511 1 666 666 666

2 878 280 823 10 000 000 000 co ilustruje funkcyjny wykres punktowy

Graficzne ujęcie funkcji odwrotnej proporcjonalności pokazuje że jest ona asymptotycznie malejąca

to znaczy że liczb pierwszych jest tym mniej w danej wielkości im większe liczby rozpatrujemy Jeżeli

w 100 liczbach na 50 nieparzystych co druga czyli 25 jest pierwszych to w 1000 ten stosunek jest

jak 168500 czyli 0336 Stąd gęstość ich rozmieszczenia stale maleje

Liczby nieparzyste w danej wielkości stanowią połowę danej wielkości sum(2k + 1) = frac12 (N)

Ponieważ w połowie danej wielkości złożonej z liczb nieparzystych mamy liczby pierwsze i ich

iloczyny frac12 N = sum(2k + 1) = π(x) + sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo) czyli stosunek liczb nieparzystych do

liczb pierwszych i ich iloczynoacutew jest jak 1 1 bo każda liczba albo jest pierwszą lub da się

zapisać jako iloczyn liczb pierwszych Oznacza π(x) ilość liczb pierwszych do danej wielkości

wtedy znając ilość iloczynoacutew liczb pierwszych obliczymy dokładnie π(x) dla danej wielkości

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

45

π(x) = frac12N[1 ndash sum(2k + 1)3 + sum p(prsquo)frac12N] 4 = 5[1 ndash 15] 168 = 500[1 ndash (166 + 166)500] =

500[1 ndash 332500] = 500[1 ndash 0664] = 500(0336) Ilość liczb pierwszych π(x) w danej wielkości

jest iloczynem połowy danej wielkości i wspoacutełczynnika proporcjonalności liczb pierwszych

π(x) = frac12N k 1229 = 5000(02458) Wspoacutełczynnik proporcjonalności liczb pierwszych składa

się z N - tej części sumy i roacuteżnicy pomiędzy iloczynami większymi od 3 a liczbami pierwszymi

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N = π(x)05 N

[sum p(prsquo) + π(x)]N plusmn [sum p(prsquo) ndash π(x)]N middot kfrac12 N = π(x)

04 + 04 08(5) = 4

034 + 016 05(5 E + 1) = 25

0334 + 0002 0336(5 E + 2) = 168

03334 ndash 00876 02458(5 E + 3) = 1 229

033334 ndash 01415 019184(5 E + 4) = 9 592

0333334 ndash 0176338 0156996(5 E + 5) = 78 498

03333334 ndash 02004176 01329158(5 E + 6) = 664 579

033333334 ndash 021810424 01152291(5 E + 7) = 5 761 455

0333333334 ndash 0231638466 0101694868(5 E + 8) = 50 847 534

03333333334 ndash 02423228312 00910105022(5 E + 9) = 455 052 511

033333333334 ndash 025097223708 008236109626(5 E +10) = 4 118 054 813

0333333333334 ndash 0258117509298 0075215824036(5 E + 11) = 37 607 912 018

03333333333334 ndash 02641202259656 00692131073678(5 E + 12) = 346 065 536 839

033333333333334 ndash 02692344983173 006409883501604(5 E + 13) = 3 204 941 750 802

0333333333333334 ndash 0273644192487996 0059689140845338(5 E + 14) = 29 844 570 422 669

03333333333333334 ndash 02774856651265484 0055847668206785(5 E + 15) = 279 238 341 033 925

033333333333333334 ndash 0280862219018024868 005247114315308466(5 E + 16) = 2 623 557 157 654 233

0333333333333333334 ndash 02774856651265484 004947990857548172(5 E + 17) = 24 739 954 287 740 860

03333333333333333334 ndash 0286521799878064412 00468115334552689214(5 E + 18) = 234 057 667 276 344 607

033333333333333333334 ndash 028891694128211495654 00444163920512183768(5 E + 19) = 2 220 819 602 560 918 840 0333333333333333333334 ndash 0291078794361295869478 0042254538972037463856(5 E + 20) = 21 127 269 486 018 731 928

03333333333333333333334 ndash 02930398759954701520754 0040293457337863181258(5 E + 21) =201 467 286 689 315 906 290

033333333333333333333334 ndash 03718397411654694127118 003850640783213607937846(5 E +22) = 1 925 320 391 606 803 968 923

Patrząc na powyższą tabelę widzimy jak wspoacutełczynnik proporcjonalności asymptotycznie

malej z 08 po przez 0 5 do 0 038 506 40 783 213 607 937 846 i dalej w postępie

geometrycznym 0 3(q) zbliżając się do zera powoduje coraz większe rozrzedzenie liczb

pierwszych

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

46

Na powyższym wykresie widzimy wyraźnie że nie ważne jak duża staje się połowa danej

wielkości 5 50 czy 5 000 000 000 jej odwrotność czyli wspoacutełczynnik proporcjonalności nie

jest nigdy zerem a więc jego krzywa rzeczywiście nigdy nie dotknie osi x W tej horyzontalnej

asymptocie pozioma linia czynnika proporcjonalności jest roacutewnoległa do osi x przy czym

funkcja ta rośnie bez ograniczeń do + infin co jest najlepszym dowodem na to że liczb

pierwszych nigdy nie zabraknie

Czyż można wyobrazić sobie bardziej roacutewnomierne rozmieszczenie liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

niż to jakie widzimy poniżej

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

47

W tej tabeli liczby pierwsze i ich iloczyny o jednakowej liczbie jedności rozmieszczone są w kolumnach co 40 ( 3 ndash 43 7 ndash 47) a w ciągach ukośnych w parach co 20 (47 ndash 67 53 ndash 73) tworząc zygzakowate ciągi typu (3 -20- 23 -20- 43 -40- 83 -20- 103 7 -40- 47 -20- 67 -40- 107) To sprawia że zaroacutewno wzdłuż jak i wszerz przybywa ich odwrotnie proporcjonalnie co 1723 = 40 liczb 1733 = 50 liczb 1743 = 60 liczb 1753 = 70 liczb a nawet 3486 = 120 liczb 3496 = 130 liczb i 34106 = 140 liczb Liczby pierwsze wydają się być zupełnie przypadkowo rozmieszczone pomiędzy innymi liczbami Przy czym zaobserwowano że liczb pierwszych jest tym mniej im większe liczby rozpatrujemy Liczby pierwsze podlegają bowiem jednemu prawu rozmieszczenia prawu przystawania według modułu 7 a ich ilość jest odwrotnie proporcjonalna do ilości liczb w danej wielkości π(x) middot Jeżeli iloczyn sumy składnikoacutew liczb sum(n + nrsquo) i połowy danej wielkości frac12N jest stały sum(n + nrsquo)frac12N = k to ilość liczb

pierwszych π(x) =

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest

wprost proporcjonalna do odwrotności ilości liczb w danej wielkości π(x) ~

(58 = 40 4 = 5810)

Zależność odwrotnie proporcjonalna oznacza że każda wielkość π(x) jest wprost proporcjonalna do odwrotności iloczynu połowy danej wielkości i sumy składnikoacutew liczb pierwszych przez daną wielkość π(x) (frac12NΣ(n+nrsquo)N 25 = 5050100 168 = 5003361000 1229 = 5000245810 000

Powyższy wykres liniowy ukazuje jak wzdłuż i w szerz w rozmieszczeniu liczb pierwszych zachowany jest ten podstawowy odstęp n(40) pomiędzy liczbami o tej samej liczbie jedności 317 ndash n(40)- 397 ndashn(40)- 557 359 ndash n(40)- 439 -40- 479 -n(40)- 599 a tak to wygląda do 1000

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

48

Natomiast ciaśniej ułożone liczby pierwsze tworzą 6 spiralnych ciągoacutew o stałym odstępie 18

zaczynające się od liczb (5 ndash 23 ndash 41 7 ndash 25 ndash 43 11 ndash 29 ndash 47 13 ndash 31 ndash 49 17 ndash 35 ndash 53 19 ndash

37 ndash 55)

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

49

Według tego samego modułu 17 z najmniejszym odstępem pomiędzy zwojami 4(17) = 68 rozwija się

spirala liczb pierwszych od 2 poprzez 883 do nieskończoności i gdzie tu może być mowa o jakimś

chaosie (269 ndash 68 ndash 337 ndash 204 ndash 541 ndash 136 ndash 677 ndash 204 ndash 881)

Tym samym zagadka rozmieszczenia liczb pierwszych została rozwiązana Odtąd ciąg liczb pierwszych

nie jest podobny do przypadkowego ciągu liczb lecz do uporządkowanej odwrotnie proporcjonalnej

struktury ktoacuterej funkcja asymptotycznie maleje bez ograniczeń do nieskończoności W końcu

poszukiwana od wiekoacutew przez matematykoacutew tajemnicza struktura liczb pierwszych i ich iloczynoacutew

została odkryta i muzykę jej można napisać w nieskończoność

TAJEMNICE LICZB BLIŹNIACZYCH

Liczby pierwsze są bogatym starożytnym źroacutedłem matematycznych tajemnic Od 2000 lat wiemy że

jest ich nieskończenie wiele

Tylko liczby pierwsze ktoacutere po odjęciu od nich tych 7 par (3-5 11-13 13-15 17-19 23-53 53-83 29-

199) dają liczby podzielne przez 7 (59 ndash 3 = 567 61 ndash 5 = 567 179 ndash 11 = 1687 181 ndash 13 = 1687)

tworzą nie tylko tzw liczby bliźniacze Np 5 i 7 11 i 13 postaci n i n + 2 ale raz nawet liczby

rdquotrojaczkirdquo 3 5 7 postaci n i n + 2 i n + 4 stale o 2 większa jedna od drugiej 3 + 2 = 5 + 2 = 7 Gdy

po sobie następują dwie pary liczb bliźniaczych w jednej dziesiątce 11-1317-19 wtedy moacutewimy o

bdquoczworaczkachrdquo Istnieje roacutewnież jedna para kolejnych liczb pierwszych 2 i 3 ktoacutere nie są

bdquobliźniaczymirdquo lecz tylko bdquokolejnymirdquo

Liczby pierwsze jeżeli są ułożone według zakończeń jednostkowych ndash 1 - 3 - 7 - 9 tworzą 17 par

liczb pierwszych o wspoacutelnym odstępie (6) 2-3 5-7 11-13 17-19 23-25 29-31 35-37 41-43 47-49

53-55 59-61 65-67 71-73 77-79 83-85 89-91 95-97 Taki układ pokazuje w ktoacuterej parze liczby

pierwsze zachowują odstęp 2 charakterystyczny dla liczb bliźniaczych a w ktoacuterej ten odstęp jest

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

50

blokowany przez iloczyny liczb 5 (25 35 55 65 85 95) i 7 (49 77 91) Wyraźnie widzimy że liczby

bliźniacze znajdują się w parach 2 3-4 6 8 11 i 13 czyli w siedmiu parach i jest ich do 100 ndash 14

Ponieważ liczby 2 i 3 jako kolejne nigdy nie tworzą pary bliźniaczej jak i 16 iloczynoacutew liczby 3 aby

obliczyć ilość liczb bliźniaczych do danej wielkości wystarczy od ilości liczb pierwszych π(x) odjąć 2

oraz ilość iloczynoacutew liczb większych od 3 według wzoru [(πx ndash 2) ndash Rip(prsquo)] = Σpp+2) [(25 ndash 2) ndash 9] = 14

Całość układu 50 liczb nieparzystych można ułożyć w 25 par to jest 17 par mieszanych liczb

pierwszych z iloczynami liczb większych od 3 oraz 8 par iloczynoacutew liczby 3 o stałym odstępie 6 (9-15

21-27) albo z samych tylko par liczb bliźniaczych tutaj 7 plus 18 par reszty liczb daje roacutewnież 25

Ten układ wyraźnie pokazuje że stosunek 17 par mieszanych liczb pierwszych i ich iloczynoacutew do 7 par

liczb bliźniaczych (17 + 8 = 7 + 18) jest odwrotnie proporcjonalny bo gdy liczba par liczb bliźniaczych

w tym układzie maleje o 10 to o tyle samo wzrasta ilość par mieszanych liczb pierwszych i ich

iloczynoacutew Gdy długość ciągu mieszanego liczb pierwszych i ich iloczynoacutew większych od 3 jest stale

większa o [(15)1111111111] + 2 17 167 1667 16667 par a par iloczynoacutew liczby 3 przybywa

o połowę mniej [(151111111111) + 1]2 = 8 83 833 8333 to par bliźniaczych jest w nim o 10

133 1 463 15 444 158 499 1 607 688 par mniej

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

51

Na wykresie radarowym podzielonym na 4 ćwiartki przez ciągi iloczynoacutew liczby 5 pary liczb

bliźniaczych narastają stopniowo 17-19 -40- 59-61 -40- 101-103 29-31 -40- 71-73 107-109 -40- 149-

151 -40- 191-193 137-139 -40- 179-181 197-199 -40- 239-241 -40- 281-283 227-229 -40- 269-271 -

40- 311-313 419-421 -40- 461-463 zawsze o 40 liczb wyżej

W tej tabeli widzimy wyraźnie jak stopniowo przybywa co 5 par liczb bliźniaczych Do 40 jest ich 4 do

120 ndash 9 do 200 ndash 14 do 320 ndash 19 do 560 ndash 24 do 680 ndash 29 a do 1000 ndash 34 pary liczb bliźniaczych

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

52

Do 1120 ndash 39 do 1520 ndash 49 do 1760 ndash 54 do 1960 ndash 59 do 2320 ndash 69 do 2680 ndash 74 do 2840 ndash 79hellip

do 10 000 ndash 204 do 100 000 ndash 1 223 do 1 000 000 ndash 8 168 do 10 000 000 ndash 58 979 50 847 534 liczb

pierwszych do 1 000 000 000 tworzy zaledwie 6 849010 liczb bliźniaczych 86 029 961 ndash 86 029 963

to jedna z par tego zakresu Następną taką parę o zakończeniu -61 -63 znajdziemy wśroacuted liczb 13-

cyfrowych 10^12+61 i 10^12+63 To są liczby bliźniacze ponieważ po odjęciu od nich 13 i 15 są

podzielne przez 7 (1 000 000 000 061 ndash 13)7 i (1 000 000 000 063 ndash 15)7 (142 857 142 8647)+13 =

10^12+61 (142 857 142 8647) + 15 = 10^12+63

A oto następne 97 9 999 997 99 999 997 999 999 997 i 9 999 999 997 cyfrowe pary liczb

bliźniaczych wyszukanych tą niezawodną metodą

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

53

MOCNA I SŁABA HIPOTEZA GOLDBACHA

Teraz jesteśmy w stanie na nowo zająć się bdquomocnąrdquo hipotezą Goldbacha ktoacutera moacutewi że każda

parzysta liczba naturalna większa od 4 jest sumą dwoacutech liczb pierwszych

Jeżeli wspoacutełczynnik proporcji dla wszystkich liczb parzystych aż do danej wielkości wynosi frac12 to

znaczy że roacutewnanie frac12NN = π(x)Σ(p + prsquo) jest odpowiedzią na problem Goldbacha ktoacutery

przypuszczał że każdą liczbę parzystą można złożyć z dwoacutech liczb pierwszych

Twierdzenie

Jeżeli iloraz ilości liczb pierwszych przez podwoacutejną ich ilość jest roacutewny ilorazowi ilości liczb parzystych

przez daną wielkość wtedy zachodzi roacutewność dwoacutech stosunkoacutew czyli że iloczyn wyrazoacutew skrajnych

roacutewny jest iloczynowi wyrazoacutew środkowych

π(x) Σ 2(p + prsquo) = Σ(2k)N = Σ (2k) Σ 2(p + prsquo) 2550 = 50100 = frac12

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

54

Suma dwoacutech liczb o tej samej parzystości jest zawsze liczbą parzystą 2 k = p + prsquo jak to wynika z

właściwości jakie stwierdza parzystość liczb Stąd każdą liczbę parzystą większą od 4 możemy

przedstawić jako sumę dwoacutech liczb parzystych lub pierwszych 6 = 2 + 4 = 3 + 3 8 = 2 + 6 = 3 + 5 12

= 4 + 8 = 5 + 7 14 = 2 + 12 = 3 + 11 = 6 + 8 = 7 + 7

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

55

Proporcja frac12 w wypadku liczb parzystych oznacza że wszystkie liczby parzyste w danym bloku

składają się z dwoacutech liczb pierwszych 510 = 48 50100 = 2550 5001000 = 168336 Do 10 jest 5

par liczb pierwszych ktoacuterych sumą jest liczba parzysta 2 + 2 = 4 3 + 3 = 6 3 + 5 = 8 5 + 5 = 10 3 + 7 =

10 zaś do 100 wybierając te najbliżej środka znajdujemy 50 par liczb pierwszych o sumie parzystej

5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 7 + 13 = 20 5 + 17 = 22 11 + 13 = 24 7 + 19 = 26

11 + 17 = 28 Czyli 50 liczb parzystych w bloku 100 liczb jest sumą 2(25 + 25) 100 liczb pierwszych i

ilość par liczb pierwszych o sumie parzystej rośnie wykładniczo 5-50-500-5000o wspoacutelnym ilorazie q

= 10 aż do nieskończoności

Tak więc każda liczba parzysta większa od 4 może składać się od 1 do 3 par składnikoacutew pierwszych a

mimo to liczb pierwszych w danym bloku nie zabraknie 8 = 5 + 3 10 = 7 + 3 = 5 + 5 22 = 19 + 3 =

17 + 5 = 11 + 11 26 = 23 + 3 = 19 + 7 = 13 + 13 Niezależnie od tego w jak gęsto usłanym liczbami

pierwszymi przedziale liczb do danej wielkości znajduje się liczba parzysta pozostaje ona zawsze

sumą par składnikoacutew liczb poprzedzających wśroacuted ktoacuterych nigdy nie zabraknie liczb pierwszych

ktoacutere wraz z ich iloczynami rosną wykładniczo 5-50-500 czyli tak jak pary liczb pierwszych o sumie

parzystej

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

56

Najłatwiej znajdujemy pary liczb pierwszych odejmując i dodając do połowy liczby parzystej tą samą

liczbę np 105 (25162 = 1258 ndash 105 = 11531 1258 + 105 = 13631 1153 + 1363 = 2516)

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

57

Słuszność bdquomocnejrdquo hipotezy Goldbacha udowadnia słuszność bdquosłabejrdquo hipotezy Goldbacha ponieważ

wystarczy od danej liczby nieparzystej większej od 7 odjąć 3 i otrzymaną liczbę parzystą przedstawić

zgodnie z mocną hipotezą Goldbacha (2k + 1) ndash 3 = 2k = p + prsquo rarr 2k + 1 = p + prsquo + prdquo

Teraz widzimy że słaba hipoteza Goldbacha jest prawdziwa dla wszystkich liczb nieparzystych tzn

wszystkie liczby nieparzyste większe od 7 są sumą trzech liczb pierwszych (niekoniecznie roacuteżnych)

jak to widzimy na powyższym wykresie

Po prostu proporcjonalne rozmieszczenie liczb pierwszych pozwala sumom dwoacutech liczb pierwszych

liczby te dodając się parami tworzą zbioacuter liczb naturalnych parzystych i sumom trzech liczb

pierwszychliczby te dodając się troacutejkami tworzą zbioacuter liczb naturalnych nieparzystych zapełnić oś

liczbową wszystkimi liczbami naturalnymi (oproacutecz 1) W ten najprostszy sposoacuteb łącząc się w pary i

tryple liczby pierwsze mogą z pozornego chaosu wygenerować zbioacuter liczb naturalnych 2 3 (2 + 2)

(2 + 3) (3 + 3) (2 + 2 + 3) (3 + 5) (3 + 3 + 3) (5 + 5) (3 + 3 + 5) (5 + 7) (3 + 5 + 5) (7 + 7) (3 + 5 + 7)

Tak z pozornego nieładu liczb pierwszych wyłania się nadzwyczajne piękno frac12 proporcji ich części do

innych części i do całości zbioru liczb naturalnych generując najwspanialszą harmonię zgodną z istotą

ludzką i za Księgą Mądrości 11 20 możemy zawołać

bdquoTy jednak wszystko dokładnie określiłeś miarą liczbą i wagąrdquo

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

58

Pozorny nieład jest uregulowany za co Bogu niech będą dzięki że nie musimy co najmniej milion lat

czekać na zrozumienie tajemnic liczb pierwszych

Q E D

bdquoAD MAJOREM DEI GLORIAMrdquo NA WIĘKSZĄ CHWAŁĘ BOGU

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

59

TABLICE LICZB PIERWSZYCH OD 2 DO 10 273

60

61

62

63

60

61

62

63

61

62

63

62

63

63